На правах рукописи

СКОМОРОХОВ Виктор Викторович

АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ВКЛЮЧЕНИЙ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ижевск 2003

Работа выполнена на кафедрах высшей математики Тамбовского государственного технического университета, алгебры и геометрии Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина.

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор А.И. Булгаков кандидат технических наук, профессор Н.П. Пучков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.Я.. Дерр доктор физико-математических наук, профессор Н.П. Осмоловский

Ведущая организация Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится " " 2003 г. в " " часов на заседании специализированного совета К 212.275.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмуртском государственном университете по адресу: 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1, корпус 4, ауд..

Отзывы в двух экземплярах, скрепленные гербовой печатью, просим направлять по адресу. 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1, корпус 4.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Удмурского государственного университета.

Автореферат разослан " " 2003 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент К п с нормой |ja;||c = max{|rc(t)| : t € [а,&]}; Dn[a,h\ - пространство абсолютно непрерывных функций х: [а, Ь] — К п с нормой > = \х(а)\ |i(s)|(is; Ln[a,b] — пространство суммируемых по + \\X\\D •За ь Лебегу функций х: [а, Ь] — R n с нормой [|sjji, = > \x(s)\ds.

Ja Обозначим через К([а, b] x K n x [0, оо)) множество всех функций г\: [а, Ь] х Шп х [0, оо) — [0, оо), обладающих следующими свойствами:

> а) при каждых (х, 8) € Жп х [0, оо) функция Т)( •, х, S) измерима;

б) при почти всех t [a,b] и всех 8 е [0,со) функция T)(t, -,8) непрерывна;

в) для каждых U G comp[R n ] и В € [0, со) существует такая суммируемая функция тпи,ь'- [а,Щ —* [0,оо), что при почти всех t € [а, Ь) и всех i 6 Р и т 6 [0,5] выполняется неравенство г) п р и п о ч т и в с е х t е [ а, Ь] и к а ж д о г о а; Е К " в ы п о л н я ю т с я р а в е н с т в а l i m г-»ж т)(, z, S ) = T)(i, х, 0 ) -•- 0.

comp[Rn] Если для каждого и 8 [0,оо) н а й д е т с я такая U € функция mu,s(-), определяющая множество К([а,Ь] х К " х [0,оо)), что она представляет собой константу, то множество таких функций т)( -, -, - ) € К{[а, 6] х R n х [0, со)) обозначим через К ([a, b] x R" х х[0,оо)).

Обозначим через Р([а, Ь] х Жп х [0, оо)) множество всех функций т\: [а,Ь] х R n х [0,оо) — [0,оо), обладающих свойствами из класса > п функций К ([а, Ь) хШ. х [0, со)), а также удовлетворяющих следующим условиям: для каждых U comp[Rn] и 8 € (0, оо) найдутся такие числа г(1/, 8) > 0 и (3(J7,8) ^ 0, что при почти всех t e [а,Ь] и всех х U число г({/, 8) удовлетворяет неравенству r(U, 8) < i](i, a:, S), а для числа Р(17,8) при почти всех * € [а, Ь], всех ж U и т е [0, S] имеет место оценка T)(i,, т) ^ р([/, 8).

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор основных результатов диссертации.

Первая глава посвящена изучению аппроксимации дифференциального включения с внешними возмущениями.

В данной главе вводятся основные определения и вспомогательные утверждения, используемые в диссертации, а именно понятие аппроксимации и модуля непрерывности многозначного отображения.

