«Г.Г. Арунянц МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Практикум Калининград, 2009 УДК 330.4(076.5) ББК 65в631я73 А79 Арунянц Г.Г. Моделирование экономических процессов: практикум. – Калининград: Балтийский институт А79 ...»

НОУ ВПО "БАЛТИЙСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ

И ФИНАНСОВ" (БИЭФ)

Г.Г. Арунянц

МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Практикум

Калининград, 2009

УДК 330.4(076.5)

ББК 65в631я73 А79 Арунянц Г.Г. Моделирование экономических процессов:

практикум. – Калининград: Балтийский институт

А79

экономики и финансов, 2009. - 223 с.

Автор: Г.Г. Арунянц, доктор технических наук, профессор.

Рецензенты: И.Д. Рудинский, доктор педагогических наук, профессор; Л.И. Сергеев, доктор экономических наук, профессор, заслуженный экономист России.

Рассматриваются основы алгоритмического моделирования и процессы разработки ряда алгоритмических моделей экономических объектов.

Приводятся сведения из теории вероятностей и математической статистики, необходимые для понимания этих моделей, а также оптимизационные методы и модели управления экономическими системами, линейное программирование, задания для самостоятельной работы по построению математических моделей и решению задач линейного программирования, в том числе с применением среды Excel. В соответствующих разделах приведены примеры решения конкретных задач моделирования. Особое внимание уделено формированию заданий для самостоятельных и курсовых работ. В приложениях к заданиям даны программы рассмотренных моделей на языках Visual Basic и Pascal.

Практикум предназначен для студентов, обучающихся по специальности "Прикладная информатика в экономике" и других экономических специальностей, а также лиц, получающих второе высшее экономическое образование.

Печатается по решению Ученого совета БИЭФ, протокол №3 от 26 марта 2009 г.

ISBN 978-5-8002-0144- БИЭФ, 2009.

Арунянц Г.Г., 2009.

Балтийский институт 3 Моделирование эконом. процессов.

экономики и финансов Практикум. Калининград, 2009.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Модели и моделирование

1.1. Понятие модели и моделирования. Классификация видов моделирования и моделей систем

1.2. Последовательность разработки математических моделей

Глава 2. Примеры составления математических моделей

Глава 3. Статистическое моделирование экономических систем

3.1. Теоретические основы метода

3.2. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло

3.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем. Глава 4. Методы и модели корреляционно-регрессионного анализа.............. 4.1. Общие сведения

4.2. Исходные предпосылки регрессионного анализа и свойства оценок........... 4.3. Этапы построения многофакторной корреляционной регрессионной модели

Глава 5. Линейное программирование в решении оптимизационных задач. 5.1. Задачи линейного программирования

5.2. Примеры построения экономико-математических моделей задач линейного программирования

5.3. Графические методы решения задач линейного программирования........... 5.4. Симплекс-метод

5.5. Задания для самостоятельной работы по построению математических моделей задач линейного программирования

5.6. Задания для самостоятельной работы по решению задач линейного программирования графическим методом

5.7. Задания для самостоятельной работы по решению задач линейного программирования симплекс-методом

5.8. Примеры решения задач линейного программирования на базе Excel........ Глава 6. Самостоятельные и курсовые работы

6.1. Основные требования

6.2. Примеры заданий на курсовые работы

Библиографический список

Приложения

Бурное развитие ЭВМ в последней четверти XX века стимулировало развитие новых теоретических и прикладных направлений. Ресурсы современной информационной технологии дают возможность решать математические задачи такой сложности, которые в недавнем прошлом казались нереализуемыми.

Появление быстродействующих ЭВМ с большим объемом оперативной памяти позволило перейти от приближенных аналитических методов к разработке алгоритмических, или имитационных, моделей, позволяющих описывать реальные процессы на уровне их понимания исследователем.

специальностей вузов представляется отсутствие в них изучения в достаточном объеме специализированных языков моделирования. В этих условиях универсальные и процедурно-ориентированные языки общего назначения (Visual Basic, Pascal, Delphi и др.) могут быть успешно использованы для выработки у студентов навыков решения задач моделирования типовых экономических процессов.

Преимуществом языков общего назначения является то, что их трансляторы включены в состав математического обеспечения всех современных компьютеров.

В данном практикуме рассматриваются основные методы и подходы к разработке и созданию алгоритмических моделей экономических систем.

Практикум предназначен для студентов экономических специальностей вузов, изучающих методы моделирования экономической и управленческой деятельности. Сегодня для разработки моделей сложных экономических систем часто используются современные пакеты прикладных программ типа GPSS, Pilgrim, Rethink и т.п., позволяющие создавать многоуровневые структурные (функциональные) модели исследуемых объектов в графических терминах. Однако для изучения упомянутых пакетов прикладных программ студентам требуется дополнительное учебное время, которым обычно современный вуз не располагает. В то же время для разработки и создания сравнительно простых моделей экономических систем вполне пригоден метод алгоритмического моделирования. Для его применения достаточно знания одного из универсальных языков программирования типа Pascal, Quick Basic или Visual Basic.

самостоятельных и курсовых работ (Глава 6) принималось во внимание известное положение [6] о том, что в разработке моделей экономических систем, как правило, участвуют два специалиста.

Балтийский институт 5 Моделирование эконом. процессов.

Первый из них – это предприниматель или менеджер, который заинтересован в создании математической модели некоторой еще не существующей экономической системы с целью получения максимально возможной прибыли. Он должен представлять, какие переменные являются независимыми (входными) и какие зависимыми (выходными), какие факторы влияют на процесс, протекающий в экономической системе, и какие из них являются в той или иной степени неопределенными (неизвестными). Предприниматель должен выбрать показатель, по которому он собирается оценивать эффективность будущей экономической системы, и критерий для выбора альтернативных вариантов ее структуры.

Второй разработчик – это специалист в области математического моделирования сложных систем (не обязательно экономических). Он должен, используя информацию, полученную от предпринимателя, составить формализованное описание алгоритмической модели, разработать алгоритм и программу, произвести отладку и испытания модели и совместно с предпринимателем провести машинный эксперимент с экономической моделью с целью установления оптимальных параметров системы, обеспечивающих максимум (или минимум) выбранного показателя эффективности.

Студент, обучающийся экономической специальности, в том числе "Прикладная информатика в экономике", должен приобрести навыки в качестве обоих упомянутых лиц. Это означает, что в процессе работы по созданию модели экономической системы он должен действовать то как предприниматель, то как специалист по моделированию, т.е. постоянно вести диалог сам с собой, становясь то в позицию предпринимателя, то в позицию разработчика модели. В связи с этим описание каждой алгоритмической модели, приводимой в части заданий, начинается с диалога между предпринимателем и консультантом. В результате диалога появляется концептуальная модель экономической системы. Таким путем предполагается облегчить четкое понимание читателями того, как вырабатывается исходная информация для алгоритмической модели.

Наряду со сведениями теоретического характера в практикуме разбирается большое количество примеров и задач, цель которых – уяснение основных понятий и математических методов. В конце большинства разделов пособия приводятся задачи для самостоятельного решения. Подборка этих задач проводилась из требования обеспечить эффективную проверку степени усвоения студентами изученного материала. Примеры и задачи предусматривают небольшой объем вычислений, но могут служить и в качестве исходных данных для разработки на их основе машинных алгоритмов решения поставленных задач. Преподаватели могут формировать с использованием приведенных заданий и примеров различные варианты новых заданий, в том числе Балтийский институт 6 Моделирование эконом. процессов.

комбинированных, позволяющих проверять знания студентов в процессе выполнения ими практических заданий по курсу.

В целом этап изучения студентами этого курса завершают самостоятельные и курсовые работы (проекты) по дисциплине "Математическое моделирование экономических процессов". Основной целью выполнения курсовой работы (проекта) является получение и закрепление студентами практических навыков выполнения работ на одной из важнейших стадий создания систем управления – математического моделирования элементов экономических систем.

Дополнительные теоретические сведения для более глубокого изучения того или иного раздела можно получить из приведенных в специальных сносках и списке литературы источников.

1.1. Понятие модели и моделирования. Классификация видов При использовании метода моделирования свойства и поведение объекта изучают путем применения вспомогательной системы – модели, находящейся в определенном объективном соответствии с исследуемым объектом.

Представления о тех или иных свойствах объектов, их взаимосвязях формируются исследователем в виде описания этих объектов на обычном языке, в виде рисунков, графиков, формул или реализуются в виде макетов и других устройств. Подобные способы описания обобщаются в едином понятии – модель, а построение и изучение моделей называется моделированием.

Модель – объект любой природы, который создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает только существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала.

Модель считается адекватной объекту-оригиналу, если она с достаточной степенью приближения на уровне понимания моделируемого процесса исследователем отражает закономерности процесса функционирования реальной системы во внешней среде.

Модели позволяют вынести упрощенное представление о системе и получить некоторые результаты намного проще, чем при изучении реального объекта. Более того, гипотетически модели объекта могут быть исследованы и изучены перед тем, как объект будет создан.

