Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.938.5+514.756.4

Лепский Тимур Александрович

Интегрируемость комплексных

гамильтоновых систем 2

с неполными потоками в C

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

Москва — 2011

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители: академик РАН Фоменко Анатолий Тимофеевич, кандидат физико-математических наук, доцент Кудрявцева Елена Александровна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Мищенко Александр Сергеевич кандидат физико-математических наук, инженер Ивочкин Михаил Юрьевич

Ведущая организация: Математический институт имени В.А. Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится 27 мая 2011 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механикоматематический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механикоматематического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 27 апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор А.О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы Диссертационная работа поcвящена решению ряда задач в активно развивающейся в настоящее время теории гамильтоновых систем, которые играют важную роль при описании физических процессов без диссипации.

Важными вопросами в теории гамильтоновых систем являются задачи исследования полноты потока, описывающего систему (необходимое условие интегрируемости системы по Лиувиллю), и задачи классификации (с точностью до различных отношений эквивалентности) таких систем.

В классических работах по исследованию интегрируемых гамильтоновых систем, возникающих, например, в механике и описывающих движение твердого тела, или заданных уравнениями Эйлера на компактных алгебрах Ли, безусловно выполнялось условие полноты потоков, что позволяло использовать классическую теорему Лиувилля для описания свойств таких интегрируемых систем. Так как для интегрируемых систем с неполными потоками, по-видимому, неизвестны никакие аналоги теоремы Лиувилля, то класс таких систем представляется весьма трудным для изучения. В связи с этим А.Т. Фоменко поставил задачу об обобщении теоремы Лиувилля на случай интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками, а именно: описание топологии слоя, описание лагранжева слоения в окрестности слоя, построение аналога переменных действие-угол. Отметим также, что задача доказательства интегрируемости по Лиувиллю гамильтоновой системы сама по себе нетривиальна. Этим объясняется, что исследования условия полноты потоков для интегрируемых гамильтоновых систем появились совсем недавно в работах W. Gordon, А.Ю. Москвина, Д.В. Новикова.

В настоящей работе рассматривается класс интегрируемых гамильтоновых систем (C2, Re( ), Re( (, ))), (0.0.1) (, ) обладающих в общем случае неполными потоками, где — многоIm( (, )) член двух комплексных переменных и — первый интеграл системы. Такой класс систем был предложен для исследования А.Т. Фоменко и А.И. Шафаревичем, поскольку он тесно связан с квантованием комплексных многообразий, в частности, с описанием квантовых систем Калоджеро–Строкки.

1 Gordon W. On the Completeness of Hamiltonian Vector Fields. Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 26, No. 2 (Oct. 1970), pp.329- Как правило, условие полноты векторного поля исследовалось в терминах алгебраических и аналитических свойств координатных функций векторного поля. Вместе с тем оставалась актуальной задача исследования условия полноты в геометрических терминах, например, в терминах многоугольника Ньютона, представляющего собой выпуклую оболочку целочисленных точек — индексов ненулевых коэффициентов полиномиального гамильтониана.

Представляет интерес также исследование (в том числе и доказательство аналога теоремы Лиувилля) интегрируемых гамильтоновых сиC2, Re( ), = Re (, )) с дополнительным первым инстем тегралом = Im, отвечающие комплексным гамильтоновым системам (C,, (, )) с гиперэллиптическим гамильтонианом Другой важной проблемой в теории гамильтоновых систем является задача классификации систем с точностью до различных отношений эквивалентности. В теории интегрируемых гамильтоновых систем рассматривается несколько отношений эквивалентности систем: гамильтонова эквивалентность (означающая существование симплектоморфизма фазовых пространств, переводящего гамильтониан одной системы в гамильтониан другой системы с точностью до аддитивной константы), топологическая сопряженность, траекторная эквивалентность, топологическая послойная эквивалентность и другие. Перечисленные выше отношения эквивалентности упорядочены от наиболее сильного до наиболее слабого. Задачи классификации интегрируемых гамильтоновых систем в последние годы исследовались в работах А.Т. Фоменко, А.В. Болсинова, А.А. Ошемкова, 2 Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем. Известия АН СССР, сер. матем., 1991, т. 55, №4, с. 747- 3 Фоменко А.Т.Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю.

