WWW.DISS.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

 

методы

и математическое

моделирование

Лекция 7

Численное решение:

алгоритмы, методы

и неприятности …

Ю.Н. Прошин ЧМММ. Лекция 7 #1

КУЛЬТУРА ВЫЧИСЛЕНИЙ НА ЭВМ

•До сих пор => Постановки задач и алгоритмы их решения.

•Однако, мы имеем цепочку «модель — алгоритм — программа».

•Одна из возможных причин несовпадения желаемого и

получаемого

=> несовпадение машинной арифметики с обычной из-за конечности разрядной сетки ЭВМ.

Возникающие ошибки могут привести к большим неприятностям, если их не контролировать и не соблюдать некоторые элементарные правила организации вычислений. Правила эти неформальны и напоминают правила хорошего тона. Уровень их выполнения определяет уровень вычислительной культуры пользователя ЭВМ. Поясним на примерах основные из этих правил.

Ю.Н. Прошин ЧМММ. Лекция 7 # Пример 1.

Коммутативность, ассоциативность, … Вычислим (на обычном калькуляторе или на ЭВМ) 1016 + 1 — 1016, 1032 + 1010 — 1016 — 1016 + 1, 1032 — 1032 + >> 10^16 + 1 - 10^16 >> single(10^8) + 1 - single(10^8) >> 10^16 - 10^16 + ans = ans = ans = 0 0 >> 10^32 + 10^10 - 10^32 >> 10^32 - 10^32 + 10^ ans = ans = 0 1.0000e+ >> >> Таким образом, в машинной арифметике нарушаются законы коммутативности и ассоциативности действий.

Применимость основных выводов элементарной математики ставится под сомнение.

Ю.Н. Прошин ЧМММ. Лекция 7 # Пример 2. Предел.

Известно, что >> n=single([1 1e5 1e7 1.1e7 1.2e7 2e7 3e7]) n= 1 100000 10000000 11000000 12000000 20000000 >> (1+1./n).^n ans = 2.0000 2.7220 3.2940 3.7110 4.1808 1.0000 1. Вывод: при вычислениях с ЭВМ применимость основного понятия высшей математики — предела — также ставится под сомнение.

Ю.Н. Прошин ЧМММ. Лекция 7 # Правило 1.

Определение. Машинным эпсилоном называется наименьшее представимое в ЭВМ число, удовлетворяющее условию Правило 1.

Величина М характеризует наименьшую относительную погрешность вычислений и зависит от конкретной ЭВМ и разрядности вычислений (single, double,... ).

Требовать БОЛЬШЕГО невозможно!

Ю.Н. Прошин ЧМММ. Лекция 7 # Задача и комментарий к правилу 1.

Задача. Найти минимальное число М, используемое компьютером при вычислениях по умолчанию, определить количество значащих цифр используемых при численных расчетах, выяснить возможности его увеличения (уменьшения). (На примере любого языка программирования Си, Паскаль, Фортран, Дельфи или вычислительного пакета MatLab, Maple, Mathematica, MathCad, Origin, Derive).

•Очевидно, если М > 10-k, то на данной ЭВМ нельзя гарантировать, что в результатах будет содержаться не менее k верных значащих цифр.

•Напомним, что цифра числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы того разряда, в котором эта цифра находится.

Чувствительность к исходным данным.

• Задача может быть чувствительна к малым ошибкам, допущенным при представлении исходных данных.

• Пример, корни уравнения p(x) = (x-2)2 = 0 равны двум, при изменении свободного члена на малую величину = 10- (x-2)2 = изменение в корнях много больше: x1,2 = 2 ± 10-3.

• Этот тип неустойчивости еще более выражен у полиномов более высокой степени. Корни следующего полиномиального уравнения p(x) = 0, где p(x) = (x-1)(x-2)...(x-20) = x20 - 210x19 + … суть реальные числа от 1 до 20 и хорошо разделены.

Задача: Измените коэффициент при x19: (-210) (-210 + 10-23) и проследите численно за катастрофическим изменением решения.

Пример 3. Эквивалентные формулы – Пусть М = 10-2 и требуется решить уравнение:

Округляем до двух значащих цифр.

Формулы для решения уравнения Верный ответ -- ошибка получена при вычитании близких Эквивалентная формула получаем Пример 4. Эквивалентные формулы – Оценка дисперсии случайной величины по измерениям :

Пусть х 1 = 12345.1, х 2 = 12345.2, х 3 = 12345.3.

