«Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть 5 Геометрия • Планиметрия • Стереометрия Москва 2012 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ...»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. Ломоносова

Галеев Э. М.

Подготовка

к вступительным экзаменам

по математике в МГУ и ЕГЭ

(типы задач и методы их решений)

Часть 5

Геометрия

• Планиметрия

• Стереометрия

Москва 2012

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. Ломоносова Галеев Э. М.

Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть 5 Геометрия • Планиметрия • Стереометрия Издание деcятое, дополненное Москва ББК 22.1 я УДК 373. begincenterУчебно-методическое пособие Галеев Э.М.

Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 5. Геометрия. Планиметрия. Стереометрия.

Изд. 10-е, доп. Издательство “Попечительский совет механикоматематического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2012. c.

В пособии предлагаются задачи по геометрии в основном со вступительных экзаменов в МГУ. Содержатся также задачи по геометрии из ЕГЭ, начиная с года. Особое внимание уделено задачам по подготовке к ЕГЭ 2012 года. Приведены основные формулы и теоремы, используемые при решении задач. К задачам даны ответы.

Предназначено для абитуриентов МГУ, выпускников школ при подготовке к ЕГЭ, для слушателей подготовительных отделений и курсов, учащихся математических классов.

Рецензент: д.ф.-м.н., Богатый С. А.

Г Без объявл.

3Ш7(03) c ISBN 5-87597-024-3 Галеев Э.М., 2012 г.

c Издательство “Попечительский совет мех-мат. ф-та МГУ”, 2012 г.

Оглавление Предисловие.......................... Формулы............................ 22 Планиметрия....................... 22.1 Теоремы планиметрии............. 22.1.1 Основные теоремы планиметрии.. 22.1.2 Дополнительные теоремы планиметрии................... 22.2 Задачи на вычисление............. 22.2.1 Прямоугольные треугольники.... 22.2.2 Равнобедренные треугольники... 22.2.3 Треугольники............. 22.2.4 Окружности.............. 22.2.5 Параллелограммы.......... 22.2.6 Трапеции................ 22.2.7 Многоугольники........... 22.3 Задачи на максимум и минимум....... 22.4 Использование метода координат и векторов 23 Стереометрия...................... 23.1 Вписанные и описанные шары......... 23.2 Объемы...................... Пособие состоит из двух параграфов: планиметрия и стереометрия. Параграф “Планиметрия” делится на пункты: основные и дополнительные теоремы, задачи на вычисления, на нахождение максимумов и минимумов геометрических величин, использование векторов и метода координат. Задачи на вычисления разделяются на задачи на прямоугольные, равнобедренные треугольники, окружности, параллелограммы, трапеции и многоугольники.

В начале книги приводятся основные формулы.

Задачи распределены на две части. Одна часть предназначена для решения на занятии под руководством преподавателя. Другая часть — для самостоятельного решения, закрепления материала, пройденного на занятии с преподавателем. Предполагается, что читатель знаком со школьной программой и собирается углубить уже имеющиеся у него знания и научиться правильным подходам и схемам решений геометрических задач.

В основном задачи взяты со вступительных экзаменов в МГУ и ЕГЭ. Указан факультет, год, номер задачи и общее количество задач. Для выездных экзаменов указывается город, в котором эта задача давалась. Часть задач взята из различных пособий по элементарной математике или составлена автором.

Пособие предназначено для абитуриентов МГУ, выпускников школ при подготовке к ЕГЭ, учащихся математических классов и школ.

Основные формулы планиметрии Обозначения: a, b, c — длины сторон треугольника;

,, — величины противолежащих углов;

ha, ma, la — длины высоты, медианы и биссектрисы к стороне a;

r, R — радиусы вписанной и описанной окружностей;

S — площадь; p — полупериметр.

• Формулы для прямоугольного треугольника где a, b — катеты, c — гипотенуза, ca, cb — отрезки гипотенузы, на которые высота hc делит гипотенузу.

• Формулы для произвольного треугольника • Медиана треугольника Точка пересечения медиан делит медиану в отношении два к одному, считая от вершины.Три медианы делят треугольник на треугольников, равных по площади.

• Высота треугольника • Биссектриса треугольника • Площадь треугольника S = p(p a)(p b)(p c) (формула Герона), для равностороннего треугольника со стороной a.

