«СПЕЦИФИКАЦИЯ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ ...»

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Новосибирский государственный технический университет»

Федеральное государственное бюджетное учреждение наук

и

«Конструкторско-технологический институт вычислительной техники»

Сибирского отделения Российской академии наук

На правах рукописи

Достовалов Дмитрий Николаевич

СПЕЦИФИКАЦИЯ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

05.13.11 – «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей»

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

доктор технических наук, доцент Шорников Юрий Владимирович Новосибирск –

СОДЕРЖАНИЕ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1 Переходные процессы

1.2 Спецификация, модели и методы анализа

1.3 Обзор инструментальных средств

1.4 Гибридные системы

1.5 Сравнительный анализ инструментальных средств и задачи исследования

1.6 Выводы

ГЛАВА 2. АРХИТЕКТУРА ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЙ СРЕДЫ.................. 2.1 Классические характеристики симуляторов

2.1.1 Структура CSSL

2.1.2 Инструментальная среда

2.2 Структура программного комплекса

2.3 Системное наполнение

2.3.1 Структурно-символьная спецификация

2.3.2 Текстовые программные модели

2.3.3 Внутреннее представление гибридной модели

2.4 Аналитическое наполнение

2.4.1 Особенности исследования гибридных систем

2.4.2 Библиотека решателей

2.5 Выводы

ГЛАВА 3. СПЕЦИФИКАЦИЯ И АНАЛИЗ ПРОГРАММНЫХ

МОДЕЛЕЙ

3.1 Технологический процесс конструирования модели ЭЭС

3.2 Язык графической спецификации LISMA_EPS

3.3 Графический редактор принципиальных схем

3.4 Интерпретация принципиальных схем

3.5 Внутреннее представление схем замещения

3.6 Реализация гибридного поведения ЭЭС

3.7 Получение уравнений режима

3.8 Выводы

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ ГИБРИДНЫХ МОДЕЛЕЙ

4.1 Анализ непрерывных режимов

4.1.1 Решатель MK11F

4.1.2 Тестирование

4.2 Корректное обнаружение событий

4.2.1 Обнаружение событий с явными методами

4.2.2 Событийная функция в неявной задаче

4.2.3 Тестирование алгоритма обнаружения

4.3 Анализ режимов ЭЭС

4.4 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

интерфейс API – Application programming interface, программирования приложений;

Continuous system simulation language, язык моделирования CSSL – ГС гибридная система;

ДАУ дифференциально-алгебраическое уравнение;

ДС динамическая система;

ИСМА – инструментальные средства машинного анализа;

КЗ короткое замыкание;

ОДУ обыкновенное дифференциальное уравнение;

ЭЭС электроэнергетическая система.

ВВЕДЕНИЕ

моделирования сложных систем используются для исследования объектов различной природы. Метод вычислительного эксперимента выгодно отличается от натурного эксперимента минимальными затратами и безопасностью при исследовании поведения объекта в экстремальных условиях. В работах программных комплексов компьютерного анализа и указывается, что эта задача является фундаментальной. Современные технологии предполагают предоставляющих широкий выбор предметно-ориентированных сервисов и экспериментов.

Одним из множества приложений является исследование переходных электромагнитных и электромеханических процессов в системах энергетики.

Результаты вычислительных экспериментов могут быть использованы при энергосбережению – приоритетным направлениям, определенным федеральной направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007 – 2013 годы». Исследованием переходных процессов и анализом синхронной работы в электроэнергетической системе (ЭЭС) занимались А.А. Горев, Р. Парк, В.А. Веников, Е.И. Ушаков и др. Отдельно следует отметить проблему обеспечения устойчивости ЭЭС, которая рассматривалась П.С. Ждановым, С.А. Лебедевым с позиции общей теории устойчивости А.М. Ляпунова. Работы указанных авторов посвящены преимущественно аналитическим методам исследования. Для обеспечения эффективного безаварийного функционирования ЭЭС необходимо проанализировать работу в условиях постоянной смены режимов в результате наступления различных событий (коммутация, короткое замыкание, изменение нагрузки и т.д.). Таким образом, динамическую модель невозможно представить в виде неизменной однорежимной структуры. Поэтому предлагается применение современной методологии гибридных систем (ГС) для описания и исследования ЭЭС.

Современная теория гибридных систем предназначена для эффективного описания и исследования дискретно-непрерывных процессов в сложных динамических системах. Фундаментальный вклад в становление и развитие этой теории внесли E.A. Lee, H. Zhenq, J. Esposito, V. Kumar, G.J. Pappas, D. Harel и отечественные исследователи Ю.Г. Карпов, Ю.Б. Сениченков, Ю.Б. Колесов, Ю.В. Шорников, Е.А. Новиков. Непрерывные состояния объекта или режимы представляются в виде систем дифференциальных или алгебро-дифференциальных уравнений. Дискретное поведение системы описывается различными методами на основе теории графов. Гибридный способ позволяет представить поведение сложных динамических объектов из множества областей науки и производства, например физические, электрические, химические, химико-технологические, биологические процессы, системы автоматического управления. Исследуемые объекты могут быть гетерогенными, то есть состоящими из подсистем различной природы.

Специфика анализа ГС состоит в том, что применение аналитических методов возможно только для узкого класса задач из-за ограничений на порядок системы уравнений модели и вид правой части. Таким образом, компьютерное моделирование является единственным универсальным и эффективным методом исследования.

Новые формализмы и методологии анализа сложных динамических систем, к которым, несомненно, относятся ЭЭС, оказываются более эффективными для предметного специалиста, если они окружены проблемноориентированными инструментальными средствами. Математическое и программное обеспечение должно быть унифицированным для практических приложений. Универсальные программные системы, например MATLAB, имеют наборы инструментов для решения определенных классов предметных задач, расширяющие их функциональность. Передовые отечественные (RastrWin, АНАРЭС) и зарубежные (EUROSTAG, DIgSILENT PowerFactory, PSS®E) программные комплексы инструментального анализа ЭЭС широко используются для анализа установившихся и переходных процессов. Однако в них применяются традиционные модели и методы анализа. Современная методология гибридных систем практически не используется специалистами в электроэнергетике, которые проектируют наследуемые в старых формализмах программные системы. Поэтому задача разработки специализированных инструментальных средств, имеющих предметно-ориентированный интерфейс и входной язык, новые формализмы, а также оригинальные механизмы интерпретации, является новой и актуальной.

Программное обеспечение инструментального анализа ГС ИСМА, разработанное под руководством Ю.В. Шорникова и при участии автора, унифицировано к задачам различной природы: исследованию простых динамических процессов, автоматическому управлению, химической кинетике, электромеханике и др. В настоящей работе унификация выполнена к задачам электромеханических переходных процессов в системах энергетики. Решение данных задач предполагает:

– разработку языка спецификации моделей ЭЭС и их программную реализацию;

– выбор математических моделей, формально определяющих класс анализируемых систем;

компьютерных моделей в формальные модели и вычислительные процедуры;

взаимодействия с новым приложением (расширение библиотеки специальных алгоритмов, учитывающих особенности рассматриваемого класса задач).

математических моделей и интерпретации программных моделей переходных процессов в системах электроэнергетики.

Для достижения цели поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка предметного графического языка спецификации систем электроэнергетики.

2. Разработка методов интерпретации графических программных моделей в гибридные модели (семантика).

3. Разработка, реализация и тестирование программных компонентов электроэнергетики и их взаимодействие с программной системой ИСМА.

Объектом исследования является методология гибридных систем при анализе переходных процессов в ЭЭС. Предметом исследования являются язык спецификации ЭЭС, методы интерпретации программных моделей в ГС и алгоритмы анализа ГС.

использовались теория систем, теория графов, теория множеств, теория языков и формальных грамматик. В экспериментальной части применялись методы структурного и объектно-ориентированного программирования, метод компьютерного моделирования, графоаналитический метод.

следующие результаты:

спецификации и анализа переходных процессов в электроэнергетических системах.

2. Разработан новый графический язык LISMA_EPS и созданы методы интерпретации программных моделей в гибридные системы.

3. Предложена новая архитектура инструментальной среды для исследования сложных динамических и гибридных систем.

4. Выполнено расширение библиотек решателя программной системы ИСМА для эффективных вычислительных экспериментов с моделями нового приложения и организации взаимодействия компонентов программной системы.

Личный вклад. Все основные результаты получены самостоятельно. В совместных работах соавторам принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов исследований. Программная реализация пакета моделирования ИСМА проводилась коллективом исследователей при непосредственном участии автора.

Разработанные методы и алгоритмы реализованы в комплексе программ ИСМА (Свидетельство № 2005610126. – М: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, 2005; Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013617771. – М.: Федеральная служба по интеллектуальной собственности, 2013).

Результаты исследований используются в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Конструкторско-технологическом институте вычислительной техники Сибирского отделения Российской академии наук (г. Новосибирск) при выполнении проекта Президиума РАН № 15. «Математическое моделирование, анализ и оптимизация гибридных систем».

Кроме того, исследования были поддержаны грантом РФФИ № 11-01а «Численное моделирование динамических процессов в больших электрических сетях» и Программой стратегического развития НГТУ, проект 2.6.1 «Выполнение интеграционных проектов, организация и проведение научных мероприятий международного и российского уровня на базе НГТУ», научно-исследовательские работы С2-26, С-18 «Компьютерное моделирование переходных электромеханических процессов в электроэнергетических системах», выполненные в 2012 – 2013 гг. Также результаты исследований использованы при выполнении гранта Минобрнауки РФ в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009годы» по лоту «2011-1.4-502-004» по теме: «Разработка математических моделей, алгоритмов и Web-приложений для поддержки стратегического № 14.740.11.0965 от 05.05.11 г.).

