«ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Допущено УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся ...»

Федеральное агентство по образованию

Московский государственный технический университет ”МАМИ”

Кафедра “Прикладная и вычислительная математика”

Е.А. Коган

ЭЛЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКИ

Допущено УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности Автомобиле - и тракторостроение Москва 2007 2 УДК 517.91 (095) Р е ц е н з е н т ы:

Кафедра “Теория вероятностей” Московского авиационного института (Государственного технического университета) (зав.кафедрой – д-р физ.- мат. наук, проф. А.И.Кибзун);

д-р техн. наук, проф. А.В.Бородин (Московский государственный университет прикладной биотехнологии) Коган Е.А. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Учебное пособие по дисциплине “математика” для студентов, обучающихся по специальности Автомобиле - и тракторостроение. М.:

МАМИ. 2007.- 224 с.

Настоящее учебное пособие является математическим практикумом по разделам дисциплины ”математика”, посвященным теории вероятностей и математической статистике. Оно содержит в краткой форме основные понятия теории вероятностей, относящиеся к случайным событиям, случайным величинам и законам их распределения, а также к предельным теоремам, и изложение основных понятий и методов математической статистики, наиболее часто определяемых и используемых при статистической обработке опытных данных. В каждом разделе приведены иллюстративные примеры решения различных типовых задач. Даны 30 вариантов расчетно-графических работ по теории вероятностей и математической статистике. Пособие может быть использовано студентами в качестве руководства для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических занятий.

© Коган Е.А.

© Московский государственный технический университет “МАМИ”

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Часть первая

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ……………………………………….. 1.1. Классическое определение вероятности…………………… 1.2. Статистическое определение вероятности…………………. 1.3. Геометрическое определение вероятности…………………. 1.4. Алгебра событий……………………………………………... 1.5. Формула полной вероятности………………………………... 1.6. Формула Бейеса………………………………………………. 1.7. Формула Бернулли……………………………………………. 1.8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа ………………. Задачи для самостоятельного решения………………………. Ответы………………………………………………………….. 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ…………..……………………………. 2.1. Закон распределения случайной величины…………………… 2.2. Функциональные характеристики случайной величины……. 2.3. Числовые характеристики случайной величины……………..

3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН……………………………………………………………. 3.1. Биномиальный закон распределения………………………….. 3.2. Закон распределения Пуассона………………………………… 3.3. Геометрическое распределение………………………………… 3.4. Гипергеометрическое распределение………………………….. 3.5. Закон равномерного распределения вероятностей……………. 3.6. Показательный (экспоненциальный ) закон распределения…………………………………………………… 3.7. Нормальный закон распределения……………………………… Задачи для самостоятельного решения…………………………. Ответы……………………………………………………………. 4. ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ………………………… 4.1. Закон распределения двумерной случайной величины………… 4.2. Условные законы распределения составляющих………………. 4.3. Зависимые и независимые случайные величины………. ……… 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ………….. 5.2. Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)…………

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………..

6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ……

6.1. Понятие о выборочном методе……………………………………… 6.2. Характеристики генеральной совокупности……………………… 6.3. Классификация выборок…………………………………………… 6.4. Вариационный ряд. Варианты…………………………………….... 6.5. Эмпирическая функция распределения……………………………. 6.6. Полигон и гистограмма частот………………………………………

7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

7.1. Точечные оценки…………………………………………………….. 7.2. Оценка генеральной средней повторной выборки………………… 7.3. Оценка генеральной средней бесповторной выборки…………….. 7.4. Определение генеральной дисперсии……………………………… 7.5. Метод максимального правдоподобия……………………………. 7.6. Точность оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность…………………………………………………………… 7.7. Доверительный интервал для оценки генеральной средней при известном среднем квадратическом отклонении…………………. 7.8. Малая выборка……………………………………………………….

8. УПРОЩЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ

ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ………………………………………. 8.1. Вариационный ряд с равноотстоящими вариантами.

Условные варианты………………………………………………… 8.2. Эмпирические моменты…………………………………………… 8.3. Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим. Метод 9. КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ……………………………………………… 9.1. Критерий 2 Пирсона…………………………………………... 9.2. Критерий Колмогорова…………………………………………… 10. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА………………….. 10.1. Корреляционная таблица………………………………………… 10.2. Отыскание приближенной линии регрессии по эмпирическим данным………………………………………………………………… 10.3. Метод наименьших квадратов…………………………………… 10.4. Выборочный коэффициент регрессии…………………………… 10.5. Выборочный коэффициент корреляции………………………… 10.6. Методика вычисления rв и построения линии регрессии …….. РАСЧЕТНО - ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………………………………………………………………………

РАСЧЕТНО - ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКЕ……………………………………………………………. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА……………………………………. ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………………… ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Таблица значений функции ( x) = e …… ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Таблица значений функции Лапласа Ф( x) = e dt ……………………………………………………… ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Таблица значений t = t (, n) ……………………... ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Таблица значений q = q (, n) …………………….. ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Критические точки распределения 2 ……………. ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Вероятности P( ) = 1 K ( ) распределения

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ВВЕДЕНИЕ

Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, проявляющихся в массовых однородных случайных явлениях.

Систематическое исследование задач, относящихся к массовым однородным случайным явлениям, и зарождение теории вероятностей как математической дисциплины относится к XVII веку и связано, прежде всего, с попытками создания теории азартных игр. Они оказались исключительно наглядной моделью случайных явлений.

В последующие два века теория вероятностей применялась, главным образом, для создания теории страхования, теории ошибок наблюдений, теории стрельбы, к задачам статистики народонаселения.

Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей принадлежит таким крупнейшим математикам, как Паскаль, Ферма, Муавр, Я.Бернулли, Лаплас, Гаусс, Пуассон.

Огромный вклад в развитие теории вероятностей в XIX веке внесен математиками знаменитой Петербургской математической школы: П.Л.Чебышвым, А.А.Марковым, А.М.Ляпуновым и позднее С.Н.Бернштейном, А.Я.Хинчиным, А.Н.Колмогоровым, Б.В.Гнеденко и др.

Область применения вероятностных и статистических методов на современном этапе развития общества необычайно широка. Эти методы применяются в теоретической физике, особенно в ядерной физике и квантовой механике (где изучаемые закономерности объективно носят вероятностный характер), в метеорологии, в статистической теории радиосвязи, в теории надежности, в теории автоматического регулирования, при планировании и организации производства, при контроле качества продукции и др. К традиционным областям применения теории вероятностей и математической статистики в естественных науках и в технике добавились вероятностные задачи из области социологии, психологии, экономики и различных гуманитарных наук.

Поэтому изучение основных понятий и методов теории вероятностей и математической статистики является обязательной составной частью общеобразовательной математической инженерной подготовки.

Настоящее учебное пособие является руководством к решению задач по теории вероятностей и математической статистике и содержит изложение основных понятий в краткой справочной форме, необходимой для понимания сути применяемых методов. По этой причине основные понятия определяются в рамках так называемой элементарной теории вероятностей (в которой предполагается, что каждое испытание может заканчиваться только одним из исходов или, как говорят, одним из элементарных событий), и изложение в целом соответствует широко используемым учебникам Е.С.Вентцель и В.Е.Гмурмана [1-5]. Строгое изложение теории вероятностей на теоретико-множественной основе содержится, например, в курсах [6-9] и др.

Рассмотрение основных понятий и методов сопровождается иллюстративными примерами решения различных типовых задач. Дано большое количество задач для самостоятельного решения и проведения практических занятий, отражающих специфику специальностей автомеханического вуза. Приведены также варианты расчетно – графических работ по теории вероятностей и математической статистике.

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей в массовых однородных случайных явлениях ( событиях ).

Событием вообще называют качественный или количественный результат опыта, осуществленного при определенной совокупности условий.

Различают события достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется достоверным, если оно при осуществлении определенной совокупности условий произойдет обязательно и невозможным, если оно заведомо не может произойти.

Случайным называют событие, которое при осуществлении определенной совокупности условий может либо произойти, либо не произойти.

Случайные события могут быть несовместными, совместными, равновозможными, зависимыми и независимыми. Они могут быть подразделены также на элементарные (простые, неразложимые) и сложные.

Случайные события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в том же опыте.

События называются равновозможными, если есть все основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Практически о равновозможности событий можно судить по тому, соблюдаются ли в опыте условия симметрии.

Несколько случайных событий образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из них.

Чтобы сравнивать события между собой по степени возможности их появления, связывают каждое событие с некоторым числом, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число и называют вероятностью появления данного события A и обозначают через P(A). Следовательно, вероятность - это числовая мера степени возможности появления случайного события.

1.1. Классическое определение вероятности Существует целый класс опытов, которые заканчиваются только одним из возможных исходов (или, как говорят, одним из элементарных исходов), для которых возможен непосредственный подсчет вероятностей их возможных исходов. Эти опыты могут быть продемонстрированы на примере простейшей схемы урн (так называемой, урновой модели).

Пусть в урне находится n шаров разного цвета, например, m белых и (n-m) черных. Шары тщательно перемешаны, одинаковых размеров и массы, неразличимы наощупь. Проводится испытание, состоящее в извлечении наудачу одного шара из урны. Если A – случайное событие, состоящее в извлечении, например, белого шара из урны, то вероятность этого события может быть найдена на основе следующего определения:

Вероятностью события A называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих появлению данного события, к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, образующих полную группу:

Это определение называется классическим. Оно применимо лишь к испытаниям с конечным числом равновозможных исходов.

