А. И. СЮРДО, Д. Ю. БИРЮКОВ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ИЗМЕРЕНИЙ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

А. И. СЮРДО, Д. Ю. БИРЮКОВ

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению подготовки 221700 – Стандартизация и метрология Екатеринбург УрФУ 2013 УДК 53.08(042.4) ББК 22.3я73-2 С53 Рецензенты: зав. каф. «Путь и железнодорожное строительство», проф., д-р техн. наук Г. Л. Аккерман (УрГУПС);

доц., канд. физ.-мат. наук Ю. В. Щапова (ИГГ УрО РАН) Сюрдо А. И.

С53 Физические основы измерений: учебное пособие / А. И. Сюрдо, Д. Ю. Бирюков – Екатеринбург: УрФУ 2013. 143 с.

ISBN Учебное пособие содержит лекционный материал по курсу «Физические основы измерений» для студентов направления 221700 «Стандартизация и метрология» и специальности 200503 «Стандартизация и сертификация». Основное внимание уделяется явлениям, понятиям и принципам, положенным в основу современных физических измерений.

Библиогр.: 9 назв. Табл. 5 Рис. УДК 53.08(042.4) ББК 22.3я73- Уральский федеральный университет, ISBN

ВВЕДЕНИЕ

Развитие науки и техники всегда тесно связано с прогрессом в области измерений. В физике, механике и других науках именно измерения позволили точно устанавливать зависимости, выражающие объективные законы природы, поэтому эти науки именуются точными. Важное значение измерений для науки подчеркивали многие ученые. Вот что они писали об этом:

· Г. Галилей «Измеряй все доступное измерению и делай доступным все недоступное ему»;

· Д. И. Менделеев «Наука начинается с тех пор, как начинают измерять, точная наука не мыслима без меры»;

· Кельвин (лорд Томпсон) «Каждая вещь известна лишь в той степени, в какой ее можно измерить».

Измерительная техника исторически развивалась в тесной связи с объективными потребностями общества. Факты, свидетельствующие об этом взаимодействии, относятся еще к пятому тысячелетию до нашей эры. Начинающийся товарообмен требовал создания простых мер длины, объема, массы. С развитием общества совершенствовалась также техника измерений.

Промышленная революция XVIII–IX вв. благодаря введению машин привела к быстрому развитию техники линейных измерений, а также измерений электрических величин.

Научно-техническая революция XX в., характеризующаяся широким внедрением средств автоматизации управления и производственных процессов, вызвала значительный подъем всей техники измерений.

Историческое развитие измерений происходит и экстенсивно и интенсивно:

· поскольку современные механизированные, частично или полностью автоматизированные и в высокой степени производительные промышленные производства функционируют только при сравнительно больших затратах на проведение контроля;

· требования к качеству, надежности и быстродействию измерений постоянно возрастают;

· диапазоны измерений ряда физических величин за последние годы расширились на несколько порядков.

Существенное влияние на дальнейшее развитие техники измерений оказывают в XX в. общественные условия усложнившегося товарообмена. При этом следует принимать во внимание возрастающую роль специализации и кооперации производства в национальном и международном масштабах. В промышленных странах трудоемкость контроля и измерений составляет в среднем от 10 до 15 % трудоемкости всего общественного производства. В некоторых отраслях промышленности, например в производстве электронных узлов и их компонентов, эта доля значительно выше и постоянно возрастает.

Экономия затраченного времени только на 1 % благодаря более широкому применению средств измерений и повышению квалификации лиц, занимающихся измерениями, обеспечила бы появление существенных научных и экономических резервов.

Пример распределения видов измерений производственных процессов и параметров продукции для обеспечения качества штучного производства (машиностроение, приборостроение) приведен ниже:

Счет числа изделий…………………………………………….25 % Длина (размеры, допуски, положение, расстояние, путь)…25 % Время...……………………………………………………........15 % Температура...…………………………………………………...8 % Количество (масса, объем) вещества…………………………..5 % Расход (массовый объемный) вещества……………………..…4 % Уровень …………………………………………………………..4 % Давление...……………………………………………………….4 % Прочие (плотность, влажность, сила тока, напряжение, скорость)…………..………..…………………………………..10 %

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

измерений» является изучение и систематизация физических процессов и явлений, положенных в основу измерений и контроля свойств материалов и изделий в промышленности и научных исследованиях, подготовка специалистов к решению сложных проблем.

Курс «Физические основы измерений» представляет собой необходимый этап в обучении студентов направления «Стандартизация и сертификация» и призван сформировать у них измерительных преобразователей и датчиков, методах измерения электрических и неэлектрических величин.

Сведения, полученные в данном курсе, служат основой для усвоения материала специальных дисциплин, посвященных современным физическим методам и средствам измерений, испытаний и контроля технологических процессов, а также прикладной метрологии, стандартизации и сертификации в приборостроении.

Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для изучения данной дисциплины:

· общая физика;

· математика;

2.1. Физические величины и единицы измерения С философской точки зрения измерение – познавательный процесс, включающий определение характеристик материальных объектов с помощью технических средств. Измерение оказывается возможным в силу наличия количественной стороны в объектах материальной действительности, т.е. способности того или иного свойства этих объектов изменяться в широких пределах, не теряя качественного своеобразия, качественной однородности. Измерением достигается однозначное количественное описание свойств предметов, составляющее важный элемент познания.

Целью эксперимента является поиск таких параметров физических явлений, которые можно измерить, получив численные значения. Между этими измеренными значениями уже можно установить определенную функциональную зависимость. Свойства физических объектов и процессов, которые можно прямо или косвенно измерить, называют физическими величинами.

Физические законы, связывающие между собой эти величины, имеют вид математических уравнений. Физические величины можно разделить на классы, каждый из которых описывает определенный круг явлений.

При измерении физической величины ее значение G сравнивают с единицей измерения [G]. Число, которое получается при измерениях, называют числовым значением {G} физической величины:

Таким образом, любая физическая величина равна произведению численного значения и единицы измерения.

Физические величины связаны математическими уравнениями.

Можно выделить несколько независимых величин, которые не сводятся одна к другой. Их называют основными физическими величинами.

Эти величины, вообще говоря, можно выбрать произвольно.

Поэтому существует международное соглашение, которое определяет основные физические величины. (Их выбор обусловлен соотношениями удобства.) Все остальные величины называют производными.

Они определяются уравнениями, в которые входят основные физические величины или их комбинации.

Производные физические величины можно представить через произведение основных величин Bi:

Показатели степени b i это положительные или отрицательные целые числа.

В 1960 г. было заключено международное соглашение о выборе основных физических величин. Эти величины, а также производные физические величины составляют основу Международной системы единиц СИ (Systeme International d’Unites). Во многих странах эта система единиц имеет силу закона. Международную систему единиц СИ очень удобно использовать как в теории, так и на практике. Производные единицы в СИ получаются из основных по уравнению (2.2) при целых значениях показателей b i. Наиболее важные из них имеют собственные имена и краткие обозначения.

В табл. 2.1. приведены основные физические величины и их единицы измерения. Существуют точные определения этих величин.

Отметим, что на практике эти определения реализуются с конечной точностью. Для этого используют разнообразные методы измерений, которые постоянно совершенствуются. Если обратиться к истории, то мы увидим, как, с одной стороны, возрастали требования к точности определения физических величин, а с другой стороны, возникали принципиально новые способы измерения.

2.2. Физические основы базисных эталонов единиц измерений Исследователи стремились и стремятся связать основные физические величины с фундаментальными постоянными, которые можно в любое время измерить с хорошей воспроизводимостью. Характерным примером является единица длины. Сначала метр определяли через длину окружности Земного шара, затем – через длину волны определенного излучения: с 1927 г. – через длину волны красной линии кадмия Cd, а с 1960 г. – через излучение изотопа криптона 86Kr в оранжевой области видимого спектра:

метр – длина, равная 1 650 763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2p10 и 5d5 атома криптона-86.

В 1983 г. состоялась 17-я Генеральная конференция по мерам и весам. На было установлено новое определение метра в связи с тем, что в настоящее время можно очень точно измерить скорость света:

метр равен длине отрезка, которую свет проходит в вакууме за 1/299 792 458 секунды.

c = 299 792 458 м/с. Скорость света выбрана для определения метра потому, что она является одной из фундаментальных постоянных природы. Измерить эталонную длину можно, определив время, за которое свет проходит этот отрезок.

Особое место среди основных физических величин занимает масса, поскольку ее определяют путем сравнения с эталоном, который хранится в международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа. Этот эталон представляет собой цилиндр из сплава 90% платины 10% иридия и диаметр которого равен 39 мм. До сих пор пока не удавалось достаточно точно выразить величину эталонной массы через фундаментальные постоянные. Еще непонятно как это можно сделать.

Единицей массы служит килограмм. Он равен массе международного эталона килограмма. (1889г., 1901 г.).

Единица времени – секунда – в настоящее время определяется следующим образом: секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния атома 133Cs (1967 г.).

Эталон секунды реализуется с помощью цезиевого СВЧ излучения (9,192631770109 Гц). Для определения такого промежутка времени необходимо уметь “сосчитать” 9 192 631 770 периодов атомного излучения. Очевидно, что в будущем появятся генераторы частоты, которые будут более точными, чем “атомные часы” на изотопе Cs. Тогда потребуется новое определение единицы времени.

