РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ им. М.В. КЕЛДЫША

На правах рукописи

Козлов Андрей Николаевич

МГД-МОДЕЛИ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В ПЛАЗМЕННЫХ УСКОРИТЕЛЯХ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 2013 2

ВВЕДЕНИЕ

Объект исследования и актуальность темы. Диссертация посвящена развитию моделей магнитной газодинамики и исследованиям неравновесных процессов на фронте ионизации, высокоскоростных трансзвуковых потоков низкотемпературной плазмы, компрессионных течений плазмы и динамики ионов примесей в коаксиальных плазменных ускорителях (КПУ), магнитоплазменных компрессорах (МПК) и квазистационарных сильноточных плазменных ускорителях (КСПУ), предложенных А.И. Морозовым [1-14].

Представлены также разработанные автором теоретический подход в изучении процессов на фронте ионизации и новое направление исследований динамики потоков плазмы в КСПУ при наличии продольного магнитного поля.

В настоящее время исследования, связанные с плазмой, позволяют не только прийти к более глубокому пониманию природных явлений, но и находят все более широкое применение в различных сферах человеческой деятельности.

В будущем многие проблемы цивилизации найдут свое решение именно в области исследований четвертого состояния материи.

Менее чем за сто лет, начиная с исследований И. Лэнгмюра и Л. Тонкса, которые в 1929 году ввели понятие плазмы, работ Л.Д. Ландау и А.А. Власова в 30-е годы, монографии основоположника магнитной газодинамики Х.

Альфвена [15], произошло становление области науки, охватывающей широкий круг экспериментальных, теоретических и численных исследований плазменного состояния вещества. Наиболее существенный прогресс в исследованиях плазмы наблюдался на протяжении последних 50 лет. Речь идет не только о разработках новых источников энергии, в частности, на основе управляемого термоядерного синтеза (УТС) и новых способов движения с помощью плазменных двигателей. Значительный прогресс достигнут в реализации различных плазменных технологий и бытовых приложений, а также в астрофизических исследованиях, включая процессы в магнитосфере Земли и на Солнце. Мировая научная литература представлена целым рядом монографий и сборников, относящихся к исследованиям в области физики плазмы, физической кинетики, магнитной газодинамики, как области механики сплошных сред, и моделированию разнообразных плазменных процессов (см., например, [1,10-59]). “Энциклопедия низкотемпературной плазмы” под редакцией В.Е. Фортова [59] содержит на данный момент наиболее полную и разностороннюю информацию о плазменном состоянии вещества. В данном издании отражены также предшествующие исследования процессов в КСПУ.

Простейший коаксиальный плазменный ускоритель (см., например, [1схематично состоит из двух коаксиальных электродов (см. рис. 1), подсоединенных к соответствующей электрической цепи. На вход системы непрерывно подается газ, который ионизуется в межэлектродном промежутке.

Между электродами в плазме протекает ток j, имеющий преимущественно радиальное направление. В свою очередь электрический ток, протекающий в осевом направление по внутреннему электроду, порождает азимутальное [j, H ] плазма ускоряется вдоль оси магнитное поле H. За счет силы Ампера c системы. Геометрия канала ускорителя, определяемая, в том числе, с помощью двумерных аналитических моделей, представляет собой сопло. Аналогично газодинамическому соплу в канале плазменного ускорителя при правильной организации процесса реализуется трансзвуковое течение так, что в средней наиболее узкой части канала происходит переход скорости потока через скорость быстрой магнитозвуковой волны.

Рис. 1. Механизм ускорения плазмы в КПУ с азимутальным магнитным полем Магнитоплазменные компрессоры (см., например, [1,3-4,12-14,61-62]) отличаются от коаксиальных плазменных ускорителей в основном геометрией электродов, обеспечивающих целенаправленное схождение плазменного потока на ось системы и формирование области компрессии на выходе из ускорителя.

Несколько малых коаксиальных плазменных ускорителей могут быть использованы в качестве первой ступени большой ускорительной системы КСПУ (см., например, [1,5-9,13,63-70]). В первой ступени осуществляется ионизация и предварительное ускорение плазмы. Вторая ступень представляет собой большой коаксиальный плазменный ускоритель, подсоединенный к независимой электрической цепи (см. рис. 2). Двухступенчатая схема КСПУ предполагает непрерывную подачу плазмы на входе второй ступени или основного канала ускорителя. В экспериментальных исследованиях КСПУ и МПК (см., например, [1,7-9,61-79]) отмечалась высокая степень устойчивости и азимутальной симметризации потоков низкотемпературной плазмы. Во всех системах температура не превышает 10 эВ за исключением зоны компрессии.

Рис. 2. Двухступенчатая схема КСПУ: I – первая ступень, ВИК и АИК – входные и анодные ионизационные камеры, ДрК – дрейфовый канал, II – вторая ступень, TA – анодный трансформер, TK – катодный трансформер В конце 80-х, начале 90-х годов в рамках общесоюзной государственной программы в нескольких научных центрах под руководством академика А.П.

высокотехнологичные экспериментальные базы и разработаны КСПУ различных модификаций. В настоящее время, несмотря на скромное финансирование науки, исследования КСПУ и их приложений продолжаются в ФГУП ГНЦ РФ Троицком институте инновационных и термоядерных исследований (ТРИНИТИ, г. Троицк), Институте Физики Плазмы ННЦ ХФТИ НАН (Харьков, Украина) и Институте молекулярной и атомной физики НАН (Минск, Беларусь). На рис. 3 представлен внешний вид экспериментальных стендов в ХФТИ и ТРИНИТИ на момент их создания.

Рис. 3а. Экспериментальный стенд Рис. 3б. Внешний вид вакуумной Новое направление исследований КСПУ связано с введением в систему дополнительного продольного магнитного поля, которое позволяет сформировать своеобразный дополнительный канал для управления динамическими процессами, предотвращения приэлектродных нерегулярностей в плазменных ускорителях и других устройствах, принцип действия которых основан на использовании азимутальной компоненты магнитного поля.

