МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи

УДК 515.12

ЧАТЫРКО Виталий Альбертович

Индуктивные топологические инварианты,

определяемые через перегородки, и

объединения множеств

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва - 2007

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механикоматематического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Пасынков Борис Алексеевич,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Зарелуа Александр Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор Семёнов Павел Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор Шапиро Леонид Борисович

Ведущая организация: Математический институт имени В.А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 18 мая 2007 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, МГУ им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 18 апреля 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001. доктор физико-математических наук, профессор В.Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Одной из основных функций теории размерности является малая индуктивная размерность ind, независимо определенная Урысоном и Менгером (Menger) в начале 1920’х годов 1.

Пусть X - регулярное T1 -пространство, а n целое число 1. Тогда (i) ind X = 1 тогда и только тогда, когда X = ;

(ii) ind X n 0, если каждая точка в X обладает произвольно малыми открытыми окрестностями V с ind Bd V n (здесь Bd A обозначает границу множества A в пространстве X).

Альтернативно в определении размерности ind вместо границ открытых множеств можно использовать перегородки между точками и произвольными замкнутыми множествами, их не содержащими, то есть такие множества, дополнение к которым в пространстве X есть объединение двух дизъюнктных открытых множеств, одно из которых содержит выбраную точку, а другое выбранное замкнутое множество.

Хорошо известно, что для сепарабельных метризуемых пространств размерность ind совпадает с двумя другими известными функциями, лебеговой размерностью dim и большой индуктивной размерностью Ind, в определении которых помимо Лебега (Lebesque) участвовали Брауэр (Brouwer) и Чех (Cech). Поэтому для таких пространств в классической теории размерности говорят просто о размерности пространства.

Вне класса сепарабельных метризуемых пространств функции ind, Ind и dim вообще говоря различны. К примеру, широко известно, что для всякого нормального T1 -пространства X справедливы неравенства ind X Ind X, dim X Ind X, и для любых трех целых чисел l, m, n : n l 0, n m > 0, а также для n = m = l = 0, существует такое нормальное T1 -пространство L(l, m, n), что (напомним, что если dim X = 0 для нормального T1 -пространства X, тогда Ind X = 0).

Отметим, что проблемы взаимоотношений функций ind, Ind и dim в том или ином классе топологических пространств являются основой теории размерности. Здесь можно вспомнить знаменитую проблему Александрова П. С. Александров, Б. А. Пасынков, Введение в теорию размерности, М: Наука, о совпадении трех размерностей для бикомпактов, которая стимулировала деятельность большого числа отечественных топологов на протяжении последних 70-ти лет.

Заметим также, что поведение размерности в сепарабельных метризуемых пространствах описано в литературе очень хорошо, как и поведение лебеговой размерности dim и большой индуктивной размерности Ind в нормальных T1 -пространствах. Что касается малой индуктивной размерности ind, то обычно она находилась при обсуждении “в тени”, после dim и Ind.

В этой диссертации мы сделаем наоборот и больше внимания уделим размерности ind и ее "родственницам".

Одной из последних является малая индуктивная степень компактности cmp, рассмотренная де Гроотом (de Groot) 2. Ее определение можно получить из определения размерности ind заменой в пункте (i) условия:

X =, на условие: пространство X компактно.

Появление cmp было стимулировано приведенным ниже утверждением де Гроота (de Groot), которое дает внутреннюю характеризацию пространства, имеющего метризуемую компактификацию с размерностью нароста 0, и последующей попыткой его обобщения.

Пространство X имеет метризуемую компактификацию с размерностью нароста 0 тогда и только тогда, когда в этом пространстве между любой точкой p X и любым замкнутым множеством A X, не содержащим p, всегда найдется компактная перегородка.

Другая функция, участвовавшая в обобщении, дефект компактности def, определяется равенством def X = min{dim(Y \ X) : Y метризуемая компактификация X}, для всякого сепарабельного метризуемого пространства X.

Следуя теории размерности, де Гроот (de Groot) определил также с помощью перегородок между дизъюнктными замкнутыми множествами аналог размерности Ind, большую индуктивную степень компактности Cmp, при базисе индукции: Cmp X = n, n = 1, 0 cmp X = n;

и поставил проблему описания взаимоотношений функций cmp, def и Cmp в сепарабельных метризуемых пространствах, привлёкшую внимание многих зарубежных топологов.

