«А.Н. Надольский ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ Учебное пособие для студентов специальностей Радиотехника, Радиоинформатика и Радиотехнические системы всех форм обучения Минск 2005 УДК 621.396 (075.8) ББК 32.84 я 73 Н ...»

3. Обобщенный ряд Фурье применительно к рассматриваемому случаю известен:

Для нахождения ряда Котельникова требуется доказать ортогональность определить коэффициенты C k.

Доказательство ортогональности системы функций Gk (t ) Система функций Gk (t ) ортогональна, если Вычислим значение интеграла от произведения Gk (t ) Gn (t ) при k n.

Из свойств преобразования Фурье известно, что если Следовательно, Применим полученное соотношение к выражению (3.26), учитывая, что Тогда Вычислим значение Gk (t ) :

Замена переменной:

Тогда Таким образом, Ортогональность системы функций Gk (t ) доказана.

Определение коэффициентов ряда Значение коэффициентов C k определим, пользуясь формулой Для вычисления воспользуемся методикой, которая применялась для вычисления интеграла от произведения Gk (t )Gn (t ) при k n :

Пределы интегрирования приведены в соответствие с тем, что спектры сигнала и функции Gk (t ) имеют граничную частоту m.

Таким образом, коэффициенты C k равны Получены все данные, чтобы записать ряд Это и есть ряд Котельникова.

Ограничение спектра сигнала наивысшей частотой m свидетельствует о непрерывности сигнала. Это значит, что ряд сходится к функции s (t ) при любом значении t.

Ширина спектра сигнала s (t ) и ширина спектра базисных функций Gk (t ), используемых для представления этого сигнала рядом Котельникова, одинаковы и равны = 2 m (рис. 3.20). Это соотношение определяется предельным случаем основного условия, фигурирующего в теореме Котельникова, а именно Интервал t между выборками при дискретизации сигнала можно взять меньше, чем 1 2 f m. Тогда ширина спектра S gk ( j ) базисной функции будет больше, чем ширина спектра S ( j ) сигнала. Это приведет к повышению точности воспроизведения сигнала, если граничная частота спектра сигнала определялась путем отсечения составляющих, выходящих за ее пределы. Заметим, что для сигналов с конечной длительностью граничная частота определяется всегда приблизительно, так как их спектр занимает бесконечную полосу частот.

Если же интервал между выборками взять больше, чем 1 2 f m, то ширина спектра S gk ( j ) будет меньше ширины спектра сигнала, что может привести к искажению сигнала при его восстановлении по выборкам.

Таким образом, уменьшение интервала между выборками при дискретизации сигнала с ограниченным спектром по сравнению с t = 1 2 f m допустимо.

При практическом применении дискретизации сигнала выбирают интервал дискретизации в 2 – 5 раз меньше, чем 1 2 f m.

3.6.3. Дискретизация сигнала с конечной длительностью Сигнал с конечной длительностью с имеет спектр с бесконечно большой шириной. Однако на практике всегда можно определить частоту, вне которой составляющие спектра обладают малой энергией по сравнению с энергией сигнала. Условно эту частоту можно считать граничной частотой f m спектра. В этом случае сигнал длительностью с приближенно можно представить некоторым числом N выборок с шагом t = 1 2 f m, причем Число 2 f m c называют иногда числом степеней свободы сигнала, или базой сигнала.

Таким образом, сигнал с конечной длительностью можно аппроксимировать рядом Котельникова с конечным числом членов, т.е.

Сигнал s (t ), представленный в виде такого ряда, воспроизводится точно только в точках отсчетов kt. В промежутках между отсчетами возникает ошибка аппроксимации, которая возрастает у краев интервала с. С увеличением граничной частоты f m возрастает база сигнала и он аппроксимируется точнее.

На рис. 3.21 показан пример аппроксимации прямоугольного импульса при различных f m.

В первом случае (рис. 3.21,а) граничную частоту приняли на уровне частотного предела первого лепестка амплитудного спектра сигнала, т.е.

f m = 1 c. При этом N = 2 f m c + 1 = 3. Во втором случае (рис. 3.21,б) – на уровне второго лепестка спектра, т.е. f m = 2 c. При этом N = 2 f m c + 1 = 5.

Рис. 3.21. Дискретизация сигнала конечной длительности Как видно из рисунка, точность аппроксимации сигнала возрастает с увеличением граничной частоты спектра, которая учитывается при определении количества слагаемых ряда Котельникова.

3.6.4. Спектр дискретизированного сигнала В процессе дискретизации аналогового сигнала s (t ) формируется дискретизированный сигнал s д (t ), представляющий собой совокупность отсчетных значений s (kt ) в дискретные моменты времени. Определим связь спектра S ( j ) аналогового сигнала со спектром S д ( j ) дискретизированного сигнала.

Дискретизированный сигнал можно представить в виде последовательности -функций, взвешенных значениями отсчетов s (kt ) аналогового сигнала (рис. 3.22), т.е.

Учитывая, что (t nt ) 0 только при t = nt, можно записать Сумма в данном выражении – это периодическая функция, которая может быть представлена в виде следующего ряда Фурье:

Коэффициенты ряда равны где д = – частота дискретизации.

При вычислении коэффициентов Ck учтено селектирующее свойство функции и тот факт, что в интервал интегрирования ( t 2, t 2) попадает только одна -функция при n = 0.

Таким образом, периодическая последовательность -функций может быть представлена в виде следующего комплексного ряда Фурье:

Как следует из свойств преобразования Фурье, умножение сигнала на e jk д t приводит к сдвигу спектра этого сигнала вправо на величину k д. Поэтому спектр дискретизированного сигнала можно записать следующим образом:

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра аналогового сигнала s (t ). Величина сдвига соседних копий спектра равна частоте дискретизации д (рис. 3.22).

Рис. 3.22. Дискретизированный сигнал и его спектр Характер спектра дискретизированного сигнала демонстрирует частотновременную дуальность преобразования Фурье: периодический сигнал – дискретный спектр, периодический спектр – дискретный сигнал.

Способ восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам наглядно демонстрирует рис. 3.22. Для этого необходимо пропустить дискретный сигнал через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра показана пунктиром.

Точное восстановление сигнала возможно, если сдвинутые копии спектра не перекрываются. Из рис. 3.22 видно, что для этого необходимо, чтобы частота дискретизации как минимум в 2 раза превышала верхнюю граничную частоту в спектре сигнала, т.е. д 2 m t 1 2 f m (см. формулировку теоремы Котельникова).

Заметим, что представление сигнала в форме (3.28) упрощает спектральный анализ дискретных сигналов. Спектральную плотность S д ( j ) можно определить непосредственно по совокупности временных отсчетов без обращения к спектру аналогового сигнала:

Следует отметить, что из-за наличия в формуле (3.29) множителя 1/t спектральная плотность дискретизированного сигнала имеет размерность, совпадающую с размерностью сигнала.

Передача информации на большие расстояния осуществляется с помощью высокочастотных электромагнитных колебаний. Для этого по закону передаваемого сообщения изменяется один или несколько параметров высокочастотного колебания, которое называется несущим. В качестве несущего колебания широко используется простое гармоническое колебание, частота которого o должна быть значительно больше максимальной частоты спектра передаваемого сообщения m. Чем меньше отношение m o, тем меньше проявляется несовершенство характеристик канала связи.

Процесс, в результате которого происходит изменение параметра(ов) несущего колебания по закону передаваемого сообщения, называется модуляцией (lat. modulatio – мерность, размеренность). Модуляция обеспечивает перенос спектра передаваемого сообщения из низкочастотной области в область высоких частот. При этом формируется высокочастотное модулированное колебание – радиосигнал.

В общем случае радиосигнал можно представить:

где U(t), (t ), (t ) – амплитуда, начальная и полная фазы, изменения которых связаны с изменениями модулирующего сигнала.

В зависимости от того, какой параметр несущего колебания используется как носитель передаваемого сообщения, различают:

– амплитудную модуляцию – угловую модуляцию При угловой модуляции изменение фазового сдвига (t ) происходит как при модуляции мгновенной частоты (t ), так и при модуляции непосредственно фазового сдвига колебания. Поэтому различают два вида угловой модуляции: частотную модуляцию (ЧМ) и фазовую модуляцию (ФМ). Эти два вида модуляции тесно связаны друг с другом и отдельно принципиально не осуществимы. Связь между ЧМ и ФМ определяется формулами, связывающими частоту и фазу гармонического колебания:

Функции U ( t ) и (t ) являются медленно меняющимися функциями времени. Это означает, что относительные изменения амплитуды и фазы за период высокочастотного колебания T0 очень малы, т.е.

ширина спектра сигнала равна Таким образом, можно сказать, что эффективная полоса частот сигнала с угловой тональной модуляцией равна удвоенной величине девиации частоты и зависит от частоты модулирующего сигнала при ФМ и не зависит – при ЧМ.

Определенный интерес с познавательной точки зрения представляет случай, когда индекс угловой модуляции имеет малое значение, т.е. 0, Спектральная плотность аналитического сигнала существует только в области положительных частот и равна удвоенной спектральной плотности исходного сигнала при > 0 и спектральной плотности исходного сигнала при = 0 (рис. 4.19,а,б).

Рис. 4.19. Амплитудные спектры физического сигнала (а), аналитического Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, можно получить следующую формулу для аналитического сигнала:

Связь спектральной плотности комплексной огибающей аналитического сигнала и спектральной плотности физического сигнала определяется выражением Полученный результат иллюстрируется рис. 4.19,в.

Задан физический сигнал s(t ), имеющий равномерную спектральную плотность S 0 в полосе частот m m. Определить аналитический сигнал, соответствующий сигналу s(t ).

Для определения аналитического сигнала воспользуемся формулой (4.8).

Учитывая, что z (t ) = s (t ) + js1 (t ), выделим физический и сопряженный ему сигналы:

Следовательно, Графики спектра физического сигнала, а также графики физического и сопряженного сигналов для данного примера приведены на рис. 4.20.

Определим связь корреляционной функции R ( ) узкополосного сигнала с корреляционными функциями R z ( ) и R A ( ) аналитического сигнала и его комплексной огибающей.

Так как z(t ) = s(t ) + js1(t ), то s(t ) = Re[ z (t )]. Следовательно, Рис. 4.20. Спектр физического сигнала (а), физический и сопряженный по Для комплексных чисел x = a + jb и y = c + jd справедливо следующее соотношение: Re( x )Re( y ) = 1 2 Re( xy ) + 1 2 Re( xy ). Тогда можно записать Определим значение первого слагаемого.

Итак, первое слагаемое выражения (4.9) равно 0 в силу равенства корреляционных функций сигналов s(t ) и s1(t ).

Таким образом, Получены важные соотношения между корреляционной функцией R( ) узкополосного сигнала, корреляционной функцией Rz ( ) аналитического сигнала и корреляционной функцией R A ( ) комплексной огибающей аналитического сигнала.

Получим соотношение между энергиями физического и аналитического сигналов.

