«Выпускник, получивший квалификацию учителя математики, должен быть готовым осуществлять обучение и воспитание обучающихся с учетом специфики преподаваемого предмета; способствовать социализации, формированию общей ...»

1.1. Требования ГОС по дисциплине и квалификационные

требования

Выпускник, получивший квалификацию учителя математики,

должен быть готовым осуществлять обучение и воспитание обучающихся

с учетом специфики преподаваемого предмета; способствовать

социализации, формированию общей культуры личности, осознанному

выбору и последующему освоению профессиональных образовательных

программ; использовать разнообразные приемы, методы и средства

обучения; обеспечивать уровень подготовки обучающихся, соответствующий требованиям Государственного образовательного стандарта; осознавать необходимость соблюдения прав и свобод учащихся, предусмотренных Законом Российской Федерации "Об образовании", Конвенцией о правах ребенка, систематически повышать свою профессиональную квалификацию, участвовать в деятельности методических объединений и в других формах методической работы, осуществлять связь с родителями (лицами, их заменяющими), выполнять правила и нормы охраны труда, техники безопасности и противопожарной защиты, обеспечивать охрану жизни и здоровья учащихся в образовательном процессе.

Выпускник, получивший квалификацию учителя математики, подготовлен к выполнению основных видов профессиональной деятельности учителя математики, решению типовых профессиональных задач в учреждениях среднего общего (полного) образования.

Основная образовательная программа должна быть направлена на обеспечение профессиональной подготовки выпускника, воспитание у него гражданской ответственности, стремления к постоянному профессиональному росту и других личностных качеств. Это может быть достигнуто как включением в основную образовательную программу соответствующих курсов (разделов дисциплин), так и организацией внеаудиторной работы (научно-исследовательской, кружковой, конференций, семинаров, встреч с ведущими специалистами и т.д.).

1.2. Требования к обязательному минимуму содержания изучаемой дисциплины ДПП.00 Дисциплины предметной подготовки ДПП.Ф.00 Федеральный компонент ДПП. Ф.01 Математический анализ Действительные числа и их свойства. Функции и их свойства.

Операции над функциями, композиция функций, обратная функция.

Предел последовательности. Предел функции. Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Непрерывность основных элементарных функций. Равномерная непрерывность функции на множестве. Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций. Неопределенный интеграл и основные методы интегрирования.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой кривой.

Несобственные интегралы. Числовые ряды. Признаки сходимости.

Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды. Формула и ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций. Тригонометрические ряды Фурье. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Исследование на экстремумы. Неявные функции. Двойной и тройной интегралы, их применение к вычислению геометрических величин. Криволинейные интегралы и их приложения.

2. Цели и задачи изучаемой дисциплины Данная программа определяет объём знаний по дисциплине математический анализ.

Целью курса является научное обоснование тем, относящихся к нему понятий, первое представление о которых даётся в школе. Курс имеет общеобразовательное и прикладное значение. Необходимо дать научное определение таких важнейших математических понятий, как функция, предел функции и непрерывность и т.д., показать историю развития этих понятий.

На практических занятиях студента необходимо научить:

исследованию функций, построению графиков; выполнению предельного перехода, предел, производная, интеграл, ряд. Научить применить методы анализа при решении практических задач геометрии (площадь, объем, дифференциальные характеристики кривых); физики ( статические моменты, координаты центра тяжести).

Необходимо прививать навыки умения работы со специальной литературой, со школьными учебниками под руководством преподавателя и самостоятельно.

3. Место дисциплины в профессиональной подготовке студентов Место курса в профессиональной подготовке выпускника: в профессиональной подготовке выпускника определяется выдающейся ролью методов и идей математического анализа в формировании специалиста по любой области знаний, серьезно использующей математику; кроме того, многие дискретные, " конечные" модели, задачи и алгоритмы, характерные для данной специальности, имеют своим источником,прообразом или предельным случаем ту или иную бесконечномерную ситуацию, а потому требуют свободного владения идеями и подходами, выработанными в математическом анализе.

4. Распределение времени, отведенного на изучение дисциплины по учебному плану Форма учебной работы Форма обучения очная Заочная 6 лет Заочная 3, Семинары (с) Лабораторные занятия (лз) 34 38 34 Другие виды аудиторных занятий Компьютерное тестирование 5. Тематический план для очной формы обучения:

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1 Действительные числа и их свойства. Аксиомати- 2 2 ческое построение. Модуль действительного числа.

Числовые множества.

2 Функции и их свойства. График функции. Операции 2 2 над функциями. Композиция функции, обратная функция.

последовательности. Аксиома непрерывности.

Верхняя и нижняя грань множества.

4 Принцип вложенных отрезков. Предел монотонной 2 2 последовательности. Число “Е”.Теорема БольцаноВейерштрасса.

предел в арифметических операциях. Предел неравенствах.

Односторонние пределы.

множестве. Свойства непрерывных функций.

разрыва монотонной функции.

Равномерная непрерывность. Равномерная непрерывность функции на множестве.

основных элементарных функций.

11 Степенная функция. Показательная функция. 2 2 Логарифмическая функция.

тригонометрические функции.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

производная, дифференциал: геометрический и Непрерывность дифференцируемой функции..

Дифференцирование суммы, произведения, частного.

Производная обратной функции. Таблица производных.

механический смысл. Дифференциалы высших порядков.

исчисления и их приложение к исследованию функций.

Параметрическое задание функций, их дифференцирование. Векторнозначная функция, её дифференцирование.

исчисления их приложения. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

убывания функции в точке и на промежутке.

наименьшее значение функции.

Асимптоты. Применение дифференциального исчисления к построению графиков функций.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ

ИНТЕГРИРОВАНИЯ

восстановления функции по её производной.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

25 Интегрирование рациональных функций. 2 2 интегрирование по частям. Интегрирование трансцендентных функций.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

приводящие к понятию определенного интеграла.

ограниченной функции. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.

монотонной функции с конечным числом точек разрыва 1 рода.

интеграла. Теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним пределом.

Формула Ньютона-Лейбница. Интегральное переменной. Приближенное вычисление интеграла.

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

кубируемого тела, спрямляемой кривой.

Площади плоских фигур в декартовых и полярных координатах, их вычисление.

параллельных сечений. Объём тела вращения и площадь поверхности вращения. Принцип Кавальери.

Определение статистических моментов и координат центра тяжести материальной линии и пластинки. Теоремы Гульдена. Объём тела вращения.

35 Длина дуги, понятие о кривизне плоской 2 2 кривой. Вычисление длины гладкой дуги.

Дифференциал длины дуги. Вычисление площади поверхности вращения. Приложение определенного интеграла к физике.

Гармонический ряд. Критерий Коши. Сравнение интегральный признак Коши.

Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Перестановка членов ряда. Теорема Римана.

ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Необходимый и достаточный признаки равномерной сходимости.

40 Теорема Вейерштрасса. Предел равномерно 2 2 сходящихся последовательностей непрерывных функций.

непрерывных функций. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

42 Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал 2 2 и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

степенной ряд основных элементарных функций.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

45 Действительная функция N действительных 2 2 переменных как функция точки пространства R.

График функции 2-х переменных, линии уровня, скалярные поля, поверхности уровня функции 3х переменных.

46 Векторнозначная функция 3-х переменных. 2 2 Векторные поля. Предел и непрерывность.

дифференцируемости. Касательная плоскость.

Геометрический смысл дифференциала 2-х переменных.

Дифференцирование сложной функции.

Инвариантность формы 1-го дифференциала.

Производная по направлению. Градиент.

существовании и дифференцируемости неявной функции. Вычисление частных производных неявно заданных функций.

Равенство смешанных производных.

Формула Тейлора для функции 2-х переменных.

51 Исследование на экстремум. Определение 2 2 максимума и минимума. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия максимума и значений. Условные экстремумы.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

53 Квадрируемые фигуры. Понятие двойного интеграла.

повторные Замена переменных в тройных интегралах.

6. Тематический план для заочной форм обучения специальности 1 Действительные числа и их свойства. Аксиомати- 1 0 ческое построение. Модуль действительного числа.

Числовые множества. Функции и их свойства.

График функции. Операции над функциями.

Композиция функции, обратная функция.

последовательности. Аксиома непрерывности.

Верхняя и нижняя грань множества.

3 Принцип вложенных отрезков. Предел монотонной 1 0 последовательности. Число “Е”.Теорема БольцаноВейерштрасса.

предел в арифметических операциях. Предел неравенствах.

Односторонние пределы.

множестве. Свойства непрерывных функций.

7 Непрерывность композиции функции. Точки 1 1 разрыва монотонной функции.

8 Свойства непрерывных функций на отрезке. 1 1 Равномерная непрерывность. Равномерная непрерывность функции на множестве.

основных элементарных функций.

10 Степенная функция. Показательная функция. 1 1 Логарифмическая функция.

11 Тригонометрические функции. Обратные 1 1 тригонометрические функции.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

производная, дифференциал: геометрический и Непрерывность дифференцируемой функции..

Дифференцирование суммы, произведения, частного.

Производная обратной функции. Таблица производных.

механический смысл. Дифференциалы высших порядков.

исчисления и их приложение к исследованию функций.

Параметрическое задание функций, их дифференцирование. Векторнозначная функция, её дифференцирование.

исчисления их приложения. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

убывания функции в точке и на промежутке.

наименьшее значение функции.

Асимптоты. Применение дифференциального исчисления к построению графиков функций.

восстановления функции по её производной.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

интегрирование по частям. Интегрирование трансцендентных функций.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

интеграла. Нижние и верхние суммы Дарбу на ограниченной функции. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.

монотонной функции с конечным числом точек разрыва 1 рода.

