[ «Коган Е.А., Лопаницын Е.А. РЯДЫ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие по дисциплине Математика для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и ...»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАМИ)
Коган Е.А., Лопаницын Е.А.
РЯДЫ ФУРЬЕ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие по дисциплине «Математика»для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров очного отделения Одобрено методической комиссией по математическим и естественно-научным дисциплинам Москва Разработано в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом ВПО 2011 г. для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров очного отделения на основе рабочей программы дисциплины «Математика».
Рецензенты:
проф., д.т.н. Ю.Г.Балакирев, кафедра «Прикладная и вычислительная математика» им. Э.И.Григолюка университета машиностроения;
проф., д.ф.- м.н. В.И.Мышенков, кафедра «Математическое моделирование» Московского государственного университета леса.
Работа подготовлена на кафедре «Прикладная и вычислительная математика» им. Э.И.Григолюка Ряды Фурье и дифференциальные уравнения математической физики.
Учебное пособие по дисциплине «Математика» для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров очного отделения. ФГБОУ ВПО «Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)».
2012. 137 с.
Пособие предназначено для изучения разделов дисциплины «Математика», посвящённых рядам Фурье и уравнениям математической физики. Оно содержит теоретические сведения в объёме лекционного курса и подробно разобранные примеры решения типовых задач. Пособие может быть использовано студентами в качестве руководства для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических занятий. Библ.12, илл.18.
© Коган Е.А., Лопаницын Е.А.
© Университет машиностроения,
СОДЕРЖАНИЕ
Часть 1. Ряды Фурье……………………………………………….. Введение……………………………………………………………. 1. Постановка основной задачи гармонического анализа и её решение………………………………………………………….. 2. Различные формы разложения функций в ряд Фурье………... 2.1. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций с периодом T = 2…2.2. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом T = 2l……………………………………………………….. 2.3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций…… 2.4. Разложение в ряд Фурье функции f(x), определённой на отрезке [0, l]……………………………………………….. 2.5. Комплексная форма ряда Фурье………………………….. 2.6. Обобщённый ряд Фурье. Ортонормированные системы функций……………………………………………………. 3. Применение рядов Фурье к интегрированию дифференциальных уравнений………………………………………………. Часть 2. Дифференциальные уравнения математической физики………………………………………………………….. 1. Классификация уравнений и постановка задач математической физики……
2. Уравнения гиперболического типа……………………………. 2.1. Задача о собственных колебаниях струны………………. 2.1.1. Вывод волнового уравнения……………................. 2.1.2. Постановка начально-краевой задачи для волнового уравнения……………………
2.1.3. Решение однородного волнового уравнения методом разделения переменных (методом Фурье).. 2.2. Продольные колебания стержня………………………..... 2.3. Решение неоднородного волнового уравнения методом разложения по собственным функциям………………… 2.3.1. Задача о вынужденных колебаниях струны при отсутствии начальных возмущений………………. 2.3.2. Решение задачи о вынужденных колебаниях струны с учётом начальных возмущений…………….. 2.3.3. Редукция общей неоднородной начально-краевой задачи для волнового уравнения………………….. 2.4 Решение волнового уравнения в круговой области…….. 2.4.1. Уравнение и функции Бесселя………….................. 3. Уравнения параболического типа…………………………….. 3.1. Вывод уравнения теплопроводности стержня………….. 3.2. Постановка начально-краевых задач для уравнения теплопроводности стержня…………………………………… 3.3. Решение однородного уравнения теплопроводности методом разделения переменных…………………………… 3.4. Решение уравнения теплопроводности для случая стационарной неоднородности………………………………. 3.5. Решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности со смешанными однородными граничными условиями……………………………. 3.6. Решение уравнения теплопроводности в полярных координатах………………………………………………….. 4. Уравнения эллиптического типа………………………………. 4.1. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа……... 4.2. Фундаментальные решения уравнения Лапласа………… 4.3. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области……………………………………….. 4.5. Решение краевой задачи для уравнения Пуассона в виде двойного тригонометрического ряда Фурье…………….. 4.6.1. Решение уравнения Гельмгольца в прямоугольной области………………………………………… 4.6.2. Решение уравнения Гельмгольца в круговой области………………………………
4.7. Бигармоническое уравнение. Решение Навье…………… Варианты расчётно-графической работы………………………… Тригонометрические ряды Фурье1 представляют собой эффективный математический аппарат, который широко применяется в математике для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, в задачах интерполяции, аппроксимации, обработки сигналов и экспериментальных данных и др. Особенно широко применяются ряды Фурье при изучении колебательных и периодических процессов и явлений.
Поэтому рассмотрим, прежде всего, определение и свойства периодических функций, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Как известно, функция f (x), определённая на всей числовой оси, называется периодической, если существует постоянное число T> такое, что для любого x, взятого из области её определения, справедливо равенство Геометрически периодическая функция характеризуется тем, что ординаты любых двух точек, абсциссы которых отличаются на величину, кратную периоду, равны между собой.
Можно указать следующие основные свойства периодических функций.
1. Если Т – период функции f(x), то и nT тоже её период, где n – любое целое число. Это следует сразу из последовательного рассмотрения равенств Следовательно, если функция f(x) периодическая, то она имеет множество периодов. Поэтому обычно под периодом функции подразумевают наименьший из всех положительных 2. Если функция f(x) имеет период Т, то функция (x) = f(ax) имеет период T/a. Действительно, 3. Если функция f(x) имеет период Т, то интеграл от этой функции, Ф у р ь е Жан Батист Жозеф (21 марта 1768 – 16 мая 1830) – французский математик.
взятый в пределах, отличающихся на период, не зависит от положения интервала интегрирования на числовой оси, то есть при любом a Действительно, как известно, определённый интеграл численно равен площади под кривой f(x) на интервале интегрирования. Но, как видно из рис.1, заштрихованные площади для обоих интегралов от периодической функции f(x) равны при любом a.
Наиболее распространённым и важным для приложений примером периодических функций являются так называемые гармоники.
Это функции вида описывающие незатухающие гармонические колебания с амплитудой A, частотой и начальной фазой. Они могут быть также записаны в виде Очевидно, период этих функций (по свойству 2) равен 2/. Легко убедиться в том, что при сложении гармоник разной частоты график результирующей функции будет заметно отличаться по виду от графика каждой из составляющих.
Например, суммой синусоидальных функций разных аргументов будет периодическая функция с периодом, равным периоду основного члена этой суммы sin t, график которой, как видно, существенно отличается от синусоиды (см. рис.2).
На практике большое значение имеет обратная задача: можно ли и при каких условиях разложить произвольную периодическую функцию f(x) с периодом T = 2 на сумму простых гармоник разной частоты, то есть представить её в виде суммы гармонических колебаний.
Эта задача и составляет предмет гармонического анализа или теории рядов Фурье.
Отметим, в дополнение к сказанному во введении, что метод разложения произвольной периодической функции на сумму простейших периодических функций оказался исключительно эффективным для решения задач, возникающих в самых разных областях естествознания и техники: в механике абсолютно твердого и деформируемого тела, в гидро- и аэромеханике, в теории колебаний, в электротехнике и радиотехнике, в акустике, при расчёте различных конструкций и инженерных сооружений и т.п. Многочисленные примеры применения гармонического анализа для решения различных прикладных задач широко освещены в учебной и научной литературе.
Для решения поставленной основной задачи гармонического анализа предварительно введём понятие основной тригонометрической системы функций. Это система функций вида:
Все функции, её образующие, имеют общий период 2 (хотя в соответствии со свойством 2 периодических функций cos nx и sin nx имеют и меньший период 2 / n ). Единица может рассматриваться, как постоянная величина, имеющая любой период, в частности, 2.
Рассмотрим интегралы от произведения функций, образующих основную тригонометрическую систему. Все интегралы будем вычислять на отрезке [–, ] длиной, равной периоду. Будем различать случая.
1) Для любых целых n 0 интегралы от произведения единицы на произвольные cos nx и sin nx Воспользуемся далее известными формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:
Как видно, все интегралы от произведения функций, стоящих на разных местах в основной тригонометрической системе, равны нулю.
Говорят, что функции n (x) и m (x) (n,m = 0,1,2,…) ортогональны на отрезке [a, b], если при n m При этом предполагается, что Поэтому можно сказать, что функции, образующие основную тригонометрическую систему, попарно ортогональны на отрезке [–, ].
А по свойству 3) периодических функций можно заключить, что функции, образующие основную тригонометрическую систему, попарно ортогональны на любом отрезке [a, a+2].
Вернёмся теперь к решению основной задачи гармонического анализа.
Предположим, что произвольную периодическую функцию с периодом T = 2 можно представить в виде равномерно сходящегося тригонометрического ряда то есть представить в виде суммы гармоник разной частоты.
Напомним, что бесконечный функциональный ряд называется сходящимся для данного значения x, если существует конечный предел его частичных сумм Величина s (x) называется суммой ряда, и для ряда, сходящегося для всех x из отрезка [a, b], сумма ряда определена на [a, b].
При этом функциональный ряд сходится равномерно на [a, b], если для любого заданного > 0 существует такой, не зависящий от x, номер N, что для всех n > N неравенство s ( x) sn ( x) выполняется одновременно для всех x [a, b].
Свойство равномерной сходимости означает, что при достаточно больших n графики суммы ряда s (x) и соответствующих частичных сумм sn (x) отличаются друг от друга менее чем на заданную малую величину.
Равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать, то есть для них допустима перестановка порядка суммирования и интегрирования [8] Воспользуемся этим свойством равномерно сходящихся рядов и свойством ортогональности тригонометрических синусов и косинусов для нахождения неизвестных коэффициентов ряда (1.1).
Сначала проинтегрируем равенство (1.1) почленно на отрезке ортогональности тригонометрических синусов и косинусов [–, ]:
В силу ортогональности тригонометрических синусов и косинусов все интегралы в правой части под знаком суммы равны нулю. Следовательно, получаем Умножим теперь почленно равенство (1.1) на cosmx и проинтегрируем на промежутке [–, ]. Тогда В правой части, из-за ортогональности тригонометрических функций, будут равны нулю первое слагаемое и все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла от произведения косинусов при n = m. Поэтому из всей суммы остаётся одно слагаемое:
Следовательно, Аналогично, умножая равенство (1.1) почленно на sinmx и интегрируя в пределах от – до, получим Такой подход к определению коэффициентов был применён Л.Эйлером2 во второй половине XVIII века, а позднее и независимо от него Ж.Фурье.
Равномерно сходящийся тригонометрический ряд (1.1), коэффициенты которого определяются по формулам (1.2)–(1.4), называется рядом Фурье для функции f(x).
Условия, при которых справедливо разложение (1.1), устанавливаются так называемыми условиями Дирихле3. Говорят, что функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет условиям Дирихле, если она на этом интервале кусочно-монотонна и ограничена (см. рис.3).
