Л. С. Г А Н Д И Н, А. С. Д У Б О В

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

КРАТКОСРОЧНОГО

ПРОГНОЗА ПОГОДЫ

Под редакцией проф. М. И. ЮДИНА

* ДОПУЩЕНО

Министерством высшего и среднего

специального образования СССР в качестве учебника для студентов университетов и гидрометеорологических институтов

БИБЛИОТЕКА

Л-. ни:- г а д с к о г о Гидрометеорйлог ческого Икот;; т у т а

ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАД «

УДК 551.509. В книге д а е т с я систематическое изложение основ ч и с л е н н ы х м е т о д о в к р а т к о с р о ч н о г о п р о г н о з а погоды. Значительное внимание уделяется физическому анализу прогностических моделей атмосферы, а т а к ж е их практической реализации.

Математическая сторона вопроса наиболее полно и з л а г а е т с я п р и м е н и т е л ь н о к п р о с т е й ш и м прогностическим м о д е л я м.

У ч е б н и к. п р е д н а з н а ч а е т с я д л я с т у д е н т о в университетов и гидрометеорологических институтов, с п е ц и а л и з и р у ю щ и х с я по ч и с л е н н ы м м е т о д а м прогноза погоды. Книга м о ж е т быть т а к ж е полезна студентам и аспирантам других метеорологических специальностей и синоптикам-практикам.

T h e t e x t - b o o k d e a l s w i t h t h e f o u n d a t i o n s of short-range numerical weather forecasting. Much r e g a r d is p a i d t o t h e a n a l y s i s of t h e a t m o s p h e r e p r o g n o s t i c m o d e l s, a n d t o t h e u t i l i z a t i o n of t h e m.

T h e m a t h e m a t i c a l a s p e c t of f o r e c a s t i n g is d i s c u s s e d in m o s t d e t a i l as a p p l i e d t o. t h e e l e m e n t a r y p r o gnostic models..

T h e t e x t - b o o k is i n t e n d e d f o r u n d e r g r a d u a t e s a n d p o s t g r a d u a t e s, w h o s e s p e c i a l i z a t i o n is n u m e r i c al w e a t h e r f o r e c a s t i n g. It c a n a l s o be of g r e a t i n t e r e s t t o s y n o p t i c w o r k e r s a n d t o all s t u d e n t s of h y d r o m e t e o r o l o g i c a l i n s t i t u t e s a n d u n i v e r s i t i e s.

2-9- 33-

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая книга представляет собой учебник по курсу численных методов краткосрочного прогноза погйды, читаемому в гидрометеорологических институтах и университетах студентам, специализирующимся по предвычислению погоды. При написании учебника использован опыт чтения лекций по данному курсу в Ленинградском гидрометеорологическом институте, и его содержание соответствует программе лекционного курса.

Потребность в подготовке специалистов по применению численных методов прогноза возникла сравнительно недавно в связи с интенсивным развитием этой отрасли метеорологии и внедрением численных прогнозов в оперативную практику. Д л я этой специальности основной профилирующей дисциплиной являются численные методы краткосрочного прогноза погоды. Наряду с ней читается курс теории климата и долгосрочного прогноза, а также курс анализа и обработки информации. Содержание последних курсов, естественно, не вошло в программу настоящего учебника.

З а последнее время вышло несколько книг монографического характера, из которых в первую очередь следует назвать монографии И. А. Кибеля «Введение в гидродинамические методы краткосрочного прогноза погоды» (1957 г.) и.М. И. Юдина «Новые методы и проблемы краткосрочного прогноза погоды»

(1963 г.). По характеру изложения эти книги рассчитаны на квалифицированных научных работников. Содержание этих монографий в некоторых отношениях шире программы читаемого курса, а ряд сравнительно новых вопросов, таких, как, например, интегрирование полной системы прогностических уравнений, не смог, естественно, найти отражение в названных книгах. В связи со всем сказанным вознйжла необходимость написания специального учебника. Предлагаемая книга является первой попыткой такого рода.

