На правах рукописи

ЛЕВЩАНОВА Людмила Леонидовна

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

РАЗРУШЕНИЯ ПОКРЫТИЯ ПЛАСТИНЫ

ОКОЛО ОТВЕРСТИЙ С ПОДКРЕПЛЕНИЯМИ

01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград – 2008

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» Волгоградского государственного технического университета.

Научный руководитель доктор технических наук, профессор Тарабрин Геннадий Тимофеевич.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, доцент Жуков Борис Александрович.

кандидат физико-математических наук, доцент Тырымов Александр Александрович.

Ведущая организация ЦНИИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ им. В.А. КУЧЕРЕНКО.

Защита диссертации состоится _3_ июля 2008 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.028.04 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.

Автореферат разослан «_»_ 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Водопьянов В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Нанесение на поверхности деталей тонких покрытий имеет и приобретает все более широкое распространение в самых различных областях современной техники: авиационной и ракетно-космической промышленности, судостроении, робототехнике, приборостроении, радиотехнической, электронной и электротехнической промышленности и других отраслях машиностроения. Цели, преследуемые при этом, весьма многообразны: придание материалам антифрикционных свойств, повышение твердости и коррозионной устойчивости, улучшение гидродинамических и аэродинамических свойств, повышение износостойкости при работе в агрессивных средах. Ответственна роль покрытий как средства термоизоляции, электроизоляции, звукоизоляции, герметизации, защиты от излучений, для целей светомаскировки, для решения целого ряда санитарно-гигиенических задач. Безусловна важность термостойких покрытий космических аппаратов, лаковых покрытий обшивки самолетов, антикоррозионных покрытий морских и воздушных кораблей.

В процессе эксплуатации целостность покрытия напрямую зависит от деформаций элементов конструкций, на которые покрытие нанесено. При этом во многих элементах конструкций и при строительстве подземных сооружений часто нарушается сплошность среды – имеются отверстия, люки, лючки, иллюминаторы, тоннели и пр. В непосредственной близости от отверстий возникают локальные концентрации напряжений и деформаций, которые существенно влияют на прочность и несущую способность конструкций и сооружений.

Проблема прочности покрытий при наличии областей резких перепадов напряжений является чрезвычайно важной для решения задач инженерной практики. Дефицит методов расчета на прочность покрытий в определенной мере мешает более широкому распространению применения покрытий в деталях машиностроительных конструкций с концентраторами напряжений. При этом вплотную к задаче расчета на прочность покрытия примыкает проблема определения напряжений в пластинчатых и оболочечных конструкциях, ослабленных отверстиями. Важность последней проблемы обусловлена не только необходимостью решения практических вопросов расчета покрытий, но и самостоятельной теоретической и практической ценностью установления работоспособности таких элементов конструкций.

Цель. Разработать методику практического расчета двух взаимно обратных задач. Прямая задача: оценка степени разрушения хрупких покрытий упругих пластин с концентраторами напряжений в виде отверстий различной формы. Обратная задача: оценка напряженно-деформированного состояния по интенсивности разрушения хрупкого покрытия в условиях реальных нагрузок на элементы инженерных конструкций в виде пластин с отверстиями.

Задачи 1. Методом Колосова-Мусхелишвили решить ряд задач о концентрации напряжений в пластинах около отверстий с перемычками и без них.

2. Создать математическую модель разрушения хрупкого покрытия пластины.

3. Разработать методику оценки интенсивности разрушения хрупкого покрытия по показателям напряженно-деформированного состояния пластины.

4. Разработать методику оценки напряженно-деформированного состояния пластины по интенсивности разрушения хрупкого покрытия.

Научная новизна 1. Получена формула функции, обобщающая существующие функции конформного отображения треугольника и четырехугольника на единичный круг.

2. Методом Колосова-Мусхелишвили получена форма решения задачи о концентрации напряжений, исключающая повторение алгоритма сложных аналитических преобразований при изменении формы отверстия в пластине.

3. Дополнена уравнением совместности перемещений разрешающая система уравнений в рамках метода Колосова-Мусхелишвили задачи о концентрации напряжений в пластине при наличии внешней статической неопределенности, обусловленной перемычками, подкрепляющими отверстия.