В соответствии с равенством Парсеваля энергия физического сигнала равна В свою очередь энергия аналитического сигнала определяется соотношением Сравнение приведенных соотношений показывает, что энергия аналитического сигнала в 2 раза больше энергии физического сигнала. Это понятно, если учесть, что преобразование Гильберта не изменяет амплитудных соотношений в спектре сигнала.

5. ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И ИХ

ХАРАКТЕРИСТИКИ

Устройства, осуществляющие формирование и преобразование сигналов в составе информационных систем связи и обработки, весьма разнообразны по принципам структурной и функциональной организации, внешним характеристикам. Значительная часть этих устройств адекватны линейным моделям, которые в радиотехнике получили название линейные цепи.

Линейные радиотехнические цепи – это цепи, у которых существует линейная зависимость между входными и выходными сигналами. Такие цепи содержат только линейные элементы (пассивные и активные) с параметрами, не зависящими от приложенного к ним напряжения и протекающего через них тока.

Различают линейные цепи с постоянными параметрами и переменными, изменяющимися во времени (параметрические цепи). Ниже рассматриваются только линейные цепи с постоянными параметрами, которые будем называть просто линейные цепи.

Функционирование линейных цепей описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции: реакция цепи на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности. С позиций спектрального анализа выходной сигнал линейной цепи можно рассматривать как результат суперпозиции его спектральных составляющих, которые в свою очередь являются реакцией цепи на соответствующие спектральные составляющие входного сигнала. Математически это записывается так:

где T – функционал преобразования цепи.

Важным свойством линейных цепей является также тот факт, что линейные цепи не обогащают спектр входного сигнала. Это означает, что в спектре выходного сигнала не появляются составляющие, которые отсутствуют в спектре входного сигнала. Следовательно, общее количество спектральных составляющих в спектре выходного сигнала не может быть больше, чем их количество в спектре входного сигнала.

Следствием этих свойств является то, что гармонический сигнал, проходя через линейную цепь, остается неизменным по форме. Измениться могут только его амплитуда и начальная фаза.

По характеру временной зависимости выходного сигнала от входного различают безынерционные и инерционные радиотехнические цепи.

5.2. Основные характеристики линейных цепей Спектральное представление сигналов делает весьма удобным их анализ в частотной области. При этом возможно решение задачи о прохождении различных сигналов через линейные цепи, основанное на важном свойстве линейных цепей – справедливости принципа суперпозиции. Необходим только способ определения реакций на выходе цепи, возникающих под воздействием каждой спектральной составляющей. Выходной сигнал при этом можно получить в результате суммирования этих реакций. Такой способ расчета сигналов на выходе линейных цепей основан на использовании их частотных характеристик.

Характеристикой цепи в частотной области является ее передаточная функция, которая определяется в стационарном режиме как отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала (напряжения или тока) на выходе цепи к комплексной амплитуде гармонического сигнала на ее входе. В зависимости от характера сигналов на входе и выходе цепи передаточная функция может иметь следующие свойства:

коэффициента передачи по напряжению K ( j ) = вых ;

сопротивления Z ( j ) = вых ;

коэффициента передачи по току K I ( j ) = вых ;

проводимости Y ( j ) = вых.

Наиболее часто используют первые две характеристики.

Коэффициент передачи по напряжению K ( j ) будем называть в дальнейшем частотным коэффициентом передачи, или просто частотной характеристикой. Однако надо иметь в виду, что в литературе эту частотную характеристику называют по-разному: передаточной функцией [1,3], комплексным коэффициентом передачи [6], комплексной передаточной функцией [9], комплексным коэффициентом усиления [7,12].

Передаточную функцию Z ( j ) будем называть комплексным сопротивлением.

Частотный коэффициент передачи как комплексное число можно выразить в показательной форме через модуль и аргумент, т.е.

Модуль K ( ) называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

Эта характеристика определяет зависимость коэффициента усиления цепи по напряжению от частоты.

Аргумент ( ) называют фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Эта характеристика определяет зависимость от частоты величины фазового сдвига, который получает входной гармонический сигнал при прохождении через цепь.

Частотный коэффициент передачи определяют аналитически (методами контурных токов, узловых потенциалов, наложения и др.) или экспериментально. Для экспериментального определения частотной характеристики цепи на ее вход подают гармонический сигнал с постоянной амплитудой и, изменяя его частоту, фиксируют амплитуду и фазу гармонического сигнала на выходе цепи (линейная цепь не изменяет формы сигнала). В силу определенных частотных свойств цепи амплитуда и фаза выходного сигнала будут изменяться. Определяя отношение U вых U вх и разность вых вх для каждого значения частоты входного сигнала, можно получить зависимость коэффициента усиления по напряжению и фазового сдвига от частоты. Именно поэтому в вышеприведенных формулах эти параметры являются функциями частоты. Так как коэффициент усиления цепи в данном случае пропорционален амплитуде выходного напряжения, то его зависимость от частоты получила название амплитудночастотной характеристики. Тем не менее давать определение АЧХ как зависимости амплитуды от частоты будет некорректно (АЧХ – это характеристика цепи, и такого параметра, как "амплитуда", у цепи нет).

Частотные характеристики описывают свойства цепи при воздействии гармонических сигналов. С их помощью можно определить реакцию цепи на заданное воздействие любой частоты и определить область частот, в пределах которой цепь выполняет свои функции полностью или частично.

В связи с этим используют понятие полосы пропускания цепи. Обычно это область частот, где АЧХ имеет значение не менее 1 2 0,707 своего максимального значения. Значение, по которому определяют полосу пропускания линейной цепи, выбрано не случайно. Дело в том, что этот уровень определяет частотные границы, начиная с которых отношение выходной мощности к входной уменьшается более чем в 2 раза. Наиболее же удобен при практических расчетах нормированный модуль коэффициента передачи K ( ) K max, максимальная величина которого равна единице.

В зависимости от соотношения величины полосы пропускания цепи пр и величины центральной частоты АЧХ 0 различают узкополосные цепи и широкополосные. Узкополосная цепь – это цепь, у которой пр Rсн.

Таким образом, Из физических соображений очевидно, что 1 >> 2. Тогда Здесь K 0 = SRсн – максимальный коэффициент усиления.

Анализ этого выражения целесообразно производить отдельно для нижних, средних и верхних частот.

Область нижних частот В области нижних частот сопротивление емкости xc = 1 C имеет большое значение по сравнению со значениями в областях средних и верхних частот. Поэтому шунтирующим действием емкостей C си и Сп можно пренебречь и считать, что 2 1, то K oc ( ) 1 ( ), что соответствует глубокой отрицательной обратной связи. При этом коэффициент передачи цепи с ОС определяется только величиной ( ) и не зависит от коэффициента передачи K ( ) основной цепи. Данный факт широко используется для стабилизации коэффициентов усиления различных устройств.

Реактивная и комплексная обратная связь ( ) + ( ) = 2k + 2, т.е. при поступлении на вход основной цепи сигнала обратной связи с фазовым сдвигом относительно входного сигнала, равным 2. В этом случае e В данном случае отрицательная обратная связь также может уменьшать энергию входного воздействия основной цепи, что приводит к уменьшению модуля коэффициента передачи цепи с обратной связью.

При остальных значениях суммарного фазового сдвига ( ) + ( ) обратная связь будет комплексной.

В общем случае величина суммарного фазового сдвига в цепи с обратной связью зависит от частоты. Поэтому характер обратной связи также во многом определяется рабочим частотным диапазоном цепи.

Таким образом, частотные свойства цепи с обратной связью зависят от K ( ) и ( ). При необходимости изменить какие-либо характеристики основной цепи с коэффициентом передачи K ( j ) можно, не изменяя структуры и параметров этой цепи, ввести обратную связь с соответствующим коэффициентом ( ) и получить требуемые характеристики цепи в целом.

Рассмотрим целесообразность использования обратной связи.

5.7.2. Стабилизация коэффициента усиления Определим относительную нестабильность коэффициента передачи цепи с обратной связью.

Полагаем, что рассматриваемая цепь представляет собой усилитель, охваченный отрицательной обратной связью. Коэффициент усиления усилителя и коэффициент передачи цепи обратной связи в определенном диапазоне частот являются действительными величинами, т.е. K ( j ) = K и ( j ) =. Для оценки нестабильности коэффициента усиления определим значение параметра, определяемого выражением = dK oc K ос и характеризующего относительное изменение коэффициента передачи цепи с обратной связью:

Таким образом, относительное изменение коэффициента усиления усилителя, охваченного обратной связью, может сильно отличаться от относительного изменения коэффициента усиления при отсутствии обратной связи. При этом если обратная связь отрицательная, то относительная нестабильность коэффициента усиления уменьшается. Например, при K >> 1 относительная нестабильность падает в K раз. В данном случае коэффициент усиления цепи с обратной связью определяется только значением, т.е. не зависит от нестабильности коэффициента усиления усилителя без ОС.

5.7.3. Коррекция амплитудно-частотной характеристики Применение отрицательной обратной связи позволяет уменьшить относительное изменение частотного коэффициента передачи, т.е. реализовать "выравнивание" АЧХ.

Рассмотрим резонансный усилитель с частотным коэффициентом передачи Охватив этот усилитель цепью частотно-независимой отрицательной обратной связи, получим Таким образом, АЧХ усилителя, охваченного отрицательной обратной связью, определяется выражением На рис. 5.12 приведено семейство АЧХ с различными уровнями обратной связи, т.е. различными значениями K 0. Из рисунка видно, что график АЧХ цепи с обратной связью значительно ровнее, чем график АЧХ цепи без обратной связи. Выравнивание АЧХ цепи с обратной связью сопровождается снижением графика K ос ( ), т.е. уменьшением коэффициента усиления, что является результатом действия отрицательной обратной связи.

Нелинейность характеристик элементов цепи приводит к возникновению высших (паразитных) гармоник в спектре преобразуемого сигнала, что является причиной нелинейных искажений. Внутренние шумы активных цепей, особенно шумы выходного каскада в многокаскадном усилителе, представляющем собой последовательное соединение одиночных усилительных каскадов, также могут привести к искажениям выходных сигналов. Оценим влияние обратной связи на величину этих искажений.

Предположим, что паразитный сигнал, соответствующий нежелательным высшим гармоникам, появляется внутри активного элемента. Место его появления делит активный элемент на две каскадно включенные части с коэффициентами передачи K1 ( j ) и K 2 ( j ) (рис. 5.13).

Рис. 5.13. Подавление паразитного сигнала с помощью цепи обратной связи Введем отрицательную обратную связь. Тогда для паразитного сигнала частотный коэффициент передачи будет иметь вид Следовательно, паразитный сигнал (нежелательные гармонические составляющие или шумы) на выходе цепи с отрицательной обратной связью будет в [1 + K1 ( j ) K 2 ( j ) ( j )] раз меньше, чем в случае отсутствия обратной связи.

