АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ

ТЕХНОЛОГИЙ

_

На правах рукописи

УДК 515.12

Тожиев Илхом Ибраимович

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА

ИДЕМПОТЕНТНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НА АЛГЕБРЕ

НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ КОМПАКТА

01.01.04 – Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент –

Работа выполнена в Институте математики и информационных технологий Академии Наук Республики Узбекистан

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, академик АН РУз Аюпов Шавкат Абдуллаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Рахимов Абдугафур Абдумажидович кандидат физико-математических наук Давлетов Давронбек Эгамберганович

Ведущая организация : Каракалпакский государственный университет имени Бердаха

Защита состоится « » _ 2012 г. в « » часов в ауд. 4-16 на заседании Специализированного Совета Д 015.17.01 при Институте математики и информационных технологий по адресу: 100125, Ташкент, ул. Дурмон йули, 29.

С диссертаций можно ознакомиться в библиотеке Института математики и информационных технологий АН РУз

Автореферат разослан «» 2012г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, доктор физико-математических наук А.А.Заитов

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность работы. Теория идемпотентных мер принадлежит к идемпотентной математике, т.е. области математики, основанной на замене обычных арифметических операций идемпотентными. Идемпотентная математика в настоящее время интенсивно развивается. Ее связь с традиционной математикой описана неформальным принципом, согласно которому существует эвристическое соответствие между важными, интересными и полезными конструкциями последней и аналогичными результатами идемпотентной математики.

В работах М.М.Заричного исследован функтор I идемпотентных вероятностных мер в категории компактных хаусдорфовых пространств. В традиционной математике ему соответствует функтор вероятностных мер.

Идемпотентные меры (меры Маслова) находят многочисленные применения в различных областях математики, математической физики и экономики. В частности, в работе П.Бернарда такие меры возникают в задачах динамической оптимизации; аналогия между интегрированием Маслова и оптимизацией отмечена также в работе Ж.П.Аубина и О.Дордана.

В диссертации также изучен функтор идемпотентных вероятностных мер. Отметим, что ковариантные функториальные конструкции возникли в математике практически с самого начала зарождения общей топологии.

Например, метрика Хаусдорфа на множестве непустых замкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства, топология Вьеториса на множестве непустых замкнутых подмножеств топологического пространства, топологическое произведение топологических пространств и другие.

Начало исследований нормальных ковариантных функторов в категории компактов и их непрерывных отображений и в различных других категориях восходит к фундаментальной работе Е.В. Щепина, где он выделил ряд элементарных свойств ковариантных функторов в категории компактов и ввел понятие нормального функтора.

В отличие от случая вероятностных мер, топологические свойства пространств идемпотентных мер практически достаточно не исследовались.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию топологических свойств функтора I в категории компактов и их непрерывных отображений.

идемпотентных вероятностных мер обнаружена в работах М.Заричного.

Ранее, Т.Радул установил ряд свойств функтора слабо аддитивных функционалов. Отметим, что функтор I является подфунктором функтора O слабо аддитивных функционалов. В работах Ш.А.Аюпова и А.А.Заитова были рассмотрены продолжения этого функтора в категорию тихоновских пространств и их непрерывных отображений. Результаты, полученные в этих работах дают возможность провести исследование по функтору I.

Связь диссертационной работы с тематическими планами НИР.

Исследования проводились по проекту Ф.1.1.3 программы фундаментальных исследований IФ «Математика, механика, информатика».

Тема диссертации утверждена на Ученом совете Института математики и информационных технологии АН РУз «26» октября 2011 года (протокол № 7).

Цель исследования.

Как выше было отмечено, что идемпотентные вероятностные меры имеют прикладные применения. Но, до сих пор топологические свойства пространств идемпотентных вероятностных мер практически достаточно не исследованы. Целью диссертационной работы является получение топологических свойств пространства идемпотентных вероятностных мер, которые дают возможность использовать эти меры, в случае когда исходное пространство – метрический компакт.

Задачи исследования.

