«Исследование режимов вращательного движения искусственного спутника Земли для проведения экспериментов в области микрогравитации ...»

Федеральное государственное унитарное предприятие «Государственный

космический научно-производственный центр имени М.В. Хруничева»

На правах рукописи

Игнатов Александр Иванович

Исследование режимов вращательного

движения искусственного спутника

Земли для проведения экспериментов в

области микрогравитации

01.02.01 – Теоретическая механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

Д.ф.-м.н., профессор В.В. Сазонов Москва, 2012 г.

ВВЕДЕНИЕ

В.1. Цель диссертации

В.2. Математическое моделирование микроускорений, возникающих на борту спутника

В.3. Уравнения движения спутника

В.4. Массово-инерционные характеристики спутника

В.5. Параметры рабочей орбиты спутника

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ

УПРАВЛЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ОРБИТАЛЬНУЮ

ОРИЕНТАЦИЮ СПУТНИКА

1.1 Пассивная гравитационная ориентация спутника

1.2 Орбитальная ориентация спутника

1.3 Точная орбитальная ориентация спутника

1.4 Полупассивная гравитационная ориентация спутника

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ

УПРАВЛЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ОДНООСНУЮ СОЛНЕЧНУЮ

ОРИЕНТАЦИЮ СПУТНИКА

2.1. Закон управления гиростатическим моментом в режиме одноосной солнечной ориентации спутника

2.2. Режим одноосной солнечной ориентации с ограничением роста кинетического момента спутника.

ГЛАВА 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА

С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ ДВИГАТЕЛЕЙ-МАХОВИКОВ

3.1. Схема установки двигателей-маховиков

3.2. Математическая модель двигателя-маховика

3.3. Законы управления гиростатическим моментом

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ ИСКУССТВЕННЫМ СПУТНИКОМ ЗЕМЛИ,

ПОСТРОЕННЫХ НА БАЗЕ ДВИГАТЕЛЕЙ-МАХОВИКОВ

4.1. Электромеханические исполнительные органы систем управления искусственными спутниками Земли

4.2. Построение области требуемых значений кинетического момента............. 4.3. Область возможных значений кинетического момента

4.4. Возможности системы при отключении одного маховика

4.5. Расположение маховиков на искусственном спутнике Земли

4.6. Анализ схемы установки системы двигателей-маховиков.

ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ОСОБЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

СИСТЕМ БЕЗУПОРНЫХ ГИРОДИНОВ

5.1. Система уравнений, задающая особые поверхности

5.2. Типы особых точек

5.3. Построение и анализ особых поврехностей

5.4. Анализ схемы установки системы гиродинов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Основные результаты работы

ПРИЛОЖЕНИЯ

П.1. Орбитальная стабилизация спутника.

П.2. Проходимые особые точки особых поверхностей

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

РИСУНКИ

ВВЕДЕНИЕ

В.1. Цель диссертации. Результаты ряда выполняемых на искусственных спутниках Земли (ИСЗ) экспериментов по физике жидкости, материаловедению, биологии и медицине существенно зависят от микроускорений, действующих на экспериментальные установки. Чтобы такие эксперименты были успешными, микроускорения должны быть малыми. Микроускорения на борту спутника определяются конструкцией спутника и его движением, прежде всего, движением относительно центра масс. Поиск приемлемых вариантов конструкции и режимов движения спутников, предназначенных для исследований в области микрогравитации, приводит к задаче математического моделирования микроускорений.

Цель данной диссертации состоит в поиске и исследовании режимов вращательного движения спутника, обеспечивающих низкий уровень квазистатических микроускорений. Для надежной реализации такие режимы должны быть управляемыми. Управление предлагается осуществлять электромеханическими исполнительными органами – двигателями-маховиками или гиродинами, поскольку они вносят минимальные возмущения в требуемое движение спутника. В качестве дополнительных условий при поиске режимов с малым уровнем микроускорений рассматриваются условия малости области вариации вектора микроускорения, большого токосъема с солнечных батарей спутника, медленного накопления собственного кинетического момента электромеханическими управляющими устройствами. Исследование проводится с учетом дискретности работы БЦВМ и наличия зон нечувствительности в датчиках системы управления. Кроме задач, в которых объектом исследования является движение спутника, в диссертации рассмотрены задачи выбора конфигурации и анализа динамических возможностей применяемых систем двигателеймаховиков и гиродинов.

В.2. Математическое моделирование микроускорений, возникающих на борту спутника. Квазистатические микроускорения на борту низколетящего спутника вызываются четырьмя причинами: 1) движением спутника относительно центра масс как твердого тела, 2) градиентом гравитационного поля, 3) аэродинамическим торможением, 4) действием силы, создаваемой органами управления. Если спутник совершает неуправляемое движение или для управления им используется гиросистема, то последняя из перечисленных причин исчезает. При таком сужении постановки задачи квазистатическое микроускорение в заданной фиксированной точке борта описывается простой формулой, и чтобы воспользоваться ею, достаточно знать только орбиту и вращательное движение спутника. Вывод формулы микроускорения основан на следующем определении.

Пусть спутник представляет собой твердое тело, и точка P жестко связана с его корпусом. Микроускорением b в точке P называется разность между напряженностью гравитационного поля в этой точке и абсолютным ускорением последней. Роль вектора b в орбитальных экспериментах аналогична роли ускорения свободного падения g в экспериментах на поверхности Земли. В частности, если в точке P закрепить пробное тело с исчезающе малой массой m p, то реакция, действующая на это тело со стороны спутника, будет равна m p b. Приближенная формула для расчета микроускорений имеет вид [1] Здесь d – радиус-вектор точки P относительно центра масс спутника, точки O, – абсолютная угловая скорость спутника, точка над буквой означает дифференцирование по времени t, µ E – гравитационный параметр Земли, r – геоцентрический радиус-вектор точки O, v – скорость этой точки относительно поверхности Земли, a – плотность атмосферы в точке O, c – баллистический коэффициент спутника.

Формула (В.1) выведена для общего случая без каких-либо частотных ограничений. Однако если спутник имеет большие инерционные характеристики как, например, «Фотон» или «Прогресс» и его вращательное движение рассчитывается как движение твердого тела (такое движение обычно очень медленное), то формула (В.1) дает именно квазистатическое микроускорение.

Приведем некоторые числовые оценки, характеризующие один из наиболее подходящих для исследований в области микрогравитации режимов вращательного движения спутника – режим орбитальной ориентации.

Введем орбитальную систему координат OX 1 X 2 X 3. Это правая декартова система, оси OX 3 и OX 2 которой направлены соответственно вдоль r и кинетического момента орбитального движения спутника r r. Угловая скорость этой системы Ниже в данном разделе компоненты векторов и координаты точек указываются в системе OX 1 X 2 X 3.

Будем считать, что орбита ИСЗ круговая и неизменна в абсолютном пространстве, и что спутник неподвижен в орбитальной системе координат.

Тогда Здесь r – радиус орбиты, 0 – среднее движение спутника (орбитальная частота), E – угловая скорость вращения Земли, i – наклонение орбиты, u – аргумент широты спутника, u = 0t + const. Для такого спутника, введя обозначения d = (d1, d 2, d 3 ) и b = (b1, b2, b3 ), формулу (В.1) в скалярном виде можно записать так:

Для спутника на круговой орбите с высотой около 400 км и наклонением i = 63° имеют место соотношения ca v 2 10 6 м/c 2, 0 = 0.001138 c 1, 0 1.3 10 6 c 2, | v 2 | / v1 < 0.06. Если взять d1 = d 2 = 0, d 3 = 2.5 м, то получим b1 10 6 м/c 2, | b2 |< 0.06 10 6 м/c 2, b3 = 9.7 10 6 м/c 2. Компонента b3 постоянна во времени, компонента b1 меняется, но сохраняет знак, компонента b меняет знак.

Для задач космического материаловедения микроускорение с модулем 10 5 м/c 2 вполне приемлемо, если его компоненты в системе координат технологической установки меняются в достаточно узких пределах. Требования к временным вариациям компонент микроускорения удобно сформулировать в терминах спектрального анализа. Эти вариации можно представить в виде суммы нескольких гармоник. Предельно допустимые значения амплитуд таких гармоник зависят от их частоты (некоторые данные о частотных свойствах космических экспериментов по росту кристаллов приведены в [2 – 5]). Вообще говоря, каждый космический эксперимент имеет свою собственную амплитудночастотную характеристику предельно допустимых микроускорений, однако для экспериментов по росту кристаллов такие характеристики более или менее одинаковы. В настоящее время к ним выработаны достаточно конкретные и универсальные требования. Они сводятся к тому, что в диапазоне частот более 0.0001 Гц предельно допустимые значения амплитуд возрастают вместе с частотой. Самой низкой и в этом смысле самой опасной из реально наблюдаемых частот является орбитальная частота (значению 0 = 0.001138 c 1 отвечает циклическая частота 0.000181 Гц). В рассмотренном примере она ярко выражена в компоненте b2, поскольку (ср. (В.2)) v 2 ~ cos u, и присутствует в компоненте b1 из-за изменения плотности атмосферы вдоль орбиты. Гармоники с частотами более 0.01 Гц, как правило, уже безопасны.

В рассмотренном выше примере достигнуты весьма благоприятные условия для проведения космических экспериментов по уровню микроускорений.

Эти условия гораздо лучше условий, имевших место в неуправляемом вращательном движении спутников [6 – 12] и в режиме пассивной гравитационной ориентации [13, 14]. В наиболее близком к рассмотренному примеру режиме пассивной гравитационной ориентации микроускорения содержат заметные колебания с опасными частотами 0.00018 – 0.001 Гц. Эти колебания – следствие возмущенного движения спутника, вызванного дестабилизирующим действием аэродинамического момента, эллиптичностью орбиты и т. п. причинами [15, 16]. Чтобы уменьшить возмущенное движение, спутник следует снабдить средствами трехосной орбитальной стабилизации. Ниже исследовано применение для этой цели электромеханических исполнительных органов – двигателеймаховиков или гиродинов.

В.3. Уравнения движения спутника. Приведем общую часть математической модели движения ИСЗ. Спутник считаем гиростатом, центр масс которого движется по геоцентрической орбите. Для описания движения спутника будем использовать три правые декартовы системы координат. Это – введенная выше орбитальная система координат.

Ox1 x2 x3 – система координат, образованная главными центральными осями инерции спутника. Упрощая модель, полагаем, что оси этой системы параллельны или перпендикулярны характерным элементам конструкции спутника. В данном случае ось Ox2 – нормаль к плоскости солнечных батарей.

Cy1 y2 y3 – гринвичская система координат. Точка C – центр Земли, плоскость Cy1 y 2 совпадает с плоскостью экватора, ось Cy1 пересекает гринвичский меридиан, ось Cy3 направлена к Северному полюсу.

Матрицу перехода от системы OX1 X 2 X 3 к системе Cy1 y2 y3 обозначим рицы выражаются через координаты и компоненты скорости центра масс спутника в гринвичской системе координат.

Матрицу перехода от системы координат Ox1 x2 x3 к системе OX1 X 2 X обозначим || aij ||i3 j =1. Здесь aij – косинус угла между осями OX i и Ox j. Матрицу перехода от системы Ox1 x2 x3 к гринвичской системе координат обозначим || bij ||i3 j =1. Здесь bij – косинус угла между осями Cy i и Ox j.