Взаимосвязь между электродинамикой и механикой позволила в 1948 г. Заново определить единицу силы тока:

Ампер равен силе (тока) постоянного электрического тока, который, протекая по двум параллельным прямолинейным бесконечно длинным проводникам с пренебрежимо малым круговым сечением, находящимся в вакууме на расстоянии 1М друг от друга, вызывает на участке проводника длиной 1М силу взаимодействия между ними 210-7 Н.

Тем самым определяется численное значение другой постоянной фундаментальной физики: магнитной постоянной m0. Она равна m0 = 4p10-7 Н/А2. Это соотношение в принципе эквивалентно приведенному выше определению ампера. Зная, что C = 1 / e 0 m 0 можно точно определить диэлектрическую постоянную e0, которую не нужно измерять экспериментально.

Основной термодинамической величиной является термодинамическая температура. Она измеряется в кельвинах. Поскольку для температуры существует значение абсолютного нуля, то для определения этой величины необходимо зафиксировать еще одну точку. В качестве нее выбрана тройная точка воды.

Кельвин, единица термодинамической температуры, равен 1/273,16 термодинамической температуры тройной точки воды (1967 г.).

Следует отметить, что современная термодинамика определяет температуру как величину, выражающую состояние внутреннего движения равновесной макроскопической системы и определяемую внутренней энергией и внешними параметрами системы.

Непосредственно температуру измерить невозможно, можно лишь судить о ней по изменению внешних параметров, вызванному нарушением состояния равновесия благодаря теплообмену с другими телами.

Практическое измерение температуры проводят с помощью Международной практической температурной шкалы (IPTS-68/ МПТШ-68/75), которая основана на целом ряде хорошо воспроизводимых фиксированных температурных точек:

- тройная точка водорода – 13,81 К - тройная точка кислорода – 54,361 К - точка кипения кислорода – 90,188 К - тройная точка воды – 273,16 К - точка кипения воды – 373,15 К - точка затвердевания золота – 1377 К Количество вещества было введено в СИ в качестве основной величины в 1971 г. В результате появилась возможность описывать количественные соотношения в химии и физической химии с помощью единиц СИ. Единица количества вещества определяется следующим образом:

Моль представляет собой количество вещества в системе, содержащей столько же частиц, сколько атомов содержится в 0,012 кг изотопа углерода 12C. При использовании моля следует точно определить тип отдельной частицы. В качестве отдельной частицы могут выступать атомы, молекулы, ионы, электроны и другие частицы или группы частиц с точно заданными параметрами. Это число частиц называют числом Авогадро.

Электромагнитное излучение описывается с помощью, так называемых, энергетических величин, которые выражаются через первые три величины (единицы). (S=[EH] – вектор Умова-Пойтинга).

Если же нужно описать излучение через его воздействие на человеческий глаз, то для этого используют соответствующие фотоэлектрические (светотехнические) величины. Основной величиной при этом служит сила света, которая измеряется в канделах.

Кандела – сила света источника, монохроматическое излучение которого частотой 5401012 Гц, излучаемое в определенном направлении в телесный угол величиной 1 стерадиан, имеет мощность 1/683 Вт. (n=5401012 Гц l=555 нм – максимальная чувствительность глаза).

Определим теперь понятие размерности физической величины.

Размерность показывает, как связана данная величина с основными физическими величинами. Поэтому нет нужды отдельно определять единицу измерения для каждой физической величины: они выражаются через произведение основных физических единиц с целыми показателями степени, равными 1. В СИ основным физическим 14величинам соответствуют основные единицы измерения: длина, масса, время, сила тока, температура, количество вещества и сила света. Их обозначают соответственно символами L, M, T, I, Q, N, J.

Размерность некоторой величины в общем виде выражается в системе СИ как В этом выражении все показатели степени bI (i=1, 2, …7) – целые числа. Если все они равны нулю, то величина G будет безразмерной. Так размерность потенциальной энергии Eпот имеет вид Физическая величина и ее размерность это не одно и то же.

Одинаковую размерность могут иметь совершенно разные по своей природе физические величины. Например, в электротехнике приходится для различных физических величин, таких как сила электрического тока и магнитодвижущая сила, использовать единицу ампер, A;

для индуктивности и магнитной проводимости – генри, Гн. В механике одинаковую размерность имеют круговая частота w – [w]=c-1, частота вращения, f – [f]= c-1, угловая скорость, w – [w]=c-1. Размерность не содержит информации о том, является ли данная физическая величина скаляром, вектором или тензором. Однако величина размерности часто используется для проверки правильности соотношений между физическими величинами.

2.3. Основные функции измерительной системы Рассмотрим функциональную блок-схему измерительной системы.

Рис. 2.1. Функциональная блок-схема измерительной системы:

1 - восприятие измеряемой величины; 2 - преобразование измерительной информации, усиление; 3 – вычислительные операции; 4 – передача измерительной информации; 5 – отображение измерительной информации Эта блок-схема не полно отражает последовательность прохождения сигналов. Но анализ существующих измерительных приборов и измерительных схем показывает, что можно условно разделить любую измерительную систему на отдельные части. Каждая часть выполняет свою функцию, которая является достаточно общей для всех систем. Такая блок-схема получается, если изобразить эти функции в виде символических блоков, которые связаны между собой сигналами, характеризующими физические величины.

Кратко рассмотрим наиболее важные функциональные блоки.

1. Восприятие измеряемой величины.

Первичной задачей любой измерительной системы является восприятие физической величины. Часто чувствительный элемент преобразователя не является в прямом смысле самостоятельным элементом прибора, а совмещен с другими его элементами. В процессе измерения физической величины основной задачей является выработка сигнала измерительной информации в форме удобной для дальнейшей ее обработки при минимальной обратной реакции системы (помехах, энергетических затратах).

2. Преобразование измерительной информации и ее усиление.

При измерении всегда используются определенные физические явления. В результате возникает необходимость преобразования сигнала, функционально связанного с измеряемой физической величиной, в другую физическую величину (например, давление ® напряжение; температура ® давление и т.п.).

Наряду с преобразованием измерительной информации часто возникает необходимость усиления или ослабления сигнала, например его мощности, преобразования выходного сопротивления или изменения уровня сигнала.

3. Вычислительные операции.

Каждый измерительный прибор выполняет (часто в неявном виде) какую-либо вычислительную операцию. Как указывалось ранее, измерением называют сравнение с так называемой мерой. В простейшем случае операция нормирования сигнала представляет собой градуировку шкалы. Кроме того, при обработке измерительной информации наряду с четырьмя основными арифметическими операциями выполняются возведение в степень, извлечение корня, интегрирование, логарифмирование и др. Такие операции необходимы в том случае, если зависимость между первичной измеряемой величиной, которая воспринимается датчиком, и величиной, которую представляет указатель, не является линейной. Например, такого рода нелинейности имеют место при определении скорости потока по перепаду давлений, электрометрическом измерении pH и т.д. Вычисления также необходимы в том случае, когда для получения отображаемой величины требуется измерить несколько величин одновременно (например, при измерении тепловых потоков).

4. Обработка измерительной информации.

Значения величин, которые были получены в результате операций, рассмотренных в предыдущем пункте, используются не только для моментального отображения, но все чаще подвергаются обработке – уплотнению информации. При этом наряду с выполнением дальнейших вычислительных операций обычно необходимо временное запоминание измеряемых величин. Такая обработка измерительной информации осуществляется прежде всего в связи с анализом сигналов во временном или, соответственно, частотном диапазоне (получение усредненных значений, анализ частотного спектра и т.д.). С помощью компьютеров могут быть выполнены, кроме того, любые аналитические и логические операции.

5. Отображение измерительной информации.

Если измерительная информация не подлежит дальнейшей автоматической обработке, а передается в визуальной форме наблюдателю, то измерение заканчивается ее отображением. Существует много способов отображения. Следует отметить, конкретный способ отображения измерительной информации необходимо учитывать при анализе погрешностей. В настоящее время нередко выбор метода измерения определяется требуемым видом отображения измеряемой величины. Так, если требуется цифровая информация, то целесообразно на ранних стадиях измерения переходить к дискретным методам.

Таким образом, измерение физической величины в общем случае представляет собой достаточно сложный процесс. Первичную измеряемую величину воспринимают чувствительные элементы средства измерения и преобразуют ее в электрическую, гидравлическую или пневматическую величину на основе физического закона, однозначно определяющего связь между этими двумя величинами. Указанное преобразование может осуществляться многоступенчато. Например, механическая сила, действующая на пружину, деформирует ее; деформация пружины преобразовывается тензометром в изменение сопротивления, которое затем преобразуется при помощи мостовой схемы в изменение напряжения или силы тока. Однако и эта электрическая величина обычно еще не пригодна для выдачи измерительной информации (отсчета показаний или регистрации). При дальнейшем преобразовании в другую величину или только при усилении подлежащая измерению физическая величина приводится к виду, пригодному к выдаче или дальнейшей обработке.

2.4. Определение измерения и следствия из него Измерением называется нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. В этом определении отражены следующие главные признаки понятия «измерение»:

1) измерять можно свойства реально существующих объектов, то есть физические величины;

Все термины определяются в ГОСТ 16263-70 «Метрология. Термины и определения».

