«Данные методические указания отражают многолетний опыт авторов  по чтению лекций и ведению семинарских занятий по линейной алгебре на  физико­техническом   факультете   Харьковского   национального  университета.  ...»

Введение

Данные методические указания отражают многолетний опыт авторов 

по чтению лекций и ведению семинарских занятий по линейной алгебре на 

физико­техническом   факультете   Харьковского   национального 

университета. 

Трудно представить себе образование современного физика без знания 

и   владения   основными   методами   линейной   алгебры.   Линейной   алгебре 

посвящена обширная литература, имеются прекрасно написанные учебники  и   задачники.   Вместе   с   тем   ощущается   недостаток   пособий,   помогающих  студентам   выработать   навыки   решения   задач   по   различным   разделам  линейной   алгебры.   Авторы  данных   указаний   ставили  перед  собой  цель  в  какой­то мере ликвидировать этот пробел.

Назначение   указаний   мы   видим   в   том,   чтобы   активизировать  самостоятельную работу студентов при изучении курса линейной алгебры,  помочь активному и неформальному усвоению этого предмета.  Авторами задуман целый цикл методических указаний по различным  разделам изучаемого курса «Высшая алгебра». Первой «ласточкой» в этом  цикле, являются методические указания по первой части изучаемого курса  «Линейные (векторные) пространства. Алгебра матриц».  Структура методических указаний подчинена решению, поставленных  выше   учебно­методических   задач.   Материал   указаний   разбит   на   четыре  параграфа.   В   параграфе   «Основные   понятия   и   теоремы»   приводятся   без  доказательства   основные   теоретические   сведения  (определения,  теоремы,  формулы),   необходимые   для   решения   задач.   В   параграфе   «Контрольные  вопросы   и   задания»   содержатся   вопросы   по   теории   и   простые   задачи,  решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо  иллюстрируют   то   или   иное   теоретическое   положение.   Назначение  параграфа   –   дать   возможность   студенту   самому   проконтролировать  усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа  над   теоретическим   материалом   с   проработкой   доказательств   теорем  ведется   по   учебнику   или   конспекту   лекций.   В   параграфе   «Примеры  решения задач» представлены решение типичных задач по изучаемой теме.  Назначение параграфа «Задачи и упражнения для самостоятельной работы»  отражено в его названии. Из этого раздела подбираются задачи для решения  на практических занятиях, для домашних заданий по заданному разделу.  ЧАСТЬ  § 1. Основные понятия и теоремы Def: Множество  V   называется линейным (векторным) пространством  над   числовым   полем  K,   если   на   множестве  V    корректно*)  заданы   две  операции:   одна   внутренняя,   в   дальнейшем   именуемая   сложением  (обозначается   или   +),   другая   –   внешняя   над   полем  K,   в   дальнейшем   .),  именуемая   умножением   на   скаляр   (обозначается    или удовлетворяющие аксиомам:

А.  x, y V zV z= x y       1)  x y = y x ;                    2)  ( x y) z = x ( y z) ;

      3)  V x = x ;           4)   x V y V x y =.

В.  x V, zV z =  х       1)  1K;  1  x = x    2)   x V,,   ( x) = () x.

   Операция называется корректной на множестве  М, если результатом этой операции  *) является элемент множества М.

С.  Эти операции связаны соотношениями:

( + ) x = x  x;

, x V 1) x, y V   ( x y) =   x y 2) Если   поле  K  это  R  (поле  вещественных   чисел),   то  V    называется  вещественным   линейным   пространством.   Если   же   поле  K  это  С  (поле  комплексных   чисел),   то  V    называется   комплексным   линейным  пространством.

Элементы   линейного   (векторного)   пространства   называются  векторами.

Если   множество   W V   и   1)   x, y W x y W,   2)   x W   x W,   то   множество   W   называется   подпространством  линейного пространства V.

Вектор   x = 1e1 + 2e2 + + k ek ( i, ei V, i = 1, 2,, k)   называется  линейной комбинацией векторов е1, е2, … ,  еk.

Множество   всевозможных   линейных   комбинаций   векторов  { ei } i=1   k называется   линейной   оболочкой   этих   векторов   и   обозначается   ( e1,e2,,ek ).

Если  ( e1,e2,,ek ) = V, то система векторов { ei } i=1  называется полной  в пространстве V.

Система   векторов  { ei } i=1   называется   линейно­независимой,   если  i ei = 0 тогда и только тогда, когда 1 = 2 = = k = 0.

В   линейном   пространстве  V  система   векторов  { ei } i=1   называется  базисом пространства V, если система является:

а) минимальной полной в V  или  б) максимальной линейно­независимой в V  или  в) полной линейно­независимой в V.

Количество векторов в базисе называется размерностью пространства  V и обозначается dim V.

Если в пространстве V задан базис { ei } i=1, то  x V 1, 2,, n   такие,   что   x = 1e1 + 2e2 + + nen.   Такое   представление   называется  разложением   вектора  х  по   базису   { e1,e2,,en},   а   числа   1, 2,, n   –  координатами вектора х в базисе { ei } i=1.

Два линейных пространства  V   и  V    называются изоморфными, если  между   их   элементами   установлено   взаимно­однозначное   соответствие  ( x x),  причем такое, что: если    x x  и    y y, то    x y x y  и    x    x'.  Линейные   пространства  V    и  V    изоморфны   тогда   и   только   тогда,  когда dim V = dim V .

Пусть L1 и L2 – подпространства V. Тогда суммой L и пересечением N  этих подпространств называются:

Сумма и пересечение подпространств есть подпространство.

Формула Грасмана:   dimL1 + L2 ) = dim 1 + dim 2 dimL1 L2 ).

Сумма  L  =  L1  +  L2  подпространств   называется   прямой   суммой   (и  обозначается   L1 L2 ),   если   представление   x = x1 x2 ( x1 L1, x2 L2 )   единственно  x L.

Если  L –  подпространство V и  х0V, то множество М   { x | x = х0y,  yL}   называется   линейным   многообразием   в    V.   Базис   и   размерность  подпространства  L  называются   базисом   и   размерностью   линейного  многообразия М, а вектор х0V называется вектором сдвига.

Если    х0L  (и   только   в  этом   случае)  М  является   подпространством  пространства V и при этом L   М.

Def:   Линейное   пространство  V  над   числовым   полем  K  называется  алгеброй   если   на   нем   корректно   введена   еще  одна   операция   (   или   )  такая, что:

Матрицей порядка n   m называется прямоугольная таблица:  Здесь  aij (числовое поле) и называются элементами матрицы А. Другое  обозначение матричных элементов матрицы  А:  (А)ij.

Def:  Матрица А, для которой  аij = aji   называется симметрической, а аij  = – aji называется кососимметрической (антисимметрической).

Любая квадратная матрица может быть однозначно разложена в сумму  симметрической и кососимметрической матриц.

Операции над матрицами:

Умножение на скаляр из поля K: (А)ij =  (Аij);

Сложение матриц одного порядка: (А + В)ij = (А)ij  + (В)ij;

Умножение   матриц  Аn  x  m .  Вm  x  k. (Вводится  только  для матриц  у  которых   количество   столбцов   у   1ой  матрицы   совпадает   с  количеством   строк   у   2   матрицы):

правило в обиходе называют: строка на столбец;

Операция комплексного сопряжения (для матриц с комплексными  Операция   эрмитового   сопряжения   (для   матриц   с   комплексными  элементами, обозначается * или + ):  ( A+ ) ij = ( A ) ij = ( A) ji.

Нетрудно понять, что по операциям 1), 2) и 3) множество квадратных  матриц (т.е. матриц порядка n x n)  для заданного n образуют алгебру.

1. Сформулируйте определение линейного пространства и приведите  примеры линейных пространств.

Чем   отличается   вещественное   линейное   пространство   от  комплексного? Приведите примеры этих пространств.

Могут   ли   в   линейном   пространстве   существовать   а)   два   нулевых  элемента; б) два элемента противоположных некоторому элементу  х? Ответ обоснуйте.

4. Дайте определение подпространства линейного пространства.

Является ли подпространством линейного пространства V само V?  Докажите, что множество, содержащее только нулевой элемент  ,  является   подпространством,   причем   наименьшим   среди  подпространств линейного пространства V.

Дайте   определение   линейной   зависимости     и   линейной  независимости элементов линейного пространства.

Являются   ли   линейно   зависимыми   элементы   линейного  пространства V: а) х и 2х; б) х1, х2, … , хn, ? Ответ обоснуйте.

9. Дайте определение базиса линейного пространства.

10. Что такое координаты элемента линейного пространства в данном  11. Может ли базис содержать нулевой элемент? Ответ обоснуйте.

12. Дайте определение размерности линейного пространства.

 Сколько базисов имеется в n–мерном линейном пространстве?    Что   означают   слова   «между   элементами   двух   множеств  установлено взаимно однозначное соответствие»?

15. Какие линейные пространства называются изоморфными?

  Могут   ли   линейное   пространство   и   его   подпространство,   не  совпадающее со всем пространством, быть изоморфными?

  Приведите   примеры   трех   линейных   пространств,   изоморфных  линейному пространству векторов на плоскости.

Задача   1.  Является   ли   линейным   пространством   множество   R+  (вещественных   положительных   чисел),   если   операции   на   нем   введены  следующим образом: 1) х, у  R+     x   y  x . y;    2)   R, х  R+    x  x.

Здесь   в   правой   части   равенств   стоят   обычные   операции   умножения   и  возведения   в   степень   вещественных   чисел.   Если   является   линейным  пространством, то указать его базис и размерность.

Решение. Обе операции корректны в множестве положительных чисел,  так   как   произведение   вещественных   положительных   чисел   и   возведение  положительного числа в любую вещественную степень дают положительное  число. Проверим свойства этих операций:

А. 1) x   y  x . y = y . x  y  x.

    2) (x   y  z)  (x . y) . z = x . (y . z)  x  (y  z).

    3)    = 1     x    x . 1 = x.

    4) хR+     y R+    у = 1/х  |   x   y  x . 1/х  1  .

В. 1) 1R    1  х  х1 = х.

    2)   (  х)  (х )  = х    ( . )  х.

С. 1) ( + )  х  х      2)   (х  у)  (х . у)  = х  . х      х    у.

В   данных   выкладках   знаками  . и + обозначены   операции   в  R.   Все  свойства   операций,   необходимые   для   того,   чтобы   множество   R+  было  линейным пространством выполнены. Следовательно, R+ с так введенными  операциями есть линейное пространство.  Возьмем  х0 – любое вещественное положительное число (х0   1). Тогда  уR+      у =  x Таким образом, построенное линейное пространство имеет размерность 1 и  базисом может служить любое положительное число   1.  При этом logх0у является координатой вектора у в базисе { х0}.

Задача   2.    Дана   однородная   система  m  линейных   уравнений   с  n  неизвестными х1, х2, …, хn Доказать,   что   множество   всех   решений   этой   системы   является  подпространством линейного пространства Vn.

Решение.  Решение системы будем записывать в виде  х(х1, х2, …,  хn).  Запишем исходную систему уравнений в виде:  aik xk = Пусть  ( x1, x1,, x1 )  и  ( x1, x2,, xn )  – два решения исходной системы.  Рассмотрим вектор х ( x1 + x1, x1 + x2,, x1 + xn )  и подставим его в систему  aik ( x1 + xk ) = aikx1 + aikxk = 0.   Тем   самым   доказано,   что   сумма  решений однородной системы линейных уравнений является решением той  же системы.  Пусть   ( x1, x2,, xn )   –   решение   системы.   Рассмотрим   вектор  (x,x,,x )   = aik xk = 0,  т.е. любое решение системы, умноженное на скаляр, также  есть   решением   той   же   системы.   Следовательно   множество   решений  исходной системы образует линейное подпространство в пространстве  Vn  векторов вида х(х1, х2, …, хn).

Задача 3. Найти базис и размерность пространства полиномов степени  не выше четырех и удовлетворяющих условию: Р(3) = Р(2) = 0.

Решение.  Используя   теорему   Безу   и   тот   факт,   что  х  =   3   и  х  =   2   являются  корнями многочлена, представим многочлен Р4(х) в виде:

Р4 (х) = (х – 2) Р3( х) = (х – 2)(х – 3) Р2(х) = (х – 2)(х – 3)(а0 + а1х + а2х2) =               = а0(х – 2)(х – 3) + а1х(х – 2)(х – 3) + а2х2(х – 2)(х – 3). Из этой  формулы   следует,   что   любой   полином   из   рассматриваемого   множества  является элементом линейной оболочки: {(х–2)(х–3), х(х–2)(х–3), х2(х–2)(х  –   3)}.   Следовательно,   система   {(х–2)(х–3),  х(х–2)(х–3),  х2(х–2)(х  –   3)}  является полной в рассматриваемом множестве полиномов.  Проверим линейную независимость указанной системы:  (а0 + а1х + а2х2)(х – 2)(х – 3) =   т.е. (х – 2)(х – 3) (а0 + а1х + а2х2)  0.  Отсюда следует, что  При    х = 0   а0 = 0;

При   х = 1   а1 + а2 = 0;

При  х = –1   – а1 + а2 =  Решением полученной системы  уравнений является  а0 = а1  = а2 =  0. Таким  образом, система функций {(х–2)(х  – 3),  х(х  – 2)(х  – 3),  х2(х  – 2)(х  – 3)} –  линейно независима.

Итак,  множество   полиномов  степени не выше  4  и  удовлетворяющих  условиям   задачи,   образует   линейное   пространство   размерности   3   и   с  базисом {(х–2)(х – 3), х(х – 2)(х – 3), х2(х – 2)(х – 3)}.

Задача 4. Линейно независима ли система векторов:     а1(1, 2, 3, 4),     а2(0, 1. 0, 1), а3(1, – 1, 1, – 1), а4(4, 1, 6, 3)? Найти эту зависимость.

