«ЮРИЙ ЛЕОНИДОВИЧ ЕРШОВ Биобиблиографический указатель РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА ЮРИЙ ЛЕОНИДОВИЧ ЕРШОВ Биобиблиографический указатель Научный редактор С. С. ...»

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

ЮРИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

ЕРШОВ

Биобиблиографический указатель

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА

ЮРИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

ЕРШОВ

Биобиблиографический указатель

Научный редактор С. С. Гончаров 2-е издание, дополненное и переработанное Новосибирск Издательство Института математики 2010 УДК 51(092) Под редакцией С. С. Гончарова Юрий Леонидович Ершов: Биобиблиографический указатель / Ред. С. С. Гончаров. — 2-е изд., доп.

и перераб. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2010. — 94 с.

ISBN 978–5–86134–164–6.

Биобиблиографический указатель сочинений академика Юрия Леонидовича Ершова. Первый биобиблиографический указатель работ Ершова со вступительной статьей С. С. Гончарова и библиографией, составленной В. М. Пестуновой и А. И. Мартыновой, был издан в 2000 г. Настоящее второе издание переработано к 70-летию со дня рождения Ю. Л. Ершова и включает краткий очерк научной и педагогической деятельности, статью Ю. Л. Ершова «Алгебра и логика: старые и новые связи», хронологический указатель трудов, а также вспомогательные указатели.

Публикация рассчитана на читателей, интересующихся историей отечественной науки.

ISBN 978–5–86134–164–6 c Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, О научной и педагогической деятельности Ю. Л. Ершова Академик Ю. Л. Ершов — выдающийся ученый в области алгебры и математической логики, внесший фундаментальный вклад в развитие этой научной отрасли математики. Ю. Л. Ершов опубликовал более 300 научных работ, 12 монографий, из них 6 монографий, которые переведены за рубежом и получили высокую оценку специалистов. Он является первым лауреатом премии имени А. И. Мальцева Российской Академии наук, присуждаемой за выдающиеся результаты в области математики (за монографию «Теория нумераций»), лауреатом Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники, награжден орденом Трудового Красного Знамени, а также орденами «Знак Почета»

и «За заслуги перед Отечеством» IV степени.

Ю. Л. Ершов родился в Новосибирске 1 мая года в семье инженеров-железнодорожников. В 1958 году он поступает на механико-математический факультет Томского государственного университета, затем переводится в только что открывшийся Новосибирский государственный университет, чтобы специализироваться по алгебре и математической логике. Здесь Ю. Л. Ершов познакомился со своим будущим учителем, основателем Новосибирской школы алгебры и логики, академиком А. И. Мальцевым. Уже в студенческие годы Ю. Л. Ершов получил новые научные результаты, а через несколько месяцев после окончания университета, в 1964 году, защитил кандидатскую диссертацию на тему «Разрешимые и неразрешимые теории», а еще через два года — докторскую, на тему «Элементарная теория полей», основные результаты которой были охарактеризованы академиком П. С. Новиковым как выдающиеся достижения в математике.

В двадцать семь лет Ю. Л. Ершов становится заведующим отделом математической логики Института математики СО АН СССР, а в 1970 году он избирается членом-корреспондентом Академии Наук СССР, c 1991 года — действительный член Российской Академии наук.

Математический талант Ю. Л. Ершова ярко проявился уже в студенческие годы, когда он начал свою исследовательскую деятельность под руководством академика Анатолия Ивановича Мальцева в Новосибирском государственном университете. Начало 1960-х годов было отмечено бурным развитием исследований вопросов разрешимости элементарных теорий. Войдя в эту область со студенческих лет, Юрий Леонидович в большой степени способствовал ее дальнейшему развитию не только решением известных проблем, но и разработкой новых мощных методов доказательства разрешимости и неразрешимости элементарных теорий. Выдающимся достижением Ю. Л. Ершова в этом направлении явилось решение классической проблемы Тарского о разрешимости элементарной теории поля p-адических чисел.

Им также были найдены новые серии полей с разрешимой элементарной теорией, доказана алгоритмическая неразрешимость теории класса конечных симметрических групп и других теорий. Посредством элементарной классификации он доказал разрешимость элементарной теории дистрибутивных решеток с относительными дополнениями и теории фильтров. Эти результаты быстро получили мировое признание и поставили молодого новосибирского математика Ю. Л. Ершова в ряд всемирно признанных корифеев математической логики.

Исследование труднейших вопросов, касающихся разрешимости элементарных теорий, занимает одно из первых мест в его творчестве, и к этому вопросу Юрий Леонидович еще не раз возвращался в своих работах.

Особенно впечатляют его достижения в изучении элементарных теорий полей. Помимо уже упомянутых результатов, для гензелевых полей им получены критерии разрешимости теории поля и элементарной эквивалентности двух полей характеристики нуль из этого класса.

Для класса кратно нормированных полей им развита глубокая и разветвленная теория, отраженная в его монографии «Кратно нормированные поля», изданной в 2000 году на русском и английском языках.

Одной из ключевых концепций, ставшей в руках Юрия Леонидовича мощным орудием, послужило понятие регулярной замкнутости относительно семейства (колец) нормирований. Многие результаты Юрия Леонидовича посвящены различным классам полей и установлению как их теоретико-модельных свойств, так и разрешимости либо неразрешимости их элементарных теорий, в определении которых так или иначе участвует данное понятие. Одним из недавних его достижений стал результат о разрешимости элементарной теории класса удивительных расширений поля рациональных чисел, не вошедший в упомянутую монографию.

Наряду с исследованиями алгоритмической природы элементарных свойств полей Юрий Леонидович также занимался вопросами разрешимости элементарных теорий других классов систем (среди них: группы, булевы алгебры, решетки), где им также были получены результаты первостепенной важности. Исследования Ю. Л. Ершова, касающиеся алгебраических и алгоритмических аспектов проконечных групп, привели к получению важных результатов.

Выдающийся вклад внес Юрий Леонидович в теорию алгоритмов, где им была создана структурная теория нумераций, построена иерархия, которая теперь носит его имя — иерархия Ершова, и обоснованы ее свойства, решена проблема характеризации типа изоморфизма полурешетки m-степеней. Опубликованная им в году монография «Теория нумераций» стала настольной книгой для специалистов в этой области.

Крупный вклад внес Юрий Леонидович в становление и развитие теории вычислимых (конструктивных) моделей. Теория конструктивных моделей связана с изучением моделей, допускающих вычислимые представления. К фундаментальным проблемам данного направления относятся проблемы существования конструктивных моделей для заданных спецификаций. Ему принадлежит теорема о конструктивности ядра, позволившая с единых позиций получить ряд результатов о конструктивности замыканий для групп, колец и полей. Им получены важные результаты о существовании конструктивных моделей для элементарных теорий с конечными препятствиями, а также результаты о конструктивности классических алгебр (групп, колец, полей, булевых алгебр, топологических пространств). Важную роль в развитии мировых исследований в этом направлении сыграла изданная в 1980 году монография Ю. Л. Ершова «Проблемы разрешимости и конструктивные модели».

Итоги дальнейших исследований в теории конструктивных моделей были подведены в изданной в 2000 году монографии «Конструктивные модели», которая была написана Юрием Леонидовичем в соавторстве с его учеником и коллегой С. С. Гончаровым.

Крупным достижением в математической логике и теории алгоритмов стала построенная Юрием Леонидовичем теория непрерывных и вычислимых функционалов конечных типов. В ее основу легли полученные им глубокие результаты о нумерациях с аппроксимациями, а также построенная им теория топологических пространств, которые получили в литературе название пространств Ершова. На их основе Ю. Л. Ершовым независимо и одновременно с американским математиком Д. С. Скоттом была построена теория денотационных семантик программ. Интересные и важные результаты были получены Юрием Леонидовичем в теории допустимых множеств. На основе этой теории им была построена теория вычислимости в допустимых надстройках над абстрактными моделями, были доказаны теоремы о существовании универсальных вычислимых отношений в этих надстройках, а также построена теория вычислимых отношений конечных типов. Эти результаты легли в основу нового подхода к созданию логических языков программирования — так называемого семантического программирования — и позволили взглянуть на вычислимость не через алгоритмическую реализацию, а через определимость в формальном языке, который допускает ясную семантику. Такой подход показал свою эффективность при решении различных прикладных проблем, а также проблем неразрешимости и проблем конструктивных моделей. Этот подход нашел отражение в монографии Ю. Л. Ершова «Определимость и вычислимость», которая была издана в 1996 году и переиздана (с исправлениями и дополнениями) в 2000 году. Важную роль в развитии рекурсивной математики играет также двухтомное издание “Handbook of Recursive Mathematics”, вышедшее в 1998 году во всемирно известной серии ”Studies in Logic and Foundations of Mathematics” под редакцией Ю. Л. Ершова, С. С. Гончарова и американских математиков А. Нероуда и Дж. Реммеля, которое завершило совместный международный проект по изложению идей, методов и основных результатов рекурсивной математики, в который были вовлечены ведущие специалисты этого актуального направления. В математику вошли, став общепризнанными, такие понятия, как иерархия Ершова в теории алгоритмов, идеалы и характеристики Ершова — Тарского в теории булевых алгебр, язык выражений Ершова в семантическом программировании, A-пространства Ершова в теоретическом программировании. Кроме того, Ю. Л. Ершов является одним из авторов нового подхода к обоснованию математики, развивающего и модифицирующего известную программу Гильберта: подхода, связывающего вычислимость с определимостью.

Высокую оценку специалистов получили результаты Ю. Л. Ершова по философии математики. Совместно с чл.-корр. РАН С. С. Гончаровым и профессором К. Ф. Самохваловым им издано учебное пособие «Введение в логику и методологию науки», которое стало победителем открытого конкурса на написание учебников Фонда «Культурная инициатива», Фонда Сороса и Государственного комитета РФ по высшему образованию.

Научное творчество Юрия Леонидовича отличает не только глубина исследования конкретных математических проблем, но и удивительная широта, которая объясняется его уникальными энциклопедическими знаниями в различных разделах математики. Подтверждая его основной принцип исследований «математика едина», в его работах тесно переплетаются методы из самых разных областей, а полученные на их основе результаты также имеют широкий спектр приложений. Кроме того, Юрия Леонидовича отличает высокая требовательность по отношению к себе и окружающим, он не переносит халтуры в науке.

Юрий Леонидович вносит выдающийся вклад в развитие науки и образования в России не только своими яркими научными достижениями. Одним из его важнейших приоритетов является разносторонняя педагогическая и организационная деятельность. Он является признанным лидером Сибирской школы алгебры и логики, школы, которая была создана его учителем А. И. Мальцевым и получила мировую известность. В настоящее время эта школа включает в себя более докторов и свыше 100 кандидатов наук, работающих в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирском государственном университете и других научных и образовательных учреждениях. Сибирская логическая школа имеет тесные научные связи со многими научными центрами России, СНГ и зарубежными научными центрами США, Японии, Германии, Италии, Англии, Австралии, Ирана, Новой Зеландии, Польши, Болгарии, Испании, вместе с которыми ведутся исследования и проводятся конференции. Участники этой школы активно ведут исследования в различных направлениях алгебры и математической логики, участвуют в российских и международных научных и образовательных проектах. Они неоднократно приглашались для чтения лекций в различные университеты, с докладами на международные симпозиумы и конференции, а также входили в программные комитеты этих конференций. Многие участники коллектива были удостоены высоких научных премий и званий; среди них государственные премии, стипендии выдающимся ученым России, премии и медали разного ранга для молодых ученых.

Юрий Леонидович вносит неоценимый вклад в сохранение и развитие этой знаменитой школы. Его учениками защищено 14 докторских и более 40 кандидатских диссертаций. Ученики Ю. Л. Ершова и сотрудников его коллектива работают в настоящее время во многих университетах различных стран и России, занимая там ведущие позиции.

Написанный Ю. Л. Ершовым совместно с Е. А. Палютиным учебник для университетов «Математическая логика» уже выдержал несколько изданий в России и за рубежом; не одно поколение математиков воспитано на нм. Юрий Леонидович является главным редаке тором «Сибирского математического журнала» и журнала «Алгебра и логика», а также руководит всемирно известным одноименным семинаром. Кроме того, в течение ряда лет он являлся председателем программного комитета ежегодной Всероссийской конференции «Новые информационные технологии в университетском образовании», а также международной конференции «Мальцевские чтения», которая проводится в Новосибирске ежегодно, начиная с 1998 года, и собирает специалистов в области алгебры и логики для обмена новыми идеями и результатами и координации совместных научных исследований.