Наличие продольного магнитного поля в коаксиальных плазменных ускорителях, с одной стороны, усложняет течение, в частности, приводит к вращению плазмы вокруг оси, с другой - позволяет исследовать динамику потоков во всем многообразии процессов. При этом предшествующие исследования потоков плазмы с азимутальным магнитным полем следует рассматривать как частный случай в отсутствии вращения. В практическом плане введение в систему продольного поля предусматривает разработку модифицированных плазменных ускорителей (см., например, [74], рис. 4) дополнительно к существующим КСПУ со сложной и громоздкой системой анодных трансформеров (см., например, [7,63]), эффективность работы которых до настоящего времени не получила должного подтверждения. На рис. 5а представлен внешний вид КСПУ с продольным магнитным полем.

Рис. 5а. Внешний вид КСПУ с продольным магнитным полем Создание эффективных квазистационарных сильноточных плазменных ускорителей и магнитоплазменных компрессоров, способных генерировать потоки относительно плотной плазмы с высоким энергосодержанием (см., например, [1,5-9,12-14,60-79]), является одной из актуальных задач науки и техники. Исследование высокоскоростных потоков V 10 6 108 см / c ) представляет интерес для решения задач инжекции в термоядерные установки, реализации новых технологий, включая взаимодействие плазмы с различными материалами, а также с целью разработки перспективных электрореактивных плазменных двигателей.

Данный круг задач актуален для многих плазмодинамических устройств, таких как стационарные плазменные двигатели (СПД) [80,81], ионные двигатели [82], эрозионные (абляционные) импульсные плазменные двигатели (АИПД) [39,83], двигатели с анодным слоем и трехэлектродные торцевые ускорители [84,85], плазмотроны [86], импульсные пушки [29], импульсные плазменные ускорители [87], торцевые сильноточные двигатели (ТСД) и торцевые сильноточные ускорители (ТСУ) [30], торцевые холловские двигатели (ТХД) или магнитоплазменные двигатели (МПД) [85], упомянутые выше магнитоплазменные компрессоры (МПК) [1,3-4,12-14,61-62,75-79], МГДгенераторы [26,31,88], а также других генераторов плазмы. Среди Морозовым. На протяжении 40 лет стационарные плазменные двигатели успешно используются для коррекции орбит космических аппаратов. В отличие ( n 1012 см 3 ) осуществляется за счет иного механизма, а теоретические и численные исследования проводятся на основе кинетических уравнений для функции распределения [1,12,89-95]. Следует заметить, что основы теории процессов в СПД [91] были разработаны спустя нескольких десятков лет после разработки и успешной эксплуатации самой установки. Скорость истечения плазмы из СПД составляет примерно 10 км / с, а вот расход топлива незначительный, порядка 10 3 г / с. Поэтому тяга этих систем на уровне одного ньютона. Малые значения тяги характерны для большинства существующих разработок плазменных двигателей. В обычных жидкостных ракетных двигателях, а также в ядерных ракетных двигателях [96], скорость истечения топлива не превышает 3 5 км / с, а тяга наиболее мощных двигателей может достигать 105 ньютонов. Соизмеримую с СПД высокую скорость истечения имеют разрабатываемые детонационные двигатели [97-99].

В самых простейших плазменных ускорителях скорость истечения плазмы еще больше и составляет 20 30 км / с. Рекордные значения 400 км / с были достигнуты на двухступенчатой системе КСПУ [63]. В дальнейшем будут представлены оценки интегральных параметров КСПУ, в частности, тяги системы, если рассматривать возможные модификации плазменных ускорителей в качестве электрореактивных плазменных двигателей (ЭРПД).

Оценка тяги КСПУ дает существенно более высокие значения, соизмеримые с тягой мощных обычных ракетных двигателей, выводящих современные аппараты в космос. В качестве топлива для ЭРПД может выступать любой газ, и, учитывая скорость истечения плазмы, запасы топлива могут быть значительно, на порядок, сокращены. Правда, использование ЭРПД предполагает наличие источника электрической энергии на борту, например, солнечных батарей в случае СПД или атомного реактора для мощных электрореактивных плазменных двигателей. При наличии атомного реактора ЭРПД могут быть использованы в атмосфере планет и Земли, где топливом является окружающий газ.

соплообразный ускорительный канал, сформированный именно двумя электродами, а не одним электродом и осью системы, как в торцевых системах.

трансзвуковых потоков в коаксиальных плазменных ускорителях с переходом скорости потока через скорость быстрой магнитозвуковой волны. Кроме того, в КСПУ, как проточной системе, могут быть эффективным образом решены вопросы, связанные с ионизацией газа, а также приэлектродные проблемы.

Таким образом, актуальность работы определена потребностью исследований плазмодинамических процессов в КСПУ на фундаментальном и прикладном уровнях.

Цели диссертационной работы. С плазменными ускорителями связаны исследования большого числа принципиальных вопросов плазмодинамики и различных классов явлений. К ним относится ионизация газа и ускорение плазмы, динамика трансзвуковых потоков плазмы, взаимодействие потоков плазмы с поверхностью различных материалов и приэлектродные процессы, компрессионное сжатие плазмы, динамика ионов примесей, перенос излучения и целый ряд других явлений и процессов.

Научные цели диссертации включают разработку основ теории течений ионизующегося газа с образованием фронта ионизации, потоков плазмы в КСПУ при наличии дополнительного продольного магнитного поля, разработку соответствующих физико-математических моделей и применение расчетных методов, а также проведение на их основе исследований различных процессов.

Методика исследований. В плазменных ускорителях для достаточно плотной плазмы теоретические и численные исследования процессов проводятся в рамках МГД-уравнений с учетом различных процессов, включая электропроводность и теплопроводность плазмы, эффект Холла и перенос излучения. При необходимости система МГД-уравнений дополняются уравнением кинетики ионизации и рекомбинации, а также уравнением электрической цепи. В данном случае речь идет об исследованиях классической идеальной плазмы, для которой показатель неидеальности много меньше единицы и e 2 n1 / 3 / k B T 0, T > 0 и всегда является седлом. На рис. 21а схематично представлена картина интегральных кривых в окрестности A1.

