«Лекционные курсы НОЦ Выпуск 11 Издание выходит с 2006 года С. А. Теляковский Курс лекций по математическому анализу Семестр I Издание 2-е, доработанное Москва 2009 УДК 517 ББК (В)22.16 Л43 Редакционный совет: С. И. ...»

Теорема 2.8.2. Если последовательность {xn } имеет конечный предел, то для произвольной последовательности {yn } справедливо равенство Доказательство. Последовательность {xn } ограничена, так как она имеет конечный предел. Если верхний предел последовательности {yn } бесконечен, то равенство (2.8.1) вытекает из ограниченности последовательности {xn } и определения бесконечных пределов.

Будем далее считать верхний предел lim yn конечным.

Пусть a := limn xn. Если число b является частичным пределом последовательности {yn }, т. е. b = limk ynk для некоторой возрастающей последовательности индексов {nk }, то в силу теоремы о пределе суммы число a + b является частичным пределом последовательности {xn + yn }, так как limk xnk + ynk = a + b.

Аналогично, если из частичного предела последовательности {xn + yn } вычесть a, то получим частичный предел для {yn }.

§ 2.8. Верхний и нижний пределы последовательности Поэтому точная верхняя грань частичных пределов {xn + yn } равна сумме числа a и точной верхней грани частичных пределов {yn }, а в этом и состоит утверждение теоремы.

Теорема 2.8.3. Если последовательность {xn } имеет конечный положительный предел, то для произвольной последовательности {yn } справедливо равенство Доказательство. Здесь также конечность верхнего предела последовательности {yn } не предполагается, а произведение положительного числа и бесконечного символа считается равным этому бесконечному символу.

Пусть a := lim xn. Если lim yn = +, т. е. для некоторой последовательности индексов {nk } то для достаточно больших nk имеем ynk > 0 и согласно теореме 2.2.2 xnk > a/2. Отсюда что и приводит к (2.8.2).

Если же lim yn =, то для всех достаточно больших n имеем yn < 0 и xn > a/2. Значит, Поэтому lim xn yn =.

Рассмотрим теперь случай, когда верхний предел lim yn конечен.

Пусть число b является частичным пределом последовательности {yn }, т. е. b = limk ynk для некоторой возрастающей последовательности индексов {nk }.

Тогда в силу теоремы о пределе произведения т. е. ab является частичным пределом последовательности {xn yn }.

Аналогично, если c – частичный предел последовательности {xn yn }, то c/a – частичный предел последовательности {yn }.

Итак, частичные пределы последовательности {xn yn } являются частичными пределами последовательности {yn }, умноженными на a.

Значит, так же связаны и точные верхние грани множеств частичных пределов, т. е. справедливо равенство (2.8.2).

Теорема доказана.

Словом “критерий” обычно называют необходимые и достаточные условия. В этом параграфе будет установлен критерий существования у последовательности конечного предела.

Рассмотрим последовательность {xn }, сходящуюся к числу a.

Сравним члены последовательности {xn } с большими индексами.

В силу сходимости последовательности для каждого > существует такое N, что при всех n > N справедливо неравенство |xn a| < /2. Поэтому, если n > N и m > N, то Определение. Говорят, что последовательность {xn } удовлетворяет условию Коши (является фундаментальной, является последовательностью Коши), если для каждого > 0 существует такое N = N (), что при всех n и m, превосходящих N, справедливо неравенство Таким образом, мы доказали, что условие Коши является необходимым для сходимости последовательности к конечному пределу. Покажем, что это условие является также и достаточным.

Теорема 2.9.1 (Критерий Коши). Условие Коши необходимо и достаточно для сходимости последовательности к конечному пределу.

Доказательство. Сначала установим, что последовательности {xn }, удовлетворяющие условию Коши, ограничены.

Для = 1 найдём натуральное N такое, что при всех n, m > N справедлива оценка |xn xm | < 1. Положив m = N + 1, имеем |xn xN +1 | < 1 для n > N и, значит, Поэтому, если L := max |x1 |, |x2 |,..., |xN |, 1 + |xN +1 |, то |xn | L при всех n.

Ограниченная последовательность {xn } согласно теореме Больцано–Вейерштрасса имеет конечный частичный предел. Обозначим его a и покажем, что a является пределом всей последовательности {xn }.

Пусть {xnk } – подпоследовательность, для которой limk xnk = a. Зададим произвольное > 0 и найдём N1 такое, что |xn xm | < /2 для всех n, m > N1, и N2 такое, что |a xnk | < /2 для всех nk > N2. Оценим разность xn a при n > N := max(N1, N2 ).

Если nk > N, то при всех n > N имеем Таким образом, последовательность {xn } сходится к a.

Теорема доказана.

Приведём примеры на применение критерия Коши. Но сначала введём следующее обозначение.

Сумму n слагаемых a1 + a2 + · · · + an коротко записывают так:

Это общепринятое удобное обозначение было предложено Ж. Фурье. Читают символ (2.9.1) “сумма ak по k от 1 до n”.

Не имеет значения, как обозначен “индекс суммирования”:

в (2.9.1) он обозначен k, но можно писать и т. д.

обозначают сумму am + am+1 + · · · + an. В частности, при m = n такая сумма равна an. Если m > n, то считают, что т. е. что в этом случае сумма не имеет ни одного слагаемого.

Пример 1. Докажем расходимость последовательности Чтобы воспользоваться критерием Коши, оценим сумму Имеем Значит, какое бы положительное N мы ни взяли, для каждого n > N получим Таким образом, последовательность (2.9.2) расходится. Поскольку эта последовательность возрастающая, то Пример 2. Докажем сходимость последовательности Имеем Поэтому, выбрав для произвольного > 0 натуральное число N так, чтобы выполнялось неравенство 1/N <, получим, что при всех n m > N Значит, последовательность (2.9.2) сходится.

';

На этом примере хорошо видно, что для доказательства сходимости последовательностей удобнее пользоваться критерием Коши, чем определением предела. Дело в том, что предел последовательности (2.9.2), как мы увидим в главе 19, равен 2 /6. Трудно догадаться, что это так, но даже если заранее это знать, установить сходимость к нулю разности намного труднее, чем оценить сумму (2.9.3).

Пусть D – некоторое множество чисел или (что то же самое) точек числовой прямой.

Определение. Если каждому числу x D поставлено в соответствие некоторое число y, то говорят, что на D задана функция. Обозначив эту функцию f, пишут y = f (x).

При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной или функцией.

Термины независимая переменная и зависимая переменная подчёркивают, что x можно выбирать произвольно, а значения y определяются этими x.

Для обозначения функции используют и одну букву f и символ f (x). Таким образом, f (x) может обозначать и саму функцию f и значение f, когда аргумент равен x.

Множество D называют множеством определения или областью определения функции f.

Множество чисел y, которое получается, когда x пробегает все числа из D, называют множеством (или областью) значений функции f. Обозначим это множество E. Говорят, что функция f осуществляет отображение множества D на множество E.

Иногда пишут E = f (D). Множество E называют образом множества D при этом отображении, а D – прообразом множества E.

Когда даётся определение функции не нужно знать, что представляет собой множество E. Важно только указать, какому множеству принадлежат значения функции. В приведенном определении это были числа. Но значениями функции могут быть и другие объекты, например, векторы, матрицы и т. д.

Функция – одно из основных понятий математики, оно имеет очень общий характер. Не только область значений, но и область определения могут быть не обязательно числовыми. Но сейчас мы будем рассматривать функции в том виде, как они определены выше, когда и область определения D и область значений E являются числовыми множествами.

Понятие функции вырабатывалось постепенно. Зависимость одних переменных величин от других рассматривали давно. Термин “функция” ввёл Г. Лейбниц в XVII веке.

В XVIII веке под функцией понимали в основном зависимость между переменными, заданную формулой. Но уже тогда у И. Бернулли и Л. Эйлера встречается определение функции, не отличающееся от приведенного выше современного определения (нужно только иметь в виду, что в те годы теоретико-множественная терминология ещё не была выработана).

Так, в монографии “Дифференциальное исчисление” (1755 г.) Эйлер писал:

“Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых. Это наименование имеет чрезвычайно широкий характер, оно охватывает все способы, какими одно количество может определяться с помощью других. Итак, если x обозначает постоянное количество, то все количества, которые как-либо зависят от x, т. е. определяются им, называются его функциями.” Чтобы показать, что на множестве D задана функция f, значениями которой являются числа, используют запись В подобном обозначении указываются область определения функции и множество, которому принадлежат значения функции. Такая запись не предполагает, что все числа из R являются значениями функции.

Иногда функцию, заданную на D, нужно рассматривать только на некоторой части множества D, обозначим эту часть D1, т. е. D1 D. Тогда говорят, что функция f : D1 R является следом функции f : D R на множестве D1 или сужением функции f : D R на множество D1.

С функциями мы фактически уже встречались, когда давалось определение числовой последовательности. Тогда речь шла о числовых функциях, заданных на множестве натуральных чисел, т. е. функциях вида f : N R.

При изучении числовых функций числового аргумента удобно использовать их графики. График функции f : D R – это множество точек плоскости, которые в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеют координаты (x, y) = (x, f (x)).

То есть для каждой точки x D на прямой, проходящей через эту точку параллельно оси OY, берётся точка, ордината которой равна f (x). Множество всех таких точек образует график функции f (x).

Возможен и другой подход, когда график используется для определения функции. Тогда исходным является множество точек (x, y) плоскости, такое, что каждому числу x D соответствует одна точка вида (x, y), и полагают f (x) := y.

Функции могут быть заданы разными способами. Одним из основных является задание функции формулой. Если при этом область определения функции не указана, считают, что область определения составляют все значения аргумента, при которых формула имеет смысл.

§ 3.2. Определение предела функции Окрестностью точки x называют произвольный интервал (c, d), содержащий эту точку, т. е. выполняются условия c < x < d.

Таким образом, -окрестности являются частным случаем окрестностей.

Приведём два варианта определения предела функции, формулируемые в разных терминах. Затем покажем, что эти определения эквивалентны.

Определение предела функции по Коши. Число a называется пределом функции f в точке x0, если 10. функция f определена в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой этой точки;

20. для каждого > 0 существует такое число = () > 0, что при всех x = x0, удовлетворяющих условию |x x0 | <, справедливо неравенство В этом случае пишут или Вместо “предел функции в точке x0 ” говорят также “предел функции при x x0 ”.

В приведенном определении не имеет значения, задана функция в точке x0 или нет, а если задана, то чему равно её значение.

И в условии 10 и в условии 20 говорится о точках из окрестности точки x0, за исключением самой этой точки. В связи с этим вводится понятие “проколотой окрестности точки” – это окрестность, из которой исключена сама эта точка.

Тогда условие 10 можно сформулировать так: функция f определена в некоторой проколотой окрестности точки x0, а в условии 20 можно говорить о выполнении неравенства (3.2.1) в проколотой -окрестности точки x0.

Определение предела функции по Коши называют также определением в терминах - или на языке окрестностей.

Определение предела функции по Гейне. Число a называется пределом функции f в точке x0, если 10. функция f определена в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой этой точки;

20. для каждой последовательности точек x1, x2, x3,... из области определения функции f, сходящихся к x0 и отличных от x0 , последовательность значений функции f (x1 ), f (x2 ), f (x3 ),... сходится к a, т. е.

