МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

УДК 517.538.2

Краснобаев Игорь Олегович

АППРОКСИМАЦИЯ ТИПА МЮНЦА-САСА

01.01.01 вещественный, комплексный и

функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2010

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Седлецкий Анатолий Мечиславович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Буслаев Виктор Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент Шерстюков Владимир Борисович.

Ведущая организация: Московский Технический Университет Связи и Информатики.

Защита диссертации состоится 4 марта 2011 г. в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 4 февраля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Тематика работы берет начало в известных теоремах Мюнца1 и Саса2. Данными авторами рассматривается проблема описания полных систем степеней {xµn } в пространствах C0 [0, 1] (пространстве непрерывных на отрезке [0, 1] n= функций f (x), таких что f (0) = 0) и Lp (0, 1).

С течением времени данная проблема, называемая теперь проблемой МюнцаСаса, трансформировалась в эквивалентную проблему описания полных систем из экспонент {en t }n, = {n C : Re n > 0}. (1) в пространствах C0 (пространстве непрерывных на [0, ) функций с sup нормой, для которых lim f (x) = 0) и Lp на полупрямой R+. Преимущеx+ ство такой переформулировки проблемы заключается в возможности применения аналитических методов и методов функционального анализа, дающих наиболее полные результаты, хотя при этом приходится ограничиться показателями p 1. Представляет интерес описание полных систем и в других функциональных пространствах на полупрямой, в частности, в весовых пространствах.

Развитию теории способствовали работы Р.Пэли и Н.Винера, Н.Левинсона, Л. Шварца, М. Грама, А. Зигеля, А.М. Седлецкого, П. Боруайна и Т. Эрдели, В.И. Ладыгина и других математиков, что привело к целому ряду значительных достижений.

Отправной точкой в нашем изложении является условие Саса Re n =. (2) 1 + |n | n= Известно, что условие (2) достаточно для полноты системы (1) в Lp, p и в C0 и необходимо для ее полноты в Lp, 1 p 2. В частности, система (1) полна в L2 тогда и только тогда, когда выполнено условие (2). Данное утверждение при p = 2 составляет содержание известной теоремы Саса, переформулированной для системы (1).

Mntz Ch.Uber den Approximationssatz von Weierstrass H.A. Schwartz Festschrift.

1914. P.303-312.

Szzs O., Uber die Approximation stetiger Functionen durch lineare Aggregate von Potenzen // Math. Ann.

1916. V.77. P.482-496.

Условие (2) при 1 p < 2 не является достаточным (М. Грам3 ). Вопрос о необходимости условия (2) при p > 2 открыт.

В случае пространства C0, условие (2) не является необходимым (А. Зигель4 ). Этот факт заостряет интерес к задаче отыскания необходимых условий полноты системы (1) в пространстве C0.

Первым содержательным результатом в этом направлении является необходимое условие Саса2 :

Зигелю4 удалось улучшить результат, однако, более тонкое необходимое условие было получено Н.Левинсоном5. А именно, Если система (1) полна в C0 и Lp, p > 2, то Необходимое условие, полученное Зигелем, содержится в Теореме Левинсона при (x) = |x|, 0 < < 1.

Необходимое условие Теоремы A является более содержательным, чем необходимое условие Саса в том случае, когда единственной предельной точкой последовательности является бесконечно удаленная точка. (Если последовательность ограничена, то это условие, в сущности, ничем не отличается от необходимого условия Саса).

Теорема A была распространена А.М. Седлецким6 на случай конечного числа предельных точек последовательности на мнимой оси, одна из которых, возможно, совпадает с бесконечностью. А именно, если последовательность = {n : Re n > 0} имеет вид Grum M. On the theorems of Mntz and Szzs. Corrigendum and Addendum// J. London Math. Soc.

1957. V.32. P.517.

Siegel A. On the Mntz-Szsz theorem for C[0, 1]// Proc. Amer. Math. Soc. 1972. V.36. P. 161-166.

Levinson N. On the Szsz-Mntz theorem. // J. Math. Anal. Appl. 1974. V.48. P.264-269.

Седлецкий А.М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации.

Москва: Физматлит. 2005 г.

