«СЕРГЕЙ ЛЬВОВИЧ СОБОЛЕВ (1908–1989) Биобиблиографический указатель РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА СЕРГЕЙ ЛЬВОВИЧ СОБОЛЕВ (1908–1989) Под редакцией С. С. Кутателадзе ...»

Институт математики им. С. Л. Соболева

СЕРГЕЙ ЛЬВОВИЧ

СОБОЛЕВ

(1908–1989)

Биобиблиографический указатель

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

СЕРГЕЙ ЛЬВОВИЧ

СОБОЛЕВ

(1908–1989) Под редакцией С. С. Кутателадзе 3-е издание переработанное и дополненное Новосибирск Издательство Института математики 2008 УДК 501(092) Под редакцией С. С. Кутателадзе Соболев Сергей Львович (1908–1989).

Биобиблиографический указатель / Ред. и авт.

вступ. ст. С. С. Кутателадзе. — 3-е изд., перераб.

и доп. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2008. — 150 с.

ISBN 978–5–86134–144–8.

Биобиблиографический указатель сочинений Сергея Львовича Соболева (1908–1989), основателя Института математики Сибирского отделения Российской академии наук. Первый биобиблиографический указатель работ Соболева со вступительной статьей В. И. Смирнова был издан в 1949 г. В 1969 г. опубликовано новое издание со вступительной статьей М. А. Лаврентьева, Л. В. Канторовича и А. В. Бицадзе.

В 1998 г. в Институте математики им. С. Л. Соболева вышло обновленное издание со вступительной статьей С. С. Кутателадзе и библиографией, составленной В. М. Пестуновой. В 2003 г. опубликовано второе переработанное и дополненное издание. Настоящее третье издание переработано к 100-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева и дополнено его докладом «Мудрость знаков», подготовленным в 1968 г.

Публикация рассчитана на читателя, интересующегося историей отечественной науки.

ISBN 978–5–86134–144–8 c Институт математики им.

С. Л. Соболева СО РАН, Вехи жизни С. Л. Соболева 1908 Родился 6 октября (23 сентября по старому стилю) в Петербурге. Назван в честь святого преподобного Сергия Радонежского. Отец — Лев Александрович Соболев, был адвокатом. Прадед С. Л. Соболева по отцовской линии — Захар Соболев, сибиряк из казаков, живших в районе Читы. В 1916 г. Л. А. Соболев ушел из семьи, но помогал ей вплоть до своей трагической гибели в 1921 г.

Мать — Наталья Георгиевна, урожденная Раскина. Ее отец Георгий Васильевич — кантонист, дослужившийся до личного дворянства и генеральского чина. Бабушка С. Л. Соболева по материнской линии — Анастасия Андронниковна, мелкая харьковская помещица.

1919–1923 Мать и дети Соболевы живут в Харькове, а затем вернулись в Петроград.

1925–1929 Студент ЛГУ. Научный руководитель — Н. М. Гюнтер.

1929–1936 Направлен по распределению в Сейсмологический Институт, где сотрудничает с В. И. Смирновым.

1932–1957 Работает в Математическом Институте им. В. А. Стеклова. В 1942–1944 гг. по инициативе руководства АН СССР занимает пост директора. С 1944 г. заведует отделом в порядке совместительства.

1933 Избран членом-корреспондентом АН СССР.

1935 Рождение теории обобщенных функций в статье «Задача Коши в пространстве функционалов».

1938–1948 Депутат Верховного Совета РСФСР.

1939 Избран действительным членом АН СССР.

1939 Орден «Знак почета».

1941 Лауреат Сталинской премии второй степени за работы «Некоторые вопросы теории распространения колебаний» (1937) и «К теории нелинейных гиперболических уравнений с частными производными» (1939).

1945–1958 Зам. начальника, зам. директора Лаборатории № (впоследствии Институт атомной энергии им. И. В. Курчатова).

1945 Орден Ленина.

1947 Учебник «Уравнения математической физики».

1949 Орден Ленина.

1950 Монография «Некоторые применения функционального анализа в математической физике».

1951 Лауреат Сталинской премии за вклад в атомный проект.

1951 Звание Героя Социалистического труда и Орден Ленина за вклад в атомный проект.

1953 Лауреат Сталинской премии за вклад в атомный проект.

1953 Орден Ленина.

1952–1960 Заведует кафедрой вычислительной математики МГУ.

1954 Орден Трудового Красного Знамени.

1957–1983 Директор Института математики Сибирского отделения АН СССР.

1958 Орден Ленина.

1960–1977 Заведует кафедрой дифференциальных уравнений НГУ.

1960–1989 Член редколлегии «Сибирского математического журнала».

1967 Орден Ленина.

1967–1986 Главный редактор «Сибирского математического журнала».

1974 Монография «Введение в теорию кубатурных формул».

1975 Орден Ленина.

1983 Возвращение в Математический Институт им. В. А. Стеклова.

1988 Золотая медаль им. М. В. Ломоносова.

1989 Скончался в Москве 3 января и похоронен на Новодевичьем кладбище.

На свете существует очень много наук, и все науки связаны друг с другом. Нельзя заниматься химией, не зная физики, биологией, не зная химии, геологией, не зная биологии и, в частности, палеонтологии, то есть не зная, каковы были живые существа на земле задолго до появления на свет человека.

Но есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это — математика. Ее понятия, представления и символы служат тем языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. Она объясняет закономерности сложных явлений, сводя их к простым элементарным явлениям природы. Она предсказывает и предвычисляет далеко вперед с огромной точностью ход вещей.

';

Об этой науке я и хочу сегодня вам рассказать.

Начало математики относится к древнему Египту.

Основы нашей элементарной математики восходят к античному миру. Великолепная геометрия Евклида, алгебра древних арабов, первое, с чем мы знакомимся сейчас еще в детском возрасте, — все это было когда-то научным откровением. Время в античный период текло медленно. Расцветали, шли вперед искусство, военное дело, но мало менялись основные производительные силы общества. Не было у человечества нужды в понимании стремительного бега переменных величин; статических, застывших соотношений хватало для описания того мира, который понимал тогда человек.

Воспроизводится по имеющим статус рукописи материалам конференции «Математизация знания». Напечатано в г. Москве офсетным производством типографии № 3 издательства «Наука».

Тираж 800 экз. Подписано к печати 21.04.1968.

Еще неизменнее оставалось человечество на протяжении средних веков. Мысль и даже чувства людей были скованы канонизированными авторитетами. Поколение за поколением радовались люди одному и тому же, ненавидели одно и то же, одинаково веселились. Не испытывали существенных изменений ни точные науки, ни математика. И только с началом эпохи Возрождения наступает оживление. Корабли Васко да Гама, Христофора Колумба, Магеллана начинают открывать мир.

Начинает пробуждаться и долго лежавшая без движения математическая наука. Пока это еще очень небольшое движение. Нужно уметь прокладывать путь в морях по звездам и хронометру. Правда, дальше сферической тригонометрии дело не идет, но жизнь требует нового. Неверными оказываются аристотелевские законы механики, если их подвергнуть беспристрастной проверке, рушится геоцентрическая система мира. Непрерывное движение, которое начинает видеть вокруг себя пробуждающийся человек и в котором раньше замечались только парадоксы, требует, чтобы его поняли.

И наконец, после бурь эпохи Возрождения, после реформации церкви, после отмирания феодального строя, на заре новой истории, в самом конце XVII века появляется гениальное создание человеческого разума «Исчисление бесконечно малых», возникшее одновременно в Англии и Германии в трудах Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница. Анализ бесконечно малых сразу же проникает в механику, а затем и в остальные части физики, меняя до основания все исходные понятия. Он дает возможность изучать переменные величины, глубже понять сущность движения.

В истории науки и техники никогда не было столь драматического открытия, не было большего переворота, большей освежающей бури, чем та, которая разразилась перед самым началом XVIII века.

Мы мыслим всегда с помощью абстрактных понятий. В математике древних такими понятиями были числа и простейшие геометрические образы, точки, прямые, плоскости, углы, многоугольники, многогранники, конические сечения: круги, эллипсы, параболы, гиперболы. Древние мыслили конкретно. Они знали и другие кривые, но каждая новая кривая была вещью в себе и даже получала свое название. Спираль Архимеда, лемниската, локон Марии Аньези. Общей теории кривых в те времена не появлялось.

На смену этому статическому мировоззрению приходит новое, динамическое. Возникает представление о взаимосвязанных переменах, о независимой переменной и функции. С функцией неотъемлемо связаны ее производные: первая производная, то есть скорость ее изменения, вторая производная, или ускорение. Общее понятие о функции сделалось такой же безусловной частью восприятия мира, частью всего мироощущения ученого, как целое число является безусловной частью восприятия мира человеком, начиная с самых ранних ступеней его умственного развития. Уже в каменном веке люди начали мыслить числами и с тех пор видели целое число повсюду вокруг себя. Сейчас ученые мыслят функциями, они умеют обращаться с ними, считать их.

Кроме появления общего понятия о функциях, были рассмотрены еще многие конкретные функции, которые мыслятся часто как графики, иногда как формулы, а подчас как таблицы. Мир функций богат и разнообразен. Между ними, их производными и их интегралами, или так называемыми первообразными, от которых данная функция служит производной, существуют разные взаимоотношения, связи, уравнения. Понимание этого мира, знание его связей дает исследователю новый взгляд на вещи.

Положение планеты, вращающейся вокруг Солнца и притягиваемой с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, описывается, то есть моделируется, таким уравнением, из которого сразу следуют кеплеровские законы. Во всех таких примерах удается на основании бесконечно малой картины, подчиненной элементарным законам механики, восстановить движение в целом. Таков метод дифференциальных уравнений.

Этот метод влечет за собой множество физических открытий, появившихся сразу же при его возникновении. Первый, кто начал им пользоваться, был Исаак Ньютон, — я имею в виду научное открытие закона всемирного тяготения. Вовсе не удар яблоком по голове заставил догадаться о существовании тяготения тел друг к другу, а закономерности движения этих тел. Ньютон подсчитал ускорения всех планет и обнаружил, что все они направлены к Солнцу, самому массивному телу, и зависят только от расстояния до Солнца. Предметы, расположенные близко к Земле, тяготеют к ней.

Вместе с открытым им законом механики о пропорциональности ускорения и силы это и доказывало наличие тяготения. В первом приближении влияние планет друг на друга незначительно. Однако при более точных расчетах его надо учитывать. Таким образом, кроме объяснения движения планет, теория дифференциальных уравнений дает методы точного предвычисления этих движений. Далее пошли бесчисленные другие приложения анализа. Возникла аналитическая механика, кинематика, динамика, которая потом уже на все века сделается по существу наукой о машинах и механизмах.

Очень скоро тот же аппарат теории переменных величин стали применять для математического описания величин, зависящих от многих независимых переменных. Примером таких величин может служить температура в некоторой точке тела. Эта температура в разных точках различна и, значит, зависит не только от времени, но и от координат данной точки. Дифференциальное и интегральное исчисление применяется и к переменным величинам, образующим так называемое поле.