В течение нескольких десятков лет, с 1977 года, Ю. Л. Ершов заведовал кафедрой алгебры и математической логики Новосибирского государственного университета. С 1973 по 1976 гг. Юрий Леонидович был деканом механико-математического факультета, а в 1985– 1993 годах — ректором НГУ. Он стал одним из основателей и первым директором (с 1992 по 2002 гг.) Научноисследовательского института математико-информационных основ обучения (с 1998 года — Институт дискретной математики и информатики) Министерства образования РФ.

С 2002 года Ю. Л. Ершов возглавляет Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской Академии наук. По инициативе Ю. Л. Ершова членами Сибирской школы алгебры и логики был создан Сибирский фонд алгебры и логики. Этот благотворительный фонд формируется из добровольных пожертвований представителей Сибирской школы алгебры и логики и выпускников НГУ и оказывает финансовую поддержку студентам и аспирантам НГУ, а также молодым сотрудникам Института математики СО РАН, специализирующимся в области алгебры и математической логики и активно занимающимся научными исследованиями.

Ю. Л. Ершов является президентом Сибирского фонда алгебры и логики, а также председателем Фонда поддержки ММФ НГУ. Этот благотворительный фонд поддержки ММФ был создан в 2001 году выпускниками ММФ НГУ при непосредственном участии Ю. Л. Ершова. Основой деятельности фонда является поощрение студентов, обучающихся на механико-математическом факультете НГУ, которые показали высокие результаты в учебе и/или научной деятельности, премирование лучших преподавателей факультета, а также проведение различных мероприятий и конференций. В 2009 году при его непосредственном участии была возобновлена деятельность Сибирского математического общества, основанного в 1963 году академиком А. И. Мальцевым.

Ю. Л. Ершов является председателем Объединенного ученого совета по математике и информатике Сибирского отделения РАН и председателем Экспертного Совета по информатике при представителе Президента по Сибирскому Федеральному округу.

Я благодарен за предоставленную мне возможность выступить здесь с докладом, хотя задача моя не из легких, поскольку то, о чем хочу рассказать, относится к наиболее абстрактным частям математики, которая сама по себе является одной из самых абстрактных наук. Алгебра и логика — это довольно широкие области исследования, и там ведется активная и плодотворная работа. Я выбрал узкое направление их взаимодействия, направление, которое, на мой взгляд, представляет интерес. И рассмотрев его в исторической перспективе, я постараюсь удержать внимание уважаемого научного сообщества как можно дольше, потому что рассказывать совсем технические результаты достаточно сложно.

Итак, алгебра и логика, их старые и новые связи.

Слова «алгебра» и «логика» всем знакомы. Алгебра знакома из школьного курса, а насчет логики уместно рассказать такую быль. Один мой остроумный коллега рассказал о недавнем разговоре с другим своим коллегой-математиком. Он сказал: «Я занимаюсь математической логикой» — и тот вполне искренне ответил следующее: «Ты знаешь, а я в своей деятельности логикой никогда не пользовался!». Должен сказать, что это почище литературного героя, который был поражен, когда узнал, что говорит прозой. И это сказал математик!

Взаимодействия между математикой и логикой достаточно интересны. Я выделил в этих взаимодействиВыступление Ю. Л. Ершова на заседании Президиума РАН 12 ноября 2003 г. Опубликовано в журнале «Философия науки».

— 2004. — T. 23, № 4. — C. 132–142.

ях три исторических периода. Они не взаимоисключающие, они пересекаются, когда, образно говоря, алгебра выполняет по совместительству роль математической логики и теории алгоритмов.

Что значит «выполняет роль» и какова роль математической логики? Взгляд на исторические периоды ретроспективный: с нынешней точки зрения мы можем интерпретировать события, которые имели место в прошлом.

Математика знаменита тем, что в ней созданы и опробованы все логические методы. Это одно из тех средств, с помощью которого математика достигла и достигает в настоящее время своего высокого уровня строгости. Известно, что пик «совершенства» в «доисторический» период — аксиоматическое представление геометрии Евклидом. Суть его состоит в следующем:

изложение научной дисциплины, например геометрии, начинается с точной формулировки аксиом — «первоначальных истин», а все остальное, т. е. последовательное изложение, получается логическим выведением всех остальных теорем из принятых предпосылок.

Действительно, аксиоматический метод сыграл и играет важную роль не только в математике, но и в других дисциплинах. Но я бы сказал, что с логикой у Евклида было слабовато. В каком смысле? Дело в том, что он относился к логике как к чему-то само собой разумеющемуся. Это достаточно прагматичная точка зрения. Не скажу, что она такая уж плохая: на протяжении многих веков она если и мешала, то несильно. Иногда даже известные ученые делали элементарные логические ошибки. Это было еще терпимо, но на рубеже XIX–XX вв. возникли так называемые парадоксы, которые поставили под сомнение роль математики как наиболее точной и безупречной науки. Парадокс — это когда одни и те же рассуждения, которые принимаются научным сообществом, приводят в одном случае к одному результату, в другом — к противоположному.

Тогда осознали необходимость сделать еще один шаг в развитии аксиоматического метода: нужно точно выявить те логические средства, которые разрешается использовать для получения следствий, для их выведения.

Это и было проблемой, которая на рубеже XIX– XX вв. привела к созданию математической логики.

Тем не менее в течение веков алгебра, которая является одной из древнейших математических наук, на самом деле демонстрировала примеры точных, в том числе и формальных, логических преобразований, но не на уровне самых сложных логических утверждений, а на уровне тождеств. Можно сказать, что алгебра кодифицировала работу с тождествами. Это довольно важный момент. И сейчас я обращусь к простому примеру из школьной алгебры. В школе изучают решение уравнения x2 + ax + b, где a и b — параметры решения, и нужно найти корни этого уравнения. Как это происходит? Делаются некоторые преобразования, и получается формула для решения, которая дает решение этого квадратного уравнения:

Эти тождественные преобразования приводят к решению задач, в частности к нахождению корней уравнения, а нахождение корней уравнения — это была задача, которую и теория чисел, и арифметика ставили, а алгебра пыталась решать эти уравнения в общем виде.

Другая точка зрения (когда уже получили это решение) состоит в следующем. Эта формула на самом деле представляет собой запись некоторого алгоритма нахождения решения. Ее можно интерпретировать как некоторые указания: что нужно сделать, какие арифметические операции нужно произвести с коэффициентами, для того чтобы найти корень квадратного уравнения. То есть алгебраические формулы являли собой первые формальные записи алгоритмов. Поэтому алгебра выполняла роль и теории алгоритмов.

Одной из важнейших задач ХV–ХVI вв. была задача нахождения корней уравнений более высоких степеней. Например, известна формула Кардано для корня кубического уравнения:

Здесь отсутствует квадрат в канонической записи уравнения, однако с помощью некоторых преобразований общее уравнение приводится к данному виду. Поэтому хотя это и более сложное выражение, но оно тоже представляет собой запись алгоритма для нахождения корней уравнений.

Итак, первый исторический период — VIII–XVI вв.

Алгебра выполняет (по совместительству) роль (математической) логики и теории алгоритмов. Я приведу некоторые имена, которые относятся к этому периоду: Абу Джафар Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (787–850), Джелорамо Кардано (1501–1576), Лудовико Феррари (1522– 1565), Франсуа Виет (1540–1603), Рене Декарт (1596– 1650), Эварист Галуа (1811–1832) и др.

Первым я указал имя аль-Хорезми, который не так хорошо известен широкой общественности, но тем не менее это человек уникальный. Он родился в конце VII в.

и прожил до середины VIII в. Два слова, которые в математическом обиходе и даже в общечеловеческом обиходе сейчас присутствуют, — слова «алгоритм» и «алгебра» связаны с именем этого человека.

Слово «алгоритм» — это трансформация имени альХорезми (по латыни dixit algorizmi — так сказал альХорезми), а слово «алгебра» возникло из части арабского названия его книги по алгебре «Китат аль-мухассар ибн хасаб аль-габр д’алуккабала». Это уникальный случай, когда два таких важнейших и широких понятия связаны с именем одного человека, причем жил он достаточно давно.

Следом идут имена тех итальянцев, которые искали, пытались найти общие формулы для решения уравнений от одной переменной более высоких степеней.

Принципиальный шаг, который был сделан далее, связан с именем выдающегося французского философа Рене Декарта. В данном контексте упомянуть его имя важно потому, что, введя координаты, Декарт впервые показал, что многие геометрические вопросы можно сформулировать алгебраически, т. е. опять же свести к вопросам решения уравнений, систем уравнений и т. д.

Известны слова Сальери из трагедии Пушкина «Моцарт и Сальери»: «... Поверил я алгеброй гармонию».

Эти слова показывают, что Пушкин интуитивно понимал, что с алгеброй связан некоторый формальный подход, который позволяет анализировать. Так вот, я бы сказал, что Рене Декарт поверил алгеброй геометрию.

И это было действительно выдающимся достижением.

А то, что алгебра создала технику преобразования уравнений и решения уравнений, — тому есть такое внешнее свидетельство. Недавно появился перевод довольно серьезной книги американского философа Рэндала Коллинза «Социология философии. Глобальная теория интеллектуального изменения», где он анализирует развитие науки, и в частности говорит, что развитие науки в Европе, расцвет науки ХVI–XVII вв. связан с введением новых приборов. Появление этих приборов стимулировало «науку быстрых открытий». Математика становится машиной по производству открытий. И Декарт «был воинственным защитником нового алгебраического подхода, он освобождал последнюю из областей математики, оставшихся неосвобожденными от гуманистического возрождения классики, и превращал их в техники быстрого решения задач». В то же время Коллинз говорит, что другим источником «теории быстрых открытий» была математика, в частности алгебра как наука, которая доставляла технику решения и преобразований. На самом деле алгебра являлась аналогом приборной базы современной науки.

Наконец, Эварист Галуа, трагически погибший молодым, гениальный французский математик, который доказал, что для уравнения пятой степени общей формулы не существует. Это было замечательным достижением. Причем это было замечательным достижением и с точки зрения средств, которыми было получено доказательство, потому что аналогичный результат показал и Абель, но Галуа это сделал таким способом, что я называю его предвестником или одним из основателей современной математики. Он для решения задач классической математики привлек к изучению другие, новые объекты: группы автоморфизмов, конечные группы, конечные поля и т. д. С другой стороны, сам результат Галуа можно интерпретировать и с алгоритмической точки зрения. Можно сказать, что теорема Галуа является первым примером алгоритмически неразрешимой проблемы. Если понимать под алгоритмом формулу, которая выражает корень через радикалы, сложение, умножение и деление, то он показал, что такого представления, такого алгоритма просто не существует. Потом понятие «алгоритм» приобрело более общую форму.

Второй исторический период — XVII–XX вв. Алгебра помогает логике найти свой путь в математике. Здесь тоже можно привести целый ряд имен: Готфрид Лейбниц (1646–1716), Джордж Буль (1815–1864), Эрнст Шредер (1841–1902), Готлоб Фреге (1848–1925), Давид Гильберт (1862–1943) и др.

Выдающийся немецкий философ Готфрид Лейбниц по праву может считаться основателем математической логики. Он первым в явном виде поставил задачу и попытался ввести универсальный язык, универсальное исчисление, которое могло бы охватывать всю математику. Кроме того, наряду с Ньютоном он был создателем математического анализа. Но он был и основателем математической логики, так как первым осознал необходимость этого. Второй элемент, который математическая логика внесла в усовершенствование аксиоматического метода, и в этом отношении алгебра серьезно помогла, — это использование все более богатых формальных языков. Сам успех в технологии решения во многом был связан с введением формальных языков и точных правил их преобразования. Если алгебра работала с тождествами, с преобразованиями тождеств, то Лейбниц поставил задачу о том, нельзя ли создать такой формальный язык, который позволяет точно говорить обо всем (вычислять).

Далее, такие математики, как Буль и Шредер, попытались первыми более успешно решить эту задачу.

Потому нельзя сказать, что Лейбниц успешно решил задачу создания универсального формального языка. Попытку формализовать логику одним из первых предпринял английский математик Буль, имя которого в математике осталось в названии «булевы алгебры». Это показывает, что алгебра была той путеводной звездой, которая в конце концов привела к построению современной математической логики.

Еще одно имя — Давид Гильберт, которого я указал как заключительную ключевую фигуру второго периода. Это выдающийся немецкий математик, который работал во многих областях математики, в частности в теории чисел, в математической физике и др., и сыграл большую роль в создании и формализации математической логики. Он в некотором смысле завершил второй цикл. На рубеже XIX–XX вв. он опубликовал книгу «Основания геометрии». Это было современное аксиоматическое изложение геометрии где наряду с геометрическими аксиомами были в явном виде сформулированы и логические аксиомы, т.е. в явном виде указаны те логические средства, которые допустимы для получения результатов и для доказательства теорем.