1) Установить топологические свойства пространства идемпотентных вероятностных мер. В частности, построить метрику на I ( X ), зависящую от исходной метрики на X ;

2) Установить равномерную метризуемость функтора I.

Объекты исследования: идемпотентные вероятностные меры, пространство и функтор этих мер.

Предмет исследования: общая топология, идемпотентный анализ, теория ковариантных функторов, теория слабо аддитивных функционалов.

Методы исследования. В диссертации применены методы общей топологии, теории ковариантных функторов, функционального анализа, теории слабо аддитивных функционалов.

Основные положения, выносимые на защиту:

построена метрика на пространстве I ( X ) идемпотентных вероятностных мер, зависящая от метрики на исходном метрическом компакте X ;

показано, что построенная метрика на I ( X ) есть продолжение исходной метрики на X, а также, доказано, что топология, порожденной построенной метрикой и топология поточечной сходимости совпадают;

• установлено, что при некоторых дополнительных условиях функтор идемпотентных вероятностных удовлетворяет всем условиям равномерной метризуемости функторов.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

– установлено неравенство wX 1 как только I ( X ) – диадический компакт, где wX – вес компакта X и 1 – первый несчетный ординал;

– построены аффинные представления идемпотентных вероятностных мер с конечными носителями;

– получены представления замкнутых подмножеств компакта X идемпотентными вероятностными мерами на X ;

– предложена метрика на пространстве I ( X ) идемпотентных вероятностных мер, порождающая топологию поточечной сходимости на I ( X );

– показано, что при некоторых дополнительных условиях функтор идемпотентных вероятностных мер обладает всеми свойствами равномерной метризуемости.

Научная и практическая значимость результатов исследования.

В работе изучены топологические свойства пространства I ( X ) идемпотентных вероятностных мер. Результаты и методы, представленные в работе, могут быть использованы при исследованиях по общей топологии, идемпотентном анализе, функциональном анализе, теории ковариантных функторов и теории слабо аддитивных функционалов, а также в специальных курсах для магистров в высших учебных заведениях.

Реализация результатов. Диссертационная работа носит теоретический характер.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре «Операторные алгебры и их приложения» (Институт математики и информационных технологий АН РУз, руководитель: академик Ш.А.Аюпов, 2009-2012 гг.), на семинаре «Современные проблемы теории управления и теории слоений» (Национальный университет Узбекистана, руководитель:

проф. А.Я.Нарманов, 2009-2012 гг.), на городском семинаре по функциональному анализу (Национальный университет Узбекистана, руководитель: проф. В.И.Чилин, 2011-2012 гг.). А также результаты докладывались на Республиканской научной практический конференции «Современная математика и проблемы методики обучения» (ТГПУ имени Низами, Ташкент, 2010г.).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8], список которых приведен в конце автореферата. В работе [1] метод изложения, а в работе [2] идея доказательство теоремы 8 принадлежат А.А.Заитову, остальные результаты в этих работах принадлежат диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего наименований. Полный объем диссертации – 90 страниц.

2. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

неотрицательных вещественных чисел (относительно обычных операций).

Положим u v = max {u, v}, u v = u + v, 0 =, 1 = 0. Тогда множество R {} образует так называемое «полуполе» относительно операций u v = max {u, v} и u v = u + v, нуля 0 = и единицы 1 = 0. Полученное коммутативное полуполе принято обозначать через R max. Оно идемпотентно, т.е. x x = x всех x R max. Изложенная конструкция восходит к работам В.П.Маслова.

Пусть X компакт, C ( X ) алгебра непрерывных функций на X. На C(X ) можно определить операции и следующим образом:

обозначим постоянную функцию, везде на X принимающую значение.

идемпотентной вероятностной мерой, если он обладает следующими свойствами:

Для компакта X множество всех идемпотентных вероятностных мер : C ( X ) R обозначается через I ( X ). Ясно, что I ( X ) R ( ). Множество I ( X ) снабжается топологией, индуцированной топологией тихоновского произведения R ( ). Предбазу окрестностей идемпотентной вероятностной меры I ( X ) образуют множества вида Очевидно, что конструкция I определяет ковариантный функтор в категории компактов.