Функц. анализ и его приложения, 1988, т. 22, вып. 4, с. 38- 4 Фоменко А.Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях. Функц. анализ и его приложения, 1991, т. 25, вып. 4, с. 23- 5 Болсинов А.В. О классификации гамильтоновых систем на двумерных поверхностях. УМН, 1994, т. 49, вып. 6, с. 195- 6 Болсинов А.В. Гладкая траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Матем. сборник, 1995, т. 186, №1, с.3- 7 Ошемков А.А. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1993, т. XXV, с. 23- Важным классом гамильтоновых систем являются системы с полиномиальным гамильтонианом малой степени. Это обусловлено прежде всего тем, что такие системы либо являются интегрируемыми по Лиувиллю, либо допускают “вложение в интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы”. Поэтому являются актуальными задача о классификации таких систем с точностью до гамильтоновой эквивалентности, а также задача о построении канонических координат действие-угол (или их аналогов) в окрестности неособого лагранжева слоя такой системы.

Более слабым отношением эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем является топологическая послойная эквивалентность, под которой будем понимать существование гомеоморфизма фазовых пространств, переводящего лагранжевы слои одной системы в лагранжевы слои другой системы. Такая эквивалентность обобщает известную лиувиллеву эквивалентность для интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем. Лиувиллева эквивалентность исследовалась в работах А.Т. Фоменко, А.В. Болсинова, А.А. Ошемкова, Нгуен Тьен Зунг, И.А. Тайманова, Л. Бейтса и других. В отличие от большинства этих работ, в настоящей диссертации не предполагается полнота гамильтоновых потоков.

Более того, в общем положении гамильтоновы потоки не являются полными. В частности, представляет интерес исследование топологии лагранжева слоения в окрестности критических точек, не являющихся, вообще говоря, морсовскими (локальная классификация особенностей лагранжева слоения), а также классификация лагранжева слоения в окрестности особого слоя (полулокальная классификация особенностей лагранжева слоения).

Теоретические результаты диссертации использованы в научноисследовательских проектах при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 10–01–00748-а и № 08–01–91300-ИНДa), 8 Adler M., van Moerbeke P. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves and linialization Hamiltonian systems, Jacobi varites and representation theory. Adv. math., 1980, v. 30, pp.

267- 9 Adler M., van Moerbeke P. The Kowalewski and Henon-Heiles motions as Manakov geodesic flows on (4). A two-dimensional family of Lax pairs. Somm. math. phys. 1988, v. 113, №4, pp. 659- 10 Gavrilov L. Complex geometry of Lagrange top. Prepublication №61 du Laboratorie de Mathematiques Emile Picard. Universite Toulouse III, 11 Козлов В.В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем. ДАН СССР, 1979, т. 249, №6, с. 1299- 12 Nguen T.Z. Singularities of integrable geodesic flows on multidimensional torus and sphere. Journal of geometry and physics, 1996, v. 18, issue 2, pp. 147- 13 Тайманов И.А. О топологических свойствах интегрируемых геодезических потоков. Матем. заметки, 1988, т. 44, вып. 2, 283- 14 Bates L. Monodromy in the champagne bottle. Journal of app. math. and phys., 1991, v. 42, pp. 837- Программы Президента РФ поддержки ведущих научных школ (грант № НШ-3224.2010.1), Программы “Развитие научного потенциала высшей школы” (грант № 2.1.1.3704), ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” (грант № 02.740.11.5213) и ФЦП “Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009–2013 годы (мероприятие 1.1 – очередь XXII, Госконтракт № 14.740.11.0794).

Цель работы Целью работы является исследование интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками.

В связи с этим сформулированы следующие задачи:

1. Обобщить теорему Лиувилля на случай интегрируемых гамильтоновых систем определенного вида.

2. Описать лагранжевы слоения некоторых интегрируемых гамильтоновых систем в окрестности особого слоя.

