«УДК 53 (023) ББК 22.3я721+74.262.22 М82 Учебное издание Варламов С. Д., Зинковский В. И., Семёнов М. В., Старокуров Ю. В., Шведов О. Ю., Якута А. А. М82 Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986 – 2005: Под ...»

УДК 53 (023)

ББК 22.3я721+74.262.22

М82

Учебное издание

Варламов С. Д., Зинковский В. И., Семёнов М. В.,

Старокуров Ю. В., Шведов О. Ю., Якута А. А.

М82

Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986 – 2005:

Под ред. М. В. Семёнова, А. А. Якуты — 2-е изд., исправл. — М.:

МЦНМО, 2007. — 624 с.: ил. — ISBN 978-5–94057–219–0.

В сборнике содержится 475 задач, предлагавшихся с 1986 г. по 2005 г. на теоретических турах Московских городских олимпиад школьников по физике. В книгу вошли наиболее интересные задачи с подробными решениями.

Для школьников 8-х – 11-х классов, абитуриентов, студентов младших курсов вузов, школьных учителей, руководителей школьных физических кружков, преподавателей заочных и вечерних физических школ и подготовительных курсов.

Книга может быть полезна преподавателям вузов, занимающимся организацией различных физических олимпиад для школьников и студентов.

ББК 22.3я721+74.262. c Московский центр непрерывного математического образования, 2005–2006, оригинал-макет.

c Варламов С. Д., Зинковский В. И., Семёнов М. В., Старокуров Ю. В., Шведов О. Ю., Якута А. А., ISBN 978-5–94057–219–0 2005–2006, тексты решений задач.

Варламов Сергей Дмитриевич, Зинковский Василий Иванович, Семёнов Михаил Владимирович, Старокуров Юрий Владимирович, Шведов Олег Юрьевич, Якута Алексей Александрович Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986 – Технический редактор Кулыгин А. К.

Корректоры Ботова С. А., Вельтищев Д. Н., Щербаков Д. Е.

Подготовка иллюстраций:

Старокуров Ю. В., Виноградов М. П., Селиверстов А. В., Вельтищев М. Н.

Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано к печати 15.11.2006.

Формат 70100 1 /16. Печать офсетная. Объём 39 печатных листов.

Заказ 0000. Тираж 3000 экз.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.

119002, Москва, Большой Власьевский пер., дом 11. Тел. (495)241–05–00, (495)241–12–37.

http://www.mccme.ru Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография Наука“ ».

” 121099, Москва, Шубинский переулок, дом 6.

С. Д. ВАРЛАМОВ В. И. ЗИНКОВСКИЙ М. В. СЕМЁНОВ Ю. В. СТАРОКУРОВ О. Ю. ШВЕДОВ А. А. ЯКУТА

ЗАДАЧИ

МОСКОВСКИХ

ГОРОДСКИХ

ОЛИМПИАД

ПО ФИЗИКЕ

1986 – Под редакцией М. В. Семёнова, А. А. Якуты Рекомендовано УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для абитуриентов и студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 010701 — Физика.

Москва Издательство МЦНМО Предисловие Олимпиада по физике в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова была впервые организована на физическом факультете в 1939 году, и с тех пор её проведение стало традиционным1.

С 1978 года эта олимпиада была одновременно Московской городской олимпиадой школьников по физике, а в настоящее время она является Московской региональной олимпиадой и имеет статус IV (Федерального окружного) этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике.

В 2005 году Московская физическая олимпиада прошла в МГУ в 66-й раз.

До 1989 года Московская городская олимпиада проводилась для учеников трёх старших классов (с 8-го по 10-й), а в некоторые годы предпринимались попытки проведения олимпиады и для учеников 7-го класса (например, в 1987 году). Начиная с 1990 года, в связи с началом перехода на одиннадцатилетнюю систему обучения в средней общеобразовательной школе, произошла перенумерация старших классов (без изменения образовательных программ), и олимпиада стала проводиться для учеников 9-х – 11-х классов. В 1998 году было решено начать регулярное проведение олимпиады для восьмиклассников (7 кл. по старой нумерации); опыт оказался успешным. Начиная с 1999 года, олимпиада проводится также и для учеников 7 класса (6 кл. по старой нумерации).

В настоящее время городская олимпиада включает в себя три этапа: школьный этап, окружной (теоретический) этап и городской этап, состоящий из трёх туров — двух теоретических и одного экспериментального. Последний тур (на него приглашаются московские школьники 9-х – 11-х классов, ставшие победителями и призёрами олимпиады) фактически является отборочным при формировании команды г. Москвы для участия в V (заключительном) этапе Всероссийской олимпиады школьников по физике. Окружной этап проходит в административных округах и вузах г. Москвы, теоретические туры городского этапа проводятся на физическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова (при участии Московского государственного педагогического университета в проведении олимпиады для 7-го класса), а экспериментальный тур — в Московском институте открытого образования. Экспериментальный Олимпиада не проводилась только в 1942 и 1943 годах, во время войны.

тур проводится с первых лет существования олимпиады. Когда-то его участникам предлагались задачи студенческого практикума физического факультета МГУ (некоторые работы сохранились в практикуме до сих пор), затем жюри стало придумывать специальные экспериментальные задачи. Условия и решения задач экспериментальных туров планируется выпустить в виде отдельной книги.

Московская городская олимпиада школьников по физике богата традициями. В течение многих лет в составе её жюри работали известные учёные и преподаватели физического факультета МГУ — С. Э. Хайкин, Г. С. Ландсберг, С. Г. Калашников, А. Б. Млодзеевский, С. П. Стрелков, В. И. Иверонова, С. Т. Конобеевский, В. С. Фурсов, К. Ф. Теодорчик, И. А. Яковлев, Д. В. Сивухин, Э. И. Адирович, Б. И. Спасский, М. П. Шаскольская, И. А. Эльцин, В. Г. Зубов, В. П. Шальнов, Г. А. Бендриков, Б. Б. Буховцев, В. В. Керженцев, Г. Я. Мякишев, В. И. Григорьев, В. Д. Кривченков, Г. Е. Пустовалов, В. К. Петерсон, В. А. Погожев и другие. В организации первых олимпиад принимали участие также многие студенты и аспиранты МГУ, в частности М. М. Бонгард-Полонский, М. Е. Герценштейн, Н. Н. Константинов, Е. А. Либерман, Дж. М. Мышкис, М. И. Подгорецкий, А. Г. Свешников, А. И. Старобинский, И. М. Тернов, Р. В. Хохлов. Многие из них впоследствии стали известными учёными и преподавателями.

Во времена первых школьных олимпиад в Московском университете (вторая половина тридцатых – сороковые годы XX века)2 неотъемлемой их частью были лекции, читаемые известными учёными (популярные лекции по физике школьникам читали А. Б. Млодзеевский, Г. С. Ландсберг, С. Э. Хайкин и др., иногда олимпиадные задания целиком посвящались прочитанной ранее лекции), а также школьные кружки, руководили которыми в основном студенты. Физические кружки в 1939–1940-х годах вели А. М. Яглом, М. И. Подгорецкий, А. Д. Сахаров, в послевоенные годы — М. М. Бонгард-Полонский и Е. А. Либерман, позднее — И. И. Иванчик и Н. Н. Константинов.

Неоценимую помощь и поддержку руководителям кружков и организаторам олимпиад оказывал талантливый экспериментатор С. И. Усагин, работавший в Кабинете физических демонстраций физического факультета МГУ.

Кружки для гимназистов существовали в Московском университете и в конце XIX – начале XX века. Например, детский кружок математической и естественнонаучной направленности в эти годы вёл Б. К. Млодзеевский (отец А. Б. Млодзеевского). К этому же времени относятся и упоминания о конкурсах, проводившихся для гимназистов по различным предметам.

К сожалению, полностью восстановить историю первых олимпиад и список их организаторов невозможно3.

Задачи, предлагавшиеся на Московской физической олимпиаде, послужили основой для составления наиболее известных и популярных в настоящее время задачников по физике для поступающих в вузы [1, 2, 3, 4]. Позднее активное участие в работе жюри принимали А. И. Буздин, В. А. Ильин, И. В. Кривченков, С. С. Кротов и Н. А. Свешников, которыми был подготовлен к изданию и выпущен в свет в 1988 году сборник [5]. В него вошли около 250 задач, предлагавшихся на Московских олимпиадах с 1968 по 1985 г.

Настоящий сборник продолжает традиции предыдущих изданий и содержит 475 задач, которые предлагались учащимся 8-х – 11-х классов на теоретических турах городских этапов Московских олимпиад школьников по физике с 1986 г. по 2005 г. Все задачи снабжены подробными решениями. Авторский коллектив, составляя сборник, стремился наиболее полно отразить тематику и уровень сложности задач, характерных для Московской городской физической олимпиады. В книге представлены как достаточно сложные задачи, дававшиеся ученикам 10-го и 11-го классов на втором теоретическом туре, так и весьма простые, рассчитанные на учеников 8-х – 9-х классов. Поэтому решения некоторых задач достаточно длинные и иногда напоминают небольшие статьи;

в то же время другие решения занимают всего несколько строк.

Для удобства работы с книгой задачи в ней разбиты на четыре раздела: «Механика», «Молекулярная физика», «Электричество и магнетизм», «Волны. Оптика. Кванты.». Иногда отнесение задачи к тому или иному разделу книги является достаточно условным, так как при решении многих задач требуется знание законов, изучаемых в различных разделах школьного курса физики. Поскольку изучению разных разделов этого курса в школе уделяется разное количество времени, и одни разделы начинают изучаться раньше, чем другие, то и количество задач в разделах неодинаково. Наибольшее число задач содержитПервые московские олимпиады по физике были тесно связаны с математическими олимпиадами, возникшими на несколько лет раньше — в 1935 году. Здесь мы попытались отразить историю первых лет именно физической олимпиады, воспользовавшись информацией из [25, 26], предисловия к книге [1], а также любезно предоставленной непосредственными участниками тех событий (см. стр. 614). К сожалению, многие организаторы первых олимпиад и участвовавшие в них школьники не вернулись с Великой Отечественной войны, а некоторые стали жертвами репрессий.

Нынешнее жюри считает необходимым по мере возможности восстановить историю Московской физической олимпиады и просит читателей сообщать известные им исторические сведения.

ся в разделе «Механика», на втором месте по числу задач стоит раздел «Электричество и магнетизм», вслед за ним идёт раздел «Молекулярная физика», и наименьшее число задач — в разделе «Волны. Оптика.

Кванты.». Такое распределение задач по разделам вполне отражает их соотношение в заданиях Московских городских олимпиад школьников по физике за последние 20 лет.

Внутри каждого раздела задачи распределены по темам в соответствии с примерным порядком изучения данного раздела курса физики в школе. Задачи раздела, относящиеся к одной и той же теме, расположены, как правило, в порядке возрастания их сложности. Для примерной оценки уровня сложности той или иной задачи может служить информация, помещённая после номера каждой задачи. Там в круглых скобках указаны год, в котором данная задача предлагалась на Московской городской олимпиаде по физике, а также класс, для которого она предназначалась в год проведения олимпиады (некоторые задачи предлагались на олимпиаде одновременно в вариантах разных классов, в таких случаях указывается самый младший класс), и номер теоретического тура (1-й или 2-й). В квадратных скобках перед этими сведениями указаны современные номера классов, для которых эта задача может быть рекомендована в настоящее время (в 2006 году). Например, запись [10–11] (1988, 9–2) означает, что данная задача предлагалась в 1988 году для 9 класса на 2-м теоретическом туре, а в настоящее время она рекомендуется ученикам 10-х – 11-х классов (следует учитывать, что, начиная с 1990 года, нумерация классов совпадает с используемой в настоящее время). Для удобства чтения условия задач, сопровождаемые рисунками, отмечены ромбиком — например, 2.2. [9] (1986, 8–1).

