«ОБОБЩЕНИЯ КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА МАСЛОВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ ...»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ им. А. Ю. ИШЛИНСКОГО

На правах рукописи

Назайкинский Владимир Евгеньевич

ОБОБЩЕНИЯ КАНОНИЧЕСКОГО

ОПЕРАТОРА МАСЛОВА

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ

01.01.03 – математическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2014 2 Оглавление Введение.................................... Глава 1. Новое интегральное представление канонического опе­ ратора Маслова и локализация быстроосциллирующих реше­ ний...................................... 1.1. Двумерный случай.......................... 1.2. Многомерный случай......................... 1.3. Примеры. Локализация волновых пучков.............. Глава 2. Канонический оператор для уравнений, вырождающих­ ся на границе области.......................... 2.1. Пример: одномерный случай..................... 2.2. Операторы, вырождающиеся на границе.............. 2.3. Фазовое пространство......................... 2.4. Лагранжевы многообразия в и сопутствующие объекты.... 2.5. Канонический оператор........................ 2.6. Быстроосциллирующие и локализованные решения........ 2.7. Асимптотические решения двумерного волнового уравнения, вы­ рождающегося на границе области................. Глава 3. Канонический оператор Маслова и некоторые задачи эллиптической теории.......................... 3.1. Квазиклассическая теория Лефшеца................ 3.2. Вычисление форм........................ 3.3. Интегральные операторы Фурье–Маслова на многообразиях с ко­ ническими особенностями....................... 3.4. Принцип локальности относительного индекса........... 3.5. Формула индекса для квантованных контактных преобразований на многообразиях с коническими особенностями.......... Глава 4. Туннельный канонический оператор и газ Бозе–Масло­ ва....................................... 4.1. Определение туннельного канонического оператора........ 4.2. Газ Бозе–Маслова........................... Заключение................................... Список литературы............................. Введение Актуальность и степень разработанности темы исследования. Ка­ нонический оператор Маслова [26] (см. также [5, 27, 32, 39, 41]) применяет­ ся для построения коротковолновых (высокочастотных или быстроосциллиру­ ющих) асимптотических решений широкого класса дифференциальных урав­ нений с вещественными характеристиками. Асимптотики в виде канонического оператора представляют собой далеко идущее обобщение лучевых разложений в задачах оптики, электродинамики и т. д. и ВКБ-асимптотик в уравнениях кван­ товой механики. Эти асимптотики основаны на некоторых решениях уравнений классической (гамильтоновой) механики и в каком-то смысле автоматически и глобально позволяют написать по ним решения уравнений квантовой и волно­ вой механики с учетом наличия в задаче фокальных точек и каустик. В основе конструкции канонического оператора Маслова лежит фундаментальный гео­ метрический объект — лагранжево многообразие в фазовом пространстве, отве­ чающем конфигурационному пространству, на котором рассматривается исход­ ное дифференциальное уравнение. Канонический оператор по сути осуществ­ ляет редукцию исходного дифференциального уравнения в частных производ­ ных на конфигурационном пространстве к обыкновенному дифференциально­ му уравнению вдоль траекторий гамильтонова векторного поля на лагранжевом многообразии. Лагранжево многообразие не универсально даже для фиксиро­ ванного дифференциального уравнения, оно, как и решение редуцированного обыкновенного дифференциального уравнения — амплитуда — зависит от рас­ сматриваемой для исходного уравнения задачи. Очень важно, что амплитуда на лагранжевом многообразии — гладкая функция, в том числе и в окрестно­ сти лагранжевых особенностей, в отличие от амплитуды в обычных лучевых или ВКБ-разложениях. Для многих типов задач (и для разных исходных диф­ ференциальных уравнений) имеются рецепты или алгоритмы построения соот­ ветствующих многообразий и амплитуд. Если таковые построены, то ответ в исходной задаче для соответствующего дифференциального уравнения дается каноническим оператором, примененным к амплитуде; этот ответ автоматиче­ ски включаюет в себя такие объекты и операции в лучевых разложениях, как поведение в каустических областях, переход через каустики, сращивание раз­ личных асимптотических представлений и т.д.

Представление решения в виде канонического оператора можно назвать формулой достаточно условно, это скорее алгоритм или набор вполне определен­ ных правил, позволяющих реализовать решение в виде более или менее явных аналитических формул, содержащих либо быстроосциллирующие экспоненты, либо интегралы от таких экспонент. Здесь нужно отметить, во-первых, что эти формулы, как правило, не являются одинаковыми и универсальными для всех значений независимых переменных; в разных (зависящих от задачи) областях они имеют разные (асимптотические) представления, и во-вторых, даже в фик­ сированных областях эти представления могут определяться не единственным образом, удачный их выбор может существенно упростить (локальный) вид ре­ шения и позволить выразить его, например, через хорошо известные специаль­ ные или даже элементарные функции.

Развитие мощных интерактивных систем математических вычислений, та­ ких как Wolfram Mathematica, предъявляет новые требования к инструмента­ рию построения асимптотических формул. Эти системы позволяют в режиме диалога менять входные параметры вычислений и визуализировать результаты вычислений в наглядной графической форме, тем самым позволяя в режиме «реального времени» анализировать решение задачи. Но для того, чтобы это было возможно, асимптотические формулы должны быть максимально просты­ ми и удобными в реализации средствами указанных систем. Существующие формулы канонического оператора Маслова не всегда удовлетворяют это усло­ вию. Часто бывает так, что формула есть, а эффективно воспользоваться ею нельзя. Таким образом, актуальна задача получения возможно более простых выражений для канонического оператора, особенно в окрестности каустик, где вычисления включают интегрирование быстроосциллирующих функций.

Несмотря на всю свою универсальность, стандартный канонический опе­ ратор не дает ответа во многих задачах с вырождением. Одной из таких за­ дач является построение асимптотических решений для волнового уравнения с вырождением на границе. Эта задача важна и с физической точки зрения, поскольку такое уравнение можно использовать для моделирования в линей­ ном приближении наката длинных волн (в частности, волн цунами) на пологий берег. Поэтому актуальна задача обобщения асимптотик, задаваемых канони­ ческим оператором, на случай уравнений с вырождением такого рода.

Применения канонического оператора не ограничиваются асимптотиками решений уравнений математической физики. Частным случаем интегральных операторов Фурье–Маслова (операторов, ядрами Шварца которых служат функции, представимые с помощью канонического оператора) являются квантован­ ные канонические и контактные (однородные канонические) преобразования, которые играют важную роль в эллиптической теории — первые служат есте­ ственным обобщением [54, 55] геометрических эндоморфизмов комплексов в теории Лефшеца [66], а для последних Вайнстейном [108] была поставлена про­ блема индекса, решенная впоследствии для случая замкнутых гладких много­ образий Эпстейном и Мельроузом [80] и Лейштнамом, Нестом и Цыганом [91].

Эллиптическая теория на многообразиях с особенностями (см., например, [100]) является одним из естественных вариантов эллиптической теории вне рамок классической ситуации гладких многообразий, и актуальна задача вычисления индекса в этом случае. При этом, естественно, нуждается в обобщении и само определение интегральных операторов Фурье–Маслова.

Цели и задачи диссертационной работы:

(а) Разработать метод построения осциллирующих и локализованных асимптотических решений волнового уравнения в области с переменной скоростью, обращающейся в нуль на границе области.

(б) Изучить структуру быстроосциллирующих решений уравнений с ве­ щественными характеристиками в окрестности каустик и разработать метод построения простых интегральных представлений для таких решений.

(в) Распространить результаты теории индекса квантованных контактных преобразований со случая замкнутых гладких многообразий на многообразия с коническими особенностями и выяснить, как будет описываться вклад кони­ ческих точек.

(г) Вычислить асимптотику числа состояний и энтропии для модели газа Бозе–Маслова и построить для него термодинамическое лагранжево многооб­ разие, на котором определен соответствующий туннельный канонический опе­ ратор Маслова.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следу­ ющие результаты.

1. В рамках канонического оператора Маслова предложен и разработан метод построения новых интегральных представлений быстроосциллирующих функций в окрестности каустик и фокальных точек на основе специального класса систем координат на лагранжевых многообразиях (эйконал-координа­ ты). Полученное этим методом представление существенно упрощает локаль­ ный вид решения в окрестности каустик и эффективно при построении широ­ кого класса асимптотических решений линейных гиперболических уравнений и систем с переменными коэффициентами (в частности, решений вида волновых пучков и решений задач с локализованными начальными данными или правы­ ми частями).

2. Доказано, что в задачах о распространении волн с локализованными начальными данными локализованную в окрестности точки начальную функ­ цию можно представить с помощью канонического оператора на инвариантном относительно гамильтониана задачи лагранжевом многообразии, представляю­ щем собой объединение траекторий соответствующей системы Гамильтона, вы­ пущенных из косферы на этой точкой, что позволяет существенно упростить формулы для асимптотических решений и сделать их эффективными в компью­ терной реализации.

3. Предложен и разработан метод построения асимптотик решений мно­ гомерного волнового уравнения, вырождающегося на границе области. Этот метод основан на новом фазовом пространстве, отвечающем таким уравнени­ ям, которое получается как расширение стандартного фазового пространства и на обобщении канонического оператора Маслова на лагранжевы подмногообра­ зия такого фазового пространства, и приводит, в частности, к новым простым формулам для максимальной амплитуды в точках границы области решения задачи Коши для такого волнового уравнения с локализованными начальными данными специального вида.

4. Для задаваемого квантованным каноническим преобразованием (инте­ гральным оператором Фурье–Маслова) невырожденного эндоморфизма эллип­ тического комплекса на гладком компактном многообразии в том случае, когда у классического канонического преобразования имеются гладкие многообразия неподвижных точек и эти многообразия либо симплектические, либо лагранже­ вы, получены асимптотические формулы, выражающие вклад таких многооб­ разий в число Лефшеца эндоморфизма.

5. Доказаны формулы индекса для удовлетворяющих некоторым условиям симметрии квантованных контактных (однородных канонических) преобразова­ ний на компактном многообразии с коническими особенностями, выражающие индекс в виде полусуммы индекса квантованного контактного преобразования на гладком компактном многообразии — дубле исходного многообразия с выре­ занными окрестностями конических точек — и явно выписываемого инвариан­ та конормального символа. Инвариант конормального символа выражен через кратности его особых точек в комплексной плоскости.

6. Получены асимптотические формулы для энтропии и числа состояний газа Бозе–Маслова, и н этой основе построено термодинамическое лагранжево многообразие, на котором определен отвечающий газу Бозе–Маслова туннель­ ный канонический оператор.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Асимптотические методы решения задач мате­ матической физики сами по себе представляют теоретический интерес. Полу­ ченное в работе новое интегральное представление канонического оператора Маслова в окрестности фокальных точек может быть использовано для постро­ ения эффективных формул, позволяющих провести аналитическо-численное исследование доставляемых каноническим оператором асимптотических реше­ ний, при котором система Гамильтона решается численно, а дальнейший расчет ведется по аналитическим формулам с минимальным числом интегрирований.

Асимптотические решения волнового уравнения с локализованными начальны­ ми данными в области, на границе которой скорость распространения волн об­ ращается в нуль, могут быть использованы для исследования моделей, описы­ вающих в линейном приближении распространение и накат на берег длинных волн, в частности, волн цунами. Формулы индекса для интегральных операто­ ров Фурье–Маслова на многообразиях с особенностями представляют интерес в эллиптической теории на многообразиях с особенностями и показывают, ка­ кие изменения претерпевают соответствующие инварианты, хорошо известные в случае замкнутых гладких многообразий, при наличии конических особых то­ чек и каким образом можно описывать вклад конических точек в эти формулы.