3. Классифицировать интегрируемые гамильтоновы системы определенного вида с точностью до различных отношений эквивалентности.

Научная новизна В диссертации решены следующие новые задачи:

1. Обобщена теорема Лиувилля на случай интегрируемых гамильтоноC2, Re( ), = Re (, )) с дополнительным вых систем вида первым интегралом = Im, отвечающих комплексным с гиперэллиптическим гамильтонианом (, ) = + (), N, которые при 3 имеют неполные потоки на любом лагранжевом слое 1 ();

2. Решена задача полулокальной классификации лагранжевых слоений интегрируемых гамильтоновых систем указанного выше вида в окрестности особого слоя;

3. Классифицированы интегрируемые гамильтоновы системы указанного вида при с точностью до гамильтонового отношения эквивалентности.

Основные методы исследования В работе использованы методы основанные на теории интегрируемых гамильтоновых систем, теории динамических систем, дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии, теории функций комплексных переменных.

Теоретическая и практическая ценность работы Работа имеет теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при исследовании интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками. Предложенные автором в работе методы и подходы могут быть использованы при анализе других интегрируемых гамильтоновых систем и динамических систем в целом. Некоторые результаты могут найти применение при решении задач квантования комплексных многообразий.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на следующих научноисследовательских семинарах и научных конференгциях:

Научно-исследовательский семинар кафедры дифференциальной геометрии и приложений (рук. академик РАН А.Т. Фоменко), (2011 февраль, март);

Научно-исследовательский семинар “Современные геометрические метод” (рук. академик РАН А.Т. Фоменко и других), неоднократно ( Научно-исследовательский семинар отдела дифференциальных уравнений МИАН им. В.А. Стеклова (рук. академик РАН Д.В. Аносов, д.ф.м.н., проф. Ю.С. Ильяшенко), июль 2010;

Научно-исследовательский семинар “Динамические системы и эргодическая теория” (рук. академик РАН Д.В. Аносов, д.ф.м.н., проф.

А.М. Степин), ноябрь 2010;

Воронежские зимние математические школы им. С.Г. Крейна в 2006 и 18-й международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики “Волга—2006”, Казань, Конференция “Александровские чтения”, Москва, 2006.

Публикации Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 7 работах, список которых приводится в конце автореферата [1–7].

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем диссертации: 125 страниц, включая 12 рисунков.

Список литературы содержит 52 наименования.

Краткое содержание работы Во введении формулируются цели работы, кратко излагаются основные результаты работы и содержание, а также освящается место данных результатов в современной теории интегрируемых гамильтоновых систем.

В первой главе изучается топология неособого слоя, четырехмерная окрестность неособого слоя и четырехмерная окрестность бесконечно удаленных точек, для невырожденного многочлена двух комплексных переТакже изучается пополнение данного слоя относительменных метрики пополнения, порожденной кососимметричным векторным полем. Топология слоя и особенности кососимметричного векторного поля описаны в терминах многоугольника Ньютона исходного многочлена.

2 — гладкое многообразие, — симплектическая структура ном, и пусть sgrad — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом на 2. Гамильтонову систему ( 2,, ) назовем вполне интегрируемой (или интегрируемой по Лиувиллю), если существует набор гладких на их градиенты линейно независимы;

параметр на их траекториях определен на всей числовой прямой.

Если выполнены лишь условия 1–3 (а условие полноты потоков не обязательно выполнено), то систему с соответствующим набором первых инназовем интегрируемой.

тегралов Если естественный параметр на траекториях хотя бы одного из комsgrad, = 1,..., числовой прямой, то набор векторных полей и набор соответствующих потоков назовем неполными, а систему — интегрируемой гамильтоновой системой с неполными потоками.

