«А.Н. Надольский ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ Учебное пособие для студентов специальностей Радиотехника, Радиоинформатика и Радиотехнические системы всех форм обучения Минск 2005 УДК 621.396 (075.8) ББК 32.84 я 73 Н ...»

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники»

Кафедра радиотехнических устройств

А.Н. Надольский

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ

Учебное пособие

для студентов специальностей

«Радиотехника», «Радиоинформатика» и

«Радиотехнические системы» всех форм обучения Минск 2005 УДК 621.396 (075.8) ББК 32.84 я 73 Н 17 Р е ц е н з е н т:

доцент кафедры антенн и устройств СВЧ БГУИР канд. техн. наук, доц. Д.В. Гололобов Надольский А.Н.

Теоретические основы радиотехники: Учеб. пособие для студ. спец.

Н «Радиотехника», «Радиоинформатика» и «Радиотехнические системы»

всех форм обуч./ А.Н. Надольский. – Мн.: БГУИР, 2005. – 232 с.: ил.

ISBN 985-444-749- Учебное пособие представляет собой часть базового курса по теоретическим основам радиотехники в системе подготовки инженеров по специальностям, связанным с радиотехникой. Изложены основы теории детерминированных сигналов, методы анализа линейных и нелинейных цепей, принципы построения и функционирования различных устройств, используемых в составе радиотехнических систем. Широко представлены функциональные схемы: усилителей, детекторов, модуляторов, преобразователей частоты и других типовых устройств.

УДК 621.396 (075.8) ББК 32.84 я ISBN 985-444-749-9 © Надольский А.Н., © БГУИР,

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………..……………….

1. Радиотехнические сигналы и устройства …………………………..… 1.1. Радиотехника и информатика …………………………………..…… 1.2. Радиотехнические сигналы ………………………………….……….

1.3. Радиотехнические цепи …………………………………..……….….

1.4. Радиотехнические системы ……………………………………….….

1.5. Классификация радиотехнических систем ………………….……… 1.6. Структурная схема системы передачи информации ……………….

1.7. Проблемы обеспечения эффективности радиотехнических систем 2. Свойства детерминированных сигналов ……………………………...

2.1. Математические модели сигналов …………………………………..

2.2. Классификация сигналов ………………………………......………… 2.2.1. Управляющие (модулирующие) сигналы …………………… 2.2.2. Высокочастотные немодулированные сигналы ……………..

2.2.3. Модулированные сигналы (радиосигналы) ………………….

2.2.4. Примеры некоторых сигналов, используемых в радиотехнике ………………………………………………………………….

2.3. Характеристики сигналов ……………………………..……………...

2.4. Геометрические методы в теории сигналов ………………………...

3. Спектральный и корреляционный анализ сигналов ………………..

3.1. Обобщенный ряд Фурье ……………………………………………… 3.1.1. Система ортогональных функций и ряд Фурье ……………...

3.1.2. Свойства обобщенного ряда Фурье …………………………..

3.2. Гармонический спектральный анализ периодических сигналов …..

3.2.1. Тригонометрическая форма ряда Фурье ……………………..

3.2.2. Спектры четных и нечетных сигналов ……………………….

3.2.3. Комплексная форма ряда Фурье ……………………………...

3.2.4. Графическое представление спектра периодического сигнала ………………………………………………………………………...

3.3. Гармонический спектральный анализ непериодических сигналов..

3.3.1. Спектральная характеристика непериодических сигналов...

3.3.2. Амплитудный и фазовый спектры непериодического сигнала ………………………………………………………………………...

3.3.3. Спектральная плотность четного и нечетного сигналов …… 3.3.4. Отличия спектра периодического сигнала от спектра непериодического сигнала …………………………………………………..

3.3.5. Свойства преобразования Фурье ……………………………..

3.4. Определение спектров некоторых сигналов ………………………...

3.4.1. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса …………… 3.4.2. Спектральная плотность - функции ………………………..

3.4.3. Спектр функции единичного скачка.………………………...

3.4.4. Спектр постоянного во времени сигнала …………………….

3.4.5. Спектр комплексной экспоненты …………………………….

3.4.6. Спектр гармонического сигнала ……………………………...

3.4.7. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса … 3.4.8. Спектральная плотность произвольного периодического сигнала ………………………………………………………………………...

3.4.9. Спектральная плотность сигнала вида sin x x ……………… 3.5. Корреляционный анализ сигналов …………………………………..

3.5.1. Общие положения ……………………………………………..

3.5.2. Свойства автокорреляционной функции …………………….

3.5.3. Автокорреляционная функция периодического сигнала …...

3.5.4. Автокорреляционная функция сигналов с дискретной структурой ……………………………………………………

3.5.5. Взаимокорреляционная функция сигналов ………………….

3.5.6. Представление периодического сигнала ……………………..

3.5.7. Энергетический спектр и автокорреляционная функция сигнала ………………………………………………………………………..

3.6. Дискретизация и восстановление сигналов по теореме отсчетов (теореме Котельникова) ……………………………………………...............

3.6.1. Теорема Котельникова ………………………………………...

3.6.2. Доказательство теоремы Котельникова ……………………...

3.6.3. Дискретизация сигнала с конечной длительностью ………...

3.6.4. Спектр дискретизированного сигнала ……………………….

4. Радиосигналы ……………………………………………………………..

4.1. Общие сведения о радиосигналах …………………………………… 4.2. Радиосигналы с амплитудной модуляцией ………………………….

4.2.1. Амплитудно-модулированные сигналы ……………………...

4.2.2. Спектральный анализ АМ-сигналов ………………………….

4.2.3. Векторное представление сигнала с амплитудной модуляцией ………………………………………………………………..…..

4.2.4. Энергетика АМ-сигнала ……………………………………… 4.2.5. Балансная амплитудная модуляция …………………………..

4.2.6. Однополосная модуляция …………………………………….

4.3. Радиосигналы с угловой модуляцией ………………………………..

4.3.1. Общие сведения об угловой модуляции……………………...

4.3.2. Фазовая модуляция …………………………………………….

4.3.3. Частотная модуляция ………………………………………….

4.3.4. Спектральный анализ сигналов с угловой модуляцией …….

4.3.5. Угловая модуляция полигармоническим сигналом ………… 4.3.6. Сравнение амплитудной, фазовой и частотной модуляций...

4.4. Импульсная модуляция ……………………………………………….

4.4.1. Виды импульсной модуляции ………………………………...

4.4.2. Спектр колебаний при АИМ ………………………………….

4.4.3. Импульсно-кодовая (цифровая) модуляция ………………… 4.5. Узкополосные сигналы ……………………………………………….

4.5.1. Общие сведения об узкополосных сигналах ………………...

4.5.2. Аналитический сигнал ………………………………………...

4.5.3. Свойства аналитического сигнала …………………………… 5. Линейные радиотехнические цепи и их характеристики …………..

5.1. Общие сведения о линейных цепях ………………………………….

5.2. Основные характеристики линейных цепей ………………………...

5.2.1. Характеристики в частотной области ………………………..

5.2.2. Временные характеристики …………………………………..

5.3. Дифференцирующая и интегрирующая цепи ……………………….

5.3.1. Дифференцирующая цепь …………………………………….

5.3.2. Интегрирующая цепь ………………………………………….

5.4. Фильтр нижних частот ………………………………………………..

5.5. Параллельный колебательный контур ……………………………… 5.6. Усилители ……………………………………………………………...

5.6.1. Широкополосный усилитель ………………………………….

5.6.2. Резонансный усилитель ……………………………………….

5.7. Линейные радиотехнические цепи с обратной связью ……………..

5.7.1. Частотная характеристика цепи с обратной связью ………...

5.7.2. Стабилизация коэффициента усиления ……………………...

5.7.3. Коррекция амплитудно-частотной характеристики ………...

5.7.4. Подавление нелинейных искажений ………………………… 5.7.5. Устойчивость цепей с обратной связью ……………………...

6. Методы анализа линейных цепей ……………………………………...

6.1. Постановка задачи …………………………………………………….

6.2. Точные методы анализа линейных цепей …………………………...

6.2.1. Классический метод …………………………………………...

6.2.2. Спектральный метод …………………………………………..

6.2.3. Временной метод ……………………………………………… 6.3. Приближенные методы анализа линейных цепей …………….…….

6.3.1. Приближенный спектральный метод ………………………...

6.3.2. Метод комплексной огибающей ……………………………...

6.3.3. Метод мгновенной частоты …………………………………...

6.4. Прохождение амплитудно-модулированного сигнала через избирательную цепь …………………………………………………...……..

7. Нелинейные радиотехнические цепи и методы их анализа ………...

7.1. Свойства и характеристики нелинейных цепей …………………….

7.2. Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементов … 7.2.1. Аппроксимация степенным полиномом ….………………….

7.2.2. Кусочно-линейная аппроксимация …………………………...

7.3. Методы анализа нелинейных цепей ………………………………… 7.4. Общее решение задачи анализа нелинейной цепи ………………….

7.5. Определение спектра тока в нелинейной цепи при степенной аппроксимации характеристики …………………………………………….

7.5.1. Гармонический сигнал на входе ……………………………...

7.5.2. Бигармонический сигнал на входе …………………………...

7.6. Определение спектра тока в нелинейной цепи при кусочно-линейной аппроксимации характеристики ………………..

8. Нелинейные преобразования сигналов ……………………………….

8.1. Нелинейное резонансное усиление сигналов ……………………….

8.1.1. Усиление в линейном режиме ………………………………...

8.1.2. Усиление в нелинейном режиме ……………………………...

8.2. Умножение частоты …………………………………………………..

8.3. Амплитудная модуляция ……………………………………………..

8.3.1. Общие сведения об амплитудной модуляции ……………….

8.3.2. Схема и режимы работы амплитудного модулятора ………..

8.3.3. Характеристики амплитудного модулятора ………………… 8.3.4. Балансный амплитудный модулятор ………………………… 8.4. Амплитудное детектирование ………………………………………..

8.4.1. Общие сведения о детектировании …………………………..

8.4.2. Амплитудный детектор ………………………………………..

8.5. Выпрямление колебаний ……………………………………………..

8.5.1. Общие сведения о выпрямителях …………………………….

8.5.2. Схемы выпрямителей ………………………………………….

8.6. Угловая модуляция …………………………………………………… 8.6.1. Общие принципы получения сигналов с угловой модуляцией …………………………………………………………………… 8.6.2. Фазовые модуляторы ………………………………………….

8.6.3. Частотные модуляторы………………………………………...

8.7. Детектирование сигналов с угловой модуляцией …………………..

8.7.1. Общие принципы детектирования сигналов с угловой модуляцией …………………………………………………………………… 8.7.2. Фазовые детекторы …………………………………………… 8.7.3. Частотные детекторы ………………………………………….

