МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
Новосибирский государственный университет
Механико-математический факультет
УТВЕРЖДАЮ
_
«_»201 г.
Рабочая программа дисциплины Современные методы вычислительной математики Направление подготовки 010800 – Механика и математическое моделирование Квалификация (степень) выпускника Магистр Форма обучения Очная Новосибирск Аннотация рабочей программы Дисциплина «Современные методы вычислительной математики» входит в Базовую часть Профессионального цикла ООП по направлению подготовки «010800 – Механика и математическое моделирование», все профили подготовки. Дисциплина реализуется на Механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета кафедрой Математического моделирования ММФ НГУ.
Содержание дисциплины охватывает широкий круг вопросов, связанных с разработкой и применением современных конечно-разностных методов на адаптивных сетках, с современными подходами к триангуляции областей со сложной геометрией границ, с особенностями таких бурно развивающихся в последнее время численных методов как методы контрольных объемов, фиктивных областей, граничных элементов, спектральных методов, а также с современными методами монотонизации численных решений гиперболических уравнений.
Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций ОК-6, ОК- – ОК-10, профессиональных компетенций ПК-1 – ПК-5, ПК-7, ПК-9, ПК-10, ПК-13, ПКПК-19 выпускника.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации учебного процесса: лекции, самостоятельная работа студента.
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды контроля: текущий контроль в форме самостоятельных работ, рубежный контроль – в форме экзамена.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 академических часа (из них 36 аудиторных). Вся аудиторная нагрузка (36 часов) отведена под лекции. Программой дисциплины предусмотрены 36 часов самостоятельной работы студентов. Остальное время – различные формы контроля успеваемости и подготовка к экзамену.
1. Цели освоения дисциплины (курса) Дисциплина «Современные методы вычислительной математики» имеет своей целью подготовку высокопрофессиональных специалистов в области вычислительной математики, владеющих методологией вычислительного эксперимента, знакомых с современными численными методами и имеющих развитые базовые навыки использования этих методов в научно-исследовательской работе.
Для достижения поставленной цели выделяются следующие задачи: познакомить студентов с современными численными методами решения задач для уравнений с частными производными, методологией вычислительного эксперимента, с примерами современных задач из волновой гидродинамики, газовой динамики и метеорологии, для решения которых необходимо применение численных методов и проведение вычислительных экспериментов.
Учебная дисциплина состоит из совокупности четырех взаимоувязанных модулей.
Первый из них связан с современными конечно-разностными методами на адаптивных сетках. Здесь студенты знакомятся с понятием адаптивная сетка, некоторыми методами построения адаптирующихся к решению одномерных сеток и криволинейных многомерных сеток, а также с общими принципами построения конечно-разностных схем на адаптивных сетках. Значительное место уделяется разработке схем на адаптивных сетках для уравнения Пуассона, уравнений мелкой воды и газовой динамики.
Второй модуль посвящен конечно-элементным аппроксимациям. Поскольку метод конечных элементов входит в программу обучения бакалавров, то в настоящем курсе делается акцент на усвоении магистрантами современных методов триангуляции областей со сложной геометрией границ.
В третьем модуле излагаются особенности таких бурно развивающихся в последнее время численных методов как методы контрольных объемов, фиктивных областей, граничных элементов, спектральных методов и различных алгоритмических реализаций метода «частицы-в-ячейках». Приводятся примеры задач, решенных этими методами.
Завершающий модуль связан с некоторыми специальными вопросами современной вычислительной математики и вычислительного эксперимента. Здесь, в частности, рассматривается теория TVD схем, особенности конструирования неосциллирующих схем для многомерных задач, современные методы монотонизации численных решений гиперболических уравнений, а также современные алгоритмы ускорения сходимости итерационных процессов.
2. Место дисциплины в структуре ООП магистратуры Дисциплина «Современные методы вычислительной математики» входит в Базовую часть Профессионального цикла ООП по направлению подготовки «010800 – Механика и математическое моделирование», все профили подготовки.