Решение.   Рассмотрим   равенство  1а1  +  2а2  +  3а3  +  4а4  =  .  Перейдем   в   этом   равенстве   к   покоординатной   записи.   Имеем   систему  Проверим, имеет ли эта система ненулевое   решение. Решая данную  систему, имеем:

  31 + 3 + 64 = 21 + (1 + 3 + 44) +  24 = 0  1 = – 4    – 4 + 3 +            + 44 = 0  3 = – 34;  – 44 + 2 + 34 + 34 = 0  2 = – 24.  Следовательно:  – 4а1 –24а2 – 34а3 + 4а4 = 0 и система имеет ненулевое  решение. Если 4 = 1, то    а4 = а1 + 2 а2 +3 а3.

Исходная система векторов линейно зависима.

Задача 5. Доказать, что функции cosx, cos2x, cos3x (x[0, 2]) линейно  независимы в пространстве функций непрерывных на [0, 2].  Решение.  Допустим,   что   данные   функции   линейно   зависимы.   Тогда  существует   их   линейная   комбинация,   равная   нулевому   элементу,   т.е.  тождественно равная нулю:   cosx + cos2x +  cos3x   0, причем хотя бы  один из  коэффициентов ,  и    не равен нулю. Продифференцировав это  тождество  два   раза,  а  затем четыре раза, приходим  к тождествам:  cosx  + 4cos2x  + 9 cos3x    0,   cosx  + 16cos2x  + 81 cos3x    0. Положив во  всех   трех   тождествах   х   =   0,   получим   однородную   систему   линейных  уравнений относительно коэффициентов ,  и  Эта   система   имеет   только   нулевое   решение    =      =     =   0.   Получили  противоречие с тем, что хотя бы один из коэффициентов ,  и   отличен  от нуля. Следовательно, данные функции линейно независимы.

Задача 6. Найти базис и размерность линейной оболочки (а1, а2, а3),  где   а1(1, 2, 3), а2(3, 0, – 1), а3(– 1, 10, 17).

Решение. 1) Рассмотрим линейную комбинацию а1, а2, а3  и приравняем  ее к  : а1 + а2 +   а3 = ; (1, 2, 3)+(3, 0, – 1) + (– 1, 10, 17) = (0, 0, 0) Из   2­ого   уравнения   системы   получим,   что    =   –   5;   подставляя  значение  в 1­ое уравнение системы, имеем: – 5 +  3–  = 0  т.е.  = 2;  тогда:   –5а1  + 3а2  –  а3  = 0 т.е.  а3  = 5а1  – 2а2. Так как  а3  является линейной  комбинацией  а1  и  а2,   то   система   {а1,  а2,  а3}   и   система   {а1,  а2}   будут  одновременно линейно зависимы или линейно независимы.

2) Рассмотрим линейную комбинацию  а1 + а2 =   (1, 2, 3) + (3, 0, –1) = , т.е.  В   силу   того,   что   система   уравнений   и   имеет   только   нулевые   решения,  заключаем,   что   векторы  а1  и  а2  линейно     независимы.   Следовательно  dim(a1, a2, a3)=2, а ее базисом может служить, например, система {а1, а2}.

Задача 7. Найти все матрицы перестановочные с матрицей Решение.  Матрицу перестановочную с  А  будем искать из равенства:  Перемножая   матрицы   в   правой   и   левой   частях   равенства,   получаем  систему линейных уравнений:

Учитывая это, заключаем, что искомая матрица имеет вид:

где  , ,       произвольные вещественные числа. Из этой записи видно, что  множество   всех   матриц   перестановочных   с   исходной   образуют   линейное  пространство размерности 3 и с базисом:

Задача 8. Найти координаты вектора х(4, 7, 4) в базисе {a1, a2, a3}, где  a1(2, 3, 1), a2(1, – 1, 0), a3(0, 2, 1).

Решение. Пусть х =  a1 +  a2 +   a3. Тогда, переходя к координатной  записи, получим:

Таким образом   х = а1 + 2а2 +  3а3.  Это значит,  что  вектор  х  в  базисе {a1,  a2, a3} имеет координаты х(1, 2, 3).

Задача 9.    Найти   базис   и   размерность   L1  + L2  и    L1    L2, где L1  =  {a1(2, 1, –1),  a2(3, 5, 4),  a3(1, –3, –6)}, а  L2  =  {b1(–1, 1, 2),  b2(6, 5, 1),  b3(7, 4, – 1)}.  Решение.  1)   Выясним,   является   ли   система   {a1,  a2,  a3}   линейно  независимой. Из  равенства  a1 +  a2 +   a3 =    следует, что Тогда   =– 2,  = 1,    = 1. Следовательно, –2a1 + a2+ a3 =   a3 = 2 a1 – a2.  Из этого вытекает, что {a1, a2, a3}  =  {a1, a2}   dim {a1, a2} = 2.

2) Выясним, является ли система {b1, b2, b3} линейно независимой. Из  равенства  b1 +  b2 +   b3 =    следует, что  Тогда   = –1,  = 3,   =1. Следовательно, – b1 + 3b2 +b3 =     b3 = b1 – 3b2.  Из этого вытекает, что {b1, b2, b3}  =  {b1, b2}   dim {b1, b2} = 2.

3)  Найдем векторы принадлежащие  L1    L2.   Если    х   L1  L2  то х  =  а1 +  а2  =   b1 +  b2. Последнее равенство эквивалентно системе  Из решения системы следует, что   = ,    = 2,   = . То есть  2а1 + а2  =  = b1 + b2 =   .(3, 5, 1). Следовательно, L1  L2 = {3, 5, 1}.  Тогда  dim L1  L2 = 1; dim (L1 + L2) = dim L1 + dim L2 – dim L1  L2  =  3.  Базисом  L1 + L2  может служить, например, система векторов  {а1, а2, b1}.

§ 4. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Показать, что множество всех полиномов от  х степени не выше  n с  числовыми   коэффициентами   является   линейным   пространством  относительно   обычных   операций   сложения   многочленов   и   умножения  многочлена на число.

2.   Будет   ли   линейным   пространством   с   обычными   операциями  множество многочленов от х степени равной n?

 Нет. Например, для многочленов 3ей степени  ( 2x 3 + 5x 2 + 3x 5)       и  ( 2x 3 + 5x 2 7x + 12)  сумма будет многочленом 2ой степени    3.  Образует   ли   множество   радиус­векторов   на   плоскости,   концы  которых находятся в первой четверти, линейное пространство (с обычными  операциями)?

 Нет. Например, умножение элемента данного множества на   n = dim V   xV,  x   , xP Q;

б) dim P + dim Q = dim P Q + 1, то одно из этих подпространств      содержится в другом.

66.   Доказать,   что   для   любого   линейного   подпространства  P  конечномерного   линейного   пространства  V,   существует   другое  подпространство Q такое, что  V = P Q.

67.   Найти   размерность   суммы   и   размерность   пересечения   линейных  подпространств натянутых на системы векторов {ai} и {bi}:

а)  а1(1, 2, 0, 1), а2(1, 1, 1, 0); b1(1, 0, 1, 0), b2(1, 1, 1, 1);  б) а1(1, 1, 1, 1), а2(1, ­1, 1, ­1), а3(1, 3, 1, 3); b1(1, 2, 0, 2), b2(1, 2, 1, 2),       b3(3, 1, 3, 1).          а)  3; 1;         б)  3;  2.          68.   Найти   базисы   суммы   и   пересечения   пространств     натянутых   на  системы векторов {ai} и {bi}:

а) а1(1, 2, 1), а2(1, 1, ­1), а3(1, 3, 3); b1(2, 3, ­1), b2(1, 2, 2), b3(1, 1, ­3);

б) а1(1, 1, 0, 0), а2(0, 1, 1, 0), а3(0, 0, 1, 1); b1(1, 1, 1, 1), b2(1, 0, 1, ­1),       b3(1, 3, 0, ­4);

в) а1(1, 2, 1, ­2), а2(2, 3, 1, 0), а3(1, 2, 2, ­3); b1(1, 1, 1, 1), b2(1, 0, 1, ­1),       b3(1, 3, 0, 4);

г) а1(1, 1, 0, 0), а2(0, 1, 0, 1), а3(0, 0, 1, 1); b1(1, 0, 1, 0), b2(0, 2, 1, 1),       b3(1, 2, 1, 2).

 а)  {а1, а2, b1}; {2а1 + а2 = b1 + b2 = (3, 5, 1)};  б) {а1, а2, а3, b2}; {а1 + а3 = b1  = (1, 1, 1, 1)};              в) {а1, а2, а3, b2}; {b1 = ­2а1 + а2 + а3 ; b3  = 5а1 ­ а2 ­ а3 };  г) {а1, а2, а3, b2}; {b1 = а1 – а2 + а3 =                 = (1, 0, 1, 0);  2а1 + 2а3 = b1  + b3 = (2, 2, 2, 2)}.      69.   Найти   размерность   и   базис   суммы   и   пересечения   линейных  подпространств пространства многочленов степени не выше 3, натянутых  на системы многочленов:

1 + 2t + t3,      1 + t + t2,     t – t2 + t3   и   1 + t2,   1 + 3t + t3,  3t – t2 + t3.

 сумма: 3;  базис: {1 + 2t + t3, 1 + t2, 1 + t + t2};  пересечение: 1;  базис: {2 + 3t + t2 + t3}.  70.   а)   Доказать,   что   если   в  n­мерном   комплексном   линейном  пространстве   рассматривать   умножение   векторов   лишь   на   вещественные  числа, то получим 2n­мерное вещественное пространство;

б)   В   двумерном   комплексном   арифметическом   пространстве  рассматривается операция умножения лишь на вещественные числа. Найти  базис в полученном вещественном пространстве и координаты вектора  (­3  + 2i, ­i) в этом базисе.         б) базис: {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)};  (­3 + 2i,  ­i) = (­3, 2, 0, ­1).  71.   Найти   размерность   и   базис   суммы   и   пересечения   линейных  подпространств   комплексного  n­мерного   арифметического   пространства,  натянутых, на системы векторов  {ai} и {bj}:

а)  n = 3; а1(1, 2, 3), а2(1, ­2, i), а3(2, 0, 3 + i); b1(1, 0, 3i), b2(1, 4, 3 + i),       b3(­1, 4, 3 ­ 4i);  б) n = 3; а1(1, ­ i, 1 + i), а2(1, 0, 3i), а3(­1, 2i, ­2 + i); b1(1, ­2, i),      b2(2, 1 + i, ­ i), b3(­1, 4, 3 ­ 4i);  в) n = 4; а1(1, 1, 1, 1), а2(1, 2, 1,  3 ­ i), а3(2, 3, 2, 4 ­ i), а4(1, 1, 1, 1 ­ i);       b1(0, 1,  0, 3 ­ i), b2(0, 2, 0, 5 ­ 2i, ­ i), b3(0, 2 + i, 0, 6 + i), b3(1, 4+i, 5­i, ­2­ i).

   a) 3; базис: а1, а2, b1; 1; базис: (0, 4,3­i); б) 3; базис: а1, а2, b1;1; базис: (9+10i, 2­16i,­10­3i);

      в) 4; базис:  а1, а2, а2, b4;  2; базис: b1, b2 .    72.   Доказать,   что   множество   многочленов   степени   не   выше  n  с  комплексными коэффициентами можно рассматривать и как комплексное  линейное пространство и как вещественное линейное пространство. В обоих  случаях найти:

а) базис и размерность;

б) координаты многочлена 1 2i + ( 3 + i ) t 3t2  в найденном базисе      (при n = 2).

 a) Комплексное пространство: dim V = n+1, базис: 1, t, t2, … tn; Вещественное пространство:         dim V = 2n + 2, базис: 1, i, t, it, … tn, itn ;    б) Комплексное пространство: (1­2i, 3+i, ­3);

        Вещественное пространство: (1, ­2, 3, 1, ­3, 0).  73. Для заданных матриц А и В найти А+ .В, если:

   a)   3 11 ;     б)  3i 74. Произвести действия с матрицами:

75.   Квадратная   матрица   с   комплексными   элементами   называется  эрмитовой, если  A+ = A ; и называется унитарной, если  A+ A = E.

            Квадратная   матрица   с   вещественными   элементами   называется  самосопряженной,   если   AT = A ;   и   называется   ортогональной,   если  AT A = E.            Для   следующих   матриц   установить   какими   из   указанных   выше  характеристик они обладают:

 a)  ортогональная; б) ортогональна и самосопряженная; в) самосопряженная; г)  эрмитова;

    д)  эрмитова;  е)  ортогональная;   ж) ортогональная;    з) ортогональная.       76. Найдите n для указанных ниже пространств, если известно, что эти  пространства изоморфны пространству V6:  а) для пространства симметричных nхn – матриц с нулевыми диагона­ льными элементами;

б)  для  пространства Рn полиномов степени не выше n;

в)   для   подпространства   многочленов  р(х)   из  Рn,   удовлетворяющих  условию: р(0) = 0.            a) n = 4;     б) n = 5;     в) n = 6.   

ЛИТЕРАТУРА

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

2. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971.

3. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1970.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1973.

Шилов   Г.Е.   Математический   анализ.   Конечномерные   линейные  пространства. – М.: Наука, 1969.

6. Головина   Л.И.   Линейная   алгебра   и   некоторые   ее   приложения.   –   М.:  Наука, 1985.

Бутузов   В.Ф.,   Крутицкая   Н.Ч.,   Шишкин   А.А.   Линейная   алгебра   в  вопросах и задачах. – М.: Физматлит, 2001.

