«ПРАКТИКУМ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ Учебное пособие Под редакцией доктора экономических наук, профессора В. А. Колемаева и кандидата экономических наук, доцента В. И. Соловьева Рекомендовано кафедрой ...»

Условия (14.1.6), определяющие оптимальное решение задачи потреби теля, означают, в частности, что при ценах p1, p2, …, pn потребитель, обла дающий богатством I, выбирает набор товаров, который соответствует полному использованию богатства I, причем вектор предельных полезно стей товаров пропорционален вектору цен:

Отсюда следует, что в о п т и м а л ь н о й т о ч к е предельная норма замены i го товара j м равна отношению цен i го и j го товаров:

Равенство (14.1.7) можно содержательно интерпретировать в виде вто рого закона Госсена: взаимозаменяемыми являются такие количества то варов, которые имеют одинаковую стоимость.

Можно сделать еще один вывод из условий (14.1.6): у всех товаров в о п т и м а л ь н о й т о ч к е отношения предельных полезностей к ценам совпадают и равны :

Это дает ответ на вопрос об экономическом смысле множителя Ла гранжа : множитель Лагранжа равен п р е д е л ь н о й п о л е з н о с т и о д н о й д е н е ж н о й е д и н и ц ы (поскольку в оптимальной точ ке часть предельной полезности каждого товара, приходящаяся на еди ницу его цены, равна ).

Если из условий (14.1.6) выразить x как функцию от цен и богатства, то получим функцию спроса данного потребителя: x = x (p1, p2, …, pn, I).

Рассмотрим, как изменится спрос потребителя, если изменится цена одного из товаров (например, j го).

Предположим вначале, что при изменении цены j го товара на величи ну pj (при неизменных ценах остальных товаров) происходит к о м п е н с а ц и я б о г а т с т в а на такую величину I, чтобы новая точка оптимального спроса осталась на той же поверхности безразличия, что и старая [иными словами, чтобы полезность набора товаров стве M + M, была бы равна полезности набора товаров оптимального при векторе цен p = (p1 p2 pn ) и богатстве I (рис. 14.1.2)].

Если теперь устремить pj к нулю и рассмотреть предел то мы получим изменение спроса на i й товар при изменении цены j го товара на единицу и сопутствующем компенсирующем изменении богат ства; это изменение обозначается Рис. 14.1.2. Изменение спроса с компенсацией дохода Величина (xi / pj )комп. отражает э ф ф е к т з а м е щ е н и я — при изменении цены j го товара и компенсирующем изменении богатства по требитель останется на той же кривой безразличия, что и раньше, для че го заменит часть j го товара другими товарами.

Найдем величину такого компенсирующего изменения богатства dI при бесконечно малом изменении цены j го товара (на dpj) и неизменных ос тальных ценах [т. е при изменении цен pi всех остальных товаров (с номе рами k j ) на dpk = 0 ]. Из условий оптимального поведения потребителя (14.1.6) получаем, что Чтобы полезность не изменилась, необходимо и достаточно, чтобы du = 0, и поскольку предельная полезность денег 0, то Но тогда (где мы учли также, что dpk = 0 при k j ).

На самом деле компенсации богатства потребителя при изменении цен не происходит, и изменение спроса потребителя на i й товар при измене нии цены j го товара на единицу равно Уравнение (14.1.9), полученное в 1915 г. Е. Е. Слуцким, играет важней шую роль в теории потребительского спроса. Вычитаемое в этом уравне нии отражает э ф ф е к т д о х о д а, связанный с изменением потреби тельской ценности единицы богатства. Фактически потребитель не оста ется на той же поверхности безразличия, что и раньше, а переходит на другую поверхность безразличия, соответствующую другим количествам товаров, которые он может позволить себе приобрести при изменении це ны j го товара и неизменном богатстве и ценах остальных товаров. Эф фект дохода и эффект замещения иллюстрируется рис. 14.1.3.

Рис. 14.1.3. Эффект дохода и эффект замещения Можно показать, что и малоценным, если при увеличении богатства спрос на этот товар сни жается:

изводных xk / I есть хотя бы одна положительная, т. е. обязательно су ществует хотя бы один ценный товар.

Товар с номером i называется нормальным, если при увеличении его цены спрос на него падает, т. е. если Спрос на ценный товар обязательно падает при увеличении его цены: в правой части уравнения Слуцкого (14.1.9), записанного при j = i, уменьшаемое отрицательно согласно (14.1.10), а вычитаемое неотрица тельно, так как xi / I > 0 согласно (14.1.11), а спрос xi не может быть отрицательным. Таким образом, ценные товары не могут быть товарами Гиффина.

Резюмируя, замечаем, что все товары делятся на три категории (табл. 14.1.1):

• н о р м а л ь н ы е ц е н н ы е т о в а р ы, примером такого товара явля ется масло: если цена мяса увеличится, то потребитель приобретет его меньше, а если увеличится богатство потребителя, то он увеличит по требление мяса;

служит маргарин: потребитель приобретет меньше маргарина и в том случае, когда увеличится цена маргарина, и в том случае, когда увели чится богатство потребителя;

• т о в а р ы Г и ф ф и н а, в качестве примера такого товара традиционно приводят картофель в Ирландии XIX в.: в то время большая часть потре бительских расходов населения тратилась на приобретение картофеля, но по мере увеличения богатства потребители предпочитали покупать больше мяса и меньше картофеля; при увеличении цены картофеля ре альный доход потребителя уменьшался настолько, что он уже не могли покупать столько же мяса, как и прежде, и потому был вынужден увели чивать потребление картофеля.

Два товара с номерами i и j называются взаимозаменяемыми, если увеличение цены j го товара при сопутствующем компенсирующем из менении богатства приводит к увеличению спроса на i й товар:

товары называются взаимодополняющими, если увеличение цены j го товара при сопутствующем компенсирующем изменении богатства ведет к уменьшению спроса на i й товар:

все три товара ценные (так как ценные товары не могут быть товарами Гиффина, все три товара являются нормальными). Первый и второй то вары являются взаимозаменяемыми, так как Точно так же можно показать, что первый и третий, а также второй и третий товары образуют взаимозаменяемые пары, а взаимодополняющие товары для данного потребителя отсутствуют.

В пространстве трех товаров известен вектор цен p = (p1 p2 p3), богат ство потребителя I и его функция полезности u(x1, x2, x3 ) [они приведены для каждого варианта в табл. 14.2.1]. Требуется описать (с помощью сис темы неравенств) бюджетное множество и изобразить его графически.

Затем следует определить функцию спроса и рассчитать ее конкретное значение при заданном богатстве I и векторе цен p. После этого нужно убедиться в справедливости уравнения Слуцкого для данного потребите ля. Далее следует определить, какие товары являются ценными и мало ценными; нормальными товарами и товарами Гиффина; какие товары взаимозаменяемы, а какие являются взаимодополняющими.

15. МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЯ

и указания к выполнению заданий Производственная функция выражает зависимость результата про изводства (объема выпускаемой продукции) от факторов производства (затраченных ресурсов). При описании экономической системы с помо щью производственной функции эта система рассматривается как «чер ный ящик», на вход которого поступают ресурсы, а на выходе получается произведенный за некоторый период времени продукт.