В учебнике последовательно излагаются основы схем численного прогноза, причем много внимания сознательно уделено рассмотрению простейших схем, поскольку таким путем удобнее всего ознакомить читателей с основными идеями, и методами решения прогностических задач. Так, конечно-разностные методы излагаются наиболее детально применительно к баротропной квазигеострофической модели, хотя на практике используются схемы с более полным физическим содержанием.

Весьма много внимания в учебнике уделено квазигеострофическим бароклинным схемам, нашедшим наиболее широкое применение в оперативной практике. Что касается неадиабатических и негеострофических схем, то изложение соответствующих вопросов в учебнике является менее детальным и преследует цель лишь ознакомить студентов с физическими основами таких схем и методами интегрирования исходных уравнений. Д л я более детального ознакомления с такими схемами в учебной программе гидрометинститутов по данной специализации предусмотрен ряд специальных курсов.

Главы I, II, IV и V учебника написаны JI. С. Гандиным на основе конспекта его лекций, обработанного Ю. М. Либерманом.

A. С. Дубовым написаны главы III, VI, VIII и IX. М. Е. Щвецу принадлежат тексты глав VII и X. Наконец, глава XI написана М. И. Юдиным, который осуществил также общее редактирование учебника.

Авторы выражают глубокую признательность С. И. Титову и B. А. Шнайдману, внимательно просмотревшим рукопись учебника и сделавшим ряд ценных замечаний.

Июль 1967 г.

ВВЕДЕНИЕ

1. З а последние годы в методах краткосрочного прогноза погоды произошли кардинальные изменения. Сформировалось и приобрело всеобщее признание новое направление, известное под названием «численные методы прогноза погоды». Под термином «численные методы прогноза погоды.» подразумевается методика прогноза, основанная на численном интегрировании системы уравнений динамики атмосферы. В настоящее время оперативные прогнозы топографии изобарических поверхностей выполняются в ряде стран, в том числе и в Советском Союзе, только численными методами.

Как научная дисциплина теория численных методов прогноза погоды является разделом динамической метеорологии. Необходимость выделения этой теории в самостоятельный курс диктуется прежде всего ее большим практическим значением, что требует наиболее детального изучения этого раздела по сравнению с другими разделами динамической метеорологии. Специфическая особенность курса численных методов прогноза заключается в том, что в нем изучаются только, те виды атмосферных движений, которые определяют погодные процессы синоптического масштаба. Другой особенностью этого курса является широкое привлечение аппарата вычислительной математики, рассчитанного на применение быстродействующих вычислительных машин. Перечисленные особенности также оправдывают выделение численных методов прогноза в отдельный курс.

По аналогичным причинам оказалось целесообразным выделить самостоятельный курс теории климата и численных методов долгосрочного прогноза погоды, который читается студентам уже в течение нескольких лет. Материал этого курса, естественно, не нашел отражения в настоящем учебнике. В нем также не рассматриваются вопросы объективного анализа информации, используемой при численных прогнозах, поскольку эти вопросы излагаются в специальном курсе анализа и обработки информации.

2. Методы синоптической метеорологии всегда использовали в той или иной мере закономерности, почерпнутые из динамической метеорологии. В качестве примера можно назвать барический закон ветра, результаты теории фронтов, закономерности вертикального профиля ветра и т. д.

Это влияние приобрело самый непосредственный характер в связи с возникновением численных методов прогноза, когда от применения отдельных закономерностей удалось перейти к использованию прогнозов, полученных расчетным путем.

Обширный раздел курса синоптической метеорологии — прогноз синоптического положения — уже в настоящее время представляет собой по существу интерпретацию численных прогнозов барического поля. Однако изложение соответствующих вопросов в курсах синоптической метеорологии не затрагивает ни физического содержания численных методов прогнозов, ни применяемого в них математического аппарата.

