На правах рукописи
ЛАЙ ТХАНЬ ТУАН
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В
УПРУГИХ МОМЕНТНЫХ СРЕДАХ
Специальность 01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва – 2012
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»
доктор физико-математических наук, профессор,
Научный руководитель:
Тарлаковский Дмитрий Валентинович
Официальные оппоненты: Ерофеев Владимир Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А.Благонравова РАН, заместитель директора.
Земсков Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), доцент.
Ведущая организация: Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского (НИИ механики)
Защита состоится «09» ноября 2012 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 в ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)», по адресу: 125993, г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, дом 4.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».
Автореферат разослан «08» октября 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Федотенков Г.В.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. В настоящее время наиболее исследованными являются задачи о распространении нестационарных возмущений в классических упругих средах. При этом практически отсутствуют публикации по проблеме распространения нестационарных волн в упругих средах с учетом внутреннего момента количества движения (моментные среды). Наличие внутреннего момента количества движения связано с тем, что сплошная среда с микроскопической точки зрения состоит из частиц, обладающих согласованным моментом количества движения даже при нулевой макроскопической скорости. К таким средам относятся гранулированные среды, среды с гиромагнитными свойствами, магнитные жидкости, жидкие кристаллы и т.д. Поэтому исследование нестационарных процессов моментных сред представляет собой актуальную проблему.
Целью диссертационной работы является постановка и построение аналитических решений двухмерных задач о распространении нестационарных осесимметричных граничных возмущений в «неклассической» упругой среде со сферическими границами, в качестве модели которой выбран один из вариантов несимметричной теории упругости – псевдоконтинуум Коссера.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем.
1. Получены решения новых нестационарных осесимметричных задач о распространении поверхностных возмущений со сферическими границами (пространство со сферической полостью и сплошной шар) и о дифракции волны расширения (плоской или сферической) на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера;
2. Разработан и реализован алгоритм обращения преобразований Лапласа для коэффициентов рядов по полиномам Лежандра в полученных решениях.
Практическое значение работы. Полученные результаты обеспечивают возможность исследования поведения различных конструкций из композиционных материалов при действии на них нестационарных нагрузок, что особенно актуально при создании современных объектов авиационной и ракетнокосмической техники.
Достоверность и обоснованность научных положений и полученных результатов подтверждается использованием законов и уравнений механики деформируемого твердого тела, применением для решения начально-краевых задач строгих математических методов, а также сравнением результатов с известными решениями для частных случаев.
Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались на - Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, Московская обл., 2011, 2012 г.г.);
- Всероссийской конференции «Механика наноструктурированных материалов и систем» (Москва, Ленинградский проспект, 7, 13 – 15 декабря 2011 года);
- Московской молодежной научно-практической конференции «Инновация в авиации и космонавтике» (Москва, МАИ, 17 – 20 апреля 2012 г.);
- Ломоносовских чтениях. Подсекции: Механика деформируемого твердого тела. (Москва, МГУ, 16 – 20 апреля 2012 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в девяти печатных работах, в том числе в двух статьях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и содержит 111 страниц. Список используемой литературы включает 110 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, а также сформулированы цель и задачи, определена научная новизна, практическая и теоретическая ценность диссертационной работы.
В первой главе преведен обзор литературы, определена проблема получения аналитического решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела. Отмечено, что наибольшее развитие общей теории несимметричной упругости получили в конце 50-х – 70-х годов прошлого столетия В.
Новицкий, В.Т. Костер, Э.Л. Аэроб и Е.В. Кувшинский, Р.Д. Миндлин и Г.Ф.
Тирстен, Р.А. Тупин, И.А. Кунин, В.А.Пальмов, А.И. Лурье и др. Cовременные исследования задач моментных сред принадлежат следующим авторам: С.М.
Белоносову, Г.Л. Бровко, Г.А. Ванину, В.И. Ерофееву, В.В. Корепанову, М.А.