Если рассматривать два ресурса:

• к а п и т а л, т. е. прошлый (накопленный) труд K в форме основных производственных фондов;

• настоящий (живой) т р у д L, описываемый количеством занятых, и результатом деятельности экономической системы считать объем вы пуска X, то экономика замещается своей моделью в форме наиболее рас пространенной двухфакторной производственной функции Поскольку обычно экономическая система производит несколько раз личных видов продукции, удобнее всего объем выпуска исчислять в д е н е ж н о м в ы р а ж е н и и, например, если в качестве экономической системы рассматривать н а ц и о н а л ь н у ю э к о н о м и к у, то объемом в качестве экономической системы рассматривать ф и р м у — то просто выпуск продукции в денежном выражении, т. е. суммарную стоимость произведенной продукции всех видов.

Производственная функция называется неоклассической, если она оп ределена при всех неотрицательных значениях аргументов K и L, явля ется непрерывной и дважды дифференцируемой по обоим аргументам при всех K 0, L 0 и обладает следующими свойствами, имеющими ес тественную экономическую интерпретацию:

• при отсутствии хотя бы одного фактора производство невозможно:

• при увеличении затрат ресурсов выпуск продукции возрастает:

• при увеличении количества одного из используемых ресурсов при по стоянном количестве другого ресурса скорость роста выпуска продукции замедляется:

• при неограниченном увеличении количества хотя бы одного из исполь зуемых ресурсов выпуск продукции неограниченно возрастает:

Производственная функция называется линейно однородной, если На практике чаще всего используются следующие конкретные про изводственные функции:

• Кобба — Дугласа:

где A > 0, (0,1) ; эта производственная функция была предложена в 1899 г. Ф. Уикстидом и впервые использована в 1929 г. Ч. Коббом и П. Дугласом для моделирования реальной экономики (США);

• мультипликативная:

• Леонтьева:

где aK, aL > 0 ;

• линейная:

где cK, cL > 0.

• с постоянной эластичностью замены:

Несложно проверить, что данные функции удовлетворяет всем свойст вам неоклассических производственных функций, а производственная функция Кобба — Дугласа является, кроме того, линейно однородной.

Предлагаем читателю самостоятельно провести необходимые выкладки.

В мультипликативной производственной функции параметр A назы п р о г р е с с а (при неизменных ресурсах K и L и неизменных K, L выпуск тем больше, чем больше A ), параметр K (0,1) имеет смысл ко эффициента эластичности выпуска по фондам (коэффициент эластич ности выпуска по фондам показывает, на сколько п р о ц е н т о в вырас тет выпуск X при увеличении фондов K на 1%:

X K AK K L L AK K 1L L

аналогично определяется коэффициент эластичности выпуска по труду В производственной функции Кобба — Дугласа (которая является част ным случаем мультипликативной производственной функции при K =, L = 1 ) параметр A также представляет собой коэффициент ней трального технического прогресса, коэффициент эластичности выпуска по фондам равен, а коэффициент эластичности выпуска по труду ра вен 1.

В случае двухфакторной производственной функции с р е д н и е средняя производительность труда X / L, а п р е д е л ь н ы е э ф ф е к т и в н о с т и р е с у р с о в — это предельная фондоотдача X / K и предельная производительность труда X / L.

В случае мультипликативной производственной функции выпуск за висит от затрат фондов и труда как X = AK K L L, средняя фондоотдача

X AK K L L L L

средняя производительность труда

X AK K L L K K

предельная фондоотдача предельная производительность труда т. е. предельные эффективности факторов производства пропорциональ ны средним эффективностям этих факторов.

Пусть затраты труда и капитала равны K и L, объем выпуска (в денеж ном выражении) определяется производственной функцией X = F(K, L), а цены факторов производства (труда и капитала) составляют соответст венно pK и pL, тогда прибыль производителя будет равна Цены ресурсов определяются очевидным образом: ц е н а т р у д а — это просто заработная плата работника, а цена капитала равна такой де нежной сумме, которую необходимо в единицу времени тратить на со держание единицы капитала (т. е. одной денежной единицы), т. е. ц е н а к а п и т а л а равна норме амортизации — величине амортизационных отчислений на 1 ден. ед. производственных фондов.

Если считать аксиомой производителя, что он стремится получить наи большую прибыль, то математическая формулировка задачи производи теля такова: требуется определить такую технологию (т. е. такие объемы затрат ресурсов), которые приносят максимальную прибыль:

(На самом деле, указанная аксиома может быть справедливой только для фирм, которые находятся в е д и н о л и ч н о м в л а д е н и и; если зательно, чтобы собственники ставили менеджерам задачу максимиза ции прибыли — скорее они захотят м а к с и м и з и р о в а т ь н е п р и б ы л ь, а с т о и м о с т ь ф и р м ы, но решение этой задачи выходит за рамки настоящей книги.) Подставим в задаче (15.1.2) вместо прибыли (K, L) ее выражение по формуле (15.1.1):

Приравняем нулю частные производные прибыли по ресурсам:

Можно показать, что любая точка (K, L ), удовлетворяющая условиям (15.1.3), обязательно будет точкой максимума прибыли, и при этом опти мальные затраты ресурсов K и L будут неотрицательными, т. е. усло Приведем экономическую интерпретацию условий максимума при были производителя. В левых частях этих условий стоят предельные эффективности ресурсов, а в правых частях — цены ресурсов, поэтому можно интерпретировать условия (15.1.3) следующим образом: произво дитель достигает максимальной прибыли при таких затратах ресурсов K и L, что предельные эффективности ресурсов равны их ценам.

ПРИМЕР 15.1.1. Рассматривается фирма с мультипликативной производ ственной функцией. Известно, что для увеличения выпуска на a = 3% не обходимо увеличить основные производственные фонды на b = 6% или увеличить численность работников на c = 9%. В настоящее время основ ные производственные фонды фирмы оцениваются в K = 108 ден. ед., все го в фирме занято L = 103 сотрудников, каждый из которых производит продукции в среднем на M = 104 ден. ед. в мес. при средней заработной плате w = 103 ден. ед. в мес. Период амортизации основных производст венных фондов составляет n = 12 мес. Требуется найти производствен ную функцию, рассчитать оптимальный размер производственных фон дов и оптимальную численность работников. Затем нужно определить, во сколько раз увеличится прибыль фирмы при переходе к оптимальным затратам факторов производства.

Решение. Мультипликативная производственная функция имеет вид где параметры K и L имеют смысл эластичностей выпуска соответствен но по фондам и по труду. Учитывая это, можем найти т. е. выпуск фирмы определяется производственной функцией Параметр A найдем, подставив в эту формулу значения выпуска пред приятия в денежном выражении X = LM = 103104 = 107 ден. ед., капитала K = 108 ден. ед. и труда L = 103 чел.:

Таким образом, окончательно получаем производственную функцию Цена труда pL = w = 103 ден. ед.— это заработная плата, а цена капитала pK = = 1/n = 1/12 ден. ед. равна ежемесячным амортизационным отчислениям на содержание одной денежной единицы производственных фондов, поэтому прибыль фирмы при таких затратах труда и капитала равна [согласно (15.1.1)] Оптимальный размер фирмы задается условиями (15.1.3), состоящими в том, что предельные эффективности ресурсов должны быть в оптимальной точке равны ценам ресурсов. В данном случае предельная фондоотдача и предельная производительность труда равны соответственно поэтому условия оптимального размера фирмы (15.1.3) принимают вид 50K L = 1/12, 600L1/3 = K 1/2, 600L1/3 = 30L2/3, K = 144 000 000, При этом выпуск фирмы составит X = 100(K )1/2 (L )1/3 = 100(144 000 000)1/2 (8000)1/3 = 24 000 000 ден. ед., а прибыль Замечаем, что оптимальный выбор затрат труда и капитала позволил увеличить прибыль в шесть раз!

