«Кафедра химии И.В. БОДНАРЬ, А.А. ПОЗНЯК, В.А. ПОЛУБОК ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ И ТЕХНОЛОГИИ РЭС и ЭВС П Р О Г Р А М М А, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ и КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов специальности ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Кафедра химии

И.В. БОДНАРЬ, А.А. ПОЗНЯК, В.А. ПОЛУБОК

ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ

И ТЕХНОЛОГИИ РЭС и ЭВС

П Р О Г Р А М М А,

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

и

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

для студентов специальности «Производство и проектирование РЭС»

и «Моделирование и компьютерное проектирование РЭС»

заочной формы обучения Минск В пособие включены: программа курса, список рекомендуемой литературы, методические указания, краткие теоретические сведения и расчётные формулы, примеры решения типовых задач, контрольные задания и справочные данные, необходимые для их выполнения.

© А.А. Позняк, компьютерная вёрстка, исправления, © И.В. Боднарь, А.А. Позняк, В.А. Полубок, составление, © А.А. Позняк, В.А. Полубок, рисунки,

СОДЕРЖАНИЕ

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Указания к выполнению контрольных работ

Программа курса "ФХОМ и Т РЭС и ЭВС"

Лабораторные работы по дисциплине "ФХОМ и Т РЭС и ЭВС"......... Рекомендуемая литература

Основная литература

Дополнительная литература

Перечень методических пособий

Тема 1. СТРОЕНИЕ ТВЁРДЫХ ТЕЛ. ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ

1.1. Краткие теоретические сведения

1.2. Задачи для индивидуальной работы к теме 1

Пример 1

Пример 2

1.3. Теоретические вопросы к теме 1

Тема 2. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ

2.1. Краткие теоретические сведения

2.2. Задачи для индивидуальной работы к теме 2

Пример 1

Пример 2

Пример 3

2.3. Теоретические вопросы к теме 2

Тема 3. ОСНОВЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ И КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

3.1. Краткие теоретические сведения

3.2. Задачи для индивидуальной работы к теме 3

Пример 1

3.3. Теоретические вопросы к теме 3

Тема 4. ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В

МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ

4.1. Краткие теоретические сведения

Распределение электронов в металле

Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в полупроводниках

4.2. Задачи для индивидуальной работы к теме 4

Пример 1

Пример 2

Пример 3

4.3. Теоретические вопросы к теме 4

Тема 5. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

5.1. Краткие теоретические сведения

5.2. Задачи для индивидуальной работы к теме 5

Пример 1

Пример 2

5.3. Теоретические вопросы к теме 5

Тема 6. ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ..... 6.1. Краткие теоретические сведения

6.2. Задачи для индивидуальной работы к теме 6

6.3. Теоретические вопросы к теме 6

Тема 7. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЁРДЫХ ТЕЛ

7.1. Краткие теоретические сведения

7.2. Задачи для индивидуальной работы к теме 7

7.3. Теоретические вопросы к теме 7

Тема 8. ОПТИЧЕСКИЕ И ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В

ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ

8.1. Краткие теоретические сведения

8.2. Задачи для индивидуальной работы к теме 8

Пример 1

Пример 2

8.3. Теоретические вопросы к теме 8

Тема 9. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНТАКТОВ

МАТЕРИАЛОВ

9.1. Краткие теоретические сведения

9.2. Задачи для индивидуальной работы к теме 9

9.3. Теоретические вопросы к теме 9

Тема 10. ПРОВОДНИКОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ

10.1. Задачи для индивидуальной работы к теме 10

10.2. Теоретические вопросы к теме 10

Тема 11. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

11.1. Задачи для индивидуальной работы к теме 11

11.2. Теоретические вопросы к теме 11

Тема 12. МАГНИТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

12.1. Задачи для индивидуальной работы к теме 12

12.2. Теоретические вопросы к теме 12

ПРИЛОЖЕНИЕ

Основные физические постоянные

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Дисциплина "Физико-химические основы микроэлектроники и технологии РЭС и ЭВС" изучается студентами заочного обучения на 2-м курсе в осеннем семестре.

Учебная работа студента-заочника по изучению курса включает в себя прослушивание лекций по дисциплине, самостоятельное изучение материала по учебникам и учебным пособиям, выполнение контрольной работы, отработку и защиту лабораторных работ, сдачу экзамена.

В период установочно-экзаменационной сессии учебным планом по курсу предусмотрено чтение обзорных лекций в объёме 8 часов и выполнение трёх лабораторных работ Зашита лабораторных работ проводится по контрольным вопросам, помещенным в конце соответствующих методических пособий. К сдаче экзамена допускаются студенты, имеющие зачтённую контрольную работу и защищённые лабораторные работы.

Основным видом работы студента-заочника является самостоятельная работа.

Указания к выполнению контрольных работ К выполнению контрольной работы необходимо приступать только после изучения материала, соответствующего данному разделу программы, внимательного ознакомления с примерами решений типовых задач. В пособии приводятся все необходимые теоретические сведения для решения предлагаемых задач. Для ответов на теоретические вопросы необходимо использовать рекомендуемую литературу. Справочные данные помещены в приложении.

При выполнении контрольных работ необходимо руководствоваться следующими требованиями:

1. Контрольные работы выполняются только по условиям задач данного пособия.

2. Контрольные работы выполняются в школьной тетради, на обложке которой указываются сведения по следующему образцу:

студента факультета заочного, вечернего и дистанционного обучения БГУИР 3. Номер варианта контрольной работы определяется по последним цифрам шифра своей зачётной книжки. По каждой теме требуется ответить на один теоретический вопрос и решить одну задачу. Номера контрольных вопросов и задач одинаковы.

4. Контрольная работа выполняется чернилами. Для замечаний преподавателя на страницах тетради оставляются поля.

5. Условия задач или вопросов переписываются полностью без сокращений в том порядке, в каком они указаны в задании данного варианта. Каждый следующий вопрос и, соответственно, ответ на него должен начинаться с новой страницы.

6. Ответы на вопросы должны быть полными. Переписывать параграфы и абзацы учебника запрещается. В случае необходимости ответ иллюстрируется рисунками и графиками. При решении задач приводится весь ход решений, включая математические преобразования и расчёты.

Значения физических величин выражаются в единицах СИ.

7. В конце работы приводится список используемой литературы.

8. Работа должна быть датирована, подписана студентом и доставлена в университет на рецензирование.

9. После получения прорецензированной работы студент обязан выполнить указания преподавателя. Все исправления выполняются в конце тетради в разделе "Работа над ошибками", а не в рецензируемом тексте.

10. Если контрольная работа при рецензировании не зачтена, она выполняется повторно в соответствии с указаниями рецензента. Повторная работа представляется только вместе с предыдущей незачтённой.

11. Студент должен быть готов дать пояснения по существу решения задач, входящих в контрольные работы.

12. Работа, выполненная не по своему варианту, не рецензируется.

Структура материалов электронной техники. Кристаллические твердые тела. Основы кристаллографии. Агрегатные состояния вещества. Основные свойства кристаллических веществ. Симметрия в твердых телах. Виды симметрии. Сингонии. Кристаллические решетки. Решетки Браве. Основные виды решеток, характеристики. Обозначение узлов и направлений в кристаллах. Индексы Миллера Аморфные вещества. Определение и основные свойства аморфных веществ. Процессы стеклования.

Дефекты структуры. Дефекты структуры кристаллов, их классификации. Точечные дефекты (по Шоттки, по Френкелю, примесные) и их влияние на физические свойства материалов. Дислокации. Виды дислокаций, образование и их влияние на физические свойства материалов. Линейные, объемные, поверхностные дефекты и их влияние на физические свойства материалов.

Рост кристаллов. Процессы роста кристаллов. Методы и технологии выращивания кристаллов: одно- и двухтемпературные методы (вертикальный и горизонтальный), метод обменных реакций, Методы выращивания монокристаллов: Обреимова-Шубникова, Степанова, Бриджмена-Стокбаргера, Чохральского, Киропулоса, вытягивания «из капли» и «из лужи», Вернейля, химических транспортных реакций, зонной плавки, бестигельной зонной плавки, выращивание монокристаллов из расплава – раствора.

Основы квантовой механики. Описание частицы волновым пакетом. Фазовая и групповая скорости. Соотношение Гейзенберга. Дифракция электронов. Физический смысл волны де-Бройля. Понятие волновой функции электрона. Принцип суперпозиции состояния. Уравнение Шредингера. Стационарное (амплитудное) уравнение Шредингера. Решение уравнения Шредингера. Требование к волновой функции. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект. Движение частицы в потенциальной яме. Линейный гармонический осциллятор. Водородоподобный атом. Минимальная энергия атома водорода. Многоэлектронные атомы. Принцип Паули. Число состояний и порядок заполнения квантовых состояний.

Виды химических связей. Образование ионной связи. Свойства ионных кристаллов. Образование и свойства ковалентной связи. Особенности химической связи в полупроводниках. Образование металлической связи. Свойства металлов. Молекулярная связь. Способ образования и свойства.

Зонная теория твердых тел. Модель сильной связи. Модель слабой связи (модель периодического потенциала). Функции Блоха. Дисперсионная зависимость Е(k). Зоны Бриллюэна. Причины образования запрещенных зон в энергетическом спектре кристалла. Число уровней в разрешенных зонах. Приведенные зоны. Металлы, полупроводники и диэлектрики в свете зонной теории. Эффективная масса электрона. Понятие дырки. Собственные и примесные полупроводники. Положение примесных уровней в полупроводниках.

Физические процессы в диэлектриках. Основные электрические характеристики. Механизмы поляризации диэлектриков. Электропроводность диэлектриков.

Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты переменного поля. Диэлектрические потери и механизмы диэлектрических потерь. Тангенс угла диэлектрических потерь. Мощность диэлектрических потерь. Электрическая прочность диэлектриков. Физико-механические свойства диэлектриков. Особенности свойств тонкопленочных диэлектриков. Микропробой и электрическая прочность тонких пленок.

Классификация, применение диэлектриков. Неорганические диэлектрические материалы. Классификация неорганических диэлектрических материалов.

Керамика и стекло. Установочная керамика. Электровакуумные стекла. Ситаллы. Состав, основные свойства, применение в электронной технике. Оксидные пленки металлов. Стекловолокнистые материалы, люминофоры. Основные свойства, получение, способы применения в деталях электронной техники.

Органические диэлектрические материалы. Полиэтилен, полистирол, фторопласт, полиамиды, полиэфирные смолы, эпоксидные смолы, эластомеры, другие полимерные материалы. Композиционные порошковые пластмассы. Волокнообразные диэлектрики, лаки, клеи, битумы, компаунды. Состав, свойства, использование в изделиях электронной техники.