Простейшим примером интегрируемой гамильтоновой системы с неполR2 {},, ), заданная R, где R — некоторая точка. Однако в данном примере особенность векторного поля в точке является устранимой, поскольку можно так определить векторное поле в точке R, что, во-первых, векторное поле будет определено корректно на всем R, а, во-вторых, поток, соответствующий векторному полю, будет полным. Данный пример можно также рассматривать как пример динамической системы, заданной векторR2 {}, и всюду линейно независимы, коммутируют и обладают неполными потоками. Примером динамической системы с неустранимой особенностью и неполными коммутирующими потоками является система на C {0}, заданная векторным полем = в стандартной координате на C, с парой коммутирующих векторных полей и, где N. Такая особенность называется полюсом порядка + 1.

Обозначим через T = {(, ) C | (, ) = } — неособый слой невырожденного многочлена (, ), через — количество целочисленных точек строго внутри многоугольника Ньютона, точек на сторонах многоугольника Ньютона с положительными координатами. Тогда верен результат, доказанный А.Г. Хованским, описывающий топологию нулевого слоя невырожденного многочлена.

(C,, (, )) — интегрируемая гамильтонова система. В диссертациХованскийА.Г. Многогранники Ньютона и род полных пересечений. Функц. анализ и его приложения, 1978, т. 12, вып. 1, с. 51– 16 Хованский А.Г. Многогранники Ньютона и торические многообразия. Функц. анализ и его приложения, 1977, т. 11, вып. 4, с. 56- онной работе был предложен метод пополнения исходного слоя относительно метрики естественным образом связанной с гамильтоновым векторным полем, а именно: интегральные траектории гамильтонова векторного поля совпадают с геодезическими метрики как параметризованные кривые.

Заметим, что похожие конструкции использовались в работах С.П. Новикова, Л. Бейтса и Э. Лермана. Такой подход позволил связать задачу уточнения результата А.Г. Хованского об описании топологии нулевого слоя с задачей исследования полноты интегрируемой гамильтоновой системы.

Ньютона существуют > 0 и > 0, такие что 1) для любой стороны многоугольника Ньютона, не лежащей на координатных осях, существуют ровно голоморфных вложений ленными координатами на стороне, (, ) — несократимый вектор внешней нормали стороны, и (0, 0 ) — любая точка на ;

2) образы всех этих = вложений (отвечающих одной и той же стороне, но разным значениям, либо разным сторонам многоугольника Ньютона) попарно не пересекаются, и объединение этих образов сот.е. дополнение этого объединения в 1 (0, ) держит ограничено, а потому компактно).

описывающее в терминах многоугольника Ньютона классификацию систем на слоях с точностью до траекторной эквивалентности.

17 Novikov S.P. Dynamical Systems and Differential Forms. Low Dimensional Hamiltonian Systems.

Contemporary mathematics, v. 469, pp. 271- 18 Novikov S.P. Topology of Generic Hamiltonian Foliations on Riemann Surfaces. Moscow Math. J., 2005, v. 5(3), pp. 633- 19 Bates L., Lerman E. Proper group actions and symplectic stratified spaces. Pacific J. Math., 1997, v.

181(2), pp. 201– Во второй главе исследуется классификация гамильтоновых систем с точностью до гамильтоновой эквивалентности в случае гиперэллиптичеКроме того, в ской функции Гамильтона вида этой главе доказана полнота гамильтоновых векторных полей при = 1, 2, построено вложение при = 3, 4 таких систем во вполне интегрируемые гамильтоновы системы, описана топология неособых слоев, а также построены канонические координаты в окрестности неособых слоев.

В следующей теореме собраны результаты настоящей главы, относящиеся к классификации гамильтоновых систем с точностью до гамильтоновой эквивалентности.

Теорема 3. Пусть дана C-гамильтонова система с гиперэллиптическим гамильтонианом лентна канонической “линейной” C-гамильтоновой системе (C2 (, ),, 0 (, ) = ). Все слои C-гамильтоновой системы 1 (,, ) являются неособыми, C-диффеоморфными C.

C-гамильтонова система 2 (1, 1, 1, 1 ) гамильтоново экКаждая вивалентна системе 2 (, 1, 0, 0), для = 1 1 C{0}. Все неособые слои C-гамильтоновой системы 2 (,,, ) C-диффеоморфны R.