Дисциплина «Современные методы вычислительной математики» опирается на следующие дисциплины данной ООП:
Математический анализ (теория пределов, ряды, дифференцирование, интегрирование, векторный анализ);
Высшая алгебра (определители, теория матриц, системы уравнений, квадратичные формы);
Аналитическая геометрия (плоские и пространственные кривые, поверхности, поверхности второго порядка);
Дифференциальная геометрия (плоские и пространственные кривые, параметризация, кривизна, первая и вторая квадратичные формы поверхностей, символы Кристоффеля);
Функциональный анализ (теория линейных банаховых пространств, гильбертовых пространств, теории линейных операторов и линейных функционалов);
Теория функций комплексного переменного (основные операции над комплексными числами, теория аналитических функций комплексного переменного и теория интеграла Коши);
Обыкновенные дифференциальные уравнения (уравнения первого и второго порядков, существование решения задачи Коши, теорема Коши-Ковалевской, устойчивость решений, методы получения аналитических решений задачи Коши и краевых задач);
Уравнения математической физики (постановки краевых и начально-краевых задач, корректные и некорректные задачи математической физики, приемы получения классических и обобщенных решений задач математической физики);
Численный анализ (итерационные методы решения нелинейных уравнений, численное интегрирование);
Вычислительные методы линейной алгебры (прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, методы вычисления собственных значений матриц);
Методы вычислений (численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и системы уравнений, краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, математический аппарат теории разностных схем, конечно-разностные методы решения задач для уравнений параболического, эллиптического и гиперболического типов);
Математическое моделирование (владение понятиями о математических моделях, законах сохранения, знание аксиоматики, законов движения и термодинамики сплошной среды);
Механика жидкости и газа (знание теории термодинамики, свойств политропного и нормального газов, характеристик уравнений газовой динамики, характеристической формы системы уравнений одномерного движения газа, характеристик и инвариантов Римана);
Программирование (знание алгоритмических основ написания эффективных программ и особенностей современных информационных систем).
Результаты освоения дисциплины «Современные методы вычислительной математики» используются в следующих дисциплинах данной ООП:
Математическое моделирование динамики сжимаемой жидкости и газа;
Геофизическая гидродинамика;
Уравнения Навье-Стокса.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Современные методы вычислительной математики»:
общекультурные компетенции: ОК-6, ОК-8 – ОК-10;
профессиональные компетенции (ПК): ПК-1 – ПК-5, ПК-7, ПК-9, ПК-10, ПК-13, В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать приемы построения и методы исследования современных численных методов;
уметь применять полученные знания при разработке новых численных методов и выборе наиболее эффективного метода для решения конкретной прикладной задачи;
владеть навыками проведения вычислительных экспериментов на современном 4. Структура и содержание дисциплины «Современные методы вычислительной математики» Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 часов.
дифференциального уравнения второго порядка. Погрешность аппроксимации на неравномерной сетке. Общие принципы построения конечно-разностных схем на адаптивных сетках.
подвижных сеток в одномерных задачах. Cхема предиктор-корректор на неравномерной подвижной сетке для одномерного линейного уравнения переноса. Свойства схемы. Геометрический закон сохранения и дивергентные схемы на подвижной сетке.
Алгебраические методы построения сеток.
ток и их численная реализация.
шения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Интегроинтерполяционный метод получения разностных уравнений. Свойства разностного оператора. Смешанные краевые условия.
для уравнений мелкой воды. Исследование линеаризованных схем. Аппроксимация и устойчивость.
ственной переменной. Уравнение состояния. Законы сохранения массы, импульса и энергии. Соотношения на разрывах. Линеаризация уравнений. Уравнения акустики с одной пространственной переменной. Схема предиктор-корректор на адаптивной сетке для уравнений акустики. Обобщение схемы для нелинейных уравнений газовой динамики. Противопоточная схема.
ренциального уравнения второго порядка. Энергетическое пространство. Обобщенное решение задачи. Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Метод конечных элементов для нахождения приближенного обобщенного решения.
рованных треугольных сеток в двумерных областях со сложной геометрией границ.
нов сохранения. Квадратурные формулы. Метод контрольных объемов для уравнения Пуассона. Прикладные задачи для уравнений гидродинамики.
11.
области с криволинейной формой границы. Переход к задаче в регулярной области. Особенности итерационных методов. Метод фиктивных областей для задач о течениях идеальной несжимаемой жидкости.
Метод граничных элементов. Интеграл Грина. Вычисле- 1 12 2 12.
ние сингулярных интегралов. Граничные элементы. Применение к задачам о течении жидкости со свободной границей.
13. Спектральные методы. Выбор пробных функций. Полу- 1 13 2 чение системы алгебраических уравнений. Быстрое преобразование Фурье. Применение к задачам метеорологии.
Численные методы «частицы-в-ячейках». Метод крупных 1 14 2 14.
частиц. Два этапа метода крупных частиц. Приложение к задачам волновой гидродинамики. Метод сглаженных частиц (SPH). Определение частиц в методе SPH. Оценка погрешности аппроксимации метода SPH.
15.
