«КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СКРЫТНОСТИ ПЭВМ ...»

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

На правах рукописи

ДАНЕЕВ Роман Алексеевич

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ

СКРЫТНОСТИ ПЭВМ

05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

доктор технических наук, доцент В.Н. Сизых Иркутск – ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЙ И ПРИЕМОВ В

АПОСТЕРИОРНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ СЛОЖНЫХ ИНФОРМАЦИОННОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1.1. Электромагнитные каналы утечки информации

1.2. Регрессионное моделирование сложных систем в кибернетической парадигме идентификации уравнений «черного ящика»

1.3. Информационные технологии в моделировании

1.4. Математические предпосылки элементов геометрического языкаматричного и тензорного моделирования когнитивных систем................ 1.5. Выводы и концептуальная схема многофакторной оптимизации параметров сложного физико-технического процесса

ГЛАВА 2. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЗАЩИТЫ ПЭВМ

МЕТОДОМ РЕГРЕССИОННО-ТЕНЗОРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЕЁ

ПРОСТРАНСТВЕННО-УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИИ

2.1. Постановка задачи оптимального размещения ЭИИ

2.2. Существование векторной регрессии в тензорных классах TMJ, JK. 2.3. Идентификация модели трилинейной регрессии

2.4. Оптимальное размещение ЭИИ на базе билинейной модели............. 2.5. Экстремальные свойства трилинейной формы регрессии ЭИИ......... 2.6. Выводы

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

КООРДИНАТ ИСТОЧНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ ПОЛЯ ИЗ РАСЧЕТА

МИНИМИЗАЦИИ СИГНАЛА СКАНИРОВАНИЯ ЕГО НАПРЯЖЕННОСТИ

3.1. Модель напряженности изотропного электростатического поля....... 3.2. Общие положения в проектировании программной среды для решения задачи выбора места оптимальной защиты ПЭВМ

3.3. Программный комплекс «ОРИЭП».

3.4. Натурный эксперимента по определению электромагнитного излучения…………………………………………………………………………. 3.5. Численное моделирование оптимальных координат установки ПЭВМ внутри связного геометрического контура

3.6. Численное моделирование оптимального размещения ПЭВМ внутри квазифрактального геометрического объекта типа поверхности «ковра Серпинского»

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ A

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. В связи с высокими темпами роста парка электронно-вычислительной технике, находящейся в эксплуатации, постоянно возрастающим в соответствии с экспоненциальным законом объемом информации, расширением областей использования средств информатизации, высокой степенью концентрации информации в центрах ее обработки, количественным и качественным совершенствованием способов доступа пользователя к ресурсам вычислительной техники, усложнением вычислительного процесса на ЭВМ возникает необходимость в изучении вопросов обеспечения информационной безопасности. В современном обществе к вопросам защиты информации уделяется все большее внимание и вследствие участившихся случаев несанкционированного доступа к е конфиденциальным каналам. Кроме того, возрастает потребность в аттестации испытаний средств вычислительной техники с целью выявления технических источников утечки защищенных данных. Утечка конфиденциальной информации от средств вычислительной техники может происходить по таким каналам, как побочные электромагнитные излучения от объектов информатизации и линий связи, наводок опасного сигнала на линии связи, цепи заземления и электропитания. Эти вопросы рассматривались в работах Белкина П.Ю., Беляева А.В., Девянина П.Н., Михальского О.О., Правикова Д.И., Першакова А.С., Платонова В.В., Тарасюка М.В., Щербакова А.Ю. и др.

Актуальность работы обусловлена и тем, что обеспечение безопасности информации – процесс непрерывный, то есть происходит в условиях постоянно изменяющейся обстановки в сфере современных информационных технологий, в условиях появления все новых угроз конфиденциальности информации, а также новых технических и программных средств, предназначенных для реализации этих угроз. Для решения этих проблем необходим постоянный контроль надежности систем защиты и поиск и разработка новых и эффективных математических методов и алгоритмов исследования задач по защите информации, а также разработка соответствующего программного обеспечения. Подобные мотивации делают актуальной задачу разработки автоматизированных процессов нормативных технических испытаний каналов передачи информации на базе выявления и нейтрализации побочных наводок электромагнитных излучений за счет определения оптимальной геометрической конфигурации технических компонент данных каналов с целью несанкционированного сканирования.

автоматизированных процессов нормативных технических испытаний каналов передачи информации на базе выявления и нейтрализации побочных наводок электромагнитных излучений за счет определения оптимальной геометрической конфигурации технических компонент данных каналов с целью несанкционированного сканирования. В настоящей работе в качестве основного инструмента математического моделирования процесса обеспечения электромагнитной скрытности источников побочных излучений выступает регрессионный анализ, но в отличие от большинства современных постановок привлекается аппарат нелинейного тензорно-регрессионного анализа, что, в конечном итоге, позволяет находить нетривиальные экстремальные решения.

Представленные выше соображения указывают на высокую актуальность настоящей работы.

Объектом исследования является технологический процесс обеспечения электромагнитной скрытности ПЭВМ и технических каналов передачи конфиденциальных данных.

Предмет исследования – методы анализа данных, вычислительные методы, средства разработки информационно-программных комплексов.

Целью работы являлось разработка качественной компьютерной модели, описывающей автоматизированный процесс обеспечения электромагнитной скрытности (ЭМ-скрытности) распределенных средств вычислительной техники для их защиты от утечки конфиденциальной информации.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные научно-прикладные задачи:

1. Разработать многомерную нелинейную компьютерную регрессионнотензорную модель типа «входвыход», описывающую процесс измерения интенсивности источника электромагнитного излучения (ИЭМИ), проводимом в заданном комплексе точек сканирования сигнала в зависимости от координат его пространственно-угловой ориентации.

2. Построить алгоритм параметрической идентификации регрессионнотензорной модели, описывающей пеленгацию ИЭМИ в фиксированных точках несанкционированного сканирования.

3. Разработать прямой и итерационный алгоритм автоматизированного поиска пространственно-углового положения ИЭМИ, основанные на минимизации интенсивности пеленгуемого сигнала ИЭМИ в потенциальном комплексе точек несанкционированного сканирования.

пространственного размещения ИЭМИ для обеспечения его ЭМ-скрытности в варианте трехвалентной регрессионно-тензорной модели функционирование ИЭМИ.

5. Создать программно-алгоритмический комплекс решения задачи многокритериальной экспериментальной идентификации векторно-матричной нелинейной регрессионной регрессии оценки интенсивности сигнала ИЭМИ и оптимизации размещения ИЭМИ в заданной области с учетом минимальной пеленгации сигнала в фиксированном комплексе точек сканирования.

Методы исследования. Поставленные в диссертации задачи решались на основе применения методов линейной и тензорной алгебры, многомерного нелинейного регрессионного анализа, теории нелинейной оптимизации, автоматизированного проектирования и тестирования объектноориентированного распределенного и компонентного программирования.

Новизну работы составляют следующие результаты:

1. Многомерная нелинейная регрессионно-тензорная модель (МНРТМ), описывающая процесс динамики интенсивности электромагнитного излучения в заданном комплексе точек сканирования сигнала ИЭМИ в зависимости от координат его пространственно-угловой ориентации.

2. Помехозащищенный алгоритм параметрической идентификации трехвалентной регрессионно-тензорной модели с минимальной тензорной нормой, описывающей интенсивность поля ИЭМИ в фиксированном комплексе точек несанкционированного сканирования.

трехвалентной модели) алгоритмы автоматизированного поиска пространственно-углового положения ИЭМИ, основанный на минимизации интенсивности поля ИЭМИ в комплексе точек несанкционированного сканирования.

4. Разработано алгоритмическое, информационное и программное обеспечение процесса идентификации регрессионной модели интенсивности сигнала ИЭМИ и вычисления оптимальных координат его ориентации.

Практическая значимость работы. Применение разработанных в диссертации алгоритмов идентификации моделей, вычислительных схем оптимизации и программного комплекса позволяет повысить скорость и эффективность проведения аттестационных испытаний вычислительной техники по каналам побочных ИЭМИ, обрабатывающих конфиденциальную информацию, повысить оперативную ЭМ-скрытность данных каналов.

Материалы диссертации используются в учебном процессе в Иркутском государственном университете путей сообщения и Восточно-Сибирском институте МВД России.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на Международном форуме по проблемам науки, техники и образования (Москва, 2009 г.), V Международном симпозиуме «Обобщенные решения в проблемах управления» (Улан-Батор, 2009 г.), Всероссийских научно-практических конференциях с международным участием «Транспортная инфраструктура Сибирского региона» (Иркутск, 2011 – 2014 г.), Международной научно-практической конференции «Безопасность III регионов – основа устойчивого развития» (Иркутск, 2012 г.), на семинарах в ИрГУПС.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе пять статей в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 185 наименований. Основной текст диссертации составляет 127 страниц машинописного текста, включает 6 таблиц и 23 рисунков.

ГЛАВА 1. ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЙ И

ПРИЕМОВ В АПОСТЕРИОРНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

СЛОЖНЫХ ИНФОРМАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

1.1. Электромагнитные каналы утечки информации

Защита информации должна обеспечиваться на всех технологических этапах ее обработки. При этом средства защиты не должны заметно ухудшать основные параметры средств вычислительной техники, таких как быстродействие и надежность. Помещения, в которых предполагается обеспечиваться аппаратурой противодействия несанкционированному доступу.

Специалисты [16, 42, 79] отмечают, что существует значительное число технических каналов утечки защищенных данных, под которыми понимаются источники иформации, линии связи (физической среды), по которой распространяется информационный сигнал, шумы, препятсвующие передаче сигнала в линии связи, и технические средства перехвата информации.

Например, электромагнитные излучения при работе средств вычислительной техники и других технических средств обработки данных могут быть перехвачены и декодированы. Несанкционированным проникновением является подключение к линиям связи и перехват с них электромагнитных излучений. Технические каналы утечки информации в зависимости от физической природы информационных сигналов, среды их распространения и способов перехвата подразделяются на электромагнитные, электрические, параметрические и вибрационные.

Техническими средствами приема информации (ТСПИ), ее обработки, хранения и передачи является оборудование, непосредственно обрабатывающие информацию ограниченного доступа. Кроме ТСПИ в помещениях обычно имеются вспомогательные технические средства и системы (ВТСС), которые не участвуют в обработке конфиденциальной информации, но могут находиться в зоне электромагнитного поля, громкоговорящей связи, системы кондициониования, пожарная и охранная сигнализация, электробытовые приборы и т.д.