При выборе формулы и порядка вычислений избегать вычитания близких чисел и деления на малые величины.

Столь большие отличия в ответах возникли из-за того, что матрицы коэффициентов систем 1 и 2 плохо обусловлены: определители i = det|ai| малы. Действительно, 1 = 0.001, 2 = -0.001.

Пример 6. Числа, представимые в ЭВМ, лежат в диапазоне При выходе результата за minD => underflow (исчезновение порядка), при выходе за maxD => overflow (переполнение).

•При переполнении обычно говорят, что плохи исходные данные, а при исчезновении порядка полагают результат равным нулю.

•Не следует торопиться. Пусть 10-78 |х| 1076 и вычисляется величина x = ab/(cd) при a = 10-30, b = 10-60, c = 10-40, d = l0-50.

•Если x=a•b/c/d => underflow; если x = 1/c/d•a•b => overflow.

•Если x = a/c•b/d => правильный ответ х = 1.

•Этот же ответ можно получить, если отмасштабировать переменные, например, умножив на 1040.

При переполнении или исчезновении порядка следует попытаться изменить последовательность действий, ввести масштабные множители и т. д.

При исчезновении порядка не всегда следует обнулять Пример 7. Пусть м = 10-2 и требуется найти S = 100 + 0.1 + … + 0. •Если вести суммирование слева направо, то с учетом округления до двух значащих цифр => S = •Если вычислять справа налево, то после тысячи слагаемых => 100, и дальнейшее {+0.1+0.1+…} ничего не изменит. Результат S = •Правильный результат S = 300 !? Как получить?!

•Сложим 1000 чисел по 0.1, затем еще 1000 чисел по 0.1, а потом сложим промежуточные суммы.

При сложении следует располагать слагаемые в порядке возрастания абсолютных величин, стараясь, чтобы при каждом сложении порядки величин различались мало.

При необходимости цикл суммирования разбивается на Аналогичное правило действует при перемножении большого числа сомножителей.

Последовательные приближения Пример 8. При расчетах методами последовательных приближений часто ведут вычисления до тех пор, пока поправка (разность между текущими и последующими приближениями) не станет меньше заданного порога. При этом, как правило, не обеспечивается заданная погрешность результата.

Если вести вычисления до тех пор, пока общий член ряда 1/k2 не станет меньше 10-3, т. е. до kобрыв = 32, и S = 1.610.

Правильно => S = 2/6 = 1,650....

Если же приближенную сумму ряда то погрешность останется бесконечной, как бы мала ни становилась Нужно помнить, что остановка итерационного процесса x1, х2, …. по косвенному критерию (например, по в задаче решения уравнения F (x) = O, не гарантирует достижения заданной погрешности Пример 9. Неустойчивость алгоритмов • Проверить неустойчивость алгоритмов (погрешность действия) на примере вычисления интеграла при помощи рекуррентной формулы • E0 вычислить аналитически и построить таблицу значений En при n = 1, 2,..., 20. Оценить возникающую ошибку.

• Повторить вычисления, изменив алгоритм на устойчивый En-1 = (1 – En) /n.

Аналитически и численно оценить ошибку при вычислениях En для n = 19, 18,..., 1 при выборе начального значения E20 = (показать, что начальная ошибка E20 < 1/21 и далее уменьшается !).

Пользуйтесь только устойчивыми численными Ю.Н. Прошин ЧМММ. Лекция 7 #



Похожие работы:

«Россия–США Сотрудничество по сохранению видов дикой флоры и фауны и среды их обитания Программа на 2011-2012 годы Соглашение о сотрудничестве в области охраны окружающей среды и природных ресурсов между Правительством Российской Федерации и Правительством Соединенных Штатов Америки “. Стороны будут осуществлять сотрудничество по выработке взаимосогласованной политики в области охраны окружающей среды и природных ресурсов на межгосударственном, межрегиональном и глобальном уровнях” Соглашение о...»

«Муниципальное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 15 г. Балашова Саратовской области РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГА Золотаревой Ирины Сергеевны учителя географии первой квалификационной категории по географии России 8 класс Рассмотрено на заседании педагогического совета от сентября 2013 г. протокол № 2013 - 2014 учебный год Пояснительная записка. Рабочая программа составлена в соответствии с действующим базисным учебным планом и проектом Стандарта школьного...»

