«Электротехника и электроника Ч. 1. Электротехника Учебно-методический комплекс Институт машиностроительно - технологический Специальности: 151001.65 технология машиностроения 150104.65 литейное производство черных и ...»

Представим двухполюсник в виде эквивалентного источника ЭДС с параметрами Г и ZГ (рис. 5.4,б) и получим, что в соответствии со вторым законом Кирхгофа искомый ток цепи

U ХХ EГ ZГ

Неизвестные величины Г и ZГ можно найти из опыта холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ). При проведении опыта ХХ (рис. 5.4,в) ветвь с сопротивлением Z размыкается и на ее зажимах возникает напряжение U ХХ, равное ЭДС эквивалентного генератора: U ХХ = Г. При проведении опыта КЗ (рис. 5.4,г) отключаются все ЭДС цепи и заменяются перемычками без сопротивления. Тогда входное сопротивление цепи становится равным сопротивлению эквивалентного генератора: ZВХ =ZГ.

Этот метод расчета основан на фундаментальном физическом принципе суперпозиции. Применительно к электрическим цепям он формулируется следующим образом: ток в любой ветви электрической цепи есть алгебраическая сумма токов в этой ветви от действия каждого из источников энергии этой цепи по отдельности.

Применяя принцип наложения для расчета цепи, следует по очереди оставлять в ней только один источник энергии и для каждой такой схемы рассчитывать токи во всех ее ветвях. Реальные токи ветвей являются результатом наложения этих частных токов от действия каждого источника энергии по отдельности. При формировании схемы с одним каким-либо конкретным источником энергии все ЭДС остальных источников заменяют короткозамкнутыми перемычками, а у источников тока размыкают ветви с током, оставляя в цепи ветви с их внутренними проводимостями источников тока. Заметим, что метод наложения применим только к линейным электрическим цепям, у которых сопротивления ветвей не зависят от величины токов и напряжений и при всех преобразованиях цепей остаются постоянными величинами.

Пример 5.2. Для схемы, представленной на рис. 5.2 и при тех же исходных данных, что в примере 5.1, определить токи всех ветвей цепи, используя метод наложения. Исходные данные: 1=120 В; Z01=(1+j2) Ом;

2=115 В; Z02= (1+j2) Ом; ZН = 10 Ом.

Решение. По очереди рассчитываем токи во всех ветвях цепи от каждого источника энергии по отдельности.

1. Оставляем в схеме только один источник ЭДС 1 и рассчитываем токи во всех ветвях от действия только этого источника (рис. 5.5,а). Сопротивление всей цепи для источника 1:

ZЭ'= Z01+[(Z02·ZН ) / (Z02+ZН )] = 1+j2+[(1+j2)(10)) / (1+j2+10)] = (2,2+j3,6) ток I 1 =1/ZЭ' =120 / (2,2+ j3,6) = (264 j432) / 17,8 = (14,83 j24,26) А;

напряжение ток ток 2. Оставляем в схеме только один источник 2 и рассчитываем токи во всех ее ветвях от действия только этого источника (рис. 5.5,б).

Сопротивление всей цепи для источника 2:

ZЭ'' = Z02 + [(Z01·ZН ) / (Z01 + ZН )] = (2,2 + j3,6) Ом;

ток 2'' =2 / ZЭ'' = 115 / (2,2 + j3,6) = 14,21 j23,26 А;

напряжение U 12 = 2 - 2'' Z02 = 115 [(14,2 j23,26) (1+j2)]= (54,3 j5,14) В;

1''= U 12 / Z01 = (54,3 j5,14) / (1+j2) = (44 j113,42) / 5 = (8,8 j22,68) ток ток 3. Находим реальные токи во всех трех ветвях цепи при одновременном действии обоих источников энергии исследуемой цепи. Сопоставляя направления токов на рис. 5.2 и применяя принцип наложения, получаем 1 = 1' 1''= (14,83 j24,26) (8,8 j22,18) = (6,03 j1,58) А;

2 = 2'' 2' = (14,21 j23,26) (9,17 j23,74) = (5,04 + j0,48) А;

Н = Н' + Н'' = (5,7 j0,54) + (5,43 j0,514) = (11,13 j1,05) А.

Энергетический баланс любой цепи синусоидального тока заключается в том, что сумма комплексных мощностей источников энергии равна сумме комплексных мощностей приемников энергии:

где К – число источников энергии, а М – число приемников энергии цепи.

E k I k Pk jQk, а мощность каждого приемника U m I m Pm jQm, поэтому можно записать:

Таким образом, в любой цепи синусоидального тока сумма активных мощностей всех источников равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощностей всех источников равна сумме реактивных мощностей всех приемников.

Заметим, что баланс мощностей цепи синусоидального тока (как и баланс мощностей цепи постоянного тока) является, фактически, следствием закона сохранения энергии.

3) Сколько уравнений 8) Укажите неизвестные величины, 4) Требуется рассчитать цепь 9) 2. На единицу больше числа узлов.

5. Числу узлов цепи.

5) Сколько уравнений 10) Каковы ограничения на примененадо составить для ние метода контурных токов?

РАЗДЕЛ 3. Резонанс, индуктивно связанные цепи и трехфазные цепи Опорный конспект Тема Опорный конспект Тема Глоссарий Cпециальность Часы В теме 6 рассматриваются вопросы, входящие в третий раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует иcпользовать материал темы 6.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [3].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

условие возникновения резонанса;

резонанс напряжений;

резонанс токов;

закон электромагнитной индукции;

коэффициент взаимной индуктивности;

согласное и встречное включение катушек;

цепь с трансформаторной связью.

Резонансом в цепи, содержащей сопротивления индуктивности и емкости, называется такой режим, при котором ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе. Это обусловлено тем, что реактивные сопротивления и проводимости отдельных участков цепи могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, следовательно, взаимно компенсироваться.

Существует резонанс напряжений и резонанс токов.

6.2. Резонанс в последовательной цепи из элементов R, L, C (резонанс напряжений) Комплексное сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L и C (рис. 6.1), имеет вид Резонанс имеет место, как указано выше, при = 0, что равносильно при последовательном соединении условию Резонанса можно достичь, изменяя или частоту приложенного к цепи напряжения, или индуктивности катушки или емкости конденсатора. При этом значения угловой частоты, при которой наступает резонанс, определяется формулой Частоту 0 называют резонансной частотой. Если реактивные сопротивления x L x C при резонансе превосходят по величине активное сопротивление R, превосходить напряжение на зажимах цепи. Поэтому такой резонанс называют резонансом напряжений.

Отношение определяет кратность превышения напряжения на индуктивности и на емкости над напряжением на зажимах всей цепи. Величину Q, определяющую резонансные свойства контура, называют добротностью контура 6.3. Резонанс в параллельной цепи из элементов R, L,C (резонанс токов) Условием резонанса при параллельном соединении активного индуктивного и емкостного сопротивлений (рис. 6.2,а) является также отсутствие сдвига фаз между током и напряжением на входе цепи.

Комплексная проводимость цепи имеет вид Резонанс имеет место, как указано выше, при = 0, что равносильно при параллельном соединении условию Резонанса токов можно достичь, изменяя или частоту приложенного к цепи напряжения, или индуктивности катушки или емкости конденсатора. При этом значения угловой частоты, при которой наступает резонанс, определяется формулой При резонансе реактивная проводимость цепи равна нулю и полная проводимость цепи достигает своего минимального значения. Поэтому ток в общей ветви I = Uy при неизменном значении оказывается наименьшим в отличие от резонанса с последовательным соединением. Векторная диаграмма при резонансе в рассматриваемой цепи приведена на рис. 6.2,б. При этом токи в индуктивности и в емкости равны и находятся в противофазе. По величине они могут превосходить, а иногда намного, суммарный ток в цепи. Поэтому такой резонанс называют резонансом токов.

определяет кратность превышения токов в индуктивности и токов в емкости над суммарным током всей цепи. Величину Q, определяющую резонансные свойства контура, называют добротностью контура 6.4. Особенности расчета цепей синусоидального тока Если при изменении во времени тока в одной катушке на зажимах второй возникает ЭДC такие катушки называются индуктивно связанными. Это, например, катушки на стальных сердечниках электрических машин и аппаратов, провода линий электропередач, а также многие другие электротехнические устройства.

На рис. 6.3,а показаны две идеальные (без активных сопротивлений) катушки индуктивности.

При протекании в первой катушке синусоидального тока i1 в ней возникает магнитное поле, характеризуемое потокосцеплением самоиндукции L1 w1, где w1 число витков первой катушки, Ф магнитный поток, проходящий через один виток катушки. Это потокосцепление в соответствии с законом электромагнитной индукции индуцирует в первой катушке ЭДС самоиндукции:

Напряжение u1 на этой катушке численно равно этой ЭДС, но направлено в противоположную сторону и поэтому имеет обратный знак:

где L1 = L1i1, L1 индуктивность первой катушки.

В комплексной форме записи это напряжение имеет вид U 1 jL1 I 1, где L1 X L1 индуктивное сопротивление первой катушки.

При наличии магнитной связи между катушками 1 и 2, некоторая часть потокосцепления самоиндукции первой катушки L1 проникает во вторую катушку. Эта его часть M 21 называется потокосцеплением взаимной индукции второй катушки, вызванное током i1 первой катушки.

Потокосцепление M 21 индуцирует во второй катушке ЭДС взаимной индукции е M 21. Отношение потокосцепления взаимной индукции M 21 к току в первой катушке i1 есть взаимная индуктивность этих катушек: М 21 i1 М 21. Взаимная индуктивность также, как и собственная индуктивность, измеряется в генри (Гн). С учетом последнего соотношение ЭДС взаимной индукции второй катушки приобретает вид Аналогичные рассуждения можно привести и для случая, когда синусоидальный ток i 2 протекает только по 2-й катушке (рис. 6.3,б). Потокосцепление самоиндукции L 2 второй катушки индуцирует в ней электродвижущую силу самоиндукции е L 2 (d L 2 dt ). Напряжение на второй катушке равно ей по величине и противоположно по знаку: u 2 е L 2 d L 2 dt L2 di 2 dt. Здесь L 2 L2 i 2, где L2 индуктивность 2-й катушки. В символической форме записи это напряжение имеет вид U 2 jL2 I 2, где L2 X L 2 индуктивное сопротивление 2-й катушки.

