«УДК 53 (023) ББК 22.3я721+74.262.22 М82 Учебное издание Варламов С. Д., Зинковский В. И., Семёнов М. В., Старокуров Ю. В., Шведов О. Ю., Якута А. А. М82 Задачи Московских городских олимпиад по физике. 1986 – 2005: Под ...»

Полученную нами оценку можно немного уточнить. Следует отметить, что излученный свечкой свет отражается от искривлённой поверхности, наклонённой под большим углом ( 45 ) к падающему пучку. Поэтому лучи света, идущие от свечки в пределах прямого кругового конуса с очень малым углом раствора, после отражения от шара будут идти внутри конической поверхности практически эллиптического сечения, причём вертикальная полуось эллипса в 2 раз меньше горизонтальной. Из-за этого в момент, когда человек будет находиться на определённом нами расстоянии r1 от шара, в его зрачок будет попадать в 2 раз больше лучистой энергии, чем было испущено свечкой в пределах угла. Следовательно, на самом деле человек увидит отражение свечки с несколько большего расстояния, чем r1, а именно, с расстояния 4 2r1 1,19r1 58 м.

4.35*. Будем считать малыми размеры экрана телевизора по сравнению с расстоянием r от него до лампы. Паразитная освещённость E экрана обратно пропорциональна r2 и пропорциональна косинусу угла падения света лампы на экран. Поскольку Рис. 4.35.

r = H/ sin, где H — высота лампы над столом (см. рис. 4.35), то где введено обозначение x = cos. Максимум функции f (x) = x x можно найти из уравнения откуда xmax = cos max = 1/ 3. Таким образом, паразитная засветка максимальна, когда свет лампы падает на экран телевизора под углом а расстояние до экрана равно l = H ctg max = H/ 2.

4.36. Поскольку расстояния от громкоговорителей до микрофона по условию много больше расстояния между соседними громкоговорителями l, то сдвиг фаз между звуковыми волнами, приходящими к микрофону M от двух соседних громкоговорителей, равен (см. рис. 4.36) и можно считать, что амплитуды A волн, приходящих к микрофону от всех трёх громкоговорителей, одинаковы. Тогда звуковые колебания в точке M происходят по закону:

x(t) = A cos(t + ) + A cos t + A cos(t ) = A cos t(1 + 2 cos ).

Таким образом, микрофон не зарегистрирует звука (x(t) = 0) при cos = 1/2, то есть min = 2/3. Это возможно при минимальном расстоянии между громкоговорителями 4.37*. Разность фаз набегает за счёт двух эффектов.

(а) Благодаря эффекту Допплера (см. решение задачи 4.3.) частота световой волны, идущей в направлении вращения столика, увеличивается, а частота световой волны, идущей в противоположном направлении — уменьшается. Поскольку угол между направлением светового луча и скоростью источника равен /3, для изменения частоты волны, идущей по направлению движения источника имеем:

Здесь v = R — скорость источника, = 2f — круговая частота световой волны. Аналогично для световой волны, идущей против направления движения источника, получаем:

Таким образом, за счёт эффекта Допплера набегает разность фаз где t = 3R 3/c — время, за которое свет доходит от источника к примнику.

(б) Благодаря вращению системы длины путей, которые проходят световые волны, различны (см. рис. 4.37). Обозначим угловое расстояние между источником «И» во время испускания света и приёмником «П» во время приёма световой волны через. Кроме того, введём вспомогательные углы = и Длина пути для волны, испущенной в направлении вращения, равна Для волны, идущей в противоположном направлении, длина пути равна Поэтому разность длин путей для первой и второй волн равна За счёт этого набегает дополнительная разность фаз Обе разности фаз 1 и 2 имеют одинаковый знак и поэтому складываются:

4.38. Так как радиус экрана много больше расстояния между соседними интерференционными полосами, то его участок вблизи точки A, на котором располагаются эти полосы, можно считать плоским.

Круговая частота колебаний, соответствующих волне с длиной, распространяющейся со скоростью c, равна = 2c/.

Угол, который образует направление волны, падающей вдоль радиуса BO (см. рис. 4.38), с рассматриваемой частью экрана, равен 1 =.

Для второй волны соответствующий угол равен 2 =. Расстояние x между двумя соседними максимумами на экране находится из условия изменения разности фаз обеих волн на 2:

4.39. Так как нам требуется получить оценку, будем считать, что в одном байте содержится 10 бит, и пренебрежём площадью центральной части компакт-диска, где нет записи. Тогда получается, что на площади S = D2 /4 записано N = 10W бит информации, а значит, на поверхности диска имеется N углублений. Таким образом, на одно углубление приходится площадь. При максимальной плотности записи размер углубления должен быть порядка длины волны, поскольку в противном случае интерференция света, одновременно отражающегося от соседних углублений, сделает чтение информации с диска невозможным (точнее говоря, технически существенно более сложным).

Поэтому Рассуждая аналогично, придём к выводу, что при использовании лазера на нитриде галлия с длиной волны = 0,36 мкм на компактдиск можно было бы записать информацию объёмом что составляет примерно 16 часов стандартной звуковой записи.

4.40. Для оценки будем считать и Солнце, и стакан абсолютно чёрными телами. Они излучают по одному и тому же закону:

N = T 4 S, где N — полная излучаемая мощность, S — площадь поверхности тела, а — некоторая постоянная. Вычислим её по данным, приведённым в условии для Солнца и Земли:

где радиус Солнца R d · /2. Отсюда Мощность, теряемая стаканом за счёт излучения, равна где S0 150 см2 — площадь поверхности стакана, T0 20 C = 293 K — температура окружающей среды (её необходимо учитывать!), T 90 C = 383 K — средняя температура остывающего стакана. Отсюда находим, что N0 14 Вт.

Считая теряемую стаканом мощность приблизительно постоянной, можно оценить время остывания m = 200 г воды на t = 20 C, используя уравнение теплового баланса: cmt = N0, где удельная теплоёмкость воды c = 4200 Дж/(кг · C). С учётом этого получаем 1200 с 20 мин.

На самом деле стакан чая остывает значительно быстрее. Следовательно, вклад теплового излучения в процесс остывания воды не слишком велик по сравнению со вкладами испарения и теплопроводности. Однако при изготовлении термосов, когда потери тепла из-за испарения и теплопроводности сведены к минимуму (жидкость помещают в закрытую колбу с вакуумной рубашкой), принимают специальные меры и для уменьшения потерь на излучение — колбу серебрят. При этом хорошо отражающая и слабо поглощающая тепловое излучение плёнка серебра на стенках стеклянной колбы также слабо испускает это излучение, поэтому содержимое термоса может долго оставаться горячим или холодным. Для хранения жидкого гелия используют сосуды Дьюара, у которых между стенками откачанной оболочки имеется многослойная «экранно-вакуумная» изоляция из металлизированной полимерной плёнки, позволяющая снизить вклад излучения в общий теплоподвод к содержимому сосуда во много раз.

4.41. Будем считать, что и астероид, и Солнце излучают и поглощают тепловое излучение, как абсолютно чёрные тела. Пусть радиус астероида r, радиус Солнца R, а расстояние от астероида до Солнца L.

Угловой диаметр Солнца равен = 2R/L. На астероид попадает доля тепла, излучаемого Солнцем, равная, что соответствует тепловой мощности, получаемой астероидом от Солнца, Такую же мощность должен излучать и сам астероид, причём для оценки будем считать, что его поверхность из-за быстрого вращения и хорошей теплопроводности равномерно нагрета до температуры T. Поэтому N = 4r2 T 4. В результате получаем:

4.42*. Свет, падая на шарик с одной стороны, нагревает её (вообще говоря, неравномерно). Примем, что температура освещённой стороны повышается на некоторую максимальную величину T, причём T T0. Шарик тепла не проводит, поэтому поступающая к нему энергия идёт, во-первых, на излучение, а во-вторых, на обмен теплом с окружающим газом. Оценим вклад каждого из этих видов теплоотдачи в энергообмен шарика с окружающей средой.

Мощность, рассеиваемая при излучении с единицы поверхности шарика, составляет (в последнем выражении мы пренебрегли малыми слагаемыми, пропорциональными второй и более высоким степеням T ).

Если с единицей поверхности шарика в единицу времени сталкивается N молекул газа, и при каждом ударе молекуле отдаётся энергия W, то всего в окружающую среду таким образом отдаётся мощность Для оценки будем считать, что к поверхности шарика движется 1/6 часть всех молекул аргона, имеющих одинаковые скорости v=. Поскольку концентрация молекул в сосуде составляет Заметим, что обе величины W1 и W2 пропорциональны T, поэтому их отношение одинаково для всех участков нагретой поверхности шарика:

Таким образом, W2 W1, то есть можно пренебречь теплообменом шарика с окружающим его газом и считать, что вся поступающая к единице поверхности шарика мощность Wпост в дальнейшем рассеивается путём переизлучения. Поэтому для оценки величины изменения температуры нагретой стороны шарика там, где свет падает перпендикулярно его поверхности, имеем:

Остаётся выяснить, под действием какой силы при освещении горизонтальным пучком света шарик отклоняется от положения равновесия. Вначале оценим силу светового давления на шарик, действующую в горизонтальном направлении и возникающую из-за поглощения импульса падающего пучка и дальнейшего изотропного переизлучения света:

(здесь c — скорость света). Кроме этой силы, надо учесть взаимодействие неравномерно нагретого шарика с окружающим его разреженным газом — так называемую «радиометрическую» силу. Давление газа на освещённую (и поэтому более нагретую) часть шарика больше, чем на неосвещённую, так как молекулы при столкновении с освещённой половиной приобретают бльшую энергию, а значит, и уносят больший импульс. Величину добавочного давления на освещённую часть шарика можно оценить, приняв, что в среднем температура нагретой стороны равна T0 + (T /2). Тогда:

Следовательно, действующая на шарик средняя сила давления со стороны газа, направленная горизонтально, равна так что силой светового давления можно пренебречь по сравнению с радиометрической силой.

В вертикальном направлении на шарик действует сила тяжести:

Под действием этих двух сил, уравновешиваемых силой натяжения нити, шарик отклоняется от исходного равновесного положения так, что нить составляет с вертикалью некоторый угол. Поскольку Fд Fт, то Fд /Fт, и искомое смещение шарика от положения равновесия:

4.43. Для того, чтобы лампа взлетела, нужно, чтобы действующая на неё реактивная сила была больше веса лампы mg. Каждый фотон с частотой уносит импульс /c. Следовательно, если за время t испускается n фотонов, то уносимый ими за единицу времени импульс равен. Таким образом, лампа взлетит, если При этом мощность лампы N должна удовлетворять условию что составляет около 50% максимальной мощности Красноярской ГЭС!

4.44*. Рассмотрим отражение фотона от движущегося поршня, причем будем считать поршень нерелятивистской частицей массой m.

Пусть v и — скорость поршня и частота фотона до столкновения, v и — после столкновения. Направим ось X в сторону движения поршня и запишем законы сохранения импульса и энергии в процессе столкновения. Учитывая, что энергия фотона даётся формулой Ef =, а импульс — формулой pf =, получим:

откуда для изменения частоты фотона = имеем:

Если в некоторый момент времени t расстояние между поршнем и дном цилиндра равно L, то интервал между двумя последовательL ными столкновениями фотона с поршнем равен t =, а изменение расстояния между поршнем и дном за время t составляет Следовательно, то есть L+L = 0. Отсюда (L) = 0, а значит, L = const. Полученное соотношение представляет собой уравнение адиабаты для одномерного «однофотонного газа».