3. Идею построения прогнозов на базе уравнений гидротермодинамики отчетливо сформулировал и активно пропагандировал В. Бьеркнес еще в начале XX века. Первая попытка осуществить численный прогноз была предпринята Л. Ричардсоном. Книга Ричардсона «Прогноз погоды как численный процесс», вышедшая в 1922 г., явилась крупным событием для метеорологии того времени. В этой работе была впервые предложена замкнутая система уравнений для целей прогноза погоды и также впервые применен численный метод решения метеорологической задачи.

Однако попытка решить задачу во всей ее сложности не увенчалась успехом. В настоящее время причины неудачи Ричардсона нетрудно понять. В то время физические закономерности атмосферных процессов были недостаточно изучены, поэтому исходная система уравнений оказалась неадекватной задаче прогноза крупномасштабных атмосферных процессов. Информация о поле метеорологических элементов, особенно на высотах, была крайне ограниченна, что также не могло не сказаться на результатах расчетов. Наконец, разработанный Ричардсоном численный метод интегрирования оказался неустойчивым.

Развитие намеченного Ричардсоном пути исследования было в то время практически невозможно, поскольку из-за отсутствия вычислительных машин расчет каждого прогноза занимал несколько человеко-лет.

Другой путь исследования был намечен в работах советской школы теоретиков-метеорологов, основателем которой был А. А. Фридман. Этот путь, правильность которого подтвердилась дальнейшим развитием науки, состоит в выделении главных погодообразующих факторов путем оценки отдельных членов уравнений с последующим преобразованием этих уравнений.

А. А. Фридман совместно с Т. Гессельбергом составил в 1914 г.

таблицы порядков величин метеорологических элементов и их производных и применил их для сопоставления порядков различных членов уравнений динамики атмосферы. А. А. Фридман получил общую форму уравнения вихря и детально проанализировал это уравнение, которое впоследствии оказалось основным прогностическим уравнением.

Тот же путь выделения основных факторов применительно к задаче общей циркуляции атмосферы был успешно развит Н. Е. Кочиным в 1933—1936 гг. на основе теории подобия.

В 1940 г. была опубликована работа И. А. Кибеля «Приложение к метеорологии уравнений механики бароклинной жидкости».

В ней впервые был выдвинут принцип упрощения прогностических уравнений путем разложения по малому параметру. В дальнейшем этот подход, известный под названием квазигеострофического приближения, нашел широкое применение при построении схем численного прогноза. Работа И. А. Кибеля содержала также ряд других оригинальных идей. Дальнейшее развитие численных методов прогноза в значительной степени базировалось на этих идеях.

Другим исследованием, оказавшим большое влияние на дальнейшее развитие численных методов прогноза, был цикл работ К- Г. Россби (1938—1940 гг.) по теории длинных волн в зональном потоке.

Исходя из представления движений в средней тропосфере в виде совокупности длинных волн на сферической Земле, Е. Н. Блинова в 1943 г. разработала первый гидродинамический метод прогноза на несколько дней. Задача была сведена к решению линеаризированного уравнения вихря.

Следующим крупньщ шагом явилось построение нелинейной одноуровенной (баротропной) модели, выполненное в работах Д ж. Чарни (1948—1949 гг.) и А., М. Обухова (1949 г.). Уже в 1951 г. после появления первых электронных вычислительных машин были выполнены опытные прогнозы путем численного интегрирования баротропного уравнения вихря. Отметим, что в построении соответствующих вычислительных схем активное участие принимал один из основателей «машинной» математики Д ж. Нойман.

Дальнейшие методические уточнения баротропной модели существенно улучшили успешность численных прогнозов, которые к концу 50-х годов превысили оправдываемость синоптических прогнозов полей высот изобарических поверхностей в средней тропосфере. Эти уточнения удалось ввести, в частности, потому, что к этому времени появились возможности использования вычислительных машин с большим быстродействием и большой памятью.