Активные диэлектрики. Сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, пироэлектрики, электреты, жидкие кристаллы. Классификация и свойства ЖК. Методы получения жидких кристаллов. Электрооптические эффекты жидких кристаллов. Состав, получение, основные свойства, использование в электрических приборах.

Диэлектрики для микроэлектроники Основные требования, предъявляемые к диэлектрикам в микроэлектронике. Материалы тонкопленочных гибридных интегральных схем (подложки; межуровневая и межкомпонентная изоляция; для тонкопленочных конденсаторов; для защитных покрытий интегральных схем). Способы получения тонких диэлектрических пленок. Материалы для толстопленочных гибридных интегральных схем (подложки; межслойная изоляция; для толстопленочных конденсаторов; для защитных покрытий интегральных схем).

Статистика носителей зарядов в полупроводниках и металлах. Статистика носителей зарядов в твердых телах. Функции распределения МаксвеллаБольцмана, Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна. Распределение Ферми-Дирака для металлов. Плотность заполнения уровней в полупроводниках. Определение концентрации носителей в полупроводниках. Положение уровня Ферми и концентрация носителей заряда в собственных полупроводниках. Положение уровня Ферми и концентрация носителей заряда в примесных полупроводниках. Вырожденные полупроводники. Компенсированные полупроводники. Концентрация носителей в металлах.

Электропроводность твердых тел. Равновесное состояние электронного газа в проводнике. Процессы рассеяния. Удельная электропроводность для вырожденного и невырожденного электронного газа. Подвижность свободных носителей. Зависимость подвижности носителей заряда от температуры для вырожденного и невырожденного газов. Электропроводность металлов и сплавов.

Электропроводность собственных и примесных полупроводников. Закон Видемана-Франца.

Перенос заряда в полупроводниках. Процессы генерации и рекомбинации носителей заряда. Равновесные и неравновесные носители заряда. Излучательная и безызлучательная рекомбинация. Токоперенос в полупроводниках при наличии градиента концентрации. Соотношение Эйнштейна. Уравнение непрерывности. Диффузионная длина. Время жизни неравновесных носителей.

Электропроводность в сильных полях. Критерий сильного поля. Разогрев электронного газа. Закон Джоуля-Ленца. Зависимость подвижности от напряженности поля. Влияние поля на концентрацию носителей. Термоэлектронная ионизация Френкеля, ударная и электростатическая ионизация. Эффект Ганна.

Полупроводниковые материалы, применение. Требования, предъявляемые к полупроводниковым материалам в современной электронной технике.

Простые полупроводники. Германий, кремний, их основные свойства. Методы получения, очистка, применение. Полупроводниковые пленки. Полупроводниковые соединения группы AIIIBV. Основные свойства соединений этой группы материалов (арсенид галлия, арсенид индия, антимонид фосфора, антимонид галлия, нитрид бора, арсенид бора и т.д.). Гетероструктуры. Полупроводниковые соединения группы AIIBVI. Основные свойства соединений этой группы материалов (теллуриды свинца, ртути, кадмия; сульфиды свинца, ртути, кадмия; селениды свинца, ртути, кадмия). Полупроводниковые соединения группы AIVBIV.

Карбид кремния, его основные свойства, методы получения, применение в электронной технике.

Проводники. Классификация проводниковых материалов. Тугоплавкие, неметаллические, материалы высокой проводимости. Ионики, твёрдые электролиты. Требования к проводящим материалам. Медь, алюминий, серебро, золото, молибден. Сплавы на основе меди и алюминия.

Материалы высокого удельного сопротивления. Требования к резистивным материалам. Углеродистые и металлопленочные резистивные материалы, хромсилицидные сплавы и композиции, полупроводниковые резистивные материалы, стеклоэмали, стеклоэмалевые резисторы; сплавы для термопар, для нагревательных приборов.

Проводниковые материалы в микроэлектронике. Основные требования, предъявляемые к проводящим материалам в микроэлектронике. Проводники тока, металлизация на основе этих материалов: алюминий, медь, золото, серебро. Основные требования, предъявляемые к электродным материалам. Понятие выпрямляющего и омического контактов. Сплавы для омических контактов. Электроды для тонкопленочных конденсаторов. Металлы и сплавы с высоким удельным сопротивлением. Керметы. Основные требования, предъявляемые к этим материалам в микроэлектронике. Тонкопленочные проводники.

Сверхпроводимость материалов. Основные закономерности изменения физических свойств материалов при переходе в сверхпроводящее состояние. Теория Бардина-Купера-Шриффера (БКШ). Сверхпроводники первого и второго рода. Эффекты Джозефсона. Новые сверхпроводящие материалы, применение и перспективы.

Гальваномагнитные эффекты. Эффект Холла в примесных полупроводниках и металлах. Эффект Холла в собственном полупроводнике. Эффект магнетосопротивления. Эффект Эттингсгаузена в случаях собственного и примесного полупроводников.

Тепловые свойства твердых тел. Нормальные колебания атомов в кристалле. Дисперсионные зависимости для акустических и оптических колебаний.

Спектр нормальных колебаний решетки. Тепловые колебания с квантовой точки зрения. Фононы. Теплоемкость кристаллической решетки. Законы Дюлонга-Пти и Дебая. Характеристическая температура Дебая. Теплоемкость электронного газа.

Тепловое расширение твердых тел. Теплопроводность решетки, ее зависимость от температуры. Теплопроводность электронного газа. Зависимость от температуры.

Контактные явления в МЭ. Классификация контактных явлений. Работа выхода. Термоэлектронная эмиссия. Контакт металл-металл. Контактная разность потенциалов. Выпрямление на контакте металл-металл. Выпрямляющие и невыпрямляющие контакты металла с полупроводниками n- и р-типов проводимости. Энергетические диаграммы. ВАХ барьера Шоттки. Электроннодырочный переход. Классификация. Равновесное состояние электроннодырочного перехода. Энергетическая диаграмма контакта. Выпрямляющие свойства р-п-перехода. Энергетические диаграммы. ВАХ р-п-перехода. Омический контакт двух полупроводников. Гетеропереходы.

Физико-химические основы поверхностных процессов. Адсорбционные процессы на поверхности твёрдых тел. Понятия адгезии и когезии. Факторы, влияющие на адгезию. Электрофизические характеристики соприкасающихся поверхностей и границ раздела слоёв.

Поверхностные свойства полупроводников. Поверхностные состояния в полупроводниках. Быстрые и медленные состояния. Поверхностный слой объемного заряда для случаев образования обогащенных и обедненных слоев. Зонные диаграммы для р- и п-типов полупроводников при образовании обогащенных, обедненных и инверсных слоев. Поверхностная рекомбинация. Скорость поверхностной рекомбинации. Эффект поля. Влияние поверхностного потенциала на поверхностную проводимость.

Физико-химические основы технологии обработки поверхностей. Процессы подготовки поверхности. Процессы очистки, промывки и пропитки поверхностей. Травление поверхностей. Ионно-плазменные и плазмохимические процессы. Диффузионные процессы. Ионная имплантация.

Оптические свойства твердых тел. Взаимодействие света с кристаллической средой. Закон Бугера-Ламберта. Оптические свойства металлов. Механизмы поглощения света в полупроводниках. Фотопроводимость. Зависимость коэффициента поглощения света от энергии фотонов падающего света Еф. Собственное поглощение в прямозонных и непрямозонных полупроводниках. Экситонное и примесное поглощение света в полупроводниках. Зависимость = f(Еф) для этих механизмов. Механизмы поглощения света свободными носителями заряда и на оптических колебаниях решетки. Эффект Франца-Келдыша. Квантовые генераторы (лазеры).

Магнитные свойства твердых тел. Основные магнитные характеристики материалов. Магнитные свойства атомов. Классификация магнитных материалов. Природа диа- и парамагнетизма. Ферро- и антиферромагнетизм. Механизмы намагничивания магнетиков в постоянном и переменных полях. Механизмы рассеяния энергии в ферромагнетиках при их перемагничивании. Магнитострикция. Ферримагнитизм. Цилиндрические магнитные домены. Эффект Фарадея.

Магнитные материалы. Основные свойства магнитных материалов.

Магнитомягкие материалы. Общая характеристика и требования, предъявляемые к этой группе материалов. Технически чистое железо. Электротехнические стали. Пермаллои. Магнитомягкие высокочастотные материалы. Ферриты. Магнитодиэлектрики. Магнитострикционные материалы. Магнитотвердые материалы.

Общая характеристика и требования, предъявляемые к этой группе материалов.

Сплавы на основе благородных и редкоземельных металлов. Материалы для магнитной записи. Магнитные материалы в микроэлектронике. Магнитные пленки. Гигантское магнетосопротивление. Материалы для устройств на цилиндрических магнитных доменах (ЦМД), их основные свойства.

Тонкие пленки в МЭ. Классификация, образование и структура тонких пленок. Процессы нанесения пленок на подложку из жидкой и твердой фазы. Эпитаксиальные процессы. Механизмы роста на ориентирующих и на неориентирующих подложках. Физические свойства тонких пленок. Электропроводность тонких пленок.

Наноматериалы и наноэлектроника. Размерные критерии. Основные явления в наноразмерных структурах. Основы нанотехнолоий (традиционные методы, методы с использованием сканирующих зондов, самосборка и самоорганизация, формирование плёнок Лэнгмюра–Блоджетт) и формирования наноструктурированных материалов (пористый кремний, анодный оксид алюминия, углеродные нанотрубки).

Деформация и напряжения в твердых телах. Упругая и пластическая деформации кристаллов. Дислокационный механизм пластической деформации кристаллов. Деформация поликристаллов. Механизм и кинетика процессов механического разрушения твердых тел.

Лабораторные работы по дисциплине "ФХОМ и Т РЭС и ЭВС" 1. Исследование поверхностной проводимости полупроводников.

2. Изучение контактных явлений. Изучение ВАХ контактов материалов различной природы, определение высоты потенциального барьера Шоттки.

3. Изучение контактных явлений. Определение высоты потенциального барьера контакта Шоттки по температурным зависимостям прямого тока.

4. Определение электрофизических характеристик полупроводников из измерений эффекта Холла.

5. Спектры поглощения и определение ширины запрещённой зоны полупроводников.

6. Изучение структуры кристаллов.

7. Изучение механизмов поляризации диэлектриков.

8. Электропроводность диэлектриков и диэлектрические потери.

9.Исследование теплового расширения твёрдых тел.

Основная литература 10. Стильбанс Л.С. Физика полупроводников. — М.: Сов. радио, 1967.

11. Новиков В.В. Теоретические основы микроэлектроники. — М.: Высшая школа, 1972.

12. Епифанов Г.И., Мома Ю.А. Физические основы конструирования и технологии РЭА и ЭВА. — М.: Сов. радио, 1979.