Функция f(x) кусочно-монотонна на отрезке [a, b], если его можно разбить конечным числом точек x1, x2, …, xn–1 на интервалы (a,x1), (x1,x2),…, (xn–1,b) так, что на каждом из них функция монотонна, то Э й л е р Леонард (15 марта 1707 – 18 сентября 1783) – швейцарский механик, физик и математик, (с 1727 г. по 1741г. и с 1766 г. до конца жизни жил и работал в России).
Д и р и х л е Петер Густав Леж (13 февраля 1805 – 05 мая 1859) – французн ский математик.
есть либо невозрастающая, либо неубывающая. Функция f(x) – кусочно-монотонная и ограниченная на [a, b], может иметь на этом отрезке только точки разрыва 1-го рода, то есть такие точки разрыва, для которых существуют конечные предельные значения функции при приближении её к точке разрыва x = c слева и справа (рис.3):
Можно показать, что справедлива следующая теорема о разложимости функции в ряд Фурье: если периодическая функция f(x) с периодом 2 удовлетворяет условиям Дирихле, то она может быть представлена в виде равномерно сходящегося тригонометрического ряда Фурье причём сумма членов полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в тех внутренних точках интервала (–, ), в которых функция f(x) непрерывна. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому предельных значений функции слева и справа от точки разрыва x = c, то есть а на концах интервала сумма равна Замечание. Условиям теоремы разложимости удовлетворяет весьма широкий класс функций. Так, для разложения функции в ряд Тейлора требуется, чтобы функция была не только непрерывной, но и бесчисленное число раз дифференцируемой (так как коэффициенты ряда Тейлора выражаются через начальные значения функции и её производных), а в ряд Фурье можно разложить функцию не только непрерывную, но и имеющую точки разрыва 1-го рода.
Т е й л о р Брук (18 августа 1685 – 29 декабря 1731) – английский математик.
Кроме того, в степенные ряды нельзя разлагать функции, выражающиеся на разных отрезках различными формулами. Тригонометрические ряды Фурье позволяют осуществлять разложение функций, заданных разными выражениями на разных отрезках. Поэтому ряды Фурье применяются очень широко.
2.1. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций Если функция f(x) является чётной, то есть f(–x)= f(x), то её график симметричен относительно оси ординат и Тогда формулы (1.2–1.4) упрощаются. Действительно, подынтегральная функция f(x)sinnx является нечётной, и bn = 0 как интеграл от нечётной функции в симметричных пределах, а коэффициент an будет равен так как подынтегральная функция f(x)cosnx является чётной.
Таким образом, ряд Фурье для чётной функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, не содержит синусов и имеет вид причём Если функция f(x) является нечётной, то есть f(–x) = –f(x), то её график симметричен относительно начала координат. Тогда a0 = 0, и так как функция f(x)cosnx является нечётной, то an = 0 как интеграл от нечётной функции в симметричных пределах. Функция f(x)sinnx будет чтной, и коэффициент bn будет равен Поэтому ряд Фурье для нечётной функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, содержит только синусы и имеет вид причём 2.2. Ряд Фурье для функций с произвольным Если f(x) – периодическая функция с периодом T=2l (где l > 0 – полупериод функции есть произвольное число), удовлетворяющая условиям Дирихле, то выполняя замену переменной по формуле x = lt/, получим функцию f (l t ) = (t ) переменной t с периодом 2. Её можно обычным образом разложить в ряд Фурье на отрезке [–, ]:
где Возвращаясь далее к старой переменной, то есть полагая t = x/l и учитывая, что dt = dx/l, получим в точках дифференцируемости где Ряд (2.5), коэффициенты которого определяются по формулам (2.6), также называется рядом Фурье для функции f(x) с периодом T = 2l.
В точках разрыва функции f(x) сумма ряда Фурье (2.5) будет определяться по формуле (1.5).
Аналогично (2.1–2.2) и соответственно (2.3–2.4) получим ряд Фурье для чётной функции с периодом T = 2l:
и ряд Фурье для нечётной функции с периодом T = 2l:
2.3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций Пусть f(x) – непериодическая, кусочно-монотонная и ограниченная функция, заданная на конечном отрезке [–l, l]. Присоединим к графику заданной функции все его горизонтальные смещения на расстояния, кратные 2l (на рис.4 они показаны пунктиром).
Тогда получим так называемое периодическое продолжение заданной функции на всю числовую ось. Получившаяся периодическая вспомогательная функция f * ( x), определённая на всей числовой оси, в соответствии с теоремой о разложимости может быть представлена в виде ряда Фурье (2.5), (2.6).
Но для всех x (l, l ), кроме точек разрыва x = ±l, значения вспомогательной функции совпадают с заданной: f * ( x) = f ( x). Следовательно, сумма членов ряда Фурье для вспомогательной функции во всех точках x (l, l ), кроме точек разрыва, даст значения заданной функции. Поэтому разложение непериодической функции в ряд Фурье в действительности осуществляется без привлечения вспомогательной функции непосредственно по формулам (2.5) и (2.6).
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), заданную на отрезке [-4,4].
Решение. График функции вместе с её периодическим продолжением представлен на рис.5.
Как видно из рисунка, функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Ряд Фурье для этой функции на отрезке [–4, 4] примет вид Коэффициенты ряда находим по формулам (2.6) при l = 4:
Так как функция f(x) имеет разные выражения на трёх участках промежутка [–4, 4], то каждый интеграл в (2.12) разбиваем на сумму трёх интегралов:
Коэффициенты bn определяются аналогично:
Таким образом, ряд Фурье для заданной функции примет вид или Во всех точках непрерывности функции f(x) сумма ряда S(x) совпадает с её значениями, а в точках разрыва она будет равна:
2.4. Разложение в ряд Фурье функции f(x), определённой на Функцию f(x), определённую на отрезке [0, l] и являющуюся на этом отрезке кусочно-монотонной и ограниченной, можно разложить в ряд Фурье многими способами. Для этого сначала надо представить продолжение функции на интервал [–l, 0]. Это можно сделать многими способами, но основными являются следующие два.
Если продолжение f(x) на интервал [–l, 0] чётное (симметричное относительно оси ординат), то ряд Фурье можно записать по формулам (2.7) и (2.8), то есть по косинусам.
Если продолжить функцию f(x) на [–l, 0] нечётным образом, то разложение в ряд Фурье будет представлено формулами (2.9) и (2.10), то есть по синусам. При этом оба ряда будут иметь в интервале (0, l) одну и ту же сумму.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x, заданную на промежутке [0, 1].
Первое решение – разложение в ряд по косинусам. Строим чётное продолжение функции в соседний полуинтервал [–1, 0]. График функции f(x) вместе с её чётным продолжением на [–1, 0] и периодическим продолжением с T = 2 на всю ось 0x показан на рис.6.
Так как l = 1, то ряд Фурье для данной функции при чётном разложении будет иметь вид при этом В результате получим при 0 x На всей оси 0x ряд сходится к функции, изображённой на рис.6.
Второе решение – разложение в ряд по синусам. Строим нечётное продолжение функции в соседний полуинтервал [–1,0]. График функции f(x) вместе с её нечётным продолжением на [–1,0] и последующим периодическим продолжением на всю числовую ось 0x показан на рис.7.
При нечётном разложении где Поэтому ряд Фурье по синусам для данной функции при 0 x < будет иметь вид В точке x = 1 сумма ряда будет равна нулю, хотя исходная функция равна 1. Это обусловлено тем, что при таком периодическом продолжении точка x = 1 становится точкой разрыва.
Из сравнения выражений (2.14) и (2.16) следует, что скорость сходимости ряда (2.14) выше, чем ряда (2.16): она определяется в первом случае множителем 1/n2, а во втором случае множителем 1/n. Поэтому разложение в ряд по косинусам в данном случае предпочтительнее.
В общем случае можно показать, что если функция f(x) не обращается в нуль хотя бы на одном из концов промежутка [0, l], то предпочтительнее её разложение в ряд по косинусам, так как при чётном продолжении в соседний полуинтервал функция будет непрерывной (см. рис.6), и скорость сходимости получающегося ряда выше, чем ряда по синусам. Если же функция, заданная на [0, l], обращается в нуль на обоих концах интервала, то предпочтительнее её разложение в ряд по синусам, так как при этом будет непрерывной не только сама функция f(x), но и её первая производная.
Пусть f(x) – функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, и ряд (1.1) является её рядом Фурье.
Воспользуемся формулами Эйлера, связывающими показательную функцию комплексного аргумента z с тригонометрическими синусом и косинусом и следствием из них и преобразуем общий член тригонометрического ряда Фурье к виду где Положим далее c0 = a0 2, тогда частичные суммы ряда Фурье можно представить в виде Учитывая формулы (1.3), (1.4) и формулу Эйлера, получим выражение для комплексных коэффициентов Фурье:
Эта формула справедлива и для n = 0, так как тогда и при n < 0, так как где cn означает комплексное число, сопряжённое cn.
В пределе при N найдём Полученный ряд коэффициенты которого определяются по формуле и называется рядом Фурье для функции с периодом 2 в комплексной форме.
Для функции f (x) с произвольным периодом T = 2l ряд Фурье в комплексной форме имеет вид где 2.6. Обобщённый ряд Фурье. Ортонормированные Пусть функция f(x), определённая на отрезке [a, b], может быть разложена в ряд по системе ортогональных на [a, b] функций n (x) :
где коэффициенты ai (i = 0,1,2...) являются постоянными числами.
Для определения коэффициентов разложения ai умножим равенство (2.17) на m (x) и проинтегрируем почленно на отрезке [a, b].
Получим равенство В силу ортогональности функций n (x) все интегралы в правой части равенства будут равны нулю, кроме одного, когда n = m. Отсюда следует, что Ряд (2.17), коэффициенты которого определяются по формуле (2.18), называется рядом Фурье по данной ортогональной системе функций или обобщённым рядом Фурье для функции f(x) [8].
Для упрощения формул для коэффициентов применяют так называемое нормирование функций.
Система функций 0 ( x), 1 ( x),…, n (x),… называется нормированной на отрезке [a, b], если Справедлива теорема: всякую ортогональную систему функций можно нормировать. Это означает, что можно подобрать брать постоянные числа µ0, µ1,…, µn,… так, чтобы система функций µ 0 0 ( x), µ11 ( x),…, µ n n (x),… была не только ортогональной, но и нормированной. Действительно, из условия следует, что Число называется нормой функции n (x). Если система функций нормирована, то, очевидно, n ( x) = 1.
Последовательность функций 0 ( x), 1 ( x),…, n (x),…, определённых на [a, b], является ортонормированной на этом отрезке, если все функции нормированы и взаимно ортогональны на [a, b].