Свойства вероятности :

1. Вероятность достоверного события A=U 2. Вероятность невозможного события A=V P (V ) = 0.

3. Вероятность любого события A есть неотрицательное число, удовP ( A) 1.

летворяющее двойному неравенству Для непосредственного подсчета вероятности появления события на основе классического определения применяются, как правило, формулы комбинаторики ( раздела математики, изучающего вопросы о том, сколько различных комбинаций (соединений) можно составить из заданного числа объектов).

Большинство задач комбинаторики решается с помощью двух основных правил: правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Если элемент a из некоторого конечного множества можно выбрать m способами, а другой элемент b можно выбрать k способами, то выбор “или a, или b” можно осуществить m+k способами.

При этом способы выбора элементов a и b не должны совпадать между собой. В противном случае будет m+k-l способов выбора, где l – число совпадений.

Правило произведения. Пусть даны два упорядоченных множества элементов: A, содержащее m элементов (a1, a 2,..., a m ) A и B, содержащее n элементов (b1, b2,..., bn ) B. Тогда можно образовать ровно mn различных пар ai bk (i = 1,2,..., m; k = 1,2,..., n), содержащих по одному элементу из каждого множества.

Это правило можно обобщить на случай любого конечного числа упорядоченных множеств.

Пример. Имеются 3 партии деталей. В первой 10, во второй - 8, в третьей - 12 деталей. Сколько можно образовать комплектов из трех деталей, содержащих по одной детали из каждой партии ?

Полагая n1 = 10, n2 = 8, n3 = 12, по правилу произведения комбинаторики получим N = n1n2 n3 = 10 8 12 = 960 комплектов.

В комбинаторике в зависимости от способа выбора элементов из некоторого множества элементов различают три типа соединений (комбинаций): размещения, перестановки и сочетания.

Размещениями из n элементов по k элементов называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо составом, либо порядком их расположения.

Число размещений из n различных элементов по k элементов равно Перестановками из n элементов называются такие соединения, которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения входящих в них элементов.

Число всевозможных перестановок из n элементов равно Сочетаниями из n элементов по k элементов называются такие соединения, которые отличаются друг от друга лишь составом элементов.

Число сочетаний из n элементов по k элементов равно Замечание. Приведенные формулы справедливы для случая, когда соединения не содержат одинаковых (повторяющихся) элементов.

Пример. Каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 написана на одной карточке.

Последовательно наугад извлекаются 3 карточки. Найти вероятность того, что полученное трехзначное число окажется четным.

Решение. Число всевозможных элементарных исходов равно n = A6, так как получающиеся трехзначные числа могут отличаться как цифрами, так и порядком их расположения. Трехзначное число будет четным, если последняя цифра его 2 или 4, или 6. Если последняя цифра 2, то стоящее перед ней двузначное число может быть составлено из оставшихся 5-ти цифр: 1, 3, 4, 5, 6 числом способов, равным A5. Еще столько же благоприятных исходов можно получить, если последней цифрой будет 4 или 6. Следовательно Пример. Из урны, в которой a белых и b черных шаров, вынимаются 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Число всевозможных элементарных исходов испытания n = C a +b, так как каждое соединение из двух шаров может отлиравно чаться от любого другого лишь самими шарами (составом элементов), а порядок их извлечения безразличен. Аналогично рассуждая, получим, что число благоприятных исходов будет равно m = C a.

Пример. В партии из 14 деталей 10 стандартных, остальные – нестандартные. Наугад отобраны 5 деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 3 стандартных ?

Решение. Пусть N = 14, n = 10, m = 5, k = 3. Для наглядности представим условие задачи схематично в следующем виде (белыми кружками условно изображаются стандартные детали, черными - нестандартные):

Общее число всевозможных элементарных исходов равно числу способов, каким можно отобрать любые 5 деталей из 14, причем безразлично в какой последовательности. Поэтому число всевозможных исходов равно C14.

Исход окажется благоприятным, если среди отобранных пяти деталей будут три стандартных и две нестандартных детали. Три стандартных детали можно выбрать только из 10 стандартных числом способов, равным C10. Для каждого из них недостающие две нестандартные детали можно выбрать только из 4-x нестандартных деталей C 4 способами.

Следовательно, общее число благоприятных исходов по правилу произведения комбинаторики будет равно C10 C 42, а искомая вероятность Замечание : В общем случае справедлива формула В ней сумма нижних индексов в числителе должна быть всегда равна нижнему индексу в знаменателе, а сумма верхних индексов в числителе верхнему индексу в знаменателе.

1.2. Статистическое определение вероятности Статистической вероятностью или относительной частотой события A называется отношение числа M испытаний, в которых появилось событие A, к общему числу N фактически проведенных испытаний Замечание. Если P( A) - теоретическая характеристика степени возможности появления события, определяемая до проведения опыта (в котором может появиться событие A), то W(A)- эмпирическая характеристика, определяемая по результатам опытов.

Длительные наблюдения реальных случайных событий показывают что при большом числе однородных испытаний справедлив принцип статистической устойчивости относительных частот. Он проявляется в том, что относительная частота W(A) колеблется около некоторого постоянного устойчивого числа, причем по мере увеличения числа опытов отклонения W(A) от этого постоянного числа имеют тенденцию становиться все меньше. Оказывается, что это постоянное устойчивое число и будет вероятностью появления события P(A).

Классическим примером, подтверждающим указанный принцип, являются приведенные в таблице 1 результаты опытов с многократным подбрасыванием монеты, выполненных французским естествоиспытателем Бюффоном и английским статистиком К. Пирсоном.

Как видно, при большом числе испытаний относительная частота появления случайного события W(A) может рассматриваться как приближенное значение вероятности события A. Это определение вероятности события A и называется статистическим.

1.3. Геометрическое определение вероятности Классическое определение вероятности неприменимо к испытаниям с бесконечным числом элементарных исходов. Задачи, связанные с такими испытаниями, сводятся к случайному бросанию точки в некоторую область.

Пусть на плоскости имеется некоторая область F и в ней подобласть f. Предполагая, что вероятность попадания случайной точки в область f не зависит ни от ее формы, ни от ее расположения в области F, а пропорциональна её площади, определим вероятность попадания случайной точки M в заданную подобласть как отношение мер областей:

Здесь mes – мера области: в одномерном случае – длина отрезка, в двумерном – площадь, в трехмерном – объем. Определенная таким образом вероятность называется геометрической вероятностью.

Пример. (Задача Бюффона). Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наa ). Найти вероятность того, что игла удачу бросается игла длиной пересечет какую-нибудь параллель.

Решение. Пусть x - расстояние от центра иглы до ближайшей параллели, - угол между иглой и параллелью. Величины x и полностью определяют положение иглы на плоскости. Очевидно, Поэтому всевозможные положения иглы изобразятся точками прямоугольника со сторонами a и (см. рисунок). Для пересечения иглы с параллелью необходимо, чтобы x sin.

Предельная линия x = sin показана на рисунке. Следовательно, благоприятные исходы изобразятся точками заштрихованной области.

Искомая вероятность будет равна Непосредственное вычисление вероятности на основе классического определения обычно затруднительно, и в теории вероятностей, как правило, применяются косвенные методы, позволяющие по известным вероятностям простых событий определять вероятности сложных событий, с ними связанных.

Раздел теории вероятностей, изучающий правила, которым подчиняются алгебраические операции над событиями, и называется алгеброй событий (ее иногда называют также алгеброй Буля или булевой алгеброй).

В основе алгебры событий лежат понятия суммы и произведения событий.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. В частности, суммой двух событий A и B будет событие, состоящее в появлении или события A или события B, или обоих вместе. Если события A и B несовместны, то их сумма A+B - событие, состоящее в появлении только одного из них ( безразлично какого ).

Произведением событий называется событие, состоящее в совместном их появлении. Произведение событий A и B обозначается знаком AB.

Геометрическая интерпретация суммы и произведения событий показана на так называемой диаграмме Венна. Если событие A попадание случайной точки в левую область, B- попадание случайной точки в правую область, то сумма событий ( A+ B) - попадание наудачу брошенной точки в область, ограниченную внешним контуром, произведение событий AB- в зачернённую область:

Противоположными событиями называются два единственно возможных несовместных события, образующие полную группу.

Событие, противоположное событию A, обозначается через A.

Очевидно A + A = U (U - достоверное событие), AA = V (V - невозможное событие ).

Если известны или могут быть непосредственно (на основе классического определения) найдены вероятности простых событий, то вероятности сложных событий вычисляются c помощью основных теорем теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.

Вероятность суммы n попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Cледствие 1. Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице Теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого Замечания:

1. События A и B называются зависимыми, если вероятность события B меняется в зависимости от того, произошло или нет событие A.

2. Условной вероятностью события B называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что ему предшествовало появление события A. Она обозначается так : PA (B).

Для n зависимых событий A1, A2,, An теорема умножения вероятностей записывается в виде Теорема умножения вероятностей для независимых событий.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий Теорема о вероятности появления хотя бы одного события.