ном условии монотонности разностных схем с постоянными и переменными коэффициентами. Современные методы монотонизации численных решений гиперболических уравнений.
16.
ность численного решения. Монотонизация схемы предиктор-корректор для одномерного линейного уравнения переноса. Особенности конструирования неосциллирующих схем для многомерных задач.
Современные алгоритмы ускорения сходимости итераци- 1 17 2 17.
онных процессов. Алгоритмы ускорения сходимости итераций по методу наименьших квадратов.
Вычислительный эксперимент. Общие принципы органи- 1 18 2 18.
зации вычислительного эксперимента. Иерархия математических моделей и методы их исследования. Иерархия вычислительных алгоритмов. Точность, устойчивость, экономичность, параллелизуемость численных алгоритмов. Схемы высоких порядков аппроксимации, основанные на методах Рунге-Кутты. Многосеточные методы.
Некоторые принципы разработки программ. Проектирование, программирование, отладка, тестирование программ. Приемы обработки результатов расчетов.
5. Образовательные технологии При реализации учебной работы используется лекционный способ в сочетании с внеаудиторной самостоятельной работой по решению практических задач и упражнений по материалу, изложенному в лекциях. Лекционный материал включает в себя все темы, перечисленные в структуре курса. Изложение лекций предполагает диалог со слушателями. Предусматривается демонстрация анимационных материалов, иллюстрирующих свойства изучаемых численных методов и получаемых с их помощью численных решений. В начале каждой лекции выделяется 10 минут для напоминания содержания предыдущей лекции, ответов на вопросы студентов и разбор домашних заданий. В конце лекции выделяется 5 минут для ответов на вопросы по текущему материалу, его обсуждения и формулировки домашних заданий. Также студентам, желающим более подробно познакомиться с рассмотренной на лекции темой, предлагаются оттиски статей или соответствующие ссылки в Интернете.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины Самостоятельная работа студентов предусматривает изучение теоретического материала и решение практических задач. Теоретический материал изучается в форме проработки прочитанных лекций, а также в изучении рекомендованной литературы. Задачи решаются в форме выполнения домашних заданий. При этом студенты имеют возможность пользоваться учебными пособиями, представленными в библиотеке и читальных залах.
Вторая часть самостоятельной работы состоит в знакомстве с российскими и иностранными публикациями по вычислительной математике и ее приложениям для решения задач гидродинамики и газовой динамики. Целью данной работы является освоение русской и иностранной терминологии по вычислительным методам и в рассматриваемой предметной области, погружение магистрантов в мир науки, в мир конкретных научных задач, знакомство с конкретными мировыми школами.
В процессе изучения дисциплины у студентов проверяется выполнение домашних заданий и контролируется посещение лекций. Выполнение домашних заданий является обязательным для всех студентов, результаты промежуточного контроля служат основанием для выставления оценок в ведомость контрольной недели на факультете.
Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрен экзамен. Для допуска к экзамену необходимо иметь не более двух пропусков лекций, все выполненные домашние задания. Экзаменационный билет по итогам освоения дисциплины включает два теоретических вопроса. На экзамене студент отвечает на вопросы билета. Также экзаменатором осуществляется краткое интервью на общую логику курса.
6.1. Перечень теоретических вопросов для самостоятельной работы:
1. Определение неравномерной сетки на отрезке. Разностная схема на неравномерной сетке для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Погрешность аппроксимации. Неравномерная сетка, на которой достигается высокий порядок погрешности аппроксимации.
2. Построение одномерной сетки методом эквираспределения. Принцип эквираспределения в разностной форме. Этапы построения конечно-разностных схем на адаптивных сетках. Метод адаптивных сеток для решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
3. Построения адаптивной сетки на плоской кривой.
4. Понятие о криволинейной сетке в многомерной области. Алгебраические методы построения сеток. Преимущества и недостатки алгебраических методов.
5. Дифференциальные методы построения адаптивных сеток. Преимущества и недостатки дифференциальных методов. Метод эквираспределения.
6. Дифференциальные методы построения адаптивных сеток, основанные на решении уравнения Пуассона.
7. Численная реализация дифференциальных методов построения адаптивных сеток.
Итерационные методы. Выбор оптимальных итерационных параметров.
8. Критерии качества адаптивных сеток. Выпуклость ячеек, ортогональность координатных линий, свойство «невытянутости» ячеек. Критерий адаптивности сетки к заданной управляющей функции.
9. Конечно-разностная схема на адаптивной сетке для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Интегро-интерполяционный метод получения разностных уравнений на криволинейной сетке.