Если объём цилиндра уменьшается в k раз, то и его длина уменьшается во столько же раз. Значит, в соответствии с уравнением адиабаты, частота фотона должна возрасти в k раз, то есть = k0.

4.45. Частица находится в точках А и Б (и испускает свет) в разные моменты времени. Так как l1 < l2 (см. чертёж в условии), то частица движется от точки Б к точке А — в противном случае свет, испущенный в точке Б, приходил бы к прибору П всегда позже, чем свет, испущенный в точке А. Запишем условие того, что свет от точек Б и А приходит к прибору П одновременно. Обозначая время движения частицы от Б к А через t и принимая во внимание, что скорость света в жидкости с показателем преломления n равна c/n (c — скорость света в вакууме), получим:

Отсюда t = (l2 l1 ), и искомая скорость частицы:

Видно, что в правую часть последней формулы входит отношение длин l и l2 l1. Так как схема опыта приведена в определённом масштабе, то для получения численного значения скорости можно просто измерить все длины на чертеже линейкой и подставить получившиеся числа в выражение для v. Сделав это, получим, что l 19 мм, l1 32 мм, l2 45 мм, и v 0,9c.

Следует отметить, что скорость частицы в данном эксперименте превышает фазовую скорость света в жидкости, которая равна c/n 0,63c. Излучение движущейся таким образом частицы называется излучением Вавилова – Черенкова (или черенковским излучением).

4.46. Обозначим количество атомов каждого изотопа непосредственно после взрыва сверхновой через N0. Тогда через время T1 после взрыва количество атомов 235 U стало равно N0 /2, через время 2T1 — стало равно N0 /22, и так далее. Очевидно, что через время t = nT после взрыва, равное n периодам полураспада 235 U, количество атомов этого изотопа стало равно N1 = N0 /2n. Аналогично, за то же самое время t = kT2, равное k периодам полураспада 238 U, количество атомов данного изотопа стало равно N2 = N0 /2k. По условию задачи, Отсюда Учитывая, что t = nT1 = kT2, получаем систему из двух уравнений относительно неизвестных n и k. Решая её, найдём, например, k:

Значит, искомое время t равно Этот результат хорошо согласуется с возрастом Солнечной системы ( 5 млрд лет) и с возрастом Земли ( 4 млрд лет), определёнными другими способами.

Программа V (заключительного) этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике Программа 9 класса Измерение физических величин. Погрешность измерения. Построение графика по результатам эксперимента, выбор переменных.

Механическое движение. Относительность движения. Система отсчёта.

Координаты. Материальная точка. Траектория. Путь и перемещение. Средняя и мгновенная скорость. Ускорение. Прямолинейное движение. Свободное падение.

Движение по окружности. Частота обращения. Угловая скорость. Центростремительное ускорение.

Механические колебания. Амплитуда, период, частота колебаний. Механические волны. Длина волны. Звук.

Взаимодействие тел. Трение. Упругая деформация. Инерция. Масса.

Импульс. Первый закон Ньютона. Инерциальная система отсчёта. Сила.

Принцип суперпозиции сил. Второй закон Ньютона. Силы в природе: сила тяготения, сила тяжести, сила трения, сила упругости. Закон всемирного тяготения. Искусственные спутники Земли. Третий закон Ньютона. Закон сохранения импульса. Ракеты.

Работа. Мощность. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия.

Закон сохранения механической энергии.

Элементы статики. Момент силы. Условие равновесия твёрдого тела.

Давление. Атмосферное давление. Гидростатическое давление. Передача давления твёрдыми телами, жидкостями и газами. Закон Паскаля. Закон Архимеда. Гидравлический пресс. Уравнение Бернулли.

Применение законов Ньютона и законов сохранения импульса и энергии для анализа и расчёта движения тел. Простые механизмы. КПД механизмов.

Методы исследования механических явлений Измерительные приборы: измерительная линейка, штангенциркуль, часы, мерный цилиндр, динамометр, барометр. Измерение расстояний, промежутков времени, силы, объёма, массы, давления. Графики изменения со временем кинематических величин.

Молекулярная физика. Термодинамика Гипотеза о дискретном строении вещества. Непрерывность и хаотичность движения частиц вещества. Диффузия. Броуновское движение. Модели газа, жидкости и твёрдого тела. Плотность. Взаимодействие частиц вещества.

Внутренняя энергия. Температура. Термометр. Теплопередача. Необратимость процесса теплопередачи. Связь температуры с хаотическим движением частиц. Тепловое расширение твёрдых тел и жидкостей. Температурные коэффициенты линейного и объёмного расширения. Особенности теплового расширения воды. Количество теплоты. Удельная теплоёмкость. Удельная теплота сгорания топлива. Закон сохранения энергии в тепловых процессах.

Испарение жидкости. Удельная теплота парообразования (конденсации). Влажность воздуха. Кипение жидкости. Плавление твёрдых тел.

Применение основных положений молекулярно-кинетической теории вещества для объяснения разной сжимаемости твёрдого тела, жидкости и газа; процессов испарения и плавления; преобразования энергии при плавлении и испарении вещества. Удельная теплота плавления (кристаллизации).

Преобразования энергии в тепловых двигателях.

Методы исследования тепловых явлений Измерительные приборы: термометр, манометр, гигрометр. Измерение температуры, давления газа, влажности воздуха. Графики изменения температуры вещества при его нагревании и охлаждении, кипении и плавлении.

Электродинамика Электризация тел. Электрический заряд. Взаимодействие зарядов. Два вида электрического заряда. Закон сохранения электрического заряда. Электрическое поле. Действие электрического поля на электрические заряды.

Постоянный электрический ток. Сила тока. Напряжение. Электрическое сопротивление. Электрическая цепь. Закон Ома для участка цепи. Преобразование энергии при нагревании проводника с электрическим током. Носители электрических зарядов в различных средах.

Взаимодействие магнитов. Магнитное поле. Взаимодействие проводников с током. Действие магнитного поля на электрические заряды. Электродвигатель.

Электромагнитная индукция. Преобразование энергии в электрогенераторах.

Электромагнитные волны. Скорость распространения электромагнитных волн. Равенство скоростей электромагнитной волны и света. Свет — электромагнитные волны. Прямолинейное распространение. Луч. Отражение и преломление света. Закон отражения света. Плоское зеркало. Закон преломления света. Линза. Фокусное расстояние.

Методы исследования электромагнитных явлений Измерительные приборы: амперметр, вольтметр, счётчик электрической энергии. Измерение силы тока, напряжения, сопротивления проводника.

Расчёт простейшей электрической цепи. Построение изображения в плоском зеркале, собирающей и рассеивающей линзе. Оптические приборы.

Атомная физика Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома. Радиоактивность.

Альфа-, бета- и гамма-излучения. Атомное ядро. Протонно-нейтронная модель ядра. Зарядовое и массовое число. Изотопы.

Ядерные реакции. Деление и синтез ядер. Сохранение заряда и массового числа при ядерных реакциях. Применение законов сохранения для расчёта простейших ядерных реакций. Энергия связи частиц в ядре. Выделение энергии при делении и синтезе ядер. Излучение звёзд. Ядерная энергетика.

Методы наблюдения и регистрации частиц в ядерной физике. Дозиметрия.

Программа 10 класса Принцип относительности Галилея.

Закон всемирного тяготения. Движение под действием силы тяготения.

Первая космическая скорость. Невесомость.

Сила упругости. Закон Гука. Закон сохранения импульса. Работа силы.

Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Упругий и неупругий удар.

Математический маятник. Гармонические колебания. Амплитуда, частота, период, фаза колебаний. Свободные колебания. Вынужденные колебания. Автоколебания. Резонанс. Волны. Длина волны. Скорость распространения волны. Уравнение гармонической волны.

Молекулярная физика. Термодинамика Основы молекулярной физики. Экспериментальные основания молекулярно-кинетической теории. Опыты Штерна и Перрена. Масса и размеры молекул. Количество вещества. Моль. Постоянная Авогадро.

Термодинамика. Тепловое равновесие. Температура. Связь температуры со средней кинетической энергией частиц вещества. Постоянная Больцмана. Абсолютный нуль. Количество теплоты. Теплоёмкость. Первый закон термодинамики. Адиабатический процесс. Второй закон термодинамики и его статистическое истолкование. Тепловые машины. КПД теплового двигателя.

Идеальный газ. Давление газа. Связь между давлением и средней кинетической энергией молекул идеального газа. Уравнение Менделеева– Клапейрона. Работа при изменении объёма идеального газа. Изопроцессы.

Жидкость и твёрдое тело. Относительная влажность. Кипение. Зависимость температуры кипения жидкости от давления. Насыщенный и ненасыщенный пар. Зависимость давления насыщенного пара от температуры.

Психрометр. Гигрометр. Кристаллические и аморфные тела. Поверхностное натяжение. Смачивание. Капиллярные явления. Деформация.

Электростатика Электрический заряд. Элементарный заряд. Закон Кулона. Электрическое поле. Напряжённость электрического поля. Потенциальность электрического поля. Разность потенциалов. Принцип суперпозиции полей. Проводники в электрическом поле. Электрическая ёмкость. Конденсатор. Диэлектрики в электрическом поле. Поляризация диэлектриков. Энергия электрического поля конденсатора. Плотность энергии.

Постоянный электрический ток Электрический ток. Носители свободных электрических зарядов в металлах, жидкостях и газах. Сила тока. Работа тока. Напряжение. Мощность тока. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной электрической цепи. Сопротивление при последовательном и параллельном соединении проводников. Шунты и добавочные сопротивления. Правила Кирхгофа.

Полупроводники. Собственная и примесная проводимость полупроводников, pn – переход.

Программа 11 класса В программу 11 класса включается весь материал программ 9 и 10 классов, а также следующие темы.

Магнитное поле Индукция магнитного поля. Сила Ампера. Сила Лоренца. Магнитный поток.

Электромагнитное поле. Закон электромагнитной индукции Фарадея.

Вихревое электрическое поле. Самоиндукция. Индуктивность. Электромагнитные колебания в колебательном контуре. Переменный ток. Производство, передача и потребление электрической энергии.

Идеи теории Максвелла. Электромагнитное поле. Электромагнитные волны. Свойства электромагнитных волн. Радио. Телевидение.

Волновые свойства света Свет — электромагнитные волны. Скорость света и методы её измерения. Интерференция света. Когерентность. Дифракция света. Дифракционная решётка. Поляризация света. Закон преломления света. Призма. Дисперсия света. Формула тонкой линзы. Получение изображения при помощи тонкой линзы. Оптическая сила линзы. Глаз. Очки. Лупа. Микроскоп. Зрительная труба. Фотоаппарат. Проекционный аппарат.

Основы специальной теории относительности Инвариантность скорости света. Принцип относительности. Пространство и время в специальной теории относительности. Релятивистский закон сложения скоростей. Закон взаимосвязи массы и энергии.

Квантовая физика Тепловое излучение. Постоянная Планка. Фотоэффект. Опыты Столетова. Фотоны. Опыты Вавилова. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

Корпускулярно-волновой дуализм.

Гипотеза Луи де Бройля. Дифракция электронов. Боровская модель атома водорода. Спектры. Люминесценция. Лазеры.