Некоторая часть потокосцепления самоиндукции L 2 проникает в первую катушку и образует там потокосцепление взаимной индукции M 12. Оно индуцирует в 1-й катушке ЭДС взаимной индукции е M 12 d M 12 dt. Отношение потокосцепления взаимной индукции M 12 к току во второй катушке i есть взаимная индуктивность этих двух катушек: М 12 i 2 = М12. С учетом этого соотношения ЭДС взаимной индуктивности в первой катушке Заметим, что для линейных электрических цепей взаимная индуктивность двух катушек не зависит от того, каким образом она была определена экспериментально:

Она является их общим параметром и не зависит от величин потокосцеплений и токов, а определяется только конструкцией катушек, их взаимным расположением и магнитными свойствами окружающей среды.

Придвигая катушки друг к другу, мы увеличиваем М, а отодвигая их друг от друга – уменьшаем М. Наибольшей взаимной индуктивностью обладают две катушки, навитые одинаково друг на друга (рис. 6.4,а), а наименьшей расположенные своими осями под углом 90 друг к другу (рис. 6.4,б) или далеко удаленные друг от друга.

При одновременном протекании токов в обеих катушках в соответствии с принципом наложения имеем распределение их магнитных потоков, указанное на рис. 6.5.

Здесь в каждой из катушек индуцируется одновременно две электродвижущие cилы: ЭДС самоиндукции и ЭДС взаимоиндукции. Поэтому напряжения u1 и u2 каждой индуктивно связанной катушки имеют две составляющие: одна из них ( u L ) вызвана действием ЭДС самоиндукции, а другая ( uM ) вызвана действием ЭДС взаимной индукции В формулах (6.2) и (6.3) знаки (+) или () у вторых составляющих напряжений зависят от взаимного направления магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции в катушках.

Знак (+) берется в том случае, когда потоки самоиндукции и взаимной индукции совпадают по направлению. Такое соединение катушек называется согласным включением. Если потоки самоиндукции и взаимной индукции не совпадают по направлению, то берется знак () и такое соединение катушек называется встречным включением.

На рис. 6.6 показаны примеры согласного и встречного включения двух индуктивно связанных катушек.

        Согласное включение                         Встречное включение  На электрических схемах индуктивно связанные катушки изображаются так, как это показано на рис. 6.7.

Переходя к комплексной форме записи напряжений на индуктивно связанных катушках, получаем где jL1 I 1 и jL2 I 2 комплексные напряжения первой и второй катушек, вызванные действиями токов I 1 и I 2 катушек; jMI 2 дополнительная составляющая напряжения первой катушки, вызванная током I 2 второй катушки;

jMI 1 дополнительная составляющая напряжения второй катушки, вызванная током I 1 первой катушки. В уравнениях (6.4) знак (+) соответствует согласному включению катушек, а знак () – встречному включению.

Способ включения индуктивно связанных катушек указывается на ее схеме путем маркировки ”начал” катушек либо в виде жирных точек (знак ), либо в виде звездочек (знак ). При этом действует следующее правило: если токи в катушках направлены к одноименным выводам, то включение катушек является согласным, а если к разноименным выводам - встречным.

6.5. Цепь с трансформаторной связью между катушками Такая цепь представлена на рис. 6.8, у которой катушки не имеют друг с другом проводниковых соединений. Известны параметры обеих катушек R1, R 2, L1, L2, их взаимная индуктивность M, частота и комплексное напряжение U 1. Требуется определить комплексные токи I, I катушек при согласном и встречном их включении.

Решение. Составляем уравнения для левого и правого контуров цепи в соответствии с формулами (6.4) и получаем В этих уравнениях знак (+) у составляющих вида jMI соответствует согласному включению катушек, а знак () – встречному включению.

Заметим, что в уравнениях (6.5) Z Н I 2 U 2.

Обозначаем в этих уравнениях для краткости записи и получаем Решая эту систему уравнений, находим комплексные токи I 1 и I 2 обеих катушек цепи. При решении задачи применяем теорию определителей:

Заметим, что знак () в числителе I 2 соответствует согласному включению катушек, а знак (+) встречному.

Пример 6.1. В цепи с трансформаторной связью двух идеальных (без активных сопротивлений) катушек индуктивности (рис. 6.9) к катушке Х1 приложено синусоидальное напряжение частотой f = 500 Гц, а катушка Х2 разомкнута. Действующее значение тока в катушке Х1 составляет I 1 =10 A, а напряжение на разомкнутых зажимах катушки Х2 составляет U 2 = 50 B. Требуется определить величину взаимной индуктивности M этих катушек.

Решение. При отсутствии активных сопротивлений катушек ( R1 R2 0 ) уравнения (6.7) можно составить только для модулей токов, напряжений и сопротивлений не применяя символического метода.

С учетом, что правый контур цепи разомкнут ( I 2 =0), имеем U 2 I 1 5 Ом. Тогда величина взаимной индуктивности катушек 1. Почему нельзя получить резонанс в цепи в результате изменения величины напряжения на входе цепи?

2. Укажите все возможные варианты изменений в цепи (рис. 6.1), чтобы получить в ней резонанс 3. В условиях примера 6.1 (рис. 6.9) определить комплексный ток цепи при согласном и встречном включении индуктивно связанных катушек, используя символический метод.

4. К цепи с трансформаторной связью двух катушек (рис. 6.6) приложено напряжение, действующее значение которого U1 = 100 B. Индуктивное сопротивление первой катушки Х1 = 10 Ом, а сопротивление взаимной индуктивности ХМ = 5 Ом. Определить действующее значение напряжения U2, индуцированного на разомкнутых зажимах второй катушки.

5. Определить величину коэффициента магнитной связи двух индуктивно связанных катушек, если ХL1 = 9 Ом, ХL2 = 4 Ом, ХМ = 3 Ом.

6. Цепь с последовательным соединением двух идеальных (R=0) индуктивно связанных катушек имеет при согласном их включении Хсогл = 80 Ом, а при встречном включении Хвстр. = 20 Ом. Определить величину сопротивления взаимной индуктивности этих катушек.

В теме 7 рассматриваются вопросы, входящие в третий раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует иcпользовать материал темы 7.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [3].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

достоинство трехфазных цепей;

соединение трехфазной цепи звездой;

соединение трехфазной цепи треугольником;

расчет трехфазных цепей.

Трехфазные цепи синусоидального тока получили широчайшее распространение в электроэнергетике. Они обладают двумя основными преимуществами перед однофазными (двухпроводными) цепями: а) экономией цветного металла при передаче одной и той же мощности, б) возможностью получения вращающегося магнитного поля, на базе которого создан простой и надежный трехфазный асинхронный двигатель.

Источником энергии в трехфазных цепях служит трехфазный генератор, схематическое устройство которого показано на рис. 7.1,а.

I A А EA EС

Генератор состоит из статора (неподвижная часть) и ротора (подвижная часть).

На статоре в специальных пазах на его внутренней поверхности расположены три одинаковые обмотки, сдвинутые друг относительно друга в пространстве на 120. Их начала обозначены заглавными буквами A, B, C.

Ротор генератора представляет собой электромагнит постоянного тока, обмотка которого питается от отдельного источника постоянного тока через два контактных кольца, расположенных на валу. Ротор устроен так, что его магнитное поле распределяется в зазоре вдоль внутренней поверхности статора по закону косинуса. При вращении ротора с некоторой постоянной скоростью его магнитное поле индуцирует в обмотках статора три одинаковые синусоидальные ЭДС, сдвинутые друг относительно друга по фазе на 120. Они образуют симметричную систему, которая в виде векторной диаграммы представлена на рис. 7.1,б. Расположив ЭДС обмотки A вдоль оси вещественных чисел комплексной плоскости, получаем запись ЭДС в следующем виде:

где E А E В EС - действующие значения фазных ЭДС генератора.

Величину e j120 для краткости обозначают буквой а ( e j120 a ) и называют фазовым множителем. Используя его в формулах 7.1, получаем Заметим, что С учетом формул (7.1б) очевидно, что сумма трех векторов симметричной системы фазных ЭДС генератора, показанных на рис.7.1,б, равна нулю:

Разработчиком трехфазных цепей является М.О. Доливо-Добровольский.

Она признана во всем мире как оптимальная система для производства, передачи и распределения электрической энергии.

Если к обмоткам генератора (рис. 7.1,а) подсоединить нагрузочные сопротивления, получится простейшая (несвязанная) трехфазная цепь, состоящая из трех отдельных двухпроводных цепей, называемых фазами. Для отличия друг от друга их обозначают буквами A, B, C. На рис. 7.1,а этими буквами обозначены начала фазных обмоток генератора.

Термин «фаза», употребляемый здесь, следует отличать от термина «фаза», используемого в теории цепей синусоидального тока для обозначения стадии развития синусоиды тока, напряжения или ЭДС.

Несвязанные трехфазные цепи не имеют никаких преимуществ перед однофазными (двухпроводными) и практически не применяются. Обычно трехфазные цепи связывают звездой ( условное обозначение Y ) или треугольником ( условное обозначение ).

При соединении звездой концы всех трех обмоток генератора объединяют в одну общую точку, которая называется нейтральной точкой генератора или нейтралью. Также поступают и с приемниками, которые образуют нейтральную точку (нейтраль) трехфазного приемника. При этом три обратных провода отдельных фаз объединяются в один, и система из шестипроводной становится четырехпроводной, как это показано на рис. 7.2.

Провода, идущие от генератора к приемникам, называются линейными, а провод, соединяющий нейтральные точки генератора и приемника, называется нейтральным. Показанные на этом рисунке направления действия ЭДС, токов и напряжений соответствуют направлениям, принятым в большинстве учебников по теории цепей.

Трехфазная цепь, связанная звездой, имеет ряд особенностей.

1. Токи линейных проводов, не разветвляясь, попадают в фазы приемников, поэтому фазные токи равны токам в линейных проводах: I ф I л.

2. Ток в нейтральном проводе I N равен алгебраической сумме комплексных токов всех трех фаз. В соответствии с 1-м законом Кирхгофа для нейтральной точки приемника ( 0 ) имеем При отсутствии или обрыве нейтрального провода получаем В этом случае, зная два линейных тока, можно легко найти третий ток.

EA U CA UA ZA U AB

U С ZB IB IA

3. Если генератор вырабатывает симметричную систему фазных ЭДС (рис. 7.1,б) и, кроме того, комплексные сопротивления всех трех фаз цепи одинаковы ( Z A Z B Z C Z Ф R jX ), то комплексные токи, определяемые в соответствии с формулой закона Ома I Ф U Ф Z, имеют одинаковые дейстФ вующие значения и сдвинуты друг относительно друга по фазе на 120 (как это показано на рис. 7.2,б). Они образуют симметричную систему фазных токов и при этих условиях I A I B I C 0. Следовательно, ток в нейтральном проводе отсутствует и этот провод фактически не нужен.

Заметим, что на рис. 7.2,б угол arctg Х R соответствует индуктивному характеру фазного сопротивления.