Кулешу, В.П. Матвеенко, Б.Е. Победре, А.Г. Угодчикову, Kumar Rajneesh, Liu Jun, Nistor I., Suiker A.S.J. Некоторые нестационарные задачи для моментных сред исследованы в работах А.А. Саркисяна, Birsan Mircea, Gheorghita Vitali, Han S.Y.
Здесь же приведена полная система уравнений несимметричной теории упругости, в которую входят линейные векторные уравнения движения в перемещениях, геометрические и физические соотношения. Сформулированы начальные и основные граничные условия для среды Коссера и псевдоконтинуума Коссера. С использованием представления полей перемещения и угла поворота в виде потенциальной и соленоидальной частей записана система уравнений движения относительно скалярных и векторных потенциалов.
Получены безразмерные уравнения осесимметричного движения относительно скалярного потенциала и ненулевой компоненты векторного потенциала для псевдоконтинуума Коссера в сферической системе координат а также соответствующие геометрические и физические соотношения:
где - оператор Лапласа;,, - безразмерные параметры, связанные с фиi r,, зическими характеристиками среды; ui и i - физические компоненты векторов перемещения u и поворота ; i j, i j, i j и i j i, j r,, физические компоненты тензоров деформаций, изгиба-кручения, моментных напряжений и напряжений.
Рассмотрены два типа волн растяжения-сжатия, распространяющиеся в бесконечном псевдоконтинууме Коссера: плоские и сферические. Показано, что для каждого из них потенциал перемещений есть суперпозиция двух волн: прямой (расходящейся) и обратной (сходящейся), распространяющихся со скоростью, равной единице.
Во второй главе построено решение осесимметричной задачи о распространении нестационарных возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера. На поверхности полости r 1 задано нормальное перемещение, а касательное перемещение и вращение отсутствуют:
В начальный момент времени среда находится в покое, что соответствует однородным начальным условиям. На бесконечности возмущения отсутствуют.
Для решения задачи используется метод неполного разделения переменных, который заключается в представлении потенциалов и компонент напряженнодеформированного состояния среды, а также правых частей граничных условий в ряды по многочленам Лежандра Pn cos и Гегенбауэра Cn1 cos. В результате приходим к начально-краевым задачам и соответствующим геометрическим и физическим соотношениям относительно коэффициентов рядов.
Для решения задач (5) используется преобразование Лапласа по времени ( s - параметр, индекс « L » соответствует изображению):
Общее решение уравнений (6) с учетом ограничения решений в бесконечности записывается в виде:
Используя связь модифицированных функций Бесселя полуцелого индекса с элементарными функциями, получаем изображения коэффициентов рядов для потенциалов перемещений ( AnL s, Bnm s - новые произвольные функции):
где Постановка (8) в преобразованные по Лапласу геометрические соотношения относительно коэффициентов рядов приводит к следующим выражениям для изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота:
где Используя эти соотношения и преобразованные по Лапласу граничные условия (5), получаем следующие представления изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота (для краткости приведена формула только для нормального перемещения):
Здесь Формулы для функций WnL r, s получаются из соответствующего равенства для WnL r, s с помощью умножения на (-1) и перемены местами 1 и 2.
Структура изображений (10) не позволяет найти оригиналы аналитически ся асимптотика решений в окрестности начального момента времени, что соответствует разложениям изображений в ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. В результате приходим к разложениям всех слагаемых изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота. Например, для нормального перемещения они имеют следующий вид:
Оригиналы коэффициентов рядов (11) находятся с помощью теорем операционного исчисления и следующих табличных соотношений:
где Г - гамма-функция; D x - функция параболического цилиндра;
x x H x ; H x - функция Хевисайда.
Приведен пример расчетов. В качестве материала, заполняющего пространство выбран зернистый композит из алюминиевой дроби в эпоксидной матрице ( 7.59 ГПа, 1.89 ГПа, 2.64 кН ), что соответствует безразмерным параметрам 0.67, 0.00232. На поверхности полости заданы перемещения следующего вида:
На рисунках 1 – 2 изображены графики нормального перемещения w r,, в зависимости от времени на расстояниях r 1.01, r 1.03, r 1.05 и r 1.08 от центра полости при значениях угла 0, 4. Все графики построены для четырех членов степенных рядов. При учете еще одного члена результаты практически совпадают.