Рассматривается фирма с мультипликативной производственной функцией. Известно, что для увеличения выпуска на a% необходимо уве личить основные производственные фонды на b% или увеличить числен ность работников на c%. В настоящее время основные производственные фонды фирмы оцениваются в K ден. ед., всего в фирме занято L сотруд ников, каждый из которых производит продукции в среднем на M ден. ед.

в мес. при средней заработной плате w ден. ед. в мес. Период амортизации основных производственных фондов составляет n мес. (параметры a, b, c, K, L, M, w и n приведены для каждого варианта в табл. 15.2.1) Требуется найти производственную функцию, рассчитать оптималь ный размер производственных фондов и оптимальную численность ра ботников. Затем нужно определить, во сколько раз увеличится прибыль фирмы при переходе к оптимальным затратам факторов производства.

16. МОДЕЛЬ РЫНОЧНОГО РАВНОВЕСИЯ

Рассмотрим рынок n товаров с k участниками. Пусть вектор (j = 1, 2, …, k).

Предположим, что участники рынка согласны обмениваться товарами.

Для этого они должны ввести некоторую д е н е ж н у ю е д и н и ц у и Если на рынке будут установлены некоторые цены товаров: p1, p2, …, pn, то начальное богатство каждого участника (до обмена) в денежном выра жении определяется как При этом суммарное предложение i го товара на рынке будет равно суммарным запасам этого товара у всех участников:

Теперь можно для каждого участника поставить з а д а ч у п о т р е б и т е л я и определить ф у н к ц и и с п р о с а участников рынка:

Таким образом, суммарный спрос всех участников на i й товар будет равен Согласно закону Вальраса р ы н о ч н о е р а в н о в е с и е определяет ся равенством суммарного спроса и суммарного предложения по каждому товару:

или Можно показать, что одно из уравнений данной системы обязательно является следствием остальных, поэтому цены p1, p2, …, pn определяются из этой системы с точностью до коэффициента пропорциональности. Это очевидно: ведь цены зависят от выбора денежной единицы.

Таким образом, можно определить равновесное конечное распределе ние товаров между участниками рынка, подставив в функции спроса (16.1.1) равновесные цены, определенные из системы (16.1.2).

ПРИМЕР 16.1.1. Рассматривается рынок трех товаров. Требуется опреде лить равновесное распределение товаров между четырьмя участниками рынка, если эти участники обладают одинаковыми функциями полезно сти u(x1, x2, x3 ) = x1x2x3, а начальные запасы товаров у участников рын ка составляют Решение. Пусть цены товаров на рынке определяются вектором p = (p1 p2 p3 ), тогда начальное богатство первого участника составит Аналогично определяется начальное богатство второго, третьего и чет вертого участников рынка:

I2 = px2 = 2p1 + 2p2 + 2p3, I3 = px3 = 3p1 + 4p2 + 5p3, I4 = px4 = p1 + p2 + 6p3.

Функции спроса участников одинаковы, так как функция полезности у них одна и та же. Для данной функции полезности функция спроса (14.1.12):

была определена в примере 14.1.1.

Суммарный спрос на первый товар составляет аналогично определяется суммарный спрос на второй и третий товары:

Суммарное предложение первого товара равно Запишем условие равенства суммарного спроса и суммарного предло жения каждого товара:

7p1 + 9p2 + 16p Решение данной системы уравнений с помощью метода Жордана — Гаусса иллюстрируется табл. 16.1.1.

Таким образом, общее решение системы для определения равновесных цен таково:

где, очевидно, цена третьего товара > 0. Ясно, что цены определяются относительно, поэтому для удобства положим p3 = = 63 ден. ед., тогда При таких ценах начальные запасы участников рынка определяют их богатство:

Теперь можно определить равновесное распределение товаров:

Рассматривается рынок трех товаров. Четыре участника рынка обладают одинаковыми функциями полезности u(x1, x2, x3 ) (такими же, как в модели поведения потребителя, они приведены для каждого варианта в табл. 14.2.1), начальные запасы товаров у участников рынка составляют соответственно (векторы x1 — x4 приведены для каждого варианта в табл. 16.2.1).

Требуется определить равновесное распределение товаров между че тырьмя участниками рынка.

и указания к выполнению заданий Идеи модели межотраслевого баланса, рассматриваемой в данном раз деле, впервые возникли в 1920 х гг. в работах экономистов молодой Со ветской России, которые строили модель плановой экономики, удовле творяющей спрос конечных потребителей. Наибольшее развитие эти идеи получили в трудах В. Леонтьева, эмигрировавшего к тому времени в США. В 1973 г. за эти исследования В. Леонтьеву была присуждена Нобе левская премия в области экономики.

Пусть производственный сектор национальной экономики разделен на n ч и с т ы х о т р а с л е й (например, «машиностроение», «энергетика», «транспорт» и т. д.), каждая отрасль производит один вид продукции, различные отрасли выпускают разную продукцию. В процессе производ ства каждая отрасль может расходовать как свою продукцию, так и про дукцию других отраслей, поэтому на непроизводственное потребление, вообще говоря, идет не вся выпущенная продукция (часть ее тратится в процессе производства).

Введем обозначения: aij — количество продукции i й отрасли, расхо дуемое в процессе производства единицы продукции j й отрасли, xi — план выпуска i й отрасли, ci — спрос на продукцию i й отрасли в непро изводственной сфере.

Матрица A = (aij) называется матрицей прямых затрат. Если считать сложившиеся производственные технологии н е и з м е н н ы м и в о в р е м е н и, то матрица A будет постоянной.

Кроме того, будем считать технологии л и н е й н ы м и: если для вы пуска единицы продукции j й отрасли необходимо израсходовать aij еди ниц продукции i й отрасли, то для выпуска xj единиц продукции j й от расли необходимо израсходовать aijxj единиц продукции i й отрасли.

В этих предположениях объем продукции i й отрасли, потребляемый всеми n отраслями в процессе производства, равен поэтому на конечное непроизводственное потребление остается единиц продукции i й отрасли.

Значит, чтобы конечный спрос был обеспечен, необходимо выполнение балансовых равенств Эти равенства можно записать в м а т р и ч н о й ф о р м е:

где вектор валового выпуска, вектор конечного непроизводственного потребления, единичная матрица.

Из матричной формы модели Леонтьева можно выразить зависимость вектора валового выпуска x от вектора ко нечного непроизводственного потребления c:

матрица (E A)1 называется при этом матрицей полных затрат.