Отметим, что появление функции Cmp, а также наличие для нее такого базиса индукции объясняется изначальным желанием де Гроота (de Groot) получить функцию, способную помочь разобраться в отношениях между функциями cmp и def, а значит близкую к этим функциям. Легко видеть, что формальная замена условия: X =, на условие: пространство X компактно, в определении большой индуктивной размерности Ind приводит к J. de Groot, Topologische Studien, thesis (Groningen 1942) функции K-Ind, отличной от функций cmp и def (к примеру, для полуинтервала I = (0, 1] справедливо K-Ind I = 1, а cmp I = def I = 0).

Сейчас хорошо известно, что для всякого сепарабельного метризуемого пространства X (отметим, что условие cmp X = 0 влечет равенство def X = 0), и имеются примеры таких подмножеств Y, Z евклидова пространства R4, что Однако полного описания взаимоотношений указанных функций пока не сделано. Например, нет примера такого сепарабельного метризуемого пространства X, для которого все три значения cmp X, Cmp X, def X были бы различны.

В 1964 году Лелек (Lelek) 3 предложил обобщить определения малой индуктивной размерности ind и малой индуктивной степени компактности cmp. Напомним его подход.

Пусть X - регулярное T1 -пространство, n целое число 1, а P класс топологических пространств, монотонный по замкнутым подмножествам ( является элементом P по определению). Тогда малая индуктивная размерность по модулю P P-ind X пространства X определяется так.

(i) P-ind X = 1 тогда и только тогда, когда X P;

(ii) P-ind X n 0, если каждая точка в X обладает произвольно малыми открытыми окрестностями V с P-ind Bd V n 1.

Отметим, что альтернативно в определении размерности P-ind вместо границ открытых множеств можно использовать перегородки между точками и произвольными замкнутыми множествами, их не содержащими.

Легко видеть, что если P = {}, тогда P-ind X = ind X, а если P есть класс всех компактных пространств, тогда P-ind X = cmp X. Позднее Аартс (Aarts) и Нишиура (Nishiura) 4 довели количество частных случаев размерности P-ind до 1 -штук, начав рассматривать в качестве P абсолютные борелевские классы.

Теперь вернёмся назад во времени.

A. Lelek, Dimension and mappings of spaces with nite deciency, Colloq. Math. 12 (1964) 221- J. M. Aarts and T. Nishiura, Dimension and Extensions, North-Holland, Amsterdam, Также в начале 1920’х годов Урысон заметил, что можно рассмотреть естественное трансфинитное продолжение размерности ind, трансфинитную малую индуктивную размерность trind. (Формальное определение функции trind было дано Гуревичем (Hurewicz) 5.) Размерность trind, как известно, является одной из основных функций трансфинитной теории размерности.

Напомним, что большая индуктивная размерность Ind также может быть естественно продолжена на трансфинитные числа. Это было сделано Смирновым 6. Трансфинитная большая индуктивная размерность trInd также является популярной функцией трансфинитной теории размерности.

Хорошо известно, что trind X trInd X для всякого нормального T1 пространства X, и существуют даже метризуемые компакты, для которых trind = trInd.

Отметим, что размерность dim продолжается на трансфиниты различными способами. Обычно используется какая-либо характеризация размерности dim, которую можно естественным образом продолжить на ординальные числа.

По аналогии с размерностью ind малая индуктивная степень компактности cmp допускает естественное трансфинитное продолжение, трансфинитную малую индуктивную степень компактности trcmp. Первые результаты о функции trcmp были получены Э. Пол (E. Pol)7.

Большая индуктивная степень компактности Cmp также естественно продолжается на трансфиниты, причем для всякого нормального T1 пространства X имеет место неравенство trcmp X trCmp X.

Дефект компактности def продолжается на ординальные числа различными способами.

Относительно недавно Хараламбус (Charalambous) 8 рассмотрел естественное трансфинитное продолжение размерностной функции P-ind, трансфинитную малую индуктивную размерность по модулю P P-trind, и обсудил первые вопросы, связанные с взаимоотношениями ее частных случаев.

