«А.И. Слободянюк Физическая олимпиада: экспериментальный тур 0 Каждый школьник, выучивший две-три (или два-три десятка) формулы из учебника, считает себя достойным участником физической олимпиады любого уровня от ...»
-- [ Страница 2 ] --
Не слишком сложно вывести точную формулу для периода рассматриваемых колебаний T = 2, где J - момент инерции линейки с грузами. Но сейчас мы проведем только качественные рассуждения.
Полученная экспериментальная зависимость периода от расстояния S слегка отличается от прямо пропорциональной, причиной чего служит момент инерции самой линейки. Следовательно, физически более логично искать эту зависимость в виде Эта зависимость линеаризуется, при возведении ее в квадрат, то есть «квадратичная»
зависимость T 2 S 2 должна быть линейна. Проверим это по полученным данным.
Построенный в этом масштабе график также близок к линейному, как и график 1.
Однако эта зависимость более обоснована физически. Поэтому следует отдать предпочтение именно зависимости (4). Коэффициенты этой зависимости, рассчитанные по МНК равны Заметим, что a1 0,08 a из линейной зависимости.
Окончательно, период крутильных колебаний рассмотренного маятника описывается формулой Символом будем обозначать прямую пропорциональность.
К сожалению, не всегда удается быстро вывести теоретическую зависимость, которую затем можно проверять10 экспериментально. В таких более сложных для анализа случаях необходимо тщательно обрабатывать экспериментальные данные, причем часто результаты могут быть неоднозначны – один и тот же набор экспериментальных точек может быть аппроксимирован различными способами.
Следующий пример иллюстрирует это положение.
равномерным или равноускоренным. Однако эти упрощающие модели часто используются для описания реальных законов движения. В данной работе вам предстоит экспериментально исследовать один из таких законов, проанализировать возможность применения знакомых вам моделей и, наконец, попытаться установить эмпирический (опытный) закон движения.
Подвесьте тяжелый стержень на двух параллельных нитях. Верхние концы нитей прикрепите ко второму стержню. Длины нитей должны быть примерно равны 30-40 см, расстояние между ними около 15 см. Не забудьте указать точные численные значения этих величин в своей работе.
Вам необходимо исследовать процесс раскручивания стержня, для этого первоначального его надо закрутить (при этом нити, естественно, окажутся перекрученными). Все измерения по изучению раскручивания следует начинать с нулевой скорости вращения.
При закручивании стержня (перекручивания нитей) стремитесь, чтобы нити все время оставались натянутыми. Проще всего этого добиться, если подвешенный стержень просто толкнуть, при необходимости подталкивая его (не забывая при этом подсчитывать число оборотов). Обозначим начальное число оборотов сделанное стержнем - N 0.
При описании движения стержня в качестве его координаты следует использовать n - число оборотов, которое сделал стержень, при его движении от верхнего положения (когда нити максимально перекручены).
Естественно, что это число может быть дробным.
Но не подгонять!
1. Закон движения.
1.1. Исследуйте закон движения стержня при фиксированном числе оборотов начальной закрутки стержня N 0 (эта величина должна быть примерно равна 60- оборотам).
Для этого измерьте зависимость времени раскручивания t n от числа сделанных оборотов n, при фиксированном числе начального числа оборотов N 0 и нулевой начальной скорости.
Постройте график закона движения стержня n(t ).
При анализе различных моделей движения рассчитывать 1.2 Приближение равномерного движения.
использования модели равномерного движения для описания реального движения стержня. Для этого а) запишите функцию закона равномерного движения (при нулевой начальной координате);
б) постройте график закона равномерного движения (при нулевой начальной координате), описывающий движение стержня с наименьшей погрешностью;
в) определите скорость равномерного движения, при которой модель равномерного движения имеет минимальную ошибку;
г) укажите максимальную ошибку в определении координаты стержня n, возникающую при использовании модели равномерно движения.