Программный комплекс ИСМА используется в научных исследованиях и учебном процессе в Институте математики и фундаментальной информатики Федерального государственного автономного образовательного учреждения университет» (г. Красноярск) и Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет» (г. Новосибирск), что подтверждено справками об использовании результатов диссертационного исследования.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Архитектура инструментальной среды с предметно-ориентированными входными интерфейсами для исследования динамики сложных динамических и гибридных систем.

электроэнергетических систем.

LISMA_EPS.

4. Алгоритмы библиотеки решателя системы ИСМА для эффективных вычислительных экспериментов с моделями нового приложения и организации взаимодействия компонентов программной системы.

Степень достоверности и апробация результатов. Теоретические аспекты базируются на строгих методах и алгоритмах и не противоречат известным положениям науки. Достоверность результатов проведенных исследований подтверждается сравнением решений ряда тестовых задач в системе ИСМА с приведенными в первоисточниках и с полученными в ведущих отечественных и мировых аналогах.

конференции IFAC «Conference on Manufacturing Modelling, Management, and Control (MIM–2013)» (Санкт-Петербург, 2013); международной конференции «International Conference on Simulation, Control and Automation (CSCA2013)»

моделирование», (Санкт-Петербург, 2013); XI международной конференции «Актуальные (Новосибирск, 2012); международной конференции «Математические и Х всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных (Чебоксары, 2013); VIII всероссийской научно-технической конференции «Информационные (Чебоксары, 2012); XVII «Информационные и математические технологии в науке и управлении»

(Иркутск, 2012); российской школе-семинаре «Модели и методы исследования гетерогенных систем» (Геленджик, 2012); российской научно-практической конференции «Автоматизированные системы и информационные технологии»

(Новосибирск, 2011).

Также промежуточные результаты работы докладывались на ежегодной отчетной научной сессии НГТУ и научной сессии КТИ ВТ СО РАН.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликована 21 научная работа, в том числе: 8 статей в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК РФ; 1 работа, зарегистрированная в Роспатент; 9 статей в материалах международных и российских конференций;

3 работы опубликованы в научных журналах.

Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Объем работы составляет 136 страниц основного текста, включая 55 рисунков и 5 таблиц. Список использованных источников содержит 96 наименований.

В первой главе представлены существующие в отечественной науке постановки задач анализа электромагнитных и электромеханических переходных процессов в ЭЭС. Выполнен обзор современных отечественных и зарубежных программных комплексов компьютерного моделирования ЭЭС и определены характеристики, которые необходимо учитывать при разработке новых пакетов программ. К таким характеристикам относятся: предметноориентированный пользовательский интерфейс с графическим редактором принципиальных схем; единый интерфейс для решения различных расчетных задач; обширные библиотеки типовых элементов с возможностью включения пользовательских моделей; расширяемость системы, добавление модулей для новых задач; исследование многорежимных динамических систем с возмущениями и другие. Перечисленные характеристики определяют функциональные требования к инструментальной среде. В реализации системы предложено использование методологии гибридных систем для спецификации современного состояния проблемы спецификации и интерпретации переходных процессов в ЭЭС сформулирована цель и поставлены задачи исследования.

Во второй главе предложена новая архитектура инструментальной Сконструированная архитектура позволяет настроить среду на новые взаимодействия имеющихся модулей и библиотек с предметноориентированным графическим редактором и интерпретатором моделей.

Новым предметным приложением ИСМА, рассматриваемым в настоящей работе, является электроэнергетика. В отличие от предшествующих разработок, в разработанной архитектуре иным образом организовано взаимодействие предметно-ориентированных интерфейсов с вычислительным ядром системы.

Разработано и реализовано новое промежуточное внутрисистемное представление гибридных моделей, универсальное для всех входных языков.

Это позволяет подключать новые редакторы и интерпретаторы программных моделей без модификации имеющихся. Внутреннее представление ГС разработано и реализовано с открытым интерфейсом программирования (API), что позволяет вводить новые программные модули без перепрограммирования системы в целом. Этим обеспечивается преемственность разработанного программного обеспечения к новым приложениям со своими особенностями.

Таким образом, для решения задач спецификации, интерпретации и анализа моделей переходных процессов в ЭЭС, предлагается выполнить унификацию средств математического и программного обеспечения машинного анализа ГС.

Рассмотрены возможности имеющихся в инструментальной среде структурно-символьных средств для спецификации и исследования простых ЭЭС. Поскольку переход от практических задач к программным моделям может вызывать затруднения у предметного пользователя, а встроенные средства не предоставляют возможность спецификации режимного поведения в форме ДАУ, не разрешенных относительно производной, сделан вывод о необходимости дополнения инструментальной среды предметным графическим редактором принципиальных схем систем электроэнергетики.

Выполненный анализ особенностей моделей переходных процессов ЭЭС и гибридных систем показал, что им присущи общие свойства – жесткость и высокая размерность математических моделей, многорежимность и наличие односторонних событий. Односторонность событий означает, что смена состояния происходит без пересечения границы режима. В практических задачах, например вследствие изменения конфигурации схемы ЭЭС, режим функционирования ЭЭС может быть не определен в момент возникновения события. Таким образом, для спецификации и исследования нового класса задач с применением методологии гибридных систем возможны унификация и использование ранее созданного аналитического обеспечения.

Третья глава посвящена разработке и реализации средств спецификации моделей ЭЭС. Языковые средства для создания программных моделей ЭЭС и ГС должны отражать как непрерывные режимы, так и дискретные события.

Разработка программных моделей осуществляется в предметноориентированном пользовательском интерфейсе, предоставляющем возможности композиции и анализа программ с диагностикой ошибок.

Интерпретация программных моделей производится во внутреннее универсальное представление моделей ГС, однозначно соответствующее математическому описанию режимов и событий.

Предложен графический язык LISMA_EPS принципиальных схем ЭЭС.

Изображения элементов принципиальных схем являются общепринятыми обозначениями. Они аналогичны изображениям, используемым в зарубежных (EUROSTAG, DIgSILENT PowerFactory) и отечественных (RastrWin, АНАРЭС) программных комплексах. Отличие состоит в семантическом наполнении элементов языка и языковых конструкций, ориентированном на анализ с использованием методологии гибридных систем. Каждый элемент ЭЭС представляется как гибридная система со следующими атрибутами:

1) диаграмма состояний с выделенным начальным состоянием; 2) уравнения режимов; 3) условия переходов; 4) мгновенные действия, выполняемые при смене режима. Энергосистема в выбранном формализме относится к ГС, режим которой определяется совокупностью состояний и поведений элементов.

выполняется по технологии «drag and drop» в интерфейсе редактора, встроенного в инструментальную среду ИСМА. Библиотека элементов может быть дополнена примитивами, разработанными пользователем. После композиции принципиальной схемы необходимо в свойствах элементов задать схемы замещения, параметры и начальные условия. Библиотека схем замещения также может быть дополнена пользовательскими моделями.

Композиция гибридной модели выполняется автоматически в две стадии.

На первой стадии проводится анализ графической модели для проверки корректности исходной программной модели. Второй этап синтез математической модели, в ходе которого происходит преобразование исходной программной модели в гибридную систему. Полученное внутреннее представление ГС является унифицированным для всех входных языков ИСМА и используется процессором численного анализа инструментальной среды в вычислительном эксперименте.

Анализ графического представления и синтез математической модели выполняется графоаналитическим методом с использованием трех типов графов. Граф G1 описывает топологию схемы и является внутренним представлением принципиальной схемы. Для каждого элемента ЭЭС определена используемая в текущем вычислительном эксперименте схема замещения. Граф схемы замещения G2 компонуется из подграфов схем замещения отдельных элементов в соответствии со схемой соединения G1.

Математическая модель формируется по схеме замещения G2 с учетом законов Кирхгофа методом контурных токов. Графы математической модели G являются внутренним представлением арифметических выражений в среде ИСМА, и в дальнейшем транслируются в исполняемый код для численного анализа.

В четвертой главе рассмотрены вопросы взаимодействия новых компонентов программного комплекса и выполнено тестирование нового приложения. Для организации взаимодействия новых и ранее разработанных компонентов потребовалось расширить библиотеку решателя ИСМА алгоритмом анализа неявных задач и выполнить модификацию алгоритма корректного обнаружения событий. Данные изменения позволяют повысить качество анализа гибридных моделей из ранее созданных приложений ИСМА.

Кроме того, они могут быть использованы при организации взаимодействия с перспективными приложениями – моделированием химико-технологических систем, решением задач теории упругости, гидродинамических процессов.

Приведены примеры спецификации и анализа переходного процесса в ЭЭС.

В работах, посвященных анализу ГС, как правило, рассматриваются системы, режимное поведение которых определяется на решении дифференциально-алгебраических уравнений. Более общим классом задач математической физики, при моделировании электроэнергетических, химикотехнологических и других систем являются ГС, режимы которых заданы системами дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, с ограничениями. Для решения неявных задач в ИСМА реализован алгоритм MK11F. Из результатов расчетов представленным алгоритмом в среде моделирования ИСМА следует, что вычислительные затраты для алгоритмов решения разрешенных и не разрешенных относительно производной задач практически совпадают. Это подтверждает эффективность реализованного метода.

Корректность анализа гибридных моделей, наряду с точностью расчетов, определяется правильностью локализации моментов смены локальных состояний. Поэтому дополнительно необходимо учитывать динамику событийной функции, определяющей возникновение событий. В отличие от существующего алгоритма корректного обнаружения событий, в предложенной модификации учитывается направление движения событийной функции. При удалении от границы режима дополнительные ограничения на шаг интегрирования не накладываются. Тестирование алгоритма показало, что при расчетах без контроля динамики событийной функции допускается существенная ошибка в обнаружении событий. Это приводит к нарушению условия односторонности событий и ошибочному глобальному решению.

Использование алгоритма для асимптотического приближения к границе режима обеспечивает корректное обнаружение момента смены режима.