В практике исследования производственно-экономических объектов модели могут применяться для самых разных целей, что вызывает использование моделей различных классов. Построение однойединственной математической модели для сложной производственной системы практически не представляется возможным без разработки вспомогательных моделей. Поэтому, как правило, при создании конечной математической модели исследуемого объекта строят частные вспомогательные модели, отражающие ту или иную информацию об объекте, имеющуюся у разработчика на данном этапе построения модели.

В основе моделирования лежит теория подобия, которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места, и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта.

Классификационные признаки. В качестве одного из первых признаков классификации видов моделирования можно выбрать степень полноты модели и разделить модели в соответствии с этим признаком на полные, неполные и приближенные. В основе полного моделирования лежит полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту. В основе приближенного моделирования лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем.

Классификация видов моделирования систем S приведена на рис. 1.1.

Гипотетическое В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т.е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий;

стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и Балтийский институт 9 Моделирование эконом. процессов.

события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т.е. набор однородных реализаций. Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для тех случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

В зависимости от формы представления объекта (системы S) можно выделить мысленное и реальное моделирование.

Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте.

Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков и символов.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности.

Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий.

Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты Балтийский институт 10 Моделирование эконом. процессов.

при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Желая использовать аналитический метод, часто идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Аналитические методы бывают детерминированными и статистическими. Численный метод проведения аналитических расчетов с помощью датчиков случайных чисел получил название метода статистических испытаний, или метода Монте-Карло.

При алгоритмическом моделировании описывается процесс функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.

Аналитические модели также могут быть детерминированными и статистическими. В последнем случае в модели с помощью датчиков случайных чисел имитируется действие неопределенных и случайных факторов. Такой метод моделирования получил название метода статистического моделирования. В настоящее время этот метод считается наиболее эффективным методом исследования сложных систем, а часто и единственным практически доступным методом получения информации о поведении гипотетической системы на этапе ее проектирования.

Комбинированное моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и алгоритмического моделирования. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса функционирования модели на составляющие подпроцессы. Для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных процессов строятся алгоритмические модели.

Насколько можно судить по литературным источникам, общепринятой классификации моделей экономических систем пока не существует. Однако представляется достаточно полезной классификация математических моделей экономических систем, приведенная в книге Т.

Нейлора "Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем" (1971 г.) (рис. 1.2).

Экономико-математической моделью (ЭММ) называется выражение, состоящее из совокупности связанных между собой математическими зависимостями (формулами, уравнениями, неравенствами, логическими условиями величин – факторов, все или часть которых имеют экономический смысл). По своей роли в ЭММ эти факторы целесообразно подразделить на параметры и характеристики (рис.

1.3).

МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Рис. 1.2. Классификация экономических моделей внешней среды Рис. 1.3. Классификация факторов по их роли в ЭВМ При этом параметрами объекта называются факторы, характеризующие свойства объекта или составляющих его элементов. В процессе исследования объекта ряд параметров может изменяться, поэтому они называются переменными, которые, в свою очередь, подразделяются на переменные состояния и переменные управления.

Как правило, переменные состояния объекта являются функцией переменных управления и воздействий внешней среды.

Характеристиками (выходными характеристиками) называются интересующие исследователя непосредственные конечные результаты функционирования объекта (естественно, что выходные характеристики являются переменными состояния). Соответственно характеристики внешней среды описывают свойства внешней среды, которые сказываются на процессе и результате функционирования объекта. Значения ряда факторов, определяющие начальное состояние объекта или внешней среды, называются начальными условиями.

При рассмотрении ЭММ оперируют следующими понятиями:

критерий оптимальности, целевая функция, система ограничений, уравнения связи, решение модели.

Критерием оптимальности называется некоторый показатель, имеющий экономическое содержание, служащий формализацией конкретной цели управления и выражаемый при помощи целевой функции через факторы модели. Критерий оптимальности определяет смысловое содержание целевой функции.

Целевая функция математически связывает между собой факторы модели, ее значение определяется значениями этих величин.

Содержательный смысл целевой функции придает только критерий оптимальности.

Не следует смешивать критерий оптимальности и целевую функцию.

Так например, критерии прибыли и стоимости произведенной продукции могут описываться одной и той же целевой функцией:

где i = 1, n – номенклатура производимой продукции; xi – объем выпуска i-й номенклатуры; ci – прибыль от выпуска единицы i-й номенклатуры или стоимость единицы i-й номенклатуры в зависимости от смысла критерия оптимальности.

Критерий прибыли может рассчитываться и по нелинейной целевой функции:

если прибыль от выпуска единицы i-й номенклатуры является функцией от объема выпуска xi.

При наличии нескольких критериев оптимальности каждый из них будет формализован своей частной целевой функцией E k, где k = 1, K – число критериев оптимальности. Для однозначного выбора оптимального решения исследователь может сформулировать новую целевую функцию Однако целевая функция может уже не нести экономического смысла, в этом случае критерий оптимальности для нее отсутствует.

Система ограничений определяет пределы, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений и фиксирующие основные внешние и внутренние свойства объекта. Ограничения определяют область протекания процесса, пределы изменения параметров и характеристик объекта.

Уравнения связи являются математической формализацией системы ограничений.

Критерий оптимальности и система ограничений в первую очередь определяют концепцию построения будущей математической модели, т.е.

концептуальную модель, а их формализация, т.е. целевая функция и уравнения связи, представляет собой математическую модель.

Решением математической модели называется такой набор (совокупность) значений переменных, который удовлетворяет ее уравнениям связи. Решения, имеющие экономический смысл, называют структурно допустимыми. Модели, имеющие много решений, называются вариантными в отличие от безвариантных, имеющих одно решение. Среди структурно допустимых решений вариантной модели, как правило, находится одно решение, при котором целевая функция в зависимости от смысла модели имеет наибольшее или наименьшее значение. Такое решение, как и соответствующее значение целевой функции, называется оптимальным (в частности, наименьшим или наибольшим).

Выбор метода решения оптимизационных ЭММ зависит от математической формы, связывающей факторы модели, наличия тех или иных признаков (учет динамики, учет стохастичности и т.д.).

оптимизационные (нормативные) и описательные (дескриптивные или ЭММ прямого счета).

Характерной чертой оптимизационных моделей является наличие одной или нескольких целевых функций. При этом в первом случае оптимизационные ЭММ называются монокритериальными, а во втором – многокритериальными. В общем виде монокритериальная ЭММ может быть представлена следующей системой отношений:

где Е – критерий оптимальности объекта; xi – управляемые переменные, i = 1, n ; a h – неуправляемые факторы модели; h = 1, q ; g j – уравнения связи, представляющие собой формализацию системы ограничений, j = 1, m ; f – целевая функция – формализованное выражение критерия оптимальности.

Выражение {} означает, что в ограничениях может стоять любое из приведенных в фигурных скобках логических условий.

Решение модели, заданной соотношениями (1.4) и (1.5), заключается в нахождении совокупности значений переменных обращающих в max (или min) целевую функцию Е при заданных уравнениях связи g j.

Специфика конкретных задач управления производством определила разнообразие типов оптимизационных ЭММ. Это вызвало для ряда наиболее часто повторяющихся типов ситуаций разработку "стандартных" Балтийский институт 14 Моделирование эконом. процессов.

экономико-математических методов их описания, например, распределительные задачи различных классов, задачи управления запасами, ремонта и замены оборудования, проектирования сетей и выбора маршрутов и т.д.

Существенным признаком описательных моделей является отсутствие в них критерия оптимальности. Решение, даваемое ЭММ прямого счета, обеспечивает либо вычисление набора выходных характеристик объекта для одного или нескольких вариантов начальных условий и входных характеристик объекта, либо нахождение какой-либо совокупности значений в структурно допустимой области решений.

В зависимости от степени формализованности связей f и gi между факторами моделей в выражениях (1.4) и (1.5) различают аналитические и алгоритмические модели.

В расширение представленного ранее отметим, что аналитической формой записи называется запись математической модели в виде алгебраических уравнений или неравенств, не имеющих разветвлений вычислительного процесса при определении значений любых переменных состояния модели, целевой функции и уравнений связи. Если в математических моделях единственная целевая функция f и ограничения gj заданы аналитически, то подобные модели относятся к классу моделей математического программирования. Характер функциональных зависимостей, выраженных в функциях f и gj, может быть линейным и нелинейным. Соответственно этому ЭММ делятся на линейные и нелинейные, а среди последних в специальные классы выделяются дробно-линейные, кусочно-линейные, квадратичные и выпуклые модели.

В зависимости от того, содержит ли ЭММ случайные факторы, она может быть отнесена к классу стохастических или детерминированных.

В детерминированных моделях ни целевая функция f, ни уравнения связи gj не содержат случайных факторов. Следовательно, для данного множества входных значений модели на выходе может быть получен только один-единственный результат. Для стохастических ЭММ характерно наличие среди факторов a h модели, описываемой соотношениями (1.4) и (1.5), таких, которые имеют вероятностную природу и характеризуются какими-либо законами распределения, причем среди функций f и gj могут быть и случайные функции. Значения выходных характеристик в таких моделях могут быть предсказаны только в вероятностном смысле. Реализация стохастических ЭММ в большинстве случаев осуществляется на ЭВМ методами имитационного статистического моделирования.