2) измерение требует проведения опытов, то есть теоретические рассуждения или расчеты не могут заменить эксперимент;

3) для проведения опытов требуются особые технические средства – средства измерений, приводимые во взаимодействие с материальным объектом;

4) результатом измерения является значение физической величины.

2.5. Классификация средств измерений Измерения производятся с помощью средств измерений. Ими называются технические средства, имеющие нормированные метрологические характеристики.

По функциональному назначению средства измерений делятся на следующие группы: меры, измерительные преобразователи, измерительные приборы, измерительные системы и измерительные установки.

Под мерой понимают средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера. Например, мерой является резистор, воспроизводящий сопротивление определенного размера с известной погрешностью.

Измерительный преобразователь – средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и (или) хранения, но не дающей наблюдателю возможности непосредственно воспринимать результат измерения. Измерительный преобразователь, к которому непосредственно подводится измеряемая величина, называется первичным измерительным преобразователем. Измерительный преобразователь, предназначенный для изменения размера величины в заданное число раз, называют масштабным измерительным преобразователем.

Первичные измерительные преобразователи, размещаемые непосредственно на объекте исследования и удаленные от места обработки, отображения и регистрации измерительной информации, называют датчиками.

Измерительным прибором называют средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем, например, в виде цифрового отсчета на отсчетном устройстве. Измерительный прибор, показания которого являются непрерывной функцией изменений измеряемой величины, называют аналоговым измерительным прибором. Измерительный прибор, автоматически вырабатывающий дискретный (кодированный) сигнал измерительной информации и дающий показания в цифровой форме, называют цифровым измерительным прибором.

Измерительная установка – совокупность средств измерений и вспомогательных устройств, предназначенная для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для непосредственного восприятия наблюдателем, и расположенная в одном месте.

Измерительная установка может содержать в своем составе меры, измерительные приборы, а также различные вспомогательные устройства.

В современной промышленности с усложняющимися технологическими процессами для их эффективного контроля и оптимального управления ими требуется информация о большом числе параметров объектов, а также оперативная обработка информации. Это привело к появлению сложных систем, предназначенных для автоматического сбора и переработки информации.

Измерительная система – совокупность средств измерений (мер, измерительных преобразователей и приборов) и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи, предназначенная для выработки сигнала измерительной информации в форме удобной для автоматической обработки, передачи и/или использования в автоматических системах управления.

2.6. Виды и методы измерений Измерения в зависимости от способа обработки экспериментальных данных для нахождения результата относят к прямым, косвенным, совместным или совокупным.

Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных в результате выполнения измерения.

Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям.

При косвенном измерении значение измеряемой величины получают путем решения уравнения x =F (x1, x2, x3, …, xn), где x1, x2, x3 … xn – значения величин, полученных прямыми измерениями.

Пример косвенного измерения: сопротивление резистора R находят из уравнения R=U/I (закон Ома), в которое подставляют измеренные значения падения напряжения U на резисторе и тока I через него.

Совокупные измерения – одновременные измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин находят решением системы уравнений, составленных из результатов прямых измерений различных сочетаний этих величин.

Пример совокупного измерения: измерение сопротивлений обмоток трехфазного двигателя, соединенных треугольником (или звездой), путем измерений сопротивлений между различными вершинами треугольника (или звезды). По результатам трех измерений составляют систему из трех уравнений, решая которую, определяют сопротивления обмоток и делают вывод об их целостности, наличии короткозамкнутых витков и обрывов.

Совместные измерения – одновременные измерения нескольких не одноименных величин для нахождения зависимости между ними.

Пример совместного измерения: определение функциональной зависимости сопротивления резистора от температуры, заданной уравнением Rt = R0(1+At+Bt2), где t – температура, R0, A, B - параметры. Измеряя сопротивление резистора при трех различных температурах, составляют систему из трех уравнений, решая которую, определяют параметры R0, A и B.

Взаимодействие средств измерений с объектом основано на физических явлениях, совокупность которых составляет принцип измерений, а совокупность приемов использования принципа и средств измерений называют методом измерений.

В зависимости от способа применения меры известной величины выделяют метод непосредственной оценки и методы сравнения с мерой.

При методе непосредственной оценки значение измеряемой величины определяют непосредственно по отсчетному устройству измерительного прибора прямого преобразования. Методы сравнения с мерой – методы, при которых производится сравнение измеряемой величины и величины, воспроизводимой мерой.

Группа методов сравнения с мерой включает в себя следующие методы: нулевой, дифференциальный и метод замещения.

При нулевом методе разность измеряемой величины и известной величины или разность эффектов, производимых измеряемой и известной величинами, сводится в процессе измерения к нулю, что фиксируется высокочувствительным прибором – нуль-индикатором.

При дифференциальном методе разность измеряемой величины и величины известной, воспроизводимой мерой, измеряется с помощью измерительного прибора. Неизвестная величина определяется по известной величине и измеренной разности. При методе замещения измеряемая величина замещается мерой, подбираемой или регулируемой таким образом, чтобы показания измерительного прибора оставались неизменёнными; при этом значение измеряемой величины равно номинальному значению меры.

2.7. Измерение параметров электрических цепей Основными параметрами элементов и цепей с сосредоточенными постоянными являются:

- сопротивление R резисторов;

- емкость C и тангенс угла потерь d конденсаторов;

- индуктивность L и добротность Q катушки;

- взаимная индуктивность M12 двух катушек.

Измерение параметров элементов и цепей может быть прямое и косвенное. Прямые измерения выполняются методами непосредственной оценки, косвенные – вольтметром и амперметром; методами нулевыми и замещения.

Далее подробно будут рассмотрены два наиболее часто применяемых метода измерения параметров электрических цепей: мостовой и резонансный.

2.7.1 Мостовой метод измерения. Теория мостовых схем Мосты – приборы, служащие для измерения сопротивлений, в основе работы которых лежат дифференциальный или нулевой методы измерения. Мостовые схемы широко применяются в измерительной технике для измерения сопротивления, емкости, индуктивности, добротности, частоты, тангенса угла диэлектрических потерь. При их применении обеспечивается:

· большая точность измерения;

· высокая чувствительность;

· возможность измерять различные величины.

Мосты делятся на следующие типы:

1) уравновешенный (в основу заложен нулевой метод измерения) – мост, который находиться в равновесном состоянии в момент измерения;

2) неуравновешенный (в основу заложен дифференциальный метод измерения) – мост, который находился в равновесии до момента измерения, а в момент измерения он переходит в неравновесное состояние.

В зависимости от источника питания моста различают мосты переменного и постоянного тока. Наиболее часто в технике измерений используется мост Уитстона (рис. 2.2).

Данный мост будет находиться в состоянии равновесия, если разность потенциалов между точками 1 и 2 будет равна нулю. Состояние равновесия может быть обнаружено с помощью гальванометра G, ток через который будет равен также нулю.

В случае IG=0 по первому закону Кирхгоффа можно записать I1 = I2, I3 = I4. Тогда падения напряжения на элементах Z1 и Z2 будут равны падениям напряжения на элементах Z4 и Z3:

Разделим (2.5) на (2.6):

Таким образом, последнее выражение можно записать в виде:

Оно является условием равновесия моста; в измерительной технике формулируется так: мост находится в равновесном состоянии, когда произведения сопротивлений противоположных плеч равны друг другу.

Пусть все сопротивления являются активными, то есть Zi = Ri (i = 1, 2, 3, 4), тогда условие равновесия моста будет выглядеть следующим образом:

Допустим, что R1 неизвестно. Обозначим R1 = Rх. Из условия равновесия моста находим Rх = R2 R4 / R3. Если R4 / R3 = k = const, то Rх = k · R2. Полученное выражение является линейной функцией сопротивления R2, тогда его можно градуировать в значениях неизвестного сопротивления Rх.

(Zi = Ai + jBi = |Z| ej, где tg = Bi / Ai, |Z| = (Ai2+Bi2)1/2, то условие равновесия моста можно записать как Два комплексных числа равны друг другу при выполнении следующих условий:

а) |Z1||Z3| = |Z2||Z4| – условие для модулей, Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Пусть в два смежных плеча помещены реактивные сопротивления Z1 и Z2, а в противоположные – активные: Z3 = R3, Z4 = R4. Если Z3 и Z4 являются активными, то 3 = 4 = 0, а из фазового условия следует, что 1 = 2. Тогда Z1 и Z2 должны иметь одинаковые реактивности. Допустим, что Z1 = 1 / (jC1) = 1 / (jCx) и Z2 = 1 / (jC2).

Подставим данные выражения в выражения для условий равновесия моста:

Таким образом, изменяя емкость C2, можно добиться равновесия моста.

Следует обратить внимание на то, что если расположить сопротивления с одинаковой реактивностью в противоположные плечи:

Z2 = 1 / (jC2), Z4 = 1 / (jC4), а Z1 = R1, Z3 = R3, то такой мост уравновесить нельзя:

Из выражения (2.14) видно, что в правой части уравнения стоит отрицательное число, а в левой – положительное.

Рассмотрим случай, когда в двух смежных плечах располагаются индуктивности:

Подставим данные выражения в выражения для условий равновесия моста:

Таким образом, изменяя индуктивность L2, можно добиться равновесия моста.

