ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Ю. Б. ВИНОГРАДОВ, Т. А. ВИНОГРАДОВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ГИДРОЛОГИИ

Учебное пособие

для студентов высших

учебных заведений

1

УДК 556(075.8)

ББК 26.22я73

В493

Р е ц е н з е н т ы:

д р геогр. наук, проф. Н. И. Алексеевский (МГУ им. М. В. Ломоносова);

д р геогр. наук, проф. А. М. Догановский (Российский государственный гидрометеорологический университет) Виноградов Ю. Б.

В493 Математическое моделирование в гидрологии : учеб. пособие для студ. учреждений высш. проф. образования / Ю. Б. Вино градов, Т. А. Виноградова. — М. : Издательский центр «Акаде мия», 2010. — 304 с.

ISBN 978 5 7695 Учебное пособие содержит материал о системах современных методов изучения, анализа и математического описания процессов формирования речного стока и опасных гидрологических явлений, объединенных под об щим понятием «математическое моделирование». Рассмотрены цели и воз можности моделирования, различные классификации моделей, принципы их проектирования, содержание гидрологических моделей, режимы моделиро вания, его использование в методах гидрологических расчетов и прогнозов нового поколения. Обсуждены особенности детерминированных и стохасти ческих математических моделей, особо отмечена их перспективность в гид рологических расчетах ближайшего будущего. Сформулированы предъявля емые к моделям требования — универсальность, адекватность, возможная простота, прозрачность структуры, работоспособность.

Для студентов учреждений высшего профессионального образования.

УДК 556(075.8) ББК 26.22я Оригинал макет данного издания является собственностью Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом без согласия правообладателя запрещается © Виноградов Ю. Б., Виноградова Т. А., © Образовательно издательский центр «Академия», © Оформление. Издательский центр «Академия», ISBN 978 5 7695 От авторов Математическое моделирование — пожалуй, самая сложная и еще не установившаяся отрасль гидрологии. Данное учебное пособие является одной из первых попыток систематического изложения ос новных задач и проблем этого развивающегося раздела гидрологии.

Мы — сторонники ведения диалога с читателями (особенно ког да это молодые люди, вступающие в науку) от первого лица. Нигде в книге не утверждаем, что некие истины непреложны, наоборот, излагаем их в полемической форме и тем самым стараемся ввести читателей в сложный мир современных гидрологических проблем.

При этом читатели должны сразу погрузиться в обстановку дискус сий и споров, а также привыкнуть к неоднозначности восприятия разными лицами природы и необходимой методологии ее изучения.

Все это должно несомненно способствовать возникновению у чита телей интереса к науке и желания сформировать обо всем собствен ное мнение.

Пользуемся случаем, чтобы выразить свою признательность мно гим студентам, магистрантам и аспирантам, принимавшим участие в реализации наших моделей на различных природных объектах.

Особо мы благодарны сотруднице Государственного гидрологиче ского института О. М. Семеновой за программирование, проведение расчетов и общую преданность обозначенной проблеме, а также С. А. Журавлеву, Н. С. Алексееву, И. Н. Бельдиман, А. Д. Медведевой за помощь в подборе материалов и оформлении рукописи учебного по собия.

Название вида Homo sapiens — «человек разумный», которое мы не всегда оправдываем, вполне можно было бы заменить на другое, может быть, даже более подходящее — «человек моделирующий», ибо окружающий нас мир мы воспринимаем вовсе не как один к одно му, а как систему создаваемых нами образов, идеализированных представлений, умозрительных моделей. Это касается и людей, и событий, и явлений природы. У каждого человека данные модели и образы достаточно индивидуальны, не всегда полноценны и часто ошибочны. Но мы продолжаем непрерывно моделировать, даже не задумываясь об этом. Выходит, что моделирование — наше обычное, нормальное и почти подсознательное состояние.

Когда же мы касаемся науки, кое кто все таки понимает, что хо рошо бы свое инстинктивное моделирование как то целеустремлен но организовать, поставить в определенные рамки — разумные, ло гические, смысловые, обобщающие и, как достойный вариант, ма тематические!