Для ортонормированной системы функций коэффициенты обобщённого ряда Фурье равны Пример. Разложить функцию y = 2 3 x на отрезке 0 x 3 / 2 в обобщённый ряд Фурье по системе ортогональных на этом отрезке функций, в качестве которых взять собственные функции задачи на собственные значения предварительно проверив их на ортогональность.
Решение. На первом этапе решаем задачу на собственные значения. Так как общее решение уравнения + 2 = 0 будет и из граничных условий следует При = 0 общее решение уравнения будет ( x) = C1 x + C2, и из граничных условий получим C1 = C2 = 0, следовательно, приходим к тривиальному решению. Поэтому для существования нетривиального решения (x) необходимо принять Из этого тригонометрического уравнения находим Поэтому собственные значения параметра равны а соответствующие им собственные функции с точностью до множителя С2 будут На втором этапе проверяем ортогональность собственных функций на отрезке [0, 3/2]:
так как sin( n m) = sin(1 + n + m) = 0. При этом Следовательно, собственные функции на отрезке [0, 3/2] ортогональны.
На последнем этапе раскладываем заданную функцию в ряд Фурье по системе ортогональных собственных функций (2.22):
и находим Подставляя (2.24) в (2.23), окончательно получим Рассмотрим применение рядов Фурье к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений на примерах различных краевых задач. Одним из ярких примеров таких задач является задача об изгибе балки постоянного поперечного решения, различным образом закреплённой на концах.
Дифференциальное уравнение изгиба балки может быть записано в виде где w(x) – прогиб балки в произвольном поперечном сечении с абсциссой x, EI z = const – изгибная жёсткость балки (E – модуль упругости материала, I z – момент инерции поперечного сечения).
Пусть поперечная нагрузка на разных участках балки задана в виде (см. рис.8) Рассмотрим два варианта граничных условий.
Первый вариант граничных условий. Пусть граничные условия имеют вид:
Эти граничные условия соответствуют балке, свободно опёртой на левом конце и жёстко защемлённой на правом (см. рис.8а).
Раскладываем функцию q(x) в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, l] где Подставляем (3.3) в уравнение (3.1):
Уравнение (3.5) допускает непосредственное интегрирование. Интегрируя его первый раз получим уравнение 3-го порядка:
Аналогично находим Интегрируя последнее уравнение, получим общее решение дифференциального уравнения (3.1) в виде:
Для определения произвольных постоянных С1, С2, С3 и С4 подставляем решение (3.6) в граничные условия (3.2). Из первых двух условий при x = 0 следует При x = l из третьего и четвертого граничных условий получим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных С1 и С3:
Разрешая систему (1.37) и учитывая, что cos n = (1) n, находим Подставляя (3.7), (3.9) в (3.6), получим решение краевой задачи в виде или после подстановки bn и элементарных преобразований При x = l/2 прогиб балки будет При вычислении прогиба балки в середине пролета можно ограничиться первыми тремя членами ряда, поскольку, из-за наличия в коэффициентах ряда множителя 1/n4 четвёртое слагаемое даст поправку не более 0,4%. В результате найдём значение прогиба балки в середине пролета:
Второй вариант закрепления балки. Пусть балка свободно опёрта на обоих концах (рис.8б). Тогда граничные условия запишутся в виде:
Для данного варианта граничных условий искомая функция w(x) может быть разложена в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, l], равном длине балки:
так как каждый член ряда (3.11) удовлетворяет всем граничным условиям (3.10).
Подставляя (3.11) в уравнение (3.1), получим Далее раскладываем в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, l] правую часть уравнения (3.12), то есть принимаем При этом коэффициент bn для заданной нагрузки (см. рис.8) будет определяться по формуле (3.4). Подставляя такое представление q(x) в (3.12), получим равенство из которого следует Из (3.13) с учётом (3.4) неизвестный коэффициент разложения прогиба Wn выразится через известный коэффициент разложения нагрузки по формуле Поэтому решение краевой задачи (3.1) и (3.10) примет вид Так как ряд сходится очень быстро, то, ограничиваясь его первым членом, при x = l/2 получим Пример. В виде ряда Фурье найти решение краевой задачи где q(x) – ограниченная, кусочно-непрерывная на отрезке [0, 3] функция Решение. Представим y (x) в виде разложения в ряд Функции (3.14) удовлетворяют граничным условиям и ортогональны на отрезке [0;3]. Действительно, При n = m имеем Подставляя ряд (3.14) в уравнение, приходим к равенству Далее раскладываем в обобщённый ряд Фурье по той же ортогональной системе функций правую часть уравнения (3.15) Коэффициенты ряда (3.16) находим по формуле (2.18):
Подставляя (3.16) в (3.15), приходим к равенству из которого следует Из последнего равенства c учётом (3.17) находим Yn и, подставляя его в (3.14), получим решение краевой задачи в виде Часть 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
задач математической физики Большинство физических процессов различной природы моделируется дифференциальными уравнениями в частных производных.Наиболее часто при этом встречаются линейные уравнения второго порядка. Их изучение и составляет предмет математической физики.
Дифференциальным уравнением в частных производных называется соотношение между искомой функцией нескольких переменных, её частными производными и независимыми переменными.
Для двух независимых переменных x и y дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в общем случае имеет вид Наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение, определяет порядок дифференциального уравнения.
Если уравнение содержит производные высших порядков только в первой степени, то оно называется квазилинейным. В случае уравнения 2-го порядка оно имеет вид;
Уравнение называется линейным, если оно содержит искомую функцию и все её производные в первой степени. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными имеет следующий вид Коэффициенты линейного уравнения могут зависеть от переменных x и y. Тогда говорят, что уравнение (1.1) является уравнением с переменными коэффициентами. Если f(x,y) = 0, то уравнение (1.1) называется линейным однородным. В противном случае оно будет линейным неоднородным.
Всё многообразие уравнений математической физики может быть разделено на три класса. Уравнения каждого класса обладают общими свойствами решений. В каждом из этих классов есть простейшее уравнение, называемое каноническим. Принадлежность уравнения к тому или иному классу определяется соотношением между коэффициентами при старших производных.
Если в некоторой области плоскости x0y дискриминант уравнения (1.1) = a12 a11a22 > 0, то говорят, что уравнение (1.1) будет в этой области уравнением гиперболического типа.
Если в некоторой области плоскости x0y дискриминант = 0, то в этой области уравнение относится к параболическому типу. Наконец, если в некоторой области < 0, то уравнение в этой области будет уравнением эллиптического типа.
Такие названия типов дифференциальных уравнений связаны с тем, что дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка можно поставить в соответствие квадратичную форму для которой существует невырожденное преобразование, приводящее её в зависимости от знака дискриминанта или к уравнению гиперболы (при > 0 ) или параболы (при = 0 ), или эллипса (при Основными уравнениями математической физики являются:
Волновое уравнение Это однородное уравнение гиперболического типа. Оно описывает процессы поперечных колебаний струн, продольные колебания стержней, крутильные колебания валов, колебания тока и напряжения в проводах и вообще динамические процессы, связанные с распространением волн (здесь и далее x – пространственная координата, t – время).
Уравнение теплопроводности Это однородное уравнение параболического типа. Оно описывает процессы распространения тепла в стержнях, в стенках бесконечного протяжения, задачи фильтрации жидкостей и газов в пористых средах, процессы диффузионного типа и др.
Уравнение Лапласа Это однородное уравнение эллиптического типа. Уравнение Лапласа не содержит времени (x и y – пространственные координаты) и описывает стационарные процессы в электрических и магнитных полях, задачи стационарной теплопроводности, установившиеся диффузионные процессы, многие стационарные задачи гидродинамики, прочности, задачи о потенциале поля тяготения и др.
Любое дифференциальное уравнение математической физики имеет бесчисленное множество решений. Для получения единственного решения необходимо задание дополнительных условий, которые позволяют однозначно описать конкретный физический процесс. Количество и вид этих условий зависят от характера и порядка производных, входящих в уравнение, от формы области, в которой ищется решение уравнения, от характера взаимодействия рассматриваемого тела (или процесса в выделенном теле) с окружающей средой. В общем случае дополнительными условиями могут быть начальные и граничные условия.
Начальные условия описывают состояние объекта в начальный момент времени. Для уравнения гиперболического типа ставятся два начальных условия соответственно второму порядку производной по времени, входящей в уравнение. Они характеризуют величины отклонений и скоростей точек объекта (струны, стержня и др.) в начальный момент времени. Для уравнения параболического типа ставится одно начальное условие, что соответствует первому порядку производной по времени (если искомая функция в уравнении теплопроводности u(x,t) – температура в произвольном сечении стержня в любой момент времени t, то начальным условием задаётся распределение температуры по длине стержня в начальный момент времени t = 0).
Граничные условия для волнового уравнения (если оно описывает, например, поперечные колебания струны конечных размеров) характеризуют поведение концов струны в процессе колебаний и зависят от характера их закрепления.
Для уравнения теплопроводности стержня граничные условия Л а п л а с Пьер Симон (23 марта 1749 – 05 марта 1827) – французский астроном и математик.
имеют существенно различный вид в зависимости от характера теплообмена концов стержня с окружающей средой.
Для уравнения эллиптического типа, как и для уравнения параболического типа, также различают разные краевые задачи в зависимости от условий на контуре рассматриваемой области.
Итак, постановка задачи математической физики включает задание дифференциального уравнения в частных производных, описывающего исследуемый процесс, а также в общем случае граничных и начальных условий, позволяющих получить единственное решение.
Если задача математической физики поставлена корректно, то её решение существует, единственно и устойчиво к малым изменениям исходных данных.
Требование непрерывной зависимости решения от исходных данных обусловлено тем, что физические данные, характеризующие начальное состояние системы, определяются, как правило, экспериментально, и всегда с некоторой погрешностью. Поэтому необходима уверенность в том, что малая погрешность в исходных данных будет приводить лишь к малой погрешности в решении, то есть решение задачи не должно существенно зависеть от погрешностей измерений.
Понятие корректной постановки задачи, введенное Ж.Адамаром6, является очень важным в математической физике.
Вместе с тем следует заметить, что объективно существуют и являются практически важными и так называемые некорректно поставленные задачи. К ним, например, относятся часто встречающиеся в приложениях обратные задачи – задачи идентификации объекта по результатам измерений некоторых его характеристик. Методы решения таких задач отражены в специальной литературе.
Ниже рассмотрены решения основных дифференциальных уравнений математической физики различного типа, базирующиеся на одном из наиболее общих методов математической физики – методе Фурье разделения переменных. В основе этого метода лежит возможность применения к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных принципа суперпозиции (наложения) частных решений, в соответствии с которым любая линейная комбинация частных решений однородного линейного уравнения также является решением этого уравнения. При этом частные решения отыскиваются в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от А д а м а р Жак Саломон (08 декабря 1865 – 17 октября 1963) – французский математик.
