[ «МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОМАЛЬНО БОЛЬШИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В ОКЕАНЕ ...»
УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
ИНСТИТУТ ОКЕАНОЛОГИИ им. П.П. ШИРШОВА РАН
На правах рукописи
Шамин Роман Вячеславович
МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОМАЛЬНО
БОЛЬШИХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН В
ОКЕАНЕ
специальность
25.00.28 океанология
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2011 Оглавление Введение 4 Глава I. Аномально большие поверхностные волны в океане: натурные данные и численные расчеты 33 1. Описания волн-убийц................... 2. Различные подходы к теоретическому изучению волнубийц............................ 3. Сравнение натурных данных и численного моделирования............................ Глава II. Исследование нелинейных уравнений, описывающих волны на воде 4. Основные уравнения.................... 5. Корректность математической модели......... 6. Конструктивное исследование уравнений, описывающих волны на воде....................... Глава III. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн 7. Численные методы..................... 8. Исследование различных режимов динамики поверхностных волн на воде................... 9. Исследование волн-убийц с помощью вычислительных экспериментов....................... Глава IV. Качественные и статистические исследования волн-убийц в океане 10. Вероятности возникновения волн-убийц........ 11. Качественные характеристики волн-убийц....... 12. Вычислительная устойчивость решений, описывающих волны-убийцы....................... 13. Эвристические методы исследования волн-убийц... Заключение Литература Введение Актуальность темы Актуальность темы исследования поверхностных волн аномально большой амплитуды обусловлена тем, что поверхностные волны играют важнейшую роль для морского судоходства, морских и береговых сооружений. Волны аномально большой амплитуды, так называемые волны-убийцы представляют серьезную опасность на море. После получения неопровержимых свидетельств возникновения волн-убийц исследования этих волн стало отдельной и темой в физической океанологии. Между тем, тема описания волн-убийц еще далека от своей завершенности. В настоящей работе поверхностные волны аномально большой амплитуды изучаются с помощью вычислительных экспериментов. Этот подход имеет большие преимущества, поскольку проведение лабораторных и, тем более, натурных экспериментов с целью изучения волн-убийц крайне затруднительно.
Под волнами-убийцами понимают внезапно возникающие одиночные волны огромной (до 30 м) амплитуды. Само название волнаубийца происходит из того, что эти волны приводят к крушениям морских судов, в том числе и с человеческими жертвами, разрушениям морских платформ, а также береговых сооружений. В англоязычной литературе такие волны обычно называют Freak waves или Rogue waves, чем подчеркивается нерегулярность и опасность этого явления в океане. Единого определения волн-убийц не существует. В настоящей работе используется определение, общепринятое в современных работах, посвященных волнам-убийцам [39]. Это определение основано на амплитудном критерии, согласно которому волна-убийца это такая волна, амплитуда которой более чем в два раза превышает значительную высоту волн в данном районе.
По нашему мнению, главной целью исследования волн-убийц является разработка методов прогноза аномально больших волн в океане. Изучение статистики возникновения этих волн позволит подойти к проблеме районирования акватории Мирового океана по уровню опасности возникновения экстремально больших волн. Необходимо также описать физические механизмы возникновения волн-убийц и построить адекватные модели, описывающие динамику этих волн.
Наличие динамического описания такого явления, как волны-убийцы, необходимо для вычисления количественных параметров аномальных волн, что является основным для разработки новых норм безопасности строительства кораблей и морских платформ.
Поскольку феномен волны-убийцы является относительно редким и непредсказуемым, то натурное изучение этих волн весьма затруднительно. С другой стороны, и лабораторные исследования аномально больших волн тоже имеют большие ограничения. Поэтому в последнее время все более актуальным становятся теоретические исследования. Поскольку мы имеем дело с существенно нелинейным физическим процессом, то проведение аналитических исследований является крайне сложной задачей. Таким образом, основным средством изучения волн-убийц становится вычислительный эксперимент.
В настоящее время существуют фотографии и инструментальные записи фактов возникновения поверхностных волн аномально большой амплитуды волн-убийц. Однако наше представление об этих волнах базируется в основном на отдельных случаях [21, 22, 40]. В то же время, по данным С.К. Гулева и В.Г. Григорьевой (2004) [105], существует значительная межгодовая изменчивость ветрового волнения. В частности, в некоторых районах Мирового океана обнаруживается рост интенсивности штормовых волн. В связи с этим вопрос о связи вероятности таких аномальных событий, как волны-убийцы, с характеристиками поля ветрового волнения приобретает большое значение.
Изучение поверхностных ветровых волн сопряжено с известными трудностями, связанными со сложностью и большой разнообразностью физических явлений на поверхности океана. Изучению ветровых волн посвящено большое количество фундаментальных работ таких авторов, как И.Н. Давидан, В.Е. Захаров, С.А. Китайгородский, В.П. Красицкий, И.В. Лавренов, М.С. Лонге-Хиггинс, А.С. Монин, О.М. Филлипс, К. Хассельман и др. Современные теории ветрового волнения, основанные на статистических подходах, позволяют получить закономерности развития волнения в среднем. Важную роль при этом играют и эмпирические зависимости роста волнения (Г.С.
Голицын (2010) [16]), связь которых с современными теоретическими представлениями удалось установить совсем недавно (С.И. Бадулин, А.В. Бабанин, Д. Ресио, В.Е. Захаров (2007) [90]). Однако при статистическом описании волнения не учитывается информация о конкретной форме поверхности, а волны-убийцы представляют собой индивидуальное событие с нехарактерным профилем волны. Поэтому аномально большие волны (волны-убийцы), очевидно, не могут быть описаны в рамках статистического подхода. Необходимо обращение к нелинейным уравнениям, описывающим динамику поверхностных волн.
Для решения принципиальной проблемы прогноза волн-убийц необходимо иметь строгое обоснование нелинейных математических моделей, описывающих поверхностные волны на больших временных интервалах вплоть до обрушения, и эффективные численные методы расчета динамики волн на воде. В настоящей диссертации предложена целостная математическая теория на основе нелинейных уравнений, позволяющая вычислять вероятности возникновения волнубийц в зависимости от параметров начального волнения и вопросы устойчивости волн-убийц относительно внешних воздействий. В рамках этой теории разработаны эффективные численные методы для расчета поверхностных волн в океане. Дано доказательство сходимости этих методов, а также получены важные для практического применения результаты о регуляризации вычислительных процедур в условиях машинной точности. Полученные математические результаты применяются для организации масштабных вычислительных экспериментов по моделированию поверхностных волн с целью получения большого массива расчетных данных необходимых для изучения волн-убийц.
Научная новизна состоит в том, что волны убийцы изучаются на основе полных нелинейных уравнений с использованием строго доказанных математических методов.
В математической теории нестационарных уравнений, описывающие динамику поверхностных волн на воде, научная новизна состоит в том, что уравнения были систематически исследованы не на малых временных интервалах, а на максимальных временных интервалах, на которых существует решение. В области построения и обоснования численных методов научная новизна состоит в том, что вычислительные процедуры, рассматриваются в условиях машинной точности, а также эти процедуры проектируются таким образом, чтобы служить основой для проведения доказательных вычислений в области моделирования динамики поверхностных волн экстремальной амплитуды. В исследовании качественных и статистических характеристик волн-убийц новизна состоит в оригинальных постановках задачи и проведении масштабных экспериментов на основе полных уравнений с большой точностью. Новыми являются теоретико-игровые методы интерпретации возникновения волн-убийц.
Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и списка используемой литературы.
Первая глава является вводной. В этой главе приводятся наиболее известные описания волн-убийц в Мировом океане. Дается обзор различных подходов к изучению волн-убийц.
Результаты численного расчета сравниваются с известными инструментальными записями волн-убийц. Одним из наиболее известных случаев инструментальной записи волны-убийцы является регистрация на норвежской нефтяной платформе 1 января 1995 года в Северном море (56.5 с.ш., 3.2 в.д.) аномальной волны, получившей название Новогодней волны. На рис. 1 приведем волнограмму этой волны из работы [112], график 1.4.(b). А на рис. 2 приведем волнограмму из одного численного опыта входившего в серию вычислительных экспериментов, описанную в четвертой главе диссертации.
Рис. 1. Волнограмма Новогодней волны из работы [112].
высота (м) 600 700 800 900 1,0001,1001,2001,3001,4001,5001,6001, В цитированной выше работе также приведен подробный график волнограммы этой волны, который мы воспроизводим на рис. 3. Приведем аналогичный график из результатов численного эксперимента на рис. 4.
Рис. 3. Подробная волнограмма Новогодней волны [112].
высота (м) Рис. 4. Подробная волнограмма численного эксперимента Сравнивая эти графики, мы видим качественное совпадение результатов численного моделирования и натурных данных. В тексте диссертации также приведены и другие примеры качественного совпадения результатов численного моделирования и известных инструментальных записей волн-убийц.
Во второй главе исследуются нелинейные уравнения, описывающие поверхностные волны в океане. В этой главе строятся основы математической теории для проведения вычислительных экспериментов по моделированию волн-убийц. Рассматриваются эволюционные уравнения, описывающие динамику идеальной жидкости со свободной границей в конформных переменных. Использование конформных преобразований в задачах гидродинамики идеальной потенциальной жидкости является традиционным, однако в данной работе используется конформные переменные для нестационарных уравнений. Эти уравнения могут быть записаны в виде ный интегральный оператор Гильберта, g ускорение свободного падения. Система (1)–(2) представляют собой систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Неизвестными в этой системе являются функции R(t, u), V (t, u), знание которых позволяет в точности восстановить профиль свободной поверхности и потенциал скоростей.
При рассмотрении вопросов развития морского волнения необходимо учитывать внешнее воздействие на свободную поверхность.
Согласно физическому смыслу функций R и V, учесть внешнее воздействие можно с помощью дополнительных слагаемых в правой части уравнений (1)–(2). При этом не только воздушные потоки воздействуют на морскую поверхность, но и движение жидкости также воздействует на окружающие воздушные массы. Однако рассмотрение совместных уравнений для описания динамики жидкости и воздух является довольно сложным, такие уравнения рассматривались, например, в работе Д.В. Чаликов, С.Е. Раинчик (2010) [97]. В настоящей работе в качестве правых частей уравнений (1)–(2) используются функционалы, зависящие от значений функций R и V в предшествующие моменты времени. Такой подход позволяет теоретически охватить большое количество вариантов взаимодействия жидкости и воздуха. В итоге получается система функционально-дифференциальных уравнений с последействием.
Доказано существование решений на максимальном временном интервале, на котором это решение удовлетворяет таким естественным физическим условиям, как непрерывность и отсутствие самопересечения свободной поверхности. Этот результат позволяет ответить на вопрос о том, как разрушаются решения уравнений, описывающих поверхностные волны идеальной жидкости. Решения заканчивают свою жизнь после наступления одного из следующих обстоятельств: профиль свободной поверхности теряет свойство непрерывности и/или образуется самопересечение профиля свободной поверхности.