4. В Советском Союзе в начале 50-х годов были выполнены исследования по разработке трехмерных (бароклинных) прогностических схем на основе совместного интегрирования уравнений вихря и притока тепла. Наиболее детально этот вопрос был рассмотрен в цикле работ Н. И. Булеева и Г. И. Марчука. На основе этих работ были построены оперативные методы численного, прогноза полей геопотенциала, температуры, ветра и вертикальных скоростей в тропосфере и нижней стратосфере. В это ж е время в СССР и за рубежом разрабатывались также другие подходы к построению многоуровенных прогностических моделей..

Оперативные испытания многоуровенных схем численного прогноза, выполненные в СССР в 1960 г., показали, что успешность этих прогнозов выше, чем синоптических, на всех уровнях (исключая близкие к земной поверхности). На этом основании в 1961 г. Гидрометслужба СССР отказалась от составления прогностических карт барической топографии синоптическими методами и утвердила в качестве официального метода построения таких карт численный метод.

5. Во всех прогностических схемах, о которых говорилось до сих пор, использовались квазигеострофическое и адиабатическое приближения. В 60-х годах в центре внимания исследователей находится проблема построения схем, свободных от этих ограничений.

Первые нелинейные схемы, в которых условия квазигеострофичности были заменены более точными соотношениями, относятся к 50-м годам (М. И. Юдин, Д ж. Чарни и др.).

Современное состояние математических методов и вычислительной техники позволяет интегрировать уравнения динамики атмосферы без каких-либо дополнительных условий, налагаемых, на поля ветра и геопотенциала. Разра^ртка методов решения системы полных уравнений проводится в ряде крупных научных коллективов. Особо следует отметить работы И. А. Кибеля и его сотрудников в Гидрометеорологическом центре СССР, приведшие к созданию нескольких схем, используемых в настоящее время в оперативной практике. Весьма общий математический метод, пригодный для решения как рассматриваемой задачи, так и многих других задач динамики атмосферы, разработан Г. И. Марчуком в Вычислительном центре Сибирского отделения АН СССР.

Среди исследований, выполненных по этой же проблеме за рубежом, следует отметить разработку численных приемов, позволяющих распространять интегрирование уравнений на весьма большое число шагов (Аракава, Шуман и др.).

Разработка неадиабатических моделей представляет собой, по существу, комплексную проблему физики атмосферы в целом.

Решение ее должно базироваться на знании закономерностей, связывающих притоки тепла за счет лучистого и турбулентного теплообмена и фазовых превращений воды с полями предсказываемых метеорологических элементов.

В настоящее время в этом направлении, особенно если говорить о краткосрочных прогнозах, сделаны лишь первые шаги.

То же можно сказать о работах по важной проблеме численного прогноза влажности, облачности и осадков.

Подводя итоги сказанному, следует признать, что к настоящему времени численные методы прогноза погоды оформились в самостоятельную научную дисциплину. Вместе с тем нужно иметь в виду, что этот раздел теоретической и прикладной метеорологии интенсивно развивается. Настоящий учебник содержит, по существу, лишь основы этой дисциплины.

УРАВНЕНИЯ Д И Н А М И К И АТМОСФЕРЫ

§ 1. Система уравнений динамики атмосферы 1.1. Цель настоящего параграфа — напомнить основные сведения об уравнениях гидротермодинамики атмосферы, известные из курсов гидромеханики и динамической метеорологии.

Уравнения приводятся без вывода, а их физический смысл лишь вкратце прокомментирован. Попутно, мы условимся о единицах измерения встречающихся величин, о системе координат, об употреблении некоторых терминов и т. п.

В качестве основных метеорологических элементов удобно рассматривать три скалярные величины — давление р, температуру Т и плотность р — и три составляющие вектора скорости движения воздуха — горизонтальные составляющие и и v и вертикальную составляющую w. Все эти величины меняются, вообще говоря, от точки к точке и с течением времени, т. е. являются функциями координат и времени t. В качестве исходной системы координат примем декартову систему х, у, г, ось г. которой направим вертикально вверх, ось х — по касательной к кругу широты, а ось у — по касательной к меридиану. Очевидно, что в силу сферичности Земли направление осей меняется от точки к точке. Вследствие этого в соответствующих уравнениях появляются дополнительные члены, однако они существенны лишь для таких движений, масштаб которых сравним с радиусом - х З е м л и Л Д л я " целей краткосрочного численного прогноза достаГоЧжт^вообще говоря, учитывать движения меньшего масштаба, применительно к которым упомянутыми членами можно пренебречь. Это позволяет рассматривать систему х, у, z как прямолинейную систему координат..