4. Решены задачи о концентрации напряжений около круговых и эллиптических отверстий с перемычками и задачи по исследованию процесса изменения концентрации напряжений при разрушении перемычек.

5. Уравнение состояния хрупкого материала от начала нагружения до полного разрушения, предложенное Г. Т. Тарабриным, представлено в конечной форме, определяющей одноосную связь напряжений и деформаций в материале покрытия, моделирующую процесс накопления поврежденности.

6. Разработана методика расчета степени разрушения хрупкого покрытия пластин с концентраторами напряжений.

7. Разработана методика оценки напряженно-деформированного состояния пластины по степени разрушения хрупкого покрытия.

8. Разработана методика вероятностной оценки достоверности экспериментального определения методом хрупких покрытий деформированного состояния элементов конструкций.

Практическая ценность 1. Возможность оценивать прочность элементов конструкций морских, речных и воздушных судов, различного рода машин и инженерных сооружений, имеющих концентраторы напряжений в виде отверстий с перемычками и без них.

2. Возможность оценивать напряженно-деформированное состояние подземных выработок с подкреплениями в виде стенок, колонн, стоек или без 3. Возможность выполнять расчеты на прочность лакокрасочных покрытий или термостойких покрытий или антикоррозионных покрытий для инженерных конструкций и сооружений широкого класса: самолеты, морские и речные суда, космические аппараты, автомобили и прочее.

4. Возможность оценивать методом хрупких покрытий напряженнодеформированное состояние около концентраторов напряжений неразрушающим способом в условиях реальных видов нагружения. Например, вокруг лючка в обшивке самолета при выполнении им эволюций в полете.

Достоверность полученных результатов и выводов обеспечивается: корректностью математической постановки задачи; физической адекватностью моделируемых процессов; использованием точных математических методов решения задач теории упругости; сравнением результатов численных расчетов с известными точными решениями.

Личный вклад автора. Вся научная работа выполнена автором диссертации самостоятельно. Научным руководителем осуществлялись постановка всех решенных задач, рекомендации и консультации в процессе их решения, обсуждение полученных результатов, участие в написании научных статей.

Положения, выносимые на защиту 1. Решение ряда задач о концентрации напряжений около отверстий с перемычками и без них методом Колосова-Мусхелишвили.

2. Математическая модель разрушения хрупкого покрытия пластин.

3. Методики оценки интенсивности разрушения хрупкого покрытия по напряженно-деформированному состоянию пластины и оценки напряженно-деформированного состояния пластины по интенсивности разрушения хрупкого покрытия.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на конференциях: 43 Научная конференция (Волгоград, 2006 г., ВолгГТУ); Апрельская научная сессия (Волгоград, 2006 г., ВолГУ); XI Региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, 2006 г., ВолГУ и др.); 44 Научная конференция (Волгоград, 2007 г., ВолгГТУ); международная молодежная научная конференция «XXXIII Гагаринские Чтения» (Москва, 2007 г., МАТИ-РГТУ, ИПМех РАН); международная конференция «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007 г., СГУ); международная конференция «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2007 г., СГТУ, Институт проблем точной механики и управлении РАН);

«XIX Международная Интернет-ориентированная конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (МИКМУС-2007)» (Москва, 2007 г., ИМАШ РАН); 45 Научная конференция (Волгоград, 2008 г., ВолгГТУ).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 10 публикациях, в том числе 5 статей. 3 статьи опубликованы в журналах из списка ВАК.

Структура и объем. Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение, список литературы и приложения. Объем диссертации составляет 130 страниц основного текста, в том числе 2 таблицы и 18 рисунков. Список литературы включает 140 наименований, из них 21 на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Дается обоснование актуальности проблемы диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи работы, описана структура работы, приведено её краткое содержание, обозначены основные результаты, раскрыты научная новизна, практическая ценность, достоверность результатов, апробация работы, указаны математические методы решения диссертационных задач, представлены положения, выносимые на защиту.

Первая глава. Дается обзор литературы по теме исследуемых задач.

Приведены источники с изложением плоской задачи теории упругости и методов решения задач плоской теории упругости, обзор работ по расчету напряжений около отверстий без подкреплений и с ними, рассмотрено состояние вопроса по оценке совместного напряженно-деформированного состояния системы «отверстие-перемычка», указан ряд работ по близкой тематике, обсуждается литература по теории континуального разрушения.