Ослабление паразитного сигнала особенно существенно, если наблюдается в пределах эффективной полосы пропускания K 2 ( ) >> K1 ( ). Заметим, что введение отрицательной обратной связи приводит к ослаблению и полезного сигнала. Однако его ослабление можно компенсировать предварительным или последующим усилением.

Система устойчива, если, выведенная из состояния равновесия, она в него возвращается. По существу в устойчивой системе при нулевом входном сигнале выходной сигнал затухает при любых начальных условиях, т.е.

Применение обратной связи тесно связано с проблемой обеспечения устойчивости. Устойчивость может быть нарушена в силу наличия в структуре цепи реактивных элементов (паразитные емкости монтажа, индуктивности проводов, межэлектродные емкости транзисторов), способных накапливать энергию и создавать дополнительные фазовые сдвиги. Поэтому при проектировании и исследовании различных цепей большое значение имеют методы определения устойчивости цепи.

В настоящее время известно несколько критериев устойчивости, различающихся в основном по форме, а не по содержанию. В основе их лежит идея устойчивости решений однородного дифференциального уравнения, описывающего свободные (собственные) колебания цепи после исчезновения возмущающих сил, т.е.

Решение уравнения, как известно, имеет вид где Ai – постоянные числа, определяемые из n начальных условий;

pi – корни характеристического уравнения Корни характеристического уравнения являются в общем случае комплексными числами, т.е. pi = i + j i.

Для устойчивой цепи входящие в решение дифференциального уравнения экспоненты должны быть затухающими. Это значит, что корни характеристического уравнения должны быть либо отрицательными вещественными числами, либо комплексными числами с отрицательными действительными частями.

Таким образом, можно сформулировать следующий основной критерий устойчивости линейных цепей: линейная цепь устойчива, если действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны.

Пользоваться этим критерием для систем, описываемых дифференциальными уравнениями выше второго порядка, затруднительно. Поэтому были разработаны специальные критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости любой цепи без решения характеристического уравнения.

Критерий швейцарского математика А. Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости. Он позволяет судить об устойчивости системы по результатам анализа соотношений между коэффициентами характеристического уравнения без определения его корней:

Для того чтобы корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства 1 > 0, 2 > 0, 3 > 0, …, n > 0.

Здесь 1, 2, 3,… – последовательные определители, равные Последовательные определители равны главным диагональным минорам матрицы Гурвица Последний столбец матрицы H содержит лишь один отличный от нуля элемент a0, расположенный на главной диагонали. Поэтому n = a0 n 1.

Следовательно, условия устойчивости можно записать в виде 1 > 0, 2 > 0, Данный критерий позволяет проверить устойчивость системы при заданных параметрах (коэффициентах дифференциального уравнения). В то же время им невозможно пользоваться при экспериментальных исследованиях, когда известны только частотные характеристики прямой и обратной цепей. Трудно также определить параметры, изменение которых приводит к устойчивости цепи.

Пример.

Резонансный усилитель с положительной ОС при определенных условиях может работать как автогенератор гармонических колебаний. На рис. 5.14 представлена схема такого автогенератора, называемого LC- генератором.

Дифференциальное уравнение резонансного усилителя с трансформаторной положительной ОС имеет вид u вых (t ) – напряжение на выходе генератора;

p – резонансная частота контура;

Запишем характеристическое уравнение p 2 + 2 экв p + 2 = 0.

В соответствии с критерием Гурвица получаются следующие условия устойчивости:

Система будет устойчивой при следующих соотношениях между параметрами схемы:

Окончательно получим K 0 < 1.

Таким образом, рассматриваемая система с положительной обратной связью устойчиво работает как усилитель, если коэффициент усиления разомкнутой цепи удовлетворяет условию K o < 1. В свою очередь при K o = 1 система находится на границе устойчивости, а при K o > 1 – в неустойчивом состоянии, т.е. работает как генератор.

Последние условия являются условиями работы LC-генератора и называются "баланс амплитуд". При K o > 1 генератор работает в переходном режиме (при включении питания), при K o = 1 – в стационарном режиме.

Критерий американского ученого Найквиста относится к частотным критериям. Для анализа устойчивости используется частотный коэффициент передачи цепи с обратной связью Глубина и характер обратной связи определяется величиной При K ( j ) ( j ) 1 цепь с обратной связью приближается к границе устойчивости. При K ( j ) ( j ) > 1 цепь с положительной ОС работает в неустойчивом режиме (в режиме самовозбуждения). Поэтому в основу рассматриваемого критерия положен геометрический метод определения следующих условий:

Для этого рассматривается коэффициент передачи цепи с разомкнутой обратной связью K р ( j ) = K ( j ) ( j ) = A( ) + jB( ) и строится годограф K р ( j ) как функция частоты на плоскости [ A( ), B( )].

Формулировка критерия Найквиста.

Система с обратной связью будет устойчивой, если годограф коэффициента передачи разомкнутой системы не охватывает точку (1, 0) на комплексной плоскости [ A( ), B( )].

На рис. 5.15,а приведен годограф устойчивой системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, а на рис. 15.15,б – годограф неустойчивой системы.

Рис. 5.15. Годографы устойчивой (а) и неустойчивой (б) цепей с ОС Критерий русского ученого Михайлова относится к аналитическим критериям. Для анализа устойчивости используется характеристическое уравнение цепи с обратной связью, т.е. уравнение вида Подставив в данное уравнение p = j, где – действительная переменная, получим Годограф функции Q( j ) = A( ) + jB( ), получающийся на комплексной плоскости [ A( ), B( )] при изменении частоты от 0 до, называется кривой (годографом) Михайлова.

Формулировка критерия Михайлова.

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы годограф функции Q( j ) при изменении от 0 до последовательно прошел против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, начинаясь на действительной оси (при = 0 Q ( j ) = a0 ).

На рис. 5.16,а приведены годографы устойчивых систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка, а на рис. 5.16,б – годографы неустойчивых систем.

Рис. 5.16. Годографы устойчивых (а) и неустойчивых (б) систем Критерий Михайлова применяется в тех случаях, когда возникает необходимость оценить влияние изменений структуры и параметров системы на ее устойчивость.

6. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

Анализ любой радиотехнической цепи сводится к установлению зависимости между входным сигналом и сигналом, формируемым на выходе. В общем случае радиотехническая цепь содержит в своей структуре линейные и нелинейные элементы. Это усложняет строгий анализ переходных процессов, т.к. в данном случае не применим принцип суперпозиции. Однако имеется широкий круг задач, которые можно успешно решать линейными методами. К их числу относятся прежде всего задачи, связанные с прохождением слабых сигналов через различные устройства. При этом допускается линеаризация основных характеристик нелинейных элементов, что позволяет отнести исследуемую цепь к числу линейных. Кроме того, к результатам теоретического рассмотрения реальной технической системы не всегда предъявляются требования абсолютной точности. Такие результаты должны соответствовать основным эксплуатационным параметрам системы, контроль за которыми осуществляется с помощью измерительных приборов ограниченной точности.

Постановка задачи анализа линейной цепи (рис. 6.1).

Имеется линейная радиотехническая цепь, для которой известно дифференциальное уравнение или одна из характеристик: частотная K ( j ), импульсная h( t ) или переходная g( t ). На вход цепи поступает сигнал s вх (t ). Необходимо определить выходной сигнал s вых (t ).

Рис. 6.1. Постановка задачи анализа линейной цепи Существует несколько методов анализа линейных цепей. Выбор наиболее удобного из них зависит от сигнала, поступающего на вход, функциональной и структурной организации цепи и некоторых других факторов. Наиболее часто используются точные и приближенные методы. Последние учитывают особенности сигналов и цепей.

Точные методы анализа цепей:

1. Классический метод, или метод дифференциальных уравнений.

2. Спектральный метод и его разновидность – операторный метод.

3. Временной метод, называемый методом интеграла наложения или интеграла Дюамеля.

Приближенные методы анализа цепей:

1. Приближенные спектральные методы.

2. Метод комплексной огибающей.

3. Метод мгновенной частоты.

Ниже приводится содержание каждого из перечисленных методов.

6.2. Точные методы анализа линейных цепей Классический метод основан на составлении и решении линейного дифференциального уравнения, описывающего поведение цепи при заданном воздействии. Уравнение составляется с помощью законов Кирхгофа. При этом используются известные соотношения Дифференциальное уравнение имеет вид где a k и bk – постоянные коэффициенты, зависящие от структуры схемы и ее параметров.

Порядок высшей производной определяет порядок цепи. Если входной сигнал задан, то правая часть – это известная функция.

Решение дифференциального уравнения состоит из двух частей где s вых.св. (t ) – свободная составляющая, которая характеризует переходной процесс и является решением однородного дифференциального уравнения sвых.пр (t ) – принужденная составляющая, которая характеризует установившийся процесс и является частным решением дифференциального уравнения при определенных начальных условиях.

Недостаток метода – необходимо решать уравнение для каждого нового сигнала. Метод применяется для цепей, описываемых дифференциальным уравнением второго и реже третьего порядка.

Спектральный метод основан на частотных свойствах сигнала и цепи с использованием принципа суперпозиции. Частотные свойства сигнала характеризуются его спектром, а частотные свойства цепи – частотной характеристикой.

Так как спектр сигнала – это совокупность гармонических составляющих, то задача анализа цепи сводится по сути дела к анализу установившихся режимов в цепи при синусоидальных воздействиях.

Прохождение периодического сигнала через линейную цепь Спектр периодического сигнала определяется путем разложения сигнала в ряд Фурье, комплексная форма которого имеет вид где Cвх.k = sвх (t )e dt – комплексная амплитуда k -й гармоники входT T ного сигнала.

Комплексная амплитуда k -й гармоники выходного сигнала определяется как произведение комплексной амплитуды соответствующей гармоники входного сигнала на значение частотной характеристики, которое она имеет на частоте данной гармоники. Таким образом, Cвых.k = Cвх.k K ( jk1 ) = Cвх.k e вх.k K ( k1 )e j ( k1 ) = Cвых.k e вых.k, нической составляющей выходного сигнала.

Отсюда на основании принципа суперпозиции находим выходной сигнал:

Таким образом, спектр периодического сигнала на выходе линейной цепи может быть получен перемножением спектра входного сигнала на значения частотной характеристики цепи на соответствующих частотах.

Прохождение непериодического сигнала через линейную цепь Спектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяется путем вычисления прямого преобразования Фурье В свою очередь обратное преобразование Фурье позволяет определить сигнал по его спектру, т.е.

Как видно из данного выражения, сигнал s (t ) представляется в виде суммы бесконечно большого числа незатухающих и бесконечно близких по частоте гармонических колебаний с бесконечно малыми комплексными амплитудами, S ( j )d. Это дает возможность использовать обычные методы равными расчета установившихся режимов.

Применительно к решаемой задаче каждая из таких гармонических составляющих входного сигнала обусловит соответствующую гармоническую составляющую выходного сигнала с комплексной амплитудой, равной На основании этого можно записать выражение для спектральной плотности выходного сигнала, которое является фундаментальным для рассматриваемого метода анализа линейных цепей:

Таким образом, спектральная плотность выходного сигнала равна произведению спектральной плотности входного сигнала на частотную характеристику цепи.