В технических средствах приема информации ее носителем является электрический ток, амплитуда, частота и фаза которого изменяются в соответствии с законом изменения информационного сигнала. Так как при протекании электрического тока по элементам ТСПИ возникают электрические и магнитние поля, то эти элементы рассматриваются как излучатели электромагнитного поля, несущего информацию.

Электромагнитные каналы утечки информации возникают за счет побочных электромагнитных излучений (ПЭМИ), которые являются паразитными электромагнитными излучениями, создаваемые устройствами, которые для этого специально не предназначены [106, 121, 140]. Сканирование ПЭМИ ТСПИ может происходить с использованием средств радиотехнической разведки, размещенных вне контролируемой зоны. Спектр ПЭМИ средств вычислительной техники представляет собой совокупность гармонических составляющих в диапазоне частот от единиц килогерц до гигагерц и выше и определяется тактовой частотой средства вычислительной техники обработки информации. Причем спектр излучений включает как неинформативные, так и потенциально информативные излучения. Последние порождаются протеканием токов в цепях, по которым передаются сигналы, содержащие конфиденциальную информацию. Например, от монитора сканирование информации возможно на частотах до 50 гармоник тактовой частоты, причем уровень излучения может достигать в ближней зоне величины до десятков дБ и позволять принмать сигналы на удалении до нескольких сотен метров.

В ПЭВМ потенциально-информативные излучения формируются по цепям, по которым передаются сигналы от контроллера клавиатуры к порту ввода-вывода на материнской плате, видеосигналы по цепи от видеоадаптера до электродов ЭЛТ монитора, от системной шины ПК, шины данных внутри микропроцессора и др. Поэтому при выявлении технических каналов утечки информации средства вычислительной техники рассматриваются как система, включающая основное оборудование, оконечные устройства, все соединительные линии, блоки электропитания, оборудование заземления.

Важной является задача калибровки электромагнитной системы относительного позиционирования [62]. В этой работе приведены алгоритмы каибровки электромагнитной системы относительного позиционирования, позволяющие повысить точность определения параметров взаимного расположения источника приемника переменного поля.

Для того, чтобы минимизировать возможность утечки информации по каналам ПЭМИ можно установить электромагнитное экранирование средств вычислительной техники и помещений, в которых расположена объекты информатизации, фильтрацию, заземление, ослабление электромагнитных излучений резистивными и поглощающими согласованными нагрузками, радиотехническую маскировку ПЭМИ, представляющую из себя источник излучения широкополосного шумового сигнала, с уровнем, превышающим ПЭМИ [16]. Электромагнитное экранирование требует значительных затрат и постоянного контроля эффективности экранирования. Поэтому важным инструментом исследования проблем защиты информации, как и других сложных технических задач, является математическое моделирование, в арсенале методов последнего наиболее мощным представляется регрессионный анализ.

1.2. Регрессионное моделирование сложных систем в кибернетической парадигме идентификации уравнений «черного ящика»

Как правило, все регрессионные модели разделяют на три класса:

1. Параметрические модели;

2. Непараметрические модели;

3. Полупараметрические модели.

Наиболее распространен первый класс моделей, так как результаты моделирования здесь можно представить в виде удобных аналитических выражений и такие модели статистически эффективны.

К основным проблемам регрессионного анализа относится структурная спецификация модели, то есть выбор состава переменных в модели регрессии и зависимости между ними. В настоящее время известны эвристические процедуры, такие, как процедуры полного перебора, методы включения, исключения, пошаговая процедура и другие. В работах профессора С.И.

Носкова и его учеников [13, 50, 85, 100] разработана технология организации «конкурса» регрессионных моделей, которая позволяет строить хорошо интерпретируемые модели, которые соответствуют «физическому» смыслу заданных факторов. В этой технологии также возможно использование в процессе моделирования многокритериального подхода, в развитие которого внести большой вклад работы С.Н. Васильева, Э.И. Вилкаса, Л. Гурвича, М.

Зелени, Н.М. Макарова, С.И. Носкова, В.Д. Ногина, В.В. Подиновского Я.Н.

Ройтенберга, К. Эрроу, и других.

В настоящее время для статистической идентификации сложных объектов широко используются регрессионные модели, построенные по методу наименьших квадратов (МНК) [18, 44, 141]. Необходимые условия построения регрессионных моделей по МНК состоят в выполнении следующих гипотез:

нормальное распределение случайных значений отклика в точках плана эксперимента;

независимость результатов опытов эксперимента;

однородность выборочных дисперсий опытов, определяющих точность эксперимента.

Главная особенность регрессионных моделей, построенных по МНК, существование коррелированных оценок параметров (коэффициентов регрессии) моделей. Значительные трудности возникают при построении регрессионных моделей, нелинейных относительно неизвестных параметров.

При небольшом числе статистических данных и неизвестной структуре полиномиальных моделей (РПМ) достаточно трудной становится задача построения наилучшей регрессионной модели.

В этих условиях более эффективными являются методы построения РПМ, основанные на интервальной оценке значений отклика в точках плана эксперимента [24].

Для построения адекватных РПМ необходимо:

определить структуру РПМ (степенные функции);

координат (ДСК) коэффициентов регрессии (КР) определить наилучшие значения КР.

коэффициентов регрессии. Построение регрессионных моделей состоит из двух основных этапов. На первом этапе определяется оптимальная структура моделей по методу компромиссных значений функции отклика. На втором этапе определяется область нахождения оптимальных решений, являющаяся интервальной оценкой истинных значений коэффициентов регрессии. Данная область используется для интервальной оценки точности регрессионных моделей и для определения наилучших значений коэффициентов регрессии.

При точном выборе структуры РПМ в ДСК коэффициентов регрессии соответствует множество (область) значений вектора КР в виде выпуклого многогранника. Данная область называется областью нахождения оптимальных решений (НОР) [125] по построению РПМ (областью НОР РПМ).

Область НОР РПМ содержит множество (область) допустимых значений вектора коэффициентов регрессии и является интервальной оценкой истинного значения вектора КР. В работе [24] область НОР РПМ называется областью возможных значений параметров адекватной модели объекта.

При изменении структуры РПМ (степенных функций) величина области НОР РПМ меняется. Необходимо построить РПМ, для которой область НОР является минимальной, что означает наиболее точную интервальную оценку истинного значения вектора коэффициентов регрессии.

Регрессионные полиномиальные модели являются основными моделями, используемыми для статистической идентификации сложных объектов. Для построения РПМ второго и третьего порядка разработаны методы многофакторного планирования регрессионного эксперимента [138,126].

Метод статистической многоцелевой оптимизации [180,127] основан на построении области возможных значений вектора целевых функций (ФО – функций отклика), соответствующих значениям вектора факторов в области допустимых значений факторов (ДЗФ). Метод позволяет без традиционно используемого поиска значений факторов в области ДЗФ произвести точную оценку выполнения интервальных условий. Данный метод может быть использован для поиска эффективных степенных функций - точного определения структуры адекватных РПМ без определения наилучших значений коэффициентов регрессии, соответствующих эффективным степенным функциям.

Для функций отклика, аппроксимируемых полиномиальными моделями, область возможных значений показателей (ВЗП) ФО в ДСК представляет выпуклый многогранник, грани которого треугольники. Число вершин многогранника равно удвоенному числу точек плана эксперимента.

Для регрессионных моделей (функций отклика), нелинейных по параметрам, область ВЗП ФО является более сложной. Поверхность, ограничивающая данную область ВЗП ФО, - криволинейная.

Для построения области ВЗП ФО в виде выпуклого многогранника достаточно определить координаты его вершин. Находят минимальные и максимальные значения условных показателей ФО:

Yumin = min F(Xu,B)=F(Xu,Bopt{Yumin}), u=1,…,N, B П{B}, (1.1) Yumax = max F(Xu,B) =F(Xu,Bopt{Yumax}), u=1,…,N, B П{B}, (1.2) где Bopt{Yumin}, Bopt{Yumax}) - значения вектора коэффициентов регрессии, при которых достигаются минимальные и максимальные значения условных показателей функции отклика.

Координаты вершин многогранника определяют путем нахождения значений всех условных показателей ФО при значениях вектора коэффициентов регрессии, найденных согласно условий (1.1), (1.2).

Точки, располагаемые в ДСК условных показателей ФО, являющиеся координатами вершин многогранника, называются главными граничными точками (ГТ) области ВЗП ФО.

Уточнение структуры модели производится путем целенаправленного выбора эффективных степенных функций из исходных степенных функций.

Изменение структуры модели определяет необходимость корректировки области исходных значений коэффициентов регрессии.

Главная особенность интервального построения регрессионных моделей по методу компромиссных значений функции отклика - независимое варьирование коэффициентов регрессии при построении области исходных значений КР и при построении области возможных значений условных показателей функции отклика. Это позволяет повысить эффективность построения наилучших регрессионных моделей как линейных так и нелинейных по параметрам.

Взаимосвязь области компромиссных значений функции отклика с областью нахождения оптимальных решений по определению наилучшей регрессионной модели позволяет произвести начальную оценку точности регрессионных моделей без построения области НОР. С уменьшением области КЗФО повышается точность регрессионных моделей.

построения области НОР в виде выпуклого многогранника с числом вершин, равным удвоенному числу коэффициентов регрессии. Данный многогранник является нижней оценки области НОР и позволяет произвести достоверную оценку и анализ взаимосвязи допустимых значений коэффициентов регрессии.

При недостаточной точности регрессионных моделей нижняя оценка области НОР используется для определения условий проведения эффективных дополнительных опытов, после реализации которых достигается уменьшение Наилучшие результаты по интервальному построению регрессионных моделей по методу компромиссных значений функции отклика могут достигнуты путем реализации специальных многофакторных планов, учитывающих основные особенности метода и возможный характер функции отклика.

Построение регрессионных моделей состоит из последовательно проводимых вычислительных процедур, которые целесообразно проводить в диалоговом режиме.

Интервальное построение регрессионных моделей необходимо при решении различных прикладных задач статистической многоцелевой оптимизации гарантированных решений [128]. Компьютерная реализация метода предусмотрена при создании информационно-экспертной статистической системы оптимизации гарантированных решений [129].