Вторая глава. Приводятся необходимые сведения из плоской теории упругости, используемые в дальнейшем. Излагается метод, разработанный Г.В.

Колосовым и Н.М. Мусхелишвили, основанный на совместном применении аппарата теории функций комплексной переменной и метода конформных отображений.

Решается задача о концентрации напряжений около отверстия в упругой однородной изотропной пластине при одноосном нагружении усилиями интенсивности p в заданном направлении на бесконечности. Пластина помещается в прямоугольные декартовые координаты x, y так, что направление действия нагрузки p составляет угол с осью x, а начало координат располагается внутри отверстия. При помощи метода снимаемой нагрузки, принципа суперпозиции и формул Колосова-Мусхелишвили задача сводится к нахождению четырех аналитических функций комплексной переменной z x iy – комплексных потенциалов 0 (z), 0 (z) задачи о сплошной пластине в состоянии одноосного нагружения на бесконечности и *(z), *(z) задачи о пластине с отверстием, загруженным по контуру. Суммы 0 ( z) * ( z ) 1( z), 0(z) *(z) 1(z) определяют компоненты напряжений в одноосно нагруженной пластине со свободным от воздействий отверстием:

и удовлетворяют граничным условиям задачи где f1 if 2 i ( X iY )ds – главный вектор усилий, приложенных со стороны положительной нормали к дуге s контура отверстия, t - точка на контуре отверстия, z x iy, 1 '( z ) Re1 '( z ) i Im1 '( z ).

Используется конформное отображение внешности отверстия на плоскости комплексной переменной z x iy на внутренность единичного круга на плоскости комплексной переменной exp(i ). Отображающая функция представляется в виде многочлена:

Дается построение такого вида отображений на единичный круг внешности ряда односвязных областей, рассматриваемых в работе.

При отображении на единичный круг внешности отверстия в форме треугольника и четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность радиуса R0 с центром в начале координат, коэффициенты функции ( ) при n 1,2,..., N вычисляются соответственно по формулам s1, s2,, sk – точки единичной окружности на плоскости, представляющие собой образы вершин S1, S 2,, S k многоугольника на плоскости z ;

Для однолистности отображения необходимо и достаточно выполнения В частности для прямоугольного отверстия со сторонами a, b (сторона a параллельна оси x ) s1 exp(id ), s2 s1, s3 s1, s4 s1. Тогда Для отверстия в форме правильного многоугольника:

где k 3,4,... – число сторон правильного многоугольника.

Потенциалы 0[( )] 1( ) p( )/ 4, 0[( )] 1( ) pe2i( )/2 находятся по известному распределению напряжений в сплошной пластине. Для определения потенциалов *[ ( )] 0 ( ), *[ ( )] 0 ( ), удовлетворяя граничным условиям, записываются сингулярные интегральные уравнения:

где Путем представления комплексных потенциалов 0 ( ), 0 ( ) в виде комплексные величины, уравнение (2) сводится к конечным системам линейных алгебраических уравнений для коэффициентов n функции 0 ( ). Эти системы в матричной форме:

Осуществляется построение их решений в явном виде. При полученной функции 0 ( ) уравнение (3) определяет функцию 0 ( ).

В результате напряженное состояние в пластине с отверстием, загруженной на бесконечности, определяется потенциалами:

Записываются явные выражения для напряжений в пластине около отверстий в форме эллипса, треугольника, четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность, правильного многоугольника, полукруга при одноосном нагружении. Выражения общего вида будут справедливы и для отверстий другой формы, если их отображение на единичный круг функцией в виде многочлена (1) известно.

Описывается вычислительный алгоритм программы численного расчета на языке Maple. Программа позволяет построить поля напряжений в пластине, провести исследование зависимости напряжений от силовых, упругих и геометрических параметров задачи на численных примерах. Для ряда частных случаев приводятся эпюры главных напряжений около отверстий.

Третья глава. Исследуется концентрация напряжений около подкрепленных отверстий в упругой однородной изотропной пластине.

Решается задача об одноосном нагружении пластины с эллиптическим отверстием с полуосями a, b, подкрепленного разрушающейся перемычкой.