где а (x) неотрицательная, неубывающая при x 0 функция, удовлетворяющая условию (3), то из полноты системы (1) в C0 и Lp, p > 2 следует, Все упомянутые необходимые условия содержательны в случае не более чем конечного множества предельных точек последовательности на мнимой оси. Естественно, представляет интерес вопрос о необходимом условии (столь же содержательном) для множества предельных точек большей мощности.

В данной работе в Главе 1 продолжается отыскание необходимого условия полноты системы (1) в пространствах Lp, p > 2 и C0. А именно, рассматривается случай, когда множество предельных точек последовательности на мнимой оси счетно и отделимо.

Как уже отмечалось, условие Саса (2) не является необходимым для полноты системы (1) в пространстве C0 (при произвольном расположении точек ). Однако, как показывает Теорема А.М. Седлецкого7, если то условие (2) является необходимым. Доказательство этого факта существенно опирается на описание нулей функций класса A в круге, то есть класса всех не тождественных аналитических в единичном круге функций, все производные которых ограничены в нем. А именно, если ввести обозначения D = {z : |z| < 1}, T = {z : |z| = 1}, то для того, чтобы замкнутое множество Z D = D T являлось множеством нулей функции f A, необходимо и достаточно, чтобы множество Z D = {rk eik } удовлетвоk= ряло условию Бляшке в круге:

Седлецкий А.М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации.

Москва: Физматлит. 2005 г.

и выполнялось следующее условие Данное утверждение доказано Тэйлором и Вильямсом8.

Нельсон9 дал описание нулей функции класса A в другом виде Теорема B. (J.D. Nelson) Для того, чтобы замкнутое множество являлось множеством нулей функции f A, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия 1. множество Z D = {rk eik } должно удовлетворять условию 2. множество M = (Z T ) {eik } является множеством Карлесона.

При этом под множеством Карлесона понимается замкнутое множество M меры нуль на единичной окружности, для которого Разница представленных утверждений в том, что условие (5) на последовательность Z перешло в условие (6), накладываемое на множество M множество радиальных проекций точек последовательности Z на единичную окружность.

В связи с этим был поставлен вопрос: можно ли в Теореме А.М. Седлецкого условие (4) заменить условием, аналогичным условию Карлесона для полуплоскости, которое принимает вид Ответ прост. Так как dist (iy, n ) dist (iy, iIm n ), то в классе последовательностей = {n : Re n > 0}, для которых выполняется условие (7), Taylor B.A. and Williams D.L., Zeros of Lipschitz functions analytic in the unit disc// Michigan Math. J.

1971. V.18. P.129-139.

Nelson,J.D. A characterization of zero sets for A //Michigan Math. J. 1971. V.18. P. 141-147.

условие (2) необходимо для полноты системы e() в пространстве C0. Тем не менее, переход от условия (4) к условию (7) послужил толчком к работе в следующем направлении.

Обозначим через A (Re z > 0) класс всех не тождественных аналитических в правой полуплоскости функций, ограниченных в ней вместе со всеми своими производными. Сформулированное выше утверждение дает повод рассматривать задачу описания нулей функций класса A (Re z > 0) (как самостоятельную задачу), как через точки n, так и через их проекции на мнимую ось. Отчасти, поставленная задача объясняется и желанием получить для полуплоскости аналог Теоремы Нельсона.

При конформном отображении правой полуплоскости на единичный круг, ортогональные проекции точек n на мнимую ось не перейдут в радиальные проекции их образов на единичную окружность, что и объясняет сложность распространения Теоремы Нельсона на полуплоскость. В Главе 3 получено описание нулей функций A в полуплоскости через условие Бляшке на них и условие на проекции данных нулей на мнимую ось.

В работе также рассматривается вопрос о полноте системы (1) в весовых пространствах на полупрямой.

Пусть w(t) вес на R+ (то есть измеримая по Лебегу, почти всюду положительная функция на R+ ). Через Lp обозначаем пространство измеримых (относительно меры w(t)dt) на R функций с нормой К настоящему моменту наиболее изученным (с точки зрения полноты) является случай степенного веса: w(t) = t, > 1. Так, известно, что условие является необходимым условием полноты системы (1) в пространствах и является достаточным для полноты данной системы в пространствах Однако, также известно, что условие (8) не является достаточным для полноты системы (1) в пространствах и не является необходимым для полноты системы (1) в пространствах В связи с этим, в частности, возникает вопрос об отыскании необходимых условий полноты системы (1) в пространствах (9). В Главе 2 получено такое условие в случае, когда p = 2, 1 < < 0, при некотором ограничении на расположение точек.