13. Штернов А.А. Физические основы конструирования, технологии РЭА и микроэлектроники. — М.: Радио и связь, 1981.

14. Фистуль В.И. Введение в физику полупроводников. — М.: Высшая школа, 1984.

15. Епифанов Г.И., Мома Ю.А. Твердотельная электроника. — М.: Высшая школа, 1986.

16. Курносов А.И., Юдин В.В. Технология производства полупроводниковых приборов и интегральных микросхем. Уч. пос. — М.: Высш. шк., 1986.

17. Летюк Л.М. Технология производства материалов магнитоэлектроники:

Учебник для вузов. — М.: Металлургия, 1994.

18. Айвазов А.А. Неупорядоченные полупроводники: Учебное пособие, — М.: Высшая школа. 1995.

19. Сорокин B.C. и др. Вопросы, задачи по курсу «Материалы электронной техники». — С.-Петербург, Лань, 2001.

20. Воробьев Л.Е., Ивченко Е.Л., Фирсов Д.А., Шалыгин В.А. Оптические свойства наноструктур: Учеб. пособие. Под ред Е.Л. Ивченко и Л.Е. Воробьева. — С.-Петербург: Наука, 2001.

21. Тиаров Ю.М., Цветков В.Ф. Технология полупроводниковых и диэлектрических материалов. — С.-Петербург: Лань, 2002.

22. Пасынков В.В., Сорокин B.C. Материалы электронной техники. – С.-Петербург, Лань, 2003.

23. Андриевский Р.А., Рагуля А.В. Наноструктурные материалы. — М.:

Академия, 2005.

Дополнительная литература 1. Федотов Я.А. Основы физики полупроводниковых приборов. — М.:

Сов. радио, 1970.

2. Медведев С.А. Введение в технологию полупроводниковых материалов. — М.: Высшая школа. 1970.

3. Тарасов Л.В. Физические основы квантовой электроники. — М.:

Сов. радио, 1976.

4. Палатник Л.С., Сорокин В.К. Материаловедение в микроэлектронике. — М.: Энергия, 1978.

5. Гусева М.Б., Дубинина Е.М. Физические основы твердотельной электроники. — М.: МГУ, 1986.

6. Крапухин В.В., Соколов И.А., Кузнецов Г.Д. Технология материалов электронной техники. Теория процессов полупроводниковой технологии: Учебник для вузов. — М.: Московский институт стали и сплавов (МИСИС), 1995.

7. Зайцев Ю.В., Кузищина Т.К., Кустов Д.Е. Расчет физико-химических характеристик элементов проводников: Методическое пособие. — М.: Изд-во МЭИ, 2001.

Перечень методических пособий 1. Методическое пособие к лабораторным работам по курсу "Физикохимические основы микроэлектроники, конструирования и технологии РЭС и ЭВС". — Мн.: ротапринт БГУИР, 1997.

2. Методическое пособие для самостоятельной работы студентов по курсу "Физико-химические основы микроэлектроники, конструирования и технологии РЭС и ЭВС". Раздел "Контактные явления". — Мн.: ротапринт БГУИР, 1998.

3. Методическое пособие для самостоятельной работы студентов по курсу "Физико-химические основы микроэлектроники, конструирования и технологии РЭС и ЭВС". Раздел "Электрофизические характеристики полупроводников и металлов. Гальваномагнитные эффекты". — Мн.: ротапринт БГУИР, 1998.

4. Программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности "Проектирование и производство РЭС" заочной формы обучения в 2-х частях. Часть 1. — Мн.: ротапринт БГУИР, 2000.

5. Программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности "Проектирование и производство РЭС" заочной формы обучения в 2-х частях. Часть 2. — Мн.: ротапринт БГУИР, 2000.

6. Электрофизические характеристики диэлектриков: лаб. практикум по дисц. "Физико-химические основы микроэлектроники и технологии РЭС и ЭВС" всех форм обуч. — Мн.: БГУИР, 2007.

7. Физико-химические основы микроэлектроники и технологии. Лабораторный практикум. — Мн.: БГУИР, 2011.

ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ

Твёрдыми телами называются тела, которые обладают постоянством формы и объёма. Различают кристаллические твёрдые тела и аморфные. В кристаллах частицы вещества образуют внутренне упорядоченную периодическую структуру. В этом смысле говорят о присущем кристаллам дальнем порядке. Характерной особенностью кристаллов является их анизотропия — зависимость физических свойств от направления в кристалле, а также наличие определённой температуры плавления. Причиной анизотропии является периодичность внутренней структуры кристалла, когда расстояния между частицами, а значит и силы связи между ними, неодинаковы в различных направлениях.

Аморфные твёрдые тела представляют собой переохлаждённые жидкости.

В них наблюдается главным образом ближний порядок, когда расположение соседних атомов вблизи какого-либо выделенного атома почти периодично, а в расположении последующих соседей имеются малые случайные отклонения, которые, накапливаясь, приводят к разупорядочиванию структуры. Для аморфных веществ характерны изотрония свойств и наличие определённого интервала температур, в котором вещество плавится.

Для описания упорядоченного расположения частиц в кристалле удобно ввести понятие кристаллической решётки. Кристаллической решёткой называется пространственная сетка, в узлах которой расположены атомы вещества. Исходя из периодичности внутренней структуры, в кристалле можно выделить наименьший объём, который сохраняет все особенности данной кристаллической структуры. Эта выделенная часть кристалла, трансляцией (смещением) которой по трем направлениям можно построить весь кристалл, называется элементарной ячейкой. Векторы трансляции а, b, c образуют рёбра элементарной ячейки.

Их задание определяет пространственную решётку кристалла. Длины рёбер элементарной ячейки а, b, с называют параметрами решётки.

По расположению частиц решётки подразделяются на простые и сложные.

Если элементарная ячейка содержит узлы только в вершинах, то такие решётки называются простыми. Очевидно, что пространственные решётки являются простыми. Если кроме вершин узлы содержатся в серединах каждой грани, то такие решётки называются гранецентрированными. Если кроме вершин еще имеется узел и в середине объёма, то решётки называются объёмноцентрированными. Если узлы находятся в вершинах и в серединах граней оснований, то решётки называются базоцентрированными.

Для некоторых решёток расположение узлов в элементарных ячейках будет иметь следующий вид (рис. 1.1).

Рисунок 1.1. Элементарные ячейки кристаллов:

а– простая решётка; б– объёмноцентрированая;

в– гранецентрированая; г– базоцентрнрованная Любую сложную решётку можно представить в виде нескольких простых, вставленных одна в другую. При этом указывается векторы смещения этих подрешёток друг относительно друга. Векторы смещения называются базисными, а сами решётки — решётками с базисом.

Для построения таких решёток необходимо транслировать не узел, а базис, задаваемый совокупностью базисных, векторов (рис. 1.2).

Ниже приведены описания немногих простых кристаллических структур, представляющих общий интерес. К ним относятся, в частно- а сти, кубические структуры, структура алмаза, гексагональная структура с плотной упаковкой, кубические структуры типа NаС1, СsС1. А друг в друга кубические гранецентриро- Рисунок 1.2. Элементарная куванные решётки, смещенные одна относи- бическая ячейка решётки алмаза тельно другой на расстояние четверти (узлы, соответствующие ГЦК репространственной диагонали куба. Этот шётке, смещенной на вектор тип решётки присущ многим полупровод- _ Элементарная ячейка гексагональной плотноупакованной структуры (ГПУ) представлена на рис. 1.3 причём размеры атомов уменьшены для того, чтобы покаA3 A зать их геометрическое располоA жение в решётке. Для гексагональной решётки выполняется соa Структура хлорида натрия показана на рис. 1.4, про- Рисунок 1.3. Относительное расположение атомов странственная решётка котосоставляют шестигранную призму) рого состоит из равного числа ионов Na + и Сl -, размещённых в узлах простой кубический решётки.

На рис. 1.5 показана структура хлорида цезия. В структуре СsС1 на элементарную ячейку приходится одна формульная единица, атомы расположены в узлах куба с координатами Сs (0 0 0) и С1 ( ).

Из геометрических характеристик кристаллических решёток особый интерес представляют:

а) координационное число К.Ч. — число ближайших соседей для каждого атома (иона);

б) число частиц n, приходящихся на элементарную ячейку, определяет базис решётки s;

в) степень упаковки f, равная отношению объёма, занятого атомами (как твёрдыми шарами) в элементарной ячейке, к её объёму.

Для простой решётки: К.Ч. = 6; n = s = 8·1/8 (восемь атомов расZ Рисунок 1.4. Структура кристалла NaС1 Рисунок 1.5. Структура кристалла CsС – ионы Na+, – ионы Сl- – ионы Cs+, – ионы Сlположены в вершинах куба, каждый из которых принадлежит кубу на 1/8 часть); плотность упаковки 52%.

Для ОЦК: К.Ч. = 8, n = s = 8· + 1 = 2 ; плотность упаковки 68%.

Для ГЦК: К.Ч. = 8, n = s = 8· + 6· = 4 ; плотность упаковки 74%.

Для обозначения направлений, узлов и плоскостей в решётке используются индексы Миллера, которые определяются следующим образом.

Индексы узлов. Положение узлов элементарной ячейки задается координатами, выраженными в единицах постоянных решётки a, b, с. Начало координат берется в вершине элементарной ячейки. Если х = mа, у = nb, z = рс, где m, n, р — целые числа, то числа m, n, р называют координатами узла и записывают [[m n р]]. Например, в кубической решётке центр имеет координаты [[ ]], а центры граней [[ 0]], [[0 ]], [[ 0 ]].

Индексы направлений. Для задания направления в кристалле выбирается прямая, проходящая через начало координат и первый узел, лежащий на этой прямой.

Пусть координаты данного узла [[hkl]]. Тогда индексы узла, записанные в одинарных квадратных скобках, будут определять кристаллографическое направление [hkl]. Для кубических кристаллов направление [hkl] перпендикулярно плоскости (hkl), имеющей те же индексы. Период идентичности вдоль прямой, заданной индексами [hkl] в кубической решётке, выражается соотношением где a — параметр решётки.

Угол между прямыми [h 1 k 1 l 1 ] и [h 2 k 2 l 2 ] в кубической решётке определяется с помощью формулы Совокупность физически эквивалентных направлений (семейство направлений) обозначается как.

Индексы плоскостей. Положение плоскости в кристалле задается индексами Миллера. Для их нахождения требуется:

а) найти точки пересечения плоскости с координатными осями и выразить полученные расстояния в единицах длин рёбер элементарной ячейки;

б) взять обратные величины полученных чисел, привести к общему знаменателю и знаменатель отбросить. Результат записать в круглых скобках: (hkl).