(Заметим, что если P = {}, тогда P-trind X = trind X, а если P есть класс всех компактных пространств, тогда P-trind X = trcmp X. Напомним также, что в качестве P можно рассматривать различные абсолютные борелевские классы.) Все перечисленные функции будем называть размерностными функциями.

W. Hurewicz, Ueber unendlich-dimensionale Punktmengen, Proc. Akad. Amsterdam 31 (1928) 916- Ю. М. Смирнов, Об универсальных пространствах для некоторых классов бесконечномерных пространств, Изв. Акад. Наук СССР Сер. Мат. 23 (1959) 185- E. Pol, The Baire-category method in some extension problems, Pacic J. Math. 122, 1 (1986) 197- M. Charalambous, On transnite inductive dimension and deciency modulo a class P, Topol. Appl. (1997), 123- Результат, предлагающий оценку размерностной функции от объединения множеств в терминах этой размерностной функции от участвующих в операции множеств, называется теоремой сложения. Можно говорить о конечных, счетных и других теоремах сложения в зависимости от типа объединения.

Хорошо известно, что для сепарабельных метризуемых пространств справедлива следующая теорема сложения для размерности, выписанная здесь с использованием функции ind.

(1) Пусть X = Xi, где все множества Xi замкнуты в пространi= стве X, тогда ind X = sup{ind Xi }.

Однако вне класса сепарабельных метризуемых пространств аналога этого утверждения вообще говоря нет. Напомним, что (2) существует компакт L = L1 L2 с ind L = 2, являющийся объединением двух замкнутых и одномерных в смысле размерности ind (3) существует метризуемое пространство M = M1 M2 с ind M = 1, являющееся объединением двух замкнутых и нульмерных в смысле размерности ind подмножеств M1 и M2 10.

(Отметим, что в этих примерах используются пространства с несовпадающими размерностями.) Кроме того, (4) существует метризуемый компакт S 0 +1 с trind S 0 +1 = 0 + 1, являющийся объединением двух замкнутых подмножеств с trind = То есть аналога утверждения (1) для трансфинитной размерности trind нет даже в классе метризуемых компактов. Несложно показать, что и для функции cmp аналог утверждения (1) не существует.

Заметим однако, что для указанных функций хорошо известны конечные теоремы сложения для замкнутых подмножеств в общих пространствах, предлагающие верхние оценки (см. например, 12 для размерности О. В. Локуциевский, О размерности бикомпактов, ДАН СССР 67 (1949) 217- E.K. van Douwen, The small inductive dimension can be raised by the adjunction of a single point, Indag. Math. 35 (1973) 434- Б. Т. Левшенко, Пространства трансфинитной размерности, Мат. Сб. 67 (1965) 225- В. В. Федорчук, Бесконечномерные бикомпакты, Изв. Акад. Наук СССР Сер. Мат, 42 (1978) 1162ind, класс нормальных пространств, и 13 для функции cmp, класс сепарабельных метризуемых пространств). Эти результаты были обобщены в упомянутой выше работе Хараламбуса (Charalambous) следующим образом.

Пусть X = X1 X2 - регулярное T1 -пространство, множества X1 и X2 замкнуты в X, а P допустимый класс топологических пространств.

Если 1, 2 - ординальные числа 0 и P-trind Xi i для каждого i = 1, 2, тогда P-trind X (Напомним, что каждое порядковое число можно представить в виде суммы = () + n(), где () - предельное число или 0, а n() целое число 0. ) Однако это неравенство не является, как будет показано, рабочим, а значит удовлетворительным.

Данная работа основана на новой теореме сложения для размерностной функции P-trind в классе регулярных T1 -пространств, предлагающей верхнюю оценку для функции P-trind от объединения двух замкнутых подмножеств более эффективную, чем оценка Хараламбуса (Charalambous) (оказывается слагаемое min{n(1 ), n(2 )} в приведенной выше формуле может быть отброшено).

Теорема получена путем аккуратного выбора перегородок между точками и замкнутыми множествами, их не содержащими, с последующей комбинацией свойств монотоности размерностной функции P-trind с теоремой сложения для открытых подмножеств.

