«Э К С П Е Р И М Е Н ТА Л Ь Н Ы Е ЗАДАЧИ НА УРОКАХ ФИЗИКИ И ФИЗИЧЕСКИХ ОЛИМПИАДАХ Москва Издательство МЦНМО 2009 УДК 53 (023) ББК 22.3я721 + 74.262.22 В18 Поддержано Департаментом образования г. Москвы в рамках программы ...»

С. Д. Варламов

А. Р. Зильберман

В. И. Зинковский

Э К С П Е Р И М Е Н ТА Л Ь Н Ы Е

ЗАДАЧИ

НА УРОКАХ ФИЗИКИ

И ФИЗИЧЕСКИХ

ОЛИМПИАДАХ

Москва

Издательство МЦНМО

2009

УДК 53 (023)

ББК 22.3я721 + 74.262.22 В18 Поддержано Департаментом образования г. Москвы в рамках программы «Одарённые дети»

Варламов С. Д., Зильберман А. Р., Зинковский В. И.

В18 Экспериментальные задачи на уроках физики и физических олимпиадах.— М.: МЦНМО, 2009. — 184 с.

ISBN 978-5-94057-467- Открытая вами книга адресована школьным учителям физики и тем ученикам старших классов, которым интересна настоящая, реальная (конкретная, крутая и т. д.) экспериментальная физика. Полезна эта книга будет и студентам первых курсов физических отделений вузов. Возможно, её будут использовать и организаторы школьных физических олимпиад разных уровней.

В первой части книги рассматриваются простые методы измерений различных физических величин, способы оценки погрешностей измерений, приёмы, позволяющие получить приемлемую (максимальную в данных условиях) точность измерений при ограниченных экспериментальных возможностях.

Во второй части книги описаны многочисленные экспериментальные задачи для физических олимпиад, значительная часть которых была предложена авторами. Большинство задач давались на экспериментальных турах Московской городской олимпиады в разные годы. Приведены условия задач, рекомендации для организаторов олимпиады по задачам, примерные решения этих задач.

ББК 22.3я721 + 74.262. © Варламов С. Д., Зильберман А. Р., Зинковский В. И., 2009.

© МЦНМО, 2009.

ISBN 978-5-94057-467-

ВВЕДЕНИЕ

По большому счёту обучение ведётся для того, чтобы «научившийся» мог применять свои знания на практике.

Поэтому важнейшим элементом обучения является практическое использование тех приборов и методов измерений, которые уже изучены школьниками.

Традиционно при изучении физики эксперименты разделяются на две большие группы: демонстрационные эксперименты, выполняемые обычно учителем, и практические (экспериментальные) работы, выполняемые школьниками самостоятельно.

Демонстрационные эксперименты нужны в следующих случаях.

1. Когда нужно познакомить учеников с физическими явлениями и обстоятельствами, послужившими отправной точкой для формулировки основных физических законов их первооткрывателями. Как известно, обнаруженные при наблюдениях закономерности обобщаются и формулируются в виде соответствующих «законов природы». Иногда такие «законы» получают имена своих первооткрывателей, например всем известный закон Архимеда, или закон Кулона. Все законы физики имеют практическую основу — они являются обобщением опыта.

2. Когда рассматривается устройство и принципы действия измерительных приборов, основанных на различных физических явлениях. Приборов, которые позволяют измерять различные физические параметры, гораздо больше, чем основных физических законов. И хотя у каждого прибора имеется свой автор, то есть тот человек, который первым предложил и реализовал конструкцию прибора, имена авторов обычно не сообщаются школьникам. Внимание этому вопросу (авторству) уделяется только при изучении истории физики.

3. При изучении сложных технических устройств или процессов, в которых используются в комбинации различные физические явления.

4 Введение Практические самостоятельные экспериментальные работы тоже могут быть разделены на группы по назначению.

1. Качественные эксперименты: соберите — включите — посмотрите — зарисуйте — сделайте вывод (словесная формулировка). Такие эксперименты нужны для непосредственного ознакомления с физическими явлениями. Например, в таком эксперименте проверяется «закон сообщающихся сосудов».

2. Количественные эксперименты: соберите — измерьте — вычислите — постройте график — запишите результат в тетрадь. Этот тип экспериментов предназначен для выработки навыков применения простейших измерительных приборов и оформления экспериментальных работ. Например, эксперимент, в котором регистрируются различные удлинения одной и той же пружины, если на ней подвешены разные грузы, относится к этому типу.

3. Творческие эксперименты: дан некий набор оборудования, которое можно использовать в эксперименте, дан объект исследования, сформулирована конечная цель, однако не даны чёткие однозначные инструкции, следуя которым можно было бы добраться до конечной цели.

Именно последний тип экспериментальных творческих работ в подробностях рассматривается на страницах книги.

Работы этого типа «заставляют» учеников самостоятельно искать пути, ведущие к конечному результату, разрабатывать план действий, учитывать возможности предоставленных приборов и оборудования и добиваться получения максимально возможной точности не за счёт высокой точности приборов, а за счёт того, что выбран оптимальный метод измерений.

Такие работы позволяют ученикам реализовывать и развивать свои творческие способности, которые в других видах учебной деятельности используются в малой степени.

Предлагая серию экспериментальных заданий для школьников 9—11 классов, мы ставим целью дать им возможность освоить простые методы измерений различных физических величин, научить корректно (и без привлечения непонятных математических методов) оценивать погрешности измерений и на этой основе искать оптимальные методики и разумно организовывать эксперимент. Почти все предлагаемые задания рассчитаны на применение предельно простого оборудования, вполне доступного для кабинета физики в школе.

Точность получаемых результатов должна достигаться в эксперименте за счёт удачного выбора методики, а не за счёт применения фантастически точных (и столь же дорогих) заграничных приборов. В большинстве предлагаемых работ нет «наилучшего метода измерений» — такой метод обычно бывает продиктован наличием заранее собранной хитроумной измерительной установки, методы можно придумывать, комбинировать и сравнивать по достигаемой точности и удобству проведения эксперимента — именно в этом и заключается смысл обучения умению измерять. Во многих из предлагаемых задач не так легко додуматься не только до оптимальной, но и вообще до какой-нибудь «работающей» методики — тут у разумных и быстро соображающих школьников есть явное преимущество перед учителями (авторы не исключают из этой категории и себя — в справедливости приведённого утверждения они многократно убеждались за суммарные на всех авторов 70 лет работы с одарёнными детьми).

Работа 1. Измерение массы, размеров и плотности тел Цель работы — проделать простые измерения массы и размеров тел, определить плотности этих тел. Часть тел — простой и правильной формы (цилиндр, параллелепипед), часть — произвольной формы. На этих примерах показано, как оценить точность получаемых результатов. Работа носит тренировочный характер — никаких принципиальных трудностей при измерениях нет.

Приборы: весы и разновес, линейка металлическая (деревянная, на худой конец — пластмассовая), по возможности — штангенциркуль, мерная мензурка, нитки, сосуд с чистой водой. Металлический цилиндр (можно грузик из набора по механике), деревянный параллелепипед, пластиковая или металлическая фигурка неправильной формы — для измерений плотности материалов.

Выполнение работы: для тел простой формы выполнение понятно и описано во множестве пособий — измеряют размеры и по ним рассчитывают объём тела (сразу стоит сказать, что это не самое разумное решение для получения приемлемой точности — оптимальный метод ниже будет описан), массу тела измеряют при помощи весов — точность измерений массы получается очень высокой, далее находят плотность тела простым делением. Для тел неправильной формы прямые измерения размеров для нахождения объма не проходят — нужно воспользоваться мерной мензуркой, правда точность при этом получается довольно плохой.

Главная причина плохой точности — неточность определения объёма как прямым способом — для тел правильной формы, так и при помощи погружения в воду (рис. 1).

после быстрого после медленного погружения с волнами аккуратного Подробно о точности измерений и возникающих при таких измерениях погрешностях написано в разделе «Погрешности».

Работа 2. Оценка времени реакции экспериментатора Немного странное по форме задание: оценить время реакции экспериментатора при помощи простейшего оборудования — деревянной школьной линейки длиной 30 сантиметров. Опыт следует проводить вдвоём.

На самом деле задание можно поставить и иначе — не ограничивать экспериментаторов конкретным заданием оборудования, поскольку время реакции довольно мало — оно составляет 0,1—0,3 секунды, и обычным секундомером измерить его нельзя (мешает то же время реакции!). Либо придётся пользоваться электронным секундомером, добавляя к нему несложные электронные или электромеханические приставки, либо нужно придумать что-нибудь нетривиальное. Условие задачи поставлено не очень жёстко — экспериментатор может сам предложить определение «времени реакции», приспособленное к придуманному им методу измерений. В нашем случае разумно предложить такой вариант:

заметив какое-то событие (стимул), человек должен на него отреагировать, и время запаздывания мы будем считать искомым временем реакции. Конечно, всё тут нужно сделать так, чтобы не добавить к времени реакции ничего лишнего — действие экспериментатора, которым он реагирует на стимул, не должно само занимать значительного времени — скажем, тут не годится запись в журнал наблюдений времени прихода стимула. Предлагаемый автором вариант выглядит так:

помощник держит линейку так, что она свисает вниз, причём нулевое деление удобно иметь снизу. Экспериментатор держит большой и указательный палец правой (левой — если он левша) руки так, что нижний конец линейки находится между пальцами и ему легко схватить падающую линейку.

Помощник неожиданно отпускает линейку, экспериментатор зажимает её двумя пальцами так быстро, как сумеет. Линейка успеет пролететь некоторое расстояние — его можно измерить по её же делениям, удобно вначале держать пальцы напротив нулевого деления линейки. По этому расстоянию определим время падения, считая движение линейки равноЧасть ускоренным. Важно, чтобы экспериментатор держал пальцы поближе друг к другу, не касаясь при этом линейки.

Важно понять, что результаты такого эксперимента нуждаются в статистической обработке. Обычное расстояние, которое пролетает линейка, составляет 14—22 см, но в части опытов экспериментатор, зазевавшись, вообще не ловит линейку, а иногда ему удаётся «подстеречь» помощника и поймать линейку практически сразу. Ясно, что ни тот, ни другой результат не имеют прямого отношения к времени реакции (хотя — как посмотреть!), поэтому такие результаты мы просто отбросим. Проведём достаточно длинную серию измерений — несколько десятков, очень хорошо сделать несколько серий, меняясь местами с помощником (разумеется, результаты каждого участника нужно учитывать отдельно!).

Модификации этого опыта могут быть такими — испытуемый держит глаза закрытыми и должен отреагировать на звуковой сигнал, синхронизированный с моментом отпускания линейки. Сигналом может служить резкое изменение частоты звукового сигнала или прикосновение к его руке.

Во всех случаях среднее время реакции будет по порядку величины одним и тем же, но может отличаться весьма существенно (до 50%).