Следующим признаком, по которому можно различать ЭММ, является связь с фактором времени. Модели, в которых входные факторы, а, следовательно, и результаты моделирования явно зависят от времени, называются динамическими, а модели, в которых зависимость от времени Балтийский институт 15 Моделирование эконом. процессов.

t либо отсутствует совсем, либо проявляется слабо или неявно, называют статическими.

1.2. Последовательность разработки математических моделей В процесс разработки и машинной реализации математической модели входят следующие этапы:

· построение концептуальной модели;

· разработка алгоритма модели системы;

· разработка программы модели системы;

· проведение машинных экспериментов с моделью системы.

Построение концептуальной модели включает следующие подэтапы:

– постановка задачи моделирования;

– определение требований к исходной информации и ее сбор;

– выдвижение гипотез и предложений;

– определение параметров и переменных модели;

– обоснование выбора показателей и критериев эффективности системы;

– составление содержательного описания модели.

При постановке задачи моделирования дается четкая формулировка целей и задач исследования реальной системы, обосновывается необходимость машинного моделирования, выбирается методика решения задачи с учетом имеющихся ресурсов, определяется возможность разделения задачи на подзадачи.

При сборе необходимой исходной информации следует помнить, что именно от качества исходной информации об объекте моделирования зависят как адекватность модели, так и достоверность результатов моделирования.

Гипотезы при построении модели системы служат для заполнения "пробелов" в понимании задачи исследователем. Предположения дают возможность провести упрощение модели. В процессе работы с моделью системы возможно многократное возвращение к этому подэтажу в зависимости от полученных результатов моделирования и новой информации об объекте.

При определении параметров и переменных составляется перечень входных, выходных и управляющих переменных, а также внешних и внутренних параметров системы.

Выбранные показатели и критерии эффективности системы должны отражать цель функционирования системы и представлять собой функции переменных и параметров системы.

Разработка концептуальной модели завершается составлением содержательного описания, которое используется как основной документ, характеризующий результаты работы на первом этапе.

Разработка алгоритма модели включает следующие подэтапы:

– построение логической схемы алгоритма;

– получение математических соотношений;

– проверку достоверности алгоритма.

Вначале создается укрупненная (обобщенная) схема моделирующего алгоритма, которая задает общий порядок действий при моделировании исследуемого процесса. Затем разрабатывается детальная схема, каждый элемент которой впоследствии превращается в оператор программы.

Для комбинированных моделей разрабатывается аналитическая часть в виде явных функций и имитационная часть – в виде моделирующего алгоритма.

Проверка адекватности алгоритма должна дать ответ на вопрос, насколько алгоритм отражает замысел моделирования, сформулированный на этапе разработки концептуальной модели.

Разработка программы на ЭВМ включает следующие подэтапы:

– выбор вычислительных средств;

– проведение программирования;

– проверку достоверности программы.

Прежде всего, выбирается тип ЭВМ (компьютера) и язык программирования. Создание программы по детально разработанному алгоритму может осуществить программист без участия и помощи разработчика модели.

После составления программы производится проверка ее достоверности на контрольном примере. На этом подэтапе необходимо оценить затраты машинного времени для расчета одной реализации моделируемого процесса, что позволит разработчику модели правильно сформулировать требования к точности и достоверности результатов моделирования.

Балтийский институт 17 Моделирование эконом. процессов.

1.2.4. Проведение машинных экспериментов с моделью системы На этом этапе проводятся серийные расчеты по составленной и отлаженной программе. Этап включает следующие подэтапы:

– планирование машинного эксперимента;

– проведение рабочих расчетов;

– представление результатов моделирования;

– интерпретацию результатов моделирования;

– выдачу рекомендаций по оптимизации режима работы реальной системы.

Перед проведением рабочих расчетов на ЭВМ должен быть составлен план проведения эксперимента с указанием комбинации переменных и параметров, для которых должно проводиться моделирование системы. Задача заключается в разработке оптимального плана эксперимента, реализация которого позволяет при сравнительно небольшом числе испытаний модели получить достоверные данные о закономерностях функционирования системы.

Результаты моделирования могут быть представлены в виде таблиц, графиков, диаграмм, схем и т.п. В большинстве случаев наиболее простой формой считаются таблицы, хотя графики более наглядно иллюстрируют результаты моделирования системы.

Целесообразно предусмотреть вывод результатов на экран дисплея и принтер.

Интерпретация результатов моделирования имеет целью переход от информации, полученной в результате машинного эксперимента с моделью, к выводам, касающимся процесса функционирования объектаоригинала.

На основании анализа результатов моделирования принимается решение о том, при каких условиях система будет функционировать с наибольшей эффективностью.

Глава 2. Примеры составления математических Пример 2.1. Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны:

виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта.

Обозначим известные величины:

ci – спрос населения на i-й продукт (i=1,...,n); aij – количество i-го продукта, необходимое для выпуска единицы j-го продукта по данной технологии (i=1,...,n ; j=1,...,n).

Обозначим неизвестные величины:

хi – объем выпуска i-го продукта (i=1,...,n); совокупность с =(c1,...,cn) называется вектором спроса, числа aij – технологическими коэффициентами, а совокупность х =( х1,...,хn) – вектором выпуска.

По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с) и на воспроизводство (вектор х-с).

Вычислим ту часть вектора х, которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства хj количества j-го товара идет aij · хj количества i-го товара.

Тогда сумма ai1 · х1 +...+ ain · хn показывает ту величину i-го товара, которая нужна для всего выпуска х =(х1,...,хn).

Следовательно, должно выполняться равенство:

Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х1,...,хn, найдем требуемый вектор выпуска.

Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная ( n n ) - матрица А называется технологической матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так:

х - с = Ах или Мы получили классическую модель "Затраты – выпуск", автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 2.2. Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В - 15 единиц.

При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б) и мазут (М). Имеются три варианта технологического процесса переработки:

II: 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М III: 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М Цена бензина — 10 долл. за единицу, мазута - 1 долл. за единицу.

технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что "выгодность" технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что "выбор (принятие) решения" завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Обозначим неизвестные величины:

хi – количество использования i-го технологического процесса (i=1,2,3).

Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута) известны.

Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора х=( х1,х2,х3), для которого выручка завода равна (32х1+15х2 +12х3) долл. Здесь 32 долл. – это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта В: (2х1+х2 +2х3) 15, где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 – это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I, II, III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор х = (х1,х2,х3), чтобы максимизировать при выполнении условий:

Сокращенная форма этой записи такова:

при ограничениях Мы получили так называемую задачу линейного программирования.

Модель (2.2) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример 2.3. Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j-го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг.

Обозначим известные параметры задачи:

n – число разновидностей ценных бумаг; аj – фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги; a i – ожидаемая прибыль от j-го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины:

yj - средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j.

По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как y. Для упрощения модели введем новые величины Таким образом, хi - это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг вида j.

Из условия задачи видно, что цель инвестора - достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М - обозначение математического ожидания.

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

при ограничениях Мы получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

Модель (2.3) является примером оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример 2.4. На базе торговой организации имеется n типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завезти в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль рj, если же он не будет пользоваться спросом - убыток qj.

Перед моделированием обсудим некоторые принципиальные моменты. В данной задаче лицом, принимающим решение (ЛПР), является магазин. Однако исход (получение максимальной прибыли) зависит не только от его решения, но и от того, будет ли завезенный товар пользоваться спросом, т.е. будет ли выкуплен населением (предполагается, что по какой-то причине у магазина нет возможности изучить спрос населения). Поэтому население может рассматриваться как второе ЛПР, выбирающее тип товара согласно своему предпочтению. Наихудшим для магазина "решением" населения является: "завезенный товар не пользуется спросом". Так что, для учета всевозможных ситуаций, магазину нужно считать население своим "противником" (условно), преследующим противоположную цель – минимизировать прибыль магазина.

Итак, имеем задачу принятия решения с двумя участниками, преследующими противоположные цели. Уточним, что магазин выбирает один из типов товаров для продажи (всего n вариантов решений), а население - один из типов товаров, который пользуется наибольшим спросом (n вариантов решений).

Для составления математической модели нарисуем таблицу с n строками и n столбцами (всего n2 клеток) и условимся, что строки соответствуют выбору магазина, а столбики - выбору населения. Тогда клетка (i, j) соответствует той ситуации, когда магазин выбирает i-й тип товара (i-ю строку), а население выбирает j-й тип товара (j-й столбик). В каждую клетку запишем числовую оценку (прибыль или убыток) соответствующей ситуации с точки зрения магазина:

Числа qi написаны с минусом для отражения убытка магазина; в каждой ситуации "выигрыш" населения (условно) равен "выигрышу" магазина, взятому с обратным знаком.

Сокращенный вид этой модели таков:

Мы получили так называемую матричную игру. Модель (2.4.) является примером игровых моделей принятия решения.