Проблема выбора структуры математической модели и соответствующие алгоритмы: шаговой регрессии, эволюционной идентификации и метода группового учета аргументов (МГУА) обсуждаются в [66], где проведен анализ алгоритмов структурной идентификации методом вычислительного эксперимента и рассмотрен вопрос останова шаговых процедур (все описанные выше методы имеют шаговую технологию). Общий принцип останова шаговых алгоритмов структурной идентификации следующий: расчеты надо прекращать, когда дальнейшая работа алгоритма не приводит к улучшению качества модели. Отсюда следует общность критериев останова и качества модели.

Из проведенных исследований можно сделать вывод о высокой эффективности алгоритмов шаговой регрессии с включением-исключением переменных, однако при высоком уровне шума и небольшой выборке экспериментальных данных более точные модели дает метод группового учета аргументов. Полученные результаты, безусловно, являются предварительными и требуют дальнейших исследований на других тестовых задачах.

В [102] предлагается способ определения структурных инвариантов полностью управляемого и полностью наблюдаемого многомерного объекта по значениям его частотных характеристик. Параметры объекта здесь неизвестны, а известны лишь значения его передаточной матрицы для различных частот. Способ нахождения структурных инвариантов по идентифицировать многомерный объект в канонической форме. оказаны теоремы, позволяющие определить структурные инварианты (индексы Эрмита, Кронекера и т.д.) многомерного объекта, заданного матрицами частотных характеристик.

ковариаций вектора наблюдений предполагается, что ковариационная матрица принадлежит некоторой подалгебре в коммутативной матричной алгебре. Для выбора модели ковариаций используется процедура последовательной ковариационной матрицы по базису ее ортогональных идемпотентов.

Результаты применяются к двухфакторным экспериментам.

Один из методов нахождения характеристической функции линейного процесса авторегрессии, а также его порождающего процесса, рассмотрен в [54]. Процессы авторегрессии широко применяются при построении математических моделей информационных сигналов различных типов, при их анализе и синтезе а также в задачах диагностики. При идентификации таких процессов часто используются энергетические характеристики. Однако при негауссовом распределении стохастических информационных сигналов, информации, которая содержится в энергетических спектрах часто не достаточно для надежной идентификации и классификации таких сигналов. В этом случае задачу идентификации можно решить используя аппарат характеристических функций. В работе используются свойства пуассоновских спектров скачков для решения такой задачи. Предложенный метод дает возможность построить характеристическую функцию линейных стационарных процессов авторегрессии а также их порождающих процессов.

Один из эффективных «нелинейных» подходов к решению задача идентификации «направленной» связи между колебательными системами по временным рядам [130] основан на построении модельного отображения, описывающего эволюцию фаз их колебаний. Он теоретически обоснован только для слабо нелинейных и слабо связанных осцилляторов под действием нормального белого шума. В работе анализируются в вычислительном эксперименте практические пределы применимости метода (при различных свойствах шума, величинах фазовой нелинейности осцилляторов и интенсивности связи). Показана его применимость для широкого круга ситуаций.

В [34] рассмотрена новая постановка задачи оценивания состояния динамической системы по данным измерений на скользящем конечном интервале времени. В основу подхода положен вариационный принцип, который позволил взвешенно осуществить ассимиляцию данных измерений в математическую модель системы. Весовые коэффициенты, входящие в функционал, определяются из уравнений невязок, обеспечивая при этом согласованную с погрешностью исходных данных оценку. Достоинство предлагаемого подхода еще и в том, что он позволяет рассматривать совместно задачу оценивания и параметрической идентификации, а также ассимилировать дискретные данные измерений в непрерывную модель.

Идентификация параметров вращения твердого тела – известная научная проблема, актуальность которой не уменьшается со временем. В [78] представлен новый метод для анализа параметрической идентифицируемости и алгоритм идентификации для оценки динамических параметров вращения твердого тела.

Два принципиально новых класса управлений гиперболическими распределенными системами введены в [4]. Первый из них включает функции, непрерывные на отрезках, но ни в одной точке не дифференцируемые на них, причем эти функции обладают множеством корней мощности континуума и положительной меры Лебега.

Таким образом, регрессионный анализ является одним из основных инструментов математического моделирования и анализа данных. Большой вклад в его развитие внесли как ведущие иностранные ученые А. Афифи, К.

Доугерти, Н. Дрейпер, Дж. Кади, Ф. Мостеллер, Г. Смит, Дж. Себер, Дж.

Тьюки, П. Хьюбер, С. Эйзен и другие, так и отечественные специалисты С.А.

Айвазян, В.Б. Головченко, С.А. Дубровский Е.З. Демиденко, И.С. Енюков, А.Г.

Ивахненко, Л.Д. Мешалкин, В.С. Мхитарян, С.И. Носков, А.И. Орлов и другие.

1.3. Информационные технологии в моделировании Построение адекватных математических моделей реальных управляющих систем является первоначальной задачей теории управления. На сегодня методы построения моделей систем в основном исчерпываются двумя подходами [142]. Первый подход основан на рассмотрении системы с позиции «черного ящика». Второй подход основан на представлении управляющей системы в виде составляющих ее элементов. При этом каждый такой элемент является более простой управляющей системой, для изучения которой можно с успехом применить первый подход. Впервые предлагается кибернетический подход к построению, анализу и оптимизации моделей управляющих систем, которые функционируют в неопределенных условиях. Целесообразность такого подхода обосновывается на решении проблемы изучения вероятностных конфликтными потоками.

Оптимизация на основе имитационных моделей или технология optimization-simulation стала возможной [11] в результате развития методов компьютерного моделирования, численных методов оптимизации, математического программирования и других областей современной математики. Предлагается классификация задач оптимизации, для которых возможно использование имитационных моделей объектов.

Системный анализ методологии математического моделирования задач управления комплексными технологическими процессами позволяет показать особенности использования компьютерных моделей, и рассмотреть подходы к формированию математического пространства описания логикоалгебраических операций в среде алгебраических тензоров и логических кортежей. В [57] дано обоснование принципов и структуры гомеостатической системы управления группой нейтральных элементов в автономных модулях управления частными процессами для обеспечения общей устойчивости комплексного технологического процесса при воздействии помех.

Важной в прикладном плане является работа [150], в которой описывается математическая модель процесса интерактивного распределения вычислительных ресурсов в системе интеллектуальных датчиков. Модель предназначена для проектирования на основе выбора оптимального варианта системы. Используется нечеткое описание модели формирования структуры системы интеллектуальных датчиков. Описывается пример практического применения предлагаемого метода проектирования при разработке проекта «Интеллектуального безопасного офиса».

В настоящее время широко используется [151] методика оценки рекомендованная Unido, основанная на анализе прогноза динамики движения денежных средств и расчете показателей экономической эффективности. Но у этой методики существует несколько недостатков: во-первых, не учитывается необходимости оптимизировать показатели экономической эффективности, вовторых, не представлено возможностей для решения частных оптимизационных задач, например – оптимизация выплат по привлеченным кредитам, в-третьих, все данные должны вводиться вручную. В статье предлагается разделение жизненного цикла проекта на проектную и производственную стадии, методы оптимизации показателей экономической эффективности для каждой стадии, способ получения единого критерия для двух стадий одновременно.

стохастических мультиструктурных систем управления с распределенными переходами между структурами: метод статистического моделирования и спектральный метод. В работе изложены алгоритмы решения задачи анализа.

Сравнение и эффективность методов демонстрируются на решении модельных примеров.

В настоящее время [51] разрабатываются гибридные аналитикоимитационные методы моделирования и оптимизации систем с очередями. Для решения сложной задачи объединяются и содержательно согласуются в рамках одной процедуры возможности нескольких неравносильных моделей, сконструированных в формально несовместимых языках. Такой подход позволяет создавать эффективные методы, алгоритмы и программы для расчета и оптимизации структурно сложных систем с очередями, в том числе – не экспоненциальных сетей массового обслуживания. Преимущества предлагаемых аналитико-имитационных методов оцениваются теоретическими и экспериментальными средствами. Определяются области применения методов и перспективы их дальнейшего развития.

внутреннего заполнения и значительной волновой протяженностью (например, глушитель к стрелковому оружию) [33] можно производить в виде неоднородностями в его полости. При распараллеливании вычислительного процесса используется метод декомпозиции. Осуществляется декомпозиция базовых элементов, обладающих значительной универсальностью.

В [9] исследуются принципы моделирования и программной реализации распределенных автоматизированных информационных систем в контексте методологии управления данными в глобальной сетевой архитектуре обеспечения пользовательского доступа к данным через Интернет. По результатам исследования установлено, что оптимизированные по объективным показателям условий эксплуатации и проектирования системы указанного класса существенно опережают традиционно используемые проектирования, экономичности и производительности.

Имитационное моделирование использовалось на различных этапах разработки автоматизированной системы управления технологическими процессами (АСУ ТП) Северомуйского железнодорожного тоннеля (БайкалоАмурская магистраль) [55]. Разработка АСУ ТП проводилась с использованием имитационного стенда, включающего реальные программы АСУ ТП и автоматизированное рабочее место диспетчера, программы дистанционного и автоматического управления и другие компоненты АСУ ТП. Комплекс моделей состоит из модели технологического оборудования, модели движения железнодорожных составов, модели наружной среды тоннеля, модели микроклимата внутри тоннеля. Имитационный стенд использовался для отладки программ АСУ ТП, включенных в стенд, разработки и тестирования программ автоматического управления, обучения управляющего персонала.

информационных потоков в магистральной сети с учетом механизмов и алгоритмов маршрутизации, коммутации, передачи и хранения, потерь в результате перегрузок и искажений. На наш взгляд, использование понятия «нечеткая метрика», позволяет более гибко проводить анализ работы ИВС в случае крупных корпоративных и глобальных сетей и повысить экономическую эффективность проектируемых и уже развернутых сетей. Продукт оперирует неточными категориями при описании характеристик устройств и моделирует работу распределенной сетевой архитектуры в условиях, приближенных к реальным: непостоянство количественных характеристик, описывающих работу узла системы, каналов передачи информации и др.

стохастических workow сетей Петри с ресурсами и приоритетами рассмотрен в [32]. Такие модели позволяют использовать как обычные для сетей Петри методы анализа (структурный анализ, анализ дерева достижимых состояний и производительности таких моделей. Предлагается метод оптимизации производительности подкласса стохастических workow сетей Петри с ресурсами и приоритетами относительно введенного критерия.