Условия наиболее трудных задач, как это принято в задачниках, обозначены звёздочкой — например, 3.94*. [11] (1990, 10–1). При решении таких задач следует иметь в виду, что многие из них в своё время были включены в число олимпиадных заданий в расчёте на учеников профильных школ и классов с углублённым изучением физики и математики. Поэтому для решения этих задач может понадобиться владение основами дифференцирования и интегрирования, а также знание некоторых физических законов, изучение которых в настоящее время не предусмотрено программой общеобразовательной школы.

Приведённые в настоящем сборнике условия задач теоретических туров были отредактированы, а решения — написаны или отредактированы авторами данной книги. Многие из помещённых в данный сборник задач в разные годы были опубликованы в журнале «Квант» [20] и в газете «Физика» издательского дома «Первое сентября» [21].

В приложениях к сборнику вначале помещена программа V (заключительного) этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике, в соответствии с которой составляются задачи, предлагаемые на Московской физической олимпиаде в последние годы. Затем для удобства учителей и преподавателей приведены типовые варианты олимпиадных заданий, которые можно размножать на копировальной технике и использовать при подготовке школьников 8-х – 11-х классов к олимпиадам по физике. Потом воспроизведены условия задач первых московских олимпиад по физике (1939–1948 годы), а также отчёт о самой первой олимпиаде по физике4, первый тур которой состоялся на физическом факультете МГУ 6 апреля 1939 года (опубликован в журнале «Физика в школе» № 4 за 1939 г. [26]).

В конце книги предлагаются примерные программы элективных занятий для профильного обучения школьников по различным темам курса физики, разработанные Ю. В. Старокуровым, а также краткий список литературы, включающий задачники и сборники олимпиадных задач, издававшиеся на русском языке и включающие материалы разных лет с начала XX века и до настоящего времени [1] – [17], а также адреса материалов в интернете [18] – [24], которые могут быть полезны для углублённого изучения физики и подготовки к олимпиадам.

За 20 лет, которые охватывает настоящий сборник, в жюри олимпиады в разное время работали несколько десятков преподавателей, научных сотрудников, аспирантов и студентов физического факультета МГУ и ряда московских вузов. Мы с благодарностью упоминаем здесь сотрудников жюри, активно участвовавших в подготовке Московской городской олимпиады в течение ряда лет. Это А. В. Андрианов, К. С. Бедов, А. И. Буздин, К. С. Ванаг, М. П. Виноградов, Д. Ю. Григорьев, К. В. Дмитриев, А. Р. Зильберман, Р. Ю. Компанеец, С. С. Кротов, А. К. Кулыгин, Д. А. Купцов, В. О. Милицын, Б. И. Миропольский, О. Ю. Овчинников, В. К. Петерсон, В. А. Погожев, И. Ю. Потеряйко, В. В. Птушенко, Г. Е. Пустовалов, С. Б. Рыжиков, А. В. Селиверстов, А. И. Семёнов, Р. А. Сеннов, П. В. Синило, А. Ю. Смирнов, В. С. Степанюк, А. В. Ткачук, Д. Э. Харабадзе, К. В. Шокикиу, М. М. Цыпин.

С тех пор прошло более 60 лет. За это время устарели некоторые представления о физических явлениях, обозначения, принятый стиль изложения и даже отдельные слова и правила русского языка. Сейчас эти тексты следует рассматривать в первую очередь не как учебные материалы по физике (хотя многие задачи первых олимпиад очень интересны и даже стали классическими), а скорее как интересный исторический документ.

Им, наряду с авторами данного сборника, принадлежат идеи многих включённых в него оригинальных задач. Мы признательны и другим сотрудникам жюри Московских городских физических олимпиад последних лет, а также целому ряду учителей физики и школьников, которые ознакомились с этой книгой на стадии её подготовки к печати и высказали ценные замечания, которые были по возможности учтены при окончательном редактировании текста сборника.

Книгу можно рекомендовать ученикам 8-х – 11-х классов, которые желают углубить свои знания в области физики и подготовиться к участию в физических олимпиадах различного уровня сложности — от окружных (районных) до V (заключительного) этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике. Она также может быть полезна студентам младших курсов вузов, абитуриентам, школьным учителям, руководителям школьных физических кружков, преподавателям заочных и вечерних физико-математических школ и подготовительных курсов. Ряд полезных сведений из данной книги могут почерпнуть и преподаватели, ведущие занятия на подготовительных отделениях вузов, а также занимающиеся организацией различных физических олимпиад для школьников и студентов.

Во втором издании настоящего сборника исправлены замеченные опечатки, недочёты полиграфического оформления, отредактированы решения нескольких задач, добавлены (в качестве приложения) обнаруженные с момента первого издания материалы, касающиеся истории олимпиады.

Нумерация задач полностью соответствует первому изданию.

Авторы будут признательны за любые конструктивные замечания по содержанию книги, которые можно присылать по электронной почте [email protected] или обычной почтой по адресу: 119992, г. Москва, ГСП–2, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, кафедра общей физики, КФД.

1.1*. [8–9] (1998, 8–1) Автомобиль в 12 час. 40 мин. находился на пути из Анискино в Борискино где-то между 25-м и 50-м километровыми столбами. Мимо отметки 75 км автомобиль проехал где-то между 13 час. 50 мин. и 14 час. 20 мин. В 15 час. 10 мин. он находился между 125-м и 150-м километровыми столбами. Когда следует ожидать прибытия автомобиля в Борискино, если он движется с постоянной скоростью, а на въезде в Борискино стоит километровый столб с отметкой 180 км?

1.2. [8–9] (2000, 8–2) Вдоль железной дороги через каждые 100 м расставлены столбики с номерами 1, 2,..., 10, 1, 2,..., 10,.... Через 2 минуты после того, как кабина машиниста равномерно движущегося поезда проехала столбик с цифрой «1», машинист увидел в окне столбик с цифрой «2». Через какое время после проезда этого столбика кабина машиниста может проехать мимо ближайшего столбика с цифрой «3»? Скорость поезда меньше 100 км/ч.

1.3. [8–9] (2001, 9–1) Эскалатор метро движется со скоростью v.

Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следующим образом: делает шаг на одну ступеньку вперёд и два шага по ступенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время t. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шёл другим способом: делал два шага вперёд и один шаг назад?

Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперёд и назад одинакова и равна u. Считайте, что размеры ступеньки много меньше длины эскалатора.

1.4. [8–9] (2002, 8–2) По шоссе равномерно движется длинная колонна автомобилей. Расстояния между соседними автомобилями в колонне одинаковы. Едущий по шоссе в том же направлении инспектор ГИБДД обнаружил, что если его скорость равна v1 = 36 км/ч, то через каждые t1 = 10 с его обгоняет автомобиль из колонны, а при скорости v2 = 90 км/ч через каждые t2 = 20 с он обгоняет автомобиль из колонны. Через какой промежуток времени будут проезжать автомобили колонны мимо инспектора, если он остановится?

1.5. [8–9] (1999, 8–1) На прямой дороге находятся велосипедист, мотоциклист и пешеход между ними. В начальный момент времени расстояние от пешехода до велосипедиста в 2 раза меньше, чем до мотоциклиста. Велосипедист и мотоциклист начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 20 км/ч и 60 км/ч соответственно. В какую сторону и с какой скоростью должен идти пешеход, чтобы встретиться с велосипедистом и мотоциклистом в месте их встречи?

1.6. [8–9] (1991, 8–1) В межзвёздном пространстве навстречу друг другу двигаются два космических корабля: один со скоростью v1 = 2 · 107 м/с, а второй — со скоростью v2 = 3 · 107 м/с. В некоторый момент времени первый корабль посылает короткий радиосигнал, который отражается от второго и принимается первым кораблём через t = 2,4 с после отправления. Радиосигналы распространяются со скоростью c = 3 · 108 м/с, которая не зависит от скорости источника, посылающего сигнал. Какое расстояние было между кораблями в момент: 1) посылки сигнала? 2) приёма сигнала первым кораблём?

1.7*. [9–10] (2003, 10–1) В автомобиле спидометр и счётчик пройденного пути регистрируют скорость автомобиля и пройденный им путь относительно поверхности, по которой движется автомобиль. Автомобиль последовательно проехал по двум конвейерам (движущимся дорожкам) длиной L = 500 м каждый. Полотна конвейеров движутся в одну сторону с постоянными скоростями v1 = 20 км/ч и v2 = 30 км/ч.

По первому конвейеру автомобиль ехал с некоторой постоянной скоростью, а по второму конвейеру — с другой постоянной скоростью. Что показывал спидометр во время движения по каждому из конвейеров, если с момента въезда на первый конвейер до съезда со второго прошло время t = 72 с, а счётчик пути показал, что при этом был пройден путь L. Расстоянием между конвейерами и временем переезда с первого конвейера на второй пренебречь.

1.8. [8–9] (2004, 8–2) На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 секунд, зелёный — в течение следующих 30 секунд.

При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/ч, проехав один из светофоров на зелёный свет, проезжают без остановки, то есть тоже на зелёный свет, и все следующие светофоры. С какими другими скоростями могут двигаться автомобили, чтобы, проехав один светофор на зелёный свет, далее нигде не останавливаться?

1.9*. [8–9] (1997, 10–2) Мэр одного городка начал получать жалобы на большую автомобильную пробку перед светофором на главной рость продвижения по пробке — всего 1,5 м/с. При этом время свечения светофора зелёным светом было равно времени свечения красным (время свечения жёлтым светом мал). Мэр распорядился увеличить время свечения светофора зелёным светом в два раза, а время свечения красным светом оставить прежним. Чему станет равна средняя скорость продвижения машин по пробке? Считайте, что скорость машин при движении не изменилась. Учтите, что при включении зелёного света автомобили начинают двигаться не одновременно.

1.10. [8–9] (2005, 8–2) На длинном прямом шоссе автомобили движутся с постоянной скоростью V1 всюду, за исключением моста, на котором автомобили движутся с другой постоянной скоростью V2. На рисунке изображён график зависимости расстояния l между двумя едущими друг за другом автомобилями от времени t. Найдите скорости V и V2, а также длину моста.

1.11. [9–10] (1997, 9–1) Тело движется по прямой. График зависимости его скорости v от координаты x приведён на рисунке. Найдите ускорение тела в точке с координатой x = 3 м. Найдите также максимальное ускорение тела на отрезке от 0 до 5 м.

Автомобиль проехал по пятикилометровому участку дороги. Специальный прибор при этом записывал показания спидометра через каждые 10 метров. В результате получиУсловия задач лась зависимость скорости автомобиля v от пройденного пути x, показанная на рисунке. Оцените, за какое время t автомобиль проехал эти пять километров.

1.13. [9–10] (2000, 9–1 и 10–1) Материальная точка движется вдоль прямой. Постройте графики зависимостей скорости и координаты точки от времени, если график зависимости её скорости v от координаты x представляет собой: а) прямоугольник; б) окружность (при определённом выборе масштабов осей).

1.14. [9] (1989, 8–1) Автобус движется с постоянной скоростью u = 60 км/ч, подолгу стоя на остановках. Идёт дождь с ветром. Дождевые капли образовали на боковом стекле автобуса следующую картину (см. рисунок). Скорость и направление ветра не меняются. Какова скорость падения капель дождя v? Что можно сказать о скорости ветра w?

Дорога прямая, автобус не разворачивается.

1.15. [9] (1988, 8–1) Осколочный снаряд летит со скоростью u по направлению к плоской стенке. На расстоянии l от неё снаряд взрывается и распадается на множество осколков, летящих во все стороны и имеющих скорость v относительно центра масс снаряда. Какая область на поверхности стенки будет поражена осколками? Силой тяжести и сопротивлением воздуха пренебречь.