10. Свойства самосопряженности и положительной определенности разностного оператора, аппроксимирующего оператор Лапласа на криволинейной сетке.
11. Конечно-разностная схема на адаптивной сетке для решения задачи для уравнения Пуассона со смешанными краевыми условиями. Порядок аппроксимации условия Неймана на криволинейной сетке.
12. Cхема предиктор-корректор на равномерной сетке для одномерного линейного уравнения переноса. Получение любых известных схем при задании соответствующих значений схемного параметра. Порядок аппроксимации и устойчивость.
13. Cхема предиктор-корректор на неравномерной подвижной сетке для одномерного линейного уравнения переноса. Свойства схемы.
14. Геометрический закон сохранения и дивергентные схемы на подвижной сетке. Получение противопоточной схемы на подвижной сетке из схемы предиктор-корректор.
15. Метод эквираспределения для построения адаптивных подвижных сеток в одномерных задачах. Сглаживание управляющей функции.
16. Уравнения мелкой воды. Линеаризация уравнений. Модельное нелинейное уравнение. Схема предиктор-корректор на равномерной сетке для скалярного нелинейного уравнения. Сохранение схемой постоянного решения и стационарного скачка.
17. Схема предиктор-корректор на адаптивной сетке для скалярного нелинейного уравнения. Сохранение схемой постоянного решения и движущегося скачка. Схема для уравнения с источниковым членом.
18. Схема предиктор-корректор на адаптивной сетке для уравнений мелкой воды. Аппроксимация и устойчивость схемы. Получение из схемы предиктор-корректор противопоточной схемы на адаптивной сетке.
19. Система уравнений газовой динамики с одной пространственной переменной. Уравнение состояния. Соотношения на разрывах. Линеаризация уравнений. Уравнения акустики с одной пространственной переменной. Схема предиктор-корректор на адаптивной сетке для уравнений акустики. Обобщение схемы на систему нелинейных уравнений газовой динамики. Противопоточная схема.
20. Метод конечных элементов Операторная запись задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Энергетическое пространство. Пространства Соболева. Теоремы вложения. Обобщенное решение задачи.
21. Метод Галеркина для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
22. Метод конечных элементов для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Кусочно-линейные базисные функции. Сходимость. Задача со смешанными краевыми условиями. Кусочно-квадратичные базисные функции.
23. Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Метод конечных элементов для нахождения приближенного обобщенного решения. Получение системы линейных уравнений относительно коэффициентов разложения.
24. Триангуляция области. Описание геометрии области. Описание управляющей функции, регулирующей степень сгущения узлов. Построение первичной сетки.
25. Методы построения неструктурированных треугольных сеток в двумерных областях со сложной геометрией границ. Фронтальные методы триангуляция области. Триангуляция Делоне. Алгоритм Ватсона.
26. Метод контрольных объемов. Интегральная форма законов сохранения. Осредненные величины. Вычисление геометрических характеристик контрольных объемов.
27. Метод контрольных объемов для уравнения Пуассона. Получение системы алгебраических уравнений при использовании метода для уравнений гидродинамики. Итерационные методы решения полученной системы уравнений.
28. Метод фиктивных областей. Формулировка задачи для области с криволинейной формой границы. Переход к задаче в регулярной области, целиком содержащей исходную.
Обоснование метода на примере краевой задачи для эллиптического уравнения.
29. Особенности итерационных методов для решения сеточных задач, возникающих при использовании метода фиктивных областей. Возможности метода фиктивных областей на примерах решения задач идеальной несжимаемой жидкости.
30. Метод граничных элементов. Интеграл Грина. Вычисление сингулярных интегралов.
Постоянные граничные элементы. Линейные граничные элементы. Потенциальные течения идеальной жидкости со свободной границей.
31. Спектральные методы. Выбор пробных функций на примерах уравнения теплопроводности и уравнения Бюргерса. Быстрое преобразование Фурье. Применение к задачам метеорологии.
32. Метод крупных частиц. Два этапа метода крупных частиц. Лагранжев этап для расчета переноса частиц. Расчет столкновений частиц. Эйлерова сетка для расчета параметров жидкости или газа. Приложение к задачам волновой гидродинамики.
33. Метод сглаженных частиц. Определение частиц в методе SPH. Определение радиуса сглаживания для каждой частицы. Оценка погрешности аппроксимации метода SPH.
34. Теория TVD схем. Теоремы о необходимом и достаточном условии монотонности разностных схем с постоянными и переменными коэффициентами. Методы монотонизации численных решений гиперболических уравнений, основанные на анализе дифференциальных приближений схем.
«