Электротехника

Хмельник С. И.

О вариационном принципе экстремума в

электромеханических системах

Аннотация

Формулируется и доказывается вариационный принцип

оптимума для электромеханических систем произвольной

конфигурации, в которых протекают электромагнитные,

механические, тепловые, гидравлические и др. процессы.

Показывается, что для таких систем существует пара

функционалов с глобальной седловой точкой. Для систем без электрических цепей предложенный принцип эквивалентен принципу минимума действия. Описывается универсальный алгоритм расчета электромеханических систем при любых возмущающих воздействиях. В этом алгоритме реализуется метод поиска глобальной седловой точки одновременно для двух функционалов. Указывается демонстрационная программа.

Разработка расчетных программ может быть заказана автору по адресу [email protected] Содержание Предисловие 1. Последовательная RCL-цепь с электрическими зарядами 2. Уравнения электрической цепи общего вида с электрическими зарядами.

3. Функционал для электрической цепи общего вида с электрическими зарядами.

4. Функционалы от интегральных функций.

5. Интегральные уравнения RCL-цепи с электрическими токами.

6. Интегральные уравнения для электрической цепи общего вида с электрическими токами.

7. Функционал для интегральных уавнений электрической цепи общего вида с электрическими токами.

8. Электрическая цепь с трансформаторами Денниса.

9. Безусловная электрическая цепь.

10. Обобщенный функционал для безусловной электрической цепи 11. Минимизация энергии 12. Cистема линейных дифференциальных уравнений Доклады независимых авторов 2005 выпуск № 13. Электромеханические системы Литература Предисловие Представляет теоретический и практический интерес поиск вариационных принципов для электромеханических систем произвольного состава и конфигурации. Для механических систем такие принципы общеизвестны. Для частных случаев электрических цепей решение такой задачи известно. Так, для цепей с сопротивлениями решение найдено еще Максвеллом [1] и сравнительно недавно распространено на цепи с диодами и трансформаторами постоянного тока [2]. Для цепей с емкостями и индуктивностями (но без сопротивлений) решение этой задачи также известно в [3, 5]. В [6] перечислены работы с попытками ее решения для электрических цепей общего вида и доказана их несостоятельность. Эти поиски понятны, так как отсутствие принципа экстремальности для электрических цепей кажется странным. Что касается практической стороны дела, то наличие такого принципа позволяет использовать электрические цепи переменного тока в качестве моделей задач вариационного исчисления: в виде этих цепей природа дает нам в руки простую в исполнении вычислительную машину, решающую весьма сложную математическую задачу (по неизвестному нам алгоритму). С другой стороны, рассуждения в терминах электрических цепей могут привести к развитию способов решения определенных задач вариационного исчисления. Примером аналогичного влияния теории цепей постоянного тока на теорию математического программирования может служить работа [2]. Наконец, можно использовать теорию вариационного исчисления для расчета электрических цепей и электромеханических систем. Этот подход описывается ниже.

Принцип экстремума для электрических цепей переменного тока сформулирован автором в 1988 г. [8] и развит в статьях [9, 10, 15]. Основная идея состоит в том, что функция тока «расщепляется» на две независимые функции. Предложенный функционал содержит такие пары функций, а его оптимум является седловой точкой, где одна группа функций минимизирует функционал, а другая максимизирует его. Сумма оптимальных значений этих функций дает функцию тока в электрической цепи.

Электротехника В [16] этот принцип обобщается на электромеханические системы, поскольку может быть объединен с известным в механике принципом наименьшего действия. При этом для данной электромеханической системы формируется функционал, содержащий тепловые, механические, электрические, электромагнитные энергии, функции, зависящие от конфигурации системы, функции, описывающие возмущающие воздействия электрические и механические. Функционал имеет размерность “энергия * время”. Он является квадратичной функцией искомых параметров и имеет единственную точку оптимума. Ограничения отсутствуют (они также включены в функционал). Функции переменных, доставляющие этому функционалу оптимальное значение, являются решением задачи расчета данной электромеханической системы. Таким образом, расчет данной электромеханической системы математически формулируется как вариационная задача поиска безусловного оптимума квадратичного функционала. Такая задача всегда имеет решение и для ее решения найден быстродействующий алгоритм поиска седловой точки этого функционала.