8. Проскуряков И.В.  Сборник задач   пол линейной алгебре. –  М.: Наука,  В   линейном   пространстве  V  над   числовым   полем  K  определено  скалярное   произведение,   если  Комплексное   конечномерное   линейное   пространство   со   скалярным   произведением   (K    C)  называется унитарным пространством.

Вещественное   конечномерное   линейное   пространство   со   скалярным   произведением     (K     R)  называется   евклидовым   пространством.   (Если   в   дальнейшем   тексте   написан   знак   «  –  »   комплексного  сопряжения, то в евклидовом пространстве он не пишется).

Если   в   пространстве        V    со       скалярным     произведением   задан     базис     {  ei}n,     то  достаточно задать матрицу с матричными элементами  i j Грамма.

Длиной   (нормой)   вектора  х  называется   величина   вектора – х  =  В евклидовом пространстве углом    между векторами  х и у называется  угол между 0         В унитарном пространстве содержательного понятия угла нет.

Векторы х и у евклидового или унитарного пространства называются ортогональными, если (х, у) =  В каждом евклидовом и унитарном пространстве существует ортонормированный базис. При этом,  в ортонормированном базисе  Получить ортонормированный базис пространства  V из произвольного базиса  f1, f2, … , fn можно с  помощью процесса ортогонализации:  + 1 e1 + 2 e2   и    1,  2 ищутся из условий  e1  e3, Нормируя   векторы  ek  полученного   базиса,   мы   сделаем   его   ортонормированным.   Описанный   процесс  получения   ортогонального   базиса   из   заданного   не   ортогонального   базиса,   называется  процессом  ортогонализации Штурма.  Два   евклидовых   или   унитарных   пространства  V    и    V   называются   изоморфными,   если   они  изоморфны как линейные пространства и, кроме того,  x, yV     x, y V  такие, что  x  x,  y  y.  Тогда  (x, y) = (x, y ).

Если   два   евклидовых  или  унитарных   пространства   изоморфны,   то  в  них можно ввести одинаковую норму.

Вектор h называется перпендикулярным к подпространству L  (h  L) если  yL  (h, y) = 0.

Ортогональным дополнением  L   к подпространству L называется:

При этом,  L   само  является   подпространством  и:

а) V = L  L,  б) dim L + dim L   = dim V.  Пусть L – подпространство V:

x0 – называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство L,   x  –  называется  ортогональной  составляющей  вектора  x  относительно  L.

Длина вектора x   (| x  |) называется расстоянием между вектором  x  и подпространством  L.

Для евклидового пространства V  угол между векторами x   и x0 называется углом между вектором  x  и подпространством L.

{ ei } 1n  – ортогональный базис в V, то  Если    М  =  у  +  L    многообразие   линейного   подпространства  L,   то   расстоянием   между  подпространством  L  и  многообразием  М  называется  длина  ортогональной   составляющей    у     вектора  сдвига у относительно подпространства L.  – Сформулируйте   определение   евклидового   пространства   и   приведите  пример такого пространства.

Сформулируйте определение унитарного пространства и приведите пример такого пространства.

Каким   образом   можно   ввести   скалярное   произведение   в   пространстве   функций   непрерывных   на  отрезке [а, b]. Приведите три различных способа введения скалярного произведения.

Как   определяются   норма   (длина)   элемента   и   угол   между   ненулевыми   элементами   евклидового  пространства?

Почему в унитарном пространстве нет осмысленного понятия угла?

Какие элементы евклидового пространства называются ортогональными?

Докажите,   что   если   не   нулевые   элементы  х  и  у  евклидового   пространства   ортогональны,   то   они  линейно независимы. Верно ли обратное утверждение?

Что   такое   ортогональный   и   ортонормированный   базис?   Приведите   примеры   ортонормированных  базисов.

Опишите   процедуру   построения   ортонормированного   базиса   на   основе   произвольного   базиса  (процедуру ортогонализации).

 Сколько ортонормированных базисов существует в данном n–мерном евклидовом пространстве?

  Напишите   формулу   для   координат   произвольного   элемента   евклидового   пространства   в  ортонормированном базисе.

 Как выражается норма произвольного элемента через его координаты в ортонормированном базисе  евклидового (унитарного) пространства?

 Что такое ортогональное дополнение к подпространству L евклидового пространства?

  Докажите, что ортогональное дополнение  L   к подпространству  L  евклидового пространства само  является подпространством этого пространства.

 Как связаны между собой размерности подпространств L и L ?

 Какой элемент евклидового пространства называется проекцией элемента х на подпространство L, а  какой ортогональной составляющей элемента х относительно подпространства L?

 Что называется расстоянием между элементом х евклидового пространства и подпространством L?

Задача   1.  Доказать,   что   для   скалярного   произведения   в   унитарном  пространстве   нельзя   сохранить   без   изменения   аксиомы   скалярного  произведения, принятые в евклидовом пространстве.

Решение.  Предположим,   что   в   унитарном   пространстве   скалярное  произведение   введено   также   как  и   в  евклидовом   пространстве.   Тогда  из  аксиом 1° и 3° скалярного произведения, следует, что для любого числа  и  для любого элемента х имеет место равенство ( х,  х) = (х,  х) =  ( х, х) = 2 (х, х).

Положив  = i, получим (iх, iх) = – (х, х)  0.  Остается показать, что если (f, f) = 0, то f(х) = 0 для любого х, т.е. f = . Пусть (f, f) = 0, т.е. f2(–1) +  f2(0)   +  f2(1)   =   0.   Отсюда   получаем  f(–   1)   =  f(0)   =   =  f(1)   =   0.   Но   так   как   степень   многочлена  f(х)   не  превосходит 2, то число его корней не более двух, если хотя бы один коэффициент многочлена отличен от  нуля. Следовательно, f(х) = 0.

Таким образом, выполнены все аксиомы скалярного произведения и, значит, по указанной формуле  можно ввести скалярное произведение в Р2.

В пространстве Р3 скалярное произведение нельзя ввести по указанной формуле, ибо для f(x) = x(x2  – 1) скалярное произведение (f, f) = 0 в то время, как f    , что противоречит аксиоме 4°.

Задача 4. Пусть Р2 – евклидовое пространство, рассмотренное в предыдущей задаче.

а) Вычислить нормы многочленов f(х) = 1 – х + х2  и  g(х) = 1 + х  и угол между ними.

б) Написать выражение скалярного произведения двух произвольных элементов пространства   Р2  через их координаты в базисе   р0 = 1,  р1 =  х,  р2 = х2.

Решение. а) Вычислим значения f(х) и g(х) в точках х = –1, х = 0, х = 1: f(– 1) = 3, f(0) = 1, f(1) = 1,  g(–1) = 0, g(0) = 1, g(1) = 2. По формуле скалярного произведения    (f, g) = f(–1) . g(–1) + f(0) . g(0) + f(1) .  g(1) находим (f, g) = 3.0 + 1.1 + 1.2 = 3,   (f, f) = 32 + 12 + 12 = 11,   (g, g) = 02 + 12 + 22 = 5.

Вычислим теперь нормы элементов f  и g и угол между ними:

б)   Найдем   выражение   скалярного   произведения   произвольных  элементов f(x) и g(x) через их координаты в базисе: р0  = 1,   р1  = х,    р2 = х2.  Пусть f(x) = с0 + с1х + с2х2, g(x) = d0 + d1x + d2x2; тогда  f = ci pi,  g = cj pj   и   скалярное   произведение   элементов  f  и  g  можно   записать   в   виде:  ( f, g) = ijci dj,   где    ij  = (pi,  pj). Коэффициенты   ij   образуют матрицу,  которая называется матрицей Грамма. Знание элементов матрицы Грамма,  позволяет находить скалярные произведения. Находим коэффициенты    ij:  00 = (р0,  p0) = 3;    11= (р1,  p1) = 2;   22 = (р2,  p2) = 2;           01 =  10 = (р0,  p1) = 0;  02 =  20 = (р0,  p2) = 2;  12 =  21 = (р1,  p2) = 0.

Найденные  коэффициенты составляют  матрицу Грамма:   = 0 2 0, а  скалярное   произведение   элементов  f(x)   и  g(x)   через   координаты   этих  элементов в базисе р0 = 1,   р1 = х,   р2 = х2  выражается так:

(f, g) = 3с0d0 + 2с1d1 + 2с2d2 + 2с0d2 + 2с2d0.

Задача 5.  В пространстве Р2 полиномов степени не выше 2 со скалярным произведением (f, g) = f(–  1) . g(– 1) + f(0) . g(0) + f(1) . g(1) построить ортонормированный базис.  Решение.  Возьмем   в   пространстве  Р2  какой­нибудь   базис,   например,  р1  =  1,  р2  =  х,  р3  =  х2,   и  построим ортогональный базис у1, у2, у3, пользуясь процессом ортогонализации Штурма. Положим При этом    = (р2 , у1).( у1, у1)–1,  = (р3 , у1).( у1, у1)–1,   = (р3 , у2).( у2, у2)–1. Входящие сюда скалярные  произведения находим с помощью заданной формулы скалярного произведения:

Отсюда следует, что    = 0 и поэтому  у2 = р2 = х. Кроме того,   = 2/3. Далее, имеем (р3 , у2) = (–1)2 . (–1) +  02 . 0 + 12 . 1 = 0 и, следовательно,    = 0 и у3 = р3 – (2/3)р1 = х2 – (2/3).

Таким образом, построен ортогональный базис:  Нормируя элементы у1,  у2,  у3 (т.е. деля каждый из них на свою норму), получаем ортонормированный  базис е1,  е2, е3. Так как  (у1, у1) = 3,  (у2, у2) = 2,  (у3, у3) = 2/3, то Задача 6. В пространстве функций непрерывных на промежутке [0, ] скалярное произведение  введено по формуле:  ортонормировать систему f1(x) = 1, f2(x) = x,   f3(x) = x2.

Решение. Применим к заданной системе {f1, f2, f3} процесс ортогонализации Штурма: е1 = f1(х) = 1,  е2 = f1  + е1. Умножив обе части равенства скалярно на е1 и, воспользовавшись условие (е1, е2) = 0,  получим, что:

Тогда е2 = х – (/2).

Вектор е3 ищем из соотношения: е3 = f3  + е1 + е2. Для коэффициентов   и    получаем:

и получаем: е3 = f3 – ((2 – 4)/2)е1 – е2 = х2 – х + 2.

Система векторов {е1, е2, е3} – ортогональная. Для нормирования этой системы, найдем нормы  векторов  е1, е2  и  е3:

Тогда, результатом ортонормирования системы {f1, f2, f3} будет система:  Задача 7. В пространстве Р2 полиномов степени не выше 2 со скалярным  произведением  ( f, g) = f ( x ) g( x ) sinxdx  найти координаты вектора f = x  + x + 1 в ортогональном базисе  е  =  1,  е2 = х – (/2), е3 = х2 – х + 2.

Решение. І способ. Запишем вектор f  как линейную комбинацию базисных  векторов:   f = е1 + е2  +  е3. Здесь , ,    –  искомые координаты  вектора f  в базисе { е1, е2, е3}.

Умножим обе части равенства скалярно на е1    (f, е1) = (е1, е1) + (е2, е1) +  (е3, е1), и воспользуемся ортогональностью системы, т.е. тем, что (е2, е1) = (е3,  е1) = 0.  Аналогично, для  и  Значит f  в базисе  {е1, е2, е3} имеет координаты:  ІІ способ. Преобразуем функцию   f = x2 + x + 1  следующим образом:

  x2 + x + 1 = (x2 – x + 2) + x – 2 + x + 1 = (x2 – x + 2) + ( +1)х – 1 = = (x2 – x + 2) + ( + 1)(x – ) +  результаты, полученные І способом.

Задача 8. Доказать, что функции: 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, … , sinnx, cosnx образуют  ортогональный базис линейной оболочки этих функций, если скалярное произведение в указанной  линейной оболочке определено формулой:  функций.

Решение.   Обозначим   функции,    входящие в систему  так:  е0  = 1,  fk = sinkx, gm = cosmx (k, m =1,  2, 3, … , n).

Рассмотрим по парные скалярные произведения различных векторов системы:

( e0, fk ) = sinkxdx;              2)  ( e0, gk ) = coskxdx;

Равенство нулю всех записанных интегралов в 4) и 5) при k   l  и доказывает ортогональность  исходной системы функций.  Найдем нормы векторов системы:

Итак, норма каждой из функций исходной системы равна , кроме первой, для которой норма равна  Задача 9. Векторы  х1,  х2,  х3,  х4 заданы своими координатами в ортонормированном базисе: х1(1, 0,  1, – 1, 2),  х2(1, 0, 1, – 1, – 2),  х3(1, 0, 3, 0, 0), х4(0, 0, 2, 1, 6).  а) Найти ортогональный базис линейной оболочки  (х1, х2, х3, х4);  б) Найти базис ортогонального дополнения  L   к  (х1, х2, х3, х4).

Решение. а) Вначале установим базис и размерность линейной оболочки (х1, х2, х3, х4). Прежде  всего, отметим, что Отсюда заключаем, что х4 = х1–2х2 + х3, т.е. вектор х4 является линейной комбинацией векторов х1, х2, х3.  Следовательно, (х1, х2, х3, х4)=(х1, х2, х3). Чтобы  установить  линейную  независимость векторов  х1,  х2,  х3, запишем х1 + х2 +  х3 = 0. Переходя к координатной записи, получим систему уравнений , которая имеет только нулевые решения:  = = = 0. Таким образом  векторы х1, х2, х3  линейно независимы и образуют базис линейной оболочки (х1, х2, х3, х4).