Направления собственных векторов 1 и 2 для двух различных значений определяются в плоскости (H, U ) с помощью соотношения Рис. 21. Схематичная и детальная картина интегральных кривых в окрестности Вектора 1 и 2 направлены при = 0 соответственно вдоль МГДгиперболы (кривая 2) и равновесной линии (кривая 6). Рис. 21б отвечает детальному изображению поля интегральных кривых в окрестности A1 для m = 0.12 (см. также рис. 19 и 20б).

Стационарное состояние A2 расположено ниже линии Жуге и отвечает досигнальному течению [1]. В этом случае собственные значения удовлетворяют неравенству устойчивым узлом. На рис. 22 изображена качественная и детальная картина поля интегральных кривых в окрестности A2 (см. также рис. 19 и 20б).

Собственный вектор 1 направлен вдоль равновесной кривой 6, соответственно 2 - вдоль МГД-гиперболы 2.

Рис. 22. Качественная и детальная картина интегральных кривых в окрестности Особая точка D 2 не является положением равновесия, поскольку в ней 0 и < 0. Этой точке отводится особая роль во всей теории процесса газодинамическую скорость звука, т. е. через газовую параболу (кривая 4 на рис. 19). Согласно соотношению (2.9), в точке D2, определяемой как пересечение кривых 3 и 4 на рис. 19, имеем F1 = 0 и F2 = 0 ( Fu = 0). Раскроем эту неопределенность. В линейном приближении в окрестности точки D функции F i ( i = 1,2 ) можно представить в виде:

где производные рассматриваются в точке D = D2 и Fi (H D, U D ) = 0. С учетом (2.16) в плоскости (H, U ) можно определить направления D =, вдоль которых возможно прохождение через точку D2. Поиск этих направлений эквивалентен решению спектральной задачи (2.14), (2.15) при Fu = 0.

Рис. 23. Качественная и детальная картина интегральных кривых На рис. 23а схематично представлена картина интегральных кривых в окрестности точки касательных к интегральным кривым вблизи точки D2, изображена на рис. 23б и соответствует указанным выше параметрам расчета в [119], представленного на рис.16, включая расход m = 0.12 (см. рис. 20б). При изменении полярности электродов магнитное и электрическое поле меняют знаки. Поэтому представленные картины симметричны относительно прямой соответствующая точка D1 будет отвечать случаю H < 0.

2.4. Процесс ионизации как движение вдоль интегральных кривых Ионизация газа, связанная с переходом через газодинамическую скорость звука V x = P /, предполагает прохождение интегральной кривой через газовую параболу в особой точке D2 вдоль направления 1 (рис. 23). Решив численно уравнение (2.9) или эквивалентную автономную систему с начальными данными на прямой 1 в окрестности D2, найдем интегральную кривую, вдоль которой возможен переход из дозвуковой области в сверхзвуковую область.

Соответствующая интегральная кривая представлена сплошной линией со стрелками на рис. 24а для m = 0.12. В сверхзвуковой области, не доходя линии Жуге 5, данная кривая поворачивает на МГД-гиперболе, движется вдоль нее в направлении A2 и заканчивается в этой точке, являющейся устойчивым узлом.

При этом выход в точку A1 невозможен. На рис. 24б интегральная кривая (сплошная линия черного цвета) отвечает значению расхода m = 0.124. В данном случае интегральная кривая, выпущенная вдоль направления 1, проходит мимо двух близко расположенных точек A2 и A1. Точка A1 является седлом. Формально попасть в эту точку можно вдоль собственного направления 1 по касательной к МГД-гиперболе в данной точке (см. рис. 21).

В этом случае стационарные точки A1 и A2, расположенные по разные стороны линии Жуге, должны быть близки друг к другу. Можно предположить, что существуют значения параметров, отвечающие условию попадания в точку A1.

Демонстрация такой возможности находится за пределами точности расчетов.

В дозвуковой области интегральную кривую можно рассчитать в направлении противоположном 1 (см. рис. 23). На рис. 24а и 24б сплошные кривые в дозвуковой области также отвечают движению вдоль интегральных кривых при условии их последующего прохождения через особую точку D2.

Видно, что интегральные кривые не пересекают кривую 1 ( = 0 ). Это означает, что в данных примерах процесс ионизации нельзя рассматривать как переход из одного стационарного состояния ( = 0 ) в другое стационарное состояние, отвечающее точке A2 и при определенных условиях точке A1.

Соответственно структура фронта ионизации отсутствует.

Рис. 24. Примеры интегральных кривых (сплошные линии черного цвета со стрелками) в отсутствии структуры фронта ионизации Следует заметить, что интегральные кривые на рис. 24 в областях, отвечающих дозвуковому и сверхзвуковому течениям, пересекают равновесную кривую 6 или приближаются к ней. Допуская расширенную трактовку понятия структуры, процесс ионизации можно рассматривать как переход из одного ионизационно равновесного состояния ( F = 0 ) в дозвуковом потоке в другое ионизационно равновесное состояние в сверхзвуковом течении.

Варьирование параметров задачи позволило выявить структуру фронта ионизации в общепринятом смысле. Если положить, что в исходной стационарной точке = 0 не только для значений H = 1 и U = 1, но также и для T = 1, то из (2.4) получим соотношение, связывающее поток импульса и расход Данная связь сокращает число варьируемых параметров и облегчает поиск структуры. С учетом этой связи для m = 0.1279 на рис. 25 представлен соответствующий пример интегральной кривой, отвечающий структуре фронта ионизации. В сверхзвуковой области (рис. 25а) интегральная кривая, выходящая из D2 вдоль направления 1 (см. также рис. 23), заканчивается в A2, близко расположенной к A1. В дозвуковой области (рис. 25б) интегральная кривая пересекает линию = 0 (кривая 1), т.е. процесс ионизации начинается также из стационарного состояния, связанного с течением нейтрального газа.