Частные случаи этой теоремы для размерностей ind (trind), cmp (trcmp ) хорошо согласуется с упомянутыми выше примерами (2)-(4).

От случая двух слагаемых можно перейти к случаю любого конечного числа слагаемых. Причем для получении рабочей формулы нужно действовать не общепринятым способом поочередного суммирования слагаемых, а использовать предлагаемый в диссертации метод попарного суммирования.

Эти утверждения широко применяются в диссертации при доказательствах различных теорем сложения (для указанных размерностных функций), произведения (случай размерности ind (trind )), а также для построения пространств с различающимися размерностными функциями trind и trInd, cmp и Cmp.

J. de Groot and T. Nishiura, Inductive compactness as a generalization of semicompactness, Fund. Math.

58 (1966) 201- Цель работы.

Целью работы является изучение топологических инвариантов, определяемых индуктивно через перегородки. В том числе поведение таких инвариантов на объединениях множеств и произведениях пространств.

Рассмотрение в этой связи ряда вопросов, касающихся совпадения основных трансфинитных размерностных функций, а также основных топологических инвариантов из теории компактификаций в классах хороших пространств и на конкретных их представителях.

Методика исследования.

В диссертации используются методы аккуратного выбора перегородок, специальных A- и B-разложений, а также оптимальной разложимости пространств в смысле топологических инвариантов.

Научная новизна.

Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них следующие:

• Доказана конечная теорема сложения для малой индуктивной размерности по модулю класса P P-trind в регулярных T1 -пространств, предлагающая новую эффективную неулучшаемую многофункциональную верхнюю оценку для функции P-trind от конечного объединения замкнутых множеств в терминах функции P-trind от каждого участвующего в объединении множества.

• Найден ряд новых размерностных свойства компактов Смирнова. В частности, получена оценка для размерности trind от каждого компакта Смирнова, существенно улучшающая известную оценку Люксембурга; а также определена и доказана оптимальная разложимость компактов Смирнова в смысле размерности trInd, позволяющая строить многочисленные примеры компактов с различающимися трансфинитными размерностями trind, trInd и D.

• Решена проблема де Гроота (de Groot) о совпадении функций cmp и def на последовательности конечномерных кубов, у каждого их которых удалена комбинаторная внутренность одной из граней.

• Решена проблема Аартса (Aarts) и Нишиуры (Nishiura) о взаимоотношениях между функциями cmp и def (Cmp ) в сепарабельных метризуемых пространствах.

• Разработаны методы специальных и оптимальных разложений.

Теоретическая и практическая значимость.

Предлагаемая работа носит теоретический характер. Развитые в работе подходы могут быть применены в конечной и бесконечной теории размерности, а также теории компактификаций.

Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров:

МГУ, механико-математический факультет: семинар под руководством профессоров В.В. Федорчука, Б.А. Пасынкова, В.И. Пономарева и В.В.

Филиппова;

Варшавского университета (Warsaw University, Poland): семинар под руководством профессоров Р. Энгелькинга (R. Engelking), Х. Торунчика (H.

Torunczyk);

Университета Шимане (Shimane University, Japan): семинар под руководством профессора Y. Hattori.

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях:

Международная конференция по топологии (Workshop on topology in Stefan Banach International Mathematical Center) (Варшава, декабрь 1998) приглашенный лектор; Международная конференция по топологии и ее приложениям (International Conference on Topology and its Applications) (Йокогама, 23-27 августа 1999) - приглашенный участник; Международная конференция по топологии и ее приложениям (2000 Summer Conference on Topology and its Applications) (Оксфорд, 26-29 июль, 2000); Международный симпозиум по топологии (IX Prague Topological Simposium) (Прага, 19-25 августа, 2001); Международная конференция по топологии в Матсуе (International Conference on Topology in Matsue), (Матсуе, 24-28 июня г.) - приглашенный лектор; Международная конференция по геометрической топологии (Geometric topology II) (Дубровник, 29 сентября - 5 октября, 2002); Международная конференция по общей топологии и ее приложениям (V Iberoamerican conference on General Topology and its Applications) (Лорка, 10-14 июня, 2003); Международный симпозиум в честь профессора Я. Аартса (Simposium of Professor Jan Aarts), (Дельфт, 23-25 июня, 2003) - приглашенный участник; Международная конференция по геометрической топологии (Geometric Topology: Innite-Dimensional Topology, Absolut Extensors, Applications) (Львов, 26-30 мая, 2004) - приглашенный лектор;