Закон радиоактивного распада. Нуклонная модель ядра. Энергия связи нуклонов в ядре. Деление ядра. Синтез ядра. Ядерная энергетика. Элементарные частицы. Фундаментальные взаимодействия.

Варианты заданий Московских городских олимпиад школьников по физике для 8-х – 11-х классов 1. К одному концу нити, перекинутой через блок, подвешен груз массой M, изготовленный из материала плотностью 1. Груз погружен в сосуд с жидкостью плотностью 2. К другому концу нити подвешен груз массой m (см. рисунок). При каких значениях m груз массой M в положении равновесия может плавать в жидкости? Трения нет.

2. Через два неподвижных блока, находящихся на одной высоте, перекинута длинная лёгкая нить, к концам которой прикреплены два груза одинаковой массы К задаче 1.

(см. рисунок). Нить начинают медленно оттягивать вниз за точку, находящуюся посередине между блоками. График зависимости силы F, прикладываемой к нити, от смещения x этой точки приведён на рисунке. Найдите приблизительно массу m каждого из грузов.

Трения нет.

3. В люстре 6 одинаковых лампочек. Она управляется двумя выключателями, имеющими два положения — «включено» и «выключено». От коробки с выключателями к люстре идут три провода. Лампочки в люстре либо:

а) все не горят;

б) все горят не в полный накал;

в) три лампочки не горят, а три горят в полный накал.

Нарисуйте возможные схемы электрической цепи.

1. На прямой дороге находятся велосипедист, мотоциклист и пешеход между ними. В начальный момент времени расстояние от пешехода до велосипедиста в 2 раза меньше, чем до мотоциклиста. Велосипедист и мотоциклист начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 20 км/ч и 60 км/ч соответственно. В какую сторону и с какой скоростью должен идти пешеход, чтобы встретиться с велосипедистом и мотоциклистом в месте их встречи?

2. Система из двух сообщающихся вертикальных цилиндров, заполненных жидкостью плотностью, закрыта поршнями массами M и M2. В положении равновесия поршни находятся на одной высоте.

Если на поршень массой M1 положить груз массой m, то поршень массой M2 поднимется после установления равновесия на высоту h относительно начального положения. На какую высоту относительно начального положения равновесия поднимется поршень массой M1, если груз массой m положить на поршень массой M2 ? Трения нет.

3. В фарфоровую чашку массой mф = 100 г, находящуюся при комнатной температуре Tк = +20 C, наливают m1 = 150 г горячего кофе при температуре T1 = +90 C. Затем достают из холодильника брикет мороженого, имеющий температуру T2 = 12 C, и серебряной ложкой (масса ложки mлож = 15 г) кладут понемногу мороженое в кофе, каждый раз размешивая его. Так поступают до тех пор, пока не установится температура T3 = +45 C, когда кофе приятно пить. Оцените, сколько граммов мороженого надо положить для этого в кофе? Потерями тепла пренебречь. Считать известными удельные теплоёмкости воды Cв = 4,2 Дж/(г · C), льда Cл = 2,1 Дж/(г · C), серебра Cс = 0,23 Дж/(г · C), фарфора Cф = 0,8 Дж/(г · C) и удельную теплоту плавления льда = 340 Дж/г.

1. Автомобиль в 12 час. 40 мин. находился на пути из Анискино в Борискино где-то между 25-м и 50-м километровыми столбами.

Мимо отметки 75 км автомобиль проехал где-то между 13 час. 50 мин.

и 14 час. 20 мин. В 15 час. 10 мин. он находился между 125-м и 150-м километровыми столбами. Когда следует ожидать прибытия автомобиля в Борискино, если он движется с постоянной скоростью, а на въезде в Борискино стоит километровый столб с отметкой 180 км?

2. К рычагу, закреплённому на дне водоёма, прикреплены на нитях два сферических поплавка радиусом R (см. рисунок). В случае, если рычаг удерживать в горизонтальном положении, центры поплавков расположены на глубине h > R. На каких глубинах будут расположены центры поплавков, если отпустить рычаг и дождаться установления равновесия? Массами поплавков и рычага пренебречь. Концы рычага в положении равновесия не касаются дна, а AB : AC = 2 : 1.

Считать, что AC > h.

3. Физик хочет изготовить немного льда из дистиллированной воды. Для этого он наливает в открытый сосуд M = 1 кг воды при температуре T1 = 20 C и начинает понемногу подливать в сосуд кипящий жидкий азот (которого в лаборатории много), имеющий температуру T2 = 196 C. При этом смесь воды и жидкого азота всё время энергично перемешивается. Когда весь азот из сосуда испаряется, его доливают ещё, и так много раз, до получения желаемого количества смеси воды со льдом. Какая масса m жидкого азота уйдёт на то, чтобы превратить в лёд половину массы воды? Теплоёмкостью сосуда и его теплообменом с окружающей средой можно пренебречь. Удельная теплоёмкость воды C = 4200 Дж/(кг · C), удельная теплота плавления льда = 3,4 · 105 Дж/кг, удельная теплота парообразования азота L = 2,0 · 105 Дж/кг.

1. Вдоль железной дороги через каждые 100 м расставлены столбики с номерами 1, 2,..., 10, 1, 2,..., 10,.... Через 2 минуты после того, как кабина машиниста равномерно движущегося поезда проехала столбик с цифрой «1», машинист увидел в окне столбик с цифрой «2». Через какое время после проезда этого столбика кабина машиниста может проехать мимо ближайшего столбика с цифрой «3»? Скорость поезда меньше 100 км/ч.

2. Ванна, одна из стенок которой представляет собой наклонную плоскость, заполнена водой с плотностью в. В ванну медленно погружают длинный тонкий круглый карандаш, удерживая его нитью за верхний конец, который перемещают вниз вдоль наклонной стенки (см. рисунок). Какая часть карандаша должна погрузиться в воду, чтобы нижний конец перестал касаться стенки? Плотность карандаша к = (3/4)в.

3. Горячий суп, налитый доверху в большую тарелку, охлаждается до температуры, при которой его можно есть без риска обжечься, за время t = 20 мин. Через какое время можно будет есть суп с той же начальной температурой, если разлить его по маленьким тарелкам, которые также заполнены доверху и подобны большой? Известно, что суп из большой тарелки помещается в n = 8 маленьких, и что количество тепла, отдаваемое в единицу времени с единицы поверхности каждой тарелки, пропорционально разности температур супа и окружающей среды.

1. Художник нарисовал «Зимний пейзаж» (см. рисунок). Как вы думаете, в каком месте на Земле он мог писать с такой натуры?

2. На краю крыши висят сосульки конической формы, геометрически подобные друг другу, но разной длины. После резкого потепления от T1 = 0 C до T2 = 10 C самая маленькая сосулька длиной l = 10 см растаяла за время t = 2 часа. За какое время растает большая сосулька длиной L = 30 см, если внешние условия не изменятся?

3. Цилиндрический оловянный брусок массой M = 1 кг и высотой H = 10 см, подвешенный к одному концу коромысла равноплечих весов так, что ось цилиндра вертикальна, погружен на h = 2 см в воду, находящуюся в стакане с площадью сечения S = 25 см2, и удерживается в этом положении при помощи противовеса, подвешенного к другому концу коромысла. На сколько изменится уровень воды в стакане, если изменить массу противовеса на m = 80 г? Плотность олова о = 7,2 г/см3, плотность воды в = 1 г/см3. Считайте, что брусок не касается дна стакана, а вода из стакана не выливается.

1. В широкий сосуд налит слой жидкости толщиной h2 и плотностью 2, поверх него — слой другой жидкости, не смешивающейся с первой, толщиной h1 и плотностью 1 < 2. На поверхность жидкости положили плоскую шайбу толщиной h и плотностью. Найдите зависимость установившейся глубины погружения H нижней плоскости шайбы от и постройте график этой зависимости. Считайте h < h1, h2.

Силами поверхностного натяжения пренебречь. Шайба всегда сохраняет горизонтальное положение.

2. Школьник утром вскипятил чайник и стал его остужать, чтобы успеть попить чай до ухода в школу. Он обнаружил, что температура чайника понизилась со 100 C до 95 C за 5 минут, пока чайник стоял на столе на кухне, где температура воздуха была 20 C. Школьник решил ускорить остывание чайника, для чего засунул его в холодильник, где температура составляла 0 C. При этом температура чайника понизилась от 95 C до 90 C за 4 мин 12 сек. Решив ещё ускорить остывание, школьник выставил чайник за окно, на улицу, где температура была равна 20 C. За сколько времени чайник остынет на улице от 90 C до 85 C?

3. В двух калориметрах налито по 200 г воды — при температурах +30 C и +40 C. Из «горячего» калориметра зачерпывают 50 г воды, переливают в «холодный» и перемешивают. Затем из «холодного»

калориметра переливают 50 г воды в «горячий» и снова перемешивают. Сколько раз нужно перелить такую же порцию воды туда-обратно, чтобы разность температур воды в калориметрах стала меньше 1 C?

Потерями тепла в процессе переливаний и теплоёмкостью калориметров пренебречь.

1. Два корабля находятся в море и движутся равномерно и прямолинейно. Первый в полдень был в 40 милях севернее маленького острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направлении на восток.

Второй в 8 часов утра этого же дня был в 100 милях восточнее того же острова и двигался со скоростью 15 миль в час в направлении на юг.

На каком минимальном расстоянии друг от друга прошли корабли и в какой момент времени это случилось?

2. В два одинаковых сообщающихся сосуда налита вода (см. рисунок). В один их них кладут ледяной шарик объёмом V = 100 см3, который через небольшое время, после установления уровня воды в сосудах, оказался погруженным в воду ровно наполовину. Какая масса воды перетекла при этом во второй сосуд и какая перетечёт потом, в процессе таяния льда? Плотность воды в = 1000 кг/м3, плотность льда л = 900 кг/м3.

3. В калориметр, в котором находилось m0 = 100 г воды при температуре T0 = 20 C, по каплям с постоянной скоростью начинают наливать горячую воду постоянной температуры. График зависимости температуры T воды в калориметре от времени t изображён на рисунке. Найдите температуру горячей воды, считая, что между падением капель в калориметре каждый раз успевает установиться тепловое равновесие. Потерями тепла пренебречь.

4. Школьницы Алиса и Василиса решили изготовить самодельные вольтметры из имеющихся в школьной лаборатории миллиамперметров. Алиса соединила миллиамперметр последовательно с резистором сопротивлением R1 = 1 кОм и приклеила на прибор шкалу напряжений, показывающую произведение текущего через миллиамперметр тока I на R1. Василиса собрала ту же схему, используя другой резистор с сопротивлением R2 = 2 кОм, и приклеила шкалу, показывающую произведение IR2. Школьницы решили испытать свои приборы, подключив их к схеме, изображённой на рисунке, с неизвестным напряжением батарейки и неизвестными сопротивлениями резисторов. Прибор Алисы при подключении к контактам 1 и 2 показал напряжение U12 = 1,8 В, к контактам 2 и 3 — напряжение U23 = 1,8 В, к контактам 1 и 3 — напряжение U13 = 4,5 В. Что покажет прибор Василисы при подключении к тем же парам контактов? Внутренним сопротивлением батарейки и миллиамперметров пренебречь.