Рассмотрены тестовые задачи анализа ЭЭС. Математические модели составлены по полным уравнениям Парка-Горева в системе вращающихся координат. Расчеты выполнялись в ИСМА и MATLAB. Результаты вычислений полностью совпадают с результатами первоисточников и не противоречат физическому смыслу. Это подтверждает состоятельность предложенного подхода и корректность решения задач исследования.

ГЛАВА 1. ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Электроэнергетика – базовая инфраструктурная отрасль, в которой реализуются процессы производства, передачи, распределения электроэнергии.

Она имеет связи со всеми секторами экономики, снабжая их произведенными электричеством и получая от некоторых из них ресурсы для своего функционирования [78]. Научно-технический прогресс и развитие новых секторов и отраслей экономики, совершенствование технологий, повышение качества и улучшение условий жизни населения предопределяют расширение сфер использования электроэнергии и усиление требований к надежному и бесперебойному энергоснабжению. В современных условиях руководители предприятий должны уметь и иметь возможность в короткие сроки проводить оценку происходящих изменений и оценивать их влияние на состояние и перспективы развития своего предприятия. Важным элементом поддержки принятия управленческих решений являются компьютерные информационные системы, которые позволяют выполнить анализ различных ситуаций и обоснованно выбрать оптимальный вариант действий. Применение методологии имитационного моделирования является мощным средством поддержки деятельности современного специалиста в области управления [1], а результаты вычислительных экспериментов могут быть использованы при планировании и реализации мероприятий по энергоэффективности и энергосбережению – приоритетным направлениям, определенным федеральной направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007 – 2013 годы».

Электроэнергетические системы (ЭЭС) представляет собой сложный объект. Сложность обусловлена рядом специфических особенностей [38, 59, 77], ограничивающих возможности применения классических методов и существующего программного обеспечения при анализе динамических процессов электроэнергетики:

– быстрое протекание процессов, связанных с отказом различных элементов основной технологической цепочки;

потребления электрической энергии;

– динамически меняющаяся структура в результате реакции автоматики на нештатные ситуации;

– зависимость режимов работы электрических систем от различных случайных факторов.

эксплуатации (включение и отключение нагрузок, источников питания, отдельных цепей), так и в аварийных условиях (обрыв цепи, короткое замыкание, выпадение машины из синхронизма и т. д.). Они обусловлены совокупностью электромагнитных и механических изменений в системе [68], в которых выделяются три стадии [48]. В течение долей секунды после возмущения происходит электромагнитный переходный процесс, в результате которого происходит электромагнитное перераспределение мощности.

Следующий этап характеризуется взаимными качаниями углов поворота роторов генераторов, приводящими к колебаниям мгновенных частот на электромеханических [7, 8, 48]. Длительность электромеханических процессов составляет 7 – 15 секунд [48], в течение которых в ЭЭС устанавливается единая частота. На третьем этапе производится регулирование частоты, приведение ее к номинальному значению. Данный процесс занимает десятки или даже сотни секунд, и, если устойчивость системы [38] не нарушена, приводит к восстановлению баланса мощности.

электрических машинах проводились с начала XX века. Строгую теорию переходных процессов в электрических машинах разработал Р. Парк (R. Park).

Несколько позже, независимо от Р. Парка, общие дифференциальные уравнения электродинамических переходных процессов синхронной машины, получил А.А. Горев. Из всего многообразия электромагнитных переходных процессов в электрической системе наиболее распространенными являются процессы, вызванные [68]: 1) включением и отключением потребителей электроэнергии; 2) коротким замыканием в системе, а также повторным короткозамкнутой цепи; 3) регулированием возбуждения синхронных машин;

4) несимметричным включением синхронных машин.

Основной причиной возникновения электромагнитных переходных процессов являются короткие замыкания. Они могут быть как случайными, вызванными внешними причинами или отказом оборудования, так и короткозамыкателями – с целью быстрых отключений ранее возникших повреждений. Из опыта эксплуатации электрических систем установлено [68], что большая часть возникающих повреждений, особенно на воздушных линиях, может самоустраняться после отключения поврежденного участка. В соответствии с этим широкое применение нашло автоматическое повторное включение цепей. При неуспешном автоматическом повторном включении, когда возникшее повреждение в цепи сохранилось, переходный процесс состоит из нескольких этапов. Первый из них наступает в момент поврежденного участка. Вторым этапом является пауза (порядка 0,5 сек. и более) до момента повторного включения, с которого наступает третий этап, продолжающийся до нового отключения того же участка. При многократном автоматическом повторном включении число этапов соответственно возрастает. Когда повреждение происходит в узле, связывающем несколько цепей, или на участке с двухсторонним питанием, переходный процесс дополнительно усложняется тем, что отключение этих цепей или соответственно участка с обоих концов обычно происходит неодновременно (каскадное отключение). Таким образом, процесс короткого замыкания может состоять из неоднократно сменяющихся переходных режимов.

В трехфазных системах с заземленной нейтралью возможны четыре вида коротких замыканий (КЗ) в одной точке: трехфазное; двухфазное; однофазное;

двухфазное на землю. В дальнейшем будем рассматривать симметричные трехфазные цепи. Процессы в таких сетях происходят одинаково во всех фазах [48, 68]. Так, в случае короткого замыкания будем иметь в виду трехфазное КЗ.

Под расчетом электромагнитного переходного процесса обычно понимают вычисление токов и напряжений в рассматриваемой схеме при заданных условиях. К числу задач, для практического решения проводят такие расчеты, относятся [68]:

1) сопоставление, оценка и выбор схемы электрических соединений как отдельных установок (станций, подстанций), так и системы в целом;

2) выявление условий работы потребителей при аварийных режимах;

3) выбор аппаратов и проводников и их проверка по условиям работы при коротких замыканиях;

автоматизации;

5) определение условий несинхронного включения синхронных машин и включения их способом самосинхронизации;

6) оценка и выбор систем возбуждения синхронных машин;

7) проведение различных испытаний;

8) анализ произошедших аварий.

1.2 Спецификация, модели и методы анализа Перечислим основные допущения [68], которые обычно принимают при решении большинства практических задач, связанных с определением токов и напряжений при электромагнитных переходных процессах:

1) Отсутствие насыщения магнитных систем. В этом случае система оказывается линейной, и для расчета могут быть использованы любые формы принципа наложения.

автотрансформаторов.

3) Сохранение симметрии трехфазной системы.

4) Пренебрежение емкостными проводимостями.

5) Приближенный учет нагрузок. В зависимости от стадии переходного процесса нагрузку приближенно характеризуют некоторым постоянным сопротивлением, обычно чисто индуктивным.

6) Отсутствие качаний синхронных машин. Если задача ограничена рассмотрением лишь начальной стадии переходного процесса (т.е. в пределах 0,1 – 0,2 сек с момента нарушения режима до отключения повреждения), это возникновении существенных качаний или выпадении машин из синхронизма необходимо учитывать электромеханические процессы.

безразмерных единицах позволяет существенно упростить некоторые теоретические выкладки и придать большую наглядность результатам практических расчетов [68]. Под относительным значением какой-либо величины понимается ее отношение к другой одноименной величине, выбранной за базис или единицу измерения. Так, если значения токов и напряжений в ЭЭС выражены в именованных единицах, то они являются реальными только для той части, ступень напряжения которой принята в качестве основной. Истинные токи и напряжения всех прочих участков схемы находят пересчетом. Если схема рассчитывается в системе относительных единиц, то для получения значений токов и напряжений в именованных единицах нужно найденные их относительные величины умножить на соответствующие базисные единицы ступени трансформации. Время также можно выражать в относительных единицах. За единицу измерения времени обычно принимают время, в течение которого ротор машины повернется на один электрический радиан, т.е. базисное время при частоте 50 Гц составляет 1/314 сек.

Традиционно для представления состава и структуры ЭЭС используются принципиальные схемы (рисунок 1.1) – совокупность условных графических и буквенно-цифровых обозначений элементов системы и связей между ними.

Принципиальные схема наглядно отображают соединения элементов ЭЭС, но не отражают их внутреннее строение и физические свойства. Поэтому расчетные модели, где все элементы системы представлены схемами замещения, широко используют для решения многих задач. Они позволяют получить решение, используя множество разработанных универсальных методов расчета. Схема замещения представляет электрическую цепь с источниками тока и ЭДС, активными и реактивными элементами, элементами коммутации и др. Степень детализации схем замещения определяется постановкой задачи анализа ЭЭС. Таким образом, при исследовании режимов ЭЭС строятся также их схемы замещения (рисунок 1.2).

При наличии [68] трансформаторов (или автотрансформаторов) в схеме, для упрощения проводимых расчетов, имеющиеся магнитносвязанные цепи Предполагается, что между токами и напряжениями сохраняется линейная зависимость и, следовательно, они могут быть связаны линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

При исследовании синхронной работы генераторов и решении множества других задач в анализе электроэнергетических систем традиционно используются модели на основе уравнений Парка-Горева [7, 8, 38, 48] для описания электромеханических процессов. Параметры режима генераторов записываются в системах вращающихся координат d q, жестко скрепленных с роторами соответствующих генераторов. Для остальных элементов параметры режима относятся к синхронно вращающейся системе координат.

Уравнения для токов и напряжений записываются по законам Ома и Кирхгофа по каждой из осей системы координат в соответствии с топологией схемы.

Поскольку электромагнитные процессы предшествуют электромеханическим, для анализа первого этапа переходного процесса целесообразно применять уравнения Парка-Горева.

Полное математическое описание [48] электромагнитных процессов синхронной машины имеет вид:

Уравнения (1.1), (1.2) описывают переходные процессы в машине, имеющей N = p + 1 контуров в оси d и M = k контуров в оси q ротора.

Использованные здесь и далее обозначения общеприняты.

Механическое движение ротора описывается уравнениями:

где k, p – скорости вращения оси отсчета углов и ротора.