мильтоново эквивалентна системе 3 (,,, 0, 0) для некоторых, C, = 0. Все неособые слои C-гамильтоновой системы 4. Каждая невырожденная гамильтоново эквивалентна системе 3 (,, ( + 1),, 0, 0) для некоторых,, C, = 0. Все неособые слои C-гамильтоновой Во второй главе также определена пополненная система при Это пополнение определено корректно, поскольку функция Гамильтона явC ляется аналитической, продолжение симплектической структуры невырожденно. Отметим, что ограничения неособых слоев пополненной системы на исходную систему являются неособыми слоями исходной системы.

Одним из основных результатов этой главы являются следствия об интегрируемости по Лиувиллю пополненной системы, как вещественной гамильтоновой системы. При этом вещественные канонические координаты для исходной системы получаются ограничением вещественных координат действие-угол, определенных для пополненной системы в окрестности любого неособого слоя.

В третьей главе изучается топология лагранжевых слоений интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, отвечающих C-гамильтоновым кая система является интегрируемой (вещественной) гамильтоновой систеC2, Re C,, = Re ) с двумя степенями свободы с дополнительным мой первым интегралом = Im, причем неособые лагранжевы слои () новы векторные поля с гамильтонианами и неполны на каждом слое при 3.

Две голоморфные функции : C назовем топологически эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм : 1 2 такой, что 1 = 2 +const. В третьей главе описаны классы топологической эквивалентности гиперэллиптических функций в малых окрестностях особых слоев () в зависимости от и комбинаторного типа слоя — набора кратностей критических точек в слое (полулокальная топологическая классификация слоения Лиувилля). Две интегрируемые гаRe C,, = Re ) с дополнительным первым мильтоновы системы интегралом = Im, = 1, 2, называют послойно эквивалентными, если существуют сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы 1 : и 2 : C C такие, что 1 = 2 2 1. Результаты главы показывают, что в малой окрестности любого лагранжева слоя () послойная эквивалентность систем равносильна топологической эквивалентности функций и полностью определяется комбинаторным типом слоя. На основе теоремы Р. Тома (1965) описаны реализуемые наборы комбинаторных типов особых слоев для гиперэллиптических гамильтонианов.

Одним из основных результатов главы является описание слоения в локальной окрестности особой точки систем с комплекснозначными полиноN для четного и нечетного Отдельно исследован случай морсовской осоThom R. L’quivalence d’une fonction diffrentiable et d’un polynome Topology, 1965, v. 3(2), pp.

297- бенности. В частности, для четного следующем предложении. Обозначим топологически эквивалентна функции = :, C, где, = ([0, ] 1 1 ([1, 0 ] [0+, 1]))/, отношение эквивалентности порождено следующими + 1 отношениями:

(, mod 2, ++2 mod 2, 0 ) 1, (, mod 2, +2 mod 2, 0+ ), Это предложение имеет следующий “геометрический” смысл. В прокаждый слой является несвязным объединением двух постранстве луцилиндров {(, mod 2)} ([0+, 1] [1, 0 ]), причем первые соотношения 1, превращают его в сферу с 1-ой ручкой и двумя проколами. Второе соотношение 2 отождествляет друг с другом слои вида ({(0, mod 2)} ([0+, 1] (особый слой). Из соотношений следует, что на этом слое окружность {(0, 0)} 1 {0+ } стягивается в точку (“перетяжка” на особом слое).

Кроме того, в третьей главе описано слоение в окрестности особого слоя систем с комплекснозначными полиномиальными гамильтонианами вида Полученная конструкция классификации слоения является четырехмерным аналогам понятия атома, введенного А.Т. Фоменко, то есть окрестности особого слоя, расслоенной на линии уровня гамильтониана и рассматриваемой с точностью до послойной эквивалентности. Кроме того, в этом случае усложняется конструкция так называемого креста, а склейки не имеют столь наглядного вида.

Однако при пересечении = {(, ) C | Im = 0, Im = 0} возникает стандартный крест и атом.

dimC,,1,...,, = 1, гомеоморфное,, при >, 0,1,1 0,1,1 при замкнутый двумерный диск. Тогда верна следующая теорема о полулокальной топологической классификации слоения гиперэллиптической голоморфной функции в окрестности особого слоя с несколькими критическими точками, являющаяся одним из основных результатов третьей главы.