8.8. Преобразование частоты ……………………………………………...

8.8.1. Принципы преобразования частоты ……………..…………...

8.8.2. Схемы преобразователей частоты …………………………… Заключение …………………………………………………………………..

Литература……………………………………………………………………

ВВЕДЕНИЕ

Теоретические основы радиотехники – это базовая дисциплина в системе профессиональной подготовки специалистов в области радиотехники, радиоэлектроники, радиоинформатики. Ее основной целью является изучение методов и технических средств формирования и обработки радиотехнических сигналов, что необходимо для решения конкретных практических задач в области радиотехники, в частности для создания современных радиотехнических систем, состоящих из большого количества различных устройств.

При разработке и исследовании радиотехнических устройств различного уровня сложности и назначения возникают задачи, связанные с анализом и синтезом устройств. В наиболее общем виде данные задачи могут быть сформулированы следующим образом.

Задача анализа: заданы радиотехническое устройство, входной сигнал и их основные характеристики; необходимо определить выходной сигнал и его характеристики. Поскольку устройство представляет собой различные комбинации линейных и нелинейных звеньев, то задача по существу сводится к анализу прохождения сигнала через линейные и нелинейные устройства. Требуемый уровень адекватности результатов анализа реальному положению вещей, а также количественные характеристики, подлежащие расчету, определяются тем критерием, по которому оценивается качество работы устройства.

Задача синтеза: заданы входной сигнал и его основные характеристики, а также выходной сигнал с требуемыми для проектировщика характеристиками;

необходимо разработать радиотехническое устройство, которое преобразует входной сигнал с заданными характеристиками в сигнал с желаемыми характеристиками. Частным вариантом задачи синтеза является случай, когда входной сигнал отсутствует и требуется создать устройство для формирования (генерирования) сигнала с желаемыми характеристиками. Основным результатом синтеза являются оптимальные алгоритмы и структурные схемы проектируемого устройства. Синтез устройства не исключает необходимости выполнения некоторых процедур анализа в ходе оценки его работоспособности при возможных отклонениях от принятых априорных данных.

При решении задач анализа и синтеза объектами исследования являются сигнал и радиотехническое устройство. Успешное решение этих задач предполагает хорошую ориентацию исследователя и проектировщика во множестве сигналов, способов их аналогового и дискретного представления, методах анализа в частотной и временной областях. Самостоятельное значение имеют вопросы обработки сигналов, включающие в себя методы и технические средства формирования и различных преобразований сигналов. Технические средства – это и есть радиотехнические устройства (цепи), решающие обширный ассортимент задач и характеризуемые многообразием структурной и функциональной организации. Это требует систематизации знаний в области современных методов (уже ставших классическими) физико-математического анализа процессов формирования сигналов, а также их линейных и нелинейных преобразований.

В учебном пособии можно условно выделить две основные части, которые, с одной стороны, имеют определенное самостоятельное значение, с другой стороны, тесно связаны друг с другом.

В первой части рассмотрены основные вопросы теории неслучайных (детерминированных) сигналов: математические модели, классификация, примеры и свойства некоторых сигналов, методы спектрального и корреляционного анализа сигналов, фундаментальные положения временной дискретизации сигналов, модулированные сигналы, принципы общего анализа узкополосных сигналов.

Во второй части рассмотрены характеристики линейных и нелинейных устройств, а также физико-математические аспекты линейных и нелинейных преобразований сигналов. Главный акцент сделан на физическую интерпретацию основных положений. Математика применялась как прикладная грань для обоснования физического содержания основных методов анализа, а также функциональных схем и принципов работы некоторых устройств.

При изложении основных вопросов учтены современное состояние теоретической радиотехники и ее роль в развитии информационных технологий. Материал учебного пособия является по существу базовым для подготовки инженеров по специальностям, связанным в той или иной мере с радиотехникой. Успешное изучение этого материала позволит сформировать такой объем теоретических и практических знаний, который обеспечит понимание основных проблем синтеза и анализа сложных радиотехнических систем, оценку их качества по различным критериям. Полученные знания послужат прочной основой для изучения специальных дисциплин.

1. РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И УСТРОЙСТВА

Для современного общества важнейшей является проблема использования информационных технологий во всех сферах человеческой деятельности. По своей значимости и актуальности она превосходит проблему дальнейшей индустриализации производства. Считается, что современное общество вступает в постиндустриальный период своего развития, который по всеобщему мнению должен быть информационным.

Специализированное учреждение ООН по вопросам образования, науки и культуры ЮНЕСКО (UNESCO – United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization) дало следующее определение информатизации:

«Информатизация – это развитие и широкомасштабное применение методов и средств сбора, преобразования, хранения и распространения информации». – Оно же и определило цели информатизации: систематизация имеющихся и формирование новых знаний, их использование обществом в целях его управления и развития.

Термин информация имеет много определений. В широком смысле информация – это результат отражения реального мира. В более узком смысле информация – это совокупность сведений о процессах и явлениях в некотором объекте (субъекте), которые подлежат хранению, передаче и преобразованию.

Оба определения важны для понимания процессов функционирования систем любой сложности и предназначения. Следует также подчеркнуть подход к определению информации как меры устранения неопределенности в отношении исхода какого-либо явления.

К числу важных областей науки и техники, достижения которых играют ключевую роль в создании инфраструктуры информатизации, относится радиотехника. Именно достижения радиотехники явились основой для создания функциональной и структурной организации современных коммуникационных систем и вычислительных сетей, обеспечивающих пользователям широкий выбор информационно-вычислительных услуг с доступом к удаленным машинных ресурсам, технологиям и базам данных.

Радиотехника – это область науки и техники, связанная с практическим использованием электромагнитных колебаний для передачи, извлечения, хранения и преобразования информации. С этой целью изучаются теоретические и практические основы формирования (генерации), преобразования, передачи и приема электромагнитных колебаний радиочастотного диапазона.

Информатика – это область науки и техники, которая представляет собой неразрывное единство трех составных частей: 1) теории передачи и преобразования информации, 2) алгоритмических средств обработки информации, 3) вычислительных средств. Первая из этих частей – это то, что объединяет такие понятия, как радиотехника и информатика. Поэтому совсем не случайно реализована идея наряду с термином радиотехника использовать термин радиоинформатика.

Информационный аспект работы любой системы предполагает использование определенного материального носителя информации. Физический процесс, являющийся функцией некоторых параметров и используемый в качестве носителя информации, называется сигналом. Множество состояний сигнала должно быть таково, чтобы можно было однозначно установить состояние источника информации.

В радиотехнике для представления информации и в качестве ее носителя используют в основном электрические колебания, являющиеся функциями времени. Такие колебания и называются сигналом. Поэтому термины сигнал и колебание часто заменяют друг друга. Термин колебание, под которым понимают любой электрический процесс, используют в тех случаях, когда нет необходимости подчеркивать его информационное содержание.

Сигналы являются объектами обработки и транспортировки радиотехнических систем различного назначения. Технические средства этих систем представляют собой узкоспециализированные радиотехнические устройства, которые называют радиотехническими цепями, для того чтобы абстрагироваться от их специфики и создать единую теорию их анализа и синтеза. Именно поэтому в радиотехнике предметом анализа и исследований являются два основных компонента: радиотехнические сигналы и радиотехнические устройства (цепи), осуществляющие формирование, обработку, передачу и прием сигналов.

Множество радиотехнических сигналов с вероятностной точки зрения делится на два больших и относительно самостоятельных класса: детерминированные (неслучайные) и случайные сигналы.

Детерминированные сигналы – это сигналы, мгновенные значения которых в любой момент времени известны, т.е. предсказуемы с вероятностью, равной единице. Они могут быть описаны определенными функциями времени. Анализ и исследование этих сигналов осуществляется с помощью математического аппарата, не связанного с теорией вероятностей.

Случайные сигналы – это сигналы, мгновенные значения которых в любой момент времени не известны, но могут быть предсказаны с вероятностью, меньшей единицы. Случайные сигналы являются объектом исследования статистической радиотехники, базирующейся на теории вероятностей, в частности на теории случайных процессов.

Большинство используемых на практике радиотехнических сигналов относится к классу случайных по двум причинам. Во-первых, любой сигнал, являющийся носителем информации, должен рассматриваться как случайный. Вовторых, в устройствах, которые “работают” с сигналами, практически всегда имеются шумы или помехи, которые накладываются на полезный сигнал. Поэтому в любом канале связи полезный сигнал искажается при передаче и сообщение на приемной стороне воспроизводится с некоторой ошибкой.

Непреодолимой границы между детерминированными и случайными сигналами нет. В условиях большого отношения полезного сигнала к шуму, т.е. в случае, когда уровень помех значительно меньше уровня полезного сигнала, детерминированная модель сигнала адекватна реальной ситуации. При этом можно применять методы анализа неслучайных сигналов.

В данном учебном пособии рассматриваются основные вопросы теории детерминированных сигналов: спектральный и временной анализ немодулированных и модулированных сигналов, проблемы дискретизации аналоговых сигналов, методы формирования и основных преобразований сигналов.

В теоретических основах радиотехники большое место занимают методы анализа и синтеза различных радиотехнических цепей. При этом под радиотехнической цепью понимают совокупность соединенных определенным образом пассивных и активных элементов, обеспечивающих прохождение и функциональное преобразование сигналов. Пассивные элементы – это резисторы, емкости, катушки индуктивности и средства их соединения. Активные элементы – это транзисторы, электронные лампы, источники питания и другие элементы, способные вырабатывать энергию, увеличивать мощность сигнала. Если возникает потребность подчеркнуть функциональное назначение цепи, то вместо термина цепь используется термин устройство.

Радиотехнические цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по своему составу, структуре и характеристикам. В процессе их разработки и аналитического исследования используют различные математические модели, удовлетворяющие требованиям адекватности и простоты.

В общем случае любую радиотехническую цепь можно описать формализованным соотношением, определяющим преобразование входного сигнала x (t ) в выходной y(t ), которое символически можно представить в виде где T – оператор, указывающий правило, по которому осуществляется преобразование входного сигнала.

Таким образом, в качестве математической модели радиотехнической цепи может служить совокупность оператора T и двух множеств X = {xi (t )}, Y = { y i (t )} сигналов на входе и выходе цепи так, что По виду преобразования входных сигналов в выходные, т.е. по виду оператора T, производят классификацию радиотехнических цепей.

1. Радиотехническая цепь является линейной, если оператор T таков, что цепь удовлетворяет условиям аддитивности и однородности, т.е. справедливы равенства где c – константа.

Эти условия выражают суть принципа суперпозиции, свойственного линейным цепям.