В [16] рассматривается также вычислительный аспект применения указанного принципа. Он может быть использован для разработки универсального комплекса программ для быстродействующих расчетов электромеханических систем произвольного состава и конфигурации. Универсальность обеспечивается единообразием формулировки принципа для любой электромеханической цепи:

электромеханическая система рассчитывается по единой методике вне зависимости от • конфигурации и состава активных и пассивных элементов • вида функций источников и потребителей мощности.

При этом достигается 1. высокое быстродействие, обеспечиваемое тем, что единственный глобальный оптимум, • уравнения второго закона Кирхгофа исключены из ограничений задачи и, тем самым, сокращена ее • функционал имеет безусловный оптимум 2. существование сравнительно простого алгоритма даже для сложной математической постановки, например, для расчета системы со сложной конфигурацией и апериодических разрывных возмущающих воздействиях, 3. надежный поиск решения (итерационный процесс всегда сходится), 4. сходимость итерационного процесса даже при несовместимых исходных данных (находится режим, в определенном смысле наиболее близкий по параметрам к исходным данным), 5. возможность расчета смешанных электромеханических систем в целом, например, электрических цепей с двигателями, генераторами, гидравлическими преобразователями и т.п.

Итак, природа дает нам некоторый функционал в виде указанного принципа оптимума. Из оптимизации этого функционала при ограничениях в виде уравнений первого закона Кирхгофа следуют уравнения второго закона Кирхгофа.

Естественно, оптимизация указанного функционала или решение системы уравнений Кирхгофа приводит к одному и тому же результату.

Данная статья представляет собой конспективное изложение книги [16].

1. Последовательная RCL-цепь с электрическими зарядами.

Далее первую и вторую производные по времени будем обозначать одним и двумя штрихами соответственно. Рассмотрим функционал где • x, y - неизвестные функции времени t с непрерывными вторыми производными, • E - известная функция времени t, • S, L, R - положительные числа.

Необходимые условия экстремума этого функционала имеют вид:

Экстремаль, определенная уравнениями (3) и (4) доставляет функционалу (1) и (2) глобальный слабый максимум по функции x Электротехника и глобальный слабый минимум по функции y при L > 0. Это означает, что существуют оптимальные функции x0 и y0, являющиеся решением системы дифференциальных уравнений (3) и (4) и доставляющие функционалу (1) и (2) экстремальное значение F0 = F ( x0, y0 ). Оптимальность функций x0 и y0 проявляется при сравнении значений функционала, зависящих от оптимальных и неоптимальных функций и от их производных. Оптимальные функции удовлетворяют условию что следует из симметрии уравнений (3) и (4). Складывая уравнения (3) и (4), получаем где Таким образом, функционал (1) и (2) оптимизируется при таких функциях x и y, которые в сумме удовлетворяют уравнению (7).

Этот функционал имеет оптимальную седловую точку, в которой выполняются условия (6), (7) и (8). Уравнение (7) является уравнением RCL-цепи, подключенной к источнику Э.Д.С. E, где q - ток в этой цепи. Следовательно, в RCL-цепи объективно соблюдается принцип экстремума величины F, определенной по (1) и (2), а следствием этого принципа является уравнение (7).

2. Уравнения электрической цепи общего вида с электрическими зарядами.

Рассмотрим электрическую цепь общего вида и выделим в ней ветви двух типов:

1. ветвь с источником тока H k, включенную между узлом 2. последовательную RCL-цепь с элементами Будем полагать, что ветви второго типа связаны, кроме того, индуктивностями M km. Пример такой цепи приведен на фиг. 1.