С полем связаны новые математические понятия;

градиент-вектор, показывающий, как быстро и в какую сторону происходит рост изучаемой переменной, расходимость векторного поля, вихрь этого поля. Пользуясь этими понятиями, можно записать элементарные законы, справедливые в физических полях. Законы эти имеют вид уравнений между частными производными от неизвестных функций. Решения таких уравнений, качественные следствия из них позволили объяснить и предсказать многие явления в таких физических полях.

Особенно хорошо были изучены модели некоторых элементарных явлений, происходящих в среде: распространения волн, передачи тепла и равновесного установившегося состояния электрического поля, поле тяготения и тому подобное. Возникла теория уравнений математической физики.

В истории механики XVIII и особенно XIX века роль, которую сыграли эти математические открытия, оказалась исключительно большой. События развивались далее, как и всегда, по любопытной, каждый раз повторяющейся схеме, которую мы будем прослеживать не только на первом, но и на последующих этапах математизации науки и техники.

Схема эта такова.

У истоков любого научно-технического открытия, любого качественного скачка лежит, как правило, некоторое открытие чисто математического характера. В математике создаются новые абстрактные понятия, образы и представления, новые теории, следствия из которых будут получены не сразу. Через большой период времени, иногда в полстолетие, эта математическая подготовительная стадия открытия дополняется конкретным содержанием из других наук. Оказывается, что созданные ранее математические образы и понятия представляют собой прекрасную абстрактную модель совсем новых, например, физических явлений. Поскольку эта модель хорошо исследована, она подсказывает сразу и физические следствия. Явление становится понятным, получается возможность новых предсказаний, предвычислений. Рождается физическая теория. (Конечно, и появление математических открытий не случайно. Они вытекают из многих требований жизни, но этот вопрос мы оставим сейчас в стороне.) Следующий шаг от рождения физической теории до ее прямого использования в технике часто бывает трудным и долгим. Проходят иногда годы и десятки лет, пока новое научное открытие становится понятным более широкому кругу лиц и входит в человеческое сознание. Тогда вспыхивает инженерная мысль, включаются организованные большие массы людей. Начинается разработка новой области техники.

Конечно, то, что я обрисовал сейчас, не более чем схема. Жизнь бывает подчас много сложнее. Развитие техники, технический прогресс идет иногда долго своим собственным путем. Постепенные усовершенствования накапливаются и приводят к принципиально новым открытиям, в основе которых лежат хотя и новые технически, но старые в научном отношении идеи. Однако каждый решительный настоящий переворот в науке и технике готовится долго. Он происходит от глубоких коренных изменений в точных науках, эти изменения, в свою очередь, как правило, возникают из новых математических открытий, опираются на ряд новых математических образов и идей.

XIX век называют веком пара и электричества. Электрический ток стал сейчас неотъемлемой частью нашего быта. Понимание законов, управляющих электрическими и магнитными явлениями, зиждется на теории дифференциальных уравнений, теории, созданной задолго до того, как человечество начало пользоваться ими для решения задач электротехники, и на теории комплексных чисел.

Когда речь идет об электромагнитных явлениях, всюду упоминают вместе два имени — Фарадея и Максвелла.

Максвелл записал математическим языком найденные Фарадеем закономерности, эти закономерности и уравнения Максвелла заключают в себе, как оказалось, гораздо больше, чем простое описание опытов. К этим опытам Максвеллом была добавлена гипотеза о том, что изменение электрического поля в пустоте и в диэлектрике должно приводить к тому же магнитному эффекту, как и электрический ток. Уравнения Максвелла оказались типичными волновыми, или, как математики говорят, гиперболическими уравнениями в частных производных.

Теория таких уравнений, существовавшая до этого около столетия, привела к заключению о том, что электромагнитные возмущения представляют собой колебания волнового характера и должны распространяться со скоростью 300 000 км/сек, т. е. со скоростью света. Исследования Максвелла — пример открытий математической физики. Это по существу математические открытия.

Таким образом, радиоволны, которые сейчас окружают нас, были впервые открыты не в лаборатории в результате счастливой и маловероятной случайности или планомерного поиска. Их открыл математик Максвелл за письменным столом, анализируя полученную им систему уравнений в частных производных. Вслед за тем эти волны обнаружил Герц в своей лаборатории. Это было сделано великолепно, но уже не было неожиданным открытием. Первые в мире радиоприемники и радиопередатчики, построенные А. С. Поповым, выросли, таким образом, из теории уравнений в частных производных.

Общие физические представления, о которых мы говорили до сих пор, были представлениями о непрерывности среды, в которой разыгрываются явления. Само это представление — математический образ, выросший из анализа бесконечно малых, из трудов Ньютона, Лейбница и их учеников. Но на самом деле, как мы теперь хорошо знаем, вещества устроены иначе. Они состоят из атомов и молекул, находящихся в непрерывном движении. Мельчайшие движения этих частиц беспорядочны, и то, что мы видим и анализируем, это лишь результат суммарного воздействия на нас этих движений. Физические понятия, относящиеся к непрерывной среде, такие, как скорость ее движения в каждой точке, температура в каждой точке, давление, плотность и другие им подобные понятия, статистические. А они были созданы в математике задолго до их конкретного применения в механике и физике. Та часть математики, которая этим занимается, называется теорией вероятностей; теория вероятностей служит базой молекулярной физики, возникшей в конце XIX века. На этой базе современная молекулярная физика по-новому переосмысляла термодинамику и теорию непрерывных сред.

Тому же Максвеллу, таким образом, принадлежит пионерская роль и в этом направлении.

На рубеже XX века физика претерпела крупнейший переворот. Этот переворот ознаменовал новый этап проникновения науки в жизнь и технику. Началось использование новой физики, физики теории относительности и атомных ядер, квантовой электроники. Этот переворот также имеет свою очень важную математическую предысторию.

В середине XIX века великий русский геометр Н. И.

Лобачевский построил свою «воображаемую геометрию», в которой вместо постулата Евклида был положен в основу постулат о существовании бесчисленного множества прямых, не пересекающихся с данной, проходящих через данную точку. Так же строил свою систему немного позже и независимо от Лобачевского венгерский геометр Я. Бойяи.

Неевклидова геометрия Лобачевского оставалась довольно долго не понятой никем, кроме отдельных ученых, таких, как великий немецкий математик Гаусс. Не ограничиваясь созданием новой геометрии, Лобачевский приступает к ее опытной проверке, цель которой обнаружить кривизну мирового пространства. Опыты не принесли утешения. В масштабах Солнечной системы геометрия не отличалась от Евклидовой. Сейчас же мы знаем, что, обладай Лобачевский методикой более современной, он мог бы обнаружить кривизну нашего мира уже тогда.

Дальнейший шаг в направлении, начатом Лобачевским, был сделан Риманом в его замечательном произведении «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Риман построил очень совершенную математическую теорию пространства, обладающего переменной внутренней кривизной, то есть имевшего различную кривизну в различных точках.

Великолепный математический аппарат, возникший из этих исследований, называемый тензорным анализом, послужил главной базой для теории относительности Пуанкаре и Эйнштейна, этой первой ласточки физики XX века.

Физика XX века — квантовая физика — основана на новых представлениях, новых образах, новых математических моделях квантовых явлений, модели заимствованы из других математических теорий, явившихся на свет на рубеже XIX–XX веков из функционального анализа. Это область математики, где вместо переменных чисел рассматриваются переменные функции и переменные кривые. Роль функции играет функциональный оператор.

Опыт показал, что частицы материи, атомы, обладают двойственной природой, выступая то как частица, то как волна. Такой же двойственной природой обладают и электромагнитные волны, которые в некоторых отношениях подобны частицам. Если раньше координаты частиц выражались определенными числами, то теперь вместо этого все они изображаются операторами, которые способны отобразить их двойственную природу. Связи между этими величинами хорошо моделируются связями между соответствующими операторами.

Квантовая физика умеет предсказывать и предвычислять явления, с которыми классическая физика ничего не могла поделать.

Применение новой квантовой физики разнообразно. Первоначально областью ее был микромир, ядро атома и его оболочки. Она изучает испускание и поглощение света. Дальше, однако, обнаружился большой класс явлений обычного масштаба, которые оказалось возможным понять лишь с помощью квантовых представлений: это сверхтекучесть гелия и сверхпроводимость разных веществ, теория металлов, теория полупроводников. Квантовая теория дозволила в последнее время создать новую область техники — квантовую электронику. Квантовые генераторы — великолепное достижение экспериментальной физики — выросли, таким образом, из абстрактных исследований.

К середине XX столетия математика обогатилась новыми техническими средствами. Появились быстродействующие электронные математические машины.

О том, что они собою представляют, я буду говорить позднее. Сейчас я остановлюсь на том, как опыт использования этих машин неожиданно раскрыл перед учеными совсем новые области математики и ее применений.

Быстродействующие вычислительные машины появились главным образом под влиянием требований из новых областей техники. Раньше, особенно в технически передовых и богатых странах, каждое новое изделие проходило длинную стадию моделирования и испытания. Прежде чем сделать окончательную конструкцию, нужно было перерабатывать много разных неудачных вариантов. Опытная доработка и доводка была главным способом создания хороших машин. В новой технике этот путь становился непригодным. Нельзя было бы вести пристрелку по Луне, выпуская сотни и тысячи ракет. Слишком это было бы дорого, как слишком дорого и долго было бы испытывать один неудачный реактор за другим. Поэтому стала невозможной детальная опытная отработка разных устройств. Ее заменил математический расчет. Этот расчет бывает иногда очень сложным. Он требует миллионов арифметических действий, которые нужно к тому же выполнить в короткий промежуток времени. Для того чтобы это осуществить, и были изобретены математические машины, работающие сейчас уже во много миллионов раз быстрее человека.

И вот примеры. Современная химическая промышленность широко использует различные катализаторы:

вещества, которые участвуют в химических процессах, ускоряя их, но в конечном итоге сами не изменяются.

Процессы катализа сложны. В современных химических производствах работают аппараты, где производительность и качество результата зависят от строгого соблюдения множества условий: температуры, количества подаваемых составляющих, скорости потока и многого другого. Раньше эти аппараты подбирались опытным путем. Нужно было исследовать сначала маленькую лабораторную модель, затем полупроизводственную и только потом можно было проектировать аппарат в натуральную величину. При этом на каждом шагу приходилось многое менять, улучшать. Математическое моделирование, основанное на точном понимании процесса, позволило заменить всю эту работу работой математической машины, которая непосредственно рассчитывает промышленную установку.