1. На старинных кораблях для подъёма якоря использовался кабестан — ворот, представлявший собой цилиндрическое бревно, к которому прикреплены одинаковые длинные ручки (см. рисунок). Матросы, отвечавшие за подъём якоря (якорная команда), наваливались на концы ручек, в результате чего ворот вращался, и якорная цепь наматывалась на бревно. Капитан, собираясь в дальнее плавание, приказал утяжелить якорь, после чего выяснилось, что прежняя якорная команда с трудом поднимает якорь только до поверхности воды. Чтобы исправить ситуацию, капитан распорядился переделать ворот. Пренебрегая трением и массой цепи, найдите, во сколько раз нужно удлинить ручки кабестана, чтобы прежняя якорная команда могла поднимать новый якорь до борта. Плотности воды и материала якоря 1 г/см3 и 8 г/см соответственно.

2. Пассажир автобуса, едущего вдоль прямого канала с водой, наблюдает за световым бликом, который отбрасывается спокойной поверхностью воды от фонаря, стоящего на противоположном берегу канала. Найдите скорость движения блика по поверхности воды относительно берегов канала, если высота фонаря над поверхностью воды H, высота глаз пассажира над поверхностью воды h, скорость автобуса v.

3. У квадратного стола со стороной L = 1 м и высотой H = 1 м одна ножка на a = 3 см короче остальных, и стол может качаться. Если поставить стол ровно, то он стоит, но достаточно лёгкого толчка, чтобы он накренился на короткую ножку. Для того, чтобы после этого стол вернулся в первоначальное положение, нужно поставить на угол, противоположный короткой ножке, грузик массой m = 300 г. Найдите массу крышки стола, пренебрегая массой ножек. Считайте ножки тонкими и расположенными под углами крышки стола.

4. Сплошной шарик из алюминия диаметром d = 1 см бросили в 50%-ный раствор азотной кислоты. В данных условиях с одного квадратного сантиметра поверхности растворяется 104 г алюминия в час.

Через какое время шарик полностью растворится в кислоте? Плотность алюминия = 2,7 г/см3.

1. Тело движется по прямой. График зависимости его скорости v от координаты x приведён на рисунке. Найдите ускорение тела в точке с координатой x = 3 м. Найдите также максимальное ускорение тела на отрезке от 0 до 5 м.

2. «Хитрый» продавец на рынке торгует рыбой, взвешивая её на весах, сделанных из палки и верёвки (см. рисунок), причём не обманывает покупателей. Покупателю разрешается взвесить рыбу самому, но при условии, что рыба помещается только на левую чашку весов и не снимается до момента расплаты. Продавец разрешает провести максимум два взвешивания, предоставляя покупателю набор гирь. Как определить массу понравившейся вам рыбы? «Коромысло» весов с пустыми чашками занимает горизонтальное положение.

3. Кусок однородного гибкого каната массой M = 10 кг находится на горизонтальном столе. На один из концов каната действует сила F = 50 Н, при этом 2/3 каната неподвижно лежат на столе. Найдите возможные значения коэффициента трения каната о стол. Считайте, что все точки каната находятся в одной вертикальной плоскости.

4. В калориметре плавает в воде кусок льда. В калориметр опускают нагреватель постоянной мощности N = 50 Вт и начинают ежеминутно измерять температуру воды. В течение первой и второй минут температура воды не изменяется, к концу третьей минуты увеличивается на T1 = 2 C, а к концу четвёртой ещё на T2 = 5 C. Сколько граммов воды и сколько граммов льда было изначально в калориметре? Удельная теплота плавления льда = 340 Дж/г, удельная тепломкость воды C = 4,2 Дж/(г · C).

1. Один корабль идёт по морю на север с постоянной скоростью узлов, а другой — навстречу ему, на юг, с такой же скоростью. Корабли проходят на очень малом расстоянии друг от друга. Шлейф дыма от первого корабля вытянулся в направлении на запад, а от второго — на северо-запад (см. рисунок). Определите величину и направление скорости ветра. 1 узел = 1 морская миля в час, 1 морская миля = 1852 м.

2. В вертикальную стену вбиты два гвоздя так, что они лежат на одной вертикальной прямой. Кусок однородной проволоки массой m согнули в дугу в виде половины окружности и шарнирно прикрепили за один из концов к верхнему гвоздю A (см. рисунок). Дуга при этом опёрлась на нижний гвоздь B. Найдите величину силы, с которой проволока давит на верхний гвоздь, если известно, что в отсутствие нижнего гвоздя, когда проволока находится в равновесии, диаметр AC дуги составляет с вертикалью угол 0. Расстояние между гвоздями равно радиусу дуги. Трения нет.

3. В системе, изображённой на рисунке, блоки имеют пренебрежимо малые массы, нить невесомая и нерастяжимая, не лежащие на блоках участки нити горизонтальны. Массы грузов, лежащих на горизонтальной плоскости, одинаковы и равны M. Нить тянут за свободный конец в горизонтальном направлении с силой F. С каким ускорением движется конец нити, к которому приложена эта сила? Трения нет, движение грузов считайте поступательным.

4. Электрическая цепь, изображённая на левом рисунке, состоит из источника постоянного напряжения U = 3 В, миллиамперметра с очень маленьким внутренним сопротивлением, четырёх постоянных резисторов и одного переменного. На правом рисунке приведён график зависимости показаний миллиамперметра от величины сопротивления переменного резистора R. Найдите величины сопротивлений постоянных резисторов R1 и R2.

1. На гладкой горизонтальной поверхности расположены две одинаковые маленькие шайбы. В начальный момент времени первой шайбе сообщили некоторую скорость вдоль линии, соединяющей центры шайб.

Оказалось, что за время t первая шайба прошла путь S1, а вторая — путь S2. Чему могут быть равны начальная скорость первой шайбы и начальное расстояние между шайбами? Трение отсутствует, удар шайб друг о друга не обязательно абсолютно упругий.

2. Тело массой m = 10 кг подвешено в лифте при помощи трёх одинаковых лёгких верёвок, натянутых вертикально. Одна из них привязана к потолку лифта, две другие — к полу. Когда лифт неподвижен, натяжение каждой из нижних верёвок составляет F0 = 5 Н. Лифт начинает двигаться с постоянным ускорением, направленным вверх. Найдите установившуюся силу натяжения верхней верёвки при следующих значениях ускорения лифта: a1 = 1 м/с2, a2 = 2 м/с2. Ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с2. Считайте, что сила натяжения верёвки пропорциональна её удлинению.

3. Холодильник поддерживает в морозильной камере постоянную температуру T0 = 12 C. Кастрюля с водой охлаждается в этой камере от температуры T1 = +29 C до T2 = +25 C за t1 = 6 мин, а от T3 = +2 C до T4 = 0 C — за t2 = 9 мин. За сколько времени вода в кастрюле замёрзнет (при 0 C)? Теплоёмкостью кастрюли пренебречь.

Удельная теплоёмкость воды C = 4200 Дж/(кг · C), удельная теплота плавления льда = 340 кДж/кг.

4. Для измерения сопротивления резистора R собрана схема из батарейки, амперметра и вольтметра (см. рисунок). Вольтметр подключен параллельно резистору и показывает U1 = 1 В, амперметр подключен к ним последовательно и показывает I1 = 1 А. После того, как приборы в схеме поменяли местами, вольтметр стал показывать U2 = 2 В, а амперметр I2 = 0,5 А. Считая батарейку идеальной, определите по этим данным сопротивления резистора, амперметра и вольтметра.

1. Из Анискино (А) в Борискино (Б) можно добраться только на моторной лодке по узкой реке, скорость течения которой всюду одинакова. Лодке с одним подвесным мотором на путь из А в Б требуется время t1 = 50 минут, а с двумя моторами — время t2 = t1 /2. Сила тяги двух моторов вдвое больше силы тяги одного. За какое минимальное время можно добраться из Б в А на лодке с одним и с двумя моторами?

Известно, что сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения относительно воды.

2. На гладком горизонтальном столе лежит вытянутая вдоль плоскости стола невесомая и нерастяжимая нить длиной L, к одному из концов которой прикреплено небольшое тело массой m. Тело в начальный момент неподвижно. Второй конец нити начинают поднимать вертикально вверх с постоянной скоростью. Тело перестаёт давить на поверхность стола в тот момент, когда нить составляет с вертикалью угол.

Какова скорость v подъёма конца нити?

3. В системе, показанной на рисунке, отрезки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Найдите ускорение груза массой m2, подвешенного на нити к лёгкой оси подвижного блока. Масса оси другого подвижного блока равна m, масса первого груза равна m1. Трением и массой всех блоков пренебречь. Все нити невесомые и нерастяжимые.

Ускорение свободного падения равно g.

4. Оцените с точностью не хуже 1% силу тока, текущего через резистор 1000R в электрической цепи, изображённой на рисунке.

1. На массивный гладкий цилиндр радиусом R, движущийся поступательно со скоростью u, налетает маленький шарик, движущийся навстречу цилиндру перпендикулярно его оси со скоростью v (см. рисунок). Расстояние между линией, вдоль которой движется шарик, и плоскостью, в которой движется ось цилиндра, равно L (L < R). Найдите величину скорости шарика v1 после абсолютно упругого удара о цилиндр. Сила тяжести отсутствует.

2. Маленькую шайбу запустили по шероховатой горизонтальной поверхности со скоростью v0 = 5 м/с. График зависимости скорости шайбы v от пройденного ею пути S изображён на рисунке. Какой путь пройдёт шайба до полной остановки, если её запустить из той же точки в том же направлении со скоростью v1 = 4 м/с?

3. На рисунке приведён график зависимости давления насыщенного пара некоторого вещества от температуры. Определённое количество этого вещества находится в закрытом сосуде постоянного объёма в равновесном состоянии, соответствующем точке A на рисунке. До какой температуры следует охладить эту систему, чтобы половина имеющегося в сосуде вещества сконденсировалась? Объёмом сконденсировавшегося вещества можно пренебречь по сравнению с объёмом сосуда.

4. Маленький шарик массой m с зарядом q, брошенный со скоростью v под углом = 45 к горизонту, пролетев вдоль поверхности земли расстояние L, попадает в область пространства, в которой, кроме поля силы тяжести, имеется ещё и однородное постоянное горизонтальное электрическое поле. Граница этой области вертикальна. Через некоторое время после этого шарик падает в точку, откуда был произведён бросок. Найдите напряжённость электрического поля E. Ускорение свободного падения равно g, влиянием воздуха пренебречь.

5. В «чёрном ящике» с двумя контактами находится схема, состоящая из незаряженного конденсатора и резистора. К контактам в момент времени t = 0 подсоединили конденсатор ёмкостью C, имеющий заряд Q0. График зависимости заряда на этом конденсаторе от времени изображён на рисунке. Найдите сопротивление резистора и ёмкость конденсатора, находящихся в «чёрном ящике».

1. Космический корабль движется в открытом космосе со скоростью V. Требуется изменить направление скорости на 90, оставив величину скорости неизменной. Найдите минимальное время, необходимое для такого манёвра, если двигатель может сообщать кораблю в любом направлении ускорение, не превышающее a. По какой траектории будет при этом двигаться корабль?

2. В дни празднования 850-летия основания Москвы продавалось много «летающих» воздушных шариков. Некоторые наиболее сообразительные школьники с помощью небольшого грузика «подвешивали» их к наклонным потолкам московского метро (см. рисунок). Грузик какой массы M годится для этой цели? При решении задачи считайте, что шарик имеет форму сферы радиусом R, и проскальзывание о потолок отсутствует. Масса резиновой оболочки шарика m, плотность газа внутри шарика, плотность атмосферы 0, потолок имеет угол наклона.