На этом примере можно объяснить ребятам способы улучшения точности оценки измеряемой величины за счёт усреднения «разбросанных» результатов. В самом деле — будем полагать, что есть некоторое характерное время реакции данного экспериментатора и множество факторов, которые искажают результат, одни факторы занижают, другие — завышают оценку измерения. Ясно, что при усреднении значительного числа измерений мы уменьшим ошибку определения интересующей нас величины. Куда более сложный вопрос — в какой степени у нас это получится. Только при определённых (и довольно искусственных!) предположениях о характере влияющих на измерение факторов можно это улучшение посчитать. В частности, если факторов много, влияние их независимо и они примерно одинаковы по влиянию на результат, их сумму можно считать гауссовой случайной величиной. Широко распространённые методы расчёта «стандартного отклонения среднего» основаны именно на такой модели. Насколько она разумна? Ну, если речь идёт о хорошей лабораторной установке, где причины больших возможных ошибок устранены и остались только неустранимые флюктуации, то такая модель вполне подходит. А вот в «школьном» эксперименте с не очень точными и никогда не проверяемыми приборами предположение о гауссовой случайной погрешности вовсе не является разумным и часто приводит к очень заниженным оценкам погрешностей. В нашем случае измерений «с линейкой» сама по себе измеряемая величина не очень чётко определена, поэтому мы не вычисляем погрешность её измерения, а просто уменьшаем влияние факторов разброса.

Работа 3. Измерение силы, необходимой для обрыва нити При помощи простого оборудования — небольшой гирьки (100—200 г) и миллиметровой бумаги определить силу, необходимую для обрыва нити, которая тоже, разумеется, экспериментатору выдана, причём в достаточном количестве — 2—3 метра. Есть ещё остро заточенный карандаш, который можно использовать только для рисования.

Проблема состоит в том, что вес груза явно недостаточен для обрыва нити и не очень понятно, как из этого положения выходить. Кстати, первым делом ребята предлагают не очень подходящие для культурных измерений варианты — вращать гирьку с помощью привязанной к ней нити в горизонтальной, а то и в вертикальной плоскости, увеличивая скорость вращения до тех пор, пока нить не оборвётся. Как при этом без секундомера определять скорость груза, неясно, неясен и более важный в данном случае вопрос — куда полетит гирька после обрыва нити. Ещё один не очень хороший вариант — отпускать гирьку с некоторой высоты, чтобы нить рвалась при резкой остановке груза. Тут не очень ясно, чему будет равна сила при рывке, — это принципиальная трудность при таком способе измерений.

Идея приемлемого варианта измерений основана на разложении сил. Подвесим груз к середине куска нити и начнём растягивать концы куска в стороны. При равновесии груза суммой сил натяжения с двух сторон точки подвеса. Можно измерить угол, составляемый частями нити с вертикалью Рис. 2 На практике удобно провести вертикальную линию посредине и сделать на ней отметки пожирнее, чтобы они были лучше видны. Растягивать нить будем так, чтобы она проходила через две отмеченные точки — если лист миллиметровки у нас перед глазами и мы растягиваем нить на его фоне, то всё видно очень хорошо. Нам же останется только не пропустить отметку на вертикальной прямой, до которой поднялся груз перед самым обрывом нити. Все необходимые для расчёта отрезки будут на миллиметровке, для нахождения косинуса угла вовсе не понадобится измерять транспортиром сам угол — можно всё найти по отношению отрезков, а их можно измерить при помощи небольшого куска той же миллиметровой бумаги.

Ещё несколько существенных моментов. Прочность нити очень сильно меняется из-за наличия даже небольших дефектов — поэтому не стоит цеплять грузик непосредственно крючком к нити (удобно использовать груз с крючком из набора по механике), лучше сделать из куска нити промежуточную петлю из нескольких витков. Не стоит завязывать узелок на «основной» нити или предварительно её растягивать — усилие обрыва может сильно измениться. Растягивать нить следует осторожно и не торопясь, но решительно. Не годится растянуть, не доводя до обрыва, отпустить немного, а потом уже потянуть сильно, нельзя и дёргать — даже несильно.

При аккуратном выполнении, повторении опыта несколько раз и усреднении полученных результатов можно получить совсем неплохую точность — во всяком случае, вполне достаточную для сравнения нескольких разных нитей по этому параметру (красивая постановка опыта: какая нить легче рвётся — белая, чёрная или коричневая?).

На идее разложения сил можно основать и множество других экспериментальных задач. Пример — проградуировать пружинку (резинку) для измерения различных сил, используя только один грузик. Пример выполнения этой работы:

подвесим груз на нити, на небольшом расстоянии от груза прикрепим к нити один из концов пружинки и потянем её в сторону, оставляя всё время горизонтальной. Горизонтальность пружинки и её удлинение можно контролировать и измерять при помощи куска миллиметровки, укреплённого на стене.

Этот способ особенно точен при малых силах растяжения пружинки. Если же груз лёгкий, а пружинка тугая и предназначена для существенно больших сил, то удобнее подвесить груз на пружинке и отводить его в сторону при помощи горизонтально расположенной нитки. Перед тем как давать подобный эксперимент школьникам, полезно упомянуть (конечно, не прямо перед самой задачей) о возможности использования разложения сил в практической ситуации — например, разобрать известную проблему вытаскивания бегемота из болота при помощи прочной верёвки и расположенного рядом дерева. Без этого догадаться ребятам будет очень трудно.

Работа 4. Измерение веса небольшого куска бумаги Измерить вес небольшого куска миллиметровки (или купюры 10 руб). Использовать можно монетку достоинством 1 копейка (они ещё существуют и имеют массу ровно 1 г), круглый незаточенный карандаш и собственно кусок миллиметровой бумаги — он должен иметь форму прямоугольника, его размер удобно взять 5 15 сантиметров.

Проще всего взвесить кусок бумаги на весах, но их использовать нельзя — в списке оборудования весы отсутствуют.

Наличие монеты известной массы подсказывает способ с применением рычага — но в данной ситуации ничего похожего на рычаг нет — карандаш плохо подходит для этой цели, да и применять его можно только для рисования — в условии это специально оговорено. Единственная вещь, из которой можно попробовать сделать рычажные весы, — сам кусок бумаги.

Правда он совсем мягкий и гнётся — но это не беда, его можно сложить в несколько раз, сделать полоску и отогнуть края.

Получится этакий «швеллер» из бумаги — довольно жёсткий и лёгкий. Эту полоску можно уравновесить на пальце, на карандаше, на ещё одной конструкции, изготовленной из бумаги, и т. п. Важно только точно отметить положение прямой, относительно которой наступает равновесие. Дальше можно поступить таким образом: укрепить монетку на краю полоски и снова её уравновесить. Все расстояния можно измерять прямо по миллиметровым отметкам на полоске, смещение двух осей равновесия и длина прямоугольной полоски дают возможность рассчитать отношение масс полоски и монетки, т. е. найти массу бумажки. Разумеется, полезно сделать несколько измерений при разных положениях монеты относительно полоски.

На рис. 3 показаны силы, действующие на бумажный швеллер со стороны других тел: монеты, карандаша, Земли.

Если сравнить результаты грамотно проведённых измерений и результат прямого взвешивания на точных весах — после окончания работы очень полезно вынуть из шкафа весы и дать ребятам возможность оценить точность полученных ими результатов, — точность получается довольно хорошей, погрешность составляет порядка 3—5%. Вообще интересны способы, которые подходят для взвешивания совсем лёгких тел — зёрна риса, таракана — отдельная проблема возникает, если таракан ещё жив, — и т. п.

Работа 5. Исследование маятника Исследование математического и не вполне математического маятников. Задача состоит из нескольких отдельных маленьких исследований: какие факторы влияют на скорость затухания колебаний, как меняется период колебаний при увеличении угловой амплитуды, как можно получить характер зависимости периода от длины нити, если не разрешается пользоваться секундомером.

Математический маятник — это абстракция, модель. Приблизиться к этой модели можно, уменьшая размеры тела на конце нити, уменьшая массу нити по сравнению с массой тела, снижая затухание колебаний. Менее массивная нить сильнее растягивается в сравнении с толстой нитью из того же материала. Удлинение нити меняется во время колебаний. При проходе грузом нижнего положения (положения равновесия) длина нити наибольшая, а при максимальном отклонении от положения равновесия нить имеет наименьшую длину. Период колебаний (время между двумя последовательными прохождениями груза положения равновесия в одну сторону) при увеличении угловой амплитуды колебаний увеличивается как для идеального математического маятника, так и для реального маятника. Дополнительное увеличение периода реального маятника происходит за счёт растяжения нити, поэтому экспериментально полученная зависимость периода колебаний от амплитуды не вполне совпадает с известной зависимостью, описываемой чисто кинематической формулой.

На периоде колебаний сказывается и трение. Причин для затухания колебаний несколько — сопротивление воздуха обычно даёт наибольший вклад. Ещё одной причиной увеличения затухания является «ёрзание» нити в точке подвеса — укреплять нить следует аккуратно, добиваясь подвеса в точке. Важно и то, как прикреплён к нити грузик, — и в этом месте может выделяться тепло. Но есть и другие причины.

Как сделать маятник из нити и грузика, чтобы затухание получилось поменьше?

Поговорим об этом немного подробнее. Роль сопротивления воздуха можно снизить, увеличивая кинетическую энергию системы за счёт утяжеления грузика и выбирая нить потоньше, чтобы снизить лобовое сопротивление. Однако при этом сильнее выражен ещё один фактор — тяжёлый груз заметно растягивает тонкую нить. Растяжение нити при раскачивании груза периодически увеличивается и уменьшается, и при этом выделяется теплота. Очень интересен вопрос о том, какое отношение к изменению амплитуды имеет такое выделение тепла — вроде бы это всё силы внутренние, и они не должны влиять на колебания. С другой стороны, если тепло выделяется, то амплитуда обязана уменьшаться — это следует из закона сохранения энергии. Как разрешить этот парадокс?

Идея понятна: тепло выделяется в нити при наличии относительного движения закреплённого конца нити и грузика (в идеальном маятнике расстояние между ними не должно изменяться!). Если принять за начало отсчёта расстояние между точкой закрепления нити и грузом в том случае, когда колебания отсутствуют, то при колебаниях расстояние между ними растёт, когда нить натянута с силой, большей mg, и укорачивается, когда сила натяжения нити меньше mg.

При этом груз движется, и вектор его скорости v составляет с направлением действующей на него со стороны нити силы F угол, не равный 90, то есть мощность, развиваемая этой силой (F v), не равна нулю. В среднем за период работа этой силы отрицательна, то есть запас механической энергии маятника с каждым периодом уменьшается. Аккуратное рассмотрение довольно сложно — лучше остановиться вовремя, пока в этом вопросе почти всё ясно.

При тщательном изготовлении такого маятника затухание получается небольшим — амплитуда уменьшается вдвое за 20—30 колебаний. Тут можно устроить забавное соревнование — кто из ребят сделает маятник с наименьшим затуханием. Результаты легко наблюдать при прямом сравнении сделанных маятников (стоит заранее оговорить приблизительную величину периода).

Точные измерения можно проводить только с таким маятником, у которого затухание мало. Для измерений необходимо использовать секундомер. Точность измерений периода колебаний при использовании одного-двух десятков колебаний получится хорошей, если разумно проделать измерения.