Расчеты переходных процессов по полным уравнениям Парка-Горева [47], вследствие большой размерности системы (1.1), (1.2) и (1.3), чрезвычайно трудоемки. Кроме того, класс исследуемых моделей часто соответствует событийно-непрерывным системам, анализ которых традиционными аналитическими методами также затруднен или вообще невозможен [54, 74].

Поэтому решение таких задач возможно только с применением ЭВМ в окружении специализированных инструментальных средств.

Теоретические исследования и практические методы расчета всегда требуют экспериментальной проверки. Проведение испытаний в натуральных условиях сопровождается значительным риском, что такой эксперимент повлечет серьезную аварию. Неоценимую помощь в экспериментировании и проверке ряда новых теоретических разработок, схем и автоматических устройств оказало и продолжает оказывать физическое и математическое моделирование электрических систем. В настоящее время эффективное решение крупных задач во множестве предметных областей невозможно без применения ЭВМ. При этом выработана технология исследования проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такая методология и технология исследований называется вычислительным экспериментом [10, 60].

Современные технологии вычислительного эксперимента реализуются в специализированных программных комплексах инструментального анализа.

Базовые принципы построения таких программных систем сформулированы в работах отечественных ученых Н.Н. Моисеева [50] и Н.Н. Яненко [79]. Эти работы посвящены методам исследования сложных систем с помощью ЭВМ, в них впервые введены определения модуля и пакета прикладных программ, выполнена классификация программных систем машинного анализа. Под инструментальным анализом понимается решение комплекса задач, включающее разработку и исследование математического, алгоритмического и программного обеспечения:

– математических моделей, формально определяющих класс исследуемых систем, то есть создание определенного формализма;

– языков спецификации формальных моделей и средств их реализации;

– средств отладки и интерпретации компьютерных моделей в конкретные математические описания объекта и вычислительные процедуры;

– методов численного анализа и специальных алгоритмов, учитывающих особенности рассматриваемого класса задач;

– методов обработки и интерпретации результатов вычислительных экспериментов.

Таким образом, инструментальный анализ охватывает и автоматизирует все этапы вычислительного эксперимента. Далее рассмотрим специальные предметно-ориентированные инструментальные среды исследования ЭЭС.

В данном разделе перечислим существующие в настоящее время программные комплексы для решения задач электроэнергетики. Отметим достоинства и недостатки вышеуказанных систем и представим сравнительную характеристику их между собой.

Основными практическим задачами, которые решаются с применением инструментальных средств, являются [72]:

1) исследование последствий нештатных ситуаций. На основе результатов моделирования делаются выводы о необходимости ремонтов, замены производственного оборудования, внедрению противоаварийной автоматики;

2) исследование статической и динамической устойчивости при изменении конфигурации ЭЭС предприятия;

3) формирование альтернатив при создании или модификации подсистемы ЭЭС в плане выбора возможного оборудования. При этом предварительный анализ конфигураций ЭЭС позволяет принимать обоснованные решения.

Следует отдельно отметить, что математические модели современных технических и, в частности, электроэнергетических систем характеризуются высокой размерностью, многорежимностью и жесткостью. В связи с этим в программных комплексах исследования ЭЭС необходимы специальные алгоритмы численного анализа, настроенные на решение задач с отмеченными особенностями.

EUROSTAG [http://www.eurostag.be, http://eurostag.regimov.net] EUROSTAG – программный комплекс, предназначенный для точного исследования динамики различного рода электроэнергетических систем.

Разработчиками данного продукта являются научно-технический центр TRACTEBEL (Бельгия) совместно с ELECTRICITE DE FRANCE (Франция).

Данный программный комплекс предназначен для исследования как коротких (доли секунд) электромагнитных и достаточно продолжительных (десятки минут) электромеханических переходных процессов, так и расчета установившихся режимов. При этом учитывается возможная работа систем автоматического регулирования. В системе имеется большая библиотека модулей регулирования, а также специальный модуль, с помощью которого в удобной среде можно описать практически любое устройство. Математические модели анализируются алгоритмами с переменным шагом интегрирования, который выбирается по критерию точности расчетов.

Комплекс состоит из независимых модулей, доступных из главного окна программы: редактор сети, редактор входных данных, редактор моделей элементов ЭЭС, конвертер (импорт данных из других программ), расчетный модуль, средства просмотра результатов расчета в виде графиков и таблиц.

Отметим следующие достоинства EUROSTAG:

– Большой спектр решаемых задач.

– Развитое математическое обеспечение (расчеты на длинных временных интервалах, переменный шаг интегрирования).

– Поддержка множества типовых сетевых элементов и автоматик.

– Возможность создавать свои модели для нетипового «железа».

Но также существуют недостатки:

– Отсутствие настроенных таблиц для анализа.

коррекции данных.

– Нет встроенного макроязыка для автоматизации расчетов.

– Очень медленный и недоработанный графический редактор.

генераторов, автоматик и связанных с ними параметров.

– Завышенные требования к аппаратному обеспечению и как следствие – большое время расчета.

особенности рассматриваемого класса систем.

DIgSILENT PowerFactory [http://www.digsilent.de] Программное обеспечение DIgSILENT PowerFactory (DIgital SImuLator for Electrical NeTwork – цифровой инструмент моделирования электрических сетей) предназначено для анализа и планирования режимов работы электрических сетей и систем. Разработчик – компания DIgSILENT GmbH (Германия). Создание системы началась в 1976 году группой опытных инженеров-электриков и программистов, которые непосредственно проектировали и эксплуатировали электрические системы. В настоящий момент актуальной является версия PowerFactory 15. Программное обеспечение уже более 30 лет используется электроэнергетиками (выдано более лицензий) более чем в 110 странах мира (Великобритания, Италия, Нидерланды, Австралия, Швейцария, ЮАР, Германия, Россия, Украина и др.) для решения всего спектра задач планирования и управления режимами электрических сетей и систем.

Концепции, заложенные при создании PowerFactory, делают его наиболее гибким и надежным инструментом компьютерного моделирования и анализа электрических систем и сетей. Единый программный «движок» и интерфейс PowerFactory используется для различных приложений и сегментов рынка – генерация, передача, распределение электроэнергии, системы электроснабжения. Интегрированная база данных позволяет хранить все данные приложения (графика, параметры, результаты, условия выполнения, опции расчетов, сообщения и др.). Мощный графический редактор поддерживает большое количество графических функций, таких как многослойность, «drag and drop», автоматическая генерация типовых схем подстанций, условно-зависимая окраска элементов, масштабирование, визуальная идентификация и др.

обеспечивает решение прикладных задач:

– Расчет симметричных и несимметричных установившихся режимов, токов КЗ.

– Учет работы первичных и групповых систем автоматического регулирования частоты и мощности.

ограничений.

– Исследование электромагнитных и электромеханических переходных процессов, расчеты статической и динамической устойчивости.

– Создание пользовательских моделей регуляторов и идентификация их параметров по данным натуральных испытаний.

PSS®E Siemens PTI [http://www.energy.siemens.com] Программный комплекс PSS®E (Power System Simulator for Engineering), разработанный Siemens Power Technology International (Германия), используется компаниями, эксплуатирующими электрические сети во всем мире. С момента своего появления в 1976 году данный программный комплекс стал наиболее всеобъемлющей, технически совершенной и широко используемой коммерческой программой. Вероятностный анализ и передовое динамическое моделирование, включенное в PSS®E, предоставляет инженерам широкий набор инструментов для использования при проектировании, анализе и оптимизации надежных сетей. PSS®E предоставляет пользователю самые передовые и проверенные методы во многих технических областях, в том числе:

1. Анализ постоянных режимов, потокораспределения мощности и других параметров сети.

2. Расчет симметричных и несимметричных коротких замыканий.

3. Расчет динамической устойчивости, который включает долгосрочное динамическое моделирование, расчет статической устойчивости (в малом) и частотный анализ сети.

4. Оптимальное распределение мощности.

5. Графическая среда для разработки моделей.

6. Расчет параметров ЛЭП.

PSS®E имеет интуитивно понятный графический интерфейс, который совмещается с другими PSS®-приложениями.

библиотеку компонентов. Ключевыми инструментами динамического моделирования PSS®E являются:

сложности, в том числе собственных пользовательских.

– Интуитивный и легкий в использовании графический интерфейс ввода данных динамической модели как в табличной форме, так и через диаграмму сети.

– Возможность создания любых возмущений системы, например КЗ, пуск двигателей, потеря возбуждения генератора, отключение генераторов и т.п.

моделирования.

– Возможность приостановить и продолжить расчет в любое время.

– Средства интерпретации результатов с возможностью экспорта в несколько популярных графических форматов.

– Большая встроенная библиотека моделей.

Широкое распространение, продолжительное существование и всеобщее признание программных комплексов PowerFactory и PSS®E делают их своего инструментальных средств анализа программных систем. Отмеченные особенности данных систем, такие как единый программный «движок», мощный графический редактор, средства интерпретации результатов и др., необходимо сохранять и во вновь разрабатываемых комплексах, реализующих современные математические модели и методы анализа.

MATLAB/SimPowerSystems [http://www.mathworks.com] MATLAB (The MathWorks, США) – один из самых известных пакетов прикладных программ для решения задач технических вычислений. В состав MATLAB входит компонента Simulink – интерактивный инструмент для моделирования, имитации и анализа динамических систем визуальными моделями на основе структурных схем. К несомненным достоинствам Simulink можно отнести: возможность анализа широкого класса моделей; большое количество примитивов; многие блоки работают для векторных и матричных сигналов; архитектура системы позволяет интегрировать свои компоненты. В свою очередь к недостаткам Simulink и MATLAB вообще относится большая вычислительная ресурсоемкость. Дополнительные возможности, которые представлены в пакете и придают ему излишнюю громоздкость, чаще всего не используются; большое количество примитивов, которые противоречат композиционным принципам агрегирования; отсутствует возможность экспорта результатов в другие среды, блоки для графического представления результатов неудобны в манипулировании графическими данными.