Цель работы • Исследовать проблему описания полных систем из экспонент в пространстве C0 на полупрямой и получить необходимое условие полноты системы экспонент e() в указанном пространстве в случае, когда мощность множества предельных точек последовательности на мнимой оси более чем конечна.

• Исследовать проблему описания полных систем из экспонент в весовых пространствах интегрируемых функций.

• Описать нули функций класса A в полуплоскости через их проекции на мнимую ось.

Научная новизна В диссертации получены следующие новые результаты • Найдено необходимое условие полноты систем экспонент e() в пространствах C0 и Lp, p > 2 на полупрямой в случае, когда множество предельных точек последовательности на мнимой оси счетно и отделимо.

• Найдено необходимое условие полноты системы экспонент e() в весовых пространствах L2 на полупрямой, где w(x) = l(x)x, 1 < < 0, l(x) медленно меняющаяся функция, при определенных ограничениях на расположение точек.

• Получено описание нулей функции класса A в полуплоскости через условие Бляшке на них и условие на их проекции на мнимую ось.

Методы исследования В работе применяются методы комплексного анализа и теории аппроксимации.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории аппроксимации и комплексному анализу.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались • на семинаре механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова "Негармонический анализ" под руководством профессора А. М. Седлецкого (2004-2010 гг.).

• на семинаре механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова "Тригонометрические и ортогональные ряды" под руководством профессора Т.П. Лукашенко, профессора М.И. Дьяченко, профессора В.А. Скворцова, профессора М.К. Потапова (декабрь 2010 г.).

• на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (г. Воронеж, январь 2007 г.).

• на международной конференции "Ломоносов 2010" (г. Москва, апрель 2010 г.).

• на международной конференции "Математическая физика и ее приложения" (г. Самара, август 2010 г.).

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых в общей сложности на 4 параграфа. Объем диссертации 70 страниц. Список литературы включает 23 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий обзор по теме диссертации, сформулированы рассматриваемые в диссертации задачи и изложены основные результаты.

Глава 1 диссертации посвящена задаче отыскания необходимого условия полноты системы в пространствах C0 и Lp на полупрямой, p > 2 в случае, когда множество предельных точек последовательности {n } на мнимой оси счетно и отделимо.

В параграфе 1 приведены вспомогательные утверждения, используемые в данной главе.

В параграфе 2 сформулирован и доказан основной результат первой главы.

Теорема (1.1). Пусть последовательность имеет вид где при этом числа k R таковы, что Пусть (x) неотрицательная, неубывающая при x 0 функция, удовлетворяющая условию Тогда, если система полна в C0 или Lp (R + ), p > 2, то для всякой неотрицательной последовательности ak l1 выполняется условие Теорема (1.1) доказана в диссертации с помощью модификации доказательства Левинсона Теоремы A.

Глава 2 диссертации посвящена отысканию необходимого условия полноты системы в весовом пространстве L2 на полупрямой с весом где l(t) медленно меняющаяся функция (на бесконечности), то есть положительная, измеримая при t > A > 0 функция такая, что при любом вещественном > В параграфе 1 приведены основные вспомогательные определения и утверждения. В параграфе 2 сформулировано и доказано необходимое условие полноты системы e() в пространствах L2, w(t) = l(t)t, 1 < < 0:

Теорема (2.1). Пусть 1 < < 0. Пусть дана последовательность и медленно меняющаяся функция l(t) такая, что Тогда, если система экспонент e() = {en t : n } полна в L2, то В главе 2 показано, что условие (10) выполняется для достаточно широкого класса функций. В частности, оно верно для функций а также для всевозможных степеней итераций логарифма.

Теорема (2.1) доказана с помощью применения результата Шапиро и Шилдза10 о нулях аналитических функций в круге специального вида.