Асимптотика статистической суммы в подходе В.П. Маслова к квантованию термодинамики задается туннельным каноническим оператором. Вычисление асимптотики числа состояний и энтропии для газа Бозе–Маслова дает пример такого туннельного канонического оператора и важно с точки зрения развития упомянутого подхода.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные резуль­ таты диссертации докладывались на семинарах лаборатории механики природ­ ных катастроф Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, от­ дела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, отдела теоретической физики Математического института им. В.А. Стек­ лова РАН, Института математики Потсдамского университета (Германия), 55 и 56 научных конференциях МФТИ, а также на международных конференциях «Jean Leray ’99» (Карлскруна, Швеция, 1999), Spring School «Operator Algebras and Index Theory on Manifolds with Singularities» (Потсдам, Германия, 2000), «PDE 2000» (Клаусталь, Германия, 2000), «The fourth international conference of differential and functional-differential equations» (Москва, 2005), «XVI Крым­ ская осенняя математическая школа-симпозиум» (Батилиман, Украина, 2005), « * -algebras and elliptic theory. II», (Бендлево, Польша, 2006), «Асимптотиче­ ские методы и математическая физика» (Москва, 2010), «XXI Крымская осен­ няя математическая школа-симпозиум» (Батилиман, Украина, 2010), «Асимп­ тотические методы теории дифференциальных уравнений» (Челябинск, 2011), «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, 2011), «XXII Крымская осенняя математическая школа-симпозиум» (Батилиман, Украина, 2011), «Days on Diffraction 2012» (С.-Петербург, 2012), «International Conference on Applied Mathematics» (Ираклион, Греция, 2013).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 17 печатных ра­ ботах в рецензируемых журналах из списка ВАК, входящих в международные индексы цитирования.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­ ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­ кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводи­ лась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.

Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, четырех глав, заключения и списка литературы (108 на­ именований). Объем диссертации составляет 159 страниц.

Благодарности. Автор признателен В. П. Маслову и C. Ю. Доброхотову за внимание и поддержку.

Новое интегральное представление канонического оператора Маслова и локализация быстроосциллирующих решений В данной главе рассматривается новое интегральное представление кано­ нического оператора Маслова и на примере показано, как оно может применять­ ся для локализации быстроосциллирующих решений типа волновых пучков.

Основными результатами являются конструкция указанного представления и доказательство того факта, что доставляемый им класс быстроосциллирующих функций совпадает с классом, задаваемым «стандартным» каноническим опе­ ратором Маслова [26, 39] на том же лагранжевом многообразии (теорема 1.1).

Все включенные в данную главу результаты опубликованы в совместных ра­ ботах, но получены лично автором, за исключением примера в пп. 1.3.2, 1.3.3, который был проанализирован совместно с С. Ю. Доброхотовым и Г. Макраки­ сом.

Основные результаты первой главы опубликованы в статье [17]. Изложение в разделе 1.1 и в п. 1.3.1 следует работе [17], в разделе 1.2 — работе [69], а в пп. 1.3.2, 1.3.3 — работе [16].

1.1. Двумерный случай Пусть 2 — лагранжево многообразие в четырехмерном фазовом простран­ стве R4 с координатами (, ) = (1, 2, 1, 2 ). Функции, задающие вложение 2 R4, будем обозначать через = (), = (), где = (1, 2 ) — ко­ ординаты на 2. Для упрощения будем обозначать через также точки на 2. В этом разделе будет построено представление канонического оператора Маслова на 2.

1.1.1. Эйконал и эйконал-координаты Поскольку 2 лагранжево, уравнение Пфаффа локально разрешимо на 2 (более точно, оно разрешимо в произвольной одно­ связной области 2 ). Вещественное решение () уравнения (1.1) называ­ ется эйконалом (или действием) в ; если связно, то эйконал определяется с точностью до аддитивной константы. Будем предполагать, что многообразие 2 удовлетворяет следующему условию.

Условие 1.1. Форма () () не обращается в нуль ни при каком 2.

Таким образом, если — эйконал в окрестности некоторой точки из 2, то = 0, и, следовательно, (предполагая, что достаточно мало), мы мо­ жем дополнить другой функцией так, что (, ) будет системой коорди­ нат в. Систему координат такого типа назовем эйконал-координатами. По­ нятно, что эйконал-координаты существуют в окрестности произвольной точ­ ки 2. Функции (, ), выраженные через эйконал-координаты, будем записывать в виде ((, ), (, )) (хотя более правильно было бы писать (((, )), ((, )))) или просто (, ), опуская соответствующие аргумен­ ты. Такие же обозначения будем использовать для произвольных функций на Лемма 1.1. В эйконал-координатах справедливы соотношения 1.1.2. Мера и якобианы В конструкции канонического оператора участвует также некоторая веще­ ственная мера на 2. Будем считать для упрощения изложения, что 2 ориен­ тируемо и мера задается формой объема. В эйконал-координатах (, ) на 2 имеем =, где (, ) — гладкая не обращающаяся в нуль функция, называемая плотностью меры в координатах (, ). Без ограниче­ ния общности (заменяя на при необходимости) будем считать, что > 0.

Заметим, что во многих физических задачах координата есть так называемое «собственное время» и плотность равна 1. Введем теперь якобианы В противоположность плотности меры якобианы (1.3), (1.4) не зави­ сят от специального выбора эйконал-координат и, следовательно, корректно определены глобально на 2.

Лемма 1.2. Справедливы соотношения Доказательство. (1) (Ср. [76].) Первое равенство заведомо справедливо, если = 0. В противном случае достаточно принять во внимание равенство = +, = 1/ 2, вытекающее из (1.2), а также второе соотношение в (1.2).

Второе равенство доказано в [1, 27].

1.1.3. Индекс Маслова неособых точек и замкнутых путей Зафиксируем некоторую регулярную точку 0 2, которую назовем цен­ тральной точкой. Без ограничения общности будем считать, что (0 ) > 0.

Далее, пусть — произвольная неособая точка. Зафиксируем некоторый путь (0, ) 2, соединяющий 0 с, и определим индекс Маслова точки формулой где приращение аргумента вычисляется вдоль пути (0, ). На практике луч­ ше использовать интегральную формулу Индекс () — целое число, зависящее от выбора пути (, 0 ) (и не меня­ ющееся при непрерывной деформации пути). В частности, (0 ) = 0, если в качестве пути, соединяющего точку 0 с нею же самой, взять путь, гомотопный тривиальному (все время остающемуся в 0 ).

Пусть — некоторый замкнутый путь на 2, тогда мы можем определить индекс Маслова () пути, положив Пример 1.1. Пусть 2 — лагранжево многообразие с мерой =. Зафиксируем центральную точку 0 с координатами 0 = > 0, = 0. Легко видеть, что Поэтому точки с ненулевой координатой — неособые. Для индекса () имеем Это выражение равно 0, если > 0, и 1, если < 0. Поэтому ((, )) = для > 0 и ((, )) = 1 для < 0. Отметим, что в этом примере индекс не зависит от выбора пути.

1.1.4. Регулярные и особые карты. Канонический атлас Канонический оператор Маслова = (2,) сопоставляет любой функ­ ции1 0 (2 ) быстроосциллирующую функцию (, ) = [(2,) ](, ) Условие, что — функция с компактным носителем, удобно при общетеоретических исследованиях.

Если же проекция лагранжева многообразия на конфигурационное пространство правильная (то есть про­ образ каждого компактного множества компактен), то 0 (2 ) можно без особых затруднений заменить на (2 ). Это мы и делаем в наших примерах, в которых носители функций, на которые действует канониче­ ский оператор, некомпактны.

от переменной R2, где +0 — малый параметр. Как и в стандартной конструкции канонического оператора [26, 39], удобно разбить его определение на две части, локальную и глобальную. В локальном определении многообразие 2 покрывается специальными связными односвязными областями, называемы­ ми каноническими картами, и канонический оператор определяется отдельно в каждой карте (то есть на функциях с носителем из соответствующей кар­ ты). При переходе к глобальному определению выражения в различных картах сравниваются и собираются вместе с помощью разбиения единицы.

Канонические карты бывают двух типов, неособые (регулярные) и особые.

Неособые карты. Точка 2 называется неособой, если () = 0. Со­ ответственно неособая карта — это произвольная связная односвязная область 2, состоящая из неособых точек. Так как () = 0, то существует гладкое решение () = ( (), ()) системы уравнений Решая эту систему, мы переходим от координат = (, ) на 2 к координатам = (1, 2 ) конфигурационного пространства.

Особые карты. Согласно определению неособые карты покрывают все 2, кроме фокальных (особых) точек, где () = 0. Около фокальных точек нужен другой тип карт. Пусть * 2 — фокальная точка. Выберем некоторые эйконал-координаты (, ) на 2 в окрестности точки *, координаты которой обозначим через ( *, * ). Рассмотрим уравнение Лемма 1.3. Уравнение (1.11) определяет гладкую функцию в окрестности точки (*, * ) R3, где * = ( *, * ), такую что * = Лемма 1.4. Существует такая окрестность точки (*, * ) R3, что выполнены условия:

(i) Дифференциал ( ) не обращается в нуль ни в одной точке множе­ ства которое, таким образом, является двумерной поверхностью.

(ii) Отображение (, ) (, (, )) — диффеоморфизм поверхности на окрестность 2 точки * 2.

(iii) Справедливо неравенство det(, ) = (,) = 0 при (, ).

Область 2 вместе с эйконал-координатами (, ) и функцией (1.12), заданной на, называется особой картой на 2. Без потери общности мы будем предполагать, что и связны и односвязны.

Канонический атлас. Из предыдущего следует, что 2 может быть по­ крыто неособыми и особыми картами. Выберем и зафиксируем локально ко­ нечное покрытие 2 = многообразия 2 неособыми и особыми картами.

Предположим, что пересечение любого набора карт связно и односвязно (ра­ зумеется, оно может быть и пустым). Такое покрытие называется каноническим атласом; далее мы рассматриваем только карты из канонического атласа и называем их каноническими картами. Без потери общности будем считать, что в каждой карте заданы эйконал-координаты.

1.1.5. Канонический оператор в неособых картах Определение канонического оператора в этом случае совпадает со стан­ дартным. Пусть 2 — неособая карта. Тогда из теоремы о неявной функ­ ции немедленно следует, что диффеоморфно проектируется на некоторое открытое подмножество в R2, переменные = (1, 2 ) могут быть использова­ ны как локальные координаты в, а = () можно определить как решение уравнений (1.10).

Выберем эйконал в карте и дополнительную координату. Определим индекс Маслова в карте, положив = ( ) для некоторой точки. Теперь построим канонический оператор на функциях () = (, ) 0 ( ) в неособых картах по формуле 1.1.6. Канонический оператор в особой карте Пусть теперь 2 — особая карта с эйконал-координатами (, ). Рас­ смотрим якобианы (, ) и (, ) в некоторой неособой точке = (, ). Второе выражение не обращается в нуль нигде в, в противоположность (, ), которое может изменять (и обычно изменяет) знак при движении по карте. Определим индекс Маслова особой карты, положив = ( ) если (, ) и (, ) имеют одинаковый знак в точке, и = ( ) + 1, если они имеют разные знаки.