Пакет Simulink SimPowerSystems [71] содержит набор блоков для построения виртуальных моделей электротехнических устройств и устройств силовой электроники. Используя библиотеки Simulink, а также применяя функции и команды MATLAB, пользователь может не только имитировать работу устройств во временной области, но и изучать их частотные свойства, оценивать динамические параметры и осуществлять гармонический анализ токов и напряжений.

электротехнических элементов, источников энергии, электродвигателей, трансформаторов, линий электропередачи и т.п. оборудования. Имеется также раздел, содержащий блоки для моделирования устройств силовой электроники, включая системы управления для них. Используя специальные возможности Simulink и SimPowerSystems, пользователь может не только имитировать работу устройств во временной области, но и выполнять различные виды анализа таких устройств.

Несомненным достоинством SimPowerSystems является то, что сложные электротехнические системы можно исследовать, сочетая методы имитационного и структурного моделирования. Например, силовую часть полупроводникового преобразователя электрической энергии можно выполнить с использованием имитационных блоков SimPowerSystems, а систему управления с помощью обычных блоков Simulink, отражающих лишь алгоритм ее работы, а не ее электрическую схему. Такой подход, в отличие от пакетов схемотехнического проектирования, позволяет значительно упростить всю модель, а значит повысить ее работоспособность и скорость работы. Кроме того, в модели с использованием блоков SimPowerSystems можно использовать блоки и остальных библиотек Simulink, а также функции самого MATLAB, что электротехнических систем.

трехфазной системы координат (фазы A, B и C системы электроснабжения).

Такие схемы легко интерпретируются, они соответствует реальным электрическим системам. Однако с точки зрения рассматриваемого класса задач, необходимо выполнение дополнительных преобразований для приведения результатов в систему вращающихся координат d q.

Рисунок 1.3 – Моделирование ЭЭС в SimPowerSystems RastrWin [http://www.rastrwin.ru] Комплекс программ RastrWin разработан Региональным общественным объединением «Фонд кафедры «Автоматизированные электрические системы»

имени Д.А. Арзамасцева» (Россия). RastrWin позволяет решать задачи по ведению режимов электрических сетей и систем:

– Расчет установившихся режимов электрических сетей произвольного размера и сложности.

– Эквивалентирование (упрощение) электрических сетей.

энергосистемы, определение опасных сечений.

аварийных ситуаций.

Представление электрической сети в виде однолинейной графической схемы обеспечивает наиболее удобное восприятие информации о расчетах режима. В RastrWin входят средства подготовки и отображения однолинейной графической схемы:

– автоматизированная подготовка графической схемы на основе заданной расчетной, автоматический контроль соответствия расчетной и графической схем;

информации;

– отображение текущей расчетной информации, быстрая замена типа отображаемой информации;

режимных параметров непосредственно на графической схеме;

– цветовое выделение номинальных напряжений и районов схемы, выделение номинальных напряжений толщиной;

– динамическая «заливка» схемы в зависимости от значения выбранного параметра (например, отклонения напряжения от номинального);

– отображение энергетической схемы в виде «псевдо»-электрической сети.

АНАРЭС-2010 [http://www.anares.ru] АНАРЭС (Анализ надежности режимов электрических систем) – семейство программных комплексов для расчетов, анализа и планирования режимов работы электроэнергетических систем [72]. В настоящее время актуальной является версия АНАРЭС-2010.

планирования режимов работы электроэнергетических систем; управления ими на различных территориальных уровнях диспетчерского управления.

Программный комплекс позволяет проводить [72]: расчет нормальных (установившихся) режимов; оптимизацию режима работы (минимизация потерь); поиск и анализ предельных режимов работы; расчет токов короткого замыкания; оценивание текущего состояния; анализ режимной надежности, с возможностью оценки вероятности возникновения и развития каскадных аварий; расчет электромеханических переходных процессов; производить проектирование электрических систем; решать задачи обработки телеметрической информации на уровне подстанций и подготовки её для дальнейшего использования для работы комплекса.

Принципиальная схема ЭЭС формируется в универсальном редакторе расчетных схем [13].

Математическая модель переходных процессов ЭЭС получена на основе уравнений электрической цепи, дополненных уравнениями механического движения электрических машин. Основными особенностями данной модели являются:

– учет изменения частоты вращения синхронных машин в уравнениях всех элементов;

– исследование асинхронных машин с учетом не только механического движения, но и переходных процессов в контурах ротора;

– строгий учет автоматических регуляторов возбуждения в соответствии с их передаточными функциями, с учетом форсировки возбуждения и скачков входных сигналов в момент коммутации.

– в модели не учитываются быстро протекающие переходные процессы в статорной цепи электрических машин.

Динамика анализирует переходные процессы при различных коммутациях и событиях, происходящих в системе: короткое замыкание на линии; отключение/включение линии (в том числе, и с одного конца);

изменение параметров линии; короткое замыкание в узле; отключение короткого замыкания в узле. Также моделируются: отключение генераторов;

отключение/включение синхронной машины; потеря возбуждения синхронной машины; отключение/включение асинхронной машины; включение импульсной разгрузки блока; деление системы на независимые части и др.

Допускается любое сочетание событий одновременно и с разделением во времени.

Расчетный блок выполнен в виде отдельного программного модуля. Это позволяет его использовать без интерфейса в других задачах («Надёжность» и др.). «Динамика» позволяет: формировать задания на расчет, задавать логику работы автоматики, отображать результаты расчета в таблицах и на графиках, отображать результаты работы автоматики, контролировать выход параметров за указанные диапазоны, сортировать результаты по любому параметру.

Как основные преимущества, разработчики отмечают:

комплекса, использующих самые современные научные методы и разработки.

– Высокую надежность работы – проверенные годами, алгоритмы, методы и технологии. Способность решения нестандартных проблем и задач.

– Простоту адаптации программного комплекса к условиям конкретного заказчика.

– Использование в научно-прикладных исследованиях и обучении.

– Техническую и методическую поддержку пользователей.

К недостаткам АНАРЭС отнесем использование стандартных методов численного анализа [69], не адаптированных к особенностям моделируемых систем и допускающих некорректное обнаружение дискретных событий.

Dakar [http://www.dakar.eleks.com] Программа ДАКАР (Диалоговый автоматизированный комплекс анализа режимов) предназначена для расчета и анализа установившихся режимов и переходных процессов электроэнергетических систем. Разработчик – ELEKS Software (Украина). В состав программного комплекса входит информационная база данных и программные средства работы с ней. В информационную базу входят данные об электрической схеме сети и ее режимах, а также оборудование энергосистемы и нормативно-справочная информация.

Программное обеспечение позволяет решать следующие задачи: создание графической схемы сети и коммутационных схем подстанций, с отображением на них результатов расчета; расчет и анализ установившихся режимов;

исследование статической и динамической устойчивости; анализ длительных переходных процессов; анализ несимметричных, неполнофазных режимов и расчет токов короткого замыкания; эквивалентирование режимной схемы.

Анализ статической устойчивости выполнен на основе численного решения алгебро-дифференциальных уравнений исследуемой энергосистемы при малых возмущениях всех активных узлов. Комплекс позволяет осуществить расчет и анализ длительных электромеханических переходных процессов, связанных с изменением частоты в энергосистеме, уровней напряжений, перетоков мощностей и взаимных углов межсистемных связей, с моделированием действий любых устройств противоаварийной автоматики и реакцией теплосилового оборудования электростанций (тепловой автоматики).

Методика расчета длительных переходных режимов (до 10 минут) основана на переходе от одного математического описания к другому и охватывает все стадии аварийного переходного процесса.

инструментального анализа ЭЭС обладают следующими характеристиками [51], которые необходимо учитывать при разработке новых пакетов программ:

графическим редактором принципиальных схем.

2. Единый интерфейс для решения различных расчетных задач.

3. Обширные библиотеки типовых элементов с возможностью включения пользовательских моделей.

4. Учет работы автоматики, создание пользователем собственных алгоритмов и устройств автоматического регулирования.

5. Механизмы импорта данных различных форматов из внешних приложений.

6. Единый расчетный модуль.

7. Расширяемость системы, добавление модулей для новых задач.

8. Исследование многорежимных динамических систем с возмущениями.

9. Проведение активного эксперимента и многовариантных расчетов.

10. Развитые средства графической интерпретации результатов расчета с привязкой к топологии схемы.

Далее перейдем к рассмотрению формализма гибридных систем, который будет использован в разрабатываемом программном комплексе для представления математических моделей ЭЭС.

Часто исследуемые объекты и (или) процессы обладают следующими характерными особенностями [43, 44, 54, 74]:

– элементы системы имеют разнородные физические принципы действия (электрические, механические, гидравлические, оптические и др.) – такие системы называются гетерогенными [95];

– между элементами системы, а также с внешней средой имеется множество информационных и физических связей;

– система имеет иерархическую многоуровневую структуру;

– имеется много различных режимов работы, причем эти режимы не совпадают, то есть один режим работы одной подсистемы может требовать переключений режимов работы других подсистем;

– большая часть функций управления реализуется программно на встроенных ЭВМ и микропроцессорах;

– поведение системы характеризуется как непрерывной, так и дискретной составляющей.

При анализе систем с отмеченными особенностями необходимо учитывать:

– наличие быстрых и медленных процессов;

– высокую размерность моделей процессов;

– существенную нелинейность задач с разрывными функциями;

– жёсткость непрерывных режимов.

Перечисленные свойства сложных систем в большинстве случаев делают невозможным использование традиционных аналитических методов анализа, и в связи с этим метод численного анализа приобретает ведущую роль. При этом наиболее удобным средством описания объектов представляется аппарат гибридных систем (ГС).