Будем говорить, что многозначное отображение F: [a, b] х Ж" х х [0, со) — comp[R n ] аппроксимирует отображение F: [а, Ь] х Жп — — comp[R n ], если найдется такая функция ? ( •, •, • ) € -К"([а, b] x К " х х [0, со)), что при почти всех t [а, Ь] и всех (х,Ь) 1 " х [0, со) выполняется оценка Отображение F( •,•,•) будем называть аппроксимирующим отображение F( •, •) или просто аппроксимирующим. Функция ( -, -, - ) € € К({а,Ь] х М" х [0,со)) в неравенстве (3) определяет степень близости значения F(t, х, 8) в точке (t, х) € [a, b] x R к значению F(t, x) для каждого фиксированного 8 G [0, со). Эту функцию ^( • •, •, •) будем называть степенью аппроксимации отображения F: [а, Ъ] х Rn — • —* comp[Mn] отображением F: [а, Ь) х К" х [0, со) — сотр[К г а ] или просто степенью аппроксимации. Будем считать, что F{ •, •, •) определяет способ или метод аппроксимации отображения F( •, •). Пару (F( •, •, •), Z,{ •, •, •)) будем называть аппроксимацией отображения F{-, •), а если при почти всех t S [а,6] и всех (ж,8) е М"_х [0,со) выполняется включение Р( comp[R n ] относительно радиуса непрерывности Ф(-,-,-)Лемма 1.0.3. * Пусть ф( -,-,-) К {[а, Ь] X Ж х [0, оо)). То функция (р(ф)(-, •, •), определенная равенством (4), принадлежит множеству K([a,b] х R n x [0,оо)).

В первом параграфе первой главы рассматривается для каждого 8 [0,оо) дифференциальное включение, аппроксимирующее дифференциальное включение (1) с внешними возмущениями, где отображение Q^: [а, Ь] х Ш.п х [0, со) — comp[IRn] задано равенством а функция 7)( •, •, •) € if ([a, b] x R n х [0, оо)) задает соответственно радиус внешних возмущений аппроксимирующего отображения F( •, •, -). В данном параграфе изложены основные теоремы о представлении множеств решений дифференциального включения (5).

Показана связь между множествами решений дифференциальных включений (2) и (5). Под решением включения (1), (2), (5) понимается абсолютно непрерывная функция х: [а, Ь] — R n при »

почти всех t 6 [а, Ъ\ удовлетворяющая включению (1), (2), (5), соответственно. Каждое решение дифференциального включения (5) будем называть (по аналогии с А.Ф. Филипповым) 8-решением дифференциального включения (1).

Пусть V С Сп[о,,Ь]. Обозначим через Я(У), НСО(У) множества решений дифференциальных включений (1) и (2), соответственно, принадлежащих множеству V, а через H^^V) - множество всех 8-решений дифференциального включения (1), принадлежащих множеству V.

'Нумерация теорем и лемм в автореферате совпадает с нумерацией теорем и лемм в диссертации.

Следует отметить, что поскольку отображение F: [а, Ь] х Шп — > —+ eornp[R n ] удовлетворяет условиям Каратеодори, то согласно работам А.Ф. Филиппова, Н.А. Antosiewicz, A. Cellina, множество решений дифференциального включения (1) непусто.

Отметим также, что здесь исследование проводится на основе свойств квазирешений дифференциальных включений. Понятие квазирешения (квазитраектории) дифференциального включения впервые было введено Важевским (Т. Wazewski).

О п р е д е л е н и е. Абсолютно непрерывная функция х: [a,b] -» Шп является квазирешепием включения (1), если найдется такая последовательность абсолютно непрерывных функций XJ: [а, Ь] — Ж", г —> = 1,2..., обладающая свойством: ж*( •) —* х( •) в Сп[а, Ь] при г -> оо;

для любого i — 1,2... и при почти всех t Е [а, Ь] выполняется включение Д л я любого множества V С С " [а, 6] через U(V) С К п обозначим множество Теорема 1.1.1. Пусть V С С п [а,6] - ограниченное замкнутое множество пространства Сп [а, Ь] и пусть ф( •, •, •) 6 Р([а, 6] хЖп х х [0, оо)). Далее, пусть пара (F(-, •, • ),?(•,-,-)) аппроксимирует отображение F( •, •). Тогда для любой функции т)( -,-,•) е.ЙТ([а, 6] х х R n х [0, оо)), для которой существует такое число г > 0, ч т о при почти всех t [с, Ь], есеж х € (U(V)Y иЪ € [0, оо) UAteem место неравенство г^е - замыкание в пространстве Сп[а,Ь] множества - замкнутая в пространстве Сп[а,Ц ^-окрестность множества V.