Можно показать, что такая электрическая цепь описывается следующей системой уравнений:

H, q - векторы токов в ветвях первого и второго типов;

где E - вектор Э.Д.С. ветвей второго типа;

- вектор потенциалов на ветвях второго типа;

N - матрица инциденций с элементами 1, 0, -1;

Электротехника В этой системе уравнение (15) описывает первый закон Кирхгофа, уравнение (14) - второй закон Кирхгофа. В данной системе известны H и E как вектор-функции времени t, а искомой является вектор-функция времени q(t).

3. Функционал для электрической цепи общего вида с электрическими зарядами.

Рассмотрим вектор-функции времени x(t), y(t), (t ), (t ), удовлетворяющие уравнениям (8) и уравнению При этом система уравнений (14), (15) может быть переписана в следующем виде:

Рассмотрим теперь функционал (1), где и задачу поиска экстремума этого функционала. Необходимые условия экстремума в этом случае имеют вид уравнений (20)-(23).

Складывая уравнения (20) и (21), получаем (14), а складывая (22) и (23), получаем (15).

Можно показать, что в электрической цепи матрица M является положительно определенной. Отсюда следует, что функционал (1), (24) имеет седловую точку, в которой достигается глобальный слабый максимум по функции x и глобальный слабый минимум по функции y. Оптимум этого функционала достигается при 4. Функционалы от интегральных функций.

Выше рассматривались уравнения цепей относительно заряда q и его производных. Ниже будут рассмотрены уравнения цепей относительно тока g и его производных. Предварительно введем следующие обозначения:

Известна формула Эйлера для вариации функционала от функции f ( y, y, y,...). По аналогии запишем такую же формулу для функции f (..., y, y, y, y,...) :

5. Интегральные уравнения RCL-цепи с электрическими токами.

Уравнение последовательной RCL-цепи относительно тока g и его производных имеет вид Аналогично предыдущему это уравнение может быть заменено двумя уравнениями вида где Рассмотрим теперь функционал где Электротехника • v, w - неизвестные функции времени t с непрерывными вторыми производными, • E - известная функция времени t, • S, L, R - положительные числа.

Найдем необходимые условия экстремума этого функционала, применяя формулу (25):

что эквивалентно уравнениям (27) и (28). Экстремаль, определенная уравнениями (27) и (28) доставляет функционалу (30) и (31) глобальный слабый максимум по функции v и глобальный слабый минимум по функции w при R > 0. Это означает, что существуют оптимальные функции v0 и w0, являющиеся решением системы дифференциальных уравнений (27) и (28) и доставляющие функционалу (30) и (31) экстремальное значение F0 = F (v0, w0 ).

Оптимальность функций v0 и w0 проявляется при сравнении значений функционала, зависящих от оптимальных и неоптимальных функций и от их производных. Оптимальные функции удовлетворяют условию что следует из симметрии уравнений (27) и (28). Складывая уравнения (27) и (28), получаем уравнения (26) и (29).

Таким образом, функционал (30) и (31) оптимизируется при таких функциях v и w, которые в сумме удовлетворяют уравнению (2). Этот функционал имеет оптимальную седловую точку, в которой выполняются условия (32), (26) и (29). Уравнение (26) является уравнением RCL-цепи, подключенной к источнику Э.Д.С.

E, где g - ток в этой цепи. Следовательно, в RCL-цепи объективно соблюдается принцип экстремума величины F, определенной по (30) и (31), а следствием этого принципа является уравнение (26).

6. Интегральные уравнения для электрической цепи общего вида с электрическими токами.

Рассмотрим электрическую цепь общего вида, описанную в разделе 2. Рассуждая по аналогии с предыдущим, можно показать, что такая электрическая цепь описывается следующей системой уравнений:

где H, g - векторы токов в ветвях первого и второго типов. В этой системе уравнение (34) описывает первый закон Кирхгофа, уравнение (33) - второй закон Кирхгофа. В данной системе известны H и E как вектор-функции времени t, а искомой является вектор-функция времени g(t).

7. Функционал для интегральных уравнений электрической цепи общего вида с электрическими токами.