Глава 3. Статистическое моделирование Метод статистического моделирования (или метод Монте-Карло) – это способ исследования поведения вероятностных систем (экономических, технических и т.д.) в условиях, когда неизвестны в полной мере внутренние взаимодействия в этих системах.

Этот метод заключается в воспроизведении исследуемого физического процесса при помощи вероятностной математической модели и вычислении характеристик этого процесса. Одно такое воспроизведение функционирования системы называют реализацией или испытанием.

После каждого испытания регистрируют совокупность параметров, характеризующих случайный исход реализации. Метод основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой полученных данных с целью определения числовых характеристик рассматриваемого процесса в виде статистических оценок его параметров. Процесс моделирования функционирования экономической системы сводится к машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на ЭВМ со всеми сопровождающими его случайностями.

Первые сведения о методе Монте-Карло были опубликованы в конце 40-х гг. Авторами метода являются американские математики Дж. Нейман и С. Улам. В нашей стране первые работы были опубликованы в 1955-1956 гг. В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдером и B.C. Владимировым.

Основой метода статистического моделирования является закон больших чисел. Закон больших чисел в теории вероятностей доказывает для различных условий сходимость по вероятности средних значений результатов большого числа наблюдений к некоторым постоянным величинам.

Под законом больших чисел понимают ряд теорем. Например, одна из теорем П.Л. Чебышева формулируется так: "При неограниченном увеличении числа независимых испытаний п среднее арифметическое свободных от систематических ошибок и равноточных результатов дисперсию Dx i, сходится по вероятности к математическому ожиданию Mxi этой случайной величины". Это можно записать в следующем виде:

где e – сколь угодно малая положительная величина.

Теорема Бернулли формулируется так: "При неограниченном увеличении числа независимых испытаний в одних и тех же условиях частота P * ( A) наступления случайного события А сходится по вероятности к его вероятности Р", т. е.

Согласно данной теореме, для получения вероятности какого-либо события, например, вероятности состояний некоторой системы (испытания), далее проводят подобные вычисления для числа реализаций, равного п. Результаты усредняют и этим самым с некоторым приближением получают искомые вероятности состояний системы. На основании вычисленных вероятностей определяют другие характеристики системы. Следует отметить, что чем больше число реализаций, тем точнее результаты вычисления искомых величин (вероятностей состояний системы).

Последнее утверждение легко доказать. Предположим, что требуется найти неизвестную величину т. Подберем такую случайную величину x, чтобы M (x ) = m и D (x ) = b 2. Рассмотрим n случайных величин x1, x 2,..., x n, распределение которых совпадает с распределением x. Если п достаточно велико, то согласно центральной предельной теореме распределение суммы r n = x1 + x 2 +... + x n будет приближенно нормальным с параметрами Из правила "трех сигм" Разделим неравенство, стоящее в фигурных скобках, на n и получим эквивалентное неравенство с той же вероятностью:

Теперь разыграем событие В при условии, что событие А в испытании не имело место. Пусть случайное число x 2 = 0,22, тогда x 2 < P ( B / A ), т. е. 0,22 <. Событие В при испытании наступило.

Понятие о моделировании случайных функций Для моделирования случайных функций используют два способа. В первом из них применяются специальные физические датчики, вырабатывающие непрерывные реализации случайной функции.

Физические датчики с помощью специальных фильтров преобразуют собственные шумы в случайные функции с заданными характеристиками.

В основе второго способа моделирования случайных функций лежит использование случайных чисел. При этом получают значения реализации моделируемой случайной функции в изолированных точках. Сущность способа состоит в том, что воспроизведение реализации случайной функции сводится к моделированию системы коррелированных случайных величин.

3.2. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло Рассмотренные в работе [3] аналитические методы анализа систем массового обслуживания (СМО) исходят из предположения, что входящие и исходящие потоки требований являются простейшими. Зависимости, используемые в этих методах для определения показателей качества обслуживания, справедливы лишь для установившегося режима функционирования СМО. Однако в реальных условиях функционирования СМО имеются переходные режимы, а входящие и исходящие потоки требований являются далеко не простейшими. В этих условиях для оценки качества функционирования систем обслуживания широко используют метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Основой решения задачи исследования функционирования СМО в реальных условиях является статистическое моделирование входящего потока требований и процесса их обслуживания (исходящего потока требований).

Для решения задачи статистического моделирования функционирования СМО должны быть заданы следующие исходные данные:

– описание СМО (тип, параметры, критерии эффективности работы системы);

– параметры закона распределения периодичности поступлений требований в систему;

– параметры закона распределения времени пребывания требования в очереди (для СМО с ожиданием);

– параметры закона распределения времени обслуживания требований в системе.

Решение задачи статистического моделирования функционирования СМО складывается из следующих этапов.

1.Вырабатывают равномерно распределенное случайное число x i.

2.Равномерно распределенные случайные числа преобразуют в величины с заданным законом распределения:

– интервал времени между поступлениями требований в систему ( DtTi ):

– время ухода заявки из очереди (для СМО с ограниченной длиной очереди);

– длительность времени обслуживания требования каналами ( Dt Oi ).

3. Определяют моменты наступления событий:

– поступление требования на обслуживание;

– уход требования из очереди;

– окончание обслуживания требования в каналах системы.

4. Моделируют функционирование СМО в целом и накапливают статистические данные о процессе обслуживания.

5. Устанавливают новый момент поступления требования в систему, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.

6. Определяют показатели качества функционирования СМО путем обработки результатов моделирования методами математической статистики.

Методику решения задачи рассмотрим на примере моделирования СМО с отказами.

Пусть система имеет два однотипных канала, работающих с отказами, причем моменты времени окончания обслуживания на первом канале обозначим через t1i, на втором канале – через t2i. Закон распределения интервала времени между смежными поступающими требованиями задан плотностью распределения f1(tT). Продолжительность обслуживания также является случайной величиной с плотностью распределения f2(t0).

Процедура решения задачи будет выглядеть следующим образом:

1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное число x i.

2. Равномерно распределенное случайное число преобразуют в величины с заданным законом распределения, используя формулы табл.

3.1. Определяют реализацию случайного интервала времени ( DtTi ) между поступлениями требований в систему.

3. Вычисляют момент поступления заявки на обслуживание:

4. Сравнивают моменты окончания обслуживания предшествующих заявок на первом t1(i -1) и втором t 2 ( i -1) каналах.

5. Сравнивают момент поступления заявки t с минимальным моментом окончания обслуживания (допустим, что t1(i -1) < t 2(i -1) ) :

а) если t i < t1(i -1) < 0, то заявка получает отказ, и вырабатывают новый момент поступления заявки описанным способом;

б) если t i < t1(i -1) 0, то происходит обслуживание.

6. При выполнении условия 5б определяют время обслуживания i-й заявки на первом канале Dt1i путем преобразования случайной величины x i в величину (время обслуживания i-й заявки) с заданным законом распределения.

7. Вычисляют момент окончания обслуживания i-й заявки на первом канале t1i = [t1(i -1) + Dt1i ].

8. Устанавливают новый момент поступления заявки, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.

9. В ходе моделирования СМО накапливаются статистические данные о процессе обслуживания.

10. Определяют показатели качества функционирования системы путем обработки накопленных результатов моделирования методами математической статистики.

3.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных Под сложной технической системой будем понимать систему, состоящую из элементов (два и более). Отказ одного из элементов системы приводит к отказу системы в целом.

Рассмотрим последовательность замен некоторого определенного элемента Z данного наименования. Эксплуатация каждого нового элемента начинается с момента окончания срока службы предыдущего. Первый элемент отрабатывает время Dt1, второй – Dt 2, третий – Dt3 и т.д.

Случайная ситуация, сложившаяся в к-м опыте (ситуации) для элемента Z, показана на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Временная эпюра случайной ситуации при k-м опыте в случае мгновенного восстановления отказавшей системы путем замены элемента На рис. 3.3 видно, что система начинает свою работу в момент времени t = 0 и, отработав случайное время t1k, выходит из строя в момент t1k = tlk. В этот момент система мгновенно восстанавливается (здесь можно считать, что восстановление происходит мгновенно) – элемент заменяется – и снова работает случайное время t2k. По истечении некоторого времени система (элемент) вновь выходит из строя в момент t2 k = Dt1k + Dt2 k = t1k + Dt 2 k и вновь мгновенно восстанавливается.

Считают, что интервалы времени между отказами tik, t2k,..., tpk представляют собой систему взаимно независимых случайных величин с плотностями распределения наработок между отказами Моменты отказов или восстановлений образуют в каждом к-м опыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:

или где tik – время работы (наработка) элемента до i-го отказа в к-м опыте, час, i = 1, r ; k = 1, N ; tik – время работы (наработка) элемента между (i-1)-м и i-м отказами в к-й реализации, час, i = 1, r ; k = 1, N.

Числа t1k, t2k,..., tpk образуют случайный поток, который называется процессом восстановления. Этот процесс является различным для различных элементов и продолжается до окончания срока службы системы. Изучением таких процессов занимается теория восстановления.