Ось перемычки совпадает с полуосью эллипса a и осью x. Пластина подвергается воздействию равномерно распределенной на бесконечности нагрузки интенсивности p в направлении оси перемычки, тогда на бесконечности компоненты тензора напряжения x p, y 0, xy 0, или перпендикулярно ей, тогда на бесконечности x 0, y p, xy 0. Для материала перемычки задана зависимость напряжения в ней q от линейной деформации от начала нагружения перемычки до полного ее разрушения. Задача о плоском напряженном состоянии пластины, подкрепленной одноосно напряженной перемычкой, является внешне статически неопределимой: лишней неизвестной является нагрузка p, если задаваться значением напряжения q, возникающего в результате взаимодействия контура отверстия с перемычкой. Поэтому разрешающая система уравнений для пластины дополняется уравнением совместности перемещений контура отверстия и концов перемычки.

Решение ищется методом Колосова-Мусхелишвили с использованием конформного отображения внешности отверстия на внешность единичного круга. Отображение осуществляется функцией:

Комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили представляют собой – потенциалы задачи о действии нагрузки q при отсутствии нагрузки p.

Потенциалы 1 ( z ), 1 ( z ) получены в предыдущей главе:

где 1 при нагрузке p, направленной вдоль оси x, то есть по направлению оси перемычки, и 1 при нагрузке p, направленной вдоль оси y, то есть перпендикулярно направлению оси перемычки.

Из граничных условий:

с правой частью в которой ( X,Y ) - главный вектор внешних усилий, приложенных к контуру отверстия, равный нулю в силу симметрии задачи, X Y 0, находятся выражения для определения потенциалов 2 ( z ), 2 ( z ) :

Вычисление интегралов Коши дает 2 ( z ), 2 ( z ) в виде:

образы угловых точек перемычки; 2 k1 ^ k2 k3 ^ k4 - угол в радианах.

Перемещения в пластине u по направлению оси x и v по направлению оси y определяются формулой Пуассона материала пластины.

Ширина перемычки принимается малой настолько, что перемещения точек по всей ширине контакта перемычки с контуром отверстия пластины отождествляются с перемещением u a,0 точки в вершине эллипса. Вследствие неразрывности смещений в точках соединения перемычки и пластины перемещение u a,0 равно удлинению полудлины перемычки a от напряжения q.

Это приводит к уравнению совместности перемещений Левая часть уравнения совместности перемещений зависит от значений p и q. Задаваясь последовательно возрастающими значениями деформации перемычки и вычисляя по ним q ( ) по заданной зависимости, из этого уравнения можно вычислить последовательно возрастающие значения нагрузки p.

При известных значениях p и q можно рассчитать поле напряжений в пластине и проследить изменение концентрации напряжений около отверстия от начала нагружения до полного разрушения перемычки. Полученные значения напряжений дают возможность сделать оценку несущей способности пластины из данного материала с заданными полуосями эллиптического отверстия, подкрепленного перемычкой заданной ширины и ориентации относительно направления действия нагрузки p из заданного материала.

Предложенный алгоритм последовательного нагружения перемещением перемычки программируется на языке Maple. Рассматривается перемычка из хрупкого материала, характеризующегося вариантом континуальной модели хрупкой среды, предложенной Г. Т. Тарабриным и изложенной в следующей главе:

где Ew – модуль Юнга материала перемычки, 0 – его предел целостности – деформация, до наступления которой в перемычке не возникает разрушений, n – предел деформируемости – деформация, при которой перемычка оказывается полностью разрушенной. Функция w( ) характеризует степень разрушения перемычки в виде равномерно рассеянного по её поперечному сечению тумана микротрещин. Значения w( ) изменяются от 0 до 1 и определяют долю площади поперечного сечения перемычки, утратившую несущую способность. Вид функции w( ) не обусловливает метод решения задачи. Она может быть любой, адекватно аппроксимирующей экспериментально полученную зависимость q ( ). В расчетах w( ) принята простейшей – линейной что может быть приемлемо для хрупких материалов таких, например, как керамика, стекло, цементный камень, чугун, некоторые титановые сплавы.

Алгоритм последовательного нагружения перемещением перемычки позволяет проследить также процесс разрушения перемычки с ростом нагрузки на бесконечности путем вычисления значений функции (7). Строятся графики зависимости степени разрушения перемычки от внешней нагрузки при различных соотношениях длин полуосей эллиптического отверстия.