Если произведено n независимых испытаний, причем вероятности появления событий A1, A2,, An в каждом из них известны и равны соответственно p1, p 2,, p n, то вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2,, An равна где qi - вероятность противоположного события Ai (i = 1, 2, n) : qi = 1 pi.

В частности, если события A1, A2,, An имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из них равна Пример. В каждом опыте событие А появляется с вероятностью p = 0,75. Сколько опытов необходимо провести, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99 быть уверенным в том, что событие А произойдет хотя бы один раз?

Решение. По условию вероятность появления события хотя бы один раз в n независимых испытаниях Непосредственным подбором найдем, что наименьшее допустимое n = 4.

Пример. Из партии, содержащей 100 деталей, последовательно одна за другой извлекаются 5 деталей и подвергаются контролю. Условием непригодности всей партии является появление хотя бы одной бракованной детали среди контролируемых. Какова вероятность того, что партия будет принята, если она содержит 5% неисправных деталей ?

том, что k – ая проверяемая деталь исправна ( k = 1,2,3,4,5).

Применяя теорему умножения вероятностей для зависимых событий, Пример. Прибор состоит из 4-х узлов, которые за время работы t могут выходить из строя независимо друг от друга. Надежность (вероятность безотказной работы) i-го узла равна pi, вероятность отказа qi = 1 pi (i = 1,2,3,4).

Найти вероятности следующих событий: A - все узлы работают безотказно; B - первый узел отказал, остальные нет; C - один из узлов отказал, остальные нет; D - отказали два узла из 4-х; E - отказало не менее двух узлов; F - отказал хотя бы один узел.

Решение. Пусть Ai -работа i-го узла (i = 1,2,3,4), Ai - отказ i-го узла.

1). Событие A произойдет, если одновременно произойдут события A, A2, A3, A4. Следовательно, оно является их произведением:

Применяя к этому равенству событий теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим 2). Событие B произойдет, если одновременно произойдут события A1, A2, A3, A4. Следовательно B = A1 A2 A3 A4. Вероятность этого события будет равна 3). Событие C может осуществиться, если откажет первый узел, а остальные три работают или, если откажет второй узел, а работают первый, третий и четвертый и т.д. Следовательно, C - сложное событие, представляющее собой сумму произведений простых событий:

Применяя к этому равенству сначала теорему сложения вероятностей для несовместных событий, а затем к каждому слагаемому теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим 4). D - событие, которое может осуществиться шестью различными способами:

Поэтому 5). Для вычисления вероятности события E удобно предварительно перейти к противоположному событию E ( отказ менее двух узлов). Событие E произойдет, если осуществится или событие A или событие C, то есть оно является их суммой: E = A + C. Поэтому вероятность события E будет равна Согласно следствию 2 из теоремы сложения вероятностей 6). Для вычисления вероятности события F применим теорему о вероятности появления хотя бы одного события. Тогда получим Пример. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность работы каждого элемента цепи равна p.

Решение. Введем обозначения для всех возможных в данной задаче случайных событий. Пусть A - искомое событие (безотказная работа всей цепи ); Ai - безотказная работа i- го элемента цепи ( i =1,2,...,6 ); Ai - отказ i - го элемента цепи; C – работа верхнего участка, состоящего из элементов 1,2; B1 - работа левого контура ( элементы 1-4 ); B2 - работа правого контура (элементы 5,6 ).

P (C ) = 1 P (C ) = 1 p 2 - вероятность отказа верхнего участка цепи (1,2);

за левого контура, P ( B1 ) = 1 P ( B1 ) = 1 (1 p 2 ) q 2 - вероятность работы левого контура, вероятность работы правого контура.

Работа всей цепи A= B1 B2. Поэтому вероятность работы всей цепи равна Замечания.

1. Для упрощения расчета систем, содержащих параллельно и последовательно соединенные элементы, целесообразно при параллельном соединении элементов рассматривать предварительно состояние отказа, а при последовательном соединении - состояние работы элементов.

2. Как видно из решения, при увеличении числа параллельно соединенных элементов (при резервировании) повышается надежность (вероятность безотказной работы) системы, а при увеличении числа последовательно соединенных элементов надежность системы понижается.

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления хотя бы одного из несовместных событий B1, B2, Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

События Bi (i = 1, 2,...,n), появление одного из которых предшествует появлению события A, принято называть гипотезами (или априорными гипотезами).

Пример. Три автомата штампуют однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Производительности автоматов относятся как 2:3:5. Каждый из автоматов штампует нестандартных деталей в среднем 2,5%; 2% и 1,5% соответственно. Найти вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь окажется стандартной ( событие A ).

Решение. Пусть B1 - гипотеза, состоящая в том, что наудачу взятая деталь изготовлена первым автоматом, B2 - вторым, B3 - третьим. Очевидно, вероятности осуществления гипотез пропорциональны производительности автоматов. Поэтому Вероятность того, что деталь стандартна при условии, что она изготовлена первым автоматом PB1 ( A) = 0,975 (так как первый автомат производит в среднем 97,5% стандартных деталей). Аналогично, PB2 ( A) = 0,98, PB3 ( A) = 0,985. Следовательно, вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь стандартна и изготовлена первым автоматом, по теореме умножения вероятностей для зависимых событий равна Полная вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь стандартна, равна Пример. Имеются 2 урны: в первой a белых шаров и b черных; во второй c белых и d черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, а затем из второй урны в первую перекладывается один шар. После этого из первой урны берут наугад один шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

Решение. Пусть A-искомое событие (извлеченный во второй раз из первой урны шар будет белым). Введем следующие гипотезы:

B1 - состав шаров в первой урне не изменился (вынули белый шар и вернули белый или вынули черный шар и вернули черный), B2 - в первой урне белый шар заменен черным, B3 - в первой урне черный шар заменен белым.

Находим вероятности осуществления гипотез:

Условные вероятности осуществления события A:

По формуле полной вероятности получим Замечание. При решении задач на применение формулы полной вероятности следует контролировать правильность определения вероятностей гипотез. Их сумма всегда должна быть равна единице, так как гипотезы образуют полную группу событий, и появление одной из них есть событие достоверное.

Так как при формулировке теоремы умножения вероятностей безразлично, какое событие считать “первым”, а какое “вторым”, то Подставляя вместо P( A) ее значение по формуле полной вероятности, получим, так называемую, формулу Бейеса Формула Бейеса позволяет переоценить вероятности гипотез В1, В2, Вn после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А, то есть позволяет вычислить вероятности гипотез после опыта (так называемых, апостериорных гипотез).

Пример. Детали попадают на проверку стандартности к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролёру равна 0,7; ко второму – 0,3. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролёром, равна 0,94; вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной (событие А).

Найти вероятность того, что ее проверял первый контролёр.

Решение. Возможны 2 гипотезы:

В1 - деталь проверял первый контролёр, В2 - деталь проверял второй контролёр.

По условию задачи Условные вероятности Вероятность того, что признанную стандартной годную деталь проверял первый контролёр, равна В практических приложениях теории вероятности часто используется схема повторяющихся независимых испытаний с двумя возможными исходами в каждом испытании (биномиальная схема или схема Бернулли).

Если вероятность появления события A в каждом отдельном испытании постоянна и равна p, то вероятность Pn (k ) появления события k раз в n независимых испытаниях (следовательно, непоявления события n-k раз с вероятностью q = 1 - p) определяется по формуле Бернулли Замечание. Вероятность того, что событие A в n независимых испытаниях наступит: а) менее k раз; б) не менее k раз; в) более k раз; г) не более k раз находят, применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий по формулам:

Пример. Вероятность изготовления стандартной детали при изготовлении партии однотипных деталей равна 0,9. Что вероятнее: появление не более одной бракованной детали в партии из шести деталей или не более двух бракованных деталей в партии из 12 деталей ?

Решение. Пусть A - появление не более одной бракованной детали в партии из шести деталей, A - событие, состоящее в том, что все детали годные (0 бракованных), A2 - одна бракованная деталь в малой партии.

Тогда По теореме сложения вероятностей для несовместных событий Изготовление каждой отдельной детали и проверка ее качества могут рассматриваться как отдельное независимое испытание.

Так как вероятность появления интересующего нас события: бракованной детали p = 0,1, то применяя к каждому слагаемому формулу Бернулли при q = 0,9, n = 6, получим Аналогично вычисляя вероятность события B-появления не более двух бракованных деталей в партии из 12-ти деталей, находим При больших значениях n непосредственное применение формулы Бернулли затруднительно из-за вычислительных трудностей. В этом случае применяют локальную теорему Лапласа, которая справедлива, если число испытаний n достаточно велико (практически при n 20 ).

Если вероятность p появления случайного события A в каждом испытании постоянна, то вероятность появления события k раз в n испытаниях приближенно (тем точнее, чем больше n) равна (см. приложение 1). Так как функция (x) четная, то в таблице приведены значения (x), соответствующие положительным значениям аргумента.

теорема Лапласа. Она позволяет найти вероятность Pn (k1, k 2 ) того, что событие A появится не менее k1 и не более k 2 раз (при тех же ограничениях) Интегральную формулу Лапласа можно представить в виде, удобном для вычислений:

где функция Ф( x) = также табулирована (см. приложение 2), причем в таблице приведены значения функции Ф(x) для положительных значений аргумента. Но при пользовании таблицей следует иметь в виду, что функция Лапласа нечетная: Ф( x) = Ф( x).