Положение системы Ox1 x2 x3 относительно системы OX1 X 2 X 3 будем также задавать углами, и, которые введем следующим образом. Система OX1 X 2 X 3 может быть переведена в систему Ox1 x2 x3 тремя последовательными поворотами: 1) на угол + 2 вокруг оси OX 2, 2) на угол вокруг новой оси OX 3, 3) на угол вокруг новой оси OX1, совпадающей с осью Ox1.

Элементы матрицы || aij || выражаются через эти углы с помощью формул Справедливы соотношения Ниже, если не оговорено особо, компоненты векторов и координаты точек указываются в системе Ox1 x2 x3.

Уравнения движения спутника состоят из двух подсистем. Одна подсистема описывает движение центра масс спутника, другая его движение относительно центра масс (вращательное движение). Подсистема уравнений движения центра масс записывается в гринвичской системе координат относительно компонент векторов r и v (см. (В.1)) [17]. Нецентральность гравитационного поля Земли учитывается с точностью до членов порядка (16,16) включительно в разложении гравитационного потенциала Земли в ряд по шаровым функциям. Атмосфера считается вращающейся вместе с Землей, ее плотность рассчитывается согласно модели ГОСТ Р 25645.166-2004. Параметры атмосферы считаются неизменными на всем интервале интегрирования уравнений движения.

Подсистема уравнений вращательного движения образована уравнениями, выражающими теорему об изменении кинетического момента спутника в его движении относительно центра масс, кинематическими уравнениями Пуассона для элементов первых двух строк матрицы bij и уравнениями, описывающими изменение кинетического момента гиросистемы. В уравнениях, выражающих теорему об изменении кинетического момента, учитываются гравитационный и аэродинамический моменты. Для гравитационного момента существует простое аналитическое выражение [16]. Аэродинамический момент M a вычислялся в предположении, что спутник имеет форму прямого кругового цилиндра с двумя прикрепленными к нему одинаковыми прямоугольными пластинами – солнечными батареями (см. рис. В.1). Цилиндр имеет радиус R и высоту L, его ось совпадает с осью Ox1. Пластины расположены в плоскости Ox1 x3 симметрично относительно оси Ox1. Стороны пластин параллельны осям Ox1 и Ox3. Суммарная площадь пластин составляет S b.

Координаты геометрических центров цилиндра и пластин суть и (x1 b,0,0). Полагая, что молекулы атмосферы при столкновении с корпусом ИСЗ испытывают абсолютно неупругий удар, формулу для аэродинамического момента представим в виде [15] Здесь P = P (v ) – первый момент геометрической фигуры, являющейся проекцией внешней оболочки спутника на плоскость v, перпендикулярную вектору v. Вектор P лежит в плоскости v и вычисляется относительно проекции на v точки O. Поскольку формула (В.3) инвариантна относительно замены P P + pv, где p произвольный скаляр, функцию P (v ) можно задавать, не связывая себя условием P v. В частности, компоненты вектора v P (v ) удобно задавать в системе координат Ox1 x2 x3. Для рассматриваемого спутника эти компоненты можно взять в виде Здесь v i – компоненты в той же системе вектора v.

Допущения, сделанные при выводе формулы аэродинамического момента, позволяют выписать явное выражение для входящего в формулу (В.1) баллистического коэффициента спутника. Этот коэффициент имеет вид c = S v m, где S v – площадь геометрической фигуры, являющейся проекцией внешней оболочки спутника на плоскость v. В данном случае и аэродинамический член формулы (В.1) принимает вид Все приводимые в данной работе расчеты микроускорений выполнены по формулам (В.1), (В.4).

При выводе выражений для аэродинамического момента и баллистического коэффициента не учитывалось возможное взаимное затенение корпуса спутника и солнечных батарей от набегающего аэродинамического потока. Такое упрощение оправдано, поскольку для большинства движений спутника относительная продолжительность отрезков времени, на которых указанное затенение существенно, невелика.

Уравнения, выражающие теорему об изменении кинетического момента спутника в его движении относительно центра масс, и кинематические уравнения Пуассона для элементов b1i и b2i имеют вид Здесь i и xi (i = 1,2,3) – компоненты векторов и r, I i – моменты инерции спутника относительно осей Oxi, ki – отнесенные к I i компоненты кинетического момента спутника в его движении относительно центра масс, hi – отнесенные к I1 компоненты гиростатического момента спутника, E – масштабирующий множитель. При численном интегрировании уравнений (В.5) единицей времени служит 1000 с, единицей измерения длины – 1000 км, скорость выражается в км/с, единица измерения угловой скорости и величин ki и hi – 0.001 c -1, плотность атмосферы рассчитывается в кг/м3, E = 1012. Третья строка матрицы перехода || bij || вычисляется как векторное произведение ее первой и второй строк. Переменные b1i и b2i зависимы. Они связаны условиями ортогональности матрицы || bij ||, которые должны учитываться при задании начальных условий этих переменных.

Чтобы замкнуть подсистему уравнений вращательного движения, надо добавить к уравнениям (В.5) уравнения, описывающие изменение переменных hi, которые будут приведены ниже.

В.4. Массово-инерционные характеристики спутника. Параметры спутника: m = 6440 кг, I1 = 2600 кг·м2, I 2 = 11100 кг·м2, I 3 = 10900 кг·м2, R = 1.3 м, L = 5.0 м, S b = 33 м2, x1 b = –1 м, x1 c = 0.3 м. Микроускорения рассчитывались в точке P с координатами (–1 м, 0.7 м, 0.5 м). Эта точка находится на внутренней стенке рабочего отсека спутника, примерно на ее середине.

Вблизи этой точки возможна установка научной аппаратуры.

В.5. Параметры рабочей орбиты спутника. Начальные условия движения центра масс спутника задавались в восходящем узле орбиты в момент 12:10:34 декретного московского времени 21.09.2007. На этот момент элементы орбиты составляли: высота в апогее 450 км, высота в перигее 400 км, наклонение 63.0°, аргумент широты перигея 53.5°, долгота восходящего узла (отсчитывается от точки среднего весеннего равноденствия эпохи даты) 164.0°.

Параметры модели атмосферы во всех расчетах были следующие:

F = F81 = 150, A p = 12.

Начальные условия уравнений (В.5) задавались в тот же момент времени, что и начальные условия принятой орбиты. Этот момент служит началом отсчета времени – точкой t = 0.

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ

УПРАВЛЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ОРБИТАЛЬНУЮ

ОРИЕНТАЦИЮ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ

В данной главе рассматривается движение спутника в различных реализациях режима орбитальной ориентации, о котором говорилось выше. Законы управления ориентацией строятся в терминах суммарного кинетического момента гиросистемы и скорости его изменения.

1.1. Пассивная гравитационная ориентация спутника. Чтобы пояснить этот режим вращательного движения, упростим уравнения (В.5), отбросив некоторые второстепенные факторы. Предположим, что орбита спутника – круговая и неизменна в абсолютном пространстве, на спутник действует один лишь гравитационный момент и собственный кинетический момент гиросистемы (гиростатический момент спутника) равен нулю. В этом случае уравнения (В.5) можно преобразовать к виду Здесь величины a3i выражаются через углы, и по указанным выше формулам.

Уравнения (1.1) допускают четыре стационарных решения, которые можно задать соотношениями Эти решения описывают положения равновесия (покой) спутника в орбитальной системе координат. Достаточные условия устойчивости по Ляпунову решений (1.1) выражаются неравенствами [16]: < 1, µ > 0, 1 + µ > 0. У рассматриваемого спутника = 0.239, µ = 0.077, и выписанные неравенства выполнены.

Каждое устойчивое стационарное решение уравнений (1.1) реализует режим трехосной гравитационной ориентации. В этом режиме спутник совершает полет подобно Луне (пример гравитационной ориентации естественного небесного тела), будучи неизменно одной своей стороной обращен к Земле. Такой режим может быть удобен при неуправляемом полете спутника. Для определенности сузим набор возможных движений и ниже будем рассматривать только стационарное решение В этом решении оси Ox1 и Ox2 совпадают с осями ( OX 3 ) и OX 2 соответственно.

Уравнения (В.5) для рассматриваемого спутника не имеют решений, описывающих покой в орбитальной системе координат, однако в силу непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий и параметров эти уравнения допускают решения, которые после пересчета переменных b1i и b2i в углы, и будут близки положению покоя (1.2). Чтобы движения спутника, описываемые такими решениями, были приемлемы для исследований в области микрогравитации, они должны существовать продолжительное время и мало отклоняться от (1.2). Удовлетворить этим требованиям можно выбирая решения уравнений (В.5) из условия минимума функционала Здесь 0 – среднее движение спутника в начальный момент времени, значение T равно нескольким орбитальным периодам. Чтобы пояснить смысл функционала (1.3), представим его в эквивалентной форме в виде Тогда его можно рассматривать и на решениях уравнений (1.1), полагая величины a2i выраженными в функции углов, и. Нетрудно проверить, что для положения покоя (1.2) = 0. На решениях, лежащих в окрестности этого положения, > 0. Интеграл в (1.4) можно заменить суммой где N – достаточно большое число. В описываемых расчетах было взято T = 4 / 0, N = 80. Минимизация по начальным условиям решения системы (В.5) проводилась методом Гаусса-Ньютона. Для расчета частных производных решения по начальным условиям интегрировались соответствующие уравнения в вариациях, в которых отбрасывались члены, характеризующие аэродинамический момент.

Решения, уравнений (В.5), близкие положению покоя (1.2) и доставляющие локальный минимум функционалу, представлены на рис. 1.1 – 1.2.

Здесь приведены графики зависимости от времени углов,, и компонент угловой скорости i. Приведены графики компонент микроускорения bi, а также графики компонент аэродинамической bai и гравитационной bgi составляющих микроускорения. Микроускорение рассчитано в указанной выше точке P. Графики построены на интервалах времени 6 суток. Рассмотренный пример дает уточнение оценок приведенных в введении для более реальной ситуации. Слабая неустойчивость режима пассивной гравитационной ориентации (см. графики функции (t ) и (t ) ) связана с дестабилизирующим действием аэродинамического момента и практически не повлияла на представленное микроускорение. Колебания спутника и компонент микроускорения вызваны сопротивлением атмосферы и эллиптичностью орбиты. Уменьшить эти колебания можно только существенно изменив орбиту.

1.2. Орбитальная ориентация спутника. Орбитальной ориентацией спутника будем называть его положение покоя в орбитальной системе координат. Орбитальная ориентация наиболее удобна для проведения космических экспериментов по росту кристаллов. Удобство обусловлено тем, что, в этом режиме, во-первых, вектор остаточного микроускорения остается практически постоянным и ориентированным строго определенным образом в системе координат Ox1 x2 x3 ; во-вторых, накопление кинетического момента гиросистемы происходит медленно – в указанном положении гравитационный момент равен нулю, а аэродинамический момент мал. К сожалению, при таком способе орбитальной ориентации энергосъем с солнечных батарей спутника, как правило, невелик [18], что сужает область его применения.