Рис. 25. Пример интегральной кривой (сплошные линии черного цвета со стрелками), отвечающий структуре фронта ионизации для m = 0. Таким образом, доказано, что структура стационарного неравновесного фронта ионизации в канале плазменного ускорителя существует. В этом случае процессы на фронте ионизации начинаются из состояния с нулевой степенью = 0, отвечающей нейтральному газу, и завершаются в ионизации стационарной особой точке A2.

2.5. Течение в канале с протяженным участком постоянного сечения При наличии стационарных особых точек следует говорить о весьма ограниченной возможности того, что процесс ионизации завершится в точке A1, расположенной выше линии Жуге. Как правило, процесс ионизации завершается в точке A2, лежащей ниже линии Жуге. На это указывают направления интегральных кривых в окрестности точек A1, A2 и МГДгиперболы (см. рис. 21, 22), а также интегральные кривые на рис. 24а и 25а.

В тоже время расчеты течения ионизующегося газа, представленные, в частности, в работе [119] и на рис. 16 и 17, демонстрируют последовательный переход сначала через газодинамическую скорость звука C g и практически сразу через скорость сигнала C s. Можно ли в таком случае говорить о противоречии между теорией и расчетами? На самом деле это всего лишь квазистационарных течениях расположен в сужающейся и наиболее узкой части канала ускорителя. В этом случае попадание в стационарную точку A2 на фронте никак не противоречит дальнейшему переходу скорости потока через скорость сигнала в рамках другого течения, возникающего за фронтом.

газодинамическую скорость звука и далее через скорость сигнала отстояли бы друг от друга на заметном расстоянии. Такой расчет несложно провести, перейдя от соплообразного канала, представленного на рис. 15, к каналу, в котором имеется протяженный участок постоянного сечения, отвечающий наиболее узкой части. Например, рис. 26 соответствует следующему заданию протяженный участок CD отвечает постоянной площади поперечного сечения.

Рис. 26. Форма канала плазменного ускорителя с протяженным участком Результаты расчета квазистационарного течения ионизующегося газа представлены на рис. 27. Здесь исходные параметры расчета соответствуют течению, изображенному на рис. 17, с точностью до разрядного тока:

При этом имеем следующие безразмерные параметры = 0.09, T * = 313, 01 = 1018.3, Значение разрядного тока J p в рассматриваемом течении ионизующегося газа подобрано таким образом, чтобы фронт ионизации и пик отклонения от равновесия (см. рис. 27е) располагались непосредственно перед началом самой узкой протяженной части канала.

Пересечение кривых на рис. 27в, изображенных красным и синим цветом, с одной стороны, а также красным и зеленым цветом, с другой стороны, определяют место положения переходов скорости потока V соответственно через газодинамическую скорость звука V g и скорость сигнала Vs. Хорошо видно, что между данными переходами достаточно большое расстояние и между ними расположена область течения, в которой магнитогазодинамические параметры потока существенно не меняются.

Плавное изменение параметров потока в канале постоянного сечения происходит за счет диффузии магнитного поля, обусловленной магнитной Рис. 27. Распределение параметров потока в канале с протяженным участком постоянного сечения: а) температура, б) плотность, в) скорость, г) магнитное поле, д) степень ионизации, е) отклонение от равновесия вязкостью в системе МГД-уравнений (1.38). При наличии плазменного тока, протекающего в соответствии с уравнением диффузии магнитного поля, плазма ускоряется под действием силы Ампера. В результате скорость потока переходит через магнитогазодинамическую скорость звука Vs в канале постоянного сечения. Данный расчет иллюстрирует то обстоятельство, что процесс ионизации может завершиться на фронте в точке A2, а дальнейшее ускорение ионизованной среды за фронтом сопровождается переходом через скорость сигнала.

2.6. Соотношения, характеризующие процесс ионизации Согласно представленным исследованиям, процесс ионизации в пределах узкого фронта можно рассматривать как движение вдоль интегральных кривых от одного стационарного и равновесного состояния к другому.

В пределе гипотетически тонкого фронта ионизации его можно газодинамике для обоснования возможности реального существования того или относительно расщепления на несколько других разрывов. Иначе говоря, любые бесконечно малые возмущения в случае эволюционности должны приводить к бесконечно малым возмущениям начального состояния. Условия эволюционности представляют собой требование однозначной разрешимости задачи о взаимодействии поверхности разрыва с малыми возмущениями, когда граничные условия однозначно определяют дальнейшее развитие возмущений.

Малые возмущения распространяются налево или направо от разрыва в виде волн. Поэтому для эволюционности необходимо, чтобы число различных волн, уходящих в обе стороны от поверхности разрыва, было на единицу меньше числа соотношений на поверхности разрыва с учетом необходимого вычисления скорости движения разрыва. Несложно определить число дополнительных соотношений для обеспечения эволюционности в том или ином случае.

Исследуемый процесс ионизации в канале плазменного ускорителя всегда существующие явления – достаточно включить плазменный ускоритель или иной прибор с аналогичным принципом действия. Другое дело, что процесс нестационарным [1,11,58,195,196,204,205]. Поиск условий стационарности и устойчивости процесса ионизации является предметом отдельных исследований (см. раздел 1.5.2 и работы [204,131]). Данные явления связаны между собой. Нестационарные режимы могут возникать вследствие развития неустойчивостей. Они могут быть также следствием других процессов, например, в электрической цепи питания КСПУ.