Моделирование — это исследование реально существующих при родных объектов, явлений и процессов, имеющих отношение в на шем случае к кругу проблем, входящих в область интересов гидро логии. Но такое определение, на первый взгляд, явно недостаточно, ибо все, что делалось и делается в гидрологии, формально удовлет воряет данному определению. Дополним последнее: моделирование — это способ описания объектов, явлений и процессов, предусматри вающий наибольшее приближение к реальной действительности с учетом всех привходящих обстоятельств. Однако снова присутству ет некоторая неопределенность, но в этом отношении все известные в гидрологии модели тоже ее не лишены. Второе дополнение: моде лирование — не просто наиболее полноценное исследование, но одновременно и процесс конструирования конкретной модели, ее реализации и использования на конкретных объектах.

Теперь неизбежно следует дать определение самому понятию «мо дель». Итак, модель — это отображенная реальность. Модель — не что, соответствующее оригиналу. Модель — это схематическое упро щенное представление о природном прообразе, это соответствую щим образом организованное знание.

Можно говорить о различных неизбежных последовательных ста диях самого процесса моделирования:

• создание умозрительной модели как итога размышлений, рас суждений, мысленных экспериментов, обдумывания поставленной задачи;

• создание вербальной модели, как развитие предыдущей, уже в словесном варианте, в беседах, спорах и обсуждениях, а также в пись менных записях всякого рода;

• разработка содержательной модели — это развитие двух преды дущих стадий, но уже с четкими идеологией и методологией, а так же с необходимой формализацией.

Содержательная модель — необходимый и самый ответственный элемент всего подготовительного периода. Это реализованное обре тение достаточно четкого представления об объекте моделирования, воплощение принятых решений и осознания особенностей, которые привносит личность «человека моделирующего». Важно подчеркнуть, что качество, оригинальность и разработанность содержательной модели являются в конце концов главным определяющим фактором качества проектируемой математической модели и успеха всего про водимого исследования. Содержательную модель желательно, по воз можности, упростить, но не принося в жертву принципиально важ ные стороны исследуемого. Чувство меры и способность испытывать восхищение перед тайнами природы — непреложные свойства удач ливого исследователя модельера.

Итак, математическое моделирование … Но прежде чем присту пить к обсуждению его проблем и возможностей, вернемся к первой фразе, определяющей, что такое моделирование: моделирование — это исследование … Мы понимаем разочарование неофитов, кото рым чудится, что за словами «математическое моделирование» кро ется некая гидрологическая тайна, доступная только узкому кругу посвященных. На самом деле современная прикладная математика, получившая в известном смысле почти полную свободу действия, дарованную ей появлением компьютера, практически стала наукой о математическом моделировании. Поэтому исследование гидроло гических объектов, явлений и процессов по настоящему эффектив но только в рамках методологии математического моделирования.

Другими словами, по их количественным описаниям понятия «ис следование» и «моделирование» выступают в качестве почти синони мов.

В результате дефиниции «математическая модель» и «математи ческое моделирование» настолько расширили свое положение в со временной науке, что поменяли свою некогда чисто методологиче скую сущность на почти мировоззрение. Поэтому приложение мето дов математики к естественным наукам и гидрологии построено, в частности, исключительно на математическом моделировании.

Математическая модель — приближенное описание природных процессов и явлений, выраженное с помощью математических пра вил и математической символики.

Математическое моделирование — способ исследования объек тов, явлений и процессов, основанный на применении моделей.

Если какое то время назад в гидрологии противопоставлялись два взаимодополняющих подхода — традиционный и математического моделирования, и последнее считалось просто новым разделом гид рологии, то сейчас можно однозначно утверждать, что математиче ские модели — это основной, если не единственный, инструмент любых гидрологических исследований. Сказанное вовсе не означа ет, что традиционные методы гидрологии канули в вечность, ибо еще функционирует достаточное количество ортодоксальных гидрологов, носителей этой научной парадигмы. Всем же истинным достижени ям традиционной гидрологии всегда находится подобающее место в современной «моделирующей» гидрологии.