Функционирование таких цепей описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами где a k и bk – постоянные коэффициенты, зависящие от схемы и ее параметров.

Характерно, что линейное преобразование сигнала любой формы не сопровождается появлением в спектре выходного сигнала гармонических составляющих с новыми частотами, т.е. линейное преобразование не приводит к обогащению спектра сигнала.

2. Радиотехническая цепь является нелинейной, если оператор T не обеспечивает выполнения условий аддитивности и однородности. Функционирование таких цепей описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, т.е.

уравнениями, хотя бы один коэффициент которых является функцией входного сигнала или его производных.

Нелинейные цепи не удовлетворяют принципу суперпозиции. При анализе прохождения сигналов через нелинейную цепь результат определяется как отклик на сигнал как таковой. Его нельзя разлагать на более простые сигналы. В то же время нелинейные цепи обладают очень важным свойством – обогащать спектр сигнала. Это значит, что при нелинейных преобразованиях в спектре выходного сигнала появляются гармонические составляющие с частотами, которых не было в спектре входного сигнала. Возможно появление также составляющих с частотами, равными комбинации частот гармонических составляющих спектра входного сигнала. Это свойство нелинейных цепей обусловило их применение для решения широкого класса задач, связанных с генерацией и преобразованием сигналов.

Структурно линейные цепи содержат только линейные элементы, к числу которых относятся и нелинейные элементы, работающие в линейном режиме (на линейных участках своих характеристик). Линейные цепи – это усилители, работающие в линейном режиме, фильтры, длинные линии, линии задержки и др. Нелинейные цепи содержат один или несколько нелинейных элементов. К числу нелинейных цепей относятся генераторы, детекторы, модуляторы, умножители и преобразователи частоты, ограничители и др.

3. Радиотехническая цепь является параметрической, если оператор T зависит от параметров цепи, которые изменяются со временем. Функционирование таких цепей описывается дифференциальными уравнениями, хотя бы один коэффициент которых является функцией времени. Параметрические цепи могут быть линейными и нелинейными.

Линейные параметрические цепи удовлетворяют условиям суперпозиции (аддитивности и однородности). Кроме того, эти цепи способны обогащать спектр сигнала. Структурно они содержат элементы, параметры которых (сопротивление, емкость, индуктивность) изменяются со временем.

По характеру временной зависимости выходного сигнала от входного различают инерционные и безынерционные радиотехнические цепи.

Радиотехническая цепь, значение выходного сигнала y (t ) которой в момент t = t0 зависит не только от значения входного сигнала x(t ) в этот момент времени, но и от значений x(t ) в моменты времени, предшествовавшие моменту t0, называется инерционной цепью. Если значение выходного сигнала y (t ) в момент t = t0 полностью определяется значением x(t ) в тот же момент времени t0, то такая цепь называется безынерционной.

В учебном пособии рассматриваются основные вопросы теории линейных и нелинейных радиотехнических цепей: методы анализа, характеристики, методы функциональных преобразований сигналов и технические средства, реализующие эти преобразования.

Для лучшего понимания места излагаемого материала среди общих проблем радиотехники приведем некоторые сведения системного характера, реализуя тем самым диалектический подход к изложению и изучению основных вопросов в соответствии с принципом от общего к частному.

Радиотехническая система (РТС) – совокупность устройств, обеспечивающих выполнение конкретных относительно самостоятельных задач с использованием радиосигналов.

На первоначальном этапе своего развития РТС решали преимущественно связные задачи. Затем область их применения существенно расширилась: телевидение, радиолокация, радиоуправление, радионавигация, реализация методов измерения в различных отраслях (биологии, медицине, геологии и др.). В настоящее время РТС – это телекоммуникационные вычислительные сети различного уровня и назначения. Именно их имеют в виду, когда говорят о технических и алгоритмических средствах информационных технологий. Цифровые ЭВМ, различное коммуникационное оборудование вычислительных сетей (коммутаторы, концентраторы, шлюзы, маршрутизаторы, мосты, модемы и др.), различные средства связи (цифровые, аналоговые, спутниковые, мобильные, с использованием оптоволоконной технологии) – это РТС, построенные на основе современной технологической базы с использованием достижений радиотехники.

Использование в РТС электрических сигналов для представления обрабатываемой информации предполагает наличие в структуре этих систем радиотехнических устройств, которые работают с такими сигналами.

С позиций системотехники в понятие «радиотехническая система» может вкладываться различное содержание. При этом данное понятие может быть применено при рассмотрении радиотехнических устройств разного иерархического уровня, в частности:

сложной системы управления воздушным движением, состоящей из множества различных радиолокационных станций, радиопередающих и радиоприемных устройств, оборудования борта, пункта управления и т.д.;

радиолокационной станции сопровождения и определения параметров движения целей, состоящей из приемопередающего тракта, передающей и приемной антенн, автоматических устройств слежения и определения координат целей, индикаторных устройств, источников питания и т.д.;

радиопередающего или радиоприемного устройств, содержащих фильтры, усилители, модулятор, детектор, преобразователи частоты, антенные устройства, источники питания и т.д.;

устройств, обеспечивающих фильтрацию, усиление, модуляцию, преобразование частоты, детектирование и др.

В рамках системных принципов выделяют следующие особенности радиотехнических систем:

1. Целостность – наличие у системы единого функционального назначения. При этом свойства системы нельзя свести к сумме свойств составляющих ее частей.

2. Иерархичность – часть системы может рассматриваться как система более низкого уровня, в свою очередь сама система может быть частью более сложной системы.

3. Сложность – наличие сложных взаимосвязей между различными переменными, описывающими систему.

4. Случайность – влияние на характер функционирования множества внутренних и внешних случайных факторов.

5. Автоматизация – широкое использование в структуре РТС вычислительных средств различного уровня и назначения.

1.5. Классификация радиотехнических систем В различных сферах человеческой деятельности нашло применение большое число радиотехнических систем, которые классифицируются по различным признакам. Важнейший из них –функциональное назначение системы, определяющее принцип действия, частотный диапазон, дальность действия, помехоустойчивость и т.д.

По функциональному назначению РТС делятся на следующие классы:

1. Системы передачи информации – системы связи (многоканальная радиосвязь, радиорелейная связь, связь через искусственные спутники Земли, мобильная радиосвязь), радиовещание и телевидение, телеметрия, передача команд.

2. Системы извлечения (обнаружения и измерения) информации.

Системы извлечения информации осуществляют извлечение информации из сигналов, излученных в направлении на объект и отраженных от него (радиолокация, радионавигация), из сигналов других радиотехнических систем (радиоизмерение, радиоразведка), из собственных радиоизлучений различных объектов (пассивная радиоастрономия).

3. Системы радиоуправления.

Системы радиоуправления обеспечивают управление различными объектами или процессами с помощью радиосигналов (радиоуправление ракетами, радиоуправление космическими аппаратами).

4. Системы разрушения информации.

Системы разрушения информации служат для создания помех нормальной работе конкурирующей радиосистемы путем излучения мешающего сигнала или путем переизлучения сигнала подавляемой радиосистемы после умышленного искажения.

5. Информационные системы – ПЭВМ, вычислительные комплексы, вычислительные сети.

6. Комбинированные радиотехнические системы – радиотехнические комплексы военного назначения, автоматизированные и автоматические системы управления. Комбинированные системы осуществляют выполнение функций, свойственных двум или более системам, различным по функциональному назначению (передачи, извлечения, разрушения информации, радиоуправления).

На примере типовой системы передачи информации рассмотрим ее структурный состав и ассортимент преобразований, которому подвергается сигнал в различных устройствах системы.

1.6. Структурная схема системы передачи информации Системы передачи информации обеспечивают передачу необходимой информации от источника к потребителю. Признаком таких систем является наличие отправителя и получателя информации. Отправитель формирует информацию в соответствующее сообщение и с помощью радиосигнала (носителя информации) передает по каналу связи получателю. Получатель принимает радиосигнал, выделяет из него переданное сообщение и использует полученную информацию по назначению.

На рис.1.1 приведена структурная схема системы передачи информации.

Она представляет собой совокупность технических средств, обеспечивающих передачу информации от источника (передающее устройство, передатчик) и прием информации потребителем (приемное устройство, приемник). Такую систему называют системой связи или радиотехническим каналом связи.

Функционирование систем передачи информации основано на свободном распространении электромагнитных колебаний, которые излучаются в пространство передающими антеннами. Для этого передающее устройство формирует высокочастотное (несущее) колебание, один или несколько параметров которого изменяются по закону передаваемого сообщения. Распространяясь в определенном направлении, радиоволны достигают антенны приемного устройства, в котором из принятого высокочастотного колебания выделяется передаваемое сообщение.

Рис. 1.1. Структурная схема системы передачи информации Рассмотрим основные преобразования сигналов, осуществляемые в передатчике и приемнике, а также назначение функциональных устройств в их составе.

Передающее устройство Передающее устройство осуществляет преобразование передаваемого сообщения и приведение его к виду, пригодному для передачи в свободное пространство с помощью антенн. С этой целью в состав устройства входят:

1. Преобразователь информации в электрический сигнал. При передаче речи – это микрофон, при передаче изображения – передающая трубка, при передаче текста – телеграфный аппарат и др. На выходе преобразователя формируется сигнал, спектр которого сосредоточен в области низких частот (относительно частоты несущего колебания).

2. Усилитель низкой частоты (УНЧ) обеспечивает усиление по мощности низкочастотного информационного сигнала, что требуется для его дальнейшего преобразования.

3. Кодирующее устройство осуществляет при необходимости кодирование передаваемого сигнала. В цифровой системе связи такую операцию выполняет микросхема, называемая кодером. Это устройство преобразует аналоговый сигнал в цифровую форму (дискретизирует по времени, квантует по уровню и кодирует цифровым кодом). На выходе кодера передаваемый сигнал имеет вид последовательности импульсов.

4. Модулятор и генератор высокой (несущей) частоты, реализующие процесс модуляции. Сущность модуляции заключается в следующем. Генератор высокой частоты формирует гармоническое высокочастотное колебание, которое подается на модулятор. На второй вход модулятора поступает передаваемый сигнал. Модулятор изменяет соответствующий параметр высокочастотного колебания (амплитуду, частоту или фазу) по закону изменения передаваемого сигнала, т.е. сообщения. В результате формируется модулированное колебание, представляющее собой высокочастотное гармоническое колебание, амплитуда или фаза (а значит, и частота) которого является функцией времени.

Заметим, что иногда функции модулятора и кодирующего устройства объединяют в одном устройстве.

5. Усилитель высокой частоты (УВЧ) усиливает модулированный высокочастотный сигнал для последующей передачи его с помощью антенны в свободное пространство.