Таким образом, в обоих определениях требования на область задания функции одинаковы. Разница состоит в формулировке условий 20.

Определение предела функции по Гейне называют также определением в терминах последовательностей.

Говоря о пределе функции в точке x0, не нужно добавлять, что функция задана в некоторой проколотой окрестности точки x0, так как это требование входит в определение предела.

Теорема 3.2.1. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне равносильны.

Доказательство. Пусть a – предел функции f в точке x по Коши. Покажем, что a является пределом и по Гейне.

Возьмём произвольную последовательность {xn }, все точки которой лежат в области определения функции f, xn = x0 при всех n = 1, 2,... и xn x0 при n. По заданному > найдём > 0 такое, что при всех x, для которых 0 < |x x0 | <, выполняется условие |f (x) a| <.

Так как xn x0, то существует число N, зависящее от этого, а в конечном счёте зависящее от, такое, что n > N справедлива оценка |xn x0 | <. Тогда для этих n имеем |f (xn ) a| <, т. е. a = limn f (xn ). Таким образом, a является пределом функции f по Гейне.

Пусть теперь, наоборот, a – предел функции f в точке x0 по Гейне. Нужно показать, что a – предел по Коши. Будем рассуждать от противного: предположим, что a не является пределом по Коши.

Значит, существует такое число 0 > 0, что для любого > найдётся точка x, для которой 0 < |x x0 | < и |f (x ) a| 0.

Будем брать в качестве числа 1/n, n N. Тогда для каждого n получим точку xn = x0, в которой функция f определена, |xn x0 | < 1/n и |f (xn )a| 0. Эта последовательность {xn } относится к числу тех, какие рассматриваются в определении предела по Гейне, но для неё |f (xn ) a| 0, что противоречит условию, что a – предел функции f по Гейне.

Теорема доказана.

Эта теорема позволяет говорить о пределе функции в точке, не указывая, в каком смысле понимается предел, а каждый раз пользоваться тем вариантом определения, который в этом случае более удобен.

Заметим, что если предел функции в точке существует, то он определяется однозначно.

Всё, что было сказано о пределе функции, относилось к случаю, когда x0 – число (точка числовой прямой). Но рассматриваются также пределы функций, когда x стремится к +, к или к.

Познакомимся с некоторыми понятиями, которые покажут, что все эти случаи не имеют принципиальных различий.

Наряду с числовой прямой R = (, +) рассматривается расширенная числовая прямая.

Здесь возможны два варианта. В одном случае к (, +) добавляются две “бесконечно удалённые точки” и +. Тогда все элементы расширенной таким образом числовой прямой остаются упорядоченным множеством (т. е. для любого числа x имеем < x < +), но арифметические действия определены не для любой пары элементов. Например, имеют смысл выражения x + (+), (+) + (+), но выражения вида (+) + () или 0 · (+) не имеют смысла. Окрестности символа + определяются как множества точек x, удовлетворяющих неравенствам x > L, где L – произвольное число. А для окрестности задаются неравенствами вида x < L.

Другой вариант расширенной числовой прямой получим, если к (, +) добавить один символ (без знака). Здесь упорядоченности нет и арифметические действия также определены не во всех случаях. Окрестности символа определяются как множества точек, лежащих вне произвольных отрезков [L, M ].

Теперь понятно, как должно выглядеть определение предела функции при x +.

Определение. Число a называется пределом функции f при x +, если 10. существует число L такое, что функция f определена при всех x > L;

20. (определение по Коши) для каждого > 0 существует такое число M (), что при всех x > M выполняется неравенство 20. (определение по Гейне) для каждой последовательности {xn }, все числа xn которой принадлежат области определения функции f и xn +, справедливо равенство Эквивалентность приведенных определений по Коши и по Гейне доказывается аналогично теореме 3.2.1. Отметим, что если в определении предела по Коши вместо записи неравенств, говорить об окрестностях, то никакой разницы между случаями, когда предел – конечное число и бесконечный символ не будет.

Определения пределов при x и x аналогичны.

Наконец, даются определения, когда пределом является не число, а бесконечный символ. Например, по определению limxx0 f (x) =, если (помимо требования на область определения функции f ) для любого числа M существует такое = (M ) > 0, что при всех x = x0, для которых |x x0 | <, имеем |f (x)| > M.

Подобным образом можно говорить о случаях, когда а также об определениях, когда в качестве x0 берется какой-либо бесконечный символ.

Как и для пределов последовательностей, будем говорить, что функция имеет предел, если этот предел конечен. А если предел может быть и бесконечным, это будет специально отмечаться.

§ 3.3. Свойства предела функции Свойства пределов функций имеют много общего со свойствами пределов последовательностей. В ряде случаев доказательства будут опираться на результаты, полученные для последовательностей.

Теорема 3.3.1. Если функция имеет предел при x x0, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0.

Доказательство. Пусть a := limxx0 f (x). Взяв = 1, находим > 0, при котором для всех x = x0 и таких, что |x x0 | <, имеем |f (x) a| < 1. Для этих x имеет место неравенство и теорема доказана.

Теорема 3.3.2. Если limxx0 f (x) = a и a = 0, то существует такая проколотая окрестность точки x0, что для всех x из этой окрестности справедливо неравенство При этом f (x) > a/2, если a > 0, и f (x) < a/2, если a < 0.

Доказательство. Полагаем := |a|/2 и находим > 0 такое, что при всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x x0 | <, выполняется оценка Эта оценка равносильна двойному неравенству Теперь при a > 0 пользуемся левым неравенством (3.3.1):

а при a < 0 – правым неравенством (3.3.1):

Теорема доказана.

Теорема 3.3.3. Если функции f и g имеют пределы при x x0 и в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполняется неравенство f (x) g(x), то Доказательство. В проколотой окрестности точки x0, в которой определены обе функции f и g, возьмём произвольную последовательность точек {xn }, принадлежащих этой окрестности и сходящихся к x0.

Так как xn x0, то все члены последовательности {xn }, начиная с некоторого номера n, попадут в ту окрестность точки x0, в которой f (x) g(x). Значит, f (xn ) g(xn ) при всех достаточно больших n. Отсюда по теореме 2.2.3 о пределах последовательностей и осталось только заметить, что согласно определению предела функции по Гейне limn f (xn ) = limxx0 f (x) и limn g(xn ) = limxx0 g(x).

Теорема доказана.

Из теоремы 3.3.3 следует, что если предел limxx0 f (x) существует и f (x) в некоторой проколотой окрестности точки x0, то limxx0 f (x).

Теорема 3.3.4. Пусть в некоторой проколотой окрестности точки x0 для функций f (x), g(x) и h(x) выполняются неравенства Если пределы limxx0 f (x) и limxx0 h(x) существуют и равны, то предел limxx0 g(x) существует и равен общему значению пределов функций f (x) и h(x).

Доказательство. В проколотой окрестности точки x0, в которой выполняются неравенства (3.3.2), возьмём произвольную сходящуюся к x0 последовательность точек {xn }. Тогда f (xn ) g(xn ) h(xn ) и пределы последовательностей {f (xn )} и {h(xn )} существуют и равны. Значит, по теореме 2.2. Отсюда согласно определению предела функции по Гейне вытекает утверждение теоремы.

Теорема 3.3.5. Если существует предел limxx0 f (x), то существует предел limxx0 |f (x)| и справедливо равенство Доказательство. Если limxx0 f (x) = a, то для каждого > 0 существует такое > 0, что |f (x) a| < при всех x, для которых 0 < |x x0 | <. Но тогда и |f (x)| |a| |f (x) a| <.

Теорема доказана.

Рассмотрим арифметические действия над функциями, имеющими пределы в точке.

Теорема 3.3.6. Пусть для функций f и g существуют пределы limxx0 f (x) и limxx0 g(x). Тогда существуют указанные ниже пределы и справедливы равенства:

если, кроме того, limxx0 g(x) = 0, то Доказательство. Из условия limxx0 g(x) = 0 согласно теореме 3.3.2 следует, что в некоторой проколотой окрестности точки x0 выполняется неравенство g(x) = 0. Значит, в этой окрестности имеет смысл частное f (x)/g(x).

Для доказательства каждого из утверждений теоремы выбираем произвольную сходящуюся к x0 последовательность точек {xn } из проколотой окрестности точки x0, в которой определены функции f и g. Для последовательностей {f (xn )} и {g(xn )} соответствующие свойства известны (когда говорится о частном, учитываем, что g(xn ) = 0 для достаточно больших n). При этом для любой такой последовательности {xn } в левой части равенств каждого из утверждений получаем одинаковые значения пределов, так как пределы в правых частях не зависят от выбора последовательности.

До сих пор всюду имелись в виду конечные пределы функций.

Но можно говорить и о свойствах бесконечных пределов.

Нетрудно показать, что если limxx0 f (x) = +, а функция g(x) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0, Но не все свойства конечных пределов переносятся на бесконечные пределы. Например, в правых частях равенств теоремы 3.3. могут появиться выражения, не имеющие смысла.

Определение. Функция f удовлетворяет в точке x0 условию Коши, если f определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 и для каждого > 0 существует такое число () > 0, что для любой пары точек x и x из проколотой -окрестности точки x0 выполняется неравенство Теорема 3.4.1 (Критерий Коши). Для того чтобы функция f имела в некоторой точке конечный предел, необходимо и достаточно выполнения для f в этой точке условия Коши.

Доказательство. Пусть предел limxx0 f (x) равен a. Для каждого положительного существует > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x x0 | <, справедливо неравенство |f (x) a| < /2. Взяв произвольные точки x и x из проколотой -окрестности точки x0, находим Таким образом, необходимость условия Коши установлена.

Пусть теперь выполнено условие Коши. По > 0 находим такое > 0, что для любых точек x и x из проколотой окрестности точки x0 справедливо неравенство (3.4.1).

Рассмотрим произвольную последовательность точек {xn } из области определения функции f такую, что xn x0 при n и xn = x0 для всех n. Тогда существует число N, зависящее от, а в конечном счёте зависящее от, такое, что при всех n > N для точек xn справедливо неравенство |xn x0 | <.

Значит, если n и m превосходят N, то |f (xn ) f (xm )| < и для последовательности {f (xn )} выполняется условие Коши.

Итак, для любой такой последовательности точек {xn } существует конечный предел последовательности {f (xn )}.

Но нужно ещё показать, что для разных последовательностей {xn } пределы последовательностей {f (xn )} одинаковы.

Рассмотрим две последовательности указанного вида {xn } и {tn }.

Пусть limn f (xn ) = a и limn f (tn ) = b. Составим новую последовательность включая в неё попеременно члены последовательностей {xn } и {tn }. Все точки последовательности (3.4.2) принадлежат области определения функции f, отличны от x0 и последовательность (3.4.2) сходится к x0. Значит, по уже доказанному последовательность значений функции f в точках (3.4.2) имеет предел. Числа a и b являются частичными пределами этой сходящейся последовательности. Отсюда следует, что a = b.

Теорема доказана.

§ 3.5. Предел сложной функции Сначала определим термин “сложная функция”.