Ортогонализуем  базис {х1, х2, х3} применяя процесс ортогонализации:   е1 = х1 = (1, 0. 1, –1, 2),     е2  Так как изменение длины вектора не меняет свойств ортогональности, то в качестве е2 удобно взять  вектор с целыми координатами и, отличающийся от найденного е2 постоянным множителем:  e3 = x3 e1 e2 = (1 0, 5, 4, 0). И вновь выберем в качестве  е3:

Итак векторы е1 = (1, 0, 1, –1, 2), е2 = (2, 0, 2, – 2, – 3) и  е3 = (–1, 0, 5, 4, 0) образуют ортогональный базис  (х1, х2, х3, х4).

б) Теперь найдем базис  (х1, х2, х3, х4) =  (е1, е2, е3). Если  у и  имеет координаты (у1, у2, у3, у4,  у4) то  Сравнив 1ое и 2ое уравнения, полученной системы, заключаем, что у5 = 0. При этом, так как у2 не входит ни  в одно из уравнений, то у2 – любое. Для у1, у3, у4 получили систему: , из  которой устанавливаем, что   у1 = – 3у3,    у4 = – 2у3.

Учитывая, что у2   и   у3  могут быть любыми, можно положить у2 = 1, у3 = 0  и  у2 = 0,  у3 = 1 и  получить векторы, являющиеся решением системы:  е4(0, 1, 0, 0, 0)  и  е5(– 3, 0, 1, –2, 0). Векторы е4  и е5  принадлежат  (е1, е2, е3), линейно независимы и ортогональны, т.е. {е3, е4} – ортогональный базис  (е1,  е2, е3).

Задача 10.  Векторы   х(1, 1, 1, 1, 1)   и  векторы   е1(1,  0,  1, – 1,  2),  е2(2, 0, 2, –2, –3), е3(–1, 0, 5, 4, 0) заданы своими координатами в некотором  ортонормированном базисе.

а) Найти ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую z  вектора  х  на линейную оболочку   (е1,  е2,  е3):   х = у + z,  где  у  L  =  =  (е1, е2, е3),  zL ;

б) Найти угол между вектором х и (е1, е2, е3);

в) Найти расстояние от вектора  х до (е1, е2, е3).

Решение.  а) Представим  х в виде х = у + z, где  у  L, а zL. Так как  у  L, то у = е1 + е2 +  е3 и х = е1 + е2 +  е3 + z.

Умножим   обе   части   последнего   равенства   скалярно   на  е1  и  воспользуемся   тем,   что  zL,   т.е.   (z,  е1)   =   0   и   система   {е1,  е2,  е3}  ортогональна, т.е. (е1,е2) = (е1, е3) = 0. Получим: = ( e2,e2 ) 21,   ( e3,e3 ) 21.  Тогда  y = е1(1, 0, 1, –1, 2) – е2(2, 0, 2, –2, –3) +  е3(–1, 0, 5, 4, 0) = =  (1, 0, 9, 3, 7).  В результате   z  = х – у = (1, 1, 1, 1, 1) –  (1, 0, 9, 3, 7) = =  (6, 7, –2, 4, 0).  Итак,   ортогональной   проекцией   вектора  х  на  (е1,  е2,  е3)   является  вектор   у  =  (1,  0,  9,  3,  7),    а ортогональной  составляющей –  вектор  z  = =  (6, 7, –2, 4, 0).

б) Углом между вектором    х  и   (е1,  е2,  е3)  называется угол между  вектором  х  и его ортогональной проекцией   у  на  (е1, е2, е3). Тогда  в) Расстояние между вектором   х  и  (е1, е2, е3) называется длина его  ортогональной   составляющей    z,   т.е.   d = z = ( z,z) =.   Кстати,   из  прямоугольного треугольника с катетами у и z и гипотенузой  х следует, что  4) Будет   ли   пространство   евклидовым,   если   в   трехмерном   геометрическом   пространстве   за  скалярное произведение принять:

а) произведение длин двух векторов?

б) произведение длин двух векторов на косинус угла между ними?

в) удвоенное обычное скалярное произведение этих векторов?

       а) нет;      б) да;     в)  да.       5) Можно ли в двухмерном вещественном линейном пространстве скалярное произведение (х . у)  векторов х(х1, х2) и  у(у1, у2) определить формулами:

а) (х, у) = х2 у1;                                     б) (х, у) = х1 у1 + 2х1 у2 + 10х2 у2;

в) (х, у) = х1 у2  + х2 у1;                         г) (х, у) = 2х1 у1 + 3х2 у2;

д) (х, у) = х1 у1 – 2х1 у2 – 2х2 у1 + 5х2 у2;

е) (х, у) = 7х1 у1 + 6х1 у2 + 6х2 у1 + 9х2 у2;

ж) (х, у) = 9х1 у1 – 3х1 у2 – 3х2 у1 + х2 у2;

з) (х, у) = 2х1 у1 + 2х1 у2 + 2х2 у1 + х2 у2.

 а) ,б) нет;  нарушено 10;  в) нет;  нарушено 40; г), д), е)  да;  ж) нет; нарушено 40;  з) да.   3. Доказать, что в двухмерном вещественном линейном пространстве функция  F(x,  y) =  a11x1y1  +  a12x1y2  +  a21x2y1  +  a22x2y2,   где   x1,  x2,  y1,  y2  – координаты векторов     x     и     y  в некотором базисе, задает  скалярное произведение тогда и только тогда, когда  a21 = a12,  a11 > 0,   a11a22 –  a12  > 0.

Можно ли в двухмерном комплексном пространстве скалярное произведение (x,  y)  векторов  x(х1, x2) и  y(y1, y2)  определить формулами:

а) (х, у) = х1 у1 + х2 у2;                           б) (х, у) = х в)  (х, у) = iх д) (х, у) = (3 + i)х1 y 2 + (3 – i)х2 y1 ;       е)  (х, у) =3х1 y1 + 4х2 y 2 ;  ж) (х, у) =5х   а),  б) нет;  нарушено 10;   в) нет;  нарушено 10;   г) нет; нарушено 40;  д) нет; нарушено 40;      е)  да;  ж) нет; нарушено 10;  з) да.   5. Обозначив через   х1,  х2  и  у1,  у2  координаты векторов  х  и  у в некотором базисе двухмерного  комплексного линейного пространства, найти условия на комплексные коэффициенты  a11,  a12,  a21  и  a22   необходимые  и  достаточные для того чтобы функция F(x, y) = = a11x a21x2 y1 +a22x2 y 2  определяла унитарное скалярное произведение.

       a21  =  a12;       a11 > 0;       a22 > 0;    a11 a22  – | a12 |2 > 0.      6. В пространстве полиномов степени не выше трех можно ли скалярное произведение задать так:

      А для полиномов степени не выше двух?

           n = 3, нет;  нарушено 40;        n = 2,  да.             7. В пространстве полиномов с комплексными коэффициентами степени   не выше   n  можно ли      а)   да;       б)  нет;  нарушено 40;        в)  да.       8. Показать,   что   в   линейном   пространстве   полиномов   степени   не   выше  n  с   вещественными  коэффициентами скалярное произведение  может быть задано формулами:

полиномов P и Q;  многочленов P и Q в некоторой точке х = а, а  R.

9. Можно ли принять за скалярное произведение в пространстве непрерывных функций, заданных  на соответствующих интервалах следующие выражения:

f ( x ) g( x )xdx  на  (–1, 1);                б)  f ( x ) g( x )xdx  на  (0, 1);

f ( x ) g( x )x dx   на  (–1, 1);               г)  f ( x ) g( x )dx  на  (–1, 1);     f ( x ) g ( x ) xdx  на  (0, 1);                е)   f ( ) g( ) sin d   на  (0, );  f ( x ) g( x )dx  на  (0, 1);                      з)   f ( x ) g( x ) dx  на  (0, 1);

      а)  нет;  нарушено 40;   б) да;    в) да;   г) нет;  нарушено 40;  д)  нет;  нарушено 20 и 30;            е)  да;  ж)   да;    з)  да, если V  вещественно и нет, если V комплексно;    и)  да.     10.   Найти   длину   вектора  х  арифметического   пространства   с   заданными   скалярным  а) х(5, 4, 3),          в стандартном скалярном произведении;

б) х(1, ­2, 3, 4),    в стандартном скалярном произведении;      в) х(1, 1),             (х, у) = х1у1 + х1у2 + х2у1 + 3х2у2 ;

г) х(1, –1, 2),       (х, у) = 4х1у1 + 2х1у2 + 2х2у1 + 2х2у2 – х2у3 – х3у2 + 3х3у3;

д) х(1, i),             (х, у) = 2х е) х(1+i, 1–i),      (х, у) = х                                   + (2–i)х Составить   матрицы   Грамма   соответствующих   скалярных  произведений.

11.  Найти угол между данными векторами в Е3 со стандартным скалярным произведением:

а)  (2, – 3, 1), (4, – 6, 2);     б) (1, – 1, 2), (1, 0, 1);     в)  (1, 0, –1), (–1, 2, 2).         а)   0;            б)    /6;            в)  3 /4.       12.  Найти угол между данными векторами в Е4 со стандартным скалярным произведением:

а)  (1, –1, 1, –1), (–1, 1, –1, 1);     б) (–1, 2, 3, –4), (5, 0, –2, 1);     в)  (1, 2, 2, 1), (1, 1, 1, 2).               а)   ;            б)   2 /3;            в)  arccos  7 10.       13.   Найти угол между векторами в  Е2  со скалярным произведением     (х,  у) =  х1у1  +  х1у2  +  х2у1  +  а) (1, 0), (0, 1);    б) (1, 0), (–1, 1).            а)   arccos  1 / 3 ;            б)    / 2.        14.  Найти угол между векторами в Е3 со скалярным произведением   (х, у) = 4х1у1 + 2х1у2 + 2х2у1 +  2х2у2 – х2у3 – х3у2 + 3х3у3:

а) (1, 0, 0), (0, 1, 0);    б) (–1, 0, 0), (–1, 2, 2).            а)    / 4;         б)    / 2.        15. В пространстве Е4  в стандартном  скалярном произведении опре­ делить  (х, у)  и угол между векторами х и  у:

а) х(2, 1, 3, 1), у(1, 2, –2, 2);       б) х(1, 2, 2, 3), у(3, 1, 5, 1);

в) х(1, 1, 1, 2), у(3, 1, –1, 0).                а)    0,   / 2;         б)   18,   / 4;         в) 3,  arccos  3 / 77.        16.   В   стандартном   скалярном   произведении   найти   нормированный   вектор,   ортогональный   к  векторам (1, 1,1,1), (1,–1, –1, 1), (2, 1, 1, 3).

       один из векторов   ± 0,1 / 2, 1 / 2, 0.           17.   Найти   какой­нибудь   нормированный   вектор,   ортогональный   к   данной   системе   векторов  арифметического пространства с заданным скалярным произведением:

а) (2, 2, 1), (–2, 2, 3)          в стандартном скалярном произведении;

б) (1, 2, 1, 0), (1, 1, 1, 1)    в стандартном скалярном произведении;      в) (1, –1, 2),                        в стандартном скалярном произведении;            г) (1, 1),                              (х, у) = х1у1 + х1у2 + х2у1 + 3х2у2 ;

д) (1, 2, 0), (2, 0, –1),      (х, у) = 4х1у1+ 2х1у2+2х2у1+2х2у2–х2у3–х3у2+3х3у3;

е) (1+i, 1–i),                       в стандартном скалярном произведении;

ж) (–1, 1+i, 0),                   в стандартном скалярном произведении.

  а) 1/3(1, ­2, 2);    б) например, 1/2(1, ­1, 1, ­1);  в) например,  1 / 2 (1, 1, 0);   г)  1 / 3 (2, ­1);        д)  1 / 7 (1, ­1, 1);   е) 1/2(1+i, ­1+i);  ж) 1/2(1–i, 1, –i).         18.  Применить   процесс   ортогонализации   к   линейно­независимой  системе векторов вещественного арифметического пространства со  стандартным скалярным произведением  а) (1, –3, 1), (4, –5, 3);                  б) (1, 0, –1, 3), (2, 1, –1, 3);

в) (2, 0, 1), (4, –5, 3),(1, 7, –3);    г) (1, 2, 2), (1, 1, 0), (0, 1, –4);

д) (2, 1, –2), (4, 1, 0), (0, 1, 0);     е) (1, 1, –1, 0), (1, 2, 0, –1), (0, 0, 1, 0).

18. а) (1, ­3, 1), (2, 1, 1);      б) (1, 0, ­1, 2), (1, 2, 1, 0);     в) (2, 0, 1), (1, ­1, ­2), (1, 5, ­2);                г) (1, 2, 2), (2, 1, ­2), (2, ­2, 1);       д) (2, 1, ­2),  (1, 0, 1), (­1, 4, 1);             е) (1, 1, ­1, 0), (0, 1, 1, ­1), (1, 0,1,1).   19. Система векторов задана в ортонормированном базисе евклидового  или   унитарного   пространства   своими   координатами.   Пользуясь  процессом   ортогонализации   Штурма,   построить  ортонормированный базис в линейной оболочке этих векторов:

а) (1, 2, 1), (4, 4, 1), (–1, –3, –1);  б) (1, 1, –1), (–4, 0, 5), (–8, 2, 0);

в) (3, –1, –2), (4, 0, –1), (5, 1, 0);  г) (1, 2,–1, 1), (–5, –5, 4,–2), (–3, 6, 2,0);

д) (1, 0, 1, –1), (6, 0, 4, –5), (3, 2, –5, 4);      е) (1, –3, 2, 1), (–1, 7, –3, –2), (2, –2, 3, 1);

ж) (1, –1, 1, –1), (4, –2, 4, –2), (–2, 7, –4, 7), (2, 7, 2, 5);

з) (i, 1, – i), (2, 0, –1), (0, 2, – i);

и) (1, –1, 1 + i), (1, –i, –2 + i), (1 + 2i, 4 – i, –1).