Чтобы замкнуть подсистему уравнений вращательного движения, надо добавить к уравнениям (В.5) уравнения, описывающие изменение переменных hi. Эти уравнения запишем в виде где mi – отнесенные к I1 компоненты управляющего момента, приложенного к корпусу спутника со стороны гиросистемы. Подставим уравнения (1.5) в первые три уравнения системы (В.5) и получим систему уравнений Рассматривая систему уравнений (1.6) выберем управляющий момент так, чтобы уравнения (В.5), (1.5) допускали установившиеся решения, в которых с высокой точностью матрица || aij || была бы постоянной, а величины | hi | возрастали бы по возможности медленнее. Такой момент можно задать, например, выражениями где – положительный параметр, величины i определены соотношением матрица A0 – задает требуемое (номинальное) положение спутника в орбитальной системе координат, i – компоненты угловой скорости орбитальной системы координат. При малых i выполнены соотношения i i i (i = 1, 2, 3). Выписанные соотношения подразумевает, что на спутнике установлены датчики угловых скоростей и ориентации, в соответствии с показаниями которых формируется закон изменения собственного кинетического момента гиросистемы (1.5), (1.7).

Рассмотрим систему (В.5), (1.5), (1.7) (первые три уравнения (В.5) можно привести к виду (1.6)). Параметр возьмем настолько большим, чтобы характерное время действия на спутник управляющего момента было существенно меньше аналогичного времени для гравитационного и аэродинамического моментов. Если двумя последними моментами пренебречь, принять орбиту круговой, а величины i малыми, то эту систему, линеаризовав ее по i, можно привести к виду Выписанные уравнения асимптотически устойчивы. Следовательно, асимптотически устойчив и режим орбитальной ориентации. При подходящем выборе параметра возмущенное движение спутника в окрестности положения покоя A = A0 будет затухать с требуемой скоростью.

Закон управления (1.7) обеспечивает реализацию режима орбитальной ориентации спутника, но в общем случае не обеспечивает малый рост величин | hi |. Последнее свойство обеспечивается специальным выбором матрицы A0.

Приемлемое значение этой матрицы можно получить, усредняя на отрезке 0 t T значения A(t ), полученные для режима пассивной гравитационной ориентации посредством минимизации функционала. Усреднение здесь означает отыскание ортогональной матрицы A0, доставляющей минимум функционалу В режиме пассивной гравитационной ориентации A(t ) A0 и если с помощью формулы (1.8) по матрицам A(t ) и A0 определить функции i (t ), то выписанный функционал можно представить в виде Отыскание матрицы A0 посредством минимизации выражения (1.9) сводится к задаче на условный экстремум. При ее решение необходимо учитывать условия ортогональности разыскиваемой матрицы и равенство det A0 = 1. Способ решения такого рода задач хорошо известен (см., например, [19]). Он использует метод неопределенных множителей Лагранжа. Составляется функция + tr ( A0 A0 E3 ), где – симметричная матрица, составленная из множителей Лагранжа, и выписываются условия ее безусловного экстремума:

Чтобы решить систему (1.10), (1.11), рассмотрим сингулярное разложение матрицы S : S = UDV T. Здесь U и V – ортогональные матрицы порядка 3, D = diag ( d1, d 2, d3 ), d1 d 2 d 3 0. Полагаем, что d3 > 0, т. е. матрица S не вырождена. Введем матрицу F = diag ( f1, f 2, f 3 ), f i = ±1 (i = 1, 2, 3) но выбор знаков пока не фиксируем. На основании сингулярного разложения S запишем S = UDF 2V T = UDFU T UFV T. Возьмем A0 = UFV T, = UDFU T.

Это наиболее общий вид матриц A0 и, удовлетворяющих системе (1.10), (1.11).

Чтобы выбрать матрицу A0, доставляющую минимум и удовлетворяющую условию det A0 = 1, рассмотрим соотношения Ясно, что надо положить f1 = f 2 = 1, f 3 = det U det V. Окончательное выражение для A0 имеет вид Покажем, что выбранный закон изменения кинетического момента гиросистемы действительно обеспечивает орбитальную ориентацию спутника и малый рост величин | hi |. С этой целью вычислим решение системы (В.5), (1.5), (1.7) при = 0.01 с 1 со следующими начальными условиями. Положение спутника в орбитальной системе координат в момент времени t = 0 задается углами = 0.002°, = 0.890°, = 0.005°. Эти углы отвечают матрице A0, которая получена усреднением матрицы A(t ) на интервале 2 суток в режиме пассивной гравитационной ориентации. Начальные условия для переменных hi возьмем нулевые. Тогда начальные условия для переменных ki будут совпадать с начальными значениями i. Последние выберем так, чтобы учесть ошибки в их реализации (при выставке начальных условий вращательного движения спутника ошибка в задании угловой скорости наиболее существенна), а именно положим Результаты расчетов движения спутника, полученные в рамках приятой модели, а также результаты расчета микроускорений приведены на рис 1.3 – 1.6. Эти результаты представлены графиками зависимости от времени углов, и, задающих положение системы Ox1 x2 x3 относительно системы OX1 X 2 X 3, угла между ортом s и ортом Ox2 (нормаль к светочувствительной стороне солнечных батарей), а также угла между ортом s и плоскостью орбиты спутника. На рисунках представлены также графики компонент угловой скорости i, микроускорения b = (b1, b2, b3 ) и гиростатического момента H i = I1hi (i = 1,2,3). Микроускорение рассчитано в указанной выше точке P.

Графики построены на интервалах времени 6 суток. Для каждого из графиков описывающих движение спутника отдельно показан переходной процесс, обусловленный ошибками в задании начальной угловой скорости. Такие графики охватывают отрезок времени, который примыкает к начальной точке t = 0 и имеет длину один орбитальный виток. Другие графики иллюстрируют движение спутника в установившемся режиме. Представленные установившиеся колебания спутника и компонент микроускорения вызваны сопротивлением атмосферы и эллиптичностью орбиты. Следует отметить весьма медленное накопление собственного кинетического момента гиросистемы при реализации построенного движения. Это – следствие специального выбора матрицы A0.

1.3. Точная орбитальная ориентация спутника. Рассмотрим вариант режима орбитальной ориентации, в котором ось (OX 3 ), а ось Ox2 – с осью OX 2. В терминах углов, и, введенных в п.

1.2, такой режим описывается соотношениями В случае круговой орбиты приближенное выполнение этих соотношений можно обеспечить без использования управления – только за счет подходящего выбора начальных условий вращательного движения спутника [18]. Такое движение называется режимом пассивной гравитационной ориентации. Однако в этом режиме вариации вектора остаточного микроускорения все же довольно велики, поэтому имеет смысл реализовать точную орбитальную ориентацию с помощью гиросистемы.

Управляющий момент возьмем в виде [20] (см. Приложение 1) где – положительный параметр, 0 – орбитальная частота. Подстановка соотношения (1.13) в уравнение (1.6) приводит к уравнениям Вообще говоря, эти уравнения надо рассматривать совместно с уравнениями орбитального движения спутника и уравнениями (В.5) относительно переменных b1i и b1i. По фазовому вектору уравнений орбитального движения рассчитывается матрица перехода от гринвичской системы координат к орбитальной системе, эта матрица и матрица bij позволяют найти матрицу aij, элементы которой используются в уравнениях (1.14). Однако для приближенного анализа закона управления орбиту спутника можно принять круговой и неизменной в абсолютном пространстве. В этом случае кинематические уравнения удобно взять в виде Орбитальная частота 0 рассчитывается по формулам задачи Кеплера и значению фазового вектора орбитального движения в начальный момент времени.

Покою (1.12) в орбитальной системе координат отвечает решение Уравнения (1.12), (1.14) можно линеаризовать в окрестности положения (1.12), (1.16). При этом можно пренебречь правыми частями (1.14), поскольку приложенный к спутнику момент со стороны гиросистемы существенно больше влияет на его вращательное движение чем гравитационный и аэродинамический моменты.

В окрестности стационарных решений (1.12), (1.13) при орбитальной ориентации спутника имеют место соотношения Подстановка этих соотношений в (1.14) дает В решениях этой системы,, 0 при t +. Выписанные уравнения асимптотически устойчивы. Следовательно, асимптотически устойчив и режим орбитальной ориентации. При достаточно большом значении параметра возмущенное движение спутника в окрестности положения покоя (1.12), (1.13) будет затухать с требуемой скоростью.

Покажем, что выбранный закон (1.13) изменения кинетического момента гиросистемы действительно обеспечивает орбитальную ориентацию спутника.

С этой целью вычислим решения системы (В.5), (1.5), (1.13) при = 0.01 с-1.

Начальные условия в режиме орбитальной ориентации зададим следующим образом. Будем считать, что в момент t = 0 оси Ox1 и Ox2 совпадают с осями (OX 3 ) и OX 2 соответственно. Компоненты ортов осей OX 3 и OX 2 в гринi = 1, 2,3).

вичской системе координат обозначим соответственно yi и N i Тогда начальные условия для переменных b1i, b2i будут иметь вид Начальные условия для переменных hi возьмем нулевые. В этом случае начальные условия для переменных ki будут совпадать с начальными значениями компонент угловой скорости i. Последние выберем так, чтобы показать процесс гашения возмущенного движения, а именно положим Результаты расчетов движения спутника, полученные в рамках приятой модели, а также результаты расчета микроускорений приведены на рис 1.7 – 1.10.

Эти результаты представлены графиками зависимости от времени углов,, и углов,. На рисунках представлены также графики компонент угловой скорости i, микроускорения b = (b1, b2, b3 ) и гиростатического момента H i = I1hi (i = 1,2,3). Микроускорение рассчитано в указанной выше точке P.

Графики построены на интервалах времени 6 суток. Для каждого из графиков описывающих движение спутника отдельно показан переходной процесс, обусловленный ошибками в задании начальной угловой скорости. Такие графики охватывают отрезок времени, который примыкает к начальной точке t = 0 и имеет длину один орбитальный виток ( ~ 5600 c ). Однако собственно переходной процесс протекает гораздо быстрее. Другие графики иллюстрируют движение спутника в установившемся режиме. На них видны установившиеся колебания с доминирующей частотой, которая равна орбитальной частоте 0.

За такие колебания ответствен последний член формулы (В.1), отвечающий аэродинамическому торможению. Поскольку этот член мал, область вариации микроускорения (В.1) оказалась намного меньше максимального значения b.

обеспечения длительной гравитационной ориентации спутника при наличии дестабилизирующего действия возмущающих моментов обычно применяют демпфирующие устройства [16]. В качестве таковых можно использовать систему гироскопических органов управления установленных на спутнике. Чтобы реализовать гиродемпфирование, достаточно задать надлежащий закон управления гиросистемой. Рассмотрим такой закон в простейшей ситуации [21]. Орбиту примем круговой и неизменной в абсолютном пространстве, из приложенных к спутнику внешних механических моментов будем учитывать только гравитационный. В обозначениях п. 1.2 теорему об изменении кинетического момента спутника в его движении относительно центра масс запишем в виде а закон изменения собственного кинетического момента гиросистемы зададим соотношениями Здесь i, i – положительные постоянные, h0 – произвольная постоянная. Чтобы получить замкнутую систему уравнений дополним уравнения (1.17), (1.18) уравнениями (1.12). Эта система уравнений допускает стационарные решения, в которых h1 = h3 = 0, h2 = h0 = const, а углы и угловые скорости имеют те же значения, что и в стационарных решениях уравнений (1.1). Для определенности рассмотрим стационарное решение (1.2). В [21] показано, что условия асимптотической устойчивости такого стационарного решения выражаются неравенствами Линеаризуем систему уравнений (1.12), (1.17), (1.18) в окрестности стационарного решения (1.2), с учетом h1 = h3 = 0, h2 = h0 = const. Представим линеаризованную систему в матричном виде При выполнении условий (1.19) все корни характеристического многочлена det(Q E9 ) = 0, E9 = diag (1,1,1,1,1,1,1,1,1) системы (1.20) будут иметь отрицательные вещественные части. Значения коэффициентов i, i для уравнений (1.18) будем выбирать с помощью линеаризованной системы (1.20), исходя из условия, что корни характеристического многочлена должны лежать как можно дальше от мнимой оси в отрицательной полуплоскости. В данном расчете выбраны следующие значения коэффициентов: 1 = 200 c, 2 = 3 = 900 c, 1 = 5000 кгм 2, 2 = 7000 кгм 2, 3 = 2000 кгм 2, h0 = 10 Нмс. Для выбранных значений параметров i, i и h0 корни характеристического многочлена системы (1.20) будут равны:

1,2 = 0.163 ± 1.397, 3,4 = 0.165 ± 1.248, 5,6 = 0.208 ± 1.489, Покажем, что выбранный закон изменения кинетического момента гиросистемы действительно обеспечивает трехосную гравитационную ориентацию спутника. С этой целью вычислим решения системы (В.5), (1.18).