Можно ли утверждать, что математическое моделирование обес печило сегодня необходимый уровень и результативность гидроло гии? К сожалению, нельзя. Констатируемый многими мыслящими гидрологами кризис современной гидрологии обусловлен именно проблемами и тупиками математического моделирования. Причина кроется в том, что моделировать одно и то же явление можно очень по разному.

Словосочетание «математическая модель» перед гидрологическим сообществом как бы уравнивает всех модельеров. Хотя среди после дних присутствуют и специалисты своего дела, и люди, злоупотреб ляющие доверием простаков, но хорошо знающие необходимый на бор «ключевых слов». Известно слишком много примеров математи ческих манипуляций в гидрологии без всякой пользы для этой науки.

Столь же опасен антиматематический фанатизм гидрологов — при верженцев ортодоксальных взглядов. Выход — широкое и уверенное использование математики и одновременно освобождение от ее гип ноза. Освоение гидрологами математических методов позволит им увидеть во многих моделях отсутствие большого смысла с точки зре ния гидрологии, что будет способствовать пресечению отдельных псевдонаучных тенденций.

Существует еще один своеобразный аспект: за словом «модель»

могут стоять и одно единственное уравнение, и сложнейшая систе ма, подробное описание алгоритмов которой может занять целую книгу. Последний вариант в случае необходимости будем называть «моделирующей системой».

Необходимо разделение и осознание существенного содержания моделей двух принципиально различных классов — детерминирован ных (физических, генетических) и стохастических (вероятностных, статистических). Определение «детерминированная» в сочетании со словом «модель» здесь следует понимать как описание явления при роды с точки зрения объективной закономерности и причинной обусловленности их существования и динамики. И противопостав лять в этом контексте «детерминизм» надо скорее «стохастике» (по нятию, связанному со случайностью и вероятностью), но не «инде терминизму» как философской концепции.

Детерминированные модели формирования стока или других гид рологических явлений обобщают, упорядочивают и «спрессовывают»

всю существенную информацию, которой располагает современная теоретическая и экспериментальная гидрология. Главная задача де терминированного моделирования — преобразование метеорологи ческого воздействия на речной бассейн в гидрограф стока в замыка ющем створе.

Стохастические модели описывают системы, основанные на по нятиях теории вероятностей и математической статистики, случай ных событиях, величинах, функциях (процессах), полях. На приме нении стохастических моделей построена специфическая ветвь со временной гидрологии — «стохастическая гидрология». В рамках последней анализируются или, наоборот, воспроизводятся разного рода случайные (стохастические, вероятностные, статистические) структуры. Важное и в некотором роде фундаментальное свойство стохастических моделей — это их пригодность для описания тем или иным образом организованных числовых массивов, относя щихся к любой области человеческого знания. Таким образом, сто хастическая гидрология гидрологична только по происхождению данных.

Часто гидрологи детерминисты и гидрологи стохастики исполь зуют одно и то же словосочетание — «гидрологический процесс». Но в одном случае — это последовательная смена состояний в развитии природного явления формирования стока на водосборе, а в другом — временные ряды, т. е. просто наблюденные последовательности не которых гидрологических величин (расходов, слоев осадков, стока, испарения).

Среди некоторых гидрологов стохастиков распространено мне ние, что стохастический процесс является более общим и сложным, чем его детерминированный аналог. Но никто и никогда так и не сумел привести пример такой аналогии, как таковой. Часто также ставился и продолжает ставиться некорректный вопрос: какая модель предпочтительнее — детерминированная или стохастическая? На самом деле эти модели всегда решают принципиально разные зада чи: для детерминированной модели, например, характерны вычисле ния гидрографов стока по наблюденным метеорологическим дан ным, для стохастической — анализ или воспроизведение колебаний средних годовых или экстремальных характеристик стока. Поступить наоборот просто немыслимо.