Проведите данное исследование для всего интервала движения стержня ( n [0, N 0 ] ) и для промежутка времени, когда число сделанных стержнем оборотов изменяется от 30 до 50 ( n [30, 50] );
1.3 Приближение равноускоренного движения. Проанализируйте возможность использования модели равноускоренного движения для описания реального движения стержня. Для этого а) запишите функцию закона равноускоренного движения (при нулевой начальной координате и нулевой начальной скорости);
б) постройте график закона равноускоренного движения (при нулевой начальной координате и нулевой начальной скорости), описывающий движение стержня с наименьшей погрешностью;
в) определите ускорение, при котором модель равноускоренного движения имеет минимальную ошибку;
в) укажите максимальную ошибку в определении координаты стержня n, возникающую при использовании модели равноускоренного движения.
Проведите данное исследование для всего интервала движения стержня 1.4 Приближение модели гармонического колебания.
возможность использования модели гармонического колебания для описания реального движения стержня. Для этого а) запишите функцию закона гармонического колебания (при нулевой начальной скорости);
б) постройте график закона гармонического колебания (при нулевой начальной скорости), описывающий движение стержня с наименьшей погрешностью;
в) определите угловую частоту колебания, при котором модель гармонического колебания имеет минимальную ошибку;
в) укажите максимальную ошибку в определении координаты стержня n, возникающую при использовании модели гармонического колебания.
Проведите данное исследование для всего интервала движения стержня 1.5 Степенная зависимость. Допустим, что закон движения стержня (на всем интервале движения стержня) может быть приближенно представлен в виде где C, - постоянные величины. При каком значении параметра эта формула наиболее точно описывает реальный закон движения? Чему равна максимальная ошибка такого описания движения.
2. Время раскрутки и потенциальная функция.
2.1. Исследуйте зависимость времени полного раскручивания стержня (от начального положения, до нижней точки, в которой нити вертикальны) от начального числа оборотов закрутки N 0.
2.2. Постройте график полученной зависимости ( N 0 ).
2.3 Допустим, что вращение стержня является консервативным (т.е. можно пренебречь сопротивлением воздуха). В этом случае потенциальная энергия стержня однозначно определяется его координатой. Предположим, что зависимость потенциальной энергии стержня от его координаты имеет вид где K, - постоянные величины. Определите значение показателя степени, при котором функция (2) наиболее точно соответствует зависимости, полученной в пункте 2.1.
Комментарии к условию.
1. В работе можно использовать любой массивный (металлический) стержень: от штатива, кусок арматуры и т.д.
2. Значительную часть времени в данной работе занимает обработка результатов измерений. Поэтому эту работу можно задать в качестве домашнего задания, допустимо также использовать компьютер (например, Excel).
Результаты и обсуждение.
Часть 1. Исследования закона движения.
В Таблице 1 представлены результаты измерений времени11 раскручивания (начальная закрутка равнялась 68 оборотов – так уж получилось) до нужного числа n. Рядом построен график закона движения.
Таблица 1.
сделанных раскручивания Итак, экспериментальные данные получены. Приступим к их анализу – насколько хорошо знакомые моделей движения могут описывать движение стержня.
1.2 Приближение равномерного движения.
Координата тела (напомним, в данном случае это число оборотов стержня) при равномерном движении изменяется по закону (при нулевой начальной координате) График этой функции изображается прямой, проходящей через начало координат.
Поэтому на графике, изображающем экспериментальный закон движения, построим прямую, наиболее близко12 проходящую серди экспериментальных точек (График 2).
По построенному графику определяем, что в модели равномерного движения скорость может быть приятой Измерения времени проводились с помощью электронного секундомера, поэтому значения времени приведены с точностью до сотых доле секунды, хотя погрешность измерения определяется временем реакции человека, что составляет величину порядка 0,1 с.