Выходной сигнал находится с помощью обратного преобразования Фурье, реализующего суммирование бесконечно большого числа его гармонических составляющих:

Можно предложить следующую последовательность анализа линейных цепей спектральным методом.

1. Определение спектральной плотности S вх ( j ) входного сигнала по формуле (6.1).

2. Определение частотной характеристики цепи одним из известных методов (уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, наложения, из дифференциального уравнения цепи и др.).

3. Расчет спектральной плотности S вых ( j ) выходного сигнала по формуле (6.3).

4. Определение выходного сигнала по формуле (6.4).

В некоторых случаях целесообразно использовать операторный метод анализа цепей, основанный на преобразованиях Лапласа. При этом функции действительной переменной t преобразуются в функции комплексной частоты, т.е.

переменной p = + j. Для этого используются преобразования Лапласа:

Функцию s (t ) называют оригиналом, а функцию F ( p ) – изображением оригинала по Лапласу или просто изображением. Как видно из данных выражений, преобразования Фурье могут быть получены из преобразований Лапласа простой заменой p на j с соответствующим изменением пределов интегрирования. Преобразования Лапласа являются обобщениями преобразований Фурье, поэтому они обладают всеми свойствами, которые характерны для преобразований Фурье.

Частотная характеристика цепи в операторной форме получается простой заменой переменной j на комплексную переменную p = + j, т.е.

Выражение (6.3.) для спектра выходного сигнала цепи будет иметь вид Операторный метод позволяет анализировать более широкий класс сигналов. В частности, этому методу доступны сигналы, описываемые функциями, которые не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости. В литературе [1,2] имеются таблицы изображений и оригиналов, облегчающие применение операторного метода.

Спектральный и операторный методы анализа линейных цепей успешно применяются для решения многих вопросов теории связи и управления. При этом удается обойти серьезные трудности, связанные с вычислением корней характеристического уравнения систем высокого порядка. Частотный метод имеет важное значение особенно в тех случаях, когда уравнение системы вообще неизвестно и когда можно ограничиться качественным исследованием динамических свойств систем.

Временной метод (метод интеграла наложения, метод интеграла Дюамеля) основан на использовании импульсной h( t ) характеристики цепи, т.е. характеристики цепи во временной области. Импульсная характеристика – это реакция цепи на -функцию. Такой функцией описывается модель сигнала, имеющего бесконечно большую амплитуду, нулевую длительность и площадь, равную 1.

Представим входной сигнал sвх (t ) сложной формы в виде совокупности прямоугольных импульсов одинаковой и достаточно малой длительности (рис. 6.2).

Реакция цепи в моменты времени k, k = 0, 1, 2, …, n на каждый из этих импульсов (если бы площади их были равны единице) есть импульсная характеристика h(t k ). Но так как площади импульсов равны sвх (k ), то реакция цепи равна sвх ( k ) h(t kt ). В свою очередь выходной сигнал в некоторый момент времени t = k будет равен сумме реакций цепи на импульсы в интервале 0 … t, т.е.

При 0 суммирование сводится к операции интегрирования по переменной = k :

Рис. 6.2. Свертка сигнала с импульсной характеристикой Таким образом, значения выходного сигнала линейной цепи в любой момент времени являются результатом взвешенного суммирования мгновенных значений входного сигнала. Весовая функция – это импульсная характеристика цепи.

Учитывая, что для реальных цепей h(t ) = 0 при t < 0, можно записать Полученное выражение для sвых (t ) представляет собой интеграл наложения, или интеграл Дюамеля. В математике полученное выражение называют сверткой двух функций. Таким образом, выходной сигнал линейной цепи равен свертке входного сигнала и импульсной характеристики цепи.

Иногда используют другую форму записи интеграла Дюамеля, которую можно получить путем замены переменной на t :

Заметим, что интеграл Дюамеля можно получить из формулы S вых ( j ) = S вх ( j ) K ( j ), на которой основан спектральный метод анализа цепей. Для этого воспользуемся свойствами преобразования Фурье и связью между частотной и импульсной характеристиками цепи, имея в виду, что частотная характеристика K ( j ) цепи является по существу спектральной плотностью ее импульсной характеристики h(t ).

Из свойств преобразования Фурье известно, что произведению двух спектров соответствует свертка сигналов, соответствующих данным спектрам. Таким образом, можно записать Следовательно, спектру S вых ( j ) = S вх ( j ) K ( j ) соответствует сигнал что и требовалось доказать.

6.3. Приближенные методы анализа линейных цепей Приближенный спектральный метод применяется в случае, если эффективная ширина спектра сигнала эф значительно отличается от ширины полосы пропускания цепи пр. Другими словами, данный метод используется при расчете прохождения узкополосного сигнала через широкополосную цепь а. Прохождение узкополосного сигнала через широкополосную цепь Данная проблема представляет практический интерес в связи с тем, что сигналы помех, воздействующие на реальную радиотехническую цепь, часто относятся к классу узкополосных.

K ( j ) = K ( )e j ( ). На вход цепи поступает узкополосный сигнал со спектральной плотностью S вх ( j ) = S вх ( )e j s ( ), амплитудный спектр которого сосредоточен в небольшой области вокруг центральной частоты 0 (рис.6.3,а).

Рис. 6.3. Иллюстрации к приближенному спектральному методу Выходной сигнал рассматриваемой цепи равен В общем случае вычисление этого интеграла может вызвать определенные трудности. Однако если учесть условия задачи, то расчет можно упростить.

Как следует из рис.6.3,а, в пределах амплитудного спектра S вх ( ) амплитудно-частотная, а также фазочастотная характеристики цепи изменяются незначительно. Поэтому можно записать где K ( 0 ) – значение АЧХ на частоте 0.

Окончательно получаем Узкополосный сигнал на выходе широкополосной цепи не изменяется по форме. Изменяется только амплитуда сигнала и возможен сдвиг по фазе. Такой вывод можно сделать непосредственно из рис. 6.3,а. Широкополосная цепь практически без искажения пропускает все спектральные составляющие, пропорционально изменяя их амплитуды и сдвигая на одинаковую величину по фазе.

б. Прохождение широкополосного сигнала через узкополосную цепь Данная проблема также представляет практический интерес в связи с тем, что работа цепи часто происходит при наличии импульсных помех. Эффективная ширина спектра таких помех может значительно превышать ширину полосы пропускания цепи.

Рассмотрим узкополосную цепь с частотной характеристикой K ( j ), на вход которой поступает широкополосный сигнал со спектральной плотностью S вх ( j ). Узкополосная цепь способна выделять спектральные составляющие входного сигнала, сосредоточенные только в небольшой области вокруг центральной частоты 0.

Как видно из рис. 6.3, б, в пределах полосы пропускания цепи амплитудный спектр S вх ( ) сигнала изменяется незначительно. Поэтому можно записать где S вх ( 0 ) – значение амплитудного спектра входного сигнала на частоте 0.

Окончательно получаем Реакция узкополосной цепи на широкополосный сигнал определяется только импульсной характеристикой цепи. Входной сигнал по существу не влияет на выходной сигнал. Такой вывод можно сделать непосредственно из рис. 6.3,б. Узкополосная цепь пропускает спектральные составляющие входного сигнала только в пределах своей амплитудно-частотной характеристики, которой во временной области соответствует импульсная характеристика.

В процессе обработки сигналов при передаче сообщений не обязательно полностью сохранять структуру сигнала, достаточно лишь сохранить закон изменения того параметра (амплитуду, частоту, фазу), в котором заключена передаваемая информация. Этот факт создает условия для упрощения методов анализа прохождения сигналов через линейные цепи.

Радиосигналы, используемые для передачи информации, относятся к классу узкополосных. Для анализа прохождения таких сигналов через узкополосные цепи можно использовать понятие аналитического сигнала, имеющего, как известно, следующий вид:

Здесь s1 (t ) – сигнал, полученный из исходного сигнала с помощью преобразования Гильберта; A(t ) = A(t )e j ( t ) – комплексная огибающая, которая содержит информацию о законах изменения амплитуды и фазы колебания.

Таким образом, решаемая задача сводится по существу к анализу результата преобразования комплексной огибающей входного сигнала при прохождении его через линейную цепь. Задачу в такой постановке можно решить спектральным и временным методами.

a. Спектральный метод для комплексной огибающей Задача решается с использованием обозначений для аналитических сигналов и соответствующих спектральных плотностей, приведенных на рис. 6.4.

В общем случае центральная частота p АЧХ цепи не совпадает с центральной частотой 0 амплитудного спектра сигнала (рис. 6.5). Однако для простоты рассуждений можно положить, что эти частоты равны. Полученный результат затем нетрудно будет скорректировать для более общего случая.

Рис. 6.5. Амплитудные спектры сигналов и АЧХ цепи В соответствии со спектральным методом можно записать Известна связь между спектром аналитического сигнала и спектром комплексной огибающей, которая устанавливается соотношением Введем новую переменную = 0. В этом случае выражение для z вых ( t ) примет вид Учитывая, что можно записать где K нч ( j ) = K [ j ( + 0 )] – частотная характеристика низкочастотного аналога цепи.

Данное выражение является обратным преобразованием Фурье от спектра комплексной огибающей сигнала на входе цепи. Это позволяет записать следующее выражение для этого спектра:

Как видно из полученного выражения, определение спектральной плотности комплексной огибающей выходного сигнала осуществляется путем умножения спектральной плотности комплексной огибающей входного сигнала на частотную характеристику низкочастотного аналога цепи (см. спектральный метод анализа).

Обобщая полученный результат, отметим, что таким же образом можно получить спектр (разложение в ряд Фурье) комплексной огибающей периодического сигнала. При этом необходимо иметь в виду, что спектр периодического сигнала на выходе линейной цепи получается перемножением спектра входного сигнала на значения частотной характеристики низкочастотного аналога цепи на соответствующих частотах.

Таким образом, можно предложить следующую последовательность определения выходного сигнала sвых (t ) рассматриваемым методом:

1. Определение входного аналитического сигнала zвх (t ) = Aвх (t )e j 0t.

2. Вычисление спектра комплексной огибающей входного сигнала S Aвх ( j ) по формуле прямого преобразования Фурье.

3. Определение частотной характеристики низкочастотного аналога цепи 4. Расчет спектра комплексной огибающей выходного сигнала S Aвых ( j ) по формуле (6.5).

5. Определение комплексной огибающей выходного сигнала Aвых (t ) по формуле обратного преобразования Фурье.

6. Определение выходного аналитического сигнала по формуле zвых (t ) = Aвых (t )e j 0t, в результате чего определяется выходной сигнал sвых (t ) = Aвых (t ) cos 0t.

Вычисления по данной методике для узкополосных сигналов и цепей значительно проще, чем при непосредственном определении sвых (t ).