Символом {hkl} обозначают семейство эквивалентных в силу симметрии плоскостей кристалла, т. е. плоскостей, образованных всевозможными перестановками символов h, k, l. Набор индексов (hkl) означает отдельную плоскость или семейство параллельных плоскостей. Если плоскость пересекает ось в области отрицательных значений координат, то соответствующий индекс также будет отрицательным и в этом случае знак "минус" ставят над ним. Например, (h k l). Если плоскость параллельна какой-либо координатной оси, то соответствующий индекс Миллера равен нулю. Например, плоскость (200) отсекает на оси X отрезок 1/2а и параллельна плоскости (Y Z). Плоскости, эквивалентные по характеру симметрии (т. е. эквивалентны физически, например, шесть граней куба), составляют семейство плоскостей и обозначаются {hkl}. Расстояние между соседними плоскостями с индексами Миллера (hkl) определяется по формулам где а 1, a 2, а 3 — углы между нормалью к плоскости (h k l) и осями a, b, c соответственно.

Для кристаллов с кубической решёткой можно пользоваться соотношением Исследование кристаллической структуры чаше всего проводят с использованием дифракционных методов, когда длина волны излучения сравнима с размерами атомов.

При определённых углах падения рентгеновского излучения на кристалл наблюдается его сильное отражение. Условие образования максимумов отражения волн с длиной волны от атомных плоскостей кристалла задаётся формулой Вульфа-Брэггов. В модели Брэггов падающие лучи зеркально отражаются от атомных плоскостей. Пусть на систему параллельных атомных плоскостей с межплоскостным расстоянием d под углом скольжения падает пучок параллельных монохроматических рентгеновских лучей с длиной волны, которые взаимодействуют со всеми атомами в объёме, соответствующем глубине их проникновения в кристалл. Тогда с учётом зеркального отражения разность хода для лучей, отражённых от соседних плоскостей, будет равна 2dsin (см. рис. 1.6).

Лучи, отражённые от атомов, лежащих в параллельных плоскостях, складываются с образованием максимума, если они находятся в фазе, т. е. когда разность хода между отражениями от последующих плоскостей 2dsin кратна целому числу n длин волн. Таким образом, условие возникновения интерференционных максимумов при отражении рентгеновских лучей от атомных плос- Рисунок 1.6. К выводу формулы костей кристалла определяется законом Закон Вульфа-Брэггов является следствием периодичности структуры кристалла и не связан ни с химическим составом кристалла, ни с расположением атомов в отражающих плоскостях.

Пример Кристалл цинка имеет плотноупакованную гексагональную решётку с постоянными a = 2,66 1010 и c = 4,95 1010 м. Найти плотность цинка и объём элементарной ячейки. Молярная масса цинка М = 6,537 102 кг / моль.

Решение.

Элементарная ячейка ГПУ представляет собой прямую призму, в основании которой лежит ромб с углами 60° и 120° (см. рис. 1.3). Поэтому её объём будет равен Каждый атом в вершина призмы принадлежит восьми элементарным ячейкам. Тогда, с учётом одного атома внутри ячейки, число атомов, приходящихся на одну ячейку, z = 8 + 1 = 2. Поэтому объём, приходящийся на один атом, Поскольку в 1 моле вещества содержится N А частиц, то объём 1 моля будет равен V M = V а т ·N А. Тогда Пример Для пучка рентгеновских лучей с длиной волны = 1,537·10-10 м, падающего на кристалл алюминия, наблюдается брэгговское отражение первого порядка от плоскостей (111) под углом скольжения = 19°20. Определить по этим данным постоянную Авогадро, если известно, что алюминий имеет ГЦК структуру, плотность = 2,7·103 кг/м3 и молярную массу М = 2,698·10-2 кг/моль.

Решение.

Постоянную Авогадро можно определить из соотношения Объём, приходящийся на один атом, можно определить как где Vэл.яч — объём элементарной ячейки, Так как ячейка ГЦК, то Vэл.яч = a3 и z = 8 + = 4.

Для определения а воспользуемся соотношением Межплоскостное расстояние d можно найти из формулы Вульфа-Брэггов при n = 1:

В результате получим 1.1. Записать в индексах Миллера плоскости, характеризующиеся наибольшей плотностью упаковки атомов в структуре ГЦК. Сравнить плотность упаковки этих плоскостей. Постоянная решётки а. Привести рисунок.

1.2. Сравнить плотности упаковок плоскостей (110) и (111) для решёток ГЦК и ОЦК.

1.3. Определить плотность упаковки плоскости ( 1 1 1 ) кристалла золота, имеющего структуру ГЦК, если постоянная решётки a = 4 1010 м.

1.4. В индексах Миллера записать координаты всех атомов в элементарной ячейке решётки типа алмаза. Постоянная решётки — а (см. рис. 1.2).

1.5. На каком максимальном расстоянии от любого ядра может находиться электрон в металлическом литии, имеющем ОЦК решётку?

1.6. Для гексагональной решётки определить число атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку.

1.7. Вычислить степень упаковки для кристаллов, имеющих простую кубическую решётку и гексагональную плотноупакованную (ГПУ). Параметр решётки — а.

1.8 Определить отношение степени упаковки в кристалле, имеющем структуру ГЦК, к степени упаковки кристалла со структурой ОЦК.

1.9. Кремний имеет кристаллическую решётку типа алмаза. Считая, что длина ребра элементарной ячейки a = 0,543 нм, определить: а) число атомов, содержащихся в элементарной ячейке; б) концентрацию валентных электронов n.

1.10. Сколько атомов меди содержится в 1 м 3. Плотность меди равна 8,96·10 3 кг/м 3, решётка ГЦК.

в 1 м3.Плотность золота равна 8,96 103 кг/м3, решётка ГЦК.

1.12. Определить концентрацию свободных электронов в натрии, имеющем элементарную ячейку в виде объёмно центрированного куба с ребром a = 0,43 нм.

1.13. Плотность меди, имеющей решётку ГЦК, равна = 8,96 103 кг/м3.

Определить: а) объём элементарной ячейки; б) количество атомов в 1 м3.

Молярная масса меди равна 6,35·10-2 кг/моль.

1.14. – железо при Т = 900°С имеет структуру ОЦК с постоянной решётки a1 = 2,86. При нагревании свыше 910°С оно переходит в – модификацию, приобретая структуру ГЦК с a 2 = 3,56. Найти относительное изменение плотности железа.

1.15. Вычислить постоянную решётки NaCl, имеющего простую кубическую решётку (см. рис. 1.4) и плотность = 2,167 103 кг/м3. Атомная масса M Na = 2,299 102 кг/моль, M Сl = 3,545 102 кг/моль.

1.16. Германий имеет кристаллическую решётку типа алмаза. Полагая, что длина ребра элементарной ячейки равна a = 0,54 нм, определить:

а) число атомов, приходящихся на единицу площади в кристаллических плоскостях (111), (100) и (110), привести рисунки этих плоскостей;

б) удельную плотность германия. Молярная масса M = 7,62 102 кг/моль.

1.17. Алюминий имеет кристаллическую решётку типа ГЦК и параметр решётки a = 4,04. Определить число атомов, приходящихся на единицу площади в плоскостях (111), (100) и (101).

1.18. Определить число атомов, приходящихся на единицу площади в плоскостях (111), (100) и (110) для железа –модификации, имеющего структуру OЦК и постоянную решётки a = 2,86.

1.19. Вывести формулу для определения межплоскостного расстояния в простой кубической решётке 1.20. Вычислить длину волны рентгеновского излучения, которое отражается во втором порядке от системы плоскостей (100) кристалла NaС1 под углом скольжения = 25°. Найти также угол, под которым это излучение отражается в максимальном порядке от дайной системы плоскостей. Кристалл NaС1 имеет кубическую структуру с постоянной решётки a = 5,68.

1.21. Вычислить длину волны рентгеновского излучения, отражающегося от системы плоскостей (110) кристалла золота (решётка ГЦК) с параметром a = 4 во втором порядке под углом 30°. Определить также угол, под которым это излучение отражается с максимальной интенсивностью (интенсивность определяется плотностью упаковки атомами данной плоскости).

1.22. Какой энергией должен обладать электрон, чтобы дать отражение от плоскости (111) кристалла с периодом решётки a = 3, при угле Брэггов 45°?

1.23. Узкий пучок электронов падает на естественную грань монокристалла алюминия под углом скольжения 5°. Расстояние между кристаллографическими плоскостями, параллельными данной грани монокристалла, равно 0,20 нм. Определить энергию и скорость электронов, для которых в данном направлении наблюдается максимум первого порядка. Какая температура соответствует этой скорости электронов?

1.24. Вычислить угол между двумя направлениями в кубической решётке кристалла, которые заданы кристаллографическими индексами [[110]] и [[111]].

1.25. Написать индексы направления прямой, проходящей через два узла с кристаллографическими индексами: а) [[123]] и [[321]], б) [[121]] и [[201]]. Решётка кубическая.

1.26. Направление нормали к некоторой плоскости в кубической решётке задано индексами 110. Написать индексы Миллера для этой плоскости и указать наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

1.27. Три системы плоскостей в примитивной кубической решётке заданы индексами Миллера: а) (111); б) (110); в) (100), Указать, для какой системы межплоскостные расстояния минимальны и для какой максимальны. Определить также отношение межплоскостных расстояний d111, d110, d100.

1.28. Вычислить угол между нормалями к плоскостям в кубической решётке, заданным индексами Миллера (111) и (1 1 1).

1.29. Две плоскости в кубической решётке заданы индексами Миллера: (010) и (011). Определить угол между плоскостями.

1.30. Зная постоянную кубической решётки а, вычислить расстояние между кристаллографическими плоскостями d111, d110, d100 : а) для простой кубической структуры; б) для структуры ОЦК, в) для структуры ГЦК.

1.1. Что лежит в основе упорядочения внутреннего строения кристаллов?

Представить графические зависимости и объяснить.

1.2. Назвать основные свойства, отличающие кристаллические твёрдые тела от аморфных. Дать объяснения.

1.3. Объяснить основные свойства аморфных твёрдых тел.

1.4. Рассмотреть процессы стеклования. Чем определяется температура стеклования аморфного вещества?

1.5. Дать определение симметрии в кристаллах. Охарактеризовать виды симметрии.

1.6. Что описывают точечные группы симметрии? Перечислить элементы симметрии точечных групп и дать им определения.

1.7. Дать определение кристаллической решётки и элементарной ячейки кристалла. Какие правила определяют её выбор? Что общего и в чём различие между элементарными ячейками структуры кристалла и его пространственной решётки?

1.8. Что такое сингония кристалла?

1.9. Дать определение решёткам Браве. Что они характеризуют?

1.10. Каким образом описывают кристаллическую структуру реальных кристаллов? Можно ли полностью описать структуру вещества, указав его структурный тип?