Модель Леонтьева называется продуктивной, если она разрешима в неотрицательных x.

ПРИМЕР 17.1.1. В модели Леонтьева даны матрица прямых затрат и вектор конечного спроса Требуется найти вектор x валового выпуска, обеспечивающий данный спрос.

Решение. Найдем матрицу полных затрат (E – A)–1:

процесс вычисления матрицы (E – A)–1 с помощью метода Жордана — Га усса иллюстрируется табл. 17.1.1.

Теперь поясним, как получить тот же результат в пакете Microsoft Excel. Введем матрицу (E – A) в ячейки A2:C3 рабочего листа Microsoft Ex cel, как показано на рис. 17.1.1, а.

Матрица (E – A)–1 имеет две строки и два столбца, отведем под резуль тат ячейки D2:E3. В ячейку D2 введем формулу «=МОБР(A2:B3)», причем эту формулу необходимо ввести как ф о р м у л у м а с с и в а. Для этого нужно мышью выделить диапазон D2:E3, начиная с ячейки D2, содержа щей формулу, затем нажать клавишу, а затем — комбинацию кла виш + +. Результат представлен на рис. 17.1.1, б (в ячейках D2:E3). Замечаем, что результаты ручного и компьютерного вы числения обратной матрицы совпали. Если формулу ввести не как фор мулу массива, то будет рассчитан только левый верхний элемент резуль тата: число 3.

Рис. 17.1.1. Вычисление матрицы полных затрат Таким образом, матрица полных затрат Теперь можно найти вектор валового выпуска, обеспечивающий конеч ный спрос c:

Матрица прямых затрат A и вектор конечного спроса c в модели Леон тьева приведены для каждого варианта в табл. 17.2.1. Требуется найти вектор x валового выпуска, обеспечивающий данный спрос.

и указания к выполнению заданий Опишем модель национальной экономики, предложенную в 1956 г.

Р. Солоу, Нобелевским лауреатом 1987 г. в области экономики.

В замкнутой односекторной экономической системе производится один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инве состоят в постоянстве темпа прироста числа занятых, износа основных производственных фондов и нормы накопления, отсутствии лага (т. е. за паздывания) капиталовложений.

Состояние экономики в момент времени t определяется следующими показателями:

• ч и с л о м з а н я т ы х в производственной сфере Lt, ляет, тогда за промежуток времени dt численность занятых изменяет ся на величину dLt = Lt dt, значит, для Lt можно записать дифференци альное уравнение решением которого является функция где L0 — число занятых в начальный момент времени.

Пусть за год выбывает (изнашивается и приходит в негодность) доля основных производственных фондов, н о р м а н а к о п л е н и я состав ляет, а годовой валовый внутренний продукт определяется л и н е й н о о д н о р о д н о й неоклассической производственной функцией X = F(K, L). Тогда и з н о с и и н в е с т и ц и и в расчете на год равны Kt и It = Xt = F(Kt, Lt ) соответственно, лаг капиталовложений отсутст вует, значит, п р и р о с т ф о н д о в за промежуток времени dt состав ляет dKt = Kt dt + It dt или dKt = [Kt + F(Kt, Lt )]dt.

Перепишем это уравнение в виде где мы учли, что F(Kt, Lt ) = Lt F(Kt / Lt,1), поскольку производственная функция F(Kt, Lt ) является линейно однородной.

Перейдем теперь к относительным показателям:

Найдем по формуле производной частного. Имеем:

при этом поэтому т. е. для фондовооруженности kt справедливо дифференциальное уравнение Рассмотрим в качестве производственной функции функцию Кобба — Дугласа, при этом F(kt,1) = Akt.

Введя обозначения = +, f (kt ) = F(kt,1) = Akt, получаем окончатель но модель Солоу в относительных показателях:

Говорят, что экономика находится на стационарной траектории, ес ли относительные показатели не меняются во времени. Поскольку xt, it, и ct являются функциями от kt, то для того, чтобы экономика находилась на стационарной траектории, необходимо и достаточно постоянства во вре мени фондовооруженности kt, т. е.

Подставим сюда f(kt ) = Akt, получим условие стационарности траекто рии:

Вынесем kt за скобку:

Из последнего уравнения видно, что возможны две стационарные тра ектории экономики: вырожденная [когда kt = 0, при этом xt = Akt = 0, it = Akt = 0, ct = (1 )Akt = 0 ] и невырожденная [когда kt1 + A = 0 ].

На невырожденной стационарной траектории постоянные значения от носительных показателей равны Исследуем, что произойдет, если экономика отклонится от стационар ной траектории. Изобразим на рис. 18.1.1 графики функций kt и Akt [здесь (0,1) ].

Рис. 18.1.1. Исследование устойчивости стационарных траекторий экономики в модели Солоу Рассмотрим вначале вырожденную стационарную траекторию (на ней kt = 0). Если kt станет чуть больше нуля, то, как видно из рис. 18.1.1, Akt > kt, поэтому производная откуда следует, что фондовооруженность kt будет возрастать. При этом dkt / dt остается положительной при всех kt (0, k ), поэтому вырожден ная стационарная траектория является н е у с т о й ч и в о й: достаточно малейшего возмущения, и kt начинает возрастать в сторону kt = k ; при kt = k производная dkt / dt становится равной нулю, т. е. kt перестает ме няться.

Если экономика находится на невырожденной стационарной траекто рии kt = k, и произошло незначительное отклонение фондовооруженно сти в л е в о от стационарного значения k, то, как мы уже убедились, kt начинает возрастать до тех пор, пока вновь не вернется к значению k.

Если же kt отклонится от k в п р а в о, то, как показывает рис. 18.1.1, Akt < kt, поэтому производная значит, kt будет убывать до тех пор, пока не станет равной k. Таким об разом, невырожденная стационарная траектория является у с т о й ч и в о й: при любом отклонении от этой траектории экономика стремится к ней вернуться.

Эта невырожденная стационарная траектория носит название траек тории сбалансированного устойчивого экономического роста: числен ность занятых на ней возрастает экспоненциально: Lt = L0 et (конечно, при положительном темпе прироста занятых ), а все относительные по казатели постоянны, значит, все абсолютные показатели возрастают пропорционально численности занятых Lt.

Рассмотрим теперь простейшую задачу у п р а в л е н и я экономикой, которая описывается моделью Солоу: попытаемся подобрать такую нор му накопления, чтобы удельное потребление на стационарной траекто рии сбалансированного устойчивого экономического роста было макси мальным. Рассмотрим удельное потребление на стационарной траекто рии ( c ) как функцию нормы накопления:

и поставим задачу определения такой нормы накопления, чтобы или, расписывая c () подробно, Как известно, в точке максимума первая производная должна быть равна нулю (или не существовать), а вторая производная должна быть отрицательной. Имеем:

Видим, что dc ()/ d = 0 при = 0 и при =. Предлагаем читателю самостоятельно убедиться, что в точке = 0 вторая производная d2c ()/ d2 > 0, т. е. точка = 0 является точкой м и н и м у м а удельного потребления на стационарной траектории, а в точке = вторая произ водная d2c ()/ d2 < 0, т. е. точка = является точкой м а к с м у м а удельного потребления.