Важно отметить, что если переменную емкость в выражении (2.13) можно изменять плавно, то индуктивность в выражении (2.20) варьировать значительно сложнее. Поэтому чаще для уравновешивания моста применяются переменные конденсаторы, а для измерения реактивного сопротивления с индуктивным типом применяют схему подключения, рассмотренную ниже.

2. Пусть два реактивных элемента с разными реактивностями располагаются в противоположных плечах моста. Допустим, что равновесия моста можно записать как Таким образом, изменяя емкость C3, можно уравновесить мост так, чтобы выполнялись условия для фаз 3 + 1 = 0 и для модулей |Z1||Z3| = R2 R4.

В заключении необходимо подчеркнуть, что с помощью моста переменного тока, как правило, измеряют емкость и индуктивность, добротность и тангенс угла потерь, а с помощью моста постоянного тока – сопротивление резисторов.

2.7.2. Резонансный метод измерения параметров двухполюсника При резонансном методе измерения параметров используют резонансные цепи (сочетание двух элементов с разными реактивностями – емкость и индуктивность). Возможно два варианта соединения таких элементов – параллельное и последовательное. Поэтому различают параллельные и последовательные колебательные контуры. Рассмотрим сначала схему для параллельного контура (рис. 2.3).

Выходное напряжение, измеряемое на контуре, будет равно:

где ZC || ZL = ZC ZL /(ZC + ZL) = [jL / (jC)] / [1/(jC) +jL] = (L /C) / j[L -1 / (C)].

Резонанс в электрической цепи проявляется тогда, когда модуль реактивного сопротивления индуктивности |ZL| = L равен модулю реактивного сопротивления емкости |ZC| = 1/(C). Если L = 1/(C), то получим ZC || ZL =. Частота, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Различают круговую (рез) и линейную (fрез) резонансные частоты, связанные между собой соотношением рез = 2fрез. Они определяются из условия:

® рез приближается к 1, тогда Uвых » Uвх. Контур настраивается в резонанс по максимальному выходному напряжению. Резонанс может быть достигнут изменением частоты, емкости и индуктивности.

Однако наиболее часто в технике измерений используется не параллельный, а последовательный колебательный контур (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Последовательный колебательный контур В данном случае выходным является напряжение на емкости:

Uвых = (Uвх /jC) / (r + jL + 1/C) = (Uвх / jC) / [r + j(L - 1/C)], (2.26) где r – активное сопротивление катушки индуктивности L. Используя условие резонанса L = 1 / (C), из (2.26) получаем:

Далее определим модуль отношения выходного и входного напряжения: |Uвых / Uвх| = L / r. Величина L / r называется добротностью катушки индуктивности Q, тогда |Uвых / Uвх| = Q. Следовательно, выходное напряжение, снимаемое с конденсатора в последовательном контуре, прямо пропорционально добротности катушки индуктивности. Указанное утверждение справедливо, если выполняются следующие условия: L = 1 / (C), Uвх = const, а конденсатор является идеальным (имеет минимальные диэлектрические потери). Тогда вольтметр, подключенный к конденсатору, может быть градуирован в значениях добротности. Последовательный контур входит в состав измерителя добротности или ку-метра (Q-метра), который применяется для измерения большинства параметров электрических цепей (L, C, tg, Q, R). С его помощью добротность определяется прямым измерением, остальные параметры электрических цепей – расчетным путем методом замещения. Расчетное нахождение величин L, C, tg, R является основным недостатком резонансного метода в отличие от мостового метода, в котором эти же самые величины находятся непосредственно в момент измерения.

Явление резонанса наиболее ярко проявляется на высоких частотах, поэтому резонансный метод используют преимущественно для измерения малых индуктивностей и емкостей, что также является одним из недостатков этого метода. Достоинством его является наглядность и простота настройки.

3. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ ИЗМЕРЕНИЙ

3.1. Закон Гейзенберга В начале XX века стало ясно, что классическая физика непригодна при анализе явлений атомного масштаба. Какие же черты классического способа описания физических явлений делают его неприменимым для описания микрообъектов, и где проходит граница применимости представлений классической физики?

Классическое описание физического процесса или явления характеризуется следующими абстракциями.

1. Предположение о независимости явлений от условий их наблюдения. Единственное обстоятельство, связанное с условиями наблюдения, которое учитывалось в классической физике, это выбор системы отсчета. По отношению к двум произвольно движущимся друг относительно друга системам отсчета одно и то же явление будет иметь различный вид. Физический процесс в инерциальной системе отсчета рассматривался как нечто происходящее независимо от наблюдения за этим процессом, а не как явление, конкретно познаваемое при помощи определенных средств исследования. Позднейшее развитие физики показало, что абсолютизация физических процессов не является логически необходимой, а представляет собой допущение, которое прекрасно оправдывалось при изучении макроскопических явлений, но которое оказалось совершенно непригодным в микромире. Действительно, классическая физика имела дело с телами крупного масштаба, по отношению к которым воздействие, связанное с измерением, играло совершенно ничтожную роль. В тех случаях, когда оно было заметным, его можно было учесть и внести соответствующие поправки. Принципиальная возможность этого никогда не вызывала сомнений.

2. Вторая абстракция, допускавшаяся в классической физике, была тесно связана с первой и заключалась в том, что при изучении физических явлений считалась возможной сколь угодно подробная детализация описания этих явлений. Другими словами, считалось, что можно неограниченно уточнять наблюдение и наблюдать разные стороны одного и того же физического процесса, не нарушая самого явления.

С этими двумя абстракциями, используемыми в классической физике, с предположениями об абсолютном характере физических процессов (их независимости от условий наблюдения) и о возможности сколь угодно детального их описания (в пределе – исчерпывающе точного и всестороннего), связано понятие о лапласовском механическом детерминизме, согласно которому можно определить состояние исследуемой системы в любой момент времени, если известно ее начальное состояние.

Вопрос о применимости классического способа описания – это вопрос о возможности использования перечисленных абстракций при анализе конкретного явления. Если в каком-то конкретном случае установлено, что эти абстракции неприменимы, то классическое описание невозможно и, следовательно, бессмысленны классические представления о свойствах изучаемого объекта, например, о его движении по определенной траектории.

Пределы применимости представлений классической физики, то есть классического способа описания явлений микромира, устанавливаются так называемыми соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Рассматривая различные способы измерения положения и импульса частицы, В. К. Гейзенберг пришел к выводу о том, что условия, благоприятные для точного измерения положения частицы, неблагоприятны для точного измерения ее импульса и наоборот. Одно из соотношений Гейзенберга связывает между собой неопределенности в значениях координаты частицы x и соответствующей компоненты импульса px в один и тот же момент времени:

Величины Dx и Dpx неправильно было бы понимать только как неточности одновременного измерения величин x и px, поскольку сам термин "неточность" как бы предполагает, что существуют и "точные" значения x и px, но только они почему-то не могут быть измерены. На самом деле невозможность точного измерения является следствием того, что частица по своей природе не имеет одновременно точного значения координаты и соответствующей проекции импульса. Эта невозможность есть проявление корпускулярно-волновой природы материальных микрообъектов. Аналогичные соотношения справедливы и для других координат и компонент импульса:

При измерениях в микроскопических масштабах даже самая совершенная и точная аппаратура будет давать результаты, которые принципиально имеют статистическую природу. Повторение измерений в одних и тех же условиях будет давать разные значения измеряемой величины. Каждое значение будет появляться с той или иной вероятностью, зависящей от способа измерения. Сам процесс измерения может воздействовать на физическую систему таким образом, что одновременно определить две сопряженные переменные можно лишь с конечной точностью, которая задается соответствующим соотношением неопределенностей.

Мерой разброса результатов измерений является среднеквадратичное отклонение s получаемого распределения. В таком контексте эту величину называют "неопределенностью D". Таким образом, неопределенность координаты равна Соотношение неопределенностей для координаты и сопряженной ей переменной – компоненты импульса px – имеет вид В связи с тем, что постоянная Планка h = 2pћ чрезвычайно мала, то выражение при макроскопических измерениях лишено практического смысла. Неопределенность координаты и импульса, которая следует из (3.5), лежит далеко за пределами достижимой точности экспериментов.

Аналогично выражению (3.5) формулируется соотношение неопределенностей для другой пары сопряженных величин – энергии и времени:

Это соотношение связывает неопределенность энергии атомной системы DE = sE с неопределенностью времени Dt = st, в течение которого измеряется энергия.

Если применить соотношение неопределенностей между энергией и временем к спонтанному распаду в системах, находящихся в квазистационарных состояниях, то экспоненциальное распределение измеренных значений времени распада даст величину стандартного отклонения, которая равна среднему значению t Эту величину называют средним временем жизни t состояния:

В этом случае неопределенность энергии квазистационарного состояния равна Для квазистационарных состояний с DE в она увеличивается, а при ж < в уменьшается. В зависимости от соотношения ж и в он может принимать положительные и отрицательные значения.

Рис. 4.22. Преобразователь для измерения толщины диэлектрических пленок: – расстояние между обкладками конденсатора; 1 – толщина диэлектрической ленты Емкостный преобразователь для измерения толщины диэлектрических пленок изображен на рис. 4.22. Его емкость может быть представлена как суммарная емкость двух последовательно подключенных конденсаторов с одинаковой площадью обкладок и различающимися материалами диэлектрика (воздух и лента) и межобкладочными расстояниями (( – л) и л):

где k1, k2 – постоянные величины: k1 = Sвл0/(в - л), k2 = л/(в – л).