Из большого количества различных процессов восстановления для исследования надежности элементов технической системы (как неремонтируемых, так и ремонтируемых) используют три типа процессов:

· простой, при котором все функции распределения наработок до первого и между последующими отказами Fi(t) равны;

· общий, при котором вид функции распределения наработки до первого отказа элемента, установленного в системе заводомизготовителем, отличается от вида функций распределения наработок элементов при последующих заменах, т. е. F1 (t ) Fi (t ), i = 2, 3, 4,...;

· сложный, при котором все функции распределения Fi (t ) различны.

Основной характеристикой процесса восстановления является функция восстановления (t) и ее дифференциальная характеристика – плотность восстановления (t), определяемые по следующим формулам:

где fn(t) и Fn(t) - соответственно плотность и функция распределения наработки до n-го отказа.

В случае независимости наработок между отказами функции распределения Fn(t) наработок до n-го отказа находятся путем последовательного применения правила свертки для суммы двух случайных величин:

Анализ и классификация методов расчета параметра и ведущей функции потока отказов приведены в работе [4]. Следует отметить, что сложность получения аналитических выражений для W(t ) и w (t ) по формулам (3.13), (3.14) состоит в том, что свертка (3.15) лишь для некоторых законов распределения вычисляется в конечном виде.

Использование аналитических методов расчета плотности w (t ) и функции восстановления W(t ) ограничено из-за сложности математической формализации применяемых стратегий восстановления работоспособности технических систем и необходимости учета множества факторов, влияющих на замену элемента в системе. В этих условиях наиболее эффективным методом расчета W(t ) и w (t ) является метод Монте-Карло.

Расчет ведущей функции и параметра потока отказов этим методом в случае простого, общего или сложного процессов производится в следующем порядке.

По известным законам распределения наработок элементов с использованием формул преобразования (табл.3.1) моделируются массивы случайных величин tjk между (i - 1)-м и i-м отказами. Размерность каждого массива равна N.

Далее вычисляются значения наработок до i-го отказа tik по следующим формулам:

где i – номер отказа, i = 1, r ; k – номер реализации при моделировании, k = 1, N ; r – максимальное число отказов элемента, получаемое в k-й реализации случайного процесса.

Затем полученные случайные величины наработок tik группируются по интервалам времени.

Номера интервалов, в которые попадают моменты возникновения отказов t1k, t 2 k,..., t ik,..., t rk, определяются по формуле:

где CEIL интервала времени.

Параметр и ведущая функция потока отказов в j-м интервале времени определяются по следующим формулам:

где nij – число попаданий случайной наработки до i-го отказа tik в j-й интервал времени ( j = 1, h ) за N реализаций.

nij =

где h – максимальное число интервалов времени.

Методика расчета параметра u>(t) и ведущей функции нестационарного потока отказов с использованием метода статистических испытаний подробно рассмотрена в работе [4].

Пример 3.7. Законы распределения наработок элемента системы до первого и второго отказов и соответствующие параметры этих законов приведены в следующей таблице:

первый и второй отказы в ходе первого опыта (испытания) (t = 1 час).

1. Выберем равномерно распределенное случайное число. Допустим, x1 = 0,725.

2. Вычислим случайные значения наработок на отказ элемента, используя формулы табл. 3.1.

t11 = Dt11 = -b (ln x1 )1 / a = -45,8 (ln 0,725)1 / 1, 4 = 20,37 час.;

t2 / 1 = t11 + Dt21 = 20,37 + 1,07 = 21,44 час.

3. Определим номер временного интервала, на котором произойдут отказы первый отказ второй отказ В ходе первой реализации элемент системы первый раз откажет на 21-м временном интервале, а второй отказ произойдет на 22-м временном интервале.

3.1. Периодичность поступления заявок на обслуживание подчинена показательному закону распределения. Средний интервал между поступлениями заявок в систему равен t =2 час. Определите последовательность значений продолжительности интервалов между поступлениями заявок. Число реализаций равно 10.

3.2. Время обслуживания работника предприятия кассой бухгалтерии является случайной величиной, распределенной в соответствии с законом Вейбула. Среднее время обслуживания t = 3 мин., среднее квадратическое отклонение равно s = 2 мин. Требуется смоделировать случайную величину, отвечающую этим условиям. Число реализаций принять равным 10.

3.3. При обработке экспериментальных данных было установлено, что время, расходуемое на станции технического обслуживания автомобилей для замены двигателя, распределено по нормальному закону, параметры которого x = 2,8 час. на один двигатель и s x = 0,6 час.

Требуется смоделировать для отмеченных условий случайную величину – время X, расходуемое для замены двигателя. Число реализаций принять равным 5.

3.4. Время проверки приемки квартального отчета инспектором налоговой службы (t) - величина случайная, распределенная в соответствии с законом Вейбула. Среднее время проверки и приемки равно t = 20 мин. Коэффициент вариации величины t равен Vt = 0,52. Требуется смоделировать для заданных условий случайные числа t (число реализаций принять равным 10).

3.5. Среднее число исправных станков в токарном цехе на заводе равно x = 6. Среднее квадратическое отклонение r =2,2. Требуется смоделировать число исправных станков в цехе (число реализаций равно 5) при условии, что случайная величина X имеет гамма-распределение.

3.6. Вероятность замены неисправной детали на новую при ремонте автомобиля в каждом испытании р = 0,63. Смоделировать пять (5) испытаний и определить последовательность замены детали на новую или восстановленную.

3.7. При испытании могут иметь место три зависимых и совместных события: работает только первый кассир по выдаче заработной платы, работает только второй кассир, работают оба кассира. При этом известно, что вероятность работы первого кассира равна 0,6; вероятность работы второго кассира равна 0,7; вероятность работы двух кассиров равна 0,4.

Смоделировать возможность реализации двух событий: работает только первый кассир; работает только второй кассир в трех испытаниях.

3.8. Известны законы распределения наработок элемента системы до первого и второго отказов. Средние значения и средние квадратические отклонения наработок приведены в следующей таблице:

Закон распределения Определите параметр и ведущую функцию потока отказов элемента по интервалам времени (t = 10 час). Число реализаций N = 10.

3.9. Используя условия задачи 3.8, определите номер интервала, в который попадет максимальное количество отказов.

3.10. Система имеет два элемента. Средняя периодичность первого элемента t1 = 60 час, второго элемента – t2 = 85 час. Периодичности отказа первого и второго элементов – случайные величины, подчиненные экспоненциальному закону распределения. Определите параметр и Балтийский институт 40 Моделирование эконом. процессов.

функцию распределения потока отказов системы по интервалам времени t = 8 час. Число реализаций N = 10.

3.11. Используя условия задачи 3.10, определите номера интервалов, в которые попадут максимальные количества отказов первого, второго элементов и в целом всей системы.

3.12. Пусть при испытании могут иметь место зависимые и совместные события А и D. Известно, что вероятности появления событий равны Р(А) = 0,6; P(D) – 0,3, а также вероятность совместного появления событий А и D: P(AD) = 0,4. Смоделируйте появление событий А и D в пяти испытаниях.

3.13. Периодичность проверки предприятий налоговой инспекцией – величина случайная (t), подчиняющаяся закону гамма-распределения.

Средний интервал проверки Dt = 2,5 мес. Коэффициент вариации величины t равен V = 0,38. Требуется смоделировать для заданных условий возможные моменты проверок предприятия налоговой инспекцией (число реализаций принять равным 10).

3.14. Используя условия задачи 3.13, определите количество проверок налоговой инспекцией за первый год работы предприятия.

3.15. Среднее число работающих машин на заводе x = 25.

Коэффициент вариации числа работающих V=0,6. Требуется смоделировать число работающих машин на заводе (число реализаций равно 10). Случайная величина X имеет распределение Вейбула.

3.16. После каждой проверки предприятия налоговой инспекцией вероятность появления необходимости аудиторской проверки данного предприятия Р = 0,72. Смоделируйте шесть испытаний. Определите последовательность проведения различных проверок предприятия.

Глава 4. Методы и модели корреляционнорегрессионного анализа Большинство явлений и процессов в экономике находится в постоянной взаимной и всеохватывающей объективной связи.

Исследование зависимостей и взаимосвязей между объективно существующими явлениями и процессами играет большую роль в экономике. Оно дает возможность глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений между явлениями. Для исследования интенсивности, вида и формы зависимостей широко применяется корреляционно-регрессионный анализ, который является методическим инструментарием при решении задач прогнозирования, планирования и анализа хозяйственной деятельности предприятий.

Различают два вида зависимостей между экономическими явлениями и процессами:

· функциональную;

· стохастическую (вероятностную, статистическую).

В случае функциональной зависимости имеется однозначное отображение множества А на множество В. Множество А называют областью определения функции, а множество В – множеством значений функции.

Функциональная зависимость встречается редко. В большинстве случаев функция (Y) или аргумент (Х) – случайные величины. X и Y подвержены действию различных случайных факторов, среди которых могут быть факторы, общие для двух случайных величин.

Если на случайную величину X действуют факторы Z1, Z2,..., V1, V2, а на Y – Zo, Z2, V1, V3..., то наличие двух общих факторов Z2 и V1 позволяет говорить о вероятностной или статистической зависимости между X и Y.