. Всюду, где не оговорено противное, будем считать, что время измеряется в секундах, расстояние — в метрах, масса — в тоннах, температура — в градусах абсолютной шкалы и количество тепла — в килокалориях. При этом единицей скорости является м/сек, единицей плотности — т/м3, а единицей давления — сантибар, т. е. 10 мб.

Производные от какого-либо метеорологического элемента f щими вектора grad f — градиента элемента f. Наряду с этим пространственным вектором удобно рассматривать отдельно горизонтальный градиент gracb/, т. е. горизонтальный вектор с соdf df и ставляющими — и отдельно вертикальный градиент, «градиент» часто обозначают вектор, отличающийся от только что введенного знаками составляющих, т. е. имеющий противоположное направление.

Индивидуальную производную элемента / по времени, описывающую изменение / в движущейся частице воздуха, будем обоdf значать а локальную производную, описывающую изменения / со временем в фиксированной точке пространства, — через —jj-. Эти производные связаны соотношением где и, v и w — составляющие скорости по осям х, у и z соответственно. Сумму последних трех членов часто называют конвективной производной элемента /. Эту же сумму, взятую с обратным знаком, называют адвекцией элемента f. Очевидно, что адвекция равна тому значению локальной производной f -, которое имело бы нулю. Как и в случае градиента, удобно также рассматривать отдельно горизонтальную адвекцию элемента f и вертикальную адвекцию —w 1.2, Уравнение состояния представляет собой однозначную (не зависящую от координат и времени) связь между давлением, плотностью и температурой воздуха и выражает собой тот факт, что воздух в атмосфере можно считать идеальным газом. Здесь R=287 м2/сек2 • град — газовая постоянная для воздуха. Уравнение (1.3) перестает выполняться при очень малых плотностях, в частности, в самых верхних слоях атмосферы — ограничение, несущественное для численных методов прогноза, имеющих дело с тропосферой и нижней стратосферой. Более существенно, что уравнение состояния в форме (1.3) имеет место, строго говоря, лишь для сухого воздуха. Применительно к реальному, влажному воздуху правую часть (1.3) нужно умножить на 1 + 0, 6 0 5 * 7, г Д е 0 соответствует нисходящей вертикальной составляющей скорости, а со < с 0 — восходящей.

Итак, изобарическая вертикальная скорость оо приближенно пропорциональна по величине обычной вертикальной скорости w и противоположна ей по знаку. Как видно из (2.13), со имеет размерность се/с -1. В практике употребляются более мелкие единицы, например Ю - 6 се/с -1 или Ю - 3 час - 1. Часто при вычислении вертикальных скоростей переходят от координаты к давлению р и в ы р а ж а ю т роо® в мб/час или жб/12 час.

2.4. Пользуясь выведенными формулами, выполним в уравнениях динамики атмосферы переход к изобарической системе координат.

Уравнение состояния в изобарической системе координат имеет вид Уравнение (2.15) получается из уравнения (1.3) простой заменой р на роо.

Преобразуем теперь уравнение статики. Д л я этого в исходном уравнении (1.9) применим к левой части вторую из формул (2.9) и заменим ~р на роо-' Подставив сюда выражение (2.15), получим уравнение статики Д л я перевода уравнений движения (1.7) в изобарическую систему достаточно применить формулы (2.3) и (2.12) и выполнить преобразование первых членов правых частей, выражающих силу барического градиента. Воспользовавшись первой из формул (2.9) и заменив р на р0о, запишем