Естественна другая постановка вопроса — объединение детерми нированной и стохастической моделей или их элементов в единую вычислительную систему (комплексную модель). Здесь возможны варианты:

• совместное использование двух самостоятельных моделей;

• появление стохастических элементов в детерминированной си стеме;

• появление детерминированных элементов в стохастической си стеме.

Первый вариант напрямую ведет к идеальной форме детермини рованно стохастического моделирования, которому далее уделено специальное внимание. В двух последних случаях привнесенные эле менты осуществляют порученные им функции, но при этом не сле дует изменять название основной моделирующей системы.

Перепоручение программирования посторонним лицам — всегда ошибочное решение и обычно ведет к неприятным последствиям, связанным с возникающей зависимостью автора модели от произво ла программиста, о чем кратко, но выразительно высказался Уоллес Вонг (2007) в своей книге, посвященной основам программирова ния.

Детерминированное моделирование.

Предварительный обзор Приложение математики в гидрологии не есть организованный набор готовых разномасштабных математических конструкций.

И математическое моделирование гидрологических процессов — это нечто совсем иное. Главная проблема в этом контексте — суметь добиться постепенно организованного продвижения размышлений гидролога как конструктора модели:

• сначала от общих представлений о реальных гидрологических объектах, явлениях и процессах путем их разумной идеализации к содержательной модели, формулируемой на языке, достаточно об щепринятом в среде гидрологов;

• затем от содержательной модели к ее рациональной математи ческой аппроксимации, пытаясь оставаться на уровне оптимальных решений между гидрологической содержательностью и простотой математического описания;

• и наконец от математической модели с ее вычислительными ал горитмами к ее плодотворным интерпретациям.

Здесь мы сталкиваемся с некоторым непростым условием, не то чтобы обязательным, но настолько важным, что усматривается оп ределенная зависимость судьбы и научной и прикладной эффектив ности сконструированных моделей от выполнения именно этого ус ловия. Мы имеем в виду то специфическое соображение, которое столь удачно сформулировал Ганс Солье (1987): «Для того чтобы свя зать воедино многочисленные факты и прийти хоть к какому то их пониманию, все они должны быть представлены в голове одного человека». Известные факты коллективного творения, с нашей точ ки зрения, подтверждают отсутствие желательной цельности в конеч ных результатах. Для однозначного понимания высказанной идеи поясняем, что речь идет вовсе не о преимуществах гидрологов оди ночек, а скорее о целесообразности создания подходящих команд единомышленников во главе со своего рода «генеральным конструк тором».

И все же, если тот, кого называют заведующим, шефом или тем же генеральным конструктором, не являет собой некое средоточие основных концепций и конструктивных идей, то и группа сотруд ников, собранная под его руководством, вовсе не будет командой единомышленников, способных к подлинным свершениям. Ибо, как сказал Джон Голсуорси, «нет таких понятий, как истины при роды, без индивидуального видения», и «наблюдатель и увиденное им, переплетаясь между собой, образуют фактуру любого шедев ра».

Вообще, математическое моделирование — это вовсе не какой то новый модный подход, совсем нет. И соображения, приводящие нас к математическому моделированию, вполне гидрологичны. Это про сто выход на новый уровень описания гидрологических явлений, более точное и подробное восприятие всего того, что мы способны наблюдать в природе. Возможность же проводить громоздкие, как это казалось нам в старые времена, вычисления появилась с приходом в нашу жизнь компьютеров. А компьютеры и математическая сим волика в нашем деле познания природы — это и есть математичес кое моделирование. Поэтому последнее — просто форма реакции гидрологии на некоторое усложнение описания нашего мира. Все гидрологически значимое, что происходит в природе, должно быть отражено в математических моделях.

Теперь немного философии. Именно философы задают простой, но многозначительный вопрос: чем же хороши модели (then what good are models)? И тут же отвечают, что основная ценность моде ли — эвристика (N. Oreskes et al., 1994). Последняя — это «совокуп ность логических приемов и методических правил теоретического исследования и отыскания истины» и еще это «метод обучения, спо собствующий развитию находчивости, активности». В данном кон тексте имеется в виду первое значение слова, но для тех, кто участву ет в подготовке будущих модельмейстеров, второе значение не менее важно.

