Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ

В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Программа, методические указания и контрольные

задания по курсу «Применение ЭВМ в химической

технологии» для студентов заочного факультета

специальностей 1-48 01 02 «Химическая технология органических веществ, материалов и изделий», 1-48 02 01 «Биотехнология»

Минск 2005 УДК 004:66(07) ББК 32.973:35 П 76 Рассмотрены и рекомендованы к изданию редакционноиздательским советом университета Составители:

В.П. Кобринец, Д.С. Карпович, А.В. Овсянников Рецензент кандидат экономических наук, доцент кафедры информационных систем и технологий С.И. Акунович По тематическому плану изданий учебно-методической литературы университета на 2005 год. Поз. 184.

Для студентов заочного факультета специальностей 1-48 «Химическая технология органических веществ, материалов и изделий», 1-48 02 01 «Биотехнология»

© УО «Белорусский государственный технологический университет»,

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время ЭВМ находят широкое применение в химии и химической технологии. Различные средства вычислительной техники, в том числе и ПЭВМ, используются в исследовании, управлении и проектировании химических производств. Это требует от химиковтехнологов соответствующих навыков общения с ЭВМ и понимания существа методов решения на них различных задач.

Целью преподавания курса является обучение студентов общим методам использования ЭВМ при исследовании, расчете и оптимизации химико-технологических процессов.

В результате изучения этого курса студент должен знать:

• постановку задач по моделированию и оптимизации процессов химической технологии для решения их на ЭВМ;

• основные программно-аппаратные средства для решения задач химической технологии на ЭВМ;

• методологию математического моделирования и проведения расчетных исследований химико-технологических процессов на ЭВМ и использование их для проектирования и оптимизации химических производств.

В курсе «Применение ЭВМ в химической технологии» рассматривается широкий круг вопросов – от использования ЭВМ в исследованиях по изучению воздействия физико-химических процессов до их применения для управления процессами и производствами химической технологии и их оптимизации. Этот курс тесно связан с другими инженерно-техническими дисциплинами учебного плана, такими, как:

«Высшая математика», «Математические модели в расчетах на ЭВМ», «Общая химическая технология», «Процессы и аппараты химической технологии».

Однако, в отличие от других, в этом курсе основной акцент делается на использование ЭВМ для решения практических задач математических моделей, исследования и оптимизации химикотехнологических процессов с применением их математических моделей, а также по методике получения данных моделей.

1. ПРОГРАММА КУРСА Введение Общие принципы применения ЭВМ в химической технологии.

Современные тенденции развития ЭВМ. Применение ЭВМ для решения практических задач. Системный подход к химическим технологиям.

1.1. Программно-аппаратные средства обработки информации и моделирования химико-технологических процессов Основные пакеты программ Mathcad, Matlab, Statistica и др. и их характеристики.

Матрицы, их основные характеристики и операции над ними.

Решение систем линейных уравнений. Решение нелинейных уравнений и их систем.

Интерполяция и аппроксимация функций. Расчет интегралов.

Решение обычных дифференциальных уравнений и их систем. Решение дифференциальных уравнений в частных производных.

1.2. Разработка математических моделей ХТП Классификация математических моделей и этапы их построения. Системный подход при разработке математических моделей.

Принципы построения математических моделей.

1.3. Разработка детерминированных моделей Математическое описание ХТП на примере уравнений материального и теплового балансов.

Модель структуры потоков как основа построения математической модели ХТП.

Модель идеального смешения. Модель идеального вытеснения.

Диффузионные модели: одно- и двухпараметрические. Ячеистая модель.

Использование пакетов программ для решения детерминированных моделей на ЭВМ.

1.4. Разработка статистических моделей и алгоритмов Статистический подход к идентификации ХТП. Общая стратегия решения задачи идентификации.

1.5. Получение уравнений математической модели Применение методов корреляционного и регрессионного анализов при построении математических моделей.

Метод наименьших квадратов. Уравнение регрессии для одной переменной. Метод множественной корреляции. Регрессионный анализ в матричной форме. Расчет и анализ параметров уравнений регрессии с помощью пакетов программ на ЭВМ.

1.6. Получение статистических моделей на основании активного эксперимента Полно- и дробнофакторный эксперимент. Описание почти стационарной области. Ортогональные планы второго порядка. Симплексный метод планирования эксперимента. Метод эволюционного планирования.

1.7. Алгоритмы сложения и решения математического описания типовых процессов химической технологии 1.7.1. Математическое моделирование химических реакторов Математическая модель кинетики химических реакций. Математическое моделирование изотермических химических реакторов идеального смешения, вытеснения и их расчет.

Математическое моделирование и расчет каскадов реакторов:

алгебраический метод, метод моделирования на ЭВМ, итерационный метод расчета на ЭВМ. Математические модели адиабатических и политропических реакторов.

1.7.2. Математическое моделирование тепловых процессов Математические модели теплообменников: прямоточных кожухотрубчатых, противоточных кожухотрубчатых.

Математические модели теплообменников с учетом накопления тепла в стенке.

Математическая модель конденсаторов.

1.7.3. Математическое моделирование массообменных процессов Математическая модель процессов газовой абсорбции. Математическая модель процессов ректификации. Математическая модель процесса сушки.

1.8. Оптимизация ХТП на основе математических 1.8.1. Постановка задачи оптимизации Статистическая оптимизация.

Динамическая оптимизация.