Для построения методов конструктивного исследования поверхностных волн в океане при наличии внешних ветровых воздействий предложена методика аппроксимации исходных уравнений эволюционными дифференциальными включениями.
Третья глава посвящена методам проведения вычислительных экспериментов в моделировании поверхностных волн в океане. Наиболее эффективным методом решения этой системы эволюционных уравнений является проекционный или спектральный метод, основанный на редукции уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказана сходимость численных схем, а также решена сложная задача о преодолении вычислительной неустойчивости, возникающей при решении систем дифференциальных уравнений большой размерности. Предложен новый эффективный метод регуляризации вычислительной процедуры в условиях машинной арифметики. Показано, что этот метод является одним из видов регуляризации некорректных задач, и доказана его сходимость. Суть метода состоит в том, чтобы обрезать бесконечные ряды Фурье не по номеру гармоник, а обнулять те коэффициенты Фурье, которые по модулю меньше некоторого порогового значения.
В этой главе показано также, что с помощью численных схем возможно конструктивно определять временной интервал, на котором существует решение, обладающее заданными свойствами.
Теоретические результаты продемонстрированы на примерах различных режимов динамики поверхностных волн на воде. Рассматриваются бегущие волны, пример обрушивающейся волны, волны Фарадея, а также режим неустойчивости Рэлея-Тейлора.
Четвертая глава полностью посвящена поверхностным волнам аномально большой амплитуды, так называемым волнам-убийцам.
Рассмотрим постановку основных вычислительных экспериментов. Начальные условия для задачи (1)–(2) определялись как ансамбль бегущих в одну сторону волн со средним значением волнового числа K0 = 25. Мы предполагали, что начальное возмущение поверхности задается суммой гармоник со случайными фазами где Kmax полное число спектральных мод, k случайная величина, равномерно распределенная на интервале 1 Kmax < k < 1 Kmax.
Начальные значения поля скоростей предполагались связанными с формулами линейной теории. Функция (k) определялась по формуле Здесь k независимые случайные параметры, равномерно распределенные на интервале 1 Kmax < k < 1 Kmax. Число 1 Kw определяло спектральную ширину,, внутренние параметры спектра, определенные так, чтобы внешние параметры квадрат принимали заданные значения. Вклад в полную энергию случайного шума составлял не более трех процентов.
Было проделано 5000 элементарных экспериментов. В каждом эксперименте время менялось до 104, что соответствовало приблизительно 500 периодам волн. Если происходило обрушение волн, счет прекращался досрочно. В расчетах полное число гармоник было Kmax = 2048 или Kmax = 4096 в зависимости от квадрата средней крутизны.
Регистрация волн-убийц производилась с помощью амплитудного существенная высота волн, т.е. средняя амплитуда одной трети самых высоких волн. Требовалось также, чтобы локальная крутизна волны |x | превышала критическое значение, т.е. было выполнено условие max |x | 0.3. Это требование вызвано физическими сообпараметры метода. На основе анализа данных вычислительных экспериментов наилучший выбор параметров этого метода показал точность прогноза в 68.94%.
Факт возникновения волны-убийцы в ходе нелинейной динамики можно трактовать с помощью теории игр. Введем определение формальной игры в нашем случае. Пусть рассматривается динамика цуга волн при t [0, T ]. Будем считать, что на этом временном отрезке количество отдельных волн конечно и постоянно. Пусть у нас есть N волн. Соответственно, можно рассматривать игру N игроков, где под каждым игроком мы будем понимать отдельную волну. В начальный момент времени каждая волна имеет заданное значение энергии Ei (0) = Ei и амплитуды Ai (0) = Ai, где Ei (t) и Ai (t) суть энергия и амплитуда i-ой волны в момент времени t. Допустимыми стратегиями игроков являются конкретный вид начального профиля и начальной скорости волны, с учетом ограничений на энергию и амплитуду. В вычислительных экспериментах по этим параметрам случайным образом выбирается профиль волны, что соответствует некоторым смешанным стратегиям игроков. Функция выигрыша iой волны в рассматриваемой игре определяется как амплитуда волны Ai (T ) в конечный момент t = T.
Введем понятие справедливости игры. Будем использовать обоHmax (t) значение: (t) =. Пусть пороговое значение этой функции, при котором мы регистрируем волну-убийцу, равно f w (в наших экспериментах f w = 2.1). Игра называется справедливой, если выполнено условие: (0) < f w, (T ) < f w. В случае, когда выполнено условие вая.
Несправедливость игры означает, что из относительно равных начальных условий используемые смешанные стратегии могут приводить к тому, что единичные игроки получают выигрыши, значительно превосходящие выигрыши остальных игроков. Таким образом факт возникновения волны-убийцы означает, что рассматриваемые вычислительные эксперименты приводят к несправедливой игре.
В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы.
Результаты диссертационной работы излагались: на Ученом совете в Институте океанологии им П.П. Ширшова РАН, на Ученом совете Физического направления Института океанологии им П.П. Ширшова РАН, на Научных сессиях Совета РАН по нелинейной динамике; в Институте вычислительных технологий СО РАН (Новосибирск) под руководством академика Ю.И. Шокина, В.М. Ковеня;
в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) под руководством В.В. Пухначева; в Институте Альфреда Вегнера полярных и морских исследований (Бремергафен, Германия); на семинаре в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН под руководством С.Ю. Доброхотова, в Институте вычислительной математики РАН на семинаре под руководством Г.М.
Кобелькова, В.И. Лебедева, А.В. Фурсикова, на семинарах механикоматематического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: под руководством М. С. Аграновича и М. И. Вишика и семинаре под руководством академика В.В. Козлова и член-корреспондента Д.В. Трещева;
в Московском авиационном институте на семинаре под руководством Г. А. Каменского и А. Л. Скубачевского, а также на семинаре под руководством П. С. Красильникова; на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством А. Л. Скубачевского;
на семинаре в Московском энергетическом институте под руководством Ю.А. Дубинского; в Свободном университете Берлина (Берлин, Германия); в Университете Гумбольдта (Берлин, Германия); в Институте Вейерштраса прикладного анализа и стохастики (Берлин, Германия).
А также на конференциях: Асимптотические методы и математическая физика, Москва, 2010; Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего, 2009; The Fifth International Workshop SOLITONS, COLLAPSES AND TURBULENCE: Achievements, Developments and Perspectives CHERNOGOLOVKA, Moscow region, 2009; International Conference Control and Optimization of Dynamical Systems CODS-2009, Tashkent, Uzbekistan, 2009; Итоговой конференции по результатам реализации Программы фундаментальных исследований Президиума РАН Фундаментальные проблемы океанологии: физика, геология, биология, экология Москва, 2008; The Fifth International Conference on Dierential and Functional Dierential Equations. Abstracts. Moscow, 2008; 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых, Бийск, 2008; Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина, Москва 2008; Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна-2008. Воронеж, 2008; Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф. Барнаул, 2007; International Conference Nonlinear partial dierential equations. Yalta, Crimea, Ukraine, 2007; Международная конференция Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения. Москва, 2007; International Conf. Dierential Equations and Related Topics dedicated to I.G. Petrovskii, Moscow 2007; IUTAM Symposium Hamiltonian dynamics, Vortex structures, Turbulence. Moscow, 2006; International Conference Tikhonov and contemporary mathematics Moscow, Russia, 2006; International Conference Mathematical Hydrodynamics Moscow 2006; Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2006; International Conference Nonlinear partial dierential equations. Alushta, 2005; Fourth International Conference on Dierential and Functional-Dierential Equations, Moscow, Russia, 2005.
Основные результаты диссертации опубликованы в 42-х научных работах. В том числе в монографии в издательстве Наука, 15-ти рецензируемых журналах (из них 13 из списка ВАК), 4-х статьях в рецензируемых сборниках, 22-х тезисах конференций.
В работах [2] и [3] автору принадлежит частично постановка вычислительных экспериментов, полностью численная реализация программных комплексов, а также проведение экспериментов и обработка результатов экспериментов. В работах [15], [18], [19] автору принадлежит идея статей, математическое обоснование применяемых методов, а также интерпретация результатов экспериментов. Все остальные работы выполнены без соавторов.
1. Шамин Р.В. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн в океане. М.: Наука, 2008. 133 с.
2. Захаров В.Е., Шамин Р.В. О вероятности возникновения волнубийц // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 91. Вып. 2. С. 68-71.
3. Zakharov V.E., Dyachenko A.I., Shamin R.V. How probability for freak wave formation can be found // THE EUROPEAN PHYSICAL JOURNAL - SPECIAL TOPICS. 2010. Vol. 185. N 1. P. 113-124.
4. Шамин Р.В. Поверхностные волны на воде минимальной гладкости // Современная математика. Фундаментальные направления. 2010. Т. 35. С. 126-140.
5. Шамин Р.В. Разрешимость уравнений, описывающих волны минимальной гладкости // Доклады Академии наук. 2010. Т. 432.
6. Шамин Р.В. Аппроксимация эволюционных дифференциальных уравнений в шкалах гильбертовых пространств // Математические заметки. 2009. Т. 85. N 2. С. 318-320.
7. Шамин Р.В. Динамика идеальной жидкости со свободной поверхностью в конформных переменных // Современная математика. Фундаментальные направления. 2008. Т. 28. С. 3-144.
8. Шамин Р.В. Регуляризация метода прямых в условиях машинной точности с примерами в гидродинамике со свободной поверхностью // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. N 5. С.
113-124.
9. Шамин Р.В. Моделирование поверхностных волн: статистический метод анализа разрешимости // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. Специальный выпуск 2. С. 87-93.
10. Шамин Р.В. Об оценке времени существования решений уравнения, описывающего поверхностные волны // Доклады Академии наук. 2008. Т. 418. N 5. С. 603-604.
11. Шамин Р.В. К вопросу об оценке времени существования решений системы Коши-Ковалевской с примерами в гидродинамике со свободной поверхностью // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. Т. 21. С. 133-148.
12. Шамин Р.В. Об одном численном методе в задаче о движении идеальной жидкости со свободной поверхностью // Сибирский журнал вычислительной математики. 2006. Т. 9. N 4. С. 379-389.
13. Шамин Р.В. О существовании гладких решений уравнений Дьяченко, описывающих неустановившиеся течения идеальной жидкости со свободной поверхностью // Доклады Академии наук.
2006. Т. 406. N 5. С. 112-113.
14. Шамин Р.В. О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Математический сборник. 2003. Т. 194. Вып. 9. С. 1411-1426.
15. Shamin R.V., Moiseeva S.N. Functional Dierential Equations and Freak Waves // Functional Dierential Equations. 2009. V. 16. N 4. P. 627-637.
16. Шамин Р.В. Модели ветрового волнения на основе функциональнодифференциальных уравнений // Актуальные проблемы фундаментальной и прикладной математики: Сб. науч. тр. М.: МФТИ. 2009. С. 143-149.
17. Shamin R.V. About Analytic Solvability of Nonstationary Flow of Ideal Fluid with a Free Surface // IUTAM Symposium on Hamiltonian Dynamics, Vortex Structures, Turbulence. Springer Netherlands.