Решается задача об осесимметричном нагружении на бесконечности усилиями интенсивности p пластины с круговым отверстием радиуса R, подкрепленным четным числом равномерно распределенных радиальных стержней.

Для материала стержней задана зависимость напряжения в них q от деформации от начала их нагружения до полного разрушения. Задача о плоском напряженном состоянии пластины, подкрепленной одноосно напряженными стержнями, является многократно внешне статически неопределимой. Поэтому разрешающая система уравнений для пластины дополняется уравнениями совместности перемещений внутреннего контура пластины и концов стержней.

Вследствие осесимметричности задачи все n / 2 уравнений совместности перемещений одинаковы и их решение дает значение нагрузки p, если задаваться значением напряжения q, возникающего в результате взаимодействия контура пластины с каждым из стержней.

1 ( z ), 1 ( z ) – потенциалы задачи о действии нагрузки p при отсутствии нагрузки q ; 2 ( z ), 2 ( z ) – потенциалы задачи о действии нагрузки q при отсутствии нагрузки p.

Потенциалы 1 ( z ), 1 ( z ) легко получить, используя результаты предыдущей главы. Учитывая, что z ( ) R (отображение на внешность единичного круга), подставляя 1/ вместо и складывая соответствующие потенциалы при 0 (одноосное нагружение в направлении оси x ) и / (одноосное нагружение в направлении оси y ), из (4) и (5) получаем:

Потенциалы 2 ( z ), 2 ( z ) находятся из граничных условий (6) с где kl - точки единичной окружности, представляющие собой образы угловых точек стержней, 2 k1 ^ k 2... k2 n 1 ^ k2 n – угол в радианах.

Записывается уравнение совместности перемещений внутреннего контура пластины и конца соосного оси x стержня. Ширина стержней принимается малой настолько, что перемещения точек по всей ширине контакта стержня с внутренним контуром пластины отождествляются с перемещением в одной его точке R,0. Вследствие непрерывности смещений в точках соединения стержня и пластины перемещение u R,0 равно удлинению стержня R от напряжения q. Это приводит к уравнению совместности перемещений Рассматриваются стержни из хрупкого материала. Расчет ведется по алгоритму последовательного нагружения перемещением стержней, запрограммированному на языке Maple. Строятся графики зависимости степени разрушения стержней от внешней нагрузки при различном их числе.

Четвертая глава. Одним из приложений решенных задач к практике является изучение разрушения хрупкого покрытия в окрестности отверстий рассмотренного типа.

Описываются деформационные свойства хрупкого материала – излагаются дискретная и континуальная модели хрупкой среды, предложенные Г. Т. Тарабриным, приводятся простейшие варианты модели хрупкой среды. Построение континуальной модели осуществляется путем редукции свойств неоднородного материала и последующего синтеза элементарных свойств, осуществленного в форме предела интегральной суммы. Рассматривается стержень, подвергающийся одноосному растяжению. Материал стержня представляет собой такую континуальную среду, что достаточно тонкие нити, изготовленные из нее, образуют статистически неоднородную по прочности совокупность. Стержень «разбирается» на n отдельных нитей, которые нумеруются так, чтобы их индивидуальные пределы деформируемости 1, 2,, n расположились бы в порядке их возрастания: 1 2 n. Обозначается: Fi, Ei, i – площадь поперечного сечения, модуль упругости и коэффициент упрочнения i -й нити;

e – предел пропорциональности; 0 – предел целостности стержня – относительная линейная деформация, при которой в стержне обнаруживаются первые признаки разрушения; n – предел деформируемости стержня – относительная линейная деформация, при которой он полностью разрушается.

«Разборка» стержня на отдельные нити ставит в соответствие каждому значению деформации i значение модуля упругости Ei, коэффициента упрочнения i и значение площади Fi Fi Fn, представляющей собой площадь поперечного сечения стержня после разрыва в нем первых i 1 нитей. Поэтому можно говорить о существовании функций U ( ), ( ), F ( ) таких, что Ei U (i ), i (i ), Fi F (i ). Очевидно, что F ( 0 ) F0 – площадь поперечного сечения стержня, не тронутого процессом разрушения, и F ( n ) 0.