Пример. Найти вероятность того, что событие А (переключение передач) наступит 70 раз на трассе длиной 256 км, если вероятность переключения на каждом км этой трассы равна 0,25.

Решение. Число испытаний n соответствует числу км на трассе. Так как n=256 велико, применим локальную теорему Лапласа. По условию p = 0,25; q = 0,75; k = 70.

По таблице находим (0,8660 ) = 0,2742. Искомая вероятность равна Пример. Вероятность появления события А в каждом из 200 независимых испытаний постоянна и равна p = 0,8. Найти вероятность того, что событие A появится: а) не менее 150 раз и не более 180 раз; б) не менее раз; в) не более 149 раз.

Решение. Так как n велико и заданы интервалы изменения k, применим интегральную теорему Лапласа.

Искомая вероятность равна P200 (150,180) = Ф(3,54) Ф(1,77) = Ф(3,54) + Ф(1,77).

По таблице приложения 2 линейной интерполяцией найдем Ф(3,54) = 0,4997, Ф(1,77) = 0,4616, cледовательно, б) В рассматриваемом случае следует принять k1 = 150, k 2 = n = 200.

и по таблице приложения 2 Ф (7,08) = 0,5. Поэтому P200 (150,200) = Ф(7,08) + Ф(1,77) = 0,5 + 0,4616 = 0,9616.

в) События “А появилось не менее 150 раз” и “А появилось не более 149 раз” противоположны. Поэтому Пример. Вероятность изготовления годной детали на станке равна 0,9. Сколько нужно обработать деталей, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 деталей будут годными?

По условию p = 0,9, q = 0,1, k1 = 150, k 2 = n, Pn (150, n) = 0,98.

Применяя интегральную формулу Лапласа, получим или возрастающая и Ф(4) 0,5. Поэтому можно принять Ф( n / 3) 0,5. Тогда По таблице приложения 2 находим Ф(2,06) = 0,48. Учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим n 13,3. Окончательно, требуемое количество деталей n = 177.

1. (Задача Даламбера). Испытание состоит в двукратном подбрасывании монеты. Какова вероятность того, что в результате испытания герб выпадет хотя бы один раз ?

2. Сколькими способами можно распределить 6 различных предметов между тремя лицами так, чтобы каждый получил по два предмета ?

3. Лотерея выпущена на общую сумму n рублей. Цена одного билета r рублей. Ценные выигрыши падают на c билетов. Найти вероятность ценного выигрыша на один билет.

4. Задумано двузначное число, цифры которого различны. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется:

а) случайно названное двузначное число;

б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

5. Брошены 3 монеты. Найти вероятность того, что выпадут 2 герба.

6. За круглый стол в случайном порядке рассаживаются 4 мужчин и женщины. Найти вероятность того, что никакие два лица одинакового пола не окажутся рядом.

7. Студенты данного курса изучают 8 предметов. В расписание занятий можно поставить 4 предмета в день. Сколько существует различных вариантов составления расписания на день ?

8. Каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5 написана на одной карточке. Извлекаются наугад три карточки. Найти вероятность того, что составленное из них трехзначное число окажется четным.

9. В замке на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

10. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.

11. При наборе телефонного номер абонент забыл две последние цифры и набрал их наугад, помня только, что они нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

12. На стеллаже 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:

а) нет бракованных; б) нет годных.

13. Из последовательности чисел 1,2,…,n наудачу выбираются 2 числа.

Найти вероятность того, что одно из них меньше k, а другое больше k, где 1 < k < n - произвольное целое число.

14. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются в две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что:

а) два наиболее сильных участника будут играть в разных группах;

б) четыре наиболее сильных участника попадут по два в разные группы.

15. При перевозке 8 изделий одного типа и 12 изделий другого типа повреждены два изделия. Какое событие более вероятно:

а) повреждены изделия одного типа; б) разных типов.

16. В комплекте m стандартных и n нестандартных деталей. Наугад три раза извлекают деталь. Найти вероятность того, что все три извлеченных детали окажутся стандартными, если: а) - после каждого извлечения деталь возвращают в комплект; б) - извлеченные детали назад не возвращаются.

17. В урне a белых и b черных шаров. Из нее наугад 2 раза извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара будут одинакового цвета, если первый шар в урну: а) возвращают; б) не возвращают.

18. Студент знает 20 из 30 вопросов программы. В выбранном им наугад экзаменационном билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент: а) не сдаст экзамен (не ответит ни на один вопрос); б) сдаст на “удовлетворительно” (ответит на один вопрос); в) сдаст на “хорошо” (ответит на 2 вопроса); г) сдаст на “отлично” (ответит на все три вопроса).

19. Некто купил карточку “Спортлото” и отметил в ней 6 из имеющихся номеров, после чего в тираже разыгрывались 6 “выигравших” номеров из 49. Найти вероятности следующих событий:

A1 - верно угаданы 3 выигравших номера из 49; A2 - верно угаданы выигравших номера из 49; A3 - верно угаданы 5 выигравших номера из 49; A4 - верно угаданы 6 выигравших номера из 49.

20. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:

а) все пассажиры выйдут на 4-ом этаже; б) все пассажиры выйдут одновременно; в) все пассажиры выйдут на различных этажах 21. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника в) правильного шестиугольника. (Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения внутри круга).

22. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан круг. Наудачу брошена точка. Найти вероятность попадания точки в область треугольника, не принадлежащую кругу.

23. В ромб со стороной a и углом при вершине основания 60 вписан круг.

Наудачу брошена точка. Найти вероятность попадания точки в круг.

24. В круг радиуса R вписан квадрат. Найти вероятность того, что брошенные наугад внутрь круга 2 точки окажутся внутри квадрата.

25. Полет космического корабля можно считать застрахованным от столкновения с метеоритными частицами, если вероятность такой “встречи” P0 0,001. Корабль летит со скоростью V = 11 км/сек. Площадь его поперечного сечения S =23 м2. В космическом пространстве на каждые N 0 = 29 10 6 км3 приходится одна опасная метеоритная частица. Какова максимально допустимая продолжительность полета корабля ?

26. Два лица договорились о встрече между 18 и 19 часами с условием, что пришедший раньше ждет другого в течение 15 мин, после чего уходит.

Найти вероятность того, что встреча состоится, если приход каждого из лиц в течение указанного часа может произойти в любое время.

27. На отрезке OA длины L числовой оси Ox поставлены две точки B ( x1 ) и C ( x2 ), причем x2 x1. Какова вероятность того, что длина отрезка BC меньше длины отрезка OB ?

28. При движении автомобиля под его левые и правые колеса попадают препятствия (выступы и впадины дорожного полотна). Пусть A – событие, состоящее в попадании препятствия под левое колесо, B – под правое. Какой смысл имеют события: a) A+B; b) AB, c) A + B, d) AB ?

29. К механизмам управления автомобилем относятся рулевое управление и две тормозные системы. Событие A – исправно рулевое управление, Bk (k = 1,2) - исправна k – ая тормозная система. Автомобиль работоспособен (событие C), если исправно рулевое управление и хотя бы одна тормозная система. Выразить события C и C через A и Bk.

30. Пусть A1, A2, A3 - дефекты, приводящие к опасному перегреву двигателя ( A1 - большое отложение слоя накипи на стенках, A2 - подтекание воды из радиатора, A3 - неисправность термостата). Найти выражения для следующих событий: A – ни одного отказа двигателя за время работы, B - только один отказ двигателя, C - 2 отказа двигателя, D - отказа двигателя, E - хотя бы один отказ, F - не менее двух отказов.

31. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти: а) вероятность того, что двигатель начнет работать при втором включении зажигания; б) вероятность того, что для ввода двигателя в работу придется включить зажигание не более двух раз.

32. К автобусной остановке каждые 6 мин. подходит автобус маршрута a и каждые 9 мин. - автобус маршрута b. Предполагая моменты прихода на остановку автобусов независимыми, найти вероятность того, что:

а) первый подошедший автобус окажется автобусом маршрута a; б) автобус какого – либо маршрута подойдет к остановке в течение 3-х минут.

33. Студент знает 20 из 30 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент даст правильный ответ на три последовательно предложенные ему один за другим вопроса программы.

34. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него меньше: когда он тащит билет первым или последним ?

35. 20 человек, разыгрывая одну вещь, по очереди тянут жребий. Какова вероятность выиграть у первого второго и т. д. участников ?

36. Имеются две урны: в первой a белых и b черных шаров, во второй c белых и d черных шаров. Из каждой урны наугад выбирают по одному шару. Определить вероятности следующих событий:

а) – оба шара разных цветов; б) – оба шара одного цвета.

37. В урне один белый и два черных шара. Из урны два игрока поочередно наугад извлекают шар, причем после каждого извлечения шар возвращается в урну. Выигравшим считается тот, кто первым извлечет белый шар. Найти вероятность выигрыша для первого игрока, если максимальное число попыток равно трем.

38.В урне 2 белых и 4 черных шара. Два игрока поочередно извлекают шар (без возвращения). Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Найти вероятность выигрыша для каждого участника игры.

39.В одной коробке 5 коротких и 10 длинных болтов, в другой коробке коротких и 5 длинных болтов. Найти вероятность того, что хотя бы из одной коробки будет вынут один короткий болт, если из каждой коробки вынуть по одному болту.