интеграла. Теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной функции. Формула НьютонаЛейбница. Интегральное определение логарифма.

переменной. Приближенное вычисление интеграла.

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

кубируемого тела, спрямляемой кривой.

Площади плоских фигур в декартовых и полярных координатах, их вычисление.

параллельных сечений. Объём тела вращения и площадь поверхности вращения. Принцип Кавальери.

Определение статистических моментов и координат центра тяжести материальной линии и пластинки. Теоремы Гульдена. Объём тела вращения.

кривой. Вычисление длины гладкой дуги.

Дифференциал длины дуги. Вычисление площади поверхности вращения. Приложение определенного интеграла к физике.

Несобственные интегралы.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Гармонический ряд. Критерий Коши. Сравнение интегральный признак Коши.

Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Перестановка членов ряда. Теорема Римана.

ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Необходимый и достаточный признаки равномерной сходимости.

37 Теорема Вейерштрасса. Предел равномерно 1 1 сходящихся последовательностей непрерывных функций.

непрерывных функций. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

39 Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал 1 1 и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

степенной ряд основных элементарных функций. Тригонометрические ряды Фурье.

41 Действительная функция N действительных 1 1 переменных как функция точки пространства R.

График функции 2-х переменных, линии уровня, скалярные поля, поверхности уровня функции 3х переменных. Векторнозначная функция 3-х переменных. Векторные поля. Предел и непрерывность.

дифференцируемости. Касательная плоскость.

Геометрический смысл дифференциала 2-х переменных. Дифференцирование сложной дифференциала. Производная по направлению.

Градиент.

существовании и дифференцируемости неявной функции. Вычисление частных производных производные высших порядков. Равенство смешанных производных.

Формула Тейлора для функции 2-х переменных.

45 Исследование на экстремум. Определение 1 1 максимума и минимума. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия максимума и значений. Условные экстремумы.

47 Квадрируемые фигуры. Понятие двойного1 0 интеграла.

Интегрируемость непрерывной функции.

48 Основные свойства двойного интеграла. 1 1 Вычисление двойного интеграла через повторные 49 Замена переменных в двойном интеграле. 1 1 50 Двойной интеграл в полярных координатах. 1 1 Замена переменных в тройных интегралах.

52 Криволинейный интеграл, его свойства. 1 1 интегралы, не зависящие от пути.

6. Тематический план для заочной форм обучения 3,5 лет специальности 1 Действительные числа и их свойства. Аксиомати- 1 0 ческое построение. Модуль действительного числа.

Числовые множества. Функции и их свойства.

График функции. Операции над функциями.

Композиция функции, обратная функция.

последовательности. Аксиома непрерывности.

Верхняя и нижняя грань множества.

3 Принцип вложенных отрезков. Предел монотонной 1 0 последовательности. Число “Е”.Теорема БольцаноВейерштрасса.

предел в арифметических операциях. Предел неравенствах.

Односторонние пределы.

множестве. Свойства непрерывных функций.

разрыва монотонной функции.

Равномерная непрерывность. Равномерная непрерывность функции на множестве.

основных элементарных функций.

10 Степенная функция. Показательная функция. 0 1 Логарифмическая функция.

тригонометрические функции.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

производная, дифференциал: геометрический и Непрерывность дифференцируемой функции..

Дифференцирование суммы, произведения, частного.

Производная обратной функции. Таблица производных.

механический смысл. Дифференциалы высших порядков.

исчисления и их приложение к исследованию функций.

Параметрическое задание функций, их дифференцирование. Векторнозначная функция, её дифференцирование.

исчисления их приложения. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

убывания функции в точке и на промежутке.

наименьшее значение функции.

Асимптоты. Применение дифференциального исчисления к построению графиков функций.

восстановления функции по её производной.

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

интегрирование по частям. Интегрирование трансцендентных функций.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

интеграла. Нижние и верхние суммы Дарбу на ограниченной функции. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.

монотонной функции с конечным числом точек разрыва 1 рода.

интеграла. Теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной функции. Формула НьютонаЛейбница. Интегральное определение логарифма.

переменной. Приближенное вычисление интеграла.

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

кубируемого тела, спрямляемой кривой.

Площади плоских фигур в декартовых и полярных координатах, их вычисление.

параллельных сечений. Объём тела вращения и площадь поверхности вращения. Принцип Кавальери.

Определение статистических моментов и координат центра тяжести материальной линии и пластинки. Теоремы Гульдена. Объём тела вращения.

33 Длина дуги, понятие о кривизне плоской 0 1 кривой. Вычисление длины гладкой дуги.

Дифференциал длины дуги. Вычисление площади поверхности вращения. Приложение определенного интеграла к физике.

Несобственные интегралы.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Гармонический ряд. Критерий Коши. Сравнение интегральный признак Коши.

Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Перестановка членов ряда. Теорема Римана.

ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Необходимый и достаточный признаки равномерной сходимости.

37 Теорема Вейерштрасса. Предел равномерно 1 0 сходящихся последовательностей непрерывных функций.

непрерывных функций. Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

39 Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал 1 0 и радиус сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

степенной ряд основных элементарных функций. Тригонометрические ряды Фурье.

41 Действительная функция N действительных 1 1 переменных как функция точки пространства R.

График функции 2-х переменных, линии уровня, скалярные поля, поверхности уровня функции 3х переменных. Векторнозначная функция 3-х переменных. Векторные поля. Предел и непрерывность.

дифференцируемости. Касательная плоскость.

Геометрический смысл дифференциала 2-х переменных. Дифференцирование сложной дифференциала. Производная по направлению.

Градиент.

существовании и дифференцируемости неявной функции. Вычисление частных производных производные высших порядков. Равенство смешанных производных.

Формула Тейлора для функции 2-х переменных.

45 Исследование на экстремум. Определение 1 1 максимума и минимума. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия максимума и значений. Условные экстремумы.

47 Квадрируемые фигуры. Понятие двойного1 0 интеграла.

Интегрируемость непрерывной функции.

48 Основные свойства двойного интеграла. 0 0 Вычисление двойного интеграла через повторные 49 Замена переменных в двойном интеграле. 1 0 50 Двойной интеграл в полярных координатах. 0 0 Замена переменных в тройных интегралах.

52 Криволинейный интеграл, его свойства. 0 1 интегралы, не зависящие от пути.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Действительные числа и их свойства. Аксиоматическое построение. Модуль действительного числа. Числовые множества.

Функции и их свойства. График функции. Операции над функциями.

Композиция функции, обратная функция.

Последовательность, предел последовательности. Аксиома непрерывности.

Верхняя и нижняя грань множества. Принцип вложенных отрезков. Предел монотонной последовательности. Число “Е”.Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Предел функции. Единственность предела, предел в арифметических операциях. Предел композиции. Предельный переход в неравенствах.

Бесконечно малые и бесконечно большие. Односторонние пределы.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Непрерывность композиции функции. Точки разрыва монотонной функции. Свойства непрерывных функций на отрезке.

Равномерная непрерывность.

Элементарные функции. Непрерывность основных элементарных функций: Степенная функция. Показательная функция. Логарифмическая функция. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. Равномерная непрерывность функции на множестве.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Дифференцируемость функции, производная, дифференциал:

геометрический и механический смысл производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций. Дифференцирование суммы, произведения, частного. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Таблица производных.

Производные высших порядков.

Дифференциал, геометрический и механический смысл.

Дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложение к исследованию функций.

Параметрическое задание функций, их дифференцирование.

Векторнозначная функция, её дифференцирование.

Основные теоремы дифференциального исчисления их приложения.

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

Формула Тейлора.

Признаки постоянства, возрастания и убывания функции в точке и на промежутке.

Максимум и минимум. Необходимые и достаточные условия.

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты. Применение дифференциального исчисления к построению графиков функций.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Неопределенный интеграл. Задача восстановления функции по её производной. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование заменой переменной и интегрирование по частям.

Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функций.

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Нижние и верхние суммы Дарбу на ограниченной функции.

Необходимые и достаточные условия интегрируемости.

Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции с конечным числом точек разрыва 1 рода.

Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.

Интеграл с переменным верхним пределом.

Существование первообразной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Интегрирование по частям и заменой переменной. Интегральное определение логарифма. Приближенное вычисление интеграла.

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой кривой.

Площади плоских фигур в декартовых и полярных координатах, их вычисление.

Длина дуги, понятие о кривизне плоской кривой. Вычисление объёмов по площадям параллельных сечений.

Объём тела вращения и площадь поверхности вращения. Принцип Кавальери.

Определение статистических моментов и координат центра тяжести материальной линии и пластинки. Теоремы Гульдена. Объём тела вращения.

Вычисление длины гладкой дуги. Дифференциал длины дуги.

Вычисление площади поверхности вращения. Приложение определенного интеграла к физике.

Несобственные интегралы.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Числовые ряды. Признаки сходимости. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов.

Числовой ряд. Сходящиеся ряды. Гармонический ряд. Критерий Коши.

Сравнение рядов. Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Перестановка членов ряда. Теорема Римана.

Функциональные последовательности и ряды. Область сходимости.

Равномерная сходимость. Необходимый и достаточный признаки равномерной сходимости. Теорема Вейерштрасса. Предел равномерно сходящихся последовательностей непрерывных функций.

Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.

Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Формула и ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций. Тригонометрические ряды Фурье.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Действительная функция N действительных переменных как функция точки пространства R. График функции 2-х переменных, линии уровня, скалярные поля, поверхности уровня функции 3-х переменных.

Векторнозначная функция 3-х переменных. Векторные поля. Предел и непрерывность.

Достаточное условие дифференцируемости. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала 2-х переменных.

Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Производная по направлению. Градиент.

Неявные функции. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции. Вычисление частных производных неявно заданных функций.

Частные производные высших порядков. Равенство смешанных производных.

Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции 2-х переменных.

Исследование на экстремум. Определение максимума и минимума.

Необходимые условия экстремума. Достаточные условия максимума и минимума для функции.

Нахождение наибольших и наименьших значений. Условные экстремумы.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Двойной и тройной интегралы и их применение к вычислению геометрических величин. Криволинейные интегралы и их приложения.

Квадрируемые фигуры. Понятие двойного интеграла.

Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства двойного интеграла.

Вычисление двойного интеграла через повторные.

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

Понятие тройного интеграла. Замена переменных в тройных интегралах.

Криволинейный интеграл, его свойства.

Формула Грина. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути.

Квадрируемые фигуры. Понятие двойного интеграла.

Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства двойного интеграла.

Вычисление двойного интеграла через повторные.

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

Понятие тройного интеграла. Замена переменных в тройных интегралах.

Криволинейный интеграл, его свойства.

Формула Грина. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути.

8. Список основной и дополнительной литературы 1. Д.А.Райков Одномерный математический анализ, М., 2. Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления, М., 3. К.А.Бохан Курс математического анализа, М., т.1, 4. Н.Я. Виленкин Задачник по курсу математического анализа, М., ч.1, 5. Л.Д.Кудрявцев Курс математического анализа 6. Ю.С.Очан Математический анализ, М., 7. Я.С.Бугров, С.М.Никольский Дифференциальное и интегральное исчисление, М., 8. М.К.Гребенча Курс математического анализа, М.,т.2, 9. А.Н.Колмагоров, С.В.Фомин Элементы теории функции и функционального анализа, М., 10.Б.З.Вулих Введение в функциональный анализ, М., 11.И.П.Натансон Теория функции вещественной переменной, М., Наука, 12.Ю.С.Очан Сборник задач по математическому анализу, Просвещение, 13.А.И.Маркушевич Краткий курс теории аналитической функции, М., 14.Б.В.Шабат Введение в комплексный анализ, М.,ч.1, 15.М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат Методы теории функции комплексного переменного, М., 16.М.Б.Балк, В.А.Петров, А.А.Полухин Задачник практикум по теории аналитических функций, Просвещение, 17.Е.Д.Соломенцев Функции комплексного переменного, М., 18.М.Б.Балк и др. Математический анализ, теория аналитических функций, М., 19. В.В.Степанов Курс дифференциальных уравнений, М., Физматиздат, 20.Л.С.Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.,Наука, 9. Требования к уровню освоения программы, виды текущего, В результате изучения данной дисциплины студент должен иметь представление о действительном числе; функции и их основных свойствах; пределе функции и последовательности; производной функции и ее применениях; интеграле, методах их вычисления и приложениях интегралов; числовых и функциональных рядах и их применении в теории и в инженерных вычислениях; иметь представление о ФМП –находить частные производные, уметь исследовать функцию на экстремум, вычислять простейшие кратные и криволинейные интегралы.

Знать методы вычисления пределов, правила дифференцирования, правило Лопиталя, формулу Ньютона-Лейбница, формулу замены переменного, Формулу интегрирования по частям, знать разложения в ряд Тейлора основных элементарных функций, Знать необходимые и достаточные условия экстремума как одной так и многих переменных, знать применении интегралов (в том числе кратных ) в геометрии.

владеть методами вычисления пределов, правилами дифференцирования, правилом Лопиталя, формулой Ньютона-Лейбница, формулой замены переменного, формулой интегрирования по частям, разложениями в ряд Тейлора основных элементарных функций, владеть навыками исследовании функций и построении графиков, владеть навыками вычисления длины дуги, площади фигуры и объема тела.

Вопросы к зачету, экзамену:

1. Действительные числа и их свойства. Аксиоматическое построение.

2. Модуль действительного числа. Числовые множества.

3. Функции и их свойства.

4. График функции. Операции над функциями. Композиция функции, обратная функция.

5. Последовательность, предел последовательности. Аксиома непрерывности.

6. Верхняя и нижняя грань множества.

7. Принцип вложенных отрезков. Предел монотонной последовательности.

8. Число “Е”.Теорема Больцано-Вейерштрасса.

арифметических операциях.

10.Предел композиции. Предельный переход в неравенствах.

11. Бесконечно малые и бесконечно большие. Односторонние пределы.

12.Непрерывность функции в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций.

13.Непрерывность композиции функции. Точки разрыва монотонной функции.

14.Свойства непрерывных функций на отрезке. Равномерная непрерывность.

15.Элементарные функции. Непрерывность основных элементарных функций: Степенная функция. Показательная функция.

Логарифмическая функция.

16.Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции.

17.Равномерная непрерывность функции на множестве.

18.Дифференцируемость функции, производная, дифференциал:

геометрический и механический смысл производной.

19.Непрерывность дифференцируемой функции.

20.Правила дифференцирования.

21.Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций.

22.Дифференцирование суммы, произведения, частного. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

23.Таблица производных.

24.Производные высших порядков.

25.Дифференциал, геометрический и механический смысл.

26.Дифференциалы высших порядков.

27.Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложение к исследованию функций.

1. Параметрическое задание функций, их дифференцирование.

Векторнозначная функция, её дифференцирование.

2. Основные теоремы дифференциального исчисления их приложения. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

3. Правило Лопиталя.

4. Формула Тейлора.

5. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции в точке и на промежутке.

6. Максимум и минимум. Необходимые и достаточные условия.

7. Наибольшее и наименьшее значение функции.

8. Выпуклые функции. Точки перегиба. Асимптоты.

9. Применение дифференциального исчисления к построению графиков функций.

10.Неопределенный интеграл. Задача восстановления функции по её производной.

11.Первообразная функции и неопределенный интеграл.

12.Основные свойства неопределенного интеграла.

13.Таблица интегралов.

14.Интегрирование рациональных функций.

15.Интегрирование заменой переменной и интегрирование по частям.

16.Интегрирование простейших иррациональных и трансцендентных функций.

17.Определенный интеграл.

18.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

19.Нижние и верхние суммы Дарбу на ограниченной функции.

20. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.

21.Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции с конечным числом точек разрыва 1 рода.

22.Основные свойства определенного интеграла.

23.Теорема о среднем.

24.Интеграл с переменным верхним пределом.

25.Существование первообразной функции.

26.Формула Ньютона-Лейбница.

27.Интегрирование по частям и заменой переменной.

28. Интегральное определение логарифма.

29.Приближенное вычисление интеграла.

30.Понятие квадрируемой фигуры, кубируемого тела, спрямляемой кривой.

31.Площади плоских фигур в декартовых и полярных координатах, их вычисление.

32.Длина дуги, понятие о кривизне плоской кривой.

33. Вычисление объёмов по площадям параллельных сечений.

34.Объём тела вращения и площадь поверхности вращения. Принцип Кавальери.

35.Определение статистических моментов и координат центра тяжести материальной линии и пластинки.

36.Теоремы Гульдена. Объём тела вращения.

37.Вычисление длины гладкой дуги.

38.Дифференциал длины дуги.

39.Вычисление площади поверхности вращения.

40.Приложение определенного интеграла к физике.

41.Несобственные интегралы.

1. Числовые ряды.

2. Признаки сходимости.

3. Функциональные последовательности и ряды.

4. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов.

5. Числовой ряд. Сходящиеся ряды.

6. Гармонический ряд. Критерий Коши.

7. Сравнение рядов. Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.

8. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

9. Перестановка членов ряда. Теорема Римана.

10.Функциональные последовательности и ряды. Область сходимости.

11.Равномерная сходимость. Необходимый и достаточный признаки равномерной сходимости. Теорема Вейерштрасса.

12.Предел равномерно сходящихся последовательностей непрерывных функций.

13.Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

14.Интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

15.Степенные ряды.

16.Теорема Абеля.

17.Интервал и радиус сходимости.

18.Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

19.Формула и ряд Тейлора.

20.Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.

21.Тригонометрические ряды Фурье.

22.Действительная функция N действительных переменных как функция точки пространства R.

23.График функции 2-х переменных, линии уровня, скалярные поля, поверхности уровня функции 3-х переменных.

24. Векторнозначная функция 3-х переменных.

25. Векторные поля. Предел и непрерывность.

26. Достаточное условие дифференцируемости.

27.Касательная плоскость.

28.Геометрический смысл дифференциала 2-х переменных.

29.Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы 1го дифференциала.

30.Производная по направлению. Градиент.

дифференцируемости неявной функции.

32.Вычисление частных производных неявно заданных функций.

33.Частные производные высших порядков.

34.Равенство смешанных производных.

35.Дифференциалы высших порядков.

36.Формула Тейлора для функции 2-х переменных.

37.Исследование на экстремум. Определение максимума и минимума.

38.Необходимые условия экстремума.

39.Достаточные условия максимума и минимума для функции.

40.Нахождение наибольших и наименьших значений.

41.Условные экстремумы.

1. Двойной и тройной интегралы и их применение к вычислению геометрических величин.

2. Криволинейные интегралы и их приложения.

3. Квадрируемые фигуры.

4. Понятие двойного интеграла.

5. Интегрируемость непрерывной функции.

6. Основные свойства двойного интеграла.

7. Вычисление двойного интеграла через повторные.

8. Замена переменных в двойном интеграле.

9. Двойной интеграл в полярных координатах.

10. Понятие тройного интеграла.

11. Замена переменных в тройных интегралах.

12. Криволинейный интеграл, его свойства.

13. Формула Грина.

14. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути.