Пример 1.2. Рассмотрим опять многообразие (1.9). Выберем особую карту как окрестность окружности { = 0} = { = n(), = 0} с помощью неравенства | | < 0, где 0 — некоторое положительное число. Имеем =, = det(, ) = 1. Поэтому, если мы возьмем = (, ) с положительным, то знаки и совпадают и ( ) = 0. Легко видеть, что результат будет таким же, если взять точку = (, ) с отрицательным.

Теперь мы определим канонический оператор в особой карте, действу­ ющий на функцию 0 ( ) по формуле Теорема 1.1. Особый канонический оператор (1.15) совпадает с точностью до () со стандартным каноническим оператором Маслова [26, 39]. В част­ ности, индекс Маслова особой карты совпадает по модулю 4 с индексом Маслова соответствующей особой карты в стандартной конструкции кано­ нического оператора.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что 1 и носи­ тель supp содержится в малой окрестности особой точки (0, 0 ). Повер­ нем систему координат на -плоскости (и соответственно двойственную систему координат в -плоскости), так чтобы было выполнено равенство 2 (0, 0 ) = 0.

Тогда в качестве координат на лагранжевом многообразии в окрестности точ­ ки (0, 0 ) можно взять (1, 2 ). Действительно, в точке (0, 0 ) справедливы следующие соотношения. Так как 2 = 0, то, 1 1 и, следователь­ но, 1 = 0. Далее, 0 = det(, ) 1 2, откуда следует, что 2 = 0, и, наконец, 0 =, 1 1, откуда следует, что 1 = 0, поскольку 1 = 0.

Поэтому и по теореме о неявной функции уравнения однозначно разрешимы относительно (, ) в окрестности рассматриваемой точ­ ки. Мы обозначим решение через = (1, 2 ), = (1, 2 ) и положим так что уравнения многообразия 2 в окрестности рассматриваемой точки име­ ют в канонических координатах (1, 2 ) вид 2 = 2 (1, 2 ), 1 = 1 (1, 2 ).

Используя канонические координаты (1, 2 ), запишем действие стандарт­ ного канонического оператора на функцию в виде где — действие в особой канонической карте с координатами (1, 2 ), а задается следующим образом. Пусть — некоторая неособая точ­ ка. Тогда = (), если и имеют одинаковый знак в точке, и = ( ) + 1 в противном случае. Применим к выражениям (1.15) и (1.17) 1/-преобразование Фурье по переменной 2 и покажем, что полученные выра­ жения совпадают с точностью до (), т.е.

Для этого вычислим интеграл в левой части доказываемого равенства (1.18) с помощью метода стационарной фазы [56, гл. 3]. Интеграл этот обозначим через = (1, 2, ), а его фазовую функцию — через Уравнения для стационарной точки (*, 2* ) имеют вид Решим эти уравнения. Функция (, ) определяется из равенства (1.11); диф­ ференцируя это равенство с учетом леммы 1.1, находим Уравнения стационарной точки вместе с равенством (1.11), таким образом, при­ водят к соотношениям откуда в силу условия det(, ) = 0 следует, что в стационарной точке = и, следовательно, 2 = 2. Более подробно, Из первых двух уравнений в силу однозначной разрешимости уравнений (1.16) следует, что а из третьего уравнения теперь получаем Вычислим матрицу вторых производных фазовой функции по переменным ин­ тегрирования в стационарной точке. Дифференцируя соотношения (1.20) и учи­ тывая, что в стационарной точке выполнено равенство =, получаем так что в точке (0, 0 ), с учетом того факта, что 2 (0, 0 )) = 0, имеем Таким образом, стационарная точка рассматриваемого интеграла невырожде­ на, и метод стационарной фазы можно применить. В результате получаем [56, с. 117, теорема 2.1] где + ( ) — положительный индекс инерции (число положительных собствен­ ных значений) матрицы, равный в нашем случае единице (вычислить его достаточно в точке (0, 0 )). Заметим, что так что осталось доказать, что Мы опустим весьма громоздкое общее вычисление, ограничившись случаем, когда (1, 2 ) = (1 (0, 0 ), 2 (0, 0 )). В этом случае в силу леммы 1.1 и соот­ ношений 2 (0, 0 ) = 1 (0, 0 ) = 0 имеем так что первое соотношение в (1.21) выполнено. Что касается второго соотно­ шения, заметим, что знаки и det(, ) одинаковы в точке (0, 0 ), а, зна­ чит, и вблизи нее. Если — неособая точка, лежащая вблизи (0, 0 ), то и det(, ) одновременно имеют в этой точке либо тот же знак, что и (и тогда = = (), либо противоположный (и тогда = = () + 1).

Теорема доказана.

1.1.7. Глобальное определение канонического оператора и формулы коммутации с -псевдодифференциальными операторами Поскольку в силу теоремы (1.1) представленная здесь конструкция локаль­ ных канонических операторов дает асимптотически тот же результат, что и стандартная конструкция [26, 39], переход к глобальному определению канони­ ческого оператора и формулы коммутации с -псевдодифференциальными опе­ раторами получаются из соответствующих построений в стандартном случае автоматически. Для полноты изложения приведем соответствующие формули­ ровки.

Для того, чтобы глобально определить канонический оператор, нужно вы­ брать локальные эйконал-координаты и числа (индексы) (или, что эк­ вивалентно, аргументы якобианов и ) в канонических картах таким обра­ зом, что локальные канонические операторы совпадают с точностью до () на пересечении соответствующих канонических карт. Это возможно, если для базиса независимых циклов 1,..., на 2 выполнено условие квантования Бора–Зоммерфельда Здесь ind — индекс Маслова цикла и — число Бетти многообразия 2.

(Число независимых циклов на многообразии из примера 1.1 равно единице, и ind 1 = 0.) Пусть выполнены условия (1.22), и пусть {e } — локально конечное раз­ биение единицы на 2, подчиненное покрытию { }. Определим глобальный канонический оператор 2, действующий на гладкие функции () на 2 по формуле где суммирование производится по всем картам канонического атласа на 2.

Теорема 1.2. Если условия квантования выполнены, то канонический опе­ ратор Маслова 2, определенный формулой (1.23), с точностью до () не зависит от выбора карт и разбиения единицы e.

Рассмотрим (псевдо)дифференциальный оператор с малым параметром [27] с гладким символом Напомним, что 0 (, ) называется главным символом оператора, или (клас­ сическим) гамильтонианом, а функция — субглавным символом оператора.

Теорема 1.3. Пусть 0 (2 ), тогда где 0 |2 — сужение функции 0 (, ) на лагранжево многообразие 2. Если сверх того 0 (, ) 0 на 2 и мера инвариантна по отношению к сдвигам вдоль траекторий гамильтонова векторного поля тогда 1.2. Многомерный случай Конструкции двумерного случая непосредственно обобщаются на много­ мерный случай. Кратко изложим без доказательств соответствующие результа­ ты, следуя работе [69].

Пусть — лагранжево многообразие в пространстве R2, снабженное ме­ рой и центральной точкой 0. Вложение R2 будем задавать функци­ ями 1.2.1. Основное условие и эйконал-координаты Будем считать, что многообразие удовлетворяет следующему условию:

Условие 1.2. Форма () () не обращается в нуль ни при каком.

Итак, если — эйконал, т. е. решение уравнения () = () () в окрестности некоторой точки на, то = 0, так что (при условии, что достаточно мала) можно дополнить некоторыми функциями 1,..., 1, та­ кими что (, ) (, 1,..., 1 ) — система координат в. Координаты такого рода, как и выше, будем называть эйконал-координатами. Выражение функций ((), ()) через эйконал-координаты будет обозначаться ((, ), (, )) или даже просто (, ), опуская аргументы. Через = (, ) обозначим плот­ ность меры в эйконал-координатах (, ), так что Справедлив аналог леммы 1.1:

1.2.2. Канонический оператор в неособой карте Определим якобиан В эйконал-координатах модуль якобиана можно вычислить по формуле где =, — матрица Грама векторов 1,..., 1.

Точки, в которых якобиан (, ) не обращается в нуль, называются неосо­ быми, и в неособых картах канонический оператор задается стандартной форму­ лой [26, 39], которая с учетом выражения для якобиана может быть переписана в виде где = (), = () — выражение эйконал-координат (, ) через канони­ ческие координаты = (1,..., ) в неособой карте, а — индекс неособой карты.

1.2.3. Канонический оператор вблизи фокальных точек Пусть — множество фокальных точек, и пусть *. Пусть (, ) — эйконал-координаты на в окрестности точки *. Координаты самой точки * обозначим через (*, * ). Пусть = rank (*, * ). Очевидно < 1, так как иначе точка * не была бы фокальной. Возьмем линейно независимых столбцов матрицы (*, * ) и разделим переменные на две группы и, где первая группа включает переменные, соответствующие выбранным столб­ цам, а вторая группа включаети все остальные переменные2. Предположим (при необходимости изменив нумерацию переменных ), что = (1,..., ) и = (+1,..., 1 ). Заметим, что матрица Грама обратима в окрест­ ности точки (*, * ).

Рассмотрим систему из + 1 уравнения Предложение 1.1. Система (1.32) задает гладкие функции в окрестности точки (*, * ), где * = (*, * ), такие что * = (*, * ) и * = (*, * ). Существует окрестность точки (*, * ) R21, такая что выполнены следующие условия:

(i) Дифференциалы +1,..., 1 линейно независимы в каждой точке множества которое поэтому является -мерным подмногообразием.

(ii) Образ многообразия при отображении (, ) (, (, )) содержится в и является окрестностью точки * в.

где Область вместе с эйконал-координатами (, ) и функциями (1.33) назовем новой особой картой на. Без ограничения общности предполагаем, что и, и связны и односвязны.

При = 0 группа переменных пуста, и дальнейшие формулы подвергаются очевидным изменени­ ям. Это всегда так для рассмотренного в предыдущем разделе случая = 2.

Определим индекс Маслова новой особой карты формулой где — путь, соединяющий центральную точку 0 с точкой *, а — собственные значения (2 1) (2 1) матрицы аргументы которых выбираются в интервале arg,. При 0 ( ) полагаем где — матрица (1.34), а (, ) — гладкая срезающая функция на, такая что = 1 на и для каждого функция (, ·) имеет компактный носитель в = { : (, ) }. При = 0 (координаты отсутствуют) форму­ ла (1.37) приобретает вид Мы опустим дальнейшие формулировки, касающиеся перехода к глобаль­ ному определению и коммутации с -псевдодифференциальными операторами, которые вполне аналогичны двумерному случаю.

1.3. Примеры. Локализация волновых пучков 1.3.1. Асимптотика решения уравнения Гельмгольца с радиaльно симметричным коэффициентом преломления Рассмотрим задачу о нахождении быстроосциллирующих решений уравне­ ния Гельмгольца уравнения Гельмгольца где = 1 0, коэффициент преломления () — гладкая всюду положитель­ ная функция, зависящая только от ||, () (||) и равная 1 для || > 0.

Более точно, рассмотрим решения, отвечающие лагранжеву многообразию 2, проходящему через окружность и инвариантному относительно гамильтонова векторного поля, соответствую­ щего гамильтониану (, ) = 2 2 ().

Для нахождения многообразия 2 в явном виде и определения эйконал­ координат на 2 воспользуемся принципом Мопертюи–Якоби и перейдем к эк­ вивалентному однородному первой степени гамильтониану Решение соответствующей гамильтоновой системы с начальными условиями на 1 можно искать в виде решая соответствующие уравнения, получаем, что ( ) — обратная функция к функции а ( ) = (( )). Пара (, ) образует систему эйконал-координат на 2. Мы видим, что для больших | | это многообразие совпадает с многообразием (1.9), но параметризация здесь другая. (Эти две параметризации отличаются для больших сдвигом по переменной.) Легко видеть, что в таких эйконал-координатах многообразие 2 цели­ ком покрывается одной особой канонической картой. Действительно, уравне­ ние (1.11) имеет глобальное решение (, ) = (, n()). Множество имеет вид и ( ) = 0 на, поскольку Отображение (, ) (, (, )) действует на по формуле и, как легко видеть, является диффеоморфизмом на 2. Окончательно имеем Поэтому многообразие 2 действительно покрывается одной особой картой.