2008. P. 323-329.
18. Шамин Р.В., Геогджаев В.В. Статистическое исследование существования решений, описывающих поверхностные волны // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна. 2008. Воронеж: ВорГУ, 2008. С. 309-313.
19. Шамин Р.В., Дружинин В.А.. О моделировании нелинейных эволюционных функционально-дифференциальных уравнений // Нелинейные граничные задачи. 2006. Вып. 16. С. 226-232.
20. Shamin R.V. Spaces of Initial Data for Dierential Equations in Hilbert Spaces and the Kato problem // Ulmer Seminare uber Funktionalanalysis und Dierentialgleichungen. 2002. V. 7. P. 375Шамин Р.В. Волны-убийцы в океане: доказательные вычисления и оценка вероятности возникновения // Тезисы докладов конференции Асимптотические методы и математическая физика, Москва, 2010. С. 56-57.
22. Шамин Р.В. О разрешимости нелинейных систем Коши-Ковалевской на конечном временном интервале // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего. - М.: Издательство Университетская книга, 2009. С. 232-233.
23. Шамин Р.В. Волны на воде: моделирование и статистические характеристики // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием Математическое моделирование и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 214-215.
24. Shamin R.V. Freak Waves Simulation and Conclusive Simulation // The Fifth International Workshop SOLITONS, COLLAPSES AND TURBULENCE: Achievements, Developments and Perspectives Chernogolovka, Moscow region, RUSSIA August 2-7, 2009. P. 41.
25. Шамин Р.В. Моделирование поверхностных волн экстремальной амплитуды - волн-убийц // Abstracts of International Conference Control and Optimization of Dynamical Systems CODS-2009, 28-30 september 2009, Tashkent, Uzbekistan. С. 113.
26. Шамин Р.В. Общие эволюционные функционально-дифференциальные уравнения // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании. Тезисы докладов Российской Школыконференции с международным участием Математика, информатика их приложения и роль в образовании 14-18 декабря 2009 г. С. 123.
27. Шамин Р.В., Моисеева С.Н.. Статистические характеристики волн-убийц // Тезисы докладов Итоговой конференции по результатам реализации Программы фундаментальных исследований Президиума РАН Фундаментальные проблемы океанологии: физика, геология, биология, экология Москва, Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН, 27-28 ноября 28. Шамин Р.В. Использование статистических методов при исследовании разрешимости нелинейных уравнений // The Fifth International Conference on Dierential and Functional Dierential Equations. Abstracts. Moscow, Russia, August 17-24, 2008. P. 121.
29. Шамин Р.В. Об уравнениях гидродинамики со свободной поверхностью в конформных переменных // Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения. Тезисы докладов 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых. 28 июня - 3 июля 2008 года, Бийск, 2008. С. 105-106.
30. Шамин Р.В. Разрешимость систем Коши-Ковалевской на конечно временном интервале // Дифференциальные уравнения и топология: Международная конференция, посвященная 100летию со дня рождения Л.С. Понтрягина: тезисы докладов. М.: ВМиК МГУ, 2008. С. 208.
31. Шамин Р.В.. Идеальная жидкость со свободной поверхностью в условиях вибрации // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. 2008. Тезисы докладов. Воронеж, 2008. С.
32. Шамин Р.В. Численное моделирование волн-убийц // Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф. Тезисы IX Всероссийской конференции, Барнаул, 2007. С. 114.
33. Shamin R.V. Estimation time of existence water waves // BOOK OF ABSTRACTS. International Conference Nonlinear partial differential equations. Yalta, Crimea, Ukraine, 2007. P. 65.
34. Шамин Р.В. К вопросу об оценке времени существования решений уравнений, описывающих волны на воде // Международная конференция Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения. Тезисы докладов, 2007. С. 648.
35. Шамин Р.В. Конструктивная оценка времени существования решений уравнений, описывающих поверхностные волны идеальной жидкости // Abstracts of International Conf. Dierential Equations and Related Topics dedicated to I.G. Petrovskii, Moscow, MSU, 2007. P. 289-287.
36. Shamin R.V. About solvability and numerical simulation of nonstationary ow of ideal uid with a free boundary // Book of abstracts.
IUTAM Symposium Hamiltonian dynamics, Vortex structures, Turbulence (Moscow, 25-30 August 2006). P. 126-127.
37. Shamin R.V. About solvability and numerical methods of nonstationary ow of uid with a free surface // International Conference Tikhonov and contemporary mathematics Moscow, Russia, June 19-25, 2006.
Abstracts of session Computational mathematics and informatics.
P. 111-112.
38. Shamin R.V. About solvability and simulation equations describing motion of ideal liquid with free boundary // International Conference Mathematical Hydrodynamics Moscow, Russia, June 12-17, 2006.
Abstracts. P. 67-68.
39. Шамин Р.В. О существовании решений нелинейной задачи движения идеальной жидкости со свободной поверхностью и численном моделировании таких задач // Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2006. Тезисы докладов. Воронеж, 2006. С. 108-109.
40. Shamin R.V. About solvability and numerical simulation of nonstationary ow of incompressible uid with a free surface // Book of Abstracts. International Conference Nonlinear partial dierential equations. Alushta, September 17-23, 2005. P. 89.
41. Шамин Р.В. О существовании гладких решений уравнений, описывающих течения идеальной жидкости со свободной поверхностью // Abstracts of the Fourth International Conference on Dierential and Functional-Dierential Equations, Moscow, Russia, August 14-21, 2005. P. 13.
42. Шамин Р.В. О нестационарном течении идеальной жидкости со свободной поверхностью // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения, Материалы международной научной конференции ТВМНА-2005, Воронеж, издво ВГУ, 2005. С. 109-110.
Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность руководителю и вдохновителю работы академику Владимиру Евгеньевичу Захарову и своему первому учителю профессору Александру Леонидовичу Скубачевскому. Автор также благодарит своих коллег сотрудников Лаборатории нелинейных волновых процессов ИО РАН: С.И. Бадулина, В.В. Геогджаева, Н.Г. Кожелупову, Б.Н. Филюшкина, В.И. Шриру и преподавателей кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДН: М.Е. Боговского, Е.М. Варфоломеева, П.Л. Гуревича, Л.Е. Россовского, В.Ж. Сакбаева, М.Ф. Сухинина, а также А.И. Дьяченко, Г.А. Каменского, А.С. Левина, И.А. Малиновскую, А.И. Смирнову, Д.В. Сошникова.
Аномально большие поверхностные волны в океане: натурные данные и численные расчеты Как известно, единого определения волн-убийцы, охватывающего все аспекты этого явления нет. Это связано как с многогранностью волнубийц, так и с тем, что волнами-убийцами часто называют совершенно разные явления. Мы будем рассматривать волны-убийцы как поверхностные волны в океане, которые обладают следующими основными признаками:
1. одиночная волна или небольшая группа волн, состоящая из двух-трех волн, амплитуда которых превосходит амплитуду остальных волн в данной районе;
2. волна имеет большую крутизну;
3. волна возникает внезапно;
4. волна обладает достаточно большой энергией и импульсом.
Конечно, эти признаки не являются строгим определением. В последующих главах, где мы будем изучать эти волны с помощью вычислительных экспериментов, мы будем использовать формальные определения волн-убийц, которые однако будут согласовываться с приведенными выше признаками.
Проблема волн-убийц очень часто рассматривается как сравнительно недавно возникшая практическая и теоретическая проблема. Однако, известны многочисленные описания встреч с волнамиубийцами. В очень древних источниках можно найти описания, прямо или косвенно упоминающие о столкновениях мореходов с этим грозным природным явлением. Выдающийся французский мореплаватель Жюль Себастьян Сезар Дюмон-Дюрвиль (Julles Sebastien Cesar Dumont D’Urville, 1790-1842), по-видимому, первым дал количественную оценку встреченной им гигантской волны 80-100 футов. ДюмонДюрвиль отметил одну характерную черту виденной им волны, окрестив её galejade, что можно перевести как грубая, неприличная шутка, мистификация. Волна возникла совершенно неожиданно на фоне относительно слабого волнения, судно и команда совершенно не были готовы к встрече с ней. Эта особенность отражена и в других синонимах волн-убийц, встречающихся в разных языках. На том же французском языке эти волны называют "les ondes scelerates т.е. подлые, злодейские волны. В английском языке доминируют два термина:
freak ненормальный, придурок и rogue непослушный, нестандартный.
Многие морские трагедии произошли и продолжают происходить в результате недооценки опасности морского волнения и таких экстремальных его проявлений как волны-убийцы. 7 сентября 1893 года погиб броненосец береговой обороны Русалка, совершавший привычный переход между Ревелем (Таллин) и Гельсингфорсом (Хельсинки) в штормовых условиях. Поиски судна в 1893-1894 годах не дали результатов. Судно было обнаружено только в 2003 году усилиями группы эстонских исследователей. Положение судна и известные обстоятельства гибели позволили высказать гипотезу о его встрече с волной-убийцей [50]. В момент трагедии судно совершало резкий манёвр, о чём свидетельствует крайнее положение лопасти руля. Был ли этот манёвр продиктован решением командира вернуться в Ревель или же попыткой уйти от встречи с внезапно возникшей гигантской волной-убийцей, уверенно ответить невозможно. Ясно только, что корабль неожиданно получил огромное количество воды через палубные люки и мгновенно получил большой дифферент на нос.
Корабль найден на глубине 74 метра в почти вертикальном положении, зарывшимся в илистый грунт на половину корпуса. Случай с Русалкой иллюстрирует две типичные особенности инцидентов с волнами-убийцами (если это, действительно, была волна-убийца): вопервых, недооценку условий плавания, во-вторых, недостаточность и явную неполноту свидетельств о трагедии. Автор версии А.А. Никонов связывает трагедию с волной-убийцей, подобной той, что была измерена в Чёрном море. Высота этой волны почти в 8 раз превышала значимую высоту волнения. Исчезновение 7 декабря 1978 года супертанкера Мюнхен, считавшегося практически непотопляемым, документировано как следствие встречи с волной-убийцей аналогично случаю с броненосцем Русалка. При этом единственное обнаруженное доказательство катастрофы - искорёженная чудовищной силой спасательная шлюпка. Случаи благополучных (сравнительно благополучных) исходов встреч с волнами-убийцами довольно многочисленны и позволяют обнаружить характерные черты этого явления, оценить максимальные высоты этих волн и сделать полезные практические выводы.
Непредсказуемость появления волн-убийц, их слабая видимая связь с особенностями волнения и силой ветра замечательно иллюстрируется снимками М.М. Соколовского, сделанными у побережья Камчатки в июне 2006 года. Серия крутых уединённых волн высотой более 1 метра наблюдалась в течение нескольких десятков минут на фоне пологой океанской зыби (длина волн 200-300 метров, амплитуда около 1 метра) при практически безветренной погоде. Именно отсутствие видимых причин зарождения волн-убийц делает вопрос о возможности их образования в силу особенностей собственной существенно нелинейной динамике вопросом первостепенной важности.