В [60] рассматриваются два типа моделей предметной области корпоративной деятельности – интенсиональная, инвариантная во времени, и экстенсиональная модель, представленная как совокупность реальных информационных ресурсов, отображающих состояние предметной области в зависимости от времени. На основе международного стандарта метаописаний репозитории корпоративной информационной среды и метод формирования в электронной информационной среде экстенсиональной модели предметной области на основе метацентрированного механизма интеграции описаний распределенных гетерогенных информационных ресурсов.

Особенности моделирования организационных процессов обсуждаются в статье [64]. К организационным процессам относят любые процессы, протекающие с участием человека. Это обстоятельство делает последние наиболее сложными и трудно поддающимися математической формализации.

Дана постановка задачи моделирования подобных процессов, возможные пути решения и основные этапы построения экономических моделей с точки зрения системного анализа и управления. Сделана попытка произвести спецификацию оборотных средств предприятия (на примере предприятий пищевой промышленности).

Глобальное изменение климата является одной из наиболее широко обсуждаемых проблем [43] в современном мире. Природа этого явления до сих пор не изучена в полной мере, а его экологические, социальные и экономические последствия достаточно спорны и сложны с аналитической точки зрения. Одной из попыток международного сообщества установить контроль над воздействием на окружающую среду является Киотский протокол, разработанный Рамочной Конвенцией по Изменению Климата ООН (UNFCCC). Аргументы сторонников и противников участия России в этой инициативе опираются на результаты применения различных моделей комплексной оценки эффективности мер, направленных на снижение выбросов парниковых газов. В настоящей статье описывается один из подходов к моделированию и анализируются некоторые результаты счета. Основное внимание уделяется моделированию временной динамики экономикоэнергетических показателей России.

В [41] рассмотрено поведение социума с постоянно существующими факторами возникновения массовой паники (ажиотажа), выявлен механизм и построена модель развития процесса с формированием и потерей иммунитета к панике, установлена взаимосвязь возникновения хаотических режимов развития паник в социуме с потерей иммунитета субъектами; выявлен факт возникновения длинных волн, аналогичных волнам Кондратьева, установлена их взаимосвязь с потерей иммунитета к панике субъектами.

Важным представляется подход к имитационному моделированию процессов развития информационных технологий и связанных с ними прикладных [25], а в пределе и фундаментальных научных дисциплин. Модели взаимодействуют с архивом данных, который обновляется в результате систематической выборки информации из глобальной сети. Имитационное моделирование служит целям прогнозирования и, кроме того, позволяет выявлять в исследуемой области точки нестабильности, которые могут измениться сами или чувствительны к управляющему воздействию. Оно также указывает, какие темы заслуживают повышенного внимания при дальнейшем анализе информации в глобальной сети.

Модель познания в виде модельно-конструктивного мышления (МКМ) рассматривается в [94] как основа методологии науки и гносеологии. В таком качестве ее также можно рассматривать как инструмент идентификации знаний. На этой основе предложены опытные основания математики, связи которой с реальными задачами можно непосредственно проследить и выделить адекватные реальности достижения и не имеющие к ней никакого отношения.

Выделены адекватные политэкономические и политические подходы.

Построена система социалистического рынка, интегральная идеология и социология, система нравственного мирового устройства, многополярного мира. Эти результаты теоретически позволяют переломить тенденцию безнравственной мировой деградации. На этом же пути видится преодоление деградации России.

В [40] рассматриваются возможные подходы к постановке начальных условий в динамических задачах с ограничениями-неравенствами.

Предлагается грамматика описания пространственного распределения частиц.

Приводятся укрупненные блок-схемы вспомогательного программного обеспечения синтаксического разбора описания системы частиц. Для некоторых типичных задач выполняется моделирование пространственных распределений. Визуализация распределений производится средствами профессионального пакета машинной графики.

Новый класс комбинированных моделей многосвязных статических систем, состоящих из уравнений параметрической и непараметрической природы, представлен в [96]. Необходимость в синтезе и исследовании подобных моделей возникает в случае, когда в многомерных системах не все зависимости «вход-выход» известны с точностью до набора параметров. Такая ситуация часто возникает при моделировании многосвязных объектов и процессов, когда априорная информация о них не соответствует ни параметрическому, ни непараметрическому уровням априорной информации.

Приведена также задача макросинтеза модели из моделей локальных объектов или моделей фрагментов исследуемого процесса.

равномерного зондирования пространства параметров для решения задачи многокритериальной многопараметрической оптимизации динамических стохастических систем, представленных имитационными моделями приведены в [12]. Проведено сравнение используемой методологии с методологией применения разностных сеток при решении вычислительных задач численными методами.

Работа [154] носит методологический характер и посвящена анализу некоторых методов идентификации и моделирования стохастических систем, Главное внимание уделено тем или иным аспектам применения такой состоятельной, по терминологии А.Н. Колмогорова, мер зависимости случайных величин (процессов), как максимальная корреляция. Показано, что проанализированные положения либо лишены содержательного смысла, либо вообще представляют собой заблуждения, что, учитывая учебный характер данной книги, следует рассматривать как целенаправленные действия, направленные на снижение уровня подготовки отечественных специалистов.

В задаче моделирования региональных рынков сотовой связи в [158] предлагается модель для описания динамики процента проникновения в каждом регионе посредством суммы нелинейных функций. Для построения прогноза для каждого из регионов находится «родственный» регион путем минимизации ошибки на заданном интервале. И посредством переноса коэффициентов «родственного» региона на рассматриваемый осуществляется прогноз. В [109] рассматривается специальный класс случайных блужданий с задерживающими границами так называемых полумарковских процессов со сносом, фазовое пространство состояний которых представляет собой декартово произведение счетного множества и множества точек неотрицательного ортанта евклидового пространства. Выводятся системы интегральных уравнений типа свертки для нахождения стационарных распределений процессов. Приведены примеры реальных систем, функционирование которых описывается полумарковскими процессами со сносом.

В статье Данеева А.В. и др. [117] предлагается математическое обоснование для решения задачи структурной идентификации уравнений состояния фронта локального лесного пожара (ЛЛП) при построении общей a posteriori адаптивной нестационарной динамической модели краткосрочного прогноза развития ЛЛП, учитывающей (в модели клеточного автомата) как текущие геометрические изменения контура ЛЛП, так и вероятно-возможные суточные метеорологические факторы влияния пульсаций внешней среды на процессы переноса и охвата контура возникшего ЛЛП.

Принципы построения программного обеспечения, позволяющего моделировать работу нейросетевого планировщика перемещений мобильных роботов обсуждаются в [123]. Основным элементом программы является нейронная сеть. Рассматривается структурно-алгоритмическая организация программного комплекса. Предлагаются методы предварительной обработки входных данных. Представленное в работе программное обеспечение используется при разработке нейросетевых планировщиков для автономного мобильного робота (АМР) «Скиф-2» и АМР на базе мини-дирижабля «Стерх».

Оно доказало свою функциональность и удобство в эксплуатации и может с планирования перемещений АМР.

В [143] описывается ситуационный подход к анализу и прогнозу состояния сложного пространственного объекта и синтезу программ для расчетов на его модели, состоящей из концептуальной модели предметной области и интегрированных с ней ГИС и экспертной системы. Особенностями ситуационной системы моделирования (ССМ), разработанной для поддержки этой модели, являются автоматизация всех этапов моделирования, широкое применение экспертных знаний, поддержка современных сценарных подходов к моделированию, использование ГИС-технологии не только для графического представления составных частей объекта и результатов моделирования, но также для постановки задачи и выполнения пространственнозависимых расчетов.

Лингво-комбинаторная модель плохо формализованных систем, для которых существует лишь описание на естественном языке, и которое базируется на использовании ключевых слов, основных понятий, сложившихся в предметной области в [59] состоит из трех групп переменных – характеристик основных понятий, изменения этих характеристик и структурированной Анализируются проблемы идентификации и управления применительно к таким моделям. Оптимальная стратегия управления в потоке перемен – удержание системы в зоне адаптационного максимума.

распределенных вычислений в пакетах знаний рассматривается в [109]. В качестве среды имитационного моделирования используется система GPSS World. В [113] рассматривает метод построения модели многоуровневой системы защиты информации. Модель основывается на Марковской модели с описанием состояний и матрицы переходов между уровнями защиты.

использованию нотации UML на этапе моделирования производства. На основе анализа теоретических разработок в области применения языка UML при моделировании и разработке информационных систем, а также ряда осуществленных программных проектов, предложены некоторые варианты решения данных проблем. Авторы рассматривают возможности использования разработанных в последнее время новых элементов UML-профиля, на основе которых предлагается метамодель бизнес-среды наукоемкого предприятия и примерный набор действий для моделирования его бизнес-процессов.

Используемый процессноориентированный подход позволяет сделать оценку стоимости наукоемкого предприятия более достоверной. Доклад дополнен примерами из реальных проектов, подтверждающими, что UML справляется с интеллектуальной собственностью и бизнес-процессами образовательного учреждения.

Методологические и технологические подходы к построению систем поддержки принятия решений для региональных и федеральных органов власти в [92] основаны на использовании новейших информационных технологий, таких как хранилище данных, OLAP-технология, имитационное моделирование и др. Описана общая структура модельного комплекса по социальноэкономическому развитию региона и его реализация на основе методов моделирования.

В последнее время широкое распространение для описания различных физических процессов получили [15] фрактальные модели, основанные на понятии ветвящихся процессов или каскадов. Проведенный анализ показал, что аналогичными характеристиками обладает и трафик современных сетей связи. Все это выдвигает на первый план необходимость построения моделей процессов, обладающих обнаруженными характеристиками. В статье информационно-вычислительных сетей, отличающаяся от известных учетом фрактальных и мультифрактальных свойств поступающей нагрузки.

В [62] рассматривается компьютерная поддержка принятия решений в задачах управления производством. Цель лица, принимающего решение (ЛПР):

1)компьютерное построение путей направленного графа для каждой задачи;

2)вычисление суммы баллов узлов путей и отбор 3-5-ти путей, наилучших по критерию максимума суммы баллов; 3)оценка ЛПР этих путей и выбор наилучшего. ЛПР может менять заданную конфигурацию вариантов узлов графа, отсекать часть путей и узлов и повторять процедуру отбора с использованием направленного перебора. Принятое решение базируется как на предварительном машинном анализе большого числа возможных вариантов управления, которое нельзя сделать вручную, так и на личном опыте ЛПР.