Этот результат, полученный в 1966 г. Э. Фелпсом, носит название золо того правила накопления: для того, чтобы удельное потребление на ста ционарной траектории сбалансированного экономического роста было максимальным, норма накопления должна быть равна эластичности выпуска по фондам.

ПРИМЕР 18.1.1. Даны значения параметров A = 103 и = 0,5 производст венной функции Кобба — Дугласа. В модели Солоу с этой производствен ной функцией требуется рассчитать значения фондовооруженности, производительности труда и удельного потребления на стационарной траектории сбалансированного устойчивого экономического роста, на ко торой норма накопления равна = 0,2, коэффициент выбытия основных производственных фондов за год составляет = 0,2, а годовой темп при роста численности занятых равен = 0,05. Сравнить полученное значение удельного потребления с оптимальным.

Решение. На стационарной траектории, соответствующей норме накоп ления = 0,2, фондовооруженность средняя производительность труда удельное потребление Согласно золотому правилу накопления, для того чтобы на стационар ной траектории сбалансированного устойчивого экономического роста удельное потребление было максимальным, нужно выбрать норму накоп ления равной эластичности выпуска по фондам, т. е. в рассматривае мом примере максимум удельного потребления на стационарной траекто рии достигается при = = 0,5. При этом Видим, что оптимальный выбор нормы накопления приводит к сущест венному увеличению удельного потребления на стационарной траекто рии — более чем в полтора раза!

В модели Солоу с производственной функцией функции Кобба — Ду гласа с параметрами A и, приведенными для каждого варианта в табл. 18.2.1, требуется рассчитать значения фондовооруженности, произ водительности труда и удельного потребления на стационарной траекто рии сбалансированного устойчивого экономического роста, на которой норма накопления равна, коэффициент выбытия основных производст венных фондов за год составляет, а годовой темп прироста численности занятых равен (значения параметров, и приведены для каждого варианта в табл. 18.2.1). Сравнить полученное значение удельного потреб ления с оптимальным (т. е. с тем, которое соответствует золотому правилу накопления).

19. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ

и указания к выполнению заданий Рассмотрим ситуацию, когда в некоторый момент времени t инвестор может часть своих средств оставить на банковском счете, а другую часть потратить на приобретение ценных бумаг. Портфелем финансовых ин струментов на (B, S) рынке назовем вектор где x0 R — доля капитала инвестора, вложенная в безрисковый актив (банковский счет или облигацию), xk R — доля капитала инвестора, вложенная в акцию с номером k (k = 1, 2, …, n), при этом, очевидно, Числа xk могут быть как положительными, так и отрицательными, в последнем случае инвестор берет средства в долг с банковского счета ли бо совершает короткую продажу акций (конечно, эти числа могут быть и нулевыми).

Э ф ф е к т и в н о с т ь портфеля финансовых инструментов вычис ляется, очевидно, как где i — эффективность банковского счета (процентная ставка), Ek — эф фективность k й акции (ее доходность).

Ожидаемой эффективностью портфеля финансовых инструментов называется математическое ожидание его эффективности, а риском портфеля — среднее квадратичное отклонение его эффективности.

чения максимальной эффективности при минимальном риске. К сожале нию, одновременно этого достичь невозможно, поэтому инвестор, оптими зирующий свой портфель, должен выбрать один из критериев:

эффективности портфеля, ME при заданном уровне риска портфеля.

В общем случае математическая формулировка задачи м и н и м и з а ц и и р и с к а портфеля ценных бумаг при заданной допустимой ожидае мой эффективности r выглядит так:

Воспользовавшись тем, что квадратный корень — возрастающая функция, и применив свойства математического ожидания и дисперсии, эту модель можно переписать в виде где rk = MEk — ожидаемая эффективность k й акции (k = 0, 1, 2, …, n), kl = cov(Ek; El) — ковариация эффективностей k й акции и l й (k = 0, 1, 2, …, n, l = 0, 1, 2, …, n); очевидно, что kk = DEk = k.

ПРИМЕР 3.14.1. Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20% ной эффективности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке i = 10% годовых, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соот ветственно r1 = 16% и r2 = 23%, риски 1 = 5%, 2 = 14%, а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен 12 = 0,36.

Решение. Введем данные в рабочий лист Microsoft Excel, как показано на рис. 19.1.1, а. Пусть ячейки B9 и B10 соответствуют долям рисковых вло жений x1 и x2, в ячейку B8, соответствующую доле безрисковых вложений x0, введем формулу, соответствующую разности всех вложений (едини цы) и вложений в акции x1 и x2, в ячейку B12 введем формулу для ожи даемой эффективности портфеля ME, а в ячейку B13 введем формулу для дисперсии эффективности портфеля DE; учтем здесь, что 12 = 1212 (эти формулы приводятся справа от соответствующих ячеек).

Воспользуемся инструментом «Поиск решения». Для этого выберем в меню «Сервис» пункт «Сервис | Поиск решения…», и в появившемся окне (рис. 19.1.1, б) укажем, что мы хотим установить целевую ячейку $B$14 (в которой рассчитывается дисперсия портфеля) равной минимальному значению, изменяя ячейки $B$10:$B$11 (в которых находятся доли риско вых составляющих портфеля), причем в задаче присутствует ограниче ние $B$13 = $B$7.

13 ME= =B9*B1+B10*B2+B11*B 14 DE= =B10^2*B4^2+B11^2*B5^2+2*B10*B11*B6*B4*B Рис. 19.1.1. Расчет оптимального портфеля После нажатия на кнопку «Выполнить» в рабочем листе произойдут из менения: в ячейках B9, B10 и B11 появятся значения x0 = 0,3908,, x1 = 1,1543, x2 = 0,2365, в ячейке B13 будет рассчитана ожидаемая эффек тивность портфеля (она равна требуемой эффективности r = 0,20, а в ячейке B14 появится рассчитанное значение дисперсии эффективности портфеля DE= 0,0058. При этом риск портфеля равен = 0, 0,076 = 7,6%. Интерпретация оптимального решения x0 = 0,3908, x1 = 1,1543, x2 = 0,2365 такова: необходимо 23,65% потратить на приобре тение акций второго вида, взять банковский кредит в размере 39,08% от общей суммы собственных средств, после чего все оставшиеся после по купки акций второго вида собственные средства вместе со средствами, полученными в кредит, вложить в покупку акций первого вида. Резуль таты работы программы представлены на рис. 19.1.1, в.

М н о ж и т е л ь Л а г р а н ж а, который приводится в «Отчете по ус тойчивости», равен = 0,116; это означает, что увеличение эффективности r заданного портфеля на 1% приведет к тому, что риск оптимального портфеля, обладающего такой эффективностью, увеличится приблизи тельно на 0,1161 0,341%.

Определить, с каким наименьшим риском можно достичь 20% ной эффек тивности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заим ствований по ставке i, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соответственно r1 и r2, риски 1 и 2, а ко эффициент корреляции доходностей данных акций равен 12 = 0,76 (пара метры i, r1, r2, 1, 2 приводятся для каждого варианта в табл. 19.2.1).