Мера, инвариантная относительно векторного поля, заданного гамильто­ нианом (, ), имеет вид Поэтому Покажем, что этот интеграл можно выразить через бесселеву функцию. Пря­ мые вычисления приводят к следующему утверждению Лемма 1.5. Существует гладкая замена переменных = (), = (, ), такая что справедливо равенство (, n() =, n(). Более того, Воспользовавшись этим результатом и выбрав 1, получим Амплитуды в этих двух интегралах совпадают на множестве ; следователь­ но, разность амплитуд можно представить как произведение гладкой функции на, и интегрирование по частям показывает, что разность интегралов дей­ ствительно есть () по сравнению с главным членом. Завершая вычисления, находим где J0 () — функция Бесселя нулевого порядка.

Мы видим, что канонический оператор на этом многообразии дает «иска­ женную» функцию Бесселя с множителем (||), стремящимся к единице при || и, что более важно, с фазовым сдвигом (1.41): для > 0 форму­ ла (1.45) имеет вид Если же в уравнении Гельмгольца (1.39) () = 1 при всех, то лагранжево многообразие 2 совпадает с многообразием (1.9), а асимптотическое решение превращается в точное, с точностью до постоянного множителя равное функции Бесселя J0 (||/).

1.3.2. Локализация волновых пучков Рассмотрим уравнение известное в оптике как уравнение параксиального приближения [89]. По суще­ ству уравнение (1.46) — это трехмерное уравнение Шрёдингера для свободной частицы, но с другим значением массы и с дополнительным членом первого по­ рядка, отвечающим дрейфу (сносу)3. Используя полученное в 1979 г. М. Берри и Н. Балажем [67] точное решение (где Ai() — функция Эйри, а > 0 — постоянная) одномерного уравнения Шрё­ дингера для свободной частицы, для уравнения 1.46 можно построить точные решения известные в оптике как пучки Эйри–Бесселя. Здесь J0 () — функция Бесселя нулевого порядка, а > 0 — постоянная. При +0 функция (1.49) локали­ зована в окрестности полупространства = { R3 : 3 2 2 /(2)}.

Точнее говоря, она экспоненциально убывает при +0 локально равномер­ но по вне, а внутри она осциллирует, причем 0 (, ) = (1), если не лежит в объединении плоскости {3 = 2 2 /(2)} и полупрямой {1 = 2 = 0, 3 2 2 /(2)} (именно для этого мы включили множитель 2/3 в определение функции 0 (, )), а максимум модуля |0 | достигается в «движущейся» точке (1 = 2 = 0, 3 = 2 2 /(2)), в которой |0 | 2/3.

С точки зрения физики недостатком как решения (1.47), так и решения (1.49) является то, что они не принадлежат пространству 2 ; иными словами, энергия соответствующих пучков бесконечна. Поэтому с точки зрения современ­ ной теории уравнений с частными производными функция (1.49) — обобщенное От этого дополнительного члена можно избавиться стандартной подстановкой (, 3, ) = (, 3, ). Отсюда ясно, что точно также можно рассмотреть более общее, чем (1.46), уравнение, в котором скорость дрейфа отлична от (но по-прежнему постоянна).

решение уравнения Шрёдингера (1.46) (см. [11, 13]). Для практического исполь­ зования нужно «обрезать» эти пучки на бесконечности. Покажем, как можно сделать это, используя формулы раздела 1.2 для канонического оператора Мас­ лова и одну теорему Хёрмандера [86] о свойствах быстроосциллирующих ин­ тегралов, сохранив при этом структуру, основанную на функциях Эйри и Бес­ селя. Именно, построим с помощью канонического оператора локализованное решение, соответствующее решению (1.49). Для этого скомбинируем двумерное лагранжево многообразие (1.9), отвечающее функции Бесселя J0, с одномерным лагранжевым многообразием, соответствующим функции Эйри. Пусть R6 — шестимерное фазовое пространство с координатами = (1, 2, 3 ), = (, 3 ).

В дальнейшем мы пользуемся обозначениями = (1, 2 ), = (1, 2 ). Выбе­ рем начальное многообразие 3 R6 в виде динаты 3, а — некоторое положительное число. Зафиксируем центральную точку на 3 с координатами (, 0, 0 ) = (+0, 0, 0), где 0 > 0.

Рассмотрим гамильтониан и соответствующий фазовый поток на фазовом пространстве R6. Действуя на многообразие 3 фазовым потоком, получаем семейство {3 = 3 } трехмерных лагранжевых многообразий где переменные (,, ) являются координатами на каждом из 3. При фикси­ рованном многообразие 3 диффеоморфно произведению двумерной плоско­ сти на окружность. Его также можно представить как расслоение, базой кото­ рого является парабола, а слоями — двумерные цилиндры. Проекция параболы на ось 3 — полуось, а проекция цилиндра — - две «склеенные» в одной точке плоскости. Поэтому проекция многообразия 3 на конфигурационное простран­ ство R3 представляет собой четыре «склеенные» движущиеся полупространства = {3 2 /(2)}. Пусть (,, ) — гладкая амплитуда на 3.

Лемма 1.6. Результат действия канонического оператора Маслова на мно­ гообразии 3 на функцию (,, ) может быть представлен в виде где функция (,,, ) дается формулой (1.55) ниже. Функция является асимптотическим решением уравнения Шрёдингера (1.46).

Доказательство. Воспользуемся формулами раздела 1.2. В качестве централь­ ной точки на 3 при любом возьмем точку с координатами (0, 0, 0 ) = (+0, 0, 0). Найдем сначала эйконал (фазу) :

где Приращение фазы вдоль траектории, состоящей из центральных точек, равно Перейдем к эйконал-координатам (,, ). «Старая» координата выражается через по формуле а якобиан — ее определитель — формулой Фокальные точки определяются из уравнений Решения уравнения (1.51) задают ось 3 — множество { = 0} — в R3. Уравне­ ние (1.52) определяет в полупространстве луч = { = 0, 3 * ()} и двумерную плоскость = {3 = * ()}, где * () 2 +. Таким образом, каустиками являются плоскость и луч. В точке = 0, 3 = * () (в которой пересекаются эти две каустики) матрица Якоби приобретает и имеет минимально возможный ранг, равный 1. Таким образом, точка = 0, 3 = * () является наиболее сильной фокальной точкой на 3. Определитель матрицы (,, ) равен Таким образом, многообразие 3 покрывается одной особой картой (которую обозначим через ), а канонический оператор определяется через интегрирова­ ние по и. Приведем соответствующие формулы, следуя разделу 1.2. Учи­ тывая, что (в силу глобальности карты ) влияние ее индекса Маслова на ре­ шение сводится к выбору постоянного унимодулярного множителя, мы этот множитель опустим. Найдем решение (,,, ) уравнения Отсюда Мы также можем написать Зададим меру = на 3. Из вида гамильтоновой системы выте­ кает, что мера ( )1* на 3 записывается в эйконал-координатах (,, ) на 3 точно таким же образом. так что канонический оператор Маслова можно записать в виде (1.38):

При этом, если амплитуда (,, ) не зависит от явно, то функция (1.56) представляет собой асимптотическое решение уравнения (1.46). Теперь, исполь­ зуя формулы (1.53), (1.54) и (1.55), получаем выражение (1.50).

1.3.3. Выражение через функции Эйри и Бесселя Используем одну теорему Хёрмандера для упрощения интеграла (1.56).

Напомним универсальную конструкцию из теории интегральных операторов Фурье [86], которая (будучи переформулирована для случая асимптотик по ма­ лому параметру ) предписывает следующее: чтобы построить быстроосцил­ лирующие функции, (локально) соответствующие данному лагранжеву много­ образию, нужно найти вещественнозначную невырожденную фазовую функ­ цию (, ), зависящую от параметров R ( 0) и задающую многооб­ разие в том смысле, что дифференциалы (, ), = 1,...,, линейно независимы на множестве и локально имеет место представление Тогда искомые быстроосциллирующие функции имеют вид с некоторой амплитудой (, ) — гладкой функцией с компактным по пере­ менной носителем.

Теорема 1.4 (ср. [86, теор. 3.2.1]). Пусть (, ) и 1 (, ) — две быстроос­ циллирующие функции вида (1.57) с одной и той же фазовой функцией и разными амплитудами (, ) и 1 (, ). Если (, ) = 1 (, ) на, то Далее, пусть 1 (, ), R1 и 2 (, ), R2 — две невырожденные фазо­ вые функции, задающие одно и то же лагранжево многообразие. Тогда со­ ответствующие быстроосциллирующие интегралы вида (1.57) задают один и тот же класс быстроосциллирующих функций4.

Возьмем аксиально-симметричную (не зависящую от переменной ) ам­ плитуду = (, ) на многообразии 3. Формула Хёрмандера утверждает, что ((,,, ), ) можно заменить другой гладкой функцией (,,, ), И можно явно выписать закон преобразования амплитуд при переходе от одного представления к другому, чего мы здесь не делаем.

совпадающей с нею на многообразии, и это приведет лишь к малой поправке в ответе. Мы изменим функцию в два этапа.

1. Положим 3 = 3 = 2 + + в (1.55). Это дает гладкую функцию Очевидно, функции ((,,, ), ) и ( (,, ), ) совпадают на, и мы можем использовать последнюю вместо первой в интеграле (1.56). Теперь пред­ ставим функцию ( (,,, ), ) в виде Первое слагаемое и второе слагаемое без множителя n(), суть четные функции от n(), и, стало быть, гладкие функции от n(), 2. Таким образом, мы можем заменить в них n(), 2 на 2, не меняя их значения на 3. В результате получим Это представление позволяет факторизовать интеграл (1.50) и воспользоваться следующими интегральными представлениями функций Бесселя J0 и J1 = J0 :

В итоге получаем где = | |. Положим и далее Используя формулы (1.58) и (1.59), после некоторых вычислений получаем сле­ дующее утверждение.

Теорема 1.5. Пусть (, ) — финитная функция и Тогда существует решение (, 3, ) уравнения (1.46) с ограниченной 2 -нормой, такое что при [0, ] выполнена оценка где и — не зависящие от постоянные.

Замечание. 1. Все коэффициенты в последней формуле — гладкие финитные функции переменных (, 3 ), а функция (, ) принадлежит пространству 2.

2. Последняя формула может быть представлена в виде где 0 — решение (1.49), а коэффициенты (, 3, ) — гладкие функции, фи­ нитные относительно 1, 2, 3.

3. Если амплитуда имеет вид (, ) = 1 ()2 (), то функция факто­ ризуется и может быть представлена в виде произведения 1 (3, )2 (, ).

4. Подчеркнем, что несмотря на достаточно громоздкое представление функций, их компьютерная реализация не представляет особого труда, и анализ зависимости функций (1.60) как от переменной, так и от параметров проводится с помощью программы Wolfram Mathematica5 очень оперативно, в режиме реального времени. Аналогичный анализ, основанный на вычислении быстроосциллирующих интегралов, занимает существенно больше времени (де­ сятки минут), а оперативное изменение параметров практически невозможно.