Имитационная динамическая модель развития предприятия, включающая блоки производства, маркетинга, сырьевой базы, научно-технического прогресса, экологии и внешнего финансирования рассмотрена в [92].

Приводится характеристика каждого блока и взаимосвязей между ними.

Рассматривается алгоритм реализации модели для предприятия минеральносырьевой направленности. Модель предназначена для прогнозирования и управления развитием предприятий на средне– и долгосрочный период времени. В работе [131] представлены результаты исследований влияния информационного запаздывания на дискретные системы управления.

быстродействия, объема памяти и разрядности цифровых средств управления.

Проводится анализ способов учета информационного запаздывания.

Описывается программный комплекс для моделирования дискретных систем управления с информационным запаздыванием. Приводятся результаты некоторых вычислительных экспериментов, показывающие зависимость качества управления от характеристик цифровых устройств управления, область эффективности алгоритмов и возможность повышения качества управления за счет распараллеливания вычислений.

компьютерного моделирования грамматики и семантики ритмического текста ритмической структуры стиха. Преимущественное внимание уделяется описанию базовой системы грамматики и семантики ритма. Рассматриваются общие виды и определенные конкретные формы типовых ситуаций, лежащих в ее основе. Описываются наиболее характерные процедуры взаимодействия и представления базовой семантики в рамках типовых ситуаций. Предлагаемая семантических предрасположенностей ритмики стиха, но и для проникновения в скрытые формы речевой деятельности, в том числе явления внутренней речи.

С позиций интегративно-функционального подхода идентификация технических систем представляет [16] собой отождествление ее структурнофункциональной организации со структурно-функциональной организацией организма, рассматриваемой теорией гомеостаза. Таким образом, качество отождествления при проектировании. Предложенный подход к пониманию проблемы идентификации открывает новые возможности и в моделировании сложных технических систем, так же решаемые через интерпретацию описываемого объекта.

экспериментального исследования функционирования интеллектуального мобильного робота в априори неформализованной внешней среде. Исследуемая система управления робота построена по иерархическому принципу и состоит из планирующей нейросети и синергетического контурного регулятора.

Программная среда предоставляет пользователю удобный интерфейс и широкие возможности для исследования функционирования рассматриваемой системы управления. Результаты, полученные с ее помощью, показали высокую эффективность нейросетевой системы управления иерархического интеллектуальных роботов.

В статье [31] рассмотрен подход к построению программных средств моделирования управления, в основе которых лежит математический аппарат семиотических систем. Разработан математический аппарат нечетких семиотических систем. Создано программное средство Trincon моделирования процесса принятия решений в динамических проблемных областях. Приведен пример использования программного средства Trincon. Архитектура распределенного приложения является перспективным [52] направлением в вычислительных сетях. Метод, предложенный в статье, позволяет оценить производительность распределенного приложения в сети с заданными характеристиками на основании данных, полученных из наблюдения за исполнением этого приложения на единственном компьютере. Разработанный метод может быть применен, например, в задачах проектирования новых или прогнозировании производительности создаваемых распределенных приложений в различных условиях.

Естественные нейронные сети, являясь результатом естественного отбора, создавались в течение многих миллионов лет. Для искусственных нейронных сетей естественный отбор заменяется целью функционирования. Реальный нейрон человека имеет от 4 до 20000 синапсов и не может считаться элементарной ячейкой системы обработки информации. В то же время эффективное развитие элементной базы нейросетей возможно только на основе прогнозных моделей. Поэтому существенным свойством искусственной нейросети является способ обработки информации, который сводится к тому, что обработка однородной информации осуществляется в процессе ее передачи по параллельным каналам за одинаковое время [136]. При этом самоорганизации структуры искусственных нейронных сетей, определяющей способ обработки информации.

Искусственные самоорганизующиеся нейронные сети предназначены для более эффективного (в сравнении с естественными нейронными сетями) решения плохо формализованных задач. В [134] рассматривается более конкретизированное и узкое направления – самоорганизация компонентов и в частности самоорганизация искусственной нейросети в системе распознавания образов.

При рассмотрении свойств сетей используется системный подход в том смысле, что нейронные сети рассматриваются как инструмент повышения вероятности выживания во внешней среде и, следовательно, являются составной частью более общей системы. В состав этой системы входит внешняя среда, экземпляры жизни и нейронная система в качестве интерфейса между ними.

Термин «искусственный» по отношению к нейронной сети призван подчеркнуть тот факт, что рассматриваемая нейронная сеть является продуктом не естественного отбора, а продуктом прогнозного моделирования процесса взаимодействия внешней среды, экземпляров жизни и естественных нейронных систем. Вторым моментом является то, что в создании и функционировании искусственной нейронной системы принимает участие наблюдатель естественная нейронная сеть.

Современные искусственные нейронные сети представлены двумя основными классами. Наибольший класс составляют многослойные нейронные сети [136]. Второй класс представлен нейронными сетями, использующими иерархический принцип организации структуры [2, 28, 88]. Многослойные нейронные сети потенциально содержат в себе иерархические структуры. А иерархическая структура тривиально может быть приведена к многослойному виду. Многослойные нейронные сети рациональнее реализовывать на аналоговых ЭВМ. Иерархические нейронные сети более ориентированы на цифровые ЭВМ поскольку, что затраты на вызов подпрограммы подключения нейрона незначительны.

самоорганизующихся нейронных систем является динамическая стабилизация естественные и искусственные нейронные системы в условиях нарастающей скорости изменения всех компонентов общей системы. Только в составе общей системы они являются самоорганизующимися при независимости их собственных отображений от собственных состояний и обязательной Эффективность искусственных самоорганизующихся нейронных систем обеспечивается таким их разделением на составляющие компоненты (образы), при котором возможна параллельная обработка однородной информации в процессе ее транспортировке. В совокупности с вариантами реализации отдельных компонент, имеющими обширную библиографию, рассмотренное направление может стать основой практической реализации.

Использование нейронных сетей является перспективным подходом к решению задач синтеза вычислительных систем и сетей. В [76] рассмотрены идентификации параметров модели вычислительных систем (ВС) и сетей.

реализующую некоторую многомерную функцию аргумент которой принадлежит признаковому пространству входов нейронной сети, а значение - выходному признаковому пространству Y. При этом ставится задача построения функции (1.3) по имеющимся примерам, что позволило бы каждому входному вектору поставить в соответствие в общем случае некоторый выходной вектор. Примеры соответствий между входными и выходными векторами, либо специально отобранные из всех примеров Обучающая выборка определяется обычно заданием пар векторов где i - номер пары обучающей в ыборки; X i,Yi - вход и выход нейронной сети для i-го примера соответственно (при наличии единственного выхода нейронной сети Yi является скаляром).

Обучение нейронной сети состоит в приведении всех входных векторов из обучающей выборки соответствующим выходным путем установления числовых значений весовых коэффициентов связей между нейронами, расположенными в различных слоях нейронной сети (для многослойного определить вектор весовых коэффициентов связей между нейронами в нейронной сети:

Таким образом, исходные данные, необходимые для идентификации модели (1.3), образуются двойкой где NSt - структура модели нейронной сети, заданная априорно или формируемая по специальным алгоритмам, а I - обучающая выборка. Процесс идентификации модели (1.3) сводится к определению параметров (1.5) по исходным данным (1.6), т.е.

где F - алгоритм идентификации, определяющий, каким образом можно найти параметры W, зная NSt и I.

При обучении нейронной сети используется адаптивный алгоритм идентификации, позволяющий уточнять параметры (1.5) по мере получения Результатом работы адаптивного алгоритма является идентификация модели (1.3), коэффициентов нейронов (1.7).

Интересные приложения рассмотрены в [45], где решены задачи классификации растений и диагностики лопаток авиадвигателей на основе идентификации объектов по спектрам применяют статистические методы, потенциальных функций [46], которым, однако, свойственен такой общий недостаток как слабая адаптивная способность. Альтернативным вариантом [23,47,61,70,90,105,108,120,133,139,161,163,169,1,99,14,174].

локальными связями (клеточных нейронных сетей) и глобальными связями распределенные вычислительные системы с гиперкубической и тороидальной структурой при обработке изображений.

В настоящее время наблюдается устойчивая тенденция роста объема перерабатываемой визуальной информации в современных информационных системах. Вместе с этим возрастают и требования к производительности таких систем. Одним из наиболее перспективных направлений в решении этой проблемы является использование нейрокомпьютерных технологий обработки изображений. В качестве преимущества такого рода технологий можно выделить возможность в рамках единого методико-алгоритмического базиса решать самые различные задачи обработки изображений. Кроме того, следует “естественный” параллелизм вычислений в реализации соответствующих вычислительных процедур в силу специфики представления самого цифрового изображения (как двумерного или многомерного массива чисел). Массовый нейрокомпьютеров и является неотъемлемым их свойством. По этой причине обработка изображений (восстановление и сегментация изображений, регистрация объекта на изображении и т.п.) в настоящее время стала уже классической областью практического применения нейрокомпьютеров.

Таким образом, в настоящее время существует огромное количество программных комплексов для исследования процессов, описываемых адекватными математическими моделями реальных систем.

1.4. Математические предпосылки элементов геометрического языкаматричного и тензорного моделирования когнитивных систем исследователь, как правило, должен все время заниматься «переводами» с содержательного вербального языка на математический [21], с математического языка на язык численных методов [58], с языка методов вычислений на конкретный язык программирования [7] и, соответственно, обратно. Такая «многоязыковость» неизбежна: она вызвана необходимостью находить точные и реализуемые, иногда и неоднозначные [93], решения задач, возникающих на практике. Например, решая проблему, связанную с уравнениями Максвелла (дифференциальными уравнениями в частных производных [21,68]), можно воспользоваться численными методами для того чтобы смоделировать всю систему уравнений на ПЭВМ.

Если в практических задачах апостериорного моделирования рассмотреть методологический язык регрессионных моделей (по существу кибернетических моделей «черного ящика» типа «вход-выход»), то в отличие от стандартных постановок линейных регрессий [5] для усиления корректности модели исследуемого физического процесса одним из подходов этого усиления является математический язык матриц [26,149] и ковариантных тензоров [29,77]. Цель данного параграфа элементы «языка» современного математического моделирования.