40. Производятся испытания некоторого устройства. При каждом испытании устройство выходит из строя с вероятностью p. После первого выхода из строя устройство ремонтируется, после второго – признается негодным. Найти вероятность того, что устройство окончательно выйдет из строя в точности при k- ом испытании.

41. Прибор состоит из трех узлов. В первом узле n1 элементов, во втором n2 и в третьем n3 элементов. Для работы прибора безусловно необходим узел I; два других узла II и III дублируют друг друга (см. рис.). Вероятность работы каждого элемента одна и та же и равна p. Выход из строя одного элемента означает выход из строя всего узла. Элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность безотказной работы прибора.

42. Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью p. Для контроля из продукции завода отбираются n изделий. Найти вероятность следующих событий: A – ни в одном из изделий не будет обнаружено дефекта;

B – среди n изделий ровно в двух будет обнаружен дефект; C – среди n изделий не менее чем в двух будет обнаружен дефект.

43. Для повышения надежности устройства оно дублируется (n-1) другими такими же устройствами (см. рис.). Надежность (вероятность безотказной работы) каждого устройства равна p. Найти надежность системы. Сколько надо взять устройств, чтобы повысить надежность системы до заданной величины P0 ?

44. В течение времени t эксплуатировалось N автомашин. Каждая из них имеет надежность p и выходит из строя независимо от других. Найти вероятность того, что механик, приступающий по окончании времени t к ремонту неисправных автомашин, не справится со своей задачей за время, если на ремонт каждой из неисправных автомашин ему требуется время 0.

45. Автомашину с преступниками преследуют две милицейские машины.

Преступники начинают стрельбу и производят по одному выстрелу по милицейским машинам, подбивая их с вероятностью p0. Если милицейская машина не подбита, то она независимо от другой стреляет по преступникам и подбивает их машину с вероятностью p. Найти вероятность того, что будет подбита: а) ровно одна машина (любая); б) хотя бы одна машина (любая).

46. Какова вероятность того, что хотя бы один из трех основных узлов (рама, передняя и задняя оси, подвеска) ходовой части автомобиля останется исправным после 10000 км пробега, если известно, что для каждого узла такая вероятность равна 0,4 ?

47. Игральная кость брошена n раз. Чему равна вероятность того, что:

а) шестерка выпадет один раз; б) шестерка выпадет хотя бы один раз;

в) шестерка выпадет не менее двух раз.

48. Электрическая цепь состоит из восьми параллельно включенных потребителей. Вероятность работы каждого из них равна 0,8. Взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет не менее половины потребителей. Сколько потребителей надо включить параллельно, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99 быть уверенным в том, что не откажет хотя бы один из них ?

49. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,1. Сколько выстрелов надо произвести, чтобы с вероятностью 0,9 быть уверенным в том, что число попаданий будет не менее 10 ?

50. На рисунках а) и б) изображены схемы дорог, Турист выходит из пункта B, выбирая наугад на разветвлении дорог один из возможных маршрутов. Какова вероятность того, что он беспрепятственно (то есть не заходя ни в один тупик) попадет в пункт A ?

51. Из урны, содержащей M белых и N-M черных шаров, один шар неизвестного цвета утерян. Какова вероятность извлечь наудачу из урны белый шар ?

52. Имеются две урны: в первой a белых и b черных шаров, во второй c белых и d черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. Затем из второй урны извлекают наудачу один шар.

Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

53. В автобусе едут n пассажиров На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью p. Кроме того, в автобус с вероятностью p0 не входит ни один новый пассажир, а с вероятностью (1- p0 ) – один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем будет по-прежнему n пассажиров.

54. Группа студентов состоит из 4-х отличников, 6-ти хорошо успевающих и 15 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

55. Имеются два комплекта деталей: в первом 5 стандартных и 3 нестандартных детали, во втором 6 стандартных и 2 нестандартных детали. Из первого комплекта во второй переложили, не глядя, две детали, а затем из второго комплекта взяли одну деталь. Какова вероятность того, что она будет стандартной ?

56. Имеются N лунок, по которым случайным образом разбрасываются M шариков. Найти вероятность того, что в данную лунку попадет k шариков.

57. Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что при пяти испытаниях ровно в трех появится в точности по две шестерки.

58. Производится стрельба по цели тремя снарядами. Снаряды попадают в цель независимо друг от друга. Для каждого снаряда вероятность попадания в цель равна 0,4. Если в цель попал один снаряд, он поражает цель (выводит ее из строя) с вероятностью 0,3; если два снаряда, они поражают цель с вероятностью 0,7; если три снаряда – с вероятностью 0,9. Найти полную вероятность поражения цели.

59. Колонна из трех грузовых машин и ведущего тягача послана для доставки грузов на военный объект. Без тягача выход к объекту невозможен. В пути автомашины проходят через зону обстрела, в которой каждая из них может быть подбита с вероятностью 0,3. После прибытия на объект все 4 машины разгружаются независимо. Вероятность полной разгрузки каждой из них за заданное время равна 0,7. Какова вероятность того, что весь груз будет благополучно передан на объект ?

60. Имеются 3 урны: в первой a белых шаров и b черных, во второй - c белых и d черных шаров, в третьей k белых шаров (черных нет). Выбирается наудачу одна из урн и из нее вынимается шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй или третьей урны.

61. Монета брошена N раз ( N велико!). Найти вероятность того, что герб выпадет ровно N/2 раз.

62. Производство дает 1% брака. Найти вероятность того, что из взятых для контроля 1100 деталей будет забраковано не более 17.

63. Имеется 100 станков, работающих независимо друг от друга, одинаковой мощности и одного и того же режима работы, при котором их привод включен в течение 0,8 всего рабочего времени. Найти вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков.

64. Изделия испытываются при перегрузочных режимах. Вероятности для каждого изделия пройти испытание равны p0 и независимы. Испытания проводятся до тех пор, пока какое – либо изделие не выйдет из строя. Вывести формулу для распределения вероятностей числа испытаний.

7. 1680. 8. 0,4. 9.. 10. 0,096. 11. 0,05. 12. а) P 0,727;

б) ; более вероятно повреждение изделий разных типов.

23.

33.. 34. Безразлично. 35. Одинакова и равна 0,05.

39.

мастер не справится со своей задачей, если число неисправных автомобилей больше, чем l =, где - наибольшее целое число, Указание: Так как результат опыта уже известен, следует применить формулы Бейеса. Событие A – появление белого шара. Априорные гипотезы:

Bi - выбор i –ой урны (i=1,2,3), P( Bi ) = 1 / 3.

61. 0,7978 / N. Указание: так как N велико и испытания независимы, то следует применить локальную теорему Лапласа.

P 0,927. 64. Если испытания закончатся на k – ом изделии (k =,2,3,…), то P(k ) = p0 1 (1 p0 ).

2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины принято обозначать заглавными латинскими буквами: X, Y, Z,..., а их возможные значения - соответствующими строчными буквами: x, y, z,...

Различают два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если её возможные значения образуют последовательность отдельных, изолированных друг от друга значений, которые можно перечислить, и непрерывной, если её возможные значения непрерывно заполняют некоторый интервал.

Примеры случайных величин:

- дискретных: число попаданий или промахов в серии выстрелов, число выпадений герба или решки при подбрасывании монеты, в схеме Бернулли повторяющихся независимых испытаний - число появлений события при n испытаниях и т.п.;

- непрерывных: отклонение размера детали от номинального, ресурс (время безотказной работы) системы, физические параметры системы (температура, давление, влажность), длина тормозного пути автомобиля, продолжительность жизни человека и т.п.

2.1. Закон распределения случайной величины Случайная величина полностью определена с вероятностной точки зрения, если известен ее закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется соотношение между возможными значениями этой величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может быть задан таблично, графически или аналитически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, состоящая из двух строк, в первой из которых перечислены возможные значения случайной величины X, а второй - соответствующие им вероятности.

Такая таблица называется рядом распределения, а ее графическое изображение - многоугольником распределения.

Заметим, что сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины должна быть равна единице:

Ряд распределения может быть построен только для дискретных случайных величин.

Пример. В партии, содержащей 12 изделий, имеются 3 бракованных.

Выбраны случайным образом 4 изделия для проверки их качества. Найти закон распределения случайной величины X - числа бракованных изделий среди отобранных.

Решение. Число бракованных изделий среди отобранных - это заранее неизвестная дискретная случайная величина, возможные значения которой xi = 0, 1, 2, 3.

Здесь N=12, m=4, n=3, поэтому В результате получим Пример. Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены 3 светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 30 сек., желтый - в течение 5 сек., красный – в течение 25 сек. Построить закон распределения числа остановок автомобиля.

Решение. Число остановок автомобиля X - дискретная случайная величина, возможные значения которой X k = 0; 1; 2; 3. Вероятность остановки перед каждым светофором следовательно, вероятность проезда q = 1 - p = 0,5.

Проезд автомобиля мимо каждого светофора можно рассматривать как отдельное независимое испытание. По формуле Бернулли находим Поэтому ряд распределения числа остановок автомобиля будет иметь вид Для аналитического описания закона распределения случайной величины применяют интегральную функцию распределения вероятностей или дифференциальную функцию распределения вероятностей случайной величины (её также называют плотностью распределения вероятностей или плотностью вероятностей).

Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины F(x) называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение, меньшее произвольно заданного числа x, то есть F (x) - универсальная характеристика, существующая и для дискретных и для непрерывных случайных величин.

Свойства F(x).

1. 0 F ( x) 1, так как F(x) – вероятность.

2. F () = 0, так как ( X < ) - невозможное событие.

F (+) = 1, так как ( X < +) - достоверное событие.

3. Если возможные значения X (a, b), то F ( x) = 4. F (x) - неубывающая функция, то есть F ( x2 ) F ( x1 ), если x2 > x1.

5. Вероятность попадания случайной величины X на конечный интервал [a,b) равна приращению интегральной функции на этом интервале 6. В пределе, при стягивании интервала в точку Следовательно, если X - непрерывная случайная величина, то F(x)непрерывная функция, и вероятность того, что X примет одно определенное значение (то есть вероятность попадания X в точку a), равна нулю.

Поэтому для непрерывной случайной величины X справедливы равенства Если F(x) разрывна в точке a, то скачок функции F(x) в этой точке равен вероятности попадания X в неё. Поэтому для дискретных случайных величин где суммирование распространяется на все те значения xk, которые меньше x, и график функции распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию, непрерывную слева.

Пример. Ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид Найти интегральную функцию распределения и построить ее график.

Решение. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий найдем:

Для x 1 F ( x) = P( X < x) = 0, так как значения x < 1 случайная величина Х не принимает;

чение 1 с вероятностью 0,3;

вероятность равна единице.

Следовательно, искомая функция распределения имеет вид Пример. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения Найти вероятность того, что в результате трех независимых испытаний величина Х дважды примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).

Решение. Вероятность попадания Х на интервал (0,25; 0,75) в одном испытании равна По формуле Бернулли P3 (2) = C3 p 2 q = 0,375.

Пусть X – непрерывная случайная величина с функцией распределения F(x), которую будем предполагать не только непрерывной, но и дифференцируемой. Вероятность попадания X на малый интервал x равна Отношение этой вероятности к длине участка x в пределе при x обозначают через f(x):

Функция f ( x) = F ( x) - первая производная от интегральной функции распределения F (x) называется плотностью вероятностей или дифференциальной функцией распределения. График плотности вероятностей называется кривой распределения.

В отличие от F(x) плотность вероятностей не является универсальной характеристикой распределения, а существует только для непрерывных случайных величин.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины на конечный интервал (, ) равна определенному интегралу от плотности вероятностей, взятому в пределах от до :

Полагая в этой формуле =, = x и учитывая определение F(x), получим то есть определение интегральной функции распределения F (x) по известной плотности вероятностей сводится к вычислению интеграла с переменным верхним пределом.

Свойства f(x).

1. f ( x) 0, то есть f(x) - неотрицательная функция.

2. Условие нормировки f (x) : f ( x)dx = 1. Следовательно, площадь, ограниченная графиком плотности вероятностей и осью OX, равна единице.

Пример. Непрерывная случайная величина X задана плотностью вероятностей:

Найти: параметр a ; интегральную функцию распределения F(x);

вероятность попадания X на интервал ( / 3; 2 / 3).

По условию нормировки Пример. Плотность вероятностей задана графически с точностью до неизвестного параметра b (см. рис.). Найти: полное аналитическое выражение для f(x); F(x); P(1 / 3 < X < 1).

1). Так как площадь под кривой распределения по условию нормировки равна единице, то S = b + b = 1, откуда b = 1. Поэтому 2). Интегральная функция распределения будет равна:

при x > 4 / Замечание. Так как для непрерывной случайной величины F(x) непрерывная функция, то ее значения не должны претерпевать разрывов на границах интервалов изменения x. Это должно служить контролем правильности вычислений F(x).

2.3. Числовые характеристики случайной величины Задание закона распределения аналитически - с помощью функций F(x) или f(x) позволяет полностью и однозначно описать случайную величину. Но во многих случаях в этом либо нет необходимости, либо закон распределения бывает неизвестен. Тогда ограничиваются меньшими сведениями, а именно некоторыми характерными неслучайными числами, каждое из которых характеризует то или иное свойство распределения случайной величины.

Такие числа, позволяющие отразить наиболее существенные особенности распределения случайной величины, называются числовыми характеристиками случайной величины. Важнейшими из них являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствуюшие им вероятности M(X) называют еще центром распределения или характеристикой положения случайной величины на числовой оси. Это среднее значение, вокруг которого группируются остальные возможные значения случайной величины.

Для непрерывной случайной величины Если возможные значения непрерывной случайной величины X (a, b), то Свойства М(Х) 4. Для независимых случайных величин X,Y M ( XY ) = M ( X ) M (Y ).

Дисперсия - это характеристика рассеивания (разбросанности) возможных значений случайной величины относительно ее среднего значения. Она определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания Для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой Для дискретных случайных величин D( X ) = [ xi M ( X )]2 pi, для непрерывных случайных величин Если возможные значения X принадлежат интервалу (a, b), то Свойства D(X) 1. D(C) = 0, так как постоянная величина C рассеивания не имеет.

2. D(CX) = C2 D(X), то есть постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3. D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ) - для независимых случайных величин.

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины X, что неудобно. Поэтому на практике часто применяют числовую характеристику = D( X ), размерность которой совпадает с размерностью X. Величина = D( X ) называется средним квадратическим отклонением.

Пример. Производится одно испытание. Вероятность появления события A в этом испытании равна p. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений события A.

Решение. Число появлений события A при одном испытании X – дискретная случайная величина, ряд распределения которой имеет вид Поэтому Пример. Независимые случайные величины X и Y заданы рядами распределения:

Найти среднее квадратичное отклонение случайной величины Решение. По свойствам дисперсии Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины равна единице, то По определению дисперсии Составим ряды распределения случайных величин X 2, Y 2, Y 4 :

Поэтому Пример. Случайная величина X задана рядом распределения Найти дисперсию случайной величины Z = 3X2 - 2X + 1.

Решение. Так как случайные величины X и X2 не являются независимыми, то составляем ряд распределения случайной величины Z:

Поэтому ряд распределения Z2 будет иметь вид В результате получим Кроме основных характеристик распределения – центра (математического ожидания) и рассеивания (дисперсии) на практике часто нужно описать и другие важные числовые характеристики распределения.

Наиболее употребительные из них: мода, медиана, коэффициенты асимметрии, эксцесса.

Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, модой непрерывной случайной величины - то ее значение, при котором плотность вероятности максимальна.

Медианой Me случайной величины называется такое ее значение, для которого P( X < Me) = P( X > Me).

В случае симметричного распределения медиана, математическое ожидание и мода совпадают.

Для характеристики асимметрии (или “скошенности”) распределения используется величина “коэффициента асимметрии’ где µ 3 - третий центральный момент.

В общем случае в теории вероятностей центральным моментом k –го порядка случайной величины X называется математическое ожидание k – ой степени так называемой центрированной случайной величины Поэтому третий центральный момент равен для дискретной случайной величины для непрерывной случайной величины Если распределение симметрично относительно среднего значения, то µ 3 = As = 0.

“Крутовершинность” (или островершинность, плосковершинность) распределения характеризуется величиной эксцесса где µ 4 - четвертый центральный момент [3]. Для наиболее распространенного нормального закона распределения (см. ниже), который является как бы эталоном, с которым сравнивают другие распределения, Ek = 0.

3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

К биномиальному закону приводит задача о повторении независимых испытаний.

Биномиальным законом распределения называется распределение вероятностей дискретной случайной величины X = k - числа появлений события в n независимых испытаниях, описываемое формулой Бернулли:

Ряд распределения биномиального закона имеет вид Cправедливы теоремы:

1. При биномиальном распределении математическое ожидание (среднее значение) числа появлений события равно произведению числа испытаний на вероятность p появления события в одном испытании а дисперсия равна 2. Наивероятнейшее число появлений события в n независимых испытаниях ( такое число k*, которое при данном n имеет наибольшую вероятность ) удовлетворяет двойному неравенству Если (np – q) - дробное число, то существует единственное значение k*, если (np – q) - целое число, то k* может принимать два значения.

Пример. Произведено 6 выстрелов по цели. Вероятность промаха при каждом выстреле одинакова и равна 0,4. Найти наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; вероятность разрушения цели, если для этого требуется не менее двух попаданий. Построить ряд распределения числа попаданий.

Решение. Каждый выстрел можно рассматривать как отдельное независимое испытание. Поэтому применима схема повторяющихся независимых испытаний. По условию n = 6, p = 0,6; q = 0,4. Поэтому np - q = 3,2;

np + p = 4,2. Следовательно, k* = 4.

Вероятность 4-x попаданий равнa P6 (4) = C 6 0,6 4 0,4 2 = 0,31.

Пусть A - событие, состоящее в том, что будет не менее двух попаданий при 6 выстрелах. Удобно перейти к противоположному ему событию A - менее двух попаданий (либо 0 – событие A1, либо 1 - событие A2 ).

Так как события A1 и A2 несовместны, то P( A ) = P( A1 ) + P( A2 ) или Искомая вероятность P( A) = 1 P( A ) = 1 0,041 = 0,959.