Таким образом, в передающем устройстве сигналы подвергаются различным преобразованиям. Основные из них: усиление на низкой и высокой частотах, кодирование, модуляция (амплитудная, частотная, фазовая и др.), генерирование, умножение частоты.

Приемное устройство Высокочастотные радиосигналы, улавливаемые приемной антенной, поступают в приемное устройство. Приемное устройство осуществляет соответствующие преобразования принятого высокочастотного сигнала с тем, чтобы выделить передаваемую информацию без искажения. С этой целью в состав устройства входят:

1. Фильтр и усилитель высокой частоты (УВЧ). В зависимости от расстояния между передающим и приемным устройствами, от ширины и направленности передающей и приемной антенн, а также от условий распространения радиоволн мощность сигнала на входе приемника достигает значений 10 10 10 14 Вт. Такой сигнал требует усиления. Кроме того, для подключения к приемнику нужного источника (например, определенного канала из многих при их частотном разделении) необходим селектор, в качестве которого может служить полосовой фильтр с перестраиваемой резонансной частотой. Полоса пропускания фильтра должна быть не меньше полосы частот, занимаемой принятым высокочастотным сигналом.

Предварительное усиление принятого сигнала осуществляется усилителем высокой частоты. Этот усилитель должен быть с перестройкой частоты и иметь большой коэффициент усиления в силу незначительной мощности принятого сигнала. Реализовать это затруднительно. Дело в том, что усилитель с большим коэффициентом усиления содержит несколько каскадов усиления, что затрудняет перестройку частоты. Кроме того, в таких усилителях существует опасность самовозбуждения на высоких частотах из-за возникновения паразитных связей между входом усилителя и выходом. Поэтому основное усиление сигнала обеспечивают на более низкой частоте.

2. Смеситель и гетеродин. Эти устройства решают задачу преобразования частоты сигнала, поэтому их называют преобразователем частоты. Они осуществляют перенос спектра принятого сигнала в область более низких частот, в частности в область промежуточной частоты. В большинстве радиовещательных приемников эта частота выбирается равной 465 кГц (между диапазонами длинных и средних волн).

Гетеродин – это генератор гармонического колебания с перестраиваемой частотой. Смеситель умножает колебание с выхода генератора на принятый высокочастотный сигнал и формирует сигнал, имеющий разностную (промежуточную) частоту.

3. Усилитель промежуточной частоты (УПЧ) – это усилитель мощности, обеспечивающий значительное усиление сигнала без перестройки его частоты.

4. Детектор. Реализует операцию, обратную по отношению к модуляции, т.е. извлекает сигнал, который изменяется по закону передаваемого сообщения (возможно, закодированный). Поэтому это устройство часто называют демодулятором. В зависимости от того, какая модуляция использована для передачи информации в передающем тракте, применяют амплитудный, частотный или фазовый детекторы. Основное требование к детектору – это по возможности точное воспроизведение формы передаваемого сигнала. В цифровых системах связи пару модулятор-демодулятор называют модемом.

5. Декодер. Восстанавливает сообщение по принятым кодовым символам.

С выхода декодера аналоговый сигнал поступает на усилитель низкой частоты.

В цифровых системах связи пару кодер-декодер называют кодеком. В аналоговых системах связи кодека может и не быть. Иногда функции детектора и декодера объединяют в одном устройстве.

6. Усилитель низкой частоты (УНЧ). Усиливает сигнал до уровня, обеспечивающего работу оконечного устройства. Оконечным устройством может быть динамик приемника, телеграфный автомат, телевизионная трубка и др.

Из краткого и достаточно общего рассмотрения схемы и принципов функционирования типового радиотехнического канала связи следует, что передача сообщений по радиоканалу сопровождается разнообразными преобразованиями сигналов. Эти преобразования реализуются с помощью радиотехнических устройств (цепей), каждое из которых в зависимости от его структурной организации выполняет определенную операцию над сигналами (фильтрацию, усиление, генерирование, модуляцию, детектирование и др.).

Заметим, что для рассматриваемой системы связи перечислены операции, связанные с функционально необходимыми, основными преобразованиями сигнала. Однако в современных системах связи выполняется также обработка сигналов, которая способствует решению проблем оптимизации и адаптации, достижению требуемого уровня помехозащищенности, более высоких характеристик надежности и качества передачи информации, а также обеспечивает скрытность связи. Такая обработка сигналов является предметом теории оптимального приема и исследуется методами статистической радиотехники. В данной книге вопросы оптимального приема сигналов не рассматриваются, их можно найти в фундаментальных монографиях [1,2,11].

1.7. Проблемы обеспечения эффективности радиотехнических систем Под эффективностью радиотехнической системы понимают меру соответствия системы своему функциональному назначению. Количественно эффективность оценивается с помощью показателя эффективности, т.е. численного критерия, позволяющего определить способность системы выполнять возложенные на нее задачи. Конкретный вид показателя эффективности выбирают в зависимости от типа системы, решаемых ею задач, характера различных внешних условий.

При проектировании РТС с заданной эффективностью в рамках системного подхода решается ряд достаточно сложных и важных проблем, которые обусловлены спецификой радиотехнических систем. Среди них можно выделить следующие проблемы:

обнаружения и оптимальной обработки сигналов;

радиоэлектронной борьбы;

электромагнитной совместимости;

оптимизации и адаптации.

Проблемы обнаружения и оптимальной обработки сигналов Одной из основных задач радиолокационного приема является задача обнаружения. Суть этой задачи – определить, содержит ли принимаемое колебание отраженный сигнал. Задача статистическая, то есть решается специальными обнаружителями сигнала на фоне шумов. Многообразие задач обнаружения определяется характеристиками шума, выбранным критерием обнаружения (max правдоподобия, min среднего риска и др.), видом сигнала (со случайной начальной фазой, со случайными фазой и амплитудой) и т.д.

Задача разрешения сигнала – раздельно обнаружить и измерить параметры сигналов от близкорасположенных источников, – задача также статистическая.

Решается построением радиосистем с высокой разрешающей способностью по тем параметрам сигнала (временное положение, сдвиг несущей частоты, угол прихода электромагнитной волны), которые несут информацию о соответствующих параметрах источника обрабатываемого сигнала.

Задача измерения (оценки) параметров сигнала предусматривает измерение временного положения сигнала, смещения несущей частоты, направления фронта прихода электромагнитной волны и др. Эти параметры измеряются соответствующей радиосистемой, что позволяет находить с определенной точностью координаты источников сигнала, например координаты воздушных целей:

дальность, радиальную скорость, азимут и угол места. Точность измерений определяется методом измерений, формой сигнала, влиянием шумов.

Проблема радиоэлектронной борьбы Радиоэлектронная борьба (РЭБ) ведется с целью противостоять радиотехнической разведке и созданию помех. Эффективное ведение РЭБ определяется помехоустойчивостью, скрытностью и помехозащищенностью. Помехоустойчивость – способность РТС к сохранению работоспособности в условиях действия радиопомех. Скрытность – совокупность свойств, способствующих затруднению радиотехнической разведки. Помехозащищенность – свойства РТС, затрудняющие создание и действие радиопомех.

Проблема электромагнитной совместимости Проблема электромагнитной совместимости сводится к обеспечению совместной работы РТС, число которых в настоящее время непрерывно растет, а качество улучшается. Одновременно работающие РТС, которые располагаются близко друг относительно друга, создают непреднамеренные помехи. Их уровень может оказаться недопустимым, что снижает эффективность РТС по выполнению ими основных функций. Таким образом, решение проблемы электромагнитной совместимости – это двухсторонний процесс, который сводится, с одной стороны, к максимальному снижению уровней помех источников радиоизлучения, а с другой стороны, – к принятию мер по борьбе с помехами при радиоприеме.

Проблемы оптимизации и адаптации Проблемы оптимизации и адаптации решаются при проектировании и эксплуатации РТС. При оптимизации синтезируют наилучшую в определенном смысле функциональную и алгоритмическую структуру РТС, опираясь на стационарные условия ее использования. При этом рассчитывают оптимальные характеристики устройств, входящих в РТС. Решение задач оптимизации РТС осуществляется на основе выбранных критериев оптимальности в рамках определенных ограничений (стоимостный критерий, параметрический – дальность действия, чувствительность, отношение сигнала к шуму и т.д.). Адаптация – это изменение параметров РТС в процессе эксплуатации с целью улучшения характеристик в соответствии с изменением электромагнитной обстановки. Различают адаптацию на приемной стороне (по входному сигналу – АРУ, АПЧ и т.д.), на передающей стороне (по дальности – изменение мощности передатчика, скорости передачи информации и т.д.), адаптацию в целом (по достоверности приема – использование обратной связи, повторение сигнала, изменение диапазона частот; смена режима работы; компенсация или устранение влияния помех и т.д.). Широкие возможности для оптимизации и адаптации РТС открывает применение цифровых ЭВМ в их структуре.

2. СВОЙСТВА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Для того чтобы сигналы являлись объектами теоретического изучения и анализа, необходимо иметь их математические модели. Математическая модель сигнала – это формализованное его представление в виде определенного математического объекта. Физической величиной, определяющей характер радиотехнического сигнала, обычно является напряжение или ток, изменяющиеся во времени по определенному закону. Поэтому наиболее часто в качестве модели сигнала используется функциональная зависимость, аргументом которой является время, т.е. функция времени. Обозначение – s (t ), u (t ), i (t ), размерность – В, мВ, мкВ; А, мА, мкА и др.

Функциональная зависимость s (t ) может принимать как вещественные, так и комплексные значения, представляемые в виде s (t ) = Re s (t ) + j Im s(t ).

Целесообразность использования комплексной формы представления сигнала обусловлена удобством выполнения некоторых математических преобразований.

В качестве математической модели сигнала используется также функциональная зависимость, аргументом которой является циклическая f или угловая частота, т.е. сигнал рассматривается как функция частоты. Эта функциональная зависимость, являющаяся по существу спектральным представлением сигнала, получила название спектра сигнала. Такое представление сигнала чаще рассматривают не как собственно сигнал, а как характеристику сигнала в частотной области.

Сигналы могут быть представлены также в графическом и табличном виде.

Возможно векторное представление сигнала, о чем будет сказано ниже.

Для представления и анализа сигналов приходится применять различные методы, которые зависят от назначения, структуры, математического описания и других свойств сигналов. Поэтому достаточно важным этапом процедуры анализа является классификация радиотехнических сигналов.

Классификацию детерминированных сигналов можно производить по различным признакам. Не раскрывая общей проблемы классификации, рассмотрим наиболее характерные случаи.

Как известно, для передачи информации на расстояние используются модулированные колебания, т.е. высокочастотные колебания, один или несколько параметров которых изменяются по закону передаваемого сообщения. Поэтому в канале связи различают следующие сигналы:

управляющие (модулирующие) сигналы;

высокочастотные (несущие) гармонические колебания;

модулированные колебания (радиосигналы).