Линейные отображения и матрицы [26,149]. Пусть U и V два линейных (векторных) пространства над полем вещественных чисел R. При этом говорим, что векторное пространство U (или V) имеет размерность m, иначе dim U=m, если оно обладает базисом {u1,…,um}U; последнее означает, что каждый вектор xU допускает единственное геометрическое представление в виде если dim U=m для некоторого положительного целого m, то пространство U называется конечномерным, если U={0} то (по определению) полагаем dim U=0.

преобразованием (или просто отображением) U в V, если для любых x1,x2U и 1,2R При этом, естественно, сложение или умножение на скаляр в левой (правой) части уравнения (1.9) относится к соответствующим операциям, определенным в пространстве U (соответственно в V).

З а м е ч а н и е 1.1. Линейные отображения, как правило, обозначаются прописными буквами латинского алфавита A, B, …; исключение из этого правила делается тогда, когда dim V=1 (и можно по существу отождествить V с R), в этом случае такое отображение обозначается строчной буквой, например, f и называется линейным функционалом f.

Пусть пространства U и V фиксированы. Рассмотрим множество L(U,V) всевозможных (линейных) отображений C: UV. Это множество естественно наделить структурой линейного пространства над полем R, определив операции сложения и умножения на скаляр следующим очевидным образом:

для любых xU, R и С1,С2L(U,V). Ниже будет показано, что З а м е ч а н и е 1.2. В дальнейшем вместо того, чтобы писать, что СL(U,V), будем просто указывать, что C: UV.

Пусть {uj}j=1,…,m некоторый базис пространства U, а {vi}i=1,…,n какой-то базис пространства V. Тогда, если С линейное отображение U в V, то и элементы cijR определены здесь однозначно. В связи с этим любое отображение xU в Сх оказывается полностью определенным своим действием на некоторый базис пространства: преобразования всех остальных элементов доопределяется за счет линейности. Таким образом, особую важность приобретает следующая таблица:

называемая матрицей линейного отображения С относительно пары заданных базисов {uj}j=1,…,m и {vi}i=1,…,n.

Матрицы, как математические конструкции, весьма удобны для вычисления действия линейных отображений. Заглядывая несколько глубже можно представить себе каждую Mat C как некоторую вещественную функцию где символ декартова произведения. Через Mn,m(R) будем обозначать класс всевозможных матриц размера nm с элементами из R. Его можно наделить структурой линейного пространства над R размерности nm, введя обычные операции сложения матриц и умножения матрицы на скаляр.

Пусть C: UV некоторое отображение. Пространство U называется областью отображения С, а пространство V его кообластью. Размером Mat C по определению называется пара dim Vdim U. Ядром (или аннулирующим подпространством) отображения С называется подпространство в то время как образом (или областью значений) отображения называется подпространство стоит обратить внимание на то, что между понятиями кообласти и образа отображения есть существенная разница.

В современной алгебре необходимо уметь пользоваться некоторым рядом специальных геометрических терминов греческого происхождения.

отображением), если Im C= V. Оно называется мономорфизмом (или мономорфным отображением), если Ker C=0. Если линейное отображение С одновременно эпиморфно, и мономорфно, то оно называется изоморфизмом (равносильно изоморфным отображением), что возможно только тогда, когда dim V=dim U. Произвольное линейное отображение А: UV называется эндоморфизмом Х; оно является автоморфизмом Х, если к тому же оно и изоморфизм.

Если подпространство пространства U, то, очевидно, а если подпространство пространства V, то при этом и CV, и C-1U являются подпространствами. Заметим, что C- функционально обратно по отношению к отображению C (если рассматривать последнее просто как функцию) и как таковое представляет собой некоторую функцию, определенную на множестве подпространств пространства V и принимающую значения из множества подпространств пространства U. В этом смысле C-1 не обозначает какого-либо линейного отображения V в U. В частном случае, когда имеет место dim V=dim U и для VU существует обычное отображение, обратное C (т.е. С суть изоморфизм), как и обычно, будем обозначать это отображение тем же символом C-1, поскольку в этом случае оба рассматриваемых понятия согласуются друг с другом.

Из введенных выше определений сразу получается, что и, в частности, поскольку Im C=CU, Кроме того, для каждого подпространства V найдется такое, вообще говоря, не единственное подпространство U, что где операция внутренней прямой суммы.

З а м е ч а н и е 1.3. Два подпространства 1,2U называются линейно независимыми, если 12=0, при этом сумму называют внутренней прямой суммой и обозначают через 12.

причем правая и левая часть последнего соотношения равны тогда и только тогда, когда имеет место В силу двойственности имеем для подпространств 1,2V также и для равенства правой и левой частей необходимо и достаточно, чтобы Если 12=0, то в общем случае поскольку подпространства в правой части не обязательно независимы. Их независимость обеспечивается тогда и только тогда, когда Полилинейные отображения и тензоры [29,68,77]. В классическом тензорном анализе тензорный формализм, как правило, описывается в координатных обозначениях (аналог матричных таблиц). Ими и сейчас широко пользуются в физической и геометрической литературе, и этому языку следует отдать должное: он математически компактен и гибок. Ниже выделим и опишем основные положения этого координатного подхода.

Пусть U1, …, Uk, V линейные пространства над R. Следующее общее определение играет важную (иногда ключевую) роль во многих разделах физики, геометрии и алгебры.

билинейным) называется отображение которое линейно как функция любого из аргументов uiUi при фиксированных остальных ujUj, 1 j k, ji.

функционалами или тензорами, при этом число k называют валентностью тензора; таким образом, полилинейный функционал от k аргументов можно назвать k-валентным тензором, ясно, что одновалентный тензор суть линейный функционал (см. замечание 1.1).

З а м е ч а н и е 1.4. Везде далее будем рассматривать только такие тензоры, все аргументы которых принадлежат одному и тому же пространству U, т.е. ковариантные по всем аргументам, при этом тензор называется симметричным, если он не меняется при перестановке его аргументов.

Рассмотрим более подробно структуру ковариантного двухвалентного тензора f(x,y). Согласно определения 1.2 этот тензор обладает свойствами:

Пусть dim U=m и {u1,…,um} базис пространства U. В такой постановке тензор f(x,y) оказывается заданным, как только заданы значения элементы tij называются координатами тензора f. Действительно, в этом случае где в силу (1.8) векторы x,yU имеют представление (в базисе {uj}j=1,…,m):

Выберем tij в поле R произвольно; тогда тензор, определенный с помощью (1.11), обязательно обладает свойствами (1.10). Следовательно, справедлива:

Теорема 1.3. Существует взаимно однозначное соответствие между ковариантными двухвалентными тензорами и системами из m2 их координат.

Аналогично можно ввести в рассмотрение математические конструкции координат ковалентных тензоров произвольной валентности; во всяком случае, обобщением теоремы 1.3 служит следующая важная теорема.

Т е о р е м а 1.4. Пусть имеются два тензора одинакового типа. Тогда для равенства тензоров достаточно, чтобы их координаты в каком-нибудь базисе пространства U были соответственно равны.

Другими словами, из того, что координаты двух тензоров равны в какойлибо системе координат, следует, что их координаты соответственно равны в произвольной (!) системе координат. Это предложение достаточно очевидно;

действительно, так как оба тензора одинакового типа (т.е. имеют одно и тоже число ковариантных индексов) то они преобразуются по одним и тем же формулам, и так как их координаты в одной системе координат по предположению равны, то они равны и в любой другой системе координат.

Заметим, что исходное предположение, что оба тензора с необходимостью одинакового типа, является совершенно обязательным. Например, как билинейный тензор, так и линейный определяются в данной системе координат матрицей. Однако из совпадения матриц линейного преобразования и билинейной (квадратичной) формы в одной какой-либо системе координат не следует их совпадение в другой.

1.5. Выводы и концептуальная схема многофакторной оптимизации параметров сложного физико-технического процесса Представленные в главе материалы достаточно полно раскрывают состояние исследований по данной проблематике. Можно постулировать, что современные компьютеры позволяют решать любые вычислительные задачи и числено моделировать любые объекты и процессы при условии, что для них существуют сколь угодно сложные, но адекватные алгоритмы. Они способны «осваивать» прошлый опыт и «предвидеть» будущее, так как численные методы математики и математическая статистика позволяют описывать практически любые наборы данных и строить правдоподобные прогнозирующие модели.

В схеме статистического исследования основным является этап выбора структурной спецификации модели, под которой понимается представление регрессии в буквенной форме. Для решения этой проблемы наиболее часто используются такие методы, как полный перебор, метод группового учета аргументов (МГУА), метод «ветвей и границ», методы включения и исключения, и другие. Проведенный анализ показал, что самым точным, но и самым затратным по времени является первый метод.

Искусственные нейронные сети предназначены для более эффективного по сравнению с естественными нейронными сетями решения плохо формализованных задач. При рассмотрении свойств сетей используется системный подход в том смысле, что нейронные сети рассматриваются как инструмент повышения вероятности выживания во внешней среде и, следовательно, являются составной частью более общей системы. В состав этой системы входит внешняя среда, экземпляры жизни и нейронная система в качестве интерфейса между ними. В главе рассмотрено достаточно большое число приложений подхода, связанного с моделированием на нейронных сетях, многие из которых в настоящее время стали уже классической областью практического применения нейрокомпьютеров.

В главе проанализировано современное программное обеспечение, предназначенное реализации математических моделей в самых разных областях приложений. Многие из специализированных пакетов программ для автоматизированного выбора структурной спецификации регрессии (SYSTAT TableCurve 2D v5.01, SYSTAT TableCurve 3D v4.0, MVR Composer и другие) имеют ряд недостатков. Так, в них не всегда имеется возможность работы с многомерными данными, отсутствует многокритериальный подхода при выборе модели, налицо несоответствие построенных моделей «физическому»

смыслу факторов. Во многих из проанализированных работ рассматриваются линейные регрессионные модели, тогда как в данном диссертационном исследовании рассматриваются нелинейные подходы.

Материал § 1.4 представляет собой беглый обзор начальных понятий линейной алгебры и вводных положений тензорного анализа, хотя эти вопросы и излагаются в более «геометрическом» стиле, чем это обычно принято.

Данные понятия вводятся наряду с некоторыми утверждениями, которые должны проиллюстрировать эти понятия и убедить в их полезности (текстовое обозначение теорем 1.1-1.4 приведено с целью упрощения дальнейших ссылок).