3. В вертикальном закрытом цилиндре высотой H и площадью основания S, заполненном воздухом при давлении p0, на дне лежит лёгкая тонкостенная плоская коробка высотой h и площадью основания s. В дне коробки имеется отверстие. В цилиндр через кран, расположенный вблизи дна, начинают медленно нагнетать жидкость плотностью, много большей плотности воздуха. При каком давлении воздуха в цилиндре коробка упрётся в верхнюю крышку цилиндра? Процесс проходит при постоянной температуре, коробка всплывает так, что её верхняя плоскость остаётся горизонтальной.

4. Мы хотим измерить ЭДС батарейки для наручных часов. У нас есть два посредственных, но исправных вольтметра разных моделей.

Подключив первый вольтметр к батарейке, мы получили значение напряжения U1 = 0,9 В. Подключив второй вольтметр — U2 = 0,6 В.

Недоумевая, мы подключили к батарейке оба вольтметра одновременно (параллельно друг другу). Они показали одно и то же напряжение U0 = 0,45 В. Объясните происходящее и найдите ЭДС батарейки E0.

5. Две одинаковые бусинки с одинаковыми одноимёнными зарядами нанизаны на гладкую горизонтальную непроводящую спицу. Известно, что если эти бусинки расположить на расстоянии r0 друг от друга и отпустить без начальной скорости, то расстояние между ними удвоится через время t0. Через какое время t1 расстояние между бусинками удвоится, если начальное расстояние между ними увеличить в k раз?

1. Оцените отношение силы сопротивления воздуха к силе тяжести для пули, вылетевшей из ствола пистолета. Скорость пули u = 500 м/с, её диаметр d = 7 мм, масса пули m = 9 г. Плотность воздуха = 1,3 кг/м3.

2. Платформа, установленная на вертикальной невесомой пружине, совершает установившиеся колебания. В момент прохождения платформы через положение своего равновесия о неё абсолютно упруго ударяется маленький шарик, падающий с некоторой высоты, причём после соударения скорости платформы и шарика, оставаясь неизменными по модулю, изменяют свои направления на противоположные. Через некоторое время шарик вновь ударяется о платформу в момент её прохождения через положение равновесия, и далее этот процесс повторяется. Считая известными максимальное отклонение A платформы от положения равновесия и период её свободных колебаний T, найдите, каким может быть отношение масс шарика и платформы.

3. Над одним молем идеального одноатомного газа совершают процесс 1–2–3–4–1 (см. рисунок), причём газ получает от нагревателя за один цикл количество теплоты Q. Какое количество теплоты будет получать газ за один цикл, если совершать над ним процесс 2–3–4–A–B–C–2 ? Известно, что T3 = 16T1, T2 = T4, B — точка пересечения изотермы T = T2 с прямой 1–3, проходящей через начало координат pV -диаграммы. Ответ выразить через Q.

4. Частица с зарядом q и массой m влетает со скоростью v в плоский незаряженный конденсатор ёмкостью C параллельно его пластинам посередине между ними. В этот момент в схеме, изображённой на рисунке, замыкают ключ K. Как зависит ускорение частицы a от времени?

Считайте, что время пролёта частицы через конденсатор много меньше RC, и что заряд распределяется по пластинам равномерно. Расстояние между пластинами конденсатора равно d, краевыми эффектами можно пренебречь.

5. Рентгеновский аппарат состоит из точечных источника «И»

и приёмника «П», жёстко закреплённых на станине. Между источником и приёмником перемещают цилиндрический толстостенный баллон (см. рисунок). При этом интенсивность A рентгеновского излучения, регистрируемого приёмником, зависит от координаты x так, как показано на рисунке. Есть ли внутри баллона содержимое, поглощающее рентгеновские лучи?

1. На гладком горизонтальном столе находятся два груза массами 1 кг и 2 кг, скреплённые невесомой и нерастяжимой нитью. К середине нити между грузами прикреплена ещё одна такая же нить, за которую тянут с силой 10 Н. В некоторый момент времени все отрезки нитей натянуты, расположены горизонтально и составляют между собой углы 90, 120 и 150. Известно, что в этот же момент скорость более лёгкого груза равна 1 м/с, более тяжёлого — 2 м/с, а вектор скорости каждого груза направлен перпендикулярно к отрезку нити, который прикреплён к данному грузу. Найдите ускорения грузов в рассматриваемый момент времени, если известно, что они одинаковы по величине.

2. В машине Атвуда (см. рисунок) массы грузов равны m1 и m2, блок и нить невесомы, трение отсутствует. Вначале более тяжёлый груз m1 удерживают на высоте h над горизонтальной плоскостью, а груз m стоит на этой плоскости, причём отрезки нити, не лежащие на блоке, вертикальны. Затем грузы отпускают без начальной скорости. Найдите, на какую максимальную высоту поднимется груз m1 после абсолютно неупругого удара о плоскость, если нить можно считать гибкой, неупругой и практически нерастяжимой. Ускорение свободного падения равно g, блок находится достаточно далеко от грузов.

3. В установленной вертикально U-образной трубке площадью S с внутренним объёмом V0 находится жидкость плотностью. Колена трубки одинаковы по высоте, одно из них открыто в атмосферу, а второе герметично соединено с сосудом объёмом V0, внутри которого находится идеальный одноатомный газ. Жидкость заполняет всю U-образную трубку (см. рисунок). Найдите количество теплоты, которое необходимо сообщить газу в сосуде для того, чтобы медленно вытеснить из трубки половину жидкости. Атмосферное давление постоянно и равно p0. Давлением паров жидкости, поверхностным натяжением и потерями тепла пренебречь. Радиус полукруглого участка трубки, соединяющего её колена, считайте много меньшим высоты трубки.

4. На рисунке 1 приведена зависимость силы упругости f, возникающей при растяжении резинового стержня, от величины l его удлинения. Стержень очень медленно протягивают через щель, имеющую достаточно узкие закруглённые края-щёчки, так, как показано на рисунке 2. Каждая из щёчек прижимается к стержню с постоянной силой F = 30 Н. Коэффициент сухого трения между резиной и материалом щёчек µ = 0,5, длина стержня в нерастянутом состоянии L = 10 см. Какую работу совершат силы трения, действующие на стержень, к тому моменту, когда он весь будет протянут через щель?

5. Что покажет каждый из трёх одинаковых амперметров A1, A и A3 в схеме, изображённой на рисунке, при подключении клемм A и B к источнику с напряжением U = 3,3 В? Сопротивления амперметров много меньше сопротивлений резисторов.

1. Маленькая шайба скользит по винтовому желобу с углом наклона к горизонту и радиусом R с постоянной скоростью v (см. рисунок).

Ось желоба вертикальна, ускорение свободного падения равно g. Чему равен коэффициент трения µ между шайбой и желобом?

2. В горизонтальном прямом желобе на равных расстояниях L = 1 м друг от друга лежат N = 2002 маленьких шарика. Известно, что шарики разложены в порядке убывания их масс и что массы соседних шариков отличаются друг от друга на = 1%. Самому тяжёлому шарику в момент времени t = 0 сообщили скорость v = 1 м/с в направлении остальных шариков. Считая все удары абсолютно упругими, найдите, через какое время после этого начнёт двигаться самый лёгкий шарик. Трения нет. Временем соударения пренебречь.

3. В вертикальный теплоизолированный цилиндрический сосуд с гладкими стенками, закрытый лёгким теплоизолирующим поршнем площадью S, поместили воду при температуре T0 = 273 К и молей гелия при температуре T < T0. Через большое время после этого внутри сосуда установилась температура T0. Пренебрегая давлением водяных паров, теплоёмкостью сосуда и поршня, а также растворением гелия в воде, найдите, на какое расстояние сместился поршень при установлении теплового равновесия. Удельная теплота плавления льда, плотность льда л, плотность воды в > л. Давление над поршнем постоянно и равно нормальному атмосферному давлению p0.

4. При измерении зависимости величины напряжённости электрического поля от времени в некоторой точке пространства был получен график, изображённый на рисунке. Электрическое поле создаётся двумя одинаковыми точечными зарядами, один из которых неподвижен и находится на расстоянии d от точки наблюдения, а другой движется с постоянной скоростью. Найдите величины зарядов, минимальное расстояние от движущегося заряда до точки наблюдения и скорость движущегося заряда.

5. Плоский воздушный конденсатор ёмкостью C состоит из двух больших пластин, расположенных близко друг к другу. Вначале одна из пластин была не заряжена, а на другой имелся заряд Q. Затем пластины соединили проводником, имеющим большое сопротивление R. Оцените количество тепла, которое выделится в этом проводнике за большое время.

1. Т-образный маятник состоит из трёх одинаковых жёстко скреплённых невесомых стержней длиной L, два из которых являются продолжением друг друга, а третий перпендикулярен им (см. рисунок). К свободным концам стержней, находящихся в одной вертикальной плоскости, прикреплены точечные грузы массой m. Маятник может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку скрепления стержней и перпендикулярной им. Маятник отклонили от положения равновесия на угол < 90 и отпустили без начальной скорости. Найдите величину и направление силы, с которой стержень действует на груз №3 сразу после отпускания маятника.

2. В результате взрыва снаряда массой m, летевшего со скоростью v, образовались два одинаковых осколка. Пренебрегая массой взрывчатого вещества, найдите максимальный угол разлёта осколков, если сразу после взрыва их общая кинетическая энергия увеличилась на величину W.

3. Раствор этилового спирта в воде, имеющий концентрацию n = 40% по объёму, находится в герметично закрытой бутылке, занимая 90% её объёма. Известно, что раствор заливали в бутылку и закрывали её при температуре T1 = 0 C и атмосферном давлении p0 = 105 Па.

Чистый этиловый спирт кипит при этом давлении при температуре T2 = 77 C. Давление насыщенных паров воды при температуре T2 равно p = 4,18 · 104 Па. Какое давление установится над жидкостью в этой бутылке при температуре T2 ? Давлением насыщенных паров спирта и воды при T1 = 0 C, а также растворением воздуха в растворе можно пренебречь.

4. Имеются батарейка с ЭДС E = 1 В и два незаряженных конденсатора с ёмкостями C1 = 2 мкФ и C2 = 3 мкФ. Какую максимальную разность потенциалов можно получить с помощью этого оборудования и как это сделать?

5. Два плоских зеркала образуют двугранный угол. Точечный источник света находится внутри этого угла и равноудалён от зеркал.

При каких значениях угла между зеркалами у источника будет ровно N = 100 различных изображений?

1. На вбитом в стену гвозде на нити длиной L висит маленький шарик. Под этим гвоздём на одной вертикали с ним на расстоянии l < L вбит второй гвоздь. Шарик отводят вдоль стены так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают без толчка. Найдите расстояния l, при которых шарик перелетит через нижний гвоздь. Нить невесома и нерастяжима, трения нет.

2. К одному концу пружины с коэффициентом жёсткости k прикрепили груз массой M, а другой конец закрепили. Насколько мала должна быть масса пружины m по сравнению с массой груза M, чтобы при измерениях периода колебаний с точностью до 1% результат совпадал с периодом, вычисленным в предположении невесомости пружины?