Определение. Пусть на множестве D задана функция f и E – множество значений f (x), когда x D. Если на E определена функция, то при всех x D имеет смысл выражение Так заданную функцию называют сложной функцией.

Сложную функцию называют также функцией от функции, суперпозицией функций или композицией функций.

Выясним, при каких условиях из существования пределов функций f и следует, что имеет предел сложная функция (f ).

Теорема 3.5.1. Пусть limxx0 f (x) = y0 и для x из некоторой проколотой окрестности точки x0 выполнено условие Пусть, далее, limyy0 (y) = z0. Тогда предел существует и равен z0.

Доказательство. Отметим, что нужно проверить и то, что функция (f (x)) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0. Это будет установлено в ходе доказательства.

Так как предел функции в точке y0 равен z0, то для произвольного > 0 существует число () > 0 такое, что при всех y, удовлетворяющих условию 0 < |y y0 | <, справедлива оценка |(y) z0 | <.

Далее по находим > 0 такое, что при всех x, для которых 0 < |x x0 | <, имеем |f (x) y0 | <. Уменьшив в случае необходимости значение, получим, что в проколотой окрестности точки x0 выполняется условие (3.5.1). Тогда для x из этой -окрестности значения функции f принадлежат проколотой -окрестности точки y0. Значит, при этих x выражение (f (x)) имеет смысл и Отсюда следует утверждение теоремы, поскольку выбиралось по, а по, т. е. в конце концов выбор зависел от.

Условие (3.5.1) существенно для справедливости теоремы 3.5.1.

В самом деле, из существования предела limyy0 (y) не следует, что функция (y) определена в точке y0, а если она и определена, то никаких условий на её значение в этой точке не накладывается.

Поэтому, если условие (3.5.1) не выполнено, то в как угодно малой окрестности точки x0 могут существовать точки x, для которых выражение (f (x)) или не определено или имеет значения, никак не связанные со значениями в проколотой окрестности точки y0.

Вместе с тем, из доказательства теоремы 3.5.1 видно, что от условия (3.5.1) можно отказаться, если функция при y = y определена и limyy0 (y) = (y0 ).

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.5.2. Если limxx0 f (x) = y0 и limyy0 (y) = (y0 ), то Наряду с окрестностями точки, когда точка лежит в некотором интервале, рассматривают промежутки, которые называют односторонними окрестностями точек. Полуинтервалы вида (c, x0 ] называют левыми окрестностями точки x0, а полуинтервалы вида [x0, d) – правыми окрестностями точки x0.

С помощью левых и правых окрестностей вводятся односторонние пределы функции. Приведём определение предела функции в точке справа.

Определение. Пусть функция f задана в некоторой правой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0. Число a называют пределом функции f в точке x0 справа, если для каждого > 0 существует () > 0 такое, что при всех x, удовлетворяющих условию x0 < x < x0 +, справедлива оценка В этом случае пишут Это – определение предела по Коши. Можно дать определение одностороннего предела по Гейне и доказать эквивалентность этих определений. Не будем входить в подробности ввиду очевидности изменений по сравнению с обычными пределами.

Аналогично формулируется определение предела функции в точке слева. Такой предел обозначают f (x0 0).

Правый и левый пределы в точке 0 обозначают f (+0) и f (0).

Вместо f (x0 + 0) и f (x0 0) иногда пишут f (x0 +) и f (x0 ).

Заметим, что существование предела limxx0 f (x) равносильно существованию и равенству односторонних пределов f (x0 + 0) и f (x0 0).

Определение. Функция f (x) называется возрастающей на промежутке, если для любых точек x1 и x2 промежутка из x1 < x2 следует неравенство f (x1 ) f (x2 ). Если для всех таких пар точек выполняется неравенство f (x1 ) < f (x2 ), функцию f называют строго возрастающей на этом промежутке.

Аналогично определяют убывающие и строго убывающие на промежутке функции.

Возрастающие и убывающие функции называют монотонными. Строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

Теорема 3.6.1. Пусть функция f возрастает на интервале (a, b). Тогда если значения f на (a, b) ограничены сверху числом B, то предел f (b 0) существует и f (b 0) B. Если f на (a, b) не ограничена сверху, то f (b 0) = +.

Доказательство. Рассуждения аналогичны доказательству соответствующей теоремы для последовательностей.

Если f (x) B при x (a, b), то существует конечная точная верхняя грань M := supx(a,b) f (x) и M B. Значит, для каждого > 0 найдётся точка x (a, b), в которой f (x ) > M. Но тогда в силу возрастания f при всех x (x, b) имеем Значит, f (b 0) = M.

Если f не ограничена сверху, то для каждого числа L существует точка xL (a, b) такая, что f (xL ) > L. Отсюда в силу возрастания f на (xL, b) имеем f (x) f (xL ) > L. Это показывает, что f (b 0) = +.

Теорема доказана.

Подобное утверждение справедливо и для убывающих функций.

Теорема 3.6.2. Если функция f монотонна на интервале, то в каждой точке x этого интервала существуют односторонние пределы f (x+0) и f (x0). При этом, если f возрастает, то f (x 0) f (x + 0), а если f убывает, то f (x 0) f (x + 0).

Доказательство. Пусть f возрастает на (a, b). Для произвольной точки x из (a, b) рассмотрим функцию f на промежутке (a, x].

Так как все значения f на (a, x] ограничены сверху числом f (x), то согласно теореме 3.6.1 существует предел f (x 0) и справедливо неравенство f (x 0) f (x). Точно так же из возрастания f на [x, b) следуют существование предела f (x + 0) и неравенство f (x) f (x + 0).

Таким образом, для возрастающих функций теорема доказана.

Для убывающих функций рассуждения аналогичны.

Заметим, что пределы функций при x + и x можно рассматривать, как односторонние пределы при x.

Пусть на множестве D заданы функции f (x) и (x). Если существует такое число C, что при всех x D выполняется неравенство то говорят, что функция f есть O-большое от на D и пишут Рассмотрим теперь функции f (x) и (x), заданные в некоторой проколотой окрестности точки x0. Если существуют число C и такая проколотая окрестность точки x0, что при всех x из этой окрестности то говорят, что f есть O-большое от при x x0 и пишут Хотя в (3.7.1) написано x x0, здесь нет предельного перехода.

Такая запись означает только, что речь идёт о достаточно малой проколотой окрестности точки x0.

Если на D или при x x0 имеем и f (x) = O((x)) и (x) = O(f (x)), то говорят, что функции f (x) и (x) имеют одинаковый порядок, соответственно, на D или при x x0.

Обозначать это будем так:

обязательно добавляя, что это соотношение имеет место на D или при x x0.

Если функции f (x) и (x) не обращаются в нуль (соответственно, на D или в некоторой проколотой окрестности точки x0 ), то определение одинакового порядка этих функций можно сформулировать так: существуют положительные числа C1 и C2 такие, что на D или соответственно в достаточно малой проколотой окрестности точки x0.

Пусть функции f (x) и (x) заданы в некоторой проколотой окрестности точки x0 и В этом случае говорят, что функция f (x) есть o-малое от (x) при x x0, и пишут Здесь предполагается, что (x) = 0 в некоторой проколотой окрестности точки x0. Определение o-малого можно распространить на случай, когда функция (x) может иметь нули в как угодно малой проколотой окрестности точки x0. Тогда запись (3.7.3) означает, что где Если f (x) = o(1), x x0, то функцию f называют бесконечно малой при x x0.

Подчеркнём, что хотя в формулах (3.7.1) и (3.7.3) присутствует знак равенства, в этих случаях мы имеем дело не с равенствами, а с оценками, сравнивающими поведение функций f (x) и (x) при x x0.

Ясно, что если f (x) = o((x)), x x0, то f (x) = O((x)), x x0, а обратное утверждение неверно.

Понятно также, что если f (x) = O((x)), x x0, и (x) = O((x)), x x0, то f (x) = O((x)), x x0. При этом, если хотя бы в одном из этих соотношений O-большое заменить на o-малое, получим f (x) = o((x)), x x0.

Если функции f (x) и (x) таковы, что то говорят, что функции f (x) и (x) при x x0 асимптотически равны или эквивалентны. В таком случае будем писать Асимптотическое равенство функций f (x) и (x) можно определить ещё так: f (x) (x), x x0, если где Такое определение является несколько более общим, поскольку теперь нули функций f (x) и (x) могут накапливаться в окрестности точки x0.

К сожалению, для порядкового и асимптотического равенств нет общепринятых обозначений и наряду с (3.7.2) и (3.7.4) используются и другие варианты записи, означающие одинаковый порядок или асимптотическое равенство функций.

Теорема 3.7.1. Если f (x) (x), x x0, и для некоторой функции (x) существует предел то существует также предел и значения этих пределов равны.

Доказательство. По условию (x) = (x) f (x) в достаточно малой окрестности точки x0, где limxx0 (x) = 1. Значит, (x) (x) = (x) · f (x) (x) и пользуемся тем, что предел каждого их полученных двух множителей существует, причём предел первого из них равен 1. Теорема доказана.

Отметим, что символы O, o,, могут относиться не ко всем, а только к односторонним окрестностям точки x0.

Напомним, что обозначения o(1) и O(1) были введены в § 2.4, когда говорилось о бесконечно малых и об ограниченных последовательностях.

§ 4.1. Непрерывность функции в точке Определение. Функцию f называют непрерывной в точке x0, если f определена в некоторой окрестности этой точки и для каждого > 0 существует число () > 0 такое, что при всех x, удовлетворяющих условию |x x0 | <, справедливо неравенство Эквивалентную формулировку получим, используя предел функции в точке: функция f называется непрерывной в точке x0, если Графически непрерывность f в точке x0 означает следующее.

По заданному положительному строится полоса, параллельная оси OX, заключённая между прямыми y = f (x0 )+ и y = f (x0 ). Требуется, чтобы существовало такое число > 0, что для всех x из -окрестности точки x0 точки графика функции f (x) лежат в указанной полосе.

Приведём ещё определение непрерывности в терминах пределов последовательностей. Функция f называется непрерывной в точке x0, если f определена в некоторой окрестности этой точки и для любой сходящейся к x0 последовательности точек {xn }, n = 1, 2,..., из области определения f, справедливо равенство limn f (xn ) = f (x0 ). Это равенство можно записать так:

Заметим, что когда говорят, что функция f непрерывна в точке, нет необходимости добавлять, что f определена в некоторой окрестности этой точки, поскольку такое требование входит в определение непрерывности.

При изучении вопросов, связанных с непрерывностью функций, полезны понятия приращения аргумента и приращения функции. Пусть x0 и x – два значения аргумента функции f, положим x := x x0. Тогда x = x0 + x и говорят, что точка x получена из x0 за счёт приращения аргумента x. Разность значений функции называют приращением функции f в точке x0, когда аргумент получил приращение x. При этом x может быть как положительным, так и отрицательным.

Непрерывность функции f в точке x0 означает, что f при x 0.

Следующие свойства непрерывных функций вытекают из свойств предела функции в точке.

Непрерывная в точке функция ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Если функция f непрерывна в точке x0 и f (x0 ) = 0, то существует такая окрестность точки x0, что |f (x)| > |f (x0 )|/ для всех x из этой окрестности. При этом f (x) > f (x0 )/2, если f (x0 ) > 0, и f (x) < f (x0 )/2, если f (x0 ) < 0.