Международная конференция по топологии и ее приложениям (2006 Internatioanl Conference on Topology and its Application) (Аегеон, 23-26 июня, 2006) - приглашенный участник;

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах, список которых приводится в конце автореферата [1-22].

Структура и объём работы.

Диссертация занимает 182 страницы текста и состоит из введения, пяти глав, разбитых на семнадцать разделов и списка литературы, включающего 88 наименований. Нумерация утверждений тройная - номер главы, номер раздела и собственный номер, например, лемма 3.2.1 - лемма 1 второго раздела третьей главы.

Основное содержание работы

Первая глава. Основными результатами здесь являются теорема сложения для P-trind и вытекающее из нее следствие.

Теорема 1.2.1 Пусть X = X1 X2 есть регулярное T1 -пространство, являющееся объединением двух своих замкнутых подмножеств Xi, i = 1, 2.

(i) Если n есть целое число 0 и P-ind Xi n для каждого i = 1, 2, (ii) Если 1, 2 есть ординальные числа 0 и P-trind Xi i для каждого i = 1, 2, тогда Следствие 1.2.1 Пусть X = n+1 Xk есть регулярное T1 -пространство, являющееся объединением своих замкнутых подмножеств Xi, i = 1,.., n+ 1, n 0, и m такое целое число, что n 2m 1.

(i) Если q есть целое число 0 и max{P-ind Xk } q, тогда P-ind X (ii) Если есть ординальное число 0 и max{P-trind Xk }, тогда Теоремы сложения для замкнутых множеств для размерностей ind (trind ) и cmp (trcmp ), а также других частных случаев получаются простой заменой P-ind (P-trind ) в сформулированных выше утверждениях на соответствующую пару.

Мотивацией присутствия произвольного ординального числа в теореме сложения для замкнутых множеств для размерности trind является существование пространств (даже метризуемых) размерности trind = (доказано независимо Пасынковым14 и Хаттори (Hattori)15 ).

Следующее утверждение из главы 1 усиливает этот результат и одновременно дает аналогичную мотивацию для функций trcmp и tricd (частный случай P-trind, когда P - класс пространств метризуемых полной метрикой).

Теорема 1.3.1 Для всякого порядкового числа существует такие метризуемые пространства Y и Z, что Заметим, что неравенства tricd X trcmp X trind X верны для любого метризуемого пространства X.

Вторая глава.

Здесь обсуждаются приложения Теоремы 1.2.1 для размерности ind (trind ) при доказательствах различных теорем сложения и умножения в общих пространствах.

Хорошо известно, что (5) ind (X1 X2 ) ind X1 + ind X2 + 1, если пространство X1 X наследственно нормально.

(Заметим, что утверждение (5) не имеет аналога для функции cmp.) Естественно спросить, что можно сказать о размерности ind от объединения X1 X2, не являющегося наследственно нормальным пространством.

Пусть d - размерностная функция, монотонная по замкнутым подмножествам. Говорят, что в пространстве X имеет место конечная теорема суммы для d в размерности k 0 (кратко, КТС(d, k)), если для любой пары замкнутых подмножеств F1, F2 пространства X с d F1, d F2 k справедливо неравенство d (F1 F2 ) k.

Если в пространстве X КТС(d, k) имеет место для каждого k 0, тогда говорят, что в X имеет место конечная теорема суммы для размерности d (кратко, КТС(d )).

Одной из теорем сложения, имеющей также трансфинитный аналог, является Теорема 2.1.1 Пусть регулярное T1 -пространство X есть объединение двух непустых множеств X1 и X2 с Ind X1 = n и Ind X2 = m, где n, m есть целые числа 0. Тогда Б. А. Пасынков, О трансфинитных размерностях, Ленинградская Международная Топологическая Конференция, 1982, Тезисы, Y. Hattori, Solutions to problems concerning transnite dimension, Ques. Ans. Gen. Topology 1 (1983), 128- (i) ind X 2(n + m + 1); и более того, (ii) ind X n + m + 1, если в пространстве X имеет место КТС(ind ).