Несомненно, что появление новых возможностей расчета стимулировало широкое распространение математических идей в различных областях естествознания и особенно техники. Однако дело здесь не только в математических машинах. Эти машины — не единственная и даже не главная причина наблюдаемого нами во всем мире расширения применений математики. Постепенное проникновение математических идей в технику обусловлено, как мне кажется, объективными закономерностями развития науки. Этот процесс, начавшийся в XVIII веке, никогда не останавливался. Новые математические понятия, образы, представления при своем появлении становились известными узкому кругу математиков, которые иногда не понимали, да и не хотели понимать всего их значения. Очень часто исследование новых чисто математических объектов производилось математиками вначале при полном непонимании и даже насмешках над отвлеченностью этих занятий со стороны других специальностей. То же было, например, и с геометрией Лобачевского.

Однако ничего на свете действительно ценное не остается надолго достоянием кучки избранных. Система новых образов постепенно овладевает умами, и тогда с их помощью начинают мыслить и другие. Если это даже не приводит к новым гениальным открытиям, то всегда обогащает науку и практику. Более глубокое понимание вещей меняет мировоззрение ученых и инженеров, и в результате они продвигаются значительно вперед в своей области.

Часто математики и инженеры или математики и физики по-разному понимают и воспринимают математические открытия. Для математика особую важность имеет строгость и последовательность в выводе, точность в определениях и в заключениях. Физика или техника эта строгость не интересует. Наивно представляя себе, что все предыдущие математические исследования являются проявлением какого-то смешного педантизма, он берет готовый результат таким, как он есть. Часто он воображает при этом, что только он сумел понять и почувствовать этот результат по-настоящему, и думает даже, что он сам до него дошел. Дальше, когда этот результат им освоен, новая система образов, понятий и представлений стала для него как бы своей собственной, и он заново переосмысливает на новой стадии то физическое явление, которое он изучает.

Так рождались квантовая физика, теория относительности, так сейчас на наших глазах рождается новая теория элементарных частиц, основанная на математических понятиях из теории представлений групп. Теория представлений групп — это один из абстрактных разделов современной алгебры.

Теперь перехожу к третьему разделу, самому современному — к дискретной математике и ее непосредственному влиянию на технику. Я расскажу о новых прямых связях между техникой и математикой, о математизации техники вместе с математизацией науки.

Важным разделом современной дискретной математики является теория управляющих систем. Это главная часть кибернетики, о ней в последнее время много пишут и говорят. Так же, как и все остальные части математики, эта дисциплина имеет своим предметом некоторые абстрактные модели разного рода явлений окружающего мира. Так же, как и все остальные части математики, именно в силу абстрактности она универсальна.

Образы, методы, идеи кибернетики одинаково приложимы к изучению работы мозга животных, к изучению алгоритмов нахождения оптимального размещения производственных предприятий или к саморегулированию симбиоза сложных биологических систем, состоявших из многих видов организмов. Те же образы и представления возникают и при изучении теории наследственности и в основе работы математических машин и их конструировании.

Возникновение этих новых идей относится к 20–30-м годам нашего века. Это было время, когда появилось понятие алгоритма, то есть последовательности элементарных логических, мыслительных действий. Их всегда можно представить себе как последовательное решение вопросов, имеющих только два ответа: да или нет.

В связи с этим процесс человеческого мышления можно схематически представить себе как получение некоторого ответа, да или нет, на какой-то вопрос, в зависимости от того, утвердительно или отрицательно решаются некоторые другие вопросы. Если условиться обозначать, например, цифрой нуль положительный ответ, а цифрой 1 отрицательный, то искомая величина представит собой логическое переменное, принимающее два значения. Это будет зависимая или логическая функция. Значения ее определяются значениями некоторых других независимых логических переменных.

Точно так же, как это случилось в конце XVII века и в начале XVIII, открытие новых идей, новых понятий совершило переворот во многих областях человеческой деятельности.

Первыми появились глубокие биологические открытия, важнейшее из которых — способ передачи потомству наследственных признаков. Сейчас трудно представить, как сумеет человечество использовать появившееся знание самого себя. По-видимому, это может повлечь за собой такие радикальные изменения в природе человека, которые могут совершенно изменить лицо всего человечества.

Другой пример управляющих систем — это некоторые технические процессы. В современном производстве большие конвейеры, через которые проходят собираемые детали сложных машин, прежде чем превратиться в окончательный продукт, связаны многими каналами с источниками подаваемых или отдельных собранных частей. Продукция каждой такой цепочки, в свою очередь, переходит на другую более высокую ступень. Наладка совместной работы всех звеньев сборки очень сложна, так как любые возмущения одного из них влияют на все остальные. Математическое моделирование работы такого конвейера и его статистическое исследование при помощи вычислительных машин позволяет найти способы управления им, устраняющие возможные неполадки.

Во всем мире идет постепенный рост производства, в котором и проявляется происходящий непрерывно технический прогресс. Рост этот управляется волей людей, которые должны принимать конкретные решения о том, куда вкладывать средства, в какую область техники, где строить предприятия, откуда, куда и какими средствами что перевозить и тому подобное.

Решение задач об оптимальном использовании ресурсов, об оптимальных планах развития и тому подобном часто является сложной математической задачей.

Оно потребовало создания новых методов, новых алгоритмов.

Сложность экономических задач в разных странах все возрастает. Для их решения требуются все более совершенные и мощные методы. Сейчас математическая экономика уже превратилась в очень большую отрасль науки. Особенно велико ее значение в социалистических странах, которые по иронии судьбы унаследовали от прошлого отсталую техническую культуру.

Человечество движется вперед огромными шагами.

На протяжении последнего периода скорость прогресса стремительно возрастает. За каждые полстолетия мы проходим путь, не меньший, чем за всю предшествующую историю.

Трудно делать сейчас прогнозы на далекое будущее, но все мы надеемся, что в скором времени человечество сумеет покончить со всеми непорядками, которые царят на нашей земле. Эту эпоху мы называем коммунизмом. Приближение этой эпохи чувствуется и по тому, насколько быстро прогрессирует наука, и, в частности, наука о человеческом обществе. Она становится все более точной и действенной, поскольку она математизируется вслед за всеми остальными науками.

В этом светлом будущем человечества, в которое я твердо верю, самый несчастный из людей будет счастливым в нашем теперешнем понимании.

О научной и педагогической деятельности С. Л. Соболева Сергей Львович Соболев навечно вошел в число крупнейших ученых XX века, определивших главные черты современной науки и культуры. Открытое им понятие обобщенной производной изменило дифференциальное исчисление — краеугольный камень математического аппарата естествознания. С. Л. Соболев обогатил тезаурус исследователя удивительным интеллектуальным инструментарием и технологиями, открывшими пути решения проблем, не поддававшихся анализу прежними средствами.

С. Л. Соболев сыграл огромную роль в формировании крупных научных школ и коллективов в нашей стране и за рубежом, в становлении и развитии многих новых направлений прикладной математики, механики и вычислительной математики.

Сергей Львович Соболев родился 6 октября 1908 г.

в Петербурге в семье присяжного поверенного Льва Александровича Соболева. Дед Сергея Львовича со стороны отца был потомственным сибирским казаком.

Сергей Львович рано потерял отца и его воспитывала мать, Наталья Георгиевна, образованнейшая женщина, преподаватель литературы и истории. Наталья Георгиевна имела и вторую специальность: она закончила медицинский институт и работала доцентом 1-го Ленинградского медицинского института. Мать привила С. Л. Соболеву те принципиальность, честность и целеустремленность, которые характеризовали его как ученого и человека.

Программу средней школы Сергей Львович Соболев освоил самостоятельно, особенно увлекаясь математикой. В годы гражданской войны он вместе с матерью жил в Харькове. Переехав в 1923 г. из Харькова в Петроград, Сергей Львович поступил в последний класс 190-й школы. В 1924 г. С. Л. Соболев окончил школу с отличием, продолжая параллельно учиться в Первой государственной художественной студии по классу фортепьяно. В том же году С. Л. Соболев поступил на физико-математический факультет Ленинградского университета.

В ЛГУ Сергей Львович слушал лекции профессоров Н. М. Гюнтера, В. И. Смирнова, Г. М. Фихтенгольца и др. Под руководством Н. М. Гюнтера он написал дипломную работу об аналитических решениях системы дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными.

В 1929 г. после окончания университета Сергей Львович был принят в теоретический отдел Ленинградского сейсмологического института. В этот период в тесном сотрудничестве с В. И. Смирновым им решен ряд фундаментальных математических задач теории распространения волн. До конца своих дней С. Л. Соболев называл В. И. Смирнова своим учителем наряду с Н. М.

Гюнтером.

В 1930 г. Сергей Львович опубликовал в Трудах Сейсмологического института работу о волновом уравнении в неоднородной среде. Здесь и в его последующих публикациях на ту же тему создан известный метод Соболева решения задачи Коши для гиперболических уравнений 2-го порядка. Многие важные решения волнового уравнения, например нулевой степени однородности, являются функционально-инвариантными. При классических краевых условиях их отражения от плоской границы вновь дают функционально-инвариантные решения. Применяя новый метод, С. Л. Соболев совместно с В. И. Смирновым решил в явном виде знаменитую задачу Лэмба о нахождении смещения упругой полуплоскости под действием сосредоточенного импульса.

С помощью принципа суперпозиции был решен также трехмерный осесимметрический случай задачи Лэмба.

С 1932 г. Сергей Львович работал в Математическом институте им. В. А. Стеклова в Ленинграде, а затем с 1934 г. — в Москве. В этот период он предложил новый метод решения задачи Коши для гиперболического уравнения с переменными коэффициентами, основанный на обобщении формулы Кирхгофа. Работы, связанные с гиперболическими уравнениями, привели Сергея Львовича к пересмотру классического понятия решения дифференциального уравнения. Понятие обобщенного решения дифференциального уравнения рассматривалось и ранее. Однако именно в работах С. Л. Соболева впервые это понятие получило систематическое применение и глубокое развитие. Предложение С. Л. Соболева ставить и решать задачу Коши в пространстве функционалов было основано на революционном расширении эйлерова понятия функции и зафиксировало 1935 г. как дату рождения теории обобщенных функций.

В 1933–1935 гг. Сергей Львович опубликовал цикл исследований по задаче Коши для гиперболических уравнений, в которых были установлены разрешимость и единственность решения задачи Коши в пространствах обобщенных функций. Эти работы сыграли важную роль в развитии современной теории дифференциальных уравнений в частных производных.

С. Л. Соболев предложил решать задачу Коши в пространстве функционалов, то есть отказаться от стандартного понимания решения как функции и считать дифференциальное уравнение решенным даже в тех случаях, когда доступны только всевозможные интегральные характеристики поведения процесса. В науку вошло качественно новое понимание ключевых принципов прогнозирования.

Эйлер еще в 1755 году дал универсальное определение функции, которое почти двести лет воспринималось как наиболее общее и совершенное. Обобщенные производные Соболева под эйлерово понятие функции не подпадают. Дифференцирование, предложенное Соболевым, опирается на новое понимание взаимозависимости математических величин. Обобщенная функция определяется неявно с помощью интегральных характеристик своих воздействий на всех представителей заранее выбранного класса пробных функций.