В частности, если функция f непрерывна в точке x0 и f (x0 ) = 0, то f сохраняет знак в некоторой окрестности точки Если функции f (x) и g(x) непрерывны в точке x0, то в этой точке непрерывны функции f (x) + g(x), f (x) g(x), f (x) · g(x), а если, кроме того, g(x0 ) = 0, то непрерывна и функция f (x)/g(x).

Отсюда получаем непрерывность многочленов на всей оси. В самом деле, непрерывность функций f (x) = C (т. е. функций, принимающих одно и то же значение C при всех значениях аргумента) и f (x) = x очевидна. Далее по индукции, легко убедиться, что для каждого натурального n функция f (x) = xn непрерывна. Так получаем непрерывность любого многочлена Рациональная дробь, т. е. отношение двух многочленов, непрерывна во всех точках, в которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Из теоремы 3.5.2 о пределе сложной функции вытекает следующее утверждение о непрерывности сложной функции.

Теорема 4.1.1. Если функция f (x) непрерывна в точке x0, а функция (y) непрерывна в точке y0 := f (x0 ), то сложная функция (f (x)) непрерывна в точке x0.

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают одностороннюю непрерывность.

Определение. Функция f называется непрерывной справа в точке x0, если f (x0 + 0) = f (x0 ). Функция f называется непрерывной слева в точке x0, если f (x0 0) = f (x0 ).

Непрерывность функции в точке равносильна её непрерывности в этой точке и справа и слева.

Отметим, что приведенные выше свойства функций, непрерывных в точке, распространяются на функции, непрерывные справа или слева.

§ 4.2. Классификация точек разрыва Точки, в которых функция не является непрерывной, называют точками разрыва функции.

Чтобы можно было говорить о пределе функции в точке разрыва, будем далее считать, что функция определена в некоторой проколотой окрестности этой точки.

Если x0 является точкой разрыва функции f и существуют конечные пределы f (x0 + 0) и f (x0 0), то x0 называют точкой разрыва первого рода.

Если f имеет в точке x0 разрыв первого рода и f (x0 + 0) = f (x0 0), то либо f не определена в точке x0, либо f определена в этой точке, но f (x0 ) = f (x0 + 0). Положив f (x0 ) := f (x0 + 0), т. е. доопределив или переопределив f в точке x0, получим непрерывную функцию. Такие разрывы называют устранимыми.

Разрыв первого рода называют неустранимым, если f (x0 + 0) = f (x0 0). В этом случае нельзя получить непрерывную функцию, доопределив или переопределив f в точке x0.

На рисунке показаны неустранимые разрывы первого рода.

Если функция f имеет в точке x0 неустранимый разрыв первого рода, то существует > 0, такое, что при отображении, осуществляемом функцией f, образ -окрестности точки x0 содержит не все точки интервала на оси OY с концами в точках f (x0 0) и f (x0 + 0).

Если функция f задана в односторонней окрестности точки x и соответствующий односторонний предел f в этой точке существует, но не равен f (x0 ), то x0 также называют точкой разрыва первого рода функции f.

Если функция f (x) монотонна на некотором промежутке, то согласно теореме 3.6.2 в каждой внутренней точке x0 этого промежутка существуют пределы f (x0 0) и f (x0 + 0). Значит, все точки разрыва монотонной функции являются точками разрыва первого рода.

Если множество точек разрыва монотонной функции бесконечно, то оно обязательно счётно. В самом деле, каждой точке разрыва x0 поставим в соответствие какое-либо рациональное число, заключённое между f (x0 0) и f (x0 + 0). Тогда получим взаимно однозначное соответствие точек разрыва и некоторого множества рациональных чисел, а каждое бесконечное подмножество рациональных чисел счётно.

Таким образом, справедливо следующее предложение.

Теорема 4.2.1. Монотонная функция может иметь точки разрыва только первого рода и множество её точек разрыва не более чем счётно.

Если разрыв функции в точке не является разрывом первого рода, его называют разрывом второго рода. На следующем рисунке изображены некоторые характерные примеры точек разрыва второго рода.

§ 4.3. Свойства функций, непрерывных Определение. Функцию называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех точках интервала (a, b), т. е. во внутренних точках отрезка, непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Множество непрерывных на отрезке [a, b] функций обозначают C[a, b] и, если f непрерывна на [a, b], пишут f C[a, b].

Наряду с непрерывностью на отрезке рассматривают непрерывность функций на интервале, на полуотрезке, полуоси и всей оси. Множество функций, непрерывных на интервале (a, b), обозначают C(a, b). Обозначения в остальных случаях аналогичны.

Когда ясно, о непрерывности на каком промежутке идёт речь, пишут f C.

Понятно, что если функции f (x) и g(x) непрерывны на промежутке [a, b], то на [a, b] непрерывны функции f (x)±g(x), f (x)·g(x), а если g(x) не обращается в нуль на этом промежутке, то непрерывна и функция f (x)/g(x).

Теорема 4.3.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Ограниченность функции f на отрезке [a, b] означает существование такого числа L, что |f (x)| L при всех x [a, b].

Докажем теорему от противного. Предположим, что функция f C[a, b], но не является ограниченной на [a, b]. Тогда для каждого n N существует такая точка xn [a, b], что |f (xn )| > n.

Таким образом, limn f (xn ) =.

Последовательность точек {xn } ограничена, так как все они принадлежат отрезку [a, b]. Значит, по теореме Больцано–Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность {xnk }.

Пусть := limk xnk, тогда [a, b].

В силу непрерывности функции f в точке (если – один из концов отрезка, имеется в виду односторонняя непрерывность) для любой сходящейся к последовательности точек {tk } из [a, b] имеем limk f (tk ) = f ().

Значит, limk f (xnk ) = f (). Но из limn f (xn ) = следует равенство limn f (xnk ) = и мы пришли к противоречию.

Теорема доказана.

Отметим, что для функций, непрерывных на интервале, утверждение, подобное теореме 4.3.1, не верно. Это видно на примере функции 1/x, которая на интервале (0, 1) непрерывна, но неограничена.

Теорема 4.3.2 (Теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то в некоторых точках этого отрезка она достигает точную верхнюю и точную нижнюю грани своих значений на [a, b].

Доказательство. Докажем достижимость точной верхней грани. Заметим, что точная верхняя грань значений функции существует, так как согласно теореме 4.3.1 из непрерывности функции на отрезке следует её ограниченность.

Пусть f C[a, b] и M := supx[a,b] f (x). Для каждого натурального n существует точка xn [a, b] такая, что f (xn ) > M 1/n. Так как f (xn ) M при всех n, то Последовательность {xn } согласно теореме Больцано–Вейерштрасса имеет сходящуюся подпоследовательность {xnk }. Пусть := limk xnk, тогда [a, b].

Так как f непрерывна в точке, то limk f (xnk ) = f ().

А из (4.3.1) следует, что limk f (xnk ) = M. Значит, M = f ().

Для точной нижней грани рассуждения аналогичны.

Теорема доказана.

Таким образом, можно говорить о максимальном значении функции, непрерывной на отрезке, и писать в этом случае не supx[a,b] f (x) а maxx[a,b] f (x).

Для функций, непрерывных на интервале, утверждение, подобное теореме 4.3.2, не имеет места, даже если дополнительно предполагать ограниченность функции.

Теорема 4.3.3 (Теорема Коши о промежуточных значениях). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и f (a) = f (b). Тогда для любого числа c, заключённого между f (a) и f (b), существует точка [a, b] такая, что c = f ().

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда числа f (a) и f (b) имеют разные знаки и c = 0.

Разделим отрезок [a, b] пополам. Если в точке деления значение функции равно нулю, то в качестве можно взять эту точку деления.

А если в точке деления значение функции f отлично от нуля, то в концах одного из получившихся отрезков значения f имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок [a1, b1 ]. Заметим, что b1 a1 = (b a)/2.

Делим теперь отрезок [a1, b1 ] пополам и повторяем предыдущее рассуждение. То есть если в точке деления функция обращается в нуль, то нужная точка уже найдена. В противном случае выбираем тот из полученных отрезков, в концах которого функция принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок [a2, b2 ], его длина в два раза меньше длины отрезка [a1, b1 ].

Продолжим этот процесс. Если мы не встретим нуль функции на каком-то шаге, то получим последовательность вложенных отрезков {[an, bn ]}, длины которых bn an = (b a)/2n стремятся к нулю. Значит, согласно теореме 1.7.1 существует точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Покажем, что f () = 0. Если бы это было не так, то функция f сохраняла бы знак в некоторой окрестности точки. При достаточно больших n отрезки [an, bn ] целиком содержатся в этой окрестности, так как она содержит точку, а длины отрезков § 4.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке стремятся к нулю. Поскольку в концах отрезков [an, bn ] значения функции f имеют разные знаки, мы пришли к противоречию с тем, что функция сохраняет знак в указанной окрестности точки.

Чтобы доказать теорему Коши в общем случае, введём функцию g(x) := f (x) c. Функция g непрерывна на отрезке [a, b] и в его концах принимает значения разных знаков. Значит, по уже доказанному существует точка [a, b], в которой g() = 0. Таким образом, f () c = 0 и f () = c.

Теорема доказана.

Следствие 4.3.4. Пусть [a, b] – некоторый промежуток, т. е. отрезок, интервал или полуотрезок, и функция f непрерывна на этом промежутке. Положим если значения f на [a, b] ограничены сверху, и M := + в противном случае. Аналогично или m :=.

Тогда для каждого числа c (m, M ) существует точка [a, b] такая, что c = f ().

Доказательство. Согласно определению точной верхней грани в промежутке [a, b] имеется точка x такая, что c < Точно также имеется такая точка x, что m f (x ) < c.

Рассмотрим след функции f на отрезке с концами в точках x и x. Так как f непрерывна на этом отрезке, а в его концах имеет значения, между которыми лежит c, то согласно теореме 4.3.3 в некоторой точке отрезка функция f принимает значение c, что и требовалось доказать.

Следовательно, для функции f, непрерывной на произвольном промежутке, образом этого промежутка при отображении, осуществляемом функцией f, является некоторый промежуток.

Если в следствии 4.3.4 промежуток [a, b] является отрезком, то в силу теоремы 4.3.1 величины m и M конечны, а согласно теореме 4.3.2 они являются значениями функции f. Значит, в этом случае значения f целиком заполняют отрезок [m, M ].

Наряду с функциями, непрерывными на промежутке, рассматривают кусочно непрерывные функции.

Определение. Функция называется кусочно непрерывной на промежутке, если она непрерывна во всех точках промежутка, за исключением конечного множества точек, которые являются её точками разрыва первого рода.

Другими словами, промежуток, на котором функция кусочно непрерывна, можно разбить на конечное число интервалов, на которых функция непрерывна, а в концах этих интервалов имеет конечные односторонние пределы.

Отметим, что теорема 4.3.1 верна и для функций, кусочно непрерывных на отрезке, а в теоремах 4.3.2 и 4.3.3 заменить непрерывность функции на кусочную непрерывность нельзя.