Управляющие сигналы – это информационные сигналы, подлежащие передаче. Физически они представляют собой электронный вариант какого-либо сообщения, необходимого различным объектам или субъектам. Рассмотрим некоторые виды управляющих сигналов.

Непрерывные сигналы – это сигналы, имеющие определенное значение в любой момент времени их существования. Возможны точки разрыва в функции, описывающей сигналы этого класса. Такие сигналы называют еще аналоговыми сигналами.

Широкое использование в настоящее время дискретных и цифровых систем привело к необходимости применять дискретизированные сигналы. При этом различают сигналы:

дискретные по времени;

квантованные по уровню;

цифровые (дискретные по времени и квантованные по уровню).

Указанные классы сигналов представлены на рис. 2.1.

Импульсные сигналы – это сигналы, существующие в пределах конечного отрезка времени. Форма сигналов может быть различной: прямоугольная, треугольная, колоколообразная и др. (рис. 2.2,а,б,в).

Импульсными сигналами можно считать также сигналы с областью определения (, ) или (0, ), если существует конечный интервал времени, в пределах которого сосредоточена основная часть их энергии. К числу таких сигналов относят, например, колоколообразные (гауссовы) импульсы, экспоненциальные импульсы и др. (рис. 2.2,г,д).

в. Периодические и непериодические сигналы Периодические сигналы – это сигналы, которые можно представить функцией времени, удовлетворяющей условию где T – период сигнала; n =...,2,1, 0, 1, 2,....

На практике наиболее часто встречаются периодические последовательности видеоимпульсов (рис.2.3,а) и радиоимпульсов (рис. 2.3,б). Такие последовательности в общем виде представляют формулой где so (t ) – функция, описывающая одиночный импульс.

Основными параметрами последовательности импульсов являются амплитуда E, длительность и, период T, частота следования f = 1 T. Такие сигналы являются бесконечно протяженными во времени. Понятно, что они физически не реализуемы.

Непериодические сигналы не удовлетворяют вышеприведенному условию.

Обычно в качестве таких сигналов рассматривают одиночные импульсные сигналы, имеющие конечную длительность. Так как признаком периодичности сигнала является его повторяемость, то сигнал конечной длительности можно рассматривать как периодический сигнал с периодом T.

Четные сигналы описываются четной функцией времени, т.е. функцией, удовлетворяющей условию sч (t ) = sч ( t ). Полярность (знак) такого сигнала не изменяется при изменении знака по оси времени. Следовательно, четный сигнал является симметричным относительно оси ординат (рис. 2.4,а).

Нечетные сигналы описываются нечетной функцией времени, т.е. функцией, удовлетворяющей условию sнч (t ) = sнч ( t ). Полярность такого сигнала изменяется при изменении знака по оси времени. Нечетный сигнал является симметричным относительно начала координат (рис. 2.4,б).

Сигнал, описываемый функцией, не удовлетворяющей условиям четности и нечетности, будем называть произвольным (рис. 2.4,в).

Рис. 2.4. Четный (а), нечетный (б) и произвольный (в) сигналы Произвольный сигнал можно представить в виде суммы четного и нечетного сигналов. Определим вид этих сигналов.

Пусть s (t ) = s ч (t ) + s нч (t ). Изменим знак аргумента у функций этого выражения и учтем свойства четной и нечетной функций. Тогда Рассматривая выражения для s (t ) и s ( t ) как два уравнения с двумя неизвестными sч (t ) и s нч (t ), определим эти неизвестные. В результате получаем Заметим, что сигнал s ( t ) является зеркальным отображением сигнала s (t ).

Иллюстрация полученного результата представлена на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Представление сигнала s (t ) в виде суммы четного 2.2.2. Высокочастотные немодулированные сигналы Высокочастотные немодулированные сигналы – это гармонические колебания (рис. 2.6), описываемые функцией s (t ) = E cos( 0t + ), где E – амплитуда, 0 – угловая частота, – начальная фаза, ( 0t + ) – полная фаза колебания. Причем 0 = 2 f, f = 1 T – циклическая частота, T – период колебания.

Для представления этого сигнала можно воспользоваться и другими формулами, если это удобно для последующих преобразований:

При этом начальная фаза будет определяться выражением, приведенным на рис. 2.6, но при других значениях t.

График сигнала можно изображать не только как зависимость текущего значения сигнала от времени t, но и от переменной 0t, т.е. от фазы. Необходимо только помнить, что в первом случае период равен интервалу времени T, а во втором случае – углу 2. Начальная фаза во втором случае указывается непосредственно на графике.

Векторное представление гармонического колебания приведено на рис. 2.7.

Рис. 2.7. Векторное представление гармонического колебания Проведена окружность радиусом E с центром в начале координат. От положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки отложен угол. Тогда радиус-вектор OE займет положение OE1. При изменении времени радиус-вектор вращается против часовой стрелки с постоянной скоростью 0.

Так при изменении времени от 0 до t радиус-вектор повернется на угол 0t и займет положение OE2. Спроектировав вектор OE2 на ось абсцисс, получим В свою очередь, если спроектировать вектор OE2 на ось ординат, получим Выражение для сигнала s (t ) = E cos( 0t + ) может быть представлено в виде двух слагаемых:

С другой стороны, Можно сделать вывод, что сумма двух сдвинутых на 2 относительно друг друга гармонических колебаний, имеющих одинаковую частоту и разные амплитуды, есть гармоническое колебание той же частоты, но с другой амплитудой и начальной фазой.

Учитывая формулы Эйлера сигнал s(t ) = E cos( 0t + ) можно представить в комплексном виде Модулированные сигналы – это гармонические колебания высокой частоты, один или несколько параметров которых (амплитуда, частота или фаза) изменяются по какому-либо закону. Такие сигналы называют еще радиосигналами.

Математические формулы модулированных сигналов:

s(t ) = U (t ) cos( 0t + ) – амплитудная модуляция;

s (t ) = U н cos[ 0t + (t )] – угловая (частотная, фазовая) модуляция;

s(t ) = U (t ) cos[ 0t + (t )] – общий вид модулированных сигналов.

Здесь U (t ) – огибающая, 0 = 2 f 0 – несущая частота, (t ) – фазовая функция, 0 t + (t ) – полная фаза модулированного колебания. Предполагается, что за время T = 2 0 огибающая U (t ) и фазовая функция (t ) изменяются незначительно.

Если огибающая U (t ) имеет форму импльса, то радиосигнал s (t ) называется радиоимпульсом, а соответствующая ему огибающая U (t ) – видеоимпульсом.

Рассмотрена далеко не полная классификация сигналов. Но представленной информации достаточно для понимания последующих вопросов.

2.2.4. Примеры некоторых сигналов, используемых в радиотехнике Эти сигналы представлены на рис. 2.8 и описываются формулами Рис. 2.8. Прямоугольные видеоимпульс (а) и радиоимпульс (б) Сигнал и его формула представлены на рис. 2.9.

Сигнал, описываемый функцией вида s (t ) = e, представляет собой колоколообразный (гауссов) импульс (рис. 2.10). Особенностью этого сигнала является то, что его форма совпадает с формой спектральной характеристики.

Рассмотрим некоторые свойства этого сигнала.

1. Площадь импульса.

вая, что Таким образом, площадь колоколообразного импульса равна единице.

2. Физический смысл параметра.

Это временной параметр, который характеризует длительность сигнала, связанную с некоторым его значением. Определим это значение при t = (см. рис. 2.10):

Таким образом, параметр – это длительность сигнала на уровне, равном приблизительно половине его максимального значения.

3. При стремлении длительности к нулю амплитуда импульса обращается в бесконечность, а площадь остается неизменной и равной единице.

Дельта-функция Дельта-функция ( -функция, функция Дирака) – это математическая модель реально не существующего сигнала, который имеет бесконечную по величине амплитуду и нулевую длительность (рис. 2.11). Сигнал, описываемый дельта-функцией, обозначают (t ) и называют просто -функция.

Сигнал называется испытательным, так как он применяется для получения импульсной характеристики радиотехнического устройства. Реакция устройства на дельта-функцию – это и есть его импульсная характеристика.

Свойства дельта-функции, благодаря которым она широко используется в математике, физике и радиотехнике:

2) селектирующее свойство:

Селектирующее свойство становится понятным, если учесть, что ( t t0 ) = 0 на всей оси времени, кроме точки t = t0. Это позволяет сделать интервал интегрирования бесконечно малым в окрестности точки t0. В этом интервале функция f (t ) принимает значение f (t0 ), позволяющее ее вынести за знак интеграла.

Как следует из свойств колоколообразного импульса и сигнала, описываемого - функцией, справедливо следующее соотношение Функция единичного скачка Функция единичного скачка (функция Хевисайда) описывает процесс резкого (мгновенного) перехода физического устройства из одного состояния в другое. На рис. 2.12 приведен график этой функции.

Иногда функцию единичного скачка называют функцией включения и представляют формулой [2] Сигнал называется испытательным, так как он применяется для получения переходной характеристики радиотехнического устройства. Реакция устройства на единичную функцию – это и есть его переходная характеристика.

Связь между функциями (t ) и (t ) :

Гармонический сигнал Гармонический сигнал s ( t ) = E cos( 0 t + ) (см. рис. 2.6) также является испытательным сигналом, так как с его помощью определяются частотные характеристики устройств.

Для сигнала, существующего в интервале t = t2 t1, наиболее важными являются следующие характеристики (предполагаем, что сигнал представлен в комплексной форме):

1. Среднее значение сигнала Среднее значение сигнала – это по существу его постоянная составляющая.

2. Мгновенная мощность сигнала 3. Энергия сигнала 4. Средняя мощность сигнала Для периодического сигнала, энергия которого равна бесконечности, среднее значение и энергетические характеристики определяются в пределах одного периода:

1. Среднее значение сигнала s(t ) = s(t )dt.

2. Мгновенная мощность сигнала 3. Энергия сигнала за период 4. Средняя мощность сигнала 2.4. Геометрические методы в теории сигналов В теории множеств имеется понятие действительного векторного пространства, под которым понимается непустое множество V, для элементов которого определено сложение и умножение на действительные числа. Элементы этого множества называются векторами, если выполняются следующие условия:

2. Для любых a, b, c V справедливо a + (b + c) = (a + b) + c – ассоциативность.

3. Для любых a, b V справедливо a + b = b + a – коммутативность.

4. Для любых a V и действительного числа справедливо a V.

Такими действительными векторными пространствами являются векторное пространство конечных последовательностей ( x1, x 2, …, x n ) действительn ство функций, непрерывных на замкнутом отрезке, векторное пространство геометрических векторов на плоскости.