 а)    1/ 6 (1, 2, 1),  1 / 2 (1, 0, ­1),  1 / 3 (1, ­1, 1);     б)  1 / 3 (1, 1, ­1),  1/ 14(­1, 3, 2),      1/ 42(­5, 1, ­4);  в)  1/ 14(3, ­1, ­2),  1 / 3 (1, 1, 1); г)  1/ 7 (1, 2,­1, 1), 1/ 7 (­2, 1, 1, 1),      1/ 14(0, 2, 1,­3); д) 1 / 3 (1, 0, 1,­1), 1 / 2 (1, 0, ­1, 0), 1/ 10(1, 2, 1, 2); е) 1/ 15(1, ­3, 2, 1),     1 / 3 (1, 1, 1, 0);    ж) 1/2(1, ­1, 1, ­1),  1/2(1, 1, 1, 1),   1 / 2 (1, 0, ­1, 0),   1 / 2 (0, 1, 0, ­1);      з)    1 / 3 (i, 1, ­i),   1 / 2 (1, i, 0);  и) 1/2(1, ­1, 1+i),  1 / 3 (1­ i, 0, ­1),  3 / 6 (1, 3, 1+i).     20.  Исходя   из   системы   векторов  f1,    f2,    f3    арифметического  пространства   с   заданным   скалярным   произведением   с   помощью  процесса   ортогонализации   и   нормировки   построить  ортонормированный базис е1, е2, е3, если:  а) f1(1, 0, 0), f2(0, 1, 0), f3(0, 0, 1);

    ) (х, у) = 4х1у1 + 2х1у2 + 2х2у1 + 2х2у2 – х2у3  – х3у2 + 3х3у3;

    ) (х, у) = х1у1 + 2х1у2 + 2х2у1 + 5х2у2 – 2х2у3  – 2х3у2 + 7х3у3;

б) f1(1, 0, –2), f2(0, 1, –2), f3(4, 0, 0);

    (х, у) = 4х1у1 + 2х1у2 + 2х2у1 + 2х2у2 – х2у3  – х3у2 + 3х3у3;

в) f1(0, 1, –1), f2(2, 0, 1), f3(–2, 4, 0);

    (х, у) = 5х1у1 – х1у2 – х2у1 + х2у2 + 2х1у3  + 2х3у1 + 4х3у3.

    а. )   (1/2, 0, 0), (­1/2, 1, 0),  1/ 2 2 (­1, 2, 2);     а .) (1, 0, 0), (­2, 1, 0),  1 / 3 (­4, 2, 1),               б) 1/4(1, 0, ­2),  1 / 2 (­1, 1, 0), 1/4(­1, 4, 2),       в)  1/ 5 (0, 1,­1),  1/ 2 3 (­2, ­2, 1),                      1/ 2 5 (0, 4, 1).  21.   Пусть  е1,  е2,  е3  –   ортонормированная   система   базисных   векторов   трехмерного   унитарного  пространства. Показать, что система векторов:  а1  = 1/3(2е1+2е2–е3);  а2  = 1/3(2е1–е2+2е3);  а1  =  1/3(е1–2е2–   2е3)   также   образует   ортонормированную   систему   базисных   векторов   этого  22.  Ортонормировать базис: i – j,   i + 2j,  i + j – k.

     1 / 2 (i – j),       1 / 2  (i + j ),     ­ k.       23.   Применяя   процесс   ортогонализации,   построить   ортогональный   базис   подпространства,  натянутого на данную систему векторов:

а) (1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0);   б) (1, 2, 2, –1), (1, 1, –5, 3), (3, 2, 8, –7);

в) (2, 1, 3, –1), (7, 4, 3, –3), (1, 1, –6, 0), (5. 7, 7, 8).

    а)   (1, 2, 1, 3), (10, ­1, 1, ­3), (19, ­87, ­61, 72);     б) (1, 2, 2, ­1), (2, 3, ­3, 2), (2, ­1, ­1, ­2);           в)  (2, 1, 3, ­1), (3, 2, ­3, ­1), (1, 5, 1,10).   24.  В ортонормированном базисе V4 дополнить пару векторов до ортогонального базиса:

а) (1, 1, 1, 2), (1, 0, 1, –1);    б) (1, –1, 2, 0), (–1, 1, 1, 3);

в) (1, 2, 1, 2), (1, 1, –1, –1);  г)  (4, 0,–1, 0), (1, –6, 1, 2).     а)   (­1, 0, 1, 0), (1, ­6, 1, 2);  б) (1, 1, 0, 0), (1, ­1, ­1, 1);   в) (1, ­1, ­1, 1), (2, ­1, 2, ­1);          г)   (1, 1, 1, 2), (1, 0, 1, –1).     25. Построить ортонормированный базис пространства, приняв за два вектора этого базиса векторы  е1(1/2, 1/2, 1/2,1/2), е2 (1/6, 1/6, 1/2,–5/6).

      е1,  е2,      е3 =  1 / 26 (0, ­4, 3, 1),          е4 =  1 / 3 26 (­13, 5, 6, 2).      3)  Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны и дополнить их до ортогональных базисов:

а) (1, –2, 2, –3), (2, –3, 2, 4);          б) (1, 1, 1, 2), (1, 2, 3, –3).

          а)   (2, 2, 1, 0), (5, ­2, ­6, ­1);              б) (1, ­2, 1, 0), (25, 4, ­17, ­6).       4)  Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до  ортонормированных базисов:

а) (2/3, 1/3, 2/3), (1/3, 2/3, –2/3); б) (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), (1/2, 1/2,–1/2, –1/2).

         а)   (2/3, ­2/3, ­1/3);              б) (1/2, ­1/2, 1/2, ­1/2), (1/2, ­1/2, ­1/2, 1/2).          5)   В   пространстве   всех   многочленов   степени   не   выше   2   на   интервале   (0,   1)   скалярное  унитарное   пространство   размерности   3.   Показать,   что   если   в   этом   пространстве  ортонормировать последовательность 1, х, х2, то получим 1,  ортонормированную   систему   в   пространстве   со   скалярным   произведением  ( f, g ) = f ( x ) g ( 2 ) dx. Эти полиномы называются полиномами Чебышева I­го рода.

7)  Многочлены, определенные формулами:

называются   многочленами   Лежандра.  Доказать,   что   многочлены   Лежандра  L0,  L1,   …  ,  Ln  образуют ортогональный базис в евклидовом пространстве  Рn  многочленов степени не выше  n  со  скалярным   произведением   8)  В пространстве полиномов от  х  степени не выше 3 функции 1, х,  х2,  х3    образуют базис.  Ортогонализовать этот базис, если скалярное произведение, задано формулой:

В   результате   ортогонализации   системы   векторов     1,    х,    х2,    х3      с  помощью     указанных     скалярных     произведений,     получим     первые  четыре а) полинома Лежандра;   б) полинома Чебышева I­го рода; в)  полинома  Эрмита.

9)   Пусть   V   –   пространство   непрерывных   функций   на интервале (0, + ), в котором  определено скалярное произведение            Дан базис этого пространства {е, xе, x2е­x, …}. Проверить, будет   ли этот базис ортогональным и, если он не ортогонален, то найти   первые четыре элемента ортогонального базиса.

10)   Найти базис ортогонального дополнения  L   подпространства  L, натянутого на векторы:  а1(1, 0, 2, 1),  а2(0, 1, –2, 1).

     Например,     b1(2, ­2, ­1, 0),    b2(1, 1, 0, ­1).       11)   В   трехмерном   пространстве   векторов   построить   ортогональное   дополнение   к  подпространству векторов: (i – j).       (i + j) +   k.     12)  Найти базис ортогонального дополнения L  подпространства L,       Например,     (1, 0, 6, 0), (3, 2, 0, ­2).       13)   В   пространстве   полиномов   степени   не   выше   3   построить  ортогональное   дополнение   к   подпространству   полиномов,  обращающихся   в   нуль   при  х  =   0.   За   скалярное   произведение  а) х ;    б) х ;      в)  а3х3 + а2х2 + а1х + а0.

       а)   (0, 3/5, 0, 1);    б) (1/3, 0, 1, 0);       в)  (а0 +а2/3,  а1 +(3/5)а3,  а2,  а3 ).          15)   Найти ортогональную проекцию вектора   х3 –  х  + 1 на (1, х),  если скалярное произведение задано в виде:

       а)   1 – (2/5)х;    б) х – (2/7)х.                   16)  Найти проекцию вектора   х3 – iх + 1 на   (1, х) со скалярным  17)   Подпространство  L  евклидового   пространства   является  ортонормированном базисе пространства своими координатами.  составляющую относительно  L  вектора  х, заданного в этом же  а) а(10, –20, 10),  х(0, 1, 0);       б)   а1(1, 1, 1), а2(4, 0, 5),   х(7, –3, –1);  в) а(4, 3, 2, 1), х(1, –1, 1, –1); г) а1(1, –1, 1, 0), а2(2,–1, 0, 1), х(1, 0, 2,–2);

д)  а1(1, –1, 1, 1), а2(1, 4, –1, 0),  х(2, 1, 1, 0);

е) а1(1, 0, –1, 1), а2(3, 3, –2, 1),  а3(–1, 6, 3, –5),  х(1, 4, 0, 2);

ж) а1(2, 0, –1, –1), а2(1, –1, 1, –1), а3(1, 1, –1, –1),  х(1, 2, 0, –1);

з) а1(1, 1, 1, 1), а2(5, 1, 1, 3), а3(3, –1, 1, 0),  х(5, 4, –3, –2).

  а)  1/3(­1, 2, ­1), 1/3(1, 1, 1);   б) (2, ­2, 3), (5, ­1, ­4);   в) 1/15(4, 3, 2, 1), 1/15(11, ­18, 13,­       г)  (0, ­1, 2, ­1), (1, 1, 0, ­1);  д) 1/2(3, 2, 1, 2), 1/2(1, 0, 1, ­2);   е) (2, 3, ­1, 0), (­1, 1, 1, 2);        ж)   1/2(1, 3, ­1, ­3), 1/2(1, 1, 1, 1);     з) (3, 0, ­1, 2), (2, 4, ­2, ­4).            18)   Найти   ортогональную   проекцию  у  и   ортогональную  составляющую z вектора х на (а1, а2, … , аk):

а) х(4, –1, –3, 4),   а1(1, 1, 1, 1),  а2(1, 2, 2, –1), а3(1, 0, 0, 3);  б) х(5, 2, –2, 2),   а1(2, 1, 1, –1),  а2(1, 1, 3, 0), а3(1, 2, 8, 1);  в) х(7, –4, –1, 2), а L задано уравнениями:  3 x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 = 0.

  а)  у = 3а1–2а2 = (1,­1,­1,5);     z = (3,0,­2,­1);       б) у = 2а1–а2 = (3,1,­1,­2);    z = (2, 1,­1, 4);          в) у = (5, ­5, ­2, ­1);    z = (2, 1, 1, 3).          19)   Найти  ортогональную  проекцию у и ортогональную составляю­ щую  z  вектора  х на  подпространство  L  натянутое  на векторы  а1, а2, … , аk:

а) х(5, 2, –2, 2),   а1(2, 1, 1, –1),  а2(1, 1, 3, 0);  б) х(–3, 5, 9, 3),   а1(1, 1, 1, 1),  а2(2, –1, 1, 1), а3(2, –7, –1, 1).         а)  у (3, 1, ­1, ­2),   z (2, 1, ­1, 4);       б) у(1, 7, 3, 3),     z(­4, ­2, 6, 0).         20)   Линейное  подпространство  L  арифметического пространства  а) х(0, 1, 1),   f1(1, 0, 1),  f2(0, 1, 0);    б) х(5, 1, –2),   f1(1, –1, 2),  f2(1, 1, 3);  в) х(1, –1, 0), f1(0, 2, 1),  f2(1, 3, 0);   г) х(–1, 1, 2),   f1(1, 2, 1),  f2(2, 1, –1);

д) х(–2, 2, 1, 0),   f1(1, 2, 3, 0),  f2(1, 0, 1, –2);  е) х(1, 0, 2, 1),   f1(3, 3, –1, –1),  f2(2, 1, 0, –2);  ж) х(1, 1, 0, 1),   f1(1, –1, 1, –1),  f2(1, 1, 3, 3), f3(3, –2, 4, –1);  з) х(1, 1, 1, 3),   f1(1, –1, 1, –2),  f2(1, 0, 1, –1), f3(3, 1, 2, –1);   а) /6; б) /2; в) arccos 3 7 ; г) 0; д) arccos 1 / 3 ;  е) /2;  ж) /4;  з) /6.     21)  Найти угол между  (а1, а2, … , аk)  и вектором  х:

а) х(1, 3, –1, 3),   а1(1, –1, 1, 1),  а2(5, 1, –3, 3);     б) х(2, 2, –1, 1),   а1(1, –1, 1, 1),  а2(–1, 2, 3, 1),   а3(1, 0, 5, 3);

в) х(2, 2, 1, 1),   а1(3, 4, –4, –1),  а2(0, 1, –1, 2).

           а)    /4;     б)   /2;    в) /3.           22) Определить     расстояние     от     точки    х    до     линейного  многообразия а0 + 1а1 + 2а2  +… + m аm:

а) х(1, 2, –1, 1),   а0(0, –1, 1, 1),  а1(0, –3, –1, 5),   а2(4, –1, –3, 3);

б) х(0, 0, 0, 0),   а0(1, 1, 1, 1),  а1(1, 2, 3, 4).

           а)  7 ;        б)   2 3.            23)  Найти расстояние от точки, заданной вектором х до линейного  многообразия, заданного системой уравнений:

        а) х(4, 2, –5, 1);                                          б) х(4, –1, 3, 7);           а)    5;          б)   7.        24)  Рассматривается пространство полиномов, степени не выше n.  расстояние   от   начала   координат   до   линейного   многообразия  состоящего из полиномов: хn + а1хn­1 + а2 хn­2 +… + аn­1х +  аn .