§ 4.4. Равномерная непрерывность функций Если функция f непрерывна на промежутке [a, b], то для каждой точки x0 [a, b] и произвольного положительного существует такое положительное число, что при всех x из области определения функции f таких, что |x x0 | <, имеем |f (x) f (x0 )| <.

При этом для каждой точки промежутка при одном и том же имеем, вообще говоря, своё. Таким образом, зависит не только от, но и от x0. Если же можно выбрать зависящим только от, говорят о равномерной непрерывности функции.

Определение. Функцию f, заданную на промежутке [a, b], называют равномерно непрерывной на этом промежутке, если для каждого > 0 существует () > 0 такое, что для любых точек x и x из [a, b], удовлетворяющих условию |x x | <, справедливо неравенство Промежуток, о котором говорится в этом определении, может быть отрезком, интервалом или полуотрезком, в том числе и неограниченным.

Теорема 4.4.1 (Теорема Кантора). Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Предположим противное: пусть функция f (x) на отрезке [a, b] непрерывна, но не является равномерно непрерывной. Тогда 0 > 0 такое, что > 0 найдутся такие Выбирая, равные 1/n, n N, находим для каждого n пару точек xn и xn из [a, b] такую, что |xn xn | < 1/n и |f (xn ) f (xn )| 0.

Рассмотрим последовательность {xn }. Она ограничена, значит, содержит сходящуюся подпоследовательность {xnk }. Пусть := limk xnk, тогда [a, b]. Так как то и limk xnk =.

Из непрерывности f в точке следует, что limk f (xnk ) = f () и limk f (xnk ) = f (), а это противоречит неравенству |f (xnk ) f (xnk )| 0.

Теорема доказана.

Отметим, что функции, непрерывные на интервале, подобным свойством не обладают.

Для характеризации равномерной непрерывности функции удобно использовать её модуль непрерывности.

Определение. Пусть функция f ограничена на некотором промежутке. Модулем непрерывности f называется функция где точная верхняя грань берётся по всем точкам x и x из указанного промежутка таким, что |x x |.

Модуль непрерывности (f, ) определён при, для которых в рассматриваемом промежутке имеются точки x и x, для которых |x x |.

В обозначении (f, ) символ f можно опустить, если ясно, о модуле непрерывности какой функции идет речь.

Очевидны следующие свойства модуля непрерывности:

20. () убывает при убывании.

Поэтому, в частности, предел (+0) существует и (+0) 0.

Теорема 4.4.2. Пусть () является модулем непрерывности функции f. Тогда для любых положительных 1 и 2 справедлива оценка В частности, (n) n () для каждого натурального числа n.

Доказательство. Пусть x и x – произвольные точки промежутка, на котором рассматривается функция f, и |x x | 1 + 2. Возьмём между x и x точку t, для которой |x t| и |t x | 2. Тогда Так как здесь правая часть не зависит от точек x и x, выражение в левой части можно заменить на точную верхнюю грань его значений, взятую по всем рассматриваемым x и x, а это даёт оценку (4.4.1).

Неравенство (n) n (), n N, легко устанавливается по индукции.

Теорема доказана.

Свойство, выраженное неравенством (4.4.1), называют полуаддитивностью функции ().

Теорема 4.4.3. Для модуля непрерывности () при любом положительном справедлива оценка Доказательство. Для натуральных согласно теореме 4.4. () ().

Если [] – наибольшее целое число, меньшее или равное, то [] < [] + 1. Для произвольного > 0 в силу возрастания модуля непрерывности имеем Теорема доказана.

Теорема 4.4.4. Условие (f, +0) = 0 необходимо и достаточно для равномерной непрерывности функции f.

Доказательство. Если (f, +0) = 0, то для каждого > существует > 0 такое, что (f, ) <. Значит, для любых точек x, x, принадлежащих области определения функции f, из |x x | < следует |f (x ) f (x )| <. А это означает равномерную непрерывность функции f и достаточность доказана.

Докажем необходимость. Пусть функция f равномерно непрерывна. Тогда для каждого > 0 существует > 0 такое, что для любых точек x, x из области определения f, для которых |x x |, имеем Так как правая часть в этом неравенстве не зависит от x и x, выражение в левой части можно заменить на его точную верхнюю грань по всем x и x, для которых |x x |. Значит, () /2 <, что приводит к равенству (f, +0) = 0.

Теорема доказана.

§ 4.5. Непрерывность обратной функции Пусть на множестве D задана функция f и E – образ D при отображении, осуществляемом функцией f, т. е. E – множество всех чисел y = f (x), когда x пробегает множество D.

По значению y E указать x не всегда можно, так как для y E может быть, вообще говоря, много точек x D таких, что y = f (x).

Прежде, чем двигаться дальше, познакомимся с терминологией, относящейся к данному кругу вопросов. Будем говорить не о функциях, а о произвольных отображениях множеств.

Пусть X и Y – произвольные множества. Если задано отображение (функция) f : X Y, то говорят, что f является отображением множества X “во” множество Y. При этом не каждый элемент из Y обязательно является образом какого-либо элемента множества X. Если же Y представляет собой множество значений отображения f, то это отображение называют отображением X “на” множество Y.

Отображение “на” называют также сюръективным.

Если отображение f : X Y является отображением на и каждый элемент множества Y является образом только одного элемента множества X, т. е. из f (x1 ) = f (x2 ) следует x1 = x2, то говорят, что отображение f обратимо или инъективно.

Обратимость отображения означает, что это отображение взаимно однозначно. Мы уже говорили, что взаимно однозначные отображения называют биективными или биекциями.

Далее будем рассматривать числовые функции числового аргумента.

Если функция f осуществляет взаимно однозначное отображение множества D на E, то на E можно задать функцию, поставив в соответствие каждому y E то единственное число x D, для которого y = f (x). Такую функцию называют функцией, обратной f, и обозначают x = f 1 (y).

С этим обозначением связано неудобство, поскольку так иногда записывают число 1/f (y), хотя в этом случае точнее было бы писать f (y)1.

Если функция f на D строго монотонна (т. е. строго возрастает или строго убывает), то отображение f : D E обратимо. В этом случае обратная функция также строго монотонна, причём она является строго возрастающей, если функция f возрастала, и строго убывающей, если f убывала.

Теорема 4.5.1. Пусть функция f на отрезке [a, b] строго возрастает и непрерывна, c := f (a) и d := f (b). Тогда обратная функция x = f 1 (y) строго возрастает и непрерывна на отрезке [c, d].

Доказательство. О строгом возрастании обратной функции было уже сказано. В соответствии со следствием 4.3.4 множество значений непрерывной функции f (x) целиком заполняет отрезок [c, d]. Остаётся доказать только непрерывность обратной функции на [c, d].

Зафиксируем точку y0 (c, d) и докажем непрерывность функции f 1 (y) в этой точке. Пусть x0 – та точка интервала (a, b), в которой f (x0 ) = y0. Возьмём произвольное положительное число такое, что -окрестность точки x0 принадлежит интервалу (a, b). Тогда точки y1 := f (x0 ) и y2 := f (x0 + ) попадают в интервал (c, d).

В силу строгого возрастания функция f (x) устанавливает взаимно однозначное соответствие интервала (x0, x0 + ) на оси OX и интервала (y1, y2 ) на оси OY.

Возьмём положительное число такое, что -окрестность точки y0 принадлежит (y1, y2 ). Тогда вся -окрестность точки y0 при отображении x = f 1 (y) попадёт в -окрестность точки x0. А это означает непрерывность функции f 1 в точке y0.

При доказательстве односторонней непрерывности функции f 1 (y) в концах отрезка c и d рассуждения аналогичны. Нужно только брать соответствующие односторонние окрестности.

Теорема доказана.

Приведём теорему о непрерывности обратной функции, когда исходная функция строго монотонна не на отрезке, а на интервале.

Теорема 4.5.2. Пусть функция f строго возрастает и непрерывна на интервале (a, b). Обозначим c := inf x(a,b) f (x) и d := supx(a,b) f (x). Тогда образом интервала (a, b) при отображении y = f (x) является интервал (c, d) и функция x = f 1 (y) непрерывна на (c, d).

Доказательство. Здесь интервал (a, b) может быть как конечным, так и бесконечным. Если функция f не ограничена сверху на (a, b), то считаем d = +. Аналогично c =, если f не является ограниченной снизу. Таким образом, интервал (c, d) также может быть бесконечным.

Если d < +, то никакое число y d не может быть значением функции f (x). Для y > d это следует из определения точной верхней грани. А если бы d было значением функции f при некотором x0 (a, b), то для x > x0 в силу строгого возрастания f имелись бы значения, превышающие d. Аналогичное утверждение справедливо и для левого конца интервала (c, d). Таким образом, при всех x (a, b) имеем f (x) (c, d).

Согласно следствию 4.3.4 каждое число y0 (c, d) является значением функции f в некоторой точке из (a, b).

Таким образом, значения функции f целиком заполняют интервал (c, d).

Возьмём точки y1 и y2 такие, что c < y1 < y0 < y2 < d и рассмотрим след функции f 1 (y) на отрезке [y1, y2 ]. Согласно теореме 4.5.1 функция f 1 (y) непрерывна на отрезке [y1, y2 ]. СледоваГл. 4. Непрерывные функции тельно, функция f 1 (y) непрерывна в каждой точке интервала (c, d).

Теорема доказана.

Ясно, как выглядят аналоги теорем 4.5.1 и 4.5.2 для строго убывающих функций.

Рассмотрим график обратной функции. Пусть функция y = f (x) строго монотонна. Будем обозначать аргумент обратной функции f 1 через x, как обычно обозначают независимую переменную, а зависимую переменную обозначим y. Тогда график функции y = f 1 (x) можно получить с помощью зеркального отражения графика функции y = f (x) относительно прямой y = x.

В самом деле, точки графика функции y = f (x) имеют координаты (x, f (x)), а координаты точек, полученных при их зеркальном отражении, равны (f (x), x).

§ 4.6. Показательная функция Степень ax для рациональных значений показателя x определена в школьном курсе. Введём степень ax для иррациональных x.

Будем далее считать, что основание степени – число a, удовлетворяет естественным требованиям a > 0 и a = 1.

Напомним определение степени ax для рациональных показателей x.

Пусть теперь число x имеет вид 1/n, где n N.

Рассмотрим при фиксированном натуральном n функцию u = v n, когда v [0, +). Эта функция строго возрастает и непрерывна, область её значений [0, +). Значит, согласно теоремам предыдущего параграфа обратная функция v = n u = u1/n непрерывна на полуоси [0, +).

В школьном курсе существование арифметического корня nой степени из положительного числа считалось само собой разумеющимся. Сейчас это доказано.

Так степень ax определена для чисел x вида 1/n. Если x = p/q, где p и q – натуральные числа, то по определению полагают Здесь можно было взять и (a1/q )p, но равенство (ap )1/q = (a1/q )p нуждается в обосновании.

По определению, если x = 0, то a0 := 1, а если x = p/q, где p и q – натуральные числа, то ap/q := 1/ap/q.