Конечно, это определение требует уточнения. Можно искать такую прямую, чтобы максимальное отклонение от нее было минимально; можно потребовать минимума суммы квадратов отклонений (как в МНК); возможны и другие варианты… В данном случае нас не интересуют эти математические тонкости. Поверьте, различия между прямыми, удовлетворяющим этим различным определениям «близости», лежат в пределах погрешностей измерений. Поэтому, в данной задаче все «оптимальные»
теоретические зависимости будем строить «на глаз», а их параметры определять графически. Хотя, наиболее дотошные читатели могут обрабатывать их по методу наименьших квадратов.
Обратите внимание, что «теоретическая» прямая не проходит через конечную точку – в этом случае максимальное отклонение было бы больше.
Далее в таблицу 2 заносим «теоретические» значения координат, рассчитанные по формуле (1) и находим разности между «теоретическими» и экспериментальными значениями для каждой экспериментальной точки n = n теор. n, которые также представлены в таблице.
Таблица 2.
Видим: отклонения экспериментальных точек от построенной зависимости достаточно велики и явно превышает погрешности измерений закона движения. Так на первой половине движения относительные отклонения достигают 100%.
Максимальное абсолютное отклонение равно (n )max 8 оборотов.
Если же применить модель равномерного движения к описанию вращения стержня на второй половине его движения, то результаты получаются гораздо лучше.
Анализ модели, в данном случае проводится аналогично: проводим прямую, близко проходящую к экспериментальным точкам (начиная с n1 = 30 ) – График 3.
Уравнение этой прямой где (n1,t1 ) - «начальные условия» для этого участка движения. По наклону прямой определяем модельную скорость Затем рассчитываем теоретические значения координат и их отклонения от экспериментальных (Таблица 3).
Таблица 3.
Максимальное отклонение в данном случае составляет величину (n )max 1,3об.
Таким образом, в данном случае модель равномерного движения вполне применима.
Можно предложить следующее теоретическое «объяснении»е полученного результата: после этапа разгона сопротивление воздуха13 стабилизирует скорость вращения. Однако этот вывод не обоснован – на небольших временных участках любая монотонная функция может быть приближена линейной зависимостью14.
Возможно, что точность эксперимента не позволяет обнаружить присутствующее ускорение.
Как всегда в дискуссиях по поводу механики: во всем виновато трение и сопротивление воздуха.
Помните: всякая функция линейна, если… 1.3 Приближение равноускоренного движения.
Экспериментальные данные однозначно свидетельствуют о возрастании скорости вращения, рассмотрим, можно ли считать это возрастание равномерным, то есть считать движение равноускоренным, описываемым квадратичной функцией15.
При нулевых начальных скорости и координате, закон равноускоренного движения имеет вид Построить «на глаз» параболу, наиболее близко подходящую к заданным точкам затруднительно, поэтому сначала необходимо линеаризовать исследуемую зависимость.
процедура очевидна: построим график зависимости координаты стержня от квадрата скорости. Если экспериментальные точки на таком графике должны выстаиваться близко к прямой. Если не слишком привередничать, то можно считать, что это наблюдается на Графике 4.
Хорошо видно, что отклонения точек от прямой носят не случайный, а вполне закономерный характер, следовательно, движение не является строго равноускоренным. Но модель равноускоренного движения может приближенно описывать наблюдаемое движение.
Для определения оптимального «модельного» ускорения проведем на этом графике прямую через начало координат, проходящую близко к экспериментальным точкам. В соответствии с выражением (3) коэффициент наклона этой прямой равен а. Поэтому ускорение стержня примерно равно Дальнейший ход работы понятен: рассчитываем по формуле (3) теоретические значения координат и их отклонения (Таблица 4) и строим теоретический График 5 закона движения в модели равноускоренного движения.
Максимальная погрешность использованной модели составляет (n )max 6 об., что заметно меньше, чем погрешность модели равномерного движения (на всем интервале движения).