Во третьей главе решается задача о дифракции нестационарных волн на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера. На сферическую полость набегает волна расширения-сжатия одного из двух типов: плоская или сферическая (рис. 3).
Соответствующие потенциалы набегающей волны в безразмерном виде записываются так (индекс « 0» соответствует набегающей волне):
где l r 2 d 02 2rd0 cos ; d 0 D0 R0 ; f - произвольная функция, задающая закон изменения потенциала во времени.
Предполагается, что начальные условия однородные, на бесконечности возмущения отсутствуют, а поверхность полости r 1 свободна от напряжений при наличии стесненности поворотов, что соответствует следующим граничным условиям:
Используя метод неполного разделения переменных, преобразование Лапласа по времени для коэффициентов рядов по полиномам Лежандра и Гегенбауэра, а также физические соотношения относительно коэффициентов рядов для компонентов возмущенного состояния. В частности, для напряжений они записываются так:
где (14), геометрических и физических соотношений.
Удовлетворение граничным условиям приводит к следующим окончательным выражениям для изображений коэффициентов рядов для перемещений, угла поворота и напряжений (здесь указаны только нормальные напряжения):
где Структура изображений (17) не позволяет найти оригиналы аналитически.
Поэтому аналогично главе 2 строится асимптотика решений в окрестности начального момента времени. Окончательно получаем выражения для всех слагаемых изображений коэффициентов рядов для напряжений и угла поворота (здесь приведено только нормальное напряжение):
Оригиналы коэффициентов рядов в (18) находятся с помощью теорем операционного исчисления и формул (12).
Приведены примеры расчетов для указанного выше материала в случае плоской волны. Функция, задающая закон изменения потенциала во времени принимается в виде f 2, что соответствует равенству единице нормальных напряжений на фронте волны в момент 0 ее касания поверхности полости:
На рис. 4 – 5 изображены графики радиального напряжения rr r,, в зависимости от времени на расстояниях r 1.01, r 1.03, r 1.05, r 1.08 от центра полости при значениях 0, 2. Все графики соответствуют девяти членам степенных рядов и n 4.
В четвертой главе дано решение задачи о распространении нестационарных возмущений от границы сплошного шара. На поверхности шара заданы граничные условия (4). Начальные условия являются нулевыми. Предполагается, что все компоненты напряженно-деформированного состояния ограничены.
Общее решение системы уравнений (6) с учетом ограничения решения в центре шара имеет следующий вид:
где I z - модифицированные функции Бесселя порядка первого рода, а 1, - корни указанного в главе 2 характеристического уравнения.
Используя связь I n 1/2 z с элементарными функциями, получаем изображения коэффициентов рядов для потенциалов перемещений:
Аналогичные главе 2 преобразования приводят следующим окончательным выражениям для изображений коэффициентов рядов для компонентов напряженно-деформированного состояния (указано только нормальное перемещение):
Для построения оригиналов решения аналогично главам 2, 3 представляем изображения в виде рядов по степеням s 1/2 в окрестности бесконечно удаленной точки.
Для этого используется следующее разложение функции Z n s :
Здесь величины d и di ( i 0,6 ) есть определители третьего порядка:
а K ; k0, k1,..., k6 K ! k1 !k2 !...k6 ! - мультииндекс.
Учитывая правила действий со степенными рядами, для степеней величины d и di ( i 0,6 ) получаем:
Отсюда находим изображения всех слагаемых для изображений коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота (приведено только первое слагаемое для нормального перемещения в (21)):
Здесь При этом экспонентная часть в (25) записывается в таком виде 0,2 :
Окончательно получаем выражения для всех слагаемых в изображениях коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота. Например, первое слагаемое для нормального перемещения имеет вид:
где Оригиналы коэффициентов рядов для перемещений и угла поворота находятся с помощью теорем операционного исчисления и формул (12).