1.11. Дать классификацию дефектов в кристалле. Охарактеризовать влияние примесных дефектов на физические свойства кристаллов.

1.12. Дать определение дефектам по Шоттки и по Френкелю. Чем определяется концентрация собственных точечных дефектов в кристалле? Охарактеризовать их влияние на физические свойства материалов.

1.13. В чём заключается влияние структурных дефектов на механические и электрические свойства твёрдых тел?

1.14. Дать определения краевой и винтовой дислокациям, объяснить причины их образования.

1.15. Описать основные методы определения плотности дислокаций.

Какая величина плотности дислокаций считается допустимой при производстве интегральных схем по кремниевой технологии?

1.16. Охарактеризовать влияние дислокаций на механические, электрические и тепловые свойства материалов.

1.17. Объяснить обозначение индексов Миллера [[hkl]], [hkl], (hkl), {hkl},. Привести примеры.

1.18. Что описывает закон Вульфа-Брэггов? Вывести формулу и привести рисунок для случая, когда порядок отражения n = 4.

1.19. Чем определяется число дифракционных максимумов на рентгенограмме кристалла? Сравнить количество интерференционных максимумов и их интенсивности в случаях простой решётки и сложной.

1.20. Какие факторы влияют на интенсивность интерференционных линий рентгенограммы сложных кристаллов?

1.21. Объяснить механизм и указать условия образования ионной связи. Чем обусловлены силы отталкивания?

1.22. Объяснить механизм и указать условия образования ковалентной связи. Чем обусловлены силы отталкивания?

1.23. Объяснить механизм и указать условия образования металлической связи. Чем обусловлены силы отталкивания?

1.24. Рассмотреть основные составляющие сил Ван-дер-Ваальса.

Для каких веществ характерно установление молекулярной связи?

Чем обусловлены силы отталкивания?

1.25. Охарактеризовать основные физические свойства ионных кристаллов.

1.26. Дать характеристику ковалентных кристаллов.

1.27. Дать объяснение характерных свойств металлических кристаллов.

1.28. Дать сравнительный анализ видов химических связей в кристаллах по силе связи, прочности, температуре плавления, направленности и насыщенности связей.

1.29. Чем определяется координационное число в кристаллах с различными видами химических связей?

1.30. Охарактеризовать различия между монокристаллами, поликристаллами и аморфными веществами.

Квантовая физика описывает явления микромира: движение элементарных частиц и состоящих из них систем, в том числе кристаллов.

Известно, что свет обладает двойственной природой: в одних случаях (в явлениях дифракции и интерференции) он проявляет себя как электромагнитная волна, а в других (эффект Комптона, фотоэффект) — как частица — фотон.

Де Бройль предположил, что двойственная корпускулярно-волновая природа присуща не только фотонам. Движение любой частицы можно рассматривать, как волновой процесс, причём, как и для света, длина волны связана с импульсом частицы р выражением а частота — с её энергией Е:

где h = 6,6210 - 2 4 Джс — постоянная Планка и В случаях, если частица движется со скоростью намного меньшей, чем скорость света:

где — скорость частицы.

Длина волны де Бройля обратно пропорциональна массе, поэтому для частиц макромира длина волны настолько мала, что в природе не имеется объектов, на которых макротела могли бы проявить свои волновые свойства.

С переходом к микромиру происходит качественное изменение в природе частиц. Микрочастица сочетает в себе корпускулярные и волновые свойства, т. е. это объект, существующий в виде волны, но обнаруживаемый всегда как единое целое со свойственной ей массой, зарядом, энергией и т. п.

В классической механике состояние движущейся частицы полностью определяется заданием её координат (x, y, z) и скорости или импульса p. Зная координаты и импульс в данный момент времени, можно совершенно точно описать местоположение частицы и её состояние в последующие моменты времени, используя законы Ньютона.

В случае микрочастицы описать её состояние движения путем одновременного задания импульса и координаты невозможно из-за наличия волновых свойств.

Действительно, свободной частице, движущейся вдоль х с импульсом p x, соотh ветствует волна с длиной =. Но волна по своей природе — объект протяpx женный. Область определения волны простирается от минус бесконечности до плюс бесконечности, т. е. неопределённость её координаты x =. С другой стороны, бессмысленно говорить о длине волны в данной точке. Поэтому охарактеризовать состояние частицы, проявляющей волновые свойства, одновременным заданием её импульса и координаты нельзя. Это можно сделать только с определённым приближением — любое измерение местоположения частицы, проявляющей волновые свойства, принципиально сопряжено с неопределённостью.

Количественная связь между неопределённостями координаты частицы и её импульса была установлена Гейзенбергом:

Принцип неопределённости Гейзенберга позволяет согласовать корпускулярные и волновые свойства микрочастицы, так как неопределённость в импульсе рх и координаты х обусловлены её волновыми свойствами.

Величины, неопределённость измерения одной из которых зависит от точности измерения другой, называются сопряженными. Импульс и координата — сопряженные величины. Другой парой сопряженных величин является энергия Е и время t:

Чем меньший промежуток времени t частица находится в состоянии с энергией E, тем больше неопределённость её энергии Е.

Из соотношения неопределённостей Гейзенберга следует, что для микрочастиц не существует понятий траектории и скорости. Траектория есть совокупность последовательных положений движущейся частицы в пространстве, а скорость — изменение координаты во времени. Движение передается импульсом, а положение — координатой. Поэтому о траектории микрочастицы мы говорить не можем.

Де Бройль поставил в соответствие свободно движущейся частице волну.

Наиболее простым типом волны является плоская, гармоническая, монохроматическая волна. Пусть колебания источника волны происходят по закону где а — амплитуда колебания.

Тогда уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль x со скоростью, где = — частота волны.

Обозначив Воспользовавшись соотношениями Эйлера, запишем и ограничиваясь в (2.9) только действительной частью, уравнение (2.8) можно записать в виде Используя соотношения де Бройля (2.1) и (2.2), получим Соотношение (2.13) связывает волну де Бройля с импульсом и энергией частицы. Волна де Бройля описывает состояние движения свободной частицы.

Волновой вектор в (2.7) k = n характеризует волну с длиной, распространяющуюся вдоль вектора нормали n к фронту ee распространения.

Поскольку из соотношения де Бройля импульс частицы p=m связан с длиной соответствующей ей волны = h, то Волновая функция (х, t) есть математическая функция, описывающая состояние частицы, и физического смысла не имеет.

Дифракция фотонов с длиной волны и электронов с такой же длиной волны де Бройля = h/p на дифракционной решётке обнаруживает одинаковые интерференционные картины в распределении максимумов и минимумов на регистрирующей пластинке. В случае света максимумы и минимумы соответствуют интенсивности падающей волны. В случае же электронов максимумы образуются в местах наиболее частого попадания частиц. Поэтому по аналогии со светом интенсивность волн де Бройля можно поставить в соответствие вероятности обнаружения микрочастицы в данной точке. Так как интенсивность есть квадрат амплитуды волны, то волна де Бройля приобретает смысл амплитуды вероятности её обнаружения. Амплитуду вероятности непосредственно измерить нельзя, реально наблюдается лишь квадрат модуля (х,t), имеющий смысл вероятности. Сама вероятность d обнаружения частицы в объёме dV равна Соответственно (x, t) есть плотность вероятности (вероятность, отнесенная к единице объёма).

Исходя из вероятностного смысла квадрата волновой функции, волна де Бройля в виде = A cos(kx t) для описания частицы использоваться не может, так как при этом 2 = A 2 cos2 (kx t), т. е. вероятность нахождения частицы, гармонически распределена в пространстве, тогда как реально местоположение частицы не должно быть никак выделено. Если же представлена в комплексном виде — (x, t) = A ei( kx t ), то она этому условию удовлетворяет. В этом случае = * = A 2, т. е. вероятность обнаружения свободной частицы в любой из точек пространства (вдоль x) одинакова.

Для описания частицы, находящейся на определённом отрезке оси x, следует воспользоваться понятием волнового пакета.

Состояние частицы, описываемое плоскими монохроматическими волнами вида волн де Бройля, возможно только в идеализированных случаях. В общем случае оно задается сложной комплексной функцией = (x, y, z, t), называемой волновой функцией. В соответствии с физическим смыслом должна быть непрерывной, иметь непрерывную первую производную по координате, быть однозначной и конечной, так как вероятность обнаружения частицы в данном объёме должна быть однозначной, конечной и определённой.

Вне действия внешних полей состояние микрочастицы описывается волновой функцией де Бройля (x, t) = A ei(kx t ). Частица, движущаяся в силовом поле, обладает потенциальной энергией U(x, y, z). Уравнение, описывающее движение частицы в этом случае, было найдено Шрёдингером.

Уравнение Шрёдингера фундаментально и эквивалентно уравнению Ньютона в классической механике. В отличие от классической механики, где под движением понимается перемещение тела с течением времени, в квантовой физике понятие траектории частицы отсутствует и под движением понимают изменение её стационарного состояния. Таким образом, уравнение Шрёдингера описывает изменение состояния частицы во времени. Если известна волновая функция, описывающая состояние частицы в начальный момент времени, то, решая уравнение, можно найти в любой последующий момент и, следовательно, из определить вероятность обнаружения частицы в различных точках пространства.

Полное уравнение Шрёдингера (в случае трех координат) имеет вид Если частица находится в поле действия сил, которые во времени не меняются, т. е. потенциальная энергия частицы зависит только от её координат — U(x, y, z), то уравнение (2.13) в одномерном случае можно преобразовать к виду где Е — полная энергия частицы, U = U(x).

Соотношение (2.14) называется стационарным уравнением Шрёдингера. Оно описывает состояние движения частицы, не изменяющееся во времени при E = const.

Полная волновая функция в этом случае будет иметь вид Соотношение (2.18) — решение уравнения Шрёдингера, где (x, y, z) определяется из (2.17). Распределение вероятности d обнаружения микрочастицы в элементе объёма dV будет стационарно:

т. е. не зависит от времени.

Поскольку (2.18) представляет собой произведение амплитуды и фазы, то (2.17) называют также амплитудным уравнением.

Обозначив коэффициент 2 (E U) при в (2.14) через k2, т. е. положив общее решение стационарного уравнения в одномерном случае можно записать в виде где А и В — константы, определяемые из граничных условий.

Вид зависимости U(х, y, z), или в одномерном случае U(х), определяет конкретный случай применения уравнения Шрёдингера.

Если распределение U ( x ) представляет собой потенциальный барьер, то коэффициент преломления n волн де Бройля на его границе при U < E где 1 и 2 — длины волн де Бройля в 1 и 2-й областях (частица движется из первой области в область 2);

k1 и k2 — соответствующие значения волновых чисел.