15. Квадрируемые фигуры.

16. Понятие двойного интеграла.

17. Интегрируемость непрерывной функции.

18. Основные свойства двойного интеграла.

19. Вычисление двойного интеграла через повторные.

20. Замена переменных в двойном интеграле.

21. Двойной интеграл в полярных координатах.

22. Понятие тройного интеграла.

23. Замена переменных в тройных интегралах.

24. Криволинейный интеграл, его свойства.

25. Формула Грина. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути.

Перечень курсовых работ:

1. Выпуклые функции и их свойства 2. Функциональные определители и их свойства 3. Касание кривых между собой 4. Неявные функции. Некоторые приложения теории неявных функций 5. Возвратные последовательности 6. Числа Фибоначчи 7. Признаки делимости 8. Решение задач на условный экстремум 9. Уравнение колебаний струны 10.Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера 11.Решение уравнения колебаний струны методом Фурье 12.Уравнение теплопроводности 13.Предел последовательности. Теорема Штольца 14.Алгебра матриц: основные определения; степени матриц; рациональные функции матриц 15.Алгебра матриц: норма матриц; предел матрицы, матричные ряды 16.Решение систем линейных уравнений 17.Ортогонализация матриц, решение систем линейных уравнений методами ортогонализации 18.Применение производной для решения задач повышенной трудности ( на материале школьного курса математики) 19.Целые функции и их свойства 20.Неявные функции. Некоторые приложения теории неявных функций 21.Суммирование расходящихся рядов 22. Принцип сжимающих отображений.

23. Метрические пространства.

24. Геометрия гильбертова пространства.

25. Полные метрические пространства.

26. О некоторых приложениях дифференциального исчисления.

27. О некоторых приложениях дифференциальных уравнений.

28. Число е и постоянная Эйлера.

29. Двойные и повторные ряды.

30. Бесконечные произведения.

31. Формула Стирлинга.

32. Основные типы уравнений математической физики.

Вывод и решение уравнения колебаний.

33. Основные типы уравнений математической физики.

Вывод и решение уравнения теплопроводности.

34. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей.

35. Распространение тепла в неограниченном стержне.

36. Общий вид линейных непрерывных функционалов в пространстве.

37.Обратные линейные операторы.

38. Формула суммирования Пуассона.

39. Задача Кеплера и ряды Бесселя.

40. Теорема смещения.

41. Теорема о дифференцировании изображения. Примеры.

42. Теорема о дифференцировании оригинала. Примеры.

43.Асимптотические ряды и их приложения.

44.Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.

45. Методы решения систем дифференциальных уравнений.

46.Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений.

47.Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов.

48.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

49.Формула суммирования Эйлера и Абеля.

50.Бесконечные определители.

51.Уравнение Лапласа и связанные с ним краевые задачи.

52.Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.

53.Операционное исчисление и его основные понятия.

54.Свойство линейности оператора Лапласа.

55.Теорема смещения.

56.Некоторые приложения определенных интегралов.

57.Некоторые приложения дифференциального исчисления.

58.Уравнения в полных дифференциалах. Способы построения общего интеграла.

59.Интегрирование линейных уравнений с переменными коэффициентами.

Сведения о переутверждении программы на очередной учебный год и регистрации изменений по схеме:

Учебный Решение Внесенные Номера листов (страниц) Изме Номера листов(стр.) Всего Номера Подпись Дат Срок

КУРС ЛЕКЦИЙ

Лекция №1. Аксиома непрерывности действительных чисел.

- существует.

- любой.

] – пусть.

- рассмотрим.

N – натуральные числа.

Z – множество целых чисел.

Q, p N, q Z - множество рациональных чисел IR – множество действительных чисел.

Тема: Аксиома непрерывности действительных чисел.

Пусть, – 2 непустых множества ]X, Y.

Точка c - точка двух разных множеств и.

Тогда c Q, такое, что a c b.

По условию a b.

К обеим частям неравенства прибавили a : 2a a b a (1).

К обеим частям неравенства прибавили b : a b 2b b (2).

Из выражений (1) и (2) следует, что:

Вывод:

Между любыми двумя рациональными числами существует бесконечное множество других рациональных чисел. То же самое можно сказать о множестве всех действительных чисел.

Определение:

Абсолютной величиной числа а (обозначается | a |) называют неотрицательное число, удовлетворяющее условию:

| 3 | 3.

| 4 | (4) 4.

10. Выражаемые равенством.

Из выражений (3) и (4) следует, что a a x a a x.

II.

Из выражений (5) и (6) следует, что (если равны правые части, то равны и левые).

Из выражений (7) и (8) следует, что Из выражений (9) и (10) следует, что Из выражений (11) и (12) следует, что Доказать самостоятельно.

20. Выражаемые неравенством.

Дано:

Доказать:

Пусть Из выражений (1) и (2) следует, что b a b.

Пусть Из выражений (4) и (5) следует, что b a b.

Дано:

Доказать:

Модуль суммы не превосходит суммы модулей этих слагаемых.

Запишем 2 легко проверяемых неравенства:

Из II следует,что.

Модуль суммы превосходит модуль разности модулей этих слагаемых.

Лекция №2. Расширенное множество действительных чисел. Числовая ось.

a a - соответствие.

a – произвольно выбранное действительные число. Числу a можно поставить в соответствие точку числовой оси a.

Такая точка a - единственная на числовой оси.

Обратно, точка с координатой a a можно поставить в соответствие точку a.

Такое соответствие между множеством действительных чисел R и множеством точек числовой прямой называется взаимнооднозначным.

Это позволяет считать синонимами понятия «число» и «точка».

Если к множеству действительных чисел R присоединить символы,, то получится так называемое множество расширенных действительных чисел, которое обозначается R.

А для числовой прямой, - бесконечно удаленные точки. Прямая с такими точками называется расширенной числовой прямой.

Числовой промежуток – множество действительных чисел, определенных таким образом:

Множество действительных чисел, удовлетворяющих условию:

a, b x IR, a x b, называется отрезком.

[a, b) x IR, a x b - полуинтервал.

[a, b) - полуинтервал.

Отрезок, полуинтервал, интервал называются промежутками.

Если a, b R, то промежуток называют конечным.

Если a =, или b =, то промежуток называют бесконечным.

Например, ;2 - бесконечный промежуток.

Если a, b R, то a и b называют концами промежутка.

a и b – конечные.

Число x, удовлетворяющее условию: a x b, называется внутренней точкой промежутка.

b a - длина конечного промежутка.

Определение: -окрестностью точки a называется следующий интервал:

Любой интервал вида ; a называется окрестностью, а интервал a; называется окрестностью.

Лекция №3. Числовые множества: ограниченные и неограниченные. Точные границы Определение 1.

Число b называют верхней границей множества X, если x b, при любом x X. При этом множество X называется ограниченным сверху.

Определение 2.

Число a называется нижней границей множества X, если x a, при любом x X. В этом случае множество X называется ограниченным снизу.

Определение 3.

Множество X называется ограниченным, если оно ограничено и сверу, и снизу.

Если множество ограничено сверху, то оно имеет бесконечное множество верхних границ, а если множество ограничено снизу, то оно имеет бесконечное множество нижних границ.

Определение 4.

Число называют точной верхней границей множества X,если - наименьшая из всех верхних границ этого множества. Обозначается так: Supx Supremum.

Определение 5.

Число называют точной нижней границей множества X, если -наибольшая из всех нижних границ этого множества. Обозначается так: inf x inf imum.

Примеры:

Sup2;4 4, inf 2;4 2.

Вывод:

Точки границ множества X могут как принадлежать множеству X, так и ему не принадлежать.

Множество N,2,3,... ограничено сверху,но не ограничено снизу.

Множество Q вообще не ограничено.

Теорема S.

Supx для того,чтобы выполнялись условия:

Небходимость.

Дано:

Supx Доказать:

1 и 2.

Доказательство от противного:

Предположим, что ; не содержит элементы из множества X является верхней границей множества X, и так как, то пришли к противоречию: так как - наименьшая из всех верхних границ не может быть верхней границей.

Следовательно, ; обязан содержать хотя бы одну точку множества X.

Достаточность.

Дано:

1 и 2.

Доказать:

Supx.

Из пункта 1 ( по условию): x, x X - верхняя граница.

Доказать, что она наименьшая.

Однако, если предположим, что число 1 - тоже есть верхняя граница множества X.

Пусть 1, тогда ; не содержит точек множества X, что противоречит пункту - наименьшая верхняя граница множества X.

Теорема 1.

Для того, чтобы inf x :

Доказать самостоятельно.

Теорема о существовании точных границ множества.

Если множество ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю границу. Если оно ограничено снизу - имеет точную нижнюю границу.

Дано:

X - ограничено сверху.

Доказать:

Всё множество верхних границ множества X обозначим, тогда по определению верхней Любые элементы из множества X не могут превышпть верхней границы. Тогда по аксиоме о непрерывности действительных чисел существует такое число, что x y, x X, y, так как x, а при x X - есть верхняя граница множества X. А так как y при y - наименьшая из всех верхних границ множества.

Аналогично доказывается существование точки нижней границы.

Доказать самостоятельно.

Определение системы числовых отрезков:

a1 ; b1, a2 ; b2, an ; bn,... называют системой вложенных отрезков, если Теорема А.

Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы.

a1, a 2,... a n,..., множество состоит только из левых концов системы.

b1, b2,...bm,..., множество состоит только из правых концов системы.

Согласно пункту 10 имеем, что a n bm, m, n N.