Начальные условия зададим следующим образом. Будем считать, что в момент времени t = 0 положение спутника в орбитальной системе координат задается углами = = = 0. Начальные условия для переменных hi возьмем нулевые. Тогда начальные условия для переменных ki будут совпадать с начальными значениями i. Последние возьмем в виде Результаты расчетов движения спутника, полученные в рамках приятой модели, а также результаты расчета микроускорений приведены на рис 1.11 – 1.14.

Эти результаты представлены графиками зависимости от времени углов,, и углов,. На рисунках представлены также графики компонент угловой скорости i, микроускорения b = (b1, b2, b3 ) и гиростатического момента H i = I1hi (i = 1,2,3). Микроускорение рассчитано в указанной выше точке P.

Графики построены на интервалах времени 6 суток. Для каждого из графиков описывающих движение спутника отдельно показан переходной процесс, обусловленный ошибками в задании начальной угловой скорости. Такие графики охватывают отрезок времени, который примыкает к начальной точке t = 0 и имеет длину четыре орбитальных витка ( ~ 22400 c ). Другие графики иллюстрируют движение спутника в установившемся режиме. Как и в предыдущем примере, представленные здесь установившиеся колебания вызваны сопротивлением атмосферы и эллиптичностью орбиты. Собственный кинетический момент гиросистемы остается ограниченным. Заметим, что если в рассматриваемом движении в какой-то момент времени отключить управление гиросистемой, зафиксировав соответствующие значения величин hi, то можно получить почти идеальный режим пассивной гравитационной ориентации, построенный в п. 1.1.

Результаты моделирования показали, что для всех рассмотренных в главе 1 законов управления, диапазон изменения компоненты b1 микроускорения примерно в 40 раз меньше среднего значения его модуля | b |, диапазон изменения компоненты b2 примерно в 60 раз меньше среднего значения модуля, а диапазон изменения компоненты b3 примерно в 6 раз меньше среднего значения модуля. Иными словами, область вариации вектора микроускорения достаточно мала. Если еще учесть, что колебания микроускорения происходят весьма медленно – с орбитальной частотой, то в такой ситуации может оказаться эффективным применение специальных платформ, непрерывно ориентирующих какой-либо опытный образец (например, выращиваемый кристалл) вдоль вектора микроускорения.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ

УПРАВЛЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ОДНООСНУЮ СОЛНЕЧНУЮ

ОРИЕНТАЦИЮ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ

Основным недостатком всех рассмотренных выше режимов вращательного движения спутника является малый энергосъем с солнечных батарей при неудачном (и преобладающем во времени) положении орбиты ИСЗ относительно Солнца. Поскольку проведение научных экспериментов на борту спутника требует больших затрат электроэнергии имеет смысл рассмотреть режим одноосной солнечной ориентации в качестве одного из основных режимов вращательного движения ИСЗ, обеспечивающего максимальный приток электроэнергии. В этом режиме нормаль к светочувствительной стороне солнечных батарей спутника направлена на Солнце, угловая скорость ИСЗ вокруг этой нормали практически равна нулю. Стабилизация режима осуществляется гиросистемой. Рассматриваются два варианта закона управления ее кинетическим моментом. Первый вариант обеспечивает заданную точность ориентации и приемлемую длительность переходного процесса. Второй вариант дополнительно ограничивает рост накапливаемого кинетического момента гиросистемы за счет управления углом поворота спутника вокруг нормали к светочувствительной стороне солнечных батарей.

2.1. Закон управления гиростатическим моментом в режиме одноосной солнечной ориентации спутника. Рассмотрим систему уравнений (1.6).

Здесь члены с и p описывают гравитационный и аэродинамический моменты. Характерное время действия этих моментов на спутник должно быть существенно больше аналогичного времени для управляющего момента. По этой причине, анализируя управляющий момент, ограничимся рассмотрением движения спутника на коротких временных интервалах и далее положим в Управляющий момент возьмем в виде [22], [23] где – положительный параметр, si – компоненты орта s направления “Земля – Солнце”: s = (s1, s2, s3 ). Использование соотношений (2.1) подразумевает, что спутник оснащен датчиками, позволяющими выполнить все необходимые измерения для формирования величин mi. При численном моделировании ориентированного движения спутника, результаты которого описываются ниже, компоненты орта s в гринвичской системе координат рассчитывались по приближенным формулам [24].

Подстановка соотношений (2.1) в уравнения (1.6) приводит к уравнениям На коротких интервалах времени орт s можно считать неизменными в абсолютном пространстве. В таком случае компоненты si этого орта определяются уравнениями Система уравнений (2.2), (2.3) является замкнутой и может быть использована для исследования переходных процессов при стабилизации движения спутника. Эта система допускает асимптотически устойчивое стационарное решение Асимптотическая устойчивость следует из анализа соответствующей линеаризованной системы (напомним s2 = 1 s1 s3 ) При подходящем выборе значения > 0 возмущенное движение спутника в окрестности положения покоя (2.4) будет затухать с любой требуемой скоростью.

Более детальный анализ устойчивости режима одноосной солнечной ориентации можно провести в терминах вектора бесконечно малого поворота спутника. В окрестности ориентированного положения спутника имеют место соотношения которые согласованы с (2.3). Подстановка этих соотношений в (2.2) дает В решениях последней системы 1,3 0, 2 0 при t +, но условие 2 0 в общем случае не выполнено. Последний факт означает, что в данном случае предельное значение угла поворота спутника вокруг оси Ox 2 не определено, т. е. имеет место только одноосная ориентация.

Покажем, что выбранный закон изменения кинетического момента гиросистемы (2.1) действительно обеспечивает одноосную солнечную ориентацию спутника. С этой целью вычислим решение систем (В.5), (1.5), (2.1) при = 0.005 с 1. Начальные условия движения задаются следующим образом.

Пусть в момент t = 0 орты s и n ( n – орт вектора кинетического момента орбитального движения спутника) имеют в гринвичской системе координат компоненты s = (S1, S 2, S3 ), n = ( N1, N 2, N 3 ). Начальные условия для переменных b1i, b2i возьмем в виде Такие начальные условия соответствуют положению покоя (2.4), причем ось Ox1 лежит в плоскости орбиты. Начальные условия для переменных hi возьмем нулевые. Тогда начальные условия для переменных ki будут совпадать с начальными значениями компонент угловой скорости i. Последние выберем так, чтобы иметь возможность показать процесс гашения возмущенного движения, а именно положим Результаты расчетов движения спутника в режиме одноосной солнечной ориентации, а также результаты расчета микроускорений приведены на рис 2. – 2.3. Эти результаты представлены графиками зависимости от времени углов,. Показаны графики зависимости от времени угла, определяющего поворот спутника вокруг нормали к плоскости солнечных батарей (угол отсчитывается от плоскости орбиты спутника). На рисунках представлены также графики компонент угловой скорости i, микроускорения b = (b1, b2, b3 ) и гиi = 1,2,3).

указанной выше точке P. Графики построены на интервалах времени 6 суток.

Для каждого из графиков описывающих движение спутника отдельно показан переходной процесс, обусловленный ошибками в задании начальной угловой скорости. Такие графики охватывают отрезок времени, который примыкает к начальной точке t = 0 и имеет длину один орбитальный виток. Другие графики иллюстрируют движение спутника в установившемся режиме.

При реализации закона управления следует учитывать необходимость проведения разгрузок кинетического момента накопленного гиросистемой в процессе поддержания ориентации, что может существенно сократить время невозмущенного полета спутника. По этой причине целесообразно рассмотреть возможность использования закона управления, позволяющего не только обеспечить затухание возмущенного движения спутника в окрестности положения покоя с требуемой скоростью, но и дополнительно увеличить продолжительность отрезков полета спутника без проведения разгрузок гиросистемы.

2.2. Режим одноосной солнечной ориентации с ограничением роста кинетического момента спутника. Построим закон поддержания одноосной солнечной ориентации, обеспечивающий минимизацию роста полного кинетического момента вращательного движения спутника. Поскольку угловая скорость спутника в ориентированном положении практически равна нулю, этот закон фактически будет минимизировать рост собственного кинетического момента гиросистемы. Минимизация осуществляется за счет управления углом поворота спутника вокруг оси Ox2. Кинетический момент спутника в его движении относительно центра масс K = (K1, K 2, K 3 ) удовлетворяет уравнению Здесь M – вычисленный относительно центра масс главный момент внешних сил, приложенных к спутнику. Выделим в явном виде гравитационный момент – в данном случае он преобладает – и представим M следующим образом Здесь I = diag (I1, I 2, I 3 ) – тензор инерции спутника. Обозначим K = K. В силу последних соотношений Будем в каждый момент времени минимизировать выражение F = K r Ir.

Это замедлит рост K и, может быть, даже вызовет его уменьшение. Поскольку спутник должен оставаться в режиме солнечной ориентации, минимизация F возможна только за счет поворота спутника относительно оси Ox 2. Угол такого поворота будем отсчитывать от положения, в котором ось Ox1 лежит в плоскости орбиты под острым углом к r. Приближенное отслеживание минимума функции F ( ) в ориентированном полете можно реализовать как движение спутника вокруг оси Ox 2 в соответствии с уравнением где 1 и 2 – положительные параметры. Изменение должно быть быстрым – с характерным временем намного меньше орбитального периода. В этом движении e 2 ( e 2 – орт оси Ox 2 ), и изменение векторов K и r относительно системы Ox1 x2 x3 описывается приближенными уравнениями где символом d dt обозначена соответствующая локальная производная вектора. Найдем dF / d = F /. В силу последних уравнений имеем Преобразуем слагаемые, стоящие в фигурных скобках, с учетом следующих соотношений:

Теперь сложим преобразованные первый и второй члены в фигурных скобках.

Имеем Добавив к ним преобразованный третий член, получим Выписанное выше уравнение второго порядка относительно реализуется, если к корпусу спутника приложить управляющий момент ~ ( 2 F1 12 ) e 2, где 1 и 2 – положительные параметры. Этот закон управления должен накладываться на закон управления (2.1). В итоге получаем Покажем, что выбранные законы изменения кинетического момента гиросистемы (2.5) действительно обеспечивает одноосную солнечную ориентацию спутника с ограничением роста кинетического момента. С этой целью вычислим решение системы (В.5), (1.5), (2.5) при = 9, = 4 10 15 м 2 с 1.