Поскольку функтор I в категории компактов сохраняет класс вложений и пересечений, для идемпотентных вероятностных мер можно определить понятие носителя. Именно, для идемпотентной вероятностной меры I ( X ) множество supp = { A : A замкнутое в X множество, такое, что I ( A)} Для непрерывного отображение f : X Y компактов отображение I ( f ) : I ( X ) I (Y ) определим по правилу Для натурального n положим Определим следующее множество Известно, что множество I ( X ) (т.е., множество идемпотентных мер с конечными носителями) всюду плотно в пространстве I ( X ).

В первом параграфе второй главы дана оценка веса компакта X, когда I ( X ) является диадичным компактом. Кроме того, даны элементарные свойства пространства идемпотентных вероятностных мер.

В работе Шапиро установлено, что если P ( X ) – диадический компакт, то w( X ) 1, где 1 – первый несчетный ординал. Напомним, что диадический компакт – это компакт, являющийся непрерывным образом канторова куба D веса, где D = {0,1} – двухточечное пространство с дискретной топологией, – бесконечный кардинал; для пространства X через wX обозначается вес пространства X, т.е. наименьшее из кардинальных чисел, являющихся мощностями каких-либо баз пространства Следующее утверждение является одним из основных результатов первого параграфа второй главы.

Теорема 2.1.3. Если I ( X ) – диадический компакт, то wX 1.

замкнутое, U – открытое подмножества X,. Положим:

где A – характерикческая функция множества A X.

Здесь имеет место следующая Теорема 2.1.11. Пусть F – замкнутое подмножество компакта X, I ( X ). Тогда следующие условия равносильны:

Во втором параграфе второй главы приведены аффинные представления идемпотентных вероятностных мер.

Рассмотрим пространство P ( X ) положительных, нормированных, линейных функционалов на C ( X ).

Определение 2.2.1. Функционал :C ( X ) R называется:

1) слабо аддитивным, если для всех cR и C ( X ) выполняется 2) сохраняющим порядок, если для функций, C ( X ) из 3) нормированным, если (1X ) = 1;

4) положительно-однородным, если ( ) = ( ) для всех C ( X ), Для компакта X через OS ( X ) обозначается множество всех функционалов, обладающими пяти свойствами из определения 2.2.1.

Элементы множества полуаддитивными функционалами. OS ( X ) снабжается топологией поточечной сходимости. Для любого компакта X пространство OS ( X ) является выпуклым компактом.

Теперь для компакта X выделим следующее множество Известно, что для любого компакта X множество Pm ( X ) является компактом в R C ( X ). Кроме того, для любого компакта X множество Pm ( X ) является подпространством пространства OS ( X ).

Пусть T = { x1,..., xk } X – произвольное k -точечное множество, T1 = { x2,..., xk } X, …, Tk = { x1,..., xk 1} X – ( k 1) -точечные подмножества T. Для каждого i {1,..., k } положим Рассмотрим следующее множество Ясно, что B (T ) Pm ( X ).

Основным результатом здесь является следующая Теорема 2.2.2. Пусть X – компакт, T = { x1,..., xk } – конечное подмножество компакта X. Тогда подпространства B (T ) ( Pm ( X ) ) и I (T ) ( I ( X ) ) гомеоморфны.

Следствие 2.2.3. Для любого компакта X пространство OS ( X ) полуаддитивных функционалов содержит подпространство, гомеоморфное пространству I ( X ).

В третьем параграфе второй главы установлено, что пространство замкнутых подмножеств (метризуемого компакта) с топологией Вьеториса изометрически вкладывается в пространство идемпотентных вероятностных мер с топологией поточечной сходимости.

Пусть F – непустое замкнутое подмножество компакта X. Положим Ясно, что F является идемпотентной вероятностной мерой. Для компакта X обозначим через ( X ) множество всех функционалов вида F, F замкнутое множество в X. ( X ) рассматривается как подпространство пространства I ( X ). Легко проверить, что suppF = F. Поэтому между множествами ( X ) и exp X существует взаимно однозначное соответствие.