Заметим, при наличии расстройки центральных частот амплитудного спектра сигнала и АЧХ цепи в пределах ее полосы пропускания, т.е. при = 0 p 0 (рис. 6.5) частотная характеристика низкочастотного аналога б. Временной метод для комплексной огибающей Импульсная характеристика реальной цепи связана с частотной характеристикой следующей зависимостью:

Аналитическая функция импульсной характеристики – это комплексное число вида zh (t ) = h (t ) + jh1 (t ), в котором h1 (t ) – преобразование Гильберта от h(t ). С другой стороны, учитывая связь между спектром сигнала и спектром соответствующего аналитического сигнала, можно записать следующее выражение для аналитической функции zh (t ) импульсной характеристики:

Следовательно, Введем новую переменную = 0. В этом случае выражение для h(t ) примет вид При = 0 значение K [ j ( + 0 )] 0, поэтому нижний предел интегрирования можно изменить на. Таким образом, Учитывая, что K [ j ( + 0 )] = K нч ( j) и изменяя обозначение на, можно записать ного аналога узкополосной цепи.

Для определения комплексной огибающей выходного сигнала цепи воспользуемся полученным ранее соотношением и свойствами преобразования Фурье.

Известно, что Следовательно, можно записать окончательное выражение для комплексной огибающей выходного сигнала цепи Таким образом, комплексная огибающая выходного сигнала цепи равна свертке комплексной огибающей входного сигнала и импульсной характеристики низкочастотного аналога узкополосной цепи.

Можно предложить следующую последовательность определения выходного сигнала sвых (t ) временным методом для огибающей:

1. Определение входного аналитического сигнала zвх (t ) = Aвх (t )e j 0t.

2. Определение импульсной характеристики hнч (t ) низкочастотного аналога цепи.

3. Определение комплексной огибающей выходного сигнала Aвых (t ) по формуле (6.6).

4. Определение выходного аналитического сигнала по формуле zвых (t ) = Aвых (t )e j 0t, в результате чего определяется выходной сигнал sвых (t ) = Aвых (t ) cos 0t.

Вычисления по данной методике эффективны в тех случаях, когда временные характеристики сигналов и цепей определить проще, чем частотные.

Метод мгновенной частоты используется для анализа прохождения сигналов с угловой модуляцией через избирательные цепи. Рассмотрим данный метод в общих чертах. Более подробно с содержанием метода можно ознакомиться в [1,2].

Спектр сигналов с угловой модуляцией имеет достаточно сложную структуру даже при простом модулирующем сигнале (например при модуляции гармоническим колебанием). Неравномерность АЧХ и ФЧХ цепи приводит к нарушению амплитудных и фазовых соотношений между многими спектральными составляющими, следствием чего может быть искажение закона модуляции.

Рассмотрим прохождение сигнала с угловой модуляцией через узкополосную цепь с центральной частотой р = 0 и частотной характеристикой При малых в спектре сигнала мало составляющих. Поэтому поставленную задачу можно решить спектральным методом для комплексной огибающей.

При больших решение задачи усложняется. Используется приближенный метод, в основу которого положено допущение о том, что частота сигнала с угловой модуляцией изменяется в зависимости от времени медленно. Для этого необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Период модулирующего колебания T = 2 должен быть значительно больше постоянной времени цепи ц. Известно, что ц = 1 пр, где пр – полоса пропускания цепи на уровне 1 2. Следовательно, 2 >> ц ;

Данный вид аппроксимации связан с двумя важными параметрами нелинейного элемента: напряжением начала характеристики u1 и ее крутизной S.

Для увеличения точности аппроксимации увеличивают количество отрезков линий. Однако это усложняет математическую формулу ВАХ.

Используются следующие методы анализа нелинейных цепей:

1. Аналитические. Позволяют в каждом конкретном случае получить частные решения. К числу аналитических методов относятся:

а) спектральный. Используется для анализа нелинейных цепей при гармонических или полигармонических воздействиях;

б) линеаризации. Применяется в режиме малых сигналов;

в) квазилинейный. Определяется соотношение между входным сигналом и первой гармоникой тока. Основной характеристикой при этом является S ср – средняя крутизна. Анализ цепи осуществляется линейными методами, нелинейность учитывается зависимостью S ср от амплитуды входного сигнала;

г) медленно-меняющихся амплитуд. Предполагается, что амплитуда высокочастотного модулированного колебания изменяется в течение его периода медленно.

2. Графический. По имеющимся графикам sвх (t ) и вольт-амперной характеристике определяется график sвых (t ). Метод обладает определенной наглядностью, но низкой точностью.

3. Численные методы, предполагающие применение цифровых ЭВМ.

Наиболее часто используется спектральный метод.

7.4. Общее решение задачи анализа нелинейной цепи Рассмотрим процессы, происходящие в безынерционном нелинейном устройстве, характеристика которого представлена на рис. 7.2. На вход устройства поступает гармонический сигнал Вследствие нелинейности характеристики i = f (u ) форма тока в цепи отличается от формы входного сигнала. В то же время функция, описывающая ток, является периодической и четной. Это значит, что спектр тока можно определить с помощью ряда Фурье вида где Рис. 7.2. Нелинейное преобразование гармонического сигнала Получено общее решение задачи о спектре тока в безынерционной нелинейной цепи при гармоническом входном воздействии. Спектр тока содержит кроме постоянной составляющей бесконечное число гармоник с амплитудами I k и частотами k 0. Амплитуды гармоник зависят от параметров сигнала и вида характеристики i = f (u ).

7.5. Определение спектра тока в нелинейной цепи при степенной Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается полиномом На вход поступает гармонический сигнал s(t ) = E cos( 0 t + ). Тогда с учетом напряжения рабочей точки входное воздействие на элемент равно Подставив данное выражение в формулу степенного полинома, получаем Воспользуемся известными формулами для степеней тригонометрических функций В результате получается общее выражение для тока в нелинейной цепи Анализ данного выражения позволяет сделать следующие выводы:

1. Спектр тока содержит гармонические составляющие с частотами 0, 0, 2 0, 3 0, …, n 0 и начальными фазами, 2, 3, …, n, т.е с частотами и начальными фазами, кратными частоте и начальной фазе воздействия.

2. Номер гармоники в спектре тока не может быть выше степени аппроксимируемого полинома.

3. Амплитуды гармонических составляющих спектра зависят от амплитуды входного сигнала и коэффициентов степенного полинома. Постоянная составляющая (нулевая гармоника) и амплитуды четных гармоник определяются коэффициентами полинома с четными номерами, а амплитуды нечетных гармоник – коэффициентами полинома с нечетными номерами.

Полученное выражение сохранит свою структуру при поступлении на вход нелинейного элемента амплитудно-модулированного сигнала или сигнала с угловой модуляцией. В формуле будут фигурировать не постоянные значения E и, а функции E (t ) и (t ). Общая структура спектра изменится. В то же время начальная фаза первой гармоники сохраняет закон модуляции фазы входного сигнал, а если характеристика нелинейного элемента может быть с достаточной точностью аппроксимирована полиномом второй степени, то первая гармоника спектра сохранит также и форму входного амплитудно-модулированного сигнала.

Пользуясь полученными результатами и структурной схемой нелинейного устройства, можно предложить общую идею построения некоторых радиотехнических устройств. Так, если фильтр нелинейного устройства с квадратичной характеристикой настроить на частоту первой гармоники тока (на частоту входного сигнала), то получится схема усилителя мощности. Если фильтр нелинейного устройства настроить на частоту второй гармоники тока, то получится схема удвоителя частоты сигнала. Если в качестве фильтра использовать фильтр низких частот с АЧХ, обеспечивающей подавление всех гармоник, кроме нулевой, то получится схема квадратичного детектора.

Свойство нелинейной цепи обогащать спектр сигнала хорошо проявляется, если сигнал представляет собой сумму некоторого числа гармонических колебаний с различными частотами.

Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элемента описывается полиномом второй степени На вход поступает бигармонический сигнал, формула которого совместно с напряжением рабочей точки имеет вид Подставив данное выражение в формулу степенного полинома, получаем Выполним элементарные преобразования:

Из полученного выражения видно, что в спектре тока нелинейного элемента кроме постоянной составляющей (слагаемое в скобках) и гармоник с частотами, кратными частотам входного воздействия, имеются гармоники с комбинационными частотами 1 + 2 и 1 2.

Таким образом, с помощью нелинейного элемента с такой характеристикой можно построить схему преобразователя частоты. Для этого достаточно использовать в составе нелинейного устройства высокодобротный полосовой фильтр, настроенный на частоту 1 + 2 (или на частоту 1 2 ). На вход устройства подается гармонический сигнал, частота 1 которого должна быть преобразована, и вспомогательный сигнал с частотой 2 (сигнал гетеродина).

7.6. Определение спектра тока в нелинейной цепи при кусочно-линейной аппроксимации характеристики При воздействии на нелинейный элемент сигнала с большой амплитудой и выборе рабочей точки на нижнем изгибе вольт-амперной характеристики целесообразно применить метод кусочно-линейной аппроксимации данной характеристики (рис. 7.3). Аналитическое выражение ВАХ при этом имеет вид Напряжение U 0 (см. рис. 7.3) – это напряжение рабочей точки, U 1 – напряжение отсечки.

Пусть на вход рассматриваемого элемента поступает гармонический сигнал s(t ) = E cos 0t. Тогда с учетом напряжения рабочей точки входное воздействие на элемент равно Рис. 7.3. Принцип формирования тока в нелинейной цепи Как видно из рис. 7.3, ток i (t ) нелинейного элемента имеет вид периодической последовательности импульсов, описываемых четной функцией. Определим амплитуды гармонических составляющих спектра этого тока. Для этого необходимо определить математическое выражение для импульсов тока i (t ) и воспользоваться разложением тока в ряд Фурье.

1. Угол, соответствующий изменению тока от максимального значения до нуля, называется углом отсечки. Из рис. 7.3 видно, что максимальное значение тока i (t ) равно I m, а длительность импульсов тока – 2. Очевидно, что при фазовом угле входное воздействие равно U 1 = U 0 + E cos. Тогда 2. Пользуясь аналитическим выражением для ВАХ, можно записать Преобразуем данное выражение следующим образом:

3. Определим значение амплитуды тока i (t ), т.е. значение I m. Для этого воспользуемся рис. 7.3.

4. Подставив в (7.1) значение SE, получим математическое выражение для импульсов тока 5. Ряд Фурье для тока i (t ) имеет вид Коэффициенты ряда, т.е. амплитуды гармонических составляющих, равны Перепишем данные выражения, выполнив замену переменной t = 0 t :

Пользуясь полученными выражениями, определим амплитуды нулевой и первой гармонических составляющих спектра тока.

Амплитуда нулевой гармоники Окончательно получим Амплитуда первой гармоники Тогда Окончательно получаем Аналогично можно получить амплитуды остальных гармонических составляющих спектра тока нелинейного элемента. Характерно, что при k > можно записать общее выражение для амплитуды k -й гармоники:

Как видно из полученных выражений, амплитуды гармоник спектра тока зависят от угла отсечки и максимальной величины импульсов тока I m.