1.8.2. Аналитические методы оптимизации и их алгоритмы Метод классического анализа функций, метод неопределенных множителей Лагранжа. Метод линейного программирования. Методы нелинейного программирования.

1.8.3. Числовые методы оптимизации и их алгоритмы Постановка задачи.

Метод равномерного поиска.

Метод поразрядного приближения.

Методы дихотомии и золотого сечения.

Метод квадратичной интерполяции.

Методы многомерной оптимизации.

Реализация методов оптимизации в пакетах Mathcad, Matlab.

2. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

2.1. Общие методические указания к выполнению контрольных Курс «Применение ЭВМ в химической технологии» изучается студентами в основном самостоятельно, путем проработки соответствующих разделов рекомендуемой литературы, выполнения контрольной работы и курсовой работы. Во время очной лабораторноэкзаменационной сессии студенты слушают лекции по курсу и выполняют лабораторные работы.

Изучать курс рекомендуется в той последовательности, в которой построена рабочая программа.

Контрольная работа состоит из пяти задач. Каждая задача, кроме задачи № 4, состоит из трех заданий, каждое задание включает вариантов исходных данных. Задача № 4 состоит из одного задания и также включает 10 вариантов исходных данных.

Выбор номера задания (для каждой задачи) определяется по предпоследней цифре зачетной книжки. При этом задание № 1 выполняется для данных цифр 0–3; задание № 2 – для цифр 4–6; задание № 3 – для цифр 7–9.

Выбор варианта выполнения задания определяется по последней цифре зачетной книжки. Номер варианта задания в задаче № 4 также определяется по последней цифре.

Решение каждой задачи должно содержать методику расчетов, исходные данные, программу решения задачи на ЭВМ с использованием пакета программ Mathcad, таблицы результатов и графики. В [1] приведены все необходимые сведения (встроенные функции пакета Mathcad, примеры решения) для выполнения задач данной контрольной работы.

2.2. Задача № 1. Вычисления в пакете MathCad.

При выполнении задачи № 1 следует воспользоваться методикой для составления программ на языке MathCad, приведенной в [1, раздел 4]. При этом для задания и вычисления констант необходимо использовать оператор присвоения [1, подраздел 4.1], например:

Для создания переменной, имеющей несколько значений, используют векторы-столбцы [1, подраздел 4.4], шаблоны которых можно создать с помощью кнопки на панели «Matrix». При этом в появившемся диалоговом окне необходимо задать размер матрицы с помощью ячеек «Rows» (количество строк) и «Columns» (количество столбцов). Введя в ячейки необходимые цифры, следует нажать кнопку «ОК». В появившемся шаблоне пустые ячейки заполняются цифрами. В итоге созданный вектор-столбец будет иметь вид В случае, когда хотя бы одна из переменных в выражении принимает не одно, а несколько значений, для вычисления выражения необходимо создавать функцию [1, подраздел 4.1]:

Если в последующих выражениях есть обращение к переменной, заданной с помощью функции, то эти выражения записываются следующим образом:

После ввода всех необходимых констант, выражений, функций и матриц осуществляют вывод вычислений на экран. При этом перед окончательным выводом необходимо задать ранжированную переменную, с помощью которой вычисления будут производиться последовательно для первого, второго и т. д. числа в векторе-столбце. Ранжированная переменная задается аналогично простой [1, подраздел 4.3], для ее создания надо указать первое и последнее число ряда. Эти два числа разделяются оператором ранжирования, имеющего вид многоточия. Величина шага при этом принимается равной 1. Оператор ранжирования можно ввести с помощью кнопки, находящейся на панели «Matrix». В итоге будет получено следующее выражение:

При создании ранжированной переменной следует иметь в виду, что по умолчанию нумерацию строк и столбцов пакет MathCad производит начиная не с единицы, а с нуля. Таким образом, приведенное ранее выражение будет означать в последующем адресацию к нулевому, первому и второму элементу вектора.

Для вывода результата вычислений необходимо использовать оператор = [1, подраздел 4.2]. При этом вместо матрицы-столбца обращаются к отдельным элементам:

Переход к нижнему индексу при обращении к матрице-столбцу осуществляют с помощью кнопки на панели «Matrix».

Для вывода графика необходимо создать еще одну ранжированную переменную, но уже с шагом, отличным от единицы:

Число, указанное после запятой, является вторым числом создаваемого ряда. Таким образом, в примере выше переменная 1 будет изменяться от 7 до 34 с шагом 0,1.

Шаблон графика [1, раздел 7] можно ввести с помощью кнопки, находящейся на панели «Graph». В нижней ячейке шаблона указывают ранжированную переменную, а в левой ячейке – имя функции с указанием ранжированной переменной в скобках в качестве входного аргумента:

Vtoraja_funkctija() Vtoraja_funkctija11) 0. Составить программу в пакете MathCad для расчета мощности электродвигателя привода рамной мешалки. Исходные данные в соответствии с номером варианта необходимо взять из табл. 1. В зависимости от номера варианта один из параметров изменяется согласно заданию. Расчет необходимо провести для всех значений изменяемого параметра.

Также необходимо построить график зависимости мощности электродвигателя от изменяемого параметра. Диапазон изменения параметра задан в табл. 1. Сравнить соответствие вычисленных значений полученному графику.

В ходе составления программы необходимо воспользоваться следующими формулами [2, с. 39].

Диаметр мешалки d, Вт, определяется как где D – диаметр аппарата, м; – зазор между лопастями мешалки и стенкой аппарата, м.

Высота мешалки h, м, вычисляется по формуле где H – высота слоя жидкости в аппарате, м.