Понятие обобщенной производной привело к коренному пересмотру многих разделов науки, позволило решить ряд давно стоявших проблем и обновить многие прежние подходы и результаты. Новый аппарат и связанные с ним методы, получившие особенно бурное развитие в 1950-е годы в работах Л. Шварца, И. М. Гельфанда и др., за короткий срок изменили облик и содержание многих разделов теории уравнений с частными производными. При этом роль признанного пионера приложений функционального анализа к математической физике по праву принадлежит С. Л. Соболеву.

Определив понятие обобщенной производной, Сергей Львович Соболев обогатил математику пространствами функций, обобщенные производные которых интегрируемы в некоторой фиксированной степени. Эти объекты теперь называют пространствами Соболева.

Пусть f и g — локально суммируемые функции, определенные в открытом подмножестве G пространства Rn, а — некоторый мультииндекс. Функция g называется обобщенной производной функции f в смысле С. Л. Соболева или слабой производной порядка и обозначается D f, если для всякой пробной функции, т. е. такой что носитель компактен и лежит в G и непрерывно дифференцируемa || = 1 +... + n раз в G, выполняется равенство где D — классическая производная порядка.

Векторное пространство Wp, составленное из (классов эквивалентных) локально суммируемых функций f на G, имеющих в G все обобщенные производные D f, при || l суммируемые в степени p, где p 1, становится банаховым пространством относительно следующей нормы:

Сергей Львович нашел общие критерии эквивалентноl сти различных норм в Wp и показал, что именно в этих пространствах наиболее естественно ставить краевые задачи для эллиптических уравнений. Такой вывод базировался на глубоком изучении свойств введенных пространств, важнейшими из которых являются теоремы вложения. Суть классических теорем вложения, открытых Соболевым, состоит в оценке нормы оператора тождественного вложения, т. е. в поиске специальных неравенств между нормами одной и той же функции, рассматриваемой как элемент различных пространств.

Опираясь на теоремы вложения, С. Л. Соболев нашел корректную постановку краевых задач для эллиптических уравнений в многомерных областях при краевых условиях на многообразиях различных размерностей и доказал существование и единственность решений этих задач. Пространства функций с обобщенными производными и теоремы вложения для них стали классическим аппаратом современных математических исследований, принеся С. Л. Соболеву всемирную славу.

С. Л. Соболев был превосходным педагогом. Яркие лекции Сергея Львовича слушали студенты Ленинградского электротехнического института, Ленинградского, Московского и Новосибирского университетов. Эти лекции стали основой ряда популярных учебников и монографий, написанных С. Л. Соболевым. Влияние идей и методов Сергея Львовича столь велико, что многие ученые считают себя его последователями, хотя непосредственно у С. Л. Соболева никогда не учились.

Научные результаты Сергея Львовича принесли ему заслуженное и широкое признание. В 1933 г., в возрасте 24 лет, С. Л. Соболев избран членом-корреспондентом Академии наук, а в 1939 г. он стал ее действительным членом, долгое время оставаясь самым молодым академиком в стране.

Цикл работ С. Л. Соболева о почти-периодичности решений волнового уравнения положил начало большому направлению в теории дифференциальных уравнений в частных производных, связанному с изучением поведения решений краевых задач для нестационарных уравнений при больших значениях времени.

В 1940-е годы С. Л. Соболев изучал системы дифференциальных уравнений, описывающие малые колебания вращающейся жидкости. Сергей Львович получил условия устойчивости вращающегося волчка с полостью, заполненной жидкостью, в зависимости от формы полости и ее параметров, разобрав подробно случаи цилиндрической полости и полости — эллипсоида вращения. Эти исследования С. Л. Соболева привели к возникновению нового направления в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных, посвященного исследованию решений задачи Коши и краевых задач для уравнений и систем, не разрешенных относительно старших производных по времени.

В трудные военные годы с 1941 по 1944 гг. С. Л. Соболев работал директором Математического института им. В. А. Стеклова. Сергей Львович одним из первых понял значение вычислительной математики и кибернетики. С 1952 по 1960 гг. он возглавлял первую в стране кафедру вычислительной математики МГУ, много лет играющую важную роль в развитии прикладной математики. Еще в довоенные годы появились работы Сергея Львовича по оценкам сумм значений функций, заданных на сетке. В этих работах впервые рассматривались разностные аналоги теорем вложения. Намеченное С. Л. Соболевым направление исследований получило существенное развитие и стало необходимым инструментом получения оценок для сеточных решений и погрешностей. Качественное исследование решений разностных уравнений и их устойчивости для многих классов сеточных задач сводится к изучению поведения соответствующих функций Грина. Сам Сергей Львович обнаружил тонкие оценки асимптотического поведения разностной функции Грина для уравнения Лапласа.

При изучении сходимости и устойчивости алгоритмов решения задач математической физики С. Л. Соболевым были введены некоторые полезные для теории приближенных методов понятия, в частности, понятия регулярного и нерегулярного замыканий вычислительного алгоритма. Если замыкание алгоритма регулярно, то имеются основания ожидать устойчивости алгоритма к различным возмущениям. Эти исследования С. Л. Соболева стали одним из истоков общей теории вычислительных алгоритмов, связанной с абстрактным изучением приемов решения больших систем уравнений.

Сталкиваясь с прикладными проблемами, Сергей Львович широко использовал аппарат современных разделов теоретической математики. Характерно, что задачи вычислительной математики в его работах обычно ставятся в рамках функционального анализа. Стали крылатыми слова С. Л. Соболева о том, что теорию вычислений сейчас так же невозможно представить без банаховых пространств, как и без электронных вычислительных машин.

Стоит особо выделить важную роль в становлении кибернетики и других новых направлений исследований, которую в 1950-е годы сыграли публичные выступления С. Л. Соболева, открыто вставшего на защиту науки от идеологизированного мракобесия.

Трудно переоценить вклад Сергея Львовича в создание ядерного щита нашей страны. С первых лет атомного проекта СССР С. Л. Соболев входил в число руководителей Лаборатории № 2, переименованной по соображениям секретности в 1949 г. в Лабораторию измерительных приборов АН СССР и ставшую впоследствии Институтом атомной энергии им. И. В. Курчатова. Главным участком совместной работы с И. К. Кикоиным было осуществление диффузионного обогащения урана для создания атомного заряда.

С. Л. Соболев организовал и направлял работу вычислителей, разрабатывал вопросы регулирования процесса промышленного разделения изотопов, отвечал за снижение потерь производства и решал массу иных организационных и технических вопросов. За работы по созданию ядерного заряда Сергею Львовичу присуждены две Сталинские премии 1-й степени. В январе 1952 г.

С. Л. Соболев был удостоен символом высшего признания в СССР, получив звание Героя Социалистического Труда за исключительные заслуги перед государством.

Научная деятельность Сергея Львовича Соболева была неотделима от его организаторской работы в науке. В конце 1950-х годов академики М. А. Лаврентьев, С. Л. Соболев и С. А. Христианович выступили с инициативой организации нового крупного научного центра — Сибирского отделения Академии наук. Для многих ученых СО АН первого призыва веским аргументом в принятии решения о переезде на работу в Новосибирск был пример Сергея Львовича Соболева, привлекательность его личности и его научный авторитет.

Сибирский период научной деятельности Сергея Львовича ознаменовался большими достижениями в теории кубатурных формул. Задача о приближенном интегрировании функций многих переменных является одной из основных и наиболее трудоемких в теории вычислений. Проблема оптимизации формул интегрирования сводится к нахождению минимума нормы функционала погрешности, заданного на некотором пространстве функций. Сергей Львович Соболев предложил оригинальные подходы к названной проблематике, ввел и изучил новые типы оптимальных кубатурных формул.

Невозможно переоценить роль Сергея Львовича в формировании Сибирской математической школы. Основатель Института математики Сибирского отделения и его директор в течение четверти века, С. Л. Соболев внес решающий вклад в определение научной судьбы Института, который теперь носит его имя.

Научные и организаторские заслуги С. Л. Соболева получили высокую оценку в нашей стране и за рубежом. С. Л. Соболев был почетным доктором Университета им. Гумбольдта в Берлине, Карлова университета в Праге и Высшей школы архитектуры и строительства в Веймаре, состоял иностранным членом Французской академии наук, иностранным членом Национальной академии деи Линчеи в Риме и Академии наук в Берлине, почетным членом ряда научных обществ.

Заслуги C. Л. Соболева отмечены многочисленными государственными орденами и премиями. В 1988 г.

ему присуждена высшая награда Российской академии наук — Золотая медаль имени М. В. Ломоносова.

С. Л. Соболев скончался 3 января 1989 г. в Москве и похоронен на Новодевичьем кладбище. Его жизненный путь стал образцом служения науке и отечеству.

Из-под пера Сергея Львовича вышло много замечательных сочинений, материализовавших его вклад в науку. Ориентироваться в творческом наследии С. Л. Соболева призвано помочь настоящее биобиблиографическое издание.

Scientic and Pedagogical Contributions of S. L. Sobolev Serge L vovich Sobolev will always rank among the most prominent scientists of the twentieth century who tremendously inuenced the outlook of the modern science and culture. Sobolev discovered a new concept of derivative that changed dierential calculus, the mathematical cornerstone of the natural sciences. He enriched the researcher’s intellectual thesaurus with the marvelous concepts and technologies that opened ways to many intractable problems of long standing.

Sobolev was a founding father of various mathematical schools and centers throughout the world as well as discoverer of new promising sections of applied mathematics, mechanics, and computational mathematics.

Sobolev was born in St. Petersburg on October 6, in the family of Lev Aleksandrovich Sobolev, a solicitor.

Sobolev’s grandfather on his father’s side descended from a family of Siberian Cossacks.

Sobolev was bereaved of his father in the early childhood and was raised by his mother Natal ya Georgievna who was a highly-educated teacher of literature and history.

His mother also had the second speciality: she graduated from a medical institute and worked as a tutor at the First Leningrad Medical Institute. She cultivated in Sobolev the decency, indefatigability, and endurance that characterized him as a scholar and personality.

Sobolev fullled the program of secondary school at home, revealing his great attraction to mathematics. During the Civil War he and his mother lived in Kharkov.

When living there, he studied at the preparatory courses of an evening technical school for one semester. At the age of 15 he completed the obligatory programs of secondary school in mathematics, physics, chemistry, and other natural sciences, read the classical pieces of the Russian and world literature as well as many books on philosophy, medicine, and biology.