Wolfram Mathematica 9, www.wolfram.com.

Канонический оператор для уравнений, вырождающихся на границе области В данной главе рассматриваются результаты, полученные в серии ста­ тей [18, 42, 43, 72, 74], посвященных построению асимптотических (быстроос­ циллирующих и локализованных) решений волнового уравнения в области R, на гладкой границе которой скорость () распростра­ нения волн имеет вырождение порядка квадратного корня из расстояния до границы:

Такие уравнения возникают, например, при моделировании в линейном прибли­ жении наката на берег длинных волн, в частности, волн цунами (см. [52, 103] и цитированную там литературу). «Пространственная часть»

волнового оператора в (2.1) в терминологии из [51] представляет собой оператор второго порядка с неотрицательной характеристической формой в, причем определенная на границе функция Фикеры [51, с. 9] тождественно равна нулю, так что постановка корректной задачи для оператора в подходящих пространствах не требует классических граничных условий [83]. Соответствен­ но и задачу Коши для уравнения (2.1) нужно рассматривать без граничных условий на, а выбор конкретной самосопряженной реализации оператора в 2 () приходится описывать другим способом; физически естественным является условие конечности энергии, которое математически описывается как расширение по Фридрихсу [6, § 10.3] оператора с первоначальной области определения 0 ().

Отправной точкой для инициированных в [21] и проведенных в [18, 42, 43, 72, 74] исследований послужило важное наблюдение из [105] (где для одно­ мерного уравнения (2.1) в R+ = (0, ) были построены быстроосциллирующие асимптотические решения), что так как для таких уравнений решения соответ­ ствующей гамильтоновой системы уходят на бесконечность по импульсам за конечное время, одновременно выходя по переменным на границу области, то граница эта может в определенном смысле рассматриваться как каустика, и асимптотические решения в ее окрестности можно строить в соответствии с основной идеей канонического оператора Маслова [26, 39] в виде обратного преобразования Фурье от ВКБ-функции в импульсном представлении. (Отме­ тим, что используемая идея продолжения траекторий «через бесконечность»

чрезвычайно естественна и встречается в самых разных контекстах; см., напри­ мер, [87].) Разумеется, в силу некомпактности возникающих здесь лагранжевых многообразий «стандартный» канонический оператор Маслова непосредствен­ но применить нельзя, и его конструкцию приходится модифицировать (причем соответствующие условия регуляризации на бесконечности интегралов по им­ пульсам тесно связаны с выбором самосопряженной реализации оператора ).

На основе этой идеи в [21, 72] были получены локализованные асимптотиче­ ские решения одномерного уравнения (2.1) в = R+ со скоростью () = и удовлетворяющей условию (2.2) скоростью () общего вида соответственно, а в [18] она была реализована в двумерном случае для уравнения (2.1) в полуплос­ кости = R+ R со скоростью (1, 2 ) = 1. Во всех этих статьях рассмат­ ривались решения конечной энергии. В работе [42] асимптотические решения в одномерном случае были построены для нефридрихсовых самосопряженных расширений оператора. Наконец, в заметке [43] были даны адекватные геомет­ рические структуры для рассматриваемого круга задач. Именно, предъявлено фазовое пространство, отвечающее уравнению (2.1) с вырождением типа (2.2) в области произвольной размерности с гладкой границей. Это фазовое пространство не совпадает с кокасательным расслоением *, а содержит его как плотное открытое подмножество, и траектории гамильтоновой системы в на бесконечность не уходят. Для завершения теории оставалось построить кано­ нический оператор Маслова на лагранжевых многообразиях в. Частично это было сделано в [74] для случая, когда = 2, а инвариантно относительно отвечающего уравнению (2.1) гамильтонова векторного поля, и на основе этих результатов были получены асимптотические решения с конечной энергией за­ дачи Коши для двумерного уравнения (2.1) с локализованными начальными данными. В статье [45] построен канонический оператор Маслова на лагран­ жевом многообразии в в общем случае ( произвольно, инвариантность многообразия относительно гамильтонова векторного поля не требуется). От­ метим, что формулы из [45] являются новыми и для ситуаций, рассмотренных в [18, 72, 74]. Именно, в указанных работах канонический оператор в картах, отвечающих окрестности границы, задается несобственными интегралами, которые при сходятся лишь в смысле главного значения по Коши. В статье [45] определение канонического оператора в каждой из карт оно включа­ ет лишь интегрирование гладкой функции с компактным носителем, что как с практической, так и с теоретической точки зрения является несомненным пре­ имуществом.

Описанные результаты позволяют строить быстроосциллирующие асимп­ тотические решения конечной энергии для уравнения (2.1). Переход в задаче Коши от быстроосциллирующих решений к решениям с локализованными на­ чальными данными осуществляется на основе результатов из [22, 46]. Задача Коши с локализованными правыми частями сводится к задаче Коши с локали­ зованными начальными данными с помощью хорошо известного принципа Дюа­ меля. При этом, используя локализованность правой части, вычисления удается значительно упростить на основе операторного метода Маслова [27]; это было сделано в [73]. Исследовать близость асимптотических решений к точным можно методом интегралов энергии (см., например, [12, с. 480] и в абстракт­ ной формулировке [6, § 8.2, теорема 5]); отметим, что быстроосциллирующие функции, доставляемые каноническим оператором, бесконечно дифференциру­ емы в, а следовательно (см., например, [18, предложения 1, 2 и теорема 1];

рассуждения в общем случае аналогичны), удовлетворяют условию конечности энергии и лежат в области определения волнового оператора.

В данной главе представлены результаты, полученные лично автором. Ос­ новные результаты опубликованы в [18, 42, 43, 45, 46, 71–74, 95] Изложение следует работам [42, 43, 45, 46, 73, 74, 95].

2.1. Пример: одномерный случай Рассмотрим сначала простой одномерный пример, следуя статье [42].

Для волнового уравнения с гладкой скоростью (), стабилизирующейся на бесконечности к постоянной > 0, а при = 0 вырождающейся так, что () = (), где функция () — гладкая и строго положительная вплоть до точки = 0, рассмотрим задачу Коши с сосредоточенными вблизи точки = 1 начальными условиями Здесь (), R — гладкая финитная вещественная функция, а — ма­ лый положительный параметр. Задача (2.3), (2.4) возникает при линеаризации одномерных уравнений мелкой воды и хорошо известна в т. н. теории наката (см., напр., [52, 103] и цитированную там литературу). С математической точки зрения быстроосциллирующие асимптотические решения уравнения (2.3) изу­ чались в [105], асимптотика при 0 решения задачи (2.3), (2.4) была постро­ ена в [21, 72], а ее двумерного аналога со скоростью (1, 2 ) = 1 — в [18].

Пространственная часть волнового оператора в уравнении (2.3) определялась в [18, 21, 72, 105] как расширение по Фридрихсу оператора = 2 (), заданного на 0 (R+ ), что отвечает физически естественному условию конеч­ ности интеграла энергии [6, 12]. Однако у имеются и другие самосопряженные расширения.

2.1.1. Самосопряженные расширения оператора и задача Коши Оператор с областью определения 0 (R+ ) в пространстве 2 (R+ ) сим­ метричен, положителен и имеет индексы дефекта (1, 1). Все его самосопряжен­ ные расширения могут быть описаны следующим образом (см., напр., [72, тео­ рема 1 и замечание 2]):

Предложение 2.1. Пусть, [0, ) — линейное многообразие гладких функций (), R+, таких, что () = 0 при достаточно больших и справедливо представление () = ln + (), где () — гладкая функция на замкнутой полуоси R+, причем cos + (0) sin = 0. Тогда оператор, опреде­ ляемый дифференциальным выражением на, существенно самосопряжен в 2 (R+ ), и соответствующие замыкания — самосопряженные операторы — при различных различны и исчерпывают все возможные самосопряжен­ ные расширения оператора c 0 (R+ ). Все операторы полуограничены снизу, т. е. (, ) 2, ( ), с некоторой постоянной, где · и (·, ·) — соответственно норма и скалярное произведение в 2 (R+ ).

Расширению по Фридрихсу отвечает значение = 0.

Зафиксируем [0, ). Через (2.3 ) обозначим уравнение (2.3), в котором волновой оператор определен как 2 +, и рассмотрим задачу Коши (2.3 ), (2.4). Пусть ([0, ]) — пространство функций 2 ([0, ]; 2 (R+ )), таких, что () ( ) при каждом [0, ] и ([0, ]; 2 (R+ )). Сильным решением задачи Коши (2.3 ), (2.4) называется функция ([0, ]), удовле­ творяющая уравнению (2.3 ) и начальным условиям (2.4) (см. [6, п. 8.2]). Для ( ) определим энергетическую норму формулой Предложение 2.2. Для любого ([0, ]) выполнено энергетическое нера­ венство где () — не зависящая от непрерывная функция. В частности, задача Коши (2.3 ), (2.4) корректна в норме (2.5).

2.1.2. Задача об асимптотике и ее редукция к случаю хотим найти такую функцию = (·, ) ([0, ]), что Следуя [72, 77], сведем построение асимптотики решения при 0 к построению некоторых быстроосциллирующих решений уравнения (2.3 ). Пусть () — гладкая вещественная функция, такая, что (1) = 0 и (1) = 0, и пусть () 0 (R+ ), () = 1 в окрестности точки = 1 и () = 0 вне достаточно малой окрестности точки = 1. Далее, пусть (, ) = () 2 () (1)/2, и пусть (, ) = (2)1 (, ) — преобразование Фурье функции (, ).

Предложение 2.3. Выполнено соотношение Рассмотрим задачу Коши с быстроосциллирующими начальными данны­ ми ( 0) Предложение 2.4. Пусть = (·, ) ([0, ]) — асимптотическое решение задачи (2.9) с точностью (2 ), т. е. начальные условия в (2.9) вы­ полнены для в точности, а [(2 + ) ](, ) = (2 ) равномерно по подмножества R+. Более тонкие поточечные оценки будут даны в подробной публикации.

[0, ]. Тогда функция удовлетворяет оценке (2.7), т. е. является асимптотикой решения задачи Коши (2.3 ), (2.4).

лу (2.4), (2.8) и (2.9), и остается применить предложение 2.2.

2.1.3. Канонический оператор для задачи (2.9) Асимптотическое решение задачи (2.9) при малых выражается че­ рез канонический оператор Маслова [39, 41] на лагранжевых многообразиях, получаемых сдвигом начального многообразия { = ()} на время ± вдоль траекторий системы Гамильтона = () sign, = ()||, отвечающей гамильтониану (, ) = ()||. (Проще всего, пользуясь свободой в выбо­ ре функции (), взять начальное многообразие, инвариантное относительно системы Гамильтона. Тогда решение при разных выражается через канони­ ческий оператор на одном и том же лагранжевом многообразии.) Однако при больших конструкция канонического оператора из [39, 41] в данной задаче не применима, поскольку траектории этой системы уходят на бесконечность по импульсу за конечное время (одновременно заходя по координате в точ­ ку вырождения = 0), и как только волна доходит до точки = 0, носитель функции, к которой следовало бы применить канонический оператор, становит­ ся некомпактным. Таким образом, определение канонического оператора необ­ ходимо расширить, причем так, что получающиеся в результате его примене­ ния функции будут принадлежать области определения ( ) оператора.

Для = 0 соответствующее определение канонического оператора было дано в [21, 72, 105], здесь же мы не предполагаем, что = 0. Для упрощения формул всюду далее считаем, что (1) = (0) = 1.