• Четырехугольник S = d1 d2 sin, где d1, d2 — диагонали, — угол между ними, '$Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 :

• Некоторые соотношения:

AC BA CB AC BA CB

C B A C B A C B A C B A

• Окружности длина окружности: l = 2R, Формулы векторной геометрии • Скалярное произведение векторов где = (x1, x2, x3 ), = (y1, y2, y3 ), — угол между векторами.

• Длина вектора • Расстояние между точками где X = (x1, x2, x3 ), Y = (y1, y2, y3 ).

Некоторые формулы стереометрии • Прямые и плоскости Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая a, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то прямая a будет параллельна плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая a, не лежащая в плоскости, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то прямая a будет перпендикулярна плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая теорема. Прямая, перпендикулярная проекции наклонной прямой, будет перпендикулярна и самой Обратная теорема. Прямая, перпендикулярная наклонной прямой, будет Пусть ABC является проекцией A B C. Тогда косинус угS ла между плоскостями cos = S ABC.

• Пирамида, конус, цилиндр, сфера, шар V = 1 Sоснования · h = 1 Sполн · r — объем пирамиды с высотой h, Sполн — площадь полной поверхности, r — радиус вписанного в пирамиду шара.

V = 3 Sоснования · h = 1 R2 h — объем конуса с высотой h, Sбок = Rl — площадь боковой поверхности конуса с радиусом основания R и образующей l, V = R2 h — объем цилиндра с высотой h, S = 4R2 — площадь сферы радиуса R, V = 4 R3 — объем шара радиуса R.

22 Планиметрия 22.1 Теоремы планиметрии 22.1.1 Основные теоремы планиметрии 22.1. Доказать, что три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке.

22.2. Доказать, что три серединных перпендикуляра1 в треугольнике пересекаются в одной точке.

22.3. Доказать, что три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке.

22.4. Доказать, что три медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и точка пересечения делит медиану в отношении два к одному, считая от вершины.

22.5. Три медианы делят треугольник на 6 треугольников.

Доказать, что площади всех полученных шести треугольников равны.

22.6. Найти отношение площадей треугольника и треугольника, составленного из его медиан.

22.7. Доказать, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные длинам сторон треугольника.

22.8. Сформулировать и доказать утверждение, аналогичное задачи № 22.7, для биссектрисы внешнего угла треугольника.

22.9. Две окружности с центрами O, O касаются внешним образом в точке A. Через точку A проведена общая касательная.

Она пересекается с другой общей касательной в точке C. Доказать, что O CO =.

22.10. Две окружности с центрами O, O касаются внешним образом в точке A, а в точках B и C окружности касаются с другой общей касательной. Доказать, что BAC =. Напомним, что серединным перпендикуляром к стороне треугольника называется перпендикуляр к этой стороне, проходящий через ее середину.

Домашнее задание 22.11. Доказать, что вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (рассмотреть случаи:

a) центр окружности лежит на стороне угла; b) центр окружности лежит между сторон угла; c) центр окружности лежит вне угла).

22.12. Через точку, лежащую внутри круга, проведены две хорды. Доказать, что угол между хордами измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами.

22.13. Через точку, лежащую вне круга, проведены к окружности две секущие. Доказать, что угол между секущими измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

22.14. Доказать, что угол между касательной к окружности и хордой, проведенной в точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между его сторонами.

22.15. Через точку, лежащую внутри круга, проведены две хорды. Доказать, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

22.16. Через точку, лежащую вне круга, проведены касательная и секущая. Доказать, что квадрат касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.

22.17. (теорема Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

22.18. Доказать, что высота, опущенная из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике есть среднее геометрическое между отрезками, на которые она делит гипотенузу: hc = ca cb.

22.19. (теорема синусов) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

22.20. (обобщенная теорема синусов) Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

22.21. (теорема косинусов) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

22.22. Доказать, что радиус вписанной в треугольник2 окружности выражается через площадь треугольника S и его полупериметр p по формуле r = S.

22.23. Доказать, что около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180.

22.24. Доказать, что в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

22.1.2 Дополнительные теоремы планиметрии 22.25. Доказать, что длина медианы в треугольнике выражается по формуле: ma = 1 2b2 + 2c2 a2.