Число попаданий при шести выстрелах X = k –дискретная случайная величина, возможные значения которой k = 0,1,2,…6. Последовательно применяя формулу Бернулли деления в виде В предельном случае биномиального распределения, когда число испытаний n очень велико, а вероятность появления события в каждом отдельном испытании очень мала, вероятность появления события k раз в n независимых испытаниях может быть определена по приближенной формуле где m = np = const - среднее число появлений события в различных сериях испытаний, предполагаемое постоянным.

Эта формула выражает закон распределения вероятностей дискретной случайной величины k - числа появлений события в n независимых испытаниях (в случае массовых, но редких событий), называемый законом распределения Пуассона.

Замечание. Практически формулой Пуассона с достаточной степенью точности можно пользоваться при p < 0,1; m < 10.

Пример. При массовом производстве шестерен вероятность изготовления годной шестерни равна 0,9975. Найти вероятность того, что из наугад взятых шестерен более двух будут бракованными.

Решение. Пусть A - искомое событие, A - событие, состоящее в том, что не более двух шестерен окажутся бракованными ( или 0 или 1, или 2 ).

По условию вероятность изготовления бракованной шестерни равна p=1-0,9975 = 0,0025 b.

Графики плотности вероятностей равномерно распределенной случайной величины Х и функции распределения F(x) показаны на рисунке.

Обычно вместо параметров a и b используют математическое ожидание Х и половину ширины области возможных значений случайной величины.

Дисперсия закона равномерного распределения D( x) =.

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал (, ), принадлежащий (a, b ), равна Пример. Поезда метрополитена идут с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Найти среднее значение времени ожидания поезда, его дисперсию и вероятность того, что пассажир будет ожидать очередной поезд не более 0,5 мин.

Решение. Пусть Т - время ожидания поезда. Это непрерывная случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0,2). Следовательно, Пример. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2.

Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,05.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как непрерывную случайную величину X, распределенную равномерно в интервале между двумя соседними делениями. В рассматриваемой задаче длина интервала (b a ), в котором заключены возможные значения X, равна 0,2.

f ( x) = 1 / 0,2 = 5, вне этого интервала f ( x) = 0.

Ошибка округления превышает 0,05, если она заключена в интервале (0,05; 0,15). Так как P ( < X < ) = f ( x)dx, то 3.6. Показательный (экспоненциальный ) закон распределения Показательное распределение широко применяется в теории надежности, в теории массового обслуживания.

Непрерывная случайная величина подчинена показательному закону распределения, если ее плотность вероятностей равна Интегральная функция распределения показательного закона:

Вероятность попадания на конечный интервал (a, b) случайной величины, распределнной по показательному закону, равна Графики f (x) и F (x) показаны на рисунке.

Числовые характеристики показательного распределения Поэтому математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению. Это равенство является характерным признаком показательного распределения.

Пусть T - время безотказной работы элемента (непрерывная случайная величина), а t - время, по прошествии которого происходит отказ.

Тогда функция распределения F (t ) = P (T < t ) определяет вероятность отказа за время t. Поэтому вероятность противоположного события T t, то есть вероятность безотказной работы за время t будет равна Эту функцию называют функцией надежности.

Показательному распределению с интегральной функцией F (t ) = 1 e t подчинена длительность безотказной работы системы на интервале времени t ( - постоянная положительная величина, имеющая смысл интенсивности отказов).

Пример. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение F1 (t ) = 1 e 0,02t, второго F2 (t ) = 1 e 0,05t. Найти вероятность того, что за время t = 6 час. откажут оба элемента; оба элемента будут работать; откажет только один элемент.

Решение. Вероятность отказа первого элемента за 6 часов равна Вероятность отказа второго элемента за то же время Вероятность отказа двух элементов по теореме умножения вероятностей равна Вероятности безотказной работы каждого элемента Поэтому вероятность отказа только одного элемента будет равна Непрерывная случайная величина подчинена нормальному закону распределения (закону распределения Гаусса), если ее плотность вероятностей равна Здесь a и -параметры, вероятностный смысл которых таков:

a = M ( X ) математическое ожидание. = D( X ) - среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X.

Нормальное распределение с параметрами a = 0, = 1 называется нормированным. Плотность вероятностей нормированного нормального распределения равна Эта функция табулирована (см. Приложение 1).

График плотности вероятностей нормально распределенной случайной величины (называемый нормальной или гауссовой кривой) показан на рисунке.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на произвольный конечный интервал (, ) равна Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал, симметричный относительно среднего значения, равна вероятность противоположного события: P( X a 3 ) = 0,0027. Такой малой вероятностью можно пренебречь. На этом и базируется важное для приложений правило трех сигм:

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то с вероятностью, близкой к достоверности, можно считать, что практически все рассеивание укладывается на интервале (a 3, a + 3 ) от центра распределения, то есть можно пренебречь вероятностью попадания случайной величины вне интервала (a 3, a + 3 ).

Пример. На станке изготовляется партия однотипных деталей. Длина детали X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a = 18см, = 0,2 см. Найти:

вероятность того, что длина наудачу взятой детали заключена между 17, см и 18,4 см; какое отклонение длины детали от номинального размера можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каких пределах будут заключены практически все длины деталей ?

Решение.

= Ф(2) + Ф(1,5) = 0,4772 + 0,4332 = 0,9104.

Воспользуемся формулой P( X a < ) = 2Ф( / ). По условию P ( X 18 < ) = 0,95. Поэтому 2 Ф( / 0,2) = 0,95 или Ф( / 0,2) = 0,475.

По таблице функции Лапласа ( см. приложение 2) находим / 0,2 = 1,96, откуда = 0,392.

Следовательно, X 18 < 0,392 или 17,608 < X < 18,392.

По правилу трех сигм можно считать, что практически все длины деталей с вероятностью 0,9973 будут заключены в интервале (a 3 ; a + 3 ), т.е. P( X 18 < 3 0,2) = 0,9973, откуда 17,4 < X < 18,6.

Пример. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием ( проектной длиной ), равным 60 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 58 мм и не более 62 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 61 мм; б) меньше 60,5 мм.

Решение. Предварительно найдем неизвестный параметр нормального распределения из условия P(58 < X < 62) = 1 или откуда Ф(2 / ) = 0,5 и по таблицам функции Лапласа находим 2 / = 5.

Следовательно, = 0,4. Поэтому 1. В коробке, содержащей 10 дискет, три заполнены некоторой информацией, остальные – “чистые”. Наудачу вынуты четыре дискеты. Составить закон распределения числа заполненных дискет среди отобранных.

2. Построить ряд распределения случайной величины X - суммы очков, выпадающих при бросании двух игральных костей; найти среднее значение этой суммы.

3. Построить ряд распределения случайной величины Y – произведения очков, выпадающих при бросании двух игральных костей; найти среднее значение этой суммы.

4. Имеются 5 различных ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробованных ключей, если опробованный ключ в последующих попытках не используется.

5. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка p1, для второго p2. Построить ряд распределения случайной величины Z = X 1 X 2, где X 1 - число попаданий первого стрелка, X 2 - число попаданий второго стрелка. Найти M (Z ) и D(Z ).

6. В лотерее на 100 билетов разыгрываются 2 выигрыша на сумму 1000 и 100 рублей. Стоимость билета – 10 рублей. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша S для лица, имеющего два билета.

7. Имеются семь биллиардных шаров, перенумерованных числами от 1 до 7. Эти шары располагаются случайным образом вдоль борта. Найти закон распределения и математическое ожидание числа шаров с четными номерами, предшествующих первому в последовательности шару с нечетным номером.

8. Написать закон распределения вероятностей числа переключений передач при трех заездах автомобиля, если вероятность переключения p = 0,4 (считать, что в одном заезде одно переключение). Найти среднее значение числа переключений.

9. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,3. Найти число испытаний n, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях равно 30.

10. Два баскетболиста по очереди бросают мяч в корзину. Вероятность попадания при каждом броске для первого баскетболиста равна 0,8; для второго 0,7. Составить закон распределения общего числа попаданий.

11. В авторалли участвуют 25 машин. Вероятность того, что машина не дойдет до финиша равна 0,2. Найти вероятность того, что число машин, не дошедших до финиша, будет отличаться от своего математического ожидания не более чем на одно среднее квадратическое отклонение.

12. Случайные величины X и Y независимы. Найти среднее квадратиZ = 2 X 3Y, если известно, ческое отклонение случайной величины 13. При сборке прибора для наиболее точной подгонки основной детали может потребоваться (в зависимости от удачи) 1, 2, 3, 4 или 5 проб соответственно с вероятностями 0,1, 0,2, 0,5, 0,15, 0,05. Требуется обеспечить сборщика необходимым количеством деталей для сборки приборов. Сколько деталей надо отпустить сборщику ?

14. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятностей (закон распределения Коши). Найти: коэффициент a, интегральную функцию распределения F (x), P(1 < X < 1).

15. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятностей Найти: M(x), D(x).

18. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятностей Лапласа). Найти: коэффициент a; интегральную функцию распределения F (x), M(x), D(x), 19. Точка брошена наудачу внутрь круга радиуса R. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найти интегральную функцию распределения F (x), математическое значение и дисперсию расстояния от точки до центра круга.

20. Найти среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 50 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,02.

21. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов.

22. Среднее число автомобилей, подъезжающих к стоянке за один час, равно 4. Найти вероятность того, что за 2,5 часа к стоянке подъедут более 8 автомашин.