After the family had transferred from Kharkov to Petrograd in 1923, Sobolev entered the graduate class of School No. 190 and nished with honors in 1924, continuing his study at the First State Art School in the piano class. At the same year he entered the Faculty of Physics and Mathematics of Leningrad State University (LSU) and attended the lectures of Professors N. M. Gnter, V. I. Smirnov, G. M. Fikhtengolts, and others. He made his diploma on the analytic solutions of a system of dierential equations with two independent variables under the supervision of Gnter. Those years LSU was already a large mathematu ical research center maintaining the remarkable traditions of the Petersburg mathematical school famous for the profound discoveries by P. L. Chebyshev, A. M. Lyapunov, and A. A. Markov.

After graduation from LSU in 1929, Sobolev started his work at the Theoretical Department of the Leningrad Seismological Institute. In a close cooperation with Smirnov he then solved some fundamental problems of wave propagation. It was Smirnov whom Sobolev called his teacher alongside Gnter up to his terminal days.

In 1930 Sobolev published an article on wave propagation in an inhomogeneous medium in the Proceedings of the Seismological Institute. This article and his subsequent publications on the same subject remain remarkable from a mathematical viewpoint as originating the celebrated Sobolev method for solving the Cauchy problem for second order hyperbolic equations. Many important solutions of the wave equation, e.g. solutions of the zero degree of homogeneity, are functionally invariant. Reecting functionally invariant solutions in a plane boundary under the classical boundary conditions, we obtain functionally invariant solutions again. Using the new method, Sobolev and Smirnov explicitly solved the famous Lamb problem about the displacement of an elastic half-plane under a concentrated impulse. The three-dimensional axisymmetric case of the Lamb problem was also solved by applying the superposition principle. Indeed, if a plane step wave is incident on a corner (equalling zero before the wave front and unity behind the latter) then the solution has the zero degree of homogeneity. The technique of homogeneous functionally invariant solutions turned out rather convenient here.

Since 1932 Sobolev worked at the Steklov Mathematical Institute in Leningrad; and since 1934, in Moscow. He continued the study of hyperbolic equations and proposed a new method for solving the Cauchy problem for a hyperbolic equation with variable coecients. This method was based on a generalization of the Kirchho formula. Research into hyperbolic equations led Sobolev to revising the classical concept of a solution to a dierential equation. The concept of a generalized or weak solution of a dierential equation was considered earlier. However, it was exactly in the works by Sobolev that this concept was elaborated and applied systematically. Sobolev posed and solved the Cauchy problem in spaces of functionals, which was based on the revolutionary extension of the Eulerian concept of function and declared 1935 as the date of the birth of the theory of distributions.

In 1933–1935 Sobolev published a series of articles on the Cauchy problem for hyperbolic equations, demonstrating the unique solvability of the Cauchy problem in spaces of generalized functions. These works played an important role in development of the modern theory of partial dierential equations.

Sobolev suggested to solve the Cauchy problem in the space of functionals. This rejected the standard understanding that any solution is a function. Sobolev considered a dierential equation as solved even in the cases when available are only the arbitrary integral indices of the behavior if the process under study. That is how science was enriched with a new understanding of the key principles of forecast and prognosis.

In 1755 Euler gave his universal denition of function which was perceived as the most general and perfect during almost two hundred years. The generalized derivatives in the sense of Sobolev are not covered by the Eulerian concept of function. Dierentiation by Sobolev rests on the new understanding of interrelations between mathematical magnitudes. A distribution is dened implicitly through the integrals calculated for all members of a class of test functions to be taken in advance.

The apparatus of generalized functions gave rise to new methods in the theory of partial dierential equations.

These new methods open a way to solving many problems whose solution was long sought for, to putting many previously obtained results into a nal shape, and to formulating and solving new problems. The new apparatus and related concepts and methods, which were developed rapidly in the 1950s by L. Schwartz, I. M. Gelfand, and other researchers, momentarily changed the outlook of many sections of the theory of dierential equations. With his denition of generalized derivative, Sobolev enriched mathematics with the spaces of functions whose weak derivatives are integrable to some power. These are now called Sobolev spaces.

Let f and g be locally integrable functions on an open subset G of Rn, and let be a multi-index. A function g, denoted by D f, is the generalized derivative in the Sobolev sense or weak derivative of f of order provided that for every test function, i.e. such that the support of is a compact subset of G and is || = 1 + · · · + n times continuously dierentiable in G, where D is the classical derivative of of order. The vector space Wp, with p 1, of the (cosets of) locally integrable functions f on G whose all weak derivatives D f with || l are p-integrable in G becomes a Banach space under the norm:

Sobolev found the general criteria for equivalence of various norms on Wp and showed that these spaces are the natural environment for posing the boundary value problems for elliptic equations. This conclusion was based on his thorough study of the properties of Sobolev spaces. The most important facts are embedding theorems. Each embedding theorem estimates the operator norm of an embedding, yileding special inequalities between the norms of one and the same function inside various spaces. Basing on embedding theorems, Sobolev found a correct statement of boundary value problems for elliptic equations in multidimensional domains when boundary conditions are given on the manifolds of various dimensions and proved the unique existence of solutions of these problems.

The spaces of functions with weak derivatives and embedding theorems became the classical tools of the modern mathematics and brought Sobolev well-deserved world recognition.

Sobolev was an outstanding teacher. His brilliant lectures were delivered to the students of the Leningrad Electrotechnical Institute as well as the state universities of Leningrad, Moscow, and Novosibirsk. These lectures laid the grounds for his popular textbooks and monographs.

The inuence of the ideas and methods of Sobolev was so great that many scientists feel themselves the disciples of Sobolev despite the fact that never were his students.

The contributions of Sobolev brought him recognition in the USSR. In 1933 Sobolev was elected a corresponding member of the Academy of Sciences at the age of years. In 1939 he became a full member of the Academy and remained the youngest academician for many years.

The series of Sobolev’s papers on almost periodic solutions of the wave equations initiated a new area of the theory of dierential equations with deals with the behavior at large time of the solutions of boundary value problems for nonstationary equations.

Inspired by military applications in the 1940s, Sobolev studying the system of dierential equations describing small oscillations of a rotating uid. He obtained the conditions for stability of a rotating body with a lled-in cavity which depend on the shape and parameters of the cavity. Moreover, he elaborated the cases in which the cavity is a cylinder or ellipsoid of rotation. This research by Sobolev signposted another area of the general theory which concerns the Cauchy and boundary value problems for the equations and systems that are not solved with respect to higher time derivatives.

In the grievous years of WW II from 1941 to Sobolev occupied the position of the director of the Steklov Mathematical Institute.

Sobolev was one of the rst scientists who foresaw the future of computational mathematics and cybernetics.

From 1952 to 1960 he held the chair of the rst national department of computational mathematics at Moscow State University. This department has played a key role in the development of this important area of the today’s mathematics. As early as in the pre-WW-II years Sobolev published a few papers on estimation of the sums of values of functions on a grid. These papers gave the rst instances of dierence analogs of embedding theorems. This direction of research, initiated by Sobolev, gained substantial development and is now an indispensable tool for estimating the errors of grid solutions. The qualitative study of solutions to dierence equations and their stability for many classes of grid problems is reduced to the analysis of behavior of the Green’s functions of grid problems. Sobolev discovered some exact estimates for the asymptotic behavior of the dierence Green’s function for the Laplace equation.

While studying the convergence and stability of algorithms for solution of the problems of mathematical physics, Sobolev introduced some fruitful concepts of approximate analysis: in particular, the concepts of regular and irregular closures of a computational algorithm. If the closure of an algorithm is regular, then we may expect that the algorithm be stable under various perturbations. These contributions by Sobolev became a source of the general theory of computational algorithms which is devoted to the

Abstract

study of the techniques and methods for solving large systems of equations.

Addressing the problems of computational mathematics, Sobolev lavishly applied the apparatus of the modern sections of the theoretical core of mathematics. It is typical for him to pose the problems of computational mathematics within functional analysis. Winged are his words that “to conceive the theory of computations without Banach spaces is impossible just as trying to conceive it without computers.” It is worthwhile to emphasize the great role in the uprise of cybernetics, genetics, and other new areas of research in this country which was played by the publications and speeches of Sobolev who valiantly defended the new trends in science from the ideologized obscurantism.

It is dicult to overrate the contribution of Sobolev to the design of the nuclear shield of this country. From the rst stages of the atomic project of the USSR he was listed among the top ocials of Laboratory No. 2 which was renamed for secrecy reasons into the Laboratory of Measuring Instruments (abbreviated as LIPAN in Russian). Now LIPAN lives as the Kurchatov Center. The main task of the joint work with I. K. Kikoin was the implementation of gaseous diusive uranium enrichment for creation of a nuclear explosive device.

Sobolev administered and supervised various computational teams, studied the control of the industrial processes of isotope separation, struggled for the low costs of production and made decisions on many managerial and technological matters. For his contribution to the A-bomb project Sobolev twice gained a Stalin Prize of the First Degree. In January of 1952 Sobolev was awarded with the highest decoration of the USSR: he was declared the Hero of the Socialist Labor for exceptional service to the state.

Sobolev’s research was inseparable from his management in science. At the end of the 1950s M. A. Lavrent ev, S. L. Sobolev, and S. A. Khristianovich came out with the initiative to organize a new big scientic center, the Siberian Division of the Academy of Sciences. For many scientists of the rst enrolment to the Siberian Division it was the example of Sobolev, his authority in science, and the attraction of his personality that yielded the nal argument in deciding to move to Novosibirsk. The Siberian period of Sobolev’s life in science was marked by the great achievements in the theory of cubature formulas. Approximate integration is one of the main problems in the theory of computations—the cost of computation of multidimensional integrals is extremely high. The problem of optimizing the integration formulas becomes in the up-to-date mentality the problem of minimizing of the norm of the error on some function space. Sobolev suggested new approaches to the problem and discovered marvelous classes of optimal cubature formulas.

The role of Sobolev cannot be overestimated in the rise of the Siberian mathematical school. The founder of the Institute of Mathematics of the Siberian Division and its director in the course of a quarter of century, Sobolev made a decisive contribution to the scientic destiny of the Institute which now bears his name.

Sobolev’s achievements were highly appraised in this country and abroad. He was decorated with many orders, medals, and other signs of distinction. He was an honorary doctor of Humbold University in Berlin, an honorary doctor of Charles University in Prague, and an honorary doctor of the Higher School of Architecture and Construction in Weimar. Sobolev was a foreign member of the Academy of Sciences of the Institute of France, a foreign member of the Accademia Nazionale dei Lincei in Rome, a foreign member of the GDR Academy of Sciences in Berlin, an honorary member of the Edinburgh Royal Society, as well as an honorary member of the Moscow Mathematical Society and American Mathematical Society.

Sobolev merits were decorated by many medals and prizes. In 1988 he was awarded the highest prize of the Russian Academy of Sciences, the Lomonosov Gold Medal.

Sobolev died on January 3, 1989 and was buried at the Novodevichi Cemetery in Moscow. His path in life is an exemplar of service to science and the homeland.

Many remarkable articles are written by the pen of Sobolev, implementing his contribution to science. To chart the creative legacy of Sobolev is the aim of this booklet.