На основе этого произошло много разных событий.

В частности, когда в явном виде формализуются некоторые аксиомы, то возникают совершенно неожиданные вещи. Когда была аксиоматизирована теория множеств и была в явном виде сформулирована аксиома выбора, которой интуитивно и неявно пользовались многие математики, сразу обнаружилось, что она ведет к парадоксальным следствиям. А выявление логических средств, скажем рассуждения от противного, привело к тому, что сам Гильберт в своей деятельности стал пользоваться этим. Он нашел довольно короткое доказательство знаменитой теоремы о конечности инвариантов, используя рассуждения от противного. Как следствие, наблюдалось некоторое отторжение предложенного Гильбертом доказательства со стороны математиков, которые занимались этой проблемой, поскольку классическая математика была интуитивно конструктивной. То есть когда говорится о чем-то, что существует, то должен быть указан путь построения этого объекта, а не только доказательство его существования. Тем не менее для получения знаний и рассуждения от противного являются ничуть не худшим средством.

Итак, на рубеже XIX–XX вв. математическая логика как самостоятельная дисциплина была сформирована, но не все задачи она решила. Одной из целей Гильберта было построить такое формальное исчисление, в которое укладывается вся математика, и доказать его непротиворечивость, т. е. на все времена обеспечить себе благополучное будущее. Эта цель не была достигнута из-за теорем Геделя, хотя это и не является совершенно неожиданным. Тем не менее цель по достижению большей точности в математике была достигнута (в виде развития аксиоматического метода в вышеозначенных двух шагах).

Казалось бы, математическая логика выполнила свою роль, но наступил третий период — на самом деле уникальный период, когда логика начинает «отдавать долги» алгебре. И произошло это, на мой взгляд, совершенно неожиданно. Исторически это ничем не было оправдано. В 1941 г. Анатолий Иванович Мальцев, тогда еще не академик, опубликовал статью, которая называлась «Об одном общем методе получения локальных теорем в теории групп».

Некоторая предыстория: в 1936 г. Анатолий Иванович доказал очень важную теорему, относящуюся к математической логике, — так называемую теорему компактности языка исчисления предикатов, которая послужила основой для создания целого раздела математической логики, носящего название «теория моделей»

и вполне успешно развивающегося в настоящее время.

Он обнаружил, что некоторые теоремы из теории групп, каждая из которых имела свое собственное, часто довольно сложное доказательство, которые носят название локальных теорем, на самом деле суть следствия общего принципа математической логики, причем куда более простые следствия теоремы компактности, чем их конкретные доказательства.

Несколько слов по поводу того, что же это такое — локальная теорема. Я приведу один конкретный пример и надеюсь, что этот пример не только математики, но и физики могут понять.

Что такое группа? Я уже упомянул о группах в связи с именем Галуа, группа — это такая алгебраическая система, которая описывает симметрии или автоморфизмы, если говорить математическим языком. В частности, если есть n-мерное векторное пространство над комплексными числами, то его группа автоморфизмов — так называемая общая линейная группа — очень конструктивна. Если зафиксировать базис этого векторного пространства, каждый автоморфизм описывается квадратной матрицей порядка n n, а умножение этих автоморфизмов на самом деле есть умножение матриц. Поэтому это вполне конкретный объект, в котором можно считать.

И вопрос о том, имеет ли какая-то группа, которая возникла, быть может, из совсем других соображений, матричное представление (есть ли изоморфное вложение этой группы в группу матриц), часто очень важен.

Так вот, одна из локальных теорем говорит следующее:

если группа такова, что каждая подгруппа, которая порождается конечным числом элементов, имеет изоморфное вложение в группу матриц порядка n n, то и сама группа имеет изоморфное вложение в группу матриц порядка n n. Так, свойство иметь точное матричное представление на самом деле является локальным свойством: если есть какое-то препятствие вложению, то это препятствие на самом деле реализуется на какой-то конечной порожденной подгруппе. Таких теорем — море.

Алгебраическое доказательство этой теоремы довольно сложное, а логическое — простое.

С появлением этой работы наступил третий этап, который успешно продолжается до настоящего времени. Итак, третий исторический период — с 1941 г. по настоящее время. Логика начинает «отдавать долги» алгебре. Имена, которые здесь надо назвать, — Анатолий Иванович Мальцев (1909–1967), Альфред Тарский (1902–1983), Абрахам Робинсон (1918–1974), Ян Денеф, Ехуд Хрущовский и др.

Альфред Тарский и Абрахам Робинсон — это математики, которые наряду с Анатолием Ивановичем Мальцевым являются создателями раздела математической логики, называемого теорией моделей. Теория моделей оказалась весьма успешной. Но меня интересуют взаимоотношения логики и алгебры с другими разделами математики. Альфред Тарский с помощью математической логики обосновал так называемый принцип Лефшеца. Известный американский тополог и алгебраический геометр Соломон Лефшец (1884–1972) сформулировал такой неформальный принцип: если что-то в алгебраической геометрии доказано над полем комплексных чисел, то это справедливо и для любого алгебраически замкнутого поля. Оказывается, что если переформулировать это логически, то можно и доказать.

Абрахам Робинсон, который ввел довольно много полезных понятий в теорию моделей, предложил математическую модель понятия бесконечно малого. Тот жe Лейбниц при построении анализа пользовался понятием бесконечно малого, которое потом было изгнано при современном изложении анализа. Можно было обойтись без бесконечно малых, тем не менее это имело свой эвристический смысл. Оказывается, что на самом деле можно построить такие модели чисел, в которых есть бесконечно малые, и ими можно пользоваться.

Третий этап — это применение математической логики в современной алгебре, применение в современной математике.

Оказывается, однако, что методы математической логики могут успешно применяться и к классическим объектам, связанным с арифметикой, теорией чисел, алгебраической геометрией. Так, бельгийский математик Ян Денеф дал логическое доказательство гипотезы Шафаревича — Боревича о рациональности рядов Вейля, связанных с числом точек решения уравнений по модулю pn. Не буду вдаваться в подробности, но сам факт важен. Впервые эту гипотезу алгебро-геометрическими методами доказал Джи Игуза, а Денеф, используя то, что логика p-адических чисел хорошо известна, дал другое доказательство — более простое и логическое.

Израильский математик Ехуд Хрущовский решил некоторые трудные арифметико-алгебраические проблемы, связанные с числом точек абелевых многообразий, — это гипотеза Мамфорда, гипотеза Манина и т. д. Здесь ситуация такова: было найдено логическое доказательство для гипотез, для которых нелогических доказательств просто не было.

В заключение хочу кое-что пояснить в связи с некоторыми моими работами. Классическая математика рассматривает ограниченное число объектов — рациональные, вещественные и комплексные числа, плоскости, 3-мерные пространства. Современная же математика не ограничивает себя в выборе объектов и создает, если нужно, все новые и новые. Чтобы плодотворно работать в таком многообразии объектов, нужно уметь выбирать «наиболее важные» с той или иной точки зрения, которые позволяют пролить свет на ситуацию в целом.

Так, традиционным подходом в математике является рассмотрение в первую очередь полных (метрических, топологических и др.) пространств вместе с процедурами пополнения. Теория категорий полезна тем, что подсказывает изучение проективных и инъективных объектов категории. Математическая логика вносит свой положительный вклад в создание методологии выбора «важных» объектов.

Одним из таких важных понятий, ведущих происхождение из логики, является понятие E-замкнутой системы. Попробую пояснить на примере. Пусть C — поле комплексных чисел; F0 F1 — подполя C (т. е. подмножества, замкнутые относительно сложения, вычитания, умножения и деления на числа, отличные от нуля). F является E-замкнутым в F1 если любая конечная система равенств и неравенств многочленов над F0, имеющая решение в F1, имеет решение и в F0. Если K — какойлибо класс подполей поля C, то поле F из K является E-замкнутым (в классе K), если для любого поля F0 из K такого, что F F0 (F — подполе F0 ), F является E-замкнутым в F0. Варьируя класс K, будем получать разные понятия. Так, если класс K состоит из всех подполей поля C, то E-замкнутыми в K будут в точности алгебраически замкнутые подполя поля C.

Вопрос о существовании E-замкнутых полей в классе K решается положительно, если K замкнут относительно объединения цепей вложенных друг в друга элементов из K.

Классический объект теории чисел — поле рациональных чисел Q имеет ряд естественных метрик: одна связана с естественным линейным порядком на Q, другая определяется с помощью отношения делимости в кольце целых чисел Z Q по степени фиксированного простого числа p. Пополнения Q по этим метрикам дают поле вещественных чисел и поля p-адических чисел. Все эти пополнения оказывались более «простыми» объектами. И математическая логика придала точный смысл этой «простоте», которая ранее ощущалась на прагматическом уровне, — в них проще решать уравнения.

В 1948 г. Альфред Тарский доказал алгоритмическую разрешимость для вещественных чисел, а в 1965 г.

(как ответ на вопрос Тарского) алгоритмическая разрешимость поля p-адических чисел была показана мною и американскими математиками (вместе) — специалистом по теории чисел Дж. Аксом и специалистом по теории моделей С. Кочиным. Алгоритмическая разрешимость поля означает существование алгоритма, который на любой вопрос о справедливости того или иного утверждения для поля дает (правильный) ответ, справедливо оно или нет. Заметим, что для поля рациональных чисел Q такого алгоритма не может существовать.

Итак, было показано, что существует бесконечно много «хороших» пополнений поля Q. Меня заинтересовал вопрос: можно ли «собрать» эти (несравнимые между собой) пополнения в одно «хорошее» поле? Положительный ответ удалось получить, используя понятие Eзамкнутого поля в подходящем классе полей. В 1936 г.

французский математик К. Шевалье ввел в рассмотрение важное кольцо аделей (подходящее подкольцо прямого произведения полей вещественных и p-адических чисел), в терминах которых изящно изложил так называемую глобальную теорию полей классов — один из наиболее глубоких разделов теории чисел. Если в качестве класса K полей взять семейство всех счетных подполей кольца аделей, то E-замкнутые поля в K — это поля, которые я назвал удивительными расширениями поля рациональных чисел. Оказалось, что все такие поля имеют одну и ту же теорию (одни и те же свойства) и эта теория алгоритмически разрешима. Эта теория также «содержит» в себе равномерно все теории вещественных и p-адических чисел.

Впоследствии (cм. мою заметку в «Докладах РАН»

за 2003 г.) оказалось, что эти удивительные расширения можно использовать и для нового представления глобальной теории полей классов. Поскольку теория удивительных расширений алгоритмически разрешима, постольку и саму глобальную теорию полей классов можно эффективизировать, в частности отображение взаимности можно равномерно вычислить.

Суммируя достижения третьего этапа, можно отметить, что использование методов математической логики продемонстрировало свою успешность начиная с решения проблем современной математики, далее, в решении проблем классической математики и, наконец, как «вмешательство» в понятийный аппарат классической математики. Нет сомнений и в дальнейшем прогрессе в «отдавании долгов».

Хронологический указатель трудов О гипотезе В. А. Успенского // Алгебра и логика. — 1962. — Т. 1, вып. 4. — C. 45–48.

Об аксиоматизируемых классах моделей с бесконечной сигнатурой // Алгебра и логика. — 1962. — Т. 1, вып. 4.

— С. 32–44.

Неразрешимость некоторых теорий // Алгебра и логика. — 1963. — T. 2, вып. 5. — C. 37–42. — Совместно с М. А. Тайцлиным.

Разрешимость элементарных теорий некоторых классов абелевых групп // Алгебра и логика.— 1963. — Т. 1, вып. 6. — C. 37–41.

Разрешимость элементарных теорий некоторых классов абелевых групп // Тез. 1-й науч. студ. конф., НГУ, 1963. — Новосибирск, 1963. — С. 36.

Разрешимые и неразрешимые теории: Автореф. дис...

канд. физ.-мат. наук. — Новосибирск, 1964. — 5 с.

Неразрешимость теорий симметрических и простых конечных групп // Докл. АН СССР. — 1964. — Т. 158, № 4. — C. 777–779.

То же на англ. яз.: Unsolvability of theories of symmetric and simple nite groups // Soviet Math. Dokl. — 1964. — Vol. 5. — P. 1309–1311.

Об элементарных теориях классов конечных моделей // Успехи мат. наук. — 1964. — T. 19, вып. 2. — C. 194–195.

— Совместно с М. А. Тайцлиным.