Все начальные условия движения задаются таким же образом, как и для режима одноосной солнечной ориентации.

Результаты расчетов движения спутника для режима ограничения роста кинетического момента спутника приведены на рис. 2.4 – 2.9. Эти результаты представлены графиками зависимости от времени углов,,. На рисунках представлены также графики компонент угловой скорости i, микроускорения b = (b1, b2, b3 ) и гиростатического момента H i = I1hi (i = 1,2,3). Точность поддержания ориентации осталась прежней. Графики компонент микроускорения b1 и b2 практически не изменились, компонента b3 и модуль | b | незначительно возросли. Существенно изменилось только изменение собственного кинетического момента гиросистемы. Он остается ограниченным – его модуль в течение 6 суток не превосходит 15 Нмс.

На рис. 2.7 приведены графики компонент и модуля собственного кинетического момента спутника, полученные в результате использования двух законов управления. Первые 3 суток полета использовался закон управления, обеспечивающий затухание возмущенного движения спутника, последующие 3 суток – закон управления, ограничивающий рост накапливаемого кинетического момента гиросистемы. Результаты моделирования показывают, что оба закона управления реализуют режим одноосной солнечной ориентации, кроме того, использование закона управления (2.5) действительно позволяет уменьшать накапливаемый гиростатический момент спутника.

Эффективность нового закона управления зависит от угла = arcsin(s n).

В приведенных примерах (0) = 12.5°, функция (t ) убывает с почти постоянной скоростью и через 6 суток достигает значения 37°. Однако, если угол близок к нулю или превышает по модулю 80°, то эффективность нового закона управления заметно падает. Приведем два примера. Первый пример получен для начальных условий движения центра масс спутника в восходящем узле орбиты в момент 12:10:34 декретного московского времени 19.03.2007. На этот момент времени долгота восходящего узла составляла 6.8°. Второй – для начальных условий движения центра масс спутника в восходящем узле орбиты в момент 12:10:34 декретного московского времени 19.06.2007. На этот момент времени долгота восходящего узла составляла 186.8°. Остальные элементы орбиты на начальный момент времени и начальные условия вращательного движения задавались по-прежнему. На рис. 2.8, иллюстрирующем первый пример, приведены графики зависимости от времени углов,, и собственного кинетического момента гиросистемы, полученные с новым законом управления в случае, когда угол убывая менял знак. На интервале выполнения неравенства | (t ) |< 5° собственный кинетический момент гиросистемы заметно возрастал.

На рис. 2.9 приведены аналогичные графики, построенные для второго примера, в случае, когда угол достигает своего максимального значения 86.5°.

Полученные результаты показывают, что оба рассмотренных режима обеспечивают заданную точность ориентации спутника (< 3°) и весьма малый уровень квазистатических микроускорений на его борту, но область вариации вектора микроускорения получается относительно большой.

ГЛАВА 3. РЕАЛИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

СПУТНИКА С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ ДВИГАТЕЛЕЙ-МАХОВИКОВ.

В главах 1 и 2 рассматривалась идеализированная постановка задачи управления собственным кинетическим моментом гиросистемы, в том смысле, что законы управления были рассмотрены в терминах величин h и m. В данной главе в качестве гиросистемы поддерживающей заданную ориентацию спутника рассматривается система управляющих двигателей-маховиков.

3.1. Схема установки двигателей-маховиков. В действительности векторы h = (h1, h2, h3 ) и m = (m1, m2, m3 ) реализуются в виде суммы нескольких векторов, каждый из которых отвечает одному маховику. Предполагается, что на спутнике будет установлена система из четырех одинаковых маховика, оси вращения которых расположены параллельно боковым ребрам правильной четырехгранной пирамиды. Высота пирамиды параллельна оси Ox1, линии пересечения граней пирамиды с плоскостью Ox 2 x3 параллельны или перпендикулярны осям Ox 2, Ox3 (рис. 3.1). Углы и задают ориентацию пирамиды относительно системы координат Ox1 x2 x3. Здесь – угол между осью k -ого маховика и осью Ox1, – угол между проекцией k -ого маховика на плоскость Ox2 x3 и осью Ox3. Значения углов = 80.5° и = 45.5°. Подробнее выбор схемы установки маховиков и расчет значений углов и рассмотрены в главе 4.

Суммарный гиростатический момент системы маховиков, отнесенный к I1, выражается векторной формулой h = g1e1 + g 2 e 2 + g 3e 3 + g 4e 4, или набором скалярных формул где g k – отнесенное к I1 алгебраическое значение кинетического момента маховика с номером k, ek – орты осей маховиков в связанной системе координат, A – матрица установки двигателей-маховиков относительно связанной системы координат.

Соотношения (3.1) нельзя единственным образом разрешить относительно величин g k. Чтобы достичь единственности, потребуем, чтобы решение системы (3.1) относительно g k доставляло минимум выражению g1 + g 2 + g 3 + g 4. Тогда где A + – псевдообратная матрица для A, определяемая из уравнения A + = A T AA T [25]. Выписанные соотношения позволяют реализовать требуемый гиростатический момент системы маховиков, назначив определенное значение угловой скорости вращения ротора каждого маховика. Ниже соотношения (3.2) будем использовать для формирования управляющих воздействий, прилагаемых к маховикам.

3.2. Математическая модель двигателя-маховика. Несколько упрощенная, но достаточная для целей данной работы математическая модель двигателя-маховика описывается уравнениями [22] где k и ik – угловая скорость вращения ротора маховика с номером k и ток, подаваемый в обмотку этого двигателя-маховика, T – постоянная времени блока управления маховиком, K и K – коэффициенты, k – управляющий сигнал, подаваемый на блок управления k -го маховика, J – момент инерции ротора. В рамках этой модели g k = J k I1. Не ограничивая общности, примем, что управляющий сигнал имеет вид k = I1 [g k ]пр, где [g k ]пр – программное значение g k, требуемое для реализации нужного закона управления, и возьмем K = 1 K. Тогда Tg k + g k = [g k ]пр, т. е. в случае достаточно медленного изменения [g k ]пр имеем g k = [g k ]пр. Числовые значения принятой модели:

J = 0.037 кгм2, K = 0.0327 Нм/А, T = 0.1 с, предельно допустимые значения J k = ±18 Нмс.

С учетом уравнений (3.3) можно построить более реалистическую модель вращательного движения спутника, чем модель описанная в главе 1. По формулам (1.5) вычисляются величины hi (i = 1,2,3), которые назовем [ hk ]пр. Это – программные значения hi, необходимые для реализации нужного закона управления. По формулам (3.2) эти величины пересчитываются в величины g k (k = 1,2,3,4), которые выступают в роли упоминавшихся выше [g k ]пр. Далее, интегрируются уравнения Найденные в результате величины g k пересчитываются по формулам (3.1) в величины hi, которые затем используются в (В.5).

Иными словами, полная система дифференциальных уравнений вращательного движения спутника имеет вид (В.5), (3.3). Фазовыми переменными (k = 1,2,3,4). Величины hi выражаются через g k по формулам (3.1), величины i выражаются через k i и hi по соответствующим формулам (В.5). Величины [g k ]пр рассчитываются по формулам (3.2) и (1.5) с использованием фазовых переменных и найденных указанным способом величин hi, i.

главе 1 математическая модель вращательного движения ИСЗ является предварительной. В ней игнорируются несколько важных реальных факторов – наличие зон нечувствительности и дискретность реализации алгоритма управления. Последний из этих факторов учитывается следующим образом.

Шаг численного интегрирования уравнений (В.5), (3.4) берется равным длине t такта реализации алгоритма или меньшим этой длины в целое число раз.

Внутри такта величины [ g k ]пр считаются постоянными, обновление их значений происходит в начальной точке такта.

Для учета зон нечувствительности необходимо законы управления кинетическим моментом гиросистемы представить в несколько иной форме, чем они были описаны в главах 1, 2 [22]. Законы управления (1.13), (1.7), (2.1) и (2.5) представим в виде а закон управления (1.18) – в виде где pi, qi (i = 1,2,3) – параметры. Соотношения для вычисления величин qi будут приведены в данном разделе ниже для каждого закона управления. Значения pi вычисляются независимо от закона управления, по следующим правилам. Параметры pi принимают значения 0 или 1. Значения pi могут меняться независимо друг от друга в начальной точке каждого цикла работы алгоритма. В начальной точке очередного цикла алгоритма вычисляются величины qi.

Если pi = 0 и qi > q, то полагаем pi = 1. Если pi = 1 и qi < q, то полагаем pi = 0. В остальных случаях параметр pi не меняется (рис. 3.2).

В приводимых ниже расчетах принято t = 0.1 с, q = /180 = 0.0175, q = q 2, в начальный момент времени приняты значения g i = ui = 0, pi = 0.

Значения параметров qi (i = 1,2,3) вычисляются для каждого варианта закона управления по соответствующим зависимостям:

3.3.1. Орбитальная ориентация Результаты расчетов движения спутника, полученные в результате решения системы уравнений (В.5), (1.5), (3.4), (3.5), (3.7), а также результаты расчета микроускорений приведены на рис. 3.3 – 3.7.

3.3.2. Точная орбитальная ориентация Результаты расчетов движения спутника, полученные в результате решения системы уравнений (В.5), (1.5), (3.4), (3.5), (3.8), а также результаты расчета микроускорений приведены на рис. 3.8 – 3.12.

3.3.3. Полупассивная гравитационная ориентация Результаты расчетов движения спутника, полученные в результате решения системы уравнений (В.5), (1.5), (3.4), (3.6), (3.9), а также результаты расчета микроускорений приведены на рис. 3.13 – 3.17.

3.3.4. Одноосная солнечная ориентация Результаты расчетов движения спутника, полученные в результате решения системы уравнений (В.5), (1.5), (3.4), (3.5), (3.10), а также результаты расчета микроускорений приведены на рис. 3.18 – 3.21.

3.3.5. Режим ограничения роста кинетического момента Результаты расчетов движения спутника, полученные в результате решения системы уравнений (В.5), (1.5), (3.4), (3.5), (3.11), а также результаты расчета микроускорений приведены на рис. 3.22 – 3.25.

Начальные условия движения спутника и все числовые значения параметров модели для каждого из вариантов орбитальной ориентации задаются таким же образом как описано в главе 1. Для режимов одноосной солнечной ориентации начальные условия движения спутника и все числовые значения параметров модели задаются таким же образом как описано в главе 2.

Результаты моделирования представлены графиками зависимости от времени углов,,, задающих положение системы Ox1 x2 x3 относительно системы OX1 X 2 X 3 для режимов орбитальной ориентации спутника. Показаны графики зависимости от времени угла между ортом s и ортом Ox (нормаль к светочувствительной стороне солнечных батарей), а также угла между ортом s и плоскостью орбиты спутника. Для режимов одноосной солнечной ориентации дополнительно показаны графики зависимости от времени угла, определяющего поворот спутника вокруг нормали к плоскости солнечных батарей (угол отсчитывается от плоскости орбиты спутника). На рисунках представлены также графики компонент угловой скорости i, микроускорения b = (b1, b2, b3 ), гиростатического момента спутника H i = I1hi (i = 1,2,3) и величин Gk = I1 g k (k = 1,2,3,4). Последние представляют собой алгебраические значения кинетических моментов отдельных двигателей-маховиков. Микроускорение рассчитано в указанной выше точке P. Графики построены на интервалах времени 6 суток. Для каждого из графиков описывающих движение спутника отдельно показан переходной процесс, обусловленный ошибками в задании начальной угловой скорости.

