Письмо школьнику

Дорогой друг!

Хочешь ли ты попасть в прекрасный мир математики? Не в тот мир, где строгие цифры

надменно стоят в ряд, и требуют, чтобы их поскладывали, где уравнения насупившись смотрят

на тебя со страниц учебника, а в тот, где царствует красота и свобода! Скажу по секрету, что

настоящая математика и то, что изучается в школе, — две совершенно разные вещи! Если не веришь, то можешь посмотреть задачи какой-нибудь солидной математической олимпиады – и ты не увидишь там ничего общего с тем, к чему привык на уроках математики. Ты думаешь, что граф это такой важный человек при дворе короля, муж графини? Пожалуй, это не лишено здравого смысла. Я не буду разрушать эту иллюзию, даже в подтверждение добавлю, что у графа есть ребра. Но вот при этом каждое дерево почему-то является графом...

Если ты учишься в 5 классе (возможно, в 4 классе или 6 классе), то приглашаю тебя заниматься в моем математическом кружке – одном из ведущих кружков России. Ученики моего кружка за последние годы более 20 раз становились победителями и призерами Всероссийской олимпиады школьников по математике. В 2011 году ученик кружка Алексей Пахарев завоевал Золотую медаль на 52 Международной олимпиаде по математике, став лучшим на планете! Есть надежда, что в 2014 году в кружке появится еще одна Золотая медаль Международной олимпиады... За последние годы ученики кружка стали победителями практически всех командных и личных турниров и олимпиад по математике в России.

И все эти победители начинали заниматься в кружке в 5 классе (иногда – в 4 или 6 классе), и их начальный уровень знаний был примерно таким же, какой он у тебя сейчас. Набор в кружок проходит один раз в четыре года. На кружке соберутся твои сверстники со всего города, которые любят и умеют решать интересные задачи, и у которых есть необходимые для этого способности и трудолюбие. Программа кружка рассчитана на учеников 5-6 классов, но могут заниматься в кружке и продвинутые четвероклассники. Конечно, им будет труднее, но при наличии способностей они ни в чем не уступят более старшим товарищам. Со школьной математикой ничего общего занятия на кружке не имеют. В кружке ты будешь заниматься до 11 класса. Уже в августе этого года нас ждет поездка на 21 день в летний математический лагерь, а со следующей осени мы регулярно будем ездить на Всероссийские математические турниры, где ты сможешь подружиться со школьниками со всей страны.

Обращаю внимание, что поступить в кружок весной, в следующем году, через год или через два года возможности не будет – набор в кружок происходит один раз в четыре года.

Так как всегда очень много желающих попасть в кружок, то для его посещения прежде всего надо выполнить вступительную работу. В этой работе есть как совсем простые задачи, так и достаточно сложные. Решение каждой сложной задачи требует многих часов размышлений (а решение занимает при этом три-четыре строчки!). Если ты успешно справишься со вступительной работой (разумеется, это не означает, что ты решить там все или почти все задачи), то в середине февраля ты будешь приглашен на вступительную олимпиаду, которая пройдет очно в несколько туров. Лучшие школьники будут по ее итогам зачислены в кружок. А дальше мы будем смотреть, не водишь ли ты дружбу с ленью, хватает ли тебе настойчивости решать задачи не лихим наскоком (хоть это иногда и помогает), а путем длительной и тщательной осады со всех сторон, добиваясь их капитуляции.

Теперь несколько слов о вступительной работе. На ее решение требуется достаточно много времени, поэтому она выдается на Новогодние каникулы. Задачи нужно решать исключительно самостоятельно: если у меня возникнет подозрение (всего лишь подозрение!), что при решении задач кто-то использовал помощь родителей, учителей, одноклассников или Интернета, то дорога в кружок для него будет закрыта навсегда – не поможет ни что. Имея большой опыт проверки вступительных работ, я вполне квалифицированно могу разобраться в том, полностью ли самостоятельно она выполнена.

Где и как будут проходить занятия кружка? Занятия будут проходить 2 раза в неделю, после обеда. Место проведения занятий будет определено после окончания набора в кружок.

Естественно, что самые сложные и интересные задачи будут оставаться в качестве домашнего задания.

Занятия проходят почти всегда в форме индивидуальной беседы с преподавателем. Помогать отслушивать все твои решения мне будут старшие кружковцы, которые учатся сейчас в 9 классе. Время от времени помогать будут и приезжающие домой из Москвы выпускники кружка, нынешние студенты МГУ, МФТИ, СПбГУ.

Время от времени на кружке случаются математические бои, матдраки, маткарусели, матрегаты, личные олимпиады, матабаки и т.п.

Правила оформления вступительной работы. Работа оформляется в тетради (желательно, тонкой). На титульный лист вырезается и наклеивается приложенная к этому письму обложка, после чего она заполняется. Обязательно необходимо написать, какого числа была получена вступительная работа и какого числа она была сдана.