Число оборотов n, с–1, где – окружная скорость мешалки, м/с.

Значение критерия Рейнольдса Re находят по формуле где – плотность жидкости, кг/м3; µ – вязкость жидкости, Н·с/м2.

Критерий мощности KN, затраченной на перемешивание среды, можно определить по формуле Мощность N, Вт, затрачиваемую непосредственно на перемешивание среды, можно определить по формуле Мощность Nc, Вт, теряемую в сальнике, можно вычислить по формуле где p – избыточное давление в аппарате, Н/м2; fт – коэффициент трения набивки сальника; lс – длина набивки сальника, м, определяется по формуле l = 4 d ; dв – диаметр вала мешалки, м.

Для расчета мощности электропривода Nэ, Вт, необходимо воспользоваться следующей формулой:

где K1 = 0,75 H D – коэффициент, учитывающий заполнение сосуда перемешиваемой средой; – коэффициент полезного действия.

Составить программу в пакете MathCad для расчета необходимой производительности и эффективной мощности вакуум-насоса, предназначенного для циклической откачки воздуха из сосуда. Процесс разрежения воздуха в сосуде принять политропным. Исходные данные в соответствии с номером варианта необходимо взять из табл. 2.

В зависимости от номера варианта один из параметров изменяется в соответствии с заданием. Расчет необходимо провести для всех значений изменяемого параметра.

Также необходимо построить график зависимости эффективной мощности вакуум-насоса от изменяемого параметра. Диапазон изменения параметра задан в табл. 2. Сравнить соответствие вычисленных значений полученному графику.

При расчете необходимо воспользоваться следующими формулами [2, с. 474475].

Производительность по всасыванию вакуум-насоса Vмин, м3/мин, находят по формуле где Vсос – объем сосуда, м3; m – показатель политропы расширения газа; z – время откачки, мин; p2 – начальное давление в сосуде, p2 =10, Н/см2; p1 – конечное остаточное давление в сосуде, Н/см2.

Из формулы p2/p1 = mm/(m1) можно выразить промежуточную величину p1, которую необходимо использовать в последующих формулах:

Затем необходимо учесть потери в клапанах pн и pв:

где pн и pв – соответственно давление нагнетания и всасывания, Н/см2;

pн и pв – потери в клапанах, %.

Температура в конце сжатия T2, К, составит где T1 – температура в начале сжатия, К.

Давление при выравнивании pвыр, Н/см2, определяют по формуле где – коэффициент мертвого пространства; 1 – коэффициент объема выравнивания или перепуска.

Далее необходимо определить объем газа выр, м3/кг, в момент выравнивания давления при температуре выравнивания Tвыр= T1 и найденном значении давления pвыр где – плотность газа при температуре 273К и давлении pн, кг/м3.

Полная мощность вакуум-насоса Nпол, Вт, может быть найдена по формуле где cp – весовая теплоемкость, Дж·кг/град; p, t и г – конструктивные коэффициенты, характеризующие вакуум-насос. В расчетах следует произведение p·t·г принять равным 0,85.

Эффективная мощность Nэф, Вт, при этих условиях равна где мех – механический КПД вакуум-насоса.

p1, Н/см2 0,199 0,133 0,27 0,201 0,332 0,144 0,274 0,214 0,399 0, T1, К 286 295 290 300 305 301 293 310 0,06 0,055 0,058 0,053 0,04 0,059 0,05 0,03 0,056 0, 1 0,04 0,032 0,031 0,033 0,032 0,035 0,03 0,034 0,031 0,, кг/м3 1,25 0,771 0,09 1,293 1,429 0,717 1,25 2,02 1,977 1, 1040 2220 1425 1030 910 220 1040 1860 Дж·кг/град мех 0,85 0,93 0,9 0,86 0,94 0,87 0,88 0,92 0,91 0, Составить программу в пакете MathCad для расчета вспомогательного времени, затрачиваемого на загрузку, разогрев охлаждение и опорожнение периодического реактора. При проведении вычислений время опорожнения реактора принять равным времени загрузки. Исходные данные в соответствии с номером варианта необходимо взять из табл. 3. В зависимости от номера варианта один из параметров изменяется в соответствии с заданием. Расчет необходимо провести для всех значений изменяемого параметра.

Также необходимо построить график зависимости вспомогательного времени от изменяемого параметра. Диапазон изменения параметра задан в табл. 3. Сравнить соответствие вычисленных значений полученному графику.

Для расчетов необходимо использовать следующие формулы [2, с. 6466].

Тепло, затрачиваемое на нагрев реактора и реакционной смеси Qн, Дж, от начальной температуры Tн где Gр – масса реактора, кг; ср – теплоемкость материала реактора, Дж·кг/град; G – масса загрузки, кг; с – теплоемкость реакционной массы, Дж·кг/град; Tр – температура реакции, К; Tн – начальная температура, К. Величину Tн следует принять равной 293К.

Средняя разность температур Tр, К, при разогреве реактора где Tп – температура водяного пара, К.

Время разогрева р, ч, можно рассчитать по формуле где K2 – коэффициент теплопередачи при обогреве паром, Вт/м2·град;

F – фактическая поверхность теплообмена, м2.

Тепло, отнимаемое при охлаждении Qо, Дж, до конечной температуры Tк где Tк – конечная температура, К.