Вводится функция, характеризующая степень разрушения стержня в зависимости от значения его деформации, - функция поврежденности:

Функция поврежденности определяет долю площади поперечного сечения стержня, утратившую несущую способность. В области существования – на отрезке деформаций 0, n – w( ) по своей физической природе монотонно В результате предельного перехода n, Fi 0 зависимость напряжения от деформации для стержня в целом получается в виде:

Функции E ( ) и A( ) при ( 0, n ) определяет значения модуля упругости и коэффициента упрочнения отпорной – оставшейся неразрушенной при этой деформации – части стержня. E0 E ( 0 ), A0 A( 0 ) – модуль упругости и коэффициент упрочнения стержня с ненарушенной целостностью.

Модель показывает, как формируются интегральные деформационные свойства хрупкого материала по его элементарным характеристикам, содержит функцию, характеризующую степень разрушения материала в зависимости от его деформации, учитывает и интерпретирует нисходящую ветвь диаграммы нагружения.

На основе модели разрабатывается методика и алгоритм расчета степени разрушения хрупкого покрытия в виде тонкой пленки на пластине. Влияние покрытия на пластину принимается пренебрежимо малым. Сцепление покрытия с пластиной идеальное и не нарушается при нагружении пластины, что обеспечивает совместность деформаций пластины и покрытия. Разрушение покрытия возникает в виде равномерно рассеянного тумана микротрещин и является следствием растягивающих деформаций пластины. При этом, если 1 0, – главные деформации пластины, то деформация, вызывающая туман трещин в покрытии, сонаправлена деформации 1 и определяется формулой где – коэффициент Пуассона материала покрытия. Степень разрушения покрытия в зависимости от деформации характеризует функция поврежденности. В виде (7) она принята в расчетах.

На основе программы на языке Maple проводятся численные эксперименты по определению полей разрушения хрупкого покрытия около рассчитанных в работе отверстий. Графическую визуализацию результатов расчетов представляют собой линии уровня функции поврежденности w ( x, y ) const – изоруины, характеризующие области расположения микротрещин.

На рисунке показаны изоруины в покрытии от действия вдоль оси перемычки нагрузки p / q 1.35. При этом деформация перемычки соответствует максимуму зависимости q ( ) и степень разрушения в точках перемычки w 0.375. Соотношение полуосей отверстия a / b 5/ 2, материал пластины с E 2105Н/мм2, 0.25, материал перемычки с Ew 1.5105 Н/мм2, 0 0.001, n / и материал покрытия с 0.22, 0 0.0005, n / 0 5. Полуширина перемычки принималась равной 0.17b. Числами показаны значения w( ) для покрытия.

Задача по оценке степени разрушения хрупкого покрытия по напряжениям в детали, на которую нанесено хрупкое покрытие, является обратной по отношению к задаче метода хрупких покрытий и призвана иллюстрировать на примерах наличие взаимно однозначного соответствия между деформациями в детали и деформациями в её покрытии и тем самым подтвердить возможности метода хрупких покрытий. Обратная задача позволяет также построить эпюры полей напряжений в детали и полей разрушения хрупкого покрытия именно такими, какими они будут в прямой задаче метода хрупких покрытий, то есть наглядно показать, что будет видеть и что будет получать исследователь, применяя метод хрупких покрытий.

В этой же главе описывается вероятностная оценка деформированного состояния детали по интенсивности разрушения её хрупкого покрытия.

Предлагается следующая методика экспериментального определения функции поврежденности. Хрупкое покрытие может быть получено из жидкого вещества, которое после нанесения на поверхность испытуемой на напряжение детали затвердевает и образует это самое хрупкое покрытие. На поверхность специально изготовленного деформируемого образца наносятся полоски материала хрупкого покрытия. Образец растягивается по направлению нанесенных полосок. В процессе растяжения измеряется относительная линейная деформация образца по направлению растяжения (она же – деформация полосок) и фиксируются значения деформаций, при которых разрываются отдельные полоски.

По значениям деформаций разрывов строится функция поврежденности.

Устанавливается вероятностный смысл функции поврежденности. Предположим, что в процессе экспериментального построения функции поврежденности w( ) было m полосок. Результаты замеров деформаций разрывов отдельных полосок сгруппируем в n совокупностей, в каждой из которых m1, m2,, mn близких значений, то есть m1 m2 mn m. Пусть 0, 1, 1, 2,…, n1, n - отрезки, внутри которых располагаются значения деформаций разрывов выделенных совокупностей. Возьмем внутри этих отрезков являются вероятностями того, что случайная величина при 0 примет значения соответственно 1, 2,, n.