2. Различные подходы к теоретическому Для исследования волн-убийц применялись различные подходы.
Во-первых, экстремальные волны рассматривались на основе линейной теории. К таким методам можно отнести подходы, основанные на интегральном представлении Маслова: Доброхотов С.Ю. (1983) [23], Brown M.G. (2000) [94]. На основе линейного приближения развивались методы, основанные на геометрической фокусировки: Brown M.G., Jensen A. (2001) [93], Johannessen T.B., Swan C. (2001) [109] и др.
В рамках линейной теории рассматривались волны аномальной амплитуды, возникающие при взаимодействии с течениями: Peregrine D.H. (1976) [121], White B.S., Fornberg B. (1998) [134] и др.
Во-вторых, волны-убийцы рассматриваются как нелинейные эффекты. В рамках нелинейной динамики волны-убийцы рассматривались как результат модуляционной неустойчивости и дисперсионного сжатия: Пелиновский Е.Н., Хариф К. (2000) [61], Dysthe K.B., Trulsen K. (1999) [103], Henderson K.L., Peregrine D.H., Dold J.W. (1999) [108], Zakharov V.E., Dyachenko A.I, Prokoev A.O. (2006) [140] и др.
Также в рамках нелинейной теории рассматривались приближения на мелкой воде: Pelinovsky E., Talipova T., Kharif C. (2000) [122] и др. Для изучения волн-убийц также применялись методы, основанные на уравнении Захарова и кинетических уравнений: Badulin S.I., Shrira V.I., Kharif C., Iualalen M. (1995) [91], Korotkevich A.O., Pushkarev A.N., Resio D., Zakharov V.E. (2008) [113] и др.
В последнее время увеличивается число работ, в которых волныубийцы исследуются на основе полных нелинейных уравнений гидродинамики: Henderson K.L., Peregrine D.H., Dold J.W. (1999) [108], Baterman W.J.D., Swan C., Taylor P.H. (2001) [92], Chalikov D., Sheinin D. (2005) [96], Chalikov D. (2009) [95], Рубан В.П. (2010) [63], Dyachenko A.I., Zakharov V.E. (2008) [102] и др.
Моделирование волн-убийц на основе полных нелинейных уравнений позволяет наблюдать динамику эти волны в вычислительных экспериментах с большой точностью. Именно такой подход к изучению аномально больших волн используется в настоящей диссертации. Основной целью нашего исследования является получение оценок вероятности возникновения волн-убийц в зависимости от параметров начальных данных. Для этой цели мы проводим масштабные вычислительные эксперименты по моделированию волн на воде.
При таком подходе становится принципиальным вопрос о строгом обосновании математической модели. Для этого мы систематически изучаем нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, что позволяет проводить вычислительные эксперименты на основе полностью обоснованной математической модели. Более того, некоторые наши численные опыты можно трактовать как доказательные вычисления.
3. Сравнение натурных данных и численного В последующих главах диссертации мы будем систематически изучать волны-убийцы с помощью вычислительных экспериментов. В настоящем параграфе мы проведем сравнение результатов наших численных экспериментов с известными натурными записями.
Одним из наиболее известных случаев инструментальной записи волны-убийцы является регистрация на Норвежской нефтяной платформе 1 января 1995 года в Северном море (56.5 с.ш., 3.2 в.д.) аномальной волны, получившей название Новогодней волны. Приведем из работы Kharif C., Pelinovsky E., Slunyaev A. (2009) график 1.4.(b), на котором изображена волнограмма этой волны.
А теперь приведем волнограмму из одного численного опыта моделирования нелинейной динамики поверхностных волн в океане.
Этот опыт входил в серию вычислительных экспериментов, описанную в четвертой главе диссертации.
В цитированной выше работе также приведен подробный график волнограммы этой волны.
Рис. I.1. Волнограмма Новогодней волны из работы [112].
evalution(m) Приведем такой же график из результатов численного эксперимента.
Теперь приведем другую волнограмму волны-убийцы, сделанную на платформе также в Северном море. Приведем из работы Kharif C., Pelinovsky E., Slunyaev A. (2009), график 1.4.(a).
Рис. I.3. Волнограмма новогодней волны из работы [112].
evalution(m) А теперь приведем волнограмму из численного опыта моделирования. Этот опыт также входил в серию вычислительных экспериментов, описанную в четвертой главе диссертации.
В цитированной выше работе также приведен подробный график волнограммы этой волны.
Приведем такой же график из результатов численного экспериРис. I.5. Волнограмма из работы [112].
evalution(m) мента.
Также известным является запись с буя в Черном море, сделанная 22 ноября 2001 года. Приведем из работы [112].
А теперь приведем волнограмму из численного опыта моделирования.
В цитированной выше работе также приведен подробный график evalution(m) волнограммы этой волны.
Приведем такой же график из результатов численного эксперимента.
Наконец, приведем еще два примера сравнения волнограмм реальных записей и результатов численного моделирования. На следующем рисунке приведена волнограмма сделанная в Северном море.
evalution(m) Эта запись представляет собой явление дырки в море, которое часто встречалось в описаниях моряков. Аналогичный эффект можно наблюдать и в наших вычислительных экспериментах.
Закончим наш обзор сравнения реальных волнограмм с результатами численного моделирования примером, где представлен эффект evalution(m) три сестры.
На основании приведенных примеров можно сделать вывод о качественном совпадении известных инструментальных данных наблюдения волн-убийц с результатами наших вычислительных экспериментов.
evalution(m) evalution(m) 8,450 8,460 8,470 8,480 8,490 8,500 8,510 8,520 8,530 8, Исследование нелинейных уравнений, описывающих 4.1. функциональные пространства Введем некоторые определения функциональных пространств, в которых будем рассматривать уравнения. Пусть X произвольное банахово пространство. Для любого 0 < T < мы введем банахово пространство непрерывных на [0, T ] функций со значениями в пространстве X. Это пространство мы будем обозначать C([0, T ]; X). норма в этом пространстве вводится по формуле Через C k ([0, T ]; X), k > 0 мы будем обозначать банахово пространство непрерывно дифференцируемых вплоть до k-го порядка функций, заданных на [0, T ], со значениями в пространстве X. Норма в этих пространствах вводится по формуле Условимся обозначать C 0 ([0, T ]; X) = C([0, T ]; X).
Для 1 p < введем банаховы пространства Lp (0, T ; X) как пространства измеримых на (0, T ) функций со значениями в пространстве X и интегрируемых на [0, T ] в степени p. Норма в этих пространствах вводится по стандартной формуле Также будем использовать пространство L (0, T ; X), состоящее из измеримых на (0, T ) функций со значениями в пространстве X таких, что конечна норма то есть равная нижней грани всех констант C, для которых множество {t [0, T ] : u(t) > C} имеет лебегову меру нуль.
Пусть теперь H гильбертово пространство. Будем рассматривать пространство L2 (0, T ; H) как гильбертово со скалярным произведением Будем также рассматривать пространство W (0, T ; X) абсолютно непрерывных функций со значениями в X, имеющих первую производную из L (0, T ; X) с нормой Пусть Q Rn ограниченная область с границей Q, удовлетворяющей условию Липшица. Мы будем обозначать через Wp (Q), 1 p < пространство Соболева комплекснозначных функций из L2 (Q), имеющих все обобщенные производные вплоть до k-го порядка из L2 (Q), с нормой Через W2 (Q) обозначим замыкание множества финитных бесконечk но дифференцируемых функций C (Q) в W2 (Q), а через W2 (Q) обозначим пространство, сопряженное к W2 (Q).
Начнем с ряда упрощающих предположений, которые позволят нам построить математическую модель движения жидкости. Во-первых, мы будем считать жидкость сплошной и однородной средой. При этом мы будем описывать состояние жидкости, занимающей объем Q R3, с помощью поля скоростей:
x = (x1, x2, x3 ) Q. Переменные (x) называются переменными Эйv лера. Поскольку мы рассматриваем нестационарное течение жидкости, поле скоростей будет зависеть от времени: = (x, t). Область, занимаемая жидкостью, также может зависеть от времени (в частности, в задачах со свободной поверхностью): Q = Q(t). Во-вторых, мы будем считать жидкость несжимаемой. В терминах поля скоростей этот факт выражается формулой Заметим, что условие (II.1) доставляет значительные трудности при теоретическом изучении уравнений, а также при проведении численных расчетов. В-третьих, мы будем рассматривать жидкости при отсутствии вязкости. Известно, что такая обычная жидкость, как вода имеет очень небольшой коэффициент вязкости1 : = 1, 005·103 Па·с, для сравнения глицерин имеет коэффициент вязкости = 4, 22 Па·с, см. [45]. Исключение из рассмотрения вязкости жидкости (принятие коэффициента вязкости равного нулю) означает не только изменение коэффициента в уравнениях, но и изменение самих уравнений и граничных условий.
Так как мы будем изучать поверхностные волны, то будем рассматривать тяжелую жидкость, находящуюся с однородном поле силы тяжести. Наша жидкость будет обладать однородной плотностью.
В некоторых параграфах, посвященных неустойчивости Релея Тейлора, мы будем рассматривать движение жидкости в отрицательном поле В Международной системе (СИ) единицей вязкости является паскальсекунда: 1Па · с = 1кг/(м · с) тяжести.
Перейдем к основным уравнениям, описывающим динамику идеальной несжимаемой жидкости. Для описания течения жидкости мы выбрали эйлеровы координаты. В этих координатах динамика идеальной жидкости описывается системой уравнений Эйлера:
где F (x, t) = (F 1, F 2, F 3 ) есть внешняя сила, действующая на жидкость, скалярная функция p(x, t) называется давлением. Неизвестными в этой системе уравнений является поле скоростей (x, t) и давление p(x, t).
Система уравнений Эйлера (II.2) должна быть дополнена граничными и начальными условиями. Предположим, что объем жидкости остается неизменным во времени и ограничен границей, сквозь которую жидкость не может протекать. Эту границу обозначим.
Мы будем считать, что поверхность не имеет самопересечений. За исключением специально оговоренных случаев, мы будем предполагать, что поверхность является кусочно-гладкой, и при почти всех x определен вектор внешней нормали (x). Условие непротеn кания через границу означает, что нормальная скорость на границе равна нулю Граничные условия на свободной границе существенно отличаются от условий непротекания. Эти условия мы подробно обсудим чуть позже. Заметим, что при рассмотрении задач гидродинамики, возникающих в океанологии, области, занимаемые жидкостью, часто имеют огромные размеры, поэтому при удобно использовать периодические граничные условия.
Несмотря на то, что в систему (II.2) не входит производная по времени от давления, уравнения Эйлера являются эволюционной системой с выделенной переменной t, означающей время. При изучении динамики эволюционных систем необходимо задавать начальные условия Поскольку давление p(x, t0 ) может быть определено по полю скоростей (x, t0 ) при фиксированном t0, то начальные условия (II.4) должны удовлетворять соответствующим условиям согласования.