Рассмотренный выше режим работы трехфазной цепи называется симметричным. В этом режиме работают все трехфазные приемники (например, трехфазные двигатели, нагревательные печи). Они имеют три одинаковые обмотки и не нуждаются в нейтральном проводе. Такие трехфазные приемники называют симметричными. Однофазные же приемники (лампы освещения, бытовые приборы) при соединении их звездой требуют наличия нейтрального провода для поддержания одинакового напряжения на всех трех фазах цепи.

4. Трехфазные цепи, связанные звездой, широко используются в электроэнергетике для передачи электромагнитной энергии на большие расстояния.

Упрощенная схема такой цепи показана на рис. 7.3. Эта цепь является трехпроводной и наглядно демонстрирует свои преимущества по сравнению с подачей той же мощности тремя однофазными цепями. Энергетики стремятся включать однофазные приемники энергии так, чтобы нагрузка каждой из трех фаз линии электропередачи (ЛЭП) была равномерной.

Возможная несимметрия в ЛЭП компенсируется нейтральным проводом, в качестве которого используется земля (система с заземленной нейтралью).

5. При связывании звездой (рис. 7.2) различают фазные и линейные напряжения. Фазные напряжения ( U A,U B,U C ) действуют между началом и концом каждой фазы. Их направление принято в соответствии с направлением фазных токов цепи от начала фазы к ее концу (к нейтральной точке 0 ). Линейные напряжения ( U AB, U BC,U CA ) действуют между линейными проводами.

Их направление принято по часовой стрелке.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для каждого из трех контуров, образованных одним линейным и двумя фазными напряжениями, имеем Для построения, например, вектора линейного напряжения U AB надо сложить в соответствии с формулами (7.4) вектор фазного напряжения U A с вектором U B, взятым с обратным знаком: U AB U A (U B ). Если полученный таким образом вектор U AB перенести параллельно самому себе так, чтобы его конец совпал с концом вектора U A, то его начало совпадет с концом вектора U B. Аналогичным образом следует поступить и при построении векторов U BC и U CA : U BC U B (U C ) ; U CA U C (U A ), как это показано на векторной диаграмме рис. 7.4. Перенеся эти векторы параллельно самим себе аналогично предыдущему, получим, что вектор линейного напряжения U BC расположится между концами векторов фазных напряжений U B и U C, а вектор линейного напряжения U CA между концами векторов фазных напряжений U C и U A.

В частном случае, если система векторов фазных напряжений симметрична, то система векторов линейных напряжений также симметрична и образует равносторонний треугольник, из геометрии которого следует, что действующие значения (длины векторов) линейных напряжений в 3 больше действующих значений фазных напряжений.

7.3. Соединение трехфазной цепи треугольником При соединении трехфазной цепи треугольником (рис. 7.5) конец обмотки фазы А генератора соединяется с началом обмотки В, конец обмотки В с началом обмотки С, конец обмотки С с началом обмотки А, образуя замкнутый контур.

Из начала фаз А, В и С генератора отходят три провода к приемникам энергии. Они называются линейными. Направления действия линейных токов I A, I B и I C принято на рис. 7.5 такое же, как и при соединении звездой от генератора к приемнику.

Из начала фаз А, В и С генератора отходят три провода к приемникам энергии. Они называются линейными. Направления действия линейных токов I A, I B и I C принято на рис. 7.5 такое же, как и при соединении звездой от генератора к приемнику.

Заметим, что при соединении треугольником фазные ЭДС генератора и фазные сопротивления приемников удобно здесь обозначать двойными индексами: E A E AB ; EB EBC ; EC ECA ; Z Z ; Z Z ; Z Z. Это же

A AB B BC C CA

относится к фазным токам и фазным напряжениям, направления действия которых принято по часовой стрелке.

E C E CA Е А E А E AВ U AC

Z СА Z AB

Z ВС I ВС В

ЕВ IВ U BС

E В E ВC IС

Трехфазная цепь, связанная треугольником, имеет ряд особенностей  1. Напряжения между линейными проводами ( U л ) одновременно являются и фазными ( U ф ) напряжениями: U л U ф.

2. При связывании трехфазной цепи треугольником различают фазные ( I AB, I BC и I CA ) и линейные ( I A, I B и I С ) токи. Применяя первый закон Кирхгофа к узлам А, В и С трехфазного приемника, получаем следующие соотношения между этими токами:

Эти соотношения в виде векторной диаграммы показаны на рис. 7.6, где представлена симметричная система фазных токов I AB, I BC и I CA и показано, что векторы линейных токов расположены между концами векторов фазных токов. Графические построения здесь подобны построениям для фазных и линейных напряжений на рис. 7.2,а и 7.2,б.

В частном случае, при симметрии системы векторов фазных токов (рис.

7.6) система векторов линейных токов получается также симметричной и образует равносторонний треугольник, из геометрии которого следует, что действующие значения (длины векторов) линейных токов в 3 больше действующих значений фазных токов:

3. Соединение треугольником не применяется для передачи электромагнитной энергии на большие расстояния ввиду того, что токи в линейных проводах больше токов в фазах приемников (в 3 раз при симметричном режиме работы) и это соединение менее экономично по сравнению с соединением звездой.

Трехфазные цепи могут работать в двух основных режимах – симметричном и несимметричном.

а) Симметричный режим работы трехфазной цепи имеет место при следующих двух условиях: генератор вырабатывает симметричную систему ЭДС (рис.7.1,б) и, кроме того, комплексные сопротивления всех трех фаз приемника одинаковы (симметричный приемник). Очевидно, что при симметричном режиме достаточно произвести расчет только одной фазы трехфазной цепи (например, фазы A ). Токи других фаз будут иметь с фазой A одинаковые амплитуды (а также и действующие значения) и сдвинуты по фазе относительно своих фазных напряжений на один и тот же угол ( ). При этом друг относительно друга токи всех трех фаз будут сдвинуты по фазе на 120, как это показано на рис. 7.2,б.

б) Несимметричный режим работы трехфазной цепи имеет место в тех случаях, когда хотя бы одно из двух условий симметричного режима отсутствует. При этом необходимо производить расчеты токов и напряжений всех трех фаз, используя известные методы расчета цепей синусоидального тока.

Пример 7.1. Трехфазная цепь (рис. 7.2,а) состоит из генератора, вырабатывающего симметричную систему ЭДС с действующим значением Е=220 В и симметричного приемника соединенного звездой, сопротивление каждой фазы которого составляет Z A Z B Z C Z ф R 22 Ом. Требуется определить токи и напряжения всех трех фаз приемника, ток в нейтральном проводе, а также построить векторную диаграмму цепи на комплексной плоскости.

Решение. 1. Принимаем направление действия ЭДС, токов и напряжений в данной цепи в соответствии с рис. 7.2,а.

2. Определяем комплексные фазные ЭДС генератора. Для этого совмещаем ЭДС фазы А с осью вещественных чисел (рис. 7.1,а) и получаем 3. Определяем комплексные линейные напряжения приемника. Для этого воспользуемся вторым законом Кирхгофа для контуров цепи, образованных фазными ЭДС генератора и линейными напряжениями трехфазного приемника.

Действующие значения всех трех линейных напряжений одинаковы и составляют Uл = 380 В.

4. Определяем комплексные фазные напряжения приемника. В соответствии со 2-м законом Кирхгофа непосредственно из схемы цепи находим, что при наличии нейтрального провода они равны фазным ЭДС генератора:

Действующие значения всех трех фазных напряжений одинаковы (Uф=220 В) и в 3 раз меньше линейных напряжений (Uл = 380 В).

5. Определяем комплексные фазные (они же линейные) токи приемника, используя закон Ома Действующие значения токов во всех трех фазах цепи одинаковы и составляют Iф = 10 А. Векторы этих токов образуют симметричную систему, и их сумма, определяющая ток в нейтральном проводе I N, в соответствии с формулой (7.3,а) равна нулю. Следовательно, при симметричном режиме работы нейтральный провод для нормальной работы цепи не нужен.

6. Векторная диаграмма токов и напряжений исследуемой цепи представлена на рис. 7.7 в двух вариантах.

В первом варианте (рис. 7.7,а) все векторы исходят из начала координат комплексной плоскости. Во втором варианте (рис. 7.7,б) векторы линейных напряжений перенесены параллельно самим себе так, чтобы они расположились между концами соответствующих векторов фазных напряжений и образовали равносторонний треугольник.

Из этой диаграммы видно, что при симметричном режиме работы достаточно рассчитать токи и напряжения только одной из фаз цепи, например фазы А. Токи и напряжения остальных двух фаз будут такими же по действующему значению, но сдвинуты относительно фазы А по фазе на 120.

Комплексная мощность трехфазной цепи равна сумме комплексных мощностей всех трех ее фаз:

Здесь I A, I B и I C комплексные токи, сопряженные соответствующим комплексным токам фаз I A, I B и I C. С учетом формулы (7.8) для комплексной мощности трехфазной цепи получаем В частном случае, при симметричном режиме работы трехфазной цепи и (7.7) получаем для соединения приемников как звездой, так и треугольником:

Определите показание амперметра электромагнитной системы А.

Несинусоидальные токи, напряжения и переходные процессы Опорный конспект Опорный конспект Контрольная ра- Лабораторная Глоссарий Cпециальность Часы В теме 8 рассматриваются вопросы, входящие в четвертый раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует иcпользовать материал темы 8.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [4].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

разложение несинусоидальной периодической функции в ряд Фурье;

действующие значения несинусоидальных периодических токов и напряжений;

мощность в цепи при несинусоидальных токе и напряжении;

расчет линейных цепей с несинусоидальными ЭДС.

Несинусоидальными периодическими токами и напряжениями называются токи и напряжения, изменяющиеся во времени по несинусоидальному периодическому закону. Они могут возникать в следующих случаях:

1. Источник ЭДС (тока) вырабатывает несинусоидальную ЭДС (ток), а все элементы цепи линейны.

2. Источник ЭДС (тока) вырабатывает синусоидальную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи не линейны.

3. Источник ЭДС (тока) вырабатывает постоянную или синусоидальную ЭДС (ток), а параметры одного или нескольких элементов цепи изменяются периодически во времени.

Расчет таких цепей можно свести к уже хорошо знакомым нам методам расчета цепей с постоянными и синусоидальными ЭДС. Для этого надо разложить несинусоидальную кривую на постоянную и гармонические составляющие.

8.2. Разложение несинусоидальной периодической функции В этой теме мы рассмотрим методы расчета линейных цепей, в которых действует несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи.