Если пара (F( •, •, •))?('> ' > ')) аппроксимирует отображение F: fa, b] х К —* comp[R"] вложением, теорему 1.1.1 можно уточнить.

Т е о р е м а 1.1.2. Пусть V — ограниченное замкнутое множество пространства Сп[а, Ь] и пусть ф( -,-,•) € Р[[а, Ь]хМ.пх[0,оо)).

Далее, пусть пара (F( -,-, •),?( •,-,•)) аппроксимирует отображение F( •, •) вложением. Тогда для любой функции т;( -,-,•) € 6 isT([a,b] х М п х [0,оо)), ^ля которой существует такое число z > 0, чтпо при почти всех t € [a, >], всеж х € (/(V))s и 8 б [0,оо) выполняется оценка справедливо равенство (8).

Полученные результаты используются в параграфе 1.2 для исследования аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач.

Отметим, что не всегда множество решений дифференциального включения (1) плотно во множестве решений включения (2). Утверждение теоремы 1.1.1 вместе с примером Плиса (A. Plis) устанавливают, что, если правая часть дифференциального включения (1) не обладает свойством выпуклости, аппроксимация дифференциального включения (1), вообще говоря, может и не быть устойчивой, т.е. "небольшие" изменения правой части включения (1) могут существенно изменить множество решений включения (1). Кроме того, левую часть оценки (7) при заданном радиусе непрерывности ф(-,-,•) € Р([а,Ь] х Жп х [0,оо)) и произвольной степени аппроксимации 5( •. • 1 •) можно рассматривать как оценку "грубости измерений" аппроксимирующего отображения F{ •, •, •), за границей которой нарушается устойчивость множества решений дифференциального включения (1), если замыкание множества решений включения (1) не совпадает с множеством решений включения (2).

Таким образом, сведения изложенные в главе 1, являются основой для изучения вопроса устойчивости аппроксимации дифференциальных включений к внешним возмущениям. Этому вопросу посвящена глава 2. В параграфе 2.1 вводятся понятия устойчивости аппроксимации дифференциального включения относительно внешних возмущений и принципа плотности дифференциального включения, а также формулируются необходимые и достаточные условия устойчивости аппроксимации дифференциального включения относительно внешних возмущений из различных классов функций.

Для каждой функции т](-, •. •) G K([a,b] x R n x [0,оо)) многозначное отображение Q,,: [a, b] х R n х [0, со) — comp[Mn], определяющее включение (5), задано равенством (6) и при почти всех t [а, Ь] VL всех х € Шп обладает свойством т. е., все отображения Q 4 ( •, •, •), определенные равенством (6) и зависящие от функции т)( -,-,•) g K(\a, b) x R n x [0, оо)) и параметра 8 6 [О,оо), "близки" (в смысле равенства (9)) к отображению F( •, •), порождающему включение (1). Поэтому естественно возникает вопрос: при каких условиях справедливо равенство для любой функции 7)( -,-,•) •, •)) аппроксимирует отображение F( •, •) вложением. Тогда для того, чтобы для любой функции Т)( •,-,-) 6 К([а, Ъ\ хМ" х [0, оо)) аппроксимация дифференциального включения была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для включения (1) на множестве V выполнялся принцип плотности.

Таким образом, из теорем 2.1.1 и 2.1.2 следует, что аппроксимация дифференциального включения (1) устойчива на ограниченном замкнутом множестве из Сп \а, Ь] относительно внешних возмущений из класса К([а, Ь] х Rn x [0, со)) только в том случае, когда отображение F( •, •) либо имеет выпуклые образы, либо, когда д л я включения (1) на этом множестве выполняется принцип плотности (равенство (11)). Последнее, как подтверждает пример Плиса (A. Plis), для дифференциальных включений выполняется далеко не всегда.

В параграфе 2.2 рассмотрены вопросы устойчивости аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач.