Если применить модель равноускоренного движения к начальному этапу разгона16 (скажем, до n = 30), то можно получить гораздо лучшее соответствие между моделью и реальными данными. Действительно, первые 6 точек лежат очень близко к прямой. Следовательно, модель равноускоренного движения может …она не парабола!
Можете проделать это упражнение самостоятельно.
применяться к описанию вращения стержня, особенного на начальном этапе его разгона.
Таблица Дадим и теоретическое «обоснование» этого вывода: ускорение стержня определяется силами натяжения нитей (только эти силы создают ненулевой вращающий момент); эти силы зависят от массы стержня (изменением которой во время движения можно пренебречь) и углами между нитями и стержнем; когда нити скручены, эти углы изменяются мало. Следовательно, момент силы, раскручивающий стержень, остается примерно постоянным, чем и объясняется примерное постоянство ускорения. Признаем, данное объяснение достойно возражений: моменты сил малы (так стержень тонкий), поэтому их малое изменение может существенно повлиять на характер движения. Дискуссия в таком стиле бесплодна – нужны серьезные (и очень не простые) расчеты. Возможно, что применимость анализируемой модели в данном случае объясняется тем, что квадратичная функция точнее аппроксимирует сложную неизвестную функцию.
1.4 Приближение модели гармонического колебания.
Движение стержня действительно является колебательным, достигнув нижней точки (когда нити раскрутились), он по инерции продолжит вращаться и опять закрутит нити (в противоположном направлении). Если бы не неизбежные потери механической энергии из-за сопротивления воздуха (опять!?), неупругих деформаций нити и трения между ними, такое колебательное движение стержня продолжалось бы бесконечно долго. Раскручивание стержня от начальной закрутки до нижней точки составляет четверть периода его колебания. Поэтому в данном разделе фактически речь идет о том, можно ли экспериментальный закон движения описать гармонической функцией вида Такой ее выбор определен начальными условиями: нулевой начальной скоростью. Заметим, что положению равновесия соответствует n = N 0, так как мы отсчитываем обороты от начального положения максимально закрученных нитей.
Величина координате, отсчитываемой от нижнего положения стержня, когда нити вертикальны.
модели (4) линеаризуем ее, приведя к виду Теперь необходимо по экспериментальным данным построить график зависимости arccos 0 от времени и рассмотреть, можно ли его приближенно заменить прямой линией, проходящей, через начало координат. Результат построения показан на Графике 6. Действительно экспериментальные точки выстраиваются в линию, близкую к прямой, хотя и в данном случае отклонения носят систематический характер. Этот график показывает, что модель гармонического колебания также может примяться для приближенного описания наблюдаемого движения. По наклону построенной прямой определяем оптимальное значение круговой частоты колебания:
Далее выполняем техническую работу – по найденному значению частоты и с помощью формулы (4) рассчитываем теоретические значения координат и их отклонений от экспериментальных значений. Результаты представлены в Таблице 5 и на Графике 7. В таблице обозначено ( N 0 n ) = n1 - координата стержня, отсчитываемая от положения равновесия стержня.
Таблица 5.
С удивлением обнаруживаем, что эта модель описывает движение лучше, чем модель равноускоренного движения. Ее максимальная погрешность составляет (n )max 4 об. - менее 10%.
Применение модели гармонического колебания также можно дать теоретическое обоснование. Мы уже показали, что движение стержня является колебательным. Когда нити раскручены (вертикальны) стержень обладает минимальной потенциальной энергией. Вблизи минимума потенциальная функция может быть примерно заменена параболой. А если потенциальная энергия тела пропорциональна квадрату отклонения от положения равновесия, то тело совершает гармоническое колебания. В этих рассуждениях скрыты два существенных недостатка: во-первых, рассматриваемые колебания не являются «малыми», поэтому не обоснована возможность описания потенциальной функции как квадратичной во всем интервале движения; во-вторых, не всякая функция даже вблизи минимума может быть заменена квадратичной. Так, например, функция y = x 4 существенно отличается от функции y = x 2, хотя и обе имеют минимум в нуле. Поэтому, возможно, что хорошее соответствие между теоретическими и экспериментальными значениями обусловлено тем, что участок синусоиды и парабола не отличимые «на глаз», с чем мы уже сталкивались в задаче «Мечта теоретика».