Событийно-непрерывная, со множеством режимов, природа переходных процессов в ЭЭС может быть успешно описана с использованием методологии гибридных систем.

характеризуется совокупностью непрерывного и дискретного поведений.

Непрерывное поведение на временном интервале [t0, tk ] определяется вектором отображением C :R n R n. Далее вектор-функцию с определяющими её начальными условиями y0 = y ( t0 ) будем обозначать y ( t, y0 ), для которой в общем случае выполняются следующие условия [44]:

– y ( t, y0 ) непрерывна по совокупности переменных;

Отображение C может быть ограничено классом систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в форме Коши с запаздывающим аргументом в правой части, системами дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), в том числе не разрешенными относительно производных, системами дифференциальных уравнений в частных производных и др.

монографии [54] и диссертации [74]. В дальнейшем будем оперировать введенной терминологией режима ГС, событийной функцией g( t, y ) < 0 и определяющей её предикатом pr : g( t, y ) < 0, pr B = { false,true}, граница режима g( t, y ) = 0 и т.д.

В работе рассматриваются ЭЭС как ГС с односторонними событиями. К односторонним [54] относятся события, происходящие при нарушении условия pr и приводящие к переходу в другой режим без пересечения границы режима.

Именно такие события представляют наибольший практический интерес, и поэтому будут исследоваться в дальнейшем. Гибридные системы в данном случае относят к дискретно-непрерывным, причем их непрерывное поведение в основном анализе рассматривается как численное решение дифференциальной рассматривать жесткие гибридные системы, в которых хотя бы один из режимов является жестким.

В работах, посвященных анализу ГС, как правило, рассматриваются единственным режимным поведением, полученным на решении алгебродифференциальных уравнений с некоторыми ограничениями режимном решении ведет себя таким образом, что соответствующий предикат pr j : g j t, x j, y j < 0 режимного решения является истинным ( pr j = true ) на всем полуинтервале режимного решения t 0, t* [t0, tk ].

Событие ГС возникает при достижении режимной функцией g j t, x j, y j границы режима t*. При этом нарушаются условия Липшица, поскольку в моменты наступления события t* не существует производной от f j t,x j, y j.

Таким образом, время существования режима ГС определяется [54, 85] интервалом между двумя соседними событиями.

Глобальное поведение ГС характеризуется совокупностью согласованных режимных поведений c j CG, полученных на множестве решений задачи (1.4) Коши с предикатными ограничениями pr j. Очевидно, что если ГС имеет g j t, x j, y j < 0 и pr j = true на всем интервале решения, то ГС вырождается в классическую динамическую систему (ДС), поведение которой задается системой ДАУ. Таким образом, ГС является обобщением динамической системы. Этот вывод согласуется с введенными понятиями ГС в разных источниках [44, 64], в которых ДС рассматриваются как подмножества ГС. В дальнейшем при рассмотрении режимов ГС в записи (1.4) индекс j будем опускать.

Более общим по сравнению с (1.4) классом задач математической физики, химико-технологических систем и многих других приложений, являются ГС, режимы которых заданы неявными системами дифференциальных уравнений:

F : R N R N R R N – некоторая непрерывная при заданном режиме ГС где предохранитель, x0 – значение в начальной точке t0. Здесь для упрощения рассуждений, не нарушая общности, опущены алгебраические уравнения, однако они могут присутствовать в задаче (1.5) в том же виде, как и в (1.4).

Во второй главе будут рассмотрены некоторые свойства, присущие инструментальных комплексов компьютерного исследования ГС и ЭЭС, особенно при разработке аналитического наполнения – библиотек численных методов и алгоритмов анализа. Здесь же вернемся к сравнительному анализу инструментальных средств и выполним постановку цели и задач исследования.

1.5 Сравнительный анализ инструментальных средств Сравнительный анализ инструментальных средств в области решения задач электроэнергетики с точки зрения использованного математического обеспечения приведен в таблице 1.1. Здесь введены следующие обозначения:

yn +1 = yn + hn f – схема одношаговых методов; hn +1 = f ( h ac,h st,h q ) – выбор шага интегрирования искомой функции зависит от точности, устойчивости и гибридности.

Таблица 1.1 – Сравнительный анализ инструментальных средств Свойства L(G)->y(t) L(G) Основываясь на данных таблицы 1.1, можно прийти к следующему вопросу: почему теория ГС не используется в современных традиционных системах? Ответов на этот вопрос несколько: 1) Все системы создавались специалистами в общей теории систем и тем более ГС. 2) Теория ГС появилась позже 2000 г., а вышеуказанные системы были спроектированы в 90-ые годы XX века.

Следует отметить, что для проектирования и анализа гибридных систем в инструментарий. Еще одно расширение для Simulink – Hybrid Toolbox [http://cse.lab.imtlucca.it/~bemporad/hybrid/toolbox] – моделирования, имитации и проверки гибридных динамических систем, для контроллеров для гибридных систем и др. Спецификация гибридной системы может выполняться как на языке HYSDEL (Hybrid System DEscription Language), так и в графическом виде, по аналогии со структурными схемами.

Таким образом, особенностью разработки является возможность описания и анализа программ на языке HYSDEL в Matlab без использования Simulink. В то же время имеется возможность использовать более наглядную блочную модель.

Исходя из рассмотренных особенностей электроэнергетических систем и переходных процессов в них, возможностей современных программных комплексов и наличия актуальной методологии гибридных систем, для достижения поставленной цели работы, решаются следующие задачи:

1. Разработка предметного графического языка спецификации систем электроэнергетики.

2. Разработка методов интерпретации графических программных моделей в гибридные модели (семантика).

3. Разработка, реализация и тестирование программных компонентов нового приложения ISMA_EPS для анализа электромеханических переходных процессов электроэнергетики и их взаимодействие с программной системой ИСМА.

Для описания и анализа переходных процессов в электроэнергетических системах и их элементах предложено использование методологии гибридных систем в окружении инструментальных средств компьютерного анализа.

Выполнен обзор современных отечественных и зарубежных программных комплексов компьютерного исследования ЭЭС и определены характеристики, которые необходимо учитывать при разработке новых пакетов программ. Эти характеристики определяют функциональные требования к инструментальной среде. В результате проведенного анализа современного состояния проблемы спецификации и интерпретации переходных процессов в ЭЭС поставлены задачи исследования.

ГЛАВА 2. АРХИТЕКТУРА ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЙ СРЕДЫ

На разработку имитационных сред и языков огромное влияние оказывают стандарты 1968 года, выработанные сообществом CSSL (Continuous system simulation language, язык моделирования непрерывных систем). В настоящее время эти стандарты не потеряли своей актуальности [80]. В конце 90-х гг.

CSSL распространило свои стандарты на неявные системы. В то же время был разработан новый язык [41, 91] для моделирования, Modelica. Парадигма моделирования претерпела изменения: произошел сдвиг фокуса от явных систем, ориентированных на прохождение сигнала (signal flow-oriented systems), до неявных систем, ориентированных на мощность (power-oriented).

Первые версии CSSL определяли основные характеристики имитатора среды моделирования – симулятора, более поздние описывали расширенные характеристики неявных систем. И те, и другие характеристики в настоящее время считаются классическими [80].

Современные формализмы и методы анализа сложных динамических систем могут эффективно использоваться предметными специалистами только в том случае, когда они реализованы в проблемно-ориентированных комплексах инструментального анализа. Математическое и программное обеспечение должно быть унифицированным для практических приложений [26, 35, 36, 54].

симуляторов. Ранние симуляторы имели архитектуру [80], представленную на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Базовая структура среды моделирования в соответствии со В стандарте CSSL прописаны и строго разделены понятия каркаса модели (model frame) и каркаса эксперимента (experimental frame). Вообще, модель и эксперимент – это пользовательские интерфейсы имитационной системы (simulation system), ядра симулятора (simulator kernel) или движка симулятора (simulator engine). Транслятор преобразует описание модели, взятое из каркаса модели, согласно обозначениям из пространства состояний (state space notation).

Пространство состояний необходимо для решения симулятором (simulation engine) системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ, ODE).

Для этого описание модели нужно как минимум «отсортировать» (sort) и преобразовать в программный код и «упаковать» в функцию, которая вызывается из решателя ОДУ (ODE solver). Возможность «сортировать» модель (model sorting capability) является очень важной классической характеристикой симуляторов. Базовая структура симулятора, расширенная сервисом дискретных элементов и дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), приведена на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Расширенная структура системы моделирования в соответствии со стандартом CSSL с дискретными элементами и ДАУ В 1980 – 2000 гг. решены важные задачи: в модель добавлены ДАУ, а в непрерывные имитационные системы интегрированы дискретные элементы, что обусловило переход от простых временных событий к сложным фазовым алгебраические уравнения в основном либо порождаются, либо сами порождают фазовые события фазовыми ограничениями (state constraints).

Описание событий (event description) и обработку событий по времени (time event handling) можно отнести к базовым характеристикам. В то же время обработка фазовых событий (state event handling) и ДАУ, реализованная непосредственно в решателях ДАУ с понижением или без изменения индекса (index reduction), относится к дополнительным характеристикам симуляторов.

На кафедре Автоматизированных систем управления Новосибирского д.т.н. Ю.В. Шорникова разрабатывается среда моделирования динамических и гибридных систем ИСМА (Инструментальные средства машинного анализа) [73]. Спецификация ГС выполняется с использованием графических и вычислительные методы и алгоритмы машинного анализа, соответствующие выбранному классу систем и способам решения этих моделей.