Таким образом, степень ax определена при всех рациональных x. При этом имеют место следующие свойства (буквы r обозначают произвольные рациональные числа):

если a > 1, то на множестве рациональных чисел ar строго возрастает, т. е. ar1 < ar2, если r1 < r2, (в частности, ar > 1 при a > 1 и r > 0) и limr+ ar = +, limr ar = 0;

если a < 1, то ar строго убывает на множестве рациональных чисел.

Мы не приводим обоснование этих свойств, так как оно аккуратно проведено в школьном курсе, где не было доказано только существование арифметического корня n-й степени из положительного числа.

Нам понадобится ещё следующее утверждение о степенях с рациональными показателями.

Лемма 4.6.1 (Неравенство Я. Бернулли). Если a > 1 и h (0, 1] – рациональное число, то Доказательство. Так как a > 1, левое неравенство (4.6.1) очевидно. Докажем правое. Пусть сначала h = 1/n, где n – натуральное число. Тогда a1/n = 1 +, где 0 в силу строгого возрастания ar на множестве рациональных чисел. Поэтому согласно неравенству Бернулли (2.6.1) Поскольку = a1/n 1, отсюда следует, что Таким образом, при h = 1/n получено неравенство (4.6.1) даже без множителя 2 в правой части.

Пусть теперь h – произвольное рациональное число из (0, 1).

Возьмём натуральное n такое, что 1/(n+1) < h 1/n. С помощью неравенства (4.6.2) находим Лемма доказана.

Будем по-прежнему считать a > 1. Для рациональных x в силу возрастания функции ar, r Q, имеем Примем формулу (4.6.3) в качестве определения ax для иррациональных x при a > 1. Теперь степень ax при a > 1 определена для всех действительных значений x.

Функция y = ax, x R, называется показательной. Установим свойства показательной функции при a > 1, в частности, докажем её непрерывность.

10. ax > 0. Это – простое следствие из (4.6.3).

20. Функция ax строго возрастает, т. е. если x1 < x2, то a < ax2.

Для доказательства берём рациональные числа и такие, что x1 < < < x2. В силу возрастания функции ax для рациональных показателей получаем и мы установили нужное неравенство.

Это вытекает из свойств степени с целым показателем и возрастания функции ax.

40. Функция ax непрерывна.

В качестве вспомогательного результата оценим разность av au при u < v. Возьмём рациональные числа и такие, что < u < v < и < 2(v u). Пользуясь возрастанием функции ax и неравенством Бернулли (4.6.1), находим Теперь, чтобы доказать непрерывность ax в точке x0, полагаем для > Тогда при |x x0 | < согласно (4.6.4) имеем Это доказывает непрерывность функции ax в точке x0.

50. Основное свойство степени: ax+y = ax · ay для любых чисел x и y.

Выберем последовательности рациональных чисел {n } и {n }, и в силу основного свойства степени для рациональных показателей Пользуясь непрерывностью показательной функции, переходим в этом равенстве к пределу при n и получаем нужное утверждение.

Прежде чем говорить о других свойствах показательной функции при a > 1, определим её при a < 1.

Если 0 < a < 1, то 1/a > 1 и положим Тогда свойства 10 50 показательной функции при a > 1 переносятся на случай 0 < a < 1, но теперь функция ax строго убывает.

Продолжим изучение свойств показательной функции ax. Теперь основание степени a – любое положительное число.

60. Для произвольных чисел x и y справедливо равенство Для рациональных и равенство (a ) = a известно.

Пусть последовательность рациональных чисел {n } сходится к y. Перейдём в равенстве (a )n = a n к пределу при n.

Тогда получим для произвольного числа y и любого рационального.

Возьмём теперь последовательность рациональных чисел {n }, сходящуюся к x. Тогда (an )y = an y. Пользуясь непрерывностью показательной функции и теоремой 4.1.1 о непрерывности сложной функции, переходим в этом равенстве к пределу при n и получаем свойство 60 в полном объеме.

70. (ab)x = ax bx для произвольных положительных a и b и любого x.

Для доказательства берём последовательность рациональных чисел {n }, сходящуюся к x, и переходим к пределу в равенстве (ab)n = an bn.

Таким образом, степень ax, a > 0, определена при всех x R и показательная функция ax обладает всеми свойствами, известными из школьного курса для рациональных x. Кроме того, показательная функция непрерывна на всей оси.

На рисунке изображены графики функции ax при a > 1, a < 1, а также при a = 1.

оси, а область её значений – полуось (0, +). Поэтому на (0, +) существует обратная функция, которую называют логарифмической функцией по основанию a и обозначают x = loga y.

Далее независимую переменную будем, как обычно, обозначать x, а зависимую y, т. е. будем говорить о функции y = loga x.

Учитывая характер монотонности функции ax, видим, что при a > 1 функция loga x строго возрастает от до +, а при 0 < a < 1 строго убывает от + до. График логарифмической функции имеет вид:

В самом деле, и нужное равенство получим, приравняв показатели степени.

40. Если числа a и b положительны и не равны 1, то Действительно, и опять приравниваем показатели.

Если в качестве основания логарифма взято число e, то логарифм называют натуральным. Поэтому число e называют основанием натуральных логарифмов. Натуральный логарифм числа x обозначают ln x или log x.

Степенная функция. Функцию y = xa, где x > 0 и a – произвольное число, называют степеннй функцией.

Степенную функцию можно представить как сложную функцию Из (4.7.1) в силу теоремы о непрерывности сложной функции вытекает непрерывность степенной функции.

Для положительных a степенную функцию xa доопределяют в нуле, положив 0a := 0. Тогда функция y = xa становится непрерывной на [0, +).

На рисунке изображены графики степенной функции при различных значениях показателя a.

Пример 3. Пусть a > 0 и a = 1. Найдём предел Пользуясь непрерывностью логарифмической функции и равенством (4.8.2), имеем Таким образом, в частности, Пример 4. Вычислим предел считая a > 0 и a = 1.

Положим t := ax 1. Тогда ax = 1 + t и x = loga (1 + t). Значит, При x 0 в силу непрерывности показательной функции имеем t 0. Поэтому с помощью (4.8.3) находим В частности, Глава 5. Производные и дифференциалы Эта глава посвящена вопросам, связанным со скоростью изменения функций.

Пусть функция y = f (x) задана в некоторой окрестности точки x0. Придадим аргументу x0 приращение x такое, что точка x0 + x принадлежит этой окрестности, и рассмотрим приращение функции, соответствующее приращению аргумента x:

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента и поставим вопрос о существовании предела этого отношения при x 0.

Определение. Говорят, что функция y = f (x) имеет в точке x0 производную, если существует предел Значение этого предела обозначают f (x0 ) и называют производной функции f в точке x0.

Обозначение f (x) для производной функции f в точке x ввёл Ж. Лагранж. Употребляется также обозначение Df (x), которым пользовался О. Коши.

Теорема 5.1.1. Если функция f имеет производную в некоторой точке, то f непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из существования предела (5.1.1) следует, что в достаточно малой окрестности точки x0 справедливо равенство где (x) – функция аргумента x такая, что Согласно (5.1.2) При x 0 выражение в правой части этого равенства стремится к нулю, т. е. y 0, а это и означает непрерывность функции f в точке x0.

Теорема доказана.

Таким образом, для существования производной в точке необходима непрерывность функции в этой точке. Но это условие не является достаточным.

В самом деле, для приращения функции y := |x| в нуле имеем y = |x|. Следовательно, Значит, функция |x| не имеет производной в нуле, хотя эта функция и непрерывна всюду.

Заметим, что односторонние пределы отношения приращения функции к приращению аргумента (5.1.4) при x 0 существуют. В таких случаях говорят об односторонних производных.

Определение. Если функция f определена в некоторой правой окрестности точки x0 и существует односторонний предел то этот предел называют правой односторонней производной функции f в точке x0 и обозначают f+ (x0 ).

Если функция f определена в некоторой левой окрестности точки x0 и существует односторонний предел то этот предел называют левой односторонней производной функции f в точке x0 и обозначают f (x0 ).

Слово “односторонней” при этом часто опускают и говорят о правой производной или производной справа, соответственно, о левой производной или производной слева.

Таким образом, для функции f (x) = |x| имеем f+ (0) = 1 и f (0) = 1.

Приведём пример функции, непрерывной всюду, но не имеющей в некоторой точке даже односторонних производных.

Так как |f0 (x)| |x|, то функция f0 непрерывна в нуле, а её непрерывность в остальных точках очевидна. Для приращения f в нуле имеем Поэтому Следовательно, f0 не имеет в нуле и односторонних производных.

Выведем правила вычисления производных.

Пусть функции u и v имеют производные в точке x, поставим вопрос о существовании производных функций, полученных в результате арифметических действий над функциями u и v.

Теорема 5.1.2. Пусть функции u и v имеют производные в точке x. Тогда существуют следующие производные и для них справедливы равенства:

10. u(x) + v(x) = u (x) + v (x).

30. u(x) v(x) = u (x) v(x) + u(x) v (x).

40. Если v(x) = 0, то Доказательство. 10. Имеем (u + v) = u(x + x) + v(x + x) u(x) + v(x) = u + v.

Поэтому Дроби в правой части этого равенства при x 0 имеют пределы, поэтому Доказательство свойства 20 аналогично.

Так как u = u(x+x)u(x), то u(x+x) = u(x)+u. Поэтому Значит, При x 0 в силу непрерывности функции v имеем v 0.

Поэтому каждое слагаемое в правой части полученного равенства имеет предел при x 0. Таким образом, 40. Сначала рассмотрим случай, когда u(x) 1, т. е. найдём производную дроби 1/v(x).

Так как функция v в точке x непрерывна и v(x) = 0, то v не обращается в нуль в некоторой окрестности точки x. Поэтому при достаточно малых приращениях x имеем Выражение в правой части этого равенства имеет предел при x 0. Значит, существует предел выражения в левой части и, таким образом, Теперь с помощью формулы производной произведения находим производную частного в общем случае:

Теорема доказана.

Отметим, что представление дроби в виде произведения нередко используется, когда нужно найти производную дроби.

Применим теорему 5.1.2 для вычисления производных элементарных функций.

1). Если функция f равна константе, т. е. при всех x принимает одно и то же значение C, то f = 0 и, таким образом, C = 0.

Для произвольной функции u, имеющей в точке x производную, с помощью формулы производной произведения получаем Конечно, это равенство легко доказать и непосредственно, рассмотрев приращения функции Cu(x).

2). Найдём производную степенной функции с целым показателем, т. е. функции y = xn, когда n – целое число. Покажем, что где x – любое при n 1 и x – любое неравное нулю число, если n < 0.

Сначала докажем равенство (5.1.7) для натуральных n, проведя индукцию по n.

При n = 1 имеем y = x и, значит, x = 1.

Будем теперь считать равенство (5.1.7) доказанным для показателя n и установим его для показателя n + 1.

По формуле производной произведения Таким образом, равенство (5.1.7) справедливо при всех натуральных n.

Пусть теперь n – целое отрицательное число. Тогда n > 0 и, используя формулу производной частного, получаем для x = т. е. равенство (5.1.7) доказано для целых отрицательных показателей.

Так как по определению степенной функции с нулевым показателем x0 1, то (x0 ) = 0. Поэтому формула (5.1.7) имеет место и при n = 0, если считать, что в этом случае правая часть (5.1.7) равна нулю при всех x.