Основная литература о С. Л. Соболеве и его трудах Сергей Львович Соболев / Вступ. ст. В. И. Смирнова;

Сост. М. И. Чижова. — М.-Л., 1949. — 43 с. — (Материалы к биобиблиографии ученых СССР. Сер. математики; Вып. 6).

Соболев Сергей Львович // БСЭ. — 2-е изд. — М., 1956.

— Т. 39. — С. 458–459.

Вишик М. И., Люстерник Л. А. Сергей Львович Соболев:

(К 50-летию со дня рождения) // Успехи мат. наук. — 1959. — Т. 14, вып. 3. — С. 203–214.

Visik M. I. and Liusternik L. A. Sergei L vovic Sobolev :

(On his 50th birthday) (Romanian) // Acad. R. P. Romine An. Romino-Soviet Ser. Mat.-Fiz. (3) — 1960. — Vol. 14, № 1. — P. 208–215.

Лаврентьев М. А., Канторович Л. В., Бицадзе А. В.

Сергей Львович Соболев: (К 60-летию со дня рождения) // Успехи мат. наук. — 1968. — Т. 23, вып. 5. — С. 177–186.

Сергей Львович Соболев: (К 60-летию со дня рождения)// Сиб. мат. журн.—1968.—Т. 9, № 5.—С. 963–972.

Юбилей академика С. Л. Соболева // Вестн. АН СССР.

— 1968. — № 12. — С. 126–127.

Лаврентьев М. А., Канторович Л. В., Бицадзе А. В.

Краткий очерк научной, научно-организационной, педагогической и общественной деятельности академика С. Л. Соболева// Сергей Львович Соболев: (К 60-летию со дня рождения).—Новосибирск: Наука, 1969.—С. 3–8.

Смирнов В. И. Уравнения с частными производными:

[О работах С. Л. Соболева] // Математика в Петербургском-Ленинградском университете. — Л., 1970. — С. 186–191; 192–195.

Соболев Сергей Львович // Академия наук СССР: Персональный состав. Кн. 2: 1917–1974.—М., 1974.—С. 43.

Соболев Сергей Львович // БСЭ. — 3-е изд. — М., 1976.

— Т. 24, кн. 1. — С. 7–8.

К семидесятилетию С. Л. Соболева // Тр. семинара С. Л. Соболева. — 1978. — № 1. — С. 5–26.

Колмогоров А. Н., Олейник О. А. Сергей Львович Соболев: (К 70-летию со дня рождения) // Математика в шк. — 1978. — № 6. — С. 67–73.

Сергей Львович Соболев: (К 70-летию со дня рождения) // Сиб. мат. журн. — 1978. — Т. 19, № 5. — С. 963–969.

Александров П. С. и др. Сергей Львович Соболев:

(К 70-летию со дня рождения) // Успехи мат. наук.

— 1979. — Т. 34, вып. 1. — С. 3–16.

Академику С. Л. Соболеву — 70 лет // Вестн. АН СССР. — 1979. — № 2. — С. 125.

Академия наук СССР. Сибирское отделение: Хроника:

1957–1982 гг. — Новосибирск: Наука, 1982. — 336 с. — Отражена вся деятельность С. Л. Соболева в Сибирском отделении.

Соболев Сергей Львович // Академия наук СССР. Сибирское отделение: Персональный состав: 1957–1982. — Новосибирск, 1982. — С. 52.

Приветствие к 75-летию со дня рождения С. Л. Соболева// Успехи мат. наук.—1983.—Т. 38, вып. 6.—С. 136.

Сергей Львович Соболев: (К 75-летию со дня рождения)// Сиб. мат. журн.—1983.—Т. 24, № 5.—С. 3–11.

Колмогоров А. Н., Олейник О. А. С. Л. Соболев и современная математика (К 75-летию со дня рождения) // Математика в шк. — 1984. — № 1. — С. 73–77.

Бахвалов Н. С. и др. Сергей Львович Соболев: (К 80летию со дня рождения) // Успехи мат. журн. — 1988.

— Т. 43, вып. 5. — С. 3–16.

Решетняк Ю. Г., Кутателадзе С. С., Масленникова В. Н., Успенский С. В. Сергей Львович Соболев (К восьмидесятилетию со дня рождения) // Сиб. мат. журн. — 1988. — Т. 29, № 5. — С. 3–10.

Кутателадзе С. С., Решетняк Ю. Г. Пространства Соболева // Наука в Сибири. — 1988. — № 40. — С. 5.

Олейник О. А. Золотые медали им. М. В. Ломоносова за 1988 г. — С. Л. Соболеву и Ж. Лерэ // Природа. — 1989. — № 7. — С. 106–108.

Лаврентьев М. М. и др. Памяти Сергея Львовича Соболева // Сиб. мат. журн. — 1989. — Т. 30, № 3. — С. 214–216.

Sergei Lvovich Sobolev (1908–1989) (Bulgarian) // Fiz.Mat. Spis. Bulgar. Akad. Nauk. — 1989. — Vol. 31.

— P. 130.

Serge L vovich Sobolev : 1908–1989 // Notices Amer. Math.

Soc. — 1989. — Vol. 36, No. 7. — P. 853.

Сергей Львович Соболев: [Некролог]//Вестн. АН СССР.

— 1989. — № 3. — С. 92–93.

Соболев Сергей Львович: (Некролог)//Успехи мат. наук.

— 1989. — Т. 44, вып. 4. — С. 5.

Золотая медаль им. М. В. Ломоносова — С. Л. Соболеву (посмертно) // Вестн. АН СССР. — 1989. — № 7. — С. 134–135.

Leray J. La vie et l ’uvre de Serge Sobolev // C. R. Acad.

Sci. Paris Ser. Gen. Vie Sci. — 1990. — Vol. 7, No. 6. — P. 467–471.

Соболева А. Д. Дневник моей жизни. — М.: Наше наследие, 1990.

Памяти Сергея Львовича Соболева // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова.—1990.—Т. 192.—С. 3–4.

Лерэ Ж. Отзыв о трудах С. Л. Соболева 1930–1955 гг.

/ Публикация А. П. Юшкевича // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1993. — Вып. 34. — С. 267–273.

Лаврентьев М. М. и др. Сергей Львович Соболев (1908– 1989) // Сиб. мат. журн. — 1998. — Т. 39, № 4. — С. 723–729.

Писаревский Б. М., Харин В. Т. Беседа третья: С. Л. Соболев. Новый подход к постановке и решению задач математической физики // Беседы о математике и математиках. — М.: Нефть и газ, 1998.

http://vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/NATURE/MATH/CHAPT 03.HTM Соболева А. Д. Династия. — М.: Пилигрим, 2002.

Кутателадзе С. С. С. Л. Соболев и полемика о статье Л. С. Понтрягина // Академик Александр Данилович Александров. Воспоминания. Публикации. Материалы / Отв. ред. Г. М. Идлис, О. А. Ладыженская. — М.:

Наука, 2002. — С. 131–134.

Кутателадзе С. С. Академик Сергей Соболев и свобода // Наука в Сибири. — 2003. — № 2. — С. 7.

О Сергее Львовиче Соболеве (1908–1989)// Сиб. мат.

журн. — 2003. — Т. 44, № 5. — С. 949–955.

Кутателадзе С. С. Академик Сергей Львович Соболев (к 95-летию со дня рождения)// Сиб. журн. индустр.

мат. — 2003. — Т. 6, № 3. — С. 3–7.

Kantor J.-M. Mathematics East and West, Theory and Practice: The Example of Distributions// Math. Intelligencer.

— 2004. — Vol. 26, No. 3. — P. 39–50.

Kutateladze S. S. Some Comments on Sobolev and Schwartz // Math. Intelligencer. — 2004. — Vol. 26, No. 3. — P. 51.

Lax P. The Reception of the Theory of Distributions// Math.

Intelligencer. — 2004. — Vol. 26, No. 3. — P. 52.

Кутателадзе С. С. Сергей Соболев и Лоран Шварц// Вестник РАН. — 2005. — Т. 75, № 4. — С. 354–359.

Кутателадзе С. С. Соболев из школы Эйлера // Сиб.

мат. журн. — 2008. — Т. 49, № 5.

Кутателадзе С. С. Сергей Соболев и Лоран Шварц: две судьбы, две славы // Сиб. журн. индустр. мат. — 2008.

— Т. 11, № 3.

Royer G. An Initiation to Logarithmic Sobolev Inequalities. SMF/AMS Texts and Monographs 14; Cours Specialises (Paris) 5. Providence, RI:

Amer. Math. Soc. (AMS); Paris: Socit Mathmatique de France.

viii+119 p. (2007). Zbl pre Tartar L. An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation Spaces.

Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana 3. Berlin: Springer.

xxvi+218 p. (2007). Zbl 1126. Attouch H., Buttazzo G., and Michaille G. Variational Analysis in Sobolev and BV Spaces. Applications to PDEs and Optimization.

MPS/SIAM Series on Optimization. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). Philadelphia, PA: MPS, Math. Programming Society. xii+634 p. (2006). Zbl 1095. Dobrowolski M. Applied Functional Analysis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Elliptic Dierential Equations. Berlin: Springer.

xii+266 p. (2006). Zbl 1094. Tuominen H. Orlicz–Sobolev Spaces on Metric Measure Spaces. Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Mathematica. Dissertationes 135. Helsinki: Suomalainen Tiedeakatemia; Jyvaskyla: Univ. of Jyvaskyla, Dept. of Mathematics and Statistics (Thesis). 86 p. (2004).

Zbl 1068. Adams R. A. and Fournier J. J. F. Sobolev Spaces. 2nd ed. Pure and Applied Mathematics 140. New York, NY: Academic Press.

xiii+305 p. (2003). Zbl 1098. Sviridyuk G. A. and Fedorov V. E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Inverse and Ill-Posed Problems Series. Utrecht: VSP. viii+216 p. (2003). Zbl 1102. Salo-Coste L. Aspects of Sobolev-Type Inequalities. London Mathematical Society Lecture Note Series. 289. Cambridge: Cambridge University Press. x+190 p. (2002). Zbl 0991. Timmer J. Optimal Monte Carlo Algorithms for Integral Equations in Sobolev Spaces (Diss. 2001). Aachen: Shaker Verlag. Kaiserslautern:

Univ. Kaiserslautern, Fachbereich Informatik, 78 p. (2002). Zbl 1004. Некоторые книги о математическом аппарате С. Л. Соболева.

Kauhanen J. Condition N for Sobolev Mappings. [B] Universitat Jyvaskyla, Mathematisches Institut. Bericht. 81. Jyvaskyla: Univ.

Jyvaskyla. 18 p. (2001). Zbl 0972. Hebey E. Nonlinear Analysis on Manifolds: Sobolev Spaces and Inequalities. Courant Lecture Notes in Mathematics. 5. Providence, RI:

Amer. Math. Soc. (AMS). New York, NY: Courant Institute of Mathematical Sciences, New York Univ. xii+290 p. (2000). Zbl 0981. An C., Blach`re S., Chafai D., Foug`res P., Gentil I., Malrieu F., Roberto C., and Scheer G. On Logarithmic Sobolev Inequalities.