одной переменной. Для канонических уравнений математической физики, рассматриваемых ниже в прямоугольной и круговой областях, применение метода Фурье позволяет разделить переменные, то есть свести задачу отыскания функции двух (и более) переменных, являющейся решением дифференциального уравнения в частных производных, к принципиально более простой задаче отыскания решений независимых друг от друга обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.
Решение неоднородных уравнений строится при этом с помощью разложения искомых функций в ряды по собственным функциям соответствующей однородной задачи.
2.1. Задача о свободных колебаниях струны Струной называется гибкая упругая натянутая нить, не оказывающая сопротивления изгибу.
Рассмотрим натянутую струну, которая в начальный момент времени совмещена с отрезком [0, l] оси 0 x. Пусть концы струны закреплены неподвижно. Если струну тем или иным способом отклонить от первоначального положения, и затем предоставить самой себе, то она начнёт совершать колебания относительно положения равновесия, называемые свободными колебаниями (см. рис.9). Требуется найти закон этих колебаний, то есть зависимость перемещения точек струны от времени.
Будем предполагать, что струна однородна, то есть имеет постоянную линейную плотность [кгсек2/м4] ( = g ; – удельная плотность материала [кг/м3], g = 9,81 м/сек2 – ускорение силы тяжести). Примем также, что колебания струны происходят в одной плоскости, и отклонения точек струны от положения равновесия малы настолько, что увеличением длины струны в процессе колебаний можно пренебречь, то есть можно считать, что длина ds элемента MM струны Допущение о малости колебаний, означает, таким образом, что пренебрегается квадратом угла поворота u 2 по сравнению с единицей, и движение каждой точки струны происходит перпендикулярно оси x (см. рис.9). Такие колебания будут описываться функцией двух переменных u ( x, t ).
Рассмотрим произвольно выделенный малый элемент струны MM и заменим действие отброшенных участков внешними силами натяжения. Так как струна не обладает изгибной жесткостью, то сила натяжения струны в произвольной точке всегда направлена по касательной к «мгновенному» профилю струны.
Тогда условие равновесия сил, действующих на элемент струны, в проекции на ось x запишется в виде В силу принятого допущения о малости отклонений точек струны от положения равновесия в процессе колебаний можно принять, что cos cos( + d ) 1. Поэтому из уравнения равновесия следует, что dT = 0 и T = const, то есть усилие натяжения во всех точках струны будет одинаковым.
Вертикальная составляющая сил натяжения уравновешивается поперечными силами инерции.
Составляя на основании принципа Даламбера 7 уравнение равновесия сил, действующих на элемент струны, в проекции на ось 0y, приходим к равенству где dx – масса, а u t – ускорение точек элемента струны. Так как ds dx и углы и + d малы, то можно считать, что Поэтому Здесь на основании теоремы Лагранжа8 о конечных приращениях [8] частное приращение производной u / x при переходе от аргуД а л а м б е р Жан Лоран (16 ноября 1717 – 29 октября 1783) – французский механик, физик и математик.
Л а г р а н ж Жозеф Луи (25 января 1736 – 10 апреля 1813) – французский механик и математик.
ментов ( x, t ) к аргументам ( x + dx, t ) заменено её частным дифференциалом, то есть величиной 2u ( x, t ) x 2.
Подставляя (2.2) в (2.1) и обозначая приводим уравнение (2.1) к виду Это уравнение и описывает процесс малых свободных поперечных колебаний струны и называется одномерным волновым уравнением. Это уравнение и его решение впервые были получены Ж.Даламбером в 1743 году.
Рассмотрим постановку начально-краевой задачи для волнового уравнения на примере задачи о малых свободных поперечных колебаниях струны конечной длины с закреплёнными концами.
Требуется решить однородное волновое уравнение при однородных граничных условиях и начальных условиях где U 0 ( x), V0 ( x) – заданные функции, описывающие соответственно отклонения и скорости точек струны в начальный момент времени.
методом разделения переменных В соответствии с методом разделения переменных сначала ищется частное ненулевое решение однородного уравнения (2.3), удовлетворяющее лишь однородным граничным условиям (2.4), в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:
Подставляя (2.6) в (2.3), получим Разделив обе части уравнения на a 2 X ( x)T (t ) 0, приходим к равенству В этом равенстве при изменении t левая часть, не зависящая от t, остаётся постоянной, поэтому будет постоянной и равная ей правая часть, то есть обе части равенства (2.7) не зависят от t. С другой стороны, при изменении x правая часть равенства, не зависящая от x, будет оставаться постоянной, значит, будет постоянной и не зависеть от x и равная ей левая часть. Таким образом, обе части равенства (2.7) не зависят ни от x, ни от t. Следовательно, они являются постоянными.
Обозначая эту постоянную через, (её называют постоянной разделения), то есть принимая получим два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения 2-го порядка Подставляя далее (2.6) в граничные условия (2.4), получим В результате для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значения (2.9), (2.10) (задаче Штурма 9– Лиувилля10).
Эта задача имеет нулевое (тривиальное) решение X 0, не представШ т у р м Жак Шарль Франсуа (29 сентября 1803 – 18 декабря 1855) – французский математик.
Л и у в и л л ь Жозеф (24 марта 1809 – 08 сентября 1882) – французский математик.
ляющее физического интереса, так как тогда u ( x, t ) 0. Однако при некоторых значениях параметра, называемых собственными значениями, задача (2.9), (2.10) имеет решения, не равные тождественно нулю. Эти решения называются собственными функциями.
Покажем, прежде всего, что ненулевые решения задачи (2.9), (2.10) существуют при < 0. Доказательство от противного.
Пусть = 0. Тогда уравнение (2.9) примет вид Его общее решение, очевидно, будет X ( x) = C1 x + C2. Определяя далее произвольные постоянные из граничных условий (2.10), находим Пусть > 0 ( = 2, > 0). Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (2.9) имеет вид k 2 2 = 0. Его корни действительны и различны: k1, 2 = ±.
Поэтому общее решение уравнения (2.9) запишется в виде Подставляя его в граничные условия (2.10), получим систему однородных линейных алгебраических уравнений которая имеет единственное нулевое решение C1 = C2 = 0. Соответственно задача (2.9), (2.10) будет иметь только нулевое решение X ( x) = 0.
Пусть < 0 ( = –2, > 0). Тогда корни характеристического уравнения будут мнимыми: k1, 2 = ± 2 = ±i. Поэтому частные линейно независимые решения будут и общее решение уравнения (2.11) запишется в виде Из первого граничного условия (2.10) получаем C1 = 0, а из второго граничного условия следует Если C2 = 0, то опять получим нулевое решения X ( x) = 0. Поэтому, чтобы существовало нетривиальное решение задачи, необходимо принять Из уравнения (2.14) следует l = n, где n = ±1,±2,... ( n 0, так как 0 ). Поэтому собственные значения параметра для задачи (2.9), (2.10) будут (так как собственные значения будут различными для разных n, то им приписывается соответствующий индекс).
Соответствующие им собственные функции с точностью до постоянного множителя C2 определяются по формуле Здесь уместно объяснить причину, по которой выше было принято рассматривать только положительные значения параметра. Это было сделано потому, что при отрицательных значениях или номера n будут получаться собственные функции, отличающиеся лишь постоянным множителем.
Заметим, что собственные функции (2.16) ортогональны на отрезке [0, l].
С учетом (2.15) уравнение (2.8) запишется в виде Его общее решение:
Подставляя (2.16) и (2.18) в (2.6) и суммируя частные решения линейного однородного уравнения (2.3), получим Произвольные постоянные An и Bn находим далее из начальных условий. Подстановка (2.19) в (2.5) приводит к равенствам Если функции U 0 ( x) и V0 ( x) удовлетворяют условиям Дирихле, то произвольные постоянные An и Bn могут быть определены как коэффициенты Фурье для соответствующих функций при разложении их в ряды Фурье по синусам на промежутке [0, l], равном длине струны. Тогда Выражение (2.19) с учетом (2.22) и (2.23) и даёт окончательное решение задачи о малых собственных поперечных колебаниях струны.
В полученном решении разные значения n соответствуют различным собственным формам колебаний струны. Функцию введением вспомогательного угла n = arctg( An Bn ) легко преобразовать к виду где Fn = An2 + Bn2.
Из (2.24) следует, что все точки струны совершают гармонические колебания относительно положения равновесия с одинаковыми частотами n = na l и амплитудой Fn sin( nx l ), зависящей от продольной координаты x точки струны. Такие колебания называются стоячими волнами. При этом максимальное отклонение от положения равновесия будет достигаться при sin( nx l ) = ±1, то есть в точках с абсциссами x = (2k + 1)l (2n), (k = 0, 1, 2,..., n 1) на отрезке [0, l]. Точки, в которых отклонения достигают максимума, называются пучностями. Но при колебаниях струны имеются и неподвижные точки, которые называются узлами стоячей волны. Они определяются из условия sin( nx l ) = 0. Таких точек на отрезке [0, l] будет (n + 1) с абсциссами x = kl n, (k = 0,1, 2,..., n).
Первые три формы колеблющейся струны в разные моменты времени показаны на рис.10.
Результирующее отклонение u ( x, t ) произвольной точки струны, как следует из (2.19), равно сумме отклонений, соответствующих разным формам колебаний.
Частоты колебаний n = na l называются собственными частотами. Наименьшая собственная частота колебаний соответствует n = 1 и равна Она соответствует основному тону колебаний струны. Как видно, частота основного тона колебаний тем выше, чем сильнее натянута струна и чем она короче и легче. Высшие тона колебаний называются обертонами.
Пример. Найти закон колебания струны длиной l, если в начальный момент струне придана форма кривой а затем струна отпущена без начальной скорости. Струна закреплена на концах. Внешние силы отсутствуют.
Решение. Задача сводится к решению однородного волнового уравнения (2.4) при однородных граничных условиях (2.5) и начальных условиях Для рассматриваемого случая, очевидно, Bn = 0, так как согласно (2.5) V0 ( x) = 0. Подставляя в (2.22) после двукратного интегрирования по частям находим Подстановка (2.26) в (2.19) с учетом Bn = 0 приводит к решению задачи в виде Стержнем называют тело, размеры поперечного сечения которого малы по сравнению с его длиной. Как известно, стержень является основным расчётным объектом в сопротивлении материалов.
Будем рассматривать призматический стержень постоянного поперечного сечения с прямолинейной осью. Если стержень предварительно растянут или сжат осевыми силами, и в момент времени t = действие сил мгновенно прекращается, то он будет совершать свободные (собственные) продольные колебания.
Будем предполагать, что при этом сечения, перпендикулярные к продольной оси стержня, оставаясь плоскими, будут смещаться только вдоль оси абсцисс 0x, совпадающей с продольной осью стержня (см. рис.11). Предполагаем также, что стержень однородный, то есть выполнен из материала с постоянной линейной плотностью.