Для рассматриваемого стационарного неравновесного фронта ионизации электрическое поле предполагается достаточно большим так, что МГДгипербола (кривая 2 на рис. 19) расположена выше звуковой параболы (кривая 4) и не пересекает ее. Из условия пересечения этих кривых, определяемых соотношениями (2.8) и (2.10), следует кубическое уравнение Отсутствие пересечения кривых 2 и 4 означает, что приведенное уравнение d = + > 0. В результате имеем неравенство которое определяет диапазон допустимых значений электрического поля. При условии (2.17) равенству в (2.18) отвечает кривая Е1 на плоскости переменных ( m, E ), представленная на рис. 28 для параметра = 0.15. В свою очередь, неравенству (2.18) отвечает область на данной плоскости, расположенная выше кривой Е1 и обозначенная стрелками на рисунке.

Рис. 28. Границы областей, характеризующие процесс ионизации. Область выше кривой Е1 отвечает достаточно сильному электрическому полю: МГД гипербола расположена выше звуковой параболы. Область ниже кривой Е определяет возможность выхода в особые точки A1 и A2. Область ниже кривой Е3 отвечает условию существования особой точки D Наличие и точное положение точки D2 определяется пересечением кривых 3 и 4 на рис. 19. С известной степенью точности положение точки D характеризует точка D, являющаяся пересечением параболы 4 и гиперболы Fн = 0 (кривая 7). Эта точка является локальным экстремумом функции (H, U ) вдоль газовой параболы 4. Из соотношений (2.10) и (2.12) следует кубическое уравнение решение которого определяет положение точки D. Условие существования точки D предполагает наличие трех действительных различных корней данного уравнения. При этом соответствующий дискриминант d < 0 или Данное неравенство означает, что существуют точка D и близкая к ней точка D2. С учетом (2.17) равенству в (2.20) соответствует кривая Е3 на рис. 28.

Область, отвечающая неравенству (23), расположена ниже кривой Е3 и указана стрелками на рисунке.

Сравнение рис. 20г, с одной стороны, и рисунков 20а, 20б, 20в, с другой стороны, приводит к условию существования течения ионизующегося газа с возможность прохождения через газовую параболу (2.10) предопределена прохождения через точку D2 является неравенство Учитывая близость точек D и D2, неравенство (2.21) можно заменить:

Согласно соотношению (2.7) из неравенства (2.22) следует, что где U = и H D является максимальным корнем уравнения (2.19).

Как показали расчеты, неравенство (2.23) успешно заменяет условие (2.21) для перехода из области дозвукового течения в область сверхзвукового течения.

Далее исследуем возможность перехода в стационарные особые точки A и A2. На рис. 20а видно, что интегральные кривые пересекают линию Жуге (кривая 5), но не выходят на МГД-гиперболу. В этом случае стационарные точки отсутствуют, а интегральная кривая, вдоль которой происходит переход приближается к равновесной кривой (см. также рис. 24б). При этом можно говорить о структуре, вкладывая несколько иной смысл в это понятие и полагая, что осуществляется переход всего лишь из одного ионизационно ионизационно равновесное состояние в сверхзвуковой области.

Условие существования стационарных особых точек A1 и A2 связано с тем обстоятельством, что МГД-гипербола = 0 (кривая 2) на рис. 20б и 20в пересекает область поля интегральных кривых между линиями = 0 (кривая 1) и T = 0 (кривая 8). Такое пересечение возникает при уменьшении расхода по сравнению со случаем, изображенным на рис. 20а. Ранее было показано, что существует возможность перехода в стационарную особую точку A1, расположенную выше линии Жуге. В этом случае точки A1 и A2 должны быть расположены близко друг к другу. Однако такая возможность является скорее исключением из правил. Как правило, процесс ионизации завершается в стационарной точке A2.

Уменьшая расход или уменьшая электрическое поле при фиксированном расходе, будем иметь последовательное касание МГД-гиперболы сначала с T = 0 (кривая 8 на рис. 19 и 20), затем с равновесной кривой 6 и, линией наконец, с линией = 0. С известной степенью точности, ошибка составляет несколько процентов, момент появления стационарных особых точек A1 и A можно связать с касанием МГД-гиперболы 2 и кривой 8 (рис. 19 и 20). Касание происходит на линии Жуге (кривая 5). С помощью соотношений (2.11) и (2.13) легко найти точку пересечения параболы T = 0 и кривой Жуге Условие касания МГД-гиперболы и кривой T = 0 в данной точке приводит к неравенству, определяющему наличие стационарных особых точек A1 и A2, Данное соотношение с учетом (2.17) можно переписать следующим образом Равенству в (2.25) отвечает кривая Е2 на рис. 28 в плоскости переменных ( m, E ) для значения параметра = 0.15. Область, отвечающая неравенству (2.25), расположена ниже кривой Е2 и обозначена стрелками на рисунке.

Таким образом, на плоскости ( m, E ) условию существования точек A1 и A2 соответствует область значений расхода и электрического поля, расположенная в полосе между кривыми Е1 и Е2 на рис. 28.

Следует заметить, что согласно имеющимся экспериментальным данным (см., например, [1,7-9,30,60-79]) значения расхода в плазменных ускорителях находятся в диапазоне m < 1. Этому диапазону отвечают рисунки 29, 30 и 31, на которых заштрихованные области, выпадающие из рассмотрения, соответствуют отрицательной степени ионизации в точке D или близкой к ней точке D2. Иначе говоря, заштрихованные области соответствуют неравенствам, противоположным (2.22) или (2.23). Вне заштрихованной области значения параметров m и E допускают реализацию процесса ионизации с переходом скорости потока ионизующегося газа через местную газодинамическую скорость звука.

Рис. 29. Границы областей, характеризующие процесс ионизации, исключая запретную (заштрихованную) область, в которой (H D, U D ) < 0, для значения ( = 8 Po / H o 2, H o = 2 J p / c ro ) и соответствующему набору исходных размерных параметров задачи, например, значениям no = 2.5 1016 см 3, J p = 50 кА, L = 20 см и ro = L / 3, использованным, в том числе, в расчете течения ионизующегося газа, представленном на рис. 16 и в [119]. Для данных параметров, согласно рисунку, стационарному течению ионизующегося газа с переходом через газодинамическую скорость звука и выходом в особые стационарные точки A1 и A2 соответствуют значения m и E в узкой полосе между кривой Е2 и заштрихованной областью.