Рассмотрим вектор-функции времени v(t), w(t), (t ), (t ), удовлетворяющие уравнениям (29) и уравнению При этом система уравнений (33), (34) может быть переписана в следующем виде:

Рассмотрим теперь функционал (30), где и задачу поиска экстремума этого функционала. Необходимые условия экстремума в этом случае имеют вид уравнений (36)-(39).

Электротехника Складывая уравнения (36) и (37), получаем (33), а складывая (38) и (39), получаем (34). Функционал (30), (40) имеет седловую точку, в которой достигается глобальный слабый максимум по функции v и глобальный слабый минимум по функции w при R > 0, откуда следует, что оптимум этого функционала достигается при 8. Электрическая цепь с трансформаторами трансформаторы мгновенных значений. Такие трансформаторы впервые были рассмотрены Деннисом [2]. Поэтому в дальнейшем они называются трансформаторами Денниса и обозначаютя как TД.

Деннис предложил TД как абстрактную математитческую конструкцию (для интерпретации задач квадратичного программирования) и разработал теорию электрических цепей постоянного тока, включающих TД, резисторы, диоды, источники тока и напряжения. При этом не были предложены способы физической реализации TД. Из-за технической сложности такой реализации цепи с трансформаторами постоянного тока до настоящего времени не использовались. В [13] предложены различные схемы реализации TД и рассмотрены модели различных задач математического программирования в виде электрических цепей с TД и другими нетрадиционными элементами.

TД имеет первичную и вторичную обмотки. Мгновенные значения токов и напряжений в этих обмотках связаны между собой также, как действующие значения синусоидальных токов и напряжений в обычном трансформаторе. На фиг. 1 TД изображен условно. Он содержит две ветви – первичную с током q1 и напряжением e1 и вторичную с током q2 и напряжением e2. TД описывается следующими соотношениями:

где t - коэффициент трансформации. Из этих уравнений следует, что q1e1 = q2e2, т.е. мощности, отдаваемые первичной и вторичной ветвями TД в электрическую цепь, в сумме равны нулю.

Таким образом, TД не изменяет активную и реактивную мощность в цепи, являясь пассивным элементом. TД может рассматриваться как узел, где токи суммируются с весовыми коэфициентами. При этом возникает полная аналогия с первым законом Кирхгофа для узлов.

Рассмотрим специальную матрицу TД - см. рис. 2. Для этой матрицы обозначим:

j - номер строки, k – номер столбца, Jk - суммарный ток всех обмоток, составляющих k-столбец k - общее напряжение на обмотках, составляющих k-столбец qj - ток всех обмоток, составляющих j-строку матрицы, W j - суммарное напряжение всех обмоток, составляющих jстроку матрицы, W = W j T = t jk - коэффициенты трансформации.

Будем называть k-столбец матрицы ТД трансформаторов трансформаторным узлом.

В общем случае матрица ТД описывается следующими уравнениями:

Для матрицы ТД справедливо следующее соотношение:

Таким образом, матрица ТД не изменяет активную и реактивную мощность в цепи.

Электротехника Матрица ТД включается в электрическую цепь таким образом, что строки матрицы являются частью ее ветвей. При этом второй закон Кирхгофа для вевей электрической цепи принимает следующий вид:

В дальнейшем будем полагать, что во всех обычных узлах электрической цепи могут быть включены узловые сопротивления и источники тока H, а во всех трансформаторных узлах могут быть включены узловые сопротивления и источники тока P.

Токи, протекающие через сопротивления, будем обозначать через i, m для обычных и трансформаторных узлов соответственно. Такие цепи будем называть электрическими цепями общего вида.

На фиг. 3 показан пример электрической цепи общего вида, где во всех узлах включены узловые сопротивления и источники тока.

На этой фигуре буквами a, b, c обозначены ветви строк трансформаторной матрицы и разрывы обычных ветвей, куда вставлены ветви строк.

При этом первый закон Кирхгофа принимает следующий вид для обычных и трансформаторных узлов соответственно:

Запишем эти же законы в виде интегральных уравнений:

Электротехника Здесь, как и ранее, g = q.