Величины называют коэффициентами Берга.

Коэффициенты Берга k ( ) определяют зависимость амплитуды k -й гармоники тока от угла отсечки при I m = const, причем угол отсечки изменяется за счет изменения амплитуды входного сигнала E и смещения U 0.

Пользуются также функциями Берга k ( ) = k = k (1 cos ), которые определяют зависимость амплитуды k -й гармоники тока от угла отсечки при E = const, причем угол отсечки изменяется за счет изменения смещения.

Коэффициенты и функции Берга связаны между собой следующим образом:

На рис. 7.4 приведены графики k ( ) для k = 0, 1, 2, 3, 4 и k ( ) для k = 0, 1, 2, 3.

Рис.7.4. Графики коэффициентов и функций Берга Вид графиков рис.7.4 показывает, что для каждой гармоники тока существует угол отсечки, при котором амплитуда ее имеет максимальное значение.

Этот угол для коэффициентов Берга k ( ) определяется выражением этих углов определяется начальными условиями. Если задано максимальное значение импульсов тока I m, а изменение угла отсечки осуществляется напряжением смещения и амплитудой входного сигнала, то следует использовать 0. Если задана амплитуда входного сигнала E, а изменение угла отсечки осуществляется напряжением смещения, то следует использовать 0.

Полученные результаты применяются при выборе режима работы нелинейного элемента в процессе построения усилителей мощности, умножителей частоты и некоторых других устройств.

8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ

8.1. Нелинейное резонансное усиление сигналов Усилитель – это устройство, преобразующее энергию источника питания в энергию сигнала. Управление преобразованием осуществляется входным сигналом s вх (t ) усилителя. При этом на выходе усилителя формируется сигнал sвых ( t ) = K sвх ( t ), повторяющий форму входного сигнала, но больший по величине ( K > 1 ) и с запаздыванием во времени при > 0.

Процесс преобразования реализуется активными усилительными элементами, в качестве которых чаще всего используют транзисторы (транзисторные усилители). Для решения специфических задач применяют также ламповые усилители – для получения больших мощностей, квантовые усилители – в оптическом диапазоне волн, параметрические малошумящие усилители и др.

Кроме усилительных элементов, в схеме усилителя имеются элементы, обеспечивающие необходимый режим его работы.

Схема резонансного усилителя на транзисторе приведена на рис. 8.1,а. Амплитудно-частотная характеристика такого усилителя определяется характеристикой колебательного контура. Избирательные свойства контура наиболее полно проявляются лишь при условии, что выходное сопротивление усилителя и сопротивление нагрузки не оказывают шунтирующего действия на контур.

Для этого применяют включение транзистора к части индуктивности контура и автотрансформаторное подключение нагрузки во вторичной цепи выходного трансформатора (рис. 8.1,б).

Рис. 8.1. Схемы резонансных усилителей Различают усиление в линейном режиме (режим слабых сигналов, или линейное усиление) и в нелинейном режиме (режим сильных сигналов, или нелинейное усиление). Рассмотрим некоторые параметры усилителя в этих режимах.

Для усиления в линейном режиме рабочая точка на вольт-амперной характеристике выбирается так, чтобы входной сигнал не выходил за пределы линейного участка характеристики (рис. 8.2,а). В этом случае изменение коллекторного тока линейно повторяет изменение входного сигнала. Выбрав соответствующим образом сопротивление нагрузки, можно получить выходной сигнал по мощности больший, чем входной.

Рис. 8.2. Режимы работы резонансного усилителя Как видно из рис. 8.2,а, ток коллектора при гармоническом сигнале на входе содержит две гармонические составляющие: на частоте входного сигнала c амплитудой I1 и на нулевой частоте (постоянная составляющая) величиной I 0.

Полезной является только первая составляющая коллекторного тока. В то же время амплитуда ее может быть значительно меньше величины постоянной составляющей. Коэффициент полезного действия усилителя в этом режиме равен где P1 = 0,5 I12 Rн – полезная мощность, выделяемая в нагрузке усилителя;

P0 = I 0 E k – мощность, потребляемая от источника питания.

Приведенное выражение свидетельствует, что коэффициент полезного действия усилителя в этом режиме не может превысить 0,5 даже в лучшем случае, когда амплитуда выходного напряжения U 1 = I 1 Rн = E k (а превысить его она никак не может).

Ток в коллекторной цепи протекает в течение всего периода, угол отсечки тока равен, величина постоянной составляющей I 0 тока не зависит от амплитуды сигнала. В течение всего периода сигнала потребляется одна и та же мощность, что и приводит к непроизводительному расходу энергии.

Для повышения энергетических показателей усилителя используют нелинейный режим усиления. Схема усилителя, работающего в этом режиме, практически не отличается от схемы линейного усилителя, т.к. необходимый режим обеспечивается только выбором рабочей точки ВАХ. Принцип формирования тока коллектора в резонансном усилителе на транзисторе в этом режиме показан на рис. 8.2,б.

Рассмотрим некоторые параметры нелинейного резонансного усилителя мощности, схема которого приведена на рис. 8.1,a.

1. Параметры выходного сигнала.

Ток коллектора (выходной ток) имеет импульсную форму. Спектр импульсов тока содержит бесконечное число гармонических составляющих кратных частот с амплитудами, определяемыми выражениями Колебательный контур в коллекторной цепи, настроенный на частоту усиливаемого сигнала и имеющий высокую добротность, подавляет все гармоники, кроме первой. Следовательно, амплитуда напряжения на выходе будет равна или где R0 – резонансное сопротивление контура усилителя;

S ср ( ) = 1 = S1 ( )(1 cos ) – средняя крутизна характеристики для первой гармоники тока.

2. Коэффициент усиления усилителя.

Зависимость коэффициента усиления резонансного усилителя от угла отсечки определяется выражением где K 0 = SR0 – максимальное значение коэффициента усиления (на резонансной частоте).

График зависимости коэффициента усиления от угла отсечки приведен на рис. 8.3.

С увеличением угла отсечки от 0 до коэффициент усиления растет. Если усилитель закрыт, то = 0, k ( ) = 0, ток коллектора равен нулю и K ( ) = 0.

При = 0,5 коллекторный ток имеет форму периодической последовательности импульсов, k ( ) = 0,5 и K ( ) = 0,5K 0. При = коллекторный ток повторяет форму входного сигнала, усилитель работает в линейном режиме и 3. Коэффициент полезного действия (КПД) усилителя.

Коэффициент полезного действия усилителя в этом режиме определяется выражением где P1 ( ) – мощность, выделяемая в контуре первой гармоникой спектра тока;

P0 ( ) – мощность, потребляемая от источника питания.

При полном использовании коллекторного напряжения U вых ( ) = E k. В этом случае Воспользуемся выражением (7.2) для коэффициентов Берга. Тогда График зависимости ( ), т.е. зависимости коэффициента полезного действия резонансного усилителя от угла отсечки, представлен на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Зависимость коэффициента усиления и КПД резонансного Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1. Для увеличения коэффициента полезного действия усилителя необходимо устанавливать режим работы (рабочую точку, амплитуду входного сигнала), который обеспечивал бы уменьшение угла отсечки. Однако в этом случае уменьшается амплитуда первой гармоники (см. графики коэффициентов Берга), что приводит к уменьшению коэффициента усиления. Следует искать компромисс между этими двумя параметрами. Так, например, в случае необходимости иметь значительный коэффициент усиления, угол отсечки можно довести до 120 0. При данном угле отсечки коэффициент 1 ( ) = max. Коэффициент полезного действия при этом снижается.

2. При усилении амплитудно-модулированного колебания величина угла отсечки должна быть такова, чтобы сохранилась линейная зависимость амплитуды первой гармоники I1 от амплитуды входного сигнала. Очевидно, что данное условие будет обеспечено при угле отсечки = 90 0. Заметим, что при усилении сигнала с угловой модуляцией можно пренебречь влиянием величины угла отсечки на структуру сигнала.

3. С энергетической точки зрения усиление в нелинейном режиме более выгодно, чем в линейном. Если в линейном режиме при полном использовании коллекторного напряжения КПД усилителя не может превысить 0,5, то в нелинейном режиме в случае, если = 900, КПД может достигнуть величины 0,5 2, т.е. быть примерно в 1,5 раза выше. Кроме того, в этом режиме отсутствует непроизводительный расход энергии во время пауз между импульсами коллекторного тока.

В передающих и приемных трактах систем связи, а также в некоторых измерительных устройствах широко применяется нелинейное преобразование гармонического колебания, в результате которого частота этого колебания увеличивается в k раз, k – целое положительное число. Такое нелинейное преобразование называется умножением частоты, а устройство, его реализующее, – умножителем частоты.

Таким образом, умножитель частоты – это устройство, которое увеличивает в k раз частоту гармонического колебания. Если на вход умножителя подается сигнал s вх (t ) = E cos( 0 t + ), то на выходе формируется сигнал sвых ( t ) = E вых cos( k 0 t + ), причем некоторые умножители увеличивают в k раз и начальную фазу, т.е. = k.

Умножители частоты используются при формировании колебаний с высокой стабильностью частоты. Это относится прежде всего к формированию высокочастотных колебаний при кварцевой стабилизации частоты задающего генератора. Собственная частота кварца определяется выражением f [ МГц ] = 2,84 b [ мм], b – толщина пластинки кварца. Для частоты более 50 МГц пластинка должна иметь толщину порядка сотых долей миллиметра.

Такие пластинки изготовить очень трудно, они имеют слабую механическую прочность. Поэтому такой метод стабилизации используют в генераторах с частотой до 5 МГц, в отдельных случаях до 50 МГц. Колебания более высоких частот получают с помощью умножителей частоты.

В качестве умножителей частоты наиболее часто используют схему нелинейного резонансного усилителя с контуром, настроенным на требуемую частоту. Как было показано ранее, в спектре импульсов тока нелинейного усилителя на транзисторе (работающего в режиме с отсечкой тока) имеются гармонические составляющие с частотами, кратными частоте входного сигнала. Если контур усилителя настроить на частоту k-й гармоники, то на выходе будет сформировано гармоническое колебание с частотой этой гармоники.

Известно, что амплитуда k-й гармоники определяется выражением I k = I m k ( ). Следовательно, режим работы усилителя как умножителя частоты должен быть таким, чтобы амплитуда нужной гармоники была наибольшей.

При определенном значении I m это обеспечивается оптимальным углом отсечки, при котором k ( ) = max.

Практически доказано, что такой угол отсечки, при котором графики k ( ) имеют хорошо выраженные максимумы, равен max = 120 o k. Знание угла отсечки дает возможность определить амплитуду E входного сигнала и напряжение U 0 рабочей точки умножителя частоты:

Здесь S ср = I k E – средняя крутизна ВАХ транзистора для k-й гармоники, U – напряжение отсечки.

