ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЛИАЛ В Г. СЫЗРАНЬ

Кафедра общетеоретических дисциплин

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Учебное пособие

Сызрань 2007

2 Составитель Потанина О.В УДК Указания к выполнению типовых расчетов по основам теории вероятностей и математической статистике: учебн. пособ./ Самар.гос.тех.ун-т. Потанина О.В., Сызрань, 2007.- 53с.

В указания включены теоретические сведения, рекомендации по решению задач, типовые расчетные задачи по темам. Предназначено для студентов втузов.

Ил.2.Библиогр.1.Табл. Составитель: Потанина О.В.

Рецензенты : к. п.н. И.П. Егорова, к. ф.-м. наук В.Б. Кислинский СФ СамГТУ, 1. КОМБИНАТОРИКА Комбинаторики изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов данного множества. Из конечного множества Е ={ е 1, е 2,..., е n }, состоящего из различных n элементов, можно образовывать различные наборы, состоящие из m элементов (m n).

Перестановками из n различных элементов называются комбинации, содержащие по n элементов и отличающиеся только порядком их расположения (упорядоченные наборы без повторений из n элементов по n). Перестановки обозначают Pn, их число определяется по формуле Р= n!, n!= 1 2 3... n (1) Конечное множество называется упорядоченным, если все его элементы пронумерованы некоторым образом. Выбор первого элемента можно провести n способами, второго (n-1) способом, так как не должно быть повтора. Последний элемент можно выбрать только одним способом. Таким образом, общее число способов n (n 1) (n 2 )... 2 1 = n! = P упорядочения равно Пример. Сколькими способами можно рассадить трех студентов на трех стульях?

Решение. Искомое число равно числу перестановок Р3 = 3!= 1 2 3 = Размещениями называются комбинации из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком (упорядоченные наборы без повторений из n элементов по m элементов). Размещения обозначаются и m Аn вычисляются по формуле:

n!

Аn = n (n 1) (n 2)... (n m + 1) = (2) m (n m )!

Пример. Сколькими способами можно отобрать из 10 студентов по одному для участия в олимпиадах по физике и математике.

Решение. Данное число равно число размещений А10 = 10 9 = Сочетаниями называются комбинации из n различных элементов по m элементов (неупорядоченные наборы без повторений из n элементов по m элементов). Число сочетаний обозначается символом С nm и вычисляется по формуле:

m An n!

коэффициентами.

Пример. Сколькими способами можно отобрать из 5 студентов двух для участия в конференции.

Свойства.

1. С nm = С nnm (свойство симметрии) 2. Сnm+1 = С nm + C nm1 (свойство рекуррентности) 4. Сn0 + C n +…+ Cnn = 2 n ( следствие бинома Ньютона) Если выбор из n элементов по m производится с возвращением и с упорядочением, то различные комбинации будут отличаться либо составом элементов, либо порядком их следования. Такие комбинации называются размещениями с повторением. Обозначаются Если некоторый объект А может быть выбран n способами А объект В – m способами, то:

1. B группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?

2. В лотерее билеты с номерами из 5 цифр (1,2,3,4,5). Сколько билетов будут иметь номер кратный 2?

3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

(5628800).

4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой? (3003).

5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв ровно 5 символов? (32).

6. Сколько чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5?

7. Набирая номер телефона, состоящий из 6 цифр, абонент забыл последние три. Помня только что эти цифры различные.

Сколько комбинаций ему нужно перебрать, чтобы найти нужную?

8. Сколько различных наборов без повторений из 3 букв можно составить из слова «комбинация»?

9. Сколькими способами 15 команд можно разделить на три подгруппы?

10. В урне 8 шаров, пронумерованных от 1 до 8. Из коробки вынимают 2, и записывают в порядке возрастания цифр (с возвращением). Сколько двузначных чисел можно записать?

11. В лотерее выигрывает номер из 5 цифр. Сколько билетов можно составить для данной лотереи, если каждая цифра входит только один раз?