«ПРОГРАММА FRAME – ОБМЕН ЗНАНИЯМИ ПО РАЦИОНАЛЬНОМУ ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ ПРОЕКТ 3006–000 ГРУППЫ МЕЖДУНАРОДНЫХ РЕСУРСОВ СИТУАЦИОННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБ ОСНОВНЫХ АСПЕКТАХ ВЛИЯНИЯ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ В УСТОЙЧИВОЕ ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЕ В РЕСПУБЛИКАХ ЦЕНТРАЛЬНОЙ АЗИИ, СКОНЦЕНТРИРОВАННОЕ НА КЫРГЫЗСТАНЕ March 2007 This report is made possible by the support of the American People through the United States Agency for International Development (USAID.) The contents of this report are the sole...»

«Записи выполняются и используются в СО 1.004 СО 6.018 Предоставляется в СО 1.023. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова Факультет пищевых технологий и товароведения СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ Декан факультета Проректор по учебной работе /Морозов А.А. / _/Ларионов С.В./ _2013 г. _ 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине “Технохимический контроль и управление качеством”...»

«Учреждение образования Международный государственный экологический университет имени А.Д. Сахарова УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе МГЭУ им. А.Д. Сахарова О.И. Родькин 2013 Регистрационный № УД -_/р. БОТАНИКА Учебная программа учреждения высшего образования по учебной дисциплине для специальности 1-33 01 01 Биоэкология Факультет экологической медицины Кафедра биологии человека и экологии Курс Семестр Лекции 26 часа Зачет семестр Лабораторные занятия 28 часов Аудиторных часов по учебной...»

«СИСТЕМА ПЕРЕДАЧИ ИЗВЕЩЕНИЙ “ЮПИТЕР” ПРИЕМНЫЙ КОМПЛЕКТ АРМ ДПУ Юпитер версия 7.x Руководство по эксплуатации Санкт- Петербург 2008 Оглавление 1.Введение 1.1Общее назначение программы 1.2Технические средства на охраняемых объектах 2.Системные требования 3.Установка и запуск 3.1Установка программы 3.2 Запуск программы 4.Интерфейс пользователя 4.1 Основной режим 4.1.1 Главное меню 4.1.2 Строка состояния 4.1.3. Окно текущих сообщений 4.1.4 Окно необработанных тревог 4.1.5 Окно проверяемых объектов...»

«МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №143 2013-2014 учебный год Рассмотрено Согласовано: Утверждено: на заседании МО зам. директора по УВР директор МБОУ СОШ №143 протокол №1 от 26 августа 2013 г Малеева Л.Я/_ Савенко С.А. _ (ФИО) (подпись) Приказ № 168 от 30 августа 2013 г 27 августа 2013 г РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Предмет: _История _ ступень II_ классы _5 А, Б, В, Г, Д, Е, Э, М_ Учитель: Щеренко Ольга Александровна_, Афанасьева Валентина Владимировна,...»

«Факультет доуниверситетского образования Факультет доуниверситетского образования ведет свою историю с сентября 1961 года, когда в Белорусском государственном университете был открыт подготовительный факультет для иностранных граждан, и к учебе приступили 62 слушателя с Кубы. В 1968 году в университете начали работать подготовительные курсы, а с декабря 1969 года — подготовительное отделение для белорусских граждан. За полувековую историю факультета его выпускниками стали около 8 тысяч...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ФГБОУ ВПО ВГУ) УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой криминалистики Баев О.Я. подпись..2011 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ М2.В.ДВ.3 Психофизиологические исследования в криминалистике и уголовном процессе Код и наименование дисциплины в соответствии с Учебным планом 1. Шифр и наименование направления подготовки: 030900 юриспруденция...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой Декан факультета /Терешкин А.В./ /Соловьев Д.А./ 30 08_2013 г. 30_08_2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) Дисциплина Строительство и содержание специализированных объектов ландшафтной архитектуры Направление подготовки...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ОТЧЕТ О НАУЧНОЙ И НАУЧНО-ОРГАНИЗАЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ИНСТИТУТА МОНИТОРИНГА КЛИМАТИЧЕСКИХ И ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ за 2007 год Утверждаю Директор института чл.-корр. РАН _ М.В.Кабанов Томск-2008 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 3 НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА I Важнейшие результаты фундаментальных и прикладных исследований 1.1 Научно-организационная деятельность ИМКЭС 1.2 Результаты научно-исследовательских работ, выполненных по базовым проектам СО РАН Краткие...»