Следует несколько развить вопрос: что стоит за столь краткой «оценкой ценности» такого научного явления, как модель? И здесь важна следующая мысль: модельер должен продемонстрировать сте пень согласия между моделью и физическим миром, который она представляет, и очертить пределы этого согласия (N. Oreskes et al., 1994).

С другой стороны, идея модели привела философа Нэнси Карт райт к мнению, что модель является фантазией (N.Cartrwright, 1983).

«Мнение нарочито провокационное», оно может показаться абсурд ным и даже обидным (N.Оreskes et al., 1994). Но давайте отдадим дол жное тому оттенку слова «фантазия», который связан со способно стью к творческому воображению и с мечтой. Ведь даже в музыке фантазия на заданную тему по своему отображает именно после днюю. Мы сделаем правильный вывод, если окрасим дедуктивно индуктивные построения в радостные тона нашего творческого по гружения в тайны природы.

1.2. Математическое моделирование Говоря далее о некоторых элементах теории математических мо делей, мы должны помнить, что все сказанное имеет или может иметь отношение к любой отрасли науки. Но мы имеем в виду гид рологию. Поэтому все, что написано в этом разделе, относится к конкретной деятельности именно гидрологов, но вовсе не математи ков, как об этом может кто то подумать. Просто общие принципы математического моделирования различных реальных процессов и явлений сформулированы математиками и в данном случае переска заны гидрологами и для гидрологов.

Если мы собираемся с исследовательской или прикладной целью изучить и описать совокупность свойств реального гидрологическо го объекта, то должны построить соответствующую математическую модель, отвечающую по форме и содержанию поставленной задаче.

При этом математика как таковая должна быть применена не к са мому объекту, а к его математической модели. Под гидрологическим объектом впредь будем понимать или действительно объект (речной бассейн, русловую сеть, водоемы разного типа, болота, ледники), или гидрологическое явление (наводнение, паводок, половодье), или гидрологический процесс (снеготаяние, испарение, формирование стока — руслового и эрозионного, загрязнения). Существует доста точно очевидная логическая последовательность действий в общей схеме применения математики в таких науках о природе, как гидро логия. Эта последовательность такова.

1. Формулирование содержательной модели. Начальный и од новременно важный этап построения математической модели — это получение четкого представления о моделируемом объекте, сформу лированного на языке гидрологии. Нельзя жалеть ни времени, ни усилий на данном этапе, ибо от него в значительной мере зависит успех всего исследования. Такую по своей сути гидрологическую модель можно назвать содержательной. В это время уже можно по думать об уточнении структуры изучаемого объекта, существенных в рамках решения поставленной задачи, свойствах его элементов, выяснении действующих в системе сил. Следует поразмыслить о воз можностях упрощения содержательной модели. Выдвигаются соот ветствующие концепции и гипотезы.

2. Формулирование математической задачи. Содержательная модель постепенно все более полно переводится на формальный математический язык, в результате чего возникает первый прооб раз математической модели. Обсуждаются, выбираются и реализу ются методы решения возникающих математических задач. Полу чаемая математическая модель обычно сводится к набору уравне ний того или иного вида, а также соотношений другого типа. Уточ няется план действий, намечается, какие величины желательно най ти, какие зависимости и соотношения исследовать, продумывает ся, каким образом они могут быть получены. При этом конструи руемая математическая модель строится с ориентацией на предпо лагаемые способы и методы решения возникающих математических задач.

3. Интерпретация результатов исследования математической модели. Этот третий (и последний) этап связан с оценкой результа тов проведенного исследования, завершенного построением матема тической модели того или иного гидрологического процесса или яв ления. Здесь имеют смысл и разного рода вычислительные экспери менты и другие формы анализа. Сюда входит и контроль соответ ствия результатов, получаемых с помощью модели, известным фак там, представлениям, экспериментальным и наблюденным данным.