Разрешимость некоторых неэлементарных теорий // Алгебра и логика. — 1964. — T. 3, вып. 2. — C. 45–47.

Разрешимость элементарной теории диcтрибутивных структур с относительными дополнениями и теории фильтров // Алгебра и логика. — 1964. — T. 3, вып. 3. — C. 17–38.

Неразрешимость некоторых полей // Докл. АН СССР.

— 1965. — T. 161, № 1. — С. 27–29.

То же на англ. яз.: Undecidability of certain elds // Soviet Math. Dokl. — 1965. — Vol. 6. — P. 349–352.

Об элементарной теории максимальных нормированных полей // Докл. АН СССР — 1965. — T. 165, № 1. — C. 21–23.

То же на англ. яз.: On the elementary theory of maximal normed elds // Soviet Math. Dokl. — 1965. — Vol. 6. — P. 1390–1393.

Об элементарной теории максимальных нормированных полей // Алгебра и логика. — 1965. — T. 4, вып. 3. — C. 31–70.

Об элементарной теории максимальных нормированных полей. II // Алгебра и логика. — 1965. — T. 4, вып. 6.

— C. 47–48.

Об элементарных теориях локальных полей // Алгебра и логика. — 1965. — T. 4, вып. 2. — C. 5–30.

Элементарные теории // Успехи мат. наук. — 1965. — T. 20, вып. 4. — C. 37–108. — Совместно с И. А. Лавровым, А. Д. Таймановым, М. А. Тайцлиным.

То же на англ. яз.: Elementary theories // Russian Math.

Surveys. — 1965. — Vol. 20, No. 4. — P. 35–105. — With I. A. Lavrov, A. D. Taimanov, and M. A. Tatslin.

Элементарная теория полей: Автореф. дис... д-ра физ.мат. наук. — Новосибирск, 1966. — 9 с.

Новые примеры неразрешимых теорий // Алгебра и логика. — 1966. — T. 5, вып. 5. — C. 37–47.

Об элементарной теории максимальных нормированных полей. II // Алгебра и логика. — 1966. — T. 5, вып. 1.

— C. 5–40.

Элементарные теории полей // Междунар. конгр. математиков: Тез. докл. по приглашению. — М., 1966. — С. 143–145.

Нумерации семейств общерекурсивных функций // Сиб.

мат. журн. — 1967. — T. 8, № 5. — C. 1015–1025.

О полях с разрешимой теорией // Докл. АН СССР. — 1967. — T. 174, № 1. — C. 19–20.

То же на англ. яз.: Fields with a solvable theory // Soviet Math. Dokl. — 1967. — Vol. 8. — P. 575–576.

О рациональных точках над гензелевыми полями // Алгебра и логика. — 1967. — T. 6, вып. 3. — C. 39–49.

Об элементарной теории максимальных нормированных полей. III // Алгебра и логика. — 1967. — T. 6, вып. 3.

— C. 31–38.

Об элементарных теориях многообразий Поста // Алгебра и логика. — 1967. — T. 6, вып. 5. — C. 7–15.

Анатолий Иванович Мальцев: Некролог // Успехи мат.

наук. — 1968. — T. 23, вып. 3. — C. 159–170. — Совместно с П. С. Александровым, М. И. Каргаполовым, Е. Н. Кузьминым, Д. М. Смирновым, А. Д. Таймановым, А. И. Ширшовым.

То же на англ. яз.: Anatoli Ivanovich Mal tsev: Obituary // Russian Math. Surveys. — 1968. — Vol. 23, No. 3. — P. 157–168. — With P. S. Aleksandrov, M. I. Kargapolov, E. N. Kuz min, D. M. Smirnov, A. D. Taimanov, and A. I. Shirshov.

Об одной иерархии множеств // Алгебра и логика. — 1968. — T. 7, вып. 1. — C. 47–74.

То же на англ. яз.: A hierarchy of sets // Algebra and Logic. — 1968. — Vol. 7. — P. 25–43.

Ограниченные теории вполне упорядоченных множеств // Алгебра и логика. — 1968. — T. 7, вып. 3. — C. 38–47.

То же на англ. яз.: Restricted theories of well ordered sets // Algebra and Logic. — 1968. — Vol. 7. — P. 181–187.

Об одной иерархии множеств. II // Алгебра и логика.

— 1968. — T. 7, вып. 4. — C. 15–47.

То же на англ. яз.: A hierarchy of sets. II // Algebra and Logic. — 1968. — Vol. 7. — P. 212–232.

О вычислимых нумерациях. I // Алгебра и логика. — 1968. — T. 7, вып. 5. — C. 71–99.

То же на англ. яз.: On computable enumerations. I // Algebra and Logic. — 1968. — Vol. 7. — P. 330–346.

Numbered elds // Proc. 3rd Intern. Congr. for Logic, Methodology and Philosophy of Science, 1967. — Amsterdam, 1968. — P. 31–35.

Теория нумераций: Спецкурс для студентов-математиков НГУ. — Новосибирск, 1969. — Ч. 1: Общая теория нумераций. — 174 c.

О вычислимых нумерациях. II // Алгебра и логика.

— 1969. — T. 8, вып. 1. — C. 65–71. — Совместно с И. А. Лавровым.

То же на англ. яз.: On computable enumerations. II // Algebra and Logic. — 1969. — Vol. 8. — P. 34–38. — With I. A. Lavrov.

Замечания об одной проблеме Роджерса // Алгебра и логика. — 1969. — T. 8, вып. 4. — С. 497.

То же на англ. яз.: Note on a problem of Rogers // Algebra and Logic. — 1969. — Vol. 8. — P. 285.

Гипергиперпростые m-степени //Алгебра и логика. — 1969. — T. 8, вып. 5. — C. 523–552.

То же на англ. яз.: Hyper-hypersimple m-degrees // Algebra and Logic. — 1969. — Vol. 8. — P. 298–315.

О числе линейных порядков на поле // Мат. заметки.

— 1969. — T. 6, вып. 2. — C. 201–211.

То же на англ. яз.: The number of linear orders on a eld // Math. Notes. — 1969. — Vol. 6. — P. 577–582.

Полно нумерованные множества // Сиб. мат. журн. — 1969. — T. 10, № 5. — C. 1048–1064.

То же на англ. яз.: Completely enumerated sets //Siberian Math. J. — 1969. — Vol. 10, No. 5. — P. 773–784.

Третий конгресс по логике, методологии и философии науки // Справки, консультации, рецензии. Научнотехническая информация. — М., 1969. Сер. 2. Информационные процессы и системы. — № 3. — С. 30–35. — Совместно с И. А. Акчуриным, В. Н. Садовским, В. А.

Смирновым.

О неотделимых парах // Алгебра и логика. — 1970. — T. 9, № 6. — C. 661–666.

То же на англ. яз.: On inseparable pairs // Algebra and Logic. — 1970. — Vol. 9. — P. 396–399.

Об индексных множествах // Сиб. мат. журн. — 1970.

— T. 11, № 2. — C. 326–342.

То же на англ. яз.: On index sets // Siberian Math. J. — 1970. — Vol. 11, No. 2. — P. 246–258.

Об одной иерархии множеств. III // Алгебра и логика.

— 1970. — T. 9, № 1. — C. 34–51.

То же на англ. яз.: On a hierarchy of sets. III // Algebra and Logic. — 1970. — Vol. 9. — P. 20–31.

Поля с двумя линейными порядками // Мат. заметки.

— 1970. — T. 7, вып. 5. — C. 525–536. — Совместно с С. В. Бредихиным, В. Е. Кальнеем.

То же на англ. яз.: Fields with two linear orderings // Math. Notes. — 1970. — Vol. 7. — P. 319–325. — With S. V. Bredikhin and V. E. Kal ne Математическая логика: Проблемы и исследования // За науку в Сибири. — 1970. — № 11.

Вычислимые нумерации морфизмов // Алгебра и логика. — 1971. — T. 10, № 3. — C. 247–308.

То же на англ. яз.: Computable numerations of morphisms // Algebra and Logic. — 1971. — Vol. 10. — P. 155–191.

Позитивные эквивалентности // Алгебра и логика. — 1971. — T. 10, № 6. — C. 620–650.

То же на англ. яз.: Positive equivalences // Algebra and Logic. — 1971. — Vol. 10. — P. 378–394.

Анатолий Илларионович Ширшов: (K 50-летию со дня рождения) // Сиб. мат. журн. — 1971. — T. 12, № 5. — C. 939–941. — Совместно с Л. А. Бокутем, К. А. Жевлаковым, М. И. Каргаполовым, Е. Н. Кузьминым, Д. М. Смирновым.

То же на англ. яз.: On the ftieth birthday of the corresponding member of the Academy of Sciences of the USSR A. I. Shirshov // Siberian Math. J. — 1971. — Vol. 12.

— P. 675–677. — With L. A. Bokut, K. A. Zhevlakov, M. I. Kargapolov, E. N. Kuz min, and D. M. Smirnov.

La thorie des enumerations // Actes Congr. Internat.

Math., Nice, 1970. — Paris, 1971. — Vol. 1. — P. 223– 227.

Крупный советский алгебраист: (К 50-летию со дня рождения А. И. Ширшова) // За науку в Сибири. — 1971.

— № 38. — Совместно с М. Каргаполовым, А. Гайновым.

Теория нумераций // Междунар. конгр. математиков в Ницце, 1970. — М., 1972. — C. 41–47.

Всюду определенные непрерывные функционалы // Алгебра и логика. — 1972. — T. 11, № 6. — C. 656–665.

То же на англ. яз.: Everywhere-dened continuous functionals // Algebra and Logic. — 1972. — Vol. 11. — P. 363– 368.

Вычислимые функционалы конечных типов // Алгебра и логика. — 1972. — T. 11, № 4. — C. 367–437.

То же на англ. яз.: Computable functionals of nite types // Algebra and Logic. — 1972. — Vol. 11. — P. 203–242.

Непрерывные решетки и A-пространства // Докл. АН СССР. — 1972. — Т. 207, № 3. — C. 523–526.

То же на англ. яз.: Continuous lattices and A-spaces // Soviet Math. Dokl. — 1972. — Vol. 13. — P. 1551–1555.

О соотношении сноп-пространств и нумерованных множеств со свойствами C2 // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд-ния Мат. ин-та им. B. A. Стеклова. — 1972.

— Т. 32. — С. 18–20.

То же на англ. яз.: Relationship between sheaf spaces and numbered sets with the C2 property // Soviet Math. J. — 1976. — Vol. 6. — P. 358–360.

Об элементарных теориях групп // Докл. АН СССР. — 1972. — T. 203, № 6. — C. 1240–1243.

То же на англ. яз.: Elementary group theories // Soviet Math. Dokl. — 1972. — Vol. 13. — P. 528–532.

Существование конструктивизаций // Докл. АН СССР.

— 1972. — T. 204, № 5. — C. 1041–1044.

То же на англ. яз.: Existence of constructivizations // Soviet Math. Dokl. — 1972. — Vol. 13. — P. 779–783.

Теория f -пространств // 6-я Всесоюз. топологич. конф.:

Тез. — Тбилиси, 1972. — C. 50–51.

Летняя школа на Обском море // За науку в Сибири. — 1972. — № 29. — Совместно с В. Монаховым, Д. Смирновым.

Математическая логика: Лекции для студентов-математиков НГУ. — Новосибирск: НГУ, 1973. — 169 с. — Совместно с Е. А. Палютиным, М. А. Тайцлиным.

Теория нумераций: Спецкурс для студентов-математиков НГУ. — Новосибирск: НГУ, 1973. — Ч. 2: Вычислимые нумерации морфизмов. — 169 с.

Верхняя полурешетка L() // Алгебра и логика. — 1973.

— T. 12, № 2. — C. 167–189. — Совместно с И. А. Лавровым.

То же на англ. яз.: The upper semilattice L() // Algebra and Logic. — 1973. — Vol. 12. — P. 93–106. — With I. A. Lavrov.

Воспоминания об А. И. Мальцеве // Избранные вопросы алгебры и логики. — Новосибирск: Наука, 1973. — С. 311–312.

Иерархия множеств класса 0 (the hierarchy of 0 -sets) // Logic, Methodology and Philosophy of Science, IV: Proc.

of the 4th Intern. Congr., Bucharest, 1971. — Amsterdam etc., 1973. — P. 69–76.

Конструктивные модели // Избранные вопросы алгебры и логики. — Новосибирск: Наука, 1973. — C. 111–130.

Сколемовские функции и конструктивные модели // Алгебра и логика. — 1973. — T. 12, № 6. — C. 644–654.