Коэффициент отражения при прохождении волн де Бройля через низкий (U < E) потенциальный барьер бесконечной ширины Если барьер имеет конечную ширину d то становится возможным прохождение через него микрочастиц без изменения их энергии (туннельный эффект). При этом коэффициент прозрачности барьера где D0 — коэффициент пропорциональности, по своей величине близкий к 1.

Пример Определить и сравнить время, которое потребуется для того, чтобы неопределённость местонахождения частицы увеличилась вдвое, для случаев:

а) пылинки весом 10-3 г, если её начальная координата х определена с точностью 10-3 см; б) электрона, если для него х = 10-6см.

Решение.

1. Для пылинки в соответствии с принципом неопределённости Гейзенберга имеем откуда следует Следовательно, 2. Для электрона Пример Поток электронов с энергией Е = В падает на низкий прямоугольный потенциальный барьер. Определить высоту потенциального барьера U, если известно, что от барьера отражается 4 % падающих электронов.

Решение.

U < E (см. рисунок 2.1).

Соответственно, откуда можно выразить U:

Пример Частица находится в основном состоянии в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Оценить силу, с которой частица действует на стенку, если размер ямы L = 1010 м.

Решение.

Для частицы в потенциальной яме волновое уравнение Шрёдингера имеет вид Из условия непрерывности волновой функции (0) = (L) = 0.

Подставляя первое граничное условие x = 0, получаем Следовательно, общее решение примет вид: (x) = C (e ikx e ikx ).

С учётом соотношения Эйлера где C1=C2i.

При подстановке второго граничного условия x = L, получаем откуда где n = 1, 2, 3,… Так как по условию частица находится в основном состоянии, то n = 1. Следовательно, kL = L = и L =, т. е. на ширине ямы укладывается одна дебройлевская полуволна.

Соответственно F = p z, где z — число соударений в единицу времени: z = = =.

2.1. Какую энергию имел бы фотон той же длины волны, которой обладает электрон с энергией 10 эВ?

2.2. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 1 ?

2.3. При увеличении энергии электрона на E=200 эВ его дебройлевская длина волны изменилась в = 2,0 раза. Найти первоначальную длину волны электрона.

2.4. Рассчитать волну де Бройля для протона, обладающего энергией 10 кэВ.

2.5. На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. При угле скольжения 64° наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Определить длину волны де Бройля электронов и их скорость, принимая расстояние между атомными плоскостями кристалла 2.

2.6. Положение электрона определено с точностью до 10 -4 см. Насколько точно можно определить его положение спустя 1 с?

2.7. Тело массой 0,1 г покоится на абсолютно гладкой поверхности, и его положение измеряется с точностью 0,001 мм. Какая скорость сообщается телу в процессе измерения его положения?

2.8. Атом излучает в течение 10-11 с фотон с длиной волны 600 нм.

Определить относительную неопределённость энергии фотона.

2.9. Оценить минимальную энергию электрона, находящегося внутри потенциальной ямы шириной 10 - 9 м.

2.10. Оценить величину низшего энергетического уровня электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l 1.

2.11. Неточность при измерении координат электрона, движущегося по прямой, равна 10. Рассчитать неточность в определении: а) импульса; б) скорости; в) кинетической энергии электрона.

2.12. Неточность в определении местонахождения частицы, движущейся вдоль оси х, равна волне де Бройля для этой частицы. Найти отноx сительную неточность в определении её скорости.

2.13. Электрон с кинетической энергией Еk=15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d = 1 мкм. Оценить в процентах относительную неточность, с которой может быть определена скорость электрона.

2.14. Кинетическая энергия E k электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределённостей, оценить минимальные линейные размеры атома l min.

2.15. Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше неопределённости x её координаты, которая соответствует отноp сительной неопределённости импульса в 1%?

2.16. Вычислить в электронвольтах энергию электрона, находящегося в одномерной потенциальной яме длиной 10-10 м, для двух разрешённых уровней, расположенных выше основного состояния, как функцию главного квантового числа n.

2.17. Электрон обладает энергией E = 10 эВ. Определить во сколько раз изменится его скорость и длина волны де Бройля при прохождении через потенциальный барьер высотой U = 6 эВ (см. рисунок к примеру 2).

2.18. Протон с энергией E = 1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1%. Определить высоту потенциального барьера U.

2.19. На пути электрона с дебройлевской длиной волны 1 =1 находится потенциальный барьер высотой U=120 эВ. Определить волну де Бройля 2 после прохождения барьера.

2.20. Рассмотрите прохождение электрона через границу, на которой потенциальная энергия делает скачок U0, причём его энергия E > U0. Воспользовавшись оптической аналогией волновых свойств электрона, сравнить показатели преломления n1 и n2 в обеих областях и определить, при каком направлении движения электрона фаза его волновой функции при отражении от барьера сохраняется (фаза меняется при отражении от оптически более плотной среды).

2.21. Электрон с энергией Е = 25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 9 эВ. Определить коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера.

2.22. Определить коэффициент преломления волн де Бройля для протонов на границе потенциальной ступени U = 9 эВ, если их кинетическая энергия Ek = 16 эВ.

2.23. Коэффициент отражения протона от потенциального барьера равен 2,5·10-5. Определить, какой процент составляет высота барьера U от кинетической энергии Е, падающих на барьер протонов.

2.24. Вывести формулу, связывающую коэффициент преломления n волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффициент отражения от него.

2.25. Определить показатель преломления n волн де Бройля при прохождении потенциального барьера с коэффициентом отражения = 0,5.

2.26. При каком отношении высоты потенциального барьера U и энергии электрона Е, падающего на барьер, коэффициент отражения = 0,5?

2.27. Найти вероятность просачивания электрона через потенциальный барьер шириной 5 и высотой 0,4 эВ, если он разгоняется электрическим полем 0,3 В.

2.28. Определить, какой энергией должен обладать электрон для прохождения через барьер прямоугольной формы толщиной 10 и высотой 9 эВ, если ожидаемая прозрачность равна 0,5.

2.29. Электрон находится в одномерной потенциальной яме шириной 5. Определить минимальное разрешённое значение его энергии и наименьшую разность энергетических уровней.

2.30. Электрону в потенциальном ящике шириной 10 соответствует волновой вектор k = (n = 1,2,3…). Определить собственное значение энергии возбуждённого электрона для n = 2.

2.1. В чём заключается гипотеза де Бройля? Чем отличается описание движения микро- и макрочастиц? Почему макрочастицы не проявляют волновых свойств?

2.2. Объяснить физический смысл волны де Бройля. В чём отличие волновой функции электрона от волны де Бройля?

2.3. Каким требованиям должны удовлетворять волновые функции? Объяснить, почему.

2.4. Почему волновые функции используются в комплексном виде?

2.5. С какой целью вводят понятие волнового пакета? Дать определения и объяснить различия фазовой и групповой скоростей волн де Бройля.

2.6. Дать формулировки соотношений неопределённостей Гейзенберга и объяснить их физический смысл.

2.7. В чём заключается принцип суперпозиции квантовых состояний?

2.8. Записать полное уравнение Шрёдингера и объяснить его физический смысл.

Объяснить условия его применения.

2.10. Записать стационарное (амплитудное) уравнение Шрёдингера и его общее решение. Почему это уравнение называют амплитудным?

2.11. Рассмотреть применение уравнения Шрёдингера для случая свободного электрона в вакууме. Привести зависимость E = f(k).

2.12. Написать уравнения Шрёдингера и их решения для электрона с энергией Е, движущегося в положительном направлении оси для обеих областей, разделённых низким потенциальным барьером высотой U. Объяснить смысл коэффициентов (см. рисунок 2.1).

2.13. Рассмотреть прохождение частицы через потенциальный барьер конечной толщины d. Что такое туннельный эффект? Чем определяется вероятность просачивания электрона через потенциальный барьер?

2.14. Чем отличается волновая функция электрона, прошедшего через потенциальный барьер, от волновой функции, характеризующей его состояние до барьера?

2.15.Что характерно для частицы, движение которой ограничено в некоторой области? Объяснить на примере частицы, находящейся в прямоугольной потенциальной яме шириной L.

2.16. Что называется линейным гармоническим осциллятором. Привести зависимость U=f(x) для этого случая. Какие основные следствия можно получить, рассматривая эту модель? В каких случаях можно использовать эту модель?

2.17. Рассмотреть результаты применения уравнения Шрёдингера к атому водорода. Привести зависимость потенциальной энергии электрона в атоме водорода от расстояния до ядра. Чему равна минимальная энергия электрона?

2.18. Какие значения могут принимать квантовые числа n, l, ml, ms в атоме водорода? Объяснить их физический смысл.

2.19. Что такое спин электрона?

2.20. Дать сравнительную характеристику волновым функциям различных квантовых состояний в атоме водорода.

2.21. Чем отличаются волновые функции квантовых состояний 2s и 2p?

2.22. Дать обоснование изменениям в результатах, полученных при переходе от модели водородоподобного атома к многоэлектронным атомам.

2.23. Дать формулировку и условия применимости принципа Паули.

2.24. Объяснить порядок заполнения квантовых состояний в многоэлектронном атоме.

2.25. Доказать, что в s – состоянии могут находиться не более двух электронов, а в p – состоянии — не более шести электронов. Записать соответствующие им наборы квантовых чисел.

2.26. Сравнивая результаты, полученные при рассмотрении поведения частицы в прямоугольной потенциальной яме, в моделях гармонического осциллятора и атома водорода, проследить как влияет вид потенциальной ямы, в которой находится частица, на возможные значения её энергии. Привести рисунки.

2.27.Объяснить механизм образования ковалентной связи.

2.28. Объяснить механизм образования ионной связи.

Чем обусловлены силы отталкивания в ионных кристаллах?

2.29. Объяснить механизм образования металлической связи. Почему металлическая связь характерна для элементов, у которых число электронов на внешней оболочке мало?

2.30. Объяснить образование ковалентной связи в полупроводниковых соединениях A 3 B 5 : A 3 — s 2 p 1 ; B 5 — s 2 p 3.

Тема 3. ОСНОВЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ

И КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ

В изолированных атомах электроны обладают дискретным энергетическим спектром, т. е. они могут иметь только строго определённые значения энергии, которым соответствуют отдельные энергетические уровни атома. В кристаллах атомы уже нельзя считать изолированными — они образуют единую систему, в которой электроны всех атомов обобществлены. Взаимное влияние друг на друга электрических полей отдельных атомов кристалла ведет к тому, что волновые функции их электронов перекрываются. Для электронов, находящихся на внешних электронных оболочках, это перекрытие будет значительным, в то время как для внутренних электронов оно может быть очень мало. В результате перекрытия волновых функций, каждый электронный уровень изолированного атома заменяется в кристалле целым интервалом энергий — происходит расщепление уровней в энергетические зоны.