многообразие является линией уровня гамильтониана ( = {(, ) : (, ) = 1}), а каждая из его компонент ± — траекторией гамильтонова векторного по­ ля. В качестве глобальной координаты на возьмем время вдоль траектории, считая, что момент времени = 0 соответствует уходу траектории в бесконечно ветствует +, а нижний — ), и координата изменяется на полуоси (0, ) для + и полуоси (, 0) для. Через 0 () обозначим пространство кусоч­ но гладких функций ( ) с компактным носителем, гладких при = 0. Таким образом, сужения функции 0 () на ± суть финитные гладкие функции на [0, ) и (, 0] соответственно.

Определим на канонический оператор. Для этого покроем канониче­ скими картами + = { > 0 }, = { < 0 } с канонической координатой («неособые» карты) и + = {0 < < 20 }, = {0 > > 20 } с канониче­ ской координатой («особые» карты). Здесь 0 > 0 — достаточно малое число.

Фазы (действия) и якобианы в канонических картах задаются формулами (в правых частях которых,, понимаются как функции на, выраженные че­ рез каноническую координату в соответствующей карте) При этом + (1) = 0, + (1) = 1, + (0) = (0). Аргументы якобианов выберем по правилу arg + () = 0, arg + () =, arg () = arg () =. Через 0 (± )(= 0 (± )) и 0 (± ) обозначим пространства функций из 0 () с носителями в соответствующих канонических картах. Определим локальные канонические операторы где ветви квадратных корней из якобианов выбираются в соответствии с за­ фиксированными выше значениями аргумента, а несобственные интегралы во второй строке понимаются как осцилляторные интегралы [60, § 7.8]. Далее, опре­ делим канонический оператор где 1 = + + ++ + — разбиение единицы в 0 (), подчиненное покрытию многообразия картами ±, ±.

Теорема 2.1. Пусть 0 (). Тогда ± = () ln + (, ), где функция (, ) непрерывна при = 0 и выполнены соотношения где () = 2 + 2 ln, — постоянная Эйлера, — дифференциальные операторы порядка не выше, а нижние индексы ± у и обозначают предельные значения справа и слева при = 0.

пространство функций 0 (), зависящих от так, что они равномерно по ограничены вместе со всеми производными и () = ( ). Пусть 0 () 0 (R+ ), 0 (0) = 1. Положим Тогда ( ) в силу теоремы 2.1 и определения оператора. Далее, из теоремы 2.1 вытекает, что функция (, ), имеющая асимптотическое разложе­ ние, где функции 0 () сами зависят от, но равномерно по ограничены вместе с производными, принадлежит пространству (), ес­ ли скачки функций при = 0 удовлетворяют рекурсивной цепочке условий сопряжения = 1, 2,..., где () зависит только от значений функций 0,..., 1 и их производных порядка не выше при = 0 и равномерно ограничено по. Дальнейшее построение быстроосциллирующих асимптотических решений задачи (2.9) следует стандартной схеме [26, 39], используемой при применении канонического оператора (для случая = 0 она был реализована в [72]), и мы опускаем соответствующие рассуждения.

Далее мы рассматриваем общий многомерный случай и будем интересо­ ваться только случаем расширения по Фридрихсу, как представляющим наи­ больший интерес с физической точки зрения (решения конечной энергии).

2.2. Операторы, вырождающиеся на границе 2.2.1. Класс операторов DEG Пусть R — конечная область с гладкой границей. Будем рассмат­ ривать в дифференциальные операторы второго порядка где () = (), () и () — гладкие функции в замыкании области.

Имея в виду в дальнейшем построение быстроосциллирующих асимптотических решений с малым параметром 0, перепишем оператор в терминах опе­ раторов для чего умножим его на 2. Произведение = 2 имеет вид Нас будут интересовать операторы (2.11), вырождающиеся на вполне опре­ деленным образом. Пусть () — определяющая функция границы, т. е.

Далее, пусть Vect — алгебра Ли гладких векторных полей в ;

Vect Vect — подалгебра Ли полей, всюду касательных к.

Элементы из Vect можно охарактеризовать следующим образом: поле Vect принадлежит Vect, если Определение 2.1. Будем говорить, что оператор (2.11) в области принадле­ жит классу DEG, если его можно представить для некоторых, в виде 2.2.2. Преобразования Фурье и Ганкеля В определении шкалы гильбертовых пространств, в которых будут рас­ сматриваться операторы класса DEG и в других дальнейших построениях ис­ пользуются преобразование Фурье и преобразование Ганкеля нулевого порядка.

Выпишем их в интересующей нас нормировке, включающей малый параметр, и заодно введем обозначения, которыми будем в дальнейшем пользоваться. Пря­ мое и обратное преобразование Фурье определяются в одномерном случае фор­ мулами Прямое и обратное преобразование Ганкеля действуют на функции на полуоси [0, ) и задаются формулами (ср. [4, с. 11]):

где [7, с. 29, формула (5)] — функция Бесселя нулевого порядка. Напомним свойства преобразования Ган­ (равенство Парсеваля) и Кроме того, непосредственное вычисление показывает, что ядро преобразования Ганкеля удовлетворяет оценкам Нам потребуются также преобразование Фурье в многомерном случае. Пусть подмножество, а — дополнительное подмножество. Преобразование Фурье по переменным = { } определяется как произведение соответствующих одномерных преобра­ зований Фурье:

где || — число элементов во множестве, и т.д. Наконец, для функций на полуплоскости мы определим преобразование Ганкеля–Фурье, где {2,..., }, а как композицию преобразования Ганкеля по переменной 1 и преобразования Фурье по переменным, :

Если =, то вместо пишем просто или, а вместо — 2.2.3. Функциональные пространства H () Введем основные функциональные пространства, в которых будут изучать­ ся вырожденные уравнения и в которые будет действовать канонический опера­ тор. Поскольку речь идет о быстроосциллирующих (или локализованных) ре­ шениях, естественно, что нормы в этих пространствах будут зависеть от малого параметра (0, 1], неформально говоря, определяющего «скорость» осцилля­ ций или убывания.

(a) Пусть = R. Определим тогда H (R ) = (R ) как обычное простран­ ство Соболева с параметром, в котором норма задается формулой где — оператор Лапласа в R.

(b) Пусть = R { R : 1 > 0}. Стандартным образом [59, § IV.9] введем гильбертову шкалу {H (R )}, ассоциированную с оператором 1 2 1, где — самосопряженный оператор в 2 (R ), полученный расширением по Фридрих­ су с множества 0 (R ) на (можно показать, что в данном случае расширение совпадает с замыканием c 0 (R+ )). Норма в H (R ) имеет вид или, с учетом свойств преобразований Фурье и Ганкеля, (c) Пусть теперь R — конечная область с гладкой границей, а — разбиение единицы на замыкании области, подчиненное конечному от­ крытому покрытию такому что 0 и для каждого = 1,..., существуют локальные коор­ динаты = (1,..., ) в, в которых пересечение задается неравен­ ством 1 > 0. Распределение () принадлежит пространству H (), если 0 H (R ) и H (R ) (в соответствующих координатах (1,..., )) для каждого = 1,...,. Положим где каждая из норм в правой части определяется в соответствующих локальных координатах формулой (2.17) (при = 0) или (2.18) (при > 0).

Стандартными средствами доказывается Предложение 2.5. Пространство H () гильбертово и (с точностью до эк­ вивалентности норм с константами, не зависящими от параметра ) не зависит от выбора покрытия { } и разбиения единицы { }. Множество () плотно в каждом из пространств H (). Кроме того, H0 () = 2 (), и для любого компакта норма (2.20) при supp эквивалентна стандартной соболевской норме (2.17) пространства (R ).

Определение 2.2. Пусть () = (, ) (). Будем писать = ( ), если = ( ) для любого R.

Следующее утверждение, доказательство которого вполне аналогично до­ казательству непрерывности дифференциальных операторов в обычных про­ странствах Соболева, объясняет выбор пространств H () в качестве тех функ­ циональных пространств, в которых предполагается изучать вырождающиеся на границе операторы.

Предложение 2.6. Если DEG, то при каждом верна оценка с постоянной, не зависящей от. Таким образом, оператор продолжа­ ется по непрерывности до ограниченного оператора из H+2 () в H () для всех.

2.2.4. Вырождающиеся уравнения волнового типа Важные примеры операторов из DEG возникают из уравнений волнового типа с вырождением на границе. В области рассмотрим более общее, чем (2.1), вырождающееся уравнение где () как и выше, определяющая функция границы, а () — гладкие функции в, причем матрица () = ( ()) — симметрическая, вещественная и строго положительно определена при всех. Уравнение (2.1) получается, если в уравнении (2.21) положить () = и () = 2 (). Обозначим Тогда DEG. Действительно, Как уже указывалось во введении к этой главе, граничные условия на в классическом смысле для уравнения (2.21) не нужны, однако необходимо опи­ сать область определения оператора в левой части уравнения (2.21). Пусть () = 1/2 () — положительный квадратный корень из положительной мат­ рицы (), () — элементы матрицы (). Через обозначим оператор, полученный как замыкание оператора, заданного на обла­ сти определения 0 () выражением Положим = *.

Предложение 2.7. Оператор является расширением по Фридрихсу опера­ тора, задаваемого на 0 () дифференциальным выражением. Его область определения () содержит пространство () гладких функций в замы­ кании области. Кроме того, Доказательство. Первое и последнее утверждения очевидны, так как (, ) = (, ) для, 0 () и, следовательно, область определения замыкания формы (, ) совпадает с ( ). Докажем, что () (). Введем функ­ цию [18, с. 75] при (2, /2). Пусть (). Положим () = (())(). Тогда 0 (), и аналогично [18, с. 75–76] показывается, что и t t Если теперь 0 (), то интегрирование по частям показывает, что (где d* и t* — формально сопряженные к d и t соответственно), откуда немед­ Следствие 2.1. Справедливо включение H2 () ().

2.3. Фазовое пространство Для конечной области R с гладкой границей введем фазовое пространство, ассоциированное с уравнениями, вырождающимися на грани­ це [43, 45, 95].

2.3.1. Определение пространства и его инвариантность Пусть 0 R {0} — кокасательное расслоение области с выбро­ шенным нулевым сечением, снабженное каноническими формами Раздутое фазовое пространство строится следующим образом. Пусть () — определяющая функция границы, т. е. выполнены условия (2.12). Возьмем достаточно малую воротниковую окрестность границы в, и пусть () — векторное поле в такое, что Рассмотрим прямое произведение * R (0, ) с координатами и оснастим его симплектической формой Лемма 2.1 ([43, лемма 1]). Подмножество * R (0, ), задаваемое уравнениями представляет собой гладкое 2-мерное симплектическое многообразие (отно­ сительно сужения формы 2 ), а его подмножество, выделяемое до­ полнительным уравнением = 0, представляет собой гладкое подмногообра­ зие коразмерности 1 в.

Доказательство. Обозначим 1 = (),, 2 = () 2 и вычислим скоб­ ку Пуассона этих функций: {1, 2 } = 1. Значит, их дифференциалы линейно независимы, так что уравнения 1 = 2 = 0 определяют гладкое подмного­ образие. Кроме того, отсюда же следует, что ограничение симплектической формы 2 на невырожденно (см. п. Г доказательства теоремы Дарбу в [2, §43, с. 202]). Наконец, при = 0 множитель при в разложениях дифферен­ циалов 1 и 2 по дифференциалам координат нулевой, так что ограничение дифференциала на невырождено, откуда следует последнее утверждение леммы 2.1.