Перечислим все свойства функции поврежденности: 1) w( ) - монотонно возрастающая функция на отрезке 0, n ; 2) значения w( ) на отрезке 0, n изменяются от 0 до 1; 3) w( ) 0 при 0 и w( ) 1 при n. С точки зрения теории вероятностей эти свойства определяют w( ) как функцию распределения непрерывной случайной величины, возможные значения - деформации разрыва i. Это дает возможность выявить следующие вероятностные свойства функции поврежденности. Вероятность P того, что непрерывная случайная величина примет значение i ( i 1, i ), равна приращению функции поврежденности на этом интервале, а вероятность P того, что непрерывная случайная величина примет значение i, меньшее чем i, равна значению Экспериментальные данные (8) в свете этих формул позволяют получить значения функции w( ) внутри рассматриваемых отрезков Аппроксимируя эти значения подходящей функцией w( ), удовлетворяющей граничным условиям w( 0 ) 0, w( n ) 1, получим экспериментальную функцию поврежденности.

Вероятностная интерпретация экспериментальных результатов позволяет не только получить формулу дискретных значений функции поврежденности (9), которая может быть аппроксимирована непрерывной функцией, но и открывает возможность вероятностно оценивать достоверность значений деформаций, получаемых методом хрупких покрытий.

Дается способ оценки главных растягивающих деформаций. На поверхность испытуемой детали наносится хрупкое покрытие с известной функцией поврежденности, определенной экспериментально с помощью описанной в работе методики. В результате действия нагрузок на деталь возникает некоторая картина разрушения хрупкого покрытия. Каким-то образом оценивается интенсивность этого разрушения. По распределению интенсивности разрушения в разных областях покрытия вычисляются деформации и напряжения в детали методом хрупких покрытий. По этим же значениям интенсивности разрушения покрытия вычисляются значения функции поврежденности, которые дают возможность вероятностно оценить достоверность определения напряженнодеформированного состояния детали.

Пусть w( ) - экспериментально определенная функция поврежденности, - значение деформации, полученное методом хрупких покрытий. Тогда, вычислив значение по значению, решим уравнение w(1 2 ), - коэффициент Пуассона материала хрупкого покрытия. В результате получим значение e деформации в покрытии, возникающей по направлению деформации 1 в детали:

При наличии трещин, перпендикулярных направлению 1, возможны два случая: нет трещин, перпендикулярных направлению 2, и они имеются. Трещин, перпендикулярных направлению 2, нет. Тогда Решая это неравенство совместно с уравнением (10), получаем оценку главных деформаций на поверхности детали в этом случае Трещины, перпендикулярные направлению 2, имеются. Тогда знак неравенства (11) изменяется на противоположный, а главные деформации на поверхности детали оцениваются неравенствами Заключение. Приводится сводка основных результатов и выводов, полученных в диссертационной работе.

Приложения. Даются программы расчета на ЭВМ напряженнодеформированного состояния пластин около отверстий с подкреплениями и без них и степени разрушения хрупкого покрытия таких пластин.

1. Получена обобщенная форма решения задачи о концентрации напряжений около отверстия, освобождающая пользователя от громоздких аналитических преобразований при получении численных значений элементов поля напряженно-деформированного состояния.

2. Получены решения задачи о концентрации напряжений в пластине с эллиптическим отверстием, подкрепленным перемычкой вдоль осей эллипса, и задачи о концентрации напряжений в пластине с круговым отверстием, осесимметрично подкрепленным многими стержнями. Разработан алгоритм доведения решений до числовых значений показателей напряженно-деформированного состояния. На языке Maple созданы программы таких расчетов с построением графиков и эпюр.

3. Разработан алгоритм последовательного нагружения для исследования изменения концентрации напряжений в пластине в процессе разрушения перемычек.

4. Предельным переходом от дискретно-волоконной к континуальной модели получены соотношения напряжений и деформаций при одноосном деформировании хрупкого материала от начала нагружения перемещением до полного разрушения. Модель содержит функцию, позволяющую количественно оценивать степень разрушения как интенсивность трещиноватости в виде математического континуума.