То же на англ. яз.: Skolem functions and constructive models // Algebra and Logic. — 1973. — Vol. 12. — P. 368–373.

Теория A-пространств // Алгебра и логика. — 1973. — T. 12, № 4. — C. 369–416.

То же на англ. яз.: The theory of A-spaces // Algebra and Logic. — 1973. — Vol. 12. — P. 209–232.

Theorie der Numerierungen. I // Z. Math. Logik Grundlag.

Math. — 1973. — Bd. 19, Hf. 4. — S. 289–388.

То же: Статья опубликована отдельным изданием.

Достойны! (17 июня — день выборов в местные советы) // За науку в Сибири. — 1973, 14 июня — № 23.

Ред.: Избранные вопросы алгебры и логики (Сборник, посвященный памяти А. И. Мальцева). — Новосибирск:

Наука, 1973. — 340 с. — Совместно с М. И. Каргаполовым, Ю. И. Мерзляковым, Д. М. Смирновым, А. И. Ширшовым.

Теория нумераций: Спецкурс для студентов-математиков НГУ. — Новосибирск: НГУ, 1974. — Ч. 3: Конструктивные модели. — 139 c.

Максимальные и всюду определенные функционалы // Алгебра и логика. — 1974. — T. 13, № 4. — C. 374–397.

То же на англ. яз.: Maximal and everywhere-dened functionals//Algebra and Logic. — 1974. — Vol. 13. — P. 210–225.

О модели G теории BR // Докл. АН СССР. — 1974. — T. 217, № 5. — C. 1004–1006.

То же на англ. яз.: The model G of the theory BR // Soviet Math. Dokl. — 1974. — Vol. 15. — P. 1158–1161.

Полулокальные поля // Докл. АН СССР. — 1974. — Т. 215, № 1. — C. 41–44.

То же на англ. яз.: Semilocal elds // Soviet Math. Dokl.

— 1974. — Vol. 15. — P. 424–428.

Theories of nonabelian varieties of groups // Proc. of the Tarski Symp., Berkeley, 1971. — Berkeley, 1974. — P. 255– 264.

[Краткие сведения об олимпиадах] // За науку в Сибири.

— 1974. — № 8.

Верхняя полурешетка нумераций конечного множества //Алгебра и логика. — 1975. — T. 14, № 3. — C. 258–283.

То же на англ. яз.: The upper semilattice of numerations of a nite set // Algebra and Logic. — 1975. — Vol. 14. — P. 159–175.

Theorie der Numerierungen. II // Z. Math. Logik Grundlag. Math. — 1975. — Bd. 21, No. 6. — S. 473–584.

То же: Статья опубликована отдельным изданием.

Ред.: Шенфилд Дж. Математическая лoгика. — М.:

Наука, 1975. — 527 c.

Михаил Иванович Каргаполов: [Некролог] // Мат. заметки. — 1976. — T. 19, вып. 6. — C. 825–832. — Совместно с Ю. И. Мерзляковым, А. И. Ширшовым.

То же на англ. яз.: Mikhail Ivanovich Kargapolov: [Obituary] // Math. Notes. — 1976. — Vol. 19. — P. 487–491.

— With Yu. I. Merzlyakov and A. I. Shirshov.

Наследственно эффективные операции // Алгебра и логика. — 1976. — T. 15, № 6. — C. 642–654.

То же на англ. яз.: Hereditarily eective operations // Algebra and Logic. — 1976. — Vol. 15. — P. 400–409.

V Международный конгресс по логике, методологии и философии науки // Вопр. философии. — 1976. — № 5. — С. 154–169. — Совместно с И. А. Акчуриным, В. Н. Садовским, В. А. Смирновым.

Возможности и резервы: О мех.-мат. фак-те НГУ // За науку в Сибири. — 1976. — № 31. — Совместно с Б. Рогозиным.

Что об успехе думает декан: Интервью // Комс. правда.

— 1976. — 13 окт.

Теория нумераций — M.: Наука, 1977. — 416 c.

Абелева группа // Математическая энциклопедия. — 1977. — Т. 1. — C. 17–20.

Нумерация класса C20 // Алгебра и логика. — 1977. — T. 16, № 6. — C. 637–642.

То же на англ. яз.: Enumeration of the class C20 // Algebra and Logic. — 1977. — Vol. 16. — P. 422–426.

Памяти Михаила Ивановича Каргаполова // Успехи мат.

наук. — 1977. — Т. 32, вып. 1 — С. 145–150. — Совместно с Ю. И. Мерзляковым, А. И. Ширшовым.

То же на англ. яз.: In memory of Mikhail Ivanovich Kargapolov // Russian Math. Surveys. — 1977. — Vol. 32, No. 1. — P. 141–147. — With Yu. I. Merzlyakov and A. I. Shirshov.

Предисловие редакторов перевода // Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей: Пер. с англ. — М., 1977.

— С. 5–6. — Совместно с А. Д. Таймановым.

Constructions “by nite” // Proc. 5th Intern. Congr. on Logic, Found. Math., Comput. Theory, London/Ontario, 1975. — London, 1977. — Pt. 1. — P. 3–9.

The model C of the partial continuous functionals // Proc.

of the Logic Colloq., Oxford, 1976. — Amsterdam etc., 1977. — P. 455–467.

Theorie der Numerierungen. III // Z. Math. Logik Grundlag. Math. — 1977. — Bd. 23, No. 4. — S. 289–371.

То же: Статья опубликована отдельным изданием.

Ред.: Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей: Пер. с англ. — М.: Мир, 1977. — 614 с.

Нормирование тел и группа SK1 // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 239, № 4. — C. 768–771.

То же на англ. яз.: Valuations of division rings and the group SK1 // Soviet Math. Dokl. — 1978. — Vol. 19. — P. 395–399.

Об алгебраически компактных группах. I // Алгебра и логика. — 1978. — T. 17, № 6. — C. 684–692.

То же на англ. яз.: Algebraically compact groups. I // Algebra and Logic. — 1978. — Vol. 17. — P. 444–449.

Четырнадцатая Всесоюзная алгебраическая конференция // Успехи мат. наук. — 1978. — Т. 33, вып. 1. — C. 239–244. — Совместно с Ю. И. Мерзляковым.

Алгоритмические проблемы математической логики // За науку в Сибири. — 1978. — № 35.

Новосибирская школа в области алгебры и математической логики // За науку в Сибири. — 1978. — № 48. — Совместно с А. Ширшовым.

Математическая логика: Учеб. пособие. — M.: Наука, 1979. — 320 c. — Совместно с Е. А. Палютиным.

То же на англ. яз.: Mathematical Logic. — Moscow: Mir, 1984. — 303 p. — With E. A. Palyutin.

Дистрибутивные решетки с относительными дополнениями // Алгебра и логика. — 1979. — T. 18, № 6. — C. 680–722.

То же на англ. яз.: Relatively complemented distributive lattices // Algebra and Logic. — 1980. — Vol. 18. — P. 431–459.

Некоторые вопросы применения формализованных языков для исследования философских проблем // Методологические проблемы математики. — Новосибирск, 1979. — С. 83–88.

Об алгебраически компактных группах. II // Алгебра и логика. — 1979. — T. 18, № 4. — C. 408–414.

То же на англ. яз.: Algebraically compact groups. II // Algebra and Logic. — 1980. — Vol. 18. — P. 247–251.

Ред.: Пятая Всесоюз. конф. по мат. логике, посвящ. 70летию акад. А. И. Мальцева, Новосибирск, 27–29 нояб.

1979 г.: Тез. докл. — Новосибирск, 1979. — 172 с.

Проблемы разрешимости и конструктивные модели. — M.: Наука, 1980. — 415 c. — (Мат. логика и основания математики).

Как алгебра помогает решать проблемы из теории алгоритмов // Алгоритм в современной математике и ее приложениях: Ургенч. симпоз.: Оператив.-информ. материал. — Новосибирск, 1980. — С. 30.

Кратно нормированные поля // Докл. АН СССР. — 1980.

— T. 253, № 2. — C. 274–276.

То же на англ. яз.: Multiply valued elds // Soviet Math.

Dokl. — 1980. — Vol. 22. — P. 63–66.

О проконечных группах // Алгебра и логика. — 1980.

— T. 19, № 5. — C. 552–565.

То же на англ. яз.: Pronite groups // Algebra and Logic.

— 1981. — Vol. 19. — P. 357–366.

Регулярно замкнутые поля // Докл. АН СССР. — 1980.

— T. 251, № 4. — C. 783–785.

То же на англ. яз.: Regularly closed elds // Soviet Math.

Dokl. — 1980. — Vol. 21. — P. 510–512.

Frattini covers and projective groups without the extension property // Math. Ann. — 1980. — Bd. 253, Hf. 3. — S. 233–239. — With M. Fried.

Алгоритм как математическое понятие // За науку в Сибири. — 1980. — 27 марта.

Соотношение традиций и новаторства в развитии научных школ в математике: Излож. докл. на науч. конф.

«Преемственность поколений в науке» // За науку в Сибири. — 1980. — 3 апр.

Алгебраические свойства регулярно замкнутых полей // Тр. Мат. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. — 1981.

— T. 158. — C. 80–86.

То же на англ. яз.: Algebraic properties of regularly closed elds // Proc. Steklov Inst. Math. — 1983. — Vol. 158. — P. 85–91.

Неразрешимость регулярно замкнутых полей // Алгебра и логика. — 1981. — T. 20, № 4. — C. 389–394.

То же на англ. яз.: Undecidability of regularly closed elds // Algebra and Logic. — 1982. — Vol. 20. — P. 257–260.

Об элементарных теориях регулярно замкнутых полей //Докл. АН СССР. — 1981. — T. 257, № 2. — C. 271–274.

То же на англ. яз.: On elementary theories of regularly closed elds // Soviet Math. Dokl. — 1981. — Vol. 23. — P. 259–262.

Памяти Анатолия Илларионовича Ширшова // Успехи мат. наук. — 1981. — Т. 36, № 5. — С. 153–158.

— Совместно с Л. А. Бокутем, А. Н. Колмогоровым, А. И. Кострикиным, Е. Н. Кузьминым, В. Н. Латышевым, С. Л. Соболевым, И. П. Шестаковым.

То же на англ. яз.: In memory of Anatoli Illarionovich Shirshov // Russian Math. Surveys. — 1981. — Vol. 36, No. 5. — P. 129–133. — With L. A. Bokut, A. N. Kolmogorov, A. I. Kostrikin, E. N. Kuz min, V. N. Latyshev, S. L. Sobolev, and I. P. Shestakov.

Анатолий Илларионович Ширшов: [Hекролог] // Математика в школе. — 1981. — № 3. — С. 80. — Совместно с С. Л. Соболевым и др.

Элиминируемость кванторов в регулярно замкнутых полях // Докл. АН СССР. — 1981. — T. 258, № 1. — C. 16–20.

То же на англ. яз.: Eliminability of quantiers in regularly closed elds // Soviet Math. Dokl. — 1981. — Vol. 23. — P. 463–467.

How does algebra help to solve problems from the theory of algorithms (an example) // Algorithms in Modern Mathematics and Computer Science, LNCS No. 122, eds. A. P. Ershov, D. E. Knuth. — Berlin, 1981. — P. 462–463.

Две теоремы о регулярно r-замкнутых полях. — Новосибирск, 1982. — 29 c. — (Препр. / Ин-т математики СО АН СССР; № 10).

Абсолютная неприводимость и свойства гензелизаций //Алгебра и логика. — 1982. — T. 21, № 5. — C. 530–536.

То же на англ. яз.: Absolute irreducibility and properties of henselizations // Algebra and Logic. — 1983. — Vol. 21.

— P. 353–357.

Алгоритмические проблемы в теории полей (положительные аспекты) // Справочная книга по математической логике. — М., 1982. — Ч. 3: Теория рекурсий. — С. 269–353.

Вполне вещественные расширения полей // Докл. АН СССР. — 1982. — T. 263, № 5. — C. 1047–1049.

То же на англ. яз.: Totally real eld extensions // Soviet Math. Dokl. — 1982. — Vol. 25. — P. 477–480.

Гензелевы нормирования тел и группа SK1 // Мат. сб.

— 1982. — T. 117, № 1. — C. 60–68.

То же на англ. яз.: Henselian valuations of division rings and the group SK1 // Math. USSR–Sb. — 1982. — Vol. 45.

— P. 63–71.

Кратно нормированные поля // Успехи мат. наук. — 1982. — Т. 37, вып. 3. — C. 55–93.

То же на англ. яз.: Multiply valued elds // Russian Math. Surveys. — 1982. — Vol. 37, No. 3. — P. 63–107.