Продифференцируем выражение (4.33):

Так как величины dС и dл в равенстве (4.34) очень малы, то их можно заменить приращениями:

Таким образом, из формулы (4.35) видно, что изменение толщины ленты приводит к линейному изменению емкости.

Измерительные цепи емкостных преобразователей. Емкостный преобразователь включается в измерительную цепь; при этом изменение его емкости преобразуется в изменение либо напряжения или тока, либо в частоту синусоидального или импульсного тока.

Существует довольно много различных измерительных цепей включения емкостных преобразователей. Наиболее часто применяют мостовые и резонансные цепи. Первые используют совместно с дифференциальными преобразователями, а вторые – с недифференциальными. Проанализируем некоторые из них.

Дифференциальный емкостной преобразователь для измерения больших перемещений и его подключение в мостовую измерительную цепь представлены на рис. 4.23 и 4.24.

Рис. 4.23. Преобразователь для измерения больших перемещений Рис. 4.24. Мостовая измерительная цепь для измерения больших перемещений Схема дифференциального преобразователя углового перемещения d с переменной площадью электродов приведена на рис. 4.25.

В таких преобразователях средний подвижный электрод обычно соединяется с экраном. Пластина 1, жестко скрепленная с валом, перемещается относительно пластины 2 так, что величина зазора между ними сохраняется неизменной. Достоинством емкостных преобразователей с переменной площадью пластин является возможность в результате выбора соответствующей формы подвижной 1 и неподвижной 2 пластин получить заданную функциональную зависимость между изменением емкости и входным угловым или линейным перемещением. Преобразователи с переменной площадью пластин применяются для измерения перемещений больше 1 мм.

Рис. 4.25. Схема дифференциального преобразователя углового перемещения:

(1 и 2 – неподвижная и поворачивающаяся пластины соответственно) Как выше отмечено, для включения недифференциального преобразователя может использоваться резонансная цепь (см. рис. 4.26).

Генератор через разделительный трансформатор Т питает резонансный LC-контур. Емкость контура состоит из емкости преобразователя Спр и подстроечного конденсатора емкостью С*; частота и значение напряжения генератора постоянны. При изменении емкости напряжение на контуре изменяется по резонансной кривой, как показано на рис. 4.27. При изменении емкости преобразователя на С напряжение на контуре изменяется на U. Подстроечный конденсатор служит для настройки контура так, чтобы чувствительность S измерительной цепи была максимальной:

Важно подчеркнуть, что чувствительность резонансной цепи довольно высока и увеличивается с ростом добротности контура.

Емкостные преобразователи имеют ряд специфических достоинств и недостатков, определяющих область их применения. Конструкция емкостного датчика проста, он имеет малую массу и размеры.

Его подвижные электроды могут быть достаточно жесткими, с высокой собственной частотой, что дает возможность измерять быстропеременные величины. Емкостные преобразователи можно выполнять с заданной (линейной или нелинейной) функцией преобразования. Для получения требуемой функции преобразования часто достаточно изменить форму электродов.

Рис. 4.26. Резонансная цепь Рис. 4.27. Резонансная кривая Отличительной особенностью емкостных преобразователей является малая сила притяжения электродов, а основным недостатком является их малая емкость и высокое сопротивление. Для уменьшения последнего преобразователи используют напряжение высокой частоты. Недостатком является и то, что результат измерения зависит от изменения параметров кабеля, соединяющего преобразователь с измерительной цепью.

4.6.2. Пьезоэлектрические преобразователи Входной величиной пьезоэлектрических преобразователей является сила, давление, а выходной величиной – заряд.

Принцип действия чувствительных пьезоэлектрических элементов основан на использовании свойств некоторых кристаллов, способных образовывать на своих гранях электростатические заряды под действием упругих деформаций (прямой пьезоэффект) и деформироваться в электрическом поле (обратный пьезоэфект). Пьезоэффект возникает в кристаллах кварца, турмалина, сегнетовой соли (калийнонатриевая соль винной кислоты), титаната бария, цирконата свинца и некоторых других веществ. Чувствительные пьезоэлектрические элементы позволяют контролировать быстропротекающие процессы, т.

к. заряды образуются практически безынерционно. В качестве материала для их изготовления чаще всего применяют кварц, имеющий низкую температурную чувствительность и обладающий большим модулем упругости (811010 Н/м2). Это позволяет осуществлять измерения при ничтожно малых перемещениях. Кристаллы кварца представляют собой шестиугольные призмы (рис. 4.28).

О или Z – оптическая ось; X – электрическая ось; Y – механическая ось Продольная ось кристалла Z называется оптической; ось, проходящая через ребра призмы – электрической осью X. Нейтральной или механической осью Y называется ось, проходящая через середины противолежащих граней. Вырезанный из кварцевого кристалла прямоугольный параллелепипед, грани которого перпендикулярны осям Y и X, обладает пьезоэлектрическими свойствами.

Пьезоэффект обладает знакочувствительностью, что проявляется в изменении знаков заряда на определенных гранях при замене сжатия растяжением и наоборот. На рис. 4.29 показано расположенное перпендикулярно оптической оси Z сечение элементарной ячейки кристаллической структуры кварца.

Ячейка в целом электрически нейтральна, однако в ней можно выделить три направления, проходящие через центр и соединяющие два разнополярных иона. Эти полярные направления, как выше указано, называются электрическими осями, или осями X. По ним наrr r правлены векторы поляризации P, P2 и P3. Если к кристаллу кварца вдоль оси X приложена сила Fx, равномерно распределенная по грани, перпендикулярной оси X, то в результате деформации элементарной ячейки ее электрическая нейтральность нарушается. В деформированном состоянии ячейки сумма проекций векторов P2x и P3x на ось X становится меньше (при сжатии) или больше (при растяжении) проекции вектора P1x.

В результате появляются поляризационные заряды, знаки которых для растяжения показаны на рис. 4.29. Нетрудно заметить, что рассмотренная деформация ячейки не влияет на электрическое состояние вдоль механической оси Y. Здесь сумма проекций равна либо нулю, либо P2y = -P3y, а P1y = 0. Образование поляризационных зарядов на гранях, перпендикулярных оси X, при действии силы вдоль оси X называется продольным пьезоэффектом.

При механических напряжениях вдоль одной из механических осей Y поляризационные заряды также образуются на гранях, перпендикулярных осям X. Так при сжатии получается такое же распределение зарядов, как при растяжении вдоль оси X. Рассмотренный пьезоэффект называется поперечным.

Преимуществами пьезопреобразователей являются широкий диапазон рабочих температур, минимальные упругие деформации, очень широкий диапазон измерений, высокая чувствительность. К их недостаткам следует отнести необходимость обеспечения очень высокого сопротивления изоляции измерительных цепей, а также непригодность преобразователей для статических измерений.

Пьезоэффект находит применение в преобразователях:

1. в которых используется прямой пьезоэффект. Они применяются в приборах для измерения силы, давления, ускорения;

2. в которых используется обратный пьезоэффект. Они применяются в качестве излучателей ультразвуковых и звуковых колебаний, обратных преобразователей приборов уравновешивания, пьезоэлектрических реле, исполнительных элементов автоматических систем;

3. в которых используется одновременно прямой и обратный пьезоэффекты – пьезорезонаторы.

При воздействии на пластину усилия Fx вдоль электрической оси X на гранях, перпендикулярных X, появятся заряды где k – пьезоэлектрический коэффициент или пьезомодуль.

Нагрузки, действующие в направлении механической оси Y кристалла, вызывают возникновение заряда Qy:

где ly и lx – размеры кристалла в направлении осей y и x. При поперечном эффекте величина заряда Qy зависит от размеров кристалла.

Условия прочности не позволяют получить большие заряды за счет увеличения ly и снижения lx, поэтому на практике используют лишь продольный пьезоэффект. При температурах выше 500 °С пьезоэффект исчезает. Температура 537 °С, при которой структура кварца переходит в структуру, не обладающую пьезоэлектрическим эффектом, называется точкой Кюри. Для измерения электрических зарядов, возникающих на гранях кварцевой пластины, последние покрывают металлическим слоем, образующим конденсатор (рис. 4.30).

Рис. 4.30. Чувствительный элемент с несколькими кварцевыми пластинами n Так как Q = CU, то напряжение на кристалле определяется формулой:

где C0 – емкость конденсатора с диэлектриком из кварца; Сs – суммарная емкость проводов и подключенных устройств.

Величина Cs учитывается при калибровке преобразователя.

Обычно емкость Cs превышает емкость пьезокристалла C0, что резко снижает чувствительность преобразователя. Поэтому C0 искусственно увеличивают при помощи параллельного соединения нескольких пластин (рис. 4.30). Выбор их числа позволяет изменять диапазон измерения.

Поскольку каждый измеритель напряжения (вольтметр) обладает конечным значением входного сопротивления Rt, то образующийся на гранях кристалла заряд и соответственно напряжение спадают по экспоненциальному закону:

где Rt (C0 + Cs) – постоянная времени.

По истечении времени t = Rt (C0 + Cs) напряжение Ut уменьшается в e раз, т.е. примерно до 37 % от начального значения U. Это ограничивает возможности использования пьезокристаллов – для контроля только кратковременных и быстро изменяющихся процессов.

5. ТЕПЛОВЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

5.1. Физические основы тепловых измерений Тепловыми называются измерения, принцип осуществления которых основан на использовании тепловых процессов (нагрев, охлаждение, теплообмен), а входной величиной является температура. К тепловым преобразователям относятся термопары и терморезисторы (металлические и полупроводниковые). Следует отметить, что тепловые преобразователи широко используются как преобразователи не только температуры, но и таких величин, как тепловой поток, скорость потока газа или жидкости, расход, химический состав и давление газов, влажность, уровень и т. п.

Температура как параметр теплового процесса не поддается непосредственному измерению. В то же время она является функцией состояния вещества и непосредственно связана с внутренней энергией тел, а через нее и с другими свойствами. Следовательно, при изменении температуры меняются многие другие физические свойства тел, которые и используются при построении преобразователей температуры.

Основным уравнением теплового преобразования является уравнение теплового баланса, физический смысл которого заключается в том, что все тепло, поступающее к преобразователю, идет на повышение его теплосодержания Qтс, и, следовательно, если теплосодержание преобразователя остается неизменным (не меняется температура и агрегатное состояние), то количество поступающего в единицу времени тепла равно количеству отдаваемого тепла. Тепло, поступающее к преобразователю, является суммой количества тепла Qэл, создаваемого в результате выделения в нем электрической мощности, и количества тепла Qто, поступающего в преобразователь или отдаваемого им в результате теплообмена с окружающей средой.

Таким образом, уравнение теплового баланса имеет вид:

и основы расчета тепловых преобразователей заключаются в расчете процессов теплопередачи и теплосодержания.

Теплосодержание при неизменном агрегатном состоянии вещества зависит от массы m и удельной теплоемкости с материала преобразователя и связано с температурой q преобразователя формулой:

Теплообмен состоит в переходе некоторого количества тепловой энергии из одной части пространства в другую. Теплообмен может осуществляться тремя совершенно различными способами.

При теплообмене посредством теплопроводности перенос тепловой энергии происходит только путем взаимодействия частиц, находящихся в непосредственном соприкосновении друг с другом и имеющих различную температуру. Теплообмен путем теплопроводности в чистом виде имеет место только в твердых телах.

Теплообмен посредством конвекции совершается путем перемещения материальных частиц и может иметь место только в жидкостях и газах. Если причиной потоков жидкости или газа является неодинаковая плотность среды, вызванная разностью температур, то говорят о естественной конвекции. Движение потоков под действием внешних причин вызывает вынужденную конвекцию. Конвективный теплообмен всегда включает в себя обмен посредством теплопроводности, и суммарный теплообмен между стенкой и средой называется теплоотдачей.

Ещё одним способом теплообмена является теплообмен посредством излучения. Тепловое излучение представляет собой поток электромагнитных волн, излучаемых телом за счет его тепловой энергии и полностью или частично поглощаемых другими телами.

На практике обычно имеет место комбинация различных способов теплообмена, отдельные виды которых можно показать на примере приводимых ниже формул.

Теплопроводность. Распространение тепла путем теплопроводности определяется законом Фурье где q – тепловой поток, представляющий собой количество тепла, переданного в единицу времени через единицу поверхности, Вт/м2; – коэффициент теплопроводности, Вт/(мК).

Полный тепловой поток, создаваемый разностью температур, можно записать следующим образом:

где Gq – тепловая проводимость среды.

Тепловая проводимость среды зависит от коэффициента теплопроводности и геометрических соотношений теплопроводящего изделия. Для ее расчета можно использовать формулы, аналогичные электрической проводимости, заменив удельную проводимость коэффициентом теплопроводности.

Теплоотдача. Полный тепловой поток в результате теплоотдачи определяется по формуле Ньютона где x – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2К); S – поверхность тела;

Dq – разность температур окружающей среды и тела.

Тепловое излучение свойственно всем телам, и каждое из них непрерывно излучает и поглощает энергию. Разность между излучаемой и поглощаемой телом лучистой энергией не равно нулю, если температура тел, участвующих во взаимном обмене лучистой энергией, различна. По закону Стефана-Больцмана полное количество энергии, излучаемой в единицу времени единицей поверхности, которая имеет температуру q, равно где s0 = 5.710-8 Вт/(м2К4) – константа излучения абсолютно черного тела.

Закон Стефана-Больцмана применим и к реальным серым телам, но их константа s рассчитывается с учетом степени черноты тела e, т. е. s = es0. Значение e изменяется от нуля до единицы и приводится в справочниках.

Количество поглощаемой телом лучистой энергии зависит от степени черноты тела и определяется формулой Е = e Еэфф, где Еэфф – извне падающее эффективное излучение окружающих тел. При выводе формул лучистого теплообмена между телами необходимо учитывать, кроме лучеиспускательной, поглощательной и отражательной способности тел, их размеры и направление излучений. Относительно простые формулы могут быть получены только для теплообмена между плоскими параллельными поверхностями и между двумя поверхностями в замкнутом пространстве, когда одна из поверхностей обтекает другую обязательно выпуклую поверхность (см. рис 5.1).

Во данном случае количество тепла, получаемое или отдаваемое в секунду меньшим телом с поверхности S1 равно где sп – приведенная константа Больцмана с учетом степени черноты обоих тел.

Для уменьшения лучеиспускания тела при заданных температурах уменьшают степень его черноты и применяют экран.

Уравнение теплового баланса преобразователей при неизменном агрегатном состоянии среды и постоянной температуре тел определяется как где qэл = i2R – теплота Джоуля; q'тп – теплопроводность через преобразователь; qтп – теплопроводность через окружающую среду, qконв – конвекция; qли – лучеиспускание.

Выражая с помощью формул все виды тепловых потерь, уравнение теплового баланса можно представить как i2R + G'(q – qa) + GQ(q – qср) + xS(q – qср) + sп(q4 – qcn4)S = 0, (5.9) где qa, qср, qcn – температура внешней среды (атмосферы), среды, окружающей преобразователь, и стенок соответственно.

Как видно из уравнения (5.9), температура q преобразователя зависит от многих параметров:

· коэффициента теплоотдачи x, связанного со скоростью движения окружающей среды;

· тепловой проводимости среды, определяемой ее свойствами;

· геометрических форм окружающих тел и удаленности их от преобразователя.

Выделив соответствующий эффект и сделав пренебрежимо малыми остальные, тепловые преобразователи можно использовать для измерения температуры среды, скорости ее движения, концентрации вещества (вакуум), изменяющего теплопроводность среды, и перемещения.

5.2. Терморезисторы Принцип действия этих преобразователей основан на зависимости электрического сопротивления проводников или полупроводников от температуры. Между терморезистором и исследуемой средой в процессе измерения происходит теплообмен. Так как терморезистор включен в электрическую цепь, с помощью которой производят измерение его сопротивления, то по нему протекает ток, выделяющий в нем теплоту. Теплообмен терморезистора со средой происходит из-за теплопроводности самого терморезистора, теплопроводности среды и конвекции в ней, а также из-за излучения. Интенсивность теплообмена, а следовательно, и температура терморезистора зависят от его геометрических размеров и формы, от конструкции защитной арматуры, состава, плотности, теплопроводности, вязкости и других физических свойств газовой или жидкой среды, окружающей терморезистор, а также от температуры и скорости перемещения среды.

Для преобразований температуры используют материалы, обладающие высокой стабильностью температурного коэффициента сопротивления (ТКС), высокой воспроизводимостью электрического сопротивления для данной температуры, значительным удельным электрическим сопротивлением и высоким ТКС, стабильностью химических и физических свойств при нагревании, инертностью к воздействию исследуемой среды.

Проводниковые терморезисторы. Для измерения температуры наиболее распространены терморезисторы, выполненные из медной или платиновой поволоки. Стандартные платиновые терморезисторы применяют для измерения температуры от 13 К (–260 oС) до 1400 К (1100 oС), медные – в диапазоне от 73 К ( –200 oС) до 500 К (200 oС) (ГОСТ 6651-78).

Конструкция платинового терморезистора имеет следующие элементы. В каналах керамической трубки расположены две (или четыре) секции спирали из платиновой проволоки (d 1 мкм), соединенные между собой последовательно. К концам спирали приваривают выводы, используемые для включения терморезистора в измерительную цепь. Каналы трубки засыпают порошком безводной окиси алюминия, выполняющего роль изолятора и фиксатора спирали.

Порошок оксида алюминия, имеющий хорошую теплопроводность и малую теплоемкость, обеспечивает хорошую теплопередачу и малую инерционность терморезистора. Для защиты от механических и химических воздействий внешней среды его помещают в защитную арматуру из нержавеющей стали.

Начальные сопротивления (при 273 К или 0 oС) платиновых терморезисторов равны 1, 5, 10, 46, 50, 100 и 500 Ом, медных – 10, 50, 53 и 100 Ом. Допустимое значение тока, протекающего через терморезистор при включении его в измерительную цепь, должно быть таким, чтобы изменение сопротивление терморезистора за счет электрического нагрева не превышало 0.1% начального сопротивления.