22.26. Доказать, что длина высоты в треугольнике выражается по формуле:

(a+b+c)(b+ca)(a+cb)(a+bc) 2 p(pa)(pb)(pc) 22.27. В треугольнике известны длины двух сторон b, c и угол между ними. Доказать, что биссектриса угла выражается по 22.28. Доказать, что квадрат биссектрисы в треугольнике равен произведению сторон, между которыми она заключена, минус произведение отрезков, на которые она делит противоположную сторону: la = bc uv.

22.29. Доказать, что серединный перпендикуляр к стороне треугольника и биссектриса противолежащего угла пересекаются в точке, лежащей на описанной вокруг треугольника окружности.

Теорема верна и для выпуклого многоугольника.

22.30. Доказать, что точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне треугольника и биссектрисы противолежащего угла равноудалена от концов этой стороны и центра вписанной в треугольник окружности.

22.31. Доказать, что расстояние между центрами окружностей вписанной и вневписанной3 в треугольник делится пополам окружностью, описанной около треугольника.

22.32. Доказать, что радиус вневписанной к треугольнику окружности, касающейся стороны a, выражается через площадь треугольника S и его полупериметр p по формуле ra = pa.

22.33. Доказать, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до стороны, противоположной выбранной вершине.

22.34. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA, BB, CC. Обозначим точку пересечения высот через H.

Доказать, что AH · HA = BH · HB = CH · HC.

22.35. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA, BB, CC. Доказать, что высоты треугольника ABC являются биссектрисами треугольника A B C.

22.36. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA, BB, CC. Доказать, что треугольники AB C, A BC, A B C подобны треугольнику ABC с коэффициентами подобия cos A, cos B, cos C, соответственно.

22.37. Доказать, что для углов остроугольного треугольника ABC выполнено неравенство cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1;

прямоугольного cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 и тупоугольного cos2 A + cos2 B + cos2 C > 1.

22.38. (теорема Птолемея) Доказать, что во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Вневписанной окружностью называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других.

Домашнее задание 22.39. Доказать, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c, равен r = a+bc.

22.40. Доказать, что если в треугольнике выполнено неравенство a2 + b2 > c2, то угол C острый; если a2 + b2 = c2, то угол C прямой; если a2 + b2 < c2, то угол C тупой.

22.41. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними: S = 1 d1 d2 sin.

22.42. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка E — пересечение диагоналей, причем площади треугольников AEB и CED равны. Доказать, что тогда ADBC.

22.43. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей.

22.44. (теорема Вариньона) Доказать, что четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом.

22.45. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.

22.46. (формула Герона)Доказать, что площадь треугольника выражается по формуле:

(a+b+c)(b+ca)(a+cb)(a+bc) 22.47. В треугольнике длины медиан равны ma, mb и mc.

Доказать, что длина стороны a выражается по формуле:

22.48. Доказать, что длина биссектрисы угла в треугольнике 22.49. В треугольнике длины сторон a, b, c и радиус описанной окружности R. Доказать, что площадь треугольника выраabc 22.50. Пусть ra, rb, rc — радиусы вневписанных к треугольнику окружностей, касающихся соответственно сторон a, b, c;

r — радиус вписанной окружности. Доказать, что + + =, 22.51. (Теорема Чевы.)4 Пусть точки A, B, C лежат на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC. Отрезки AA, BB, CC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

AC BA CB

C B A C B A

22.52. (теорема Менелая) На стороне AB треугольника ABC взята точка C1, на стороне BC — точка A1, на продолжении стороны AC — точка B1. Точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой 22.2 Задачи на вычисление 22.2.1 Прямоугольные треугольники 22.53. (МГУ, геологический, 1999, 4(8)) Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC.

Угол между AM и высотой AH равен 40. Найдите углы треугольника ABC.

22.54. (ЕГЭ, 2002, B8) Около окружности с центром O описан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Луч AO пересекает катет BC в точке L. Найдите длину отрезка CL, если точка касания с окружностью делит катет BC на отрезки CH = 4 и BH = 12.