Далее следуют решения задач. Переписывать условия не нужно. Желательно писать решения по-порядку, но и это не обязательно. Решения должны быть полными (это не тоже самое, что длинными!). Категорически не следует использовать нестандартные сокращения, всякого рода изучаемые в школе краткие формы записи и т.п. – то есть превращать работу в шифровку.

Решения могут иллюстрироваться рисунками, схемами, таблицами и т.п.

Некоторые школьники пишут в качестве решений «Да» или «Нет» (они, разумеется, в кружок не попадают). Если ты считаешь, что в задаче, где спрашивается, может ли что-то быть, ответ «Да», то ты должен привести конкретный пример того, как такое могло быть. А если ты считаешь, что в задаче, где спрашивается, может ли что-то быть, ответ «Нет», то ты должен привести доказательство того, что такого быть не может (ни в каких мыслимых случаях).

Обращаю внимание, что в любой задаче может быть несколько верных ответов – если явно не оговорено противное, то надо привести все ответы, и доказать, что других ответов нет.

Некоторые школьники считают работу простой. Это верный признак того, что на самом деле они не решили ни одной задачи. Если работа кажется тебе простой, то призываю тебя подумать, все ли ты правильно понимаешь...

Еще раз подчеркну, что ответы (верные или неверные) и голословные утверждения не оцениваются никак. Оцениваются только решения задач.

Приведу два простых примера задач и их полных решений. 1. Может ли сумма двух двузначных чисел быть трехзначным числом? Да, может. Например, 67+81=148. 2. Петя перемножил три подряд идущих числа. Могло ли у него получиться число 12345678910111213? Нет, не могло.

Среди трех подряд идущих чисел всегда есть как минимум одно четное число, поэтому произведение будет четным, то есть оно не может раняться нечетному числу 12345678910111213.

В первом случае я привел конкретный пример того, что что-то возможно. Во втором случае – доказательство того, что что-то невозможно.

Когда и куда сдавать вступительную работу? Работу необходимо сдать с 15 по 18 января в ОДТДМ (областной Дворец творчества детей и молодежи на ул. Минаева, около обелиска), в любое время с 9-00 до 17-00. Работу можно сдать как лично, так и передать с кем-нибудь.

Как узнать о результатах свой работы? Если работы будет выполнена в такой степени, что ты пройдешь на очный отборочный тур, то я свяжусь с твоими родителями по тем телефонам, которые ты укажешь на обложке, и сообщу им о месте и времени проведения очной отборочной олимпиады.

Если возникнут какие-то важные вопросы, то с ними можно обращаться по тел. (Самойлов Леонид Михайлович).

С уважением, доктор физико-математических наук Леонид Михайлович Самойлов Задачи вступительной работы 1. Все натуральные числа, начиная с 1, выписывают подряд: 1234567891011.... Сколько раз в первой тысяче выписанных цифр (цифр, а не чисел!) встречается цифра 1?

2. Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых – целое число метров. Верно ли, что периметр исходного прямоугольника – тоже целое число метров? (Если да, то докажите это, если нет, то приведите опровергающий пример).

3. Бизнесмен Борис Михайлович выехал из города в деревню. Одновременно из деревни в город выехал тракторист Вася. В момент встречи с Васей, когда до деревни оставалось 10 км, Борис Михайлович по совету своего навигатора повернул направо. Когда он проехал 120 км после поворота, встречный грибник объяснил ему, что он едет не туда. Борис Михайлович вернулся к месту, где свернул, и поехал по верной дороге. В итоге он приехал в деревню тогда же, когда Вася приехал в город. Сколько километров от города до деревни?

4. 2012 детей разбились на несколько групп. В каждой группе мальчиков или в 4 раза больше, или в 4 раза меньше, чем девочек. Воозможно ли это? Если да, то приведите пример. Если нет, до докажите невозможность этого.

5. Из клетчатого квадрата размером 99 клеточек вырезали центральную клетку. Как разрезать оставшуюся часть квадрата на 40 одинаковых треугольников? Нарисуйте такое разрезание.

6. В комнате находится 10 человек, каждый из которых или всегда говорит правду, или всегда лжет. На каждого из них надета черная или белая шапка. Каждый из них сказал «Среди остальных 9 человек (всех, кроме меня) ровно на троих – черные шапки». Сколько лжецов может быть в комнате? Перечислите все варианты и объясните, почему других вариантов нет.

7. В турнире по футболу участвовало 8 команд, которые набрали 15, 14, 13, 9, 8, 7, 4 и 3 очка.

За победу присуждалось 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0 очков. Сколько матчей в турнире закончилось вничью?

8. Вася подсчитал свои доходы и расходы за 2012 г. Могло ли случиться так, что за любые: подряд идущих месяцев он тратил больше, чем получал, а за год потратил меньше, чем получил?

Если да, то приведите пример, если нет, то докажите невозможность этого.

