МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО»

УТВЕРЖДЕНО

Ученым советом механико-математического факультета протокол № 4 от 18 марта 2014 г.

Программа вступительных испытаний в аспирантуру по направленности «Математическая логика, алгебра и теория чисел» (01.01.06) Нижний Новгород, 201

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА

В АСПИРАНТУРУ

по специальности 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел Аналитическая геометрия Векторная алгебра. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, прямые на плоскости, плоскости и прямые в пространстве. Основные кривые и поверхности второго порядка. Классификация кривых второго порядка.

Алгебра Кольца и поля. Поле комплексных чисел. Многочлены и их корни. Наибольший общий делитель многочленов, алгоритм Евклида, свойство факториальности кольца многочленов над полем. Теорема Безу, кратность корня, основная теорема алгебры (без доказательства), корни многочленов с вещественными коэффициентами, теорема Штурма. Многочлены от нескольких неизвестных. Симметрические многочлены.

Алгебра матриц. Группа подстановок n-й степени. Определители. Правило Крамера.

Действия над матрицами, обратная матрица.

Векторные пространства, системы линейных алгебраических уравнений. Линейная зависимость систем векторов, ранг матрицы, критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений, связь между решениями неоднородной и однородной систем, фундаментальная система решений. Билинейные и квадратичные формы и их матрицы, теорема Лагранжа о приведении квадратичной формы к каноническому виду, закон инерции вещественных квадратичных форм.

Линейные операторы и их матрицы. Собственные векторы и собственные значения.

Сопряженный оператор. Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Самосопряженные, ортогональные и унитарные операторы и их свойства.

Приведение квадратичной формы к главным осям.

Элементы теории групп. Группы, подгруппы, циклические группы, теорема Лагранжа.

Факторгруппа, основная теорема о гомоморфизмах. Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Теоремы Силова. Свободные группы. Задание группы образующими и определяющими соотношениями. Свободные абелевы группы. Классификация конечных и конечнопорожденных абелевых групп. Основы теории представлений групп.

Дискретная математика и математическая логика Элементы теории множеств. Операции над множествами, мощность множеств, теорема Шредера-Бернштейна. Счетные множества, теорема Кантора, мощность континуум.

Алгебра высказываний. Формулы логики высказываний, совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ), двойственность в алгебре высказываний. Булевы функции, список булевых функций от двух переменных, понятия замкнутости и полноты функционального класса, полиномы Жегалкина, классы Поста.

Теория чисел Свойства простых и составных чисел. Теорема Чебышева об оценках количества простых чисел до заданной границы.

Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел.

Сравнения. Теорема Эйлера и малая теорема Ферма. Квадратичные вычеты. Символ Лежандра. Закон взаимности Гаусса. Цепные дроби. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. Первообразные корни и индексы.

Характеры. L-функции Дирихле. Простые числа в арифметических прогрессиях.

Алгебраические числа.

Дифференциальная геометрия и топология Способы задания гладкой кривой. Определения и геометрический смысл кривизны и кручения гладкой кривой. Формулы Френе.

Гладкие поверхности. Теоремы о неявном и параметрическом задании гладкой поверхности.

Касательная плоскость. Нормаль. Первая квадратичная форма поверхности и ее применения, в том числе к нахождению площади поверхности.

Вторая квадратичная форма поверхности. Теорема о кривизне кривой на поверхности.

Нормальная кривизна поверхности в данном направлении. Теорема Менье. Формула Эйлера.

Асимптотические линии поверхности. Главные кривизны и главные направления в точке поверхности. Формулы для нахождения главных кривизн, главных направлений, полной и средней кривизны поверхности, заданной параметрически. Понятие о внутренней геометрии поверхности. Теорема Гаусса. Деривационные формулы Гаусса и Вейнгартена, символы Кристоффеля. Теорема Бонне. Абсолютный дифференциал векторного поля вдоль кривой.

Параллельный перенос векторного поля вдоль кривой и его свойства. Геодезическая кривизна кривой. Геодезические линии на поверхности и их свойства. Теорема Клеро.

Геодезические линии на сфере.

Гладкие многообразия и гладкие отображения. Примеры: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство. Многообразие с краем. Касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные и тензорные поля на многообразии. Риманова метрика.

Топологические пространства и подпространства. Базы, критерии базы в пространстве и в множестве. Метрические топологии. Классификация точек относительно подмножества.