20. РАЦИОНАЛЬНАЯ СТОИМОСТЬ ОПЦИОНОВ

и указания к выполнению заданий Акция — это д о л е в о е обязательство: ее обладатель получает право долевого участия в управлении акционерной компанией, выпустившей эти акции (каждой акции соответствует определенное число голосов на ежегодном общем собрании акционеров — высшем органе управления компанией), в активах и прибылях (дивидендах) этой компании.

Рассмотрим ценообразование акций в рамках биномиальной модели Кокса — Росса — Рубинштейна.

Предположим для простоты, что на рынке обращается о д н а акция, и ее стоимость в конце периода времени t составляет St.

Предположим также, что инвестор имеет возможность:

• размещать средства на банковском счете и брать с него в долг;

• покупать и продавать акции.

Тогда для этого инвестора на рынке существует б е з р и с к о в ы й а к т и в (банковский счет) B и р и с к о в ы й а к т и в (акция) S.

Будем считать, что проценты на банковский счет начисляются по схеме с л о ж н ы х п р о ц е н т о в с постоянной ставкой i(t) = i = const, так что в конце каждого года сумма на счете увеличивается в (1 + i) раз:

Будем предполагать, что операционные издержки, связанные с пере водом средств между активами, отсутствуют, а также что активы явля ются безгранично делимыми, т. е. можно купить и продать любую часть акции, положить на счет и снять с него любую его часть.

Предположим, что в течение года времени стоимость акций может уве личиться в u раз или увеличиться в d раз (уменьшиться в 1/d раз), причем d < 1 < 1 + i < u (рис. 20.1.1).

На идеальном рынке отсутствуют арбитражные в о з м о ж н о с т и, т. е. невозможно извлечь безрисковый доход, больший чем процент, начисляемый на банковский счет.

Предположение о том, что на рынке отсутствуют арбитражные воз можности, означает, что математическое ожидание цены акции на таком рынке к концу года MS1 должно совпадать с суммой, которая оказалась бы на банковском счете к концу года, если бы сумма S0 была в начале года положена на банковский счет, т. е. с суммой S0(1 + i):

Истинные вероятности того, что в течение данного периода акция по дорожает или подешевеет, нам неизвестны, но в предположении отсутст вия арбитражных возможностей можно с помощью только что получен ного условия вычислить так называемые вероятности, нейтральные к риску: пусть p — вероятность того, что в начале следующего периода це на акции окажется равной S0u, тогда вероятность того, что цена акции бу дет равна S0d, составит (1 – p); при этом Отсюда Разделим обе части этого равенства на S0:

поэтому Предположим теперь, что рассматриваемый промежуток времени [0; T] разбит на n периодов, в каждом из которых стоимость акции может уве личиться в u или в d раз. Вероятность того, что стоимость акции увели чится в u или в d раз, неизвестна, однако можно вновь воспользоваться принципом вероятности, нейтральной к риску.

При этом процентная ставка будет скорректирована. Рассчитаем про центную ставку in, выплачиваемую за n ю часть года в случае сложных процентов. За год сумма B0 увеличивается до B0(1 + i), с другой стороны, если n раз за этот год начислялся процент in по схеме сложных процентов, то к концу года сумма B0 должна превратиться в B0(1 + in)n. Таким обра зом, заключаем, что откуда т. е. в числителе формулы (20.1.1) вместо (1 + i) будет (1 + i)T/n:

[индекс (n) здесь означает, что проведена коррекция годовой ставки с учетом того, что рассматриваемый отрезок времени [0; T] разбивается на n периодов].

Процесс изменения цены акции в течение n периодов (для случая n = 4) проиллюстрирован рис. 20.1.2.

Рис. 20.1.2. Изменение цены акции в течение четырех периодов При этом процесс изменения цены акции в течение n периодов можно представить как последовательность n независимых испытаний, в кото рых успехом считается повышение цены акции в u раз, а неудачей — ее понижение в 1/d раз. Если в течение n периодов цена акции поднималась k раз и опускалась (n – k) раз, то ее цена к концу последнего периода со ставит sk = S0ukdn – k. Вероятность наступления k повышений и (n – k) по нижений цены акции составит по ф о р м у л е Б е р н у л л и Вероятность успеха p здесь имеет смысл оценить с помощью нейтраль ной к риску вероятности p(n), определяемой формулой (20.1.2). Таким об разом, цена акции к концу n го периода (т. е. в момент времени T) может принимать значения с вероятностями ПРИМЕР 20.1.1. Составить ряд распределения цены акции к концу года, разбив этот год на четыре периода, если текущая цена акции составляет S0 = 35 руб., годовая безрисковая процентная ставка составляет i = 10% и известно, что в каждом периоде акция может возрасти в цене или упасть в цене в u = 1,105 раз.

Решение. Так как (1 + i)1/4 = 1,11/4 1,024, то вероятность, нейтральная к риску, (здесь d = 1/ u = 1/1,105 0,905 ).

Теперь мы можем составить ряд распределения цены акции к концу чет вертого периода: цена принимает значения соответственно с вероятностями Окончательно имеем:

Банковский счет, акции и облигации называются основными финансо выми инструментами. На их базе могут быть построены более сложные финансовые инструменты — п р о и з в о д н ы е.

Наиболее распространенные типы производных финансовых инстру ментов — форварды и опционы.

Опцион — это ценная бумага, представляющая собой договор, по кото рому одна из сторон (продавец) продает опцион за определенную премию, а другая сторона (покупатель или владелец) при этом п о л у ч а е т п р а в о (но не обязанность) в течение срока, оговоренного в условиях оп циона, либо купить определенный актив по фиксированной цене, опреде ляемой в момент заключения договора и называемой терминальной стоимостью опциона (такой опцион называется опционом покупателя), либо продать актив по терминальной стоимости (такой опцион называет ся опционом продавца).

По срокам исполнения опционы делятся на европейские и американ ские. Американский опцион может быть предъявлен к исполнению в лю бое время до истечения срока опциона, европейский опцион может быть использован только в день истечения его срока.

Рассмотрим ценообразование европейских опционов в рамках бино миальной модели.

Рациональной считается такая стоимость финансового инструмента, которая исключает возможность арбитража без риска; иными словами, доходность безрискового финансового инструмента, имеющего рацио нальную стоимость, должна совпадать с доходностью банковского счета.

Найдем рациональную стоимость T стандартного европейского оп циона покупателя. Очевидно, рациональная стоимость опциона в момент его исполнения совпадает с прибылью, которую можно получить, испол нив опцион. Данный опцион имеет смысл и с п о л н я т ь, т. е. пользовать ся заложенным в нем правом покупки акции по цене X, лишь в том слу чае, когда рыночная цена ST этой акции к моменту окончания срока дей ствия опциона, т. е. к концу последнего периода, будет больше X. Если рыночная цена акции ST окажется больше X, держатель опциона, испол нив его, получит доход (ST – X). Если же рыночная цена акции ST окажет ся меньше X, держатель опциона просто не будет его исполнять и полу чит нулевой доход. Таким образом, если цена акции в момент исполнения опциона известна и равна ST, то доход от исполнения такого опциона со ставит CT = max{ST – X; 0}. Поскольку цена акции ST является случайной величиной, определяемой рядом распределения (20.1.3), доход от испол нения опциона покупателя также является случайной величиной, кото рая принимает значения с вероятностями Оценка опциона происходит перед началом первого периода, поэтому для получения его рациональной стоимости T достаточно дисконтиро вать ожидаемый доход от исполнения опциона на срок его действия:

Таким образом, рациональная стоимость T европейского опциона по купателя со сроком погашения T (в годах) и ценой исполнения X, выпи санного на акцию с текущей ценой S0, определяется формулой (20.1.4), в которой i — банковская (годовая) процентная ставка, срок действия оп циона делится на n периодов (в каждый из периодов цена акции, на кото рую выписан опцион, может повыситься в u или в d раз), p(n) — вероят ность, нейтральная к риску, вычисляемая по формуле (20.1.2).