Если в действительное векторное пространство введено понятие метрики с помощью скалярного произведения векторов ( X, Y ), то такое пространство называется евклидовым векторным пространством. В этом пространстве можно определить:

длину (норму, модуль) вектора Тогда скалярное произведение двух векторов X и Y равно а квадрат модуля суммы двух векторов равен Возьмем множество Vs, элементами которого являются совокупности сигналов s1 (t ), s 2 (t ), …, s n (t ), рассматриваемые в интервале (t1, t 2 ) и обладающие свойством интегрируемости в этом интервале вида гии сигнала. Величину s k (t ) назовем нормой сигнала. Определим далее расстояние между сигналами si (t ) и s k (t ) как норму разности сигналов:

Полагая в данном выражении s k ( t ) = 0, получим выражение для нормы сигнала. Это значит, что норма сигнала – это по существу длина вектора, соответствующего сигналу, а квадрат длины – это энергия сигнала. Следовательно, концы векторов, соответствующих сигналам с одинаковой энергией, лежат на поверхности n -мерной сферы радиусом = Э.

Пользуясь приведенными выше рассуждениями, можно убедиться, что множество сигналов Vs эквивалентно n -мерному евклидову пространству и с функциями s1 (t ), s 2 (t ), …, s n (t ) можно обращаться, как с точками или векторами n -мерного евклидова пространства.

Определим энергию суммы двух сигналов si (t ) и s k (t ) :

где Эi, Эk – энергия сигналов si (t ) и s k (t ), а Эik – взаимная энергия двух сигналов.

Сравнивая полученное выражение с формулой (2.1), можно записать выражение для скалярного произведения двух сигналов и косинуса угла между ними:

Если угол = 2, то cos = 0. Это значит, что скалярное произведение сигналов с таким углом между ними, а значит, и их взаимная энергия равны 0.

Такие сигналы называются ортогональными.

Таким образом, геометрические методы в теории сигналов основаны на представлении сигнала как вектора в пространстве векторов, удовлетворяющих определенным условиям (линейности, ортогональности). При этом возможно использование понятия линейного пространства действительных или комплексных сигналов со свойствами линейного пространства векторов.

Причиной объединения сигналов в множество, образующее пространство сигналов, является наличие общих свойств, удовлетворяющих принципам линейности. При этом имеется возможность одни элементы множества выразить через другие. Исследование свойств сигналов в рамках векторного представления оказывается полезным для синтеза устройств, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Для передачи сигналов по каналам связи с помехами, а также для разрешения сигналов основное значение имеет не положение их в пространстве сигналов, а расстояние между ними. Для этого можно воспользоваться свойствами скалярного произведения векторов.

(0 < < 1) исходного сигнала (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Сжатие и расширение сигнала при различных коэффициентах Окончательно запишем Вывод. При сжатии (расширении) сигнала во времени в определенное число раз во столько же раз расширяется (сжимается) его спектр по оси частот при пропорциональном уменьшении (увеличении) амплитуд его составляющих.

Обратное преобразование Фурье Возьмем производную от левой и правой частей этого равенства:

Сравнивая полученное выражение с обратным преобразованием Фурье, можно сделать вывод, что S п ( j ) = j S ( j ).

Окончательно запишем Вывод. Спектр производной сигнала равен спектру исходного сигнала, умноженному на j. При этом амплитудный спектр изменяется пропорционально изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная / 2 при > 0 и равная / 2 при < 0.

Возьмем интеграл от левой и правой частей обратного преобразования Фурье:

Сравнивая полученное выражение с обратным преобразованием Фурье, можно сделать вывод, что Окончательно запишем Вывод. Спектр сигнала, равного интегралу от исходного сигнала, равен спектру исходного сигнала, деленному на j. При этом амплитудный спектр изменяется обратно пропорционально изменению частоты, а к фазовой характеристике исходного сигнала добавляется постоянная составляющая, равная / Интеграл в квадратных скобках – это спектральная плотность S 2 [ j ( )] сигнала s 2 (t ).

Следовательно, Окончательно запишем s1 (t ) s 2 (t ) Вывод. Спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров, умноженной на коэффициент 1 / 2.

Аналогично можно показать, что т.е. произведению двух спектров S1 ( j ) и S 2 ( j ) соответствует сигнал, образованный сверткой двух таких сигналов, что s1 (t ) S1 ( j ), s 2 (t ) S 2 ( j ).

Следствия из полученных результатов.

где Э12 – взаимная энергия двух сигналов.

2. Если в выражении (3.14) положить s1 (t ) = s 2 (t ) = s (t ), то получим равенство Парсеваля Т.е. величина S ( j ) может рассматриваться как плотность распределения энергии сигнала по частотам.

ж. Взаимная заменяемость и t в преобразованиях Фурье 1. Сигналу s(t ) соответствует спектральная плотность S ( j ), причем Выполним взаимную замену переменных и t. Получаем Наличие мнимой единицы j в обозначении аргумента имеет только символический смысл. Поэтому в функции, описывающей сигнал, можно убрать j, а в функции, описывающей спектр, поставить. Тогда можно записать окончательный результат:

2. Спектральной плотности S ( j ) соответствует сигнал s (t ), причем Выполним взаимную замену переменных и t. Получаем Получено выражение для сигнала S ( jt ), имеющего спектр 2 s( ). Окончательно можно записать:

Физический смысл формул (3.15) и (3.16): если сигналу s (t ) соответствует амплитудный спектр S ( ), то сигналу, имеющему форму такую же, как форма амплитудного спектра S ( ), соответствует спектр, имеющий форму сигнала s (t ).

Если сигнал четный, т.е. s(t ) = s(t ), то спектральная плотность также четная и вещественная. В этом случае результаты (3.15) и (3.16) можно переписать следующим образом:

Таким образом, переменные и t в преобразованиях Фурье взаимно заменяемы.

Полученные результаты поясняются рис. 3.4.

Рис. 3.4. Взаимозаменяемость переменных и t в преобразованиях Фурье Произведение двух сигналов s1 (t ) и s 2 ( t ) = cos( 0 t + ) образует гармонический сигнал s (t ) = s1 (t ) cos( 0 t + ), в котором s1 (t ) при соблюдении некоторых условий (п. 4.5) может быть огибающей. Так, если s1 (t ) – импульсный сигнал (видеоимпульс), то s(t ) – это радиоимпульс с несущей частотой 0.

Определим спектральную плотность сигнала s(t ) :

Таким образом, спектральная плотность сигнала s (t ) равна Вывод. При умножении сигнала на гармоническую функцию образуется сигнал, спектр которого представляет собой преобразованный спектр сигнала s1 (t ). Суть преобразования заключается в переносе спектра на ± 0 с уменьшением вдвое его величины.

Рассмотренные свойства преобразования Фурье значительно облегчают вычисление спектров различных сигналов.

3.4. Определение спектров некоторых сигналов 3.4.1. Спектр колоколообразного (гауссова) импульса Сигнал, описываемый функцией вида s (t ) = e, представляет собой колоколообразный (гауссов) импульс, совпадающий по форме с графиком нормального закона распределения вероятностей (рис. 3.5,а). Некоторые характеристики сигнала (площадь под графиком сигнала, значение параметра ) рассмотрены ранее (п. 2.2.3). Убедимся в том, что амплитудный спектр этого сигнала по форме совпадает с самим сигналом.

Рис. 3.5. Колоколообразный (гауссов) импульс (а) и его спектр (б) Спектральную плотность сигнала будем определять, вычисляя прямое преобразование Фурье:

Применим формулу Эйлера:

Второй интеграл полученного выражения равен 0 как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции. Для вычисления первого интеграла воспользуемся справочником по математике [1]. В таблице неопределенных интегралов справочника приведена формула Применительно к рассматриваемой задаче Таким образом, колоколообразный импульс и его спектр описываются по существу одинаковыми функциями (отличаются только масштабом и, разумеется, аргументами). Спектр сигнала изображен на рис. 3.5,б.

Полоса спектра на уровне e ( 4) от максимального значения равна По значению можно оценить эффективную полосу частот, занимаемую спектром сигнала. Полученное соотношение позволяет сделать вывод, что чем меньше параметр колоколообразного сигнала, тем шире полоса частот, занимаемая его спектром.

Спектральную плотность -функции определим с помощью прямого преобразования Фурье, используя ее селектирующее свойство:

Таким образом, -функция имеет равномерный и сплошной амплитудный спектр, равный единице на всех частотах. Вещественность спектральной плотности обусловливает отсутствие фазового спектра (рис. 3.6,а).

Обратное преобразование Фурье от спектра -функции даст следующие формулы для ее представления:

Учитывая взаимозаменяемость частоты и времени в преобразовании Фурье, можно записать:

Сдвиг -функции вдоль временной оси на интервал t0 приведет к изменению спектра. Он будет равен При сдвиге -функции амплитудный спектр не изменяется. Появляется фазовый спектр в виде линейной зависимости фазы от частоты (рис. 3.6,б).

Рис. 3.6. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры -функции Определение спектра функции единичного скачка путем непосредственного вычисления преобразования Фурье сопровождается затруднениями, связанными с тем, что эта функция не является абсолютно интегрируемой. Поэтому пользуются косвенным методом, предусматривающим предельный переход к данной функции от другой функции, спектр которой определяется без затруднений.

Функцию единичного скачка можно получить из экспоненциального импульса путем предельного перехода, т.е.

Следовательно, спектральную характеристику функции единичного скачка можно определить, выполнив предельный переход от спектра экспоненциального импульса при 0. Определим спектр экспоненциального импульса:

Тогда искомый спектр равен При = 0 первое слагаемое в правой части этой формулы равно нулю на Таким образом, пределом первого слагаемого при 0 является взвешенная -функция, т.е. ( ). Пределом второго слагаемого – величина 1 ( j ). В результате можно записать выражение для спектральной плотности функции единичного скачка:

Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Амплитудный и фазовый спектры функции единичного скачка 3.4.4. Спектр постоянного во времени сигнала Поскольку мы знаем, что спектром -функции является константа, то благодаря дуальности преобразования Фурье можно ожидать, что спектр постоянного во времени сигнала (константы) будет иметь вид -функции.

Пусть s (t ) = A. Спектр этого сигнала равен Предположение подтвердилось (рис. 3.8,а). Здесь хорошо прослеживается обратная пропорциональность между длительностью сигнала и шириной его спектра: бесконечно протяженный сигнал имеет бесконечно узкий спектр.

Рассмотрим комплексный сигнал вида s (t ) = Ee j 0 t. Спектр такого сигнала равен Спектр комплексного сигнала представляет собой одиночную взвешенную -функцию (рис. 3.8,б). Сигнал не является вещественным, поэтому амплитудный спектр теряет свойство четности.