Пока не известно можно ли заменить в указанном выше результате у слагаемых X1 и X2 размерность Ind на размерность ind.

Отметим, что для “родственницы” размерности ind, индуктивной размерности ind 0, введенной независимо Филипповым (см. 16 ) и Хараламбусом (Charalambous)17 и совпадающей с размерностью ind в классе совершенно нормальных пространств, строится такое компактное и наследственно нормальное пространство S, что ind 0 S =, и одновременно пространство S есть объединение двух всюду плотных дизъюнктных подмножеств с ind 0 = 0 (Следствие 2.4.5).

Заметим также, что для размерности ind подобный результат невозможен, так как имеет место Теорема 2.1.4 Если регулярное T1 -пространство X есть объединение X1... Xn+1, где для каждого i = 1,..., n + 1 подмножество Xi или всюду плотно в пространстве X и имеет размерность ind Xi = 0, или дискретно в себе, тогда ind X n.

Напомним также, что Церетели18 построил пример вполне регулярного, ненормального пространства T с Ind T 2, являющегося объединением двух своих подмножеств T1, T2 с Ind Ti = 0 для каждого i = 1, 2. Причем множество T1 всюду плотно в T, а множество T2 дискретно в себе.

Хорошо известно, что (6) если в пространствах X и Y имеет место КТС(ind ), тогда (доказано Пасынковым19 для вполне регулярных пространств и Басмановым20 для регулярных T1 -пространств) Положим для каждого пространства X КТС(d, X) = А. В. Иванов, О размерности не совершенно нормальных пространств, Вестник МГУ, сер. Мат.

Мех. 31: 4 (1976) 21- M.G. Charalambous, Uniform dimension functions, Ph. D. thesis, University of London, I. Tsereteli, Counterexamples in dimension theory, Q & A in General Topology, 20 (2002) 139- Б.А. Пасынков, Об индуктивных размерностях, ДАН СССР 189 (1969) 254- В. Н. Басманов, Об индуктивных размерностях произведений пространств, Вестник МГУ, сер. Мат.

Мех. 36: 1 (1981) 17- Имеет место следующая Теорема 2.2.2 Пусть X и Y - непустые топологические пространства с ind X = n и ind Y = m. Пусть также КТС(ind, X), КТС(ind, Y ) k для некоторого k = 0, 1,... или. Тогда Заметим, что для k = 0 имеем случай общих пространств (утверждение имеет трансфинитный аналог), k = 1 покрывает ситуацию, когда сомножители являются компактами (в этом случае утверждение хорошо согласуется с известным примером Филиппова21 двух компактов: один одномерен, второй двумерен в смысле размерности ind, а их произведение имеет ind = 4), k = соответствует утверждению (6).

Далее обсуждается вопрос, когда выполнение КТС(ind ) в пространстве гарантирует совпадение размерностей ind и Ind.

Хорошо известно, что для всякого сепарабельного метризуемого пространства X имеем ind X = Ind X. Заметим, что X L M, где L - класс линделёфовых пространств, а M класс метризуемых пространств. Дальнейшие усиления этого утверждения были связаны с расширениями классов L и M. Так Мизоками (Mizokami)22 доказал совпадение ind и Ind для пары: (порядково тотально паракомпактные пространства и тотально нормальные пространства), а Энгелькинг (Engelking)23 для пары: (-тотально паракомпактные пространства и сильно наследственно нормальные пространства).

Напомним, что -тотально паракомпактные пространства являются порядково тотально паракомпактными, а тотально нормальные пространства являются сильно наследственно нормальными.

Естественно возникает вопрос (поставлен Энгелькингом (Engelking)) о равенстве ind X = Ind X для всякого порядково тотально паракомпактного сильно наследственно нормального пространства X. Следствие 2.3. отвечает на него положительно.

Третья глава.