Средняя разность температур при охлаждении Tо, К, рассчитывается по формуле где 1 – температура хладоносителя, поступающего в реактор, К. Величину A в данном выражении можно найти по следующему отношению где 2 – температура хладоносителя, уходящего из реактора в конце охлаждения, К.

Время охлаждения реактора о, ч, равно где K3 – коэффициент теплопередачи при охлаждении хладоносителем, Вт/м2·град.

Расход реакционной массы при заполнении V, м3/ч, где d – диаметр трубы заполнения, м; – линейная скорость реакционной массы при заполнении, м/с.

Время заполнения реактора з, ч, где Vр – объем реактора, м ; – коэффициент заполнения.

Вспомогательное время всп, ч, находят как сумму времени нагрева, охлаждения, заполнения и опорожнения:

где оп – вспомогательное время, ч.

Если время опорожнения принять равным времени заполнения, то вспомогательное время можно найти по формуле Дж·кг/град Дж·кг/град 2.3. Задача № 2. Решение нелинейных уравнений и их систем При выполнении задачи № 2 следует использовать методику, приведенную в [1, раздел 10] для составления программы.

В процессе моделирования и расчетов процессов химической технологии часто возникает необходимость в решении уравнений, имеющих вид где функция f ( x ) определена и непрерывна на некотором интервале a x b ([a, b]). Если функция представляет собой многочлен, то уравнение (1) называется алгебраическим. Если в запись уравнения (1) входят трансцендентные функции (показательная ax, логарифмическая logax, тригонометрическая sin(x), tg(x) и др.), то такое уравнение называется трансцендентным. Значение х, при котором выполняется условие f ( x )= 0, называется корнем уравнения (1).

В общем случае функция f ( x ) не имеет аналитических формул для определения корней. В силу этого разработаны численные методы решения уравнений вида (1), которые позволяют определить приближенные значения корней с заданной степенью точности.

Процесс нахождения приближенных корней уравнения (1) состоит из двух этапов: 1) определение корней, т. е. разбиение области определения функции f ( x ) на отрезки, в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1); 2) уточнение приближенных корней, т. е. доведение их до заданной степени точности.

Применяется несколько численных методов определения корней уравнений с применением ЭВМ.

Метод простых итераций. Данный метод основан на представлении (1) в виде и многократном применении итерационной формулы xn+1= f ( xn ) до тех пор, пока соблюдается условие где заданная погрешность вычисления корня x. Итерационный процесс сходится (т. е. xn x при x ), если соблюдается условие В качестве первого приближенного значения искомого корня можно взять любую точку a < x0 < b, которая называется начальным приближением. Для получения следующего приближения x1 в правую часть уравнения (2) вместо x подставим x0, так что Далее находим На каждом этапе вычислений проверяется условие (3).

Метод деления отрезка [a, b] пополам (метод дихотомии).

Данный метод реализуется следующим алгоритмом (для f ( a )>0):

1) находится x = ; 2) вычисляется f ( x ); 3) если f ( x )>0, задается a = x, иначе b = x; 4) проверяется условие ba > : если оно выполняется, переходим к п. 1, если не выполняется, вычисления заканчиваются и считается, что x = x с заданной точностью.

Число итераций при использовании этого метода значительно. Однако при любой ширине отрезка [a, b] сходимость гарантирована.

Метод Ньютона (касательных). Данный метод основан на замене f ( x ) в точке начального приближения х = х0 касательной, пересечение которой с осью Х дает первое начальное приближение x1 и т. д. Таким образом, итерационный процесс схождения к корню реализуется формулой до тех пор, пока соблюдается условие (3).

Метод обеспечивает быструю (квадратичную) сходимость, если В качестве х0 выбирают тот конец отрезка [a, b], на котором знаки f ( x0 ) и f ''( x0 ) совпадают. Выигрыш во времени вычислений за счет быстрой сходимости уменьшается из-за необходимости вычисления помимо f ( xn ) производной f ''( xn ).

Задание 1. В закрытом сосуде протекает реакция Исходные концентрации компонентов реакции равны соответственно CH 2, CS 2, CH2S, константа равновесия процесса Kc. В результате установления в системе состояния равновесия концентрация сероводорода изменилась на x моль/дм3. Уравнение, связывающее приведенные величины, имеет следующий вид:

Найти значение х для следующих вариантов задания (табл. 4).

Начальные приближения для нахождения корней выбрать на интервале [0, 0,5].

моль/л моль/л 0,004 0,006 0,007 0,004 0,007 0,008 0,009 0,010 0,012 0, моль/л Задание 2. Вычисление степени окисления азота.

Окись азота окисляется по реакции 2 NO + O 2 2NO 2. Скорость реакции описывается уравнением где время реакции; b = 2[O2]0/[NO]0 удвоенное отношение концентраций кислорода и окиси азота в исходном газе; K – константа скорости реакции; х – степень окисления окиси азота. Принимаем b = 2.

Для решения данной задачи необходимо получить интегральную форму кинетического уравнения, т. е. проинтегрировать уравнение (8). В результате получаем Решить данное уравнение при следующих значениях параметров (табл. 5).

В качестве начального приближения принять х0 = 0,8.

[NO]0, моль/л Задание 3. Система уравнений материального баланса для установившегося режима работы биореактора относительно утилизируемого субстрата и образующейся биомассы микроорганизмов имеет следующий вид где S, x – концентрации субстрата и биомассы; µm – максимальная скорость роста микроорганизмов; S0, x0 – начальные концентрации субстрата и биомассы; D – скорость протока; s – экономический коэффициент, Ks – коэффициент пропорциональности.