Рис. 30. Границы областей, характеризующие процесс ионизации, исключая запретную (заштрихованную) область ( (H D, U D ) < 0 ), для значения Варьирование параметров no, To и J p ведет, в частности, к изменению безразмерного параметра магнитному. Уменьшение no, To и увеличение разрядного тока J p приводит к уменьшению параметра и расширению области между кривой Е2 и заштрихованной областью, т.е. приводит к расширению области значений параметров m и E, для которых возможно существование структуры фронта ионизации с переходом скорости потока через газодинамическую скорость звука и выходом в стационарную особую точку на МГД-гиперболе. Рис. отвечает в два раза меньшим значениям To = 2000 o K и соответственно = 0.075. Видно, что в этом случае существует достаточно обширная область параметров m и E, допускающая структуру фронта ионизации. Наоборот, увеличение no, To и уменьшение разрядного тока означает увеличение параметра и приводит к сокращению области значений параметров m и E, допускающих структуру фронта ионизации. На рис. 31, где no = 4 1016 cм 3 и = 0.24, такая область, допускающая структуру фронта, отсутствует для значений расхода m < 0.3.

Рис. 31. Границы областей, характеризующие процесс ионизации, исключая запретную (заштрихованную) область для величины = 0. 2.7. Выводы Разработан теоретический подход в изучении процессов в окрестности стационарного неравновесного фронта ионизации, формирующегося в канале квазистационарного плазменного ускорителя. Исследования выполнены в рамках системы МГД-уравнений, дополненных уравнением кинетики ионизации и рекомбинации. Проведен анализ особых точек системы уравнений, общее число которых равно шести с учетом полярности электродов и возможного изменения знака магнитного поля. Представлены поля направлений интегральных кривых для различных параметров задачи.

Рассчитаны отдельные интегральные кривые, характеризующие переходы через газодинамическую скорость звука в особой точке, расположенной на границе дозвукового и сверхзвукового потоков.

Выявлена структура фронта ионизации, отвечающая переходам из одного стационарного состояния в другое. При этом процесс ионизации начинается из стационарного состояния в дозвуковой области с нулевой степенью ионизации, отвечающей нейтральному газу, и завершается в сверхзвуковой области в стационарной особой точке МГД-уравнений, являющейся устойчивым узлом, в среде с отличной от нуля степенью ионизации.

ионизации также можно рассматривать как переход из состояния ионизационного равновесия в дозвуковой области в состояние ионизационного равновесия в сверхзвуковой области.

Сформулированы условия, отвечающие возможности осуществления процесса ионизации газа в канале ускорителя, а также условия, определяющие возможность перехода скорости потока ионизующегося газа через газодинамическую скорость звука и выхода в стационарные особые точки в пределах узкого фронта ионизации, наблюдаемого в расчетах и экспериментах.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ

ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ ПЛАЗМЫ В КСПУ

С плазменными ускорителями связаны исследования ряда нетривиальных процессов. К ним относятся процесс ионизации, рассмотренный в первой и второй главах диссертации, а также приэлектродные процессы, которые препятствуют достижению больших скоростей в плазменных ускорителях и устойчивому функционированию установок. Приэлектродные процессы приводят, в частности, к явлению кризиса тока [1], обусловленного эффектом Холла. Вследствие этого эффекта возникает недостаток ионов в прианодной области, появляются особенности в поведении плазменных токов в окрестности анода, и происходит срыв процесса ускорения. Для преодоления негативного воздействия эффекта Холла был осуществлен переход к системам типа квазистационарного плазменного ускорителя (КСПУ), предложенного А.И.

Морозовым в [5]. Эксперименты [7-9] в целом подтвердили идеи, на основе которых были сконструированы плазменные ускорители данного типа.

Особенностями полноблочного КСПУ являются наличие анодного и катодного трансформеров, а также двухступенчатая схема ускорения плазмы.

Во введение отмечалось, что первая ступень КСПУ состоит из нескольких малых коаксиальных плазменных ускорителей (КПУ) со сплошными электродами или входных ионизационных камер (ВИК), в которых происходит ионизация, поступающего газа, и предварительное ускорение вещества. Во второй ступени осуществляется окончательный разгон плазмы.

Приэлектродные процессы касаются не только второй ступени, а имеют самое непосредственное отношение к одноступенчатым системам КПУ, поскольку за фронтом ионизации плазмы также взаимодействует с электродами.

Появление анодного и катодного трансформеров в КСПУ обусловлено необходимостью согласования электромагнитных полей в основном потоке и на поверхности электродов, что в итоге должно обеспечить перенос тока в плазме и во внешней цепи. Анодный трансформер предназначен для устранения упомянутого кризиса тока. В работе [5] приведены примеры трансформеров, которые частично реализованы в экспериментах [7-9,63-79].

Основам теории аксиально симметричных течений посвящены обзоры [10,11] и монографии [1,12,26,58,236], в которых представлены методы исследования плазменных потоков в разных условиях. Одним из аналитических способов описания двумерных течений плазмы с помощью стационарных двухжидкостных уравнений магнитной газодинамики является метод плавных течений, развитый в работах [114,100-105,199,237], где построены конкретные примеры аксиально симметричных течений плазмы, определены профили электродов и исследованы разные режимы токопереноса.

предусмотрено ускорение плазмы вдоль канала. Поэтому подача плазмы в основной канал происходит при малых скоростях, характерных для входной части КСПУ. В этом случае образуется область анодного подпотока, на границе которой с основным потоком может возникнуть тангенциальный разрыв.