По аксиоме о непрерывности действительных чисел существует такое число c, что Определение:

Говорят, что длины вложенных отрезков системы a n ; bn стремятся к нулю, если для N такое, что:

Определение:

Система вложенных отрезков называется стягивающейся системой вложенных отрезков, если длины отрезков системы стремятся к нулю.

Теорема В.

Для стягивающейся системы вложенных отрезков сущесвует единственная точка c всем отрезкам системы.

Доказательство:

Так как a n ; bn, то по теореме А, существует по крайней мере одна точка c a n ; bn, n N. Докажем, что она единственная.

Однако предположим, что d c, d, c a n ; bn, n N.

Для конкретной ситуации выберем n N, n N и отразим на рисунке:

Так как по условию система стягивающаяся, то для 0, N | bn a n, n N.

c и d -фиксированные точки (числа), для каждой конкретной системы.

c d -неотрицательное число, которое меньше наперёд заданного любого положительного числа.

Только 0 из всех неотрицательных чисел меньше любого положительного числа Пришли к противоречию, так как c d - по условию, что и доказывает теорему, то есть c единственная точка, которая принадлежит всем отрезкам системы.

Замечание.

Из данной теоремы следует, что SupA inf B c.

b1, b2,...bm,....

Так как bn c, n N - ограничено снизу.

Объединим (3) и (4) в одно неравенство:

Из последнего неравенства следует:,c, принадлежат всем отрезкам системы, чего быть не может, так как только точка c a n ; bn все три точки совпадают a1 a 2 a3... - возрастающая последовательность.

b1 b2 b3... - невозрастающая последовательность.

Лекция №4. Определение функции, последовательности функции.

Пусть дано и ( в соответствии f (закон f )), по которому x X ставит в соответствие единственный элемент y, называемый функцией или отображением y f x.

y 0 - образ элемента x 0, x 0 - прообраз, x - независимая переменная, аргумент, y - зависимая переменная, функция, - область задания функции.

Всё множество образов образует E f функции.

Возможны следующие случаи:

Множество состоит только из образов, не содержит посторонних элементов.

f - множество отображено на множестве.

1. Когда образу y соответствует более одного прообраза.

Сюръекция - отображение «на».

2. Каждому прообразу множества соответствует единственный прообраз из множества Биекция: говорят, что между множествами и устанавливается взаимооднозначное соответствие с помощью отображений f.

3. Множество содержит «посторонние» элементы, которые не являются образами.

Инъекция - отображение «в».

Лекция 5.Последовательность. Предел последовательности.

Определение:

Последовательностью называют функцию, определённую на множестве натуральных чисел.

..........

..........

Где a1, a 2, a3,... a n - набор элементов занумерованных чисел, образующих числовую последовательность.

a n - общий элемент (член) последовательности.

a n - задаёт формулировку и тем самым задаёт саму последовательность.

an 1 - колеблющаяся последовательность.

-1 и 1 имеют бесконечную кратность.

0 имеет бесконечную кратность, а остальные члены стремятся к нулю.

0- предел последовательности.

Определение:

Последовательность называется ограниченной, если существует конечный интервал (отрезок), содержащий все члены последовательности.

1,4,9,16,…, n,…- неограниченная последовательность.

a1 0, a 2 1, a3 0,... - ограниченная последовательность.

Определение:

Предел последовательности a n.

a называют пределом последовательности a n, если:

Пусть lim n Так как a a n a, n N, то a ; a содержит все члены последовательности, начиная с какого - то номера, а именно: n N 1 произвольно выбранная окрестность точки a содержит бесконечное множество членов числовой последовательности.

Вне же окрестности содержатся разве лишь члены последовательности такие: a1, a 2, a3,... a N - множество конечное.

Вывод:

Если a - предел последовательности, то произвольно выбранная окрестность точки a содержит почти все члены последовательности - все, за исключением, быть может, конечного множества членов этой последовательности.

В этом и состоит геометрический смысл предела последовательности.

Теорема 1.

Если последовательность a n имеет конечный предел, то она ограничена.

Для доказательства теоремы воспользуемся геометрическим смыслом.

a p - самый первый левый элемент.

a q - самый правый последний.

[ a p ; a q ] - конечный, содержит все члены последовательности a n - ограничена сверху и снизу.

Определение.

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся.

Теорема 2.

Если последовательность имеет предел, то он единственный.

По условию: lim a n a, a R.

Надо доказать, что такой предел единственный.

Пусть N N1 ; N 2 ( N -наибольшее из данных чисел) следовательно (1) и (2) выполняются для N n.

Запишем очевидное тождество:

Получили противоречие, следовательно сходящаяся последовательность имеет один предел.

Определение:

Последовательность a n называется бесконечно малой, если lim a n 0.

lim n 0, c const 0 n - бесконечно малая.

Определение:

Определение:

Определение:

Определение:

Если lim a n, то последовательность называется бесконечно большой.

Теорема 1.

Пусть lim a n 0, Тогда:

10. c n a n bn -бесконечно малая: сумма бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2 0. c n a n bn - бесконечно малая:

произведение бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

30. Пусть lim a n 0, bn - ограничена.

Тогда:

c n a n bn - бесконечно малая.

10. По условию lim a n 0 и limbn Учитывая 10, проведём оценку:

c n -бесконечно малая.

2 0. По уловию:

30. Дано:

Доказать:

c n a n bn - бесконечно малая.

Учитывая второе, производим оценку:

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.

Пусть lim a n 0.

Тогда:

bn - бесконечно большая.

Если lim a n (б/б), то:

bn - бесконечно малая.

Дано:

Доказать:

bn 1 - беконечно большая последовательность.

бесконечно большая.

Теорема. (Критерий сходимости числовой последовательности).

lim an a, a | R, необходимо и достаточно, чтобы имело место тождество:

Необходимость.

Дано:

lim an a.

Доказать:

Учитывая равенство (2) получим: a n a n (3), где n - бесконечно малая.

Достаточность.

Дано:

Доказать:

lim an a.

Из соотношений (4) и (5) следует:

Теоремы о пределе суммы, произведения и частного сходящихся последовательностей.

Пусть lim a n a, limbn b, a, b R, тогда:

n n n - бесконечно малая.

a n bn a b n, n - бесконечно малая. Из достаточного условия следует:

малые величины.

a n -бесконечно малая.

b n -бесконечно малая.

n n -бесконечно малая.

n - бесконечно малая как сумма трёх бесконечно малых.

Лемма:

- ограничена, начиная с некоторого номера.

Учитывая (4) произведём оценку:

a a n, n N начиная с некоторого номера - ограничена.

Для доказательства частного используем лемму. Для этого произведём оценку разности:

Где n - бесконечно малая, n - бесконечно малая.

По лемме: - ограничена.

Итак, правая часть (5) есть произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой последовательности n, значит правая часть -бесконечно малая.

Обозначим правую часть (5) через n.

n, где n - бесконечно малая, n n - бесконечно малая.

Определение 10.

Последовательность вида:

1. a1 a 2 a3...a n... называется неубывающей a n.

Определение 2 0.

Последовательность вида:

2. a1 a 2 a3... a n... называется строго возрастающей a n.

Определение 30.

Последовательность вида:

3. a1 a 2 a3... a n... называется невозрастающей a n.

Определение 4 0.

Последовательность вида:

4. a1 a 2 a3... a n... называется строго убывающей a n.

Все последовательности 1-4 монотонные.

a1 2, a 2, a3, a 4,... строго убывающая последоательность a1 0, a 2, a3,...- строго возрастающая последоательность Теорема Вейерштрасса.

10. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.

2 0. Если последовательность строго возрастает и не ограничена сверху, то её предел равен.

30. Если последовательность строго убывает и не ограничена снизу, то её предел равен.

1. Дано:

a n и ограничена сверху.

Доказать:

lim a n, a n -сходящаяся и lim a n = Supa n a.

a n -последовательность.Обозначим всё множество членов последовательности: a n бесконечная и ограничена сверху.

Пусть a Supa n. По теореме S :

Так как последовательность неубывающая, то a N a n, n N (3).

(для случая ограниченной снизу последовательности).

10. Дано:

a n и огрантчена снизу.

Доказать:

lim an = inf a n.

Доказать самостоятельно, используя теорему I.

2. Дано:

a n и не огрантчена сверху.

Доказать:

Так как Так как 30. Дано:

a n и не огрантчена снизу.

Доказать:

Доказательство аналогичное (доказать самостоятельно).

Доказать, используя неравенство Бернулли:

Рассмотрим последовательность xn снизу.

Заменим в (1) « n » на « n 1 »:

xn Итак:

Теперь докажем, что последовательность ограничена снизу.

снизу.

x n строго убывает и ограничена снизу, следовательно, по теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет конечный предел.

Докажем, что lim1 e.

Доказано, что e - трансцендентное число, то есть оно не являетя корнем никакого алгебраического уравнения.

e 2,7182818281 59045...

e 2, Теорема.

Дано:

an, bn, cn.

Доказать:

liman limbn c limcn c.

Тогда неравенства (2) и (3) выполняются n N одновременно.

Из соотношений (1), (2), (3):

Определение:

Последовательность a n называют фундаментальной, если:

Теорема. (Критерий Коши).

Для того, чтобы последовательность a n была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость.

Дано:

Доказать:

a n - фундаментальная.

Пусть: m N, тогда из (1) a m a. (2).

Учитывая (1) и (2) проведём оценку модуля разности:

Достаточность:

Дано:

a n - фундаментальная.

Доказать:

Доказать самостоятельно.

Определение.

x1, x 2, x3,... x n, x n 1,.... (1). Выберем возрастающую последовательность номеров: n1 n2 n3... nk.... Им соответствует (2) x n1, x n2,..., x nk,... из последовательности (1).

Последовательность (2) называется подпоследовательностью (1).