Несинусоидальные периодические ЭДС, напряжения и токи можно представить в виде ряда Фурье, который в общем виде содержит постоянную составляющую, основную или первую гармонику, имеющую период, равный периоду самой функции, и высшие гармоники, частота которых в целое число раз больше частоты первой гармоники где U0 – постоянная составляющая, равная среднему значению несинусоидального напряжения за период, U1sin(t+1) – основная или первая гармоника. Она имеет тот же период T = 2/, что и данное несинусоидальное напряжение. Все остальные гармоники, имеющие частоту, не равную частоте, называются высшими гармониками. Номер гармоники означает, во сколько раз угловая частота больше основной частоты. Следует отметить, что число гармоник стремится к бесконечности, а амплитуды по мере увеличения номера гармоники уменьшаются и стремятся к нулю Umin 0. Поэтому обычно можно ограничиться некоторым конечным числом ряда.

Ряд Фурье (8.1) можно записать и в виде суммы синусного и косинусного рядов:

Коэффициенты ряда (8.2) могут быть определены с помощью известных из высшей математики формул.

Если несинусоидальная периодическая функция обладает тем или иным видом симметрии, то при ее разложении в ряд Фурье отсутствуют некоторые составляющие ряда.

8.3. Действующие значения несинусоидальных периодических токов Известно, что действующим значением тока или напряжения называется среднеквадратичное значение их за период, т.е.

(8.3) Примем, что ток несинусоидальный:

Тогда при подстановке (8.4) в (8.3) получаем (вывод можно посмотреть в рекомендованной литературе [1],[2]) аналогично для напряжения Пример 8.1. Мгновенное значение несинусоидального тока представлено в виде ряда Требуется найти действующее значение тока.

Решение. Действующее значение несинусоидального тока определим по выражению 8.5:

8.4. Мощность в цепи при несинусоидальных токе и напряжении Пусть на входе цепи имеется несинусоидальные напряжение и ток Известно, что активная мощность цепи равна При подстановке (8.7) в (8.8) получим Из (8.9) получаем формулу для расчета активной мощности при несинусоидальных токе и напряжении Активная мощность при несинусоидальном режиме согласно (8.10) равна сумме постоянной мощности и активных мощностей всех гармоник.

Полной мощностью называется произведение действующих значений несинусоидальных напряжения и тока Для периодических несинусоидальных процессов вводят понятие о коэффициенте мощности, определяя его из соотношения По аналогии с синусоидальным током вводят понятие о реактивной мощности Q, которая определяется как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник:

Пример 8.2. Известны несинусоидальные ток i и напряжение u на входе цепи:

Требуется определить: активную, реактивную, полную мощности и коэффициент мощности.

Решение. Действующие значения тока и напряжения равны:

Активная мощность:

Реактивная мощность:

8.5. Расчет линейных цепей с несинусоидальными ЭДС Расчет основан на принципе наложения, а именно: мгновенное значение несинусоидального тока в любой ветви в данный момент времени равно алгебраической сумме мгновенных значений отдельных гармоник тока в данный момент времени. В результате этого расчет можно свести к решению n задач с синусоидальными ЭДС (n – число гармоник) и одной задачи с постоянной ЭДС.

Весь расчет можно разделить на следующие этапы:

1. Разложение несинусоидальных источников ЭДС в ряд Фурье, т. е. на постоянную и гармонические составляющие. При этом в зависимости от симметрии кривой ЭДС в ней может отсутствовать постоянная составляющая.

2. Расчет постоянной составляющей тока, если в разложении присутствует постоянная составляющая ЭДС.

3. Расчет мгновенных значений гармоник тока ik комплексным методом.

4. Суммирование мгновенных значений тока отдельных гармоник и постоянi I 0 i1 i 2... i k.

ной составляющей При расчете постоянной составляющей тока необходимо учесть, что индуктивное и емкостное сопротивления соответственно равны так как постоянную составляющую можно представить процессом, у которого частота 0 или = 0.

При расчете гармонических составляющих тока необходимо учесть, что индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты, т. е. от номера гармоники Активное сопротивление в диапазоне низких частот, что имеет место в электротехнике, практически не зависит от частоты и остается таким же, как и при постоянном токе.

Комплексный метод применим к каждой синусоидальной гармонике с учетом ее номера, т. е. необходимо учитывать соотношения (8.15).

Следует отметить, что если гармоники заданы в виде косинуса или синуса с отрицательной амплитудой, то их следует преобразовать в синусы с положительными амплитудами, воспользовавшись известными соотношениями:

Векторные диаграммы имеют смысл только для отдельных гармоник.

Пример 8.3. (этот пример аналогичен задаче 1 из контрольной работы и задачам, предлагаемым на зачете). Для цепи рис. 8.1 дано X L1 L 3 Ом, Требуется определить действующее и мгновенное значения тока на входе цепи и активную мощность.

Решение 1. Постоянная составляющая тока равна 2. Действующее и мгновенное значения тока первой гармоники найдем комплексным методом:

3. Определим действующее и мгновенное значения тока третьей гармоники:

4. Действующее значение тока на входе цепи:

5. Мгновенное значение тока на входе цепи:

6. Активная мощность:

1. Отчего зависит состав гармоник несинусоидального напряжения?

2. Какие математические функции можно разложить в ряд Фурье?

3. Как определить действующие значения тока, напряжения, ЭДС?

4. Как определяется коэффициент мощности в цепях с несинусо-идальными токами?

5. Чему равны индуктивное и емкостное сопротивления в цепи постоянного тока?

6. Какова зависимость индуктивного и емкостного сопротивлений от частоты?

7. Какой принцип положен в основу расчета несинусоидальных периодических токов?

8. Какие составляющие тока можно рассчитывать комплексным методом?

9. Переходные процессы в электрических цепях В теме 9 рассматриваются вопросы, входящие в четвертый раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует иcпользовать материал темы 9.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [4].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

законы коммутации и начальные условия;

классический метод расчета переходных процессов;

расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии;

метод переменных состояния.

В предшествующих разделах курса рассматривались установившиеся процессы в цепях с сосредоточенными параметрами. Напомним, что цепи с сосредоточенными параметрами это такие цепи, для которых с достаточной степенью точности можно считать, что электрическое поле, магнитное поле и выделение тепла сосредоточены на отдельных участках цепи, т. е. параметрам R, C, L отводится определенное отдельное место, при этом их геометрические размеры не учитываются.

Установившимся процессом или режимом называется такой процесс, который протекает в рассматриваемый момент времени при условии, что все изменения (включение или отключение источников, нагрузки, изменение параметров цепи и др.) происходили теоретически при t, практически при достаточно большом времени в прошлом.

Переходный процесс в электрической цепи это переход от одного установившегося режима к другому, отличному от первого. Такие процессы имеют место при коммутации, т. е. при включении или отключении электрических цепей, при достаточно быстром изменении величины и формы напряжения и параметров цепи. Возникновение переходных процессов обусловлено свойством реактивных элементов индуктивности и емкости накапливать энергию электромагнитного поля и возвращать ее во внешнюю цепь в короткий промежуток времени.

На схеме обычно коммутация указывается в виде рубильника со стрелкой. На рис. 9.1,а стрелка означает включение рубильника, стрелка на рис.

9.1,б – отключение.

Весь процесс в электрических цепях можно разделить на три режима:

1. Начальный установившийся режим, который имел место до коммутации.

2. Переходный режим. За его начало обычно принимается момент времени t = 0.

3. Конечный установившийся режим после коммутации, который наступает теоретически при t, а практически, как будет показано ниже, через сравнительно короткое время.

Длительность переходного процесса исчисляется обычно весьма малыми долями секунды, но токи и напряжения за это время могут достигнуть значений значительно больших величин, чем в установившемся режиме, а это может привести к повреждению электрооборудования. Кроме того, в таких областях техники, как электроника, радиотехника, автоматика и др., важно знать о характере переходных процессов, что позволяет определить характеристики систем.

Следовательно, изучение и расчет переходных режимов являются актуальной задачей.

Прежде чем приступить к расчету переходных процессов, рассмотрим два важных вопроса: законы коммутации и начальные условия.

9.2. Законы коммутации. Начальные условия Переходные процессы связаны с изменением магнитной энергии в индуктивности L и электрической энергии в емкости С и запасом этих энергий на момент коммутации.

Энергия магнитного поля в индуктивности и энергия электрического поля в емкости не могут изменяться мгновенно, так как для мгновенного изменения энергии потребовались бы бесконечно большие мощности источников, что физически невозможно.

Если учесть, что индуктивность L и емкость С неизменны, то из соотношения (9.1) следует, что ток и потокосцепление в индуктивности не могут изменяться скачком (мгновенно). Это положение известно под названием первого закона коммутации. Из соотношения (9.2) следует, что напряжение на емкости и его заряд не могут изменяться скачком (мгновенно). Это положение называется вторым законом коммутации.

Для учета влияния энергетического состояния цепи на момент коммутации и для записи законов коммутации введем понятие тока i L (0) в индуктивности и напряжения u C (0) на емкости в последний момент перед коммутацией, а также понятие тока i L (0) в индуктивности и напряжения u C (0) на емкости в первый момент после коммутации. Напомним, что за момент коммутации принято время t = 0. В соответствии с этим законы коммутации можно записать в виде:

первый закон коммутации второй закон коммутации (9.4) Заметим, что напряжение на индуктивности и ток в емкости могут изменяться мгновенно.

Если цепь содержит только активные сопротивления, то запасенная энергия электрического и магнитного полей несоизмеримо мала с выделяющейся тепловой энергией в сопротивлениях, что обусловливает отсутствие переходных процессов в таких цепях. При этом ток и напряжения изменяются мгновенно от первоначально установившегося режима до нового установившегося режима. Независимыми начальными условиями называются токи iL(0) в индуктивностях и напряжения uC(0) на емкостях. В дальнейшем для краткости будем их называть начальными условиями. Если iL(0)=0 и uC(0)=0, то такие начальные условия называются нулевыми. Следует отметить, что характер переходного процесса зависит от начальных условий.

9.3. Применение дифференциальных уравнений к расчету переходных Электромагнитные процессы в электрических цепях описываются дифференциальными уравнениями, составленными согласно первому и второму законам Кирхгофа с использованием уравнений элементов. Порядок дифференциального уравнения определяется тем, сколько в цепи имеется накопителей электрической и магнитной энергии. Если требуется найти ток ik в к-й ветви, то исключая последовательно все токи остальных ветвей, можно получить одно дифференциальное уравнение, содержащее только ток ik и его производные a n, a n 1, a1, a 0 - постоянные коэффициенты, значение которых заЗдесь висит от конфигурации цепи. Правая часть f(t) содержит в себе заданные ЭДС.

Полный интеграл дифференциального уравнения с правой частью равен сумме частного решения этого уравнения и решения того же уравнения без правой части (однородного) 1.