Из теоремы Чевы легко выводятся следствия: 1) три медианы в треугольнике пересекаются в одной точке; 2) три биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке; 3) три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности и противолежащих сторон, пересекаются в одной точке.

22.55. (ЕГЭ, 2002, B8) В треугольнике ABC B = 90, медиана BM равна 10 3. Окружность, вписанная в треугольник ABM, касается гипотенузы AC в точке T. Найдите катет BC, если AT : T C = 1 : 3.

22.56. (ЕГЭ, 2002, B8 – демоверсия) Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 2 м и 5 м.

22.57. (МГУ, геологический, 2005, 3(8)) В треугольнике ABC угол C прямой, тангенс угла A равен 1, медиана BD равна 5. Найдите площадь треугольника ABD и радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABD.

22.58. (МГУ, “Ломоносов-2011”, заочный тур, 6(10)) Высота прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, делит биссектрису острого угла в отношении 5 : 2, считая от вершины. Найти величину этого угла.

22.59. (МГУ, географический, 1994, 4(5)) Вне прямоугольного треугольника ABC на его катетах AC и BC построены квадраты ACDE и BCF G. Продолжение высоты CH треугольника ABC пересекает прямую DF в точке K. Найти длину отрезка HK, если длины катетов равны 2 и 3.

22.60. (МГУ, химический, физико-химический, ФНМ, биолог., ФФМ, ФБиБ, географический, психологический, 2007, 3(8)) В прямоугольном треугольнике DEF на гипотенузу опущены медиана DM и высота DQ. Известно, что M D = 2 и sin DM Q = 17. Найти катеты треугольника DEF.

22.61. (МГУ, химический, 1995, 4(5)) В прямоугольном треугольнике ABC точки D и E лежат соответственно на катетах BC и AC так, что CD = CE = 1. Точка O является точкой пересечения отрезков AD и BE. Площадь треугольника BOD больше площади треугольника AOE на 1. Кроме того, известно, что AD = 10. Найти длину гипотенузы AB.

Домашнее задание 22.62. (ЕГЭ, 2002, B8) Окружность с центром O вписана в прямоугольный треугольник ABC. Она касается гипотенузы AB в точке M, причем AM = и BM = 8. Найдите площадь треугольника AOB.

22.63. (ЕГЭ, 2002, B8) В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC, равной 20, проведена медиана BM. Окружность, вписанная в треугольник ABM, касается медианы BM в точке P. Найдите катет BC, если BP : P M = 3 : 2.

22.64. Около прямоугольного треугольника ABC описана окружность, радиус которой равен 4. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если известно, что OO1 = 2, где O и O1 — центры вписанной и описанной окружностей.

22.65. (МГУ, социологический, 2008, 3(7)) Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 80.

Найти угол между высотой и медианой, проведенными к гипотенузе.

22.66. В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла равен 10.

Найти острые углы треугольника.

22.67. Одна из сторон треугольника равна a и вдвое больше своей медианы. А угол этой медианы с другой стороной равен 30.

Найти площадь треугольника.

22.68. (МГУ, ВМиК, 2007, устный) В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B проведена высота BD. Известно, что периметры треугольников ADB и BDC равны соответственно P1 и P2. Найдите периметр треугольника ABC.

22.69. В прямоугольном треугольнике ABC угол A прямой, величина угла B равна 30, а радиус вписанной окружности равен 3. Найти расстояние от вершины C до точки касания вписанной окружности и катета AB.

22.70. Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, равна h, разность между проекциями катетов на гипотенузу также равна h. Найти гипотенузу треугольника.

22.71. Найти острые углы в прямоугольном треугольнике, в котором отношение гипотенузы к высоте, опущенной из вершины прямого угла, равно 3 .

22.72. Вычислить длины сторон прямоугольного треугольника, если известно, что его периметр равен 12, а радиус вписанного в него круга равен 1.

22.73. (МГУ, ВМиК, 2006, устный) Радиус описанной около прямоугольника ABCD окружности равен R, а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r. Найдите периметр прямоугольника.

22.74. (МГУ, ВМиК, 2006, устный) Треугольник ABC биссектрисой BD (точка D лежит на отрезке AC) делится на два треугольника: равнобедренный треугольник ABD и прямоугольный треугольник BCD. Известно, что длина BD равна 1. Найдите площадь треугольника ABC.