Определение. Статистической называется зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины.

В частном случае статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется математическое ожидание другой. В этом случае говорят о корреляции или корреляционной зависимости.

Статистическая зависимость проявляется только в массовом процессе, при большом числе единиц совокупности.

При стохастической закономерности для заданных значений зависимой переменной можно указать ряд значений объясняющей переменной, случайно рассеянных в интервале. Каждому фиксированному значению аргумента соответствует определенное статистическое распределение значений функции. Это обусловливается тем, что зависимая переменная, кроме выделенной переменной, подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.

В экономике приходится иметь дело со многими явлениями, имеющими вероятностный характер. Например, к числу случайных величин можно отнести: стоимость продукции, доходы предприятия, межремонтный пробег автомобилей, время ремонта оборудования и т.д.

Односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами есть регрессия. Она устанавливает соответствие между этими величинами.

Односторонняя стохастическая зависимость выражается с помощью функции, которая называется регрессией.

Перечислим различные виды регрессии.

1. Регрессия относительно числа переменных:

· простая регрессия - регрессия между двумя переменными;

· множественная регрессия - регрессия между зависимой переменной у и несколькими объясняющими переменными х}, х2,..., хт.

Множественная линейная регрессия имеет следующий вид:

где y – функция регрессии;

x1,x2,…,xm – независимые переменные;

a1,a2,…,am – коэффициенты регрессии;

a0 – свободный член уравнения;

m – число факторов, включаемых в модель.

2. Регрессия относительно формы зависимости:

· линейная регрессия, выражаемая линейной функцией;

· нелинейная регрессия, выражаемая нелинейной функцией.

3. В зависимости от характера регрессии различают следующие ее виды:

– положительную регрессию. Она имеет место, если с увеличением (уменьшением) объясняющей переменной значения зависимой переменной также соответственно увеличиваются (уменьшаются);

– отрицательную регрессию. В этом случае с увеличением или уменьшается или увеличивается.

Относительно типа соединения явлений различают:

– непосредственную регрессию. В этом случае зависимая и объясняющая переменные связаны непосредственно друг с другом;

– косвенную регрессию. В этом случае объясняющая переменная действует на зависимую через ряд других переменных;

Балтийский институт 43 Моделирование эконом. процессов.

– ложную регрессию. Она возникает при формальном подходе к исследуемым явлениям без уяснения того, какие причины обусловливают данную связь.

Регрессия тесно связана с корреляцией. Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими явлениями. Связи между явлениями могут быть различными по силе. При измерении тесноты связи говорят о корреляции в узком смысле слова. Если случайные переменные причинно обусловлены и можно в вероятностном смысле высказаться об их связи, то имеется корреляция.

Понятия "корреляция" и "регрессия" тесно связаны между собой. В корреляционном анализе оценивается сила связи, а в регрессионном анализе исследуется ее форма. Корреляция в широком смысле объединяет корреляцию в узком смысле и регрессию.

Корреляция, как и регрессия, имеет различные виды:

1. Относительно характера корреляции различают:

– положительную;

– отрицательную.

2. Относительно числа переменных:

– множественную;

3. Относительно формы связи:

– нелинейную.

4. Относительно типа соединения:

– непосредственную;

Любое причинное влияние может выражаться либо функциональной, либо корреляционной связью. Но не каждая функция или корреляция соответствует причинной зависимости между явлениями. Поэтому требуется обязательное исследование причинно-следственных связей.

корреляционным анализом, а исследование односторонних стохастических зависимостей - регрессионным анализом. Корреляционный и регрессионный анализ имеют свои задачи.

К задачам корреляционного анализа относятся следующие:

1. Измерение степени связности (тесноты, силы) двух и более явлений. Здесь речь идет в основном о подтверждении уже известных связей.

2. Отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения тесноты связи между явлениями.

3. Обнаружение неизвестных причинных связей. Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между явлениями, но устанавливает степень необходимости этих связей и достоверность суждений об их наличии. Причинный характер связей выясняется с помощью логически профессиональных рассуждений, раскрывающих механизм связей.

Перечислим задачи регрессионного анализа.

1. Установление формы зависимости (линейная или нелинейная;

положительная или отрицательная и т.д.).

2. Определение функции регрессии и установление влияния факторов на зависимую переменную. Важно не только определить форму регрессии, указать общую тенденцию изменения зависимой переменной, но и выяснить, каково было бы действие на зависимую переменную главных факторов, если бы прочие не изменялись и если бы были исключены случайные элементы. Для этого определяют функцию регрессии в виде математического уравнения того или иного типа.

3. Оценка неизвестных значений зависимой переменной, т.е.

решение задач экстраполяции и интерполяции. В ходе экстраполяции распространяются тенденции, установленные в прошлом, на будущий период. Экстраполяция широко используется в прогнозировании. В ходе интерполяции определяют недостающие значения, соответствующие моментам времени между известными моментами, т.е. определяют значения зависимой переменной внутри интервала заданных значений факторов.

Рассмотрим подробнее регрессию.

Выборочные уравнения регрессии Условное математическое ожидание случайной величины Y: М( Y/X) есть функция от X, которая называется функцией регрессии и равна f(x), т.е.:

аналогично Графическое изображение f(x) или j ( y ) называется линией регрессии, а записанные уравнения (4.2) и (4.3) – уравнениями регрессии.

Поскольку условное математическое ожидание М случайной величины Y есть функция от (х), то его оценка y, т.е. условная средняя, также является функцией от X. Обозначим эту функцию через Уравнение (4.4) определяет выборочное уравнение регрессии у на х.

Сама функция f * (x ) называется выборочной регрессией Y на X, а график f * (x ) – выборочной регрессией. Аналогично определяется для случайных величин X:

Функция регрессии необратима, так как речь идет о средних величинах для некоторого конкретного значения фактора.

Функция регрессии формально устанавливает соответствие между переменными X и Y, хотя такой зависимости в экономике может и не быть (ложная регрессия).

Линейная регрессия Пусть задана система случайных величин X и Y и случайные величины X и Y зависимы.

Представим одну из случайных величин как линейную функцию другой случайной величины X.

где, – параметры, которые подлежат определению.

В общем случае эти параметры могут быть определены различными способами, наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК).

Функцию g(x) называют наилучшим приближением в смысле МНК, если математическое ожидание M [Y - g (x )]2 принимает наименьшее возможное значение.

В этом случае функцию g(x) называют средней квадратической регрессией Y на X. Можно доказать, что линейная средняя квадратическая регрессия имеет вид:

где тх, ту - математические ожидания случайных величин X, Y соответственно; x,y – средние квадратические отклонения случайных величин X, Y соответственно; r – коэффициент парной корреляции, который определяется по формуле:

где Mxy – ковариация.

тогда b = r – коэффициент регрессии. Возникает проблема определения параметров и на основе выборки.

Рассмотрим определение параметров выбранного уравнения прямой линии средней квадратической регрессии по несгруппированным данным.

Пусть изучается система количественных признаков (X, Y), т.е. ведутся наблюдения за двухмерной случайной величиной (X, Y). Пусть в результате п наблюдений получено п пар чисел (х1, у1), (х2, у2),..., (хn, уn).

Требуется по полученным данным найти выборочное уравнение прямой линии средней квадратической регрессии:

Поскольку данные несгруппированные, т.е. каждая пара чисел встречается один раз, то можно перейти от условной средней к переменной у. Угловой коэффициент k обозначим через k = r и назовем его выборочной оценкой коэффициента регрессии b = r y.

Итак, требуется найти:

Очевидно, параметры r и b нужно подобрать так, чтобы точки (х1, у1), (х2, у2),..., (хn, уn), построенные по исходным данным, лежали как можно ближе к прямой (4.10) (рис. 4.1).

Уточним смысл этого требования. Для этого введем следующее понятие. Назовем отклонением разность вида:

где Yi – вычисляется по уравнению (4.10) и соответствует наблюдаемому значению хi; уi – наблюдаемая ордината, соответствующая хi.

Подберем параметры и b так, чтобы сумма квадратов указанных отклонений была наименьшей: в этом состоит требование метода наименьших квадратов (МНК).

Эта сумма есть функция F отыскиваемых параметров и b:

Для отыскания min найдем произвольные и приравняем их к нулю:

Далее запишем систему:

Получили систему двух линейных уравнений относительно и b.

Решая эту систему, получим:

Метод наименьших квадратов применяется и для нахождения параметров множественной регрессии. В этом случае число линейных уравнений возрастает, и такие системы уравнений решаются с помощью ЭВМ.

Основные понятия корреляционно-регрессионного анализа 1. Среднее значение переменной определяется по следующей формуле:

где xi – эмпирическое значение переменной x;

n – число наблюдений.