Частное решение уравнения (9.5) дает нам значение тока при t =, т. е. при установившемся режиме, наступившем после коммутации. Характер и величина этой составляющей определяются внешними источниками. Поэтому ее часто называют принужденной составляющей и обозначают как iпр. Например, если источники постоянны, то и принужденный ток iпр = const. Если же ЭДС заданы в виде синусоидальных функций, то iпр также будет синусоидальной функцией. Определение iпр является задачей расчета установившегося режима в цепи, способы и методы которого рассматривались в предыдущих разделах курса 1, 2, 3.

Общее решение физически определяет электромагнитные процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии, за счет запаса энергии в индуктивностях и емкостях, который был в начальный момент времени.

Так как в реальных цепях всегда имеет место рассеяние энергии (преобразование в тепло), то запас энергии будет со временем исчерпан и электромагнитные процессы в цепи прекратятся.

Из этого следует, что общее решение однородного уравнения должно стремиться к нулю при t. Эта составляющая не зависит от внешних источников и поэтому ее часто называют свободной составляющей и обозначают как iсв.

Общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка, как известно из курса математики в случае простых корней, имеет вид где t – время; Ak – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; – корень характеристического уравнения Для получения характеристического уравнения (9.6) необходимо в однородном дифференциальном уравнении заменить i на 1, первую производную тока di dt на, вторую производную на 2 и т. д.

Рассмотренный метод расчета переходных процессов называется классическим. Обратим внимание, что при составлении дифференциальных уравнений в качестве неизвестных необходимо принимать ток iL в индуктивности и напряжение uC на емкости. При таком выборе неизвестных достаточно легко на основании начальных условий и законов коммутации определить постоянные интегрирования.

9.3.2. Расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии индуктивностью Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом магнитной энергии в индуктивности и ее рассеиванием в виде тепла на активных сопротивлениях. Отметим, что цепи, содержащие всего один участок с накопителем магнитной энергии (L), описываются дифференциальным уравнением первого порядка, т. е. такие уравнения содержат только одну производную di L dt.

При расчете установившегося режима в случае постоянных внешних ЭДС необходимо помнить, что сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю.

Ниже рассмотрим пример. Расчет его выполнен по алгоритму, который рекомендуется к применению для других подобных задач.

Пример 9.1. Включение последовательной цепи R, L на постоянное Последовательная цепь R, L (рис. 9.2,а) R =100 Ом и L=2 Гн подключается к постоянному напряжению U =100 В. Требуется определить ток и напряжение на индуктивности в переходном процессе и построить графики зависимостей iL(t), u L(t).

Решение. 1. Определяем начальное условие: i L (0) 0, так как цепь до коммутации была отключена (принимаем, что это было достаточно длительное время).

2. Изображаем электрическую цепь после коммутации (рис. 9.2,б) и на ней указываем направления токов и напряжений 3. Для схемы (рис. 9.2,б) составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Подставляя уравнения элементов L di dt и Ri в уравнение (9.7) и учитывая, что для последовательной цепи i i L, получим Уравнение (9.8) – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

4. Решение уравнения (искомый ток переходного процесса) ищем в виде (9.9) 5. Определяем iпр, который представляет собой установившийся постоянный ток в цепи. Находим его по закону Ома, учитывая при этом, что индуктивное сопротивление при постоянном токе равно нулю:

6. Составляем однородное дифференциальное уравнение:

решением которого будет функция iсв Ае.

7. Составляем характеристическое уравнение для определения корень, которого равен Величина 1 0,02 с называется постоянной времени цепи и имеет размерность времени.

8. Запишем решение (ток в переходном процессе):

9. Согласно первому закону коммутации и начальным условиям 10. Определим постоянную интегрирования А путем подстановки в уравнение (9.10) t = 0 и, учитывая условие п. 9, получим Ток в переходном процессе 11. Напряжение на индуктивности можно определить по уравнению Постоянную времени можно определить графически. Для этого к любой точке функции i L проводят касательную, тогда длина подкасательной на оси времени даст в том же масштабе, что и время, постоянную времени. За длительность переходного процесса принимают время, равное t (4 5). За это время величина тока в переходном процессе будет отличаться от установившегося значения тока менее чем на 1%.

Установившийся режим до коммукоммутации Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом электрической энергии в емкости С и рассеиванием этой энергии в виде тепла на активных сопротивлениях цепи. При составлении дифференциального уравнения следует в качестве неизвестной функции выбрать напряжение uC на емкости. Следует отметить, что при расчете установившихся режимов, т. е. при определении начальных условий и принужденной составляющей, сопротивление емкости в цепях постоянного тока равно бесконечности.

Расчет выполним по тому же алгоритму, что и предыдущий пример.

Пример 9.2. Включение последовательной цепи R, C Цепь (рис. 9.4,а), состоящая из последовательно соединенных сопротивления R = 1000 Ом и емкости С = 200 мкФ, в некоторый момент времени подключается к постоянному напряжению U=60 В. Требуется определить ток и напряжение емкости в переходном процессе и построить графики uC (t), i(t).

Решение. 1. Определяем начальные условия. Начальное условие uC (0) = 0, так как цепь до коммутации была отключена (полагаем достаточно длительное время).

2. Изображаем электрическую цепь после коммутации (рис. 9.4,б), указываем направления тока и напряжений и для нее составляем уравнение по второму закону Кирхгофа 3. Преобразуем уравнение п. 2 в дифференциальное. Для этого, подставив вместо тока i известное уравнение i C du C dt, получим 4. Решение уравнения (искомое напряжение на емкости) ищем в виде 5. Определяем u Спр. Так как в цепи постоянного тока в установившемся режиме сопротивление емкости равно бесконечности (при этом Ri 0 ), то все напряжение будет приложено к емкости. Поэтому 6. Составляем однородное дифференциальное уравнение:

решением которого будет функция u Ссв Aе t.

7. Составляем характеристическое уравнение RC + 1= 0, корень которого равен 8. Запишем решение: uC (t ) uСпр uСсв U Aе t.

9. Согласно второму закону коммутации и начальным условиям 10. Определим постоянную интегрирования А путем подстановки t=0 в уравнение п. Напряжение на емкости в переходном процессе 11. Ток в цепи можно определить по уравнению Графики uC (t) и i(t) представлены на рис. 9.4, в.

1. В каких цепях возможны переходные процессы?

2. Сформулируйте первый и второй законы коммутации.

3. Почему ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно?

4. Почему уравнения, отражающие переходные процессы в цепи, получаются дифференциальными?

5. Какие особенности имеет классический метод расчета переходных процессов?

6. Что влияет на частное решение (принужденную составляющую) дифференциального уравнения?

7. Почему свободная составляющая при t стремится к нулю?

8. Как составить характеристическое уравнение?

9. Что необходимо выбирать в качестве неизвестных дифференциального уравнения?

10. Зачем необходимо определять начальные условия?

11. Как используются законы коммутации при расчете переходных процессов?

12. Каким образом определяются постоянные интегрирования?

13. Как определяется принужденная составляющая переходного процесса?

14. Как графически определить постоянную времени цепи?

15. Какие особенности индуктивности в цепи постоянного тока необходимо учитывать при расчете начальных условий и принужденной составляющей тока iLпр. ?

16. Какую величину требуется выбирать в качестве неизвестной при составлении дифференциального уравнения для цепи, содержащей только один реактивный элемент – емкость и почему?

17. Какую особенность емкостного элемента надо учитывать в цепях постоянного тока при расчете начальных условий и принужденной составляющей u Спр ?

РАЗДЕЛ 5. Нелинейные электрические и магнитные цепи Опорный конспект Опорный В теме 10 рассматриваются вопросы, входящие в пятый раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует использовать материал темы 10.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [4].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

характеристики нелинейных элементов;

нелинейные свойства ферромагнитных материалов;

законы магнитных цепей 10.1. Нелинейные электрические цепи. Общие положения Нелинейными электрическими цепями называются цепи, параметры которых зависят от тока и напряжения. В соответствии с этим определением электрическая цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент, является нелинейной. Строго говоря, все электрические цепи нелинейные, так как их параметры в той или иной степени зависят от тока и напряжения. Например, активное сопротивление проводников зависит от величины тока, поскольку с изменением тока в проводниках меняется их температура. Индуктивность катушек также зависит от величины тока, если магнитная проницаемость материала сердечника зависит от напряженности магнитного поля. Однако во многих практически важных случаях эта нелинейность (зависимость параметров цепи от тока и напряжения) выражена весьма слабо. Это дает нам возможность пренебречь нелинейностью при анализе процессов в таких цепях и применять теорию линейных электрических цепей для расчета многих электротехнических устройств.

Вместе с тем в ряде электротехнических устройств применяются элементы, нелинейные свойства которых проявляются очень сильно. Это полупроводниковые диоды, транзисторы, тиристоры, стабилитроны и т. д. Нелинейные свойства этих элементов используются при создании устройств вычислительной техники, автоматического управления и регулирования, передачи информации, а также для преобразования параметров электрической энергии в выпрямителях и инверторах.

Схемы замещения нелинейных резистивных элементов, например полупроводниковых, могут быть представлены нелинейными сопротивлениями (рис. 10.1,б). Свойства этих элементов описываются вольтамперными характеристиками (ВАХ), зависимостями напряжения на элементе от тока u(i). Такая характеристика приведена на (рис. 10.1,а).

По способу получения различают два типа ВАХ статические и динамические. Статическими называют характеристики, в которых каждая точка дает значение постоянного напряжения при соответствующем значении постоянного тока.

По статическим характеристикам определяют статические и дифференциальные сопротивления нелинейных элементов (НЭ):

Динамическими называют характеристики, устанавливающие связь между напряжением и током при быстром их изменении. Они могут отличаться от статических, вследствие инерционности некоторых процессов в НЭ (нагрева, ионизации и т. д.). По динамическим ВАХ определяют динамическое сопротивление:

По ВАХ НЭ статическое сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона прямой, проведенной из начала координат в соответствующую точку характеристики (рис. 10.1,а):

где k отношение масштабов напряжения и тока. Дифференциальное сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона касательной в данной точке характеристики Как видно из рис. 10.1,а, все эти параметры изменяются при переходе из одной точки характеристики в другую.

10.3. Нелинейные свойства ферромагнитных материалов Для характеристики магнитных свойств различных веществ используют абсолютную магнитную проницаемость веществ: = B/H, где B индукция, Н напряженность магнитного поля. Для сравнительной оценки магнитных свойств применяют относительную магнитную проницаемость r / 0, где 0 410 7 Гн/м магнитная постоянная, равная магнитной проницаемости вакуума. Для пара- и диамагнетиков значение r мало отличается от единицы, практически постоянно. Для этих веществ, которые называют немагнитными, при решении инженерных задач практически можно считать 0. Для ферромагнетиков 0 (r 1), причем магнитная проницаемость для данного вещества не постоянная, а сильно зависит от напряженности магнитного поля, т. е. = f (H).