Рис. 3.8. Амплитудные спектры постоянного во времени сигнала (а) Заметим, что модель комплексного сигнала является удобным средством анализа модулированных сигналов, особенно при сложных видах модуляции, предусматривающих одновременное изменение амплитуды и фазы. Такая модель сигнала анализируется в следующем разделе 4.

Определим спектральную плотность гармонического сигнала Окончательно Спектральная плотность гармонического сигнала представляет собой пару взвешенных -функций, расположенных на частотах ± 0. Веса -функций отражают комплексную амплитуду гармонического сигнала.

3.4.7. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса Спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса (рис. 3.9) определим двумя способами:

1) непосредственным вычислением прямого преобразования Фурье;

2) использованием свойств преобразования Фурье.

Первый способ.

Вычисляем прямое преобразование Фурье, учитывая ограниченную длительность сигнала и постоянство амплитуды в пределах длительности:

Рассматривался четный сигнал, поэтому его спектральная плотность содержит только действительную часть (см. рис. 3.9,б).

Амплитудный спектр представляет собой функцию типа sin x x. Он имеет лепестковый характер, причем ширина лепестков равна 2 и, т.е. обратно пропорциональна длительности импульса. Нули спектра определяются из уравнения sin ( и 2) = 0 :

Значение спектральной плотности импульса при = 0 равно произведению E и, т.е. S (0) равно площади импульса.

При увеличении длительности импульса ширина лепестков спектра уменьшается, при этом увеличивается значение S (0). При уменьшении длительности импульса ширина лепестков увеличивается, значение S (0) уменьшается. При и 0 точки спектра k = ± k удаляются в бесконечность и беси конечно малая спектральная плотность становится равномерной в бесконечной полосе частот. При и точки спектра k приближаются к нулю и бесконечно большая спектральная плотность приобретает вид -функции (с полосой частот, равной нулю).

Фазовый спектр (см. рис. 3.9,б) принимает лишь два значения: 0 и в зависимости от знака функции sin x x. Значения фазы и неразличимы, разные знаки для фазового спектра при > 0 и < 0 использованы лишь с целью представления его в виде нечетной функции.

Рис. 3.9. Прямоугольный импульс и его производная (а), При сдвиге импульса по оси времени на величину t = ± t0 спектральная плотность в соответствии со свойствами преобразования Фурье приобретает вид Как видно из этого выражения, амплитудный спектр не изменяется, а фазовый спектр свидетельствует о линейной зависимости фазы от частоты со скачками на в точках k (штриховая линия на рис. 3.9,б).

Определяем сигнал s1 (t ), равный производной от рассматриваемого пряds (t ) моугольного видеоимпульса, т.е. s1 (t ) =. Этот сигнал представляет собой две взвешенные -функции (см. рис.3.9,а). Спектральная плотность сигнала s1 (t ) будет равна сумме спектральных плотностей -функций, а именно:

Спектральная плотность прямоугольного импульса, являющегося интегралом от сигнала s1 (t ), получается делением спектра S1 ( j ) на j (см. свойства преобразования Фурье):

Второй способ вычисления спектральной плотности является более простым.

3.4.8. Спектральная плотность произвольного периодического сигнала Периодический сигнал может быть представлен рядом Фурье в комплексной форме где 1 = – частота первой гармоники, равная частоте сигнала.

Учитывая результаты, полученные при вычислении спектра комплексного сигнала, можно сделать вывод, что спектральная плотность произвольного периодического сигнала представляет собой набор -функций, расположенных на частотах гармоник ряда Фурье. Веса -функций равны соответствующим коэффициентам ряда Фурье, умноженным на 2.

3.4.9. Спектральная плотность сигнала вида sin x x При рассмотрении вопросов дискретизации непрерывных сигналов возникает необходимость знать спектр сигнала, описываемого функцией sin x x. Вычисление спектра будем производить по формуле прямого преобразования Фурье. Итак, пусть задан сигнал Нули сигнала определяются так:

Из таблицы определенных интегралов [10]:

Тогда при > m S ( j ) = 0, а при < m S ( j ) = A m. Таким образом, спектральная плотность сигнала типа sin x x вещественная (сигнал четный), амплитудный спектр имеет форму прямоугольного импульса. Конкретно для рассматриваемого сигнала s (t ) = A амплитудный спектр ограничен полосой частот 2 m, в пределах которой уровень спектра равномерен и равен (рис. 3.10) Аналогичный результат может быть получен из свойства дуальности преобразования Фурье. В соответствии с этим свойством, если четному сигналу s (t ) соответствует спектральная плотность S ( j ), то сигналу S (t ) будет соответствовать спектральная плотность 2s ( j ).

Известно, что прямоугольному импульсу длительностью и и амплитудой E соответствует спектральная плотность E и. Это значит, что сиги 2) налу типа sin x x соответствует амплитудный спектр, имеющий прямоугольную форму. Необходимо только определить длительность и уровень амплитудного спектра рассматриваемого сигнала s (t ).

Заменив t на, а также и 2 на m и E на A 2 m, из формулы прямоугольного импульса получим спектральную плотность s ( j ) в частотном диапазоне 2 m. Уровень амплитудного спектра равен 2A 2 m = A 2 f m.

Итак, окончательно можно записать выражение для спектра рассматриваемого сигнала Полученные результаты будут использованы при рассмотрении вопросов дискретизации непрерывных сигналов на основании теоремы Котельникова.

При решении многих задач оптимальной обработки сигналов возникает потребность определять степень подобия различных сигналов или сигнала и его копии, сдвинутой на определенное время. Такая проблема возникает, например, в радиолокации при решении задачи обнаружения полезных сигналов (сигналов, отраженных от цели) на фоне шумов. В результате решения этой задачи в рамках линейных систем синтезирован оптимальный обнаружитель сигналов, структура которого содержит согласованный фильтр или корреляционный приемник. Алгоритм работы подобного обнаружителя предполагает вычисление функции [11] где W0 – энергетический спектр шума;

T – интервал времени, в пределах которого осуществляется обработка смеси сигнала и шума;

s (t ) – полезный сигнал;

(t, ) – отраженный от цели сигнал, представляющий собой сумму задержанного на полезного сигнала и шума n(t ), т.е.

Здесь – случайная величина, причем = 0, если полезный сигнал отсутствует, и = 1, если сигнал присутствует.

Задача обнаружителя – определить значение. Для этого результат вычисления функции q(T, ) сравнивается с порогом h. Если q (T, ) > h, то = (цель присутствует), если q (T, ) < h, то = 0 (цели нет).

Как видно из рассмотренного алгоритма, оптимальный обнаружитель сигналов при n(t ) = 0 предусматривает расчет функции Эта функция в общем случае имеет вид и называется автокорреляционной функцией (АКФ) сигнала s (t ). Как видно из формулы, АКФ – это свертка сигнала s (t ) и его зеркального отображения s (t ), т.е. R( ) = s ( ) s ( ). Если сигнал – напряжение (размерность B ), то размерность АКФ – B 2 c.

Если в формуле (3.17) фигурируют различные сигналы s1 (t ) и s2 (t ), то такая функция называется взаимокорреляционной. Она обозначается как R12 ( ) или R21 ( ) и имеет вид Автокорреляционную и взаимокорреляционную функции иногда называют просто корреляционной функцией, различая их по содержанию рассматриваемого вопроса.

Для сигналов, представленных в комплексной форме, автокорреляционная и взаимокорреляционная функции определяются следующим образом:

3.5.2. Свойства автокорреляционной функции Будем полагать, что исследуемый сигнал является импульсным с конечной длительностью, так что интеграл вида (3.17) существует.

Для фиксированного момента времени (фиксированного сдвига копии относительно оригинала) АКФ равна площади функции, описывающей произведение s (t ) s (t ), то есть общей (совпадающей по оси t) площади двух сигналов. При этом АКФ характеризует степень подобия сигнала s (t ) и его смещенной во времени копии s (t ), а также положение сигналов на оси времени.

Кроме того, автокорреляционная функция обладает следующими свойствами.

1. При = 0 автокорреляционная функция равна энергии сигнала, т.е.

2. Осуществив замену переменной x = t в выражении для R( ), можно легко убедиться, что Таким образом, автокорреляционная функция относится к классу четных функций.

3. При любом значении модуль АКФ не превосходит энергии сигнала, т.е. R( ) R(0) = Э, что непосредственно следует из известного неравенства Коши–Буняковского:

где s (t ) – норма вектора, соответствующего сигналу s (t ).

4. С ростом абсолютного значения АКФ сигнала с конечной энергией затухает, т.е. lim R( ) = 0.

В результате можно сделать вывод, что график АКФ – это симметричная относительно оси ординат кривая в верхней полуплоскости с центральным максимумом при = 0. Это также следует из физической интерпретации корреляционной функции – сигнал и его копия при отсутствии временного сдвига, то есть при = 0, имеют наибольшую степень подобия.

Пример 1.

Определить математически и графически корреляционную функцию прямоугольного видеоимпульса.

На рис. 3.11,а,б показано взаимное расположение сигнала и его копии, сдвинутой на время при < 0 и > 0. Заштрихованная область – это область, используемая для определения произведения s (t ) s (t ). При этом значения корреляционной функции при различных определяются выражениями:

Полученные результаты можно объединить и записать Рис. 3.11. Определение R( ) прямоугольного видеоимпульса Как видно из (3.19), корреляционная функция сигнала не зависит от положения s (t ) на временной оси. График R( ) представлен на рис. 3.11,в.

3.5.3. Автокорреляционная функция периодического сигнала Периодические сигналы являются бесконечно протяженными во времени.

Следовательно, эти сигналы, обладая конечной мощностью, имеют бесконечно большую энергию. Для таких сигналов АКФ, являющаяся энергетической характеристикой сигнала, должна определяться в пределах одного периода в единицах средней мощности, то есть где T – период сигнала.

Так как периодический сигнал – это сигнал, удовлетворяющий условию то можно записать Таким образом, автокорреляционная функция периодического сигнала является периодической функцией с периодом, равным периоду сигнала. Если сигнал-напряжение (размерность B ), то размерность АКФ периодического сигнала – B 2.

Определить автокорреляционную функцию сигнала s(t ) = E cos( t + ).

Автокорреляционная функция гармонического колебания с периодом T = 2 также является гармонической с таким же периодом. Заметим, что АКФ гармонического колебания не зависит от его начальной фазы.

3.5.4. Автокорреляционная функция сигналов с дискретной структурой Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией, а результат такого преобразования – дискретным сигналом. При обработке сигналов в вычислительных устройствах его отсчеты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множество значений. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню. Сигнал, дискретный во времени и квантованный по уровню, называется цифровым сигналом. Дискретные и цифровые сигналы – это сигналы с дискретной структурой. Такую структуру может иметь каждый импульс периодической последовательности.