Чтобы скомпенсировать ошибки «нажатия», придётся отвести маятник и отпустить его, после этого нажать секундомер в момент прохождения нижней точки (в этом положении скорость максимальна и точность фиксации момента получается наилучшей), после чего выждать заданное число периодов и остановить секундомер точно в той же фазе колебаний.

В этом случае частично компенсируется ошибка, связанная с временем реакции наблюдателя. Кроме того, ошибки будут «разложены» на несколько периодов.

Если же нас интересует не точное значение периода, а влияние параметров маятника на период, тут возможны измерения и без использования секундомера. Способ таких измерений не очевиден, однако вполне доступен разумному школьнику (в том смысле, что он сможет не только его использовать, но и самостоятельно до него додуматься, возможно, с небольшими подсказками). Идею способа проще всего рассмотреть на конкретном примере.

Предположим, что нам нужно узнать, во сколько раз отличаются периоды колебаний маятников при различии длин нитей на 10%. Один из маятников будем считать опорным.

Маятник с длинной нитью при колебаниях отстаёт от маятника с короткой нитью. Начнём счёт колебаний в тот момент, когда, например, оба маятника проходят свои положения равновесия в одной фазе, — считаем колебания опорного маятника до тех пор, пока фазы колебаний снова не совпадут.

При этом число периодов колебаний короткого маятника окажется на единицу меньше и отношение периодов сразу найдётся. Кстати, не обязательно ограничиваться разностью в один период — можно взять и больше, тут всё ограничено только затуханием колебаний.

Этот способ обеспечивает очень хорошую точность — и без всяких секундомеров. С его помощью можно выяснить и влияние увеличения амплитуды на период (малые колебания маятника изохронны, при увеличении угловой амплитуды период увеличивается, хотя и ненамного — для измерения малых изменений периода понадобятся точные измерения).

Сделаем вначале два одинаковых маятника и добьёмся хорошего совпадения периодов при одинаковых начальных амплитудах отклонения нитей от положений равновесия.

Немного изменяя длину нити одного из них, будем отводить их от положения равновесия и отпускать одновременно. Если один маятник отстаёт от другого, немного укоротим его нить, и т. д. После того как получено хорошее совпадение периодов при одинаковых начальных амплитудах колебаний, можно один из маятников использовать в качестве опорного — он будет совершать колебания с небольшими амплитудами. Амплитуду колебаний второго маятника можно устанавливать произвольной (в разумных пределах — не следует отклонять нить от вертикали на тупой угол, так как в этом случае неизбежны рывки нити). Учёное название такого способа измерений — измерения по «биениям», разные варианты таких измерений описаны в литературе.

Электрические измерения на постоянном токе Электрические измерения на постоянном токе Для описанных ниже работ понадобится небольшой набор приборов и приспособлений, ничего экзотического или дефицитного там нет. Вам придётся, возможно, немного пограбить какого-нибудь радиолюбителя, чтобы найти несколько нужных резисторов, пару самых обычных полупроводниковых диодов и полупроводниковый стабилитрон. Провод из сплава с высоким удельным сопротивлением — лучше всего, если это будет нихром1, — содержится в обычной электроплитке. Если вам жаль рабочей спирали — поищите запасную, она часто просто лежит в отдельном пакетике. В конце концов, можно размотать сломанный реостат. В качестве источника питания удобнее всего использовать обычную плоскую батарейку на 4,5 В, вполне подойдёт и обычный школьный выпрямитель на такое же напряжение. У таких выпрямителей часто бывают большие пульсации напряжения на выходе — в таких случаях полезно подключить на выход конденсатор ёмкостью несколько сотен микрофарад (а лучше взять ёмкость побольше — порядка 1—2 тысяч микрофарад), максимальное рабочее напряжение конденсатора должно быть выбрано «с запасом» — для выпрямителя на 5 В на практике нужен конденсатор на 10—15 В. Необходимы миллиамперметр постоянного тока на 5 миллиампер, вольтметр на 6 В, микроамперметр на 100 микроампер — это могут быть и обычные «школьные» приборы, лучше всего взять стандартный набор, выпускаемый для школ последние несколько лет, — приборы эти обладают неплохой точностью, у них удобно проградуированы шкалы и сами приборы выглядят приятно, что для успеха эксперимента тоже немаловажно.

Очень полезен «магазин сопротивлений» — если он есть, то можно делать очень точные измерения даже с довольно Главное достоинство нихрома не в том, что у него высокое удельное сопротивление, а в том, что оно весьма слабо зависит от температуры.

При увеличении температуры от 20 C до 1150 C удельное сопротивление нихрома увеличивается всего на 6%. При таком же изменении температуры удельное сопротивление вольфрама увеличивается почти в 5 раз.

Таким образом, любой нагревательный прибор с нихромовой спиралью можно использовать в качестве резистора, сопротивление которого почти не зависит от протекающего по нему тока.

грубыми приборами. Непременно постарайтесь его найти — при грамотной постановке опытов можно получить точность, определяемую самым точным из ваших приборов, — а даже простой и дешёвый магазин сопротивлений обеспечивает точность установки сопротивления не хуже десятых долей процента. Для проверки полученных в эксперименте результатов полезно иметь хотя бы простой цифровой тестер, но для самих экспериментов он не нужен.

Работа 6. Измерение сопротивлений резисторов В работе требуется измерить с максимально возможной точностью сопротивления нескольких выданных резисторов.

Проблема — в скудном наборе измерительных приборов. Используются: источник питания 4 В или батарейка 4,5 В (напряжение считается неизвестным — разве что очень примерная величина), миллиамперметр с током полного отклонения 5 мА (для полноты картины можно и эту величину не задавать — сказать, например, что это не миллиамперы на шкале, а условные единицы), два резистора с точно известными сопротивлениями (например, 2450 Ом и 4640 Ом — их можно заранее померить цифровым прибором), ограничительный резистор приблизительно 100—200 Ом — укажите строго-настрого, что его используют для ограничения тока в цепи, чтобы миллиамперметр остался цел и не был повреждён источник питания. Разумеется, провода. И сами резисторы, которые нужно померить: 1 кОм, 10 кОм, 50 кОм и 200 Ом.

Эти величины заданы тут очень примерно — возьмите то, что сумеете подобрать.

Указания по проведению работы. Ничего не подсказывайте — смысл работы именно в том, чтобы придумать способ измерений «без ничего» — ни напряжения, ни тока измерить нельзя (напомним, что приборы очень неидеальные и полное сопротивление цепи неизвестно). Выданные два резистора позволяют проградуировать шкалу импровизированного омметра — соединяем последовательно «в кольцо»

источник питания, ограничительный резистор, миллиамперЭлектрические измерения на постоянном токе метр и известный резистор и отмечаем на шкале прибора ток, который соответствует сопротивлению этого резистора.

Удобно на миллиметровой бумаге нарисовать отдельно от миллиамперметра шкалу и отметки делать именно на ней — у самого прибора стекло мешает. Выданные два резистора позволяют получить четыре отметки: каждый резистор отдельно, параллельно соединённые резисторы (сопротивление рассчитываем по известной формуле), последовательно соединённые резисторы. Величины сопротивлений выданных резисторов выбраны так, чтобы все четыре отметки попали на шкалу (возможно, было бы и «зашкаливание» при параллельном соединении).

Теперь можно подключать неизвестные резисторы и смотреть на нашу шкалу. При величинах 1 и 10 кОм мы попадём недалеко от известных отметок, и можно будет «в уме»

сделать интерполяцию или экстраполяцию. Это вполне разумный, хотя и неточный способ — его можно улучшить, сделав дополнительные отметки на шкале при помощи понятной формулы По известным двум точкам легко рассчитать не заданные нам U и Rо — сопротивление «остальной» цепи, которое включает внутреннее сопротивление источника, ограничительный резистор, сопротивление проводов и собственное сопротивление миллиамперметра. После этого можно измерять.

Отдельно нужно обсудить измерения с резисторами 200 Ом и 50 кОм — первый вызовет отклонение за пределы шкалы, второй даст совсем малое отклонение стрелки в начале шкалы, и ничего определённого сказать будет нельзя. Выйти из затруднительного положения и попасть на известный участок шкалы можно так: для измерения малого сопротивления мы соединим его последовательно с резистором 2450 Ом и получим новую отметку на шкале, большой же резистор подключим параллельно к соединённым последовательно известным резисторам. Для увеличения точности и получения более определённых отсчётов можно провести одно за другим два измерения — присоединяя неизвестный резистор и не присоединяя, при этом лучше видна небольшая разница в отсчётах. Интересно обсудить с учащимися вопрос о точности полученных результатов — различные резисторы из набора неизвестных могут быть измерены в нашем случае с очень различной точностью.

Ещё один важный момент в этой работе — тут виден смысл в параллельном, последовательном и комбинированном соединении резисторов, это и в самом деле используется для получения практических результатов. И ещё: на этой простой работе видно, как сильно отличаются друг от друга точность конкретного измерения (и пределы погрешности) и разрешающая способность прибора — погрешность ±5% полностью поглощает разницу результатов при последовательном подключении маленького резистора 200 Ом в собранную цепь, но разница видна, и она воспроизводима — это позволяет всё же найти величину сопротивления.

В нашем эксперименте мы не используем миллиамперметр на 5 миллиампер — это как бы совершенно новый прибор, который мы тут же калибруем по известным резисторам, и точность измерений определяется именно воспроизводимостью результатов. Если бы погрешность измерений определялась трением в упорах (как и было в приборах старых конструкций), то стрелка при каждом измерении могла застыть где угодно в пределах некоторой области (её называли «застойной»), и это совершенно испортило бы нам всю выбранную методику. В современных стрелочных приборах рамка со стрелкой «подвешивается» на растянутых ленточках, поэтому сухое трение в упорах просто отсутствует и результаты нескольких измерений почти не отличаются друг от друга (причиной отличия может быть постепенное ухудшение свойств используемой батарейки или плохие контакты соединительных проводов).

Работа 7. Измерение больших сопротивлений Обычными способами (например, методом вольтметра-амперметра) трудно измерять сопротивления, величины коЭлектрические измерения на постоянном токе торых превышают десятки миллионов ом либо составляют доли ома — единицы ом. Тут нужно либо применять очень чувствительные приборы (а где их взять?), либо что-нибудь придумать. Попробуем второе. Поставим задачу конкретнее:

имеется в наличии резистор очень большой величины — предположительно несколько сотен мегаом. При подключении его последовательно с самым чувствительным нашим прибором к источнику ток измерить не удаётся. Можно было бы увеличить напряжение источника до нескольких сотен вольт, однако тут нас может подстерегать крайне неприятный сюрприз — наш резистор может не выдержать такого высокого напряжения и «пробиться», т. е. стать на время — или навсегда — очень небольшим по величине, со всеми вытекающими последствиями для измерительного прибора, источника питания и самого экспериментатора. На практике для таких измерений используют специальные источники — очень маломощные, не умеющие развивать сколько-нибудь заметный ток в нагрузке (ручные электрогенераторы — «индукторы»), на их основе и делают приборы для измерения больших сопротивлений (мегаомметры), используемые обычно для измерений сопротивления изоляции, которое в идеале вообще должно быть бесконечным.