В данном контексте востребованы операторные модели, поскольку операторный формализм позволяет в рамках одной структуры рассматривать все виды систем непрерывную/дискретную, линейную/нелинейную, сосредоточенную/распределенную. Модели данных систем, с одной стороны, поддаются тензорному формализму, допуская детальное аналитическое описание на базе аппарата сильной дифференцируемости векторных отображений и теории экстремальных задач, а с другой, играют важную роль в статистическом моделировании сложных электронных систем, в частности, обеспечивая (в рамках выбранного критерия) понижение энергетического уровня лепестков диаграммы направленности побочных электромагнитных наводок.

Практически во всех известных исследованиях по регрессионному моделированию строились линейные модели, существование которых, как правило, обусловлено рядом ограничительных условий, что сужает возможности использования данных результатов. Поэтому в теории математического моделирования постоянно поддерживается интерес к построению сложных нелинейных моделей, для существования которых нет необходимости в дополнительных условиях. В данном контексте в диссертации основными целями исследования задачи регрессионно-тензорного моделирования оптимальных характеристик многофакторного физикотехнического процесса являлись:

обоснование нелинейной векторной регрессионной модели в классе многомерных уравнений ковариантных многовалентных тензоров;

разработка методов и алгоритмов параметрической идентификации билинейной тензорной модели нелинейной многомерной векторной регрессии, описывающий многофакторный физико-технический процесс;

построение процедуры нелинейной оптимизации характеристик многофакторного физико-технического процесса на базе билинейно-тензорной апостериорной модели его функционирования;

расчет по экспериментальным данным оптимальных взаимосвязанных характеристик сложного физико-технического процесса.

ГЛАВА 2. ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ

ЗАЩИТЫ ПЭВМ МЕТОДОМ РЕГРЕССИОННОТЕНЗОРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЕЁ

ПРОСТРАНСТВЕННО-УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИИ

Введение. Как только физическая, химическая, техническая, или экономическая проблема сведена к математическому моделированию, можно считать, что ее полное решение по существу близко к завершению. При этом, для того чтобы полностью использовать мощные вычислительные возможности, которыми располагают современные цифровые комплексы, необходимо проделать большой предварительный анализ постановок задач моделирования, а также аналитических методов, которые имеют смысл применять. Если раньше [19, 44, 53, 56, 67, 95, 144-146, 164, 165, 167, 168, 170стремились упростить постановку задачи, чтобы получить линейные функциональные уравнения, то в настоящее время основной целью моделирования является преобразование вычислительных проблем к сложным задачам нелинейного невыпуклого программирования, достигаемого с помощью различных искусных комбинаций методов последовательных приближений; которые, в свою очередь, строятся из расчета добиться быстрой сходимости, а по возможности и монотонности процесса.

В данном контексте та часть общей теории многомерного регрессионного анализа (МРА), которую можно назвать «линейной», практически завершена все основные проблемы решены, если учесть симплекс-метод для отыскания оптимального решения основной задачи линейного программирования, и можно лишь ожидать относительно второстепенных улучшений. Нелинейная тензорная теория МРА с первых шагов [17] отказывается от каких-либо ограничений на ранг используемых ковариантных тензоров и концентрирует внимание на существенно «нелинейных» свойствах регрессии и тех пределах, в которых эти свойства сохраняются.

Прикладной стороной в использовании нелинейной векторной регрессии в данной главе выступает задача определения координат электромагнитного источника излучения (ЭИИ) в целях его минимальной «взвешенноосредненной» электромагнитной наблюдаемости в некоторых фиксированных точках возможной пеленгации сигнала ЭИИ. Данная постановка, в частности, отвечает физической задаче электронной защиты ПЭВМ от внешнего излучений + наводок [74] (технически это проще всего решается, в виду отсутствия условий криптографирования сигнала монитора, как задача «перехвата» информации, отображаемой на экран дисплея ПЭВМ [50]).

2.1. Постановка задачи оптимального размещения ЭИИ Пусть R поле вещественных чисел, R n n-мерное векторное пространство над R с евклидовой нормой R, col y1,..., y n R n вектор-столбец элементами из R. Далее, через Tm обозначим пространство всех ковариантных коэффициенты (координаты [6, с. 61]) тензора f k, m, значения которых заданы (вычисляются) относительно стандартного ортонормированного базиса в евклидовом пространстве Rm.

несанкционированного зондирования электромагнитного сигнала ЭИИ, vRm вектор пространственно-угловой ориентации ЭИИ с фиксированным началом в точке Rm, w(+v) вектор выходных сигналов ЭИИ интенсивность электромагнитного поля ЭИИ в точках i,1 i n. В данной постановке выделим к рассмотрению многомерную стационарную нелинейную функциональную систему типа «входвыход», задающую интенсивность сигнала ЭИИ в точках регрессии вида:

тензоры нулевой валентности [6, c. 62] (интенсивность поля в i, 1in от ЭИИ с «ориентацией» Rm).

П о с т а н о в к а з а д а ч и «апостериорно-оптимальной» ориентации ЭИИ:

а) Для заданного аргумента интенсивности ЭИИ в точках i, 1in, где Rm открытая окрестность точки, и фиксированного индекса k, определить аналитические условия, при регрессионной системе (2.1).

б) Построить апостериорные оценки координат у тензоров f j, m, 1in, 0jk=3 из решения двухкритериальной задачи оптимизации «модели ЭИИ»

параметрическая идентификация нелинейной многомерной регрессионной системы (2.1):

здесь w(l)Rn, v(l)Rm, 1lq суть векторы экспериментальных данных (w(l) «реакция» на «вариацию» v(l) относительно координат вектора Rm), q число экспериментов; ограничений на величину q не накладываем (см. замечание 2.2).

в) Для заданного вектора Rm определить для ЭИИ координаты v*Rm, минимальную взвешенно-осредненную интенсивность сигнала ЭИИ в точках i, 1in при k=3:

где координаты у col(w1(+v),…,wn(+v))=w(+v)Rn имеют аналитическое представление согласно идентифицированной в силу (2.2) модели (2.1), ri > зондирования i, 1in.

2.2. Существование векторной регрессии в тензорных классах Tmj, jk В этом параграфе исследуем общие аналитические свойства нелинейных векторных регрессий многих переменных, которые «внешне» похожи на поведение голоморфных функций; задача а) из § 2.1. В связи с этим изложение будет основываться на понятии сильной производной производной Фреше [75, с. 481]. Данная математическая установка ставит постановку задачи определения остальных аналитических понятий, и в частности kдифференциалов, через конструкции сильных производных; ниже покажем, что данные дифференциалы по существу можно (а главное удобно) трактовать как тензорной структурой (т.е. геометрической полилинейной структурой [5, с.

491]).

отображение множества в R n и некоторая точка из. Если существует такая матрица AMn,m(R), что имеет место следующий факт то данная матрица A называется производной Фреше от функции w в точке З а м е ч а н и е 2.1. Не трудно установить, что производная Фреше определяется матрицей частных производных wi/vj, 1in, 1jm в точке (конструкция матрицы Якоби); отметим, однако, что факт существования в точке частных производных функций w1,…,wn (здесь w=col(w1,…,wn)) еще не обеспечивает наличие производной Фреше из определения 2.1; это положение иллюстрирует следующий достаточно простой пример.

П р и м е р 2.1. Пусть n=1, m=2, w(v1,v2) = v1v2/(v12+v22)2 и w(0,0) = 0, =(0,0). Ясно, что w(0,0)/v1 = w(0,0)/v2 = 0. Поэтому, если бы соответствующая производная Фреше существовала, то, как очевидно, это дало бы ее нулевой оператор и, следовательно, соотношение (2.4) дало бы следующее аналитическое положение между тем в действительности этот предел равен, если только v10 и v20.

Производную Фреше от w в точке будем обозначать через w(1)(). При этом, если производная w(1)() существует для каждой точки, и если, кроме того, w(1)() есть непрерывное отображение из области в Mn,m(R), то w называется непрерывно дифференцируемым в. В силу отмеченного имеет смысл говорить о производной для отображения w(1): Mn,m(R) в точке, которую, если она существует (при очевидном изоморфизме пространств Mn,m(R) и Rnm), называют второй производной отображения w в точке и обозначают как w(2)().

Если вторая производная существует в каждой точке множества, то тем самым математически корректно определен оператор w(2), производная которого называется третьей производной отображения w, и вообще производная w(k)() порядка k в точке есть по определению производная оператора w(k-1): Rn(k-1)m, при этом можно каждой производной w(k)() естественным образом поставить в соответствие элемент пространства kлинейных (при k=3 трилинейных; что будет важно в следующем разделе) отображений из Rm…Rm в Rn [75, c. 488]. В такой постановке дифференциал k-го порядка допускает более удобную (и наглядную) интерпретацию в конструкциях ковариантных тензоров из пространства Tmk.

отображение в R n и. Тогда, если существует производная w (k ) порядка k, то сильный дифференциал Фреше k-го прядка d kw в точке Rm при полилинейного вида:

Следующее утверждение устанавливает важное аналитическое свойство, которым должна обладать вектор-функция w, с целью прояснения: когда регрессии из класса моделей (2.1).

отображение множества в Rn и некоторая точка из. Если существует производная w(k)(), которая равномерно непрерывная функция от в, то отображение w: Rn удовлетворяет системе (2.1) с некоторыми тензорами fij,m, 1in, 0jk.

Утверждение 2.2 компиляция утверждения 2.1 и теоремы 2 [75, c. 491];

если не накладывать «чрезмерно слабых» требований (по образцу приведенных в примере 2.1) на аналитическую конструкцию вектор-функции нелинейной регрессии w().

2.3. Идентификация модели трилинейной регрессии Рассмотрим случай k=3; он даст аналитический подход, доставляющий эстетическое удовольствие в решении поставленных выше задач. В такой постановке система (2.1) примет векторно-матрично-тензорный вид:

cRn, AMn,m(R), BiMm,m(R), i=1,…,n верхние треугольные1 матрицы [6, с.

38], верхний индекс «T» здесь и далее означает операцию транспонирования векторов и матриц; в силу утверждения 2.2 и теоремы 2 [5, c. 491] имеем следующие аналитические представления:

c=col(f10,m(v,…,v),…,fn0,m(v,…,v))=w(), A=w(1)().

Нет нужды говорить о том, что не могло бы быть никакой общей теории МРА, если бы не существовала некоторая «подходящая» классическая теория с ее запасом «конкретной» информации, формулировкой ряда ключевых понятий и в специальных случаях готовыми «моделями теорем», справедливых в общем многокритериальной векторно-тензорной постановке (2.2) для многосвязной статической нелинейной модели типа «черный ящик» в классе регрессий (2.5), свяжем с понятием нормального псевдорешения (т.е. канонического решения по методу наименьших квадратов) для конечномерной системы линейных алгебраических уравнений.