1.16. [9–10] (1990, 9–1) Колобок, имеющий форму шара, застигнут дождём в точке A (см. рисунок). Капли дождя имеют вертикальную скорость, равную V, а горизонтальную — равную v и направленную под углом к направлению AB (в точке B находится дом Колобка). С какой скоростью Колобок должен бежать по линии AB, чтобы как можно меньше промокнуть?

1.17. [9–10] (1991, 9–1) Во время сильного снегопада лыжник, бегущий по полю со скоростью v = 20 км/ч, заметил, что ему в открытый рот попадает N1 = 50 снежинок в минуту. Повернув обратно, он обнаружил, что в рот попадает N2 = 30 снежинок в минуту. Оцените дальность прямой видимости в снегопад, если площадь рта спортсмена S = 24 см2, а размер снежинки l = 1 см.

1.18*. [9–10] (1998, 9–2) Автобус и велосипедист едут по одной прямой дороге в одном направлении с постоянными скоростями 63 км/ч и 33 км/ч. Грузовик едет по другой прямой дороге с постоянной скоростью 52 км/ч. Расстояние от грузовика до автобуса всё время равно расстоянию от грузовика до велосипедиста. Найдите скорость грузовика относительно автобуса.

1.19. [8–9] (2004, 8–1) На вездеходе установлен курсограф — самописец, записывающий зависимости от времени текущей скорости (верхний график) и направления движения этого вездехода (нижний график). На рисунке показаны такие записи для некоторого маршрута, пройденного вездеходом. Определите с точностью до километра, где (относительно начала пути) вездеход оказался в конце маршрута.

1.20*. [9–10] (2001, 9–1) Две материальные точки 1 и 2 и точечный источник света S совершают равномерное прямолинейное движение по горизонтальной плоскости. Тени от материальных точек 1 и 2 движутся со скоростями u вдоль вертикальных стенок, которые перпендикулярны друг другу. Скорости материальных точек равны v = 2u/ 3 и направлены под углом = 30 к соответствующим стенкам (см. рисунок).

Чему равна и куда направлена скорость источника S?

1.21. [9] (2003, 9–1) Два корабля находятся в море и движутся равномерно и прямолинейно. Первый в полдень был в 40 милях севернее маленького острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направлении на восток. Второй в 8 часов утра этого же дня был в 100 милях восточнее того же острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направлении на юг. На каком минимальном расстоянии друг от друга прошли корабли и в какой момент времени это случилось?

1.22. [9–10] (2003, 9–2) Один корабль идёт по морю на север с постоянной скоростью 20 узлов, а другой — навстречу ему, на юг, с такой же скоростью. Корабли проходят на очень малом расстоянии друг от друга. Шлейф дыма от первого корабля вытянулся в направлении на запад, а от второго — на северо-запад (см. рисунок). Определите величину и направление скорости ветра. 1 узел = 1 морская миля в час, 1 морская миля = 1852 м.

1.23. [10] (1993, 10–2) По двум пересекающимся под углом = дорогам движутся к перекрёстку два автомобиля: один со скоростью v1 = 10 м/с, второй — с v2 = 10 3 17,3 м/с. Когда расстояние между автомобилями было минимальным, первый из них находился на расстоянии S1 = 200 м от перекрёстка. На каком расстоянии S2 от перекрёстка в это время находился второй автомобиль?

1.24*. [10–11] (1999, 11–1) Две материальные точки A и B движутся в пространстве. На рисунке приведены графики зависимости их декартовых координат от времени. Определите, в какой момент времени материальные точки находились на минимальном расстоянии друг от друга, и найдите это расстояние.

1.25. [9–10] (2004, 9–1) Тело бросили вертикально вверх с поверхности земли. Расстояние l между этим телом и неподвижным наблюдателем изменяется со временем t по закону, показанному на графике (см. рисунок). На какой высоте над землёй и на каком расстоянии от линии, по которой движется тело, находится наблюдатель? Чему равна начальная скорость тела? Величины l0, l1 и l2 считайте известными, ускорение свободного падения равно g.

1.26. [9–10] (2001, 9–2) Один автомобиль движется с постоянной скоростью по прямолинейному участку дороги. Другой автомобиль равномерно движется по дуге окружности радиусом R = 200 м. График зависимости модуля относительной скорости автомобилей от времени изображён на рисунке. Найдите величины скоростей автомобилей.

1.27. [9–10] (2004, 10–2) Две одинаковые дощечки плывут вдоль берега по прямому широкому каналу, вода в котором течёт с постоянной скоростью, одинаковой по всей ширине канала. В некоторый момент времени им сообщили скорость относительно воды, равную по величине V0 = 1 м/с. При этом скорость первой дощечки оказалась перпендикулярной берегу в связанной с ним неподвижной системе отсчёта, а скорость второй дощечки оказалась перпендикулярной берегу в системе отсчёта, связанной с водой. Через достаточно большое время, когда движение дощечек относительно воды прекратилось, расстояние от первой дощечки до берега увеличилось на S1 = 4 м, а от второй — на S2 = 5 м.

Найдите скорость течения воды в канале.

1.28*. [9–10] (1999, 9–2) На рисунке вы видите изображение идущих часов, полученное с помощью компьютерного сканера. Принцип его работы прост. Мощная лампа создаёт на сканируемом объекте узкую освещённую полоску, а отражённый свет попадает на набор фотодатчиков, которые расположены в виде линейки, параллельной этой полоске. И лампа, и линейка датчиков расположены на подвижной каретке. Каретка движется с постоянной скоростью, и датчики через равные интервалы времени передают в компьютер изображение. Таким образом, при перемещении каретки получается много «срезов» объекта, из которых и состоит изображение. Пользуясь данным изображением, определите направление и скорость движения каретки сканера, если длина секундной стрелки (от оси до острия) составляет 15 мм.

1.29. [10–11] (1989, 10–2) По гладкой горизонтальной поверхности с постоянной скоростью v едет автомобиль, к бамперу которого шарнирно прикреплён невесомый стержень с грузом массой m на конце. Стержень образует с горизонтом угол. На поверхности перпендикулярно направлению движения установлены невысокие гладкие стальные стенки, наклонённые под углом к горизонту (см. рисунок). Груз начинает «подскакивать» на стенках. Считая, что удары груза о все поверхности абсолютно неупругие (груз — «мешок с песком»), найдите скорость, с которой он «отскакивает» от стенок.

1.30*. [10–11] (2000, 10–2) Мальчик, запуская воздушный змей, бежит по горизонтальной поверхности навстречу ветру со скоростью u.

Нить, привязанная к змею, сматывается с катушки, которую мальчик держит в руке. В некоторый момент времени нить, которую можно считать прямолинейной, составляет с горизонтом угол, а змей поднимается вертикально вверх со скоростью v. Какова в этот момент времени скорость узелка на нити, который находится на расстояниях L от катушки и l от змея?

1.31*. [9–11] (1995, 9–2) Лебедь, рак и щука тянут телегу. Скорость лебедя в два раза больше скорости щуки, скорость рака в два раза меньше скорости щуки. В некоторый момент времени верёвки, связывающие телегу с каждым из животных, лежат в горизонтальной плоскости и направлены так же, как и скорости соответствующих животных, причём угол между скоростями лебедя и щуки равен. Как при этом должна быть направлена скорость рака?

1.32*. [10–11] (2000, 11–2) Ромб составлен из жёстких стержней длиной L. Стержни скреплены на концах шарнирами. В начальный момент два противоположных шарнира находятся рядом (очень близко) и имеют нулевые скорости. Один из этих шарниров закреплён. Второй начинают двигать с постоянным ускорением a. Найдите величину ускорения остальных шарниров ромба в тот момент, когда ромб превратится в квадрат, если все стержни двигаются, оставаясь в одной плоскости.

1.33*. [9–11] (2000, 9–1) На одной стороне магнитофонной кассеты от начала до конца без перерывов записано N = 45 коротких песенок с продолжительностью звучания = 1 мин. каждая. Время быстрой перемотки ленты от начала до конца с постоянной угловой скоростью вращения ведущей оси равно T1 = 2 мин. 45 с. На какую песню мы попадём, если перемотаем ленту с самого начала вперёд в течение T2 = 1 мин. 50 с? Для данной кассеты радиус оси с намотанной на неё всей лентой равен R = 25 мм, а без ленты r = 10 мм.

1.34. [9–11] (1999, 9–2) Какой минимальный путь за время t может пройти тело, движущееся с постоянным ускорением a ?

1.35. [9–10] (1989, 8–2) Муха, пролетая параллельно поверхности стола со скоростью v на высоте H, заметила в некоторый момент времени точно под собой каплю мёда. При помощи крыльев муха может развивать в любом направлении ускорение, не превышающее a. За какое минимальное время муха сможет достигнуть капли мёда? Какое ускорение и в каком направлении она должна для этого развить? Сила тяжести отсутствует (допустим, дело происходит в космосе).

1.36. [10–11] (1998, 10–1) Космический корабль движется в открытом космосе со скоростью V. Требуется изменить направление скорости на 90, оставив величину скорости неизменной. Найдите минимальное время, необходимое для такого манёвра, если двигатель может сообщать кораблю в любом направлении ускорение, не превышающее a. По какой траектории будет при этом двигаться корабль?

1.37. [10–11] (2000, 10–2) Шарик падает с некоторой высоты без начальной скорости на горизонтальную плоскость. Удары шарика о плоскость абсолютно упругие. За первые t секунд шарик прошёл путь S.

Сколько раз за это время он успел удариться о плоскость? Ускорение свободного падения равно g.

1.38*. [9–11] (1994, 9–2) Камень, брошенный вертикально вверх с достаточно большой высоты, за первую секунду полёта проходит путь S. Какой путь пройдёт камень за вторую секунду полёта? Ускорение свободного падения равно g = 10 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.39. [9–10] (1992, 10–1) На невесомый жёсткий стержень, шарнирно закреплённый одним концом, надели массивную бусинку, которая может скользить по нему без трения. Вначале стержень покоился в горизонтальном положении, а бусинка находилась на расстоянии l от закреплённого конца. Затем стержень отпустили. Найдите зависимость угла, который составляет стержень с горизонталью, от времени.

1.40. [9–10] (1992, 9–1) Из одной точки горизонтально в противоположных направлениях одновременно вылетают две частицы с начальными скоростями v1 и v2. Через какое время угол между скоростями частиц станет равным 90 ? Ускорение свободного падения равно g.

1.41. [9–10] (1986, 8–1) Пушка стоит на самом верху горы, любое вертикальное сечение которой есть парабола y = ax (см. рисунок). При какой минимальной начальной скорости снаряда, выпущенного под углом к горизонту, он никогда не упадёт на поверхность горы? Ускорение свободного падения равно g. К задаче 1.41.

1.42. [9–10] (1996, 9–1) Небольшая лампочка освещает вертикальную стену. Проходящий вдоль стены хулиган швырнул в лампочку камень под углом 45 к горизонту и попал в неё. Найдите закон движения h(t) тени от камня по стене, считая, что лампочка и точка броска находятся на одной и той же высоте h = 0, а в момент броска хулиган находился на расстоянии L от лампочки.

1.43*. [10–11] (1996, 10–1) Маленький упругий шарик бросают со скоростью v = 1 м/с под углом = 45 к горизонту. Коэффициент восстановления вертикальной составляющей скорости шарика после удара о горизонтальную плоскость, с которой производился бросок, R = 0,99.

На каком расстоянии S от точки бросания шарик перестанет подпрыгивать, если горизонтальная составляющая его скорости не изменяется? (Коэффициентом восстановления называется отношение скорости после удара к скорости до удара).

1.44. [8–9] (2001, 8–2) Художник нарисовал «Зимний пейзаж»

(см. рисунок). Как вы думаете, в каком месте на Земле он мог писать с такой натуры?

1.45. [9] (1986, 8–2) Ранней весной, шагая по скользкой дорожке, Вы внезапно поскользнулись и начинаете падать на спину. Совер- К задаче 1.44.

