МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет механико-математический_

Кафедра математического моделирования в механике_

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе В.П. Гарькин «_»_2010 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Математическое моделирование образовательная программа направления 010800 Механика и математическое моделирование цикл Б2 «Профессиональный цикл», вариативная часть Профиль подготовки Общий Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения Очная Курс 2, семестр Самара Рабочая программа составлена на основании федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления 010800 МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 24 декабря 2009 г.

№ 8. Зарегистрировано в Минюсте России 9 февраля 2010 г. № 16328.

Составитель рабочей программы:

Степанова Л.В., доцент кафедры математического моделирования в механике, к. ф.-м. н.

«»2010 г. Рецензент:

Астафьев В.И., профессор кафедры безопасности информационных систем, д.ф.-м.н.

«»2010 г. _В.И.Астафьев_ Рабочая программа утверждена на заседании кафедры дифференциальных уравнений и теории управления (протокол № от «»2010 г.) Заведующий кафедрой «»2010 г. _Н.И.Клюев_

СОГЛАСОВАНО

Председатель методической комиссии факультета «» 2010 г. _ Е.Я.Горелова

СОГЛАСОВАНО

Декан факультета «» 2010 г. _ _С.Я. Новиков_

СОГЛАСОВАНО

Начальник методического отдела «» 2010 г. _ _Н.В.Соловова 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины.

1.1.Цели и задачи изучения дисциплины.

Цель дисциплины – изучение основных понятий, приемов и методов математического моделирования явлений и процессов различной природы.

Задачи дисциплины:

ознакомить слушателей с важнейшими понятиями математического моделирования и применением основных методов и приемов математического моделирования для исследования явлений различной природы (для исследования механических и физических явлений, для решения биологических, химических, экономических рассмотреть базовые понятия математического моделирования;

продемонстрировать основные методы и приемы решения задач.

1.2. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля).

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен:

Иметь представление:

о современном состоянии и основных методах математического моделирования;

об основных понятиях и принципах математического моделирования;

об основных математических моделях физических, биологических, химических, экономических и социальных явлений.

базовую терминологию, относящуюся к математическому моделированию;

основные принципы построения математических моделей;

содержание специализированной литературы, посвященной математическому моделированию;

основные методы исследования математических моделей;

основные математические модели механики, физики, биологии, химии и строить математические модели физических явлений на основе фундаментальных законов природы, вариационных принципов;

анализировать полученные результаты;

строить иерархическую цепочку математических моделей;

применять основные приемы математического моделирования при исследовании задач различной природы;

проанализировать полученные результаты.

Быть способным:

дать классификацию основных математических моделей (непрерывные и дискретные модели, детерминированные и вероятностные модели, жесткие и мягкие модели);

привести примеры математических моделей явлений и процессов различной применить основные методы исследования математических моделей;

показать в "работе" приемы математического моделирования;

решать задачи курса на профессиональном уровне, включая разработку алгоритмических и программных решений в области системного и прикладного программирования.

Владеть компетенциями:

Код Наименование результата обучения компетенции ОК – 6 Умение активно использовать базовые знания в области гуманитарных и естественных наук в профессиональной деятельности ОК – 7 Способность к исследованиям и нацеленность на постижение точного ОК - 8 Способность приобретать новые знания, используя современные образовательные и информационные технологии ОК – 11 Способность и готовность использования в профессиональной деятельности фундаментальной подготовки по основам ОК - 13 Владение базовыми знаниями в областях информатики и современных информационных технологий, навыками использования программных средств и навыки работы в компьютерных сетях, умение создавать базы данных и использовать ресурсы Интернет ОК – 14 Способность к анализу и синтезу ОК – 18 Умение составлять библиографические списки и работать с ПК - 1 Способность к определению общих форм, закономерностей и инструментальных средств отдельной предметной области ПК -2 Умение понять поставленную задачу ПК -3 Умение формулировать результат ПК -4 Умение строго доказать утверждение ПК -5 Умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать ПК - 6 Умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного ПК -7 Умение грамотно пользоваться языком предметной области ПК -8 Умение ориентироваться в постановках задач ПК -9 Знание корректных постановок задач ПК - 10 Понимание корректности постановок задач ПК -12 Глубокое понимание сути точности фундаментального знания ПК - 13 Обретение опыта самостоятельного различения различных типов ПК - 14 Способность к контекстной обработке информации ПК - 19 Владение методом алгоритмического моделирования при анализе ПК - 20 Владение методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных и инженерно-технических ПК - 21 Умение грамотно использовать программные комплексы при ПК - 22 Понимание того, что фундаментальное математическое знание ПК - 23 Владение методами математического и алгоритмического ПК - 27 Владение проблемно-задачной формой представления ПК - 28 Умение самостоятельно математически корректно ставить ПК - 29 Глубокое понимание роли экспериментальных исследований в ПК - 30 Умение самостоятельно математически корректно ставить задачи ПК - 31 Способность передавать результат проведенных физикоматематических и прикладных исследований в виде конкретных рекомендаций, выраженных в терминах предметной области ПК - 37 Умение оценить границы применимости математической модели ПК - 38 Умение применять программные средства компьютерной графики и визуализации результатов научно-исследовательской деятельности, оформлять отчеты и презентации, готовить рефераты, доклады и статьи с помощью современных офисных информационных технологий, текстовых и графических редакторов ПК - 39 Умение корректно сформулировать научную гипотезу ПК - 42 Владением представлением о планировании, проведении и интерпретации эксперимента и экспериментальных данных по ПК - 43 Способность реализовать математические модели средствами ПК - 45 Готовность использовать современные достижения науки и передовой технологии в научно-исследовательских работах 1.3. Место дисциплины в структуре ООП.