Нормирования тел // 5-й Всесоюз. симпоз. по теории колец, алгебр и модулей: Тез. докл. — Новосибирск. — 1982. — C. 53–55.

-полные A-пространства // Кибернетика. — 1982. — № 6. — C. 6–10.

То же на англ. яз.:

-Complete A-spaces // Cybernetics.

— 1983. — Vol. 18. — P. 701–705.

Регулярно r-замкнутые поля // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 266, № 3. — C. 538–540.

То же на англ. яз.: Regularly r-closed elds // Soviet Math. Dokl. — 1982. — Vol. 26. — P. 363–366.

Ред.: Cправочная книга по математической логике: Пер.

с англ. — М., 1982. — Ч. 1. — 391 c.; Ч. 3. — 359 c. — Ч. 1 cовместно с Е. А. Палютиным, А. Д. Таймановым.

Cибирь под интегралом: Четверть века Сибирскому отделению АН СССР // Cов. Россия. — 1982. — 18 мая.

Динамическая логика над допустимыми множествами // Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 273, № 5. — C. 1045– 1048.

То же на англ. яз.: Dynamic logic over admissible sets // Soviet Math. Dokl. — 1983. — Vol. 28. — P. 739–742.

Инволюторные группы // Алгебра и логика. — 1983. — T. 22, № 3. — C. 260–275.

То же на англ. яз.: Involutory groups // Algebra and Logic. — 1984. — Vol. 22, No. 3. — P. 185–196.

Принцип -перечисления // Докл. АН СССР. — 1983.

— Т. 270, № 4. — C. 786–788.

То же на англ. яз.: The principle of -enumeration // Soviet Math. Dokl. — 1983. — Vol. 27. — P. 670–672.

Регулярно r-замкнутые поля // Алгебра и логика. — 1983. — T. 22, № 4. — C. 382–402.

То же на англ. яз.: Regularly r-closed elds // Algebra and Logic. — 1984. — Vol. 22, No. 4. — P. 277–291.

В гостях у школьников ФМШ // Наука в Сибири. — 1983. — 24 марта.

Логика, основания математики и лингвистики // Вопр.

философии. — 1984. — № 1. — C. 45–58. — Совместно с И. А. Лавровым, Р. Павиленисом, В. В. Петровым.

О группах Галуа максимальных 2-расширений // Мат.

заметки. — 1984. — T. 36, вып. 6. — C. 913–924.

То же на англ. яз.: Galois groups of maximal 2-extensions // Math. Notes. — 1984. — Vol. 36. — P. 956–961.

О новом подходе к философии математики // Вычисл.

системы. — 1984. — Bып. 101. — С. 141–148. — Совместно с К. Ф. Самохваловым.

Регулярно r-замкнутые поля со слабоуниверсальными группами Галуа // Алгебра и логика. — 1984. — T. 23, № 6. — C. 637–669.

То же на англ. яз.: Regularly r-closed elds with weakly universal Galois groups // Algebra and Logic. — 1984. — Vol. 23, No. 6. — P. 426–449.

Сильная неотделимость и k-наследственность // Докл.

Болг. Акад. наук. — 1984. — Т. 37, № 9. — P. 1139–1142.

Two theorems on regularly r-closed elds //J. Reine Angew.

Math. — 1984. — Bd. 347. — S. 154–166.

-определимость в допустимых множествах // Докл.

АН СССР. — 1985. — T. 285, № 4. — C. 792–795.

То же на англ. яз.:

-denability in admissible sets // Soviet Math. Dokl. — 1985. — Vol. 32. — P. 767–770.

-предикаты конечных типов над допустимым множеством // Алгебра и логика. — 1985. — T. 24, № 5. — C. 499–536.

То же на англ. яз.:

-predicates of nite types over an admissible set // Algebra and Logic. — 1985. — Vol. 24, No. 5. — P. 327–351.

Реализуемые i-группы // Некоторые проблемы и задачи анализа и алгебры. — Новосибирск, 1985. — C. 46–60.

Элементарная теория // Математическая энциклопедия.

— М., 1985. — Т. 5. — С. 972–973. — Совместно с М. А. Тайцлиным.

Роль фундаментальных знаний // Наука и жизнь. — 1985. — № 12. — C. 4.

-допустимые множества // Вычисл. системы. — 1986.

— Вып. 114. — C. 35–39.

Об fA -пространствах // Алгебра и логика. — 1986. — T. 25, № 5. — С. 533–543.

То же на англ. яз.: fA -Spaces // Algebra and Logic. — 1986. — Vol. 25, No. 5. — P. 336–343.

Об отображении ограничения пространств порядков полей // Сиб. мат. журн. — 1986. — Т. 27, № 2. — C. 47–54.

То же на англ. яз.: Restriction map of spaces of orderings of elds // Siberian Math. J. — 1986. — Vol. 27, No. 2. — P. 181–187.

Язык -выражений // Вычисл. системы. — 1986. — Вып. 114. — C. 3–10.

Semantic programming // Seminarber., Humboldt-Univ.

Berlin, Sekt. Math. — Berlin, 1986. — No. 86. — S. 35–55.

— With S. S. Goncharov and D. I. Sviridenko.

Semantic programming // Information Processing: Proc.

IFIP 10th World Comput. Congr. Ser. 10. — Amsterdam, 1986. — P. 1113–1120. — With S. S. Goncharov and D. I. Sviridenko.

Ред.: Логическая тетрадь: Нереш. вопр. мат. логики (Oператив. информ. материал/Ин-т математики СО АН СССР.) — Новосибирск, 1986. — 41 с. — Совместно с С. С. Гончаровым.

Заповедь студента — увлеченность наукой // Наука в Сибири. — 1986. — 6 марта.

Математическая логика: 2-е изд., испр. и доп.: Учеб.

пособие. — М.: Наука, 1987. — 336 с. — Совместно с Е. А. Палютиным.

То же на исп. яз.: Logica Matematiсa. — Moscu: Mir, 1990. — 227 p. — With E. A. Palyutin.

Методологические аспекты семантического программирования // Научное знание: логика, понятия, структура. — Новосибирск, 1987. — C. 154–184. — Совместно с С. С. Гончаровым, Д. И. Свириденко.

О новом подходе к методологии математики // Закономерности развития современной математики: Методологич. аспекты. — М., 1987. — С. 85–105. — Совместно с К. Ф. Самохваловым.

О порождаемости допустимых множеств // Алгебра и логика. — 1987. — T. 26, № 5. — C. 577–597.

То же на англ. яз.: Generatability of admissible sets // Algebra and Logic. — 1987. — Vol. 26, No. 5. — P. 346– 361.

Semantic foundations of programming // Fundamentals of Computation Theory: Proc. of the Intern. Conf. FCT 87, Kazan, LNCS No. 278. — Berlin etc., 1987. — P. 116–122.

— With S. S. Goncharov and D. I. Sviridenko.

Ускорение и наука в Сибири: беседа за круглым столом // Коммунист. — 1987. — № 17. — С. 65–66.

Множество кандидатов еще не исключает формализма:

[O выборах] // Наука в Сибири. — 1987. — 18 июня.

Абелева группа // Математический энцикл. словарь. — М., 1988. — C. 39–40.

Естественный параллелизм семантических программ // Формальные модели параллельных вычислений. — Новосибирск, 1988. — C. 6–19. — Совместно с С. С. Гончаровым, Д. И. Свириденко.

Инвариантная порождаемость // Сиб. мат. журн. — 1988. — T. 29, № 5. — C. 109–111.

То же на англ. яз.: Invariant generation//Siberian Math. J.

— 1988. — Vol. 29, No. 5. — P. 775–777.

Когензелевы расширения и гензелизация тел // Алгебра и логика. — 1988. — T. 27, № 6. — C. 649–658.

То же на англ. яз.: Co-Henselian extensions and Henselizations of skew elds // Algebra and Logic. — 1988. — Vol. 27, No. 6. — P. 401–407.

Черников Сергей Николаевич: [Некролог] // Успехи мат.

наук. — 1988. — Т. 43, вып. 2. — С. 125–126. — Совместно с Д. И. Зайцевым, А. И. Кострикиным, Н. Н. Красовским, Ю. А. Митропольским, В. П. Платоновым, Д. К.

Фаддеевым, Л. А. Шеметковым.

Serge Nikolaevich Chernikov: Obituary // Russian Math.

Surveys. — 1988. — Vol. 43, No. 2. — P. 153–155. — With D. I. Zatsev, A. I. Kostrikin, N. N. Krasovski Yu. A. Mitropol ski V. P. Platonov, D. K. Faddeev, and L. A. Shemetkov.

Ред.: Гончаров С. С. Счетные булевы алгебры. — Новосибирск: Наука, 1988. — 176 с.

Ред.: Теория моделей и ее применение. — Новосибирск:

Наука, 1988. — 185 с. — (Тр. Ин-та математики СО АН СССР; Т. 8).

Наши университеты: Круглый стол // Лит. газ. — 1988.

— 23 марта.

Энергичнее идти навстречу друг другу: [Об обмене студентами] // Соц. индустрия. — 1988. — 31 мая.

Любое семейство подмножеств праэлементов порождает допустимое множество // Сиб. мат. журн. — 1989. — T. 30, № 6. — C. 65–67.

То же на англ. яз.: Each family of subsets of the urelements generates an admissible set // Siberian Math. J. — 1989.— Vol. 30, No. 6. — P. 883–885.

К восьмидесятилетию выдающегося советского математика А. И. Мальцева // Алгебра и логика. — 1989. — Т. 28, № 6. — C. 615–618. — Совместно с А. Т. Гайновым, С. С. Гончаровым и др.

О вопросе Ярдина — Шелаха // Алгебра и логика. — 1989. — T. 28, № 6. — C. 640–642.

То же на англ. яз.: A question of Jarden and Shelah // Algebra and Logic. — 1989. — Vol. 28, No. 6. — P. 419–420.

Сибирская школа «Алгебра и анализ» // Успехи мат.

наук. — 1989. — Т. 44, вып. 2. — С. 247–248. — Совместно с А. Д. Александровым, О. В. Белеградеком, Л. А. Бокутем.

RRC-Fields with small absolute Galois groups // Ann.

Pure Appl. Logic. — 1989. — Vol. 43, No. 3. — P. 197–208.

Ред.: Математическая логика и алгоритмические проблемы. — Новосибирск: Наука, 1989. — 192 с. — (Тр.

Ин-та математики СО АН СССР; T. 12).

НГУ: не пора ли бить тревогу? — Ректор НГУ: «Kараул»

кричать рано, но пристальный анализ, конечно, нужен // Унив. жизнь. — 1989. — 22 февр.

Школа: Дочь или падчерица государства // Наука в Сибири. — 1989. — 27 янв.

О некоторых тенденциях развития математической логики и ее приложения // Cиб. мат. об-во: Бюл. — Новосибирск. — 1990. — Вып. 1. — С. 6–14. — Совместно с С. С. Гончаровым, Д. И. Свириденко.

Тайманов Асан Дабсович: [Некролог] // Успехи мат. наук. — 1990. — Т. 45, вып. 5. — С. 171–174. — Совместно с С. С. Гончаровым, М. М. Лаврентьевым, Л. Л. Максимовой, Т. Г. Мустафиным, С. П. Новиковым, Е. А. Палютиным, М. Г. Перетятькиным, Ю. Г. Решетняком, Д. М. Смирновым.

То же на англ. яз.: Asan Dabsovich Taimanov: Obituary // Russian Math. Surveys. — 1990. — Vol. 45, No. 5. — P. 213–215. — With S. S. Goncharov, M. M. Lavrent ev, L. L. Maksimova, T. G. Mustan, S. P. Novikov, E. A. Palyutin, M. G. Peretyat kin, Yu. G. Reshetnyak, and D. M.

Smirnov.

Форсинг в допустимых множествах // Алгебра и логика.

— 1990. — T. 29, № 6. — C. 648–658.

То же на англ. яз.: Forcing in admissible sets // Algebra and Logic. — 1990. — Vol. 29, No. 6. — P. 424–430.

Возвращаясь к надеждам Гильберта // Наука в Сибири.

— 1990. — № 14–15.

Проективные -группы // Докл. АН СССР. — 1991. — T. 318, № 4. — C. 798–801.

То же на англ. яз.: Projective -groups // Soviet Math.

Dokl. — 1991. — Vol. 43, No. 3. — P. 762–766.

Проективные произведения проконечных групп // Алгебра и логика. — 1991. — T. 30, № 6. — C. 638–651.