25)   Доказать,   что   определитель   Грамма   не   изменится   при  применении к векторам  а1, а2, … , аk  процесса ортогонализации,  т.е.   в   результате   ортогонализации   векторы    а1,  а2,   …  ,  аk   перейдут в векторы b1, b2, …, bk и G(а1, а2, … , аk) = G(b1, b2, … ,  bk)   =   (b1,  b1)(b2,b2)…(bkbk).   Пользуясь   этим   выяснить  19.    G(а1, а2) = квадрату площади параллелограмма на векторах а1, а2;                   G(а1, а2, а3) = квадрату объема параллелепипеда на векторах а1, а2, а3.       26)   Пусть есть система линейно­независимых векторов  g1, g2, … ,  gn. Доказать, что векторы е1, е2, … , еn полученные из g1, g2, … ,  gn  процессом ортогонализации имеют вид:  27)   С   помощью   процесса   ортогонализации   Грамма   (см.   зад.   48),  ортогонализовать следующие системы векторов:   а) (1, 2, 1), (4, 4, 1), (–1, –3, –1);   б) (1, 1, –1), (–4, 0, 5), (–8, 2, 0);

в) (3, –1, –2), (4, 0, –1), (5, 1, 0).               а)    1/ 6 (1, 2, 1),  1 / 2 (1, 0, ­1),  1 / 3 (1, ­1, 1);     б)  1 / 3 (1, 1, ­1),  1/ 14(­1, 3, 2),                  1/ 42(­5, 1, ­4);         в)  1/ 14(3, ­1, ­2),  1 / 3 (1, 1, 1).        

ЛИТЕРАТУРА

9. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

10. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971.

11. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1970.

12. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1973.

13. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. – М.: Наука, 1969.

14. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985.

15. Бутузов   В.Ф.,   Крутицкая   Н.Ч.,   Шишкин   А.А.   Линейная   алгебра   в   вопросах   и   задачах.   –   М.:  Физматлит, 2001.

16.Проскуряков И.В.  Сборник задач   пол линейной алгебре. –  М.: Наука,  ЧАСТЬ 

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Def: Пусть задана квадратная матрица А   nго порядка с элементами aij,  где  i  определяет   номер   строки,  j  –   номер   столбца   и   при   этом   через  хj  обозначены столбцы матрицы А, т.е.     Определителем   (det  A)   квадратной   матрицы  А  со   столбцами  хj  называется   функционал  (х1,  х2,…  ,  хn)   относительно   столбцов   этой  матрицы который:  а) линеен по каждому аргументу (полилинеен):  (х1, …, хi1 + хi2, … , хn) = (х1, … , хi1, … , хn) + (х1, … , хi2, … , хn);

б)   абсолютно   антисимметричен   (антисимметричен   по   любой   паре  аргументов): (х1, … , хi, … , хj, … , хn) =  – (х1, … ,  хj, … ,  хi, … , хn);

в) подчиняется условию нормировки:  ( e1,e2,,en ) = = 1.

Тогда,   учитывая   общий   вид   полилинейного   антисимметричного  функционала, имеем:

где N(j1 j2 … jn) – количество беспорядков в перестановке  j j j j Говорят, что в перестановке имеется беспорядок, если  jk > jm  и  k  m.

35.   Доказать,   что   множество   всех   собственных   векторов   линейного  оператора, принадлежащих одному и тому же собственному значению  0,  является линейным подпространством инвариантным относительно А.

36. Доказать, что линейное подпространство, натянутое на любую систему  собственных векторов оператора А, инвариантно относительно А.

37. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором  базисе своими матрицами:

а)  ;                   б)  ;                в)      а)   1 = 1,  с(1, –1); 2 = 3,  с(1, 1); с   0;     б)   1 = 7,  с(1, 1); 2 = –2,  с(4, –5); с   0;           в) 1 = ai,  с(1, i); 2 = –ai,  с(1, –i); с   0;   г)  = 2,  с1(–2, 1, 0) + с2(1, 0, 1);  c1 + c2 0 ;     д) 1= –1, с(1, 1,–1); 2 = 1, с(–2, 0, 1); 3 = 2, с(1, 0, 0); с   0; е) 1 = 1, с1(1, 0, 1)+с2(0, 1,         2 = –1,  с(1, 0, –1); с   0;  c1 + c2 0 ;    ж) 1 = 1, с(3, –6, 20); 2 = –2, с(0, 0, 1); с   0;          з) 1= 2, с(1, 0, 0); 2 = 1, с(1, 0, 1); 3 = –1, с(0, 1, –1); с   0;   и) 1 = –1, с(1, 0, 0); 2 = 1,         с1(1, 0, 1)+с2(0, 1, 1); с   0;  c1 + c2 0 ; к)  = 2, с(1, 0, 0);  л)  = 2, с1(1, 2, 0)+с2(0, 0, 1);         c1 + c2 0 ; м) 1= –1, с(1, 1, 1); 2 = 0, с(1, 2, 3); с   0.        38.   В   пространстве   непрерывных   и   дифференцируемых   на   всей   оси  функций  f(x)  найти  собственные числа и собственные векторы  оператора                =  – любое число;  f(x) = cex, c   0.      39. Найти собственные числа и собственные векторы операторов, заданных в некотором  ортонормированном базисе матрицами:

14. Собственные значения у s1, s2, s3 – одинаковые:  1 = 1, 2 = 0, 3 = –1;                   собственные векторы:  y   s1:  c1(0, –i, 1),  c2(1, 0, 0), c3(0, i, 1),  ci   0;                                                             y  s2:  c1(i, 0, 1), c2(0, 1, 0),  c3(–i, 0, 1),  ci   0;                                                              y  s3:    c1(–i, 1, 0), c2(0, 0, 1), c3(i, 1, 0),  ci   0.      40. Найти собственные числа и собственные векторы операторов, которые в некотором  ортонормированном базисе, заданы матрицами:

15. Собственные значения операторов  s1, s2, s3 – одинаковы:  1 = 1, 2 = 0, 3 = –1;                  собственные векторы:  для  s1:  c1(1, 2, 1),  c2(1, 0, –1), c3(0, – 2, 1),  ci   0;                                                            для  s2:  c1(1, i 2, –1), c2(1, 0, 1), c3(1, –i 2, –1),  ci   0;                                                           для  s3:  c1(1, 0, 0), c2(0, 1, 0), c3(0, 0, 1),  ci   0.      41. Дана матрица оператора  А  в некотором базисе и полином  f(x). Найти  собственные числа и собственные векторы оператора f(А):

    а)   1 = 6(1 – i),  с(1, i); 2 = 6(1 – i),  с(1, –i); с   0;     б)   1 = 14,  с(1, 2, 2); 2 = 3 = 10,          с(1, 2, 1); с   0;     в) 1 = 9,  с(1, 0, 0); 2 = –1,  с(1, 0, 1); 3 = –15,  с(0, 1, –1); с   0. 

БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 

В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Def:   Если   в  линейном   вещественном   пространстве  V    задан  закон  А  такой, что  х, уV   = А(х, у)R  и  1. А(х + у, z) = А(х, у) + А(у, z);

2. А(х, у + z) = А(х, у) + А(х, z),  то говорят, что в линейном пространстве V  над числовым полем R задан билинейный функционал или  билинейная форма А(х, у).

Матрица  A = ij i, j =1  называется матрицей билинейной формы А(х, у) в базисе  Билинейная форма  называется  симметричной,   если   х,  уV  А(х, у) = А(у, х),   и  антисимметричной, если х, уV  А(х, у) = –А(у, х).

Симметричной билинейной форме соответствует симметрическая матрица (аij = aji), а  антисимметричной – кососимметрическая (аij = – aji).

Т. Всякая билинейная форма может быть однозначно представлена в       виде суммы симметричной и антисимметричной билинейных  Если в билинейной форме А(х, у) положить у = х, то получим частный случай билинейной формы –  квадратичную форму А(х, х).  Каждая билинейная форма однозначно порождает квадратичную форму но не наоборот. По  заданной квадратичной форме невозможно однозначно восстановить билинейную форму, из которой она  получилась. Однако, если известно, что билинейная форма, породившая квадратичную – симметрична, то  эта билинейная форма определяется однозначно.  Билинейная симметричная форма, порождающая квадратичную, называется билинейной формой  полярной к заданной квадратичной форме.

Классификация квадратичных форм.

а) Если определитель матрицы квадратичной формы отличен от нуля, то форма называется  невырожденной;

б) Форма называется положительно (отрицательно) определенной, если  х        А(х, х) > 0  (А(х, х)  0  и  А(у, у)  0  i = 1, 2, … , n;

б) Для того, чтобы А(х, х) была отрицательно­определенной необходимо и достаточно, чтобы    1  0,  3 0,   2  = 3 > 0,   3  = detA  = 3 (a– 1).  Пользуясь   критерием   Сильвестра,   находим,   что   данная   квадратичная  форма является положительно определенной тогда и только тогда когда  3  > 0, т.е. при  а > 1.

Задача   8.  Доказать,   что   скалярное   произведение   в   евклидовом  пространстве   представляет   собой   симметричную,   билинейную   форму,   у  которой   соответствующая   квадратичная   форма   является   положительно  определенной.

Решение.  Скалярное   произведение   (х,  у)   элементов  х  и  у  вещественного  линейного   пространства   является   числовой   функцией   аргументов  х  и  у,  удовлетворяющей следующим четырем аксиомам скалярного произведения.

1°. (х, у) = (у, х).      2°. (х + у, z) = (x, z) + (у, z).      3°. (х, y) = (x, y).   4°. (х, x) > 0, если  x   ,  и (х, x) = 0, если  x = .  Из   аксиом   2°  и   3°  следует,   что   скалярное   произведение   (х,  у)     есть  линейная функция по первому аргументу  х. Пользуясь аксиомами 1°  – 3°,  нетрудно   показать,   что   скалярное   произведение   является   линейной  функцией и по второму аргументу. Действительно, в силу аксиом 1°  и 2° имеем: (х,  у  +  z) = (у  +  z,  x) = (у,  х) +   (z,  x) = (х,  у) + (х,  z), а используя  аксиомы  1° и 3° устанавливаем, что справедливы равенства:  Таким   образом,   из   аксиом     1°  –   3°    следует,   что   скалярное  произведение   (х,  у) есть симметричная билинейная форма. Из аксиомы 4° вытекает   положительная   определенность   соответствующей   квадратичной  формы (х, х):  (х, х)   0, причем (х, х) = 0 только если х = .

Замечание.   Отметим,   что   в   любом   линейном   вещественном  пространстве   скалярное   произведение   элементов   можно   ввести  бесконечным   числом   способов,   задавая   в   некотором   базисе   различные,  симметричные   билинейные   формы   с   положительно   определенными  матрицами.          §4. Задачи и упражнения для самостоятельной работы A( P,Q ) = ak b j. Доказать, что A(P, Q) – билинейная форма в пространстве полиномов  степени не выше трех и найти ее матрицу в базисе:  е1 = 1, е2 = х, е3 = х2 – , е4 = х3 – х.               2. В пространстве полиномов степени не выше двух задана билинейная форма A(P, Q), где P и Q – любые  полиномы из указанного пространства. Найти матрицу этой билинейной формы в базисе е1,  е2, е3 и  записать A(P, Q) через координаты векторов P и Q в этом базисе:

        a0, a1, a2,  и b0, b1, b2  – координаты Р и Q  в базисе е1,  е2, е3;      б)  2 3 0 ;           A(P, Q) =  2a 0b0 + a1b1 + a 2b2, где  a0, a1, a2,  и b0, b1, b2  – координаты Р и Q            в базисе  е1,  е2, е3 .                  3. Составить матрицу данной билинейной формы и записать соответствующую ей квадратичную форму в  линейном n­мерном пространстве:

а) х1у1     (n = 1);                         б) х1у1     (n = 2);

в) 2х1у1 – х1у2 – х2у1 – 5х2у2   (n = 2);

г) х1у2 – 3х1у3 + 7х2у3 + х2у1 – 3х3у1 + 7 х3у2 + х3у3    (n = 2).          2x1x 2 6x1x3 + 14x2x3 + x3.         4. Найти  симметричную билинейную форму А(х, у) соответствующую данной квадратичной форме:

                б)  A( x, y ) = x1y1 + x 2 y 2 + x3 y 3 2x1y 2 2x 2 y1 + x 2 y 3 + x3 y 2 ;

                в)  A( x, y ) = 3x1y1 + x 2 y 2 x3 y 3 + 9x1y 2 + 9x 2 y1 + 10 1y 3 + 10 3 y1 ;                       г)  A( x, y ) = x1y1 x 2 y 2 + x1y 2 + x 2 y1 3x1y 3 3x3 y1 + 2x 2 y 3 + 2x3 y 2.         5. По заданной квадратичной форме в n­мерном линейном пространстве восстановить симметричную  билинейную форму:

а)  3x1    (n = 1);                         б) –18х1х2 +  9x2     (n = 2);

17. а)  –3х1у1;  б) 9(–х1у2 – х2у1 +х2у2);  в) х1у1 +2х1у2 +2х2у1 +2х1у3 +2х3у1 +5х2у2 +6х2у3 +6х3у2+7х3у3;       г)  2х1у1 – 3х1у2 – 3х2у1  – 3х2у2.         6. Записать квадратичную форму с заданной матрицей:

      а)  5x1 4x1x 2 + 8x2 ;   б)  4x1 + 10x1x 2 4x 2 ;     в)  4x1 + 4x1x 2 + 8x1x3 3x 2 + 4x3 ;  е)  2 x1 x1x 2 + x 2 x 2 x3 x 2x 4 + x3 + x 4.            7. Данную квадратичную форму привести к каноническому виду методом Лагранжа. Найти ранг,  положительный и отрицательный индексы инерции. Какова определенность форм:

  а)  1 + 2 ;  2, 2, 0, +;     б)  1 2 ; 2, 1, 1, ?;    в)  1 2 ;  2, 1, 1. ?;     г)  1 ; 1, 1, 0, + = ;

     д)  1 2 ; 2, 0, 2, –;  е)  1 ; 1, 0, 1, – =;   ж)  1 + 2 3 ; 3, 2, 1, ?;    з)  1 + 2 + 3 ;           3, 3, 0, +;   и)  1 2 3 ; 3, 1, 2, ?;  к)  1 2 3 ; 3, 1, 2, ?;     л)  1 + 2 ; 2, 2, 0, + = ;

          6, 4, 2, ?;  п)  1 ; 1, 1, 0, + = ;  р)  1 2 3 ; 3, 0, 3, – .      7. Доказать, что квадратичная форма  А(х, х),  тогда  и только тогда является  положительно  определенной, когда ее матрица представляется в виде А = СТС, где С – невырожденная вещественная  матрица.