шенно машинально Вы взмахиваете руками, и таким образом избегаете падения (или, увы, нет). Опишите, какие движения руками наиболее оптимальны в этой ситуации, и объясните, почему они помогают восстановить равновесие.

1.46. [9–10] (1993, 9–1) Лёгкий самолёт может планировать с выключенным мотором с минимальной постоянной горизонтальной скоростью 150 км/ч под углом 5 к горизонту (при попытке уменьшить скорость или угол самолёт свалится в штопор). Оцените, какую минимальную силу тяги должен создавать движитель самолёта, чтобы он мог взлететь с полосы. Масса самолёта M = 2 т. Считайте, что корпус самолёта всегда параллелен направлению его скорости.

1.47. [9–10] (2002, 9–1) Для организации транспортного сообщения между населёнными пунктами A и B, расположенными на одной горизонтали на небольшом расстоянии l друг от друга, между ними проК задаче 1.47.

рывают тоннель, состоящий из двух одинаковых прямых участУсловия задач ков (см. рисунок). По рельсам внутри тоннеля скользит без трения безмоторная вагонетка. Какова должна быть максимальная глубина тоннеля h, чтобы время поездки от A до B было минимальным? Чему равно это время? Считайте, что движение вагонетки начинается без начальной скорости, а на закруглении в нижней точке тоннеля величина скорости не изменяется.

1.48. [9–10] (1997, 9–2) Из Анискино (А) в Борискино (Б) можно добраться только на моторной лодке по узкой реке, скорость течения которой всюду одинакова. Лодке с одним подвесным мотором на путь из А в Б требуется время t1 = 50 минут, а с двумя моторами — время t2 = t1 /2. Сила тяги двух моторов вдвое больше силы тяги одного. За какое минимальное время можно добраться из Б в А на лодке с одним и с двумя моторами? Известно, что сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения относительно воды.

1.49*. [9–11] (2002, 9–2) Тело массой m = 10 кг подвешено в лифте при помощи трёх одинаковых лёгких верёвок, натянутых вертикально. Одна из них привязана к потолку лифта, две другие — к полу.

Когда лифт неподвижен, натяжение каждой из нижних верёвок составляет F0 = 5 Н. Лифт начинает двигаться с постоянным ускорением, направленным вверх. Найдите установившуюся силу натяжения верхней верёвки при следующих значениях ускорения лифта: a1 = 1 м/с2, a2 = 2 м/с2. Ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с2. Считайте, что сила натяжения верёвки пропорциональна её удлинению.

1.50. [10–11] (2005, 11–1) Имеются два одинаковых длинных однородных лёгких бруска, которые используют для проведения экспериментов по изучению прочности древесины. В первом эксперименте деревянный брусок положили концами на спинки двух стоящих стульев, а к его середине подвесили сосуд, который начали медленно заполнять водой. Когда масса сосуда с водой достигла величины m = 4,8 кг, брусок сломался. Во втором эксперименте брусок положили на гладкий горизонтальный стол, к его концам прикрепили два груза малых размеров с массами m1 = 6 кг, а к середине — груз массой m2 = 10 кг и верёвку, за которую стали тянуть с плавно возрастающей силой F, перпендикулярной бруску и направленной горизонтально. При какой величине силы F брусок сломается? Считайте g = 10 м/с2.

1.51. [9–10] (2004, 9–2) На гладкой горизонтальной плоскости находится клин массой M с углом 45 при основании. По его наклонной грани может двигаться без трения небольшое тело массой m (см. рисунок). Чему должна быть равна и куда (вправо или влево) направлена сой m было направлено: (а) вертикально; (б) горизонтально; (в) составляло угол 45 с вертикалью? Клин не опрокидывается, ускорение свободного падения равно g.

1.52. [9–10] (2003, 9–2) В системе, изображённой на рисунке, блоки имеют пренебрежимо малые массы, нить невесомая и нерастяжимая, не лежащие на блоках участки нити горизонтальны. Массы грузов, лежащих на горизонтальной плоскости, одинаковы и равны M. Нить тянут за свободный конец в горизонтальном направлении с силой F. С каким ускорением движется конец нити, к которому приложена эта сила? Трения нет, движение грузов считайте поступательным.

1.53. [10–11] (2003, 10–2) На гладком горизонтальном столе находятся два груза массами 1 кг и 2 кг, скреплённые невесомой и нерастяжимой нитью. К середине нити между грузами прикреплена ещё одна такая же нить, за которую тянут с силой 10 Н. В некоторый момент времени все отрезки нитей натянуты, расположены горизонтально и составляют между собой углы 90, 120 и 150. Известно, что в этот же момент скорость более лёгкого груза равна 1 м/с, более тяжёлого 2 м/с, а вектор скорости каждого груза направлен перпендикулярно к отрезку нити, который прикреплён к данному грузу. Найдите ускорения грузов в рассматриваемый момент времени, если известно, что они одинаковы по величине.

1.54. [10–11] (1999, 10–1) В системе, изображённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. Массы грузов равны m1 и m2. Найдите ускорение оси блока A, к которой приложена в вертикальном направлении сила F. Ускорение свободного падения равно g.

1.55*. [9–11] (2001, 9–2) В системе, изображённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения нет. Вначале нить удержиК задаче 1.54.

вают так, что груз m висит неподвижно, а груз 2m касается пола. Затем конец нити начинают тянуть вверх с постоянной скоростью v. Как при этом будут двигаться оба груза? Ускорение свободного падения равно g.

1.56. [9–11] (1997, 9–2) В системе, показанной на рисунке, отрезки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Найдите ускорение груза массой m2, подвешенного на нити к лёгкой оси подвижного блока. Масса оси другого подвижного блока равна m, масса первого груза равна m1. Трением и массой всех блоков пренебречь. Все нити невесомые и нерастяжимые. Ускорение свободного падения равно g.

1.57*. [10–11] (2004, 10–2) Найдите ускорение груза массой m в системе, изображённой на рисунке. Блоки невесомы, нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает по верхнему двухступенчатому блоку с радиусами r и R. Один конец нити закреплён на этом блоке, к другому концу прикреплён груз массой m2. Участки нити, не лежащие на блоках, вертикальны, трение в осях блоков и о воздух отсутствует.

Ускорение свободного падения равно g.

1.58*. [10–11] (2003, 11–2) Найдите ускорение груза 1 в системе, изображённой на рисунке. Горизонтальная плоскость гладкая, трения между грузами нет, нить и блоки невесомы, нить нерастяжима, массы всех трёх грузов одинаковы. В начальный момент все тела покоятся. Ускорение свободного падения К задаче 1.58.

равно g.

1.59. [9–10] (1986, 8-1) Два связанных тела массой m2 и m3 скользят по двум гладким наклонным поверхностям неподвижного клина (см. рисунок). К телу m2 прикреплена нить, соединяющая его с телом массой m1, лежащим на гладкой горизонтальной поверхности. Найдите силу натяжения T этой нити. Трением можно пренебречь, нити считайте невесомыми и нерастяжимыми. Ускорение свободного падения равно g.

1.60*. [9–11] (1998, 9–1) Телу, находящемуся на горизонтальной шероховатой поверхности, сообщили скорость v вдоль этой поверхности. За первые t секунд оно прошло путь S. Каким может быть коэффициент трения тела о поверхность?

1.61. [9–11] (1992, 9–2) На горизонтальном шероховатом столе лежат длинная линейка AB и ластик C. Линейку двигают равномерно и поступательно в направлении, показанном стрелкой на рисунке (вид сверху), и перемещают на расстояние H. Угол между линейкой К задаче 1.61.

и этим направлением равен. Найдите величину и направление перемещения ластика относительно стола.

Коэффициент трения ластика о линейку равен µ.

1.62*. [9–11] (2000, 9–2) На горизонтальном обледеневшем участке дороги лежит длинная доска массой M. На эту доску мальчик поставил радиоуправляемую модель автомобиля массой m, а затем, подав радиосигнал, включил двигатель автомобиля. Зная, что автомобиль движется вдоль доски с постоянной относительно неё скоростью v и что коэффициент трения доски о лёд равен µ, найдите зависимость скорости автомобиля относительно дороги от времени.

1.63*. [9–11] (1998, 9–2) На лежащий на горизонтальном столе клин массой m с углом при основании = 45 аккуратно положили гладкий брусок массой 1000m. С какой силой скользящий вдоль клина брусок давит на клин, если коэффициент трения между клином и столом равен µ = 0,2?

1.64. [9–11] (1996, 9–1) Катапульта представляет собой платформу с толкателем, который может приложить к грузу массой m силу F mg под любым заданным углом к горизонту (см. рисунок). Масса К задаче 1.64.

самой катапульты много меньше m, коэфУсловия задач фициент трения между платформой и землёй µ. Какое максимальное горизонтальное ускорение может сообщить грузу такая катапульта?

1.65*. [10–11] (1995, 10–2) Через вращающийся с постоянной угловой скоростью шероховатый шкив переброшена невесомая нерастяжимая верёвка, к концам которой подвешены два груза. В начальный момент времени скорости грузов равны нулю, а ускорение первого груза направлено вверх и равно a1. Если изменить направление вращения шкива, то при нулевой начальной скорости второй груз будет двигаться вверх с ускорением a2. Найдите отношение масс грузов.

1.66. [9–11] (1989, 8–2) На шероховатой железнодорожной платформе стоит равномерно заполненный контейнер высотой H и длиной L, имеющий с одной стороны маленькие колёса (см. рисунок). При разгоне поезда вправо контейнер начинает сползать влево по платформе, если ускорение разгона превышает a. С каким минимальным ускорением должен затормозить поезд, чтобы контейнер начал сползать вправо? Трением качения пренебречь.

1.67*. [9–11] (1988, 8–2) В системе, изображённой на рисунке, тело массой M может скользить без трения по горизонтальной плоскости.

Коэффициент трения между телами M и m равен µ. Найдите ускорение a тела M. Массой блоков и нерастяжимой нити пренебречь. Ускорение свободного падения равно g.

1.68. [9–11] (1996, 9–2) У двух автомобилей расстояние между осями передних и задних колёс L = 3 метра, а центр масс находится на высоте H = 0,7 м над дорогой на одинаковом расстоянии от каждого из четырёх колёс. Коэффициент трения колёс о дорогу µ = 0,8. Масса каждого из автомобилей m = 1000 кг. Один из автомобилей переднеприводный, а другой заднеприводный. Автомобили снабжены моторами с одинаковой мощностью N = 100 кВт. Какой из автомобилей победит в заезде на S = 10 м по прямой при старте с нулевой начальной скоростью? На какое время победитель обгонит отставшего? Водители «выжимают» из своих автомобилей всё возможное. Считайте ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

1.69. [10–11] (2005, 10–1) Автомобиль с передними ведущими колёсами должен проехать по достаточно длинному прямолинейному участку шоссе, поднимающемуся вверх под углом к горизонту. Центр масс автомобиля находится на расстоянии H от полотна дороги, посередине между осями передних и задних колёс, которые расположены на расстоянии 2L друг от друга. Коэффициент трения колёс о дорогу равен µ, радиус колёс R. Найдите максимальную величину угла. Укажите условия, при которых автомобиль массой m сможет преодолеть этот участок шоссе.

1.70*. [10–11] (1990, 10–1) Цилиндр радиусом R и массой m плотно вставлен в жёстко закреплённое кольцо. Ось цилиндра вертикальна.

Чтобы его продвинуть, надо приложить в вертикальном направлении силу, не меньшую F (F mg). Цилиндр начинают вращать с постоянной угловой скоростью, не прикладывая при этом вертикальной силы. Найдите требующийся для этого момент силы и скорость вертикального перемещения цилиндра. Трение цилиндра о кольцо является сухим.