Обратимся к системам уравнений (41)-(43) и (44)-(45).

Рассмотрим функционалы, для которых эти уравнения являются необходимыми условиями оптимума. Эти функционалы имеют следующий вид для систем уравнений (41)-(43):

где для систем уравнений (44)-(45):

где 9. Безусловная электрическая цепь Электрическую цепь, у которой (1 ) 0, в дальнейшем будем называть безусловной. Пример такой цепи показан на фиг. 3.

Системы уравнений (41)-(43) и (44)-(45) могут быт упрощены при могут быть исключны:

После приведения подобных, получаем (7) и (26), где Таким образом, безусловная электрическая схема с матрицей ТД описывается уравнениями (7) и (26). Эти уравнения идентичны уравнениям для RCL-цепей и для рассматриваемых цепей существуют функционалы, для которых данные уравнения являются необходимыми условиями оптимума. Эти функционалы имеют следующий вид • для уравнения (7) - функционалы (1), (2), • для уравнения (26) - функционалы (30), (31), причем в этих формулах скалярные величины S, R, L, E заменены на матрицы S, R, M, E, определенные по (53).

Таким образом функционалы для безусловной электрической цепи имеют безусловный оптимум. При безусловная электрическая цепь аппроксимирует обычную электрическую цепь с теми же параметрами, но при =. Другими словами, режим электрической цепи стремится к режиму аппроксимирующей безусловной электрической цепи при. Следовательно, расчет электрической цепи может быть заменен расчетом безусловной электрической цепи при достаточно больших. Этот способ будет использован в дальнейшем.

10. Обобщенный функционал для безусловной электрической цепи Из вышеизложенного следует, что принцип экстремума функционала (1, 2) от от расщепленной функции зарядов x и y приводит к такому их распределению, при котором указанный функционал максимизируется в функции от x и минимизируется в функции от y. При этом сумма оптимальных значений x и y равна наблюдаемой функции зарядов q. Аналогично, принцип экстремума Электротехника функционала (30, 31) от от расщепленной функции токов v и w приводит к такому их распределению, при котором указанный функционал максимизируется в функции от v и минимизируется в функции от w. При этом сумма оптимальных значений v и w равна наблюдаемой функции токов q. Таким образом, в безусловной электрической цепи объективно устанавливается безусловный экстремум функционала зарядов (1, 2) и безусловный экстремум функционала токов (30, 31). Следствием оптимизации являются уравнения второго закона Кирхгофа для зарядов (7) и токов (26) соответственно. При этом предполагается, что в этих формулах скалярные величины S, R, L, E заменены на матрицы S, R, M, E, вычисленные по (53). Для наглядности объединим эти формулы в табл. 1.

Оба функционала (1) и (30) оптимизируются одновременно. Это означает, что выполняется поиск таких функций g = q, оптимальные значения которых доставляют оптимум этим функционалам одновременно. Это, в свою очередь, означает, что любое отклонение функций g = q от оптимального значения (даже в сторону улучшения значения одного из функционалов функционала) приводит к тому, что значение другого функционала ухудшается.

Таблица 1.

При такой оптимизации расчет электрической цепи выполняется по следующему алгоритму градиентного поиска седловой точки обощенного функционала, где - оператор дифференцирования, h ( ) - изображение функции h(t) от времени при данной функции g = q градиент p является общим для обоих функционалов и вычисляется по формуле 3. определяется норма p градиента p;

p < расчет заканчивается с определенным ранее значением q;

5. вычисляются основные коэффициенты по следующим формулам:

6. определяется изображение p по оригиналу p ;

7. определяется изображение приращения тока по формуле;

изображению q ;

9. вычисляется новое значение тока q q + q ;

10. пункты 2-9 повторяются.

Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Электротехника Теорема 1. Движение по направлению (60) в функционале эквивалентно движению к глобальным седловым точкам двух вторичных функционалов удовлетворяют условиям а уравнение стационарного значения имеет вид Пример. Демонстрационная программа “SinLin”. В этой программе реализован описанный выше метод, примененнный для расчета цепей синусоидального тока. Ее можно получить у автора, обратившись по адресу [email protected]).