Ширина образующихся зон определяется степенью перекрытия волновых функций. Поэтому глубокие энергетические уровни внутренних электронов атомов образуют узкие зоны, а уровни внешних электронов расщепляются в широкие зоны.

Количество подуровней в каждой зоне одинаково и определяется числом повторяющихся в кристалле структурных единиц, т. е. равно числу элементарных решёток в данном кристалле. В общем случае число элементарных ячеек можно определить как N/s, где N — количество атомов в кристалле, а s — базис решётки. Так как в простых решётках s = 1, то в этом случае каждая зона будет состоять из N подуровней.

В кристалле, состоящем из N атомов, исходному энергетическому уровню изолированного атома, опредеml = ней, на каждом из которых, в n = 2, l = соответствии с принципом Паули, может находиться по n = 1, l = два электрона (рис. 3.1).

Зоны, образующиеся в результате расщепления энергети- Рисунок 3.1. Расщепление уровней ческих уровней атомов, назы- изолированного атома в зоны ваются разрешёнными зонами. при образовании кристалла Они включают в себя интервалы энергий, разрешённые для электронов в кристалле. Разрешённые зоны разделены интервалами энергий, которые запрещены для электронов. Соответственно эти интервалы называются запрещёнными зонами.

Если порядковый номер элемента в периодической таблице — Z, то на атом приходится Z электронов и полное число электронов в кристалле будет равно N·Z. Эти электроны заполняют разрешённые зоны начиная с самой нижней вплоть до какой-то верхней зоны, которая заполняется валентными электронами.

Если верхняя зона при Т = 0 К заполнена E а следующая над ней полностью свободная Ec зона — зоной проводимости (рис. 3.2).

ют и под действием внешнего поля электроны пеРисунок 3.2. Обозначения ремещаться не могут, так как не могут изменить свою энергию. Если в веществе при температуре, не для краев зон: «дна» зоны проравной 0 K, какие-либо электроны в валентной зоне водимости — Ес, «потолка» валентной зоны — Ev и ширины приобретают достаточную тепловую энергию для преодоления запрещённой зоны и перехода в зону проводимости, то они становятся носителями заряда и участвуют в электропроводности, поскольку в зоне проводимости для них имеется возможность увеличивать свою энергию в электрическом поле. Такие вещества называются полупроводниками. Для них Eg < 2,5 – 3 эВ. При большей ширине запрещённой зоны в нормальных условиях электронам не хватает тепловой энергии для перехода в зону проводимости, и такие вещества будут диэлектриками.

Если валентная зона заполнена не полностью, то уже при Т = 0 К электроны под действием поля могут переходить на вышележащие свободные энергетические уровни, обеспечивая электропроводность. В этом случае валентная зона одновременно является и зоной проводимости, а запрещённая зона отсутствует (рис. 3.3).

Такие вещества являются проводниками (металлами). К проводникам также относят вещества, у которых при 0 К валентная зона заполнена полностью, но она перекрывается в пространстве с зоной проводимости, образуя единую зону.

Существуют общие правила для классификации веществ по их способности к электропроводности:

1. Если элемент имеет нечётную валентность и его элементарная ячейка содержит нечётное число атомов, то это вещество — металл.

ство является диэлектриком или полупроводником, если только валентная зона и зона проводимости такого кристалла не перекрываются в проРисунок 3.3. Заполнение странстве, в противном случае это металл.

энергетических уровней В отличие от свободного электрона на элекэлектронами в металле трон, движущийся в кристалле под действием электрического поля с напряжённостью E, со стороны решётки действует периодическое поле ионов. При этом работа внешней силы F = q E может переходить как в кинетическую энергию электрона, так и в его потенциальную энергию взаимодействия с решёткой или перераспределяться между ними. Движение, совершаемое свободным электроном под действием силы F, описывается вторым законом Ньютона:

где me — масса электрона, a — его ускорение, приобретаемое под действием силы F.

В случае движения электрона в кристалле, внешний вид уравнения (3.1) можно сохранить, если вместо массы электрона me ввести величину mn* — эффективную массу, учитывающую влияние периодического поля решётки на движение электрона:

Эффективная масса m n * в зависимости от вида зависимости E( k ) может быть положительной или отрицательной, а по величине быть больше массы электрона или меньше её. В любом случае она, как и обычная масса, характеризует инерционные свойства электрона.

Рассмотрим зону, полностью заполненную электронами. Электроны, расположенные на верхних энергетических уровнях, имеют отрицательный заряд и эффективную массу меньше нуля (m*0), численно равной m* удалённого электрона. Такая квазичастица называется дыркой. Энергия дырки увеличивается при её перемещении от потолка ко дну валентной зоны, т. е. в направлении, обратном случаю для электрона.

По типу электропроводности полупроводники подразделяют на собственные и примесные. Собственными полупроводниками называются полупроводники без примесей. Проводимость в них осуществляется собственными носителями зарядов — электронами и дырками, причём их концентрации равны, т. е. n = p = ni.

Если в полупроводнике имеются легирующие добавки, то полупроводник называется примесным. При этом различают донорные полупроводники, в которых электропроводность осуществляется преимущественно электронами (n > p), и акцепторные, в которых основными носителями заряда являются дырки (p > n). Донорный тип полупроводника образуется при введении в чистый четырехвалентный полупроводник атомов пятивалентного элемента (P, As, Sb). Если же в полупроводник вводится трехвалентная примесь (B, Ga, Al), то полупроводник становится акцепторным.

При введении в четырёхвалентный кремний (или германий) атома пятивалентного элемента четыре валентных электрона этого атома устанавливают ковалентные связи с валентными электронами четырёх соседних атомов кремния, образуя энергетически выгодную, устойчивую, полностью заполненную оболочку из восьми электронов. Девятый электрон атома будет вращаться вокруг положительного иона примеси, который создаёт кулоновское поле, ослабленное действием окружающей среды в раз ( равно 12 для Si и 16 для Ge). Вследствие ослабления поля в кристалле кремния радиус орбиты этого электрона увеличится в 12 раз по сравнению с изолированным атомом. Соответственно энергия связи электрона с ионом примеси E d уменьшится в 2 раз, то есть в 144 раза, и будет очень мала (порядка 0,01 эВ).

Рисунок 3.4. Примесный уровень в донорном можно представить в следующем виде (рис. 3.5 в).

полупроводнике расположен При введении трёхвалентного атома примеси вблизи края зоны Рисунок 3.5. Нейтральный атом донора в решётке кремния (а) теряет пятый валентный электрон и превращается в неподвижный положительный ион (б). Объём полупроводника остается электрически нейтральным (в) — число «примесных»

танавливают ковалентные связи с электронами соседних атомов кремния. Для образования четвертой ковалентной связи и приобретения устойчивой, энергетически выгодной, полностью заполненной восьмиэлектронной наружной оболочки атому примеси требуется еще один электрон. Этот дополнительный электрон может быть отобран от ближайшего атома кремния. Для этого требуется энергия Ea 0,01 эВ. В результате у атома кремния (германия) образуется незаполненная связь — дырка, а атом примеси превращается в неподвижный отрицательный ион (рис. 3.6).

Так как атом примеси при ионизации захватывает валентный электрон кремния (германия), то он называется акцептором, а его энергетический уровень находится вблизи края валентной зоны (рис. 3.7).

Поскольку при T = 300 K кинетическая энергия тепловых колебаний атомов Рисунок 3.6. Нейтральный атом акцептора (а) захватывает дополнительный электрон у атома Si и превращается в неподвижный отрицательный ион (б), в целом kT составляет около 0,04 эВ, что значи- E решётки тельно превышает энергию активации примеси Ed и Ea, то в нормальных условиях вся введённая приEa месь будет уже ионизирована.

В системах, состоящих из большого числа частиц, существуют определённые статистические зако- Рисунок 3.7. Положение номерности распределения этих частиц по энергиям, акцепторного уровня E a которые описываются с помощью статистических функций распределения.

Функция распределения f(E,T) показывает вероятность заполнения частицами состояния с данной энергией E при определённой температуре T. Вид функции зависит от того, являются ли данные частицы различимыми и какое число частиц может находиться в данном разрешённом состоянии. Под различимостью понимают свойство частиц изменять физические характеристики твёрдого тела при перестановке этих частиц местами.

Если рассматриваются классические (не квантовые) системы и не учитываются какие-либо специфические свойства частиц, то применима функция распределения Максвелла-Больцмана где — величина, подлежащая определению и называемая химическим потенциалом.

Химический потенциал выражает изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия системы (энтропия, объём) остаются неизменными. Применительно к физике твёрдого тела называют уровнем Ферми и обозначают ЕF. Уровень Ферми определяется из условия, что сумма значений f(E) по всем энергетическим уровням должна равняться полному числу электронов в системе. Следовательно, ЕF определяется числом частиц и внешними параметрами, в частности температурой.

В квантовой механике микрочастицы являются неразличимыми. При этом возникают функции распределения двух видов. Одна из них применима к частицам — бозонам, которые не подчиняются запрету Паули, они могут неограниченно заполнять одно и то же энергетическое состояние, причём тем легче, чем больше их в этом состоянии находится. Другая функция применима к частицам — фермионам, которые подчиняются принципу запрета Паули (в одном и том же квантовом состоянии не может оказаться более одного фермиона, т. е. на одном энергетическом уровне может находиться только две частицы с разными спинами). К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, к бозонам — фотоны, фононы.

Бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна:

В условиях равновесия бозоны имеют максимум свободной энергии, поэтому химический потенциал бозонов равен нулю. Тогда справедливо:

Распределение фермионов по энергетическим уровням описывается с помощью статистики Ферми-Дирака, функция распределения которой имеет вид В случае, если Т = 0 К, энергетические уровни с энергиями Е < ЕF заполнены полностью, так как при этом функция распределения fФ.Д.(Е,Т) 1, в то время как состояния с энергиями Е > ЕF полностью свободны (fФ.Д.(Е,Т) 0).

Рассмотрим распределение Ферми-Дирака на примере металла (рис. 3.8):

При температуре абсолютного нуля электроны в металле стремятся занять состояния с минимальной энергией. ПоскольFФ.Д.(E,T) T = 0K ку на каждом уровне может находиться только по два электрона, а энергетическая зона металла заполнена не полностью, то электроны занимают уровни начиная с нижнего вплоть до какого-то верхнего, определяемого количеEF E Рисунок 3.8. Функция распределения ством свободных электронов. Верхний T = 0 K полностью заняты (рис. 3.9).

При T > 0 K часть электронов приобретает возможность перейти на вышележащие свободные уровни. Однако тепловому возбуждению могут подвергаться только электроны, лежащие ниже уровня Ферми на расстоянии порядка kT (энергия теплового возбуждения, приходящаяся на одну степень свободы). Функция ФермиДирака при этом претерпевает размытие ступеньки на величину kT (рис. 3.10).