3. Пластиковая бутылка из-под газированной воды ёмкостью 1 л имеет прочные нерастяжимые, но гибкие стенки. Стеклянный сосуд ёмкостью 4 л имеет прочные недеформируемые стенки. В бутылку накачали воздух до давления +1 атм при температуре 50 C, а в стеклянном сосуде создали разрежение 0,6 атм при той же температуре 50 C. Затем сосуды соединили тонким шлангом и после выравнивания давлений стали медленно поднимать температуру от 50 C до +50 C. Постройте график зависимости давления внутри сообщающихся сосудов от температуры. Внешнее давление равно атмосферному.

4. Четыре бесконечные плоскости, равномерно заряженные с поверхностной плотностью заряда, пересекаются, образуя правильную пирамиду со стороной основания a и боковым ребром b. В точку, лежащую на высоте этой пирамиды на расстоянии h от основания, помещают маленький шарик массой m с зарядом +q. Определите, с какой скоростью этот шарик ударится о пирамиду, если его отпустить без начальной скорости. Считайте, что заряды по плоскостям не перемещаются.

5. На вращающейся карусели, имеющей радиус R = 5 метров, катается гармонист. При какой максимальной угловой скорости вращения карусели музыка, исполняемая гармонистом, не звучит фальшиво для слушателей, находящихся на земле, если хороший слух позволяет различить высоту звуков в четверть тона? Два звука отличаются на четверть тона, когда отношение их частот равно 24 2 1,0293. Скорость звука в воздухе в условиях опыта считать равной c = 346 м/с.

1. Телу массой m, находящемуся на горизонтальной поверхности, сообщили скорость v0 в направлении оси X. График зависимости скорости тела v от его координаты x изображён на рисунке. Найдите зависимость величины силы трения, действующей на тело, от координаты x.

2. Два закрытых сосуда ёмкостью V1 = 10 литров и V2 = 20 литров имеют жёсткие стенки и поддерживаются при одинаковой постоянной температуре 0 C. Сосуды соединены короткой трубкой с краном. Вначале кран закрыт. В первом сосуде находится воздух под давлением p1 = 2 атм при относительной влажности r1 = 20%. Во втором сосуде находится воздух под давлением p2 = 1 атм при относительной влажности r2 = 40%. Кран постепенно открывают так, что процесс выравнивания давлений в сосудах можно считать изотермическим. Найдите минимальную и максимальную относительную влажность воздуха в сосуде ёмкостью 10 литров.

3. Заряженная частица двигалась в некоторой области пространства, где имеются взаимно перпендикулярные однородные поля: электрическое — с напряжённостью E, магнитное — с индукцией B и поле силы тяжести g. Вектор скорости частицы при этом был постоянным и перпендикулярным магнитному полю. После того, как частица покинула эту область пространства и начала движение в другой области, где имеется только поле силы тяжести g, её скорость начала уменьшаться.

Через какое время после вылета частицы из первой области её скорость достигнет минимального значения?

4. Одна из пластин плоского конденсатора в форме квадрата со стороной a закреплена горизонтально, на неё помещена большая тонкая пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью.

По гладкой верхней поверхности листа диэлектрика может свободно скользить вторая пластина конденсатора массой m, имеющая такие же размеры и форму, как и первая. На обкладки конденсатора помещены заряды +Q и Q, и система приведена в равновесие. Верхнюю пластину сдвигают по горизонтали на расстояние x a параллельно одной из сторон квадрата и отпускают без начальной скорости. Найдите период колебаний этой пластины. Толщина диэлектрика d существенно меньше смещения верхней пластины x. Электрическое сопротивление у пластин отсутствует.

5. В случае помутнения хрусталика людям делают операцию по замене естественного хрусталика на искусственный. Искусственный хрусталик для глаза сделан так, что позволяет владельцу без очков чётко видеть далёкие предметы. В отличие от естественного хрусталика, кривизна поверхностей которого может изменяться (при этом глаз фокусируется на выбранных объектах — это называется аккомодацией), искусственный хрусталик жёсткий и «перестраиваться» не может. Оцените оптическую силу очков, дающих возможность без труда читать книгу, находящуюся на расстоянии d = 0,3 м от глаза.

1. На горизонтальном столе некоторая прямая линия разделяет две области: по одну сторону от этой линии стол гладкий, а по другую — шероховатый. На столе лежит однородная доска длиной L = 1 м. Она расположена перпендикулярно линии и целиком находится на гладкой поверхности. К концу доски прикреплён один конец невесомой пружины, имеющей жёсткость k = 4 Н/м. Другой конец пружины начинают медленно тянуть в горизонтальном направлении вдоль доски так, что она перемещается через линию в сторону шероховатой поверхности.

Для того, чтобы полностью перетащить доску на шероховатую поверхность, нужно совершить минимальную работу A = 17,5 Дж. Найдите, какое при этом выделится количество теплоты. Пружина не касается шероховатой поверхности, коэффициент трения доски об эту поверхность — постоянная величина.

2. Идеальный одноатомный газ находится в закреплённом теплоизолированном цилиндре, разделённом на две части неподвижной теплопроводящей перегородкой и закрытом слева подвижным поршнем, не проводящим тепло (см. рисунок). Масса газа в левой части цилиндра равна m1, а в правой — m2. Давление на поршень медленно увеличивают, начиная с некоторого начального значения. Найдите молярную теплоёмкость газа в левой части цилиндра в данном процессе.

3. К проволочному каркасу К, имеющему вид окружности, прикрепили нить, которая связана из четырёх кусков A, B, C и D с длинами, относящимися друг к другу, как 1 : 2 : 1 : 3. Каркас окунули в мыльный раствор, вынули и, удерживая каркас в вертикальной плоскости, проткнули образовавшуюся мыльную плёнку между кусками нити B и D с длинами, относящимися как 2 : 3. Нить приняла форму, показанную на рисунке. Углы, образованные касательными к кускам нити вблизи узелков, все одинаковы и равны 120, а куски нити, прикреплённые к каркасу, вблизи узелков наклонены под углами 30 к горизонту. Расстояние между узелками L = 4 см, коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора = 0,04 Н/м. Мыльная плёнка настолько тонкая, что её массой можно пренебречь. Какова масса M всей мокрой нити?

4. Маленький заряженный шарик массой m шарнирно подвешен на невесомом непроводящем стержне длиной l. На расстоянии 1,5 l слева от шарнира находится вертикальная заземлённая металлическая пластина больших размеров. Стержень отклоняют от вертикали вправо на угол и отпускают без начальной скорости. В ходе начавшихся колебаний стержень достигает горизонтального положения, после чего движется обратно, и процесс повторяется. Найдите заряд шарика. Ускорение свободного падения равно g.

5. В вертикальный цилиндрический стакан налита вязкая жидкость с коэффициентом преломления n = 1,5. Сверху в стакан вертикально падает параллельный пучок света постоянной интенсивности.

Стакан с жидкостью раскрутили вокруг его оси до угловой скорости = 1 рад/с, и при этом высота столба жидкости на оси стакана стала равной h = 30 см. На сколько процентов изменилась после раскручивания интенсивность света, падающего вблизи центра дна стакана? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2, поглощением света в жидкости и отражением его внутри стакана пренебречь.

1. Найдите ускорение груза 1 в системе, изображённой на рисунке.

Горизонтальная плоскость гладкая, трения между грузами нет, нить и блоки невесомы, нить нерастяжима, массы всех трёх грузов одинаковы.

В начальный момент все тела покоятся. Ускорение свободного падения равно g.

2. Тепловая машина, рабочим телом которой является идеальный одноатомный газ, совершает работу в цикле 1–2–3–4–2–5–1, показанном на pV -диаграмме (см. рисунок). Точки 1, 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат диаграммы, а точка 2 является серединой отрезка 1–3. Найдите КПД тепловой машины, работающей по такому циклу, если максимальная температура газа в данном цикле больше минимальной температуры в n раз. Вычислите значение КПД при n = 4.

3. На горизонтальной поверхности лежит грузик массой m, соединённый с неподвижной вертикальной стенкой горизонтальной невесомой пружиной жёсткостью k. Коэффициент трения между грузом и поверхностью µ 1. Известно, что после начального отклонения от положения равновесия вдоль оси пружины отпущенный без начальной скорости грузик совершил много колебаний и прошёл до остановки путь S. Оцените время, которое занял процесс колебаний от начала движения грузика до полной его остановки, а также погрешность полученного результата. Считайте силу трения скольжения не зависящей от скорости и равной максимальной силе трения покоя.

4. Монокристаллы галлия, как и ряда других проводников, обладают анизотропией сопротивления: удельное сопротивление x галлия вдоль главной оси симметрии монокристалла (оси X) максимально, а вдоль любой другой оси, перпендикулярной оси X, минимально и равно. Из кристалла галлия вырезали тонкую прямоугольную пластинку (см. рисунок) длиной a = 3 см и шириной b = 3 мм так, что ось X параллельна грани ABCD пластинки и образует с ребром AB угол = 60. Если между гранями пластинки, перпендикулярными AB, создать постоянную разность потенциалов V = 100 мВ, то через пластинку потечёт ток, и в её середине между точками F и G поперечного сечения будет существовать разность потенциалов U = 6,14 мВ.

Найдите отношение x /.

5. Путнику, возвращавшемуся тёмной ночью домой, в свою деревню, по дороге, идущей прямо к его дому, с расстояния r = 5 км стал виден огонёк свечи в одном из окон. Внутри дома вблизи соседнего окна стоит наряженная к Новому году ёлка с зеркальными шарами. Оцените, на каком расстоянии от дома путнику станет видно отражение свечи в ёлочном шаре диаметром D = 10 см, если он идеально отражает свет и находится на расстоянии a = 1,8 м от свечи на линии, перпендикулярной дороге? Окна одинаковые, свеча горит ровно.

1. На горизонтальной плоскости лежит полусфера радиусом R (выпуклой стороной вверх). Из точки, находящейся над центром полусферы, бросают горизонтально маленькое тело, которое падает на плоскость, не касаясь полусферы. Найдите минимально возможную скорость тела в момент его падения на плоскость. Сопротивление воздуха не учитывайте.

2. В системе, изображённой на рисунке, прикреплённые к невесомым пружинам грузики при помощи нитей удерживаются на расстояниях L/2 от стенок, к которым прикреплены концы пружин. Длины обеих пружин в недеформированном состоянии одинаковы и равны L. Нити одновременно пережигают, после чего грузики сталкиваются и слипаются. Найдите максимальную скорость, которую будут иметь грузики при колебаниях, возникших после этого столкновения. Удар при столкновении является центральным. Жёсткости пружин и массы грузиков указаны на рисунке. Трением и размерами грузиков пренебречь.

3. Тепловая машина, рабочим телом которой является идеальный одноатомный газ, совершает работу в цикле 1–2–3–4–1, состоящем из двух изобар, изохоры и адиабаты (см. рисунок). Найдите КПД тепловой машины, работающей по такому циклу, если V1 = 5 л, V2 = 10 л, V4 = 15 л, p1 = 3,17 · 105 Па, p3 = 0,51 · 105 Па.