Дисциплина «Математическое моделирование» входит в цикл профессиональных дисциплин в вариативной части. Для ее успешного изучения необходимы знания и умения, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин:

математический анализ, дифференциальные уравнения.

Освоение дисциплины «Математическое моделирование» необходимо при последующем изучении таких обязательных курсов, как «Уравнения в частных производных» («Уравнения математической физики»), «Краевые задачи механики сплошных сред».

2. Содержание дисциплины.

2.1. Объем дисциплины и виды учебной работы.

2.3. Содержание учебного курса.

Раздел 1. Понятие математической модели. Принципы построения математических моделей.

Тема 1.1 Введение.

Понятие математической модели. Простейшие математические модели. Пример математической модели Солнечной системы. Этапы математического моделирования.

Типы математических моделей: структурные и функциональные модели.

Дискретные и непрерывные модели. Линейные и нелинейные модели. Линеаризация.

Детерминированные и вероятностные модели. Жесткие и мягкие математические модели.

Требования к математическим моделям: требование адекватности математической модели. Универсальность математической модели. Применение аналогий при построении математической модели.

Концептуальная постановка задачи. Построение математической модели. Этапы построения математической модели. Формулировка законов, связывающих основные объекты модели.

Тема 1.2. Фундаментальные законы природы как основа построения математической модели.

Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы. Законы сохранения. Закон всемирного тяготения. Кеплерова задача. Универсальность математических моделей. Совместное применение фундаментальных законов природы.

Примеры иерархии математических моделей. Различные варианты действия внешней силы в модели шарик-пружина. Учет сил трения.

Сплошные среды и уравнения математической физики. О построении математических моделей сплошных сред.

Уравнение колебаний. Уравнение диффузии. Уравнение переноса. Уравнения гидродинамики: уравнения движения идеальной жидкости, уравнения движения линейно вязкой жидкости. Уравнения пограничного ламинарного пограничного слоя. Уравнения Максвелла. Уравнение Шредингера. Уравнение Клейна-Гордона.

Тема 1.3. Вариационные принципы как основа построения математической модели Общая схема принципа Гамильтона. Некоторые приложения принципа стационарного действия: задача о брахистохроне, задача о геодезических линиях.

Уравнения движения, вариационные принципы и законы сохранения в механике.

Уравнения движения в форме Ньютона. Уравнения движения в форме Лагранжа. Законы сохранения и свойства пространства-времени. Модели некоторых математических систем.

Маятник на свободной подвеске. Задача Ампера. Дифференциальное уравнение свободных колебаний струны. Уравнение колебаний прямолинейного стержня.

Электромеханическая аналогия.

Раздел 2. Исследование математических моделей.

Тема 2.1. Теоретическое исследование математических моделей. Методы построения и исследования решений.

Исследование математической задачи, к которой привела математическая модель.

Критерий практики. Последующий анализ модели (накопление данных об изучаемых явлениях и модернизация математической модели).

Точные решения. Приближенные решения. Асимптотические разложения. Методы возмущений (метода малого параметра). Регулярные и сингулярные возмущения. Метод усреднения. Осреднение быстро колеблющихся исходных зависимостей. Метод усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского. Метод Вентцеля-КрамерсаБриллюэна.

Применение методов подобия и размерности в механике. П-теорема. Анализ размерностей и групповой анализ моделей. Автомодельные (самоподобные) процессы.

Решения типа бегущих волн. Метод подобия. Обобщенно-автомодельные решения.

Тема 2.2. Вычислительный эксперимент. Численные методы построения решений.