Лемма 2.2. Пусть = и 0 = {(, ) 0 : (), = 0}. Отобра­ жение есть корректно определенный симплектоморфизм на свой образ 0 0.

Доказательство. Имеем, а так как = 0 вне, то () = 2 > 0 и соответственно, так что =, и мы доказали, что отображение (2.22) корректно определено. Далее, так что образ отображения лежит в 0 0. Образ отображения задаваемого формулой лежит в. Действительно, Непосредственное вычисление показывает, что оно является двусторонним об­ ратным к и что переводит ограничение формы 2 на в стандартную симплектическую форму 2 на 0 0.

Фазовое пространство получается из и 0 склейкой по построенно­ му выше отображению. Несложные выкладки показывают, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2 ([43, предложения 1–3]; [45, теорема 1]). Множество получающееся из дизъюнктного объединения 0 отождествлением то­ чек, связанных отображением, наделено естественной структурой гладко­ го симплектического многообразия, при которой вложения и 0 суть симплектоморфизмы на свои образы. Более того, = 0, причем 0 — открытое всюду плотное подмногообразие, а = — подмногообра­ зие размерности 2 1. Конструкция пространства естественна: если и 2 — два разных пространства, полученных из 0 такой конструкцией, то тождественное отображение продолжается по непрерывности до симплектоморфизма многообразия на 2.

Предложение 2.8. Каноническая 1-форма 1 = на 0 гладким образом продолжается на.

Доказательство. Действительно, в окрестности точек из ее можно задать формулой Таким образом, — точное симплектическое пространство (т. е. симплек­ тическая форма имеет на нем глобально определенную первообразную).

2.3.2. Связь фазового пространства с операторами класса Оказывается, что построенное нами фазовое пространство весьма есте­ ственно с точки зрения класса DEG вырождающихся операторов. Чтобы уви­ деть это, покажем, как можно охарактеризовать операторы класса DEG в терминах их символов. Запишем оператор (2.11) в виде где (, ) = 0 (, ) 1 (, ), номера над операторами, согласно [27], обозначают порядок их действия, и Определение 2.3 (см., например, [61, с. 116–117]). Функции называются соответственно главным и субглавным символом оператора.

Замечание. Заметим, что в рассматриваемой ситуации сужение субглавного символа на границу совпадает с функцией Фикеры [51, с. 9].

Предложение 2.9 ([45, предложение 3]). Оператор вида (2.11) принадле­ жит классу DEG тогда и только тогда, когда его главный и субглавный символы продолжаются по непрерывности до гладких функций на фазовом пространстве.

Отсюда легко следует, в частности, что отвечающий уравнению (2.21) га­ мильтониан [43, формула (2)] где, = =1, продолжается до гладкой функции на, так что соответ­ ствующая система Гамильтона, которая в координатах пространства 0 имеет продолжается до гладкой системы обыкновенных дифференциальных уравне­ ний на.

Теорема 2.3 ([43, предложение 4]). Все траектории указанной системы Га­ мильтона на (которые содержат траектории исходной системы (2.26) в качестве подынтервалов) неограниченно продолжаются вперед и назад по вре­ мени.

2.3.3. Канонические локальные координаты на вблизи Конструкция п. 2.3.1, будучи применена локально, дает удобные локаль­ ные координаты на в окрестности произвольной точки «подмногообразия на бесконечности». Именно, возьмем произвольную точку границы.

В окрестности этой точки определяющую функцию границы (при необходи­ мости перенумеровывая координаты и меняя знак координаты 1 ) можно за­ писать в виде () = 1 ( ), где ( ) — гладкая функция переменных = (2,..., ), а векторное поле взять равным () = (1, 0,..., 0). Тогда множество над такой окрестностью задается уравнениями и в качестве локальных координат на (и, следовательно, на ) в окрестно­ сти соответствующих точек из можно взять (,,, ). Еще более про­ стая картина получается, если вместо координаты 1 взять 1 = 1 ( ), а остальные координаты оставить без изменения. В новых локальных координа­ тах (1, ) = (1, 2,..., ), в которых область задается уравнением 1 > 0, 1 будет двойственным импульсом к 1, а переменные — двойственными импульсами к 2,...,. Замена переменных, дающая локаль­ ные координаты в окрестности, имеет вид а = (2,..., ) и = (2,..., ) остаются без изменений. Многообразие описывается в этих координатах уравнением = 0, а фундаментальные формы имеют вид 2.4. Лагранжевы многообразия в и сопутствующие 2.4.1. Лагранжево многообразие Под лагранжевым многообразием в фазовом пространстве мы будем понимать гладкое отображение : гладкого -мерного многообразия в, удовлетворяющее следующим условиям:

1. Отображение — локальный диффеоморфизм на образ (т. е. производное отображение * инъективно).

2. Справедливо соотношение * ( ) = 0 (лагранжевость).

Таким образом, мы не налагаем условие, что является вложенным подмного­ образием в ; впрочем, это условие и не является необходимым для построения канонического оператора. Тем не менее, локально мы будем для удобства отож­ дествлять с его образом в.

Через будем обозначать точки на, а также локальные координаты = (1,..., ) на. Это не приведет к недоразумениям. Отображение будем задавать функциями = (), = () при = 1 или функциями 2.4.2. Мера, канонические карты и якобианы Мера. Многообразие будем считать ориентируемым. Пусть на задана мера — гладкая форма объема. Для упрощения формул будем использовать только системы координат = (1,..., ) на, согласованные с ориентацией Введем теперь на канонические карты и соответствующие координаты.

Стандартные канонические карты. Пусть 0. Тогда точка (0 ) лежит в 0, в качестве канонических координат на в ее окрестно­ сти можно взять (, ), и в окрестности точки 0 на можно пользовать­ ся стандартной теорией канонического оператора [26, 39, 41]. Напомним кон­ струкцию соответствующих канонических карт и якобианов. По лемме о ло­ кальных координатах [1, лемма 3.3.1] существует такое (возможно, пустое) под­ множество = {1,..., } {1,..., }, что набор функций ( (), ()) = можно взять в качестве локальных координат на в некоторой окрестности точки 0. Иными словами, якобиан отличен от нуля в окрестности точки, и уравнения = (), = () однозначно разрешимы относительно в окрестности точки (0, 0, 0 ), где 0 = (0 ), 0 = (0 ): = (, ). Окрестность, снабженная такими координатами (, ), называется канонической картой типа ; для краткости мы будем обозначать ее через. Чтобы зафиксировать правильным образом знаки якобианов, внешних произведений и т. п., условимся, что в наборах типа (, ) координаты всегда упорядочиваются по возрастанию индексов. Иными словами Аналогично, = 1 · · ·. В этих обозначениях для меры в карте имеем выражение (Такая вольность в обозначениях не приведет к недоразумениям.) Канониче­ ская карта, для которой =, называется неособой, и соответствующий якобиан обозначается просто через ().

Нестандартные канонические карты. Пусть теперь 0. В окрест­ ности такой точки стандартная теория канонического оператора неприменима.

Определим канонические карты в окрестности точки 0 для этого случая. Рас­ смотрим точку 0 = (0 ). Существует такой индекс {1,..., }, что в окрестности точки 0 область задается неравенством где ( ) — гладкая функция переменных = (1,..., 1, +1,..., ). В ка­ честве канонических координат на в окрестности точки (0 ) можно взять переменные (,,, ), связанные вне со стандартными каноническими координатами (, ) заменой переменных (ср. п. 2.3.3) в случае (a) и в случае (b). Поскольку симплектическая форма в координатах (,,, ) име­ ет вид 2 = +, мы можем опять применить лемму о локальных координатах [1, лемма 3.3.1] и заключить, что существует такое подмножество или где на сей раз = {1,..., 1, + 1,..., }, образует систему локальных координат на в окрестности точки 0. Карту с координатами (,, ) будем обозначать через и называть нестандартной канонической картой типа (, ), а карту с координатами (,, ) — через и называть нестан­ дартной канонической картой типа (, ). Соответствующие якобианы обо­ значим через соответственно.

Канонический атлас. Для дальнейшего зафиксируем какое-либо локально конечное покрытие многообразия каноническими картами такое, что сами канонические карты и все их пересечения стягиваемы; это покрытие будем на­ зывать каноническим атласом.

2.4.3. Действие в канонических картах Поскольку 1 = 2, а * 2 = 0, форма * 1 локально точна на ; решение () уравнения Пфаффа будем называть эйконалом на. Эйконал определен лишь локально и с точно­ стью до аддитивной константы.

Предполагая, что в каждой карте канонического атласа эйконал () за­ фиксирован каким-либо (вообще говоря, своим для каждой карты) образом, определим в этих картах действия, полагая где снова использованы обозначения вида 2.5. Канонический оператор 2.5.1. Локальный канонический оператор Зафиксируем каким-либо образом в канонических картах аргументы соот­ ветствующих якобианов и определим локальные канонические операторы сле­ дующими формулами.

Канонический оператор в карте. В стандартной канонической кар­ те локальный канонический оператор : 0 ( ) () определяется стандартной формулой [26, 39, 41] (В неособой карте ( = ) интеграл по отсутствует. Мы опускаем аналогич­ ные замечания ниже.) Канонический оператор в карте. В карте локальный канониче­ ский оператор : 0 ( ) () определим формулой в случае (a) и в случае (b). Отметим, что поскольку supp компактен и лежит в, инте­ грирование по в (2.28) и (2.29) в действительности происходит по некоторому конечному промежутку [1, 2 ], причем 1 > 0.

оператор : 0 ( ) () определим формулой в случае (a) и в случае (b). Здесь 0 (R+ ) — срезающая функция такая, что (()) = В предыдущих двух абзацах — индекс, использованный в п. 2.4.2 при определении канонических координат в картах и.

Альтернативные выражения для локального канонического операто­ ра в нестандартных картах. Выражения для канонического оператора в нестандартных канонических картах можно переписать в значительно более коротком виде, используя обозначение преобразования Ганкеля–Фурье, если с помощью замены переменной ±( ( ), перейти к случаю, когда об­ ласть локально задается неравенством > 0. Выпишем соответствующие формула для случая, когда = 1. В карте локальный канонический опера­ тор : 0 ( ) () задается формулой а локальный канонический оператор : 0 ( ) () в карте — формулой Для дальнейшего каким-либо образом пронумеруем канонические карты индексом и будем обозначать их через, соответствующий канонический оператор через, а эйконал в карте — через.

Действие канонического оператора в пространства H. Из представле­ ния локальных канонических операторов через преобразования Фурье и Ган­ келя–Фурье немедленно вытекает следующая теорема.

Теорема 2.4. Пусть 0 ( ). Тогда H () для любого R, и с постоянными, не зависящими от при 0.

Локальная формула коммутации. Установим теперь, каким образом опе­ раторы из DEG действуют на функции, представимые каноническим опера­ тором.

Теорема 2.5. Пусть DEG. Тогда в карте существует последова­ тельность дифференциальных операторов порядка, = 0, 1, 2,..., та­ ких, что для любого 0 и любой функции 0 ( ). Кроме того, а если многообразие инвариантно относительно гамильтонова векторного поля, соответствующего гамильтониану = (), то где / — производная вдоль гамильтонова векторного поля, отвечающего га­ мильтониану.

Доказательство. Доказательство этого факта для локальных канонических операторов в стандартных канонических картах хорошо известно (см., напри­ мер, [39, гл. 1, § 8]). Вычисление для нестандартных карт основано на подстанов­ ке представления (2.13) в формулы для локальных канонических операторов, в результате которой действие локального канонического оператора на функцию описывается осциллирующим интегралом специального вида, и дальнейших до­ вольно громоздких вычислений в духе теоремы Хёрмандера 1.4.