Глава 3 посвящена изучению аппроксимации дифференциального включения с внутренними и внешними возмущениями.

Рассмотрим для каждого 8 G [0, оо) дифференциальные включения где отображение Q^-^: [а, Ь] х Ш.п х [0, оо) — comp[R n ] определено равенствами Fo(t,x,8)=F(ttB[z,i)fo(t,x,b)],S), Будем считать, что функции т\о(-, •, •) G.ЙГ([а,Ь] х R n x х [0,со)), т)(-, -, •) € К([а,Ь] х R" х [0,со)) задают соответственно радиус внутренних и внешних возмущений аппроксимирующего отображения F( •, -, •).

В параграфе 3.0 сформулированы основные свойства многозначного отображения FQ: [a,b] x l " x [0, оо) — сотррй"]. Пусть t]0( -,., • ) € K([a, b) x R» x [0, oo)). По функции ( -, -, • ) € К ([а, Ь] х x E n x [0, со)), определим функцию Що): [а, Ь] х Е п х [0, со) -> [0, со) равенством В параграфе 3.1 изложены утверждения о представлении множеств решений аппроксимирующих дифференциальных включении с внутренними и внешними возмущениями.

Пусть V С Сп[а, Ъ]. Через Л,,о(8)т)(8)(У) обозначим множество решений дифференциального включения (12), с заданными радиусами внутренних и внешних возмущений, принадлежащих множеству V.

Т е о р е м а 3.1.1. Пусть V С Сп[а,Ь] - ограниченное замкнутое множество пространства Сп\а.Ъ] и пусть ф( •, •, •) € P([a,b] x x l " x [0,со)), т)о(-,-,•) К([а,Ь] х R" х [0,оо)). Далее, пусть (F( •, •, - ), 5 ( ', • •)) аппроксимирует отображение F(-, •). Тогда для любой функции Т)(-, •, •) K([a,b] x R n x [0, оо)), для которой существует такое число е > 0, что при почти всех t G [a,, b], всех х € (^(V)) 5 и б е р, со) имеет место неравенство в котором отображение Ф ч о Ч : [a,b] х K n x [0,со) —> comppR™] определено равенствами где ext (•) - замыкание множества крайних точек соответствующего множества.

Пусть V С Сп[а,Ь]. Обозначим через Н71а(&)т)(Ь)(^г) - множество всех решений включения (14), принадлежащих множеству V при фиксированном 8 > 0.

Следует отметить, что имеют место включения Д ^ ^ д а О О с Скажем, что отображение F( -,-,•) удовлетворяет условиям Каратеодори, если для любых (х, 8) Ж" х [0, со) F( •, х, 8) измеримо и при почти всех t [а, Ь], всех 8 [0, со) F(t, •, 8) непрерывно.

Т е о р е м а 3.3.2. Пусть V - замкнутое множество пространства Сп[а, Ь], тг)о(•, •, •) Р([а, 6] х R r i x [0, со)). Далее, пусть пара (F( •, •, •),(•, •, •)) аппроксимирует отображение F( •, •) вложением и F( где ifi)o(5)i)(5)('^'' ) ~ замыкание в пространстве Сп[а,Ь] множества Сведения, изложенные в параграфе 3.3 используются в параграфе 3.4 для изучения структуры множеств решений периодических и многоточечных краевых задач дифференциальных включении с положительной оценкой снизу радиуса внутренних возмущений.

Глава 4 посвящена проблеме устойчивости аппроксимации дифференциальных включений к внутренним и внешним возмущениям.

В параграфе 4.1 изложены понятия устойчивости и устойчивости по начальным условиям аппроксимации дифференциальных включений относительно внутренних и внешних возмущений из разных классов функций, аналогичные соответствующим понятиям, приведенным в главе 2. Доказан необходимый и достаточный признак устойчивости аппроксимации дифференциальных включений с внутренними и внешними возмущениями. Этим признаком, как и в случае аппроксимации дифференциальных включений с внешними возмущениями, является принцип плотности для включения (1) на заданном множестве.