Часто в результате главного вывода может быть необходимость изме нения и модернизации модели.

Все три этапа тесно связаны между собой. Расчленение на этапы общей задачи построения математической модели условно и даже в чем то искусственно.

Основными элементами «конструкции» математической модели являются постоянные и переменные величины — задаваемые и ис комые. Последние обычно связываются уравнениями и неравенства ми. Уравнения, включаемые в математическую модель, могут быть получены на основе определяющих соотношений между величина ми, вытекающими из постулатов содержательной модели. При этом естественно использовать:

• универсальные физические законы (законы сохранения, законы Ньютона и т. п.);

• феноменологические законы (достаточно хорошо эмпирически и отчасти теоретически обоснованные) с ограниченной областью действия;

• полуэмпирические соотношения, возникающие в результате ка чественных соображений и при анализе результатов экспериментов и наблюдений;

• чисто эмпирические соотношения, получаемые при прямой об работке данных наблюдений.

К наиболее распространенным типам уравнений, встречающих ся в математических моделях, следует отнести следующие:

• конечные уравнения (алгебраические и трансцендентные);

• обыкновенные дифференциальные уравнения (искомой являет ся функция одного аргумента);

• уравнения с частными производными (искомой является функ ция нескольких аргументов), называемые обычно уравнениями ма тематической физики.

Для реального объекта могут быть получены несколько неравно сильных математических моделей. Выбор типа модели является не простой и ответственной задачей. Совсем плохо, когда тип модели выбирается из слепого подражания или определяется пробелами в образовании или эрудиции исследователя.

Кратко остановимся на математической физике и ее основных уравнениях. Сначала приведем несколько важных мыслей, высказан ных совместно физиком и математиком (Я. Б. Зельдович, А.Д.Мыш кис. Элементы математической физики. — М., 1973).

«Математическая физика является, быть может, одним из самых значительных достижений человеческого разума».

«Математическая физика отнюдь не ограничивается получением математических соотношений, описывающих найденные из опыта зависимости между физическими величинами. Нужно подчеркнуть ее роль в формировании понятий, идей, образов».

Изложение следует концентрировать «вокруг задач, допускающих наглядную физическую интерпретацию», и тогда будет ясно, как «математические понятия и методы естественно вытекают из нагляд ных соображений». Необходимо «возможно более полно проследить связи между математическим и физическим подходами, указать на глядный смысл процедуры и промежуточных этапов математического решения».

«Всякое математическое уравнение описывает реальные процес сы лишь приближенно, с большей или меньшей точностью».

«Правильность уравнения, адекватность его реальным процессам не может быть доказана чисто математически, она вытекает из сопо ставления следствий из этого уравнения с реальностью, с экспери ментами, с физическими законами».

Не можем не процитировать особо важное в рассматриваемом контексте суждение, принадлежащее известному математику Рихар ду Куранту (по кн.: Современная математика для инженеров. — М., 1958): «Поскольку точные физические законы являются всего лишь идеализацией и поскольку любую заданную физическую ситуацию можно идеализировать многими различными способами, то важ но уметь выбирать приемлемые идеализации». Пусть эта фраза послужит антитезисом мнению некоторых гидрологов о своей безу коризненности при выборе таких идеализаций.

А теперь остановимся на нескольких основных положениях, свя занных с уравнениями математической физики. Сначала утвержде ние: большинство физических законов природы можно сформулиро вать на языке уравнений с частными производными. При этом сле дует быть осведомленным о некоторых основных используемых по нятиях, сведения о которых приведены ниже.

1. Порядком уравнения называется наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение:

= — уравнение первого порядка;

= — уравнение второго порядка;

2. Числом переменных называют число независимых переменных:

r, q и t.

3. Уравнения с частными производными бывают линейными и нелинейными.