4. Катушка состоит из среднего цилиндра радиусом r и двух крайних цилиндров радиусами R > r. Длинный тонкий провод плотно наматывают на катушку следующим образом: сначала обматывают один из крайних цилиндров, а затем продолжают наматывать этот же провод на средний цилиндр в том же направлении, в каком начинали намотку. После завершения намотки катушку кладут на горизонтальный стол, помещённый в однородное постоянное магнитное поле B, линии индукции которого параллельны оси катушки. К первому концу провода, лежащему на столе, подсоединяют идеальный вольтметр, а другой конец провода, касающийся неподвижного скользящего контакта, соединённого с вольтметром, начинают тянуть вдоль поверхности стола с постоянной скоростью v в направлении, перпендикулярном оси катушки (см. рисунок). Считая, что катушка катится по столу без проскальзывания, найдите показания вольтметра.

5. На расстоянии a = 20 см от тонкой собирающей линзы вдоль её главной оптической оси расположена тонкая короткая палочка. Длина её действительного изображения, даваемого линзой, в k = 9 раз больше длины палочки. Во сколько раз изменится длина изображения, если сдвинуть палочку вдоль оси на a = 5 см дальше от линзы?

Примечание: при |x| 1 справедлива формула 1/(1 + x) 1 x.

1. Для подтверждения своей водительской квалификации автомобилист должен выполнить следующее упражнение: за ограниченное время проехать расстояние L = 50 м между точками 1 и 2, начав движение в точке 1 и остановившись в конце пути, в точке 2. Какое наименьшее время t для этого необходимо, если наибольшая мощность, развиваемая двигателем автомобиля, N = 80 кВт, а тормозной путь автомобиля при скорости v = 80 км/ч составляет lт = 50 м? Масса автомобиля m = 1000 кг.

2. Одно колено гладкой U-образной трубки с круглым внутренним сечением площадью S вертикально, а другое наклонено к горизонту под углом. В трубку налили жидкость плотностью и массой M так, что её уровень в наклонном колене выше, чем в вертикальном, которое закрыто лёгким поршнем, соединённым с вертикальной пружиной жёсткостью k (см. рисунок). Найдите период малых колебаний этой системы. Ускорение свободного паде- К задаче 2.

ния равно g.

3. В покоящемся сосуде объёмом V = 31 л с очень жёсткими и совершенно не проводящими тепло стенками находятся воздух при нормальных условиях и вода в количестве m = 9 г. Сосуд практически мгновенно приобретает скорость u и движется поступательно. После установления теплового равновесия воздух в сосуде имеет влажность r = 50%. Найдите скорость u. Удельная теплота парообразования воды L = 2,5 МДж/кг, удельная теплоёмкость воды C = = 4200 Дж/(кг · К), давление насыщенных паров воды при нормальных условиях p = 600 Па, удельная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме cV = 720 Дж/(кг · К), средняя молярная масса воздуха µ = 0,029 кг/моль.

4. В схеме, изображённой на рисунке, конденсаторы ёмкостью C1 = C2 = C первоначально не заряжены, а диоды идеальные. Ключ K начинают циклически переключать, замыкая его вначале в положение 1, а потом — в положение 2. Затем цикл переключений 1–2 повторяется, и так далее. Каждое из переключений производится после того, как токи в цепи прекращаются. Какое количество n таких циклов переключений 1–2 надо произвести, чтобы заряд на конденсаторе C2 отлиВарианты заданий московских олимпиад чался от своего установившегося (при n ) значения не более, чем на 0,1%?

5. Ацетон и бензол смешиваются друг с другом в любых пропорциях, образуя прозрачный раствор. Объём смеси равен суммарному объёму компонентов до смешивания. Показатель преломления света n смеси зависит от концентраций молекул ацетона NА и бензола NБ следующим образом:

где KА и KБ — некоторые константы (поляризуемости молекул ацетона и бензола). В колбе находится V = 200 мл смеси ацетона и бензола при температуре T1 = 50 C. Палочка из стекла, опущенная в колбу, освещается светом с длиной волны = 546 нм и не видна в этом растворе при данной температуре. Какое количество и какой жидкости — ацетона или бензола — нужно долить в колбу после её охлаждения до температуры T2 = 20 C, чтобы после размешивания раствора стеклянная палочка не была видна при том же освещении? Показатели преломления света с данной длиной волны у этих жидкостей при температуре T2 равны nА = 1,36 и nБ = 1,50 соответственно, а у стекла nС = 1,47.

Коэффициенты объёмного расширения обеих жидкостей в диапазоне температур от T2 до T1 одинаковы и равны µ = 0,00124 K1. Тепловым расширением стекла и испарением жидкостей пренебречь.

Ответы к вариантам заданий Московских городских олимпиад школьников по физике для 8-х – 11-х классов Приведены номера задач, использованных в соответствующих вариантах.

Задачи первых олимпиад. 1939– Задания (с решениями) олимпиад 1939, 1940, 1941, 1944– годов опубликованы в первом (1949 г.) издании книги М. П. Шаскольской и И. А. Эльцина [1]. Здесь без изменений (с сохранением оформления, обозначений, а также нумерации рисунков; переносы в тексте сделаны по современным правилам) воспроизводятся все условия задач олимпиад 1939–1941, 1944–1948 гг. (в оригинале решения даны ко всем задачам, здесь — только к задачам 1939 г.). Отметим, что в те времена задания олимпиады не раздавались школьникам на листочках, как сейчас, а выписывались на доске. Поэтому, естественно, в книге [1] они приведены не буквально, а после редакторской обработки.

ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА ОЛИМПИАДАХ

1. В стакане, наполненном до краёв водой, плавает кусок льда (рис. 57). Перельётся ли вода через край, когда лёд растает? Что произойдёт, если в стакане находится не вода, а 1) жидкость более плотная, 2) жидкость менее плотная?

Р е ш е н и е. По закону Архимеда, вес плавающего льда равен весу вытесненной им воды. Поэтому объём воды, образовавшийся при таянии льда, будет в точности равен объёму вытесненной им воды, и уровень воды в стакане не изменится.

Если в стакане находится жидкость более плотная, чем вода, то объём воды, образовавшийся после таяния льда, будет больше, чем объём жидкости, вытесненной льдом, и вода перельётся через край. Наоборот, в случае менее плотной жидкости, после того как лёд растает, уровень понизится.

2. На замкнутый железный сердечник надеты две обмотки (рис. 58). Как определить число витков в каждой из обмоток, если в распоряжении имеется источник переменного тока, провода и вольтметры любой чувствительности?

Олимпиады проводились для школьников старших классов физическим факультетом Московского ордена Ленина Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Р е ш е н и е. Железный сердечник с двумя обмотками представляет собой обычный трансформатор. Если приключить одну из обмоток трансформатора к источнику переменного тока и измерить вольтметром напряжение на концах обоих обмоток v1 и v2, то можно опреv1 n где n1 и n2 числа витков в первой и второй обмотках. Однако это измерение не даёт возможности определить n1 и n2 порознь. Но если намотать на вторую обмотку ещё некоторое, известное число витков и снова измерить напряжение на концах обмоток, получим втоv1 n рое соотношение 3. При определении удельного веса твёрдых тел с помощью гидростатических весов сначала взвешивают тело в воздухе (на обычных весах), а потом погрузив тело в воду. Как нужно изменить этот метод, если удельный вес тела меньше единицы?

Р е ш е н и е. Прикрепить к телу груз с удельным весом, большим единицы, который заставит тело погрузиться в воду, и произвести взвешивание испытуемого тела с грузом сначала в воздухе, а затем в воде.

Предварительно нужно определить удельный вес груза, что можно сделать обычным способом. Зная вес груза и его удельный вес, можно найти удельный вес испытуемого тела с помощью следующего расчёта.

Пусть вес испытуемого тела P1, вес груза P2, его удельный вес d2.

Вес испытуемого тела и груза в воде P. Разность между весом тела с грузом в воздухе и воде позволяет определить объём тела с грузом (d — удельный вес воды).

Так как V равно сумме объёмов испытуемого тела V1 и груза V2, а и искомый удельный вес 4. Прямолинейный проводник начинает двигаться с возрастающей скоростью, пересекая силовые линии ленного перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 59). В одном случае концы проводника замкнуты на омическое последовательно с омическим сопротивлением R включена катушка самоиндукции L. Во что в обоих случаях превращается работа, затрачиваемая на перемещение проводника? В каком из этих двух случаев при одинаковом перемещении будет совершена бльшая работа?

Р е ш е н и е. В первом случае работа, затрачиваемая на перемещение проводника, превращается целиком в джоулево тепло, выделяющееся в сопротивлении R; во втором случае часть затрачиваемой работы идёт на увеличение магнитной энергии поля, возникающего вокруг катушки самоиндукции.

Работа, затраченная на перемещение проводника в единицу времени, равняется EI, где E — электродвижущая сила, возникающая вследствие перемещения проводника в магнитном поле, одинаковая в обоих случаях, I — ток в контуре. Ток I1 в первом случае больше, чем ток I2 во втором случае, так как электродвижущая сила самоиндукции замедляет скорость нарастания тока. Следовательно, и работа в единицу времени EI1 > EI2. Это справедливо также для равномерного движения проводника до установления в контуре стационарного тока, после чего наличие самоиндукции в цепи уже никак не сказывается.

5. Солнечные лучи собираются при помощи вогнутого зеркала и направляются в замкнутую полость через маленькое отверстие в ней (рис. 60). Стенки полости не проводят тепла. Можно ли, увеличивая как угодно размеры зеркала, неограниченно повышать температуру внутри полости?

Р е ш е н и е. Нельзя, так как одновременно с поглощением энергии полостью происходит и излучение энергии этой же полостью. Когда температуры Солнца и полости сравняются, полость будет излучать столько же энергии, сколько в неё попадает. Это равенство не зависит от размеров отверстия:

при уменьшении размеров отверстия будет уменьшаться излучение полости, но одновременно будет уменьшаться и количество энергии, попадающей в полость через отверстие.

1. В изогнутой трубке более короткое колено затянуто очень тонкой и мягкой непроницаемой плёнкой. Трубка наполнена водородом и помещена отверстием книзу (рис. 61). Какое положение займёт плёнка?

Р е ш е н и е. Давление на плёнку изнутри равно давлению воздуха у открытого конца трубки, уменьшенному на вес столба водорода с основанием, равным площади сечения трубки и высотой h. Давление на плёнку снару- h жи равно давлению воздуха у открытого конца, уменьшенному на вес столба воздуха с таким же основанием и высотой h. Так как воздух тяжелее водорода, то давление Рис. 61.

снаружи уменьшается на бльшую величину, чем внутри, т. е. наружное давление меньше внутреннего. Поэтому плёнка выгнется наружу.

2. Если широко открытый водопроводный кран зажать пальцем так, чтобы оставалось только маленькое отверстие, то вода из этого отверстия вырывается с большей скоростью, чем при полностью открытом кране. Почему это происходит?

Р е ш е н и е. В водопроводной магистрали вода находится под повышенным давлением (в несколько атмосфер). При течении воды по трубе это давление, вследствие действия сил вязкости, постепенно падает почти до атмосферного, под которым и вытекает вода из широко раскрытого крана.

Если зажать кран пальцем, течение воды в трубе почти прекращается, а потому исчезает и падение давления внутри трубы. Таким образом, вода у оставшегося малого отверстия крана оказывается под полным давлением, существующим в магистрали, т. е. под давлением в несколько атмосфер. Тоненькая струйка воды, выбрасываемая этим высоким давлением, приобретает гораздо бльшую скорость, чем вода, вытекающая из широко открытого крана.

При совсем маленьком отверстии скорость истечения воды уменьшится вследствие большого падения давления в самом отверстии.