9. Какими свойствами должна обладать билинейная форма  A значение от координат любых двух векторов х(1, 2, … , n)  и   у(1, 2, … , n) вещественного линейного  пространства Vn в некотором базисе е1, е2, … , еn можно было бы принять за скалярное произведение этих  векторов, определяющее n­мерное евклидово пространство. Чему равны скалярные произведения  векторов выбранного базиса?

     Билинейная форма должна быть симметричной (aik = aki) и квадратичная форма          A( x, x ) = i aik i k – положительно определена (ei,  ek) = aik  i, k = 1, 2, … , n.      10. Определить число положительных и отрицательных коэффициентов в каноническом виде  квадратичной формы:

            а) 1+, 1–;         б) 3+;         в) 3+, 1–;       г) 2+, 2–;          д) 1+, 1–.      11. Найти нормальный вид следующих квадратичных форм:

г) х1х2 + х1х3 + х1х4 + х2х3 + х2х4 + х3х4;

       а)  y1 + y2 y3 ;  б)  y1 y 2 y3 ;  в)  y1 y 2 ;  г)  y1 y 2 y3 y 4 ;  д)  y1 + y 2 y3.   12. Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для  следующих квадратичных форм. (Ввиду неоднозначности преобразования, ответ может, получиться  разным):

д)  12 1 3x2 12 3 + 12 1x2 24 1x3 + 8x2x3 ;   е) х1х2 + х2х3 + х3х4 + х4х1;

   а)  y1 + y 2 y3, х1 = у1 – у2+ у3, х2 = у2 – у3, х3 =  у3;   б)  y1 + y 2 y 3,  х1 =  у1+у2,        х2 =у2 + у3,  х3 = –у2 +у3;    в)  y1 y 2 y 3,  х1 = у1 – у2 – у3,  х2 = у1 + у2 – у3,  х3 = у3;         г)  y1 + y 2 y 3,  х1 =  у1– у2+ у3,  х2 = – у2 + у3,   х3 =  у2 +  у3;      д)  y1 + y2 y3,  х1 = – у1 – у2+ у3,  х2 = – у1 + у2,  х3 =  у1+ у2;     е)  y1 y 2,       х1 =  у1 – у2  – у3,    х2 = у1 + у2 – у3,    х3 =  у3,  x4 =  у4.        13. Какие из приведенных ниже квадратичных форм являются положительно определенными:

        а) да;         б) нет;          в)  да;       г) нет;            д) нет.     14. При каких значениях параметра , следующие квадратичные формы являются положительно  определенными:

        а)  > 2;         б)     1,   0 при  = 1,  0).

10°.  Собственные   значения   положительного   (положительно  определенного) эрмитового оператора неотрицательны (положительны).

Def.  Корнем  mй  степени   (  m  –   натуральное   число)   из   оператора  А  называется оператор В такой, что Bm = A.

11°.  Если  А  –  положительный  эрмитов оператор  (А    0), то  m существует   положительный   эрмитов   оператор   B = m A.   При   этом   в  собственном ортонормированном базисе оператора А матрица оператора В  имеет диагональный вид и на диагонали стоят   m k, где  k  – собственные  значения оператора А.

Def.  Если  АL(V,  V)   и  х,  уV    (Ах,  Ау)   =   (х,  у),   то   оператор  А  называется:   а) в унитарном пространстве – унитарным; б) в евклидовом  пространстве – ортогональным.

   °   Для   того   чтобы   оператор  АL(V,  V)   был   унитарным  Т  .

(ортогональным), необходимо и достаточно, чтобы А* = А–1 (АА* = Е).

Def. Оператор АL(V, V) называется нормальным, если А*А = АА*.

Примечание: любой унитарный и ортогональный операторы являются  нормальными.

   °   Если  А  – нормальный оператор, то для  А  и  А* в пространстве  V  Т  .

существует   ортонормированный   базис,   состоящий   из   общих  собственных векторов операторов А и А*.

   °   Для нормального оператора  А  существует ортогональный базис, в  Т  .

котором   оператор   имеет   диагональную   матрицу,   и   наоборот,   если  АL(V, V) имеет ортогональный базис из собственных векторов, то он  нормален.

   °   Ортогональный   и   унитарный   операторы   имеют   полную  Т  .

ортонормированную систему собственных векторов.

Def.  Матрица  А,   у   которой  aijC,  называется   унитарной,   если  А*А=АА*=Е. Матрица А, у которой aijR, называется ортогональной, если  АТА=ААТ=Е.

   °     В   ортонормированном   базисе   матрица   унитарного   оператора   –  Т  .

унитарна,   а   матрица   ортогонального   оператора   –   ортогональна.   В  базисе, который не является ортонормированным, это, вообще говоря,  не верно.

Канонический вид линейного оператора. (Нормальная жорданова  форма). К сожалению, не всякий линейный оператор диагонализуем. Но… Def.  Жордановой   клеткой  Gk()   называется   квадратная   матрица  kго  порядка:  0 1 L Def.  Жордановой   матрицей   называется   матрица   вида:     °     Произвольный   линейный   оператор  А  в   комплексном   векторном  Т  .

пространстве   имеет   базис   { ek } k =1,   в   котором   матрица   оператора  А  имеет жорданову форму.  Схема построения жорданового базиса:

3) Нахождение   собственных   векторов   и   собственных   значений  оператора  А.   Если   количество   собственных   линейно   независимых  векторов   равно   размерности   пространства,   то  в  указанном   базисе  матрица оператора имеет диагональный вид;

4) Если для кратного собственного значения кратности  k  количество  линейно   независимых   собственных   векторов   также   равно  k,   то   в  этом базисе матрица также имеет диагональный вид;

5) Для   кратных   собственных   значений    таких,   что   количество  линейно   независимых   собственных   векторов   меньше   кратности  корня, поиск базисных векторов производится так:  а)     находим     собственные   векторы    А,     т.   е.     базис  N(A)   ядра  б) находим М(А) – образ оператора А и его базис;

в) ищем базис  М(А)  N(А) ;

г) для каждого вектора   xi  М(А)   N(А) находим прообраз 1­го  слоя  yi1 такой, что: А yi1 = xi, прообраз 2­го слоя  yi 2  такой, что: А yi 2 = yi1, и т.д. до тех пор, пока они есть.

Жорданов базис формируется следующим образом:

      а)   первыми   в   базис   попадают   векторы   xi   М(А)    N(А)   вместе   со  своими прообразами:     х1, y11, y12, …, х2, y21, y22,… …, хр, yp1, yp2….

         б) затем в базис включаются   векторы   хp+1,  хp+2, …,  хl, дополняющие  базис М(А)  N(А)  до базиса ядра оператора А , если такие есть.  * Замечание: Процесс проводится для каждого значения  до тех пор, пока  количество векторов, включенных в базис, не станет равным кратности  k  собственного значения .  Искомый базис:

            х1, y11, y12, …, х2, y21, y22,… …, хр, yp1, yp2…., хp+1, хp+2, …, хl.                   (Всего k векторов).

Пусть  А  –   оператор   поворота   векторов   на   угол    в   евклидовом  пространстве  V2  (повороты   векторов   на   плоскости).   Какой   оператор  является сопряженным к нему?

Верно ли  утверждение  о том, что число  1 +  i    является собственным  значением   некоторого   линейного   оператора,   который   имеет  симметричную матрицу?

Являются ли ортогональными нуль­оператор, тождественный оператор и  оператор подобия с коэффициентом подобия µ?

Известно,   что   линейный   оператор  А  переводит   ортонормированный  базис   {ei} in=1  в   другой   ортонормированный   базис   {fi} i=1  .   Следует   ли  отсюда, что А – ортогональный оператор?

Может   ли   собственное   значение   ортогонального   оператора   принимать  значение: 2,  0,  1,  –1.

Для   любого   ли   линейного   оператора,   действующего   в   унитарном  пространстве, существует сопряженный оператор?  Линеен ли он?

Как   связаны   между   собой   матрицы   линейных   операторов  А  и  А*,  заданных в одном и том же ортонормированном базисе?

Как связаны между собой собственные значения линейных операторов А  и А*, действующих в унитарном пространстве?

Являются   ли   эрмитовыми   нуль­оператор,   тождественный   оператор,  оператор   подобия   с   вещественным   коэффициентом   подобия  µ  и  оператор подобия с комплексным коэффициентом подобия µ?

  Верно ли утверждение о том, что если матрица оператора эрмитова в  10.

некотором   ортонормированном   базисе,   то   она   эрмитова   и   в   любом  другом ортонормированном базисе?

 Может  ли  для  какого­нибудь  элемента  x  быть верным равенство (Ax,  11.

x) = 1 + i , где А  эрмитов оператор?

  Может   ли   число     1   +  i    быть   собственным   значением   некоторого  12.

эрмитового оператора?

1°.  Пусть  А  –   матрица   линейного   оператора   в   базисе   {ei}   евклидового  пространства, А* – матрица сопряженного оператора в том же базисе, а  Г –  матрица   Грамма   базиса   {ei}.   Найти   связь  А  и  А*  в   случае   унитарного  пространства. Как связаны А и А* в ортонормированном базисе?  Решение.  Если  { ei } i =1     базис   унитарного   пространства,   то  x = xi ei, y = y j e j  и, обозначая через  a ki  элементы матрицы линейного  оператора  А, а через   a kj   элементы матрицы оператора  А*, сопряженного к  оператору А, получим:

                                  Aei = Из определения А* следует:

                                      xi Aei, yj ej = xi ei, yj A ej                               xi akiek, yj ej = xi ei, yj a kjek                                 где  mn = ( em, en )   элементы матрицы Грамма.

Из этого равенства делаем заключение:

               a Этой формулой и выражается искомая связь между А и А*.  Если   базис  { ei } i =1   ортонормированный,   то   матрица   Г    единичная  матрица и тогда  A* = A T.

    а)   A* = 1AT   в   унитарном   пространстве,  б)  А*   =   A Т    в  ортонормированном базисе.  2°.  Оператор  А  задан матрицей в базисе с матрицей Грамма Г. Будет ли  оператор А эрмитовым:

                       Решение.  Воспользуемся   формулой,   полученной   в   задаче   1:

A* = 1AT.   Определитель   матрицы   Грамма   равен   единице,   поэтому  матрица, обратная к матрице Грамма, есть транспонированная матрица из  алгебраических   дополнений   к   элементам   матрицы   Грамма:

1 = i 2 2i  . Тогда:

Оператор А совпадает с оператором А*, следовательно оператор А  эрмитов.

                            да.      3°.  Задана   матрица  линейного   оператора  А  в  евклидовом   пространстве   в  некотором базисе и Г – матрица Грамма этого базиса. Найти А*:

Решение.  Воспользуемся   формулой,   полученной   в   задаче   1:

A* = 1AT. В евклидовом пространстве в этой формуле отсутствует знак  комплексного   сопряжения:      A* = 1AT.   Определитель   матрицы   Грамма  равен   единице,   поэтому   матрица,   обратная   к   матрице   Грамма,   есть  транспонированная   матрица   из   алгебраических   дополнений   к   элементам  матрицы Грамма:  = 9 5 2  .    Тогда:

         3 5 1.           4°.  Пусть {e1, e2} – ортонормированный базис в унитарном пространстве Еn.  Матрица линейного оператора  А, заданного в базисе {f1,   f2} пространства  Еn, имеет вид:  A 1 i 1 i. Найти А* в базисе {fi}, если f1 = е1+ е2,   f2  =  – е1 – iе2.    Решение. Составим матрицу Грамма для системы векторов f1 = е1 + е2,  f2  = – е1 – iе2   и найдем к ней обратную:  Теперь воспользуемся формулой   A* = 1 AT.             .                           5°.    Линейный   оператор  А  в   некотором   базисе   задан   своей   матрицей.  Скалярное произведение (х,  у) задано в том же базисе. Найти матрицу  А*,  если:  A = 2 3 1 ;  (х, у) = 2х1у1 – х1у2  – х2у1 + 2х2у2 – х2у3 – х3у2 + х3у3.  Решение.  По  заданному  скалярному   произведению   (х,  у)   составим  матрицу   Грамма,   учитывая,   что   ее   элементы   ij   совпадают   с  коэффициентами при    хiуj , а также найдем обратную к ней  матрицу.

                       =   1 2 5 1 2 1   =   0 8 7.

6°.   Линейный   оператор    А  евклидового  пространства  задан  в  базисе  {f1,  f2,  f3 } матрицей А; {e1, e2, e3} – ортонормированный базис. Является ли  оператор   А  ортогональным, если:     f1 =  е1,   f2 = –е1 +  е2,   f3 =  е1 –  е2  + е3  ;  Решение. Записывая координаты векторов f1,  f2,  f3 в базисе {e1, e2, e3}  в столбцы матрицы  Р, получим матрицу перехода из базиса {e1,  e2,  e3} в  базис {f1,  f2,  f3 }.