Непрерывные отображения, гомеоморфизмы, понятие топологических инвариантов.

Аксиомы отделимости. Связность и линейная связность. Аксиомы счетности, сепарабельность. Компактность пространства и подмножества. Теорема о замкнутом подмножестве компакта. Замкнутость компакта в хаусдорфовом пространстве. Сохранение компактности при непрерывных отображениях. Критерий компактности в арифметическом пространстве. Теорема Вейерштрасса о непрерывной функции на компактном пространстве.

Произведение топологических пространств. Сохранение хаусдорфовости, связности, линейной связности и аксиом счетности при умножении топологических пространств.

Компактность произведения компактных пространств. Фактор-топология, факторпространство.

Топологические многообразия. Классификация одномерных топологических многообразий.

Представление поверхности правильным семейством многоугольников. Эйлерова характеристика поверхности и ее топологическая инвариантность. Ориентируемость поверхности. Канонические многоугольники и канонические поверхности. Классификация двумерных замкнутых многообразий.

Математический анализ Предел и непрерывность функции одной переменной. Производная. Дифференциал.

Дифференциальные теоремы о среднем. Формула Тейлора. Дифференцируемость функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Теорема о существовании первообразной.

Формула Ньютона-Лейбница. Теорема об интегрируемости по Риману функции, непрерывной на отрезке.

Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Степенные ряды.

Несобственные интегралы и их сходимость. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра. Свойства равномерно сходящихся интегралов. Криволинейные и поверхностные интегралы. Формулы Грина, Остроградского, Стокса.

Ряды Фурье. Теорема о сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно-гладкой функции. Терема о порядке малости коэффициентов Фурье.

Комплексный анализ Дифференцируемость функции комплексного переменного и условия Коши-Римана.

Функции аналитические и гармонические. Необходимые и достаточные условия аналитичности функции в области. Связь аналитических и гармонических функций Интегральные теоремы и формула Коши. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Интеграл Коши для односвязной и многосвязной областей.

Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты и их применение. Теорема о разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки. Формула вычисления вычета в полюсе, основная теорема теории вычетов.

Функциональный анализ Измеримые функции. Интеграл Лебега. Действия над измеримыми функциями. Теорема Егорова. Теоремы Лебега, Леви и (лемма) Фату о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.

Непрерывные линейные функционалы. Линейные операторы. Линейные функционалы на нормированных пространствах, теорема Хана-Банаха в нормированном пространстве.

Сопряженный оператор в евклидовом пространстве, спектр оператора, резольвента Дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, их решения. Постановка задачи Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка (формулировки и смысл). Примеры нарушения единственности. Теорема о продолжении решений.

Общая теория линейных уравнений. Определитель Вронского, формула ЛиувилляОстроградского. Фундаментальная система решений однородного уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных для линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Классификация фазовых портретов.

Литература 1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. I. Основы алгебры. М.: МЦНМО, 2009.

2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч. II. Линейная алгебра. М.: МЦНМО, 2009.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру.Ч. III. Основные структуры алгебры. М.: МЦНМО, 4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. СПб.: Лань, 2006.

5. Верещагин Н.К., Шень А. Начала теории множеств. М.: МЦНМО, 1999.

6. Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. М.: Физматлит, 2002.

7. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.: Энас, 2003.

8. Виноградов И.М. Основы теории чисел. СПб.: Лань, 2004.

9. Бухштаб А.А. «Теория чисел», М: Просвещение.- 1966г.

10. Нестеренко Ю.В. «Теория чисел», изд. Академия, 2008г.

11. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. «Теория чисел», Любое издание.

12. Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: «Мир», 1972.

13. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии.- М.:

Наука.- 1987.

14. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии.- Ижевск: Институт компьютерных исследований.- 2002.

15. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии.

М.: ФИЗМАТГИЗ, 2004.

16. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. М.: УРСС, 2003.

17. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. - М.: Наука. Гудков Д.А. Начала топологии. Метод. разработка. Ч.1-8.- Горький: Изд. ГГУ.- 1981Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, ч.1,2, М.: Изд.

МГУ, 1987.

20. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1,2., М.:Высшая школа, 1982; М.: Alfa, 21. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977.

22. Свешников А.Г., Тихонов А.М. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 23. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.

М.: Физматлит, 2009.

24. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009.

25. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 26. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

27. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: КомКнига, 2007.

28. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.