О п р е д е л е н и е 2.2 [149, c. 501]. Нормальным псевдорешением системы называется вектор xRp, имеющий наименьшую норму xRp среди всех векторов, приносящих минимум для величины нормы Dx-dRq.

Это позволяет снизить порядок алгебраической системы «ненулевых» тензорных коэффициентов в регрессионном уравнении (2.1).

Далее, обозначим через Eq единичную qq-матрицу и пусть DMq,p(R).

Через D+ обозначим обобщенную обратную (псевдообратную) матрицу МураПенроуза [149, c. 500]; известно, что асимптотическая конструкция псевдообратной матрицы имеет следующий аналитический вид (впрочем, мало пригодный для вычислений):

условимся, что далее знак «+» означает операцию псевдообращения матрицы.

Л е м м а 2.1 [149, c. 501]. Вектор x=D+d нормальное псевдорешение системы генеральной выборки обозначим через (l)R вектор, имеющий (с учетом верхней треугольной структуры матриц Bi и тензоров fi3,m(v,…,v), i=1,…,n) следующее координатное представление апостериорных данных:

(l):=col(1, v1(l), …, vm(l), v1(l)v1(l), …, vg(l)vh(l), …, vm(l)vm(l), Назовем U:=[(1), …, (q)]TMq,(R) полной матрицей экспериментальных данных входных воздействий2, соответственно, i:=col(wi(1), …, wi(q))Rq полным вектором экспериментальных данных для выходного сигнала wi (i=1,…,n).

коэффициентов нелинейной модели «входвыход» для выходного ЭИИ-сигнала wi выпишем согласно системы (2.5) координатную форму правой части тензорного уравнения его регрессии Здесь «модель входных воздействий» некоторый набор тестовых координат ЭИИ при его «эталонном»

излучении; точная зависимость модели (2.1) от координатной ориентации ЭИИ, как правило, неизвестна, и ее желательно представить приближенно нелинейной аппроксимацией, что и выражено моделью (2.5), при этом аппроксимация (2.5) более обоснована для небольших отклонений аргумента v относительно координат вектора Теперь введем в рассмотрение -вектор zi параметров регрессии zi:=col(ci, ai1, …, aim, bi11,…, bigh, …, bimm, di111,…, diprs, …, dimmm), для модели регрессии (2.7). Ясно, что в силу уравнения (2.7) любой фиксированный набор из n таких векторов полностью определяет (задает) аналитическое представление модели относительно некоторой системы «входвыход» типа (2.5).

МНК-алгоритм. Параметрическая идентификация ЭИИ вида (2.2) в терминах уравнений регрессионной модели (2.5) имеет алгебраическое решение здесь U полная матрица экспериментальных данных входных воздействий (2.6), i полный вектор экспериментальных электромагнитных данных воздействиями (2.6).

Действительно, нелинейная система уравнений (2.5) для каждого l-того эксперимента согласно соотношений (2.6), (2.7) приобретает компактный вид оптимизационную задачу параметрической идентификации вида (2.2) в многокритериальной постановке относительно векторов параметров ЭИИ для регрессионной модели zi, i=1,…,n:

многокритериальная система имеет (в задаче параметрической идентификации системы (2.5)) единственное нормальное псевдорешение (2.8) относительно переменных zi, i=1,…,n.

С л е д с т в и е. [7, c. 263]. Пусть zi*=U+i, i=1,…,n. Тогда каждый интенсивность ЭИИ) такой, что имеет место zzi*, удовлетворяет одному из двух условий:

З а м е ч а н и е 2.2. Качественные оценки а), б) следствия 2.1 в основном зависят от объема апостериорной информации количества экспериментов q, а именно, если q>, то, как правило, реализуется пункт а), если q наиболее вероятно, что имеет место методологическая позиция, т.е. «оценка», выраженная в п. б).

геометрическому исследованию свойств и координат «минимаксных» решений нелинейной векторной регрессии (2.5). Важной чертой полученных ниже аналитических результатов в решении оптимизационной задачи (2.3) является по существу их прямая алгебраическая зависимость от идентифицированных в рамках задачи (2.2) параметров тензорной структуры системы уравнений интенсивности поля ЭИИ (2.5).

2.4. Оптимальное размещение ЭИИ на базе билинейной модели Начнем с редукции конструкции регрессионной системы (2.5) при k=2, приводящей к векторно-матричному виду это «грубое уточнение» имеет довольно специальный (частный) характер нелинейной векторной регрессии ЭИИ, но его использование в потенциале «оптимального» вектора координат установки ЭИИ, что сможет послужить «начальной точкой» в итерационной процедуре построения последовательности улучшения допустимого вектора пространственно- угловой ориентации ЭИИ (см., например, утверждение 2.7).

У т в е р ж д е н и е 2.3. Пусть Bi*:=(Bi+BiТ)Mm,m(R), где матрица Bi идентифицирована согласно билинейно-тензорной регрессии (2.9). Тогда при варьировании координат вектора vRm показатель интенсивности ЭИИ (в точке i) вида:

может, в силу идентифицированных уравнений (2.9) регрессии интенсивности электромагнитного поля ЭИИ, иметь внутренний экстремум только в точке vi*:

где {e1,…,en} стандартный базис в пространстве «пеленгации» Rn.

Если vTBi*v отрицательно определенная квадратичная форма, то функционал качества Ji(v) имеет в точке vi* максимум, если vTBi*v положительно определенная квадратичная форма, то Ji(v) претерпевает в точке vi* минимум; в обоих случаях vi* стационарная точка эллиптического типа.

Наконец, если vTBi*v может принимать как положительные, так и отрицательные значения (с vTBi*v0 при v0), то экстремум отсутствует, а vi* точка установки ЭИИ гиперболического типа (седловая точка).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для показателя качества Ji(v) на множестве значений линейно-квадратичной формы (2.9) необходимое условие наличия локального экстремума определяет следующее аналитические условия:

col((eiTAv+2-1vTBi*v)/v1,…,(eiTAv+2-1vTBi*v)/vm)=0Rm, определяет [5, с. 500] в пространстве Rm геометрические координаты (2.10) для стационарной точки vi* относительно вариаций функционала Ji(v), в то время как знакоопределенность второго дифференциала, определяемого выражением доставляет в точке размещения ЭИИ с пространственными координатами (2.10) достаточные условия [75, с. 504] экстремума для стационарной точки vi*.

З а м е ч а н и е 2.3. Координаты стационарной точки (2.10) позволяют ответить на вопрос о значении функционала Ji(v) когда данная точка является точкой минимума или относительно максимума (точка установки датчика шума).

Следствие определенной (аналогично, отрицательно определенной), то минимальное (соответственно, максимальное) значение электромагнитной наблюдаемости ЭИИ в i равно где ci i-ая координата вектора сRn билинейно-тензорной системы (2.9).

Каждый функционал Ji(v), i=1,…,n при соответствующем истолковании может быть обобщен на случай комплексного целевого функционала (2.3), который рассмотрим ниже. Таким образом, утверждение 2.4 и формула (2.10) позволяют за конечную последовательность простых действий вычислять координаты стационарной точки задачи оптимизации (2.3); данные координаты v определяют в терминах идентифицированных стационарных коэффициентов системы (2.9) геометрические параметры позиционного режима защиты функционирования ЭИИ:

У т в е р ж д е н и е 2.4. Пусть Bi*:=(Bi+BiТ)Mm,m(R), i=1,…,n. Тогда стационарная точка v*Rm задачи минимизации (2.3) интенсивности (2.9) сигнала ЭИИ в комплексе точек его пеленгации {i}1in имеет следующий вид:

при этом достаточным условием, что решение v* обеспечивает качество является требование: стационарная точка v* имеет эллиптический тип, т.е.

где [bij]pMp,p(R) главные подматрицы [6, с. 30] матрицы, определяемой как эквивалентно: собственные значения i матрицы B* отвечают неравенствам З а м е ч а н и е 2.4. Если алгебраические условия (2.12), (2.13) не выполняются, то критическая точка (2.11) является либо гиперболической (т.е.

седловой), либо параболической точкой и, следовательно, требуется дополнительный геометрический анализ «параметров-координат» ЭИИ (2.11).

Говоря более формально наличие седловой точки гарантирует смена хотя бы в одном (но не во всех) отношении неравенства «>» из (2.12), (2.13) на «» на рефлексивное неравенство «», возможно вызывает в стационарной точке (2.11) структуру параболической точки.

Изложенный подход методологически расширяет [115, 116] стандартную процедуру планирования эксперимента [5, 72, 13]. При этом, если расчетные (прогнозируемые) координаты стационарной точки (2.11) по каким-либо идентифицированной модели (2.9), то необходимо провести дополнительный натурный эксперимент, т.е. осуществить замер с вектором v, максимально близким к точке (2.11), координат ЭИИ с внесением полученного результата в расширенную матрицу экспериментальных данных U. После чего необходимо сделать пересчет [115] всех вышеизложенных этапов процесса оптимизации координат источника излучения; при необходимости подобный эксперимент, параметрическую идентификацию (2.9) и оптимизацию (2.3) необходимо повторить. Другой подход МРА использование трилинейной формы (2.5), что составит предмет исследование следующего параграфа.

2.5. Экстремальные свойства трилинейной формы регрессии ЭИИ В этом параграфе рассмотрим задачу оптимизации в постановке п. в) § 2. и обсудим для не алгоритмическую технику построения «оптимального управления» v*Rm. Но прежде рассмотрим данную задачу в варианте оптимизации отдельной переменной (заданной точки пеленгации i) ЭИИвектора w(+v)Rn.

где Bi матрица идентифицированной трилинейно-тензорной регрессионной системы (2.5). Тогда при варьировании координат вектора «управляющих воздействий» vRm показатель функционального качества (интенсивность электромагнитного поля ЭИИ в точке пеленгации i) вида может иметь внутренний локальный экстремум (при (,v)=0) только в точке v*, удовлетворяющей решению нелинейного (билинейного) уравнения:

где {e1,…,en} стандартный базис в Rn, при этом справедливы положения:

определенная квадратичная форма, то функционал качества Ji(v) имеет в v* максимум;