Пусть u ( x, t ) [м] – продольное перемещение поперечного сечения стержня с абсциссой x в момент времени t, E – модуль упругости материала стержня [Па], F – площадь поперечного сечения стержня [м2], l – его длина [м].
Относительное удлинение (деформация) стержня в сечении с абсциссой x в момент времени t равно Внутренние нормальные силы определяются по закону Гука 11 и равны:
Следовательно, равнодействующая внутренних нормальных сил упругости, приложенных к элементу стержня, равна Эта сила уравновешивается возникающими при продольных колебаниях силами инерции Fdx ( 2u t 2 ).
Приравнивая в соответствии с принципом Даламбера сумму сил, действующих на выделенный элемент стержня, нулю:
получим уравнение продольных колебаний стержня где теперь a = E – скорость распространения упругих волн в материале стержня, скорость звука в материале [м/сек].
Как видно, уравнение малых свободных продольных колебаний стержня совпадает по форме записи с уравнением малых поперечных Г у к Роберт (18 июля 1635 – 03 марта 1703) – английский физик.
колебаний струны (2.4).
Различие между этими задачами будет проявляться в постановке граничных условий. Ограничимся случаем консольного защемлённого стержня (рис.12).
Очевидно, на левом конце стержня Так как на свободном конце стержня внешних сил нет, то равнодействующая внутренних нормальных сил упругости N = EF [u (l, t ) x] должна быть равна нулю, откуда следует Как видно, в отличие от задачи о свободных поперечных колебаниях закреплённой по концам струны (2.3–2.5), граничные условия теперь являются «смешанными», то есть ставятся на функцию и её производную.
Начальными условиями определяются продольные перемещения и скорости поперечных сечений стержня в момент времени t = 0 :
где f (x) и (x) – заданные функции.
Найдём решение начально-краевой задачи (2.29–2.32) методом разделения переменных.
Как и выше, представляя ненулевое частное решение уравнения (2.29) в виде (2.6), после обычных преобразований, характерных для метода разделения переменных, получим уравнения (2.8) и (2.9).
Подставляя (2.6) в граничные условия (2.30), (2.31), находим Таким образом, для определения функции X (x) теперь приходим к задаче на собственные значения (2.11), (2.33). Общее решение уравнения (2.11) имеет вид Из граничных условий (2.33) следует Ненулевые решения задачи будут получаться только при условии то есть при l = 2 + n, (n = 0,1,2,...). Поэтому собственные значения задачи равны а соответствующие собственные функции (с точностью до множителя) Эти функции ортогональны на интервале (0, l). Действительно, при m n При m = n имеем С учётом (2.34) уравнение (2.8) запишется в виде Его общее решение Подставляя (2.35), (2.37) в (2.6) и суммируя частные решения линейного однородного уравнения (2.29), находим решение задачи в виде ряда Произвольные постоянные An и Bn определяем из начальных условий (2.32):
где An и Bn можно рассматривать как коэффициенты разложения функций f (x) и (x) в ряды Фурье по системе ортогональных функций sin[(2n + 1)x (2l )]. Поэтому согласно (2.18) из части 1 находим Подставляя An и Bn в ряд (2.38), получим окончательное решение задачи о свободных продольных колебаниях консольного защемлённого стержня.
2.3. Решение неоднородного волнового уравнения методом разложения по собственным функциям Неоднородным волновым уравнением называется уравнение вида в котором f ( x, t ) – плотность внешней силы, вызывающей вынужденные колебания струны, т. е. предел отношения где F – внешняя сила, действующая на участок струны [ x, x + x] в момент времени t.
Рассмотрим различные решения этого уравнения на примерах задач о вынужденных колебаниях струны с различными граничными и начальными условиями.
при отсутствии начальных возмущений К этой задаче сводится решение неоднородного волнового уравнения (2.39) с однородными граничными и начальными условиями Её решение её строится методом разложения по собственным функциям.
В соответствии с этим методом на первом этапе решается методом разделения переменных краевая задача для однородного волнового уравнения (2.3) при однородных граничных условиях (2.4).
Как было показано выше (см. п.2.1.3), собственные функции этой задачи определяются согласно (2.16): X n ( x) = sin(nx l ).
На втором этапе возвращаемся к неоднородному уравнению (2.39), и его решение ищем в виде разложения в ряд по собственным функциям однородной задачи При этом удовлетворяются граничные условия (2.40), а задача сводится к отысканию неизвестной функции U n (t ). Подставляя (2.42) в уравнение (2.39), получим Далее раскладываем в ряд Фурье на отрезке [0, l] по собственным функциям однородной задачи правую часть уравнения (2.43) При этом Подставляя (2.44) в уравнение (2.43), получим Приравнивая в этом равенстве выражения при одинаковых собственных функциях, приходим к уравнению Подставляя далее (2.42) в начальные условия (2.41), находим Таким образом, отыскание функции U n (t ) сводится к решению задачи Коши12 для обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (2.46) с начальными условиями (2.47). Общее решение уравнения (2.46) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения U n (t ) :
В общем случае, при произвольной непрерывной правой части в уравнении (2..46) частное решение ищется в соответствии с методом вариации произвольных постоянных в виде [12] К о ш и Огюстен Луи (21 августа 1789 – 23 августа 1857) – французский механик и математик.
Определитель Вронского, составленный из частных линейно независимых решений однородного уравнения (2.46), равен:
Поэтому производные от варьируемых функций Cn (t ) и Dn (t ) определяются по формулам:
Интегрируя дифференциальные уравнения первого порядка (2.50), находим Следовательно, частное решение неоднородного уравнения (2.46) может быть представлено в виде U (t ) = а общее решение согласно (2.48) будет Из начальных условий (2.47) следует Подставляя (2.51) с учётом (2.52) в (2.42), найдём закон вынужденных колебаний струны конечной длины при отсутствии начальных возмущений в виде Учитывая выражение (2.45) и меняя в (2.53) порядок суммирования и интегрирования, можно представить решение задачи (2.39)– (2.41) в виде или окончательно где введено обозначение Функция G ( x,, t ) называется функцией источника или функцией влияния мгновенного сосредоточенного импульса, приложенного на ограниченном отрезке [ 0, 0 + ]. Можно показать, что в пределе при 0, 0 получим функцию характеризующую влияние мгновенного сосредоточенного импульса мощности Зная воздействие мгновенной сосредоточенной силы, можно по формуле (2.54) найти закон колебаний струны под действием произвольной непрерывно распределенной силы f ( x, t ).
Если функция Fn (t ) в уравнении (2.46) имеет достаточно простой вид, то для определения частного решения можно воспользоваться методом подбора частного решения.
струны с учётом начальных возмущений Пусть требуется найти решение уравнения (2.39) при однородных граничных условиях (2.40) и неоднородных начальных условиях В силу линейности уравнения (2.39) для решения поставленной задачи применим приём редукции, а именно решение исходной начально-краевой задачи может быть представлено в виде где функция v( x, t ) является решением начально-краевой задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями и с начальными условиями а функция w( x, t ) является решением начально-краевой задачи для неоднородного волнового уравнения при однородных граничных и начальных условиях Задача (2.58)–(2.60) описывает свободные колебания струны, её решение известно (см. п.2.1.3, выражения (2.19), (2.22), (2.23)):
Задача (2.61)–(2.63) описывает вынужденные колебания струны при отсутствии начальных возмущений. Её решение представляется в виде разложения в ряды по собственным функциям однородной задачи:
Как было показано, отыскание функции Wn (t ) сводится к решению задачи Коши для обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с однородными начальными условиями Суммируя решения задач (2.58)–(2.60) и (2.61)–(2.63), получаем общее решение исходной задачи.
Пример. Найти закон колебаний однородной струны длиной l под действием внешней гармонической силы F ( x, t ) = (2 x l ) sin t, рассчитанной на единицу длины струны. Концы струны закреплены. Начальные условия Решение. Задача приводится к решению уравнения при однородных граничных условиях (2.40) и начальных условиях (2.68). Величины, и – константы.
Так как начальные условия неоднородны, применяем приём редукции, полагая Функция v( x, t ) определяется выражением (2.64). Из формул (2.22, 2.23) находим Поэтому Функция Fn (t ) определяется из выражения (2.45):
Для определения функции w( x, t ), используя (2.65) и (2.72), приходим к уравнению Общее решение уравнения (2.73) имеет вид Находим далее произвольные постоянные из начальных условий (2.68):
Следовательно, Подставляя (2.76) в (2.65), находим решение задачи (2.66), (2.67) в виде:
Суммируя решения (2.71) и (2.77), окончательно имеем Из полученного решения следует, что в случае, когда частота внешней возмущающей силы совпадает с одной из собственных частот колебаний струны n = na l (явление резонанса), отклонения струны от положения равновесия неограниченно возрастают. Это, конечно, является следствием принятой идеализированной математической модели колебаний, не учитывающей демпфирования.
2.3.3. Р е д у к ц и я о б щ е й н е о д н о р о д н о й н а ч а л ь н о краевой задачи для волнового уравнения Пусть уравнение и все краевые условия (граничные и начальные) неоднородны и имеют вид:
граничные условия начальные условия Принимаем где функция w( x, t ) ищется в виде линейной функции: w( x, t ) = kx + b, а коэффициенты k и b определяются из граничных условий (2.79):
Отсюда следует k = [ (t ) (t )] l. Поэтому При этом, как легко убедиться, для функции v( x, t ) получаются однородные граничные условия:
Подставляя (2.81) с учетом (2.82) в уравнение (2.78), приходим к неоднородному уравнению относительно функции v( x, t ) :
Начальные условия для функции v( x, t ) запишутся в виде Таким образом, отыскание функции v( x, t ) сведено к задаче (2.84), (2.83), (2.85) с однородными граничными условиями, которая далее решается с использованием приёма редукции (см. п.2.3.2). Найдя функцию v( x, t ) и подставляя её в (2.81), получим окончательное решение исходной задачи (2.78–2.80).
2.4. Решение волнового уравнения в круговой области Решения многих задач математической физики для некоторых областей – круга, кругового цилиндра, шара и других областей более сложных форм не выражаются через элементарные функции. Их удается выразить через специальные функции. К ним относятся, например, функции Бесселя 13, сферические функции, классические ортогональные многочлены и многие другие. Специальным функциям посвящена обширная литература [10] и др.
В качестве одного из примеров, приводящего к таким функциям, рассмотрим задачу о малых свободных осесимметричных колебаниях круговой мембраны.
Предварительно построим решение обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с переБ е с с е л ь Фридрих Вильгельм (22 июля 1784 – 17 марта 1846) – немецкий математик.