Решить данную систему нелинейных уравнений, т. е. определить x и S при следующих значениях параметров (табл. 6). Величину x0 принять равной 0,1 г/л, а D – равной 0,4 ч–1.

2.4. Задача № 3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем При выполнении задачи № 3 следует использовать методику, приведенную в [1, раздел 11] для составления программы.

Рассмотрим некоторые численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи.

Дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка Требуется найти решение y = y ( x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию Такая задача называется задачей Коши. Геометрический смысл решения этой задачи состоит в нахождении интегральной кривой y = y ( x), проходящей через заданную точку A0 ( x0, y0 ) (рис. 1).

Численное решение задачи Коши состоит в нахождении значений y1, y2,..., yn в точках x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, … xn = x0 + nh отрезка [a, b], где h – шаг интегрирования x0 = a, xn = b.

Рис. 1. График интегральной кривой y = y(x), Рис. 2. Ломаная Эйлера проходящей через заданную точку А0(x0, y0) Нанеся точки ( x0, y0 ), ( x1, y1 ), …, ( x2, y2 ) на координатную плоскость и соединив их отрезками прямой, получим ломаную линию, называемую ломаной Эйлера (приближенное изображение интегральной кривой (рис. 2)).

Метод Эйлера.

xi = xi +1 xi = h (i = 0,1,2, …, n 1). Заменив производную в уравнении (10) отношением конечных разностей, запишем При x = x1 уравнение (12) примет вид Аналогично находим:

Метод Эйлера – простейший и сравнительно грубый численный метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и применяется в основном для ориентировочных расчетов.

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений. Пусть задана система двух уравнений первого порядка с начальными условиями y ( x0 ) = y0, z ( x0 ) = z0.

Приближенные значения y ( xi ) = yi, z ( xi ) = zi находятся по формулам:

Метод Рунге – Кутта.

Последовательность вычислений по методу Рунге – Кутта следующая:

1) разбиваем отрезок [a, b] на n равных частей точками 2) находим для каждого i (i =1,2, …, n) значения 4) определяем последовательные значения yi (i =1, 2, …, n) искомой функции y = y ( x) :

Метод Рунге – Кутта является одним из методов повышенной точности и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении дифференциальных уравнений.

Метод Рунге – Кутта может быть также применен для приближенного решения систем, состоящих из нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть дана система дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями x = x0, y ( x0 ) = y 0, z ( x0 ) = z 0. Задавшись шагом h, найдем:

Теперь можем определить:

Итоговые значения искомых функций можно найти по выражениям:

где i = 0,1, 2,..., n 1.

Задание 1. Уравнение скорости последовательно протекающей реакции записывается следующим образом:

где [P ] – концентрация соединения Р к моменту времени t от начала протекания реакции; K1 – константа скорости первой стадии процесса;

K2 – константа скорости второй стадии последовательной реакции;

[A0] – исходная концентрация соединения А.

Решить уравнение (15) при следующих вариантах значений параметров (табл. 7).

Задание 2. Дифференциальное уравнение, использующееся для описания зависимости скорости роста клеток микроорганизмов от их концентрации в среде, имеет вид где х – концентрация клеток; и – кинетические коэффициенты.

Определить зависимость x = f (t ) при следующих значениях параметров (табл. 8).

Задание 3. Система уравнений материального баланса относительно изменений концентраций утилизируемого субстрата (S) и образующейся биомассы микроорганизмов (x) имеет вид где µm – максимальная скорость роста микроорганизмов; D – скорость протока; s – экономический коэффициент; Ks – коэффициент пропорциональности; S0, x0 – начальные концентрации субстрата и биомассы.

Решить данную систему нелинейных уравнений при следующих значениях параметров (табл. 9).

Вариант 2.5. Задача № 4. Получение статистических моделей химико-технологических процессов с применением методов регрессионного и корреляционного анализа При выполнении задачи № 4 для составления программы следует использовать методику, приведенную в [1, разделы 12–13].

Постановка задачи.

Задача определения параметров уравнения регрессии сводится практически к нахождению минимума функции нескольких переменных.

дифференцируется и требуется b0, b1, b2,... выбрать так, чтобы то необходимым условием минимума ( b0, b1, b2,...) является выполнение равенств или

После выполнения преобразования получим

Система уравнений (20) содержит столько уравнений, сколько неизвестных коэффициентов b0, b1, b2,... входит в уравнение регрессии, и называется в математической статистике системой нормальных уравнений.

Линейная регрессия от одного параметра.

Требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты линейного уравнения регрессии, включающего только одну входную переменную x, по выборке объема N.

Система нормальных уравнений для этого случая имеет вид или Коэффициент b1 легко найти в этом случае из уравнений (22):

Коэффициент b0 можно найти по известному b1 из первого уравнения системы (22):

где x, y средние значения y и x.

Последнее уравнение показывает, в частности, что между коэффициентами b0 и b1 линейного уравнения существует корреляционная зависимость.

Для оценки силы линейной связи между входной величиной x и выходной величиной y вычисляется выборочный коэффициент корреляции r * :

где S x, S y выборочные среднеквадратичные отклонения.

Из уравнений (23) и (25) имеем После того, как уравнение регрессии найдено, необходимо провести регрессионный анализ результатов. Этот анализ состоит из двух этапов. На первом этапе проверяется значимость всех коэффициентов регрессии в сравнении с ошибкой воспроизводимости. На втором этапе устанавливается адекватность уравнения на основании сравнения дисперсии воспроизводимости и остаточной дисперсии.