ПРИМЕР 20.1.2. Определить рациональную стоимость европейского оп циона покупателя с терминальной стоимостью X = 40 руб. и сроком испол нения 1 год, выписанного на акцию из условия примера 20.1.1.

Решение. Ряд распределения дохода от исполнения опциона при расче тах по четырехпериодной биномиальной модели имеет следующий вид:

Ожидаемый доход от исполнения опциона покупателя, равный матема тическому ожиданию случайной величины C1, составляет Окончательно получаем, что т. е рациональная стоимость такого опциона равна 2 руб. 24 коп. (что су щественно меньше текущей цены акции и цены исполнения опциона!).

Справедлива

ТЕОРЕМА О ПАРИТЕТЕ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ ПОКУПАТЕЛЯ И ПРОДАВЦА. Пусть одно

временно заключаются два опционных контракта (опцион покупателя и опцион продавца) с одной и той же ценой исполнения X и одним и тем же сроком исполнения T на одну и ту же акцию, стоимость которой в началь ный момент равна S0, банковская (годовая) процентная ставка равна i. То гда рациональные стоимости этих опционов CT и PT связаны равенством ПРИМЕР 20.1.3. Найти рациональную стоимость европейского опциона продавца с терминальной стоимостью X = 40 руб. и сроком исполнения 1 год, выписанного на акцию из условия примера 20.1.1.

Решение. По теореме о паритете опционов покупателя и продавца откуда т. е. рациональная стоимость такого опциона равна 3 руб. 60 коп.

Можно рациональную стоимость европейского опциона продавца найти и другим способом — по ряду распределения дохода от его исполнения Находим математическое ожидание дохода от исполнения опциона:

и дисконтируем его на срок его действия:

(разница в две копейки образовалась из за ошибок округления).

Перейдем к рассмотрению ценообразования американских опционов.

Оказывается, американский опцион покупателя может быть выгодно исполнять только в последний момент срока его действия. Отсюда следует

ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ЕВРОПЕЙСКИХ И АМЕРИКАНСКИХ ОПЦИОНОВ ПОКУПА

ТЕЛЯ. Рациональная стоимость американского опциона покупателя сов падает с рациональной стоимостью аналогичного европейского опциона покупателя.

Однако американский о п ц и о н п р о д а в ц а часто бывает в ы г о д н о и с п о л н и т ь д о с р о ч н о, поэтому его рациональная стои мость может оказаться такой же, как у соответствующего европейского опциона (если досрочное исполнение окажется невыгодным) или выше (если будет выгоднее исполнить опцион досрочно).

Это приводит к тому, что теорема о паритете для американских опцио нов превращается в неравенство Для оценки рациональной стоимости американских опционов продавца обычно пользуются методом д и н а м и ч е с к о г о п р о г р а м м и р о в а н и я (см. разделы 6—7).

В самом деле, в биномиальной модели процесс изменения цены акции распадается на n периодов (э т а п о в), поэтому процесс планирования управления процессом владения американским опционом продавца (ко торое с содержательной точки зрения состоит в том, что на каждом шаге лицо, принимающее решение, определяет, имеет ли смысл исполнить оп цион досрочно или лучше подождать) является м н о г о ш а г о в ы м, причем каждый раз оптимизируется управление только на одном шаге.

При этом начальное состояние процесса (начальная цена акции) нам известно, и управление на каждом шаге должно выбираться с учетом всех в о з м о ж н ы х будущих значений цены акции, а п о с л е д н и й ш а г планируется «без оглядки на будущее», поскольку американский опцион должен быть исполнен до окончания срока его исполнения, т. е. до окончания последнего шага.

ПРИМЕР 20.1.4. Определить рациональную стоимость американского оп циона покупателя с терминальной стоимостью X = 40 руб. и сроком испол нения 1 год, выписанного на акцию из условия примера 20.1.1.

Решение. По теореме эквивалентности европейских и американских опционов покупателя рациональная стоимость рассматриваемого опциона равна 2 руб. 24 коп. (согласно решению примера 20.1.2).

Убедимся в том, что американский опцион покупателя невыгодно испол нять досрочно. Изобразим на рис. 20.1.3 дерево возможных цен акции.

Справа от каждой вершины (которые пронумеруем двумя индексами, пер вый индекс означает номер периода, а второй — номер возможного значе ния цены акции) н а с е р о м ф о н е укажем цену акции, а рядом с ней да, который можно получить, исполнив опцион немедленно. Например, если акция стоит 47 руб. 22 коп. (в вершине 34), то немедленное исполне ние американского опциона покупателя принесет доход 7 руб. 22 коп., а если акция стоит 38 руб. 68 коп. (в вершине 33), то немедленное исполне ние опциона невыгодно совершенно (он не принесет дохода вообще).

Предположим, что изменение цены акции привело к достижению вер шины 34 (когда акция стоит 47 руб. 22 коп.). Если исполнить опцион немед ленно, то можно получить доход в размере 7 руб. 22 коп., если же подож дать, как будут развиваться события дальше, то возможны два варианта:

• либо цена акции увеличится до 52 руб. 18 коп. (с вероятностью 0,595), и тогда держатель опциона получит доход в размере 12 руб. 18 коп., • либо цена акции понизится до 42 руб. 74 коп. (с вероятность 0,405), и то гда держатель опциона получит доход в размере 2 руб. 74 коп.

цена доход при немедленном дисконтированный ожидаемый доход акции исполнении опциона при отложенном исполнении опциона Рис. 20.1.3. Управление процессом владения Ожидаемый доход от исполнения опциона в будущем равен Поскольку этот доход будут получен только через один период, дис контируем его на четверть года — для сравнения с доходом от немедлен ного исполнения опциона:

Аналогично вычислим ожидаемый доход от исполнения опциона во всех остальных вершинах дерева цен, двигаясь от конечного момента к начальному [см. рис. 20.1.3, на котором ожидаемые доходы от исполнения опциона в будущем изображены ч е р н ы м п о б е л о м у справа от (бе ло черных) доходов от немедленного исполнения опциона]. Выделим жирным и подчеркнем лучшее из двух: немедленное получение дохода или ожидание.

Окончательно получаем, что действительно, оказалось невыгодно досрочное исполнение американского опциона покупателя, и его рациональная стоимость совпала с рациональ ной стоимостью аналогичного европейского опциона покупателя.

В следующем примере разберем определение рациональной стоимости американского опциона продавца, который, как мы увидим, исполнять досрочно выгодно.