Система уравнений Эйлера представляет собой очень сложную математическую задачу как в плане доказательства теорем о существовании и единственности решений этой системы, так и с вычислительной точки зрения. В двумерном случае результаты о разрешимости уравнений Эйлера получены в работах [87, 111]. В трехмерном случае до настоящего момента результатов о глобальной (по времени) разрешимости уравнения Эйлера неизвестно. Существование решений на достаточно малом временном интервале в трехмерном случае рассматривалось в работах [18, 117].
С этого момента мы будем рассматривать двумерное течение идеальной жидкости со свободной границей и бесконечно глубоким дном.
Конкретнее, пусть идеальная несжимаемая жидкость занимает область в плоскости (x, y), ограниченную свободной поверхностью Будем считать, что движение жидкости является потенциальным, т. е. существует функция (x, y, t) такая, что поле скоростей заv дается по формуле Из условия несжимаемости жидкости div = 0 следует, что потенv циал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа Уравнение (II.5) является простейшим линейным уравнением в частных производных, однако особая сложность в изучении поверхностных волн заключается в нелинейных граничных условиях. Тем более, что неизвестной (и искомой) функцией является не только потенциал скоростей, но профиль и волны свободная поверхность, которая задается функций (x, t).
Будем рассматривать движение жидкости в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g.
Рассмотрим граничные условия. Во-первых, это так называемое кинематическое условие:
Во-вторых, динамическое условие:
Это условие означает, что давление на свободной поверхности должно быть равно нулю. Напомним, что сейчас мы рассматриваем исключительно гравитационные поверхностные волны, исключая из нашей модели внешнее воздействие. В-третьих, на дне должно быть выполнено условие непротекания, т. е. вертикальная компонента скорости v 2 должна быть равна нулю при y :
По переменной x мы будем рассматривать периодические краевые условия. Поскольку мы рассматриваем нестационарную задачу, необходимо задать начальные условия для и :
Задача (II.5)–(II.10) представляет собой замкнутую систему уравнений. В различных функциональных классах эта задача изучалась во многих работах. Рассматривались также обобщения этой задачи на трехмерный случай. Не претендуя на полноту библиографических ссылок, приведем лишь некоторые работы: [51–53, 98, 136]. В приведенных работах доказана корректность задачи (II.5)–(II.10), в частности, было доказано существования решений этой задачи на достаточно малом временном интервале. Натурные и численные эксперименты убедительно показывают, что явление обрушения волн и/или образования особенностей за конечное время возникает для большинства волн. Поэтому принципиально важной является проблема оценки времени существования решений, описывающих поверхностные волны идеальной жидкости.
Система (II.5)–(II.10) является консервативной, т.е. сохраняющей полную механическую энергию. Полная энергия состоит из суммы кинетической T и потенциальной U энергий. Приведем формулы для вычисления энергии:
Удобно ввести величину (x, t) = (x, (x, t), t), которая является значением потенциала на свободной поверхности (см. [24]). В работе [28] было установлено, что переменные и являются канонически сопряженными величинами, т. е.
где гамильтониан H совпадает с полной энергией жидкости H = T + U.
В работе [68] система уравнений (II.5)–(II.10), включая граничные условия, получена из вариационных принципов.
Задача (II.5)–(II.10) является достаточно сложной для непосредственного изучения. Следуя работе [24], перепишем задачу (II.5)– (II.10) в других обозначениях. Как мы уже отмечали, мы рассматриваем 2-периодические граничные условия по переменной x. Уравнения, рассматриваемые в настоящей главе, могут быть записаны и для случая граничных условий на бесконечности. Заметим, что для рассмотрения мелкомасштабных явлений в океане переход к периодическому случаю является общепринятым.
Сделаем несколько предположений относительно области, занимаемой жидкостью в начальный момент времени (t = 0). В предыдущем параграфе мы предполагали, что свободная поверхность идеальной жидкости ограничена однозначной непрерывной функцией (x, t). Если условие непрерывности является физически необходимым, то требование однозначности этой функции возникло из уравнений (II.5)–(II.10). В то же время волновое движение жидкости может иметь свободную поверхность, не имеющую однозначной проекции на ось x. Одним из важных особенностей подхода к теории волн идеальной жидкости с помощью конформных переменных является то, что уравнения в конформных переменных допускают параметрическое задание свободной поверхности. Итак, предположим, что наша жидкость ограничена свободной поверхностью, заданной геометрическим местом точек:
где x(u, t), y(u, t) суть непрерывные функции. Мы считаем, что свободная поверхность является 2-периодичной вдоль оси x. В связи с этим считаем, что Помимо непрерывности функций x, y мы будем предполагать, что свободная поверхность не имеет точек самопересечений. В дальнейшем мы уточним гладкость функций x, y, а сейчас заметим, что в силу теоремы Римана мы можем совершить конформное отображение области, занимаемой жидкостью в плоскости (x, y) в полуплоскость в переменных (u, v) :
После преобразования поверхность (x, t) может быть представлена в параметрическом виде:
где x(u, t) и y(u, t) связаны оператором Гильберта Оператор Гильберта представляет собой сингулярный интегральный оператор, определенный (для периодических функций) по формуле В образах коэффициентов Фурье оператор Гильберта имеет очень простой вид:
Мы в дальнейшем рассмотрим вопрос эффективного способа приближенного вычисления оператора Гильберта на равномерных и неравномерных сетках. Подробнее о свойствах оператора Гильберта см.
[66].
Как показано в работе [24], переменные y(u, t) и (u, t), где (u, ·) является значением потенциала скоростей на свободной поверхности, полностью описывают движение жидкости и подчиняются следующей системе интегродифференциальных уравнений:
где J = x2 + yu якобиан отображения. С уравнениями связываются 2-периодические граничные условия по переменной u и начальные условия Заметим, что в силу соотношений (II.11), функция x, для вычисления J, однозначно восстанавливается по функции y. Несмотря на некоторую громоздкость уравнений (II.12)–(II.13), эти уравнения разрешены относительно производных по времени. Следовательно, мы имеем эволюционную задачу, которую можно пытаться численно решать методом Фурье. Однако, как показали вычислительные опыты, применение стандартных численных схем к этим уравнениям натыкается на серьезные трудности, связанные с численной неустойчивостью вычислительного процесса. Как мы увидим в дальнейшем, эти трудности во многом связаны главным образом с погрешностями машинных вычислений, и мы рассмотрим способы регуляризации вычислительного процесса в условиях машинной точности.
Сейчас мы рассмотрим уравнения, которые являются следствием уравнений (II.12)–(II.13). При этом новые уравнения будут иметь значительно более простой вид и будут значительно более подходить для теоретического и численного анализа.
Как оказалось (см. [139]), уравнения (II.12)–(II.13) можно переписать в более удобной форме.
Образуем пару комплексных функций где w = u + iv. Введем новые переменные R(w, t) и V (w, t) по следующим формулам:
Функции R и V аналитичны в нижней полуплоскости и удовлетворяют следующим условиям:
Как показано в работе [139], функции R и V удовлетворяют следующей системе интегродифференциальных уравнений:
где Уравнения (II.16)–(II.17) справедливы в нижней полуплоскости комплексной области, однако нас будут интересовать решения лишь на вещественной оси при v = 0. Приведем окончательную постановку задачи:
Vt (u, t) = i(U (u, t)Vu (u, t) Bu (u, t)R(u, t)) + g(R(u, t) 1), Решая систему (II.18), мы получаем функции R(u, t) и V (u, t).
Покажем как с помощью этих функций восстановить свободную поверхность и значение потенциала на свободной поверхности. Воспользуемся следующим представлением для функций R, V :
Тогда для функции имеет место представление Значения коэффициентов ck несложно получить рекуррентно из соотношения Умножением рядов можно получить разложение Теперь восстановим функцию z(u, t) следующим образом:
а функцию (u, t) по формуле Свободную поверхность мы получим как геометрическое место точек по следующему правилу:
Значение потенциала на свободной поверхности находится по формуле Уравнения (II.18) являются очень удобными для теоретического и численного анализа. Заметим, что вид этих уравнений получен в предположении бесконечно глубокой воды. Форму этих уравнений можно распространить на случай конечной глубины, однако получаемые при этом уравнения теряют многие хорошие качества, в частности устойчивости вычислительного процесса при численном решении этих уравнений. Заметим также, что функции R и V хотя и полностью описывают динамику жидкости со свободной поверхностью, но не имеют прямого физического смысла, и, как следствие, законы сохранения (например, энергии) напрямую не могут быть записаны в переменных R, V, хотя через переменные и z, которые также являются конформными, можно выписать законы сохранения энергии.
Перейдем к рассмотрению нестационарного течения идеальной жидкости со свободной поверхностью и конечной глубиной.
Пусть идеальная несжимаемая жидкость занимает область в плоскости (x, y), ограниченную свободной поверхностью Считая движение жидкости потенциальным, мы имеем:
где v(x, y, t) двумерное поле скоростей, (x, y, t) потенциал. Из условия несжимаемости жидкости divv = 0 следует, что потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа С этим уравнением связываются следующие граничные и начальные условия, которые совпадают с соответствующим условием для бесконечно глубокой воды, кроме условия на дне Здесь g ускорение свободного падения.
Также мы вводим величину (x, t) = (x, (x, t), t), которая является значением потенциала на свободной поверхности (см. [24]).
Аналогично бесконечно глубокой воде переменные и являются канонически сопряженными величинами, т. е.
где гамильтониан H совпадает с полной энергией жидкости H = T + U, Следуя работе [24], совершим конформное отображение области, занимаемой жидкостью в плоскости (x, y) в полупространство в переменных (u, v) После преобразования поверхность (x, t) может быть представлена в параметрическом виде Переменные x(u, t) и y(u, t) связаны соотношением где R интегральный оператор вида Обратный к R оператор T имеет вид Как показано в работе [24], переменные y(u, t) и (u, t) полностью описывают движение жидкости и подчиняются следующей системе интегродифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных по времени:
где J = x2 + yu Уравнения (II.19)–(II.20) мы будем рассматривать с периодическими граничными условиями. Пусть u (0, 2), а функции y, представлены в виде:
Операторы R и T в фурье-представлении имеют простой вид:
Операция дифференцирования по переменной u в Фурье-представлении имеет обычный вид:
Среди поверхностных волн наиболее исследованными являются стационарные волны. Стационарные волны изучались во многих работах, среди которых отметим основополагающие в теории стационарных волн: [55, 56, 115, 130]. Приведем уравнения в конформных переменных, рассмотренных выше, для определения профиля стационарных волн.
Под стационарными или бегущими волнами мы будем понимать такие решения уравнений, описывающих поверхностные волны идеальной жидкости, которые могут быть записаны в форме где c скорость бегущей волны.
Параметрами для симметрических стационарных волн является период, который мы будем считать равным, где k целое число, и постоянная скорость стационарной волны, которую обозначим c.