2.5.2. Глобальное определение канонического оператора Сравнение локальных канонических операторов. Стандартным мето­ дом с использованием метода стационарной фазы доказывается следующая тео­ рема.

Теорема 2.6. Пусть =. Существует такая последовательность дифференциальных операторов (), = 1, 2,..., в, что для любого 0 и любой функции 0 ( ), где а Z зависит от выбора аргументов якобианов в определении локальных канонических операторов и.

Условие квантования и глобализация. Предположим теперь, что выпол­ нено условие квантования: класс когомологий многообразия с коэффициен­ тами в R/(2Z), определяемый коциклом покрытия { }, тривиален. Тогда, умножая каждый из операторов на посто­ янный унимодулярный множитель, можно добиться того, чтобы для любых и. Пусть { ()} — гладкое разбиение единицы на, подчинен­ ное каноническому покрытию { }. Определим канонический оператор на формулой Теорема 2.7. Канонический оператор (2.34) с точностью до () не зависит от выбора разбиения единицы. Для DEG справедлива формула комму­ тации где — дифференциальные операторы порядка, причем а если многообразие инвариантно относительно гамильтонова векторного поля, соответствующего гамильтониану = (), то где / — производная вдоль гамильтонова векторного поля, отвечающего га­ мильтониану.

Доказательство. Теорема 2.7 стандартным образом [39, теорема 9.3, с. 179] вытекает из теоремы 2.6 и теоремы о коммутации 2.5 для локальных канони­ ческих операторов с учетом того факта, что фазовые множителе подобраны так, чтобы в главном члене локальные канонические операторы совпадали на пересечениях карт.

Формулы коммутации дают возможность использовать канонический опе­ ратор для построения решений уравнений, операторы в которых принадлежат классу DEG.

2.6. Быстроосциллирующие и локализованные решения Локализованные источники в задачах распространения волн естественно описывать функциями вида (/), где = (1,..., ) — пространственная переменная, > 0 — малый параметр, а функция () «достаточно быстро»

убывает на бесконечности. При построении асимптотических решений уравне­ ний в частных производных с такими начальными данными или правыми ча­ стями удобно представить функцию (/) с помощью канонического опера­ тора Маслова [39] на некотором лагранжевом многообразии, поскольку такое представление дает возможность воспользоваться хорошо разработанными ме­ тодами квазиклассического приближения. Как отмечалось в [22], простейшее выражение этого типа в виде обратного преобразования Фурье которое использовалось, например, в [15] и которое есть не что иное, как при­ мененный к функции () канонический оператор Маслова на лагранжевой плоскости = {(, ) R2 : = 0}, не особенно эффективно в задачах, для которых соответствующий классический гамильтониан (как, например, гамиль­ тониан (, ) = ()||, отвечающий волновому уравнению) имеет на ней осо­ бенность (при = 0). В двумерном случае ( = 2) представление, основанное на избегающем эту особенность лагранжевом многообразии где n() = (cos, sin ), пробегает вещественную прямую R, а — окруж­ ность S1, появилось в [20, 68, 99] и было доказано в [22]. Оно задается интегра­ по параметру, где 2 — канонический оператор с малым параметром > в окрестности нуля, и было применено в ряде последующих работ (см. напри­ мер, [76, 78]).

Замечание 2.1. Отметим, что лагранжево многообразие 0 диффеоморфно двумерному цилиндру R S1, и его проекция на -плоскость представляет собой двулистное накрытие, разветвляющееся над точкой = 0, в которую проектируется целая окружность 1 = {(, ) R4 : = 0, || = 1}, целиком состоящая из фокальных точек, так что это лагранжево многообразие (как и рассматриваемые ниже более общие многообразия) не находится в общем по­ ложении и соответственно не охватывается теорией катастроф (см., например, [3]). Канонический оператор Маслова на 0 интересен и сам по себе, без всякой связи с интегральным представлением (2.38). Так, действие его на функцию, тождественно равную единице, приводит к функции Бесселя нулевого поряд­ ка [17].

При использовании представлений, подобных (2.38), в задаче Коши вы­ числения значительно упрощаются, если вместо 2 использовать лагранжево многообразие 2, также проходящее через окружность 1, но при этом еще и ин­ вариантное относительно гамильтонова векторного поля, соответствующего га­ мильтониану задачи. По-видимому, впервые возможность такой замены в пред­ ставлении (2.38) была обнаружена (в одномерной ситуации) в [77, Lemma 4]. В дальнейшем, уже в двумерной ситуации, представление (2.38) с заменой 2 на 2 было анонсировано в [72, теорема 2] и [74, Proposition 1].

В данном разделе мы доказываем это представление. С неформальной точ­ ки зрения ситуация проста. Рассмотрим правую часть формулы (2.38) (с заме­ ной 2 на 2 ) как осциллирующий интеграл. Фундаментальное свойство та­ ких интегралов (первоначально явно сформулированное для случая интеграль­ ных распределений Фурье Хёрмандером [62, Theorem 3.2.1]) состоит в том, что класс задаваемых ими функций при фиксированной фазовой функции полно­ стью определяется соответствующим последней лагранжевым многообразием.

Нетрудно убедиться, что это лагранжево многообразие в данном случае есть в точности (какое бы подходящее 2 ни взять), откуда следует, что рассмат­ риваемое представление эквивалентно представлению (2.35) через преобразо­ вание Фурье — остается только проверить правильность выбора амплитудной функции.

Строгая математическая реализация этого рассуждения приводит к тео­ реме, доказательство которой опирается на новые формулы для канонического оператора в окрестности фокальных точек и каустик, о которых шла речь в главе 1 и метод стационарной фазы [56].

2.6.1. Лагранжево многообразие В четырехмерном фазовом пространстве R4 с координатами (1, 2, 1, 2 ) рассмотрим произвольное лагранжево многообразие 2, обладающее следующи­ ми свойствами: (i) 2 содержит окружность 1 = {(, ) R4 : = 0, || = 1};

(ii) сужение на 2 формы = 1 1 + 2 2 не обращается в нуль ни в одной точке многообразия 2.

Так как 2 лагранжево и |1 = 0, то в окрестности подмногообразия на 2 существует и единственна функция, такая что = |2 и |1 = 0.

Будем называть ее действием или эйконалом. Далее, пусть — гладкая функ­ ция на 2 со значениями на окружности S1 = R (mod 2), такая, что на выполнено соотношение = n() = (cos, sin ). Тогда дифференциалы и линейно независимы в каждой точке подмногообразия 1 и, следовательно, набор функций (, ) является системой координат на 2 в некоторой окрестно­ сти этого подмногообразия. Это частный случай введенных в главе 1 эйконал­ координат. В дальнейших построениях часть многообразия 2, лежащая вне произвольно малой окрестности подмногообразия 1, не играет никакой роли, так что мы ее отбросим и будем без ограничения общности считать, что 2 — достаточно узкая двумерная «цилиндрическая полоска», задаваемая в эйконал­ координатах уравнениями При этом согласно (1.2) выполнены тождества (где = / и т. д.) а подмногообразие 1 выделяется уравнением = 0, причем выполнены соот­ ношения (последнее из которых вытекает из трех предыдущих с учетом (2.39)) В дальнейшем без дополнительных оговорок отождествляем функции от пере­ менных (, ) (0, 0 ) S1 с соответствующими функциями на 2.

2.6.2. Канонический оператор Маслова Лагранжево многообразие 2 удовлетворяет условиям квантования [39, §8].

Действительно, единственным (с точностью до гомотопии) нетривиальным цик­ лом в 2 является подмногообразие 1, и в силу (2.40) тривиален класс кого­ мологий формы :

Далее (здесь ( ; ) означает матрицу со столбцами и ), ind = var arg det поскольку величина в квадратных скобках не покидает нижней полуплоскости.

Таким образом (см. [39, теорема 8.1]), канонический оператор Маслова корректно определен на 2 ; чтобы фиксировать его определение однозначно, нужно еще задать действие на 2 (в качестве такового возьмем ), меру на (в качестве нее возьмем форму объема ) и аргумент якобиана (, ) = det( (, ); (, )) в какой-либо неособой точке (т. е. в точке, где этот яко­ биан не равен нулю). Имеем (0, ) = 0 (т. е. все точки из 1 являются фокаль­ ными на 2 ); далее с учетом формул (2.39), (2.40) при = 0 получаем откуда (0, ) = n (), (0, ) = det(n(); n ()) = 1 и знак якобиана (, ) совпадает со знаком (при достаточно малых ). Мы выберем значение arg (+0, ) = 0.

Канонический оператор на 2 зададим формулой (1.15). Заметим, что урав­ нение имеет при (, ) S1, где — достаточно малая окрестность нуля в R2, единственное гладкое решение = (, ), такое что (0, ) = 0. Это следует из теоремы о неявной функции, так как | =0 = 0 и, | =0,=0 =, = 1. Выберем настолько малое (0, 0 ), что (, ) 1 и нуля в R2. Это возможно, поскольку det( ; )| =0 = det(n; n ) = 1. Пусть () 0 ( ) — срезающая функция, равная единице в 1. На функциях 0 (2 ) с носителем во множестве (, ) S1 канонический оператор Маслова задается формулой 2.6.3. Основной результат В весьма широких пределах формула, представляющая локализованную функцию (/) через канонический оператор, выглядит одинаково вне зави­ симости от того, какой конкретный смысл придается требованию достаточно быстрого убывания на бесконечности функции (), так что с физической точ­ ки зрения выбор того или иного условия не играет первостепенной роли. Однако оценка остаточного члена в этой формуле уже, естественно, зависит от того, ка­ кие условия наложены на (). Из всего многообразия существующих здесь вариантов мы для определенности остановимся на следующем.

Условие 2.1. Преобразование Фурье (2.36) функции (), R2 — обычная (не обобщенная) функция, гладкая вне нуля, и удовлетворяет оценкам с некоторыми (зависящими от функции ) постоянными.

Замечание 2.2. В качестве некоторой мотивировки условия А отметим следу­ ющие обстоятельства.

1. Функции, удовлетворяющие условию А, действительно убывают на бес­ конечности (как (1+||)2, причем при дифференцировании скорость убывания увеличивается); обратно, если (1 + ||)|| () () 1 (R2 ) для всех, то () удовлетворяет условию А. Таким образом, хотя условие и сформулировано в удобных скорее для доказательства теоремы терминах преобразования Фурье, проверка его для исходной функции чаще всего не будет затруднительной. В частности, функции класса Шварца (и подавно финитные функции) ему удо­ влетворяют.

2. По-видимому, при переходе от функций, удовлетворяющих условию А, к функциям из класса Шварца (или даже финитным) не происходит радикаль­ ного улучшения оценок для остаточного члена в формуле представления.

3. Условию А удовлетворяет (с некоторым запасом) функция широко используется в литературе (в частности, при моделировании локали­ зованных начальных данных для волнового уравнения); упомянем здесь лишь работы [19, 23, 52, 102, 106], дальнейшую библиографию можно найти в [17].

Теорема 2.8. Пусть функция () удовлетворяет условию А. Тогда справед­ ливо представление где 2 — канонический оператор Маслова (2.42) на лагранжевом многообра­ зии 2, срезающая функция e( ) 0 ((, )) равна единице в окрестности нуля, а остаточный член (, ) удовлетворяет при 0 следующим оцен­ кам:

где = /, с некоторыми постоянными ;

с некоторой постоянной, которая, как и, зависит от функции ().