3. Ковариация 4. Коэффициент корреляции Коэффициент корреляции характеризует тесноту или силу связи между переменными у и х. Значения, принимаемые rxy, заключены в пределах от -1 до +1. При положительном значении rху имеет место положительная корреляция, т.е. с увеличением (уменьшением) значений одной переменной (х) значение другой (у) соответственно увеличивается (уменьшается). При отрицательном значении rxv имеет место отрицательная корреляция, т.е. с увеличением (уменьшением) значений х значения у соответственно уменьшаются (увеличиваются). При изучении экономического явления, зависящего от многих факторов, строится множественная регрессионная зависимость. В этом случае для характеристики тесноты связи используется коэффициент множественной корреляции:

где s ост – остаточная дисперсия зависимой переменной;

s общ – общая дисперсия зависимой переменной.

5. Общая дисперсия определяется по формуле:

Величина s общ характеризует разброс наблюдений фактических значений y.

6. Остаточная дисперсия определяется по следующей формуле:

где yiТ – теоретические значения переменной у, полученные по уравнению регрессии (4.1) при подстановке в него наблюдаемых фактических значений xi.

Остаточная дисперсия характеризует ту часть рассеяния переменной у, которая возникает из-за всякого рода случайностей и влияния неучтенных факторов.

7. Коэффициент детерминации служит для оценки точности регрессии, т.е. соответствия полученного уравнения регрессии имеющимся эмпирическим данным, и вычисляется по формуле Д изменяется в пределах от 0 до 1, т.е. 0 Д 1.

Модель считается тем точнее, чем ближе Д к 1, т.е. чем меньше s ост.

Стандартная ошибка оценки равна s ост.

Если Д = 0, это значит, что отношение 2 =1, т.е. s ост = s общ, и, следовательно, yiТ = y. В этом случае прямая регрессии будет параллельна оси X, корреляционно-регрессионная связь между X и Y отсутствует. Если Д = 1, это значит, что отношение ост = 0, т.е. s ост = 0, и, следовательно, yi = yiТ, т.е все наблюдаемые точки лежат на построенной прямой, следовательно, зависимость функциональная.

8. Корреляционное отношение используется для оценки тесноты связи между двумя явлениями, в частности для определения тесноты связи исходного ряда yi с теоретическим рядом yi. Корреляционное отношение определяют по данным, сгруппированным по объясняющей переменной по следующей формуле:

4.2. Исходные предпосылки регрессионного анализа Применение метода наименьших квадратов для определения параметров регрессии предполагает выполнение некоторых предпосылок [15].

Отметим наиболее существенные из них.

Предпосылка 1. При нахождении оценок переменной у предполагается существование зависимости переменной у только от тех объясняющих переменных, которые вошли в модель (регрессию). Влияние прочих факторов и случайностей учитывается случайной возмущающей переменной z. При этом полагаем, что для фиксированных значений переменных xi (i = 1, m) среднее значение переменной z равно нулю.

Предпосылка 2. Предполагается, что влияние неучтенных факторов постоянно. Так, при рассмотрении временных рядов в различные периоды эти неучтенные факторы оказывают одинаковое влияние.

Предпосылка 3. Отсутствует автокорреляция между возмущающими переменными z.

Предпосылка 4. Число наблюдений должно превышать число параметров регрессии, иначе невозможна оценка этих параметров.

Предпосылка 5. Предполагается односторонняя зависимость переменной у от факторов xi (i = 1, m), отсутствие взаимосвязи.

Предпосылка 6. Зависимая переменная у и факторы xi (i = 1, m) распределены нормально.

С помощью регрессионного анализа при указанных выше предпосылках находят оценки параметров, наиболее хорошо согласующиеся с опытными данными. Данные оценки должны обладать определенными свойствами. Рассмотрим некоторые из этих свойств (без доказательства).

1. Несмещенность оценок параметров регрессии. Оценка параметров регрессии называется несмещенной, если для любого фиксированного числа наблюдений выполняется равенство математического ожидания параметра и значения параметра регрессии.

Надо отметить, что оценки, полученные методом наименьших квадратов, обладают свойством несмещенности.

2. Состоятельность оценок параметров регрессии. Данное свойство состоит в том, что с ростом объема выборки оценка параметра регрессии b сходится к теоретическому значению параметра (вычисленного по всей генеральной совокупности), т.е. ошибка оценки стремится к нулю:

3. Эффективность оценок параметров регрессии. Несмещенная оценка параметра регрессии называется несмещенной эффективной, если она среди всех прочих несмещенных оценок этого же параметра обладает наименьшей дисперсией.

4. Достаточность оценки. Если представляет собой достаточную оценку параметра b, то не существует другой оценки этого параметра, которую можно получить по выборке из некоторой генеральной совокупности и которая дала бы дополнительную информацию о нем.

Р. Фишер показал, что количество измеримой информации, содержащейся в некоторой оценке, равно обратной величине от ее дисперсии. Таким образом, понятие достаточности эквивалентно требованию минимальной Балтийский институт 51 Моделирование эконом. процессов.

дисперсии. Достаточная оценка с необходимостью должна быть эффективной и, следовательно, также состоятельной и несмещенной.

4.3. Этапы построения многофакторной корреляционной Разработка модели и исследование экономических процессов должны выполняться по следующим этапам.

1. Априорное исследование экономической проблемы.

2. Формирование перечня факторов и их логический анализ.

3. Сбор исходных данных и их первичная обработка.

4. Спецификация функции регрессии.

5. Оценка функции регрессии.

6. Отбор главных факторов.

7. Проверка адекватности модели.

8. Экономическая интерпретация.

9. Прогнозирование неизвестных значений зависимой переменной.

Рассмотрим подробнее содержание этапов.

1. Априорное исследование экономической проблемы.

В соответствии с целью работы на основе знаний макро- и микроэкономики конкретизируются явления, процессы, зависимость между которыми подлежит оценке. При этом подразумевается прежде всего четкое определение экономических явлений, установление объектов и периода исследования.

На этом этапе исследования должны быть сформулированы экономически осмысленные и приемлемые гипотезы о зависимости экономических явлений.

2. Формирование перечня факторов и их логический анализ.

Для определения наиболее разумного числа переменных в регрессионной модели, прежде всего, ориентируются на соображения профессионально-теоретического характера. Исходя из физического смысла явления, производят классификацию переменных на зависимую и объясняющую.

3. Сбор исходных данных и их первичная обработка.

При построении модели исходная информация может быть собрана в трех видах:

– динамические (временные) ряды;

– пространственная информация - информация о работе нескольких объектов в одном разрезе времени;

– сменная - табличная форма. Информация о работе нескольких объектов за разные периоды.

Балтийский институт 52 Моделирование эконом. процессов.

Объем выборки зависит от числа факторов, включаемых в модель с учетом свободного члена. Для получения статистически значимой модели требуется на один фактор объем выборки, равный l = 5 8 наблюдений.

Например, если в модель включаются три фактора, то минимальный объем выборки где т – число факторов, включаемых в модель; п – число свободных членов в уравнении.

Если в квартальном разрезе собирать данные, то надо их собирать за 5 лет [20/4].

4. Спецификация функции регрессии.

На данном этапе исследования дается конкретная формулировка гипотезы о форме связи (линейная или нелинейная, простая или множественная и т.д.). Для этого используются различные критерии для проверки состоятельности гипотетического вида зависимости. На этом этапе проверяются предпосылки корреляционно-регрессионного анализа.

5. Оценка функции регрессии.

Здесь определяются числовые значения параметров регрессии и вычисление ряда показателей, характеризующих точность регрессионного анализа.

6. Отбор главных факторов.

Выбор факторов – основа для построения многофакторной корреляционно-регрессионной модели.

На этапе "Формирование перечня факторов и их логический анализ" собираются все возможные факторы, обычно более 20-30 факторов. Но это неудобно для анализа, и модель, включающая 20–30 факторов, будет неустойчива. Неустойчивость модели находит выражение в том, что в ней изменение некоторых факторов ведет к увеличению у вместо снижения у.

Мало факторов – тоже плохо. Это может привести к ошибкам при принятии решений в ходе анализа модели. Поэтому необходимо выбирать более рациональный перечень факторов. При этом проводят анализ факторов на мультиколлинеарность.

Анализ и способы снижения влияния мультиколлинеарности Мультиколлинеарность – попарная корреляционная зависимость между факторами.

Мультиколлинеарная зависимость присутствует, если коэффициент парной корреляции rij = 0,70 0,80.

Отрицательное воздействие мультиколлинеарности состоит в следующем:

1. Усложняется процедура выбора главных факторов.

2. Искажается смысл коэффициента множественной корреляции (он предполагает независимость факторов).

3. Усложняются вычисления при построении самой модели.

4. Снижается точность оценки параметров регрессии, искажается оценка дисперсии.

Следствием снижения точности является ненадежность коэффициентов регрессии и отчасти неприемлемость их использования для интерпретации как меры воздействия соответствующей объясняющей переменной на зависимую переменную.

Оценки коэффициента становятся очень чувствительными к выборочным наблюдениям. Небольшое увеличение объема выборки может привести к очень сильным сдвигам в значениях оценок. Кроме того, стандартные ошибки оценок входят в формулы критерия значимости, поэтому применение самих критериев становится также ненадежным. Из сказанного ясно, что исследователь должен пытаться установить стохастическую мультиколлинеарность и по возможности устранить ее.