Сравнение результатов, полученных с помощью идеализированных моделей, приведенных в главах 1, 2 и более реалистичной модели приведенной в данной главе показывает практически их полное совпадение в части описания движения спутника. В случае микроускорений ситуация несколько иная. Микроускорения, рассчитанные в рамках реалистичной модели, демонстрируют высокочастотные колебания, которых нет в результатах идеализированной модели. Эти колебания обусловлены дискретностью работы алгоритма поддержания ориентации. Однако амплитуда этих колебаний весьма мала ( 107 м/с2), и они не сказываются на общем весьма малом уровне микроускорений. Результаты моделирования показали, что все рассмотренные режимы обеспечивают весьма малый уровень квазистатических микроускорений на спутнике. В этих режимах в середине рабочего отсека микроускорения не превышают 105 м/с.

Из результатов моделирования следует также, что достаточно детальный учет функционирования системы управления ориентацией спутника не ухудшает оценки микроускорений, полученные в рамках идеализированной модели, также не ухудшается точность ориентации спутника в режимах одноосной солнечной ориентации.

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СИСТЕМ

УПРАВЛЕНИЯ ИСКУССТВЕННЫМ СПУТНИКОМ ЗЕМЛИ,

ПОСТРОЕННЫХ НА БАЗЕ ДВИГАТЕЛЕЙ-МАХОВИКОВ

4.1. Электромеханические исполнительные органы систем управления искусственными спутниками Земли. Электромеханические исполнительные органы систем управления искусственными спутниками Земли (гиросистема) предназначены для создания управляющих моментов. Во многих случаях, при создании длительно существующих спутников использованию гиросистемы в составе системы управления нет альтернативы [26]. В то же время электромеханические исполнительные органы являются одними из наиболее массивных и энергопотребляющих устройств, постоянно задействованных в процессе функционирования спутника. В связи с этим задачи выбора типа исполнительных органов в составе гиросистемы и оптимизации их характеристик являются актуальными.

Для больших спутников с высокими требованиями к динамике и точности ориентации и орбитальных станций целесообразность применения силовых гироскопических комплексов на основе силовых гироскопов с постоянным значением кинетического момента во многих случаях очевидна [27]. Для малых спутников выбор типа исполнительных органов является не тривиальной задачей. Гиросистемы используемые на малых спутниках могут быть построены на базе:

– силовых гироскопических комплексов различного типа, – управляющих двигателей–маховиков.

4.2. Построение области требуемых значений кинетического момента.

Между областями применения перечисленных выше устройств нельзя провести резких границ. Соответственно динамические требования к системе управления, включающей в свой состав электромеханические исполнительные органы, во многом определяются множеством требуемых значений кинетического момента H T. Множество H T является областью изменения в связанной со спутником системе координат значения вектора суммарного кинетического момента создаваемого гиросистемой. Изменение этого вектора в указанной области в соответствии с реализуемыми в системе законами должно обеспечивать требуемое управление параметрами движения относительно центра масс спутника.

Естественно множество H T должно содержаться внутри множества максимальных значений кинетического момента H C, создаваемых гиросистемой.

Таким образом, для всех вариантов построения гиросистемы должно быть обеспечено выполнение условия:

При выполнении условия (4.1) можно утверждать, что величина суммарного кинетического момента создаваемого системой электромеханических исполнительных органов, будет достаточна, для обеспечения требуемой угловой скорости вращения спутника.

Вектор полного кинетического момента спутника можно представить как:

Ox1 x2 x3 (см. п. В.3.), – вектор угловой скорости спутника, H – вектор суммарного кинетического момента создаваемого гиросистемой. При построении множества H T, необходимого для реализации эйлерова разворота, будем начальную угловую скорость спутника и накопленное значение кинетического момента считать равным нулю, а также будем пренебрегать накоплением кинетического момента от внешних сил за время поворота, тогда при любом допустимом направлении эйлеровой оси разворота мы имеем, что H = пр e, или спутника, пр – модуль требуемой (программной) угловой скорости поворота спутника относительно орта e. Откуда следует, что фигура множества H T представляет собой эллипсоид Построение области множества создаваемых гиросистемой значений кинетического момента H C задача более сложная. В зависимости от расположения электромеханических исполнительных органов относительно главных осей спутника, возможно подобрать форму области кинетического момента H C, наиболее соответствующую заданным моментам инерции спутника.

4.3. Область возможных значений кинетического момента. Рассмотрим систему двигателей-маховиков, оси которых расположены параллельно боk = 1,..., 4 ) ковым ребрам четырехгранной пирамиды (рис. 3.1) [28]. Орты ek осей маховиков имеют в системе координат Ox1 x2 x3 компоненты:

Здесь – угол между осью k –ого маховика и осью Ox1, – угол определяющий положение и форму основания пирамиды в плоскости Ox 2 x3. Углы и – параметры системы. Суммарный кинетический момент маховиков выражается формулой где g k – значение кинетического момента маховика с номером k. Маховики считаем одинаковыми. В этом случае g max g k g max ( k = 1,..., 4 ), где g max – абсолютная величина предельного значения кинетического момента отдельного маховика. Величина g max – еще один параметр системы. Скалярная запись векторного выражения (4.3):

Выражение (4.3) для краткости будем записывать в виде H = [ g1, g 2, g 3, g 4 ].

H = ( H1, H 2, H 3 ), указывая в круглых скобках его компоненты в системе координат Ox1 x2 x3. Не ограничивая общности, положим g max = 1 Н·м·с.

Рассмотрим область P пространства R 3 ( H1, H 2, H 3 ), заполняемую концами векторов (4.3) при g k 1. Эта область является областью возможных значений кинетического момента системы маховиков и представляет собой выпуклый многогранник, обладающий центральной симметрией относительно начала координат. Число вершин многогранника определяется соотношением n – число маховиков в системе. Таким образом, многогранник P имеет вершин, 12 граней и 24 ребра. Обозначим вершины многогранника Vi и Vi ( i = 1,...,7 ). При каждом i вершины Vi и Vi расположены центрально симметрично относительно точки O. Вершины характеризуются соотношениями:

Здесь в фигурных скобках указаны орты ребер, выходящих из каждой вершины.

В табл. 4.1 приведены значения координат вершин многогранника P в системе координат Ox1 x2 x3 при значении углов = 80.5° и = 45.5° (способ, применявшийся для определения значений углов и, описан в п. 4.5).

Грани многогранника обозначим Fi и Fi ( i = 1,...,6 ). При каждом i грани Fi и Fi расположены центрально симметрично относительно точки O.

Грани будем задавать списком принадлежащих им вершин:

1) F1 = {V1, V4, V7, V5}, 4) F2 = {V4, V6, V3, V7}, 5) F3 = {V1, V5, V6, V3}, 6) F3 = {V1, V5, V6, V3}, 7) F4 = {V5, V7, V2, V6 }, 8) F4 = {V5, V7, V2, V6}, 9) F5 = {V1, V3, V7, V2 }, 10) F5 = {V1, V3, V7, V2}, 11) F6 = {V2, V6, V4, V1}, 12) F6 = {V2, V6, V4, V1}.

На рис. 4.1. приведен общий вид многогранника P в системе координат Ox1 x2 x3, а также обозначены его вершины. На рис. 4.2 изображены проекции многогранника P на координатные плоскости системы Ox1 x2 x3.

Многогранник P допускает ряд преобразований симметрии. Он переходит в себя при повороте вокруг осей Oxi (i = 1,2,3) на угол кратный (в частном случае при значении угла = 4 = 45° многогранник P переходит в себя при повороте вокруг оси Ox1 на угол кратный 2 ). Координатные плоскости системы Ox1 x2 x3 являются его плоскостями симметрии.

Приведем некоторые метрические характеристики многогранника P. Все его ребра имеют длину 2. Следовательно, все грани – ромбы. Вершины V1 и V находятся на расстоянии d1 = 4 sin sin от начала координат – точки O, вершины V6 и V6 отстоят от этой точки на расстояние d 2 = 4 sin cos, а вершины V7 и V7 на расстояние d 3 = 4 cos. Расстояния до вершин V2, V3, V4, V5 и V2, V3, V4, V5 от точки O равны d 4 = 2. Соотношения между расстояниями d1, d 2, d 3 выражаются неравенствами, приведенными в табл. 4.2.

В табл. 4.3 указаны зависимости, позволяющие определить расстояние от начала координат O до каждой грани многогранника P.

4.4. Возможности системы при отключении одного из маховиков. Оценим возможности рассматриваемой системы в случае, когда один из маховиков отключен (вышел из строя). Без ограничения общности можно считать, что отключен маховик с осью, параллельной орту e 4. Суммарный кинетический момент такой усеченной системы выражается векторной формулой скалярная запись которой имеет вид Выражение (4.4) для краткости будем записывать в виде H = [ g1, g 2, g 3 ]. Здесь по–прежнему g max g k g max ( k = 1,...,3), g max = 1. Область пространства, заполняемая концами векторов (4.4) при g k 1, – область возможных значений кинетического момента системы маховиков – представляет собой параллелепипед P. Вершины этого параллелепипеда (всего их 8) обозначим Vi и Vi ( i = 1,...,4 ). При каждом i вершины Vi и Vi расположены центрально симметрично относительно точки O. Вершины характеризуются соотношениями:

Здесь в фигурных скобках указаны орты ребер, выходящих из каждой вершины.

В табл. 4.4 приведены значения координат вершин параллелепипеда P в системе координат Ox1 x2 x3 при значении углов = 80.5° и = 45.5° с учетом отказа одного маховика.

На рис. 4.3. приведен общий вид параллелепипеда P в системе координат Ox1 x2 x3, а также обозначены его вершины. На рис. 4.4 изображены проекции параллелепипеда P на координатные плоскости системы Ox1 x2 x3.

Как и всякий параллелепипед, P имеет 6 граней, которые обозначим Fi и Fi ( i = 1,2,3). При каждом i грани Fi и Fi расположены центрально симметрично относительно точки O. Грани будем задавать списком принадлежащих им вершин:

Приведем некоторые метрические характеристики многогранника P. Его ребра имеют длину 2. Следовательно, все грани – ромбы. Вершины V1 и V находятся на расстоянии d1 = 8 sin 2 sin 2 + 1 от начала координат – точки Расстояния до вершин V2 и V2 от точки O равны d 4 = 1. Соотношения между расстояниями d1, d 2, d3 выражаются неравенствами, приведенными в табл.

4.2.

В табл. 4.5 указаны зависимости, позволяющие определить расстояние от начала координат O до каждой грани параллелепипеда P.

Следует отметить, что в работе [29] приведены области вариации вектора суммарного кинетического момента для систем, состоящих из 3 и 4 двигателеймаховиков, которые полностью совпадают с областями построенными в п. 4.3 и 4.4 данной главы.

4.5. Расположение маховиков на искусственном спутнике Земли. Рассмотрим вопрос, как следует расположить описанную в п. 4.3 систему из четырех маховиков на ИСЗ и как лучше всего выбрать значения углов и, чтобы обеспечить достаточно широкие возможности управления угловой скоростью спутника.