1.71. [9–11] (1994, 9–1) Деревянный шарик, опущенный под воду, всплывает в установившемся режиме со скоростью v1, а точно такой же по размеру пластмассовый тонет со скоростью v2. Куда и с какой скоростью будут двигаться в воде эти шарики, если их соединить ниткой? Сила сопротивления пропорциональна скорости, гидродинамическим взаимодействием шариков можно пренебречь. Считайте, что на движущийся шарик действует такая же сила Архимеда, как и на покоящийся.

1.72*. [10–11] (1999, 11–2) Школьник заметил, что сферический пузырёк воздуха диаметром d1 = 1 мм всплывает в жидкости плотностью ж = 1 г/см3 со скоростью v1 = 0,5 см/с. Пузырёк диаметром d2 = 2 мм всплывает со скоростью v2 = 2 см/с, а сферическая металУсловия задач лическая дробинка такого же диаметра плотностью д = 5 г/см3 тонет со скоростью v3 = 8 см/с. С какой скоростью будет всплывать в этой жидкости пластмассовый шарик плотностью = (2/3) г/см3 и диаметром d = 3 мм? Считайте, что характер зависимости сил сопротивления движению от скорости и диаметра шарика — степенной, и для всех указанных тел одинаков.

1.73. [9–11] (1989, 8–1) Шарик массой m и объёмом V под действием силы тяжести падает в жидкости плотностью с постоянной скоростью v. Сила сопротивления жидкости движению шарика пропорциональна квадрату скорости. К шарику прилагается дополнительно горизонтально направленная сила f. Какой станет вертикальная составляющая скорости шарика v1 ?

1.74. [10–11] (1999, 10–1) Футбольный мяч при движении в воздухе испытывает силу сопротивления, пропорциональную квадрату скорости мяча относительно воздуха. Перед ударом футболиста мяч двигался в воздухе горизонтально со скоростью v1 = 20 м/с и с ускорением a1 = 13 м/с2. После удара мяч полетел вертикально вверх со скоростью v2 = 10 м/с. Каково ускорение мяча сразу после удара?

1.75*. [10–11] (1999, 10–2) В неоднородной вязкой среде (см. рисунок) сила сопротивления, действующая на тело массой m, пропорциональна квадрату скорости, причём коэффициент пропорциональности зависит от координаты тела x в направлении движения (то есть выражение для силы сопротивления имеет вид f = (x)vv). Какой должна быть зависимость (x), чтобы при любой начальной скорости, направленной вдоль оси x, тело, пущенное из точки x = 0, двигалось в данной среде равнозамедленно? Силу тяжести не учитывайте.

1.76. [9–11] (1987, 8–1) Кусок мыла массой m соскальзывает в ванну, профиль которой изображён на рисунке. Высота ванны h, радиусы закруглений R. Начертите график зависимости силы давления куска мыла на ванну от пройденного мылом пути. Трение между мылом и ванной отсутствует, начальная скорость равнялась нулю.

1.77*. [10–11] (1998, 11–1) Шерлок Холмс и доктор Ватсон переходили Бейкер-стрит. В это время профессор Мориарти на своём кабриолете выехал из бокового переулка и, не притормаживая, помчался по Бейкер-стрит, чуть не сбив их.

— Холмс, — воскликнул доктор, — этот маньяк катается по Лондону с бешеной скоростью!

— Неправда, Ватсон. Я заметил, что «зайчик» от бокового стекла его авто, освещённого заходящим солнцем, некоторое время оставался вот на том фонарном столбе, в десяти футах от кабриолета. Он не мог ехать быстрее двадцати миль в час!

— Но как Вы догадались, Холмс?

— Элементарно, Ватсон!..

Воспроизведите рассуждения великого сыщика. Учтите, что 1 фут 0,3 м, а 1 миля 1,6 км.

1.78. [10–11] (1995, 10–1) Тяжёлая нерастяжимая верёвка (прыгалка), концы которой закреплены на одной высоте на некотором расстоянии друг от друга, провисает на величину h. Увеличится или уменьшится эта величина, если прыгалку раскрутить вокруг оси, проходящей через точки закрепления, со столь большой скоростью, что можно пренебречь силой тяжести? Ответ обоснуйте.

1.79. [10–11] (1999, 10–1) Согласно сериалу «Звёздные войны», космические истребители земного флота имеют форму косого креста, где на концах консолей расположены четыре одинаковых ракетных двигателя (вид истребителя спереди изображён на рисунке). Одним из пилотажных манёвров такого истребителя является быстрый разворот на 180, когда два соседних двигателя работают на «полный вперёд», а два остальных — на «полный назад»

с такой же тягой. Вокруг какой оси — А или Б — нужно совершать такой разворот, чтобы он занял меньше времени? Считайте, что практически вся масса истребителя сосредоточена в его двигателях и что сила тяги не зависит от скорости. Манёвр совершается в открытом космосе.

1.80*. [10–11] (1986, 9–2) Зависимость силы натяжения F от удлинения x для лёгкого резинового шнура с начальной длиной l0 = 20 см показана на рисунке. К одному из концов шнура прикрепляют маленький шарик массой m = 500 г, другой конец прикрепляют к вертикальной оси, и затем весь шнур с шариком на конце помещают в горизонтальную гладкую трубку, прикреплённую к той же оси. Систему начинают медленно раскручивать вокруг этой оси. При каком значении угловой скорости 0 шнур разорвётся?

1.81. [9–11] (1995, 9–1) Витую пружину с начальной длиной l, жёсткостью k и массой m свернули в кольцо и соединили концы. После этого её раскрутили с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости. Найдите радиус кольца R как функцию. Диаметр витков пружины много меньше её длины.

1.82. [9–11] (1987, 8–2) Нерастяжимая, но очень гибкая и длинная цепь движется между блоками по траектории, изображённой на рисунке. При какой скорости v движения цепи она практически не будет давить на блоки? Сила натяжения цепи T, масса единицы её длины ;

система находится в невесомости.

1.83. [10–11] (1994, 10–1) К нижнему концу стержня, расположенного вертикально и вращающегося вокруг своей продольной оси, прикреплена нить длиной L. На нити подвешен шарик, размеры которого малы по сравнению с длиной нити. Постройте график зависимости расстояния R между шариком и вертикальной линией, на которой расположен стержень, от угловой скорости вращения стержня. Считайте, что угловая скорость меняется настолько медленно, что при любом её значении движение шарика успевает установиться.

1.84. [10–11] (1994, 10–2) Маленькую шайбу массой m запустили со скоростью v0 по касательной к внутренней поверхности находящейся в невесомости сферы массой M и радиусом a. Найдите величину силы, действующей на шайбу со стороны сферы. Трение отсутствует, сфера вначале покоилась.

1.85*. [10–11] (1995, 11–2) Жёсткий невесомый стержень шарнирно подвешен за один из концов к потолку. К свободному концу и к сереМеханика дине стержня прикреплены два одинаковых маленьких тяжёлых шарика. Стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса, образуя с этой осью угол. Найдите угол между вертикалью и силой, с которой верхний шарик действует на стержень.

1.86. [9–11] (1994, 9–1) По внутренней поверхности гладкой конической воронки, стоящей вертикально, скользят с постоянными по величине скоростями на высотах h1 и h2 от вершины конуса две маленькие шайбы (см. рисунок). Запишите для таких шайб аналог третьего закона Кеплера, то есть найдите отношение квадратов их периодов обращения вокруг оси конуса.

1.87. [11] (1994, 11–1) Маленький шарик подвешен на лёгкой нити длиной l. Один раз его отклоняют на некоторый угол и сообщают ему такую скорость в горизонтальном направлении, что он начинает вращаться по окружности в горизонтальной плоскости с периодом обращения T. В другой раз шарик отклоняют на тот же угол и отпускают его без начальной скорости. Найдите максимальное отношение силы натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае.

1.88. [9–11] (1996, 9–1) Закрытая трубка длиной l, полностью заполненная жидкостью, составляет угол с вертикальной осью, проходящей через её нижний конец (см. рисунок). В жидкости плавает лёгкая пробка. До какой угловой скорости нужно раскрутить трубку вокруг оси, чтобы пробка погрузилась до середины трубки?

1.89*. [9–11] (1987, 8–2) Цилиндрическое ведро, наполовину заполненное водой, жёстко закреплено на краю лопасти ветряной мельницы (см. рисунок). При какой угловой скорости вращения лопастей вода не будет выливаться из ведра? Длина лопасти L много больше высоты ведра h и диаметра его дна d. Ускорение свободного падения равно g.

1.90. [9–11] (1989, 8–1) Лёгкая шероховатая планка BC шарнирно подвешена на параллельных невесомых стержнях AB и CD (см. рисунок).

Длина стержней L. На расстоянии h от нижнего конца одного из стержней прикреплён груз массой M. На планК задаче 1.90.

ке лежит лёгкая шайба. Система свободно колеблется в плоскости рисунка. При каком минимальном угле отклонения стержней от вертикали шайба начнёт подпрыгивать на планке? Трением в шарнирах пренебречь.

1.91*. [10–11] (1992, 11–2) Велосипедное колесо радиусом R = = 50 см немного деформировали — оно осталось плоским, но превратилось в эллипс с разностью полуосей = a b = 1 см. При какой скорости качения этого колеса по горизонтальной поверхности оно начнёт подпрыгивать?

Примечание. Эллипс получается при равномерном растяжении (сжатии) окружности вдоль одной из координат. При этом уравнение окружности 2 + 2 = 1 переходит в уравнение эллипса 2 + 2 = 1.

1.92. [9–11] (1997, 9–2) На гладком горизонтальном столе лежит вытянутая вдоль плоскости стола невесомая и нерастяжимая нить длиной L, к одному из концов которой прикреплено небольшое тело массой m. Тело в начальный момент неподвижно. Второй конец нити начинают поднимать вертикально вверх с постоянной скоростью. Тело перестаёт давить на поверхность стола в тот момент, когда нить составляет с вертикалью угол. Какова скорость v подъёма конца нити?

1.93*. [10–11] (1999, 11–1) На тонкую вертикальную спицу надели кольцо радиусом r и, толкнув его, закрутили вокруг спицы. При какой угловой скорости кольцо будет устойчиво вращаться, не падая вниз? Коэффициент трения между спицей и кольцом равен µ.

1.94*. [10–11] (2002, 10–2) Маленькая шайба скользит по винтовому желобу с углом наклона к горизонту и радиусом R с постоянной ско- К задаче 1.94.

ростью v (см. рисунок). Ось желоба вертикальна, ускорение свободного падения равно g. Чему равен коэффициент трения µ между шайбой и желобом?

1.95*. [10–11] (1995, 10–2) Мальчик, управляя кордовой моделью самолёта массой m, перемещает конец кордов длиной L в горизонтальной плоскости по окружности радиусом r. Самолёт летит по окружности радиусом R > r на высоте h над плоскостью движения руки с постоянной скоростью v. Центры обеих окружностей лежат на одной вертикали. Ось самолёта направлена горизонтально по касательной к его траектории, плоскость крыльев также горизонтальна. Определите подъёмную силу, действующую на модель.

1.96. [9–10] (1990, 9–1) Орбитальная станция имеет форму тора, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью = 1 рад/с. Из клетки вылетели два попугайчика и полетели по коридору в разные стороны. Оказалось, что одному лететь гораздо легче, чем другому.

Объясните, какому и почему. Считая, что попугай летает со скоростью v = 5 м/с, оцените радиус станции.

1.97*. [10–11] (1987, 9–2) При перелёте с орбитальной станции «Мир» на станцию «Салют-7» наши космонавты затормозили свой корабль, перешли с основной орбиты на более низкую, промежуточную орбиту и за время t = 30 часов нагнали «Салют-7», который летел впереди «Мира» по основной орбите на расстоянии L = 3000 км. После этого они, разогнав корабль, снова поднялись на основную орбиту и состыковались с «Салютом-7». Считая орбиты круговыми, определите, на сколько километров промежуточная орбита ниже основной. Высоты орбит много меньше радиуса Земли.