Температурная зависимость сопротивления платины в диапазоне от 0 до 650 °С описывается уравнением Каллендара где Rq, R0 – сопротивления преобразователя при q и 0 °С; A и В – постоянные коэффициенты (для платиновой проволоки, применяемой в промышленных преобразователях температуры, А = 3,970210-3 1/К, В = –5,889310-7 1/К2); q – температура в градусах Цельсия.

В интервале температур от 0 до -200 °С зависимость сопротивления платины от температуры имеет вид где С = –4,35610-12 1/К3 – постоянный коэффициент.

К недостаткам платиновых преобразователей температуры относится довольно высокая загрязняемость платины при высоких температурах парами металлов (особенно железа), сравнительно невысокая химическая стойкость в восстановительной среде, вследствие чего она становится хрупкой, теряет стабильность характеристик.

Медь благодаря своей низкой стоимости и довольно высокой стойкости к коррозии широко применяется в преобразователях температуры в диапазоне от –50 до +180 °С. Температурный коэффициент сопротивления меди aq = 1/234,7 1/К, зависимость электрического сопротивления от температуры линейная:

К недостаткам медных преобразователей температуры относится высокая окисляемость меди при нагревании, вследствие чего они применяются в указанном сравнительно узком диапазоне температур в средах с низкой влажностью и при отсутствии агрессивных газов.

Кроме платины и меди для чувствительных элементов преобразователей температуры применяют никель, вольфрам и другие чистые металлы (табл. 5.1).

Никель – химически стойкий материал даже при высоких температурах, однако имеет сложную зависимость сопротивления от температуры и невысокую ее воспроизводимость. В диапазоне температур от –50 до +180 °С температурная зависимость сопротивления никеля следующая:

где А, В – постоянные коэффициенты, А = 5,510-3 К-1, В = 6,410-6 К-2;

С = 0,6910-8 К-3.

Тугоплавкие металлы – вольфрам, молибден, тантал и ниобий – имеют ограниченное применение. Влияние рекристаллизации и роста зерен в результате действия температуры делает чувствительный элемент из этих материалов хрупким и поэтому очень чувствительным к механическим вибрациям.

терморезистивных преобразователей (при 20 °С) (родия 20 %) Термисторы. Для измерения температуры применяют также полупроводниковые терморезисторы (термисторы) различных типов, которые характеризуются большой чувствительностью (ТКС термистора отрицательный и при 20 oС в 10-15 раз превышает ТКС меди и платины) и более высоким сопротивлением (до 1 МОм и более) при весьма малых размерах. Недостаток термисторов – плохая воспроизводимость и нелинейность характеристики преобразования (рис. 5.2):

где RT и R0 – сопротивления термистора при температурах T и Т0 в кельвинах; В – экспериментально определяемый коэффициент; Т0 – начальная температура рабочего диапазона.

Рис. 5.2. Зависимость сопротивления полупроводникового терморезистивного преобразователя от температуры Существует много разновидностей полупроводниковых терморезисторов (см. табл. 5.2), отличающихся конструктивными и техническими параметрами. Это стержневые полупроводниковые терморезисторы, покрытые эмалью (ММТ-1, КМТ-1) и герметизированные металлической капсулой (ММТ-4, КМТ-4), каплевидные полупроводниковые терморезисторы, герметизированные стеклом (СТЛ-19, СТЗ-19), и др. Номинальные значения сопротивлений терморезисторов имеют допуск ± 20 %.

Терморезисторы могут быть изготовлены самой разнообразной формы. На рис. 5.3. показано устройство терморезистора типа ММТ- и КМТ-1, который представляет собой полупроводниковый стержень, покрытый эмалевой краской, с контактными колпачками и выводами.

Данный тип терморезисторов может быть использован лишь в сухих помещениях.

Термисторы используют в диапазоне температур от единиц до 700 К. Для измерения температур в диапазоне от –80 0С до 150 0С применяют термодиоды и термотранзисторы, у которых под действием температуры изменяется сопротивление p-n–перехода и происходит падение напряжения на этом переходе.

Рис. 5.3. Терморезистор типа ММТ-1 и КМТ- некоторых полупроводниковых терморезисторов Чувствительность термотранзистора по напряжению составляет от 1,5 до 2 мВ/К, что значительно превышает чувствительность стандартных термопар. Достоинством термодиодов и термотранзисторов является высокая чувствительность, малые размеры, малая инерционность, высокая надежность и дешевизна; недостатком – узкий температурный диапазон и плохая воспроизводимость статической характеристики преобразования.

Терморезисторы применяют для измерения степени разряженности или вакуума, а также для анализа газовых смесей.

В приборах для газового анализа (газоанализаторах) для измерения теплопроводности используют перегретый платиновый терморезистор, помещенный в камеру с анализируемым газом. Конструкция терморезистора, арматуры и камеры, а также значение нагревающего тока I выбирают такими, чтобы теплообмен со средой осуществлялся в основном за счет теплопроводности газовой среды.

В последнее время появилась и быстро развивается еще одна разновидность тепловых приемников, основанная на пироэлектрическом эффекте. Он свойствен некоторым кристаллическим диэлектрикам и заключается в том, что при нагревании изменяется спонтанная поляризация и за счет этого на их противоположных поверхностях появляются заряды противоположных знаков (BaTi03, LiNbO3, триглицинсульфат). При падении на такой диэлектрик переменного (модулированного) потока излучения в замкнутой цепи, соединяющей эти поверхности, возникает электрический ток. Особенно велик данный эффект при температурах, близких к точке Кюри, при которой происходит переход от сегнетоэлектрической фазы к несегнетоэлектрической. Пироэлектрический эффект тем больше, чем быстрее изменяется температура.

Эффект теплового расширения пьезокварца может быть также использован для измерения температуры. Классическим применением кварца является создание генераторов с очень высокой стабильностью, в частности, температурной. Для этого пластинку кварца выбирают с такой кристаллографической ориентацией, при которой влияние изменения температуры на частоту кварцевого генератора минимально. При использовании кварца в качестве датчика температуры, наоборот, пластинку вырезают с такой кристаллографической ориентацией, при которой частота генератора является квазилинейной функцией температуры. Диапазон температур таких датчиков от –80 до +250 0С, чувствительность 1000 Гц/0С, разрешающая способность 0.0 001 0С.

5.3. Термоэлектрические преобразователи Принцип действия термоэлектрического преобразователя (термопары) основан на использовании термоэлектрического эффекта Зеебека. Сущность этого явления состоит в следующем. Если составить цепь из двух различных проводников или полупроводников А и В, соединив их между собой концами (рис. 5.4.), причем температуру q1 одного места соединения сделать отличной от температуры q0 другого, то в цепи потечет ток под действием ЭДС, называемой термоэлектродвижущей силой (термо-ЭДС) и представляющей собой разность функций температур мест соединения проводников:

Подобная цепь называется термоэлектрическим преобразователем, или термопарой; проводники, составляющие термопару, – термоэлектродами, а места их соединения – спаями.

Рис. 5.4. Термоэлектрический преобразователь Спай термопары, помещаемый в исследуемую среду, называют рабочим, или горячим, а концы, температура которых поддерживается обычно постоянной, – свободными, или холодными.

У любой пары однородных проводников значение термо-ЭДС зависит только от природы проводников и от температуры спаев и не зависит от распределения температуры вдоль проводников. Термоэлектрический контур можно разомкнуть в любом месте и включить в него один или несколько разнородных проводников. Если все новые соединения находятся при одинаковой температуре, то не возникает никаких паразитных термо-ЭДС.

Можно разомкнуть контур в месте контактирования термоэлектродов А и В и вставить дополнительный проводник С между ними (рис. 5.5. а). Значение термо-ЭДС E в этом случае определится согласно второму закону Кирхгофа для замкнутой цепи как E = EAB(q1) + EBC(q0) + ECA(q0) = EAB(q1) + EBA(q0) = EAB(q1) – EAB(q0). (5.16) Если два любых проводника А и В имеют по отношению к третьему С термо-ЭДС EАС и ECB, то термо-ЭДС термопары:

Можно разорвать также один из термоэлектродов и вставить дополнительный проводник в место разрыва (рис. 5.5.,б). Значение термо-ЭДС в этом случае будет таким же, что и в предыдущем:

E = EAB(q1) + EBC(q2) + ECB(q2) + EBA(q0) = EAB(q1) – EAB(q0). (5.18) Рис. 5.5. Способы включения вольтметра в термопару, а – вместо свободного спая, б – в разрыв проводника B Итак, прибор для измерения термо-ЭДС может быть включен как между свободными концами термопары, так и в разрыв одного из термоэлектродов.

Явление термоэлектричества принадлежит к числу обратимых явлений. Обратный эффект был открыт в 1834 г. Жаном Пельтье и назван его именем. Если через цепь, состоящую из двух различных проводников или полупроводников, пропустить электрический ток, то теплота выделяется в одном спае и поглощается в другом. Теплота Пельтье связана с силой тока линейной зависимостью, и направление или охлаждение спая зависит от направления тока через спай.

В измерительной технике термопары получили широкое распространение для измерения температур. Ниже приведены значения термо-ЭДС, которые развиваются различными термоэлектродами в паре с платной при температуре рабочего спая 100 °С и температуре свободных концов 0 °С.