Отметим, что это соответствие есть гомеоморфизм между пространствами ( X ) с топологией поточечной сходимости и exp X с топологией Вьеториса. Напомним, что топология Вьеториса на exp X вводится с помощью базы, которая состоит из множеств вида Для замкнутых подмножеств F1 и F2 компакта X введем следующее обозначение где i : X X X – проектирование на i -ый сомножитель. Отметим, что множество (F1, F2 ) не пусто.

Нами показано предложение 2.3.1 в диссертации, что для каждого существует множество E F1 F2, такое, что = E и i ( E ) = Fi, Для замкнутых подмножеств F1 и F2 компакта X обозначим Согласно предложению 2.3.1 имеем F12. Отметим, что множество F замкнуто в exp ( F1 F2 ), т.е. F12 является (предложение 2.3.2 в диссертации) компактом относительно топологии, индуцированной из exp ( F1 F2 ).

При этом для каждой пары функционалов F1, F2 ( X ) существуют (F1, F2 ) = E ( ) = ( x1, x2 ) (лемма 2.3.3).

Более того, функция : ( X )( X ) R, определенная по формуле (1), является метрикой на ( X ), продолжающей метрику : X X R (лемма 2.3.4).

Как известно, если X – метризуемый компакт, то метрика Хаусдорфа H на пространстве expX непустых замкнутых подмножеств компакта X определяется по правилу где B ( Fi ) = { x X : ( x, Fi ) } – замкнутая -окрестность множества Fi, Основным результатом главы является следующая изометрически изоморфны.

В третьей главе диссертации изучены топологические свойства пространства идемпотентных вероятностных мер. В первом параграфе построена метрика сначала на пространстве идемпотентных вероятностных мер с конечными носителями I ( X ), а потом она продолжена на пространство всех идемпотентных вероятностных мер I ( X ).

Пусть I ( X ). Тогда множество supp = S = { x1, x2,..., xs } конечно и допускает единственное (с точностью до перестановки) разложение Числа i R max, 1 i s, удовлетворяют условию Точки x1, x2,..., xs назовем max -координатами идемпотентной вероятностной меры, а числа i – max -массами, соответствующими max -координатам xi, i = 1,..., s.

Для идемпотентных вероятностных мер 1, 2 –с конечными носителями S i = xi1, xi 2,..., xini, i = 1, 2, положим где i : X X X проектирование на i -ый сомножитель, i = 1, 2.

По определению имеем идемпотентной вероятной меры ( 1, 2 ). С другой стороны, так как множество конечно, то существует число Положим Одним из ключевых результатов является следующая Теорема 3.1.4. Функция H : I ( X ) I ( X ) R является метрикой.

Для идемпотентных вероятностных мер 1, 2 с конечными носителями положим Здесь установлено следующее важное Предложение 3.1.5. Функция : I ( X ) I ( X ) R является метрикой.

Теорема 3.1.8. Метрика порождает на I ( X ) топологию поточечной сходимости.

Отметим, что метрическое пространство ( I ( X ), ) не полно. Через I * ( X ) обозначим пополнение I ( X ), а через d – продолжение на I * ( X ).

Основным результатом параграфа является следующая Теорема 3.1.12. Пространства ( I ( X ), p ) и ( I * ( X ), d ) гомеоморфны.

снабженное топологией p поточечной сходимости.

Во втором параграфе третьей главы показывается, что при некоторых дополнительных условиях функтор I идемпотентных вероятностных мер обладает всеми свойствами равномерной метризуемости.

Одним из основных результатов главы является следующий результат.

Теорема 3.2.9. Функтор I обладает следующими свойствами:

Р1) Пусть ( X 1, 1 ) и ( X 2, 2 ) – метрические компакты. Если и I ( i ) : I ( X 1 ), 1, X1 I ( X 2 ), I2, X 2 – также изометричное вложение;

Р3) Для любого метризуемого компакта X, и для произвольной метрики на X имеет место равенство diam ( X, ) = diam ( I ( X ), I, X ) ;

непрерывным.

