Рабочая программа

спец. дисциплины

«Системы квазилинейных гиперболических уравнений»

факультет математики, механики и компьютерных наук,

специальность 010501

(прикладная математика и информатика)

Лекции: 68 часов.

Семинарские занятия: 34 часа.

Итого аудиторных занятий: 102 часа.

Самостоятельная работа: 102 часов.

Форма контроля: зачет, экзамен.

§ 1. Основы теории систем квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными 4 часа лекций, 2 часа семинарских занятий Квазилинейные гиперболические уравнения и теория линейных и нелинейных волн (обзор курса). Элементарные примеры задач, описывающих линейные волны (одномерное волновое уравнение) и нелинейные волны (бездиссипативное уравнение Бюргерса).

Основные определения — системы дифференциальных уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Линейные, квазилинейные, полулинейные и нелинейные уравнения. Системы квазилинейных уравнений первого порядка. Системы разрешенные относительно производных.

Левые и правые собственные вектора матриц. Характеристические направления систем квазилинейных уравнений. Производная функции по направлению. Характеристические направления и характеристики. Определение гиперболических систем квазилинейных уравнений. Характеристическая форма гиперболических уравнений. Системы нелинейных уравнений.

[1] § 2. Инварианты Римана. Различные преобразования систем гиперболических уравнений. Задача Коши 4 часа лекций, 2 часа семинарских занятий Инварианты полулинейной системы квазилинейных гиперболических уравнений. Определение инвариантов Римана. Инварианты Римана для квазилинейных гиперболических уравнений. Системы двух и трех уравнений. Связь с теорией дифференциальных одинформ. Условия существования инвариантов Римана.

Преобразование систем квазилинейных уравнений по решению. Преобразование годографа. Продолженная система уравнений. Консервативные системы квазилинейных уравнений. Потенциал решения консервативных систем квазилинейных уравнений.

Постановка задачи Коши для систем квазилинейных уравнений гиперболического типа.

Разрешимость задачи Коши. Характеристики. Область зависимости и область определенности. Понятие о корректности задачи Коши.

[1] § 3. Задача Коши для одного квазилинейного уравнения.

4 часа лекций, 2 часа семинарских занятий Одно квазилинейное уравнение. Характеристики. Неединственность решения. Постановка задачи в классе разрывных функций. Интегральный закон сохранения для квазилинейного уравнения. Вывод условия на разрывах (условия Ренкина–Гюгонио). Ударная волна. Волна разрежения (автомодельное решение). Решение задачи Коши для одного уравнения с условиями на разрыве и кусочно-постоянными начальными данными (задача о распаде начального разрыва). Замечание о процессах описываемых одними и теми же дифференциальными уравнениями, но различными интегральными законами сохранения.

Одно нелинейное уравнение. Задача Коши. Приведение к системе двух квазилинейных уравнений с одинаковой главной частью.

Метод характеристик для задачи с краевыми условиями.

[1] § 4. Поведение производных решения системы квазилинейных уравнений 4 часы лекций, 2 часа семинарских занятий Слабые разрывы решения (разрывы производных). Автомодельные решения системы квазилинейных гиперболических уравнений. Движение линий слабого разрыва. Транспортное уравнение.

Неограниченность производных. Градиентная катастрофа. Сильно- и слабо-нелинейные системы квазилинейных уравнений. Корректность краевых условий для системы квазилинейных уравнений.

Задача о волновом фронте.

Примеры задач с градиентной катастрофой. Примеры задач о волновом фронте.

Инварианты Римана и автомодельные решения.

[1, 2] § 5. Уравнение Бюргерса 4 часы лекций, 2 часа семинарских занятий Уравнение Бюргерса. Бездиссипативный вариант уравнения Бюргерса. Интегральный закон сохранения. Условия Ренкина–Гюгонио на сильном разрыве. Решение задачи о распаде слабого разрыва для уравнения Бюргерса.

Роль вязкости в уравнении Бюргерса. Автомодельное решение уравнения Бюргерса — бегущая волна. Опрокидование волны и условие на разрыве. Структура и ширина ударной волны. Предельный переход при исчезающей вязкости. Связь решения с решением бездиссипативного варианта уравнения.

Связь уравнения Бюргерса с уравнением теплопроводности. Модифицированное уравнение Бюргерса. Замена Коула–Хопфа.

Различные решения для уравнения Бюргерса. Одиночный горб. N-волна. Периодическая волна. Слияние ударных волн.

[1, 2] § 6. Физические задачи о линейных и нелинейных волнах.

4 часы лекций, 2 часа семинарских занятий Материальная производная. Эйлерово и Лагранжево описание сплошной среды. Задача о потоке транспорта. Уравнения мелкой воды и паводковые волны. Речные волны. Бора.

Движение ледников. Задача об отложении осадков в реках. Задачи сорбции (хроматография). Задачи электрофореза (перенос примесей электрическим полем). Уравнения зонального электрофореза. Уравнения изотахофореза. Уравнения газовой динамики. Звуковые волны (акустика). Уравнение Бюргерса.

Теория мелкой воды и уравнения Кортевега – де Фриза. Дисперсионные эффекты. Солитоны.

[1, 2] § 7. Групповые свойства дифференциальных уравнений 4 часа лекций, 2 часа семинарских занятий Однопараметрическая группа Ли. Инварианты группы. Инфинитезимальный оператор.

Производная Ли. Продолженная группа. Продолженное преобразование. Группы преобразований, допускаемые системой дифференциальных уравнений. Определяющая система.

Переопределенность определяющей системы.

Группа преобразований уравнений газовой динамики. Частично инвариантые и инвариантные решения.