23. Через железнодорожный переезд в течение 10 мин в среднем проходит 2 поезда. Найти вероятность того, что за полчаса переезд будет закрываться: а) три раза; б) не более двух раз; в) не будет закрываться вообще.

24. Гидравлическая система автомобиля насчитывает 100 клапанов. Надежность каждого клапана 0,98. Какова вероятность того, что за время испытания откажут не менее двух клапанов, если считать отказ каждого из них независимым от состояния других.

25. По каналу связи передают 1000 знаков Каждый знак может быть искажен независимо от других с вероятностью 0,003. Найти вероятность того, что будет искажено не более трех знаков.

26. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,005. Найти наиболее вероятное число опоздавших пассажиров из и его вероятность.

27. При движении по проселочной дороге автомобиль испытывает в среднем 60 толчков в течение одного часа. Какова вероятность того, что за 30 сек. не будет ни одного толчка ?

28. Автомашина проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время осмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром a. Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание машины продолжается в среднем 2 часа.

Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то машина ставится на профилактический ремонт, где она находится в среднем 4 часа. Составить закон распределения среднего времени обслуживания T и ремонта машины и его математическое ожидание M(T).

29. На пути движения автомашины 4 светофора. Каждый из них либо запрещает дальнейшее движение автомашине с вероятностью 0,4, либо разрешает движение с вероятностью 0,6. Построить ряд распределения случайной величины X - пройденных автомашиной светофоров до первой остановки.

30. Автоматическая линия при нормальной настройке может выпускать бракованное изделие с вероятностью p. Переналадка линии производится сразу после первого же бракованного изделия. Найти среднее число всех изделий, изготовляемых между двумя переналадками линии.

31. Проводится испытание трех приборов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы приборов распределена по показательному закону: для первого прибора F1 (t ) = 1 0,1e 0,1t, для второго - F2 (t ) = 1 0,2e 0, 2t, для третьего F3 (t ) = 1 0,3e 0,3t. Найти вероятность того, что в течение пяти часов откажут: а) только один прибор; б) два прибора; в) все три прибора; г) хотя бы один прибор; д) не менее двух приборов.

32. На дороге находится контрольный пункт для проверки технического состояния автомашин. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины T – времени ожидания очередной машины контролером, если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону f (t ) = 6e 6t.

33. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения – 10 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее трех минут и среднее время ожидания автобуса.

34. Ребро куба x измерено приближенно, причем a x b. Рассматривая длину ребра как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию объема 35. Колесу придается вращение, которое затухает вследствие трения. Фиксированный радиус R при этом, останавливаясь, образует с горизонтом случайный угол, который распределяется по равномерному закону в пределах от 0° до 360°. Определить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение расстояния конца радиуса от горизонтального диаметра.

36. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 мин. горит зеленый свет, 0,5 мин. – красный, затем опять 1 мин. – зеленый, 0, мин. – красный и т.д. Некто подъезжает к перекрестку на машине в случайный момент времени, не связанный с работой светофора. Найти:

а) вероятность того, что он проедет перекресток, не останавливаясь;

б) закон распределения и математическое ожидание времени ожидания у перекрестка.

37. Автомат изготовляет подшипники, которые считаются годными, если отклонение X от проектного размера по абсолютной величине не превосходит 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если X распределена нормально с = 0,4 мм ?

38. Случайная величина X подчинена нормированному нормальному распределению ( a = 0, = 1). Что больше: P(0,6 X 0,1) или 39. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических (одного знака) погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением = 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

40. Случайная величина X подчинена нормальному закону распределения с параметрами a = 50 мм и = 1 мм. Найти вероятность того, что X попадет на интервал (49,5; 50,2) не менее трех раз при четырех независимых испытаниях ?

41. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения с параметрами a = 0 и = 20 мм. Найти вероятность того, что из четырех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 3 мм.

42. Диаметр отверстия X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a = 50 мм, = 1 мм. Диаметр вала равен 49,5 мм. Найти вероятность того, что вал войдет в отверстие.

43. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром d1, но проходит через отверстие d 2 > d1, то его размер считается приемлемым. Если какое – либо из этих условий не выполняется, то шарик бракуется.

Известно, что диаметр шарика D есть нормальная случайная величина будет забракован. Какова вероятность того, что из восьми шариков менее двух будут забракованы ?

44. При 10000 бросаний монеты герб выпал 5500 раз. Следует ли считать, что монета несимметрична ?

P 0,216 0,432 0,288 0, P 0,012 0,124 0,416 0, функция. 17. M ( X ) = (1 + ) ; D( X ) = (1 + ) 2. Указание: Сделать подстановку y = x / и использовать гамма – функцию.

случайная величина 0 X R - расстояние от произвольной точки до центра круга. 17. 1. 18. а) 0,0256; б) 0,0123; в) 0,9877.

22. P2,5 (> 8) 0,667. 23. а) 0,0890; б) 0,0620; в) 0,0025. 24. 0,366.

25. 0,647. 26. 0,224. 27. P30 (0) 0,61.

28.

29.

ных изделий, изготовляемых линией до появления брака. Указание: Для вычисления суммы можно воспользоваться известным равенством :

суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии часа. Указание: время ожидания машины контролером и время прохождения машин через контрольный пункт распределены одиb + a )(b 2 + a 2 );

36. P =. Указание: момент проезда машины через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов в светофоре, то есть 1,5 мин. Время ожидания Tож - смешанная случайная величина: с вероятностью 2/3 она равна 0, а с вероятностью 1/3 она может принимать с одинаковой плотностью вероятности любое значение между 0 и 0,5 мин.

Поэтому M (Tож ) = 0 + 0,25 0,083.

38. P(0,6 X 0,1) = 0,1859; P(1 X 2) = 0,1359. 39. 0,383.

P8 (< 2) 0,9515.

“трех сигм”.

4. ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

На практике часто возникает необходимость решения задач, в которых результат опыта описывается не одной, а одновременно двумя случайными величинами, образующими систему двух случайных величин.

Простейшим и естественным примером является стрельба по площадям: точка падения снаряда определяется двумя координатами на плоскости.

Случайные величины, возможные значения которых определяются двумя числами, называются двумерными и обозначаются через (X,Y). Говорят также, что они образуют систему двух случайных величин.

Каждая из величин X,Y называется составляющей (компонентой) двумерной случайной величины.

4.1. Закон распределения двумерной случайной величины Законом распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) называется соотношение между возможными значениями этой веxi, y j ) и соответствующими им вероятличины те есть парами чисел ностями p ( xi, y j ) = pij (i=1,2,…,n; j=1,2,…,m). Он задается таблично (см.

таблицу 2) или аналитически.

Так как события ( X = xi, Y = y j ) (i=1,2,…,n; j=1,2,…,m) образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках табnm лицы Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих.

Действительно, P( X = xi ) = p ( xi, y j ), то есть вероятность того, что X примет значение xi, равна сумме вероятностей столбца xi. Аналоn Интегральной функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины (X,Y) называется функция F ( x, y ), определяющая для каждой пары чисел ( x, y ) вероятность совместного выполнения двух неравенств X < x и Y < y :

Геометрически это означает, что F ( x, y ) равна вероятности попадания случайной точки (X,Y) в полубесконечный квадрант с вершиной ( x, y ), расположенный левее и ниже этой вершины (см. рис.).

2. F ( x, y ) - неубывающая функция обоих своих аргументов, то есть 3. Предельные соотношения:

4. F ( x, ) = F1 ( x), то есть при значении аргумента y = функция распределения системы становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу. Аналогично Зная функцию распределения двумерной случайной величины, можно найти вероятность попадания в прямоугольную область водной от интегральной функции распределения системы двух случайных величин, называется двумерной плотностью вероятностей (или плотностью распределения системы).

то есть плотность распределения системы равна пределу отношения вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда длины обеих сторон стремятся к нулю.

График f ( x, y ) называют поверхностью распределения.

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D равна Зная двумерную плотность вероятностей, можно найти интегральную функцию распределения системы по формуле 1. f ( x, y ) 0, то есть f ( x, y ) - функция неотрицательная.

распределения и плоскостью xOy, равен единице.

Зная закон распределения системы, можно найти закон распределения каждой из составляющих системы по формулам Для решения обратной задачи – отыскания закона распределения системы по известным законам распределения составляющих X и Y необходимо знать зависимость между этими величинами. Эта зависимость в общем случае характеризуется с помощью так называемых условных законов распределения.

4.2. Условные законы распределения составляющих Условным законом распределения составляющей X называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение Y = y j.

Условный закон распределения задается или функцией распределения или плотностью. Условная функция распределения обозначается F ( x y ), условная плотность распределения f ( x y ).

Для дискретной двумерной случайной величины условные вероятности составляющих X и Y вычисляют по формулам Для непрерывной двумерной случайной величины условные плотности распределения составляющих X и Y определяются по формулам Пример. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины задано таблицей Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение y1 = 5; в) условный закон распределения составляющей Y при условии, что составляющая X = x2 = 15.

Решение. а) Складывая вероятности по “столбцам”, получим + 0,06 = 0,21, аналогично P( X = 15) = 0,36, P( X = 20) = 0,31, P( X = 25) = 0,12.