В диссертации приведены примеры, показывающие существенность дополнительных условий diam ( X 1, 1 ) = diam ( X 2, 2 ) в Р1), и взаимно однозначность отображения f : ( X 1, 1 ) ( X 2, 2 ) в Р4).

В диссертации получены топологические свойства пространства идемпотентных вероятностных мер на компакте. В ней получены следующие результаты:

Для веса wX компакта X установлено неравенство wX 1 как только I ( X ) – диадический компакт, где 1 – первый несчетный ординал.

Построены аффинные представления идемпотентных вероятностных мер с конечными носителями.

Получено представления замкнутых подмножеств компакта X идемпотентными вероятностными мерами на X.

Предложена метрика на пространстве I ( X ) идемпотентных вероятностных мер, порождающая топологию поточечной сходимости на I ( X ).

Установлено, что при некоторых дополнительных условиях функтор идемпотентных вероятностных мер обладает всеми свойствами равномерной метризуемости.

Эти результаты новые, и они могут быть применени в дальнейших исследованиях по общей топологии, идемпотентному анализу, теории ковариантных функторов.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, академику АН РУз, профессору Шавкату Абдуллаевичу Аюпову за ценные советы и внимание к работе.

4. СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ:

1. Заитов А.А., Тожиев И.И. Об идемпотентных вероятностных мерах.

//Труды межд.науч.-практ.конф. «Казахстан в новом мире и проблемы Национального образования», посв. 10-л. ун-та «Сырдарья». Т. III. 16мая 2008 г. – Жетысай. 2008. – С. 81-83.

2. Заитов А.А., Тожиев И.И. Функциональные представление замкнутых подмножеств компакта. //Узбекский математический журнал. – Ташкент, 2010. – № 1. – С. 53-63.

3. Заитов А.А., Тожиев И.И. Элементарные свойства идемпотентных вероятностных мер. //Науч.-практ.конф. «Современная математика и проблемы методики обучения», посв. 70-л. каф. математический анализ при ТГПУ имени Низами. – Ташкент. 2010. – часть I. – С. 84-86.

4. Тожиев И.И. Аффинные представления идемпотентных вероятностных мер. //Вестник Кыргызско-Российского-Славянского университета. – Бишкек, 2010. – Том 10. № 9. – С. 44-46.

5. Тожиев И.И. Об одной метрике пространства идемпотентных вероятностных мер. //Узбекский математический журнал. – Ташкент, 2010. – № 4. – С. 165-172.

6. Заитов А.А., Тожиев И.И. Функтор идемпотентных вероятностных мер и равномерная метризуемость функторов. //Узбекский математический журнал. – Ташкент, 2011. – № 2. – С. 66-74.

7. Zaitov A.A., Tojiev I.I. On a metric on the space of idempotent probability measures. //arXiv:1006.3902v2 [math.GN] 15 Mar 2012.

8. Zaitov A.A., Tojiev I.I. On uniformly metrizability of the functor of idempotent probability measures. //arXiv:1204.0074v1 [math.GN] 31 Mar 2012.

Физика-математика фанлари номзоди илмий даражасига талабгор И.И.Тожиевнинг 01.01.04 Геометрия ва топология ихтисослиги бўйича «Компактдаги узлуксиз функциялар алгебрасидаги идемпотент-чизили функционаллар фазосининг топологик хоссалари» мавзусидаги диссертациясининг

РЕЗЮМЕСИ

Таянч сўзлар: идемпотент этимоллик ўлчовлари, метрика, текис метрикалашадиган функтор.

Тадиот объекти: идемпотент этимоллик ўлчовлари, бу ўлчовлар фазоси ва функтори.

Ишнинг масади: идемпотент этимоллик ўлчови фазосининг топологик хоссаларини ўрнатиш.

Тадиот усули: умумий топология, ковариант функторлар назарияси, функционал анализ ва суст аддитив функционаллар назариясининг усулларидан фойдаланилди.