[1] § 8. Обобщенные решения систем квазилинейных гиперболических уравнений 4 часа лекций, 2 часов семинарских занятий.

Постановка задачи Коши в классе разрывных функций. Условия Ренкина–Гюгонио на разрывах. Устойчивые и неустойчивые разрывы. Индекс линии разрыва. Условия устойчивости Лакса. Необратимость процессов, описываемых разрывными решениями систем квазилинейных уравнений.

Система квазилинейных уравнений. Характеристическая форма записи. Интегральные законы сохранения. Условия на разрыве. Условия Лакса.

Автомодельные решения систем квазилинейных уравнений. Сильно и слабо нелинейные системы (по Лаксу). Выпуклость.

Ударные волны и волны разрежения. Касание второго порядка для ударных волн и волн разрежения.

[1] § 9. Задача о распаде начального разрыва для систем квазилинейных гиперболических уравнений.

4 часов лекций, 2 часов семинарских занятий.

Постановка задачи о распаде произвольного кусочно-постоянного разрыва. Автомодельное решение. Геометрическая интерпретация задачи о распаде разрыва. Ударные волны и волны разрежения.

Подготовительные геометрические построения для доказательства теоремы Лакса. Последовательности ударных волн и волн разрежения. Поведения собственных значений (характеристических направлений). Чередование волн и роль условий устойчивости Лакса.

Доказательство теоремы Лакса о распаде малого кусочно-постоянного начального разрыва. Пример неединственности автомодельного решение задачи о распаде начального разрыва (нарушение условий теоремы Лакса).

Инварианты Римана и геометрическая интерпретация решения задачи о распаде начального разрыва.

§ 10. Численные методы построения решения задач для гиперболических квазилинейных Разностные схемы. Разностная задача Коши. Аппроксимация конечно-разностной схемой.

Устойчивость конечно-разностных схем. Спектральный анализ устойчивости. Условия Куранта–Фридрихса–Леви.

Одномерные уравнения. Конечно-разностные схемы для одного уравнения. Схема Лакса.

Схема Лакса-Вендрофа. Схема Кранка-Никольсона. Схема предиктор-корректор.

§ 11. Численные методы построения решения задач для гиперболических квазилинейных Использование характеристик при численном решении одного квазилинейного уравнения.

Условия на разрыве. Пересечение характеристик. Ударные волны и волны разрежения.

Неявные конечно-разностные схемы. Устойчивость. Дисперсионные эффекты конечноразностных схем. Схемы повышенного порядка точности.

§ 12. Численные методы построения решения задач для гиперболических квазилинейных Двумерные системы квазилинейных гиперболических уравнений (2+1 —две пространственных и одна временная переменные). Особенности конструирования конечноразностных схем в плоском случае. Интегральные законы сохранения. Использование условий на разрывах.

Шахматные (вложенные) сетки. Разностные схемы Лакса, Лакса–Вендрофа, предикторкорректор. Схема Годунова.

Конечно-разностные схемы в лагранжевых и эйлеровых координатах. Использование специальных замен переменных (массовые переменные). Неявные схемы.

§ 13. Обобщенный метод годографа для квазилинейных Системы квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка (системы гидродинамического типа): геометрия и гамильтонов подход Дубровина – Новикова.

Скобки Дубровина – Новикова. Диагональные гамильтоновы системы, криволинейные ортогональные системы координат и уравнения Ламе.

Диагонализуемые системы, инварианты Римана. Тензоры Нейенхейса и Хантьеса. Тензорный критерий диагонализуемости. Полугамильтоновы системы. Тензорный критерий полугамильтоновости. Гипотеза Новикова и теорема Царева об интегрируемости диагонализуемых полугамильтоновых систем (обобщенный метод годографа). Тензорный критерий интегрируемости. Скобки Пуассона гидродинамического типа. Нелокальные скобки Пуассона гидродинамического типа § 14. Примеры вполне интегрируемых законов сохранения Примеры вполне интегрируемых законов сохранения.

Уравнения хроматографии. Инварианты Римана. Обобщенный метод годографа.

Уравнения электрофореза. Инварианты Римана. Обобщенный метод годографа.

§ 15. Системы квазилинейных гипреболических уравнений в случае нескольких пространственных переменных Уравнения сплошной среды в полярных и сферических координатах. Бездиссипативный вариант уравнений. Законы сохранения. Обобщенные решения в классе разрывных функций. Условия на разрывах.

Линейные гиперболические уравнения. Задача о сферической волне. Цилиндрические волны. Диффузия волн. Уравнения акустики. Звуковые волны.

Уравнения газовой динамики. Разрывные решения. Автомодельные решения. Центрированные волны разрежения. Ударные волны. Адиабата Гюгонио.

§ 16. Гиперболические квазилинейные уравнения с алгебраическими ограничениями Системы гиперболических уравнений и системы алгебраических ограничений. Медленные переменные. Скрытые переменные. Формулировка задачи о распаде начального разрыва.

Корректность постановки задачи. Переопределение потоков. Два варианта новой постановки задачи.

Построение решения. Контактные разрывы. Взаимодействие разрывов. Неподвижные разрывы. Особенности решения задачи с неподвижными разрывами. Построение автомодельных решений. Вспомогательные соотношения и теоремы.

Уравнение Кортевега – де Фриза. Дисперсия. Солитоны. Уравнения мелкой воды. Обратная задача теории рассеяния. Метод LA-пары. Интегралы уравнения КдФ. Преобразования Ли – Бэклунда.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука.

1978.

[2] Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977.

ДРУГИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

[3] Жуков М. Ю. Массоперенос электрическим полем. Изд-во РГУ. Ростов-га-Дону, 2005.