1.5 Степенная зависимость.
В данном пункте предлагается отставить оставить в стороне теоретические дискуссии в рамках курса физики средней школы и обратиться к своеобразной «палочке-выручалочке» - степенной функции, позволяющей описывать многие нелинейные зависимости.
степени приведенной в условии функции n = Ct, необходимо представить закон движения в логарифмическом масштабе На Графике 8 показан построенный график, на котором видно, что экспериментальные точки замечательно ложатся на прямую, что свидетельствует о возможности использования степенной функции для описания закона движения, найденного в эксперименте.
Коэффициент наклона данной прямой, совпадающий с показателем степени, в данном случае равен 1,57. Трудно принять такую экзотическую функцию в качестве закона движения. Поэтому примем в качестве показателя степени очень близкое и более «красивое» значение следовательно, в данной модели теоретический закон движения имеет вид Так как мы незначительно (но самовольно) изменили показатель степени, то надо изменить и коэффициент пропорциональности18 С, получающийся из графика 8. Наиболее точно он может быть найден с помощью линеаризации зависимости (5) с последующей обработкой по МНК, однако два часа, отведенных на решение данной задачи, давно истекли, поэтому поступим проще: подберем его по одной из экспериментальных точек (например, последней – она почти точно попала на Дальнейшее известно: по найденным параметрам по формуле (5) рассчитываем теоретические значения и сравниваем их с экспериментальными Можно было бы покривить душой и сказать, что отличие между этими значениями лежит в пределах погрешности, но это, к сожалению, не так. В этой, как и во всех остальных задачах приводится численные значения, полученные в реальных измерениях. Расчет проведенный по приведенным данным с помощью МНК, показывает, коэффициент наклона равен = 1,57 ± 0,04.
Ранее мы подчеркивали, что свободный член линейной зависимости, найденный по МНК (или графически), как правило, определяется с большой погрешностью, поэтому при определении коэффициента пропорциональности в степенной функции необходимо проявлять осторожность. Этот коэффициент экспоненциально зависит от свободного члена, поэтому небольшая ошибка в расчете погрешности может приводить к катастрофическим последствиям в расчете степенной функции.
(Таблица 6, График 9). Получаем наилучшее соответствие между результатами измерений и расчетов.
Таблица 6.
Краткий вывод из проведенного длительного анализа: реальный закон движения строго не описывается ни одной из знакомых моделей движения, хотя с определенной точностью каждая из них может примяться для приближенного описания отдельных этапов движения.
Проведенный анализ также подчеркивает чрезвычайно важное общее положение. Взаимоотношение между экспериментальными и теоретическими методами физических исследований очень сложны: с одной стороны, качественными теоретическими рассуждениями можно «обосновать» чуть ли не любой экспериментальный результат, с другой – некачественная обработка экспериментальных данных может «подтвердить» многие (и различающиеся) теоретические модели. При необходимости альтернативного выбора между различными моделями следует искать такой эксперимент, чтобы его результаты могли быть истолкованы однозначно, а не «в пределах погрешности». Хорошим примером такого эксперимента послужит вторая часть данной задачи, в которой будет показано, что колебательное движение стержня, рассмотренное в п. 1.3, на самом деле нельзя считать гармоническим.
Что же касается возможной дискуссии между сторонниками «теории постоянства скорости» (в которой координата пропорциональная первой степени времени) и «теории постоянства ускорения» (в которой координата пропорциональная второй степени), то ее итог подвел экспериментатор: истина по середине – координата пропорциональна времени в полуторной степени! Пусть теперь теоретики объясняют почему.
«