Моменты инерции относительно главных центральных осей инерции спутника, т.е. осей Oxi обозначим соответственно I i (i = 1,2,3). Примем значения этих моментов равными: I1 = 2600 кг·м2, I 2 = 11100 кг·м2, I 3 = кг·м2. Поскольку система управления ориентацией спутника должна быть достаточно универсальной, естественно потребовать, чтобы максимальные абсолютные значения реализуемых ею угловых скоростей вращения вокруг каждой из осей Oxi были одинаковы. Предположим, что полный кинетический момент спутника – сумма кинетических моментов несущего тела и маховиков – равен нулю. Тогда имеют место соотношения:

Здесь i и H i – проекции абсолютной угловой скорости несущего тела и собственного кинетического момента системы маховиков на оси Oxi соответственно. Разрешая последние соотношения относительно угловых скоростей, получим Исходя из требуемого условия 1 = 2 = 3 и c учетом соотношений H1 = 4 cos, H 2 = 4 sin sin, H 3 = 4 sin cos определим значение углов = 45.5° и = 80.5°. Если по какой–либо оси реализуется отвечающее ей максимальное значение угловой скорости, то компоненты угловой скорости по двум другим осям равны нулю. Указанные максимальные значения компонент угловой скорости характеризуют предельные возможности системы маховиков для разворотов спутника вокруг его главных центральных осей инерции. При произвольном выборе направления вектора угловой скорости в системе Ox1 x2 x3 максимальное значение модуля этого вектора будет меньше. Область допустимых значений угловой скорости спутника представляет собой многогранник, получающийся из многогранника P преобразованием подобия, задаваемым формулами (4.5). Указанные выше предельные значения угловых скоростей реализуются на вершинах этого многогранника.

4.6. Анализ схемы установки системы двигателей-маховиков. Как было сказано в п. 4.2, для того, чтобы система маховиков обеспечивала требования к динамике спутника должно выполняться условие (4.1). Проще всего проверить выполнение условия (4.1) можно построив области H T и H C в одной системе координат и в едином масштабе. Поскольку при построении многогранника P используется условие g max = 1 Н·м·с, чтобы отобразить эллипсоид требуемых значений кинетического момента H T в системе координат Ox1 x2 x необходимо уравнение (4.2) преобразовать к виду:

где ai – полуоси эллипсоида, i max – максимальное значение угловой скорости.

Таким образом, зная требуемую угловую скорость программных разворотов спутника можно выбрать предельное значение кинетического момента маховиков (или наоборот, зная значение g max можно рассчитать i max ), исходя из условия (4.1).

В данной работе считаем, что на спутнике установлена система двигателей-маховиков в конфигурации «четырехгранная пирамида» (см. п. 4.3), все маховики в системе одинаковые и значение g max = 18 Н·м·с. Тогда, подобрав размера эллипсоида H T, как показано на рис. 4.5, определим значения: a1 = 0.465, a2 = 1.987, a3 = 1.951. С учетом уравнений (4.6) находим значение i max = 0.184 /c. На рис. 4.6 показан параллелепипед P, т.е. вид области H C в случае отказа одного из маховиков. В этом случае, если потребовать равенства значения угловых скоростей вращения спутника вокруг каждой из осей Oxi, то размеры эллипсоида H T необходимо уменьшить в два раза, как показано на рис.

4.7, т.е. a1 = 0.233, a2 = 0.993, a3 = 0.975 и, соответственно, i max =0.092 /c.

ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ ОСОБЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ СИСТЕМ БЕЗУПОРНЫХ ГИРОДИНОВ

5.1. Система уравнений, задающая особые поверхности. Рассмотрим спутник, представляющий собой твердое тело, на котором установлены n одинаковых гиродинов. Собственный кинетический момент k -ого гиродина обозначим k, k = > 0 ( k = 1,…, n; n 3). Для расчета суммарного кинетического момента гиродинов введем n + 1 правую декартову систему координат.

Система X 1 X 2 X 3, жестко связана с корпусом спутника, система X 1( k ) X 2k ) X 3 k ) связана с k -ым гиродином. Ось прецессии k -ого гиродина параллельна оси X 3 k ), вектор k его собственного кинетического момента направлен вдоль оси X 1( k ). Ориентацию системы координат X 1( k ) X 2k ) X 3 k ) относительно системы X1 X 2 X 3 зададим с помощью углов Эйлера k, k и k (рис. 5.1). Эти углы определяются следующим образом. Система X 1 X 2 X 3 может быть переведена в систему X 1( k ) X 2k ) X 3 k ) тремя последовательными поворотами (полагаем, что начала обе систем совпадают): 1) на угол k вокруг оси X 3, 2) на угол k вокруг новой оси X 1, 3) на угол k вокруг новой оси X 3, совпадающей с осью X 3 k ). Углы k и k задают ориентацию оси прецессии гиродина в системе X1 X 2 X 3. Угол k задает поворот оси X 1( k ) вокруг оси прецессии.

Суммарный кинетический момент системы гиродинов имеет вид Рассмотрим область P пространства R 3 ( H ), образованную точками (5.1) при всех значениях k. Эта область является областью возможных значений кинетического момента системы гиродинов. В процессе управления ориентацией спутника вектор (5.1) должен быть заданной функцией времени t : H = H (t ).

Управление будет невозможным, если H (t ) P при некоторых значениях t.

В скалярном виде соотношение (5.1) имеет вид [30] Поскольку величины k, k и Г неизменны, формулы (5.2) можно представить в виде Будем использовать и векторную форму записи соотношения (5.3): H = f ( ).

Функции (5.3) определяют преобразование пространства R n ( ) векторов = ( 1,…, n ) в трехмерное пространство R ( H) векторов H = ( H 1, H 2, H 3 ).

При этом почти всем значениям H соответствует бесконечное множество значений.

Матрица Якоби, составленная из частных производных функций (5.3) имеет размер 3 n. Здесь i = 1, 2, 3 – индекс строки, k = 1, …, n – индекс столбца. Значения = *, для которых называют особыми [30, 31]. В общем случае преобразование (5.3) не отображает окрестность точки * на полную окрестность точки H* = f ( * ), т.е. линейные вариации H = J ( * ), где H = H H *, = *, лежат в одной плоскости. Система гиродинов не способна обеспечить изменение H в направлении, перпендикулярном этой плоскости. Следовательно, происходит частичная потеря управляемости спутника.

Точку H* = f ( * ) будем называть особой точкой в пространстве R 3 ( H ). В общем случае такие точки образуют некоторые поверхности S * R (H) [31].

Плоскость, которой принадлежат вариации H в особой точке, является касательной плоскостью к поверхности S * в этой точке. Встречаются и вырожденные случаи, когда множества значений H * образуют не поверхности, а линии или изолированные точки. Очевидно, граница области P возможных значений H является одной из особых поверхностей. Эту поверхность обозначим S 0.

Для систем гиродинов типично существование поверхностей S *, расположенных внутри области P.

В силу условия (5.5) при особом значении = * существуют величины k (i = 1, 2, 3), удовлетворяющие соотношениям [32,33] Эти соотношения будем рассматривать как уравнения относительно неизвестных 1, 2, 3, 1, …, n, причем всюду будем считать, что rank J ( * ) = 2. Имеем n + 1 уравнение относительно n + 3 неизвестных. Таким образом, система уравнений (5.6) задает в пространстве R n ( ) некоторую двумерную поверхность S, образованную особыми значениями. Преобразование (5.3) переводит эту поверхность в особую поверхность S * в пространстве R ( H). Если S, то касательная плоскость к S * в точке f ( ) задается уравнением где = (1, 2, 3 ) – единичная нормаль к этой плоскости.

Чтобы получить представление о форме поверхности S * построим ее сечения плоскостями H i = H 0 (= const), где i – одно из чисел 1, 2, 3. Для этого систему уравнений (5.6) дополним уравнением f (1,…, n ) = H 0. И построим кривые, задаваемые получившейся системой:

Кривые (5.7) лежат в пространстве R n + 3 (, ), но можно рассматривать их проекции на пространстве R n ( ), а преобразование (5.3) позволяет отобразить эти проекции в пространство R 3 ( H ). Полученные в результате кривые представляют собой искомые сечения [32,33].

5.2. Типы особых точек. Различают особые точки двух типов – проходимые и непроходимые [30]. Напомним их определения. Предположим, что система гиродинов должна реализовать заданную гладкую функцию H (t ), причем H (0) – особая точка, отвечающая особому значению = * : H (0) = f ( * ). Если эта особая точка проходимая, то движение (t ), (0) = *, реализующее такую функцию существует, но в общем случае не является гладким. Если H(0) 0, то || (t ) || при t 0 (см. Приложение 2). Такое движение нельзя выполнить технически. Если ограничиться гладкими движениями (t ), (0) = *, то можно построить функцию H (t ) = f [ (t )], имеющую одинаковый годограф с исходной функцией H (t ), но удовлетворяющую условию H (0) = 0.

H (t ) = H (t ) всюду, за исключением малой окрестности точки t = 0. В случае непроходимой особой точки реализовать функцию H (t ) непрерывным движением (t ) таким, что (0) = *, нельзя. Очевидно, особая поверхность S 0 – граница области P – непроходима.

Определение типа особых точек требует исследования в этих точках второго дифференциала преобразования (5.3). Пусть H* = f ( * ) – особая точка в пространстве R (H ). Тогда при = * и некотором = (1, 2, 3 ) справедливы соотношения (5.6). Вектор представляет собой единичную нормаль касательной плоскости к особой поверхности S * в точке H *. Зададим два вектора образуют ортонормированный базис в R ( H). Рассмотрим главные члены компонент вариации H = H H * в этом базисе:

В силу (5.6) в правой части формулы (5.8) линейный по член отсутствуют.

Эта правая часть представляет собой квадратичную форму относительно.

Оказывается, в ряде случаев для определения типа особой точки достаточно найти экстремумы этой квадратичной формы при условии Иными словами, следует найти экстремумы функции = xT Ax при условии Матрица A – симметричная и имеет размер n n, матрица B имеет размер 2 n ( k = 1,…, n – индекс столбца), причем rank B = 2.

Чтобы найти условный экстремум функции воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. Необходимое условие экстремума сводится к системе уравнений где R 2, µ R1 - неопределенные множители. Умножим первое уравнение системы (5.9) слева на матрицу B, получим С учетом уравнения Bx = 0 можно записать Подставив полученное выражение в первое уравнение (5.9) будем иметь где En – единичная матрица порядка n. Рассмотрим собственные числа матрицы Она имеет порядок n. Поскольку BM = 0, rank M n 2, т. е. матрица M всегда имеет, по крайней мере, два нулевых собственных числа. Из результатов [31] следует, что если среди ненулевых собственных чисел M есть числа разных знаков, то особая точка проходима. Доказательство этого утверждения приведено в Приложении 2. Если же матрица M имеет n 2 ненулевых собственных числа одного знака, то исследуемая особая точка непроходима. Более детальная классификация особых точек содержится в [30, 31].

Для численного решения системы нелинейных уравнений (5.7) использовался метод продолжения по параметру, подробно описанный в работах [32,34,35].

5.3. Построение и анализ особых поверхностей. В качестве примера рассмотрим систему из шести гиродинов. Схема их представлена на рис. 5.2 и известна под названием 3-SPE (3 Scissored Pair Ensemble). В этой схеме каждой координатной оси X i параллельны оси прецессии двух гиродинов, при этом считаем, что угловое движение гиродинов относительно осей прецессии ничем не ограничено. Значения соответствующих углов k и k приведены в табл.