Приведен пример расчетов для того же материала, что и в примерах глав 2 и 3. На поверхности шара заданы перемещения вида (13). На рис. 6 – 7 продемонстрировано нормальное перемещение w r,, в зависимости от времени на расстояниях r 0.99; 0.95; 0.92; 0.88 от центра шара при 0, 4 и K 1. Они соответствуют четырем членам степенных рядов. При разных значениях K 1 или учете еще одного члена степенных рядов графики практически совпадают.
В главах 2, 3, 4 проведен предельный переход к симметричной теории упругости. Для этого в полученных соотношениях (10), (17), (21) полагается, что 0 и 0. При этом для 1,2 имеют место следующие соотношения:
Полученные результаты показывают совпадают с точностью до обозначений с известными решениями соответствующих задач.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ
1. С помощью представления искомых функций в виде рядов по полиномам Лежандра и преобразования Лапласа получены решения новых нестационарных осесимметричных задач о распространении поверхностных возмущений в псевдоконтинууме Коссера со сферическими границами (пространство со сферической полостью и сплошной шар).2. Проведено исследование влияния на напряженно-деформированное состояние среды различного типа поверхностных возмущений (кинематических и силовых).
3. С использованием результатов для задачи о распространении поверхностных возмущений построено решение новой задачи о дифракции волны расширения (плоской или сферической) на сферической полости в псевдоконтинууме Коссера.
4. Для изображений преобразования Лапласа, содержащих множители в виде экспонент с радикалами, разработан алгоритм обращения для коэффициентов рядов по полиномам Лежандра, основанный на разложении изображений в ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, что соответствует степенным рядам в окрестности начального момента времени. Построена и реализована методика определения коэффициентов этих рядов.
5. Проведено численное исследование сходимости в полученных решениях рядов по полиномам Лежандра и степенных рядов по времени.
6. Выполнен предельный переход в полученных решениях к классической теории упругости. Показано совпадение с известными результатами.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
В рецензируемых научных изданиях и журналах:1. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных кинематических возмущений от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Механика композиционных материалов и конструкций, 2011. Т. 17, № 2. – С. 184 – 195.
2. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Электронный журнал «Труды МАИ», 2012, № 53, www.mai.ru/science/trudy/.
В других научных изданиях и журналах:
1. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от сферической полости в упругом моментном пространстве // Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им.
А.Г. Горшкова. Т.2. – Чебоксары: ГУП «ИПК «Чувашия», 2010. – С. 66.
2. Лай Тхань Туан, Дмитрий Тарлаковский. Осесимметричные нестационарные волны в упругой моментной среде со сферической полостью // Математичнi проблеми механiки неоднорiдних структур / Львiв: Iнститут прикладних проблем механiки i математики iм. Я. С. Пiдстригача НАН Украiни, 2010. – С.
442 – 443.
3. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Дифракция нестационарных волн на сферической полости в сфере псевдокоссера // Механика и наноструктурированных материалов и систем / Труды Всероссийской конференции. Т. I. Москва, 13-15 декабря 2011 г. – М.: Альянстрансатом, 2011. - С. 65-74.
4. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Нестационарные волны в заполненном упругой средой псевдокоссера шаре // «Механика наноструктурированных материалов и систем». Материалы Всероссийской конференции. Москва, 13 ноября – 15 декабря 2011 г. – М.: ИПРИМ РАН, 2011. – С. 97.
5. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Нестационарные осесимметричные граничные возмущения от сферической полости в псевдоконтинууме Коссера // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова.
Т.2. – М.: ООО «TP-принт», 2011. – С. 28 – 29.
6. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Нестационарные осесимметричные возмущения от границы сплошного шара, заполненного упругой моментной средой // Материалы XVIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.
Горшкова. Т.2. – М.: ООО «TP-принт», 2012. – С. 41 – 43.
7. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Дифракция плоских (сферических) волн на сферической полости в псевдоконитууме Коссера // Московская молодежная научно-практическая конференция «Инновации в авиации и космонавтике - 2012» 17-20 апреля 2012 года. Москва. Сборник тезисов докладов конференции. - М.: ООО «Принт-салон», 2012. - С. 272-273.