Определение дисперсии воспроизводимости сводится к следующему:

1) определяется среднее y по результатам параллельных опытов 2) определяются выборочные дисперсии 3) составляется отношение суммарная дисперсия.

Если дисперсии однородны, то выполняется следующее неравенство где G p ( N, m 1) табличное значение критерия Кохрена при уровне значимости р.

Если выборочные дисперсии однородны, рассчитывается дисперсия воспроизводимости Число степеней свободы этой дисперсии Дисперсия воспроизводимости необходима для оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии (16). Оценка значимости коэффициентов производится по критерию Стьюдента где b j j -й коэффицент уравнения регрессии; Sb j среднее квадратичное отклонение j -го коэффициента.

Если t j больше табулированного t p ( f ) для выбранного уровня значимости р и числа степеней свободы f, то коэффициент b j значимо отличается от нуля; величину Sb j определяют по закону накопления ошибок:

Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии. Оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, поскольку коэффициенты закоррелированы друг с другом. Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера где S. дисперсия воспроизводимости; S2. остаточная дисперсия;

где l = n + 1.

Если отношение (34) меньше табличного Fp ( f1, f 2 ), полученное уравнение можно считать адекватным, в противном случае найденное уравнение будет неадекватно описывать связь между x и y.

При отсутствии параллельных опытов и дисперсии воспроизводимости можно оценить качество аппроксимации принятым уравнением, сравнив S2. и дисперсию относительно среднего S y :

по критерию Фишера В этом случае критерий Фишера показывает, во сколько раз уменьшается рассеяние относительно полученного уравнения регрессии по сравнению с рассеянием относительно среднего. Чем больше значение F превышает табличное Fp ( f1, f 2 ) для выбранного уровня значимости р и чисел степеней свободы f1 = N 1 и f 2 = N l, тем эффективнее уравнение регрессии.

Параболическая регрессия.

Если уравнение регрессии представляет собой полином некоторой степени, то при применении метода наименьших квадратов коэффициенты этого полинома находят решением системы линейных уравнений. Например, требуется определить по методу наименьших квадратов коэффициенты функции-параболы второго порядка:

и система нормальных уравнений имеет вид Аналогичными по структуре уравнениями будут определяться коэффициенты параболы любого порядка.

Трансцендентная регрессия.

При малых объемах выборки N увеличение порядка полинома может привести к росту остаточной дисперсии. Для того чтобы уменьшить число неопределенных коэффициентов, используют трансцендентную регрессию. Вычисление коэффициентов трансцендентной регрессии может оказаться весьма трудоемким вследствие необходимости решения системы нелинейных уравнений. Вычисление упрощается, если провести замену переменных.

Например, зависимости показательного и дробно-степенного типа линеаризуются путем логарифмирования получим линейные уравнения относительно новых переменных:

Коэффициенты a0, a1, b1 определяются по методу наименьших квадратов. По полученным a0 и a1 определяются коэффициенты b0 и b1. Следует, однако, иметь в виду, что полученные таким образом коэффициенты регрессии (40) являются смешанными оценками для соответствующих генеральных коэффициентов.

Задание 1. Требуется определить зависимость растворимости хлорида бария в воде (y) и в присутствии хлорида кальция (x) при 70°С. Объем выборки n = 6.

Определить коэффициенты уравнения линейной регрессии вида y = b0 + b1 x и выборочный коэффициент корреляции.

Экспериментальные данные приведены в табл. 10.

Задание 2. Найти зависимость содержания Fe, % (y), в кристаллах медного купороса CuSO 4 5H 2O от содержания FeSO4, г/л (x), в маточном растворе: а) определить коэффициенты полиномиального уравнения регрессии второго порядка; б) определить выборочный коэффициент корреляции.

Каждый опыт повторяется два раза. Результаты опытов приведены в табл. 11.

г/л Задание 3. Опытным путем определены значения константы скорости реакции K при 6 различных температурах t. Зависимость константы скорости реакции от абсолютной температуры Т выражается показательной функцией вида Найти численные значения коэффициентов K 0 и E/R. Экспериментальные данные приведены в табл. 12.

Задание 4. Исследовать зависимость степени окисления хромита CrO в хромат CrO2 (y) от продолжительности прокаливания шихты (x) при 83°С. Каждый опыт повторяется два раза. Экспериментальные данные приведены в табл. 13. Принять зависимость степени окисления от времени нелинейной (полином второго порядка). Определить уравнение регрессии, провести регрессионный анализ и найти выборочный коэффициент корреляции.

Задание 5. Найти коэффициенты кинетической модели K s и µ max для уравнения Моно µ = max на основании опытных данных при выращивании дрожжей на парафинах.

Данные кинетического эксперимента следующие: 1-й опыт:

µ1 = 0,21, S1 = 0,40 г/л; 2-й опыт: µ 2 = 0,281, S2 = 0,80 г/л.

Задание 6. Скорость мономолекулярной реакции выражается уравнением (43) где x – концентрация; K > 0 – константа скорости реакции.

Решение уравнения (43) имеет вид По данным эксперимента (табл. 14), используя метод наименьших квадратов, найти параметры а и K.

Задание 7. Аппроксимировать линейным уравнением регрессии зависимость температуры воды в химическом реакторе у от расхода имеющегося пара х. Экспериментально полученные данные приведены в табл. 15. Определить выборочный коэффициент корреляции.