22.75. Основание треугольника равно 10, а медианы двух других сторон равны 9 и 12 соответственно. Найти площадь треугольника.

22.76. (МГУ, филологический, 1990, 3(5)) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена медиана CM и высота CH. Найти отношение AH : AM, если CM : CH = 5 : 4 и точка H находится между точками A и M.

22.77. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, периметр которого равен 2p, а высота, опущенная на гипотенузу, равна h.

22.78. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, площади которых равны соответственно 6 и 54. Найти гипотенузу треугольника.

22.79. Длины медиан прямоугольного треугольника, проведенных к катетам, относятся как m : n. Найти углы треугольника.

22.80. (МГУ, факультет Гос. управления, 2006, 3(7)) В прямой угол равнобедренного треугольника с гипотенузой вписан круг радиуса 2. Найдите площадь той части круга, которая лежит вне этого треугольника.

22.81. (МГУ, химический, 1974, 3(5)) В прямоугольном треугольнике ABC с катетами 3 и 4 вершина C прямого угла соединена с серединой D гипотенузы AB. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD.

22.82. В треугольнике ABC задана точка M на стороне AC, соединенная с вершиной B отрезком M B. Известно, что AM = 6, M C = 2, ABM = 60, M BC = 30. Найти площадь треугольника ABC.

22.83. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно 3 + 1.

22.84. (МГУ, ВМиК, 1973, 3(5)) В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена биссектриса CL и медиана CM. Найти площадь треугольника ABC, если LM = a, CM = b.

22.85. (МГУ, почвоведения, 2002, 6(7)) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен. В треугольник помещены две окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов, гипотенузы и другой окружности. Найти радиусы окружностей.

22.86. Расстояния от центра окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, до вершин его острых углов равны 5 и 10. Найти катеты.

22.2.2 Равнобедренные треугольники 22.87. (ЕГЭ, 2002, B8) В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8 : 5, считая от вершины, лежащей против основания. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10.

22.88. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно b, BA = BC = a. Отрезки AK и CM — биссектрисы этого треугольника. Найти M K.

22.89. В равнобедренном треугольнике основание равно 30.

Высота, опущенная на основание, равна 20. На какие части площадь треугольника делится высотой, опущенной на боковую сторону?

22.90. (МГУ, Олимпиада “Ломоносов-2008”, 5(10)) Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 6, если синус одного его угла равен косинусу другого.

22.91. (МГУ, почвоведения, глобальных процессов, 2007, 8(8)) Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 18. Через середину D основания AB проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке K и делящая площадь треугольника ABC в отношении 5 : 2, при этом угол ADK равен 135. Найти площадь треугольника ABC.

22.92. Вычислить sin 18, исходя из геометрических соображений.

Домашнее задание 22.93. Основание равнобедренного треугольника равно 10, медиана боковой стороны равна 3. Найти длины его боковых сторон.

22.94. (ЕГЭ, 2002, B8) Окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, касается стороны BC в точке K, причем CK : BK = 5 : 8. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 72.

22.95. Боковая сторона равнобедренного треугольника ABC равна 15, а его площадь равна 67,5. К основанию AC и стороне BC проведены высоты BE и AH, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь треугольника BOH.

22.96. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC высоты BE и CH пересекаются в точке K, причем BH = 6, KH = 3. Найдите площадь треугольника CBK.

22.97. Площадь равнобедренного треугольника ABC равна 90, а боковая сторона равна 10 3. К основанию AB и стороне BC проведены высоты CP и AH, пересекающиеся в точке K. Найдите площадь треугольника CKH.

22.98. Медианы равнобедренного треугольника равны соответственно 5, 5 и 6. Найти площадь треугольника.

22.99. Найти площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание этого треугольника 24, боковая сторона 13.

22.100. (МГУ, физический, 1994, 4(8)) В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и боковую сторону, равны соответственно m и n. Найти стороны треугольника.

22.101. (МГУ, филологический, 2003, 3(5)) В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AM и CN пересекаются в точке D под прямым углом. Найти все углы треугольника ABC и площадь четырехугольника N BM D, если основание AC = 1.