В параграфе 4.2 рассматривается устойчивость аппроксимации дифференциального включения по крайним точкам аппроксимирующего многозначного отображения, т. е. условия, при которых для любых функций т)о(-, -, •) е Р([а, Ь] х R n x | 0, со)) и T)(-, •, •) € К([а,Ь]х х К" х [0, оо)) справедливо равенство В последнем параграфе диссертации утверждения главы 3 и параграфов 4.1 и 4.2 применяются для изучения устойчивости аппроксимации периодических и многоточечных краевых задач относительно внутренних и внешних возмущений.

Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям профессору А.И. Булгакову и профессору Н.П. Пучкову, а также всем членам кафедр алгебры и геометрии Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина и высшей математики Тамбовского государственного технического университета за постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ И З Л О Ж Е Н Ы В

СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ

1 Булгаков А.И. Аппроксимация дифференциальных включений / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Матем. сб. 2002. Т. 193.

№ 2. С. 35-52.

2 Булгаков А.И. Приближенные решения дифференциального включения с непрерывной правой частью / А.И. Булгаков, Н.П. Пучков, В.В. Скоморохов // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки.

Тамбов, 2002. Т. 7. Вып. 1. С. 104-105.

3 Булгаков А.И. К вопросу об аппроксимации дифференциальных включений / А.И. Булгаков, А.А. Ефремов, В.В. Скоморохов // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2001. Т. 6. Вып. 2.

С. 131-139.

4 Булгаков А.И. Дифференциальные включения с внешними возмущениями, радиус которых зависит от фазовой переменной / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2000. Т. 5. Вып. 4. С, 429-430.

5 Булгаков А.И. Методы аппроксимаций дифференциальных включений и принцип плотности / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез.

докл. / ВГУ. Воронеж, 2001. С. 60-61.

6 Булгаков А.И. Аппроксимация дифференциального включения по крайним точкам аппроксимирующего отображения / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - ХП": Тез. докл. / ВГУ Воронеж, 2001. С. 40-41.

7 Булгаков А.И. Аппроксимация дифференциального включения с внутренними и внешними возмущениями / А.И. Булгаков, Н.П. Пучков, В.В. Скоморохов // Современные методы в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - ХШ": Тез. докл. / ВГУ. Воронеж, 2002. С. 28-29.

8 Булгаков A.M. К вопросу об аппроксимации дифференциальных включений с периодической правой частью / А.И. Булгаков, Н.П. Пучков, В.В. Скоморохов // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 11-й Сарат. зимней шк. Саратов, 2002. С.33-34, 9 Булгаков А.И. Дифференциальные включения с внутренними и внешними возмущениями, зависящими от фазовой переменной / А.И. Булгаков, В.В. Скоморохов // Известия РАЕН. Дифференц.

уравнения / РГПУ. Рязань, 2001. № 5. С. 34-36.

10 Булгаков А.И. Некоторые вопросы теории возмущенных включений и принцип плотности в аппроксимации / А.И. Булгаков, Л.И. Ткач, В.В. Скоморохов // Второй международный конгресс "Нелинейный динамический анализ": Тез. докл. / МАИ. М., 2002.

С 175-176.

11 Скоморохов В.В. Аппроксимация дифференциального включения с периодической правой частью по крайним точкам аппроксимирующего отображения / В. В. Скоморохов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конф. / ВГУ. Воронеж, 2003.С. 237-238.

12 Скоморохов В.В. Об устойчивости аппроксимации дифференциальных включений с периодической правой частью / В.В. Скоморохов // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003.

Т. 8. Вып. 1. С. 166-167.

13 Скоморохов В.В. О сходимости множества решений двухточечной краевой задачи, построенной по крайним точкам аппроксимирующего отображения. / В.В. Скоморохов // Вестн. ТГУ. Сер.

Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 3. С. 453-454.

Формат 60 х 84/16. Гарнитура Times New Roman. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Объем 0,93 усл. печ. л.: 1,0 уч.-изд. л.

Издательско-полиграфический центр Тамбовского государственного технического университета