3. Даны два цилиндра одинаковых размеров и из одинакового материала. Один цилиндр сплошной, другой сборный и состоит из двух цилиндров, почти без зазора вложенных один в другой, причём трение между внешним и внутренним цилиндрами отсутствует. Какой из цилиндров будет быстрее скатываться без скольжения по одной и той же наклонной плоскости (рис. 62)? Какое положение будет занимать при скатывании внутренний цилиндр, если он не совсем плотно входит во внешний?

Р е ш е н и е. Во втором (сборном) цилиндре играет роль момент инерции лишь наружного цилиндра, так как внутренний цилиндр, вследствие отсутствия сил трения, не вращается. Очевидно, что момент инерции первого (сплошного) цилиндра больше, чем момент инерции внешнего цилиндра во втором случае. С другой стороны, вращающий момент для обоих цилиндров один и тот же (так как веса их одинаковы), а значит, угловое ускорение сплошного цилиндра меньше, т. е. он скатывается медленнее.

дра в зазоре можно определить из следующих соображений. Если бы внутренний цилиндр скользил без трения альная энергия, которой обладает цилиндр в поле тяжести, при скольжении превращается только в кинетическую энергию поступательного движения, а при скатывании — в энергию и поступательного и вращательного движений. Следовательно, скорость, а значит и ускорение поступательного движения при скольжении должны быть больше, чем при скатывании.

Так как в случае сборного цилиндра оба они опускаются с одинаковым ускорением, то, значит, внешний цилиндр замедляет движение внутреннего. А для этого сила P, с которой внешний цилиндр давит на внутренний, должна иметь составляющую P1, направленную вдоль наклонной плоскости кверху, т. е. сила P должна быть отклонена несколько назад от направления перпендикуляра к наклонной плоскости. Так как трения нет, то сила P должна быть нормальна к поверхности цилиндров, и чтобы при этом она была отклонена назад, цилиндры должны касаться друг друга по образующей, лежащей, во всяком случае, впереди радиуса, проведённого к точке касания внешнего цилиндра с наклонной плоскостью (рис. 63).

1. Два одинаковых маятника связаны невесомой пружиной (рис. 64). В одном случае оба маятника колеблются так, что они в каждый момент отклонены на одинаковый угол в одну сторону.

В другом случае они колеблются так, что в каждый момент они отклонены на одинаковый угол в противоположные стороны. При каком из этих двух типов колебаний период колебаний будет меньше?

но сделанные из различных металлов, сварены своими торцами (рис. 65). ТеплоёмРис. 65.

кость стержня A вдвое больше теплоёмкости стержня B, но теплопроводность A вдвое меньше теплопроводности B. Один из свободных концов стержней нагревается, а другой охлаждается, так что на каждом из концов поддерживается постоянная температура. Будет ли общее количество тепла в стержнях зависеть от того, какой из свободных концов стержней (A или B) нагрет и какой охлаждён? (Отдачи тепла через боковые стенки стержней не принимать во внимание.) 3. В U-образную трубку налита вода. Трубка приводится во вращение с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через одно из колен трубки (рис. 66). Как установится уровень воды в обоих коленах трубки?

4. На некотором расстоянии a от точечного источника света S помещён экран. Как изменится освещённость в центре экрана, если по другую сторону от источника на таком же расстоянии a поставить плоское зеркало (рис. 69)?

1. Вдоль жёсткого провода, по которому пропускается переменный ток от городской сети, расположена мягкая тонкая металлическая нить. В одном случае через нить пропускается также переменный ток от городской сети. В другом случае через нить пропускает- Вид сбоку ся постоянный ток. Что будет происходить с нитью в том и в другом случае?

2. К банке с водой, подвешенной на нитях в виде маятника, прикреплены две натянутые мягкие пружины (рис. 70, а). Что будет происходить с уровнем жидкости в банке, когда маятник будет качаться?

3. В сосуд с водой снизу вставлена труб- Вид сверху ка, которая может свободно вращаться вокруг Рис. 71.

своей оси. К верхнему концу трубки припаяны 2 наконечника, изогнутые так, как показано на рис. 71. Что произойдёт с трубкой, когда вода будет вытекать через неё из сосуда?

1. В массивную трубку вставлена пружина, которая в свободном состоянии занимает всю длину трубки. На пружину положен шарик, который сжимает её примерно вдвое (рис. 72, а). Затем трубка начинает в наклонном положении свободно падать. Что произойдёт с шариком?

2. Две батареи с электродвижущими силами E1, и E2 включены в цепь так, как показано на рис. 73. Сопротивления подобраны так, что амперметр A показывает отсутствие тока. Что покажет вольтметр V ?

3. С самолёта, летящего горизонтально с постоянной скоростью, сбрасывается бомба. Где будет находиться самолёт, когда бомба достигнет земли?

4. Две одинаковые по весу оболочки шара, сделанные одна из тонкой резины, а другая из прорезиненной ткани, наполнены одинаковым количеством водорода и у земли занимают одинаковый объём. Который из шаров поднимается выше, если водород из них выходить не может?

1. Шофер автомобиля, едущего со скоростью v, внезапно видит перед собой на расстоянии a широкую стену. Что ему выгоднее: затормозить или повернуть?

2. Почему монета, катящаяся в вертикальном положении (без наклона), движется по прямой, а наклонённая поворачивает в сторону наклона?

3. Пластинка, спаянная из меди и железа, включена в цепь тока, как показано на рис. 76, а.

Описать, что произойдёт при прохождении в цепи достаточно сильного тока?

1. В калориметре находятся 2 слоя воды — внизу более холодная, вверху более тёплая. Изменится ли общий объём воды при выравнивании температур?

2. Ведро выставлено на дождь. Изменится ли скорость наполнения ведра водой, если подует ветер?

3. Известен опыт Гравезанда: металлический шарик, проходящий сквозь металлическое кольцо (рис. 79), застревает, если его нагреть. Что будет, если нагреть кольцо, а не шарик?

4. Почему птицы слетают с провода высокого напряжения, когда включают напря- Рис. 79.

жение?

1. Можно ли измерить электроскопом напряжение в цепи переменного тока?

2. Определить период колебаний шарика, скользящего вверх и вниз по двум наклонным плоскостям (рис. 80). Трение и потери скорости при ударе не учитывать.

3. Опрокинутая пробирка укреплена над сосудом с водой (рис. 81, а). Как изменится в ней уровень воды, если вся система начнёт свободно падать?

Эта олимпиада была рассчитана главным образом на учащихся и 10 классов. Однако в ней принимали участие также и учащиеся 7 и классов. Перед первым туром профессором С. Э. Хайкиным была прочитана лекция по гидро- и аэростатике и гидро- и аэродинамике. Перед вторым туром профессором Г. С. Ландсбергом была прочитана лекция об электричестве и магнетизме. Задачи, предложенные на олимпиаде, являются вопросами к этим лекциям.

1. Почему не устраивают газонапорные башни по аналогии с водонапорными?

2. Будет ли работать гидравлический пресс, если его цилиндр наполнить не жидкостью, а газом?

3. Подводная лодка, опустившись на глинистое или песчаное дно, иногда не может подняться. Как объясняется это явление «присасывания» подводной лодки?

4. В некоторых домах газ в подвале горит лучше, чем в верхних этажах. Почему?

1. Как объяснить опыт Томсона: на железный сердечник, имеющий форму стержня, намотана катушка из большого числа витков медного провода. На сердечник свободно одето кольцо из хорошо проводящего металла (медь). При включении катушки в цепь переменного тока кольцо подскакивает (рис. 84).

2. Как влияет на накал электрических лампочек Л1 и Л2 в квартире включение и выключение в сеть электронагревательных приборов П1 и П2, если эти приборы и лампочки включены так, как это показано на рис. 85.

3. К вертушке, сделанной из железных проволок, поднесён маг- Рис. 86.

нит. Рядом с магнитом под вертушкой поставлена горелка, нагревающая одну из проволочек вертушки (рис. 86). Что будет происходить?

4. Распределительный щит трансформаторной подстанции установлен на открытом воздухе. Будут ли вследствие изменений температуры в течении года изменяться показания амперметра и вольтметра, укреплённых на щите?

1. Для того, чтобы отвести штангу троллейбуса от провода, водитель прежде отдёргивает возможно дальше назад верёвку, привязанную к кольцу, одетому на штангу. Зачем?

2. Почему в кино, когда автомобиль движется вперёд, зачастую кажется, что колёса его вертятся назад?

3. На московских бульварах в некоторых местах установлены автоматические сигналы «Берегись трамвая». Сигнал зажигается заранее, до того, как трамвай подходит, и гаснет, когда трамвай проходит.

По какой схеме можно включить этот сигнал?

1. Батарея с электродвижущей силой E присоединена к схеме, как показано на рис. 90. До какого напряжения в конце концов зарядится конденсатор?

2. Для того, чтобы отделить друг от друга тонкие листы (например, билеты в книжечке метро), достаточно подуть сбоку в торец этой пачки. Чем объясняется этот приём?

3. Как выгоднее самолёту взлетать: по ветру или против ветра?

век A. Второй человек B приближается к зер- O середину зеркала. На каком расстоянии от зеркала будет B в тот момент, когда A и B увидят A друг друга в зеркале?

2. Смешиваются равные по весу количества воды при температуре +50 C и льда при B температуре 40 C. Какова будет окончательРис. 92.

ная температура смеси?

3. Если быстро движущийся автомобиль резко затормозить, то его передок опускается к низу. Почему это происходит?

1. Конденсатор приключён к аккумулятору (рис. 94). Раздвигая пластины конденсатора, мы преодолеваем силу электростатического притяжения между пластинками конденсатора и, следовательно, совершаем положительную работу. На что идёт эта работа? Что происходит с энергией конденсатора?

2. Два однотипных самолёта летят первый по дуге ABC, а второй по дуге ADC (рис. 95). Обе дуги лежат в вертикальной плоскости, длины их одинаковы. У которого из самолётов скорость в точке C будет больше, если оба они имели в точек A одинаковые скорости, и моторы их развивают одинаковую и постоянную мощность?

3. Зачем камертон (рис. 96, а) делается с двумя ножками? Годился ли бы камертон для своего обычного применения, если бы одну из его ножек отпилили?

1. В каких случаях герои известной басни Крылова лебедь, рак и щука действительно не сдвинут воза, если считать, что силы их равны и что трения между возом и землёй не существует?

2. Как узнать, намагничена ли пилка от лобзика, не пользуясь никаким другим телом?

3. В некоторых случаях в глубоких скважинах, пробурённых в земле, по трубе, опущенной в скважину, подаётся сжатый воздух. Будет ли избыточное давление (т. е. разность между давлением внутри трубы и снаружи) таким же, как наверху, или другим? Потерей давления в трубе вследствии течения по ней воздуха пренебречь.

1. Всегда ли справедливо выражение: как аукнется, так и откликнется, т. е. всегда ли отражённый звук имеет ту же высоту тона, что и падающий?

которую необходимо затратить на то, чтобы перекантовать ящик весом в одну тонну, снасм гает высшей точки своего пути и вертикально же падает вниз. В каких местах этой траектории ускорение пули имеет наибольшее и наименьшее значения?

1. Два камня падают в шахту. Второй камень начал своё падение на 1 сек позже первого. Определить движение второго камня относительно первого. Сопротивлением воздуха пренебречь.