1.98*. [10–11] (1996, 10–2) Спутник массой m, движущийся со скоростью v почти по круговой орбите вблизи поверхности Земли, испытывает действие постоянной тормозящей силы F. Зная ускорение g свободного падения на поверхности Земли, найдите скорость vс снижения спутника, полагая, что изменение радиуса орбиты происходит достаточно медленно.

1.99*. [10–11] (2001, 11–1) Снаряд вылетел из ствола орудия под углом = 3 к горизонту со скоростью v = 10000 м/с. Оцените, на каком расстоянии L от орудия он упадёт на Землю. Сопротивлением воздуха и вращением К задаче 1.100.

Земли пренебречь.

1.100. [9–10] (1988, 8–1) Маленький шарик падает без начальной скорости на плоскость A, составляющую с горизонтом угол (см. рис.).

Через какое время он ударится о плоскость B? Плоскости A и B образуют прямой угол, удары о них абсолютно упругие. Расстояние от места начала падения до плоскости B равно l, ускорение свободного падения g.

1.101. [10–11] (1994, 10–2) С какой скоростью упругий шарик должен приближаться к краю A прямоугольной ямы шириной L и глубиной H, чтобы точно попасть в её противоположный край B (см. рисунок)? Стенки и дно ямы абсолютно гладкие, потерь энергии нет.

1.102. [9–10] (1993, 9–1) Лестница состоит из одинаковых ступенек, ширина и высота которых равны. Некто с размаху бросает об эту лестницу маленький упругий тяжёлый мяч («суперболл») сверху вниз под углом 30 к горизонту. В каком направлении отскочит мяч? Силой тяжести можно пренебречь, вращение мяча не учитывайте.

1.103. [9–10] (1992, 9–2) Внутри полого горизонтального цилиндра прыгает шарик, упруго отражаясь от его стенок. Ускорение силы тяжести g. Известно, что шарик движется по замкнутой траектории, отскакивая от стенок в двух точках, находящихся на одной высоте. Найдите все возможные траектории.

1.104*. [10–11] (1997, 10–2) Маленький шарик падает без начальной скорости с некоторой высоты H на систему из двух закреплённых клиньев, верхние грани которых образуют углы с горизонтом (см. рисунок). Место падения находится на расстоянии l по горизонтали от линии касания клиньев. Испытав три абсолютно упругих удара о клинья, шарик вновь поднимается на ту же высоту. Укажите возможные виды траекторий движения шарика и рассчитайте высоту H в наиболее простом случае.

1.105. [10–11] (2002, 10–1) На массивный гладкий цилиндр радиусом R, движущийся поступательно со скоростью u, налетает маленький шарик, движущийся навстречу цилиндру перК задаче 1.105.

пендикулярно его оси со скоростью v (см. рисунок). Расстояние между линией, вдоль которой движется шарик, и плоскостью, в которой движется ось цилиндра, равно L (L < R). Найдите величину скорости шарика v после абсолютно упругого удара о цилиндр. Сила тяжести отсутствует.

1.106. [9–11] (1996, 9–1) В середине ящика массой m лежит груз такой же массы m. Вся эта конструкция движется со скоростью v по горизонтальной плоскости по направлению к стенке (см. рисунок). Как будет происходить удар этой конструкции о стенку? Какими будут скорости ящика и груза, когда все соударения закончатся? Трения нигде нет, все удары абсолютно упругие. При абсолютно упругих ударах тела равной массы обмениваются скоростями.

1.107. [10–11] (1987, 10–1) В цилиндрической коробке радиусом R, стоящей на горизонтальном столе, находится маленькая шайба, масса которой совпадает с массой коробки, причём расстояние от центра коробки до шайбы составляет половину радиуса коробки. В некоторый момент времени коробке сообщили скорость u, направленную вправо, а шайбе — такую же по модулю скорость, направленную влево (см. рисунок — вид сверху). Определите траекторию движения центра коробки по столу. Удары абсолютно упругие, трение отсутствует.

1.108*. [9–11] (2002, 9–2) На гладкой горизонтальной поверхности расположены две одинаковые маленькие шайбы. В начальный момент времени первой шайбе сообщили некоторую скорость вдоль линии, соединяющей центры шайб. Оказалось, что за время t первая шайба прошла путь S1, а вторая — путь S2. Чему могут быть равны начальная скорость первой шайбы и начальное расстояние между шайбами?

Трение отсутствует, удар шайб друг о друга не обязательно абсолютно упругий.

1.109*. [10–11] (1996, 10–1) Известно, что при абсолютно упругом нелобовом ударе движущегося шара о такой же покоящийся шары разлетаются под углом 90. Найдите условия, при которых после абсолютно упругого нелобового соударения двух одинаковых движущихся шаров один из них остановится.

1.110*. [10–11] (1994, 11–1) Упругая шайба, движущаяся со скоростью v0 по гладкой горизонтальной плоскости, испытывает два последовательных соударения с такими же первоначально покоившимися упругими шайбами. Найдите величины и направления скоростей шайб после ударов, если известно, что одна из них после соударений продолжает движение со скоростью v0 /2 в том направлении, в котором двигалась первая шайба до ударов.

1.111. [9–11] (1988, 8–2) По закреплённой тонкой трубке без трения движутся вправо с одинаковыми скоростями четыре одинаковых маленьких шарика так, что расстояния между ними равны l1, l2 и l (см. рисунок). Трубка заткнута пробкой. Как будут расположены и как будут двигаться шарики после того, как все соударения прекратятся?

Все удары шариков друг о друга и о пробку абсолютно упругие.

1.112. [10–11] (1992, 10–1) Между двумя неподвижными горизонтальными плоскостями, верхняя из которых расположена на высоте H над нижней, движется маленький шарик массой m, упруго отскакивая от них. Скорость шарика после отражения от нижней плоскости равна v0 и направлена вертикально вверх. Найдите средние силы, действующие на каждую из плоскостей со стороны шарика.

1.113. [10–11] (1986, 9–2) Между двумя идеально отражающими стенками, расстояние между которыми равно L, находятся N одинаковых упругих шаров радиусом R. Центры шаров располагаются на одной прямой, перпендикулярной стенкам. В начальный момент времени скорости всех шаров одинаковы и направлены вдоль этой прямой, vi = v0.

Учитывая столкновения между шарами, а также шаров со стенками, найдите среднюю силу давления шаров на одну из стенок. Масса шара равна m, сила тяжести отсутствует.

1.114*. [10–11] (1998, 10–2) N абсолютно упругих одинаковых шариков лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Одному из них сообщили скорость v в горизонтальном направлении. Испытав ряд столкновений с другими шариками, этот шарик стал двигаться в противоположном направлении. Какова максимально возможная величина конечной скорости шарика, если в каждом столкновении участвуют только два шарика, а N = 101?

1.115*. [10–11] (2002, 10–2) В горизонтальном прямом желобе на равных расстояниях L = 1 м друг от друга лежат N = 2002 маленьких шарика. Известно, что шарики разложены в порядке убывания их масс и что массы соседних шариков отличаются друг от друга на = 1%.

Самому тяжёлому шарику в момент времени t = 0 сообщили скорость v = 1 м/с в направлении остальных шариков. Считая все удары абсолютно упругими, найдите, через какое время после этого начнёт двигаться самый лёгкий шарик. Трения нет. Временем соударения пренебречь.

1.116*. [10–11] (1996, 10–2) На полубесконечный гладкий стержень нанизано бесконечно много маленьких шариков. Массы шариков с нечётными номерами m, с чётными (m + m), причём m m (см. рисунок). В начальный момент времени, когда первый шарик запустили по направлению ко второму со скоростью v0, расстояние между соседними шариками равнялось l0, а все шарики, кроме первого, покоились. Через какое время скорость самого быстрого из шариков станет меньше (3/4)v0 ? Все удары абсолютно упругие.

1.117. [10–11] (1998, 11–2) Грузовой поезд массой m, поданный на шахте под загрузку углём, начинает движение под действием постоянной силы тяги локомотива одновременно с началом погрузки. За равные промежутки времени на платформы высыпаются равные массы угля.

Скорость поезда изменяется со временем t по закону: v =, где v и t0 — постоянные величины. Найдите силу тяги локомотива.

1.118. [10–11] (2000, 11–1) На горизонтальном столе лежит однородное кольцо массой M с насаженной на него маленькой бусинкой массой m. В начальный момент времени бусинка имеет скорость v, а кольцо покоится. Определите минимальное значение кинетической энергии бусинки в процессе дальнейшего движения. Трения нет.

1.119*. [10–11] (2001, 10–2) В результате взрыва снаряда массой m, летевшего со скоростью v, образовались два одинаковых осколка. Пренебрегая массой взрывчатого вещества, найдите максимальный угол разлёта осколков, если сразу после взрыва их общая кинетическая энергия увеличилась на величину W.

1.120*. [10–11] (1997, 11–1) На вбитом в стену гвозде на нити длиной L висит маленький шарик. Под этим гвоздём на одной вертикали с ним на расстоянии l < L вбит второй гвоздь. Шарик отводят вдоль стены так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают без толчка. Найдите расстояния l, при которых шарик перелетит через нижний гвоздь. Нить невесома и нерастяжима, трения нет.

1.121*. [10–11] (2002, 11–2) На горизонтальной плоскости лежит полусфера радиусом R (выпуклой стороной вверх). Из точки, находящейся над центром полусферы, бросают горизонтально маленькое тело, которое падает на плоскость, не касаясь полусферы. Найдите минимально возможную скорость тела в момент его падения на плоскость.

Сопротивление воздуха не учитывайте.

1.122. [9–11] (1993, 9–1) Альпинистская капроновая верёвка подчиняется закону Гука, пока не разрывается при силе натяжения T = 22000 Н, будучи растянутой на = 25% от своей первоначальной длины. Стандартный способ испытания верёвки такой: один конец верёвки длиной L закрепляют на стене, и с высоты, равной L, сбрасывают груз массой m, привязанный к другому концу (см. рисунок). При каком максимальном грузе m верёвка обязана выдержать рывок?

1.123*. [10–11] (1999, 10–2) Края симметричной относительно центра невесомой сетки из упругих нитей закреплены на неподвижном горизонтальном обруче (см. рисунок). В горизонтальном положении сетка не натянута. С какой высоты H гимнаст должен упасть без начальной скорости в центр сетки, чтобы её максимальный прогиб оказался равным L, если под неподвижно лежащим в центре сетки гимнастом этот прогиб равен l? Размеры гимнаста, величины L и l много меньше радиуса обруча. Известно, что при || 1 справедлива формула 1.124*. [11] (1988, 10–2) На горизонтальной поверхности покоится однородный тонкий обруч массой M и радиусом R (см. рисунок).

Горизонтальный диаметр обруча представляет собой лёгкую гладкую трубку, в которую помещён шарик массой m, прикреплённый к обручу двумя пружинами жёсткостью k каждая. Удерживая обруч неподвижным, шарик отклонили влево на расстояние x, после чего предоставили систему самой себе. Найдите ускорение центра обруча в начальный момент времени. Проскальзывание обруча отсутствует.

1.125*. [10–11] (1994, 10–2) В вертикальную стену на одной высоте вбиты два гвоздя. К одному гвоздю прикреплена невесомая нерастяжимая нить. На нить надето маленькое кольцо. Другой конец нити перекинут через второй гвоздь. К кольцу и к свободному концу нити прикреплены два одинаковых груза (см. рисунок). Определите ускорения грузов в момент прохождения ими положения равновесия, если в начальном положении нить между гвоздями была горизонтальна, а начальные скорости грузов были равны нулю. Ускорение свободного падения равно g. Трение не учитывайте.

1.126*. [10–11] (1990, 10–2) Через два небольших блока перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены одинаковые грузы массой M каждый (см. рисунок). В начальный момент грузы уравновешены и покоятся. На нить с высоты h строго посередине между блоками падает небольшое тело массой m так, что при падении оно цепляется К задаче 1.126.