Наряду с другими факторами, это может приводить к отклонению токов от преимущественно радиального направления, необходимого для эффективного ускорения. Аналитическое решение задачи о двумерном течении плазмы с прианодным потоком в канале медленно меняющегося сечения найдено в [104], где исследована возможность плавной стыковки анодного подпотока с основным потоком КПУ. Данное теоретическое исследование показало, что существует возможность разработки трехэлектродной системы с азимутальным магнитным полем, которая обеспечивает согласование анодного и основного потоков. Правда, выходная часть среднего электрода будет подвержена воздействию высокоскоростного потока. Трехэлектродная система была реализована в экспериментах [85], в которых кризис тока не наблюдался.

Новые возможности в исследовании течений плазмы, в том числе при согласовании анодного подпотока и потока плазмы в основном канале КСПУ, открываются при наличии продольного магнитного поля (H z >> H r ), влияние которого можно исследовать наряду с азимутальным полем H, традиционно участвовавшим в большинстве прежних аналитических и численных моделей.

Возникновение продольного поля в канале КПУ может быть обусловлено, например, токами во внешних катушках [74].

В работах [100-102] аналитически выявлено влияние продольного двухкомпонентной плазмы. Исследования проведены в рамках приближения плавного канала для уравнений идеальной двухжидкостной магнитной газодинамики. Продольное поле естественным образом усложняет течение, например, приводит к вращению ионной и электронной компонент плазмы вокруг оси системы. Анализ важнейших свойств плазменных потоков показал, что благодаря продольному полю можно существенно уменьшить влияние эффекта Холла и область прианодного потока.

3.1. Уравнения идеальной двухжидкостной магнитной газодинамики Для стационарных течений водородной плазмы система уравнений идеальной двухжидкостной магнитной газодинамики, пренебрегая током смещения, может быть записана в следующем виде:

Инерцией электронов в (3.1) можно пренебречь, поскольку me 0.15 решение задачи не было найдено для данной геометрии и любых значений потенциала катода к. Для значений H z 0.15 и разности трансзвуковое течение. При любом 0 H z 0.15 существует единственное значение к, при котором осуществляется трансзвуковой режим, причем к растет с ростом H z. Справедливо обратное утверждение: любой величине к продольного поля, при котором течение является трансзвуковым. В случае Hz = 0 трансзвуковое течение также может существовать лишь при единственном наборе параметров и разности потенциалов между электродами.

В рамках представленной модели наличие незначительного по величине продольного поля позволяет реализовать трансзвуковое течение в канале соответствующей геометрии в определенном диапазоне параметров задачи путем подбора необходимой разности потенциалов.

Рис. 35. Трансзвуковое течение плазмы при наличии продольного поля:

а) эквипотенциали = const ; б) электрический ток (изолинии функции r H ) и векторное распределение магнитного поля; в) ионные линии тока i = const ; г) векторное поле скоростей ионной компоненты Vz i, Vr i и азимутальная скорость ионов V i (штриховые изолинии); д) распределение плотности ( z, r ) ( сплошные кривые ), поле скоростей V z e, Vr e и азимутальная скорость V e электронов (штриховые линии уровня).

На рис. 35 представлено трансзвуковое течение в режиме ионного токопереноса при H z = 0.1 ; = 0.02 и к = 1. 035 к1. Масштаб векторов на рис. 35г и 35д определяется значением характерной скорости Vo, указанной на рис. 35г. Видно (пунктир на рис. 35а), что в середине канала скорость потока переходит через местную скорость быстрой магнитозвуковой волны.

Электронные траектории согласно (3.44) совпадают с эквипотенциалями.

Пунктиром на рис. 35г и 35д изображены линии уровня функций V i и V e, характеризующих вращение при H z 0. Азимутальные скорости имеют максимальные значения в окрестности анода ближе к выходу. В экспериментах при определенных условиях в отсутствии продольного поля, именно, в этой области за счет эффекта Холла возникает недостаток ионов, который результатами в присутствии продольного поля значения плотности ( z, r = ro ) на аноде (сплошная кривая на рис. 34) увеличились за счет вращения.

Штриховая кривая на рис. 34 отвечает случаю H z = 0.

Область прианодного потока на рис. 35в, где изображены ионные траектории i = const, ограничена снизу кривой А с началом в точке z = 0, r = ro. Эта область, обусловленная расхождением ионной и электронной траекторий за счет эффекта Холла, при наличии продольного поля существенно меньше, чем в случае H z = 0 (пунктир на рис. 35в).

3.8. Оценка параметров ускорителя в приближении плавного канала В отсутствии продольного магнитного поля вычисление оптимальной геометрии ускорительного канала можно осуществить в двух различных режимах течения, при условии электронного или ионного токопереноса. Как оказалось, профили электродов мало меняются при переходе от одного режима токопереноса к другому при прочих равных условиях [103]. Следуя работе [102], рассмотрим для определенности режим электронного токопереноса. В этом случае результирующие соотношения имеют более простой вид, удобный для оценки параметров ускорителя. Без ограничения общности будем считать, что в случае электронного токопереноса на одном из электродов, например, аноде, i ( z, r = ra ( z )) = 0. Тогда из (3.32) следует, что где C1 ( z ) = U o Vo 2 ( z ) / 2 согласно (3.31). Полагая на втором электроде i z, r = r к ( z ) =, с помощью (3.48) найдем оптимальную геометрию канала В соответствии с экспериментами будем считать, что ra ( z ) = r o = const.

Построение геометрии канала с помощью формулы (3.49) осуществляется при условии, что продольная скорость V z = Vo ( z ) задана. Соответственно заданы значения скорости плазмы на входе Vin = Vo (0) и на выходе Vout = Vo (1).

определения коэффициента ускорения K = Vout / Vin в канале оптимальной геометрии. Допустим, что известны только величина скорости на входе и значения r к (0) и r к (1). Тогда имеем следующее уравнение:

где = ln r o / r к (0 ) / ln r o / r к (1). Полагая r к (0) = r к (1), из (3.50) получим Это соотношение дает оценку максимально допустимого коэффициента ускорения. В действительности ускорение плазмы в канале меньше данной величины в силу целого ряда причин, включая нагрев и излучение плазмы.