Уравнение линейно, если зависимая переменная и все ее частные производные входят в него линейным образом (в частности, не ум ножаются друг на друга, не возводятся в квадрат и т. п.), например Пример нелинейного уравнения:

3. Линейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными:

Здесь A, B, C, D, E, F, G — константы или заданные функции независимых переменных x и y. Уравнение (1.1) называется однород ным, если правая часть G(x, y) тождественно равна 0 для всех x и y.

Если это не так, то уравнение называется неоднородным.

Если коэффициенты A, B, C, D, E, F уравнения (1.1) постоянны, то последнее называется уравнением с постоянными коэффициен тами. В противном случае — уравнением с переменными коэффи циентами.

Все линейные уравнения с частными производными второго по рядка вида (1.1) относятся к одному из трех типов — параболичес кому, гиперболическому, эллиптическому.

Параболический тип: В2 - 4АС = 0 описывает процессы теплопро водности и диффузии.

Гиперболический тип: В2 - 4АС > 0 описывает колебательные системы и волновые движения.

Эллиптический тип: В2 - 4АС < 0 описывает установившиеся про цессы.

Поскольку в общем случае величина В2 - 4АС является функци ей независимых переменных, то тип уравнения в принципе может изменяться в области его определения.

В заключение отметим в качестве желательных следующие свой ства математических моделей при прочих равных условиях:

• достаточной простоты (экономия труда и средств при сохране нии разумной точности);

• полноты (принципиальная возможность получить необходимые решения);

• робастности (устойчивости относительно погрешностей в исход ных данных);

• наглядности (ясного содержательного смысла, позволяющего осуществлять контроль за работой модели и планирование вычисли тельных экспериментов).

Подведем итог и выделим два требования особо высокого уров ня.

Важнейшим требованием, которое может быть предъявлено к математической модели, является требование ее адекватности (соот ветствия) реальному объекту, процессу, явлению. Причем имеется в виду правильность и качественного, и количественного их описания.

Сказанное прямо относится и к точности моделирования. Можно говорить о большей или меньшей адекватности моделей, имея в виду относительность соответствия каждой модели природе объекта или явления.

В частности, может быть выделен особый аспект неадекватности модели, возникающий из за того, что при ее построении была при менена схема, разработанная для иной группы явлений, к которой изучаемое явление не относится. Гипотезы, на которые опиралась эта модель, в данной ситуации не обоснованы и даже несправедливы.

Другое не менее важное требование таково: «выбираемый метод решения задачи должен быть рассчитан на введение в него только таких данных, которые можно реально иметь с требуемой достовер ностью. Если достаточно точные исходные данные получить не пред ставляется возможным, то во многих случаях бывает целесообразным изменить метод — обычно упростив его …» [30, с. 164]. Иногда воз никает связанный с данным требованием вопрос: «не проще ли не посредственно измерить величину, которую в принципе можно и вычислить?» [30, с. 37].

В этом разделе мы во многом следовали положениям, с нашей точки зрения удачно сформулированным в небольшой, но очень информативной книге А. Д. Мышкиса [30]. Оттуда же взяты две пос ледние приведенные здесь цитаты.

1.3. Математическое моделирование Гидрологию, которую большинство ее служителей продолжают воспринимать как науку, издавна привычную, установившуюся в своих подходах и методах, не нуждающуюся в каких либо кардиналь ных переменах, условимся называть «традиционной гидрологией» в отличие от зарождающейся и грядущей «гидрологии нового поколе ния». Названия эти глубоко условные, не являются общепринятыми и кое кого даже раздражают. Наверное, все же «традиционная гид рология» — это наука, которая существовала и развивалась в ХХ в.

Джеймс Дуг писал, что последний отмечен проявлением научной гидрологии и расчленил его в отношении его развития на четыре периода: эмпиризма (1900 — 1930), рационализации (1930 — 1950), те оретизации (1950 — 1975) и компьютеризации (1975 — 2000). Главное разочарование Дуг испытал в связи с неудачей исследований в обла сти реакции речных бассейнов на метеорологический вход и объе динения детерминированных и стохастических методов.