Если у нас в физическом кабинете таких приборов нет, нужно придумать что-нибудь другое.

Используем для измерений конденсатор. Возьмём конденсатор с достаточно большой ёмкостью и хорошим качеством диэлектрика — вполне подойдёт керамический или «металлобумажный» (самый обычный!) конденсатор на 1—2 микрофарады. Зарядим его от батарейки, отключим от неё и подЧасть ключим к нему чувствительный микроамперметр. Стрелка микроамперметра отклонится и быстро вернётся на место.

Оказывается, «отброс» стрелки определяется протёкшим по цепи зарядом («баллистический» режим прибора — мы его толкнули, а дальше стрелка движется по инерции), если толчок был очень кратковременным и движение происходило в основном по инерции. Теория такого режима очень поучительна, однако мы об этом говорить не будем — нам вполне достаточно того, что мы сможем получить в простом эксперименте: заряжая конденсатор до разных напряжений, сравним величину отброса стрелки и убедимся в пропорциональности этих величин. Для таких измерений делают специальные приборы — баллистические гальванометры — у них стрелка (часто у них стрелки нет, а для отсчёта используется световой «зайчик») возвращается на место очень медленно, и отсчёт легко произвести. Для обычных микроамперметров это не так, приходится применять специальные меры — например, загораживая часть шкалы бумажкой, добиться того, чтобы стрелка только-только выпрыгивала из-за неё; при этом мы видим именно полезный результат, измерений придётся провести несколько, что и само по себе очень полезно.

Очень полезно убедиться в том, что отброс стрелки пропорционален именно заряду конденсатора, а не просто напряжению, до которого он заряжён. Для этого можно использовать ещё один конденсатор — лучше, если его ёмкость будет раза в два больше, чем у первого. Нужно сравнить отбросы стрелки при разрядке каждого конденсатора в отдельности и при параллельном их соединении — если всё правильно, то отброс в этом случае будет с разумной точностью равен сумме отбросов для каждого из конденсаторов.

Внимание! Очень полезно поговорить про баллистический метод заранее — он будет очень полезен позже, с его помощью можно измерять не только ёмкость конденсатора, но и индуктивность катушки, индукцию магнитного поля и другие интересные величины.

А теперь про сами измерения. Зарядим конденсатор несколько раз и проверим, что отбросы стрелки одинаковы.

Теперь очень важная часть работы — зарядим конденсатор и оставим его в покое на несколько минут, а после этого Электрические измерения на постоянном токе измерим оставшийся заряд. У хорошего конденсатора заряд меняется меньше чем на 1—2% за 100 секунд. Если ваш конденсатор заметно хуже, лучше взять другой, приведённые выше числа вполне типичны для обычных «бумажных»

и керамических конденсаторов (обычных — потому что есть и необычные, с очень хорошим диэлектриком, например на основе фторопласта, которые «держат» заряд месяцами — если воздух сухой). И наконец, зарядим конденсатор, затем дадим ему перед измерением разряжаться несколько секунд (время измеряем обычным способом) через наш резистор и посмотрим на результат. Время разряда подберём методом проб таким образом, чтобы конденсатор за это время разряжался на 30—50% (слишком мало — плохо для точности и слишком много — тоже). Теперь можно рассчитать сопротивление: пусть для определённости конденсатор 2 мкФ разрядился на 40% за 50 секунд. Тогда средний ток разряда определяется примерно через полусумму начального и конечного напряжений конденсатора:

Отсюда определим величину R = 2 · Dt/C = 50 МОм. Расчёт этот приближённый — через средний ток разряда. Можно посчитать и точнее, но смысла нет — измерения эти высокой точности не дают, поэтому и уточнение расчёта ничего не даст. Разумеется, это справедливо для разряда на небольшую долю: если конденсатор отдаст, скажем, 80% своего заряда, ошибка расчёта станет недопустимо большой. Можно вести расчёт и по точной формуле с логарифмами, если ребята знают, что это такое.

Ясно, что такой способ подходит в том случае, когда сопротивление изоляции существенно выше измеряемого, однако и в обратном случае возможны (довольно грубые) измерения.

Очень хорошо подходит этот способ для измерения «обратного тока» полупроводникового диода — ток этот не меняется заметно при существенных изменениях приложенного напряжения, и можно считать, что конденсатор разряжается практически постоянным током. Проблема состоит в том, что у современных маломощных кремниевых диодов величина обратного тока очень мала (она может оказаться меньше сотой доли наноампера), и нужно либо брать очень хороший конденсатор, либо ограничиться случаем измерения при повышенных температурах — в этом случае обратные токи во много раз больше.

Работа 8. Точное измерение сопротивлений Нужно измерить поточнее сопротивления двух-трёх резисторов, величины сопротивлений которых лежат в пределах от сотен Ом до десятков кОм.

Для этих измерений нам понадобится магазин сопротивлений. Ещё будут нужны несколько резисторов сопротивлением сотни Ом — единицы кОм, источник питания и чувствительный микроамперметр. Отметим, что величины сопротивлений выданных нам вспомогательных резисторов неизвестны (либо известны только приблизительно).

Решение. Тут возможны самые различные способы измерений, например методом замещения: собираем цепь, содержащую неизвестный резистор и микроамперметр, фиксируем ток и заменяем неизвестный резистор магазином сопротивлений. Щёлкаем до тех пор, пока ток не станет таким же, как и в первом случае. При этом сопротивление магазина будет равно сопротивлению заменённого резистора. Способ этот хорош, но можно измерить и поточнее. В данном случае точность определяется нашей способностью зафиксировать равенство токов в двух случаях. Погрешность тут меньше тех 4%, которые соответствуют школьному микроамперметру, однако, проведя опыт несколько раз (лучше — несколькими группами экспериментаторов независимо друг от друга), мы получим несколько отличающиеся результаты (кстати, это превосходный метод оценки погрешностей измерений).

Метод поточнее основывается на применении мостиковой схемы. Соберём мостик из двух вспомогательных резисторов (включим их последовательно друг с другом и свободные концы присоединим к источнику питания), неизвестного резистора и магазина сопротивлений (их мы также соединяЭлектрические измерения на постоянном токе ем последовательно и подключаем к источнику) и микроамперметра, включённого в «диагональ» мостика — между точкой соединения вспомогательных резисторов и точкой соединения неизвестного резистора с магазином сопротивлений. Обязательно для начала подключите последовательно с микроамперметром ограничительный резистор — а то можно просто испортить микроамперметр при включении цепи.

Меняя сопротивление магазина, добьёмся баланса мостика — нулевого тока через микроамперметр. При таком балансе отношение сопротивлений неизвестного резистора и магазина равно отношению вспомогательных резисторов. Теперь поменяем местами либо вспомогательные резисторы, либо магазин и неизвестный резистор — и вновь добьёмся баланса.

Полученные результаты (два значения сопротивления магазина) позволяют рассчитать сопротивление неизвестного резистора: Rx = R1 · R2.

Тут даже не нужно знать точные величины вспомогательных резисторов — важно только, чтобы их сопротивления (даже и не сами сопротивления, а их отношение) не менялись в процессе измерений. Такое могло бы произойти из-за нагрева, поэтому величины вспомогательных сопротивлений не должны быть слишком малы.

Точность такого метода довольно высока — она определяется точностью магазина сопротивлений и точностью установления баланса мостика. Точность магазина сопротивлений очень высока, поэтому главная погрешность получается из-за неточности фиксации баланса. Для улучшения точности необходимо применение самого чувствительного микроамперметра, который вы сможете раздобыть. При этом совершенно необязательно знать точно его чувствительность, важно только одно — отклоняется ли стрелка при подключении его в эту цепь или нет. И ещё одно — если при щелчках магазина сопротивлений не получается точного баланса, можно провести интерполяцию результатов измерений. Пусть при значении сопротивления магазина 134 Ом стрелка отклонилась влево на 6 делений, а при 135 Ом стрелка отклонилась вправо на 2 деления. В этом случае баланс соответствует сопротивлению 134,25 Ом (обычная пропорция). И ещё: в таких измерениях нетрудно оценить погрешность результата, есЧасть ли посчитать магазин сопротивлений совершенно точным — пощёлкаем около баланса, найдём диапазон сопротивлений магазина, в котором изменений этого баланса не наблюдается с нашим микроамперметром, а затем найдём погрешность измерений методом границ. Такой способ годится для случая, когда наш микроамперметр не очень чувствительный и именно из-за этого «набегают» основные погрешности.

Не все из описываемых ниже работ можно безусловно отнести к «измерениям на постоянном токе», однако никаких внешних источников переменного или импульсного напряжения мы использовать не будем. Тем не менее, кроме обычных величин мы будем измерять и малые отрезки времени (порядка нескольких миллисекунд), а также ёмкости конденсаторов — точнее, отношение ёмкостей, индуктивность катушки. Начнём с двух традиционных работ.

Работа 9. Исследование нагрузочной способности источника постоянного напряжения В этой работе предлагается исследовать зависимость отбираемой от источника мощности (мощности нагрузки) от величины сопротивления нагрузки.

Указания по организации работы. Исследуемый источник (батарейка, выпрямитель) практически никогда не предназначен для работы с такими токами, при которых напряжение на зажимах сильно уменьшается, — для батарейки этот режим чреват быстрым выходом из строя из-за внутреннего перегрева, для выпрямителя всё может кончиться и совсем быстро — «сгорят» диоды или, что ещё менее приятно, выйдет из строя трансформатор. Поэтому необходимо искусственно увеличить «внутреннее сопротивление» источника, впаяв дополнительный резистор последовательно с его выводами — нужно ли этот резистор прятать так, чтобы никто не догадался о его наличии, зависит от цели предлагаемого эксперимента — для олимпиадной задачи нужно одно, для лабораторной работы — другое. Для «плоской» батарейки Электрические измерения на постоянном токе вполне достаточен резистор 10—20 Ом, необходимо только позаботиться о достаточно большой допустимой мощности рассеивания этого резистора — не менее 1—2 Вт. Это требование станет не таким жёстким, если взять резистор с б льшим сопротивлением (100—300 Ом). Совершенно так же нужно позаботиться и о выпрямителе, если работу предлагается проводить с ним. Кроме самого источника питания в работе нужно использовать амперметр, вольтметр и реостат — он и служит «нагрузкой».

В этой работе много поучительного — тут нужно и учесть неидеальность приборов — в данном случае это относится к амперметру, включённому последовательно с резистором нагрузки (сопротивление амперметра придётся считать частью общего сопротивления нагрузки), и придумать способ нахождения максимума полезной мощности — в районе максимума функции изменяются медленно и найти положение максимума не так просто. Тут полезно проанализировать соотношение между сопротивлениями нагрузки, при которых получается одинаковая мощность, — одно из значений сопротивления больше оптимального, другое меньше, — и найти оптимальное сопротивление расчётным путём, а потом сравнить его с известным (впаянным). Полезно после этой работы обсудить с учениками вопрос о том, почему же этот «оптимальный» режим никогда на практике не употребляется (подробности — в теоретическом разделе про технические применения школьного курса электричества). И ещё — стоит именно в этом случае обсудить подробно, чем отличаются друг от друга «свежая» и «севшая» батарейки — внутреннее сопротивление последней в несколько раз выше, поэтому такие батарейки ещё могут работать в радиоприёмнике, но не годятся для фонарика.