Здесь рассматривается поведение размерности trind в классе сепарабельных метризуемых пространств, при этом в доказательствах утверждений наряду с Теоремой 1.2.1 используются развитые в этой главе методы специальных и оптимальных разложений.

В. В. Филиппов, Об индуктивной размерности произведений бикомпактов, ДАН СССР 202 (1972) 1016- T. Mizokami, The equality of large and small inductive dimensions, J. London Math. Soc. (2), 20 (1979) 541- R. Engelking, Theory of dimensions, nite and innite, Heldermann Verlag, Lemgo, 1995, p. Хорошо известно, что для всякого порядкового числа < 1 существуют метризуемые компакты X = X,i, Y = Y,i c trind X = trInd Y =, где все подмножества X,i, Y,i компактны и конечномерны.

Это утверждение показывает, что для трансфинитных размерностей trind и trInd в классе метризуемых компактов в общем случае нет счетной теоремы сложения для замкнутых множеств.

Однако когда счетные объединения замкнутых множеств имеют особый вид, удовлетворительные счетные теоремы сложения для размерностей trind и trInd существуют.

Разложение X = F Ei метрического пространства X на дизъi= юнктные множества называется A-специальным (B-специальным), если множества Ei открыто-замкнуты в пространстве X ( Ei открыто-замкнуты в X и limn (Ei ) = 0, где (A) есть диаметер множества A).

Первая теорема сложения для B-специальных разложений для размерностей trind и trInd звучит так.

Теорема 3.1.1 Пусть - ординальное число 0, а X = F Ei B-специальное разложение метрического пространства X. Тогда (i) trind X, если sup{trind F, trind Ei } ;

(ii) trInd X, если sup{trInd F, trInd Ei }, а пространство X есть метрический компакт.

Cледующее утверждение связывает A-, B-разложения.

Лемма 3.1.1 Пусть X - компактное метрическое пространство, и X = F Ei A-специальное разложение пространства X на дизъi= юнктные непустые подмножества, причем dimF = n 0. Тогда X = n+1 Zk, где каждое множество Zk замкнуто в пространстве X и допусk= кает B-специальное разложение Zk = F Ej с условием: включение Ej Ei имеет место лишь для конечного числа индексов j при каждом Теорема 3.1.1 вместе с Леммой 3.1.1 и Теоремой 1.2.1 позволяет доказать следующую теорему сложения для A-специальных разложений для размерности trind.

Теорема 3.1.2 Пусть X - компактное метрическое пространство, и ординальное число 0. Тогда справедливо следующее.

(i) Если X = F Ei - такое A-специальное разложение пространi= некоторого целого числа m, тогда trind X + m.

(ii) Если F есть такое замкнутое подмножество пространства X, для некоторого целого числа m, тогда trind X + m + 1.

Приведенные выше теоремы сложения для специальных объединений можно использовать при построении примеров пространств с различающимися размерностями trind, trInd и D (размерность Хендерсона (Hendersson)24 ), а также для доказательства любопытных теорем произведения.

Например, хорошо известно, что dim(X I k ) = dim X + k для всякого нормального пространства X. Однако для трансфинитной размерности trind, как было впервые показано Люксембургом25 на примере пространства S 0 +3 = S 0 +2 I (определение см. ниже), такого равенства быть не может. (Напомним, что trind S 0 +3 = trind S 0 +2 = 0 + 2.) В диссертации предлагается более сильный результат.

Теорема 3.2.2 Пусть X - компактное метризуемое пространство, и trind X = 0. Пусть также множество F = X \ {x X :

существует такая открытая окрестность Ox точки x, что trind Ox < ()} конечномерно. Тогда найдется такое целое число k(dim F ), что для всякого конечномерного сепарабельного метризуемого пространства Y с dim Y k(dim F ).

Другим приложением специальных теорем сложения являются результаты о размерностных свойствах хорошо известных компактов из ранее цитированной работы Смирнова, являющихся источником многих примеров в трансфинитной теории размерности.

Напомним, что компакты Смирнова S 0, S 1,..., S,..., < 1, определяются следующим образом трансфинитной индукцией:

(i) S 0 есть одноточечное пространство, (iii) если есть предельное порядковое число 0, тогда