Для измерения мультиколлинеарности можно использовать коэффициент множественной детерминации где R – коэффициент множественной корреляции.

При отсутствии мультиколлинеарности факторов где dyj – коэффициент парной детерминации, вычисляемый по формуле где ryj – коэффициент парной корреляции между j-м фактором и зависимой переменной у.

При наличии мультиколлинеарности соотношение (4.24) не соблюдается. Поэтому в качестве меры мультиколлинеарности используется следующая разность:

Чем меньше эта разность, тем меньше мультиколлинеарность. Для устранения мультиколлинеарности используется метод исключения переменных. Этот метод заключается в том, что высоко коррелированные объясняющие переменные (факторы) устраняются из регрессии и она заново оценивается. Отбор переменных, подлежащих исключению, производится с помощью коэффициентов парной корреляции. Опыт показывает, что если ryj 0,70, то одну из переменных можно исключить, но какую переменную исключить из анализа, решают исходя из управляемости факторов на уровне предприятия.

Обычно в модели оставляют тот фактор, на который можно разработать мероприятие, обеспечивающее улучшение значения этого фактора в планируемом году. Возможна ситуация, когда оба мультиколлинеарных фактора управляемы на уровне предприятия.

Решить вопрос об исключении того или иного фактора можно только в соответствии с процедурой отбора главных факторов.

Отбор факторов - не самостоятельный процесс, он сопровождается построением модели. Принятие решения об исключении факторов производится на основе анализа значений специальных статистических характеристик и с учетом управляемости факторов на уровне предприятия.

Процедура отбора главных факторов обязательно включает следующие этапы:

1). Анализ факторов на мультиколлинеарностъ и ее исключение.

Здесь производится анализ значений коэффициентов парной корреляции ryj между факторами хi и xj.

2). Анализ тесноты взаимосвязи факторов (х) с зависимой переменной (у).

Для анализа тесноты взаимосвязи х и у используются значения коэффициента парной корреляции между фактором и функцией ( ryj ).

Величина ryj определяется на ЭВМ и представлена в корреляционной матрице вида:

переменной Факторы, для которых ryj = О, т.е. не связанные с у, подлежат исключению в первую очередь. Факторы, имеющие наименьшее значение ryj, могут быть потенциально исключены из модели. Вопрос об их окончательном исключении решается в ходе анализа других статистических характеристик.

3). Анализ коэффициентов факторов, которые потенциально могут быть исключены.

Коэффициент учитывает влияние анализируемых факторов на у с учетом различий в уровне их колеблемости. Коэффициент показывает, на сколько сигм (средних квадратических отклонений) изменяется функция с изменением соответствующего аргумента на одну сигму при фиксированном значении остальных аргументов:

где b k – коэффициент k-ro фактора; s xk – среднее квадратическое отклонение k-го фактора; s y – среднее квадратическое отклонение функции; s k – коэффициент регрессии при к-м факторе.

Из двух факторов хi и xj может быть исключен тот фактор, который имеет меньшее значение.

Допустим, исключению подлежит один из мультиколлинеарных факторов хi или xj. Оба фактора управляемы на уровне предприятия, коэффициенты регрессии аi и аj статистически значимы. Фактор хi более тесно связан с у, т.е. rxiy > rxjy, но при этом b xi < b xj. В этом случае обычно исключению подлежит фактор xj.

4). Проверка коэффициентов регрессии на статистическую значимость.

Проверка может быть произведена двумя способами:

• проверка статистической значимости ак по критерию Стьюдента проводится по следующей формуле:

где аk – коэффициент регрессии при к-м факторе;

Sak – стандартное отклонение оценки параметра ак [15].

Число степеней свободы статистики tk равно f = п - т -1, где т – количество факторов, включенных в модель. Значение t, вычисляемое по формуле (4.28), сравнивают с критическим значением tfa, найденным по таблице Приложения 1 при заданном уровне значимости а и числе степеней свободы f (двусторонняя критическая область).

Если tk > tfa, то ак существенно больше 0, а фактор хк оказывает существенное влияние на у. При этом фактор хк оставляем в модели. Если tk < tfa, то фактор исключаем из модели;

· проверка статистической значимости ак по критерию Фишера – где t2 - многомерный аналог критерия Стьюдента.

Число степеней свободы статистики Fk следующее: f1 = 1, f2 = п – т-1. Значение Fk, вычисляемое по формуле (4.29), сравнивают с критическим значением F f 1 f 2 a, найденным по таблице Приложения 2, при заданных уровне значимости а и числе степеней свободы f1, f2.

Если Fk F f 1 f 2 a, то ак существенно больше 0, а фактор хк оказывает существенное влияние на у. При этом фактор хк оставляем в модели. Если Fk < F f 1 f 2 a, то фактор исключаем из модели.

5). Анализ факторов на управляемость.

В ходе логического анализа на основе экономических знаний исследователь должен сделать вывод: можно ли разработать организационно-технические мероприятия, направленные на улучшение (изменение) выбранных факторов на уровне предприятия. Если это возможно, то данные факторы управляемы. Неуправляемые факторы на уровне предприятия могут быть исключены из модели. Например, из двух факторов х1 – средняя техническая скорость автомобилей и х2 – время погрузки-разгрузки на одну ездку при равенстве или близких по значению таких характеристик, как rx1 y и rx 2 y, x1 и x2, исключению подлежит x1. На уровне АТП практически невозможно повлиять на значение технической скорости, которая зависит в основном от климатических условий и величины транспортного потока.

6). Строится новая регрессионная модель без исключенных факторов. Для этой модели определяется коэффициент множественной детерминации Д.

7). Исследование целесообразности исключения факторов из модели с помощью коэффициента детерминации.

Прежде чем вынести решение об исключении переменных из анализа в силу их незначимого влияния на зависимую переменную, производят исследования с помощью коэффициента детерминации.

В первой регрессии содержится т объясняющих переменных, во второй – только часть из них, а именно т1 объясняющих переменных. При этом т = m1 + т2, т.е. во вторую регрессию мы не включили т объясняющих переменных. Теперь следует проверить, вносят ли совместно эти т2 переменных существенную долю в объяснение вариации переменной у. Для этого используется статистика которая имеет F-распределение c f1 = m - m1 = m2 и f 2 = n - m - 1 степенями свободы. Здесь Дт означает коэффициент детерминации регрессии с т объясняющими переменными, а Дтi – коэффициент детерминации регрессии с m1 факторами.

Разность (Дт - Дтi) в числителе формулы является мерой дополнительного объяснения вариации переменной у за счет включения т переменных.

Критическое значение F f 1 f 2 находят по таблице F-распределения при заданном уровне значимости а и f1 и f2 степенях свободы. Если Fk F f 1 f 2 a, то включение дополнительно объясняющих переменных совместно не оказывает значимого влияния на переменную у. Если Fk > Ff 1 f 2 a, то т объясняющих переменных совместно оказывают существенное влияние на вариацию переменной у, и, следовательно, в этом случае все т переменные нельзя исключать из модели.

При реализации первой ситуации ( Fk F f 1 f 2 a ) факторы окончательно исключаются из модели.

7. Проверка адекватности модели. Данный этап анализа включает:

· оценку значимости коэффициента детерминации. Эта оценка необходима для решения вопроса: оказывают ли выбранные факторы влияние на зависимую переменную? Оценку значимости Д следует проводить, так как может сложиться такая ситуация, когда величина коэффициента детерминации будет целиком обусловлена случайными колебаниями в выборке, на основании которой он вычислен. Это объясняется тем, что величина Д существенно зависит от объема выборки.

Для оценки значимости коэффициента множественной детерминации используется следующая статистика:

которая имеет F-распределение с f1 = m и f 2 = n - m - 1 степенями свободы.

Здесь Д = R2, а т – количество учитываемых объясняющих переменных (факторов).

Значение статистики F, вычисленное по эмпирическим данным, сравнивается с табличным значением F f 1 f 2 a. Критическое значение определяется по таблице Приложения 2 по заданному а и степеням свободы f1 и f2. Если F < F f 1 f 2 a, то вычисленный коэффициент детерминации значимо отличается от 0, и, следовательно, включенные в регрессию переменные достаточно объясняют зависимую переменную, что позволяет говорить о значимости самой регрессии (модели);

· проверку качества подбора теоретического уравнения. Она проводится с использованием средней ошибки аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации регрессии определяется по формуле:

· вычисление специальных показателей, которые применяются для характеристики воздействия отдельных факторов на результирующий показатель. Это коэффициент эластичности, который показывает, на сколько процентов в среднем изменяется функция с изменением аргумента на 1% при фиксированных значениях других аргументов:

доля влияния каждого фактора xj в отдельности на вариацию у [11]:

где b j – коэффициент бета-фактора xj.

Показатель gj является мерой вариации результативного признака за счет изолированного влияния фактора xj. Следует отметить, что система факторов, входящая в модель регрессии, - это не простая их сумма, так как система предполагает внутренние связи, взаимодействие составляющих ее элементов. Действие системы не равно арифметической сумме воздействий составляющих ее элементов. Поэтому необходимо определить показатель системного эффекта факторов h S :