Теорема.

Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Так как x n ограничена, то существует отрезок 0 a 0,b0, содержащий все элементы этой последовательности.

Через 1 a1,b1 обозначим ту половину 0, который содержит бесконечное множество членов последовательности. И пусть x1 1 и x n1 x n.

Пусть 2 a 2,b2 есть полвина 1, которая содержит конечное множество элементов последовательности.

Пусть 3 a3,b3 есть полвина 2, которая содержит конечное множество элементов последовательности x n.

указанному выше закону.В результате получим:

2 0. Длина k Из 10 и 2 0 имеем стягивающюся систему, следовательно существует точка c, принадлежащая всем отрезкам системы c a k ; bk k N.

Из 3 0 x nk - подпоследовательность последовательности x n (по определению).

Надо доказать, что последовательность x n сходящаяся.

По теореме Вейерштрасса (см. замечание):

Учитывая (2) и (3) и теорему о переходе к пределу неравенства, получим:

limak limbk lim xn c xn - сходящаяся.

Определение:

бесконечное множество элементов из Пример:

4;5.

Любая внутренняя точка этого полуинтервала есть предельная точка.

Точка 4 также является предельной, но множетву не принадлежит.

Точка 5 также является предельной, но принадлежит множеству.

Определение:

Пусть есть область опеределения функции f x.

x 0 - предельная точка множества Число b называется пределом функции f x в точке x x0, если:

Это определение на языке ", ".

Обозначение:

Итак, пусть x 0 - предельная точка множества Число b называется пределом функции f x в точке x x0, если для любого положительного числа существует положительное число такое, что при любом x из множества удовлетворяет условию: 0 x x0, выполняется неравенство:

Переведём данное определение с языка ", " на язык " окрестност ".

Число b называется пределом функции f x в точке x 0, если для произвольно выбранной окрестности точки b существует проколотая V b; выбрана произвольно.

Данное определение раскрывает геометрический смысл предела функции в точке.

Определение:

Пусть x 0 - предельная точка множества.

есть область опеределения функции f x.

Число b называется пределом функции f x в точке x x0 по Гейне, если для произвольно выбранной последовательности : x1, x 2,..., x n,... всеxn | lim x n x0, Теорема.

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны.

Дано:

lim f x b (по Коши).

Доказать:

lim f x b (по Гейне).

По условию Из геометрического смысла предела последовательности x0 ; x0 содержит все члены последовательности x n, начиная с некоторого номера, то есть x n x0 ; x0, n.

Дано:

lim f x b (по Гейне).

Доказать:

lim f x b (по Коши).

Доказать самостоятельно.

Если предел функции существует, то он единственный.

Пусть lim f x b.

Однако предположим, что lim f x c.

Так как Так как Произведём оценку, учитывая (1) и (2):

0 b c, b c 0 b c - противоречие предел единственный.

1) 1.1. Свойства предела. Сохранение знака функции.

Пусть 1. 2. Переход к пределу в неравенствах.

Теорема о пределе «зажатой» функции.

1.3. переход к пределу в арифметических операциях.

Доказать самостоятельно (доказательство по Гейне («Г»).

2. По свойству предела последовательности: для xn :

2) Предел на бесконечности.

2.1. Окрестность бесконечно удалённой точки.

2.2. Определение № 1 (по Гейне).

10. - предельная точка.

10. + - предельная точка.

1) lim 2) lim 3) lim 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение № 2.

Определение № 3 (по Гейне).

Теорема о связи б/м и б/б функций.

Необходимость.

Дано:

Доказать:

Достаточность.

Дано:

Доказать:

Доказать самостоятельно.

2) lim Теорема 1.

Тогда Так как Теорема 2.

Доказать, что b 0.

Предподожим, что b 0, тогда b 0 b 0.

Доказывается аналогично.

Доказать самостоятельно.

Следствие из теоремы 2.

Тогда Определение:

Число b называют правым боковым пределом функции f x в точке x x0, если:

Определение:

Число b называют левым боковым пределом функции f x в точке x x0, если:

lim Теорема (критерий).

Для того, чтобы чтобы существовали боковые пределы (оба) функции f x в точке x 0 и оба были равны числу Необходимость.

Дано:

Доказать:

Из соотношения (1) в частности следует, что:

Достаточность.

Дано:

Доказать:

Лемма.

ABC, сектор OAB, OCB.

Лемма 2.

lim cos x 1.

limV 0, lim x 0.

Теорема.

По лемме 1 (см. (4)):

cos x, По теореме о пределе зажатой функции:

Лекция №9. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции.

Определение:

Функция f x назывется непрерывной в точке x x0, если выполняются 3 условия:

10. f x определена в точке x x0.

Из 10 - 30 следует необходимый и достаточный признак непрерывности функции в точке, а именно:

Если f x0 0 f x0 f x, то функция непрерывна слева в точке x 0.

Если f x0 0 f x0 f x, то функция непрерывна справа в точке x 0.

Введём обозначение:

x x x0, где x - приращение аргумента функции f x в точке x 0. x x0 x.

f x0 - приращение функции в точке x 0, вызванное приращением аргумента в этой точке.

Теорема (критерий).

Для того, чтобы функция f x была непрерывна в точке x x0 необходимо и достаточно, чтобы lim f x0 0.

Необходимость.

Дано:

lim f x f x 0, то есть функция f x непрерывна в точке x 0.

Доказать:

По условию:

Достаточность доказать самостоятельно.

Определение:

Точка x 0 называется точкой разрыва функции f x,если каким - либо образом не выполняется условие:

Возможны следующие случаи:

где A x 0 - значение функции в точке. (1).

Из (1) следует:

В этом случае Разрыв можно устранить, если доопределить функцию:

Таким образом, достаточно изменить значение функции лишь в первой точке.

Предел функции в точке x 0 не существует. В этом случае x 0 называют точкой разрыва функции первого рода.

Продолжим процесс поиска точек.

Если на «k – том» шаге f(сk) = 0, то теорема доказана.

В противном случае f(сk) 0, для k = 1, 2, 3, … (процесс получения точек k и точек сk бесконечный).

В итоге по построению получим:

30. На концах отрезка k фунуция принимает значения разных знаков, то есть f(ak) f(bk) < 0, для k = 1, 2, 3, … Из пунктов 10 и 20 имеем систему стягивающуюся систему вложенных отрезков.

Пусть с k, для k = 1, 2, 3, …, то есть точка принадлежит всем отрезкам системы.

Докажем, что f(с) = 0.

Предположим, что f(с) 0.

Так как с a, b функция f(х) непреравна в точке с, при этом f(с) 0 по предположению.

По локальному свойству непрерывности сужествует достаточно малая точки с, в которой функция сохраняет знак.

V(c; ).

Например, если f(с) > 0, то f(х) > 0, для х V(c; ) a, b.

Так как длина k = 0, при k, то для достаточно большого номера k длина:

принимает значения разных знаков (по построению), f(с) = 0, где с a, b.

Вторая теорема больцано-Коши (о промежуточных значениях функции).

Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке a, b.

f(а) = А.

f(b) = B.

Пусть С: А < С < B. (1) Тогда существует точка х0 a, b, такая, что f(х0) = С.

Пусть х0 a, b f(х0) = С.

Введём в рассмотрение вспомогательную фунуцию (х) = f(х0) – С, где Очевидно,что (х) непрерывна на a, b, как разность непрерывных функций.

Найдём:

(а) = f(а) – С А – С < 0 (из (2)) (4) (b) = f(b) – С B – C > 0 (из (2)) (5) Таким образом, (х) непрерывна на отрезке a, b и на его концах принимает значения разных знаков (см. (4) и (5)). Следоветельно, по предыдущей теореме существует точка х0 такая, что (х0) = 0. (6) Из (3) и (6) следует, что (х0) = f(х0) – С = 0 f(х0) = С.

Из теоремы следует,что A, B - значения функции f(х).

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть f(х) определена на множестве Х.

Y – множество значений функции f(х).

Y может быть как ограничено, так и не ограничено.

Если Y ограничено и сверху, и снизу, то говорят, что ограничена на множестве Х.

Если Y ограничено сверху, то существует точная верхняя граница:

Если Y ограничено снизу, то существует точная нижняя граница:

= Inf Y.

При каком условии выполняется всё выше перечисленное?

На этот вопрос отвечает Первая теорема Вейерштрасса.

Теорема.

Если функция f(х) непрерывна на отрезке a, b, то f(х) ограничена на этом отрезке.

Докажем, что множество Y ограничено.

Предположим, что f(х) не ограничена на отрезке a, b (значит, Y не ограничено).

Пусть с0 – середина отрезка a, b Пусть 0 = a, b.

Пусть 1 = a1,b1 - это та половина 0, на которой функция f(х) не ограничена.

Пусть 2 = a 2,b2 - это та половина 1, на которой функция f(х) не ограничена.

Пусть 3 = a3,b3 - это та половина 2, на которой функция f(х) не ограничена.

Итак, поиск бесконечен.

В результате по построению получим:

30. На каждом из k функция f(х) не ограничена.

Из 10, 20, 30 следует, что мы имеем стягивающуюся систему вложенных отрезков k.

Пусть точка с принадлежит всем отрезкам данной системы.

Очевидно, что с a, b f(х) непрерывна в точке с.

По первому локальному свойству непрерывности f(х) будет ограничена в достаточно малой окрестности точки с:

Так как длина k 0, при k, то при достаточно большом номере k длина k <.

И так как точка с k, то k полностью содержится в окрестности точки с.

Пришли к противоречию,так как в (с - ; с + ) функция ограничена, а k содержится в этой окрестности, а f(х) на нём не ограничена. Следовательно, f(х) ограничена на a, b.