5. Построен алгоритм, записанный на языке Maple, позволяющий получать численные значения степени разрушения покрытия в окрестности концентратора напряжений с построением изоруин – линий равного уровня интенсивности разрушения.

6. Методами математической статистики установлено, что функция поврежденности предложенной математической модели хрупкого разрушения является функцией плотности распределения вероятности значений интенсивности разрушения. На основе этого для метода хрупких покрытий разработана методика получения экспериментальных значений деформаций в пластине по показателям степени разрушения покрытия и вероятностной оценки достоверности этих значений.

Основные результаты работы отражены в публикациях 1. Тарабрин, Г. Т. Математическая модель хрупкого покрытия в экспериментальных исследованиях концентрации напряжений [Текст] / Г. Т. Тарабрин, Л. Л. Левщанова // Вопросы физической метрологии: Вестник Поволжского отделения Метрологической академии России / Поволж. отд. МАР. – Волгоград, 2004. – Вып. 6. – С. 92-103.

2. Левщанова, Л. Л. Расчет степени разрушения хрупкого покрытия около концентратора напряжений [Текст] / Л. Л. Левщанова // Вопросы физической метрологии: Вестник Поволжского отд. Метрологической академии России / Поволж. отд. МАР. – Волгоград, 2006. – Вып. 8. – С. 146-155.

3. Тарабрин, Г. Т. Концентрация напряжений около кругового отверстия в пластине, подкрепленного радиальными стержнями [Текст] / Г. Т. Тарабрин, Л. Л. Левщанова // Известия ВолгГТУ. Серия «Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах»: межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. – Волгоград, 2007. – Вып. 2, № 2. – С. 18-20.

4. Левщанова, Л. Л. Разрушение покрытий на пластинах с вырезом [Текст] / Л. Л. Левщанова // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2007. – Т. 13, № 2. – С. 233-238.

5. Тарабрин, Г. Т. Разрушение перемычки эллиптического отверстия в пластине [Текст] / Г. Т. Тарабрин, Л. Л. Левщанова // Известия вузов. Машиностроение. – 2007. – № 6. – С. 3-7.

6. Левщанова, Л. Л. Разрушение перемычки эллиптического отверстия в пластине [Текст] / Л. Л. Левщанова // XI Региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области, 8-10 нояб. 2006 г. Вып. 4. Физика и математика: тез. докл. / ВолГУ [и др.]. – Волгоград, 2007. – С. 40-42.

7. Левщанова, Л. Л. Вероятностная оценка интенсивности разрушений хрупкого покрытия [Текст] / Л. Л. Левщанова, Г. Т. Тарабрин // XXXIII Гагаринские чтения, г. Москва, 3-7 апр. 2007 г. Секция №3 «Механика и моделирование материалов и технологий»: тез. докл. междунар. молодеж. науч. конф. / Рос. гос.

технол. ун-т им. К. Э. Циолковского (МАТИ) [и др.]. – М., 2007. – С. 55-57.

8. Левщанова, Л. Л. Разрушение хрупкого покрытия на упругих пластинах с вырезом [Текст] / Л. Л. Левщанова // XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды: матер. междунар. конф., г. Саратов, 27 авг.

- 1 сент. 2007 г. / Сарат. гос. ун-т им. Н. Г. Чернышевского. – Саратов, 2007. – С. 194-197.

9. Тарабрин, Г. Т. Разрушение покрытия на пластине с круговым отверстием, подкрепленным радиальными стержнями [Текст] / Г. Т. Тарабрин, Л. Л. Левщанова // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: матер. междунар. конф. / РАН, Ин-т проблем точной механики и управления. – Саратов, 2007. – С. 177-181.

10. Левщанова, Л. Л. Разрушение покрытия на пластине с эллиптическим вырезом, подкрепленным перемычкой [Текст] / Л. Л. Левщанова // XIX Международная Интернет-ориентированная конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (МИКМУС-2007): матер. конф., Москва, 5-7 дек.

2007 г. / РАН, Ин-т машиноведения им. А. А. Благонравова. – М., 2007. – С. 15.

Подписано в печать _2008 г. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл.-печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №_.

Волгоградского государственного технического университета.