9. В сумерках к узкому мостику над рекой подошла компания из 10 человек. У них есть один фонарик. Мостик выдерживает не больше двух человек, и без фонарика переходить его нельзя. Среди подошедших есть двое, каждый из которых переходит мостик за одну минуту, один, который переходит мостик за 3 минуты, один – за 4 минуты,..., один – за 10 минут.

а) Как им переправиться на другой берег за 44 минуты?

б) Смогут ли они переправиться быстрее, чем за 44 минуты?

10. У короля есть прямоугольный остров, разбитый на несколько прямоугольных баронств.

Кажому барону король задал вопрос «Cколько у Вас соседей?». Некоторые бароны ответили, что три, а некоторые – что семь. Участки считаются соседними, если у них есть общий отрезок границы (таким образом, если два участка имеют общий угол, то они не соседние). При каком наименьшем количестве баронств такое возможно? Нарисуйте карту острова и докажите, что меньшее число баронств невозможно.

11. У двух хулиганов есть учебник, в котором 300 страниц, занумерованных по порядку числами от 1 до 300 (всего 150 листов). Они играют, по очереди вырывая из учебника по одному листу. Цель того, кто вырывает лист первым, – получить число 100 в виде суммы нечетных номеров некоторых вырванных им страниц. Цель второго игрока – получить число 100 в виде суммы четных номеров некоторых вырванных им страниц (возможно, в их суммах может быть одно слагаемое). Побеждает тот, кто первым достигнет своей цели. Кто из хулиганов всегда может выиграть вне зависимости от действий другого хулигана?

12. Кот Базилио пообещал Буратино открыть великую тайну, если он составит чудесный квадрат 3 3 из чисел +1, -1, 0 так, чтобы все суммы по строкам, по столбцам и по двум большим диагоналям были различны. Узнает ли Буратино сию тайну?

13. У двух детей есть два одинаковых набора из 36 кубиков. Вася разложил их на семь кучек и утверждает, что в каждой кучке все кубики одинаковые (в разных кучках кубики тоже могут быть одинаковыми). Петя разложил свои кубики на пять кучек и утверждает, что в каждой кучке все кубики разные. Может ли такое быть? Если да, то приведеите пример. Если нет, то приведите доказательство, почему нет.

14. Петя сложил два числа. После этого он заменил все цифры на буквы (одинаковые цифры на одинаковые буквы, разные – на разные). Получился такой пример: ЗАДАЧА + УДАЧА = РЕШЕНИЕ. Докажите, что Петя где-то ошибся.

15. Есть 101 монета. Среди них 100 одинаковых настоящих монет и одна фальшивая, отличающаяся от них по весу. Необходимо выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. Как это сделать при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь и прочих приспособлений? Такие весы показвают, в равновесии ли чашки весов, а если нет, то какая чашка перевешивает.

16. Имеется две кучки конфет, в одной 20 конфет, в другой 30 конфет. Двое обжор играют в такую игру. За один ход можно съесть любое ненулевое число конфет, но только из одной кучки, если, конечно, в этой кучке есть хотя бы одна конфета. Ходы делаются по очереди, пропускать ход нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто в этой игре имеет выигрышную стратегию – начинающий или его партнер – и как он должен играть, чтобы выиграть вне зависимости от действий другого игрока?

17. На кружке Аня, Боря и Вася решали задачи, в произвольном порядке. В итоге каждый решил все задачи. Учитель записал, когда каждый из них решил каждую задачу. Могло ли оказаться так, что большинство (то есть строго больше половины) задач Ана решила раньше Бори, большинство задач Боря решил раньше Васи, и большинство задач Вася решил раньше Ани? Если да, то приведите пример (сколько было задач, и время решения каждой задачи каждым школьником), если нет, то докажите невозможность этого.

18. Шахматную доску (8 8 клеток) разрезали по клеточкам на 11 прямоугольников. Оказалось, что длины сторон всех прямоугольников больше 1. Может ли среди этих прямоугольников не оказаться ни одного квадрата? Если да, то приведите пример такого разрезания. Если нет, то докажите, что такое разрезание невозможно.

19. Маша и Оля купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что одного пакетика хватает на две или три чашки чая. Маше коробки хватило ровно на 41 чашку чая, а Оле – ровно на 58. Сколько пакетиков чая могло быть в коробке? Найдите все варианты ответа и докажите, что других нет.

20. У Васи есть прямоугольник 4200 клеточек. Вася закрашивает в нем клеточки в каком-то порядке. Но Васе запрещено закрашивать клеточку, двумя или более сторонами примыкающую к уже закрашенным клеточкам. Какое наибольшее количество клеточек Вася может закрасить таким образом? Приведите пример такого способа закраски и докажите, что большее число клеточек Вася закрасить не сумеет.

Задачи идут по возрастанию сложности. Не забывайте писать полные подробные решения!

Успешное выполнение работы вовсе не означает, что будет решено большинство задач!