То же на англ. яз.: Projective products of pronite groups // Algebra and Logic. — 1991. — Vol. 30, No. 6. — P. 417– 426.

Характеризация колец Кочена P CM -полей // Докл. АН СССР. — 1991. — T. 316, № 1. — C. 33–36.

То же на англ. яз.: Characterization of Kochen rings of P CM -elds // Soviet Math. Dokl. — 1991. — Vol. 43, No. 1. — P. 26–29.

P Cp -Fields with universal Galois group // Siberian Adv.

Math. — 1991. — Vol. 1, No. 4. — P. 1–26.

Ред.: Каргаполов М. И. Группы: Избр. тр. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. — 1991. — 204 c.

Ed.: Algebra and Analysis: Proc. of the First Siberian Winter School, Kemerovo, 1988. — Providence: Amer.

Math. Soc., 1991. — 112 p. — (AMS Transl. Ser. 2;

Soviet Region. Conf; 148). — With A. D. Aleksandrov, O. V. Belegradek, and L. A. Bokut.

О наболевшем: [Об отъезде ученых за границу] // Наука в Сибири. — 1991. — № 11.

Булевы семейства колец нормирований // Алгебра и логика. — 1992. — T. 31, № 3. — C. 276–296.

То же на англ. яз.: Boolean families of valuation rings // Algebra and Logic. — 1992. — Vol. 31, No. 3. — P. 170– 181.

Всякая проективная C2 -группа реализуема // Алгебра и логика. — 1992. — T. 31, № 2. — C. 119–131.

То же на англ. яз.: Every projective C2 -group is realizable // Algebra and Logic. — 1992. — Vol. 31, No. 2. — P. 74–80.

Относительная регулярная замкнутость и -нормирования // Алгебра и логика. — 1992. — T. 31, № 6. — C. 592–623.

То же на англ. яз.: Relative regular closedness and valuations // Algebra and Logic. — 1992. — Vol. 31, No. 6.

— P. 342–360.

Introduction // Proceedings of the Intern. Conf. on Algebra: Dedicated to the Memory of A. I. Mal cev. — Providence: Amer. Math. Soc., 1992. — Pt. 1. — P. xix–xxi. — With L. Bokut and A. I. Kostrikin.

Ред.: Межреспубликанская конференция по математической логике, 11-я: Тез. сообщ. — Казань, Казанск.

гос. унив., 6–8 окт. 1992 г. — 1992. — 164 c.

Ed.: Proceedings of the International Conference on Algebra: Dedicated to the Memory of A. I. Mal cev: Vol. 1–3.

— Providence: Amer. Math. Soc., 1992. — (Contemporary Math.; Vol. 131, Pt. 1–3). — With L. A. Bokut and A. I. Kostrikin.

Булевы семейства колец нормирований. II // Алгебра и логика. — 1993. — T. 32, № 3. — C. 261–266.

То же на англ. яз.: Boolean families of valuation rings.

II // Algebra and Logic. — 1993. — Vol. 32, No. 3. — P. 139–142.

К теореме Спектора — Ганди для -допустимых множеств // Вычисл. системы. — Новосибирск, 1993. — Вып. 148. — С. 3–8.

Максимальные RC -поля // Алгебра и логика. — 1993.

— T. 32, № 5. — C. 497–518.

То же на англ. яз.: Maximal RC -elds // Algebra and Logic. — 1993. — Vol. 32, No. 5. — P. 267–278.

От редактора // Хобби Д., Маккензи Р. Строение конечных алгебр: Пер. с англ. — М., 1993. — С. 5–6. — Совместно с В. А. Горбуновым.

Oтносительно регулярно замкнутые поля // Докл. РАН.

— 1993. — T. 332, № 3. — C. 286–288.

То же на англ. яз.: Relatively regularly closed elds // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 1994. — Vol. 48, No. 2.

— P. 300–303.

Theory of domains and nearby // Formal Methods in Programming and Their Applications, LNCS, No. 735.—Berlin etc., 1993.—P. 1–7.

Письмо в редакцию // Алгебра и логика. — 1993. — Т. 32, № 2. — C. 222–223.

То же на англ. яз.: Letter to the editors: Forcing in admissible sets // Algebra and Logic. — 1993. — Vol. 32, No. 2. — P. 121–122.

Теорема Левенгейма — Скулема — Мальцева для определимых моделей // Вычисл. системы. — Новосибирск, 1993. — Вып. 148. — C. 9–17.

Элементарные регулярные кольца // Алгебра и логика.

— 1993. — T. 32, № 4. — C. 387–401.

То же на англ. яз.: Elementary regular rings // Algebra and Logic. — 1993. — Vol. 32, No. 4. — P. 206–214.

Ред.: Математическая логика и теория алгоритмов. — Новосибирск, 1993. — 204 с. — (Тр. Ин-та математики СО РАН; Т. 25). — Совместно с С. С. Гончаровым.

Ред.: Хобби Д., Маккензи Р. Строение конечных алгебр:

Пер. с англ. — М.: Мир, 1993. — 286 с. — Совместно с В. А. Горбуновым.

Введение в логику и методологию науки. — М.: Интерпракс; Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1994.

— 256 с. — Совместно с С. С. Гончаровым, К. Ф. Самохваловым.

О группах Галуа RC -полей // Докл. РАН. — 1994. — T. 334, № 3. — C. 275–277.

То же на англ. яз.: On the Galois groups of RC -elds// Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 1994. — Vol. 49, No. 1.

— P. 79–82.

RC -поля // Алгебра и логика. — 1994. — T. 33, № 4.

— C. 367–386.

То же на англ. яз.: RC -Fields // Algebra and Logic. — 1994. — Vol. 33, No. 4. — P. 205–215.

Поля с непрерывными локальными элементарными свойствами. I // Алгебра и логика. — 1994. — T. 33, № 6. — C. 628–653.

То же на англ. яз.: Fields with continuous local elementary properties. I // Algebra and Logic. — 1994. — Vol. 33, No. 6. — P. 351–365.

Разрешимость теории класса полей Ff // Докл. РАН.

— 1994. — T. 336, № 6. — C. 733–736.

То же на англ. яз.: Decidability of the theory of the class of elds Ff // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 1994. — Vol. 49, No. 3. — P. 582–586.

Теоретико-модельные свойства RC -полей //Докл. РАН.

— 1994. — T. 335, № 2. — C. 138–141.

То же на англ. яз.: Model-theoretic properties of RC elds // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 1994. — Vol. 49, No. 2. — P. 255–259.

Sigma-denability in HF (L) // Abstracts of Papers NSL’94, Kanazawa, Japan. — 1994. — P. 47.

-определимость и теорема Гделя о неполноте: Учеб.

пособие. — Новосибирск: Научная книга, 1995. — 75 с.

The bounded-complete hull of an -space. — Darmstadt, 1995. — 10 p. — (Prepr./Techn. Hochschule Darmstadt;

No. 1722).

Определимость в наследственно конечных надстройках // Докл. РАН. — 1995. — T. 340, № 1. — C. 12–14.

То же на англ. яз.: Denability in hereditarily nite manifolds // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 1995. — Vol. 51, No. 1. — P. 8–10.

Поля с непрерывными локальными элементарными свойствами. II // Алгебра и логика. — 1995. — T. 34, № 3.

— C. 262–273.

То же на англ. яз.: Fields with continuous local elementary properties. II // Algebra and Logic. — 1995. — Vol. 34, No. 3. — P. 140–146.

Хорошие локально-глобальные поля // Докл. РАН. — 1995. — T. 343, № 6. — C. 731–733.

То же на англ. яз.: Good locally global elds // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 1995. — Vol. 52, No. 1. — P. 98–100.

Model theory of nice global elds // 10th Intern. Cong. of Logic, Methodology and Philosophy of Science: Abstracts.

— Florence, 1995. — P. 72.

Interaction of education and science in SB RAS and international collaboration in education and training of junior scientists // Science Policy: New Mechanisms Scientic Collaboration between East and West. — Kluwer Academic Publishers, 1995. — P. 247–250.

Определимость и вычислимость. — Новосибирск: Научная книга, 1996. — 300 с. — (Сибирская школа алгебры и логики).

То же на англ. яз.: Denability and Computability. — New York: Kluwer Academic/Consultants Bureau, 1996.

— xiv+264 р. — (Siberian School of Algebra and Logic).

Выступление на закрытии II Международного конгресса ЮНЕСКО «Образование и информатика» // Образование и информатика. — 1996. — № 5. — C. 33–34.

Theory of Numberings. — Новосибирск. — 1996. — 38 c.

— (Препр./НИИ МИОО НГУ; № 18).

Свободные -группы // Алгебра и логика. — 1996. — T. 35, № 2. — C. 154–172.

То же на англ. яз.: Free -groups // Algebra and Logic.

— 1996. — Vol. 35, No. 2. — P. 86–95.

Projectivity of absolute Galois groups of RC -elds // Algebra: Proc. 3rd Intern. Сonf., Krasnoyarsk, 1993. — Berlin etc., 1996. — P. 63–80.

Хорошие локально-глобальные поля. I // Алгебра и логика. — 1996. — T. 35, № 4. — C. 411–423.

То же на англ. яз.: Nice local-global elds. I // Algebra and Logic. — 1996. — Vol. 35, No. 4. — C. 229–235.

Хорошие локально-глобальные поля. II // Алгебра и логика. — 1996. — T. 35, № 5. — C. 503–528.

То же на англ. яз.: Nice local-global elds. II // Algebra and Logic. — 1996. — Vol. 35, No. 5. — C. 281–295.

Ред.: Вопросы алгебры и логики. — Новосибирск: Издво Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 1996.

— 192 c. — (Тр. Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН; T. 30). — Совместно с В. Д. Мазуровым.

Ed.: Algebra: Proc. of the 3rd Intern. Conf. on Algebra, Krasnoyarsk, 1993. — Berlin; New York: de Gruyter, 1996.

— 306 p. — With E. Khukhro, V. Levchuk, and N. Podufalov.

О d-пространствах — Новосибирск, 1997. — 18 c. — (Препр./НИИ МИОО НГУ; № 30).

К сорокалетию Сибирского отделения Академии наук // Сиб. мат. журн. — 1997. — Т. 38, № 3. — C. 483–484.

— Совместно с М. М. Лаврентьевым, В. Л. Бересневым, А. А. Боровковым, С. С. Кутателадзе, Ю. Г. Решетняком, В. Г. Романовым.

T. 353, № 5. — C. 596–598.

То же на англ. яз.: On semilocal elds // Russian Acad.

Sci. Dokl. Math. — 1997. — Vol. 55, No. 2. — P. 246–247.

О свободных произведениях абсолютных групп Галуа // Докл. PАН. — 1997. — T. 357, № 5. — C. 583–585.

То же на англ. яз.: Free products of absolute Galois groups // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 1997. — Vol. 56, No. 3. — P. 915–917.

Поля с непрерывными локальными элементарными свойствами. III // Алгебра и логика. — 1997. — T. 36, № 6.

— C. 642–656.

То же на англ. яз.: Fields with continuous local elementary properties. III // Algebra and Logic. — 1997. — Vol. 36, No. 6. — P. 370–377.

Хорошие локально-глобальные поля. III // Сиб. мат.

журн. — 1997. — T. 38, № 3. — C. 526–532.

То же на англ. яз.: Nice local-global elds. III // Siberian Math. J. — 1997. — Vol. 38, No. 3. — C. 449–454.

The bounded-complete hull of an -space // Theoret. Comput. Sci. — 1997. — Vol. 175, No. 3. — P. 3–13.

К теореме Куроша // Алгебра и логика. — 1998. — T. 37, № 4. — C. 381–393.

То же на англ. яз.: On the Kurosh theorem // Algebra and Logic. — 1998. — T. 37, No. 4. — C. 215–222.

Cергей Львович Соболев: (1908–1989) //Сиб. мат. журн.

— 1998. — Т. 39, № 4. — С. 723–729. — Совместно с М. М. Лаврентьевым, В. Л. Бересневым, А. А. Боровковым, С. С. Кутателадзе, Ю. Г. Решетняком, В. Г. Романовым.

Формирование региональной проблемно-ориентированной среды для информационной поддержки гуманитарных наук, образования и культуры // Информационные технологии в гуманитарных исследованиях. — Новосибирск, 1998. — С. 5–11. — Совместно с А. П. Деревянко, В. С. Диевым и др.

Introduction to the Handbook of Recursive Mathematics // Handbook of Recursive Mathematics. — Vol. 1–2. — Amsterdam etc.: Elsevier, 1998. — P. vii–xlvi. — With S. S. Goncharov, A. Nerode, and J. B. Remmel.

Elementary theories and their constructive models // Ibid.