Эта зависимость обусловлена петлей гистерезиса B = F(H) (рис. 10.2) Известно, что магнитная проницаемость а ферромагнитных материалов переменная величина и зависит от В. Это влечет за собой непостоянство магнитного сопротивления Rм и значительно усложняет расчеты магнитных цепей.

Поэтому для расчета магнитных цепей, содержащих ферромагнитные участки, необходимо располагать кривыми намагничивания, представляющими собой зависимость B = f(H). Эти зависимости получают экспериментальным путем – испытанием замкнутых магнитопроводов с распределенной обмоткой.

Первоначальному намагничиванию образца соответствует кривая, называемая кривой первоначального намагничивания (рис. 10.2).

Если образец подвергать циклическому намагничиванию при изменении напряженности магнитного поля в пределах +Нх до –Нх, то график будет представлять замкнутую кривую, известную под названием петли гистерезиса.

Если процесс циклического намагничивания повторять для постепенно увеличивающихся значений напряженности магнитного поля, то можно получить семейство петель гистерезиса и так называемую предельную петлю гистерезиса, которой соответствует изменение напряженности магнитного поля в пределах от +Нmax до –Нmax, увеличение Н сверх Нmax не повлечет за собой увеличение площади петли гистерезиса.

Предельная петля гистерезиса определяет значение остаточной магнитной индукции и коэрцитивной силы, НС. Кривая, соединяющая вершины петель гистерезиса, называется основной кривой намагничивания. Эти кривые приводятся в справочных руководствах и используются в расчетах магнитных цепей.

Характеристикой катушки индуктивности является зависимость (i ), выражающая связь потокосцепления самоиндукции и тока i в катушке.

Эта характеристика называется вебер-амперной. Если магнитный поток распространяется в линейной среде, например в воздухе, где = 0 = const, то вебер-амперная характеристика линейна (рис. 10.3). Для катушки с ферромагнитным сердечником (i ) нелинейна (рис. 10.3), так как магнитная проницаемость ферромагнитного материала сильно зависит от напряженности магнитного поля. Вебер-амперная характеристика катушки с замкнутым ферромагнитным сердечником имеет тот же характер, что и начальная кривая намагничивания B(H) материала сердечника.

Различают два типа вебер-амперных характеристик статические, получаемые при медленном изменении тока; и динамические, которые получают при достаточно быстрых изменениях тока. Динамическая характеристика отличается от статической из-за магнитной вязкости и вихревых токов.

Из статической характеристики определяют статическую индуктивность:

LСТ i ; из динамической динамическую индуктивность: Ld d di.

При достаточно медленном изменении тока статическая и динамическая характеристики катушки совпадают, и динамическая индуктивность в этом случае равна дифференциальной Ld d / di, определяемой из статической характеристики.

Статическая индуктивность пропорциональна тангенсу угла наклона прямой, проведенной из начала координат в соответствующую точку на характеристике, а динамическая пропорциональна тангенсу угла наклона касательной в этой точке (рис. 10.3):

где k отношение масштабов потокосцепления и тока.

Самыми распространенными устройствами, которые используются в качестве накопителей энергии электрического поля, являются конденсаторы.

Характеристики конденсаторов зависят от свойств диэлектрика, в котором распространяется электрическое поле. В большинстве диэлектриков диэлектрическая проницаемость зависит от напряженности электрического поля E.

В этом случае кулонвольтная характеристика конденсатора q(u) нелинейная.

Аналогично нелинейным сопротивлению и индуктивности вводят понятия статической и динамической емкости:

Нелинейные емкости применяют, например, в радиоэлектронике.

10.6. Нелинейные электрические цепи постоянного тока Задача расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока значительно сложнее аналогичного исследования линейных электрических цепей. Это связано с тем, что при расчете нелинейных цепей неприменимы принцип наложения и методы, основанные на этом принципе. Для анализа простых нелинейных цепей можно эффективно применять графические методы расчета. При расчете сложных нелинейных цепей с помощью первого и второго законов Кирхгофа составляют системы нелинейных алгебраических уравнений, описывающих процессы в этих цепях. В большинстве случаев получить аналитическое решение таких систем уравнений невозможно. Поэтому для их решения широко используются численные методы расчета.

10.6.1. Расчет электрической цепи при последовательном и параллельном соединении нелинейных резистивных элементов Если вольтамперные характеристики нелинейных элементов цепи постоянного тока заданы графическими зависимостями, то расчет такой цепи выполняется графическими методами. Расчет таких цепей производится с использованием законов Кирхгофа.

Рассмотрим цепь (рис. 10.4,а) с последовательным соединением нелинейных элементов U1(I) и U2(I) (приведены на рис. 10.4,б в виде кривых 1 и 2).

Согласно второму закону Кирхгофа где U приложенное напряжение, U1 (I) и U2 (I) напряжения на первом и втором нелинейных элементах.

Элементы соединены последовательно, и в них протекает одинаковый ток I. Поэтому результирующая вольтамперная характеристика нелинейной цепи U(I) определяется кривой 3 на рис. 10.4,б. Она получена в результате сложения ординат кривых 1 и 2 при одних и тех же значениях тока.

По характеристике U(I) находим значение тока I' в цепи при заданном значении приложенного напряжения U'. По этому значению тока определяем падения напряжения U 1 и U 2 на первом и втором элементах по кривым U1 (I) и U2(I).

Если элементы соединены параллельно (рис. 10.5,а) и заданы их вольтамперные характеристики I1 (U) и I2 (U) кривыми 1 и 2 (рис. 10.5,б), то в этой цепи по первому закону Кирхгофа Элементы включены параллельно, и напряжения на первом и втором элементах одинаковы и равны U. Поэтому вольтамперную характеристику цепи (рис. 10.5,б) I (U) (кривая 3) можно получить, суммируя токи (ординаты кривых) при одинаковых значениях U. По кривой I (U) определим значение тока I' при заданном U', а по кривым I1 (U) и I2 (U) находим токи нелинейных элементов I 1 и I 2.

10.7. Аналитическое представление характеристик Характеристики нелинейных элементов задаются в виде кривых или графиков, построенных по экспериментальным данным. Но для аналитических расчетов нелинейных цепей характеристики элементов должны быть представлены аналитическими выражениями. Процесс замены нелинейной характеристики, заданной графиком или таблицей, приближенным математическим выражением называется аппроксимацией.

При подборе математического описания нелинейной характеристики желательно выполнить следующие условия.

Во-первых, аппроксимация должна быть по возможности более точной.

Во-вторых, необходимо, чтобы аппроксимирующее выражение было несложным, так как, чем сложнее выражение, тем труднее дальнейшее решение уравнения, описывающего нелинейную цепь. Поэтому необходим компромиссный выбор между усложнением функции и точностью приближения.

Наиболее распространенной является аппроксимация нелинейных характеристик полиномом Такая аппроксимация широко используется для математического описания вебер-амперных характеристик нелинейных индуктивностей i() с ферромагнитными сердечниками. Достаточно хорошие результаты по точности дает аппроксимация усеченными полиномами вида 10.8. Магнитные цепи с постоянным магнитным потоком Электромагнитные реле, электромагниты, электрические машины и другие устройства, в которых преобразование электрической энергии в механическую производится с использованием энергии магнитного поля, конструируются таким образом, чтобы магнитный поток в них был по возможности наибольшим и сосредоточенным в ограниченной части конструкции. Такой эффект достигается применением ферромагнитных материалов для ферромагнетиков 0, поэтому при одинаковой напряженности магнитного поля H магнитная индукция внутри ферромагнитной конструкции B = H много больше, чем магнитная индукция B = 0H в окружающем пространстве. В таких устройствах магнитный поток вне ферромагнитной конструкции называется потоком рассеяния.

10.8.1. Законы и параметры магнитных цепей Рассмотрим катушку с замкнутым ферромагнитным сердечником (рис. 10. 6). Пренебрегаем потоками рассеяния и считаем, что магнитный поток Ф распределен равномерно по сечению магнитопровода.

Основными уравнениями магнитного поля постоянных токов являются: закон полного тока и принцип непрерывности магнитного потока Полный ток I в уравнении (10.1) для магнитной цепи (рис. 10.6) можно вычислить как сумму токов во всех витках обмоток w1 и w где F по аналогии с электродвижущей силой в электрических цепях называется магнитодвижущей силой. В общем случае для участка магнитной цепи Магнитный поток Ф аналогичен току I в электрических цепях и может быть вычислен на любом участке магнитной цепи как где В магнитная индукция; S сечение магнитопровода; Н напряженность магнитного поля; магнитная проницаемость материала, в котором распространяется магнитный поток.

Отношение магнитодвижущей силы (МДС), равной интегралу напряH dl току Ф, называется магнитным сопротивлением всей цепи:

Такой подход дает возможность записать закон магнитной цепи, связывающий МДС с магнитным потоком:

который аналогичен закону Ома для замкнутой цепи при постоянном токе:

Вычислим МДС F в цепи рис. 10.6 как интеграл от H по замкнутому пути, проходящему по средней линии магнитопровода через точки 1, 2, 3, 4. Рассматриваемый магнитопровод можно разделить на три участка одинакового сечения. Первый участок (1-2-3) с сечением S1 и длиной отрезка средней линии 1. Второй участок (3-4) с сечением S2 и длиной отрезка средней линии 2 и третий участок (4-1) с сечением S3 и длиной отрезка средней линии 3. В результате имеем где UM1, UM2, UM3 магнитные напряжения участков цепи.

Обобщая полученные результаты, можно записать второй закон Кирхгофа для любого контура магнитной цепи:

Рассмотрим магнитное напряжение одного из участков цепи, учитывая, что Bk = k Hk и Фk = Bk Sk т. е. для любого участка магнитные напряжение и сопротивление составляют Принцип непрерывности магнитного потока позволяет записать первый закон Кирхгофа для узла магнитной цепи Рассмотренные выше законы Кирхгофа (10.5,) (10.8) для магнитной цепи позволяют эффективно рассчитывать устройства, в которых используется постоянное магнитное поле, с помощью теории цепей.

1. Чем отличается статическое сопротивление RСТ от дифференциального Rd?

2. Почему вебер-амперная характеристика катушки с ферромагнитным сердечником нелинейна?

3. Чем отличается статическая емкость ССТ от динамической емкости Сd?

4. Каким образом производится расчет нелинейной цепи при последовательном соединении элементов?

5. Каким образом производится расчет нелинейной цепи при смешанном соединении?

6. Что такое аппроксимация?