Рассмотренная схема умножителя может обеспечить умножение частоты в 2, реже в 3 раза и не более, ибо амплитуды высших гармоник коллекторного тока быстро убывают с увеличением их частоты. В тех случаях, когда требуется умножение частоты сигнала в десятки и более раз, возможно многократное умножение частоты путем последовательного включения нескольких умножителей. Однако более целесообразно использовать другой метод.

Известно, что спектр периодической последовательности видеоимпульсов содержит бесконечное число гармонических составляющих с частотами, кратными частоте следования импульсов 1. Амплитуды этих гармоник при Качество выпрямленного напряжения определяется величиной пульсаций.

С позиций спектрального анализа основной причиной пульсаций является неидеальная фильтрация составляющих спектра тока нелинейного элемента. Поэтому величину пульсаций можно оценить коэффициентом пульсаций где U 0, U1, U 2,..., U k – амплитуды гармонических составляющих спектра пульсирующего напряжения.

Из физических соображений можно сделать вывод, что основной вклад в образование пульсаций принадлежит первой гармонике. Поэтому в рассматриваемом случае где I 0 и I1 – амплитуды нулевой и первой гармоник тока нелинейного элемента выпрямителя;

Z ( 0 ) – значение АЧХ фильтра на частоте первой гармоники.

Учитывая, что Нетрудно показать, что справедливо неравенство Для уменьшения пульсаций необходимо стремиться к увеличению сопротивления нагрузки выпрямителя (что не всегда зависит от разработчика выпрямителя) и уменьшению значения коэффициента передачи фильтра на частоте первой гармоники. Для этого достаточно увеличить величину емкости фильтра.

Лучшие параметры с точки зрения пульсаций имеет двухполупериодный выпрямитель. Он представляет собой соединение двух однополупериодных выпрямителей, питающих общую нагрузку. На рис. 8.18,а приведена схема с двумя диодами, в которой вторичная обмотка трансформатора имеет отвод от средней точки. Когда напряжение в верхнем конце обмотки трансформатора положительно относительно средней точки, ток i1 (t ) идет через диод VD1 в направлении, указанном стрелкой. При этом напряжение на нижнем конце обмотки отрицательно, и ток через диод VD 2 не проходит. Через полупериод полярность напряжения на концах обмотки меняется на обратную. Диод VD1 запирается, а диод VD 2 открывается, и ток i2 (t ) проходит через диод VD 2. В обоих случаях через нагрузочное сопротивление токи проходят в одном направлении и создают суммарный пульсирующий ток iд (t) = i1 (t ) + i2 (t ).

Рабочие процессы в выпрямителе показаны на рис. 8.18,б.

Рис. 8.18. Схема двухполупериодного выпрямителя Необходимость применения трансформатора с выведенной средней точкой вторичной обмотки и неэффективное его использование (ток заряда емкости фильтра протекает в одном направлении) являются существенными недостатками данной схемы.

в. Мостовая схема двухполупериодного выпрямителя Эти недостатки отсутствуют в мостовой схеме двухполупериодного выпрямителя. В этом выпрямителе (рис 8.19) вторичная обмотка не имеет средней точки и используется полностью в течение положительного и отрицательного полупериода напряжения. В положительный полупериод открыты диоды VD1 и VD3 (диоды VD 2 и VD 4 закрыты), в отрицательный полупериод открыты диоды VD 2 и VD 4 (диоды VD1 и VD3 закрыты). Через открытые диоды происходит заряд конденсатора фильтра.

Рис. 8.19. Схема мостового двухполупериодного выпрямителя Мостовая схема выпрямителя имеет два важных преимущества. Вопервых, обратное напряжение на диодах в 2 раза меньше, чем у других выпрямителей. Во-вторых, можно применить более простой трансформатор (без средней точки), который может и отсутствовать. В силу того что ток заряда конденсатора проходит через два диода, у этого выпрямителя потери несколько больше.

Применяются также схемы выпрямителей с определенными специфическими свойствами, например, с удвоением или умножением выходного напряжения. Такие выпрямители позволяют получить выходное напряжение значительно большее, чем амплитуда входного переменного напряжения (до нескольких десятков киловольт).

8.6.1. Общие принципы получения сигналов с угловой модуляцией Радиосигналы с угловой модуляцией имеют вид где (t ) = k ф s м (t ) + 0 – изменение фазы несущего колебания при фазовой модуляции;

(t ) = kч s м (t )dt + 0 – изменение фазы несущего колебания при частотной модуляции.

Здесь s м (t ) – модулирующий сигнал, 0 – начальная фаза несущего колебания, k ф и kч – масштабные коэффициенты.

Такие радиосигналы формируются фазовыми и частотными модуляторами.

Фазовый модулятор (ФМ) – это устройство, формирующее высокочастотное колебание, фаза которого изменяется по закону модулирующего сигнала (рис. 8.20,а).

Частотный модулятор (ЧМ) – это устройство, формирующее высокочастотное колебание, частота которого изменяется по закону модулирующего сигнала (рис. 8.20,б).

Рис. 8.20. Фазовый (а) и частотный (б) модуляторы Фазомодулированное колебание можно получить и с помощью частотного модулятора. Для этого необходимо модулирующий сигнал подать на модулятор через дифференцирующую цепь (диф. цепь, рис. 8.21,а). В свою очередь с помощью фазового модулятора можно получить частотно-модулированное колебание, если модулирующий сигнал подается на модулятор через интегрирующую цепь (инт. цепь, рис. 8.21,б).

Рис. 8.21. Взаимосвязь частотной и фазовой модуляций Изменение фазы несущего колебания по закону модулирующего сигнала наиболее просто осуществляется с помощью колебательного контура с перестраиваемой фазочастотной характеристикой. Управляя этой характеристикой с помощью модулирующего сигнала, можно изменять в определенных пределах фазу высокочастотного колебания, поступающего на контур. ФЧХ контура зависит от его параметров (индуктивности, емкости, сопротивления). Поэтому управление этой характеристикой можно осуществить, изменяя, например, величину емкости контура с помощью варикапа – параметрического плоскостного диода, барьерная емкость p-n-перехода которого зависит от обратного напряжения, приложенного к нему. Для осуществления процедуры модуляции на варикап необходимо подать модулирующий сигнал.

Схема такого фазового модулятора представлена на рис. 8.22.

Рис. 8.22. Фазовый модулятор на основе перестраиваемого контура Для устранения паразитной амплитудной модуляции, вызванной неизбежной расстройкой контура относительно частоты несущего колебания, к выходу модулятора подключается усилитель-ограничитель.

Фаза выходного сигнала вых модулятора будет определяться изменением фазового сдвига контура к по закону модулирующего сигнала u м (t ), т.е.

Индекс угловой модуляции определяется произведением амплитуды модулирующего сигнала U м на крутизну модуляционной характеристики, равную S ф = d к (u ) du. Крутизна модуляционной характеристики зависит от добротности контура, порядка включения варикапа в контур (последовательно или параллельно емкости контура) и крутизны вольт-кулонной характеристики варикапа. При необходимости получить значительный индекс угловой модуляции применяется умножитель частоты выходного сигнала.

Другой способ построения фазовых модуляторов основан на преобразовании амплитудной модуляции в фазовую. В таких модуляторах формирование ФМ-сигнала производится в два этапа. На первом этапе формируется АМсигнал, а на втором этапе осуществляется преобразование данного сигнала в сигнал с фазовой модуляцией.

Второй этап выполняется путем сложения двух колебаний несущей частоты, сдвинутых относительно друг друга на угол 2. Причем амплитудномодулированными могут быть одно или оба складываемых колебаний.

На рис. 8.23 и 8.24 приведены схемы подобных фазовых модуляторов и векторные диаграммы, поясняющие эффект фазовой модуляции.

Рис. 8.23. Фазовый модулятор Фазовый модулятор рис. 8.23 реализует свои функции путем сложения амu1 (t ) = U (t ) cos 0 t u 2 (t ) = E sin 0 t колебаний. Выходной сигнал равен Как видно из этого выражения, выходной сигнал представляет собой высокочастотное гармоническое колебание, амплитуда и фаза которого зависит от модулирующего колебания. Векторная диаграмма иллюстрирует эффект изменения фазы и тот факт, что фазовая модуляция в этом случае сопровождается паразитным изменением амплитуды C (t ) = U 2 (t ) + E 2 результирующего сигнала.

При сложении двух амплитудно-модулированных колебаний (рис. 8.24) можно значительно уменьшить изменения амплитуды фазомодулированного сигнала.

Рис. 8.24. Фазовый модулятор При небольших индексах угловой модуляции (не более 0,5) для получения сигналов с фазовой модуляцией можно использовать метод Армстронга (Эдвин Армстронг – американский радиотехник). Метод предусматривает сложение под углом 2 немодулированного и балансно-модулированного колебаний. Схема фазовой модуляции по методу Армстронга и векторная диаграмма, поясняющая эффект модуляции, приведены на рис. 8.25. Диаграмма приведена для однотональной фазовой модуляции.

Фазовый модулятор реализует свои функции путем сложения двух колебаний:

модулированного u1 (t ) = mU н cos( 0 + )t + mU н cos( 0 )t ;

немодулированного u 2 (t ) = U н sin 0 t.

Выходной сигнал равен Таким образом, выходной сигнал модулятора представляет собой высокочастотное гармоническое колебание, амплитуда и фаза которого зависит от модулирующего колебания. Векторная диаграмма иллюстрирует эффект изменения фазы. Фазовая модуляция сопровождается паразитным изменением амплитуды результирующего сигнала.

Рассмотренные фазовые модуляторы сохраняют линейную зависимость фазы выходного сигнала от модулирующего сигнала при малых индексах угловой модуляции. При больших значениях становится существенной нелинейность фазовых модуляционных характеристик. Увеличение индекса модуляции достигается при умножении частоты ФМ-сигнала.

Существуют прямой и косвенный способы построения частотных модуляторов. Прямой способ предусматривает непосредственное управление частотой колебаний, формируемых автогенератором, с помощью модулирующего сигнала. Косвенный способ основан на возможности получать частотномодулированное колебание с помощью фазового модулятора, как показано на рис. 8.21.

Рассмотрим реализацию прямого способа.

Эффект частотной модуляции можно получить за счет электронного управления резонансной частотой контура в составе LC-генератора гармонических колебаний (рис. 8.26). Генератор собран по схеме резонансного усилителя с положительной обратной связью через высокочастотный трансформатор. Частота колебаний определяется резонансной частотой колебательного контура.

Динамическое управление этой частотой осуществляется путем изменения емкости контура с помощью варикапа. Варикап подключен параллельно емкости контура, барьерная емкость его p-n-перехода изменяется под воздействием модулирующего сигнала.

Рис. 8.26. Схема частотного модулятора с варикапом Определим характер зависимости частоты генерируемых колебаний от относительного изменения величины емкости. Как уже говорилось, частота колебаний на выходе автогенератора определяется в основном резонансной частотой контура. Поэтому можно считать, что отклонение емкости на величину C приводит к изменению частоты на величину.