«ОРГАНИЗАЦИЯ EP ОБЪЕДИНЕННЫХ НАЦИЙ Distr. GENERAL Программа Организации UNEP/CHW.6/26 Объединенных Наций по 20 August 2002 окружающей среде RUSSIAN Original: ENGLISH КОНФЕРЕНЦИЯ СТОРОН БАЗЕЛЬСКОЙ КОНВЕНЦИИ О КОНТРОЛЕ ЗА ТРАНСГРАНИЧНОЙ ПЕРЕВОЗКОЙ ОПАСНЫХ ОТХОДОВ И ИХ УДАЛЕНИЕМ Шестое совещание Женева, 9-13 декабря 2002 года Пункт 6 e) iii) предварительной повестки дня* ХОД РАБОТЫ ПО ОПАСНЫМ СВОЙСТВАМ Н12 - экотоксичные вещества, включенные в приложение III к Конвенции I. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ 1....»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова УТВЕРЖДАЮ Декан факультета _ /Молчанов А.В./ _ 2013 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Дисциплина ОБЩАЯ И НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ Направление подготовки 240700.62 Биотехнология Профиль подготовки Биотехнология Квалификация (степень) Бакалавр выпускника Нормативный срок 4 года...»

«СО Записи выполняются и используются в СО 1.004 6.018 Предоставляется в СО 1.023. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова Факультет пищевых технологий и товароведения СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ Декан факультета Проректор по учебной работе Морозов А.А. _Ларионов С.В. _ г. _г. РАБОЧАЯ (МОДУЛЬНАЯ) ПРОГРАММА Дисциплина Физическая культура Для специальности 110305.65...»

«Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Воронежская государственная медицинская академия имени Н.Н.Бурденко Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации ОСНОВНАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОСЛЕВУЗОВСКОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ ТЕРАПИЯ (ординатура) Воронеж - 2012 ОДОБРЕНА Ученым Советом ГБОУ ВПО ВГМА им. Н.Н. Бурденко Минздравсоцразвития России 26.04.2012 г. протокол № 8...»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева УТВЕРЖДАЮ Ректор РХТУ им. Д.И. Менделеева _ В.А. Колесников Программа краткосрочного повышения квалификации преподавателей и научных работников высшей школы по направлению ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ НАНОМАТЕРИАЛЫ на базе учебного курса Физико-химия функциональных наноматериалов Цель Приобретение знаний о различных типах наноматериалов и наноструктур и их...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Председатель приёмной комиссии Е.А. Ваганов 31 января 2014 г. ПРОГРАММА вступительного испытания в магистратуру в форме письменного экзамена Направление 23.04.02 Наземные транспортно-технологические комплексы Магистерские программы: 23.04.02.01 Машины, комплексы и оборудование для строительства и...»

«Белорусский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан факультета философии и социальных наук А.В.Рубанов _ _22.06.2010_ (дата утверждения) Регистрационный № УД-_134_/р. Религиоведение Учебная программа для направления специальности 1-23 01 07-02 Информация и коммуникация (социальные технологии, научно-педагогическая деятельность) Факультет философии и социальных наук Кафедра социальной коммуникации Курс (курсы) Семестр (семестры) Лекции _18_ Экзамен (количество часов) (семестр) Практические...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УТВЕРЖДАЮ Начальник управления профессионально-технического образования Министерства образования Республики Беларусь Э. Н. Гончар “”_ 2001 г. МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ Типовая учебная программа для профессионально-технических учебных заведений Т 02.01.00 Литейное производство Учебные Т 03.01.00 Механическая обработка металлов на специальности: станках и линиях Т 03.02.00 Обслуживание и ремонт оборудования...»

«Рабочая программа Изобразительное искусство и художественный труд для 5 класса МБОУ СОШ№9 разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (Приказ Минобрнауки России от 17.12.2010г. № 1897 ), приказа Министерства Образования и науки Республики Хакасия от 05.07.2011г. № 100-918 О введении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования в образовательных учреждениях Республики Хакасия,...»






 
2014 www.av.disus.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Авторефераты, Диссертации, Монографии, Программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.