Вопрос: будут ли точные границы Y принадлежать множеству Y?

Если да, то при каком условии?

На этот вопрос отвечает Вторая теорема Вейерштрасса.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Если функция f(х) непрерывна на a, b, то множество значений Y содержит точные границы.

По предыдущей теореме:

так как Y – множество ограниченное.

Надо доказать, что:

точка х0; точка х1 a, b, такая, что f(х0) =, f(х1) =.

Рассмотрим случай существования таких точек х1.

Предположим, что f(х) <, для х a, b, то есть предположим, что не существует х - f(х) - непрерывна на a, b, как разность непрерывных функций.

Рассмотрим вспомогательную функцию (х) = Так как - f(х) > 0, для х a, b (1), то (х) – непрерывна на отрезке a, b. Следовательно, по первой теореме Вейерштрасса (х) ограничена на a, b.

Пусть В – верхняя граница функции (х), её множеставо значений, тогда, для х a, b есть верхняя граница множества Y, чего не может быть, так как В наименьшая граница.

Пришли к противоречию, следовательно, точка х1 a, b, f(х1) = = Sup Y.

х1 a, b, такое, что f(х1) = Inf Y = х2 a, b, такое, что f(х2) = Sup Y = Так как на a, b функция непрерывна, то она непрерывна и на x1, x 2. Тогда по Второй теореме Больцано – Коши функция принимает все значения от f(х1) до f(х2) или, другими словами, принадлежащие f ( x1 ), f ( x 2 ), - только значения функции.

Таким образом, отрезок, состоит только из значений функции.

- наименьшее значение f(х) на отрезке a, b, - наибольшее значение f(х) на отрезке a, b.

m = min f(х) на отрезке a, b, M = max f(х) на отрезке a, b.

Теорема Кантора.

Определение:

Говорят, что функция f(х) непрерывна на множестве Х, если для ( > 0) ( > 0) ( Теорема Кантора.

Если функция f(х) непрерывна на отрезке a, b, то она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Следствие из теоремы Кантора.

x1 < x2 < … < xk-1 < … < xn = b разобьём на n отрезков вида:

Такое разбиение отрезка a, b обозначается Т a,b.

Введём обозначение: x k = x k - xk-1, k 1, n (длина отрезка).

Определение.

Пусть M = max f(х) на отрезке a, b, Тогда разность M - m называется колебанием функции f(х) на данном отрезке a, b и обозначается:

a,b Пусть f(х) непрерывна на отрезке a, b.

Тогда по теореме Кантора:

Для этого разбиения введём обозначение:

Где k - колебение функции f(х) на отрезке x k.

Тогда по определению k = Mk - mk = f ( xk ) - f ( xk ), ( xk, xk ) < (1).

Вывод: для любого разбиения Т a,b, у которого, колебаний функции f(х)на каждом отрезке x k может быть сделано меньше заданного числа.

Теорема.

Пусть функции f(х) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда:

10. F1(x) = f(х) - g(x), 20. F2(x) = f(х) g(x), 30. F3(x) = тогда F1(x), F2(x), F3(x) – непрерыные функции.

Задание: 10 и 20 рассмотреть самостоятельно.

Докажем 30.

lim f ( x) = f(х0), Pn(x) – непрерывная функция, как конечная сумма непрерыавных функций.

F(x) есть отношение непрерывных функций, поэтому функция F(x) будет непрерывна во всех точках, кроме тех, которые обращают знаменатель в 0.

Докажем, что функция y = cos x всюду непрерывна. Для этого воспользуемся:

lim cos x = 1.

Если lim f ( x) 0, то f(х) – непрерывная функция.

Из этого следует, что функция y = cos x в точке х0 непреравна. Точка х0 выбрана произвольно.

limsin x 0.

limsin x 0.

Функция y sin x непрерывна, так как sin x cos x, x.

Функция y tgx непрерывна, так как tgx Пусть функция y f (x) определена на, а - область значений функции f (x), при этом f (x) биективно (взаимнооднозначно) отображает множество на множество.

На множестве определим функцию следующим образом: каждому y из поставим в соответствие x из (единственные), такие, что:

Таким образом, определили функцию на множестве со значениями на множестве.

Определённую таким образом функцию называют обратной функцией по отношению к Пусть даны графики функций y f (x) и x f 1 ( y ).

В x f 1 ( y ) произведём переобозначения:

x заменим y, а y - x.

Получим: y f 1 ( x).

Эта функция также будет обратной для функции y f (x).

a, b и b, a симметричны относительно y x.

Теорема.

Если функция y f (x) строго возрастает (убывает) на отрезке a, b и непрерывна на отрезке a, b, то эта функция имеет обратную функцию, также строго возрастающую (строго убывающую) и непрерывную в области определения.

Некоторые свойства строго монотонных функций, непрерывных на отрезке a, b.

Теорема.

Если функция f (x) строго возрастает на отрезке a, b, то для точки x0 a, b, имеет место неравенство:

Замечание.

Из неравенства () следует, что если x 0 - точка разрыва, то это разрыв 1- ого рода.

Из неравенства () следует, что f (x) в x 0 имеет оба боковых предела.

Однако предположим, что боковые пределы равны.

Из неравенства () следует, что f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 ) x0 - точка монотонная, что противоречит условию.

Если f (x) строго возрастает (строго убывает) на отрезке a, b, то каждая точка разрыва есть неустранимая точка разрыва 1-ого рода.

Определение.

Пусть функция y f (t ) непрерывна на множестве, а функция t (x) непрерывна на.

- область значений для функции t (x) и область определения для функции y f (t ).

Тогда функция y f ( ( x)) ( x), x называется сложной функцией.

y sin( x 2 1) - сложная функция.

Теорема.

Пусть задана сложная функция: y f (t ), где t (x) y f ( ( x)), и (x) непрерывна в точке x0 0, и y f (t ) непрерывна в точке t 0 (t 0 ( x0 )). Тогда y f ( ( x)) непрерывна в точке x 0.

По условию функция y f (t ) непрерывна в точке t 0, где 4. m a 6. a 0.

Выполним все свойства, записанные выше, и добавим к ним следующие свойства:

Теорема (ещё одно определение степени с рациональным показателем).

Пусть lim rn, где и r1, r2,..., rn,... - рациональные числа.

позволяют по-другому определить степень с рациональным показателем:

Пусть ( rn ) - сходящаяся последовательность рациональных чисел, причём lim rn.

Тогда - рациональное число) есть предел последовательности (a rn ), то есть lim a Это определение и позволяет дать определение степени с рациональным показателем.

сходящаяся последовательность рациональных чисел, сходящихся к иррациональному числу.

Из этого определения 10 – 90.

2 : 1;1.4;1.41;1.414,...

Функция y a, a 0, a 1 определена на,.

Теорема.

Доказать, что если x1 x 2, то Пусть a 0.Произвольным образом выберем rn, lim rn x, rn Q (свойства показательной функции). Тогда по определению a lim a n.

Теорема 2.

Тогда a x 1.

Произвольным образом выберем возрастающую сходящуюся последовательность положительных рациональных чисел, сходящихся к x.

rn 0, lim rn x, rn Q, Если же Теорема 3.

Если a 1, то a x в области определения.

Если a 1, то a x в области определения. То есть функция строго монотонная.

Пусть По условию Теорема о непрерывности показательной функции.

a x непрерывна в области определения. Произвольным образои выберем x x0 R и Функция докажем, что a x непрерывна в точке x 0.

Для доказательства воспользуемся критерием:

Для данного случая: f x 0 a Докажем, что lim x 0.

Пусть a 1.

Так как a 1, то из (2), (3) Из (2), (5) Тогда a a Вернёмся к равенству (1):

Теорема 5.

Пусть lim a lim a Доказать самостоятельно, учитывая предыдущее доказательство.

Теорема об области значения показательной функции.

Интервал 0, есть область значения показательной функции.

Пусть a 1.

lim a функция может принимать как угодно большие значения.

0 функция может принимать значения как угодно близкие к нулю справа.

lima Пусть y 0 0,.

Так как функция может принимать как угодно большие и малые значения, то существуют числа Так как a на отрезке x1, x 2 и непрерывна, то по Второй теореме Вейерштрасса функция функции.

ya.x, - область определения.

0, - область значений.

a x непрерывна в области определения.

По теореме о существовании обратной функции функция a x имеет обратную функцию, определённую на множестве 0,, с областью значений,, непрерывную и строго монотонную в области определения (для a 1, для 0 a 1 ).

Если произвести переобозначение: x заменить y, а y - x, то получим: y log a x, И графики функций будут симметричны относительно y x.

7) log a x непрерывна в области определения.

Определение.

Теорема 1.

Функция Функция Пусть 0 (воспользуемся известным тождеством).

Докажем, что x1 x 2.

Пусть 0 (воспользуемся известным тождеством).

Доказать самостоятельно, что x 2 x1 x.

Теорема 2.

Функция ln x непрерывна в области определения 0,, e t непрерывна при t.

e ln x непрерывна в области определения 0, (см. теорему о непрерывности сложной функции).

Теорема 3 (поведение функции в нуле и на бесконечности).

Пусть 0 lim x Доказать самостоятельно утверждение теоремы для 0.

1. Функция y arcsin x.

Функция y sin x определена в промежутке X ;, а область её значений Y 1;1.

Каждому значению y из промежутка 1;1 отвечает бесконечное множество знфункция ачений x. На промежутке ; функция y sin x возрастает и непрерывна, следовательно она имеет обратную функцию, также строго возрастающую и непрерывную. Её обозначают x arcsin y.