В дальнейшем будет показано, что при x > 0 формула (5.1.7) справедлива для произвольных показателей n.

3). Найдём производную показательной функции y = ax, a > 0, a = 1. Так как то согласно (4.8.5) имеем Таким образом, при всех x В частности, если a = e, то Заметим, что при любой константе C справедливо равенство (Cex ) = Cex, т. е. y = y, если y = Cex. В курсе дифференциальных уравнений будет показано, что равенство y = y имеет место только для функций вида y = Cex.

4). Найдём производную логарифмической функции y = loga x, a > 0, a = 1.

Согласно (4.8.3) отсюда находим Равенства (5.1.10) и (5.1.11) имеют место при всех x > 0.

5). Производные тригонометрических функций.

В силу равенства (4.8.1) и непрерывности функции cos x получаем Таким образом, Аналогично вычисляется производная функции y = cos x:

значит, Следовательно, Равенства (5.1.12) и (5.1.13) имеют место при всех x.

Производные тангенса и котангенса находим, применяя формулу производной частного:

Равенства (5.1.14) и (5.1.15) справедливы при всех x из области определения тангенса и, соответственно, котангенса.

Для вычисления производных других элементарных функций нужны свойства производных, которые будут установлены позднее.

В определении производной предел (5.1.1) считают конечным.

Иногда рассматривают также случаи, когда этот предел равен + или. Тогда говорят о соответствующей бесконечной производной.

Как и для пределов функций, будем считать, что производная конечна, если не сказано, что она может быть бесконечной.

Определение. Пусть функция y = f определена в окрестности точки x. Если приращение f в этой точке можно представить в виде где A – некоторое число, функцию f называют дифференцируемой в точке x.

Иногда приращение y нужно рассматривать и при x = 0.

Тогда считают, что при x = 0 слагаемое o(x) в формуле (5.2.1) равно нулю.

Теорема 5.2.1. Функция y = f дифференцируема в точке x в том и только том случае, когда f имеет в этой точке производную. Если f дифференцируема, то Доказательство. При доказательстве теоремы 5.1.1 мы видели, что из существования производной функции f в точке x следует оценка (5.1.2), которую согласно (5.1.3) можно записать в виде (5.2.2). Отсюда следует достаточность в теореме 5.2.1.

Чтобы доказать необходимость, разделим обе части (5.2.1) на x:

Эта оценка показывает, что функция f имеет в точке x производную, равную A, т. е. из (5.2.1) следует (5.2.2).

Теорема доказана.

Таким образом, равносильны утверждения, что функция имеет в точке производную и что функция дифференцируема в этой точке. Вычисление производной называют дифференцированием функции.

Определение. Функцию, производная которой непрерывна в точке или на промежутке, называют непрерывно дифференцируемой, соответственно, в точке или на промежутке.

Говорят также о кусочно непрерывно дифференцируемых функциях.

Если для приращения функции f справедливо представление (5.2.1), то слагаемое A x называют линейной частью приращения f.

Определение. Если функция f дифференцируема в точке x, то линейную часть приращения f называют дифференциалом функции f в этой точке и обозначают df или df (x).

Таким образом, df (x) := f (x)x.

В общем случае dy = y, так как в (5.2.2) приращение y имеет ещё слагаемое o(x).

Наряду с дифференциалом функции вводят дифференциал независимой переменной, полагая его по определению равным приращению. Тогда вместо x пишут dx.

Используя дифференциал независимой переменной дифференциал функции dy можно записать так:

Отсюда Следовательно, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Выражение dy/dx рассматривают также как другое обозначение производной.

Для дифференциалов справедливы следующие формулы:

и, если v(x) = 0, то В каждом из этих равенств предполагается, что функции u и v дифференцируемы в некоторой точке, утверждается существование в этой точке дифференциалов функций, полученных с помощью арифметических действий над u и v, и даются выражения этих дифференциалов.

Равенства (5.2.5)–(5.2.7) доказываются однотипно. Например, (5.2.6) получаем с помощью (5.2.3) и теоремы 5.1.2:

Выясним свойства графика функции, соответствующие существование производной.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке x0. Будем придавать аргументу f в точке x0 малые приращения x, чтобы точки x0 + x не выходили из области определения функции.

Отметим на графике функции f точки A(x0, f (x0 )) и B(x0 + x, f (x0 + x)) и проведём через эти точки прямую AB.

Эту прямую называют секущей. Пусть – угол, который прямая AB образует с осью абсцисс OX. Угол считаем положительным, если прямая AB правее точки пересечения с осью OX лежит выше оси, в противном случае считаем отрицательным.

Если прямая AB параллельна оси OX, полагаем = 0.

В силу непрерывности функции f в точке x0 точка B при x 0 приближается к точке A. При этом значение угла зависит от x.

Равенство (5.2.8) показывает, что существование производной f (x0 ) равносильно существованию предела tg при x 0. Так как на интервале (/2, /2) тангенс является непрерывной строго монотонной функцией, существование предела tg равносильно существованию предельного значения угла, обозначим его 0. Значит, при x 0 секущая AB занимает предельное положение, соответствующее углу наклона 0. Прямую, являющуюся предельным положением секущей, называют касательной к графику функции f (x) в точке x0. При этом и касательная не параллельна оси OY, её называют наклонной.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.2.2. Для существования наклонной касательной к графику функции y = f (x) в точке (x0, f (x0 )) необходимо и достаточно существование производной f (x0 ). При этом тангенс угла наклона касательной равен значению производной.

В этой теореме можно иметь в виду и односторонние производные.

Уравнение касательной, обозначим её L, к графику функции y = f (x) в точке (x0, f (x0 )) имеет вид Расстояние точки M (x, f (x)), принадлежащей графику функции f, до касательной L равно В силу существования производной f (x0 ) имеем Пусть теперь L1 – произвольная невертикальная прямая, проходящая через точку (x0, f (x0 )), и – её уравнение.

Покажем, что если для точек M графика функции y = f (x) справедлива оценка то L1 является касательной. В самом деле, и из (5.2.9) следует, что Значит, Поэтому производная f (x0 ) существует и f (x0 ) = k.

Таким образом, наклонную касательную можно определить как прямую L1, для которой справедлива оценка (5.2.9).

Отметим, что существование у функции f в точке x0 бесконечной производной равносильно существованию в точке (x0, f (x0 )) вертикальной касательной к графику функции f.

Физический смысл производной: производная – это скорость изменения зависимой переменной y как функции независимой переменной x.

Отношение приращения функции f (x + x) f (x) к приращению аргумента x равно средней скорости за промежуток времени от x до x + x. В физике производную называют мгновенной скоростью.

Если y – путь, пройденный точкой при движении по прямой, а x – время, то производная – это скорость движения точки. Если y – количество электричества, проходящего по проводнику, как функция времени x, то производная – это сила тока.

Вообще, если функция описывает некоторый процесс, то производная характеризует скорость протекания этого процесса в данный момент.

Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной при заданном x. Таким образом, дифференциал – это линейная функция, графиком которой является касательная.

Дифференциал показывает, как менялась бы функция (в приведенных выше примерах это путь или количество электричества), если бы в течение всего времени изменение функции проходило с той же скоростью, что и в данный момент.

Применение дифференциалов основано на том, что “в малом”, т. е. при достаточно малых x, приращение дифференцируемой функции незначительно отличается от дифференциала и, таким образом, при малых x дифференциал дает хорошее приближение для приращения функции.

§ 5.3. Производная обратной функции Если функция y = f (x) на интервале (a, b) непрерывна и строго монотонна и (A, B) – образ интервала (a, b) при отображении, осуществляемом функцией f, то согласно теореме 4.5.2 на (A, B) существует функция x = (y), которая является обратной f. Эта функция также непрерывна и строго монотонна.

Рассмотрим, как связаны дифференцируемость функции f в точке x0 (a, b) и дифференцируемость обратной функции в точке y0 = f (x0 ).

Непрерывность функции f в точке x0 означает, что из x следует, что y = f (x0 + x) f (x0 ) 0. А непрерывность функции означает, что из y 0 следует x = (y0 + y) (y0 ) 0.

Таким образом, условия x 0 и y 0 равносильны.

Предположим, что производная f (x0 ) существует и выясним, существует ли производная (y0 ), т. е. существует ли предел Так как функция строго монотонна, то из y = 0 следует x = 0. Поэтому Если f (x0 ) = 0, то пользуясь равносильностью условий y 0 и x 0, из (5.3.1) находим Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 5.3.1. Если функция f (x) в некоторой окрестности точки x0 непрерывна и строго монотонна и имеет неравную нулю производную f (x0 ), то обратная функция (y) имеет в точке y0 := f (x0 ) производную и справедливо равенство Если f (x0 ) = 0, формула (5.3.2) не имеет смысла. Выясним, что можно сказать о производной обратной функции в этом случае.

Если функция f строго возрастает, то приращения y и x имеют одинаковые знаки. Поэтому их отношение положительно и, переходя в (5.3.1) к пределу при y 0 (или, что то же самое, при x 0), видим, что А если f строго убывает, то отношение приращений y и x отрицательно. Значит, в этом случае Таким образом, можно считать, что формула (5.3.2) справедлива и при f (x0 ) = 0, если договориться, что в этом случае она означает существование бесконечной производной (y0 ), равной + или в зависимости от того, возрастает или убывает функция f.

В соответствии с этим соглашением считают, что если существует одна из производных f (x0 ) или (y0 ), конечная или бесконечная, то существует и другая производная и их значения связаны соотношением (5.3.2).

Формулу (5.3.2) можно записать и как отношение дифференциалов:

Используем формулу производной обратной функции для вычисления производных элементарных функций.

Сначала заметим, что так как показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными, то зная производную одной их этих функций, можно получить производную другой функции.

Выведем, например, из равенства (ax ) = ax ln a производную логарифмической функции. Если y = loga x, то x = ay. Поэтому согласно (5.3.2) имеем и мы заново получили (5.1.9).

Найдём теперь производные обратных тригонометрических функций.

10. Пусть y = arcsin x, x [1, 1]. Тогда x = sin y, y [/2, /2]. Значит, 20. Аналогично находим производную функции y = arccos x, x [1, 1]. Имеем x = cos y, y [0, ], и Равенства (5.3.3) и (5.3.4) справедливы при всех x [1, 1].

Они показывают, что при x = ±1 существуют бесконечные односторонние производные.

Заметим, что равенство (5.3.4) можно получить из (5.3.3), если воспользоваться тождеством 30. Если y = arctg x, то x = tg y и согласно (5.3.2) 40. Аналогично для y = arcctg x находим Равенства (5.3.5) и (5.3.6) имеют место при всех x. Здесь также можно было использовать тождество § 5.4. Производная сложной функции Теорема 5.4.1. Пусть функция y = f (x) имеет производную в точке x0, f (x0 ) = y0 и функция z = (y) имеет производную в точке y0. Тогда сложная функция z = (x) := (f (x)) имеет производную в точке x0 и справедливо равенство Доказательство. Согласно теореме 4.1.1 из непрерывности функции f (x) в точке x0 и функции (y) в точке y0 следует существование сложной функции (x) в некоторой окрестности точки x0.