— Vol. 1. — P. 115–166. — With S. S. Goncharov.

-denability of algebraic structures // Ibid. — Vol. 1. — P. 235–260.

Ed.: Handbook of Recursive Mathematics. — Vol. 1–2. — Amsterdam etc.: Elsevier, 1998. — With S. S. Goncharov, A. Nerode, and J. B. Remmel.

Конструктивные модели. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 360 c. — (Сибирская школа алгебры и логики). — Совместно c С. С. Гончаровым.

То же на англ. яз.: Constructive Models. — New York etc.: Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2000. — 305 р.

— With S. S. Goncharov.

-пространства // Алгебра и логика. — 1999. — T. 38, № 6. — C. 667–679.

То же на англ. яз.:

-Spaces // Algebra and Logic. — 1999. — Vol. 38, No. 6. — P. 367–373.

О существенных расширениях T0 -пространств // Докл.

РАН. — 1999. — T. 368, № 3. — C. 299–302.

То же на англ. яз.: On essential extensions of T0 -spaces // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 1999. — Vol. 60, No. 2. — P. 184–187.

Почти регулярно прюферовы кольца // Мат. тр. — 1999. — T. 2, № 1. — C. 72–120.

То же на англ. яз.: Near regularly-Prfer rings // Siberian Adv. Math. — 1999. — Vol. 9, No. 1. — P. 1–45.

Равномерно малые -группы // Алгебра и логика. — 1999. — T. 38, № 1. — C. 24–39.

То же на англ. яз.: Uniformly small -groups // Algebra and Logic. — 1999. — Vol. 38, No. 1. — P. 12–20.

Сергей Константинович Годунов: (К 70-летию со дня рождения) // Сиб. мат. журн. — 1999. — Т. 40, № 3.

— С. 483–484. — Совместно с М. М. Лаврентьевым, В. Л. Бересневым, А. А. Боровковым, С. С. Кутателадзе, Ю. Г. Решетняком, В. Г. Романовым.

On d-spaces // Theoret. Comput. Sci. — 1999. — Vol. 224, No. 1–2. — P. 59–72.

Theory of numberings // Handbook of Computability Theory. — Amsterdam etc.: Elsevier, 1999. — P. 473–503.

The injective hull and the bc-hull of a topological space // Novi Sad J. Math. — 1999. — V. 29, No. 2. — P. 1–6.

Ed.: Model Theory and Applications. — Providence: Amer.

Math. Soc., 1999. — 346 p.

Кратно нормированные поля. — Новосибирск: Научная книга, 2000. — 330 c.

То же на англ. яз.: Multi-Valued Fields // New York etc.:

Kluwer Academic/Consultants Bureau, 2001. — x+270 p.

— (Siberian School of Algebra and Logic).

Определимость и вычислимость: 2-е изд., испр. и доп.

— Новосибирск: Научная книга; M.: OAO HПО «Экономика», 2000. — 318 c.

Constructive Models. — New York etc.: Kluwer Academic/ Consultants Bureau, 2000. — 305 p. — (Siberian School of Algebra and Logic). — With S. S. Goncharov.

То же на рус. яз.: Конструктивные модели. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 360 c. — (Сибирская школа алгебры и логики). — Совместно с С. С. Гончаровым.

Об удивительных расширениях поля рациональных чисел // Докл. РАН. — 2000. — T. 373, № 1. — C. 15–16.

То же на англ. яз.: On wonderful extensions of the eld of rational numbers // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 2000. — Vol. 62, No. 1. — P. 12–13.

Свойства решеток, сохраняющиеся при свободных произведениях // Алгебра и логика. — 2000. — T. 39, № 1.

— C. 66–73.

То же на англ. яз.: Lattice properties preserved under free products // Algebra and Logic. — 2000. — Vol. 39, No. 1.

— P. 37–41.

Михаил Алексеевич Лаврентьев (К 100-летию со дня рождения) // Cиб. мат. журн. — 2000. — Т. 41, № 5.

— C. 969–983. — — Совместно с М. М. Лаврентьевым, В. Л. Бересневым, А. А. Боровковым, С. С. Гончаровым, С. С. Кутателадзе, П. И. Плотниковым, Ю. Г. Решетняком, В. Г. Романовым.

Sigma predicates of nite types // Electr. Notes Theor.

Comput. Sci. — 2000. — Vol. 35. — Available at http:

//dblp.uni-trier.de.

Проблемно-ориентированный подход к науке: Философия математики как концептуальный прагматизм. — Новосибирск: Наука, 2001. — 154 c. — Совместно с Н. В. Белякиным, А. В. Бессоновым, С. С. Гончаровым, В. Н. Карпович, К. Ф. Самохваловым, В. В. Целищевым.

Непосредственные расширения прюферовых колец// Алгебра и логика. — 2001. — T. 40, № 3. — C. 262–289.

То же на англ. яз.: Immediate extensions of Pr fer rings //Algebra and Logic. — 2001. — Vol. 40, No. 3. — P. 144–158.

О новом подходе к методологии математики // Проблемно-ориентированный подход к науке: Философия математики как концептуальный прагматизм. — Новосибирск: Наука, 2001. — C. 132–152. — Совместно с К. Ф. Самохваловым.

Предисловие // Там же. — С. 3–6.

Сепарабельная консервативность // Мат. тр. — 2001.

— Т. 4, № 1. — C. 18–24.

То же на англ. яз.: Separable conservativity // Siberian Adv. Math. — 2001. — Vol. 11, No. 4. — P. 41–46.

On free products of absolute Galois groups. II // Comm.

Algebra. — 2001. — Vol. 29, No. 9. — P. 3773–3779.

Непосредственные расширения квазиупорядоченных полей // Вестн. НГУ, серия: матем., мех., информ. — 2001. — Т. 1, № 2. — P. 77–84.

Александр Алексеевич Боровков (к 70-летию со дня рождения) // Сиб. мат. журн. — 2001. — Т. 42, № 2.

— С. 243–248. — Совместно с М. М. Лаврентьевым, В. Л. Бересневым, И. С. Борисовым, С. С. Гончаровым, В. И. Лотовым, А. А. Могульским, С. С. Кутателадзе, Ю. Г. Решетняком, В. Г. Романовым.

Анатолий Илларионович Ширшов (к 80-летию со дня рождения) // Алгебра и логика. — 2001. — Т. 40, № 4.

— С. i–iv. — Совместно с С. С. Гончаровым, В. Д. Мазуровым, Н. С. Романовским, В. К. Харченко.

Сергей Савостьянович Гончаров (ко дню 50-летия) // Алгебра и логика. — 2001. — Т. 40, № 5. — С. i–iii.

— Совместно с В. Д. Мазуровым, Н. С. Романовским, В. К. Харченко.

Алексей Андреевич Ляпунов и Новосибирская физикоматематическая школа имени академика М. А. Лаврентьева// Конф., посвящ. 90-летию со дня рожд. А. А. Ляпунова: Сб. докл., Новосибирск, 8–11 октября 2001 г. — Новосибирск, 2001. — Совместно с А. А. Никитиным.

Развитие проблемно-ориентированной информационной сети на базе Сибирского центра информационной поддержки гуманитарных наук, культуры и образования:

Тез. межд. научно-методич. конф. 6–8 июня 2001 г., Новосибирск. — Новосибирск, 2001. — С. 89–90.

Абстрактная теория полей классов (финитарный подход) — Новосибирск, 2002. — 43 c. — (Препр./ИДМИ).

Кратно нормированные поля. II // Алгебра и логика.

— 2002. — T. 41, № 6. — C. 682–712.

То же на англ. яз.: Multi-valued elds. II // Algebra and Logic. — 2002. — Vol. 41, No. 6. — P. 374–390.

Предупорядоченные кратно нормированные поля // Докл. РАН. — 2002. — T. 382, № 5. — C. 583–588.

То же на англ. яз.: Preordered multi-valued elds // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 2002. — Vol. 65, No. 1. — P. 75–79.

Хорошие локально-глобальные поля. IV // Сиб. мат.

журн. — 2002. — T. 43, № 3. — C. 538–562.

То же на англ. яз.: Nice local-global elds. IV // Siberian Math. J. — 2002. — Vol. 43, No. 3. — P. 418–427.

Понятие алгоритма и его место в математике // Философия науки. — 2002. — T. 14, № 3. — C. 24–31.

Необходима Сибирская индустрия информационных систем // Сибирский журн. информационно-аналитический. — 2002. — сент.–окт. — С. 19–21.

Михаил Михайлович Лаврентьев (к 70-летию со дня рождения) // Сиб. мат. журн. — 2002. — T. 43, № 3. — C. 489–492. — Совместно с А. А. Боровковым, С. С. Гончаровым, С. С. Кутателадзе, Ю. Г. Решетняком, В. Г. Романовым.

Спектральная теория полутопологических полурешеток // Сиб. мат. журн. — 2003. — T. 44, № 5. — C. 1021– 1032.

То же на англ. яз.: The spectral theory of semitopological semilattices // Siberian Math. J. — 2003. — Vol. 44, No. 5.

— P. 797–806.

Хорошие расширения и глобальная теория полей классов // Докл. РАН. — 2003. — T. 388, № 2. — C. 155–158.

То же на англ. яз.: Nice extensions and global class eld theory // Russian Acad. Sci. Dokl. Math. — 2003. — Vol. 67, No. 1. — P. 21–23.

Абстрактная теория полей классов (финитарный подход) // Мат. сб. — 2003. — T. 194, № 2. — C. 37–60.

То же на англ. яз.:

Abstract

class eld theory (a nitary approach) // Sb.: Math. — 2003.— Vol. 194, No. 2. — P. 199–224.

Необходимые условия изоморфизма полурешеток Роджерса конечных частично упорядоченных множеств // Алгебра и логика. — 2003. — T. 42, № 4. — C. 413–421.

То же на англ. яз.: Necessary isomorphism conditions for Rogers semilattices of nite partially ordered sets // Algebra and Logic. — 2003. — Vol. 42, No. 4. — P. 232–236.

Свойство проективности абсолютных групп Галуа кратно-нормированных полей // Мат. тр. — 2003. — Т. 6, № 1. — C. 28–33.

То же на англ. яз.: Projectivity of the absolute Galois groups of multi-valued elds // Siberian Adv. Math. — 2004. — Vol. 14, No. 1. — P. 1–6.

Локальная теория полей классов // Алгебра и анализ.

— 2003. — Т. 15, № 6. — C. 35–47.

То же на англ. яз.: Local class eld theory // St. Petersburg Math. J. — 2004. — Vol. 15, No. 6. — P. 837–846.

A non near-Boolean family of valuation rings satisfying an arithmetic local-global principle // Math. Z. — 2003. — Vol. 245, No. 4. — P. 689–693.

О Сергее Львовиче Соболеве // Сиб. мат. журн. — 2003. — T. 44, № 5. — C. 953–960. — Совместно с М. М. Лаврентьевым, С. С. Кутателадзе, А. А. Боровковым, С. С. Гончаровым, Ю. Г. Решетняком, В. Г. Романовым, В. Д. Мазуровым.

Анатолию Георгиевичу Кусраеву — 50 лет // Владикавказск. мат. журн. — 2003. — T. 5, № 1. — C. 5–7. — Совместно с С. С. Гончаровым, А. Е. Гутманом, С. С. Кутателадзе, В. Л. Макаровым, А. М. Нахушевым, В. М. Тихомировым, Г. Н. Шотаевым.

То же на англ. яз.: Anatoli Georgievich Kusraev (on the occasion of his ftieth birthday) // Vladikavkaz. Mat. Zh.

— 2003. — Vol. 5, No. 1. — P. 5–7 (electronic).

Анатолий Георгиевич Кусраев (портрет ученого) // Вестник Владикавказск. науч. центра. — 2003. — T. 3, № 1.

— C. 54–55. — Совместно с С. С. Гончаровым, А. Е. Гутманом, С. С. Кутателадзе, В. Л. Макаровым, А. М. Нахушевым, В. М. Тихомировым, В. Г. Фетисовым.

Виктор Данилович Мазуров (ко дню 60-летия) // Алгебра и логика. — 2003. — Т. 42, № 1. — С. i–ii. — Совместно с С. С. Гончаровым, Н. С. Романовским, В. К. Харченко.

Где же высокие цели? // Городок.ru: Сб. статей. — Новосибирск, 2003. — С. 205–212.

Математическая логика: 3-е изд., стер.: Учеб. пособие.

— СПб: Изд-во «Лань». — 2004. — 336 с. — (Учебник для вузов. Спец. лит-ра). — Совместно с Е. А. Палютиным.