Задание 8. Аппроксимировать нелинейным уравнением регрессии второго порядка статическую зависимость давления у в рубашке, обогревающей реактор, от расхода пара х. Экспериментальные данные приведены в табл. 16. Найти коэффициент корреляции.

кг/см Задание 9. В результате проведения опытов по выращиванию дрожжевой биомассы из смеси углеводородов получены экспериментальные данные, представленные в табл. 17.

Величины s = ( S0 S ) / x, S0, S начальная и конечная концентрация субстрата, г/л; х – концентрация биомассы, г/л; D – скорость протока среды, ч–1.

Необходимо определить зависимость в виде линейного уравнения регрессии которым аппроксимируется выражение и оценить коэффициент корреляции.

Задание 10. Аппроксимировать линейным уравнением регрессии зависимость удельного веса водяного пара во влажном воздухе у при относительной влажности 30% от температуры х, заданную в виде табл. 18. Вычислить коэффициент корреляции и сделать вывод о применимости линейной регрессии.

2.6. Задача № 5. Оптимизация процессов в химической технологии При выполнении задачи № 5 для составления программы следует использовать методику, приведенную в [1, раздел 14].

Постановка задачи.

При оптимизации часто необходимо найти экстремум (экстремумы) некоторой целевой функции F ( x1, x2,..., xn ) n переменных xi (проектных параметров). Такая функция описывает (n + 1) -мерную поверхность. Соответственно функция F(x) одного параметра x1 = x описывает некоторую кривую на плоскости (рис. 3, а). Поиск экстремумов функций одной переменной является часто встречающейся задачей. Кроме того, к нему сводится гораздо более сложная задача поиска экстремумов функций нескольких переменных.

а – с несколькими экстремумами, б – с одним экстремумом В общем случае функция F(x) может иметь несколько экстремумов (максимумов или минимумов). Из них главный (оптимальное решение для пространства проектирования) называется глобальным.

Задача поиска экстремумов сводится к их локализации и уточнению значений x и F(x) в точке экстремума. В дальнейшем для функции одной переменной под экстремумом будем подразумевать максимум F(x). Поскольку максимуму функции F(x) соответствует минимум функции -F(x), то, сменив знак у F(x), программами поиска максимума можно пользоваться и для поиска минимума функций. Будем полагать, что на изменения x (если это особо не оговорено) накладываются ограничения в виде неравенства a x b, где a и b – границы интервала поиска. В пределах отрезка [a, b] функцию считаем унимодальной, т. е. содержащей один максимум (рис. 3, б).

Метод равномерного поиска.

Метод равномерного поиска основан на том, что переменной x присваиваются значения с шагом x = const ( xn+1 = xn + x ) и вычисляются значения F(x). Если F(xn+1)> F(xn), переменной x дается новое приращение. Как только F(xn+1) станет меньше F(xn), поиск останавливается. При малой заданной погрешности этот метод неэкономичен по затратам машинного времени.

Метод поразрядного приближения.

Метод поразрядного приближения является разновидностью метода равномерного поиска и реализуется следующим алгоритмом:

1) задаем начальное приближение x = x0 и вычисляем F ( x0 ). Задаем D = h, где h = x – начальный шаг поиска;

2) полагаем G = F ( xn ), где вначале F ( xn ) = F ( x0 ). Задаем x = x + D и вычисляем F ( xn+1 ) = F ( x) ;

3) проверяем условие F ( xx +1 ) > G ; если оно выполняется, переходим к п. 2, если нет – переходим к п. 4;

4) полагаем D = D / 4. Проверяем условие D > E / 4, где E – заданная погрешность вычисления xm в точке максимума. Если оно выполняется, переходим к п. 2, т. е. обеспечиваем поиск максимума в другом направлении с шагом в 4 раза меньше прежнего. Если данное условие выполняется, заканчиваем счет.

Метод дихотомии.

Метод дихотомии (деление интервала поиска [a, b] пополам) реализуется следующим алгоритмом:

1) проверяем условие b a < 2 E, где E – заданная погрешность вычисления xm. Если это условие выполняется, переходим к п. 6, если не выполняется, переходим к п. 2;

2) делим интервал поиска [a, b] пополам и вычисляем две абсциссы, симметрично расположенные относительно точки x = (a + b) / 2 ;

3) для этих значений x вычисляем F ( x1 ) и F ( x2 ) ;

4) проверяем условие F ( x1 ) > F ( x2 ). Если оно выполняется, полагаем b = x2 и переходим к п. 1. Если не выполняется, переходим к п. 5;

5) полагаем a = x1 и переходим к п. 1;

6) выводим на печать xm = (a + b) / 2 и вычисляем F ( xm ).

Метод золотого сечения.

Метод золотого сечения основан на делении отрезка [a, b] по правилу золотого сечения (см. алгоритм ниже). Он позволяет сужать отрезок [a, b], каждый раз вычисляя лишь одно значение F(x), а не два, как в методе дихотомии. Данный метод реализуется следующим алгоритмом:

1) определяем коэффициент дробления R = ( 5 1) / 2 отрезка [a, b] ;

2) находим абсциссу x1 = a + (1 R )(b a ) и вычисляем F ( x1 ) ;

3) находим абсциссу x2 = a + R (b a ) и вычисляем F ( x2 ) ;

4) проверяем выполнение условия x2 x1 < E, где E – заданная погрешность вычисления xm. Если это условие выполняется, вычисляем xm = ( x1 + x2 ) / 2 и F ( xm ), после чего останавливаем счет с выдачей значений xm и F ( xm ). Если данное условие не выполняется, переходим к п. 5;

5) проверяем условие F ( x1 ) < F ( x2 ). Если оно выполняется, полагаем a = x1, x1 = x2 и F ( x1 ) = F ( x2 ), после чего выполняем п. 3 и п. 4;

6) если F ( x1 ) F ( x2 ), полагаем b = x2, x2 = x1, f ( x2 ) = f ( x1 ), после чего выполняем п. 2. и п. 4.