22.102. Угол при основании равнобедренного треугольника равен. В каком отношении делит площадь данного треугольника прямая, делящая его основание в отношении 2 : 1 и составляющая острый угол с меньшей частью основания?

22.103. (МГУ, химический, 2001, 2(7)) В равнобедренном треугольнике с основанием AC проведена биссектриса угла C, которая пересекает боковую сторону AB в точке D. Точка E лежит на основании AC так, что DE DC. Найти длину AD, если CE = 2.

22.104. (МГУ, биолого-почвенный, 1971, 5(5)) Правильный треугольник ABC со стороной, равной 3, вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причем длина хорды AD равна 3. Найти длины хорд BD и CD.

22.2.3 Треугольники Медианы 22.105. (ЕГЭ, 2003, B10 – демоверсия) Площадь треугольника ABC равна 20 3. Найдите AC, если сторона AB равна 8 и она больше половины стороны AC, а медиана BM равна 5.

22.106. (ЕГЭ, 2005, B11 – демоверсия) В треугольнике ABC проведена медиана AM. Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 3 2, BC = 10, M AC = 45.

22.107. (МГУ, экономический, 1985, 3(5)) В треугольнике ABC на основании AC взяты точки P и Q так, что AP < AQ. Прямые BP и BQ делят медиану AM на три равные части. Известно, что P Q = 3. Найти AC.

22.108. (МГУ, “Ломоносов-2011”, заочный тур, 8(10)) Даны три точки, расстояния между которыми равны 4, 6 и 7.

Сколько существует попарно не равных друг другу треугольников, для которых каждая из этих точек — либо вершина, либо середина стороны?

22.109. (МГУ, ВМиК, 1995, 3(6)) В треугольнике ABC медианы AM и CL перпендикулярны, BC = a, AC = b. Найти площадь треугольника ABM.

Домашнее задание 22.110. (МГУ, социологический, 2002, 3(6)) Определить угол A треугольника между сторонами 2 и 4, если медиана, выходящая из вершины A, равна 7.

22.111. В треугольнике ABC AB = 8, BC = 4, AC = 6. Найти: площадь треугольника, радиус вписанной и радиус описанной окружности, высоту, медиану и биссектрису, проведенные из вершины B.

22.112. (МГУ, филологический, 1999, 3(5)) В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найти площадь треугольника ABC, если площадь четырехугольника KCDL равна 5.

22.113. В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна медиане BN. Найти площадь треугольника ABC, если длина AM равна m, а длина BN равна n.

22.114. (МГУ, социологический, 2002, 3(6)) Определить угол A треугольника между сторонами 2 и 4, если медиана, выходящая из вершины A, равна 3.

22.115. Найти площадь треугольника ABC, если AB = 3, BC = 7 и длина медианы BM равна 4.

22.116. (МГУ, геологический, май 1994, 7(8)) У треугольника известны длины двух сторон a = 2, b = 3 и площадь S = 3 15/4. Медиана, проведенная к его третьей стороне, меньше ее половины. Найти радиус описанной около этого треугольника окружности.

22.117. (МГУ, 2011, 5(8)) Медианы AL и BM треугольника ABC пересекаются в точке K.

Найти длину отрезка CK, если AB = 3 и известно, что вокруг четырехугольника KLCM можно описать окружность.

22.118. (МГУ, ИСАА, 2007, 5(7)) В треугольнике ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. Известно, что AB = 3, AC = 5, длина медианы, проведенной из вершины A к стороне BC, равна 6, и длины отрезков AP, P Q, QC равны между собой.

Найдите длину отрезка P Q.

22.119. (МГУ, экономический, 1983, 4(6)) В треугольнике ABC медианы AE и BD, проведенные к сторонам BC и AC, пересекаются под прямым углом. Длина стороны BC равна a. Найти длины других сторон треугольника ABC, если AE 2 + BD2 = d2.

22.120. (МГУ, геологический, 1997, 4(8)) В треугольнике ABC угол B прямой, AB = 5, BC = 4. Точка D лежит на стороне AC, M — точка пересечения медиан треугольника ABD, а N — точка пересечения медиан треугольника DBC.

Найти площадь треугольника BM N.