Теорема 24. Пусть — (особое или неособое) множество уровня гиперэллиптического многочлена (, ) = + () степени причем кратности этих точек равны получено из несвязного объединения множеств,, 1, и множества,,,,1,..., отождествлением любой точки, с ее образом при гомеоморфизме,,,1,..., :

задаваемом формулами при четном и,,,1,..., (, ) := ( 2 + + 0,,,1,..., (2 arg( ) mod 4,, 1)) (, mod 2, mod (3(1) ), ) ( +0,,,1,..., ( mod (3(1) ),, )), {(1), 1}, где отношение эквивалентности порождено отношениями (0, mod 2) (0, 0 mod 2), mod 2, а функция,,1,..., | 4 имеет вид При этом В четвертой главе доказан аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с неполным гамильтоновым векторным полем в случае гамильтониана вида Доказательство теоремы основано на разрезании окрестности нулевого вводятся канонические координаты, вычисляются периоды и описывается вид интегральных траекторий на нулевом слое. Теорема доказана раздельВ частности, ниже сформулирована теорема но для четного и нечетного для нечетного Теорема 25.

ей Гамильтона (, ) = + 2+1 () и соответствующего лагранжева 1 < 2 <... < 2+1, N, существует > 0, такое что выполнены следующие свойства:

1) для любого гомеоморфен сфере с ручками и одним проколом;

2) лагранжево слоение в четырехмерной -окрестности (T0 ) слоя T тривиально, т.е. послойно гомеоморфно прямому произведению слоя T на открытый двумерный диск 0, = { C | || < };

ществует голоморфное координатами действие-угол”) = 1 функция 1 mod 2 является многозначной аналитичегде при ской функцией, через C ( 1 (1 )) := C/2(Z плексный тор с параметром обозначен образ прямолинейного отрезка 3 (1 )4 (1 ) C (вырождающегося в точку в случае = 1, см. п.б) ниже) при проекции C C ( 1 (1 )), и через (C ( 1 (1 ))) 1 обозначено пополнение “надрезанного тора” (C ( 1 (1 ))) 1 относительно римановой метрики 1 1, со следующими свойствами:

значений окрестности (T0 ) через любую другую такую функцию формулами ветственно ( = 1,..., );

б) при любых = 1,..., и, множество значений “комплексной координаты угол” mod 2|, T ( ) получается из некоторой замкнутой области, C, ограниченной шестиугольником с вершинами 1 ( ),..., 6 ( ) C (вырождающимся при = в параллелограмм с вершинами 1 ( ), 2 ( ), 3 ( ) = 4 ( ), 5 ( ) = 6 ( )) и сторонами, соответствующими геодезическим ( ( )), 21 ( ( )), 22 ( ( )) T ( ), а также геодезическим кидыванием всех вершин (соответствующих бесконечно удаленной точке ( ) ), и (ii) отождествлением (т.е. склеиванием) при помощи параллельного переноса любой пары сторон, отвечающих одной и той же геолибо 1 ( (1 )) при = 1); причем шестиугольдезической (либо ник (соответственно параллелограмм при = ) однозначно задается следующими условиями, при 1 <, 1 = соответственно):

парами равных и параллельных сторон, соответствующих следующим геодезическим и получающихся друг из друга следующими сдвигами в плоскости C:

суть отождествляемые точки ± 1 ( (1 ))1 = 1 (0, 1 ( (1 ))));

является весь “пополненный надрезанный тор” (C ( 1 (1 ))) 1 (совпадающий с тором C ( 3 (1 ), 4 (1 ) (совпадающих друг с другом в случае = 1), являющихся “концами линии надреза” и отвечающих бесконечно удаленной точке;

2+1 ( 1 (21 + 2 )) < 0 во втором случае;

д) для любых двух ручек,,,, содержащих в своей границе одно и то же семейство геодезических (), выполнено = ± 1, причем в случае 1 < пересечение,,+1 является объединением геодезических