менными коэффициентами, к которому сводятся многие задачи математической физики:
Это уравнение называется уравнением Бесселя. Число k, входящее в уравнение (его называют порядком или параметром или индексом), может быть произвольным положительным числом (действительным или комплексным). Решения уравнения Бесселя при заданном k называются функциями Бесселя k -го порядка или цилиндрическими функциями. Ограничимся уравнениями Бесселя нулевого и первого порядков. В частности, при k = 0 уравнение Бесселя примет вид Решение уравнения можно искать в виде степенного ряда коэффициенты которого подлежат определению.
Степенной ряд допускает, как известно, почленное дифференцирование любое число раз. Поэтому, подставляя ряд (2.87) в уравнение (2.86), получим Приравнивая коэффициенты при всех степенях x нулю, приходим к системе уравнений для определения коэффициентов ряда:
Заметим, что точка x = 0 является особой точкой уравнения (2.86), поэтому необходимо принять a1 = 0. Следовательно, коэффициенты ряда с нечётными индексами будут равны нулю: a3 = a5 =... = 0.
Из последнего уравнения следует рекуррентная формула, связывающая два последовательных чётных коэффициента ряда с различными индексами Используя формулу (2.88) и оставляя a0 произвольным, можно выразить через него все остальные чётные коэффициенты ряда:
В результате решение уравнения Бесселя нулевого порядка (2.86) запишется в виде Итак, решение уравнения Бесселя определяется с точностью до произвольного множителя a0. Если принять a0 = 1, то получающаяся функция называется функцией Бесселя 1-го рода 0-го порядка.
С помощью признака Даламбера можно установить, что ряд (2.89) сходится абсолютно при любых значениях x. Функция Бесселя J 0 ( x) является чётной, и её график похож на график функции, описывающей затухающие колебания. Она имеет бесчисленное множество нулей (см. рис.13): µ1 = 2,4048 ; µ 2 = 5,5201; µ3 = 8,6537 ; µ 4 = 11,7915 ;
µ5 = 14,9309 ;… Таблицы нулей бесселевых функций приведены в справочной литературе [10].
Замечание 1. Легко убедиться в том, что уравнение заменой независимой переменной z = x приводится к уравнению Бесселя Его частным решением будет функция Бесселя J 0 ( z ), следовательно, решением уравнения (2.90) будет функция J 0 (x).
Пусть последовательно принимает значения положительных корней функции Бесселя J 0 ( x) : µ1, µ 2,..., µ k. Можно показать, что последовательность функций J 0 ( µ1 x), J 0 ( µ 2 x), …, J 0 ( µ л x) удовлетворяет на интервале (0; 1) следующему условию ортогональности:
Замечание 2. Решением уравнения Бесселя первого порядка ( k = 1) является функция Бесселя 1-го рода 1-го порядка:
Эта функция нечётная. График её показан на рис.13. Нули функции Бесселя 1-го рода 1-го порядка k равны: 1 = 3,8317 ; 2 = 7,0156 ;
3 = 10,1735 ; 4 = 13,3237 ; 5 = 16,4706 ;... Как видно, нули функций Бесселя J 0 ( x) и J1 ( x) перемежаются.
Рассмотрим теперь малые свободные поперечные колебания мембраны, натянутой на круговой контур радиуса R с центром в начале координат (см. рис.14).
Волновое уравнение в полярных координатах имеет вид Здесь r – полярный радиус точки, – полярный угол, u (r,, t ) – отклонение произвольной точки мембраны от положения равновесия.
Ограничимся случаем осесимметричных колебаний круговой мембраны, тогда отклонения u (r, t ) в любой момент времени не будут зависеть от. Поэтому уравнение осесимметричных колебаний мембраны примет вид Первое граничное условие, очевидно, будет Так как точка r = 0 является особой точкой уравнения (2.92). то из условия ограниченности решения в любой момент времени второе граничное условие записывается в виде Начальные условия, как обычно, имеют вид где U0(r) и V0(r) – заданные функции.
Применяя метод разделения переменных Фурье, будем отыскивать частное ненулевое решение уравнения (2.92), удовлетворяющее граничному условию (2.93) в виде Подставляя (2.96) в (2.92) и разделяя переменные, получим где – постоянная разделения.
Равенство (2.97) приводит к двум независимым уравнениям относительно T (t ) и U (r ) :
Уравнение (2.99) является уравнением Бесселя. Его общее решение представляется в виде линейной комбинации двух специальных функций:
где J 0 (r ) – функция Бесселя 1-го рода 0-го порядка, а N 0 (r ) – функция Бесселя 2-го рода 0-го порядка или функция Неймана14 0-го порядка [10]. Функция N 0 (r ) неограниченно возрастает по модулю Н е й м а н Карл Готфрид (07 мая 1832 – 27 марта 1925) – немецкий физик и математик.
при r 0, поэтому из условия ограниченности прогиба мембраны в центре (2.94) следует принять произвольную постоянную С2 = 0. Поэтому частное решение уравнения (2.99) может быть записано в виде Подставляя (2.101) в граничное условие (2.93), получим трансцендентное уравнение для определения собственных значений параметра Его решение будет где µ k – корни бесселевой функции. Поэтому собственные значения параметра равны:
а соответствующие собственные функции С учётом (2.103) уравнение (2.98) запишется в виде а его общее решение Подставляя (2.104) и (2.105) в (2.96) и суммируя частные решения, находим общее решение уравнения (2.92) Произвольные постоянные Ak и Bk определяем, подставляя решение (2.106) в начальные условия (2.95):
Выражения (2.107), (2.108) можно рассматривать как разложения функций U0(r) и V0(r) в ряды, называемые рядами Фурье–Бесселя [2].
В силу ортогональности бесселевых функций коэффициенты этих рядов определяются по формулам Подставляя коэффициенты (2.109), (2.110) в (2.106), находим окончательное решение поставленной задачи.
3.1. Вывод уравнения теплопроводности стержня Рассмотрим линейную задачу о распространении тепла в стержне.
Пусть дан однородный стержень длиной l, боковая поверхность которого теплоизолирована (см. рис.15), и теплообмен с окружающей средой осуществляется через торцевые сечения стержня. Будем считать стержень достаточно тонким. Тогда температуру во всех точках поперечного сечения в любой момент времени можно считать одинаковой. Если концы стержня поддерживаются при различных температурах, то от более нагретых зон стержня к менее нагретым будет перетекать тепло.
Количество тепла Q, протекающее через поперечное сечение стержня площадью S в единицу времени, пропорционально перепаду температур и площади поперечного сечения и определяется согласно экспериментально установленному закону Фурье где u ( x, t ) [град] – температура в произвольном поперечном сечении стержня с абсциссой x в момент времени t, коэффициент пропорциональности k – коэффициент теплопроводности материала стержня [вт/(мград)] (1 вт = 1 дж/сек = 0,239 кал/сек). При этом величина теплового потока считается положительной, если тепло распространяется в положительном направлении оси 0x. Поэтому количество тепла, протекающее через поперечное сечение стержня за время t (тепловой поток), будет равно Из физики известно, что количество тепла, которое нужно сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на u градусов равно где с – удельная тепломкость материала [дж/(кгград)], V = Sx – объём тела [м3], – удельная плотность материала [кг/м3].
Рассмотрим теперь малый элемент стержня, ограниченный поперечными сечениями x и x + x, и составим для него уравнение теплового баланса.
Приток тепла в элемент стержня x за время t равен разности тепловых потоков, прошедших через сечения x и x + x :
Здесь, как и при выводе волнового уравнения, использовалась теорема Лагранжа о конечных приращениях [8].
Приток тепла (3.3) приводит к повышению температуры элемента стержня на u. Приравнивая выражения (3.3) и (3.2) (на основании закона сохранения энергии), получим откуда следует где a 2 = k (c ) – коэффициент температуропроводности материала [м2/сек].
Уравнение (3.4) и описывает процесс распространения тепла в стержне и называется уравнением теплопроводности стержня.
3.2. Постановка начально-краевых задач для уравнения Требуется найти функцию u ( x, t ) – температуру в произвольном сечении x стержня в любой момент времени t, удовлетворяющую уравнению теплопроводности и заданным начальному и граничным условиям.
Начальное условие ставится одно соответственно первому порядку частной производной по времени, входящей в уравнение теплопроводности. Оно может быть представлено в виде где функцией U 0 ( x) задаётся распределение температуры по длине стержня в начальный момент времени.
Граничные условия могут иметь существенно различный вид в зависимости от характера теплообмена концов стержня с окружающей средой. Например:
– на концах стержня могут быть заданы различные температуры В частности, температуры могут быть постоянными (не зависящими от времени) – это так называемый случай стационарной неоднородности;
– теплообмен с окружающей средой может происходить по закону Ньютона15, согласно которому тепловой поток пропорционален перепаду температур между телом и окружающей средой:
где uс – температура внешней среды, h – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплообмена.
Возможны и многие другие варианты граничных условий. В дальнейшем, для возможности применения метода разделения переменных, ограничимся случаем однородных граничных условий, когда на концах стержня заданы нулевые температуры:
Н ь ю т о н Исаак (04 января 1643 – 31 марта 1727) – английский физик и математик.
3.3. Решение однородного уравнения теплопроводности методом Решение начально-краевой задачи (3.4)–(3.6) строится методом разделения переменных так же, как и решение волнового уравнения (см. п.2.1.3). Искомая функция u ( x, t ) представляется согласно (2.6) в виде Подстановка этого выражения в уравнение (3.4) приводит к равенству, аналогичному по структуре (2.7):
из которого после обычных рассуждений, характерных для метода разделения переменных, следует, что обе части равенства не зависят ни от x, ни от t и, следовательно, являются постоянными.
Обозначая, как и выше, эту постоянную через 2 ( > 0), то есть принимая получим два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения В отличие от волнового уравнения здесь для функции T(t) получается уравнение первого порядка (3.8).
Подстановка выражения (2.6) из части 1, в граничные условия (3.6) приводит после разделения переменных к граничным условиям для функции X(x) в виде (2.10) из части 1:
Итак, для определения функции X(x) приходим к той же самой задаче на собственные значения (2.11) и (2.10) из части 1, что и при решении волнового уравнения. Собственные значения n и собственные функции этой задачи X n (x) определяются соответственно по формулам (2.15) и (2.16) из части 1.
Подставляя (2.15) в (3.8), приходим к линейному дифференциальному уравнению первого порядка Разделяя переменные в уравнении (3.10) и интегрируя, находим его общее решение в виде где An – произвольная постоянная.
Подставляя далее функции X n (x) согласно (2.16) и Tn (t ) в (2.6) и суммируя частные решения линейного однородного уравнения (3.4), получим общее решение однородного уравнения теплопроводности в виде Произвольную постоянную An находим далее из начального условия (3.5):
Тогда Как видно из (3.12), решение уравнения теплопроводности носит по времени апериодически затухающий характер, что соответствует выравниванию температуры в стержне с течением времени.