Профиль стационарной волны будем искать в виде Введем обозначение Как показано в работе [24], коэффициенты an удовлетворяют следующей системе нелинейных уравнений с параметром Коэффициент a0 вычисляется по формуле:
Параметр связан со скоростью стационарной волны c следующим образом где угловые скобки означают усреднение по периоду.
После решения системы уравнений (II.21)–(II.23) мы находим y и z = uH[y]+y. Зная z и параметр, мы можем из соотношения (II.24) найти скорость c.
После того как мы нашли профиль стационарной волны, мы можем найти и значение потенциала на границе из формулы (см. [24]) Как известно, решение системы (II.21)–(II.22) существует не для всех значений параметра. Еще в работе Стокса [130] был получен результат о предельной волне. Им было показано, что при увеличении скорости стационарных гравитационных волн происходит заострение гребней и образуется угол, равный 120.
Уравнения (II.21)–(II.23) представляют собой бесконечную систему нелинейных уравнений. Решения этих уравнений являются коэффициентами Фурье. В случае докритического значения скорости профиль поверхностной волны является аналитической функцией, а коэффициенты ряда Фурье стремятся к нулю с экспоненциальной скоростью.
4.3. Уравнения с учетом внешних воздействий Уравнения (II.18) описывают динамику идеальной жидкости при отсутствии каких-либо внешних воздействий, кроме гравитационного поля. Однако во многих задачах теоретической физики и океанологии возникает необходимость учитывать внешние воздействия на жидкость. Самый очевидный пример внешних воздействий на поверхностные волны это ветровое воздействие.
Другая причина внешних воздействий состоит в том, чтобы рассматривать малые внешние флуктуации, которые могут иметь различную физическую природу. С математической точки зрения малые флуктуации можно рассматривать как случайную функцию в правой части, малую в определенном смысле.
Рассмотрим уравнения (II.18) с правой частью.
Vt (u, t) = i(U (u, t)Vu (u, t) Bu (u, t)R(u, t)) + g(R(u, t) 1)+ где F1 и F2 являются функционалами, зависящими от неизвестных функций R и V, а также от временной переменной. Таким образом система (II.26) является системой функционально-дифференциальных уравнений.
Укажем физический смысл функций Fi (t), i = 1, 2. Функция R имеет смысл якобиана конформного преобразования области, занимаемой свободной поверхностью в нижнюю комплексную полуплоскость. Следовательно, физический смысл функции F1 состоит в мгновенных флуктуациях свободной поверхности. Далее, поскольку функция V имеет физический смысл комплексной скорости, то функция F2 (t) имеет физический смысл плотности силы, действующей на свободную поверхность.
5. Корректность математической модели 5.1. Шкала гильбертовых пространств Пусть s R и q > 0 произвольные числа. Рассмотрим подмножество комплексной плоскости:
Введем шкалу функциональных пространств Es, s R, q > 0 как пополнение функций вида:
где w q по норме:
Мы будем рассматривать гильбертово пространство l2 числовых последовательностей {ck } со скалярным произведением функция.
Доказательство. Пусть v0 [s q, s + q], тогда имеем Оценим |A(u + iv0 )| где bk = |ak |(1 + k 2 )1/2 e(sk+q|k|). В силу принадлежности A пространству Es последовательность {bk } принадлежит пространству l2. Имеq ет место sk q|k| + v0 k 0.
Поскольку последовательность {(1 + k 2 )1/2 } тоже принадлежит пространству l2, то в силу неравенства Коши-Буняковского получаем:
Следовательно ряд, представляющий функцию A(w):
сходиться равномерно в замыкании области q. Поскольку функции eikw аналитичны в области q при всех k, то по теореме Вейерштрасs са следует, что и функция A(w) аналитична в области t.
Теорема 5.2. Пусть A(w) Es, тогда для любого фиксированного v [s q, s + q] функция A(u + iv) (как функция от переменной u) принадлежит пространству Соболева H 1 (0, 2).
Доказательство. Пусть v0 [s q, s + q] тогда имеем Следовательно, A(u + iv0 ) L2 (0, 2). Аналогично имеем Таким образом, функция A(u + iv0 ) принадлежит пространству Соболева H 1 (0, 2).
Теорема 5.3. Пусть функция A(w) аналитичная в области q, 2s периодичная по переменной u такая, что A(u + iv) H 1 (0, 2) при Доказательство. Разложим функцию A(u + is) в ряд Фурье по переменной u Поскольку функция A аналитичная в области q, по она может быть продолжена по переменной u в область q. Имеем:
следовательно, ak (s) = ak esk. Таким образом В силу того, что A(u + iv) H 1 (0, 2) имеем:
Последнее неравенство выполнено для всех v [s q, s + q]. С одной стороны имеем а с другой стороны Объединяя оба этих неравенства получаем:
ствительно, Теорема 5.4. Пусть A, B две функции из пространства Es, тогда функция C(w) = A(w)B(w) также принадлежит пространству Es и имеет место оценка Доказательство. Произведение аналитических функций 2-периодических есть аналитическая 2-периодическая функция. Оценим Оценим отдельные слагаемые с помощью теоремы вложения Соболева Остальные слагаемые оцениваются аналогично:
Теорема 5.5. Пусть A1, A2, B1, B2 принадлежат шару радиуса M > 0 в пространстве Es. Тогда имеет место неравенство Доказательство. В силу теоремы 5.4 имеем Введем линейный оператор Гильберта H : Es Es по формуле Теорема 5.6. Оператор H : Es Es является ограниченным оператором, причем H 1.
Доказательство. Для любой функции A Es имеем Теорема 5.7. Для любых s R, q > q > 0 и любой функции A Es производная Aw принадлежит пространству Es и имеет место оценка Доказательство. Если аналитическая функция A(w) представляется рядом тогда производная A (w) представима рядом в области q. Последовательность дующим образом:
В этой оценке использовано элементарное неравенство верное для всех k Распишем уравнения (II.18) следующим образом. Пусть R = R1 +iR2, V = V1 + iV2, тогда имеем систему уравнений где Запишем уравнения (II.27) в векторной форме. Через Eq обознаs странств. Введем отображение F : Eq Eq, порожденное правой частью уравнений (II.27). Введем обозначение W = [R1, R2, V1, V2 ]T.
Тогда имеем следующую запись уравнений Уравнение (II.28) будем рассматривать с начальным условием и краевыми условиями где R10, R20, V10, V20 суть коэффициенты Фурье функций R1, R2, V1, V соответствующие k = 0.
Определение 5.1. Функция W (t) = [R1 (t), R2 (t), V1 (t), V2 (t)]T, аналитичная на (0, T ) со значениями в Eq при некоторых s R, q > 0, называется аналитичным (s, q)-решением задачи (II.28)–(II.30), если W удовлетворяет (II.28)–(II.30).
Теорема 5.8. Для фиксированных s R и q1 > 0 пусть W0 Eq и W0 удовлетворяет условиям (II.30), тогда для любого q2 (0, q1 ) существует T = T (W0, q2 ) такое, что при t (0, T ) существует единственное (s, q2 )-аналитическое решение задачи (II.28)–(II.30).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу относительно Wa в Eq В силу теорем 5.1–5.7 к задаче (II.31), (II.32) применима теорема Ниренберга-Нисиды (теорема, с. 220, [57] и теорема, с. 629, [118]). По этой теореме существует T = T (q2 ) > 0 такое что при t (0, T ) существует единственное аналитическое решение задачи (II.31), (II.32).
Тогда функция W (t) = Wa (t) + W0 будет (s, q2 )-аналитическим решением задачи (II.28), (II.29). Нужно еще показать, что функция W удовлетворяет условию (II.30). По условию теоремы начальное условие W0 удовлетворяет этому условию, с другой стороны, пусть A Eq, тогда для функции B = F (A) Eq имеет место Следовательно, функция W удовлетворяет условию (II.30) при всех t < T.
Замечание 5.1. Поскольку задача (II.28)–(II.30) эквивалентна задаче (II.18), от теорема 5.8 устанавливает разрешимость задачи (II.18).
Теорема 5.8 устанавливает разрешимость уравнений (II.18) в шкале Eq, для любых s R, q > 0. Однако не каждое решение из шкаs лы пространств Eq будет соответствовать физической модели, опиs сывающей поверхностные волны идеальной жидкости со свободной поверхностью. Поэтому (s, q)-решения мы называем формальными решениями. Среди формальных решений можно выделить подмножество решений, которые мы будем называть физическими решениями.
Пусть R(u, t) = rk (t)eiku, где r0 = 1. Тогда последовательk= ность ck (t), k = 0, 1,... определим как решение системы:
система является диагональной, то ее решение может быть получено по рекуррентным формулам.
Определение 5.2. Формальное (s, q)-решение R, V называется физическим решением на [T1, T2 ], если выполнены следующие условия:
1. Функции R, V являются аналитичными в нижней полуплоскости при всех t [T1, T2 ].
2. Функция, определенная по формуле является непрерывной по u функцией при всех t [T1, T2 ].
3. Кривая, заданная как геометрическое место точек является кривой Жордана, т.е. непрерывной и без точек самопересечения, причем Re z(0, t) = 0, Re z(2, t) = 2 и Im z(0, t) = Функции R(u, t) и V (u, t) мы будем называть физическим решением, при t = t0, если эти функции являются физическим решением на [t0, t0 ].
Теорема 5.9. Пусть начальные функции R0 (u) и V0 (u) принадлежат пространству Eq, где s > 0 и R0, V0 удовлетворяют условиям (II.30). Предположим также, что R0 (u) и V0 (u) являются физическим решением при t = 0, тогда существует такое 0 < T, что на [0, T 1 ] существует физическое решение при любом 1 T и при любом 2 > 0 не существует физического решения на [0, T + 2 ].
Доказательство. Выберем произвольное число s < 0. Прежде всего заметим, что R0 и V0 принадлежат пространству E при = 2.
Следовательно, существует формальное (s, 4 )-решение на некотором [0, T ]. Определим число T по формуле:
Если T <, то T < T. Действительно, если бы R и V были бы физическими решениями на [0, T ], то формальное (s, q)-решение существовало бы на [0, T + ] для некоторого > 0. Из определения числа T следует, что это число является тем числом, которое утверждается в теореме. Заметим, что это число не зависит от выбора 6. Конструктивное исследование уравнений, Основной результат об оценки времени существования решений уравнений, описывающих волны на воде мы получим как частный случай для абстрактного эволюционного функционально-дифференциального уравнения.
Для каждого T (0, T], T > 0 будем рассматривать пару банаховых пространства ET, ET. Также будем предполагать, что существуют следующие проекторы удовлетворяющие условиям для любых 0 < T3 T2 T1 T. Для краткости будем использовать следующее обозначение PT,T = PT.
В пространстве ET будем рассматривать компактное множество M ET. Через MT обозначим образ: PT,T M.
Введем семейство непрерывных, вообще говоря, нелинейных операторов для всех T (0, T].
Мы будем рассматривать следующую задачу при фиксированном Рассмотрим функционал J : (0, T] M R, определенный по формуле Теперь введем числовую функцию I(T ), определенную на (0, T] по следующей формуле Поскольку при фиксированном T (0, T] функционал J(T, ·) является непрерывным на компактном множестве M, то справедлива следующая лемма.