Олинган илмий натижалар ва уларнинг янгилиги: ишда олинган натижалар янги бўлиб, уйидагилардан иборат: берилган X компакт учун агар I ( X ) диадик бўлса, wX 1 тенгсизлик ўрнатилди, бу ерда 1 – биринчи саносиз ординал; чекли элтувчили идемпотент этимоллик ўлчовларининг аффин тавсифлари урилди; X компактдаги ёпи тўпламларнинг X даги идемпотент этимоллик ўлчовлари орали тавсифлари олинди; I ( X ) даги нутали яинлашиш топологиясини осил илувчи метрика таклиф илинди; баъзи ўшимча шартларда идемпотент этимоллик ўлчовлари функторлари текис метрикаланиш хоссасига эга эканлиги кўрсатилди.

Амалий аамияти: диссертация натижалари назарий аамиятга эга.

Татби этиш даражаси ва итисодий самарадорлиги: ишда таклиф этилган натижалар ва методлар умумий топология, функционал анализ ва ковариант функторлар назарияларидан махсус курслар ўишда ўлланилиши мумкин.

ўлланиш соаси: диссертация натижалари умумий топологияда, ковариант функторлар назариясида ва функционал анализда ўлланилиши мумкин.

РЕЗЮМЕ

диссертации Тожиев И.И. на тему: «Топологические свойства пространства идемпотентно-линейных функционалов на алгебре непрерывных функций компакта» на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 – Геометрия и топология Ключевые слова: идемпотентная вероятностная мера, метрика, равномерно метризуемый функтор.

Объекты исследования: идемпотентные вероятностные меры, пространство и функтор этих мер.

Цель работы: установить топологических свойств пространства идемпотентных вероятностных мер.

Методы исследования: применены методы общей топологии, теории ковариантных функторов, функционального анализа, теории слабо аддитивных функционалов.

Полученные результаты и их новизна: полученные в диссертации результаты являются новыми и они состоят в следующем. Для веса wX компакта X установлено неравенство wX 1 как только I ( X ) – диадический компакт, где 1 – первый несчетный ординал. Построены аффинные представления идемпотентных вероятностных мер с конечными носителями. Получено представления замкнутых подмножеств компакта X идемпотентными вероятностными мерами на X. Предложена метрика на пространстве I ( X ) идемпотентных вероятностных мер, порождающая топологию поточечной сходимости на I ( X ). Установлено, что при некоторых дополнительных условиях функтор идемпотентных вероятностных мер обладает всеми свойствами равномерной метризуемости.

Практическая значимость: результаты диссертации имеют теоретический характер.

Степень внедрения и экономическая эффективность: Результаты и методы, представленные в работе могут быть использованы при чтении специальных курсов по общей топологии, функциональном анализе и теории ковариантных функторов.

Область применения: общая топология, функциональный анализ и теории ковариантных функторов.

RESUME

Thesis of Tojiev Ilkhom Ibraimovich on the scientific degree competition of the doctor of Philosophy in Physics and Mathematics on specialty 01.01.04 – «Topological properties of the space of idempotent-linear functionals on the algebra of continuous functions on compactum»

Keywords: idempotent probability measures, metric, uniformly metrizable functor.

Subject of the research: idempotent probability measures, spaces and functors of such measures.

Purpose of work: to establish topological properties of the space of idempotent probability measures.

Methods of research: the methods general topology, covariant functors theory, functional analysis and order-preserving functionals theory are used.

The results obtained and their novelty: all of results in the thesis are new and they consist of the following. For a weight wX of a compactum X the inequality wX 1 is established when I ( X ) is diadyc compactum, where 1 is the first uncountable ordinal. Affine presentations of idempotent probability measures with finite supportrs are constructed. Presentations of closed subsets of a compactum X by idempotent probability measures on X are got. On I ( X ) a metric generated pointwise convergence topology on I ( X ) is offered. If is establish that the functor of idempotent probability measures satisfies all of the conditions of uniformly metrizablity of functors with some modifications.

Practical value: the results of the thesis have a theoretical character.

Degree of embed and economic effectivity: Results and methods introduced in the work can be used in special courses on general topology, functional analysis and theory of covariant functors.

Field of application: the results of the thesis may be used in general topology, covariant functors theory and functional analysis.