7. Что такое магнитная цепь?

8. Как производится расчет магнитной цепи при последовательном соединении участков?

9. Дайте формулировку законов Кирхгофа для магнитных цепей.

10. Какие параметры магнитопровода надо знать, чтобы определить его магнитное сопротивление?

В теме 11 рассматриваются вопросы, входящие в пятый раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует использовать материал темы 11.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2], [4].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

электромагнитные процессы в катушке с ферромагнитным сердечником;

электрическая схема замещения дросселя.

Установившийся режим является основным режимом работы электротехнических устройств. Поэтому исследование таких режимов в нелинейных цепях является важной задачей электротехники.

Теоретический анализ процессов в нелинейных электрических цепях оказывается намного сложнее исследования процессов в линейных цепях. Эти процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые составляются на основе первого и второго законов Кирхгофа. В большинстве случаев получить общее аналитическое решение этих уравнений невозможно. Поэтому для расчетов установившихся режимов применяются различные приближенные методы, дающие возможность получить решение для тех или иных типов конкретных устройств с нелинейными элементами.

11.1. Электромагнитные процессы в катушке В современной технике широкое применение находят дроссели, или катушки с ферромагнитными сердечниками. При расчете электротехнических установок с дросселями важно знать схему замещения дросселя идеальными элементами электрической цепи. Такая схема может быть разработана с учетом электромагнитных процессов в этом устройстве. На рис. 11.1 приведена конструктивная схема катушки индуктивности с замкнутым магнитопроводом.

Обмотка подключена к источнику напряжения u. Ток i, протекающий по обмотке, создает магнитный поток Ф, основная часть которого Ф0 замыкается в ферромагнитном сердечнике, так как его магнитная проницаемость много больше магнитной проницаемости окружающей среды (воздуха).

Однако часть магнитного потока ФS замыкается по воздуху и называется магнитным потоком рассеяния.

Уравнение, описывающее электромагнитные процессы [1] в дросселе, имеет вид где R – активное сопротивление обмотки; полное потокосцепление.

(11.2) где w – число витков обмотки дросселя, 0 потокосцепление, обусловленное потоком Ф0, замыкающимся в сердечнике, а S – обусловленное потоком ФS, замыкающимся вне сердечника.

Подставив (11.2) в уравнение (11.1), получим Поток S замыкается по линейной среде (воздуху) с постоянной магнитной проницаемостью 0, и потокосцепление S пропорционально току i. Это дает возможность ввести в рассмотрение линейную индуктивность рассеяния L S, связывающую количественно S и i: S L S i. В результате уравнение примет вид.

Зависимость потокосцепления 0 от тока i нелинейная (рис. 11.2) и определяется свойствами ферромагнитного сердечника. Поэтому данное уравнение является нелинейным. В результате ток несинусоидальный, даже в том случае, если к катушке приложено синусоидальное напряжение.

При анализе электромагнитных процессов в дросселе используем метод эквивалентных синусоид. При этом заменяют несинусоидальные i и Ф0 эквивалентными синусоидами, для которых записывают уравнение в комплексной форме.

Такая форма записи дает возможность разработать схему замещения катушки с ферромагнитным сердечником (рис. 11.3,а) и привести ее векторную диаграмму катушки (рис. 11.3,б). Сопротивление R отражает процессы превращения электрической энергии в тепловую в обмотке дросселя, индуктивность LS связана с магнитным потоком ФS вне сердечника. Причем R и LS – линейные элементы схемы замещения. Процессы в ферромагнитном сердечнике отражаются нелинейными активной проводимостью g0 и индуктивностью с реактивной проводимостью в0.

1. Что является потоком рассеяния?

2. По какому пути замыкается основная часть магнитного потока?

3. Почему уравнение дросселя для мгновенных значений токов и напряжений является нелинейным?

4. Укажите, какие физические процессы отражает каждый элемент на схеме замещения дросселя.

РАЗДЕЛ 6. Электрические машины конспект Опорный конспект Тема Опорный конспект Тема Контрольная ра- Лабораторная Глоссарий Специальность Часы В теме 12 рассматриваются вопросы, входящие в шестой раздел рабочей программы. Для изучения данной темы следует использовать материал темы 12.

Эти вопросы также разобраны в [1], [2].

Обратите особое внимание на ключевые моменты этой темы, которыми являются:

назначение и принцип действия трансформатора;

холостой ход трансформатора;

нагрузка трансформатора;

схемы замещения;

режим короткого замыкания;

внешняя характеристика трансформатора;

КПД трансформатора.

Трансформатором называется статический электромагнитный аппарат, служащий для преобразования электрической энергии переменного тока с одними параметрами в электрическую энергию с другими параметрами (напряжение, ток, форма и начальная фаза), при этом частота остается неизменной.

Чем выше напряжение, тем при той же передаваемой мощности будет меньше значении тока и тем меньше получается требуемое сечение проводов линии передач Поэтому на электрических станциях выгодно повышать напряжение до сотен тысяч вольт, а затем передавать энергию по проводам к месту потребления, где напряжение должно понижаться до обычно применяемых величин 220, 380 В и т. д. Повышение напряжения до линии передач и понижение его после линии передач осуществляется трансформаторами Устройство трансформатора схематично показано на рис. 12.1. На замкнутом сердечнике, собранном из листовой электротехнической стали, помещены две обмотки с числом витков w1 и w2. Обмотка, к зажимам которой подводится электрическая энергия, называется первичной; обмотка, к зажимам которой подключается потребитель, называется вторичной.

Протекающий по первичной обмотке переменный ток вызывает образование переменного магнитного потока Ф. Этот поток сцеплен с обеими обмотками и вызывает в каждой из них переменную ЭДС. Поэтому вторичная обмотка может рассматриваться как источник переменного напряжения. Трансформатор, изображенный на рис. 12.1, является двухобмоточным. Если на сердечнике несколько обмоток, то такой трансформатор называют многообмоточным.

Величина ЭДС, индуктируемая в одном витке первичной и вторичной обмоток, находится на основании закона электромагнитной индукции:

Для изменяющего гармонического магнитного потока где и m – мгновенное и амплитудное значения потока.

Обозначим амплитудное значение ЭДС в одном витке:

тогда Таким образом, индуктированная ЭДС отстает по фазе от потока на /2.

Найдем действующее значение ЭДС в одном витке, поделив максимальное значение на 2 :

Если в первичной обмотке w1 витков, а во вторичной w2 витков, то полная ЭДС каждой обмотки будет Отношение ЭДС первичной и вторичной обмоток или отношение их чисел витков называется коэффициентом трансформации:

Для понижающих трансформаторов 1 > 2 и k > 1. Для повышающих 1 < 2 и k R0 (напряжение в последовательной цепи прямо пропорционально величине сопротивления). Осциллограф имеет два канала. Канал А фиксирует напряжение на исследуемом элементе, воспринимает напряжение на этом элементе. Канал В подключается параллельно измерительному сопротивлению R0 и воспринимает напряжение на нем. Напряжение на активном сопротивлении пропорционально току цепи (току исследуемого элемента). Поэтому напряжению на экране осциллографа в канале В соответствует синусоида тока цепи.

Скопировать экран монитора аналогично рис. 4 при помощи клавиши Prt Scr. Нажатие этой клавиши позволяет занести в буфер обмена содержимое экрана монитора, которое затем можно вставить в необходимый документ.

Анализируя полученные графики u и i, убедиться в том, что в цепи с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе.

Рядом с графиком u и i построить в тех же масштабах векторную диаграмму тока и напряжения цепи для амплитудных или действующих значений. Указать на этой диаграмме угол сдвига фаз.

8. Собрать цепь, содержащую только индуктивность L и последовательно соединенное с ней измерительное сопротивление R0 (рис. 4). При этом начальная фаза напряжения может быть выбрана любой и отличатся от ее значения на осциллографе, например выбрать u 0, как на рис. 9. Собрать цепь с индуктивностью L. Установить заданную величину индуктивности (табл. 1). Действующее значение напряжения источника Uвх установить в пределах 510 В. Измерить ток и напряжение в индуктивности L и полученные данные занести в табл. по форме 1.

Рассчитать величину индуктивного сопротивления xL и индуктивности L цепи, воспользовавшись формулами (6) и (8). Полученные значения xL и L занести в соответствующую графу табл. по форме 1 и сопоставить величину L с установленным согласно варианта значением. Убедиться в том, что в пределах погрешностей измерений и погрешностей вычислений элементов цепи значения параметров практически совпадают.

10. Настроить осциллограф и получить на его экране синусоиды тока и напряжения на индуктивности.

11. Анализируя полученные графики u и i, убедиться в том, что в цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения по фазе на четверть периода, то есть на 90 или / 2 радиан.

Рядом с графиками u и i построить в тех же масштабах векторную диаграмму тока и напряжения цепи для амплитудных или действующих значений. Указать на этой диаграмме угол сдвига фаз.

12. Собрать цепь, содержащую только емкость C и последовательно соединенное с ней измерительное сопротивление R0.

13. Установить заданную величину емкости (табл. 1). Действующее значение напряжения источника Uвх установить в пределах 510 В. Измерить ток и напряжение в емкости С и полученные данные занести в табл. по форме 1.

Рассчитать величину емкостного сопротивления xC и емкость C цепи по формулам (7) и (8). Полученные данные занести в табл. по форме 1 и сопоставить рассчитанное значение C с установленным согласно варианта значением. Убедиться в том, что в пределах погрешности измерений и погрешности исполнения элементов цепи эти значения практически совпадают.

14. Настроить осциллограф и получить на его экране синусоиды тока и напряжения на емкости.

Анализируя полученные графики, u и i убедиться в том, что в цепи с емкостью ток опережает напряжение по фазе на четверть периода, то есть на 90 или / 2 радиан.

Рядом с графиком u и i построить в тех же масштабах векторную диаграмму тока и напряжения цепи для амплитудных или действующих значений тока и напряжения. Указать на этой диаграмме угол сдвига фаз.

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Титульный лист (указать специальность и шифр студента) 2. Схемы всех исследуемых цепей, соответствующие им графики u и i, а также векторные диаграммы.

3. Основные расчетные соотношения.

4. Таблица по форме 1 с результатами измерений и вычислений.

5. Краткие выводы.

Литература: [1], c. 32…

5. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Чем отличаются идеализированные элементы электрической цепи от реальных элементов?

2. Почему в данной работе в качестве идеализированных элементов можно использовать резистор, катушку индуктивности и конденсатор?

3. Для некоторой цепи известны напряжение и ток:

Требуется определить:

действующие значения напряжения и тока цепи;

угол сдвига фаз между напряжением и током цепи;

характер цепи индуктивной или емкостной.