за нить. Какова будет максимальная скорость грузов в процессе движения, если 1.127*. [10–11] (2004, 10–2) Лёгкая нерастяжимая нить длиной L = 2 м удерживается за концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит кусочек проволоки массой M = 1 г, изогнутый в виде перевёрнутой буквы U. Нить выдерживает максимальную силу натяжения F = 5 Н. Концы нити одновременно начинают перемещать в противоположных горизонтальных направлениях с одинаковыми скоростями V = 1 м/с. В какой-то момент нить не выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту относительно уровня концов нити взлетит кусочек проволоки? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2, сопротивлением воздуха пренебречь.

1.128. [10–11] (2003, 10–2) В машине Атвуда (см. рисунок) массы грузов равны m1 и m2, блок и нить невесомы, трение отсутствует.

Вначале более тяжёлый груз m1 удерживают на высоте h над горизонтальной плоскостью, а груз m2 стоит на этой плоскости, причём отрезки нити, не лежащие на блоке, вертикальны. Затем грузы отпускают без начальной скорости. Найдите, на какую максимальную высоту поднимется груз m1 после абсолютно неупругого удара о плоскость, если нить можно считать гибкой, неупругой и практически нерастяжимой. Ускорение свободного падения равно g, блок находится достаточно далеко от грузов.

К задаче 1.128.

1.129*. [10–11] (1987, 9–2) Тело массой M падает с высоты H на конец невесомого абсолютно жёсткого горизонтального рычага с плечами длиной L и l, на другом конце которого лежит тело массой m (см. рисунок). На какую высоту h взлетит тело m после удара? Тела считайте абсолютно упругими, а их размеры — малыми.

1.130. [9–11] (1994, 9–1) На гладкой горизонтальной плоскости стоят две одинаковые гладкие горки высотой H и массой M каждая.

На вершине одной из них находится маленькая шайба массой m M (см. рисунок). Шайба соскальзывает без начальной скорости в направМеханика лении второй горки. Найдите скорости горок после завершения процесса всех столкновений.

1.131*. [10–11] (1986, 10–2) В тонком гладком трубопроводе скользит гибкий шнурок (см. рисунок). Участки AB и BC трубопровода представляют собой полуокружности радиусом R; длина шнурка L = 2R. В некоторый момент времени нижний конец шнурка находится в точке C, а верхний — в точке A. Найдите все точки на шнурке, в которых К задаче 1.131.

сила его натяжения в этот момент равна нулю.

1.132. [9–11] (1996, 9–2) На вершине клина массой M с высотой h и углами и при основании удерживаются два небольших тела одинаковой массой m (см. рисунок). Клин стоит на гладкой горизонтальной плоскости. После освобождения тела соскальзывают с клина в разные стороны и застревают внизу в специальных улавливателях, установленных в конце каждой из наклонных плоскостей клина. На какое расстояние сдвинется клин после соскальзывания тел?

1.133*. [10–11] (1990, 10–1) На гладкой горизонтальной поверхности лежат два клина с массами M1 и M2 и углами при основаниях и (см. рисунок). На клинья опускают без начальной скорости гладкий цилиндр массой M так, что он касается клиньев своими образующими.

Найдите отношение скоростей клиньев после того, как цилиндр коснётся горизонтальной поверхности.

1.134*. [10–11] (1991, 10–2) Тележка, состоящая из двух пар колёс, соединённых лёгким и абсолютно жёстким стержнем дли- К задаче 1.134.

ной l, наезжает со скоростью v на наклонную плоскость с углом наклона (см. рисунок). Определите скорость тележки u сразу после того, как она полностью въедет на плоскость.

Вся масса M каждой колёсной пары сосредоточена в её оси, удары абсолютно неупругие (то есть шины «мягкие»). Трением пренебречь.

1.135. [10–11] (1987, 9–1) Поезд длиной L = 500 м движется по инерции без трения по горизонтальному участку железной дороги, переУсловия задач ходящему в горку (см. рисунок). При какой минимальной скорости v поезд перекатится через горку? Основание горки имеет длину l = 100 м, длины склонов l1 = 80 м и l2 = 60 м. Склоны горки можно считать прямолинейными, участки закруглений — малыми.

1.136. [10–11] (1994, 10–1) На конце жёсткого невесомого стержня длиной l, закреплённого шарнирно другим своим концом в точке O и находящегося в поле тяжести g, прикреплён груз массой m (см. рисунок).

В начальный момент времени, когда груз находится в положении устойчивого равновесия, ему сообщают направленную влево скорость u и далее раскачивают К задаче 1.136.

его следующим образом: когда груз останавливается, ему сообщают скорость u в плоскости рисунка перпендикулярно стержню по направлению к устойчивому положению равновесия. Чему равна полная энергия маятника через достаточно большой промежуток времени? Потенциальная энергия отсчитывается от точки O, трение отсутствует.

1.137*. [10–11] (2001, 10–2) Т-образный маятник состоит из трёх одинаковых жёстко скреплённых невесомых стержней длиной L, два из которых являются продолжением друг друга, а третий перпендикулярен им (см. рисунок). К свободным концам стержней, находящихся в одной вертикальной плоскости, прикреплены точечные грузы массой m. Маятник может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку скрепления стержней и перпендикулярной им. Маятник отклонили от положения равновесия на угол < 90 и отпустили без начальной скорости.

Найдите величину и направление силы, с которой стержень действует на груз № 3 сразу после отпускания маятника.

1.138*. [9–11] (1994, 9–2) Горизонтальная штанга, жёстко связанная с вертикальной осью OO, вращается вокруг неё с постоянной угловой скоростью (см. рисунок). Постоянство угловой скорости обеспечивает мотор, связанный с вертикальной осью. На штангу надета небольшая муфта массой m. Вначале муфта удерживается на расстоянии l от оси OO. В некоторый момент времени муфта освобождается и начинает двигаться вдоль штанги. На другом конце штанги имеется заглушка (утолщение с тонкой мягкой прокладкой), которая не позволяет муфте соскочить со штанги. Удар муфты о заглушку является абсолютно неупругим. Максимальное удаление муфты от оси OO равно L. Какую работу совершает мотор в процессе перемещения муфты по штанге? Трение не учитывать.

1.139. [10–11] (2001, 10–1) Пренебрегая влиянием воздуха и вращением Земли, определите, как зависит кинетическая энергия W искусственного спутника массой m, движущегося по круговой орбите вокруг Земли, от работы A, которую произвёл над ним ракетоноситель при выводе на эту орбиту. Постройте график зависимости W (A). Радиус Земли RЗ, ускорение свободного падения на её поверхности равно g.

1.140. [10–11] (1986, 9–2) Искусственный спутник Земли находится на круговой орбите высотой h = 200 км. Включается двигатель, и скорость спутника за несколько минут возрастает на v = 5 км/с.

В результате он улетает в межпланетное пространство. Найдите скорость спутника v вдали от Земли. Радиус Земли RЗ = 6370 км, ускорение свободного падения на её поверхности g = 9,8 м/с2.

1.141. [10–11] (2003, 10–1) Космический корабль стартовал в вертикальном направлении с поверхности невращающегося сферически симметричного небесного тела, лишённого атмосферы.

После выключения двигателя зависимость скорости корабля от времени имеет вид, показанный на рисунке. На каком расстоянии от центра небесного тела был выключен двигатель?

1.142. [10–11] (1996, 10–1) Оценить минимальную массу звезды, при которой свет, исходящий с её поверхности, не достигнет внешнего наблюдателя. Радиус звезды R.

1.143*. [9–11] (1993, 9–2) Палочка длиной l = 1 м с надетой на неё бусинкой находится на расстоянии r = 100 000 км от центра Земли.

Палочка направлена на центр Земли, бусинка находится на расстоянии b = 1 см от «нижнего» конца палочки (см. рисунок). Эта конструкция начинает свободно падать без начальной скорости. За какое время бусинка соскользнёт с палочки? Какое расстояние палочка пролетит за это время? Трение отсутствует. Радиус Земли RЗ = 6400 км.

1.144. [9–11] (1993, 9–1) Средневековые лучники натягивали тетиву от вытянутой левой руки «до уха» (правого, см. рисунок), причём это требовало всей физической силы воина, и не каждому это удавалось. Оцените: 1) скорость стрелы, выпущенной таким образом; 2) дальность прицельной стрельбы (можно сравнить с литературой — «Айвенго», «Робин Гуд»). Массу стрелы оценить трудно, но поскольку десяток таких стрел успешно таскали в колчане на боку, считайте её равной 200 граммам.

1.145. [10–11] (1986, 10–1) Полый каток массой M = 200 кг покоится на шероховатом асфальте. Затем к нему прицепляют трактор, который начинает тянуть каток с постоянной силой F = 400 Н. До какой скорости разгонится каток за L = 18 м пройденного пути? Потерями энергии пренебречь.

1.146*. [10–11] (1988, 9–1) Некто сконструировал педальный вертолёт с такими параметрами: масса очень мала, диаметр винта d = 8 м.

Сможет ли пилот массой M = 80 кг взлететь на такой машине? (Сравните требуемую мощность с мощностью лошади.) Молярная масса воздуха µ = 29 г/моль.

1.147*. [10–11] (1995, 11–1) Оцените частоту писка летящего комара. Длина его туловища равна длине каждого из двух крыльев и составляет l = 3 мм, толщина туловища равна ширине крыла d = 0,5 мм. Плотность воздуха 1 = 1,2 кг/м3, плотность комара 2 = 1000 кг/м3.

1.148. [9–11] (1991, 9–1) Предложен следующий проект ракетного двигателя: луч лазера направляется на кусок льда, помещённого в резервуар с отверстием площадью S. Мощность лазера N полностью идёт на испарение льда, в который добавлен чёрный краситель.

Удельная теплота испарения льда равна, плотность образовавшихся паров. Найдите силу тяги такого двигателя.

1.149. [10–11] (1993, 11–2) Двигатель современного истребителя развивает постоянную силу тяги, равную начальному весу истребителя.

За сколько минут полёта в таком режиме истребитель истратит всё топливо — керосин с удельной теплотой сгорания q = 4,5 · 107 Дж/кг, если его запас составляет треть массы самолёта, и практически вся энергия топлива переходит в кинетическую энергию реактивной струи?

1.150. [9–11] (1994, 9–1) Механическая мощность, развиваемая мотором автомобиля, с момента старта линейно возрастает со временем:

N = t. Как зависит от времени скорость автомобиля? Потерь энергии в трансмиссии нет, сопротивлением воздуха пренебречь. Масса автомобиля m.

1.151. [10–11] (2000, 10–1) Гоночный автомобиль имеет привод на все четыре колеса. Его двигатель выдаёт максимальную мощность N = 60 кВт при любой скорости движения. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислите время разгона этого автомобиля от старта до скорости v = 20 м/c. Масса автомобиля m = 1 т, коэффициент трения между колёсами и дорожным покрытием не зависит от скорости и равен µ = 0,6.

1.152*. [10–11] (2001, 11–2) Для подтверждения своей водительской квалификации автомобилист должен выполнить следующее упражнение: за ограниченное время проехать расстояние L = 50 м между точками 1 и 2, начав движение в точке 1 и остановившись в конце пути, в точке 2. Какое наименьшее время t для этого необходимо, если наибольшая мощность, развиваемая двигателем автомобиля, N = 80 кВт, а тормозной путь автомобиля при скорости v = 80 км/ч составляет lт = 50 м? Масса автомобиля m = 1000 кг.

1.153. [10–11] (2002, 11–1) Телу массой m, находящемуся на горизонтальной поверхности, сообщили скорость v0 в направлении оси X.

График зависимости скорости тела v от его координаты x изображён на рисунке. Найдите зависимость величины силы трения, действующей на тело, от координаты x.