Необходимость численного моделирования. Элементарные понятия разностных схем. Метод Галеркина. Метод конечного элемента Итерационные методы. Точность решения. Построение разностных схем с помощью вариационных принципов.

Использование иерархического подхода к получению дискретных моделей.

Раздел 3. Верификация математических моделей.

Тема 3.1 Методы самоконтроля при построении решения.

Контроль системы единиц измерения. Контроль законов сохранения. Инвариантные величины. Контроль характера зависимости решения от параметров задачи. Примеры применения методов самоконтроля.

Тема 3.2. Верификация математической модели.

Проблема верификации математической модели. Критерий практики.

Распространенные ошибки. Ошибки в выборе модели. Влияние интерполяции и экстраполяции. Ошибки в выборе метода исследования. Примеры. Задача о движении тела по орбите около двух более значительно более массивных тел. Задача о перевернутом маятнике. Математическая модель цикла истощения атмосферного озона. Задача о распространении волн в среде, в которой скорость распространения колебаний является переменной величиной.

3. Организация текущего и промежуточного контроля обучения.

3.1. Организация контроля.

Текущий контроль – использование бально-рейтинговой системы.

В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому семинару. В семестре проводятся по 2 контрольные работы (на семинарах). Зачет выставляется после решения всех задач контрольных работ и индивидуальных заданий.

3.2. Тематика рефератов, проектов и т.п.

Рефераты и проекты по курсу не предусмотрены.

3.3.Курсовая работа.

Курсовая работа по курсу не предусмотрена.

3.4. Бально-рейтинговая ситема.

Максимальная сумма баллов, набираемая студентами по дисциплине «Математическое моделирование» в семестре, равна 100.

На основе набранных баллов, успеваемость студентов в семестре определяется следующими оценками:

- «Зачтено» - 60-100 баллов - теоретическое содержание курса освоено полностью, без пробелов, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом сформированы, все предусмотренные программой обучения учебные задания выполнены (работа на практических занятиях, выполнение домашних работ, контрольных и индивидуальной работ), качество их выполнения оценено числом баллов, близким к максимальному.

- «Неудовлетворительно» - менее 60 баллов - теоретическое содержание курса не освоено, необходимые практические навыки работы с освоенным материалом не сформированы, выполненные учебные задания содержат грубые ошибки, дополнительная самостоятельная работа над материалом курса не приведет к существенному повышению качества выполнения учебных заданий.

Зачет по дисциплине ставится при наборе за семестр 60 баллов. Менее 60 баллов незачет.

Распределение баллов, составляющих основу оценки работы студента по изучению дисциплины «Математическое моделирование» в течение семестра.

2. Работа на практических занятиях (1 балл за успешный ответ) до 32 баллов 3. Выполнение индивидуальной работы (за каждую из двух) 4 балла 5. Выполнение домашней работы (по 2 балла за работу) до 35 баллов 4. Сведения о материально-техническом обеспечении дисциплины.

5. Литература.

5.1.Основная.

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы.

Примеры. М.: Физматлит, 2005. 320 с. (34 экз.) 2. Введение в математическое моделирование. Под ред. Трусова П.В. М.:

Университетская книга, Логос, 2007. 336 с. (гриф Минобразования, 25 экз.) 3. Степанова Л.В. Математическое моделирование. Теория. Задачи и упражнения.

Самара. Изд-во "Самарский университет". 2003. 96 с. (100 экз).

4. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: ФАЗИС, 2000.

5. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004. – 240 с. (25 экз.) 5.2. Дополнительная.

1. Пенни Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Моделирование и вычисления с помощью Mathematica, Maple и Matlab. М.: Диалектика, 2008. 1104 с.

2. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Н.Г, Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. М.: УРСС, 2006. 376 с.

3. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М:

Физматлит, 2002. 256 с.

4. Алешков Ю.З. Математическое моделирование физических процессов. СанктПетербург: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2001. 264 с.

5. Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. М.: Едиториал УРСС, 2011. 282 с.

6. Амелькин В.В., Садовский А.П. Математические модели и дифференциальные уравнения. Минск: Высшая школа, 1982. 272 с.

7. Бордовский Г.А., Кондратьев А.С., Чоудери А.Д.Р. Физические основы математического моделирования. М.: Издательский центр "Академия", 2005. 320 с.

8. Горстко А.Б. Познакомтесь с математическим моделированием. М.: Знание, 1991.

9. Математическое моделирование. Под. ред. Дж. Эндрюса, Р. Мак-Лоуна. М.: Мир, 10. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях, М.: УРСС. 2003. 11. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: Эдиториал УРСС, КомКнига, 2007. 192 с.

12. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование. М.: Едиториал 13. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. Минск: Высшая 14. Арнольд В.И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели. М.: МЦНМО, 2000.

15. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточные асимптотики. Л.:

Гидрометиздат, 1982. 208 с.

16. Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения к механике. М.: Наука, 1991. 256 с.

17..Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005. 256 с.

18. Н.Ю. Афанасьева. Вычислительные и экспериментальные методы научного познания. М.: Изд-ва КноРУс, 2010. 336 с.

5.3. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины для организации самостоятельной работы студентов.

1. Степанова Л.В. Математическое моделирование. Теория. Задачи и упражнения.

Самара. Изд-во "Самарский университет". 2003. 96 с. (100 экз).

2. Степанова Л.В. Сборник задач по курсу «Автомодельные решения уравнений математической физики». Самара. Изд-во "Самарский университет". 2010. 28 с.

http://www.allmath/appliedmath/mathmet/mathmet9/mathmet.htm 4. Электронная библиотека Попечительского совета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова http://lib.mexmat.ru 5. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989. 48 с.

http://books4study.com.ua/doc3002.html 6. Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа. М.: Знание, 1991. 48 с.

http://books4study.com.ua/document3381.html 7. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы.

Примеры. М.: Физматлит, 2005. 320 с. http://books4study.com.ua/doc4526.html 8. www.plib.ru/library/book/14944.html.

9. www.libedu.ru.

10. www.twirpx.com.

11. www.ph4s.ru/book_mat_difur.html.

12. Электронная библиотека «Мир математических уравнений» http://eqworld.ipmnet.ru 13. http://www.math.ru 14. http://www.allmath.ru 6. Формирование и оценка результатов освоения учебного курса.

знания, освоенные умения, технологии Основные показатели оценки - основных методов исследования Лекция с понятиями математического моделирования математических моделей; ошибками и применением основных методов и приемов физических, биологических, Тестирование исследования явлений различной природы Умения - строить математические модели Практические решения задач.

физических явлений на основе занятия - строить математические модели Индивидуальные численных решений краевых задач для физических явлений на основе задания нелинейных дифференциальных уравнений с - анализировать полученные Контрольные «Maple», «Mathematica», «Maxima».

результаты, строить иерархическую работы цепочку моделей;

- применять основные приемы математического моделирования при решении задач различной природы.

Способности - продемонстрировать основные ошибками явлений на основе фундаментальных законов Компетенции базовые знания в области Лекция применять полученные знания и навыки для гуманитарных и естественных наук в решения новых задач.

профессиональной деятельности; Лекция с Уверенно владеет содержанием курса, - Способность к исследованиям и ошибками активно использует теоретические знания точного знания; Индивидуальные обладает широкими знаниями основной - Способность приобретать новые задания литературы, рекомендованной по данному образовательные и информационные Контрольные умеет самостоятельно получить результат, деятельности фундаментальной математического моделирования и механики.

современных информационных использования программных средств и навыки работы в компьютерных сетях, умение создавать базы данных и использовать ресурсы Интернет;

- Способность к анализу и синтезу;

работать с библиотечными базами данных;

- Способность к определению общих отдельной предметной области;

Способность к определению общих отдельной предметной области;

- Умение понять поставленную задачу;

- Умение формулировать результат;

утверждение;

- Умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат;

- Умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата;

- Умение грамотно пользоваться языком предметной области;

постановках задач;

- Знание корректных постановок задач;

постановок задач;

- Глубокое понимание сути точности фундаментального знания;

- Обретение опыта самостоятельного различения различных типов знания;

- Способность к контекстной обработке информации;

алгоритмического моделирования при анализе постановок прикладных задач;

алгоритмического моделирования инженерно-технических задач;

- Умение грамотно использовать решении задач механики;

фундаментальное математическое инструментом механики;

алгоритмического моделирования при решении задач механики;

- Владение проблемно-задачной естественнонаучных знаний;

математически корректно ставить инженерно-физические задачи;

экспериментальных исследований в механике;

математически корректно ставить задачи механики;

- Способность передавать результат исследований в виде конкретных терминах предметной области изучавшегося явления;

применимости математической модели;

- Умение применять программные средства компьютерной графики и визуализации результатов научноисследовательской деятельности, оформлять отчеты и презентации, готовить рефераты, доклады и статьи с помощью современных офисных информационных технологий, редакторов;

- Умение корректно сформулировать научную гипотезу;

- Владением представлением о интерпретации эксперимента и экспериментальных данных по изучению деформирования материалов;

математические модели средствами вычислительной техники;

современные достижения науки и передовой технологии в научноисследовательских работах.