T = 0 K. При любой другой температуре, отличной от нуля, это энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2.

0 При определении среднего числа частиц, нахоРисунок 3.9. Распределение дящихся при данной температуре Т на энергетиэлектронов в металле при T = 0 K ческом уровне Е, функция распределения Ферми-Дирака используется применительно к металлам и к вырожденным полупроводникам. Если же определяется вероятность kT заполнения фермионами уровней FФ.Д.(Е,Т) зоны проводимости полупроводника, то можно использовать расT пределение Максвелла–Больцма- 1/ на, поскольку в этом случае число энергетических уровней в зоне ное число частиц в ней и специРисунок 3.10. Распределение Ферми-Дирака фика фермионов не проявляется.

Вероятность того, что энергетический уровень E занят не электроном, а дыркой, будет равна 1 – f(E,T).

3.2. Задачи для индивидуальной работы к теме Уровень Ферми полупроводника находится на 0,3 эВ ниже дна зоны проводимости. Какова вероятность того, что при комнатной температуре энергетические уровни, расположенные на расстоянии 3kТ выше дна зоны проводимости, заняты электронами? Какова вероятность того, что уровень у потолка валентной зоны содержит дырки, если ширина запрещённой зоны 1,1 эВ?

Решение Зонная структура полупроводника для данного случая показана на рис. 3.11.

Для электронов проводимости (или дырок) правомерно использовать как распределение Максвелла-Больцмана, так и распределение ФермиДирака, поскольку при E >> E F, единицей в знаменателе f Ф.Д. можно пренебречь и f Ф.Д. f М.Б.

f Ф.Д. (E,T) = [ exp (14,99) + 1] = 3,08 107.

Для второй части задачи имеем Вероятность заполнения электронами уровня у потолка валентной зоны:

Для дырок соответствующая вероятность будет равна 3.1. На какое количество подуровней расщепляется р – уровень изолированного атома при образовании кристалла? Привести рисунок.

3.2. Кристаллическое вещество имеет кубическую структуру.

Постоянная решётки a = 0,25 нм. Для образца объёмом 1 см 3 вычислить: а) число уровней в каждой энергетической зоне; б) расстояние между уровнями в энергетической зоне шириной 1 эВ.

3.3. Кристалл имеет кубическую структуру. Постоянная решётки a = 4. Определить расстояние между уровнями в энергетической зоне шириной 1 эВ. Как изменится среднее расстояние между уровнями если первоначальный объём кристалла, равный 1 см 3, уменьшится в 10 раз?

3.4. Решить задачу, рассмотренную в примере 3 темы 2, в предположении, что в потенциальной яме находятся три бозона.

3.5. Решить задачу, рассмотренную в примере 3 темы 2, в предположении, что в потенциальной яме находятся три фермиона.

3.6. Найти полную концентрацию ионизированных примесей Nn в полупроводнике n – типа, если концентрация компенсирующих акцепторов Na, а концентрация основных носителей заряда n (задачу решить в общем виде).

3.7. Вместо распределения Ферми-Дирака используют распределение Максвелла-Больцмана. Определить относительную ошибку такой замены при Е – Е F = kT и Е – Е F = 4kT.

3.8. Показать, что вероятность того, что электрон в кристалле обладает энергией, превышающей энергию Ферми Е F на величину Е, в точности совпадает с вероятностью отсутствия электрона в состоянии, энергия которого меньше значения Е F на ту же величину Е.

3.9. Энергия Ферми для кристалла серебра равна 5,5 эВ. Для серебра при температуре, немного меньшей точки плавления 1230 K, найти вероятность того, что электрон имеет энергию 5,0 и 5,6 эВ.

3.10. Во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0,1 эВ ниже уровня Ферми и температура изменится от 200 до 500 K?

3.11. Вычислить, во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,1 эВ выше Е F, если температуру металла повысить с 300 до 1000 K.

3.12. Кристаллическое вещество имеет кубическую структуру.

Постоянная решётки a = 0,45 нм. Для образца объёмом 1 см 3 вычислить число уровней в каждой энергетической зоне.

3.13. Используя распределение Ферми-Дирака, рассчитать при 300 К вероятность заполнения электронами энергетического уровня, лежащего выше уровня Ферми на: а) 0,1 эВ; б) 1,0 эВ и ниже уровня Ферми на 0,1 эВ.

3.14. В образце кремния n – типа при комнатной температуре уровень Ферми равен 0,244 эВ; принимая энергию активации донорного уровня c d =50 мэВ, определить вероятность того, что донорный уровень занят.

3.15. Для предыдущей задачи определить относительную долю ионизированных атомов с незанятым донорным уровнем.

3.16. Определить положение уровня Ферми в образце кремния, легированного атомами фосфора, если c d = 0,044 эВ и при Т=153 К доля ионизированных атомов примеси составляет 95%.

3.17. Определить температуру, при которой в твёрдом проводнике вероятность найти электрон с энергией 0,5 эВ над уровнем Ферми равна 2%.

3.18. В образце германия, легированного атомами мышьяка, доля ионизированных атомов примеси при Т = 150 K составляет 90%. Определить относительную долю ионизированной примеси при Т = 50 и 300 К, если c d = 0,05 эВ.

3.19. Ширина запрещённой зоны чистого полупроводника равна 1 эВ. Вычислить вероятность заполнения уровня вблизи дна зоны проводимости при 300 К. Изменится ли эта вероятность, если на полупроводник действует электромагнитное излучение: а) с длиной волны 1,0 мкм; б) с длиной волны 2,0 мкм.

3.20. Уровень Ферми расположен на 0,3 эВ ниже дна зоны проводимости. Какова вероятность того, что при комнатной температуре энергетические уровни, расположенные на расстоянии 3 эВ выше дна зоны проводимости, заняты электронами?

3.21. В чистом германии ширина запрещённой зоны равна 0,72 эВ.

Насколько надо повысить температуру по сравнению с 300 К, чтобы число электронов проводимости увеличилось в 2 раза?

3.22. Ширина запрещённой зоны полупроводника равна 0,72 эВ. Какова вероятность того, что уровень у потолка валентной зоны содержит дырки, если при Т = 300 K уровень Ферми находится на 0,07 эВ ниже дна зоны проводимости.

3.23. Уровень Ферми полупро водника находится н а 0,01 э В в ыше потолка валентно й зоны. Рассчитать вероятност ь появления дырки н а верхнем уровне валентной зоны при 300 К и при 80 K.

3.24. Уровень Ферми полупроводника находится на 0,01 эВ выше потолка валентной зоны. Определить вероятность нахождения электрона на дне зоны проводимости при 300 К, если ширина запрещённой зоны полупроводника 0,67 эВ.

3.25. Определить вероятность заполнения электронами энергетического уровня, расположенного на 10kТ выше уровня Ферми. Как изменится вероятность заполнения этого уровня электронами, если температуру увеличить в 2 раза?

3.26. В чистом германии при температуре 300 K имеется 4, 4 1028 атомов на 1 м 3 и 2,3 1019 электронов проводимости на 1 м 3. Чему равна концентрация дырок и электронов проводимости при этой температуре в примесном германии, содержащем 1 атом донорных примесей на основных атомов и такую же концентрацию акцепторных примесей?

3.27. В кремнии, легированном атомами бора, доля ионизированных атомов примеси при Т = 150 K составляет 85%. Определить относительную долю ионизированной примеси при Т = 50 и 300 К, если c a = 0,1 эВ.

3.28. В образце кремния n – типа при комнатной температуре уровень Ферми равен 0,44 эВ; принимая энергию активации донорного уровня c d = 50 мэВ, определить вероятность того, что уровень Ed свободен.

a = 2,5. Для образца объёмом 1 см вычислить среднее расстояние между уровнями в энергетической зоне шириной 1 эВ.

3.30. Определить температуру, при которой вероятность обнаружения электрона в зоне проводимости чистого германия равна 2%.

3.1. Опишите сущность адиабатического и одноэлектронного приближения.

3.2. Опишите процесс образования и характер энергетических зон для случая сильносвязанных электронов (модель сильной связи).

3.3. Объяснить причины образования энергетических зон в кристалле. Чем определяется ширина энергетической зоны?

3.4. Записать периодические граничные условия вдоль x для кристалла длиной L и получить возможные значения волнового вектора k.

3.5. Что описывает модель Кронига-Пенни?

3.6. Какие основные выводы следуют из рассмотрения поведения в кристалле слабосвязанных электронов (модель слабой связи)?

3.7. Записать функцию Блоха и объяснить её физический смысл.

3.8. В каких пределах ограничены физически различные значения волнового вектора k в кристалле? Привести дисперсионную зависимость Е(k) для электрона, движущегося в кристалле.

3.9. Дать определение зонам Бриллюэна. Что называется приведенной зоной Бриллюэна?

3.10. В чём заключается физическая причина разрывов в энергетическом спектре электрона проводимости (причина существования запрещённых зон)?

3.11. Чем определяется ширина запрещённой зоны в полупроводниках?

3.12. Чем определяется число уровней в энергетической зоне для простых и сложных решёток?

3.13. Какие вещества называют проводниками и полупроводниками в зонной теории?

3.14. Как влияют валентность элемента и число электронов в его элементарной ячейке на электрические свойства вещества? Объяснить.

3.15. Представить и сравнить зонные диаграммы для случаев образования металлов, полупроводников и диэлектриков.

3.16. Получить выражение для эффективной массы электрона.

3.17. Приведите рисунки образования в кристалле Si или Ge донорной и акцепторной типов проводимости.

3.18. Где расположены энергетические уровни в примесных полупроводниках? Привести энергетические диаграммы. Сравнить величину энергии активации примеси с энергией тепловых колебаний атомов кристалла.

3.19. Почему примесный уровень в полупроводнике дискретен?

3.20. Охарактеризовать свойства компенсированных полупроводников.

3.21. В чём различие между вырожденными коллективами и невырожденными?

3.22. Какой статической функцией описываются невырожденные коллективы? Дать характеристику этой функции.

3.23. Что характеризуют статистические функции распределения?

Записать формулы распределения Максвелла-Больцмана и ФермиДирака. Привести их графики при различных температурах.

3.24. В чём состоит существенное различие между функциями распределения Максвелла-Больцмана и распределения Ферми-Дирака и при каких условиях используется каждая из этих функций?

3.25. В чём заключается физический смысл уровня Ферми в металлах? Чем определяется местоположение E F в металлах?

3.26. Как определить скорость движения электрона в кристалле исходя из дисперсионной зависимости Е(k)? Когда она достигает максимума?

3.27. В чём различие положения уровня Ферми в собственном и сильнолегированном полупроводниках. Приведите энергетические диаграммы.