Биссектрисы 22.121. (МГУ, ИСАА, 2006, 4(7)) В треугольнике ABC проведены медиана AE и биссектриса CD, пересекающиеся в точке M. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника P BQ, если длина стороны AC равна 3 3, длина стороны BC равна 4 3, величина угла ACB равна.

22.122. (МГУ, филологический, 2005, 6(7)) Биссектриса CD угла ACB при основании BC равнобедренного треугольника ABC делит сторону AB так, что AD = BC. Найти длину биссектрисы CD и площадь треугольника ABC, если BC = 2.

22.123. (МГУ, мех-мат, 1969, 2(4)) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что отрезок OE имеет длину 1, а вершина C лежит на окружности, проходящей через точки E, D, O.

Найти стороны и углы треугольника EDO.

22.124. (МГУ, геологический, МШЭ, 2008, 5(8)) В треугольнике ABC длина биссектрисы AD равна 6, отношение длин отрезков BD и DC равно 3 : 4, периметр треугольника ABC равен 21. Чему равен косинус угла BAC?

22.125. (МГУ, географический, 1999, май, 4(6)) В треугольнике ABC биссектриса AD угла A и биссектриса BL угла B пересекаются в точке F. Величина угла BCA равна 60.

1) Найти величину угла AF B. 2) Вычислить длину стороны AB, если угол CDL равен 75 и площадь треугольника ABC равна 22.126. (МГУ, ВМиК, Олимпиада “Абитуриент-2007”, 4(6)) В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC, C = 90, проведены медиана BN и биссектриса AM, которые пересекаются в точке K. Известно, что KM = 2. Найти AM.

22.127. (МГУ, мех-мат, март 2003, 3(6)) На продолжении биссектрисы AL треугольника ABC за точку A взята такая точка D, что AD = 10 и BDC = BAL = 60.

Найти площадь треугольника ABC. Какова наименьшая площадь треугольника BDC при данных условиях?

Домашнее задание 22.128. (ЕГЭ, 2002, B8) В треугольник ABC вписана окружность с центром O. Луч AO пересекает сторону BC в точке K. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 13, AC = 15, BK = 6,5.

22.129. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 3 и 6. Найти длину биссектрисы прямого угла.

22.130. Биссектриса прямого угла в прямоугольном треугольнике отсекает на гипотенузе отрезки 2 и 3. Найти длину этой биссектрисы.

22.131. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D.

Известно, что BD = 4, CD = 6. Найти площадь треугольника ADC.

22.132. (МГУ, ИСАА, 1992, 4(6)) Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

22.133. В треугольнике ABC проведена биссектриса CD, при этом величины углов ADC и CDB относятся как 7 : 5. Найти длину AD, если известно, что BC = 1, а угол BAC равен.

22.134. Дан треугольник ABC, в котором AB = 6, BC = 7, AC = 5. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D.

Найти площадь треугольника ADC.

22.135. (МГУ, ВМиК, 2006, устный) В треугольнике ABC угол A в два раза больше угла B, AB = 4, BC = 5. Найдите сторону AC.

22.136. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BD угла ABC и AE угла BAC. Найти отношение площадей треугольников ABC и CDE, если известно, что BC = 4, AC = 3, AB = 6.

22.137. (МГУ, филологический, 2000, 2(6)) Через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, провели прямую M N параллельно основанию AB (M лежит на BC, N лежит на AC). Найти периметр четырехугольника ABM N, если известно, что AB = 5, M N = 3.

22.138. В треугольнике ABC сторона AC равна b, сторона AB равна c, а биссектриса внутреннего угла A пересекается со стороной BC в точке D такой, что DA = DB. Найти длину стороны BC.

22.139. (МГУ, ВМиК, 1994, 4(6)) В треугольнике ABC длина стороны AB равна 21, длина биссектрисы BD равна 8 7, а длина отрезка DC равна 8. Найти периметр треугольника ABC.

22.140. (МГУ, факультет Глобальных процессов, 2006, 5(8)) В треугольнике ABC со сторонами AB = 6 и BC = 4 проведена биссектриса BL, точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности, BO : OL = 3 : 1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABL.

22.141. В треугольнике ABC известны стороны AB = 40 и BC = 35. Кроме того, угол BAC равен 60. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, где BD — биссектриса угла ABC.