Пример. Пусть требуется найти закон распределения температуры в однородном стержне длиной l (боковая поверхность которого теплоизолирована), если в начальный момент времени распределение температуры по длине стержня подчиняется заданному закону На концах стержня поддерживается постоянная нулевая температура.
Решение. Задача сводится к решению однородного уравнения теплопроводности (3.4) при однородных граничных условиях (3.5) и начальном условии (3.15).
Из выражения (3.14) с учётом (3.15) находим Подставляя (3.16) в (3.12), получим Пример. Пусть требуется найти решение задачи (3.4), (3.5) при начальном условии Решение. Общее решение этой задачи (3.12) содержит постоянную интегрирования An. Для определения её подставляем (3.17) в (3.14).
Получим В силу ортогональности тригонометрических функций интеграл будет отличен от нуля лишь при n = 1 :
Следовательно, из всей суммы в (3.12) остаётся только одно слагаемое, соответствующее n = 1. Поэтому решение задачи запишется в виде 3.4. Решение уравнения теплопроводности для случая Рассмотрим линейную задачу теплопроводности для случая, когда на концах стержня поддерживаются постоянные и различные ненулевые температуры где U1 и U2 – постоянные, а начальное условие имеет вид Чтобы можно было воспользоваться методом разделения переменных, необходимо свести исходную краевую задачу (3.4, 3.19, 3.20) к такой, в которой граничные условия будут однородными. Для этого введём новую функцию v( x, t ), связанную с искомой функцией u ( x, t ) соотношением где k и b – постоянные коэффициенты, которые подбираются из условий Тогда при имеем функция v( x, t ) удовлетворяет дифференциальному уравнению Подстановка же (3.21) с учётом (3.22) в начальное условие (3.20) приводит его к виду Итак, для определения функции v( x, t ) приходим к начальнокраевой задаче (3.24), (3.23), (3.25) с однородными граничными условиями. Решение её методом разделения переменных имеет вид (см.(3.12)) где В результате искомая функция u ( x, t ) будет равна 3.5. Решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности со смешанными Пусть требуется найти решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения параболического типа В уравнении (3.26) функция F ( x, t ) имеет смысл плотности внешнего источника ( F > 0) или стока ( F < 0) тепла.
Сначала находим методом разделения переменных собственные функции, рассматривая соответствующее однородное уравнение при однородных граничных условиях (3.27).
Представляя функцию u ( x, t ) в виде (2.6) из части 1, после разделения переменных получаем для определения функции X (x) уравнение (3.9), общее решение которого имеет вид:
Из граничных условий находим Ненулевые решения задачи будут при C2 0 и cos l = 0. Они дают собственные значения задачи, равные и соответствующие собственные функции (с точностью до множителя) Эти функции ортогональны на интервале (0, l ). Действительно, при m n При m = n Далее, в соответствии с методом собственных функций возвращаемся к исходному неоднородному уравнению (3.26) и представляем искомую функцию u ( x, t ) и правую часть F ( x, t ) в виде рядов по найденным собственным функциям однородной задачи (удовлетворяющим граничным условиям (3.27)):
В разложении (3.34) коэффициенты Fn (t ) определяются как коэффициенты разложения функции F ( x, t ) в обобщённый ряд Фурье по формуле (2.18) из части 1:
где интеграл вычисляется для заданной функции f1 ( x).
Подставляя (3.33) и (3.34) в (3.29), приходим к равенству из которого следует уравнение где обозначено Подстановка (3.33) в начальное условие (3.28) даёт Таким образом, для определения функции U n (t ) приходим к задаче Коши (3.37), (3.39) для обыкновенного линейного неоднородного уравнения первого порядка.
Решая уравнение методом вариации произвольной постоянной, находим с учётом (3.35) его общее решение в виде где Произвольная постоянная Cn определяется из начального условия (3.39). Подставляя далее (3.40) в (3.33), получим окончательное решение задачи.
Решение. Вычисляя интегралы I1, I 2 по формулам (3.36), (3.41), находим Поэтому Из начального условия (3.39) следует Подставим (3.42) и (3.43) в (3.33). Тогда решение задачи запишется в виде 3.6. Решение уравнения теплопроводности в полярных Рассмотрим задачу об определении закона распределения температуры по времени и по толщине бесконечно длинного кругового цилиндра радиуса R, боковая поверхность которого поддерживается при постоянной температуре, равной нулю, а начальная температура зависит от расстояния произвольной точки до продольной оси цилиндра.
В рассматриваемой постановке для любого поперечного сечения цилиндра задача будет осесимметричной, и искомая функция будет зависеть только от двух переменных: u = u (r, t ).
Уравнение теплопроводности в полярных координатах запишется в виде Первое граничное условие на внешнем контуре цилиндра (при r = R ):
Второе граничное условие вследствие ограниченности температуры при r = 0 ставится в виде Начальное условие:
где (r ) – заданная функция.
Решение начально-краевой задачи (3.44)–(3.47) строится методом разделения переменных. Принимая и подставляя (3.48) в (3.44), приходим к равенству где – постоянная разделения.
Из (3.49) следует, во-первых, уравнение первого порядка для T (t ) :
а для функции U (r ) (после подстановки (3.48) в граничные условия (3.45), (3.46)) приходим к рассмотренной выше задаче на собственные значения для уравнения Бесселя (см. п.2.4.2):
Собственные значения этой задачи согласно (2.103) k = µ k R, а соответствующие им собственные функции (2.104) где µ k – корни бесселевой функции нулевого порядка.
С учётом (2.103) уравнение (3.50) запишется в виде а его общее решение будет где Ak – произвольная постоянная.
Подставляя далее (3.51) и (3.52) в (3.48) и суммируя частные решения, получим Произвольную постоянную Ak в решении (3.53) находим из начального условия (3.47):
Вследствие ортогональности бесселевых функций, используя формулу (2.18) часть 1, находим Интеграл в знаменателе этой формулы равен [10]:
Поэтому Подставляя (3.55) в (3.53), получим окончательное решение задачи (3.44)–(3.47) в виде:
При изучении стационарных процессов различной физической природы обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространённым из них и играющим важную роль в приложениях является уравнение Лапласа.
Уравнение Лапласа обычно записывается в компактной форме где 2 = – так называемый оператор Лапласа, имеющий различный вид в зависимости от системы координат. Соответственно различным образом запишется и уравнение Лапласа. Так, в декартовой ортогональной системе координат x, y, z оператор Лапласа имеет вид В частности, для двумерного случая В цилиндрических координатах r,, z (r – полярный радиусвектор точки, – полярный угол):
В сферических координатах r,, (r – радиус-вектор точки, и – соответственно углы долготы и широты) Функции, непрерывные в области вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.
4.1. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа Для уравнения Лапласа различают разные краевые задачи в зависимости от условий на контуре рассматриваемой области.
Так, если на границе Г области, где действует уравнение Лапласа, задано значение искомой функции:
то говорят, что для уравнения Лапласа поставлена первая краевая задача (задача Дирихле).
Если на границе области задано значение нормальной производной от искомой функции:
( n – внешняя нормаль к границе), то говорят, что для уравнения Лапласа поставлена вторая краевая задача (задача Неймана).
Если на границе области задано условие, связывающее искомую функцию и её производную то поставлена третья или смешанная краевая задача. Здесь u 0, u1, u – непрерывные функции, определённые на границе.
4.2. Фундаментальные решения уравнения Лапласа Рассмотрим сначала решения уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической симметрией. В обоих случаях при этом искомая функция зависит только от одной переменной: u = u (r ), где r – расстояние произвольной точки пространства до начала координат.
В случае сферической симметрии уравнение Лапласа (4.2) запишется в виде Интегрируя это обыкновенное дифференциальное уравнение, находим его общее решение в виде Полагая C1 = 1, C2 = 0, получим функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа всюду, кроме точки r = 0, где она обращается в бесконечность:
Эту функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве.
В случае цилиндрической симметрии уравнение Лапласа (4.1) примет вид Интегрирование этого уравнения позволяет получить общее решение в виде Принимая C1 = 1, C2 = 0, получим функцию:
Эту функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости. Как видно, решение уравнения Лапласа в случае цилиндрической симметрии при r = 0 имеет логарифмическую особенность.
Фундаментальные решения уравнения Лапласа описывают, в частности в случае электростатической аналогии, распределение потенциала электростатического поля в вакууме, создаваемое точечным зарядом, расположенным в начале координат (4.4), или равномерно заряженной бесконечно протяженной нитью (4.6).
В случае сферической или цилиндрической симметрии легко может быть получено решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа (задачи Дирихле).
Например, пусть требуется найти стационарное распределение температуры по толщине сферического слоя a r b, если на наружной и внутренней поверхностях слоя поддерживаются заданные температуры:
Подставляя общее решение (4.3) в граничные условия (4.7), получим Разрешая эту систему относительно произвольных постоянных и подставляя их в (4.3), найдём решение поставленной задачи в виде Аналогично легко находится стационарное распределение температуры по толщине цилиндра a r b, если на его наружной и внутренней поверхностях поддерживаются заданные температуры:
Подставляя общее решение (4.5) в граничные условия и определяя произвольные постоянные, получим распределение температуры по толщине цилиндра по логарифмическому закону 4.3. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в Пусть требуется найти решение однородного уравнения эллиптического типа – уравнения Лапласа в прямоугольной области удовлетворяющее граничным условиям Здесь U 0 ( x), U1 ( x) – заданные функции от x, непрерывные на промежутке 0 x a и обращающиеся в нуль при x = 0 и x = a.
На рис.16 жирными линиями показаны границы области, для которых граничные условия являются неоднородными.
Метод Фурье разделения переменных применим и к решению уравнения Лапласа для таких простых областей, как прямоугольник, круг и т.п. Как и для уравнений гиперболического и параболического типов, частные решения отыскиваются в виде Подставляя решение (4.11) в уравнение (4.9), получим условие разделения переменных в виде где 0 – постоянная разделения.