Исходные формулы и преобразования элементарны, поэтому они даны без комментариев. Обозначения:

Lk, C k – индуктивность и емкость колебательного контура в схеме автогенератора;

C0 – емкость варикапа в рабочей точке (при отсутствии модулирующего напряжения);

C, – изменение емкости и приращение частоты за счет изменения емкости.

Разделим левую и правую часть равенства на 0 и продолжим преобразования:

Практика применения частотной модуляции при передаче сообщений показывает, что относительное изменение частоты, как правило, незначительно.

Так, например, в УКВ диапазоне величина 0 не превышает нескольких долей процента. В этом случае полученное выражение можно упростить:

Таким образом, положительному приращению емкости соответствует отрицательное приращение частоты. Причем при малых относительных изменениях частоты имеется линейная зависимость между и C. Следовательно, для получения частотной модуляции достаточно изменять емкость варикапа по закону модулирующего сигнала.

От величины напряжения, прикладываемого к варикапу, зависит также сопротивление его p-n-перехода. Это приводит к изменению добротности колебательного контура автогенератора, следствием чего является паразитная амплитудная модуляция формируемого ЧМ-колебания. Данный недостаток рассмотренного метода модуляции проявляется при значительных амплитудах модулирующего сигнала.

8.7. Детектирование сигналов с угловой модуляцией 8.7.1. Общие принципы детектирования сигналов с угловой модуляцией Радиосигналы с угловой модуляцией, имеющие вид детектируются фазовыми и частотными детекторами.

Фазовый детектор (ФД) – это устройство, формирующее выходной сигнал, закон изменения которого соответствует закону изменения фазы входного высокочастотного сигнала (рис. 8.27,а).

Частотный детектор (ЧД) – это устройство, формирующее выходной сигнал, закон изменения которого соответствует закону изменения частоты входного высокочастотного сигнала (рис. 8.27,б).

Рис. 8.27. Фазовый (а) и частотный (б) детекторы Известно, что между частотой и фазой гармонического колебания существует следующая зависимость:

Поэтому с помощью частотного детектора можно выполнить фазовое детектирование, если выходной сигнал ЧД проинтегрировать. В свою очередь с помощью фазового детектора можно выполнить частотное детектирование, если выходной сигнал ФД продифференцировать (рис. 8.28).

Рис. 8.28. Взаимосвязь между фазовым и частотным детекторами В основу построения фазовых детекторов положено определение разности фаз опорного напряжения uоп (t ) = U оп cos 0t и фазомодулированного колебания uвх (t ) = U н cos[ 0t + (t )]. Напряжение u оп (t ) называют опорным, поскольку отсчет фазы ведется относительно него. Для определения разности фаз осуществляется перемножение этих напряжений с последующим выделением необходимых составляющих фильтром низкой частоты. В качестве перемножителя обычно используют нелинейный элемент (диод, транзистор) с квадратичной характеристикой, благодаря чему в спектре тока этого элемента имеются составляющие, зависящие от разности фаз входных колебаний. Низкочастотный фильтр, связанный с нелинейным элементом, выделяет эти составляющие (рис. 8.29).

Рис. 8.29. Структурный состав фазового детектора Схема фазового детектора на диоде и векторная диаграмма, поясняющая принцип формирования выходного напряжения, приведены на рис. 8.30.

Рис. 8.30. Схема фазового детектора Диод VD и низкочастотный фильтр RC образуют по существу схему, подобную схеме амплитудного детектора. Схема фазового детектора характеризуется тем, что на диод воздействует сумма двух напряжений одинаковой частоты: опорного и фазомодулированного, т.е.

Выходное напряжение ФД будет равно U фд ( ) = KU д ( ), где K – коэффициент передачи низкочастотного фильтра, U д ( ) – амплитуда суммарного сигнала, воздействующего на диод.

Величину U д ( ) легко определить по векторной диаграмме Тогда Зависимость выходного напряжения детектора от разности фаз входных колебаний называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Вид характеристики представлен на рис. 8.31.

Рис. 8.31. Амплитудно-фазовая характеристика ФД Недостатком данной схемы фазового детектора является нелинейность АФХ, наличие большого количества спектральных составляющих тока нелинейного элемента (в том числе и постоянной составляющей), которые необходимо отфильтровывать. Поэтому такой ФД используется редко.

Значительно меньше составляющих в спектре тока балансного фазового детектора (рис. 8.32).

Рис. 8.32. Схема балансного фазового детектора Схема состоит по существу из двух детекторов на диодах. Опорное напряжение на диоды поступает в фазе, сигнальное – в противофазе, а выходное напряжение формируется как результат встречного включения выходных напряжений.

Для данной схемы на диоды подаются следующие напряжения:

Амплитуды этих напряжений определяются выражениями Тогда напряжение на выходе ФД равно Таким образом, выходное напряжение детектора зависит не только от разности фаз, но и от амплитуд опорного и сигнального напряжений. На практике ФД работают обычно при соотношениях n = 1 и n U (t ).

весьма мала. При этом составляющие с частотами сигнала или гетеродина не будут отфильтрованы избирательной системой. Нежелательно также применение этой системы при решении задачи преобразования частоты в диапазоне акустических частот. В этом случае целесообразно использовать балансные схемы, которые обеспечивают самоликвидацию (компенсацию) ненужных составляющих. На рис. 8.43,а и рис. 8.43,б приведены схемы таких преобразователей на диодах.

Рис. 8.43. Балансные преобразователи частоты В схеме рис. 8.43,а выходное напряжение равно где При получении выражения для i2 (t ) учтено, что напряжение сигнала подается на диоды схем в противофазе, а напряжение гетеродина – в фазе.

Подставляя выражения для i1 (t ) и i2 (t ) в формулу (8.5), получаем uвых (t ) = [2a1uвх (t ) + 4a2uвх (t )uг (t )]R.

Отсюда видно, что на выходе балансного преобразователя рис. 8.43,а отсутствуют составляющие с частотами, равными 0, г, 2 0, 2 г, что упрощает решение задачи получения выходного сигнала необходимой частоты. Тем не менее к выходу такого преобразователя также необходимо подключать избирательную систему с целью фильтрации сигнала с требуемой частотой.

Балансный преобразователь рис. 8.43,б представляет собой схему, совмещающую два балансных преобразователя. На диоды различных ветвей подаются напряжения сигнала и гетеродина с различными фазами. Работа такого преобразователя поясняется следующими формулами:

где i1 (t ) = a0 + a1uвх (t ) + a1uг (t ) + a 2 uвх (t ) + a 2 uг (t ) + 2a 2 uвх (t )uг (t ) ;

Подставляя выражения для i1 (t ), i2 (t ), i3 (t ) и i4 (t ) в формулу (8.6), получаем На выходе преобразователя рис. 8.44,б отсутствует составляющая с частотой сигнала 0 (составляющие с частотами 0, г, 2 0, 2 г также отсутствуют). Фильтр на выходе такого преобразователя должен выделить одну составляющую из двух.

В приемных каналах радиотехнических систем широко используются преобразователи частоты на транзисторах. При этом различают схемы преобразователей, в которых функции смесителя и гетеродина совмещены, и схемы преобразователей с подачей сигнала гетеродина извне. Более стабильную работу обеспечивает последний класс преобразователей.

По способу включения транзисторов различают:

1. Преобразователи с включением транзистора по схеме с общим эмиттером и по схеме с общей базой.

Преобразователи с общим эмиттером используются чаще, т.к. имеют лучшие шумовые характеристики и больший коэффициент усиления по напряжению. Напряжение гетеродина может быть подано в цепь базы или в цепь эмиттера. В первом случае достигается больший коэффициент усиления, во втором случае – лучшая стабильность коэффициента усиления и хорошая развязка между сигнальным и гетеродинным контурами.

2. Преобразователи на усилителях с каскодным включением транзисторов.

3. Преобразователи на дифференциальном усилителе.

4. Преобразователи на полевых транзисторах (с одним и двумя затворами).

Основные свойства и характеристики последних трех групп преобразователей определяются свойствами усилителей, на основе которых они построены.

На рис. 8.44 приведены схемы преобразователей частоты на плоскостных транзисторах.

В схеме рис. 8.44,а напряжение сигнала подается в цепь базы транзистора, напряжение гетеродина – на эмиттер. Контур в цепи коллектора настроен на промежуточную частоту. Сопротивления R1 и R2 обеспечивают необходимый режим работы усилителя (положение рабочей точки), сопротивление Rэ и емкость Cэ – термостабилизацию положения рабочей точки. Преобразование частоты осуществляется за счет изменения с частотой сигнала гетеродина коэффициента передачи усилительного каскада (крутизны ВАХ транзистора).

Рис. 8.44. Схемы преобразователей частоты на плоскостных транзисторах Транзисторный преобразователь частоты, изображенный на рис. 8.44,б, построен с использованием дифференциального усилителя. На его вход подается преобразуемый сигнал, а на базу транзистора VT3 генератора стабильного тока подается сигнал гетеродина. Коэффициент усиления и коэффициент шума таких преобразователей примерно равны соответствующим коэффициентам усилительного каскада.

Схемы преобразователей частоты на полевых транзисторах приведены на рис. 8.45,а – схема с совмещенным гетеродином и рис. 8.45,б – схема с использованием полевого транзистора с двумя изолированными затворами.

Рис. 8.45. Схемы преобразователей частоты на полевых транзисторах На рис. 8.45,а полевой транзистор с затвором в виде p-n-перехода выполняет роль смесителя и гетеродина одновременно. Сигнал uвх (t ) поступает на затвор транзистора. Напряжение гетеродина uг (t ) с части гетеродинного контура Lг Cг подается в цепь истока транзистора. Необходимый режим транзистора обеспечивается соответствующим выбором рабочей точки с помощью цепи автоматического смещения R2C2. Резистор R1 в цепи затвора обеспечивает стекание зарядов, скапливающихся на затворе. Нагрузка преобразователя – полосовой фильтр, настроенный на необходимую комбинационную частоту стокового тока. Так как входное и выходное сопротивления полевого транзистора довольно велики, то входной контур к затвору и контур полосового фильтра к стоку подключаются полностью.

В схеме транзисторного преобразователя частоты на полевом транзисторе с двумя изолированными затворами (рис. 8.45,б) оба затвора используются в качестве управляющих электродов. По существу транзистор работает под воздействием суммы двух напряжений. Напряжение uвх (t ) создается преобразуемым сигналом, подаваемым на первый затвор, а напряжение uг (t ) – сигналом гетеродина, подаваемым на второй затвор. Колебательный контур, настроенный на разностную частоту, подключен к стоку транзистора. Достоинством этой схемы является незначительная емкостная связь между цепью подачи преобразуемого сигнала и контуром сигнала гетеродина. При наличии такой связи возможен захват сигналом частоты колебаний гетеродина. При этом частота сигнала гетеродина становится равной частоте преобразуемого сигнала, вследствие чего преобразования частоты происходить не будет.

Преобразование частоты можно осуществить также с помощью параметрических цепей. В таких цепях напряжение гетеродина подается на нелинейную емкость (варикап), величина которой изменяется по закону гетеродинного напряжения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