Среда ИСМА реализована с учетом простоты описания динамических и гибридных систем [21] на языке, максимально приближенном к предметному языку, и характеризуется следующими основными особенностями:

структурно-текстовой форме;

– структурная форма описания модели соответствует классическому описанию систем в виде структурных схем и содержит все необходимые блоки:

интегратор, сумматор, усилитель, источники сигнала, нелинейные элементы и др.;

– язык текстовой спецификации максимально приближен к языку математических формул;

– имеется специальный модуль для спецификации задач химической кинетики на языке химических реакций [19], автоматически транслирующий их в системы дифференциальных уравнений;

– библиотека численных методов содержит множество традиционных и оригинальных алгоритмов, в том числе предназначенных для анализа систем ОДУ средней и повышенной жесткости;

– возможно проведение активного вычислительного эксперимента в реальном времени;

– графический интерпретатор GRIN предоставляет широкий спектр средств для анализа и отображения результатов моделирования, таких как масштабирование, трассировка, оптимизация, отображение в логарифмическом масштабе и в фазовой плоскости.

Таким образом, функциональные возможности ИСМА удовлетворяют основным характеристикам программных комплексов машинного анализа электроэнергетических систем, которые приведены в главе 1. Далее перейдем к рассмотрению структуры программного комплекса ИСМА и выполним модификацию имеющейся архитектуры в соответствии со стандартом CSSL с целью унификации [26, 36] имеющегося математического и программного обеспечения для анализа задач из новых предметных областей, в частности, электроэнергетики.

Архитектура системы ИСМА представлена на рисунке 2.3. Сплошные стрелки обозначают передачу управления между модулями, а пунктирные – информационные связи.

Загрузчик алгоритмов числ. анализа Исследование устойчивости Рассмотрим основные компоненты инструментальной среды. Интерфейс пользователя – графическая оболочка системы, обеспечивающая ввод и представлении, выбор подходящего алгоритма численного анализа и предварительный просмотр результатов моделирования.

Библиотеки алгоритмов численного анализа и элементов структурных схем реализуются в виде отдельных программных модулей и загружаются во время выполнения программы соответствующими загрузчиками. Такой подход позволяет выделить некоторый набор функций и классов, необходимых для реализации библиотек элементов и численных методов, в виде интерфейса программирования приложений (API, application programming interface).

Интерпретатор LISMA – программный модуль, реализующий функции лексического, синтаксического и семантического анализа текста модели, описанной на входном языке LISMA [75] (Language of ISMA). Генератор модели LISMA реализует компоновку программы на языке C++ на основе результата работы интерпретатора в виде совокупности правых частей ДАУ локальных состояний. Сгенерированный код компилируется в dll-модуль и подгружается к системе во время выполнения совокупной модели.

Процессоры структурных схем и численного анализа являются ядром системы. Они реализуют следующие функции: проверка визуальной модели (диагностика);

соответствующие дифференциальные уравнения; подготовка начальных условий; выделение памяти под хранение результатов; режим активного эксперимента; выполнение модели, включающее обращение к численному методу, расчет правых частей по графам, выполнение алгоритмов обнаружения смены состояний в случае исследования гибридной системы.

интерпретатором GRIN и представляются в виде графика динамики фазовых переменных во времени, либо на фазовой плоскости по выбранным переменным.

ограничивающим расширение множества языков спецификации компьютерных моделей. Дело в том, что основным способом спецификации и предметным интерфейсом системы является графический язык структурных схем для описания систем автоматического управления. Все дополнительные интерфейсы и языки реализованы как надстройки над базовым редактором структурных схем. Такой подход обусловлен тем, что методология гибридных систем развивалась [54, 74] на основе теории систем релейного и импульсного управления, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывами первого рода в первой производной фазовых переменных.

В настоящее время гибридный подход является самостоятельным научным направлением [54, 64, 65, 67, 74], в котором широко развиты как средства спецификации гибридных моделей, так и эффективные алгоритмы и методы численного анализа. В связи с этим предлагается новая архитектура программного комплекса, в которой центральным понятием и исследуемой моделью является гибридная система. Тогда все предметные модели, в частности электроэнергетические системы, интерпретируются и анализируются как гибридные системы. Новая архитектура программного комплекса представлена на рисунке 2.4.

В предложенной структуре инструментальной среды реализуются ранее разработанные алгоритмы и используются готовые модули. Компоненты, которые разработаны или модифицированы в рамках данной диссертационной работы, выделены на рисунке 2.4 серым цветом.

Перейдем к рассмотрению системного и аналитического наполнения программного комплекса.

Инструментальные средства реализуют пять различных языков для компьютерного анализа с применением методологии гибридных систем.

Текстовые модели на языке LISMA [24, 29, 75] являются универсальным представлением дискретно-непрерывной динамики систем различной природы.

Форма программных моделей с точностью до обозначений соответствует записи арифметических выражений и позволяет даже неподготовленному пользователю быстро освоить систему и выполнить эксперимент. Наглядное Рисунок 2.4 – Новая структура программного комплекса диаграммами Харела [5, 18, 31, 83, 89]. Непрерывное и вложенное дискретное поведения специфицируются в состояниях диаграммы Харела на языке LISMA.

Графический язык структурных схем реализует типовые блоки структур систем автоматического управления (САУ). Вторым предметным приложением является химическая кинетика. Модели динамики концентраций веществ строятся автоматически [19, 67]. Схема реакции, записанная на языке LISMA+, анализируется препроцессором и транслируется в систему уравнений на языке LISMA.

электроэнергетика.

Библиотеки элементов графических языков предметных приложений и решателя разработаны и реализованы с открытыми интерфейсами программирования (API), что позволяет вводить новые программные модули без перепрограммирования системы в целом. Этим обеспечивается преемственность разработанного программного обеспечения к новым приложениям со своими особенностями.

2.3.1 Структурно-символьная спецификация В инструментальной среде в качестве визуального языка выбраны структурные схемы, которые являются традиционным графическим языком представления моделей динамических систем. Детальное и углубленное представление непрерывного поведения структурными моделями позволяет эффективно организовать активный вычислительный эксперимент, что очень важно при отладке моделей. Однако для дискретно-непрерывных систем (ДНС) только структурное представление не может быть достаточным ввиду множества непрерывных поведений, соответствующих в общем случае множеству структурных схем, функционирование которых происходит при наступлении дискретных событий. Поэтому в отличие от традиционных структур в программном комплексе ИСМА предусмотрен символьный блок, который в свою очередь может выступать не только как типовой примитив, но и как самостоятельная программная единица с символьным наполнением, характеризующим дискретные переходы в ДНС и, при необходимости, само непрерывное поведение.

Композиция визуальной программной модели осуществляется через структурное редактирование. Структуры компонуются из набора функциональных модулей или типовых примитивов средствами разработанного графического редактора. Дальнейший анализ осуществляется интерпретатором схем.

В качестве иллюстрации рассмотрим задачу получения переходного процесса при трехфазном коротком замыкании (КЗ) в электрической сети (рисунок 2.5) с номинальным напряжением не более 220 кВ [11, 23, 37] и отметим оригинальные особенности редактирования структурных схем. Пусть точка КЗ значительно удалена как от генераторов, так и от потребителей. В этих условиях свободные составляющие токов КЗ, обусловленные влиянием генераторов, нагрузок и емкостных проводимостей сети, практически не проявляются.

Рисунок 2.5 – Принципиальная схема электрической сети трансформаторов Т1, Т 2, линии Л и нагрузки Н. В схеме замещения (рисунок 2.6) не учитываются емкостная проводимость линии и потери холостого хода трансформаторов, а нагрузка в силу удаленности от точки короткого замыкания учитывается приближенно активным и индуктивным сопротивлением. После эквивалентирования сопротивлений слева и справа от точки короткого замыкания схема замещения содержит два участка с параметрами X1, R1 и X 2, R2.

Переходный процесс инициируется замыканием контакта К. При этом происходит смена ранее установившегося режима энергосистемы на новый режим, соответствующий КЗ и другой конфигурации системы.

В установившемся режиме поведение системы описывается уравнением:

где – напряжение питающей системы, изменяющееся по закону U = U m sin (t ), = 314.159 рад/с.

После КЗ в схеме возникают два контура, токи в которых заданы уравнениями:

Таким образом, гибридная система имеет два режима. Переключение происходит при прохождении напряжения в точке короткого замыкания U через 0, что дает максимальную апериодическую составляющую. Условие перехода:

установившемся режиме (например, в течение 0.04 с.), при этом перед КЗ напряжение U1 отрицательное. Карта поведения системы показана на рисунке 2.7.

L1 = 0.127 Гн, L2 = 1.27 Гн.

Компьютерная модель системы в ИСМА представлена на рисунках 2. (структурная схема) и 2.9 (содержание текстового блока «Коши №0»).

Рисунок 2.9 – Программная модель на языке LISMA Результаты расчета (рисунок 2.10) совпадают с представленными в [11].

Рисунок 2.10 – Результаты интерпретации и анализа Модель, построенная в библиотеке SimPowerSystems (MATLAB/Simulink) приведена на рисунке 2.11. Необходимые уравнения содержатся в составе отдельных элементов и совмещаются при запуске модели. Следует отметить, что в схеме должны использоваться измерительные элементы и средства отображения информации, что загромождает модель.

Рисунок 2.11 – Компьютерная модель в SimPowerSystems Проведем еще один вычислительный эксперимент, в котором момент КЗ происходит при максимальном напряжении U1 в точке короткого замыкания.

Результаты моделирования представлены на рисунке 2.12.

Рисунок 2.12 – Динамика системы при КЗ в момент максимума U1.

В этом случае в момент КЗ ток в цепи равен нулю, и возникает меньшая апериодическая составляющая. Амплитуда тока I1 возрастает в той же степени, но за счет малости апериодической составляющей максимальное значение тока значительно меньше. Поскольку в практических расчетах максимальное значение тока КЗ определяют при его наибольшей апериодической составляющей, как в первом рассмотренном случае, необходимо учитывать это требование в дальнейшем при решении вопросов автоматизации построения математической модели. Кроме того, это требование обуславливает необходимость достаточно точного обнаружения событий ГС.