Значения термо-ЭДС некоторых материалов в паре с платиной Кремний…………...…………….………+44,8 Ртуть………………………... 0, Хромель……….………………..……….+2,40 Палладий…………..……….–0, Нихром………..………………………...+2,20 Цинк………………………...–0, Железо…………………………………..+1,80 Никель……..……….........…–1, Вольфрам………………………………..+0,80 Алюмель……………………–1, Медь………………………………….….+0,76 Константан…………………–3, Золото………………………………...…+0,75 Копель……………...………–4, Платинородий (10% родия)……………+0,64 Висмут……………………...–7, Графит…………………………………..+0,32 Молибденит……………..…– Приведенные выше данные позволяют определить термо-ЭДС термоэлектрического преобразователя (составленного из любой пары термоэлектродов) как алгебраическую разность значений термо-ЭДС, развиваемых соответствующими термоэлектродными материалами в паре с платиной. Поскольку зависимость термо-ЭДС от температуры в широком диапазоне значений температуры обычно нелинейна, постольку приведенные данные нельзя распространять на более высокие температуры. Важно и то, что развиваемые термоэлектродами термо-ЭДС в значительной степени зависят от малейших примесей, механической и термической обработки (закалка, отжиг).

Стандартные термопреобразователи температуры. Для измерений температур в пределах от –200 до +2500 °С применяются стандартные технические термопреобразователи температуры, выпускаемые согласно ГОСТ 6616-94 (см. табл. 5.4). Градуировочные таблицы и метрологические характеристики таких преобразователей нормируются ГОСТ 3044-84.

В зависимости от назначения термоэлектрические преобразователи (ТП) делятся на погружаемые, предназначенные для преобразования температуры газообразных и жидких сред, и поверхностные, предназначенные для преобразования температуры поверхности твердого тела. В зависимости от инерционности ТП делятся на малоинерционные, средней инерционности и большой инерционности. У малоинерционных термопар показатель тепловой инерции (постоянная времени) не превышает 5 с для погружаемых и 10 с для поверхностных. У преобразователей средней инерционности – 60 с и 120 с;

большой инерционности – 180 с и 300 с, соответственно.

Кроме стандартных используются также и специальные термоэлектрические преобразователи температуры. Это обусловлено стремлением расширить пределы преобразования и повысить точность, а также спецификой условий эксплуатации и техникоэкономическими соображениями.

Например, для преобразования низких температур, вплоть до температуры кипения водорода, применяют медь-константановые термопреобразователи с рабочим диапазоном преобразуемых температур от –200 до +300 °С.

промышленных термоэлектрических преобразователей температуры Условное Для преобразований высоких температур (свыше 1300 °С) разработаны термопреобразователи на основе тугоплавких металлов иридия, вольфрама, молибдена, тантала, ниобия, а также на основе углеродистых и графитовых волокон.

Существование множества различных конструкций термоэлектрических преобразователей температуры объясняется тем обстоятельством, что их разработка велась в разное время многими предприятиями и для различных отраслей промышленности. В настоящее время созданы и внедряются унифицированные типы конструкций термопреобразователей температуры, отличающиеся универсальностью и технологичностью.

Измерительные цепи термопреобразователей. Измерительные цепи термоэлектрических преобразователей могут быть самыми разнообразными. Простейшая измерительная цепь (см. рис. 5.6, а) имеет ряд недостатков. В частности, при измерении термо-ЭДС сравнительно низкоомным милливольтметром значительное влияние на результат измерения может оказывать сопротивление соединительных линий, а также материала чувствительного элемента (термопары).

Действительно, показания милливольтметра связаны с термоЭДС термопары зависимостью:

где Rq – сопротивление термопары, Rл – сопротивление соединительных линий, Rл = Rл1 + Rл2, RmV – сопротивление милливольтметра.

Рис. 5.6. Измерительные цепи термоэлектрических преобразователей:

a – простейшая схема, б – схема с термостатированием Из выражения (5.19) следует, что погрешностью влияния сопротивлений Rq и Rл можно пренебречь лишь в том случае, когда Rq + Rл Vk). Ускоренные первичные электроны обладают достаточно высокой энергией и вызывают вторичную эмиссию электронов с первого динода. Отношение количества вторичных электронов к количеству первичных электронов называют коэффициентом вторичной эмиссии d. Он зависит от материала динода, угла падения первичных электронов и от обработки поверхности.

Коэффициент вторичной эмиссии возрастает с увеличением кинетической энергии падающих электронов. При 200 эВ этот коэффициент для наиболее распространенных материалов динодов составляет от 1.4 до 14.

Вторичные электроны с первого динода ускоряются и попадают на второй динод. Процесс размножения электронов повторяется до последнего динода в умножителе. Если такой прибор содержит N динодов, то фототок между катодом и первым динодом I связан с током анода Ia следующим соотношением:

Световые характеристики фотоумножителей при малых анодных токах (несколько микроампер) весьма близки к линейным. Явление вторичной эмиссии практически безынерционно, поэтому фотоумножители, как и вакуумные фотоэлементы, могут использоваться для регистрации весьма быстропротекающих процессов (до 10-9 с).

6.3.3. Полупроводниковые детекторы Фоторезисторы чувствительны к световому излучению благодаря внутреннему фотоэффекту, заключающемуся в перераспределении электронов по энергетическим состояниям за счет поглощенных фотонов. При этом растет концентрация носителей тока внутри вещества и появляется дополнительная проводимость – фотопроводимость. Поглощение фотонов может происходить как в основном веществе – собственный фотоэффект, так в примесях – примесный фотоэффект. Примерами фоторезисторов с собственной проводимостью могут служить приборы из селена, соединений селена с серой, теллура со свинцом, висмутом, таллием или кадмием. Примесные фоторезисторы изготавливают в основном из германия и кремния, которые легированы золотом, медью, свинцом, индием и др. Световая характеристика фоторезисторов, как правило, не линейна. У них большая, чем у вакуумных фотоэлементов, инерционность и зависимость чувствительности от температуры. Достоинством, обуславливающим их применение, является широкий спектральный диапазон фоторезисторов от 0.5 до 150 мкм. При этом следует иметь в виду, что в длинноволновой ИК области можно работать только с глубоко охлажденными приемниками – вплоть до азотных (80 К) или гелиевых (4 К) температур. Это обстоятельство принципиальное, общее для всех фотоэлектрических приборов: дело в том, что энергия фотонов в данной области спектра очень мала и соизмерима с той энергией, которую электрон может получить в результате тепловых колебаний, поэтому при обычных температурах фототок практически не отличим от темнового фототока, обусловленного тепловыми процессами.

Одним из способов пространственного разделения дырок и электронов, возбуждаемых светом, является воздействие на полупроводник магнитного поля (гальваномагнитный эффект).

Гальваномагнитный фотоэлемент (см. рис. 6.6) состоит из полупроводникового монокристалла, размещенного между полюсами постоянного магнита. Поток излучения, поглощаемой поверхностью кристалла, создает вблизи поверхности повышенную концентрацию электронно-дырочных пар, которые диффундируют вглубь кристалла.

Движущиеся электроны и дырки отклоняются магнитным полем в разные стороны, и между электродами, которые расположены в плоскостях, параллельных линиям магнитного поля и падающему световому потоку, устанавливается разность потенциалов. Направления магнитных силовых линий и светового потока взаимно перпендикулярны.

Рис. 6.6. Гальваномагнитный фотоэлемент Основным достоинством гальваномагнитных фотоэлементом является возможность измерения инфракрасных излучений (максимум чувствительности при lmax = 6.2 мкм) при весьма малой инерционности, не превышающей 0.2 мкс, что недоступно для других фотоэлементов и термопреобразователей.

Особый практический интерес представляет проявление фотоэффекта в полупроводниках с p–n-переходом. Благодаря объемному заряду, который образуется вблизи границы p- и n-областей, возникает потенциальный барьер для носителей тока. При поглощении излучения в результате внутреннего фотоэффекта образуются дополнительные носители заряда, которые изменяют потенциальный рельеф и создают ЭДС. Данный эффект носит название вентильного, или фотогальванического.

Вентильный фотоэлемент (см. рис. 6.7) представляет собой полупроводниковый диод, один из электродов которого является полупрозрачным. Световой поток Фх проходит через полупрозрачный электрод, тонкий слой полупроводника n-типа и поглощается в прилегающей к нему части пластинки полупроводника p-типа. В ней вследствие фотоэффекта образуется повышенная концентрация электронно-дырочных пар. Электроны увлекаются ускоряющим полем потенциального барьера и проникают в слой n-полупроводника.

Сопротивление p–n-перехода в обратном направлении Rобр составляет десятки килоом, поэтому избыток основных носителей (дырок) в p-области снижает величину ее электрического сопротивления r. Сопротивление Rобр резко уменьшается с ростом светового потока Фх, т. к. высота потенциального барьера p–n-перехода снижается на значение фото-ЭДС (падение напряжения на сумме сопротивлений pслоя r и нагрузки Rн).

Рис. 6.7. Принцип действия вентильного фотоэлемента.

Таким образом, фото-ЭДС не может превышать величину указанного потенциального барьера, который составляет от 0.1 до 0.3 В.

Вентильный элемент можно рассматривать как источник тока Iф = kФ, но в нагрузку потечет лишь ток Iн = Iф Rобр(Ф)/[Rобр(Ф) + r + Rн] = kФ/[r + Rн/Rобр(Ф) + 1]. (6.14)