Лемма 6.1. Пусть для некоторого 0 < T T имеет место I(T ) = 0, тогда существует такой элемент u MT, что Задачу (II.33) мы будем приближать эволюционными включениями. Для любого неотрицательного числа 0 рассмотрим включение В случае, когда = 0 задача (II.34) совпадает с задачей (II.33).
Также как и для задачи (II.33) при решении задачи (II.34) необходимо найти максимальное значение T (0, T] и элемент u MT, для которых верно (II.34). Введем обозначение B0 () = {f ET :
Приведем естественное условие, при котором задача (II.34) всегда имеет решение.
Условие 1. Существует такой элемент v M, что имеет место Замечание 6.1. В случае пространств ET = Lp (0, T ; X), где 1 p < некоторое банахово пространство, условие 1 будет выполX ненным.
Лемма 6.2. Пусть выполнено условие 1, тогда для любого > существует такое > 0 и такое u M, что Доказательство. Доказательство леммы непосредственно следует из (6.2).
Введем числовую функцию () при > 0 по следующей формуле Согласно лемме 6.2 множество {T (0, T] : I(T ) } непусто, и поэтому функция () определена корректно. Функция имеет смыл максимального интервала существования решения задачи (II.34).
Введем величину для уравнения (II.33), которая будет определять максимальный интервал существования решения этого уравнения.
Определение 6.1. Величина LT, определенная по формуле называется интервалом существования решения задачи (II.33).
Покажем, что с помощью приближения уравнения (II.33) включениями (II.34) величину LT можно оценить с помощью функции ().
Теорема 6.1. Пусть выполнено условие 1, тогда имеет место Доказательство. По построению функции () имеет место неравенство верное для любого > 0.
Рассмотрим произвольную числовую последовательность n > 0, сходящуюся к нулю. Тогда в силу (II.37) числовая последовательность n = (n ) принадлежит ограниченному отрезку [LT, T]. Рассмотрим верхний предел последовательности n. Пусть nm, nm, m таковы, что Если T = LT, то и вся последовательность n сходится к LT, и теорема доказана. Предположим, что LT < T, это означает, что существует такое > 0, что для всех достаточно больших m выполнено неравенство Из этой оценки в силу неубывания функции I(T ) следует оценка Переходя в неравенстве (II.38) к пределу при m мы получаем равенство что согласно лемме 6.2 противоречит определению величины LT. Поэтому предположение, что T > LT приводит к противоречию, и, следовательно, возможен лишь случай T = LT. От куда, как мы уже отмечали, следует, что вся последовательность n сходится к LT. В силу произвольности последовательности n, мы получаем, что функция () непрерывна в нуле и имеет своим пределом величину LT.
6.2. Применение к уравнениям, описывающим Сейчас рассмотрим применение теоремы (6.1) к уравнениям (II.55), которые описывают поверхностные волны на воде при наличии внешних воздействий.
В качестве пространства ET определим пространство:
а в качестве пространства ET возьмем пространство W (0, T ; Eq ), где q > 0 некоторое фиксированное число, а пространства Eq определены выше. Оператор T определим по следующей формуле:
где Рассмотрим операторы Fij, i, j = 1, 2. Эти операторы действуют в следующих пространствах:
Заметим, что значение функции f (t, u) = Fij [R1, R2, V1, V2 ] зависит от всех значений функций R1 (t, u), R2 (t, u), V1 (t, u), V2 (t, u) при t [0, T ].
Поэтому уравнения (II.39) представляют собой систему эволюционных функционально-дифференциальных уравнений.
Для применения теоремы 6.1 необходимо выбрать компактное в пространстве ET множество M. При исследовании волн на воде в качестве такого множества обычно выбирается следующее множество:
где q1 > q, а множество E(q1, C1 ) E0 состоит из всех функций A E0, имеющих следующий вид:
Поскольку q1 > q, множество E(q1, C1 ) будет компактным в проn= странстве Eq, а по обобщенной теореме Арцела множество M будем компактным в пространстве C 1 ([0, T]; Eq ) и, следовательно, в пространстве ET.
В практических вычислениях условие (II.40) означает экспоненциальное убывание по модулю коэффициентов ak, что является необходимым условием для эффективного проведения расчетов. Теорема 6.1 позволяет оценить время существования решений задачи (II.39).
6.3. Метод оценочных функционалов Опишем еще один метод, с помощью которого мы будем оценивать время существования решения эволюционного уравнения. Пусть H гильбертово пространство. Будем предполагать, что пространство H является сепарабельным и бесконечномерным. Через ek обозначим ортонормированный базис в H. Введем непрерывный, вообще говоря, нелинейный оператор A : D H, где D гильбертово пространство, плотно и непрерывно вложенное в H такое, что {ek } D. Будем рассматривать задачу Коши Определение 6.2. Решением задачи (II.41), (II.42) на (0, T ) будем называть функцию u L2 (0, T ; D), u L2 (0, T ; H), удовлетворяющую (II.41), (II.42).
Замечание 6.2. В силу замечания 2.2 [71] функция u L2 (0, T ; D) такая, что u L2 (0, T ; H), имеет след u(0) H.
Для построения шкалы гильбертовых пространств рассмотрим систему функций {k (s)}, определенную для k = 1, 2,... и s 0, такую, что для каждого фиксированного k имеет место: k (s) > 0;
k (0) = 1; k (s) непрерывны и строго убывают по s. Пространства норме где uk = (u, ek )H.
Введем конечномерный проектор PN в пространстве H по формуле Задачу (II.41), (II.42) будем аппроксимировать конечномерными задачами:
Предположение 1. Существуют такие числа sl > 0 и tl > 0, l = 0, 1,..., что при всех N задача (II.43), (II.44) имеет единственное решение uN (t) Hsl при t (0, tN ), а задача (II.41), (II.42) имеет единственное решение u на (0, t0 ), и при почти всех t (0, t0 ) это решение принадлежит Hs0. При этом для некоторого T > 0 имеет место Для любого элемента u Hs, s > 0 введем функцию где функция k (uk ) такая, что для 1 |uk | > 0, для uk > 1 полагаем (uk ) = 0, для uk = 0 имеем (0) =.
Теорема 6.2. Пусть u Hs, тогда (u) s.
Доказательство. Имеем представление где k l2. Без ограничения общности будем считать, что k < 1.
Поскольку функция k (a) не возрастает, то имеем s1 < s2, тогда для u H0 такого, что (u) = s, 0 < s < имеет место u Hs для любого (0, s).
Доказательство. Пусть фиксировано (0, s). Обозначим Поскольку то существует такое K > 0, что k > при k K. В этом случае имеем В силу условия на k (s) получаем Для нас наиболее важным будет случай, когда k (s) = eks. Применим наши результаты к системе уравнений, описывающих поверхностные волны на воде.
Наряду с вычислением функций RN, V N, будем еще вычислять числовую функцию k (t), определенную следующим образом:
предполагая, без ограничения общности, что Rk (t) = 0, VkN (t) = 0.
Функция k аппроксимирует функцию (t), построенную по точN ным решениям системы (II.18) функциям R(t) и V (t):
Функция имеет естественную интерпретацию. Функции R, V являются аналитическими в нижней комплексной полуплоскости и имеющими особенности в верхней полуплоскости. Значение функции определяет расстояние особенностей до вещественной оси. До тех пор пока > s0, s1 > s0 > 0, система (II.18) имеет s0 -решение. Функцию k (t) будем называть оценочным функционалом.
6.4. Методы построения точных решений эволюционных Сейчас мы рассмотрим методы, позволяющие строить точные решения эволюционных уравнений с помощью аппроксимаций функционально-дифференциальных включений. Введем два сепарабельных пространства: E0, E1, которые удовлетворят следующему условию:
Введем непрерывный оператор Будем рассматривать следующее эволюционное уравнение в банаховом пространстве E0.
с начальным условием где f L ([0, T]; E0 ), E1.
Мы будем рассматривать решения согласно следующему определению.
Определение 6.3. Функция u W ([0, T]; E1 ) называется решением задачи (II.45)–(II.46), если функция u удовлетворяет (II.45)– (II.46).
Мы будем изучать задачу (II.45)–(II.46) с точки зрения конструктивного построения решений. Для этого мы будем предполагать, что пространство E1 содержит счетное множество элементов, которые являются достаточно богатыми для описания решений задачи (II.45)– (II.46). Будем предполагать выполненным следующее условие.
Условие 2. Существует счетное множество такое, что для любой конечной линейной комбинации элемент w = Av представим в виде конечной линейной комбинации:
Пусть функция из правой части уравнения (II.45) равна нулю, а начальная функция из условия (II.46) представима в виде конечной линейной комбинации:
В этих условиях мы можем построить приближенное решение задачи (II.45)–(II.46) с помощью одношаговых численных методов таких, как метод Эйлера или явные методы Рунге-Кутта. Мы опишем сейчас схему метода Эйлера, как наиболее простую.
Пусть выбрано целое число M > 0. По рекуррентным формулам:
где h =. В силу условия 2 каждый элемент uM представим в виде конечной линейной комбинации элементов ek, поэтому можно ввести конечную величину по следующей формуле:
где (uM )k координаты элемента uM :
Величина D имеет смысл размерности нашего приближенного решения. Благодаря условию 2 мы имеем дело с конечномерной задачей при использовании одношаговых явных методов.
Поскольку все элементы uM принадлежат пространству E1, то с помощью подходящей интерполяции (например линейной):
лежащую пространству W ([0, T]; E1 ). Подставим функцию uM (t) в уравнение (II.45):
В силу условия 2 функция F M (t) принадлежит пространству L ([0, T]; E1 ). По построению функция uM (t) удовлетворяет условию (II.46), поэтому функция uM (t) является решением задачи (II.45)– (II.46) с функций F M (t) в качестве правой части.
Во многих прикладных задачах функция правой части уравнения (II.45) имеет смысл определенной физической величины. Как правило физические величины всегда известны лишь некоторой погрешностью. Поэтому умение находить функции, которые удовлетворяют исходному уравнению с заданной погрешностью, часто является достаточным. Следующая теорема устанавливает, что при условии задача может быть решена с заданной погрешностью в конечном виде, что открывает возможности для проведения доказательных вычислений.
Теорема 6.4. Пусть выполнено условие 2. Для любых M > 0 и > существует такое T (0, T], что на [0, T ] функция uM является решением задачи (II.45)–(II.46) с правой частью F M L ([0, T ]; E0 ) такой, что Доказательство. С помощью описанного выше метода Эйлера мы имеем функцию uM W ([0, T]; E1 ) и, соответственно, функцию F M (t):
Функция F M L ([0, T]; E0 ), поэтому введем числовую функцию неубывающей. Покажем, что функция J(T ) стремится к нулю при T 0. Когда T < h функция uM (T ) имеет вид:
Соответственно, функция F M (T ) имеет вид:
Функция J(T ) вычисляется по формуле:
Поскольку оператор A непрерывный как отображение A : E1 E0, то имеем Следовательно, функция J(T ) является непрерывной при 0 < T < h и стремиться к нулю при T 0:
Таким образом, для любого > 0 существует такое T > 0, что имеет место:
Теорема 6.4 ориентирована на конкретный метод Эйлера, однако идея этого метода может быть обобщена. Сейчас мы рассмотрим абстрактный метод дискретизации исходной задачи. Для каждого M > 0 введем конечное множество Будем предполагать, что множества V M удовлетворяют следующему условию.