With a Preface of Dominique Bakry and Michel Ledoux. (Sur les inegalites de Sobolev logarithmiques.) Panoramas et Syntheses. 10.

Paris: Socit Mathmatique de France. xiii+217 p. (2000).

0982. Turesson B. O. Nonlinear Potential Theory and Weighted Sobolev Spaces. Lecture Notes in Mathematics. 1736. Berlin: Springer.

xiv+173 p. (2000). Zbl 0949. Mitrovic D. and Zubrinic D. Fundamentals of Applied Functional Analysis. Distributions–Sobolev Spaces–Nonlinear Elliptic Equations.

Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics.

91. Harlow: Longman. 399 p. (1998). Zbl 0901. Burenkov V. I. Sobolev Spaces on Domains. Teubner-Texte zur Mathematik. 137. Stuttgart: Teubner. 312 p. (1998). Zbl 0893. Demidenko G. V. and Uspenskij S. V. Equations and Systems Which Are Not Solved with Respect to a Higher Derivative. On the 90th Anniversary of the Birth of Academician S. L. Sobolev. Novosibirsk:

Nauchnaya Kniga. 438+xviii p. (1998). Zbl pre Neuberger J. W. Sobolev Gradients and Dierential Equations. Lecture Notes in Mathematics. 1670. Berlin: Springer. viii+149 p. (1997).

Zbl 0935. Runst T. and Sickel W. Sobolev Spaces of Fractional Order, Nemytskij Operators and Nonlinear Partial Dierential Equations. de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. 3. Berlin: de Gruyter.

x+547 p. (1996). Zbl 0873. MacCluer C. R. Boundary Value Problems and Orthogonal Expansions. Physical Problems from a Sobolev Viewpoint. Piscataway, NJ:

IEEE Press. xix+340 p. (1994). Zbl 0848. Nikol skij S. M. (ed.) Dierential Equations and Function Spaces.

Collection of papers. Dedicated to the Memory of Academician Sergej L vovich Sobolev. Proc. Steklov Inst. Math. 192. Providence, RI:

Amer. Math. Soc. (AMS). viii+256 p. (1992). Zbl 0752. Gol dshtejn V. M. and Reshetnyak Yu. G. Quasiconformal Mappings and Sobolev Spaces. Mathematics and Its Applications: Soviet Series, 54. Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers. xix+371 p. (1990).

Zbl 0687. Ziemer W. P. Weakly Dierentiable Functions. Sobolev Spaces and Functions of Bounded Variation. Graduate Texts in Mathematics, 120. Berlin etc.: Springer-Verlag. xvi+308 p. (1989). Zbl 0692. Dautray R. L. and Lions J.-L. Analyse mathmatique et calcul numrie e que pour les sciences et les techniques. (Nouveau tirage en 9 volumes). Volume 3: Transformations, Sobolev Espaces, Oprateurs.

Par Philippe Bnilan, Michel Cessenat, Bertrand Mercier, Claude Zuily. Commissariat а l’Energie Atomique, Institut National des Sciences et Techniques Nuclaires. Collection Enseignement. Paris etc.:

Masson. XXIII, pp. 772–1104 (1987). Zbl 0708. Kufner A. and Sndig A.-M. Some Applications of Weighted Sobolev Spaces. Teubner-Texte zur Mathematik. 100. Leipzig: Teubner.

268 p. (1987). Zbl 0662. Marti J. T. Introduction to Sobolev Spaces and Finite Element Solution of Elliptic Boundary Value Problems. Computational Mathematics and Applications. London etc.: Academic Press (Harcourt Brce Jovanovich, Publishers). ix+211 p. (1986). Zbl 0651. Dubinskij Y. A. Sobolev Spaces of Innite Order and Dierential Equations. Mathematics and Its Applications (East European Series), 3. Dordrecht etc.: Reidel Publishing Company Leipzig: Teubner. 161 p. (1986). Zbl 0616. Maz ya V. G. Sobolev Spaces. Berlin etc.: Springer-Verlag. xix+486 p.

(1985). Zbl 0692. Birman M. Sh. and Solomyak M. Z. Quantitative Analysis in Sobolev Imbedding Theorems and Applications to Spectral Theory. Amer.

Math. Soc. (AMS). Translations, Series 2, 114. Providence, Rhose Island: Amer. Math. Soc. (AMS). vii+132 p. (1980). Zbl 0426. Triebel H. Spaces of Besov–Hardy–Sobolev Type. Teubner-Texte zur Mathematik. Leipzig: Teubner. 207 s. (1978). Zbl 0408. Adams R. A. Sobolev Spaces. Pure and Applied Mathematics, a Series of Monographs and Textbooks. Vol. 65. New York–San Francisco– London: Academic Press, Inc., a subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers. xviii+268 p. (1975). Zbl 0314. О Сергее Львовиче Соболеве Из статьи В. И. Смирнова (1949)1 :

В ряде своих исследований С. Л. рассматривает задачу Коши и дает совершенно новый метод ее решения как для линейных, так и для нелинейных уравнений. Затем он обобщает постановку задачи, используя современную теорию функций и понятия функционального анализа, и дает решение таким образом поставленной задачи...

Таким образом, в результате своей научной деятельности С. Л. Соболев решил ряд основных задач математической физики. Сюда относятся: задача Коши для линейных и нелинейных уравнений гиперболического типа, задачи из теории колебаний упругих тел, задачи дифракции для волнового уравнения, предельная задача для полигармонического уравнения при наличии вырожденных контуров, новые предельные задачи для уравнений гиперболического типа. Надо добавить еще исследование устойчивости и почти периодичности решений смешанных задач уравнений гиперболического типа и указанную выше работу по интегродифференциальным уравнениям С. Л. Соболев дал также ряд новых точек зрения на постановки задач. Понятия современной математики и особенно общие концепции функциональных пространств эффективно применяются в его работах к различным задачам математической физики. Задачи не только ставятся С. Л.

по-новому, но в этой новой постановке решения их доводятся до конца. В связи с этим следует еще раз отметить конкретный результат, достигнутый С. Л. в области математического анализа, а именно глубокую теорему о вложении одних функциональных пространств в другие.

Краткая характеристика научной деятельности и основных трудов// Сергей Львович Соболев. — М.—Л.: Изд. АН СССР, 1949. — С. 6–25.

Из статьи М. А. Лаврентьева, Л. В. Канторовича, А. В. Бицадзе (1969)2 :

Петербургская математическая школа своими открытиями эпохального значения записала не одну страницу в анналы истории развития мировой математической науки.

С именами представителей этой школы П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова связано возникновение таких важных разделов математики, как теория приближения функций, математическая теория устойчивости движения и теория марковских процессов.

На этих же славных традициях воспиталась целая плеяда крупнейших советских математиков, среди которых пальма первенства справедливо принадлежит Сергею Львовичу Соболеву, положившему начало в своих фундаментальных исследованиях ряду новых научных направлений в современной математике.

Из отзыва Ж. Лерэ (1967)3 :

В 1935 г.... С. Л. Соболев определяет понятие распределения и устанавливает его первые фундаментальные свойства.

Он определяет распределение (которое называет обобщенной функцией) как функционал над пространством бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями...

Пространство распределений есть пополнение пространства функций, снабженного своей слабой топологией.

Краткий очерк научной, научно-организационной, педагогической и общественной деятельности академика С. Л. Соболева // Сергей Львович Соболев: (К 60-летию со дня рождения). — Новосибирск: Наука, 1969. — С. 3–8.

Отзыв о трудах С. Л. Соболева 1930–1955 гг. / Публикация А. П. Юшкевича // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1993. — Вып. 34. — С. 267–273.

Распределения обладают некоторыми свойствами функций: они имеют носитель; свертка распределений с компактными носителями есть распределение и т. д.

Они обладают очень удобными свойствами, которых нет у функций: всякое распределение (в частности всякая суммируемая функция) обладает производными всех порядков, являющимися распределениями; всякая задача Коши для гиперболического оператора с регулярными коэффициентами равносильна задаче Коши с нулевыми данными для неоднородного уравнения, правая часть которого есть распределение; такая задача имеет единственное решение, каково бы ни было это распределение...

Теория распределений получила в настоящее время большое развитие благодаря теории векторных топологических пространств и их двойственности, благодаря понятию распределения умеренного роста, представляющему собой одно из важных достижений Л. Шварца (Париж), позволивших ему построить прекрасную теорию преобразований Фурье для распределений; Ж. де Рам (G. de Rham) ввел в дополнение к понятию распределения понятие потока, которое включает понятия дифференциальной формы и топологической цепи: Л. Хрмандер (L. Hrmander; Лунд, Принстон), Б. Мальгранж (B. Malgrange; Париж), Ж. Л. Лионс (J. L. Lions, Париж) с помощью теории распределений обновили теорию уравнений с частными производными; П. Лелон (P. Lelong, Париж) установил одно из фундаментальных свойств аналитических множеств. Богатый содержанием двухтомный трактат Л. Шварца и еще более богатый пятитомный трактат Гельфанда и Шилова (Москва) все эти достижения, столь важные, что уже один лишь французский вклад заслуживает высших наград, присужденных нашим Сообществом, приложения, которые получила теория распределений во всех областях математики, теоретической физики и численного анализа ныне подобны густому лесу, который скрывает дерево, из зерен которого он вырос. Впрочем, мы знаем, что если бы С. Л. Соболев не сделал это открытие около 1935 г. в России, оно было бы сделано во Франции незадолго до 1950 г., а несколько спустя в Польше; США также льстят себя мыслью, что они сделали бы его в ту же пору:

математическая наука и различные ее технические приемы (techniques) запоздали бы по сравнению с Россией лишь на 15 лет...

Наши московские собратья не могут не гордиться тем, что избрали одного из своих в возрасте 30 лет; но облик мира и так не очень бы изменился. И разве С. Л. Соболев не принадлежал к числу тех, кто заявил, что для понимания книг о задаче Коши и распространения волн нашего собрата Жака Адамара, о котором мы вспоминаем с прискорбием, было совершенно необходимо придумать распределения. Признаем же за ним по меньшей мере заслугу в скромности...

Точно так же невозможно себе представить, чтобы наша современная математика обошлась бы без применения пространств, которые называют пространствами Соболева, так как С. Л. Соболев определил их и исследовал с 1936 по 1940 гг.... Определение их весьма просто: это пространство Wp ( ) функций, производные которых порядков l суммируемы с p-й степенью на (p 1); их свойства выражаются весьма легко (хотя доказываются, правда, довольно трудно): если есть подмножество в, то элемент из Wp ( ) имеет ограничение на, принадлежащее Wq, если Из статьи А. Н. Колмогорова и О. А. Олейник (1984)4 :

Одним из важнейших достижений математики 20 века является создание теории обобщенных функций (распределений), ставшей мощным орудием исследований для математиков, физиков, инженеров. Явно вводить и использовать С. Л. Соболев и современная математика: (К 75-летию со дня рождения) // Математика в шк. — 1984. — № 1. — С. 73–77.