11. Минимизация энергии Итак, в электрических цепях соблюдается принцип экстремума величины при ограничениях - уравнениях первого закона Кирхгофа. Следствием этого принципа являются уравнения второго закона Кирхгофа. Оптимизируемый квадратичный функционал имеет размерность «энергия*время». Подинтегральная функция в функционале имеет размерность энергии и может интерпретироваться как алгебраическая сумма электрической, магнитной, тепловой энергий и потенциальной энергии источников Э.Д.С.

Рассмотрим оптимальные значения функционалов при оптимальных x = y, v = w. При этом в оптимальных значениях все произведения одной переменной на производную другой переменной исключаются.

В частности, функционал (2) принимает оптимальное значение где функционал принимает минимальное значение, а функционал равносильно тому, что некоторый функционал принимает минимальное значение.

Аналогично, функционал (31) принимает оптимальное значение где функционал принимает минимальное значение, а функционал принимает максимальное значение. При v = w = g / 2 = q / 2 это равносильно тому, что функционал принимает минимальное значение Итак, поведение электрической цепи равносильно тому, что два некоторых функционала одновременно принимают минимальные значения (62) и (63). Это (как указывалось) означает, что любое отклонение функции q от оптимального значения (даже в сторону уменьшения значения одного из функционалов) приводит к тому, что значение другого функционала увеличивается. Следовательно, можно утверждать, что в электрической цепи одновременно минимизируются действие тепловой энергии (63) и действие электромагнитной энергии (62).

Заметим, что относительно рассмотренной задачи вариационного исчисления может быть получена двойственная ей задача, где неизвестными являются пары функций, дающие в сумме искомые напряжения на элементах цепи.

Электротехника 12. Cистема линейных дифференциальных Вышеприведенные результаты можно интерпретировать как метод решения системы дифференциальных уравнений второго порядка вида (60.4) относительно переменной q(t). Решаемая система должна иметь вид где x – вектор неизвестных, a, b, - данные положительно определенные квадратные матрицы, c – данная положительно определенная диагональная матрица, d - данный вектор.

параметры электрической цепи, которая моделирует данную систему дифференциальных уравнений.

В частности, электрическая цепь может моделировать систему дифференциальных уравнений первого порядка общего вида Полагая q = x, M = a, R = b, S = 0, E = d, из (53) находим параметры электрической цепи, которая моделирует данную систему дифференциальных уравнений первого порядка.

Алгоритм расчета электрической цепи описан выше. Тем самым решение системы дифференциальных уравнений сводится к расчету электрической сети методом градиентного поиска седловой точки обобщенного функционала.

13. Электромеханические системы Вышеприведенные результаты можно (как указывалось) интерпретировать как метод решения системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно переменной q(t) вида Решение этого уранения является следствием оптимизации одновременно двух функционалов вида (60.2) и (60.3), где qo = xo + yo, qo = vo + wo. Исключая трансформаторы Денниса эту же систему (66) можно представить также в следующем виде:

Дополним безусловную электрическую цепь, соответствующую уравнению (67), ветвями третьего типа, включенными между узлом и «землей». Эти цепи будем называть дифференцирующими, поскольку они описываются парой дифференциальных уравнений следующего вида:

где - узловые потенциалы, J - токи дифференцирующих узлов, X - «посторонние» переменные, В безусловной электрической цепи узловые потенциалы равны = i, а токи через узловые сопротивления в данном случае равны При этом система уравнений электрической цепи принимает вид:

Эта система может быть переписана в следующем виде:

Как и для системы (66), решение этого уравнения является следствием оптимизации одновременно двух функционалов. Имея в виду обозначение для Q, получаем Электротехника Метод решения уравнения (71) полностью совпадает с методом решения уравнения (66) электромеханический элемент, где «посторонние» переменные – это координаты, скорости, ускорения, силы, моменты, температура, давление и другие переменные, описывающие неэлектрические процессы - механические, тепловые, гидравлические. При этом система уравнений (70) описывает систему электромеханических элементов, связанных электрической цепью. Можно выделить следующие варианты таких систем:

