ПРОГРАММА

вступительного экзамена по основам высшей математики

(для абитуриентов, окончивших учреждения среднего специального образования и

поступающих на заочную сокращенную форму получения образования)

Введение в математику

Множества. Действия над множествами. Основные логические функции. Метод

математической индукции. Бином Ньютона.

Множество действительных чисел. Модуль действительного числа.

Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Операции над комплексными числами. Формулы Муавра и Эйлера.

Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Разложение многочлена на множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.

Линейная алгебра Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование матрицы.

Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Вычисление определителей квадратных матриц.

Линейные системы второго и третьего порядков. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Обратная матрица и ее построение. Свойства обратных матриц. Вычисление ранга матрицы. Теорема о базисном миноре.

Матричный способ решения систем линейных уравнений.

Аналитическая геометрия Декартова система координат. Векторы. Понятие базиса. Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Скалярное произведение в координатной форме.

Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический и механический смысл. Векторное произведение в координатной форме.

Смешанное произведение векторов. Условие компланарности трех векторов.

Кривая на плоскости и способы ее задания.

Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат.

Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.

Прямая в пространстве и способы ее задания. Определение угла между прямыми и расстояния от точки до прямой.

Плоскость в пространстве и различные формы ее задания. Определение угла между прямой и плоскостью. Определение расстояния от точки до плоскости.

Общее уравнение поверхности второго порядка. Эллипсоид, гиперболоид, конус, цилиндр. Поверхности вращения.

Математический анализ Предел числовой последовательности. Критерий Коши.

Нахождение предела функции в точке. Нахождение предела функции на бесконечности.

Замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Исследование функции на непрерывность в точке.

Функции непрерывные на отрезке и их свойства. Теоремы Вейерштрасса. Теорема Коши. Обратная функция и ее непрерывность.

Производная функции. Уравнение касательной и нормали к кривой. Правила дифференцирования.

Дифференцирование функций, заданных параметрически. Дифференцирование функций, заданных неявно.

Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Виды неопределенностей. Правило Лопиталя.

Формула Тейлора и различные формы ее остаточного члена. Основные разложения по формуле Тейлора и их приложения.

Монотонность и экстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции.

Исследование функции и построение ее графика.

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.

Рациональные функции. Разложение рациональной функции на сумму простых дробей.

Методы вычисления коэффициентов разложения.

Интегрирование рациональных функций, тригонометрических рациональных функций и некоторых иррациональных функций.

Определенный интеграл. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций.

Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям.

Числовой ряд и его сумма. Необходимые и достаточные условия сходимости числового ряда. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

Функциональные ряды. Определение суммы ряда и области сходимости функциональных рядов. Равномерная сходимость функциональных рядов.

Степенные ряды. Определение радиуса, интервала и области сходимости степенного ряда.

Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Решение однородных дифференциальных уравнений. Решение уравнений в полных дифференциалах. Решение линейных дифференциальных уравнений. Уравнение Бернулли.

Общие понятия о дифференциальных уравнениях высших порядков. Решение простейших дифференциальных уравнений второго порядка. Случаи понижения порядка. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение.

Рекомендуемая литература Основная 1. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск : МГВРК, 2006–2007. – Ч. 1 : Алгебраические уравнения и неравенства. Функции. Логарифмы / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2006.

2. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск : МГВРК, 2006–2007. – Ч. 2 : Тригонометрия. Векторы.

Аналитическая геометрия на плоскости. Предел. Производная. Стереометрия / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2007.

3. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск : МГВРК, 2006–2007. – Ч. 3 : Линейная алгебра.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия в пространстве. Предел и непрерывность функции. Дифференциальное исчисление. Функции многих переменных / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2007.

4. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск : МГВРК, 2006–2007. – Ч. 4 : Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Дифференциальные уравнения / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2007.

5. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск : МГВРК, 2006–2007. – Ч. 5 : Линейные пространства и линейные операторы. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Ряды / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2007.

6. Математика в примерах и задачах: учеб. пособие для учащихся колледжей : в 6 ч. / под общ. ред. Л.И. Майсеня. – Минск : МГВРК, 2006–2007. – Ч. 6 : Теория функций комплексной переменной. Теория вероятностей и математическая статистика. Численные методы / Л.И. Майсеня [и др.]. – 2007.

7. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа. Учебник : в 2 ч. / под ред.

Г.Н. Яковлева. – 3-е изд., перераб. – М. : Наука, 1987–1988.

8. Математика для техникумов. Геометрия. Учебник : / М.И. Каченовский [и др.] ; под общ. ред. Г.Н. Яковлева. – 3-е изд., перераб. – М. : Наука, 1980.

9. Индивидуальные задания по высшей математике. Линейная и векторная алгебра.

Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Учеб. пособие / А.П. Рябушко [и др.] ; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск : Вышэйшая школа, 2000.

10. Индивидуальные задания по высшей математике. Комплексные числа.

Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Учеб. пособие / А.П. Рябушко [и др.] ; под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск : Вышэйшая школа, 2000.

11. Индивидуальные задания по высшей математике. Ряды. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля. Учеб. пособие / А.П. Рябушко [и др.] ; под общ. ред.

А.П. Рябушко. – Минск : Вышэйшая школа, 2004.

12. Руководство к решению задач по высшей математике. Учеб. пособие : в 2 ч. / Е.И. Гурский [и др.] ; под общ. ред. Е.И. Гурского. – Минск : Вышэйшая школа, 1989–1990. – Ч. 1.

13. Руководство к решению задач по высшей математике. Учеб. пособие : в 2 ч. / Е.И. Гурский [и др.] ; под общ. ред. Е.И. Гурского. – Минск : Вышэйшая школа, 1989–1990. – Ч. 2.

14. Гусак, А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения: справочное пособие по решению задач / А.А. Гусак. – 2-е изд., стереотип. – Минск : ТетраСистемс, 2001.

15. Булдык, Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике с примерами решений / Г.М. Булдык. – Минск : Юнипресс, 2002.