соответствующие понятия первыми стали физики (П. Дирак и др.), хотя предпосылки для формирования теории обобщенных функций складывались и внутри самой математики. В работе С. Л. Соболева 1936 г. впервые были заложены основы теории обобщенных функций, получила строгое математическое оформление идея обобщенной функции как функционала. Им были впервые даны применения этой новой теории к изучению уравнений с частными производными. Получила дальнейшее развитие его идея обобщенного решения дифференциального уравнения. Обобщенные решения С. Л. Соболев стал рассматривать в пространствах функционалов (обобщенных функций). Начиная с 30-х гг. и особенно после работ французского математика Л. Шварца 50-х гг., создавшего ряд новых разделов этой теории и указавшего их новые применения, теория обобщенных функций интенсивно развивалась, ее идеи распространились на значительную часть математического анализа, где она прояснила многие старые факты и позволила установить новые общие закономерности. В сферу ее действия вошли также новые области математики: теория представлений классических групп, теория случайных процессов, общая теория меры и др.

Особенно большое влияние оказало создание теории обобщенных функций на развитие общей теории систем уравнений с частными производными. Основы этой теории были заложены И. Г. Петровским в 30–40-х гг. До работ И. Г. Петровского изучались в основном либо уравнения второго порядка, либо конкретные уравнения математической физики. И. Г. Петровский выделил и изучил важнейшие широкие классы систем уравнений с частными производными, что и составило фундамент общей теории. Последние десятилетия были периодом мощного развития этой теории.

Благодаря обобщенным функциям многие ее разделы приобрели завершенный вид, были поставлены и решены новые задачи, получили решение многие старые проблемы. Существенным образом продвинулось также изучение уравнений математической физики. Классический анализ, складывавшийся веками, не давал решения многим задачам, которые выдвигались перед математиками развитием естествознания и техники. Для их решения потребовался новый математический аппарат.

Вот почему многие современные учебники и монографии по уравнениям с частными производными и уравнениям математической физики включают элементы теории обобщенных функций, так же как и теорию пространств Соболева, в качестве одной из своих глав с тем, чтобы ознакомить читателя с применяющимся аппаратом. Некоторые из них содержат дальнейшее развитие этой теории. Уже много лет теория обобщенных функций и пространства Соболева входят в учебные программы университетов и других высших учебных заведений. С ними будущие исследователи знакомятся на студенческой скамье.

Итак, в работах С. Л. Соболева было обобщено и расширено понятие функции и ее производной — основных понятий математической науки. Размеры статьи не позволяют нам объяснить точный смысл обобщенных функций и их роль в математике, не предполагая у читателя специальных математических знаний. Н. Е. Жуковский на одном из заседаний Московского математического общества сказал:

«Можно говорить, что математическая истина только тогда должна считаться вполне обработанной, когда она может быть объяснена всякому из публики, желающему ее усвоить».

Отметим, что такие физические величины, как конечная масса, сосредоточенная в точке, сосредоточенная сила, различного рода сосредоточенные включения не могут быть описаны обычными функциями. Для своего математического описания они требуют использования определенных обобщенных функций — функций Дирака. Американский математик Янг как-то шутя заметил, что обобщенные функции подобны людям. Их свойства видны и понятны только в отношениях с другими функциями точно так же, как характеры людей раскрываются в общении и столкновении с другими людьми. Вероятно, рассказать коротко и понятно об обобщенных функциях и пространствах Соболева можно будет со временем и малоподготовленному читателю. В связи с этим вспоминается история, которую любил рассказывать И. Г. Петровский. Она такова. Один средневековый богатый купец пригласил ученого, чтобы посоветоваться с ним, как обучить сына математике (дело было в Германии). Этот ученый ответил купцу так: «Если вы хотите научить сына сложению, вычитанию и даже умножению целых чисел, то мы можем обучить этому у нас, в Германии. Но если вы хотите обучить его делению целых чисел, вам надо послать сына в Италию. Здесь, в Германии, мы не можем обучить его этому». И это действительно было сложно, потому что числа записывались римскими цифрами.

В 1941–1943 гг. Сергей Львович был директором Математического института им. В. А. Стеклова. В трудных условиях эвакуации в Казани С. Л. Соболев много сделал для организации в Математическом институте прикладных исследований, для оказания эффективной помощи фронту.

В 1943 г., вскоре после возвращения Математического института в Москву, С. Л. Соболев переходит на работу в Институт атомной энергии, директором которого в то время был И. В. Курчатов. С этим институтом, который вначале назывался Лабораторией № 2, связан большой период жизни С. Л. Соболева. Сергей Львович был первым заместителем директора и научным сотрудником этого института. Он работал над вопросами использования атомной энергии. Основной задачей являлось исследование сложных систем получения кондиционного ядерного горючего, их общей структуры, вопросов устойчивости. Значительная часть этих проблем относилась к уравнениям математической физики. В начале этой работы электронных вычислительных машин еще не было (они появились только к концу), и поэтому требовалось много усилий и изобретательности, чтобы получить необходимые численные результаты. Это был период напряженной творческой работы коллектива ученых института над созданием новой техники. (За работы, выполненные в Институте атомной энергии им. И. В. Курчатова, С. Л. Соболеву дважды была присуждена Государственная премия, а 8 января 1952 г. Сергею Львовичу было присвоено звание Героя Социалистического Труда за исключительные заслуги перед государством по выполнению специального задания Советского правительства.) С. Л. Соболев работал вместе с физиками, академиками И. В. Курчатовым, И. К. Кикоиным, М. А. Леонтовичем и другими. Нужно было понимание всего физического процесса в целом, требовалось решать крупные конкретные задачи при очень малых вычислительных средствах. Перед С. Л. Соболевым стояли математические, чисто прикладные задачи, но они требовали больших усилий, ибо рассчитывать, оптимизировать, предсказывать приходилось сложнейшие процессы, которые до этого никогда не изучались. Это было дело государственной важности, и ученые института ощущали личную ответственность за его судьбу. С. Л. Соболев отдавал этому большому делу все свои силы. Жена С. Л. Соболева Ариадна Дмитриевна, вспоминает, что в период работы в Институте атомной энергии он месяцами не бывал дома, часто уезжал в длительные и далекие командировки, но и в Москве много работал по ночам и дети видели его только по воскресеньям.

Несмотря на чрезвычайную занятость в Институте атомной энергии, все эти годы Сергей Львович читал лекции в Московском и Ленинградском университетах, руководил работой аспирантов, вел научные семинары. В 1950 г. вышла из печати его книга «Некоторые применения функционального анализа в математической физике», написанная на основе курса лекций, которые он читал в Ленинградском и Московском университетах. Эта книга сыграла исключительно большую роль в развитии нового важного направления в теории дифференциальных уравнений, основанного на применении идей и методов функционального анализа, начало которому было положено в работах С. Л. Соболева в 30-е гг. Она воспитала не одно поколение специалистов по уравнениям с частными производными у нас в стране и за рубежом, оказала на них большое идейное воздействие.

История возникновения этой книги такова. Как-то в Институте атомной энергии в кабинете С. Л. Соболева сломался замок, и дверь невозможно было открыть. Чтобы выйти, Сергей Львович попытался открыть ее ударом ноги.

Дверь открылась, но нога была повреждена. Врачи уложили ногу в гипс и предписали больному домашний режим на 6 недель. Работа Сергея Львовича в институте прервалась, но за это время, находясь дома, он отредактировал записки своих лекций, написал некоторые части заново и сдал книгу в печать. (Эта книга переведена сейчас на многие языки мира.) Жаль, что в этой книге не нашли отражение его исследования по теории обобщенных функций и их применениям.

Предполагалось, что они составят последнюю главу, но он не успел написать ее за эти 6 недель.

Получив снова возможность двигаться, С. Л. Соболев стал работать в институте, отдавая этому ответственному делу почти все свое время, силы и энергию. Ведь многие математические задачи ставились там впервые. Нужны были необыкновенная математическая интуиция и огромный труд, чтобы исчерпывающе и в заданный срок решать очень сложные конкретные задачи. С. Л. Соболев рассказывает:

«Работая в Институте атомной энергии, я приобрел вкус к вычислительной математике, осознал ее исключительные возможности. Поэтому я с удовольствием принял предложение И. Г. Петровского возглавить первую в нашей стране кафедру вычислительной математики Московского университета».

В 1958 г. он переезжает на постоянную работу в Новосибирск, и с этого момента начинается новосибирский период жизни С. Л. Соболева.

«Многие не понимали, даже друзья, что собственно заставило меня, — говорит Сергей Львович, — покинуть сильную кафедру в Московском университете и ехать в Сибирь, которая была по существу научной целиной». Действительно, возникает вопрос: что заставило трех математиков с мировым именем оставить столицу, кафедры, прославленные институты и стать во главе сложного и хлопотливого дела?

Ведь для их научной работы не требуются просторы Сибири, ее новые возможности. Ответ на этот вопрос самого С. Л. Соболева, как всегда, чрезвычайно скромен: «Естественное желание человека прожить несколько жизней, начать что-то новое». На самом деле это было прежде всего проявление глубокого патриотизма, в высшей степени свойственного Сергею Львовичу. Он поехал в Новосибирск потому, что считал освоение Сибири, создание там научного потенциала одной из важнейших государственных задач.

В одной из статей, адресованной молодым ученым, он пишет:

«Что главное должен воспитывать в себе ученый? Нужно избавиться от излишнего честолюбия. Не следует думать, что счастливым может быть только гений. Нужно приучиться ценить даже маленькое достижение, радоваться ему и никогда не переоценивать себя. Нужно выработать в себе трудолюбие. Нужно понять и воспитать в себе радость познания, которая почти то же, что и радость жизни. Счастье в том, чтобы дело твоей жизни было нужно людям».

У С. Л. Соболева большая и дружная семья... Сергей Львович очень любит детей, своих и чужих. Старшая дочь Светлана... рассказывает, что поэзия вошла в их семью через отца. Он охотно и много читал им Пушкина, Маяковского, Пастернака, Ахматову, Блока.

Дочери вспоминают, что отец никогда и ни в чем не оказывал на них давления, ничего не предрешал. Он воздействовал всем строем своей скромной и трудовой жизни, тем, что всегда помогал их матери, помогал всем, кто нуждался в его помощи. Он ходил с детьми в туристические походы в Крыму и на Кавказе, учил их плавать и бегать на лыжах, сочинял для них стихи. Письма домой детям он иногда писал в стихах. По воскресеньям они вместе с отцом отправлялись в поход на лыжах или на прогулку пешком.