D y 1;1 - область определения.

E y ; - область значений.

Обычно рассматривают лишь одну её « ветвь», отвечающую изменению x между и.

Произведём преобразование: y arcsin x, где:

2. Функция y arccosx.

Функция имеет x. На промежутке x 0; и y 1;1 :

Здесь её обратная функция y arccosx 1 x 1.

Для выделения однозначной ветви её подчиняют условию:

График y arccosx :

D y 1;1 -область определения.

E y 0; -область значения.

3.Функция y arctgx.

Она получается путём поворота 1800 вокруг биссектрисы первого координатного угла графика функции y tgx. За главное значение arctgx принимают то из значений многозначной функции, которое удовлетворяет неравенствам:

4. Функция y arccctgx.( x ).

Её главное значение определяется неравенствами: 0 arcctgx.

Определение:

Точку x x0 функции f x называют стационарной, если f x 0 0.

f x 0, x a; b, где a; b -промежуток стационарности.

Стационарные точки заполняют некоторый промежуток.

Функция будет строговозрастающей, если f x 0.

Функция будет строгоубывающей, если f x 0.

Дифференциальные исчисления функции одной переменной.

Существует две задачи, приводящие к понятию производной функции.

Задача 1. (Задача о скорости в данный момент времени t).

Пусть материальная точка движется по прямой вдоль оси OX по закону S=S(t), т.е. в момент времени t точка пройдет путь S. Необходимо найти скорость точки в момент времени t, когда она находилась в положении М 0.

V(M 0 )=V(t).

Пусть точка находится в положении М 0 через время t, а в точке М – через время (t+ t), т.е.

точка прошла отрезок М 0 М за время скорость на участке М 0 М.

ОМ=S(t+ t),ОМ 0 =S(t) М 0 М=S(t+ t) – S(t)= S V(M 0 ) V с р. (значение тем точнее, чем меньше t).

- абсолютная погрешность, значение погрешности стремится к 0, если t стремится к 0.

Этот факт позволяет дать определение скорости материальной точки в данный момент времени.

Определение. Скоростью движения материальной точки в данный момент времени t называют предел средней скорости на участке М 0 М, когда t 0.

Вывод. Чтобы найти скорость движения материальной точки в момент времени t, нужно вычислить предел (2).

Задача 2. Задача об угловом коэффициенте касательной.

Определение. Касательной к кривой в точке М 0 называют предельное положение секущей М 0 М, когда точка М вдоль кривой стремится к совпадению с точкой М 0.

На основе этого определения найдем значение углового коэффициента касательной к графику функции в точке М 0 (x 0,y 0 ).

Рассмотрим М 0 МВ K=tg (4) Вывод. Чтобы найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику в точке М 0 (x 0, y 0 ), нужно вычислить предел (3).

Запишем уравнение прямой, проходящей через точку, координаты которой (x 0, y 0 ), с заданным k.

y = k(x-x 0 ) + y 0, т.к. k = tg =f(x 0 ), получим уравнение :

Определение. Правой боковой производной функции f(x) в точке x 0 называется следующий предел:

Определение. Левой боковой производной функции f(x) в точке x 0 называется следующий предел:

Определение. Производной функции в точке x 0 называют следующий предел:

Очевидно, для того чтобы производная функции в точке существовала необходимо и достаточно чтобы существовали правая и левая боковые производные. Если это условие не выполняется, то производная в точке не существует.

Если правая и левая боковые производные для функции существуют, но их значения не равны между собой, то производная в точке также не существует.

Производная не существует, если хотя бы одна из боковых производных не существует или ее значение равно бесконечности.

Производная показательной функции.

Производные тригонометрических функций.

Производная обратной функции.

Теорема. 1) Пусть y = f(x), x = g(y) Точке y 0 дадим приращение y, тогда функция получит приращение: x = =g(y) Точке x 0 дадим приращение x, которое определено по формуле (1). Тогда функция y = f(x) получит приращение: y f ( x0 x) f ( x0 ) (2) Заметим, что графики y = f(x) и x = g(y) совпадают, тогда: ~ y.

Учитывая этот факт, запишем очевидное тождество (3) В соотношении (3) есть отношение приращения функции x = g(y) в точке y 0 к вызвавшему его приращению y. - отношение приращения функции y = f(x) в точке x 0 к вызвавшему его приращению x.

lim Из (1) и (2) следует, что x0, при y Производная логарифмической и обратных тригонометрических функций.

2) y=arcsin x Sin y = x (обратная функция) x y Cosy x 3) (arccos x) 4) (arctgx) Теорема. Если y = f(x) имеет производную в точке x = x 0, то функция непрерывна в точке x f ( x0 ) Lim f ( x0 ) lim f ( x0 )x lim (x)x 0 - необходимое и достаточное условие для того, чтобы функция была непрерывна в точке x 0.

Теорема. y = f(t), t = (x) производную:

lim Функция f(t) имеет производную, т.е. она непрерывна в точке t 0, аналогично (x) непрерывна в точке x 0.

(1), (2) y0, при t В равенстве (*) поделим обе его части на x:

По условию lim Учитывая равенства (3) и (4), перейдем к пределу, при x0:

Определение. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x = x 0, если приращение этой функции f ( x 0 ) можно записать в виде:

f ( x0 ) Ax (x)x (*), где А не зависит от выбора x, (x) – бесконечно малая функция в точке x=0.

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке x = x 0 необходимо и достаточно, чтобы существовала производная этой функции в точке x 0.

1.Необходимое условие.

По условию f ( x0 ) Ax (x)x, 0, при x 0. Поделим обе части этого равенства на x:

По теореме о связи функции с ее пределом получим:

2. Достаточное условие.

получим:

x: f ( x0 ) f ( x0 )x (x)x A f ( x0 ) (4) ( f ( x0 ) - число, не зависящее от выбора x).

Замечание. (3), (4) если функция дифференцируема в точке x 0, то в равенстве (*) Понятия дифференцируемости и производной – синонимы.

Определение. Линейная часть равенства (*) относительно x называют дифференциалом функции в точке и обозначают:

Поэтому иногда выгодно писать вместо x dx и наоборот.

x0.

Этот факт позволяет записать равенство: f ( x0 ) df ( x0 ) (1) f ( x0 ) df ( x0 ) - абсолютная величина погрешности,тем меньше, чем меньше x.

Операции с дифференциалом: дифференциал суммы, произведения, частного.

Y = f(x) – дифференцируемая функция на множестве X, т.е. f (x), при x X.

f (x) - производная первого порядка.

Производной второго порядка называют производную производной первого порядка.

( f ( x)). Аналогично следующие порядки: f (3) ( x) ( f ( x))x, f n ( x) ( f n 1 ( x))x.

Производные 2, 3,... порядка называют производными высших порядков.

Y = f(x) – дифференцируемая функция, имеет производную всех порядков до n включительно. Тогда dy f ( x)x (1) – дифференциал первого порядка. dy зависит от двух переменных: от выбора x, от точки x. Но если зафиксировать x, то dy будет зависеть только от одной переменной x.

Определение. Дифференциалом второго порядка функции называют дифференциал от дифференциала первого порядка, при зафиксированном x:

Дифференциалы 3,4 порядка определяются аналогично:

Инвариантность формы дифференциала первого порядка.

y = f(x) – дифференцируемая функция dy f ( x)x f ( x)dx (1) Пусть задана сложная функция y = f(t), где t = (x), xX, tT.

y = f((x))Ф(x) (2) x – независимая переменная, t – промежуточная переменная.

Найдем дифференциал dy, используя (2): dy ( f ( ( x)))x dx (3) По правилу дифференцирования сложной функции получим:

( f ( ( x)))x f x f t y tt (4). Подставляя значения из равенства (4) в равенство (3), получим:

dy f (t )dt Сравним правые части равенств (1) и (5) и увидим, что форма дифференциала первого порядка совпадает с формой дифференциала первого порядка по промежуточной переменной t. В этом и состоит инвариантность формы дифференциала переменной x.

1) dx – дифференциал независимой переменной;

2) dt – дифференциал функции (t).

Замечание. Дифференциалы высших порядков свойствами инвариантности не обладают.

Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X и во внутренней точке x 0 этого промежутка имеет наибольшее или наименьшее значение, тогда производная этой функции равна 0.

Рассмотрим случай, когда функция в точке x 0 принимает наибольшее значение, предположим, что f ( x0 ). Докажем, что f ( x) 0.

Найдем знак отношения:

Перейдем в этом неравенстве к пределу:

пусть x1, то ряд расходится.

Пример 5.6. Исследовать сходимость ряда Решение. Применим признак Лейбница. Так как Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Так как сходится.

Пример 5.7. Исследовать сходимость ряда 1 2 3 4 5....

Решение. Составим ряд из абсолютных величин 1 2 3 4 5....

Этот ряд бесконечно убывающая геометрическая прогрессия U, следовательно, данный ряд сходится, причем абсолютно.

сходимости функционального ряда. Каждому значению из области сходимости Х соответствует определенное значение величины lim U n ( x). Эту величину называют суммой функционального ряда и обозначают через S (x).

некоторой области X, если для каждого сколь угодно малого числа 0 находится такое целое положительное число N, что при n N выполняется неравенство Rn (x) для любого где U n (x) - непрерывные функции (n 1,2,3,...), есть непрерывная функция.

Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда – признак Вейерштрасса:

Если функции U1 ( x), U 2 ( x),..., U n ( x)... по абсолютной величине не превосходят в a1 a2 a3... an... сходится, то функциональный ряд U1 ( x) U 2 ( x) U 3 ( x)... U n ( x)... в этой области сходится равномерно.

Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов выполняется согласно следующим теоремам.