Shapiro H.S. and Shields A.L., On the zeros of functions with nite Dirichlet integral and some related function spaces// Math. Z. 1962. V.80. P. 217-229.

В случае, когда последовательность n ограничена, то есть удовлетворяет условиям Теоремы (2.1), условие Саса, о котором говорилось ранее, принимает вид:

Как уже говорилось, оно не следует из полноты системы e() в пространстве L2, 1 < < 0. Однако, как показывает частный случай Теоремы (2.1) в случае, когда l(t) тождественно равна 1, из полноты системы экспонент e() в пространстве L2, 1 < < 0 следует условие, которое учитывает параметр. А именно, В порядке выяснения точности показателя 1+, присутствующего в сформулированной выше теореме, в параграфе 2 доказано, что он является точным, если вместо пространства L2 рассмотреть подпространство в L2, соt стоящее из функций, сохраняющих постоянные значения на интервалах вида (n, n + 1).

В данном параграфе также доказано следствие Теоремы (2.1), предлагающее необходимые условия полноты системы e() в пространствах Lp при Следствие (2.1). Пусть дана последовательность = {n } такая, что Если система полна в пространстве Lp при Глава 3 диссертации посвящена вопросу описания нулей функций класса A в полуплоскости через условие Бляшке на них и условие на их проекции на мнимую ось.

Пусть дана последовательность Условие Бляшке для последовательности выглядит следующим образом:

а условие на проекции последовательности на мнимую ось выглядит следующим образом:

В диссертации сначала доказана следующая теорема:

Теорема (3.1).

Если последовательность удовлетворяет условиям (11) и (12), то существует функция f, принадлежащая классу A (Re z > 0) и обращающаяся в 0 в точках.

Если для любой последовательности = {n } такой, что существует функция f A (Re z > 0), обращающаяся в 0 в точках, то последовательность удовлетворяет условиям (11) и (12).

Теорема (3.1) является аналогом Теоремы Кограна11 для круга, которая доказана в диссертации для полуплоскости. Она может быть улучшена при дополнительном требовании к последовательности, что и является основным результатом этой главы, заключенным в следующей теореме:

Теорема (3.2). Пусть дана последовательность Тогда последовательность является множеством нулей функции из класса A (Re z > 0) тогда и только тогда, когда выполнены условия (11) и (12).

Теорема (3.2) доказана в диссертации с помощью модификации доказательства Теоремы B, предлагающей описание нулей функций класса A в круге. Потребность в модификации указанного доказательства была вызвана тем фактом, что при конформном отображении круга на полуплоскость, радиальные проекции точек единичного круга на единичную окружность не переходят в ортогональные проекции образов данных точек на мнимую ось, Caughran J.G. Zeros of analytic functions with innitely dierentiable boundary values//Proc. Amer. Math.

Soc. 1970. V.24. P.700-704.

а значит нельзя утверждать тот факт, что условия на радиальные и ортогональные проекции при конформном отображении перейдут друг в друга.

Теорема (3.2) являлась бы аналогом Теоремы B, доказанной Нельсоном, если бы не дополнительное требование к расположению точек n в виде Показано, что условие Re n < A R+ является существенным для справедливости Теоремы (3.2). А именно, доказано, что последовательность является множеством нулей некоторой функции из класса A (Re z > 0), но при этом для нее не выполняется условие (12).

Благодарности Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук Анатолию Мечиславовичу Седлецкому за постановку задач, помощь в различных вопросах и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации [1] Краснобаев И. О. Необходимое условие полноты системы Математические заметки, 2008, том 83, вып. 6, стр. 831–842.

[2] Краснобаев И. О. Необходимое условие полноты системы экспонент в пространстве L2, 1 < < 0. // "Депонированные научные работы", № 12, 2010. Москва: ВИНИТИ 20.10.2010, № 607-В2010 13 с.

[3] Краснобаев И. О. Необходимое условие полноты системы Тезисы докл. Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж: ВГУ, [4] Краснобаев И. О. Условие на мнимые части точек последовательности как критерий полноты системы экспонент в пространствах C0 и Lp. // Материалы международной конференции "Математическая физика и ее приложения". Самара: Книга. 2010 г. С. 183.