Для приращений функций f и в силу их дифференцируемости в точках x0 и y0, соответственно, справедливы равенства Чтобы выразить приращение z через x, подставим в первое слагаемое из правой части формулы (5.4.3) вместо y его представление (5.4.2). Если значение y по формуле (5.4.2) равно нулю, то как было сказано в § 5.2, считаем 1 (0) = 0.

После подстановки получим Разделим обе части этого равенства на x:

При x 0 имеем y 0, значит, 1 (y) 0 и предел выражения в правой части (5.4.4) существует и равен (y0 )f (x0 ).

Таким образом, Теорема доказана.

Понятно, что теорема 4.5.1 справедлива и для односторонних производных.

Представив производные как отношения дифференциалов, формулу (5.4.1) можно записать следующим образом:

Для производной функции y = f (x) в точке x0 используется также запись yx (x0 ). В этих обозначениях формула производной сложной функции имеет вид Применим формулу производной сложной функции для вычисления производных элементарных функций.

10. Найдём производную степенной функции y = xa, x > 0, когда показатель a – произвольное число. В § 5.1 производная степенной функции была найдена в случае, когда a – целое число.

Тогда при a 0 аргумент x мог быть любым, а при a < 0 – любым не равным нулю числом.

При произвольном a имеем Положим u = a ln x. Тогда y = eu и согласно (5.4.5) При x > 0 это равенство имеет место для произвольных a.

Если a > 0, оно справедливо и при x = 0 для правой производной.

Заметим, что при 0 < a < 1 правая производная функции y = xa в нуле равна +.

Приведенное доказательство формулы (5.4.6) не позволяет найти производную (xa ) для целых a при отрицательных x.

20. Найдём производную функции y = loga |x|, x = 0.

Чтобы воспользоваться формулой производной сложной функции, положим u = |x|. Тогда y = loga u.

Введём функцию называемую сигнум x (по латыни signum – знак).

Пользуясь этим обозначением, можем написать u = |x| = x · sign x. Поэтому, если x = 0, то |x| = sign x. Значит, при x = согласно (5.4.5) имеем Следовательно, в частности, Разумеется, производную (loga |x|) можно было найти, не используя формулу производной сложной функции.

30. Покажем, как можно получить производную косинуса, зная производную синуса. Так как 40. Вычислим производные гиперболических функций:

Поэтому Таким образом, теперь найдены производные всех основных элементарных функций.

В некоторых случаях проще вычислить производную логарифма функции, чем производную самой функции. Производную ln f (x) называют логарифмической производной функции f (x).

Пусть, например, где u(x) > 0. Если функции u и v дифференцируемы в точке x, Вместе с тем, значит, § 5.5. Производные и дифференциалы высших Если производная f (x) существует во всех точках из некоторой окрестности точки x0, можно ставить вопрос о существовании в точке x0 производной функции f (x).

Если функция f (x) имеет производную в точке x0, эту производную называют второй производной или производной второго порядка функции f (x) в точке x0 и обозначают f (x0 ).

Производная третьего порядка f (x) вводится как первая производная производной второго порядка f (x) и т. д.

Определение. Производной порядка n, n = 2, 3,..., функции f (x) называется первая производная производной порядка n 1.

Значение производной порядка n в точке x0 обозначают f (n) (x0 ).

Таким образом, по определению Функция может иметь производную первого порядка, но не иметь производной второго порядка. Например, если y = x|x|, то y = 2|x|. Значит, функция x|x| не имеет производной второго порядка в нуле.

Можно указать функции, имеющие в точке производную порядка n > 1, у которых в этой точке нет производной порядка n + 1.

Основные элементарные функции имеют производные любого порядка в своей естественной области определения. Например, О производных степенной функции отметим, что если положительное число a не целое, то функция xa имеет в нуле производные справа до порядка [a] включительно, но не имеет конечной производной порядка [a] + 1.

Если в некоторой точке или в каждой точке некоторого промежутка функция имеет производную второго порядка, функцию называют дважды дифференцируемой соответственно в точке или на промежутке. Если при этом производная второго порядка непрерывна, то говорят, что функция дважды непрерывно дифференцируема.

Аналогично определяются трижды дифференцируемые, трижды непрерывно дифференцируемые функции и т. д.

Функции, имеющие производные любого порядка, называют бесконечно дифференцируемыми соответственно в точке или на промежутке. Заметим, что бесконечно дифференцируемая в точке функция является бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности этой точки.

Если функции u(x) и v(x) имеют в некоторой точке производные порядка n, то сумма и разность этих функций имеют в указанной точке производные порядка n и справедливы равенства Рассуждения по индукции показывают, что в этом случае существует производная порядка n произведения u(x) v(x).

Выразим производные высших порядков произведения функций через производные самих этих функций.

Здесь будут нужны числа которые называют биномиальными коэффициентами, так как эти числа участвуют в формуле бинома Ньютона, о чём будет сказано позднее. Для биномиальных коэффициентов наряду с Cn используется обозначение Число Cn называют числом сочетаний из n по k, так как оно показывает, сколько различных подмножеств из k элементов имеет множество из n элементов. Но это комбинаторное свойство биномиальных коэффициентов не будет сейчас нужно.

Теорема 5.5.1 (Формула Лейбница). Если функции u(x) и v(x) имеют в точке x0 производные порядка n, n = 1, 2,..., то в этой точке существует производная порядка n произведения u(x) v(x) и справедливо равенство где производная нулевого порядка функции обозначает саму эту функцию.

Доказательство. Для краткости не будем писать аргументы у производных.

Докажем формулу Лейбница по индукции. При n = 1 формула (5.5.2) имеет вид т. е. это – выражение первой производной произведения двух функций.

Теперь, пользуясь равенством (5.5.2) для n = m, m = 1, 2,..., докажем его при n = m + 1.

Для i = 1,..., m согласно определению биномиальных коэффициентов Имеем также (u v)(m+1) = Cm+1 u(0) v (m+1) + и мы получили формулу (5.5.2) для n = m + 1.

Теорема доказана.

Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков.

Если x – независимая переменная и функция y = f (x) дифференцируема, то dy = f (x) dx. Таким образом, дифференциал dy зависит от x и от dx.

Поставим вопрос, является ли дифференциал dy как функция от x дифференцируемой функцией?

Чтобы выяснить это, придадим аргументу x приращение dx и рассмотрим приращение дифференциала dy:

Если существует вторая производная f (x), то Таким образом, линейная часть приращения произведения f (x) dx, когда x получает приращение dx, равна f (x) dx · dx = f (x) (dx)2.

Квадрат дифференциала независимой переменной (dx)2 принято обозначать dx2, т. е. dx считается единым символом, который возводится в квадрат.

Поэтому, полагая по определению d2 y := d(dy), получаем Так как дифференцируемость функции равносильна существованию производной, то существование второго дифференциала d2 y равносильно существованию второй производной f (x).

Поскольку дифференциал независимой переменной dx от x не зависит, то d(dx) = d2 x = 0.

Далее, для n > 2 полагаем и с помощью аналогичных рассуждений находим, что где dxn обозначает n-ю степень дифференциала dx.

Таким образом, т. е. производная порядка n функции равна отношению дифференциала порядка n этой функции к n-й степени дифференциала независимой переменной.

Напомним, что формулы (5.5.3)–(5.5.5) относятся к случаю, когда x является независимой переменной.

Рассмотрим дифференциалы сложной функции.

Сначала найдём выражение дифференциала первого порядка.

Пусть y = (x) = (f (x)), где функции y = (u) и u = f (x) имеют производные первого порядка. Тогда dy = (x) dx, а согласно (5.4.1) (x) = (u)f (x).

С другой стороны, f (x) dx = du, значит, dy = (u) du.

Таким образом, для первого дифференциала dy сложной функции справедливы формулы Эти формулы выглядят одинаково, но их принципиальная разница состоит в том, что dx в (5.5.6) является дифференциалом независимой переменной, а du в (5.5.7) является дифференциалом зависимой переменной.

Свойство первого дифференциала иметь одинаковое выражение через дифференциалы независимой и зависимой переменной называют инвариантностью формы первого дифференциала.

Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков сложной функции.

Пусть по-прежнему y = (u), u = f (x), где x – независимая переменная, и (x) := (f (x)).

Согласно (5.5.7) и (5.2.6) имеем Здесь d2 u = f (x) dx2.

§ 5.5. Производные и дифференциалы высших порядков Сравнение формул (5.5.8) и (5.5.3) показывает, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности – его представление зависит от того, выражен он через дифференциалы независимой переменной или через дифференциалы зависимой переменной.

Найдём ещё выражение третьего дифференциала через дифференциалы зависимой переменной. Имеем Запоминать формулы (5.5.8) и (5.5.9) нет необходимости, рекомендуется выводить их заново каждый раз, когда они нужны.

Рассмотрим теперь производные функций, заданных параметрически.

Простейший пример параметрического задания функции даёт параметрическое уравнение прямой на плоскости где t (, +). Если a = 0, то t = (x b)/a и, подставив это значение t во второе уравнение (5.5.10), получим Таким образом, исключив из (5.5.10) параметр t, мы нашли явное выражение y через x.

Сложнее обстоит дело с параметрическим уравнением эллипса a, b > 0, t (, +). Исключив в уравнении (5.5.11) параметр t, получим Отсюда Поскольку для каждого x знак перед корнем можно брать произвольно, формула (5.5.12) задаёт бесконечно много функций y аргумента x. Если потребовать непрерывность функций на [a, a], таких функций будет две.

Понятно, что в общем случае, когда на некотором промежутке изменения параметра t заданы функции исключить из (5.5.13) параметр t и получить явное выражение y через x далеко не всегда возможно и совсем не просто.

Покажем, что при некоторых естественных условиях на функции (5.5.13) можно найти параметрическое представление производной yx через производные функций x(t) и y(t).

Если в некоторой окрестности точки t0 функция x(t) строго монотонна, то как было сказано в § 4.5, в некоторой окрестности точки x0 := x(t0 ) существует функция t = t(x), обратная x(t), и формулы (5.5.13) параметрически задают функцию y(x) := y(t(x)).

Предположим, что в точке t0 существуют производные xt, yt и, кроме того, xt (t0 ) = 0.

В силу (5.4.1) и (5.3.2) имеем Мы получили yx как функцию от t, функции x(t) и yx (t) задают параметрически производную yx.

Если функция yt /xt имеет производную по t (так будет во всяком случае, когда существуют вторые производные xt t (t) и yt t (t)), то вторую производную yxx можно найти так:

Подобным образом можно находить производные функции y(x) и более высокого порядка.

Запоминать формулу (5.5.15) не нужно. Рекомендуется каждый раз выводить её заново. К тому же, если дробь в правой части равенства (5.5.14) удастся упростить, вторую производную yxx (t) получим с помощью более простых вычислений, чем из формулы (5.5.15).

Глава 6. Свойства дифференцируемых функций § 6.1. Локальные экстремумы функции Наряду с возрастанием и убыванием функций на промежутке рассматривается возрастание и убывание функции в точке.

Определение. Функция f (x) называется возрастающей в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для x из этой окрестности, лежащих слева от x0, справедливо неравенство f (x) f (x0 ), а для x справа от x0 – неравенство f (x) f (x0 ).