5.1, величины = 1 Н·м·с.

При расположении гиродинов по схеме 3-SPE поверхность S 0 обладает центральной симметрией относительно точки H = 0 и зеркальной симметрией относительно плоскостей H i = 0. В такой ситуации можно ограничиться исследованием сечений поверхности S 0 только плоскостями H 3 = const. На рис.

5.3 представлен общий вид поверхности S 0, а на рис. 5.4 – сечение поверхности S 0 плоскостью H 3 = 0. Поверхность S 0 схемы 3-SPE является выпуклой и гладкой.

Рассмотрим вид поверхности S 0 в случае, когда один из гиродинов отключен (вышел из строя). Без ограничения общности можно считать, что отключен гиродин 4. Поверхность S 0 в этом случае обладает центральной симметрией относительно точки H = 0 и осевой симметрией относительно прямой На рис. 5.5 представлен общий вид поверхности S 0, а на рис. 5.6 – сечение поверхности S 0 плоскостью H 3 = 0. Если число работающих гиродинов меньше 6, то на поверхности S 0 появляются вмятины (см. рис. 5.5 и 5.6), а внутри области P возникают непроходимые поверхности S * (см. рис. 5.7 – 5.10). На рис. 5.8, 5.10 в качестве примера показаны сечения особых поверхностей S 0 и S *, здесь на рисунках сечения непроходимых особых поверхностей показаны сплошными черными линиями, а проходимых – штриховыми красными линиями. Наличие вмятин на поверхности S 0 и непроходимых особых поверхностей внутри области P связано с отсутствием коллинеарной пары у отключенного гиродина.

Следует отметить, что в работах [36,37] приведены области вариации вектора суммарного кинетического момента для системы гиродинов 3-SPE, которые полностью совпадают с областями построенными в п. 5.3 данной главы.

5.4. Анализ схемы установки системы гиродинов. Как было сказано в п. 4.2, для того, чтобы система электромеханических исполнительных органов обеспечивала требования к динамике спутника должно выполняться условие (4.1). Таким образом, повторяя рассуждения, приведенные в п. 4.4 построим области H T и H C в одной системе координат и в едином масштабе. На рис.

5.11, 5.12 показано взаимное расположение эллипсоида требуемых значений кинетического момента ( H T ) и области вариации кинетического момента, создаваемого системой из 6 гиродинов, при значениях: a1 = 0.936, a2 = 3.999, a3 = 3.927. Из уравнения (4.15) получим, что для обеспечения угловой скорости вращения спутника i max = 0.184 /c, достаточно чтобы каждый из 6 гиродинов системы имел собственный кинетический момент равный 9 Н·м·с. На рис. 5.13, 5.14 показано взаимное расположение эллипсоида H T и области вариации кинетического момента, создаваемого системой из 5 гиродинов. В этом случае, если потребовать равенства значения угловых скоростей вращения спутника вокруг каждой из осей Oxi (i = 1,2,3), то размеры эллипсоида H T необходимо уменьшить, как показано на рис. 5.15, 5.16: a1 = 0.702, a2 = 2.999, a3 = 2.946 и, соответственно, i max = 0.139 /c.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты работы. Получены оценки квазистатических микроускорений на искусственном спутнике Земли, предназначенном для проведения космических экспериментов в области микрогравитации. Исследованы два режима вращательного движения спутника, поддержание которых обеспечивается электромеханическими исполнительными органами – двигателямимаховиками или гиродинами. Первый режим – трехосная орбитальная ориентация: продольная ось спутника направлена вдоль местной вертикали, солнечные батареи лежат в плоскости орбиты. Изучены различные варианты реализации этого режима, причем один из них – без насыщения гиросистемы. Режим обеспечивает малый уровень квазистатических микроускорений на борту и малую область вариации вектора остаточного микроускорения.

Второй режим – одноосная солнечная ориентация: нормаль к плоскости солнечных батарей спутника неизменно направлена на Солнце, абсолютная угловая скорость спутника практически равна нулю. Рассмотрены два варианта закона управления собственным кинетическим моментом гиросистемы. Первый вариант обеспечивает только затухание возмущенного движения спутника в окрестности положения покоя с требуемой скоростью. Второй вариант дополнительно ограничивает рост накапливаемого кинетического момента гиросистемы за счет управления углом поворота спутника вокруг нормали к плоскости солнечных батарей. Оба варианта закона управления поддерживают режим одноосной ориентации с требуемой точностью и обеспечивают малый уровень квазистатических микроускорений на борту.

Исследование обоих режимов проведено с учетом дискретности работы БЦВМ и наличия зон нечувствительности в датчиках системы управления.

Решен ряд задач выбора конфигурации и анализа динамических возможностей применяемых систем двигателей-маховиков и гиродинов.

ПРИЛОЖЕНИЯ

П.1. Орбитальная стабилизация спутника. Спутник будем считать гиростатом. Собственный кинетический момент гиросистемы может меняться произвольным образом, но положение центра масс спутника относительно несущего тела и тензор инерции спутника в жестко связанной с несущим телом системе координат при этом остаются неизменными. Пусть спутник движется по неизменной круговой орбите вокруг притягивающего центра. Рассмотрим задачу стабилизации такого спутника в орбитальной системе координат OX1 X 2 X 3 (см. п. 1.2) в положении, в котором ось Ox1 совпадает с осью OX, а ось Ox2 – с осью OX 2. Из внешних моментов, действующих на спутник, будем учитывать только гравитационный.

Пусть n и e r – орты осей OX 2 и OX 3 соответственно. Изменение этих ортов в системе координат Ox1 x2 x3 описывается уравнениями Здесь 0 – орбитальная частота. Теорема об изменении полного кинетического момента спутника в его движении относительно центра масс имеет вид Здесь H – собственный кинетический момент гиросистемы, – угловая скорость несущего тела, точка над буквой означает дифференцирование по времени t, причем дифференцирование векторов выполняется по отношению к системе координат Ox1 x2 x3, жестко связанной с несущим телом и имеющей начало в центре масс ИСЗ, – тензор инерции спутника в этой системе координат.

Закон изменения собственного кинетического момента гиросистемы возьмем в виде Здесь M c – момент, действующий на несущее тело со стороны гиросистемы.

Подставим соотношение (П1.3) в уравнение (П1.2). Получим Построим функцию M c = M c (, n, e r ) таким образом, чтобы система (П1.1), (П1.4) имела асимптотически устойчивое стационарное решение Здесь e i – орты осей Oxi. Построение выполним в два этапа. На первом этапе найдем потенциальный момент M c, такой, что система (П1.1), (П1.4) имеет устойчивые стационарные решения (П1.5). На втором этапе к найденному M c добавим диссипативный момент ~ 0n.

Задача первого этапа решается построением силовой функции U, имеющей строгий максимум при n = e 2, er = e1 (ср. с известной теоремой Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной механической системы). В качестве такой функции возьмем U = l ( er e1 ) + m ( n e 2 ), где l и m – положительные коэффициенты. В этом случае Положим теперь где D – симметричный положительно определенный тензор второго порядка.

Проверим правильность такого выбора. Положим Уравнения (П1.1), (П1.4) и (П1.6) допускают стационарные решения (П1.5) и первый интеграл Используя этот интеграл в качестве функции Ляпунова, можно доказать, что стационарные решения (П1.5) устойчивы. Уравнение (П1.4), (П1.7) можно записать в виде для производной функции E по времени в силу системы (П1.1), (П1.8) будет иметь место формула Стационарные решения системы (П1.1), (П1.8) описывают покой ИСЗ в орбитальной системе координат и определяются уравнениями При этом = 0n. Соотношения (П1.5) задают решения выписанных уравнений в том и только в том случае, когда в системе координат Ox1 x2 x3 тензор имеет диагональный вид. Иными словами, оси Oxi являются главными центральными осями инерции спутника. На практике это условие может выполняться лишь приближенно, но зато всегда можно обеспечить выполнение соотношений l >> 0 tr, m >> 0 tr. В силу этих соотношений система (П1.1), (П1.8) допускает стационарное решение, близкое (П1.5). Используя E в качестве функции Ляпунова и теорему Барбашина – Красовского [38], можно доказать, что это решение асимптотически устойчиво.

Результаты проделанного анализа практически не изменятся, если момент (П1.7) заменить моментом где J – симметричный положительно определенный тензор второго порядка, постоянный в системе координат Ox1 x2 x3. Главная часть уравнения (П1.4), (П1.9), линеаризованного в окрестности стационарного решения (П1.5) (сначала проводим линеаризацию, затем в получившихся уравнениях полагаем 0 = 0 ), после замены обозначений J 1, J 1D D перейдет в главную часть линеаризованного уравнения (П1.4), (П1.7). В случае J =, l = m = 2, D = 2 diag (1,1, 2 ) формула (П1.9) задает момент M c в виде (1.13). Такая модификация момента M c позволяет максимизировать скорость затухания переходного процесса, вызванного ошибками выставки начальных условий ориентированного движения.

П.2. Проходимые особые точки особых поверхностей систем гиродинов. Докажем достаточное условие проходимости особой точки, сформулированное в главе 5. Пусть H* = f ( * ) – особая точка и составленная для нее система (5.2) допускает два решения, в одном из которых µ < 0, а в другом µ > 0.

x = ( G1,…, Gn )T, µ = µ G. Имеют место соотношения Пусть через особую точку H* = ( H1, H 2, H 3 ) проходит кривая Покажем, как ее можно реализовать в виде H i (t ) = f i [ (t )], (0) = *. Рассмотрим компоненты вектора = H (t ) H * в базисе,, (см. п. 5.2) С другой стороны, используя разложение функций fi ( ) в ряд Тейлора в окрестности особой точки, запишем В первом выражении (П2.4) в силу условий (5.6) отсутствуют члены первой степени относительно k.

Пусть для определенности > 0. Главные члены кривой (t ) в окрестности точки t = 0 ищем в виде где Ck и Dk – не определенные пока коэффициенты. В силу (П2.1) и (П2.2) подкоренные выражения в (П2.5) положительны. Подставим формулы (П2.5) в первое выражение (П2.4). Получим.

Таким образом, функция h (t ) имеет требуемый вид. Подстановка формул (П2.5) во второе выражение (П2.4) дает Оба множителя при t здесь должны быть равны. Это приводит к уравнениям относительно Ck и Dk :

Рассмотрев аналогичным образом h, получим еще два уравнения Системы (П2.6), (П2.8) и (П2.7), (П2.9) разрешимы и определяют коэффициенты Ck и Dk соответственно, но не единственным образом. По этой причине построенная кривая (t ) не единственна. Ее недостаток – производные (t ) не ограничены при t 0. Преодолеть этот недостаток можно взяв, например, где коэффициенты Ck и Dk имеют указанный выше вид. Тогда вместо (П2.3) получим H i ( t ) = H i* + H i t | t | +o( t 2 ), что приводит к соотношению H(0) = 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Сазонов В.В., Комаров М.М., Полежаев В.И. и др. Микроускорения на орбитальной станции "Мир" и оперативный анализ гравитационной чувствительности конвективных процессов тепломассопереноса // Космические исследования. 1999. Т. 37. №1. С. 86-101.

Земсков В.С., Раухман М.Р., Шалимов В.П. Гравитационная чувствительность растворов-расплавов при кристаллизации двухфазных сплавов InSbInBi в космических условиях // Космические исследования. 2001. Т. 39.

№4. С. 384-389.