1. Каждый элемент u V M удовлетворяет начальУсловие 3.
ному условию (II.46):
2. Каждое множество V M содержит, как минимум один такой элемент U V M, что для достаточно малого t функция U (t) непрерывно дифференцируема по t со значениями в E1, а также:
Для фиксированных M > 0 и 0 < T T будем рассматривать функцию uM которая удовлетворяет следующему условию:
где через VTM обозначено сужение множества функций V M на [0, T ].
Значение этого минимума обозначим через:
Заметим, что функций, на которых реализуется минимум в (II.47) может быть более одного, но поскольку множество V M конечно, то мы будем считать, что фиксировано правило, согласно которому осуществляется отбор функций uM.
Теорема 6.5. Пусть выполнено условие 3. Для любого > 0 и M > 0 существует такое T (0, T], что на [0, T ] функция uM является решением задачи (II.45)–(II.46) с правой частью F M L ([0, T ]; E0 ) такой, что Доказательство. Введем числовую функцию:
заданную на [0, T] при фиксированном M. Для доказательства теоремы достаточно показать, что функция g(T ) стремиться к нулю при Очевидно, что имеет место Пусть T достаточно мало, что согласно условию 3, функция U (t) непрерывно дифференцируема по t со значениями в E1, а также:
Тогда имеем В силу условия 3 и непрерывности оператора A мы имеем Поэтому из (II.48) следует, что Полученные приближенные решения можно объявить точными решениями возмущенных уравнений, а теоремы 6.4 и 6.5 гарантируют, что для достаточно малых значений переменной t мы всегда можем построить точное решение уравнения с возмущениями меньшими заранее заданной величиной. Теоремы 6.4 и 6.5 могут быть применены при фиксированном значении параметра дискретизации M, что, как правило, и имеет место в практике компьютерных вычислений.
Приведем пример наиболее часто встречающихся пространств V M.
Пусть Q R подмножество вещественных чисел, которые могут быть представлены на используемом компьютере. Пусть N есть положительное целое число. Обозначим через Qe множество элементов пространства E1 представимых в виде:
где k Q. Рассмотрим разбиение отрезка [0, T]:
Множество функций V M состоит из функций, заданных на отрезке [0, T] построенных с помощью линейной интерполяцией:
где узловые значения этих функций принадлежат множеству Qe :
Чтобы удовлетворить условию 3 необходимо рассматривать множество начальных данных задачи (II.45)–(II.46) таких, что:
Заметим, что на практике часто нет нет необходимости находить решения согласно соотношению (II.47). Мы будем аппроксимировать уравнение (II.45) методом прямых N -мерными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Полученную систему обыкновенных дифференциальных уравнений мы будем решать стандартным методом Рунге-Кутта 4-го порядка. После получения приближенного решения, мы вычисляем полученную невязку. Если величина этой невязки оказывается удовлетворительной, то мы получили точное решение возмущенного уравнения. В противном случае, следует уменьшить временной интервал, на котором ищется приближенное решение. Теорема 6.5 гарантирует, что при достаточно малом временном интервале величина невязки будет меньше любого наперед заданной величины.
Мы рассмотрели методы нахождения точных решений эволюционных уравнений с помощью возмущения исходного уравнения. При этом решающим фактором было то, что физическая постановка задачи допускала определенные возмущения правых частей. В самом деле, многие физические величины всегда известны с некоторой долей погрешности. Поэтому во многих случаях имеет смысл рассматривать дифференциальные включения вместо дифференциальных уравнений. Мы будем использовать дифференциальные включения для аппроксимации исходного эволюционного уравнения.
6.5. Аппроксимация дифференциальными включениями Введем функциональные пространства, в которых мы будем будем рассматривать эволюционные функционально-дифференциальные включения. Мы будем рассматривать конечный временной интервал [0, T], пару банаховых пространств E0 и E1, при этом пространство E1 плотно и непрерывно вложено в пространство E0. Теперь рассмотрим однопараметрические семейства функциональных пространств:
В связи с этими пространствами введем операторы сужения функций из пространства H T на отрезок [0, T ] А также введем оператор продолжения функций из пространства V T на отрезок [0, T] определенный по формуле Через I0 мы будем обозначать оператор, который элементу из E1 сопоставляет функцию-константу из пространства V T, принимающую заданное значение.
Введем еще обозначение для замкнутого шара в пространстве H T для любого v0 H T :
для 0.
Будем рассматривать непрерывный оператор Введем еще оператор Мы будем изучать эволюционное функционально-дифференциальное уравнение с параметром T (0, T]:
С этим уравнением будем также рассматривать начальное условие:
Определение 6.4. Решением задачи (II.49)–(II.50) при фиксированном T (0, T] называется функция u из пространства V T, удовлетворяющая (II.49)–(II.50).
При столь общих условиях на оператор A, конечно, нельзя надеяться на существование решения задачи (II.49)–(II.50). Однако мы будем приближать уравнение (II.49) функционально-дифференциальным включением. Для заданного числа 0 рассмотрим функционально-дифференциальное включение Это включение мы будем рассматривать вместе начальным условием Определение 6.5. Для заданных T (0, T] и 0 функция u V T называется решением эволюционного функционально-дифференциального включения (II.51)–(II.52), если u удовлетворяет (II.51)– (II.52).
В случае, когда = 0 задача (II.51)–(II.52) совпадает с задачей (II.49)–(II.50).
Докажем теорему о локальной разрешимости задачи (II.51)–(II.52).
Теорема 6.6. Пусть начальное условие удовлетворяет следующим условиям:
Тогда для любого > 0 существует такое T > 0, что при этих и T существует решение задачи (II.51)–(II.52).
Доказательство. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 6.4. Возьмем число (0, T] и построим функцию из пространства V по следующей формуле:
В силу условий на мы имеем, что u V. Поэтому мы можем построить следующую функцию Функция F (t) принадлежит пространству H. Более того, она имеет следующий вид Покажем, что для любого заданного положительного числа существует такое, что норма функции F в пространстве H меньше Введем обозначение Функция I v (t) имеет вид Покажем, что I v имеет пределом I0 в пространстве V T при 0.
Действительно, имеем Отсюда имеем В силу (II.53) существует такая величина что имеет место Откуда в силу непрерывности оператора A : V T H T следует, что существует такая величина что имеет место Таким образом, нами установлено, что ная величина. Тогда функция является решением задачи (II.51)–(II.52) при T =.
Заметим, что хотя в доказательстве теоремы 6.6 предъявлена в явном виде функция, являющаяся решением задачи (II.51)–(II.52), но полученная оценка времени существования решения задачи (II.51)– (II.52) является очень пессимистичным. По сути мы оцениваем лишь первый шаг простейшего метода Эйлера. В реальных доказательных экспериментах, разумеется, должны быть использованы более мощные численные методы, позволяющие оценивать время существования задачи (II.51)–(II.52) более точно. Смысл же теоремы 6.6 состоит в том, что она гарантирует, что всегда существует такой временной интервал, что задача (II.51)–(II.52) имеет решение.
6.6. Построение точных решений уравнений, Теперь применим полученные результаты для уравнений, описывающих динамику поверхностных волн на воде. Введем функциональные пространства в которых мы будем рассматривать наши вычисления.
В качестве пространств E0 и E1 выберем пространства E0 и Eq, соответственно, где q > 0. Оператор A мы определим следующим образом:
где В качестве элементов ek из условия 2 мы выберем следующие функции:
Условие 2 будет выполнено, поскольку для операции умножения двух функций, очевидно, имеем ek1 l1 m1 n1 ek2 l2 m2 n2 = e(k1 +k2 )(l1 +l2 )(m1 +m2 )(n1 +n2 ), k, l, m, n = 0, ±1, ±2,..., далее для оператора дифференцирования и оператора Гильберта H имеем В наших экспериментах мы будем рассматривать начальные условия, которые представимы в виде конечной комбинации элементов eklmn.
Обоснование для использования аппроксимации задачи (II.26) дифференциальными включениями состоит в том, что, как мы уже отмечали, в приложениях нам, как правило, не известны точные значения функций F1 и F2, поэтому вместо уравнения (II.26) следует рассматривать функционально-дифференциальные включения. Рассмотрим систему уравнений:
Vt (u, t) = i(U (u, t)Vu (u, t) Bu (u, t)R(u, t)) + g(R(u, t) 1)+ Здесь i, i = 1, 2 малые (в определенном смысле) функции, имеющие физический смысл случайных флуктуаций.
Мы будем рассматривать задачу нахождения следующих неизвестных:
1. T времени существования решений системы (II.55), 2. R и V решений системы системы (II.55), 3. 1, 2 малых внешних воздействий.
В случае нахождения этих величин мы сможем утверждать, что на найденном временном интервале [0, T ] существуют такие малые внешние воздействия (1 и 2 ), что имеют место найденные решения (R и V ) системы (II.55).
Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных Введем функциональное пространство. Через Wp (Q), 1 p <, k = 1, 2,..., обозначим пополнение по норме всех функций вида f (u, t) = cm (t)eimu, где функции cm (t) имеют непрерывные производные вплоть до k-го порядка на отрезке [0, T ].
Пространства Wp (Q) подпространства пространств Соболева, удовлетворяющее условиям периодичности по переменной u. Пространства Соболева были введены в [64], пространства Соболева с периодическими условиями рассматривались, например, в [10].
В дальнейшем будем предполагать, что R0, V0 L1 (0, 2).
Введем функционал невязки для задачи (II.18) где функции U и B определены выше.
Лемма 7.1. Функционал J непрерывен на W4 (Q) W4 (Q).
Доказательство. Пусть В силу непрерывности оператора дифференцирования имеем Пусть Эти функции принадлежат гильбертову пространству W2 (Q). В силу непрерывности операторов дифференцирования теоремы Лебега о предельном переходе и неравенства Гельдера имеем = lim Представим функцию W k в виде где ряд сходится в пространстве W2 (Q). Применяя к W k оператор P, мы видим, что Линейный оператор P непрерывен в пространстве W2 (Q), поэтому Поскольку в L1 (Q) при k.
Аналогично доказывается, что в L1 (Q) при k.
Определение 7.1. Пару функций R, V W4 (Q) назовем решением задачи (II.18), если J(R, V ) = 0.
Доказательство сходимости приближенной схемы будем проводить методом минимизации невязки. При этом будут использоваться результаты теории регуляризации некорректных задач. В дальнейшем будем предполагать существование и единственность гладкого решения задачи (II.18).
«