параметрами являются такие интегральные характеристики как разрядный ток в системе J p и расход вещества m (г / с ), который обычно выражается в эквивалентных токовых единицах J m = e m / m i. Допустим, что на входе в канал известна скорость, т.е. ее размерная величина Vin = Vin Vo. Расход равен Учитывая (3.48), найдем Соотношения (3.52) могут быть использованы в (3.50) и (3.51) для того, чтобы оценить коэффициент ускорения и значения скорости плазмы на выходе из системы. Здесь следует пользоваться гауссовой системой единиц измерения.

Возможна другая постановка задачи, когда, например, необходимо получить на выходе из ускорителя поток с определенным значением скорости.

В этом случае будем считать, что задана скорость плазмы на выходе Vout = Vout Vo. Учитывая, что Vout = K Vin, вместо (3.51) получим Данное соотношение позволяет оценить коэффициент ускорения плазмы и соответственно значения параметров плазмы на входе, включая скорость, необходимую для достижения требуемого конечного результата.

На рис. 36 в соответствии с формулой (3.53) представлены графики зависимости ln K от разрядного тока в системе для двух значений расхода вещества [102]: J m = 5 MA - кривая 1 и J m = 10 MA - кривая 2. На рисунке видно, что существует минимальное значение разрядного тока J p, начиная с которого появляется возможность достигнуть какого-либо ускоряющего эффекта ( K > 1 ). Кривые 1 и 2 отвечают следующим параметрам: R = 60 cм, r к (0) = 0.25 r o, m i = 2.5 m p и Vout = 1.5 108 cм / c. Выбор скорости на выходе аргументирован возможным использованием потока из ускорителя в магнитных ловушках и термоядерных системах с температурой, например, 10 KeV для смеси дейтерия и трития.

Рис. 36. Зависимость коэффициента ускорения K от разрядного тока Для данной температуры нетрудно получить оценку необходимой скорости плазмы на выходе из ускорителя. Энергия плазмы на выходе сосредоточена в основном в кинетической энергии ионов i = mi Vi2 / 2.

Предположим, что ион, попадая в ловушку, должен будет отдать половину этой энергии электронам ( Ti = Te = T ). Исходя из равнораспределения энергии по степеням свободы, средняя энергия частиц в ловушке равна 3 k B T / 2. Поэтому необходимо, чтобы i 3 k B T, т.е. Vi 108 см / c для указанной температуры в 10 KeV. Достижение столь больших скоростей является нетривиальной задачей, требует значительного ускоряющего эффекта в канале ускорителя, а также использование двухступенчатой схемы ускорения.

При наличии небольшого по величине продольного магнитного поля приведенные оценки существенно не меняются. Это следует из рисунков 35г и 35д, на которых представлены распределения азимутальной скорости с максимальными значениями в окрестности внешнего электрода. Более того, на рис. 35б видно, что продольное поле как бы выталкивается плазмой из объема канала ускорителя. Таким образом, ядро потока в известной степени остается свободным от продольного поля и его вращение не значительно. Об этом же говорят результаты численных исследований, представленные далее в главах 4, 5 и проведенные на основе одножидкостной и двухжидкостной МГД-моделей.

В частности, будет показано, что на выходе из системы доля энергии, обязанная вращению, существенно меньше кинетической энергии направленного вдоль оси потока плазмы. В то же время, небольшое продольное поле позволяет изменить динамику плазмы в окрестности электродов, оказывая заметное влияние на приэлектродные процессы и связанные с ними негативные явления.

3.9. Оценка эффективности ускорения в узком коаксиальном канале Ряд свойств течений плазмы в аксиально-симметричных каналах можно выявить, если пренебречь изменением основных переменных поперек узкой трубки потока (рис.37). В ускорительных режимах (рис.37а) плотность падает, а скорость стремиться к некоторому предельному значению. Наоборот, в компрессионных режимах (рис.37б) скорость падает, а плотность растет. В данном разделе рассмотрим ускорительный режим течения. Предположим, что зазор r ( z ) между электродами мал и средний радиус канала r = r o является постоянной величиной. Площадь сечения трубки равна f ( z ) = 2 r o r ( z ).

Рис. 37. Течение плазмы в ускорительном и компрессионном режимах В стационарном случае ( / t = 0 ) для идеально проводящей плазмы ( ) течение в узкой коаксиальной трубке можно описать системой алгебраических уравнений [1,10,12], которая в рассматриваемом случае имеет вид [58,102]:

W ( ) = P / ( 1), где P = в принятых выше безразмерных единицах измерения. Уравнения (3.54) выражают законы сохранения продольных потоков плазмы и магнитного поля. Уравнения (3.55) вытекают из законов сохранения момента вращения и вмороженности магнитного поля. Уравнение Бернулли в форме (3.56) является следствием сохранения энергии. Система (3.54)-( 3.56) содержит пять уравнений и шесть неизвестных величин f,, Vz, V, H z и H. Сечение f может быть задано произвольно. В этом случае решение для произвольных величин i, как правило, будет содержать особенности, не имеющие отношения к природе физических процессов.

Локальное поведение МГД-переменных может быть также рассмотрено с помощью производных. Продифференцируем по z уравнения (3.54)-(3.56) с относительно производных. В результате найдем (см., например, [102]) где Vs, f = 0.5 VT + H 2 / ± 0. Следует заметить, что оценки на основе системы (3.54)-(3.56) имеют весьма условный характер, а соотношения (3.57)-(3.58) позволяют осуществить лишь качественный анализ поведения МГД-переменных и особых точек системы. В частности, переход через скорость быстрой (Vz = V f ) и медленной ( Vz = Vs ) магнитозвуковой волны связывают с равенством d f / d z = 0, т.е. с минимумом функции f ( z ) в соплообразном канале.

Следуя работе [102], оценим параметры ускорения в потоке холодной плазмы = 0, учитывая, что разрядный ток в ускорителях достаточно большой