Сигналы с дискретной структурой широко используются для кодирования информации при построении средств связи и средств вычислительной техники.

Некоторые модели сложных сигналов при этом создаются следующим образом.

Интервал времени, соответствующий длительности сигнала, разбивается на целое число m > 1 промежутков, равных t. На этих промежутках сигнал принимает фиксированные значения, например U 0 и U 0. Эти значения кодируются числами 1 и -1. Так, сигнал, изображенный на рис. 3.12, может быть закодирован в виде a1, a 2, a3, a 4, a5, a 6, a 7, где a1 = a 2 = a3 = 1, a 4 = a5 = 1, Автокорреляционная функция такого сигнала также определяется по формуле (3.17). Однако при этом необходимо иметь в виду, что операции интегрирования соответствует в дискретном случае операция суммирования, а переменная изменяется дискретно на величину интервала дискретизации сигнала.

При этом АКФ будет соответствовать формула где n – целочисленный аргумент, указывающий, на сколько позиций сдвинута копия сигнала относительно оригинала.

Автокорреляционная функция, являясь в данном случае функцией целочисленного аргумента, обладает всеми свойствами обычной автокорреляционной функции. Так, R(n) – это четная функция, т.е. R(n) = R(n). При нулевом сдвиге дискретная АКФ равна энергии сигнала, т.е.

Пример 3.

Для иллюстрации сказанного вычислим АКФ сигнала, соответствующего коду Баркера при m = 7.

Расчет АКФ сигнала, соответствующего коду Баркера На рис. 3.12 приведен график АКФ этого сигнала с учетом ее четности.

Заметим, что сигналы (коды) Баркера обладают совершенными свойствами с позиций теоретической радиотехники и прикладной математики: значения их АКФ при n 0 не превышают 1, а при n = 0 энергия этих сигналов равна m.

3.5.5. Взаимокорреляционная функция сигналов Для количественной оценки степени подобия двух различных сигналов s1 (t ) и s 2 (t ) служит взаимокорреляционная функция (ВКФ), которая определяется выражениями:

Рис. 3.12. Код Баркера (а) и его корреляционная функция (б) Свойства взаимокорреляционной функции 1. Значения R12 ( ) и R 21( ) не изменятся, если вместо задержки сигнала s 2 (t ) или s1 (t ) рассматривать опережение s1 (t ) или s 2 (t ), т.е. можно записать В этом можно убедиться, осуществив замену переменной x = t.

2. Сравнивая выражения (3.20) и (3.21), можно отметить следующее свойство взаимокорреляционной функции:

3. Взаимокорреляционная функция в общем случае не является четной функцией и необязательно достигает максимума при = 0.

где Э12 – взаимная энергия сигналов s1 (t ) и s 2 (t ).

5. С ростом абсолютного значения ВКФ сигналов с конечной энергией затухает, т.е. lim R12 ( ) = 0 и lim R21 ( ) = 0.

Пример 4.

Определим взаимокорреляционные функции R12 ( ) и R21 ( ) прямоугольного s1 (t ) и треугольного s 2 (t ) видеоимпульсов (рис. 3.13).

Рис. 3.13. Прямоугольный и треугольный видеоимпульсы На рис. 3.14 и 3.15 показано взаимное расположение сигналов при сдвиге одного из них на время при < 0 (а) и > 0 (б). Заштрихованная область – это область, используемая для определения произведений s1 (t ) s 2 (t ) и Определение R12 ( ) :

Определение R21 ( ) :

Пределы интегрирования определяются из рис. 3.14,а,б и 3.15,а,б с учетом знака времени сдвига.

Графики R12 ( ) и R21 ( ) представлены на рис. 3.14,в и 3.15,в соответственно.

Определить взаимокорреляционные функции R12 ( ) и R21 ( ) треугольного импульса s1 (t ) и -функции.

Учитывая селектирующее свойство -функции, можно записать Графики сигналов s1 (t ) и -функции, а также их взаимокорреляционных функций R12 ( ) и R21 ( ) приведены на рис. 3.16.

Рис. 3.16. Формирование ВКФ для треугольного импульса и -функции Определим корреляционную функцию одиночного импульсного сигнала тельностью -функций:

Получена корреляционная функция, которая соответствует периодической последовательности сигналов s1 (t ), т.е. получен периодический сигнал Таким образом, можно сделать вывод, что любой периодический сигнал можно представить в виде корреляционной функции одиночного импульсного сигнала s1 (t ) и сигнала s2 (t ), являющегося периодической последовательностью -функций.

Полученный результат поясняется рис. 3.17.

Рис. 3.17. Получение периодической последовательности импульсов 3.5.7. Энергетический спектр и автокорреляционная функция сигнала При изучении детерминированных сигналов и процессов их преобразований широко используется спектральный метод анализа. Корреляционная функция – это характеристика сигнала во временной области, спектр – в частотной области. Обе характеристики являются интегральными преобразованиями анализируемых сигналов, поэтому логично предположить существование связи между АКФ сигнала и его спектральным представлением, в частности энергетическим спектром. Эта связь достаточно просто устанавливается при следующих преобразованиях:

Окончательно получаем Это обратное преобразование Фурье. Следовательно, справедливо и его прямое преобразование:

Таким образом, автокорреляционная функция сигнала s (t ) и его энергетический спектр S ( j ) связаны между собой преобразованиями Фурье.

Учитывая четность функций R( ) и S ( j ), выражения (3.22, 3.23) можно записать так:

Применим полученные результаты для взаимокорреляционной функции.

Определим прямое преобразование Фурье от R12 ( ) :

Замена переменных:

Таким образом, взаимокорреляционная функция связана преобразованием Фурье с так называемым взаимным спектром сигналов. Взаимный спектр S12 ( j ) для сигналов s1 (t ) и s 2 (t ) представляет собой произведение их спектров, один из которых является комплексно-сопряженным.

Таким образом, если спектры сигналов не перекрываются, то их взаимный спектр равен нулю на всех частотах. Поэтому и их взаимокорреляционная функция равна нулю при любых временных сдвигах.

Полученные результаты имеют важное значение.

1. Корреляционная функция R( ) зависит от модуля спектральной плотности и не зависит от фазовой характеристики сигнала. Это значит, что различным по форме сигналам, имеющим одинаковые амплитудные спектры, соответствуют одинаковые корреляционные функции.

2. Оценка взаимной связи между корреляционными свойствами сигнала и его энергетическим спектром: чем больше эффективная ширина энергетического спектра, тем меньше интервал корреляции. И наоборот, чем больше интервал корреляции, тем меньше эффективная ширина энергетического спектра.

3. Определение энергетического спектра и корреляционной функции. С помощью коррелометра или ЭВМ можно определить АКФ сигнала, а затем, вычислив прямое преобразование Фурье, найти энергетический спектр. И наоборот, с помощью спектрометра или ЭВМ можно определить энергетический спектр сигнала и, вычислив обратное преобразование Фурье, найти его АКФ.

3.6. Дискретизация и восстановление сигналов по теореме отсчетов В настоящее время широко применяются цифровые методы обработки радиотехнических сигналов. При этом аналоговые сигналы преобразуются в цифровые путем дискретизации их по времени с последующим квантованием по уровню. В свою очередь использование дискретизации при передаче непрерывных сообщений позволяет сократить время, в течение которого канал связи занят передачей одного сообщения, что позволяет осуществить временное уплотнение канала связи с целью передачи по нему нескольких сообщений в течение определенного промежутка времени.

Дискретизация – это процесс, при котором сигнал s(t ) представляется последовательностью коротких импульсов (отсчетов). Амплитуды этих импульсов равны значениям дискретизируемого сигнала в моменты времени, отстоящие друг от друга на величину t. Другими словами, величина k -го отсчета равна s (kt ). Очевидно, что точность представления аналогового сигнала последовательностью отсчетов зависит от величины t, причем чем она меньше, тем более точно можно восстановить исходный сигнал. Однако в этом случае количество отсчетов в единицу времени будет больше, что вызывает усложнение процесса обработки сигнала и большую занятость канала связи.

Возможность определения оптимальной величины интервала дискретизации с целью точного восстановления непрерывного сигнала с ограниченным спектром предоставляет метод дискретизации, который был предложен советским ученым в области радиотехники В.А.Котельниковым. Этот метод основан на известной в математике теореме отсчетов, получившей название теоремы Котельникова:

Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше f m, полностью определяется последовательностью своих значений, взятых через равные промежутки времени t 1 2 f m.

Справедливость теоремы подтверждается тем, что сигнал s(t ), спектр которого ограничен частотой m = 2 f m, представляется рядом где t = 1 2 f m – интервал между двумя отсчетными точками (узлами) на оси времени, s (kt ) – выборки функции s (t ) в моменты времени t = kt. Функции являются базисными функциями ряда Котельникова.

Представление сигнала рядом Котельникова показано на рис. 3.18.

Рис. 3.18. Представление непрерывного сигнала рядом Котельникова 3.6.2. Доказательство теоремы Котельникова чающиеся друг от друга сдвигом по времени на величину kt. Графики функций приведены на рис. 3.19. Функция Gk (t ) достигает максимума в момент времени t = kt, тогда как другие функции Gn (t ) (при n k ) в этот момент времени равны 0.

Определим спектр сигнала, описываемого функцией Gk (t ) (в дальнейшем под Gk (t ) будем понимать либо функцию, либо сигнал, описываемый этой функцией).

В п. 3.4.9 определен спектр сигнала s (t ) = A. Амплитудный спектр этого сигнала имеет форму прямоугольного импульса и ограничен полосой частот 2 m, в пределах которой он равен A 2 f m.

Общее выражение для спектра A амплитудой и наличием сдвига на временной интервал kt. Это знаmt чит, что спектр станет комплексным, причем форма амплитудного спектра не изменится, а появится фазовый спектр ( ) = kt. Общее выражение для спектральной плотности базового сигнала Gk (t ) будет иметь вид Учитывая, что t = 1 2 f m, можно записать На рис. 3.20 приведены графики спектров дискретизируемого сигнала и сигнала, описываемого функцией Gk (t ).

Рис. 3.20. Графики спектров дискретизируемого сигнала (а) Покажем, что ряд Котельникова (3.24) определяет функцию s (t ) в любой момент времени. Этот факт будет свидетельствовать о правомерности теоремы Котельникова.

Для получения ряда воспользуемся общим методом разложения заданной функции по ортогональным системам функций (см. п. 3.1.1).

1. Функция, заданная для разложения, – s (t ).

2. Базисная система функций, по которым будет осуществляться разложеsin m (t kt ) функций в бесконечном интервале необходимо доказать.