12. Сколькими способами можно выбрать из 10 финалистов конкурса 3 призеров?

13.Сколькими способами можно из 24 танцоров составить пары?

14. Компьютер произвольно составляет тесты 500 из задач?

Сколько вариантов тестов можно составить, если в каждом варианте должно быть 10 задач и они не должны повторятся?

15. В урне 8 шаров, пронумерованных от 1 до 8. Из коробки вынимают 3, и записывают в порядке возрастания цифр (без возвращения). Сколько трехзначных чисел можно записать?

16. Сколькими способами из 50 вопросов можно составить билеты к экзаменам по два вопроса в каждом, чтобы не было повторений?

17. Сколько перестановок можно составить из слова «комар»?

18. Бросают два игральные кости сколько комбинаций благоприятны исходу, что сумма очков будет нечетной?

19. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв ровно 3 символа?

20. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл последние две. Помня только что эти цифры различные.

Сколько комбинаций ему нужно перебрать, чтобы найти нужную?

21. B группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать 5 человек для спартакиады?

22. Компьютер произвольно составляет тесты 100 из задач?

Сколько вариантов тестов можно составить, если в каждом варианте должно быть 10 задач?

23. В лотерее билеты с номерами из 5 цифр (1,2,3,4,5). Сколько билетов будут иметь номер кратный 3?

24. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 100 кубиков одинакового размера, которые затем перемешаны. Сколько кубиков будет иметь одну окрашенную грань? Три окрашенных грани?

25. Пин код карты банкомата состоит из 4 цифр. Владелец забыл первые две, но запомнил что все 4 цифры различны. Сколько возможных вариантов он должен составить?

2. КЛАССИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

возможности наступления события говорит практика.

Частостью (относительной частотой) события А называют отношение числа испытаний m, в которых событие А появилось, к числу всех испытаний n.

Частость обладает свойством устойчивости, то есть при испытаний. Частость определяется только по результатам испытаний.

Рассмотрим статистическое определение вероятности.

Вероятностью Р(А) случайного события А называется число, увеличении числа испытаний.

3. W(A+B)=W(A)+W(B), где А и В несовместные события.

4. W(AB)=W(A)W(B/A)=W(B)W(A/B) испытание, событие, вероятность события. Например: бросание монеты - испытание, выпадение герба – событие.

достоверные ( ), невозможные ( О ) и случайные (А, В, С…).

несовместными, если они не могут появиться одновременно.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания наступит хотя бы одно из них. Два несовместных события, образующих полную группу называют противоположенными ( и А ).

Суммой событий А1, А2,…, Аn называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий («или»).

Произведением событий А1, А2,…, Аn называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий («и»).

Правило суммы: выбрать А или В можно n+m способами.

Правило произведения: А и В могут быть выбраны n• m способами.

Например. Записать формулу для события - ровно одно попадание при двух выстрелах.

Обозначим событие А={ровно одно попадание при двух выстрелах}, события В1 ={попадание при первом выстреле} и В2 = {попадание при втором выстреле}. Тогда формула для события А примет вид А = В1 • В2 + В1 • В2.

События называются равновозможными в данном испытании, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. События образующие полную группу несовместных и равновозможных событий называют случаями. При рассмотрении таких испытаний работает « схема урн»

классифицируют на благоприятные (событие наступило) и неблагоприятные (событие не наступило).

Вероятность события А обозначается Р(А) и определяется формулой где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Пример. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет нечетное число очков.

Решение. Введем обозначение: событие А={выпадение нечетного числа очков}, элементарные исходы А1 ={выпало одно очко}, А2 ={два очка}, А 3 ={три очка}, А4 ={четыре очка}, А5 -{пять очков}, А6 ={шесть очков}. Число всех возможных исходов равно n=6.

Рассмотрим событие А={выпадение нечетного числа очков}, данному событию благоприятствуют элементарные – исходы А1, А 3 А5.Следовательно число благоприятных исходов m = 3. Тогда Р(А)= =0,5.