                                                P = 0 1 1   .

Найдем   матрицу   оператора  А  в   ортонормированном   базисе.   Это  удобно,   потому   что   в   таком   матрица   ортогонального   оператора   должна  быть ортогональной и, следовательно, удовлетворять условию  ААТ = Е.

Для   матрицы   (и   оператора)   Ae   не   выполнено   условие  ААТ  =  Е.  Оператор А не ортогональный.

        нет.         7°.      Линейный   оператор  А  переводит   векторы  а1,  а2    в   векторы  b1,  b2,  которые   заданы   своими   координатами   в   некотором   ортонормированном  базисе.   Является   ли   оператор  А  ортогональным,  если  а1(3, 4),     а2(1,  3),  b1(5, 0),   b2(3, 1)?

Решение. Записывая координаты векторов а1(3, 4),   а2(1, 3),   а также  векторов  b1(5, 0),     b2(3, 1)   в  столбцы  матриц,  получим   матрицы   A и   B   такие, что     AA = B       A = BA1.

В   ортонормированном   базисе   матрица   ортогонального   оператора  должна удовлетворять условию  ААТ  =  Е, т. е. столбцы и строки матрицы  должны   образовывать   ортонормированные   системы   векторов.   Для  полученной   матрицы   оператора  А  это   условие   выполнено.   Оператор  А  ортогонален.                      да.         8°.    Является   ли   унитарным   оператор  А,   действующий   на   векторы  ортонормированного базиса по формулам:  Ае1= (е1 – ie2),  Ae2 = (2ie1+е2 – 2iе3),   Ae3 =  (e1–2iе2 + 2е3).

Решение.  Построим   матрицу   оператора  А,   записывая   координаты  векторов  Ае1,  Ае2,  Ае3 в столбцы матрицы:

           A = В   ортонормированном   базисе   матрица   оператора  А*   может   быть  получена из матрицы оператора А, если матрицу А транспонировать и к ее  элементам взять комплексно сопряженные. Именно так мы и поступили.

Условие унитарности оператора (и матрицы) имеет такой вид:   AA* = E.

Для   этой   матрицы   не   выполнено   условие   унитарности.   Оператор   не  унитарен.                                                  нет.         9°.    Линейный   оператор  А  в   унитарном   пространстве   со   стандартным  скалярным   произведением   переводит   столбцы   матрицы  М1  в   столбцы  матрицы  М2.   Является   ли   оператор   унитарным,   если   M1 1 1 0,  Решение. По условию задачи  АМ1 = М2 т. е.  Найдена матрица оператора А в ортонормированном базисе. Условие  унитарности оператора (и его матрицы в ортонормированном базисе) имеет  вид:  AA* = E  и в данном случае оно не выполнено. Оператор не унитарен.         нет.         10°.    Найти   собственные   значения   и   какую­либо   максимальную  ортонормированную   систему   собственных   векторов   ортогонального  оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе евклидового  пространства матрицей:     1 2 2.

Решение.  Для нахождения  собственных значений оператора составим  и решим характеристическое уравнение:

Чтобы найти собственные (их может быть несколько, т. к. собственное  значение  = 1 кратное) векторы, соответствующие собственному значению  = 1.   Составим   систему   уравнений   ( A E ) X = 0  и   решим   ее.   Решения  системы как раз и являются собственными векторами.

Множество решений этой системы образует линейное  пространство размерности 1 ( dim = n rangA 3 2 = 1). Базис этого  пространства образует, например, вектор (1, 1, 0). Нормируя его,  получаем максимальную ортонормированную систему собственных  векторов линейного оператора, состоящую из одного вектора  e= (1, 1, 0), отвечающего собственному значению  = 1.        з)   1 =  11°.  Найти нормальную жорданову форму матрицы линейного оператора А  жорданову форму.

составим и решим  характеристическое уравнение: det(A  E) = 0  .  Получим:

Тогда:     ( + 2 + 1)( 2 + 1)  = 0      и, следовательно, 1, 2 = –1;  3, 4 = 1.  Ищем     собственные   векторы   оператора    А    при        =    1,       т.   е.   ядро  оператора  А­1.   Для этого решим систему четырех линейных однородных  уравнений   с   матрицей  А­1.   Из   третьего   и   четвертого   уравнений   системы  видно, что     x3 = x4 = 0. Тогда  можно  легко  установить,  что    x1 = x2 = 1.  Вектор    f1  (1,   1,   0,   0)    единственный   собственный   вектор   оператора  А,  соответствующий     собственному   значению    =  1   и   образует   базис   ядра  оператора А–1.  Далее ищем базис  образа оператора А–1:      Отметив,  что  для   векторов    f2,    f3,    f4    существует  соотношение:  f3 + f4 – f2  = (0, 0, 0, 1), находим базис образа оператора А–1:           {1 (1, 1, 0, 0),  2 (0, –1, 1, 1),   3 (0, 0, 0, 1).

Отметив, что векторы     f1    и    1   совпадают, делаем вывод о том, что  этот вектор образует базис пересечения образа и ядра оператора  А­1.  Кратность   корня     =  1   равна   двум,   а   собственный   вектор,  соответствующий   этому   собственному   значению,   только   один.   Поэтому,  полагаем  g1  равным   вектору   1 (1,1, 0, 0),  а  еще  один   вектор   жорданового  базиса   ищем,   как   прообраз   первого   слоя   для   1 (1,1, 0, 0).   Решаем  неоднородную систему линейных уравнений     A1 y = 1  и находим второй  вектор g2(1, 3/4, 0, 0)  жорданового базиса, соответствующего собственному  значению    =  1   кратности   два.   При   этом,   что   характерно,   у   вектора  1 (1,1, 0, 0)   нет   прообраза   второго   слоя,   ибо   система   A1y = g2   с  расширенной матрицей решений не имеет. Это и не случайно, потому что собственному значению  =  1 кратности 2 должно соответствует два вектора жорданового базиса  оператора А:

        При этом отметим, что:

                                         Ag 1 = g 1, Ag 2 = g1 g 2.

б) Теперь рассмотрим собственное значение    = 1 и, соответственно,  оператор А1=А+Е:  Найдем ядро этого оператора,  т.е. собственные векторы  оператора А  при  = 1.  Вектор    f1  (1,   1,   1,   1)   образует   базис   ядра   оператора  А1  и   является  единственным   собственным   вектором   оператора  А,   отвечающим  собственному значению  = 1 .

Ищем базис образа    М(А1)  оператора  А1 .  Отмечая, что  f1 = f2 + f3 + f4,   заключаем: базисом пересечения ядра и образа  оператора A1 является вектор  f1.

Так   как   собственный   вектор   только   один,   а   собственное   значение  имеет кратность 2, требуется найти еще один вектор жорданового базиса.  Поэтому полагаем    g3    равным вектору  1(1, 1, 1, 1), а еще один вектор  жорданового базиса ищем как прообраз первого слоя для 1(1, 1, 1, 1). Для  этого   решаем   неоднородную   систему   линейных   уравнений  A1g4  =  1  и  находим   вектор  g4(0,   1/2,   0,   1/2)  жорданового   базиса,   соответствующего  собственному значению  = 1 кратности два. При этом у вектора 1(1, 1, 1,  1)   нет   прообраза   второго   слоя,   ибо   система  A1y  =  g4    с   расширенной  матрицей решений   не   имеет.   И   вновь   это   не   случайно,   потому   что   собственному  значению  =   1   кратности   2   должно   соответствовать   два   вектора  жорданового базиса, а они уже найдены:

При этом отметим, что:     Ag3 = g1,    Ag4    = g3  + g4.      Для  оператора  А  § 4. Задачи  и упражнения для самостоятельной работы 1.   В   прямоугольной   системе   координат  хОу  оператор  А  –   оператор  проектирования   плоскости   на   ось  Ох  параллельно   биссектрисе   первой   и  третьей координатных четвертей. Найти А*.

     А* – проектирование на биссектрису второй и четвертой координатных  четвертей параллельно оси  Оу.    2.   В   пространстве   дифференцируемых,   периодических   с   периодом   функций f(x) найти А*, если               А* =А.       3. В евклидовом пространстве полиномов степени не выше 2 со скалярным  произведением,   определяемым   формулой   (p,  q)   =  00+  11+  22,  где    p(t)   =  0  +  1t  +  2t2,    q(t)   =  0  +  1t  +  2t2,   задан   оператор  Ap ( t ) = p ( t ). Найти А* в базисе:

а)   1,  t,  t2;               б)  1,  t,  3t2 – 1.

4.   В   евклидовом   пространстве   полиномов   степени   не   выше   двух   со  скалярным произведением  ( p, q ) = p ( x ) q ( x ) dx   задан линейный оператор  Ap ( x ) = p ( x ). Найти матрицу А* в базисе:

а)   1, x, x2;               б) 1, x, 3x2 – 1.

5. В евклидовом пространстве тригонометрических полиномов степени не  выше  n  со скалярным произведением   ( p,q) = p( x ) q( x ) dx  задан линейный  оператор   Ap( x ) = p( x ). Найти формулу для  А* и его матрицу в базисе      А* = –А;   a2k, 2k+1 = k, a2k+1, k = k  (k = 1, 2, … n), остальные элементы                      равны 0.      6. Найти оператор  А*, сопряженный к оператору   A = x   в пространстве  дифференцируемых   функций,   удовлетворяющих   условию  f(1)   =   0,   если  скалярное произведение задано формулой:

7.   Задана   матрица   линейного   оператора  А  в   евклидовом   пространстве   в  некотором базисе и Г – матрица Грамма этого базиса. Найти А*:

               в)  8. Пусть {e1, e2} ортонормированный базис плоскости, а линейный оператор  А  в базисе  f1  =  e1,  f2  =  e1  +  e2  имеет матрицу   1 1.   Найти матрицу  А* в  базисе {f1,  f2}.

9.   Пусть   {e1,  e2,   …  ,  en}   ортонормированный   базис   в   евклидовом   или  унитарном   пространстве  Еn.   Матрица  А  –   матрица   линейного   оператора,  заданного в базисе {f1,   f2, … , fn} пространства  Еn. Найти  А* в базисе {fi},  если:

а) f1 = е1,  f2  = – е1 + е2;  A 1 1 ;     б) f1 = е1,   f2  = 2 е1 + е2;   A 1 3 ;

в) f1 = е1 + е2 + е3,    f2  = е2 + е3,     f3  = е2 – е3;    A 1 0 0.

10.  Пусть {e1,  e2, … ,  en} – ортонормированный  базис  в евклидовом или  унитарном   пространстве  Еn.   Матрица  А  –   матрица   линейного   оператора,  заданного в базисе {f1,   f2, … , fn} пространства  Еn. Найти  А* в базисе {fi},  если:

а) f1 = е1 – е2 – е3,    f2  = е1 + е2 + е3,     f3  = е3;    A 1 1 1 ;

б) f1 = е1 + е2 ,    f2  = е2 + е3,     f3  = е1 + е3;    в)  f1 = е1,   f2  = iе1 + е2,   f3  = –iе1 + iе2 + е3;   A 0 0 1.

11. Линейный оператор  А  евклидового пространства в базисе из векторов  f1(1, 2, 1), f2(1, 1, 2), f3(1, 1, 0)  задан матрицей  0 5 1. Найти матрицу  сопряженного   оператора  А*   в   том   же   базисе,   считая   что     координаты  векторов  f1,  f2,  f3  заданы   в   некотором   ортонормированном   базисе.              30 30 14.         12.   Линейный   оператор   в  Е2  переводит   векторы  а1,  а2  в   векторы  b1,  b2  соответственно. Базис, в котором заданы  аi и  bi, – ортонормирован. Найти  А* в этом базисе:

а) а1(0, 1), а2(1, 3), b1(3, 1),  b2(2, 3);   б) а1(1, 1), а2(1, 4),  b1(0, –2), b2(–3, 7).

                              а)  3 1 ;        б)  1 3.          13. Найти матрицу линейного оператора  А*, сопряженного оператору  А  в  ортонормированном базисе {е1, е2, е3 }, если А переводит векторы а1(0, 0, 1),  а2(0,   1,   1),    а3(1,   1,   1)     в   векторы  b1(1,   2,   1),  b2(3,   1,   2),  b3(7,   ­1,   4)  соответственно. Координаты всех векторов даны в базисе {е1, е2, е3 }.      14. Линейный оператор А в некотором базисе задан своей матрицей.  Скалярное произведение (х, у) задано в том же базисе. Найти матрицу А*,  если:

0 1 ; (х, у) = х1у1+5х2у2+6х3у3 +2х1у3+2х3у1+3х2у3+3х3у2;  15.   Скалярное   произведение   (х,  у)   и   линейный   оператор  А  заданы   в  некотором базисе евклидового (унитарного) пространства. Найти матрицу  А* в том же базисе:

а)  (х, у) = х1у1 – 2х1у2  – 2х2у1 + 5х2у2;    A 1 3 ;  б)  (х, у) = х1у1 + х1у2  + х2у1 + 3х2у2;    A 1 1 ;  16.   Скалярное   произведение   (х,  у)   и   линейный   оператор  А  заданы   в  некотором базисе евклидового (унитарного) пространства. Найти матрицу  А* в том же базисе:

17.     Пусть  А  –   матрица   линейного   оператора   в   некотором   базисе,     Г   –  матрица Грамма этого базиса. Найти необходимое и достаточное условие  самосопряженности оператора  А:

а) в евклидовом пространстве;          б) в унитарном пространстве.      То же в ортонормированном базисе.