Зависимость сопротивления от температуры Работа 10. Исследование вольтамперной характеристики Снять саму характеристику лампочки накаливания (проще всего использовать лампочку для карманного фонаря, рассчитанную на напряжение 2,5 или 3,5 В и максимальный ток 0,2—0,25 А) совсем нетрудно, намного труднее понять, что же с этой характеристикой можно сделать, чтобы само занятие не стало пустым времяпровождением.

Тут есть две привлекательные возможности. Первая — можно найти зависимость температуры нити накала от тока или напряжения лампочки. Для этого нужно вспомнить, что сопротивление чистых металлов (нить накала делается из вольфрама) можно считать с неплохой точностью пропорциональным абсолютной температуре, а коэффициент пропорциональности примерно составляет 1/273 град1.

На графике (рис. 4) приведена зависимость сопротивления отрезка длинной (бесконечной) вольфрамовой проволоки от температуры. Длина отрезка 1 м, диаметр проволоки 1 мм (по данным справочника «Физические величины»).

В таблице 1 приведены данные эксперимента с индикаторной лампочкой накаливания и расчёты.

При малых токах можно считать, что температура нити равна комнатной, — данных получается вполне достаточно. Для уточнения значений температуры можно взять из справочника более точные значения температурного коэффициента в области высоких температур, но это уже не так важно. Вторая возможность — для выпускного класса. Получив зависимость температуры нити накала от тока, можно проверить — в самом ли деле излучаемая нагретым телом Электрические измерения на постоянном токе (эксперимент) (эксперимент) (расчёт) (расчёт) мощность пропорциональна четвёртой степени абсолютной температуры1.

Мощность излучения пропорциональна разности четвёртых степеней температуры нити накала и температуры окружающей среды. При выЧасть На графике (рис. 5) зависимости тока от напряжения (вольтамперная характеристика), построенном по экспериментальным данным для индикаторной лампочки накаливания с номинальными параметрами — напряжением 48 В и током 50 мА, приведены и результаты расчётов в соответствии с формулой I/I0 = (U/U0 )0,6.

«Совмещение» экспериментального и расчётного графиков производится в двух точках (I = 0, U = 0) и (I = Imax, U = Umax ). Видно, что экспериментальные точки и точки, соответствующие расчётам, весьма близки друг к другу всюду, а не только в местах «совмещения». Тут полезно построить график зависимости мощности (перемножаем измеренные напряжения и токи) от температуры нити (рассчитываем).

В таком виде график практически бесполезен — все такого рода кривые похожи друг на друга, полезно выбрать величины, которые мы собираемся откладывать по осям. В нашем случае «подозреваемая» зависимость P = A · T 4, значит, полезно отложить по осям P и T 4, при этом ожидаемая зависимость — прямая.

На графике (рис. 6) по осям отложены параметры: электрическая мощность, потребляемая индикаторной лампочкой накаливания, и величина (UI0 /U0 I)4 = (R/R0 )4 (T/T0 )4. График построен по результатам того же эксперимента.

сокой температуре нити накала можно пренебречь обратным потоком излучения от окружающей среды к лампочке.

Электрические измерения на постоянном токе Сразу следует сказать — не очень она прямая, эта зависимость. Дело в том, что кроме излучения имеется ещё один механизм уноса тепла — теплопроводность. Для этого механизма совсем другая зависимость от температуры, а при не очень высоких температурах нити именно теплопроводность является «главным» каналом ухода тепла1. Только при накале «добела» теплопроводность оказывается не очень существенной по сравнению с излучением, там вид зависимости значительно лучше приближается к ожидаемому.

Полезно показать ученикам ещё один математический приём, который даёт возможность одновременно установить наличие «степенной» зависимости между двумя величинами и найти эту степень. Речь идёт о «логарифмической»

бумаге — оси на такой диаграмме сжаты, вместо самой величины (например, мощности) откладывается логарифм — чтобы снять вопросы о том, что такое логарифм 5 Ватт или 300 градусов, нужно взять вместо P и T отношения P/P и T/T0, где P0 и T0 можно выбрать любыми. Если на таком графике получится прямая или хотя бы часть получившейся кривой похожа на прямую, значит, исследуемая зависимость Сказанное справедливо только для лампочек с короткой и толстой нитью накала, то есть для достаточно мощных лампочек, рассчитанных на работу при низком напряжении (1—12 В). В этом случае действительно значительная часть теплоты «уходит» от нити накала через толстые подводящие (молибденовые) проводники к цоколю лампы и, в конце концов, передаётся окружению. Однако для индикаторной лампочки накаливания с весьма длинной и тонкой спиралью диапазон напряжений, в котором главным является такой механизм отвода тепла, значительно меньше рабочего напряжения.

именно степенная, а показатель степени можно найти по наклону прямой. Ясно, что выбор P0 и T0 не влияет на наклон прямой, а только смещает её.

Если же исследуемая зависимость не степенная, а, скажем, экспоненциальная — как у вольтамперной характеристики полупроводникового диода (такой вид имеет также зависимость силы трения верёвки, обмотанной вокруг шероховатого цилиндра, от угла охвата), то удобно применять «полулогарифмическую» бумагу — у неё сжата только одна из координатных осей. Если же, например, отношение синусов двух углов ожидается постоянным (преломление на плоской поверхности раздела сред), то стоит откладывать по осям именно синусы углов, «спрямляя» ожидаемую зависимость.

Есть ещё одна полезная возможность для задачи с лампочкой. Если сопротивление нити накала пропорционально абсолютной температуре, а вся подаваемая на лампочку мощность излучается и выполняется закон «температура в четвёртой степени», то можно получить в явном виде ожидаемое уравнение вольтамперной характеристики (эта задача разобрана в «теоретической» части), и эту зависимость можно сравнить с полученной в эксперименте — совпадение получается совсем неплохим, если не очень придираться.

Работа 11. Измерения зарядов баллистическим методом.

Приборы, оборудование: источник постоянного тока (регулируемый выпрямитель или батарейка), микроамперметр школьный на 100 мкА, конденсатор известной ёмкости 200— 500 мкФ, набор известных резисторов 2—4 штуки в диапазоне 100—1000 Ом, полупроводниковый диод с малым Электрические измерения на постоянном токе обратным током — обычный КД521 или КД503 вполне подойдёт.

Задание: измерить ёмкости нескольких конденсаторов и индуктивность катушки с железным сердечником.

Указания для учителя: конденсаторы для совсем простого варианта можно выбрать примерно того же порядка, что и данные, для более сложного и требующего раздумий — один из конденсаторов нужно взять существенно меньшей ёмкости — лучше всего порядка 5—10 мкФ, его желательно взять «бумажного» или другого типа с небольшой «утечкой».

В качестве исследуемой катушки можно взять обмотку какого-нибудь трансформатора с не очень большим числом витков (лучше всего иметь индуктивность порядка десятых долей генри). Удобно просто намотать сотню витков на сердечник разборного школьного трансформатора.

Выполнение работы. Выше мы уже обсуждали баллистический метод, именно он хорошо подходит для измерений ёмкости. «Калибруем» прибор по известному конденсатору:

заряжаем конденсатор известной ёмкости до фиксированного напряжения (можно воспользоваться делителями из данных резисторов) и наблюдаем отброс стрелки. Непременно проверяем применимость метода для наших конденсаторов (и нашего микроамперметра!), соединяя конденсаторы параллельно, — при этом условия «баллистичности» прибора должны сохраняться. Далее можно определять неизвестные ёмкости. Метод можно применять, используя параллельное или последовательное подключение «неизвестных»

конденсаторов к известным, — это расширяет область измеряемых значений ёмкости. При этом, однако, ухудшается точность измерений, и при больших отношениях ёмкостей способ перестаёт работать. В таком случае можно поступать иначе.

Рассмотрим упомянутый в условии случай, когда один из конденсаторов имеет существенно меньшую ёмкость. Проведём измерения совсем по-другому. Зарядим конденсатор известной ёмкости от батарейки и начнём «красть» его заряд порциями, унося его при помощи измеряемого (того, что малой ёмкости) конденсатора. Проделаем это так: зарядим этот конденсатор от батарейки и подключим его к «главноЧасть му» конденсатору в противоположной полярности — «плюс»

к «минусу». При этом полный заряд уменьшится на величину удвоенного заряда малого конденсатора. Снова зарядим его от батарейки и опять подключим к конденсатору большой ёмкости. Сделаем это, например, 10 раз. После этого проверим заряд большого конденсатора, подключая к нему микроамперметр, — если за десять раз он не разрядился, попробуем снова повторить эксперимент, но уже для 15 разрядов, и т. д. — мы быстро «нащупаем» число разрядов, которые почти точно разряжают до нуля большой конденсатор (если, например, семнадцати мало, а восемнадцати — много, стрелка микроамперметра отклоняется в другую сторону — мы получаем все числа для расчёта ёмкости).

Опыт этот совершенно необходимо проводить несколько раз, набирая статистику. И ещё: важно в самом начале убедиться в том, что за время нашего эксперимента — а это 20—30 секунд — большой конденсатор не очень заметно разряжается самостоятельно — ведь такой разряд сильно испортит нам эксперимент. Для уменьшения времени «цикла»

можно воспользоваться переключателем с двумя положениями, в котором контакт первого вывода имеется либо со вторым, либо с третьим выводом.

Для этого нужно сравнить отброс стрелки от «свежезаряженного» большого конденсатора и от «выдержанного» после заряда примерно минуту. Если разница не очень заметна — всё отлично. Если это не так — придётся принимать дополнительные меры, например заряжать изначально большой конденсатор не до полного напряжения батарейки, а до известной его части при помощи делителя из резисторов. Это может немного сократить саморазряд, но, главное, уменьшит необходимое число переключений и сократит время опыта.

Этим же способом можно воспользоваться при измерении совсем большой ёмкости конденсатора — нужно «красть» с него заряд при помощи известного конденсатора. Кстати, для такого опыта и баллистичность измерений вовсе не нужна — мы проверяем только факт наличия остаточного заряда на конденсаторе совсем большой ёмкости после фиксированного числа «разряжений», а пропорциональность отброса стрелки его заряду нам не требуется.

Электрические измерения на постоянном токе Для измерения индуктивности катушки придётся собрать схему из последовательно соединённых батарейки, резистора с сопротивлением порядка сотен Ом и катушки. Параллельно катушке подключим последовательную цепочку из полупроводникового диода и микроамперметра, полярность диода выберем «обратную» — чтобы ток через микроамперметр не тёк (напоминаем, что катушка не идеальная, напряжение между её концами при установившемся токе не равно нулю).