Приведем еще один пример программной модели на языке LISMA для иллюстрации возможностей спецификации однорежимных ГС. Исследуем процесс внезапного короткого замыкания синхронного генератора с демпферной обмоткой. Математические модели электрических машин (генераторов и двигателей различных типов) основаны на уравнениях (1.1) – (1.3) идеальной обобщенной машины [7, 8, 20], которая имеет симметричные обмотки статора и ротора. Уравнения записываются во вращающейся со скоростью x системе координат d-q, связанной с ротором, причем ось q опережает ось d [45, 46]:

Здесь использованы общепринятые обозначения, индексы s, f и r указывают на обмотки (статорная, возбуждения и роторная соответственно), для характеристик которых записаны проекции на оси d и q.

математических моделей электрических машин. Для построения модели конкретной машины необходимо исключить из нее уравнения контуров и величины, отсутствующие в моделируемом объекте.

Пусть частота вращения ротора генератора x в переходном процессе остается постоянной и равной синхронной, x = = 1 (здесь и далее значения величин указываются в относительных единицах), поэтому уравнения возбуждения по оси q, поэтому из (2.1) необходимо исключить связанное с ним уравнение и соответствующие величины. Учитывая эти условия, преобразуем (2.1) к нормальной форме Коши Значения токов вычисляются по формулам где СВ 505/190-16Т [66]. Программная модель в ИСМА представлена на рисунке 2.13.

На рисунке 2.14 представлены графики некоторых фазовых переменных, полученные в ИСМА. Результаты расчета соответствуют теоретическим положениям и совпадают с полученными в MATLAB [26, 37].

Таким образом, представленные примеры наглядно иллюстрируют соответствие текстовых программных моделей и математического описания.

Однако в существующей реализации языка LISMA отсутствует возможность спецификации режимного поведения в форме ДАУ, не разрешенных относительно производной. Кроме того, построение математического описания пользователя. Поэтому инструментальная среда должна быть дополнена предметным графическим интерфейсом с редактором принципиальных схем систем электроэнергетики.

Рисунок 2.14 – Результаты интерпретации и анализа режима синхронного 2.3.3 Внутреннее представление гибридной модели минимальных дополнительных знаний предметного пользователя об особенностях системы моделирования. В отличие от известных отечественных и зарубежных систем моделирования, ИСМА отличается простой и естественной формой представления моделей и не требует от пользователя дополнительных знаний в области программирования, в частности, объектноориентированного подхода. При реализации новой архитектуры инструментальной среды разработано внутреннее представление модели гибридной системы (HSM, hybrid system model). Данное представление является результатом работы интерпретаторов с входных языков системы. На рисунке 2.15 приведена UML-диаграмма [6] классов HSM.

Рисунок 2.15 – Диаграмма классов внутреннего представления ГС Модель (HMModel) представляет собой базовый класс HSM и содержит два элемента: таблицу переменных (HMVariableTable) и автомат [39] гибридной системы (HMStateAutomata). Таблица переменных является хранилищем всех переменных модели (в рамках глобального состояния). Переменная модели (HMVariable) – это обобщенное понятие, охватывающее всевозможные сущности, представляющие собой источник числовых значений. Выделяются (HMEquation) и функции (HMFunction).

Все уравнения объединяет наличие правой части – объекта класса (HMDerivativeEquation) задаются начальные условия в виде константы (HMConst).

Константы (HMConst) являются тоже разновидностью уравнений.

Обусловлено это тем, что при определении константы возможно задавать значение через выражение (вычисляемое на этапе семантического анализа).

Частный случай констант – безымянные константы (HMUnnamedConst).

Данный класс введен для того, чтобы быть оберткой для числовых значений, встречающихся в модели (как в выражениях, так и в описательных конструкциях).

Во всех уравнениях активно используются выражения (HMExpression).

Они представляют упорядоченую последовательность из токенов выражения (EXPToken). Токенами выражения могут быть как операнды (EXPOperand), так и операторы (EXPOperator). Оператор (EXPOperator) – это инструкция, описывающая некоторую операцию над одним или несколькими операндами.

Выделится три типа операторов: арифметический, логический и сравнение.

Кроме того операторы делятся по арности – количеству операндов с которыми они работают. Используются два типа арности: унарный и бинарный. Каждый оператор имеет приоритет, определяемый в соответствии с таблицей 2.1.

Таблица 2.1 – Приоритет операций i – собственные числа матрицы Якоби f / y ;

где N – размерность системы.

Класс задач, называемых жёсткими [57, 70], весьма разнообразен.

Решение таких задач вызывает определённые сложности. В жёстких задачах длина интервала интегрирования в целом связана с медленно меняющимся решением, на котором существуют быстро затухающие возмущения. Весь интервал можно условно разбить на несколько участков. Для некоторых из них, называемых переходными, характерны большие производные решения, в то время как их длина мала. На других участках, называемых участками установления, производные решения относительно малы, а их длина велика по сравнению с длиной переходного участка. Переходные участки могут отсутствовать вовсе, однако в случае жёсткой задачи даже небольшие возмущения приводят к их появлению.

Трудности решения жёстких систем классическими явными методами связаны с участками установления. Дело в том, что поскольку на переходном участке производные от решения велики, шаг интегрирования из условий точности выбирается небольшим, и на данном участке выполняется неравенство:

где h – шаг интегрирования;

L( t ) – классическая константа Липшица;

C – относительно небольшая постоянная величина.

На участке установления, поскольку производные от решения невелики, шаг интегрирования по точности может быть достаточно большим. В этом случае характерно выполнение неравенства:

Наличие большой классической константы Липшица является важным свойством жёстких задач. Поэтому применение классических явных методов, для которых условие (2.3) необходимо для устойчивости, практически невозможно на современных ЭВМ [57].

Таким образом, под жёсткими будем понимать такие задачи, которые являются жёсткими в смысле (2.2) и удовлетворяют условиям (2.3) и (2.4) на интервале интегрирования. На практике любая физическая система, моделируемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений и имеющая компоненты с сильно различающимися временными константами, приводит [4, 57] к жёсткой задаче.

Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения не решаются стандартными явными методами. Чтобы понять, почему это происходит, необходимо рассмотреть структуру решения дифференциального уравнения [57]. Постоянная времени дифференциального уравнения первого порядка – это промежуток времени, по истечении которого величина нестационарной части решения убывает в e1 раз. В общем случае дифференциальное уравнение n -го порядка имеет n постоянных времени. Если любые две из них сильно отличаются по величине или если одна из постоянных времени достаточно мала по сравнению с интервалом времени, для которого ищется решение, то задача называется жёсткой и ее практически невозможно решить обычными методами. В таких случаях шаг должен быть достаточно мал, чтобы можно было учитывать изменение наиболее быстро изменяющихся членов уравнения даже после того, как их вклад станет практически незаметным. Если не удается сохранить достаточно малую величину шага, то решение становится неустойчивым. Хотя трудности, связанные с обеспечением устойчивости решения жёстких задач обычными методами, можно временно обойти, уменьшив величину шага, такой подход имеет два недостатка. Во-первых, если величина шага очень мала по сравнению с интервалом, для которого находится решение, то для получения решения потребуется очень много времени. Вовторых, накапливающиеся в процессе длительных вычислений погрешности округления могут привести к получению бессмысленного результата, связанного [2] с численной (вычислительной) неустойчивостью.

Поскольку жёсткие системы дифференциальных уравнений встречаются при решении важных задач управления, расчета электрических сетей, химических реакций и пр., в последнее время много внимания уделяется разработке эффективных методов решения таких задач [53, 56, 57, 70, 88, 96], например, алгоритмов переменного шага с контролем устойчивости.

При анализе переходных процессов в электроэнергетических системах электромагнитных возмущений, так и более медленных электромеханических взаимных колебаний синхронных машин и, например, еще более длительных процессов изменения паропроизводительности котлов под действием внешних возмущений и средств автоматического регулирования. Вычисления в этих условиях затруднены [48], прежде всего, значительными затратами машинного времени и малой достоверностью результатов вследствие накопления ошибок при вынужденно малых шагах дискретизации процесса.

Размерность С возрастанием сложности моделируемых объектов растет и размерность их математических моделей. При анализе систем высокой размерности [82] требуются большие затраты вычислительных ресурсов, контроль за которыми необходимо осуществлять и при использовании современной вычислительной техники. Кроме того, рост производительности ЭВМ также является стимулом для построения и анализа более сложных систем, еще более детально описывающих исследуемый объект и всевозможные факторы, что также приводит к повышению размерности решаемых задач.

Системы дифференциальных уравнений высокой размерности, как правило, обладают повышенной жесткостью. Традиционно для анализа жестких систем применяются неявные методы, имеющие более высокие показатели производительности, расширенные области устойчивости и надежность по сравнению с явными численными методами. Однако производительность неявных методов во многом определяется временем построения и декомпозиции матрицы Якоби, которое значительно возрастает с увеличением размерности системы [30, 82, 92].

В настоящее время все больше внимания уделяется распараллеливанию и решению задач на многопроцессорных системах, что позволяет ускорить решение задач высокой размерности. В передовых отечественных (AnyLogic [http://www.anylogic.ru], Rand Model Designer [http://www.mvstudium.com]) и зарубежных системах компьютерного моделирования гибридных систем распараллеливание вычислительного эксперимента производится на уровне состояний ГС. Внутри состояния процессы специфицированы непрерывными моделями, численный анализ которых производится последовательно традиционными схемами. Однако поскольку для ГС в общем случае неизвестно, какими параметрами, начальными условиями, и вообще дифференциальными уравнениями будет характеризоваться хотя бы следующее состояние системы, такой подход к распараллеливанию не представляется оптимальным. В случае параллельных вычислений внутри состояния ГС возникают затруднения в использовании неявных схем, распараллелить которые сложнее, чем явные. Таким образом, для анализа систем высокой размерности целесообразнее применять алгоритмы на основе явных методов [82].