Метод квадратичной интерполяции.

Метод квадратичной интерполяции-экстраполяции заключатся в замене F ( x) в промежутке x1 ± h (где x1 – начальное приближение) параболой, экстремум которой вычисляется аналитически. После нахождения экстремума x m (максимума или минимума) можно задать x1 = xm и повторить поиск. Таким образом, с помощью итерационной процедуры значение xm уточняется до получения его с заданной погрешностью E. Этот метод обеспечивает поиск как экстремумов, так и минимумов F ( x), в том числе для случая F ( x) = 0, причем точка xm может лежать в интервале x1 ± h (интерполяция) и быть вне его (экстраполяция). Алгоритм реализации этого метода следующий:

1) задаем начальное приближение x1 для xm и вычисляем два смежных значения аргумента F ( x) : x0 = x1 h и x2 = x1 + h, где h – полуинтервал интерполяции-экстраполяции;

2) вычисляем три значения F(x): F(x0) = F0, F ( x1 ) = F1 и F ( x2 ) = F2 ;

3) находим коэффициенты параболы y(x) = x2+ bx + c, проходящей через выбранные три узла интерполяции-экстраполяции F(x), и по ним вычисляем аналитически положение экстремума 4) проверяем выполнение условия ( x1 = xm ) и переходим к п. 1. Если выполняется, считаем xm найденным с заданной погрешностью E, вычисляем F(xm) и останавливаем счет.

Сравнение методов одномерной оптимизации.

Сравнение методов одномерной оптимизации показывает, что для простой функции F(x) они обеспечивают примерно одинаковое время поиска. В большинстве случаев для гладких F(x) метод квадратичной интерполяции дает заметный выигрыш времени вычислений.

Удобно и то, что он без всякой перестройки обнаруживает как максимумы, так и минимумы F(x), причем даже за пределами первоначального интервала поиска. Преимущество метода золотого сечения перед методами поразрядного приближения и дихотомии для простых F(x) не выявляется, поскольку программная реализация первого метода сложнее и необходимо выполнение ряда вспомогательных операций.

Однако для сложных F(x) метод золотого сечения может давать существенный выигрыш во времени. Для поиска экстремумов пользуются также методом с числами Фибоначчи, однако особым преимуществом перед методом золотого сечения он не обладает.

Задание 1. Газовая смесь состоит из окиси азота и кислорода.

Определить концентрацию кислорода, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с максимальной скоростью.

В условиях практической необратимости скорость реакции 2NO + O 2 = 2NO 2 выражается формулой где x – концентрация NO в любой момент времени; y – концентрация O 2 ; K – константа скорости реакции.

Концентрацию газов выразим в процентах. Тогда Варианты задания параметров приведены в табл. 19.

Задание 2. В изотермическом реакторе идеального смешения протекает последовательная реакция A P S. Определить оптимальные условия (время пребывания ), максимизирующие концентрацию промежуточного продукта P на выходе реактора.

Для данного реактора концентрация продукта P на выходе аппарата Cp равна Задачу решить для следующих значений параметров (табл. 20).

Задание 3. Решить ту же задачу, что и в задании 2 при тех же исходных данных для реактора идеального вытеснения, для которого

ЛИТЕРАТУРА

1. Дятко А.А., Кишкурно Т.В. Математический пакет Mathcad 6.0 Plus: Учебное пособие для сотрудников, аспирантов и студентов всех специальностей. – Мн.: БГТУ, 1999.

2. Козулин Н.А., Соколов В.Н., Шапиро А.Я. Примеры и задачи по курсу оборудования заводов химической промышленности. – М.:

Машиностроение, 1966.

3. Кафаров В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. – М.: Химия, 1976.

4. Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. – М.: Химия, 1977.

5. Закгейм А.Ю. Введение в моделирование химикотехнологических процессов. – М.: Химия, 1982.

6. Кафаров В.В., Глебов М.В. Математическое моделирование основных процессов химических производств. – М.: Высшая школа, 1991.

7. Кафаров В.В., Винаров А.Ю., Гордеев Л.С. Моделирование биохимических реакторов. – М.: Лесная промышленность, 1979.

8. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. – М.: Финансы и статистика, 1995.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

1. Программа курса

2. Контрольные задания

2.1. Общие методические указания к выполнению контрольных заданий

2.2. Задача № 1. Вычисления в пакете MathCad. Построение графиков

2.3. Задача № 2. Решение нелинейных уравнений и их систем... 2.4. Задача № 3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем

2.5. Задача № 4. Получение статистических моделей химикотехнологических процессов с применением методов регрессионного и корреляционного анализа

2.6. Задача № 5. Оптимизация процессов в химической технологии

Литература

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

Составители: Кобринец Виктор Павлович Подписано в печать 28.09.2005. Формат 6084 116.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

«Белорусский государственный технологический университет».

ЛИ № 02330/0133255 от 30.04.2004.

Отпечатано в лаборатории полиграфии учреждения образования «Белорусский государственный технологический университет».