По катушке в такой цепи потечёт ток, величину которого мы легко вычислим. Разорвём теперь цепь, отключив катушку от батарейки. Весь ток катушки теперь «замкнётся» через диод и микроамперметр, и при этом микроамперметр даст «отброс». Этот отброс пропорционален протёкшему по цепи заряду, величина заряда определяется начальным магнитным потоком катушки F = L · I0 = L · U0 /r, где r — сопротивление цепи, и сопротивлением R цепи с микроамперметром — практически можно считать, что это сопротивление самого микроамперметра: протёкший заряд определяется по формуле Q = F/R = L · U0 /(R · r).

Если наш микроамперметр уже отградуирован «на заряд»

по известному конденсатору, то индуктивность легко находится. Обратим внимание на то, что напряжение батарейки ни в одном из описанных опытов нам знать не понадобилось, так что без вольтметра можно обойтись. Кстати, описанные методы очень просты и вполне подходят для практического использования.

Работа 12. Измерение малых интервалов времени Оборудование: электромагнитное реле с контактом «на переключение» или с одним на замыкание и одним на размыкание, конденсатор известной (большой) ёмкости — 200— 500 мкФ, резисторы с известным сопротивлением 20 кОм, 100 кОм, источник постоянного напряжения с известным напряжением, диод полупроводниковый, микроамперметр.

Задание: измерить интервал времени между подачей напряжения на обмотку реле и срабатыванием реле — отклюЧасть чением нормально замкнутого контакта. То же — между подключением обмотки реле и включением нормально разомкнутого контакта. И более сложное задание — измерить интервал времени между отключением нормально разомкнутого и включением нормально замкнутого контакта (для реле с контактом «на переключение»!).

Для выполнения работы от учащихся потребуется некоторая изобретательность в придумывании нужных электрических схем — особенно в последнем случае. Главная идея — находить отрезок времени, заряжая в течение этого времени конденсатор от источника через известный резистор и измеряя его заряд баллистическим методом. Итак, в первом случае всё совсем просто: параллельно обмотке реле подключаем последовательную цепочку из резистора, конденсатора и нормально замкнутого контакта реле. Пока мы не подключили источник, конденсатор будет разряжен. Подключим источник — конденсатор начнёт заряжаться, и это продолжится до того момента, когда контакт реле отключит цепочку резистор-конденсатор от источника, т. е. конденсатор будет заряжаться как раз в течение того отрезка времени, который мы хотим измерить (рис. 7).

Подключая микроамперметр параллельно заряженному конденсатору, измерим величину отброса стрелки и сравним его с отбросом при полностью заряженном конденсаторе.

Наличие двух (а лучше — больше) различных резисторов с известным сопротивлением позволяет выбрать среди них наиболее подходящий — не слишком большой, иначе заряд окажется слишком малым для измерения, — и не слишком малый — иначе мы не увидим разницы между полностью заряженным конденсатором и заряженным частично — в нашем Электрические измерения на постоянном токе опыте, а из-за этого не сможем найти время заряда. Впрочем, если заряд окажется слишком малым — это не беда, можно заряжать конденсатор за несколько раз, только тогда последовательно с резистором нужно включить ещё диод — при этом накопленный заряд не будет «утекать» через замкнутую контактом цепь.

Немного сложнее цепь для контакта, который нормально разомкнут, а замыкается при срабатывании реле. Параллельно обмотке реле мы теперь подключим цепь, состоящую из последовательно включённых (внимание, тут нужно подключать именно так) резистора, ещё одного резистора, диода и конденсатора. «Свободный» конец конденсатора подключён к нижнему концу обмотки реле, между этой точкой и точкой соединения резисторов включён нормально разомкнутый контакт реле (рис. 8). Таким образом, пока реле не сработало, этот контакт разомкнут, и после подачи напряжения на обмотку реле конденсатор начинает заряжаться через последовательно включённые резисторы. В тот момент, когда контакт реле замкнётся, процесс заряда конденсатора прекратится — напряжение между концами цепочки, состоящей из конденсатора, диода и одного резистора, обратится в ноль, диод окажется запертым — значит, конденсатор и разряжаться не будет.

Тут-то мы и подключим к нему микроамперметр!

Для случая нахождения времени между размыканием замкнутого контакта и замыканием разомкнутого — времени «пролёта» контакта от одного вывода до другого (это время образно называют «мёртвым») — последнюю схему нужно немного усовершенствовать: нам нужно, чтобы конденсатор начал заряжаться в тот момент, когда нарушится один контакт, и закончил процесс — когда восстановится второй. Значит, наличие хотя бы одного замкнутого контакта не должно позволять конденсатору заряжаться. Выход: подключим параллельно два контакта реле, а вторым выводом сделаем вывод подвижного контакта — того, который поочерёдно касается двух других контактов (их мы и замкнули). При этом получится как раз то, чего мы добивались: пока нормально замкнутый контакт не разомкнётся, конденсатор не заряжается, и после его размыкания цепь заряда будет существовать до момента замыкания нормально разомкнутого контакта.

Диод в цепи препятствует разряду конденсатора (рис. 9).

Для справки: измеряемые времена для различных реле могут колебаться от 1—2 миллисекунд до 20—50 миллисекунд (последнее характерно для солидных старинных реле — не стоит иметь с ними дело). Эти времена сильно увеличиваются при уменьшении напряжения источника — если это напряжение немногим выше напряжения срабатывания реле, то все процессы замедляются.

При измерениях физических величин возникает множество проблем. Некоторые измерения можно делать «напрямую» — измерение температуры воды в стакане термометром, измерение напряжения батарейки вольтметром, измерение длины карандаша линейкой, измерение длительности урока секундомером. Такие измерения называют прямыми, они достаточно просты. Впрочем, трудности могут появиться и в этих случаях — при попытке измерить маленький интервал времени (например, время падения шарика с высоты 20 см), при измерении диаметра шара — не так просто приложить к нему линейку, при измерении напряжения в высокоомной цепи (подключение вольтметра может сильно изменить эту величину). Похожая ситуация возникает, когда мы пытаемПогрешности ся измерить температуру маленькой порции горячей воды в сосуде при помощи здоровенного термометра: он покажет нам температуру, даже довольно точно, если это точный термометр, но совсем не ту, что была у воды в пробирке до нашего измерения. Но чаще приходится иметь дело с измерениями, в которых результат получается при комбинировании напрямую измеренных величин. Например, при нахождении плотности материала, из которого сделан данный предмет, придётся измерить его массу и размеры, после чего мы сможем посчитать плотность. Такие измерения называют «косвенными».

Кстати, не всегда удаётся чётко определить, имеем ли мы дело с прямым или косвенным измерением — например, при измерении температуры обычным термометром мы наблюдаем изменение объёма жидкости при нагревании, точнее — разницу изменения внутреннего объёма сосудика, в который налита жидкость, и самой жидкости, просто термометр заранее «отградуирован» в единицах измеряемой температуры.

Получается, что прямое измерение имеет место в случае, когда у нас есть специальный прибор для измерения данной величины. Впрочем, дело тут не в определениях, важно понять, как можно оценить погрешность измерений — возможную неточность полученного нами результата. Разберёмся с погрешностями на простом примере.

Итак, мы хотим измерить плотность материала, из которого сделан выданный нам брусок, пусть это будет металлический сплошной брусок прямоугольной формы. Взвесив брусок на весах, получим его массу. Пусть в нашем случае получилось 74,3 г. Предположим, что мы измерили его длину, ширину и высоту при помощи обычной деревянной линейки и получили для них значения 32, 25 и 12 миллиметров соответственно. Какую точность следует приписать полученным числам? Если бы мы измеряли при помощи этой линейки расстояние между двумя чётко обозначенными точками на плоскости (поставленными твёрдым и хорошо заточенным карандашом или, что лучше, наколотыми тонкой иглой), мы могли бы считать, что погрешность определяется только точностью измерительного прибора — линейки, тогда можно взять «полделения» в качестве разумной оценки поЧасть грешности. Такой выбор не так уж плох — если изготовитель линейки разумен, он не станет увеличивать цену простого измерителя, нанося на него больше делений, чем необходимо для реализации его точности (размеры линейки из дерева изменяются со временем — она разбухает при увеличенной влажности, деформируется при высыхании, просто меняется со временем; металлические линейки лучше, однако и их размеры через некоторое время после изготовления становятся не очень точными, кроме того, толщина штриха на линейке не так мала, как хотелось бы. В том случае, когда размеры для измерения не так хорошо определены, — а в нашем случае это именно так, — погрешность получится выше, даже если форма тела очень близка к правильной, прямоугольной и мы расположили линейку точно вдоль граней.

В общем, если отнестись к точности наших измерений с некоторым оптимизмом, можно взять такие значения: длина 31—33 мм, ширина 24—26 мм, высота 11—13 мм. Для нахождения погрешности определения объёма воспользуемся так называемым «методом границ» — смысл его вполне ясен из названия. Минимальное значение объёма определяется произведением наименьших величин, максимальное — наибольших: Vмин = 31 · 24 · 11 = 8184 мм3, Vмакс = 33 · 26 · 13 = = 11154 мм3. Тогда V = (9669 ± 1485) мм3, хотя лучше округлить и написать V = (9,7 ± 1,5) · 103 мм3. Считая измеренное значение массы бруска 74,3 г точным (даже простые школьные весы обеспечивают очень высокую точность измерения массы, неточность измерения при аккуратном подходе не превысит 20—30 мг, что составляет 30 · 103 /75 4 · 104 < < 0,05%, что во много раз меньше ошибок при измерении размеров), мы получим верхнее значение плотности, разделив массу на наименьшее возможное значение объёма — нижнюю границу для измеренной нами величины, а нижнее значение плотности — разделив массу на наибольшее значение объёма.

Дальше всё просто — в качестве измеренного значения разумно взять полусумму полученных значений, а в качестве погрешности измерений — полуразность. Нужно сказать вполне определённо — никакого более разумного способа, чем описанный, просто нет! Никакие изощрённые математические методы не могут улучшить точность грубых измерений!

Мы можем, конечно, сделать более оптимистическую оценку точности наших измерений. Эта оценка может опираться на предположение о том, что не стоит брать самые крайние вычисленные значения объёма, можно вместо них попробовать «наиболее вероятные» значения (обычно в таких случаях экспериментатор начинает быстро и убедительно говорить о том, что измерения длины, ширины и высоты — независимые, вряд ли ошибки получатся «в одну сторону» и т. п.). В общем, трудно помешать экспериментатору обманывать себя самого, если он стесняется своих грубых измерений и хочет получить результаты «поточнее»... Но в таких случаях уже нельзя гарантировать «попадание» истинного значения измеряемой величины в указанный диапазон, а это плохо — выводы на основе наших измерений могут быть сомнительными.

В нашем случае после небольшого округления получим r = (7,8 ± 1,2) г/см3. Именно в таких границах лежит правильное значение измеренной нами величины. Точность получилась довольно плохой — с такими измерениями отличить даже один металл или сплав от другого можно не слишком уверенно. Главный вклад в погрешность дают измерения размеров — можно попробовать использовать штангенциркуль или микрометр, это позволило бы улучшить результат для тел правильной формы, хотя даже для цилиндрического тела измерить диаметр не так уж просто... Кстати, в тех случаях, когда точность измерительного прибора превышает возможность отсчёта по его грубой миллиметровой шкале, можно воспользоваться «нониусом», который есть и на штангенциркуле, и на микрометре.