ПРИМЕР 20.1.5. Определить рациональную стоимость американского оп циона продавца с терминальной стоимостью X = 40 руб. и сроком исполне ния 1 год, выписанного на акцию из условия примера 20.1.1.

Решение. Изобразим на рис. 20.1.4 дерево возможных цен акции. Справа от каждой вершины н а с е р о м ф о н е укажем цену акции, а рядом с дохода, который можно получить, исполнив опцион немедленно. Напри мер, если акция стоит 47 руб. 22 коп. (в вершине 34), то немедленное ис полнение опциона невыгодно совершенно (он не принесет дохода вообще), а если акция стоит 38 руб. 68 коп. (в вершине 33), то немедленное испол нение американского опциона продавца принесет доход 1 руб. 32 коп.

Предположим, что изменение цены акции привело к достижению вер шины 33 (когда акция стоит 38 руб. 68 коп.). Если исполнить опцион немед ленно, то будет получен доход 1 руб. 32 коп., если же подождать, как будут развиваться события дальше, то возможны два варианта:

• либо цена акции увеличится до 42 руб. 74 коп. (с вероятностью 0,595), и тогда держатель опциона никакого дохода не получит, • либо цена акции понизится до 35 руб. 00 коп. (с вероятность 0,405), и то гда держатель опциона получит доход в размере 5 руб. 00 коп.

Ожидаемый доход от исполнения опциона в будущем равен Поскольку этот доход будет получен только через один период, дис контируем его на четверть года — для сравнения с доходом от немедлен ного исполнения опциона:

Аналогично вычислим ожидаемый доход от исполнения опциона во всех остальных вершинах дерева цен, двигаясь от конечного момента к начальному [см. рис. 20.1.4, на котором ожидаемые доходы от исполнения опциона в будущем изображены ч е р н ы м п о б е л о м у справа от (бе ло черных) доходов от немедленного исполнения опциона].

Выделим жирным и подчеркнем лучшее из двух: немедленное получе ние дохода или ожидание. Видим, что в отличие от американского опцио на покупателя американский опцион продавца бывает выгодно исполнить заранее.

Окончательно получаем, что немедленное исполнение опциона в на чальный момент времени (в вершине 0) принесет доход в размере 5 руб. 00 коп., при этом дисконтированный ожидаемый доход от исполне ния опциона в будущем составляет поэтому рациональная стоимость американского опциона продавца равна она, действительно, оказалась выше рациональной стоимости аналогич ного европейского опциона.

Заметим, что нет ничего необычного в том, что рациональная стоимость какого либо финансового инструмента оказалась р а в н о й н у л ю: это просто означает, что такой инструмент рациональному инвестору в прин ципе покупать не следует.

цена доход при немедленном дисконтированный ожидаемый доход акции исполнении опциона при отложенном исполнении опциона Найти рациональные стоимости опционов европейских и американских покупателя и продавца с терминальной стоимостью X руб. и сроком испол нения 1 год, выписанных на акцию, текущая цена которой равна S0 руб., если известно, что годовая безрисковая процентная ставка составляет i = 10%, а год разбивается на четыре периода, в каждом из которых акция может возрасти в цене или упасть в цене в u раз (параметры X, S0 и u приводятся для каждого варианта в табл. 20.2.1).

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Математические методы и модели исследования операций: Учебник / В. А. Колемаев, В. И. Соловьев, В. И. Малыхин и др. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2007.

2. Карандаев И. С., Малыхин В. И., Соловьев В. И. Прикладная математика;

Учебное пособие. – М.: ИНФРА М, 2001.

3. Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2005.

4. Малыхин В. И. Математическое моделирование экономики: Учебно практическое пособие. – М.: Издательство УРАО, 2002.

5. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.:

Высшая школа, 1986.

6. Афанасьев М. Ю., Суворов Б. П. Исследование операций в экономике. – М.:

ИНФРА М, 2003.

7. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 1984.

8. Ашманов С. А. Линейное программирование. – М.: Наука, 1981.

9. Ашманов С. А., Тимохов А. В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. – М.: Наука, 1991.

10. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. – М.: Факториал, 2002.

11. Вентцель Е. С. Исследование операций. – М.: Советское радио, 1972.

12. Вентцель Е. С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. – М.: Высшая школа, 2001.

13. Зайцев М. Г. Методы оптимизации управления для менеджеров: Компьютер но ориентированный подход. – М.: Дело, 2002..

14. Карандаев И. С. Решение двойственных задач в оптимальном планирова нии. – М.: Статистика, 1976.

15. Карманов В. Г. Математическое программирование. – М.: Физматлит, 2004.

16. Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. Высшая математика: Математиче ское программирование. – Минск: Вышэйшая школа, 2001.

17. Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программи рование. – М: Высшая школа, 1980.

18. Малыхин В. И. Финансовая математика. – М.: ЮНИТИ ДАНА, 2004.

19. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе / А. М. Дубров, Б. А. Лагоша, Е. Ю. Хрусталев, Т. П. Барановская. – М.: Финансы и статистика, 2001.

20. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. – М.:

Наука, 1978.

21. Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1986.

22. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Математическое про граммирование / А. В. Кузнецов, В. А. Сакович, Н. И. Холод и др. – Минск: Вышэй шая школа, 2001.

23. Соловьев В. И. Математические методы управления рисками. – М.: ГУУ, 2003.

24. Соловьев В. И. Математическое моделирование инструментов управления инновационными рисками в рыночной инфраструктуре. – М.: ИПР РАН, 2006.

25. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике: В 2 х ч. Ч. 1. – М.: Финансы и статистика, 1998.

26. Таха Х. Введение в исследование операций. – М.: Издательский дом «Виль ямс», 2001.

Предисловие

1. Линейная производственная задача

1.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

1.2. Задание практикума

2. Задача о расшивке узких мест производства

2.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

2.2. Задание практикума

3. Целочисленное программирование

3.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

3.2. Задания практикума

4. Транспортная задача линейного программирования

4.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

4.2. Задание практикума

5. Нелинейное программирование

5.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

5.2. Задание практикума

6. Динамическая задача распределения инвестиций

6.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

6.2. Задание практикума

7. Динамическая задача управления производством и запасами............ 7.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

7.2. Задание практикума

8. Оптимизационные задачи на графах

8.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

8.2. Задания практикума

9. Оптимальность по Парето

9.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

9.2. Задание практикума

10. Многокритериальная оптимизация

10.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

10.2. Задание практикума

11. Принятие решений в условиях неопределенности

11.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

11.2. Задание практикума

12. Матричная игра

12.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

12.2. Задание практикума

13. Биматричная игра

13.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

13.2. Задание практикума

14. Модель поведения потребителя

14.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

14.2. Задание практикума

15. Модель поведения производителя

15.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

15.2. Задание практикума

16. Модель рыночного равновесия

16.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

16.2. Задание практикума

17. Модель Леонтьева

17.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

17.2. Задание практикума

18. Модель Солоу

18.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

18.2. Задание практикума

19. Оптимальный портфель ценных бумаг

19.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

19.2. Задание практикума

20. Рациональная стоимость опционов

20.1. Краткие теоретические сведения и указания к выполнению заданий

20.2. Задание практикума

Рекомендуемая литература