1. Электрическая цепь; при этом 2. Неэлектрическая (механическая, тепловая, гидравлическая) система;

при этом электрическая цепь отсутствует, и остается только часть уравнения (4) в виде 3. Электрическая цепь, в которой дифференциальные ветви содержат только электрические элементы; при этом а величины a, b, c имеют соответственно следующий смысл:

индуктивность или взаимоиндуктивность нескольких дифференциальных ветвей, сопротивление, емкость. Надо заметить, что схема такой же конфигурации может быть построена и без привлечения понятия дифференциальных ветвей.

4. Электромеханическая система – общий случай. При этом некоторые дифференциальные ветви могут • отсутствовать, • содержать только электрические элементы, • содержать только механические, тепловые, гидравлические • содержать электромеханические элементы, в которых происходит преобразование электромагнитной энергии в механическую и тепловую или обратное преобразование;

именно эти элементы формируют электромеханическую систему, как таковую.

Заметим, например, что для механических систем принцип минимума действия эквивалентен предложенному принципу. Однако принцип минимума действия не применим к общему случаю электромеханической системы.

1. Максвелл Д.К. Трактат об электричестве и магнетизме. Том 1.

Москва, изд. «Наука», 1989, стр. 328.

2. Dennis Jack B. Mathematical Programming and Electrical Networks, New York, 1959, Pages V1, 186 p. Деннис Дж. Б. Математическое программирование и электрические цепи. М.: ИЛ, 1961, 430 с 3. Penfield P., Spence R., Duinker S. Tellegen’s theorem and electrical Networks, Cambridge, Mass., 1970, Pages XV, 143 p.

4. Образцов И.Ф., Гвишиани А.Д., Гурвич В.А. Расчет схем и двойственные задачи выпуклого программирования. Доклады Академии Наук СССР, 287, №5, Математика, 1986, 48-52 с.

5. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. Л.: Энергия, 1964, 281 c.

6. Лазебник А.И., Левитин Е.С., Хранович И.Л. О вариационных принципах электрических цепей. Теоретическая электротехника.

Республиканский межведомственный сборник, вып.18, Львов:

изд. Львовского Университета, 1975, 85-91 с.

7. Цлаф У. Вариационное исчисление и интегральные уравнения.

М.: Наука, 1966, 254 p.

8. Хмельник С.И. Принцип экстремума для электрических цепей переменного тока. М.: ВНИИ Электроэнергетики, депонировано в Информэнерго, № 2960-ЭИ-88, 1988, 26 с.

9. Хмельник С.И. Вариационные принципы в электрических моделях сплошных сред. Задачи технической гидродинамики.

Сборник статей. М.: Наука, 1991, 148-158 с.

10. Хмельник С. Комплекс программ расчета электромеханических систем. IV Международная конференция «Творческие поиски ученых Израиля сегодня», Израиль, Ашкелон, 1999, 148-155 с.

11. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход.

М.: Советское Радио, 1973, 312 c.

12. Herman E. Koenig, William A. Blackwell. Electromechanical system theory, McGraw-Hill Book Company, N.Y., 1961. Кёниг Герман Е., Электротехника Блекуэлл Вильям А. Теория электромеханических систем. М.-Л., изд. «Энергия», 1965, 424 с.

13. Хмельник С.И. Электрические цепи постоянного тока для моделирования и управления. Алгоритмы и аппаратура.

Published by “MiC” - Mathematics in Computer Comp., printed in USA, Lulu Inc. Израиль-Россия, 2004, 174 c.

14. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров, изд.

«Наука», Москва, 1964, 772 с.

15. Khmelnik S.I. The Principle of Extreme in Electric Circuits, http://www.laboratory.ru, 2004.

16. Хмельник С.И. Вариационный принцип экстремума в электромеханических системах. Published by “MiC” - Mathematics in Computer Comp., printed in USA, Lulu Inc., Израиль-Россия,