Дело усложняется, если объём не удаётся определить прямыми измерениями размеров тела, например, для тела неправильной формы. В этом случае рекомендуют измерять объём, погружая тело в измерительную кювету с водой, — по повышению уровня воды. Эти измерения тоже не слишком точны. Главная проблема всё равно остаётся — мы определяем плотность по нескольким величинам, которые измерены с очень различающейся точностью. Известен способ намного более точного определения плотности тел произвольной формы — при помощи «гидростатического взвешивания». Метод сводится к двукратному взвешиванию тела — один раз в возЧасть духе, другой — при погружении тела в воду целиком (в этом варианте можно определять плотность только у «тонущих»

тел, а для определения плотностей, меньших, чем у воды, способ нужно немного усложнить, привязав к лёгкому телу гирьку). Чашка школьных весов легко поворачивается на 90 вокруг горизонтальной оси и в этом положении позволяет привязать тело нитью к весам. По результатам двух измерений легко определить плотность — точнее говоря, отношение плотности тела к плотности воды, а плотность воды известна довольно точно. При таких измерениях объём тела определять не нужно, поэтому и дополнительного ухудшения точности из-за неточно известных размеров тела не будет.

Впрочем, грамотно провести измерения не так просто — нужно позаботиться о том, чтобы нитка, на которой тело подвешено, не намокла, чтобы не пришлось учитывать не такой уж малый добавленный вес воды, с поверхности тела придётся тщательно удалить прилипшие пузырьки воздуха — для грубых измерений всё это несущественно, а в нашем случае жалко терять точность из-за факторов, о которых легко заранее позаботиться.

Для специальных случаев, например для определения плотности тел чуть тяжелее воды, можно придумать специальные способы: растворить в известном объёме воды известное количество соли, подобранное так, чтобы тело не тонуло и не всплывало, — таким образом можно довольно точно измерить небольшие отклонения плотности от плотности воды.

А если предмет чуть легче воды, можно прикрепить к нему несколько маленьких гирек — пока не начнёт тонуть. В этих случаях можно даже не взвешивать тело. Очень полезно соорудить из пробирки, нескольких дробинок и пластилина простой ареометр для нахождения плотности жидкости — получившийся прибор можно проградуировать по нескольким растворам, а затем сравнить результаты с расчётными.

Скажем ещё несколько слов о применении жидкостей: при помощи обычной ванны можно взвешивать довольно точно громоздкие и тяжёлые предметы (для тел поменьше годится не ванна, а большая кастрюля). В специально приготовленную «лодочку» помещают взвешиваемый предмет и отмечают на боковой стенке уровень воды. Вынув предмет из лодочки (ясно, что он должен был плавать с лодочкой, а не тонуть!), будем доливать воду мерным стаканом — пока уровень не станет равен отмеченному. Масса влитой воды равна массе вынутого из лодочки предмета. Обратим внимание на то, что это измерение проводится «методом замещения» — влитая вода «замещает» интересующий нас предмет, точность измерений определяется точностью отсчёта уровня воды, форма ванны (кастрюли) роли не играет. Кстати, тут возможен и ещё один хороший способ — не доливать в ванну воду, а замещать взвешиваемый предмет гирями, если их будет достаточно.

На этих примерах видно, как анализ погрешностей может подсказать необходимость изменить метод измерений; иногда этот анализ помогает и при выборе конкретной методики измерений.

На практике разброс результатов при нескольких измерениях может существенно превышать вычисленную «приборную» ошибку. В этих случаях можно утверждать, что в процесс измерений вторгается неучтённый дополнительный фактор, который неизвестным для нас способом то увеличивает, то уменьшает (или — по-другому увеличивает) измеряемую величину. Собственно, именно по наличию разброса мы можем этот фактор увидеть — если бы он просто увеличивал измеренную нами плотность, скажем, на 2 г/см3, мы могли бы его влияния и не заметить... Как же поступать в таких случаях, когда мы фиксируем разброс результатов при нескольких измерениях? Если этот разброс находится в пределах приборных ошибок, на него можно просто не обращать внимания. Но часто он получается довольно большим.

Конечно, лучше всего проанализировать ситуацию, найти причину разброса и устранить её. Например, каждое следующее измерение длины проволочки линейкой даёт результат больше предыдущего — тут всё понятно, не надо было так сильно тянуть, выбросьте этот кусок проволоки и повторите измерения — только аккуратнее. Или другой случай: при измерениях силы трения, действующей на деревянный кубик со стороны стола, разброс может быть связан с тем, что в процессе измерений кубик опирался на стол то одной, то другой гранью или двигался иногда «вдоль волокон», а иногда поперёк. В этом случае достаточно сделать процесс измерений единообразным (ещё лучше — исследовать зависимость силы трения от ориентации волокон). Но чаще всего в условиях нехватки времени причину установить не удаётся либо её не удаётся устранить. Что делать в таких случаях?

Можно провести статистическую обработку результатов измерений. Представим себе, что мы каждый раз получаем точный результат, но по причине постороннего вмешательства результат искажается — к нему то прибавляется значение некоторой случайной величины, то ещё одно значение вычитается. Можно ли по результатам нескольких независимых измерений (нужно и в самом деле проводить измерения снова и снова, а не просто несколько раз смотреть на шкалу амперметра) оценить эту добавку, затем каким-то образом уменьшить её влияние и, наконец, грамотно записать ответ?

Можно, и в большинстве случаев физики-экспериментаторы так и поступают.

Итак, алгоритм наших действий таков: производим эксперимент несколько раз — если разброс мал, то всё хорошо и ничего больше делать не надо. Если разброс велик — тут всё и начинается. Вычислим среднее значение измеренного параметра и найдём для каждого результата измерений «отклонение от среднего». Оценим такое отклонение — это как раз та самая «прибавляемая величина». Считать среднее значение этой величины бессмысленно — непременно получится нуль! Приходится поступать иначе — ведь для нас одинаково важны и отрицательные, и положительные отклонения.

Найдём «среднеквадратическое» значение этих отклонений:

вначале возведём разности во вторую степень, просуммируем их и разделим сумму на число слагаемых. Осталось вычислить квадратный корень из этой величины, и мы получим разумную оценку того случайного влияния на результаты, о котором шла речь.

Например: результаты измерения роста трёх школьников 1 м, 2 м и 3 м. Среднее значение получается (1 + 2 + 3)/3 = 2 м.

Теперь найдём разности: 1, 0, +1, среднее значение квадратов этих величин (12 + 0 + (1)2)/3 = 2/3. Квадратный корень составляет 0,83 (точные вычисления тут не нужны, мы подсчитываем не слишком чётко определённую величину).

Означает ли это, что наша «случайная погрешность» равна этой величине? Нет, ведь это ошибка для одного измерения, а мы в качестве ответа выбрали среднее значение нескольких измерений, ошибка этой величины явно меньше, ведь при усреднении отклонения суммировались, часть отклонений были положительными, часть — отрицательным, они должны были хоть как-то скомпенсироваться. Так и должно быть.

Вопросы эти многократно исследовались математиками, их выводы таковы: если разброс результатов измерений связан с общим действием множества факторов примерно одинаковой интенсивности, то ошибка среднего меньше ошибки одиночного измерения примерно в «корень из n» раз, то есть, проведя сотню измерений, мы могли бы изрядно снизить влияние факторов разброса — примерно в 100 = 10 раз.

Правда, в этом случае можно получить и более точную оценку для «погрешности однократного измерения» — оказывается, при её нахождении делить сумму квадратов нужно не на число измерений N, а на величину N 1, и при этом получается более точная (так называемая «несмещённая») оценка. В нашем случае погрешность одного измерения будет равна (12 + 0 + (1)2)/2 = 1 и погрешность среднего составит 1/ 3 0,6. Мы могли бы теперь записать: средний рост Hср = (2 ± 0,6) м.

Пример не слишком хорош — числа взяты «с потолка», но зато понятно, как нужно считать. Разумеется, для получения хорошего результата в условиях «случайных помех» нужно проводить побольше независимых измерений, но на практике может просто не хватить отведённого на эксперимент времени. Нам придётся в самом начале измерений оценить приборную ошибку и провести два—три независимых измерения, чтобы грубо оценить разброс. Теперь нужно сравнить эти величины и принять решение — следует ли проводить длинную серию измерений, или разброс поглощается приборной ошибкой. Например, для случая приборной ошибки 5% и разброса 2% серия измерений не понадобится, а при разбросе 20% нужно статистической обработкой эту величину уменьшать. Хорошо бы провести такую длинную серию, чтобы «пересчитанный» разброс оказался хотя бы вдвое меньше приборной погрешности; в нашем случае для этого будет нужна серия длины (20/(0,5 · 5))2 = 64. Конечно, это очень много — можно не успеть. Зато понятно, к чему следует стремиться. И если мы успели провести только 10 измерений, то мы не добились поглощения ошибок разброса — «случайных ошибок», поэтому придётся в общей оценке погрешностей учесть как приборную, так и случайную ошибки. Обычно это делают по формуле (Можно было считать и прямо «в процентах»: 52 + (202 /10) = = 25 + 40 8%.) Хочется привести интересный пример: в работе «Измерение периода колебаний математического маятника» юноша измерил период колебаний при длине нити 40 см, затем — при длине 60 см и, наконец, при длине нити 80 см. Полученные результаты (0,9 сек, 1,1 сек и 1,8 сек) отличались друг от друга (разумеется!), далее он нашёл среднее значение периода 1,27 сек, а по приведённым выше формулам посчитал «разброс среднего значения». После этого он записал ответ: «Период колебаний математического маятника T = (1,27 ± 0,14) сек».

Понятно, что это чушь! Ну а что тут неправильно? Вместо того чтобы (как и полагалось) исследовать зависимость периода колебаний маятника от длины нити, экспериментатор счёл эту зависимость результатом действия посторонних, мешающих факторов — и устранил влияние этих факторов статистической обработкой. В результате он нашёл значение периода для некоторой «средней» длины нити, при этом эта самая длина вовсе не равна среднему значению длин в эксперименте, она остаётся неизвестной. Мораль: прежде чем применять серьёзные математические методы, следует подумать — а что, собственно, мы собираемся считать?

Скажем несколько слов о приборных ошибках обычных измерителей. Линейка даёт погрешность порядка половины деления шкалы — но только в случае измерения расстояния между чётко обозначенными точками. Если сама «точка»

представляет собой кляксу размером 3 мм, ожидать объявленной точности не приходится. Погрешность обычного термометра тоже можно считать равной половине деления, но есть и дополнительные источники ошибок измерения температуры — термометр показывает свою температуру, а она может отличаться от температуры исследуемого тела (не успел установиться режим равновесия — нужно анализировать время установления теплового равновесия в системе, при измерении температуры куска металла или дерева термометр вообще может показывать что угодно), есть и другие причины грубых ошибок измерения температуры (вспомним про «температуру воздуха в тени»). Время измеряется секундомером довольно точно, но само нажатие кнопки всегда запаздывает (попытки нажать кнопку пораньше, чтобы «скомпенсировать время реакции», дают вообще непредсказуемые результаты).