Мы воспринимаем гидрологию нового поколения как ту же са мую традиционную гидрологию, но расширяющую свои горизонты и увеличивающую свое проникновение в самую суть явлений при роды. И — это гидрология, в основе которой лежит уже глубоко осоз нанная методология математического моделирования. Установить истинное время, когда в гидрологии появились идеи, которые мы сейчас связываем с этими двумя словами, почти невозможно. Гид рологи всегда стремились построить свои расчетные и прогностичес кие методы на основе попыток расшифровать «генезис» стока и дру гих родственных явлений. Поэтому развитие «генетических» методов было всегда в центре внимания гидрологов XX в., по крайней мере второй его половины. Разве все это не было подспудным стремлени ем к тому, что мы сейчас называем математическим моделировани ем?

Но настоящие перспективы перед последним открылись после прихода в нашу жизнь компьютера. Поэтому только сейчас, с боль шим опозданием, в наше представление о возможностях гидрологии постепенно проникает новое содержание.

Всегда следует помнить, что именно традиционная гидрология заложила основы для зарождения своей преемницы — гидрологии нового поколения. Последняя где то в отдаленном будущем, види мо, получит иное наименование, например — «гидрология эпохи примитивных моделей».

Теперь выскажем главную идею, осуществление которой позволит построить именно такие математические модели в гидрологии, ко торые и нужны нашей науке — фундаментальной и прикладной.

Идея эта проста и очевидна: если математические модели представ ляют собой приближенное описание явлений гидрологического мира, выраженного с помощью математической символики, то пре делом наших стремлений должно стать почти полное и естественное слияние математической формы и гидрологического содержания.

Математик прикладник сможет наконец осознать и почувствовать, что же такое эта наука гидрология во всей ее полноте, красоте и рас положенности к математике. А гидролог сможет сделать подобное в отношении математики, привлекаемой к моделированию в его науке.

И при этом недопустимы никакое противоречие и никакое взаимо непонимание.

Тем не менее мы вынуждены констатировать, что оптимальное соприкосновение гидрологии и математики пока остается мечтой.

И все известные нам модели различных гидрологических явлений, особенно формирования стока, всегда имеют характерные акценты, по которым мы тут же поймем, кто создатель модели — слабо вос принимающий математику гидролог или до конца так и не осознав ший гидрологию математик. А ключ ко всему — это деликатное по стижение средств и духа математики и столь же неформальное по нимание того гидрологического мира, которому мы собираемся по зволить проникнуть в наши теории и модели. И здесь крайне необ ходимо обостренное внутреннее ощущение всех важных моментов, присущих как гидрологии, так и математике, причем хорошо бы в одной голове.

Прежде чем «модельмейстеры» (мы сознательно используем не сколько ироничный термин, ибо лучшего пока не заслуживаем) при ступят к решению конкретной гидрологической задачи, они долж ны сформулировать для себя (да и для других) требования по отно шению к гидрологическому содержанию и математическому вопло щению.

Цели гидрологического моделирования многогранны: исследова тельские и прикладные, стандартизированные и уникальные, обы денные и фантастические, локальные и глобальные, ориентирован ные в прошлое и будущее… Математическое моделирование в принципе способно решать любые традиционные и многие новые задачи гидрологии. Это в пер вую очередь изучение процессов формирования стока с помощью модели, включая всякого рода вычислитель эксперименты, а также чисто прикладные задачи, например получение гидрографов стока с неизученных бассейнов, прогнозная оценка изменений стока под влиянием изменений ландшафтов и климата, оперативный кратко срочный и долгосрочный прогноз при разных фазах режима стока.

Моделирование позволяет получить во всех перечисленных ситуаци ях информацию об элементах водного баланса (осадки, сток, испа рение) и о переменных состояния в различных точках речных бас сейнов (запасы воды в снежном покрове, температура и влажность почвы, уровень грунтовых вод). Модели формирования стока совме стно с геохимическими и экологическими моделями создают осно ву для научного обоснования мероприятий по охране окружающей