Ответ : вероятность равна 0, Пример. B группе 12 студентов, среди которых 8 отличников.

По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов будут 6 отличников.

Решение. Событие A={среди отобранных студентов будут отличников}.

Общее число исходов n - равно числу способов, которыми можно отобрать 9 студентов из 12.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих появлению события А. Из 8 отличников 6 можно отобрать C86 способами. Так как нужно 9 человек, остальных 3 отбираем среди неотличников. Троих студентов - неотличников из четырех можно отобрать С 43 способами.

По теореме умножения комбинаторики m = C86 • С 43. Тогда Р(А)= С86 • С 4 28 • Ответ: вероятность равна 1. B партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей?

2.При стрельбе из винтовки относительная частота поражения цели оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

3. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры, и помнит лишь то, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

4. В урне 4 белых, 6 черных шаров. Из урны вынимают наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

5. Брошены двё - игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков - четная; причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

6. B ящике 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных.

Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

7. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь одну окрашенную грань 8. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем ; 6) не есть дубль.

9. Задумало двузначное число. Найти вероятность того; что задуманным числом окажется случайно названное число.

10. Из пяти букв разрезанной азбуки составлено слово «книга».

Ребенок, не умеющий читать, рассыпал карточки с буквами и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

11. Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число делится на 3.

12. В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

13. B мастерскую для ремонта поступили 10 часов. Известно, что 6 штук из них нуждаются в общей чистке механизма. Мастер берет случайным образом 5 часов. Определить вероятность того, что двое из этих часов нуждаются в общей чистке механизма.

14. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность, что все три детали без дефектов?

15. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

16. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 40 рубля каждая, три книги - по 30 руб. и две книги - по 10 руб. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 50 рублей.

17. Задумало двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное число, цифры которого различны.

18. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность, что по крайней мере одна деталь без дефектов?

19. Куб, все грани которого окрашены, распилен на кубиков одинакового размера, которые затем перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь три окрашенных грани.

20. Из пяти букв разрезанной азбуки составлено слово «клоун».

Ребенок, не умеющий читать, рассыпал карточки с буквами и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «клоун».

21. В партии 300 деталей первого сорта, 200 – второго,60 – третьего. Какова вероятность что наугад отобранные три детали будут одного сорта?

22. Пин код карты банкомата состоит из 4 цифр. Владелец забыл первые две, но запомнил что все 4 цифры различны. Какова вероятность, что он наберет правильный номер, если после третьего неправильного ввода пин кода карта блокируется?

23. В лотерее билеты с номерами из 5 цифр (1,2,3,4,5).Найти вероятность выигрыша студента, если известно, что им приобретено 100 билетов?

24. Устройство состоит из 6 элементов, из которых два изношены. С начала работы устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность, что включенными окажутся неизношенные элементы.

25. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Его экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность, что студент знает все три вопроса взятого билета?

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Если опыт сводится к бесконечному числу равновозможных случаев, то применяется геометрическое определение вероятности.

Пусть событие А состоит в том, что случайная точка попадает в область, являющуюся частью тогда вероятность события А определяется формулой Пример. Территория нефтебазы имеет форму прямоугольника со сторонами а = 50 м, б = 30 м. На территории имеется емкость диаметром 10 м. Какова вероятность поражения емкости бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы любую точку нефтебазы равновероятно?

Решение. Событие А = {поражение емкости бомбой, попавшей на территорию нефтебазы. где ( ) - число благоприятных исходов равно площади заштрихованного круга, а число всех исходов () - площади прямоугольника (рис.1).

Ответ : вероятность рана Р ( А) = Пример. Найти вероятность того, что сумма двух наудачу взятых положительных правильных дробей не больше 1.

Решение. Обозначим через х и у данные дроби. По условию задачи х < 1, у < 1. Рассмотрим событие A ={сумма дробей не