Но для периодических процессов всё сильно упрощается — измерять нужно время не одного периода, а, скажем, 20 — время реакции можно при этом «разложить» на множество периодов и в несколько раз уменьшить соответствующую погрешность. Использующие этот принцип электронные частотомеры (измеряющие огромное — миллионы — число периодов), позволяют получить ошибки измерения периода (или частоты) быстропротекающих периодических процессов всего порядка тысячных, а то и десятитысячных долей процента. Погрешность обычного, стрелочного вольтметра может доходить до 4% (для школьных измерительных приборов), причём эти проценты нужно считать не от измеряемой величины, а от максимального значения шкалы. Это означает, что, измерив обычным вольтметром (максимальное значение на шкале 6 В) напряжение батарейки и получив результат 1,5 В, следует записать ответ: U = (1,5 ± 0,24) В, погрешность при этом достигает 16% ! Цифровые измерительные приборы обеспечивают куда лучшую точность, погрешность обычного «китайского мультиметра» при измерении напряжений составляет примерно полпроцента плюс дополнительная ошибка при отображении результата на дисплее прибора (обычно её оценивают как плюс-минус две—три единицы младшего отображаемого разряда, то есть при показаниях вольтметра 12,06 В указанная неточность может составить дополнительно ±0,03 В. В этом случае погрешность 0,5% от измеряемой величины составит примерно ±0,06 В и практически опреЧасть делит точность измерений. Но при измерении токов или сопротивлений такой мультиметр может давать куда большие погрешности и первого (до 2—3%) вида, и второго (в некоторых случаях до 10—15 единиц младшего разряда) — для уточнения стоит прочитать подробное описание конкретного прибора.

Разумеется, приведённые рецепты не слишком обоснованны и строги, в многочисленных пособиях даются самые разные советы по поводу оценки приборных ошибок, расчётов погрешностей косвенных измерений и статистической обработки результатов измерений. Не следует думать, что правильными могут быть только те варианты, в которых применяют непонятные математические методы (и чем непонятнее — тем правильнее), проблемы тут не столько в способах счёта, сколько в анализе причин как приборного, так и «случайного» разброса.

Выдержка из программы курса физики 7— «Способы измерений. Прямые и косвенные измерения.

Точность измерений. Цена деления шкалы прибора. Класс точности прибора. Ошибки измерений систематические и случайные. Способы уменьшения ошибок. Статистические способы повышения точности в том случае, если случайная ошибка больше предельной точности прибора».

Выдержка приведена для того, чтобы напомнить, что основные понятия, используемые для характеристики измерений, вводились ещё в 7—8 классе. Однако нелишним будет повторить эту тему и с учениками старших классов, которые большую часть того, что было изучено в 7—8 классах (если не всё), успели позабыть.

Приборы и способы измерений физических величин Приборы, с помощью которых можно проводить измерения, характеризуются точностью. Если измеряемая величина «считывается» со шкалы прибора, то расстояния между двумя соседними метками (штрихами) на шкале прибора определяют максимальную точность, которую «обеспечиваПогрешности ет» данный прибор. Например, миллиметровые деления на шкале металлической линейки или рулетки ограничивают точность измерений величиной примерно 0,5 мм. Можно пытаться уверять себя, что «на глаз» видно и 1/5 расстояния между делениями шкалы, но это, как говорится, самообман.

«Я сам обманываться рад» — эта строка А. С. Пушкина подходит для таких экспериментаторов.

Истинное значение измеряемой величины и значение, которое экспериментатор считал со шкалы прибора, могут отличаться. Различие этих величин экспериментатору неизвестно, но оно меньше, чем точность измерений, которую может обеспечить данный прибор при правильно проведённом измерении. Соответствующее отличие называется приборной погрешностью измерений.

Обычно прибор, например стрелочный прибор для измерения тока, снабжается меткой, которая несёт информацию о «классе точности» прибора, измеряемой в процентах. Если прибор имеет класс точности 1, то это означает, что точность измерения соответствующей величины не лучше 1% от максимального показания прибора на данном пределе измерений.

Для приборов с числовой индикацией имеются свои ограничения точности. В частности, для таких приборов важно количество выводимых на индикаторную панель цифр. Число, представляемое в виде ограниченного количества цифр, может отличаться от истинного значения измеряемой величины «на пределе возможностей» прибора в «последнем знаке» на +1 или 1. Это так называемая ошибка «округления», или ошибка «дискретизации» числового прибора. Для таких приборов важны и ошибки, возникающие при сравнении неких электрических параметров, в которые преобразованы измеряемые физические величины. Ошибки преобразования носят систематический характер. Различные электрические помехи вносят свой вклад в ошибку измерений, и соответствующий вклад может иметь случайный непредсказуемый характер. Приборная погрешность складывается в этом случае из погрешностей преобразования и «дискретизации».

Числовые (или, как их ещё называют, цифровые) приборы тоже характеризуются классом точности. Соответствующие процедуры расчёта погрешностей приборов с числовой индикацией обычно даются в описании к прибору.

Измеряемая величина может от измерения к измерению принимать разные значения. Например, нужно установить дальность полётов пуль, выпущенных с определённой высоты в горизонтальном направлении из данного орудия. Понятно, что от выстрела к выстрелу немного меняются условия внутри ствола орудия, там появляется и счищается нагар, стенки ствола орудия изнашиваются. Заряды пороха и массы пуль в разных патронах немного отличаются, даже если все патроны были выпущены одним и тем же заводом в одну и ту же смену одним и тем же мастером.

Крепление орудия от выстрела к выстрелу меняется, поэтому лишь с некоторой погрешностью можно устанавливать горизонтальность оси симметрии ствола орудия. И тому подобное. Таким образом, существует множество факторов, которые невозможно учесть, но которые влияют на результат, причём могут изменить его как в б льшую, так и в меньшую сторону. Изменения дальности полёта от выстрела к выстрелу принимают разные значения, которые предсказать невозможно, —они носят случайный характер. При этом приборная ошибка измерений гораздо меньше, чем среднее по величине значение отклонения дальности полёта пули в одном выстреле от результата, полученного в другом выстреле.

В таких случаях говорят, что имеется непредсказуемый случайный разброс измеряемых значений от опыта к опыту.

Чтобы охарактеризовать измеряемую величину, нужно найти (вычислить по результатам многих выстрелов) некое среднее её значение и указать среднюю величину разброса значений вблизи этого среднего значения. Этих сведений будет достаточно, чтобы в технических документах орудия данного типа указать для него дальность стрельбы «прямой наводкой».

Какое разумное число измерений нужно провести, чтобы найти это среднее значение с максимальной возможной точностью?

Если предположить, что от измерения к измерению случайные отклонения никак не связаны друг с другом, то максимальная точность ограничивается приборной погрешПогрешности ностью d используемого для измерения расстояния прибора.

Если уже проведены N измерений и средний разброс от одного измерения к другому составляет D, то при очередном измерении и вычислении «среднего» значение этого нового среднего может измениться по сравнению с предыдущим вычисленным значением на величину D/(N + 1). Если эта величина изменения меньше d, то проведение ещё большего количества измерений не имеет смысла, так как приборная погрешность больше, чем изменение среднего значения, получаемое в результате дополнительных измерений.

Итак, минимальное количество измерений, которое следует провести, равно примерно D/d 1. Единицей в полученной формуле можно пренебречь и ориентироваться на число измерений D/d.

Правила записи измеренных величин с указанием ошибок При измерении длин черенков лопат были получены следующие значения 120,3 см, 130,0 см, 127,5 см и т. д. При вычислениях с помощью калькулятора получилось среднее значение Xсредн = 123,045678 см и средний модуль отклонения от среднего значения DX = 6,789123 см. Как правильно записать полученный результат? У всех измеренных величин обязательно сохраняются числа 1 — в сотнях, 2 — в десятках, а число единиц меняется от одного значения к другому.

Значит, в среднем значении следует сохранить только 123, а все остальные цифры (начиная с десятых долей) отбросить.

Величина отклонения от среднего значения записывается так, чтобы осталась одна значащая цифра, если она больше 1, и две, если первая цифра равна 1. Значит, в нашем случае следует округлить 6,789 до ближайшего числа с одной значащей цифрой: 6,789 7.

Таким образом, правильная запись полученного результата такова: Xсредн ± DX = 123 ± 7 (см).

Вероятности осуществления событий У пустого коробка центр масс смещён относительно его геометрического центра. Центр масс смещён в сторону той большой грани коробка (№ 1), к которой прилегает дно пустого лотка для спичек, и удалён от той большой по площади грани (№ 2), к которой обращена ёмкость лотка. Он также смещён в сторону той средней по площади грани коробка (№ 3), на которой оболочка вдвое толще, чем на другой такой же по площади стороне (№ 4). На этой толстой грани картонная оболочка склеивается. Две самые маленькие по площади грани коробка (№ 5 и № 6) ничем друг от друга не отличаются, по отношению к ним центр масс располагается симметрично.

На приведённой фотографии спичечного коробка можно указать, какие номера будут иметь грани параллелепипеда (после закрывания коробка). Грань № 1 самая дальняя от нас. Грань № 2 — сверху (ближайшая к нам), № 3 — нижняя, № 4 — верхняя, и № 5 и № 6 — грани справа и слева.

Задание: провести много (больше 100) испытаний с подбрасыванием щелчком пальцев пустого спичечного коробка.

Грани коробка нужно пометить в соответствии с данным выше описанием. Привести числа остановок коробка после падений на гранях с разными номерами. Выразить в процентах вероятности осуществления того или иного исхода броска.

Обработка 3500 бросков спичечного коробка (такие эксперименты проводили дома ученики двух классов) дала следующие результаты:

грань № 1: 50,1 ± 0,6%;

грань № 2: 42,2 ± 0,5%.

Сумма вероятностей остановки коробка после падения на больших по площади гранях равна 92,3 ± 0,6%.

Средние по площади грани (№ 3 и № 4, сумма): 5,7 ± 0,4%.

Маленькие грани (№ 5 и № 6, сумма): 2,0 ± 0,3%.

Итак, хорошо заметно, что смещение центра тяжести от геометрического центра привело к изменению вероятностей для двух разных самых больших по площади граней!

Размеры коробка 50 мм 37 мм 15 мм. Вероятности остановки коробка после падения на разных гранях отнюдь не пропорциональны площадям граней «больших : средних : маленьких». Площади относятся примерно как 10 : 5 : 3, а вероятности падений на большие, средние и малые по площади грани относятся как 46 : 3 : 1.

Вероятность остановки коробка после падения на маленькой грани измерена с относительной точностью 15%. Для того чтобы повысить точность измерения вероятности падения коробка на маленькую грань в 10 раз, то есть измерить её с относительной точностью 1,5%, нужно произвести в сто раз больше бросков.