1.154. [10–11] (2002, 10–1) Маленькую шайбу запустили по шероховатой горизонтальной поверхности со скоростью v0 = 5 м/с. График зависимости скорости шайбы v от пройденного ею пути S изображён на рисунке. Какой путь пройдёт шайба до полной остановки, если её запустить из той же точки в том же направлении со скоростью v1 = 4 м/с?

1.155*. [10–11] (2003, 10–1) На горизонтальном столе некоторая прямая линия разделяет две области: по одну сторону от этой линии стол гладкий, а по другую — шероховатый. На столе лежит однородная доска длиной L = 1 м. Она расположена перпендикулярно линии и целиком находится на гладкой поверхности. К концу доски прикреплён один конец невесомой пружины, имеющей жёсткость k = 4 Н/м.

Другой конец пружины начинают медленно тянуть в горизонтальном направлении вдоль доски так, что она перемещается через линию в сторону шероховатой поверхности. Для того, чтобы полностью перетащить доску на шероховатую поверхность, нужно совершить минимальную работу A = 17,5 Дж. Найдите, какое при этом выделится количество теплоты. Пружина не касается шероховатой поверхности, коэффициент трения доски об эту поверхность — постоянная величина.

1.156*. [10–11] (2003, 10–1) На рисунке 1 приведена зависимость силы упругости f, возникающей при растяжении резинового стержня, от величины l его удлинения. Стержень очень медленно протягивают через щель, имеющую достаточно узкие закруглённые края-щёчки, так, как показано на рисунке 2. Каждая из щёчек прижимается к стержню с постоянной силой F = 30 Н. Коэффициент сухого трения между резиной и материалом щёчек µ = 0,5, длина стержня в нерастянутом состоянии L = 10 см. Какую работу совершат силы трения, действующие на стержень, к тому моменту, когда он весь будет протянут через щель?

1.157*. [10–11] (2001, 10–1) Два тела имеют одинаковые ребристые поверхности (см. рисунок). Какую среднюю силу в горизонтальном направлении, перпендикулярном рёбрам, нужно приложить к верхнему телу массой m, чтобы медленно тащить его по неподвижной горизонтальной поверхности второго тела с постоянной (в среднем) скоростью? Все рёбра одинаковые, симметричные, имеют ширину l и высоту h. Поверхности граней рёбер гладкие, их соударения абсолютно неупругие.

1.158. [10–11] (1987, 9–1) Строительный вибратор представляет собой металлическую платформу, на которой установлен приводимый в движение электромотором тяжёлый асимметричный маховик, совершающий при включённом моторе n = 50 оборотов в секунду вокруг горизонтальной оси, жёстко закреплённой на этой платформе. Оцените, с какой скоростью вибратор будет перемещаться по очень шероховатому бетонному полу, если его толкать в горизонтальном направлении с силой F = 100 Н? Масса вибратора M = 50 кг.

1.159*. [10–11] (1988, 9–2) На тяжёлую ось насажены два лёгких колеса в форме десятиугольных звёздочек. Эта конструкция может скатываться с наклонной плоскости (см. рисунок — вид сбоку).

а) Конструкция покоится, мы постепенно увеличиваем угол, который эта плоскость образует с горизонтом. При каком значении конструкция покатится, если проскальзывания нет?

б) При каких значениях конструкция, если её подтолкнуть, будет катиться по наклонной плоскости сколь угодно долго, не останавливаясь? Удары углов звёздочек об эту плоскость считайте абсолютно неупругими.

Примечание: sin 18 0,31; cos 18 0,95. В случае б) можно найти приближённый ответ.

1.160*. [10–11] (1996, 11–1) Модель водяного колеса устроена следующим образом (см. рисунок): на ободе колеса радиусом R = 1 м равномерно расположены N ячеек, причём N = 201. Когда очередная ячейка проходит верхнее положение, в неё сбрасывается (без начальной скорости относительно земли) груз массой m = 100 г. Когда ячейка проходит нижнее положение, груз вываливается из неё без начальной скорости относительно колеса. Масса самого колеса мала, все удары абсолютно неупругие, трения нет. Найдите установившуюся угловую скорость вращения колеса.

1.161. [10–11] (1995, 10–1) На боковой поверхности длинного цилиндра массой M и радиусом R равномерно распределены N маленьких крючков (как на застёжке-«липучке»). Цилиндр кладут на наклонную плоскость, образующую угол с горизонтом, так, что его ось горизонтальна (см. рисунок). Поверхность плоскости покрыта, как и на «липучке», петлями. Каждый крючок, коснувшийся поверхности, цепляется за петлю, причём работа по его отрыву от петли равна A. При каком соотношении между R, M, N и A цилиндр будет скатываться с плоскости?

1.162. [9–10] (1989, 8–1) С длинной ледяной горки, образующей угол с горизонтом, без начальной скорости съезжают санки. Средняя треть длины горки посыпана песком и имеет коэффициент трения µ.

При каких значениях µ санки доедут до конца горки? Чистый лёд считайте абсолютно гладким.

1.163. [10–11] (2004, 10–1) Какую работу необходимо совершить, чтобы достаточно медленно переместить небольшой ящик массой m из точки O в точку B по горке, действуя на него силой, направленной по касательной к траектории его движения? Профиль горки показан на рисунке, коэффициент трения ящика о горку равен µ, ускорение свободного падения равно g.

Указанные на рисунке значения координат считайте известными.

1.164*. [10–11] (1998, 11–1) На горизонтальной плоскости, плавно переходящей в наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом, на расстоянии L от наклонной плоскости находится маленькая шайба. Коэффициент трения шайбы о плоскости равен µ, на участке сопряжения плоскостей трение отсутствует. Шайбе толчком сообщают скорость v в сторону наклонной плоскости в направлении, перпендикулярном линии сопряжения плоскостей. На каком расстоянии l от начального положения шайба окончательно остановится, если tg > µ, v > 2µgL, участок сопряжения по длине много меньше L?

1.165*. [10–11] (2003, 10–1) Магазин пистолета представляет собой металлический пенал, внутри которого имеется лёгкий поршень, подпираемый пружиной. Когда магазин пуст, поршень касается его крышки. Магазин устроен таким образом, что из него можно вынимать только находящийся у крышки патрон — через небольшое отверстие в боковой стенке. После вынимания патрона поршень под действием пружины перемещается и передвигает всё К задаче 1.165.

оставшиеся в магазине патроны к крышке.

В магазин вставили N одинаковых патронов массой m и длиной L, после чего вынули по очереди все патроны, держа магазин крышкой вверх (см. рисунок). Коэффициенты трения между патронами, а также между патроном и крышкой и между патроном и поршнем одинаковы и равны µ. На сколько работа против сил трения при опустошении магазина будет больше, если при вынимании патронов держать его крышкой вниз? Трением между боковыми стенками магазина и патронами, а также массой пружины пренебречь.

1.166*. [9–11] (1990, 9–1) Мяч падает на твёрдый пол со стола высотой H = 1 м. При каждом ударе о пол половина энергии мяча переходит в тепло. Масса мяча m = 0,2 кг, избыточное давление в нём p = 0,2 атм, радиус R = 10 см. Сколько раз мяч ударится о пол?

1.167*. [9–11] (1998, 9–1) Брусок массой M положен на другой такой же брусок с небольшим сдвигом a (см. рисунок). Эта система как целое скользит по гладкому горизонтальному полу со скоК задаче 1.167.

ростью v0. На её пути стоит вертикальная стена, перпендикулярная направлению вектора скорости v0 и параллельная краям брусков. Удар каждого бруска о стену абсолютно упругий, коэффициент трения между брусками µ. Опишите, как будет происходить столкновение системы со стеной, и определите, какие скорости будут иметь бруски, когда этот процесс окончится.

1.168*. [10–11] (1989, 9–2) Небольшой упругий брусок массой m может двигаться без трения внутри прямоугольной коробки такой же массы. Коробка находится на столе, покрытом тонким слоем масла.

Сила трения коробки о стол зависит только от скорости v движения коробки по столу и равна F = v. В начальный момент времени коробка покоится, а брусок находится у её левой стенки и имеет скорость v0, направленную вправо. Сколько ударов о коробку совершит брусок, если длина коробки L много больше размеров бруска?

1.169*. [11] (1997, 11–2) На горизонтальной шероховатой поверхности находятся две одинаковые длинные тонкостенные трубы, оси которых параллельны. Одна из труб покоится, а вторая катится по направлению к ней без проскальзывания со скоростью v. Происходит абсолютно упругий удар. Трением труб друг о друга можно пренебречь. Коэффициент трения скольжения между трубами и поверхностью равен µ. На каком максимальном расстоянии друг от друга окажутся трубы после удара?

1.170. [8–9] (2001, 8–1) Груз неизвестной массы взвешивают, уравновешивая его гирькой с известной массой M на концах тяжёлого прямого коромысла; при этом равновесие достигается, когда точка опоры коромысла смещается от его середины на x = его длины в сторону гирьки. В отсутствие же груза на втором плече коромысло остаётся в равновесии при смещении его точки опоры от середины в сторону гирьки на y = его длины. Считая коромысло однородным по длине, найдите массу взвешиваемого груза m.

1.171*. [8–9] (1997, 9–1) «Хитрый»

продавец на рынке торгует рыбой, взвешивая её на весах, сделанных из палки и верёвки (см. рисунок), причём не обманывает покупателей. Покупателю разрешается взвесить рыбу самому, но при условии, что рыба помещается только на левую чашку весов и не снимается до момента расплаты. Продавец разрешает провести макси- К задаче 1.171.

мум два взвешивания, предоставляя покупателю набор гирь. Как определить массу понравившейся вам рыбы?

«Коромысло» весов с пустыми чашками занимает горизонтальное положение.

1.172. [8–9] (2004, 8–1) Известно, что при помощи подвижного блока можно получить выигрыш в силе в 2 раза. Школьник Вася изобрёл такую схему из подвижных и неподвижных блоков, которая даёт выигрыш в силе в 7 раз. Придумайте и нарисуйте возможные варианты этой схемы.

1.173. [8–9] (2000, 8–1) Через два неподвижных блока, находящихся на одной высоте, перекинута длинная лёгкая нить, к концам которой прикреплены два груза одинаковой массы (см. рисунок). Нить начинают медленно оттягивать вниз за точку, находящуюся посередине между блоками. График зависимости силы F, прикладываемой к нити, от смещения x этой точки приведён на рисунке. Найдите приблизительно массу m каждого из грузов. Трения нет.

1.174. [9–10] (1999, 9–1) На старинных кораблях для подъма якоря использовался кабестан — ворот, представлявший собой цилиндрическое бревно, к которому прикреплены одинаковые длинные ручки (см. рисунок). Матросы, отвечавшие за подъём якоря (якорная команда), наваливались на концы ручек, в результате чего ворот вращался, и якорная цепь наматывалась на бревно.

Капитан, собираясь в дальнее плавание, приказал утяжелить якорь, после чего выяснилось, что прежняя якорная команда с трудом поднимает якорь только до поверхности воды. Чтобы исправить ситуацию, капитан распорядился переделать ворот. Пренебрегая трением и массой цепи, найдите, во сколько раз нужно удлинить ручки кабестана, чтобы прежняя якорная команда могла поднимать новый якорь до борта. Плотности воды и материала якоря 1 г/см и 8 г/см3 соответственно.

1.175. [9–10] (1992, 9–1) На высоте 2R над горизонтальной плоскостью на гибкой невесомой верёвке длиной 2R подвешен маленький груз массой m (см. рисунок). Какую наименьшую горизонтальную силу F нужно приложить к цилиндру радиусом R, чтобы медленно протолкнуть его под этим маятником? Трения нет.

1.176. [9–10] (1986, 9–1) Картонную полоску, согнутую в форме буквы П, положили на шероховатую наклонную плоскость, как показано на рисунке. При каком угле наклона плоскости к горизонту она перевернётся?