Из последнего равенства следуют два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения второго порядка Подставляя (4.11) в граничные условия (4.10), получим В результате для определения функции X(x) приходим к той же самой задаче на собственные значения (2.10), (2.11), что и для волнового уравнения и для уравнения теплопроводности. Собственные значения этой задачи определяются по формуле а соответствующие этим значениям собственные функции с точностью до множителя равны Для функции же Y(y) из (4.13) с учётом (4.15) получаем линейное однородное уравнение Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (4.17) имеет действительные и различные корни. Поэтому частные решения уравнения (4.17) будут Удобнее в расчетах использовать их линейные комбинации - гиперболические функции В соответствии с принципом суперпозиции решений для линейных однородных уравнений эти функции также будут частными решениями уравнения (4.17). Поэтому общее решение уравнения (4.17) может быть записано в виде Подставляя теперь (4.16) и (4.18) в (4.11) и суммируя частные решения, получим решение уравнения (4.9), удовлетворяющее однородным граничным условиям (4.10) на вертикальных сторонах области:
Произвольные постоянные An и Bn находим из граничных условий (4.10) на горизонтальных сторонах области. При y = 0 и y = b из (4.19) следует где Из (4.20), (4.21) следует, что An и bn можно рассматривать как коэффициенты Фурье соответственно для функций U 0 ( x) и U 1 ( x) при разложении их в ряды Фурье по синусам на промежутке [0, a]. Поэтому Из (4.23) находим Подставляя далее формулы (4.23), (4.24) в равенство (4.19), после элементарных тригонометрических преобразований получим решение краевой задачи (4.9)–(4.10) в виде Пример. Пусть требуется решить краевую задачу (4.9)–(4.10) при Решение. В этом случае из (4.22)–(4.24) находим Подставляя (4.27), (4.28) в (4.25), получим решение задачи в виде Замечание. В силу линейности задачи из (4.25) для граничных условий следует решение задачи Дирихле а выражение даёт решение задачи Дирихле для граничных условий Производя в (4.25) замену x на y, а y на x и a на b одновременно с заменой b на a, получим решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области при неоднородных граничных условиях на вертикальных сторонах области в виде где Здесь U 2 ( y ), U 3 ( y ) – заданные функции y, непрерывные на промежутке 0 y b и обращающиеся в нуль при y = 0 и y = b.
Уравнением Пуассона называется неоднородное уравнение Лапласа. Рассмотрим его решение на следующих примерах.
Пример. Найти функцию u ( x, y ), удовлетворяющую уравнению Пуассона и однородным граничным условиям на прямоугольном контуре (см.
рис.17) Решение. Будем искать решение задачи (4.35), (4.36) в виде разложения в ряд по собственным функциям однородной задачи При этом удовлетворяются граничные условия на вертикальных сторонах области x = 0 и x = a.
Функцию Yn ( y ) следует определить так, чтобы функция u ( x, y ) П у а с с о н Симеон Дени (21 июня 1781 – 25 апреля 1840) – французский механик, физик и математик.
удовлетворяла уравнению (4.35) и граничным условиям на горизонтальных сторонах:
Для этого подставляем (4.37) в уравнение (4.35). Тогда получим В левой части уравнения имеем ряд Фурье по синусам на отрезке [0, a ]. Разложим функцию в правой части (4.38) также в ряд Фурье по синусам на том же отрезке:
Подставляем выражение (4.39) с учётом (4.40) в правую часть уравнения (4.38):
В результате для определения функции Yn ( y ) приходим к обыкновенному линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами:
Общее решение уравнения (4.41) имеет вид После подстановки (4.42) в равенство (4.37) получаем Константы An и Bn найдём из условия удовлетворения граничным условиям на горизонтальных сторонах области y = 0 и y = b. При y = 0 из условия u ( x,0) = 0 имеем откуда в силу произвольности функции sin(nx a ) следует При y = b из условия u ( x, b) = 0 с учётом (4.44) находим и, следовательно.
Из последнего равенства определяем Подставляя (4.44) и (4.45) в (4.43), приходим к решению поставленной задачи в виде Пример. Две стороны AC и BC прямоугольного однородного бруса OACB покрыты тепловой изоляцией (на рис.18 они выделены жирными линиями), а две другие поддерживаются при температуре, равной нулю. Найти стационарное распределение температуры при условии, что в брусе выделяется тепло с плотностью Q = const.
Решение. Задача сводится к решению уравнения (где k – коэффициент теплопроводности) при краевых условиях Сначала находим решение однородного уравнения Лапласа методом разделения переменных, принимая, как обычно, согласно (4.11) Тогда после обычных преобразований, характерных для метода разделения переменных, получаем для функций X(x) и Y(y) независимые обыкновенные линейные однородные уравнения (4.12), (4.13), а из граничных условий следует Таким образом, для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значения (4.12), (4.49). Собственные значения этой задачи а соответствующие собственные функции с точностью до множителя равны Раскладываем далее искомую функцию u ( x, y ) и правую часть в уравнении (4.46) в обобщённые ряды Фурье по системе ортогональных на [0, a ] функций (4.51):
При этом коэффициенты Fn определяются по формуле (2.18), полученной в части 1:
Подставляя (4.52) и (4.53) в уравнение (4.46), получим обыкновенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции Yn ( y ) :
Его общее решение запишется в виде Подставляя далее (4.56) в (4.52), получим Произвольные постоянные An и Bn в общем решении (4.57) находим из граничных условий (4.48) на горизонтальных сторонах области.
откуда в силу произвольности функции sin[(2n + 1)x 2a ] следует:
Из второго граничного условия (4.48) с учётом (4.58) находим Подставляя (4.58) и (4.59) в (4.57) и используя формулу сложения для гиперболических функций после несложных преобразований получим окончательное решение задачи в виде Пример. Найти решение уравнения Пуассона в прямоугольной области 0 x a, 0 y b при граничных условиях Решение. Решая сначала, как и в предыдущем примере, однородное уравнение Лапласа (4.9) методом разделения переменных и используя представление (4.11) с учётом граничных условий на вертикальных сторонах области (4.61) для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значения Собственные значения этой задачи будут а соответствующие собственные функции с точностью до множителя Далее раскладываем в ряды Фурье по собственным функциям однородной задачи искомую функцию u ( x, y ) и правую часть уравнения (4.60):
при этом Подстановка (4.66) и (4.67) в (4.60) после обычной процедуры позволяет получить обыкновенные линейные неоднородные уравнения второго порядка относительно функций Yn ( y ) (n = 0,1,2,…):
Подставляя затем (4.66) в граничные условия (4.62), в силу линейности задачи (4.60)–(4.62) можно представить граничные условия для функций Y0 ( y ) и Yn ( y ) в виде Таким образом, для определения функций Y0 ( y ), Yn ( y ) приходим к краевым задачам (4.69), (4.71) и соответственно (4.70), (4.72).
Общие решения уравнений (4.69) и (4.70) представляются в виде Далее должны быть определены произвольные постоянные в общих решениях (4.73), (4.74) из граничных условий (4.71), (4.72).
Окончательное решение поставленной задачи запишется после подстановки (4.73), (4.74) с учётом найденных значений произвольных постоянных в (4.66).
Решение u = u ( x, y ) краевой задачи для уравнения Пуассона в прямоугольной области может быть найдено в виде двойного ряда Фурье.
Искомую функцию и правую часть уравнения (4.75) представим в виде разложения в двойные тригонометрические ряды Фурье по синусам Ряд (4.77) выбран так потому, что каждый член ряда удовлетворяет всем граничным условиям задачи (4.76).
Для определения коэффициентов ряда умножим равенство (4.77) почленно на sin(kx a ) sin(ly b) и проинтегрируем по области:
В силу ортогональности тригонометрических синусов все интегралы в правой части при m k и соответственно при n l будут равны нулю. Поэтому получаем равенство откуда следует формула для коэффициентов двойного тригонометрического ряда Фурье по синусам:
Поэтому коэффициент Fmn будет определяться по формуле:
Подстановка рядов (4.77) и (4.78) в уравнение (4.75) приводит к равенству из которого следует и потому С учётом (4.81) и (4.80) окончательное решение исходной краевой задачи запишется в виде Однородным уравнением Гельмгольца называется уравнение вида где 2 – оператор Лапласа, а – параметр.
К решению уравнения Гельмгольца сводятся многие задачи математической физики.
Рассмотрим сначала решение двумерного однородного уравнения Гельмгольца в прямоугольной области 0 x a, 0 y b методом разделения переменных.
Пусть требуется найти решение уравнения (4.82) при однородных краевых условиях на границе Г прямоугольной области Принимая и подставляя в уравнение (4.82), приходим к равенству Г е л ь м г о л ь ц Герман Людвиг Фердинанд (31 августа 1821 – 08 сентября 1894) – немецкий физик.
Положим далее = µ +. Тогда В силу линейности уравнения (4.86) можно принять, что Следовательно, Подстановка (4.84) в (4.83) приводит к граничным условиям:
В результате решение однородной краевой задачи (4.82), (4.83) для уравнения Гельмгольца сводится к совокупности двух независимых задач на собственные значения (4.87), (4.89) и соответственно (4.88), (4.90). Решение каждой из них имеет вид:
Поэтому собственные значения исходной задачи (будем их обозначать двумя индексами) равны а соответствующие собственные функции Уравнение Гельмгольца в полярных координатах записывается в виде Пусть требуется найти его решение для любой внутренней токи круговой области r < R, если на границе области Кроме того, из условия ограниченности решения в центре круга следует принять Полагая и подставляя (4.96) в уравнение (4.93), получим и после деления на Y (r )Ф( ) r 2 0 приходим к равенству Особенность задачи в том, что функция u (r, ) не должна меняться при изменении полярного угла на величину, кратную 2, поэтому функция Ф( ) должна быть периодической:
В результате, для определения функции Ф( ) приходим к задаче на собственные значения с условием периодичности Эта задача может иметь нетривиальные решения только при = n 2, где n – целое число. Следовательно, получаем Частные решения этого уравнения Для определения функции U (r ) приходим к уравнению Бесселя:
с граничными условиями U r = R = 0, U r =0 <.
Общее решение уравнения (4.100) содержит линейную комбинацию функций Бесселя и Неймана n -го порядка. Так как функция Неймана неограниченно возрастает при r 0 [10], то решение уравнения (4.100), ограниченное во всей круговой области, в том числе и при r 0, следует принять в виде:
Подставляя (4.101) в граничное условие (4.94), получим трансцендентное уравнение Это уравнение имеет бесчисленное множество корней: xn1, xn 2,… (здесь первый индекс n означает порядок бесселевой функции, второй указывает на номер корня). Из равенства nk R = xnk следует выражение для собственных значений Поэтому соответствующие собственные функции будут равны Такая запись означает, что каждому собственному значению соответствуют две линейно независимые собственные функции:
В частности, в случае осевой симметрии (нет зависимости от и n = 0 ), решение запишется в виде где J 0 – функция Бесселя 1-го рода 0-го порядка.
Выше были рассмотрены классические уравнения математической физики, представляющие собой линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Однако уравнений второго порядка недостаточно для описания многих важнейших физических явлений. В качестве примера приведем решение бигармонического уравнения, к которому приводятся многие статические и динамические задачи механики и физики.
Уравнение вида где 2 – оператор Лапласа (см. п.4.1), называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до четвёртого порядка включительно, называются бигармоническими функциями.
Бигармоническое уравнение имеет различный вид в различных системах координат. В декартовой системе координат однородное бигармоническое уравнение записывается так:
и является дифференциальным уравнением в частных производных четвёртого порядка эллиптического типа.
«