Построить графики зависимости тока и напряжения цепи от времени.

Построить векторную диаграмму цепи.

4. В цепи с активным сопротивлением измерены действующие значения тока и напряжения I = 1A; U = 10 B. Требуется определить величину активного сопротивления.

Записать ток и напряжение в виде синусоид, если частота цепи f = 1000 Гц, а начальная фаза напряжения u = 60. Построить графики зависимости тока и напряжения от времени. Построить векторную диаграмму цепи.

5. В цепи с индуктивностью измерены действующие значения тока и напряжения U =10 B, I = 1A. Требуется:

определить величину индуктивного сопротивления xL;

определить величину индуктивности L, если частота цепи f =1590 Гц;

записать ток и напряжение в виде синусоид, если частота цепи f = 1590 Гц, а начальная фаза напряжения u = 360;

построить векторную диаграмму цепи.

6. В цепи с емкостью измерены действующие значения тока и напряжения цепи: U = 10 B; I = 1 A. Требуется:

определить величину индуктивного сопротивления xС;

определить величину индуктивности С, если частота цепи f = 1590 Гц;

записать ток и напряжение в виде синусоид, если частота цепи f =1590 Гц, а начальная фаза напряжения u = 60;

построить векторную диаграмму цепи.

7. Как зависят активное сопротивление R, индуктивное сопротивление xL и емкостное сопротивление xС от частоты приложенного напряжения?

8. Индуктивное сопротивление цепи составляет 8 Ом. Как изменится это сопротивление, если частоту приложенного напряжения увеличить в два раза?

Исследование разветвленной цепи синусоидального тока

1. ЦЕЛЬ И ПРОГРАММА РАБОТЫ

Экспериментальное исследование разветвленной электрической цепи с одним источником синусоидального напряжения и ее анализ комплексным методом (символическим).

1. Экспериментальное определение параметров всех элементов исследуемой цепи;

2. Проверка справедливости законов Кирхгофа при помощи векторной диаграммы цепи;

3. Расчет электрической цепи комплексным методом и сопоставление его результатов с опытом.

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

В данной работе исследуется цепь со смешанным соединением трех комплексных сопротивлений Z1, Z2 и Z3. Рассматривается одна из двух схем такой цепи: с последовательно-параллельным (рис. 5,а) и параллельно-последовательным (рис. 5,б) соединением этих элементов.

Задача расчета состоит в определении токов во всех ветвях цепи при известных параметрах, заданном действующем значении приложенного к цепи напряжения и частоте сети. Расчет производится символическим методом с использованием преобразований цепи либо к последовательному, либо к параллельному соединению ее элементов.

Порядок расчета цепи с последовательно-параллельным соединением комплексных сопротивлений (рис. 5,а) 1. Определяется эквивалентное комплексное сопротивление цепи Zэ:

2. Определяется комплексное действующее значение тока I :

При этом начальная фаза приложенного напряжения может быть принята равной нулю, т. е. Ue j Ue j 0 U.

3. Определяется комплексное действующее значение напряжения на участке цепи с параллельным соединением Z2 и Z 4. Определяется комплексное действующее значение тока I 2 :

5. Определяется комплексное действующее значение тока I 3 :

Проверка решения осуществляется по первому закону Кирхгофа для одного из узлов цепи. Например, для узла a имеем I I должна быть практически равна комплексному току I.

Порядок расчета цепи с параллельно-последовательным соединением комплексных сопротивлений (рис. 5,б) 1. Определяется эквивалентная комплексная проводимость всей цепи Y э :

2. Определяется комплексное действующее значение тока цепи I :

Начальную фазу приложенного напряжения можно принять равной нулю, т.е. Ue Ue U.

3. Определяется комплексное действующее значение тока I :

4. Определяется комплексное действующее значение напряжения U :

5. Определяется комплексное действующее значение напряжения U :

6. Определяется комплексное действующее значение тока I :

Проверка решения осуществляется по первому закону Кирхгофа для одного из узлов цепи или по второму закону Кирхгофа для одного из контуров цепи. Например, для узла а имеем I I I ; для левого контура (на схеме указано направление его обхода) имеем U U U.

Если расчет произведен верно, то сумма комплексных токов I I должна быть практически равна комплексному току I, а сумма комплексных напряжений U U должна быть практически равна комплексному напряжению цепи U.

В качестве элементов исследуемой цепи применяются резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы, которые в диапазоне используемых частот принимаются идеализированными элементами цепи, т.е. полагают, что резистор обладает только сопротивлением R, катушка индуктивности обладает только индуктивностью L и конденсатор обладает только емкостью C.

Комплексные сопротивления таких элементов записываются следующим образом:

В данной работе студенты исследуют одну из цепей, составленных из комбинации идеализированных элементов ZR, ZL, ZC (рис. 5). Векторные диаграммы для этих цепей приведены в общем виде (без масштабов).

Экспериментальное исследование параметров цепи Для экспериментального определения параметра любого идеализированного элемента цепи достаточно измерить действующие значения тока и напряжения на этом элементе. Отношение действующих значений напряжения и тока дает полное сопротивление z этого элемента. Для идеализированных элементов цепи эти соотношения дают:

Зная частоту f приложенного к цепи напряжения, легко рассчитать индуктивность и емкость:

При построении векторной диаграммы используются данные измерений действующих значений токов и напряжений на всех элементах цепи, а также учитывается то обстоятельство, что все элементы цепи можно считать идеализированными. Предварительно следует выбрать масштабы токов и напряжений так, чтобы векторная диаграмма заполнила весь тетрадный лист.

При построении векторной диаграммы целесообразно руководствоваться следующими рекомендациями.

Для схемы 1 (рис. 6) построение удобно начинать с вектора напряжения U и отложить его на диаграмме в произвольном направлении, например вертикально. Вектор тока I в сопротивлении Z 2 Z R совпадает по фазе с вектором напряжения U. Вектор тока I в сопротивлении Z3 опережает вектор напряжения U по фазе 90. Вектор общего тока цепи I в соответствии с первым законом Кирхгофа определяется как геометрическая сумма векторов I и I т. е. I I I. При этом действующее значение общего тока цепи, полученное в результате непосредственных измерений, должно практически совпадать с его значением, полученным при построении векторной диаграммы.

После нахождения вектора общего тока цепи I определяется и положение вектора U. Этот вектор опережает вектор тока по фазе 90. При геометрическом сложении векторов U и U получаем в соответствии со вторым законом Кирхгофа вектор общего напряжения цепи действующее значение приложенного напряжения, полученное в результате непосредственных измерений, должно практически совпадать с его значением, полученным при построении векторной диаграммы.

Для схемы 2 (рис. 6) построение следует начинать с вектора приложенного напряжения U и отложить его на диаграмме в произвольном направлении. Вектор тока I опережает вектор приложенного напряжения по фазе 90. Вектор тока I отстает по фазе от вектора приложенного напряжения на угол arctg xL R. Параметры xL, xC и R к моменту построения векторной диаграммы уже известны. Вектор общего тока цепи I в соответствии с первым законом Кирхгофа определяется как геометрическая сумма векторов I и I, Векторы напряжений U и U находятся путем разложения вектора U на две составляющие: U на активном сопротивлении Z1 = R, совпадающую по кулярную вектору тока I. В соответствии со вторым законом Кирхгофа Указания к записи токов и напряжений в виде комплексных чисел Всякий вектор на плоскости, изображающий синусоидальный ток или напряжение, может быть записан в виде комплексного числа. Для этого векторную диаграмму токов и напряжений цепи следует совместить с комплексной плоскостью, координатная система которой состоит из взаимно – перпендикулярных осей вещественных чисел и мнимых чисел так, чтобы всякий вектор на плоскости изображающий синусоидальный ток или напряжение, может быть записан в виде комплексного числа. Для этого построенную в процессе выполнения данной работы векторную диаграмму следует совместить с комплексной плоскостью так, чтобы вещественная ось комплексной плоскости совпала с приложенным напряжением U (рис. 6). Тогда U Ue U, и при расчете цепи можно пользоваться формулами, приведенными в разделе 2. При этом рассчитанные теоретически и построенные экспериментально векторные диаграммы должны практически совпасть.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. «Собрать» схему, представленную на рис. 6, в соответствии со своим вариантом. Номер схемы и ее параметры указаны в табл. 2. При этом номер варианта должен быть равен последней цифре шифра студента. В каждую из трех ветвей схемы ввести амперметр для последующего измерения действующего значения тока и параллельно каждому элементу подсоединить вольтметр.

Скопировать схему с экрана монитора для последующего представления ее в отчете по лабораторной работе. Напоминаем, что нажатие клавиши Prt Scr позволяет занести в буфер обмена содержимое экрана монитора, которое затем можно вставить в необходимый документ.

2. Измерить действующие значения токов и напряжений на всех элементах цепи и действующее значение напряжения источника. Не забудьте перевести приборы в режим измерения переменного тока (АС). Занести полученные значения в табл. по форме 2.

f, Гц 2000 3000 2000 3000 2000 3000 2000 3000 R, Ом 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 3. Определить параметры всех элементов схемы, считая их идеализированными. Полученные расчетные данные занести в табл. по форме 3.

4. Построить векторную диаграмму цепи, используя результаты измерений токов и напряжений. Предварительно следует выбрать масштабы токов и напряжений таким образом, чтобы векторная диаграмма полностью занимала отдельный лист отчета. Проверить соответствие графических построений первому и второму законам Кирхгофа.

5. Произвести теоретический расчет цепи символическим методом, считая известными действующее значение приложенного напряжения U и сопротивления всех элементов цепи (табл. по форме 2 и 3). Принять при расчетах начальную фазу приложенного напряжения равной нулю, т. е. совместить ось вещественных чисел комплексной плоскости с вектором U, приложенного напряжения. Положение комплексной плоскости показано на векторных диаграммах рис. 6. Результаты расчетов занести в табл. по форме 4 для схемы 1 и в табл. по форме 5 для схемы 2.

6. Сопоставить результаты расчета с опытом. Для этого на комплексной плоскости, сориентированной относительно построенной векторной диаграммы так, как это показано на рис. 6, построить расчетные значения векторов токов и напряжений, убедиться в их хорошем соответствии с опытными данными.

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Копия экрана монитора со схемой исследуемой цепи.

2. Таблицы с опытными и расчетными результатами.

3. Векторная диаграмма.

Литература: [1], c. 52…

5. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Как соотносятся между собой ток и напряжение в индуктивности; ток и напряжение в емкости?

2. Начальная фаза напряжения, приложенного к емкости, составляет +30. Какова начальная фаза тока в этой емкости?

3. Начальная фаза тока в индуктивности составляет 60. Какова начальная фаза напряжения, приложенного к этой индуктивности?