22.142. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BL и AE, которые пересекаются в точке O. Известно, что AB = BL, периметр треугольника равен 28, BO = 2OL. Найти AB.

22.143. (МГУ, почвоведения, 1997, 5(6)) В треугольнике ABC угол C равен 60, а биссектриса угла C равна 5 3. Длины сторон AC и BC относятся как 5 : 2 соответственно. Найти тангенс угла A и сторону BC.

22.144. (МГУ, почвоведения, 1996, 5(6)) В треугольнике ABC AB = 3, AC = 3 7, ABC = 60. Биссектриса угла ABC продолжена до пересечения в точке D с окружностью, описанной вокруг треугольника. Найдите длину BD.

22.145. В треугольнике ABC биссектриса угла A продолжена до пересечения в точке D с описанной около треугольника окружностью. Найти длину стороны BC, если AB = 75, AC = 48, AD = 100.

22.146. В треугольнике известны длина одной стороны a и два прилежащих к ней угла B и C. Найти длину биссектрис:

а) угла B; б) угла A.

22.147. В треугольнике ABC даны угол C, равный, и отношение стороны BC к стороне AC, равное 3. Из вершины C проведены два луча, делящие угол C на три равные части. Найти отношение отрезков этих лучей, заключенных внутри треугольника ABC.

22.148. (МГУ, ВМиК, 2006, устный) В треугольнике ABC проведены BK — медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Найдите длину AC, если известно, что прямые BK и BE делят отрезок AD на три равные части и AB = 4.

Высоты 22.149. (МГУ, мех-мат, 1978, 3(5)) В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C опущены высоты AA и CC на стороны BC и AB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BA C равна 2, а длина отрезка A C равна 2 2. Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

22.150. (МГУ, экономический, 1993, 6(6)) Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найти площадь треугольника.

Домашнее задание 22.151. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.

Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB.

22.152. В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O — центр описанной окружности. Известно, что BC = 2, M N = 1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC.

22.153. В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O — центр вписанной окружности. Известно, что BC = 2, M N = 1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC.

22.154. Точки A1, B1 и C1 — основания высот треугольника ABC. Углы треугольника A1 B1 C1 равны 90, 60 и 30. Найдите углы треугольника ABC.

22.155. (МГУ, хим, географ, биолог, психолог, ФББ, ФФМ, ФНМ, физико-химический, 2008, 4(7)) Около треугольника ABC с высотами BB и CC описана окружность радиуса 6. Найдите радиусы окружностей, описанных около треугольников BB C и AB C, если cos A = 1.

22.156. (МГУ, ВМиК, 1981, 3(6)) В треугольнике ABC величина угла A равна, длина высоты, опущенной из вершины C на сторону AB равна 3, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5. Найти длины сторон треугольника ABC.

22.157. В треугольнике ABC проведены высоты AA1 = 2, CC1 = 4, BL — биссектриса треугольника, AL = 5. Найти длину LC и площадь треугольника ABC.

22.158. (МГУ, химический, 1997, 5(6)) Середины высот треугольника ABC лежат на одной прямой. Наибольшая сторона треугольника AB = 10. Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника ABC?

Площади 22.159. (МГУ, Олимпиада “Ломоносов-2010”, 2(10)) На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка E, а на боковых сторонах AB и BC точки D и F соответственно так, что DEBC и EF AB. Какую часть площади треугольника ABC занимает площадь треугольника DEF, если BF : EF = 2 : 3?

22.160. Найти площадь треугольника со сторонами: а) 5, 9, 12; б) 1, 2, 5; в) 5, 10, 13.

22.161. (МГУ, ВМиК, Олимпиада “Абитуриент-2005”, 4(6)) На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L. Площади треугольников AM L, CN L и ALC равны соответственно 1, 6 и 4. Найдите площадь треугольника M BN.

22.162. (МГУ, мех-мат, тест, 2003, 6(10)) На стороне AC треугольника ABC взята такая точка K, что AK :

KC = 1 : 2, а на отрезках BK, BC и KC — такие точки L, M и N соответственно, что LM AB, LN BC и M N BK. Найти отношение площадей треугольников LM N и ABC.

22.163. (МГУ, биологический, 1985, 4(5)) На гипотенузе LM прямоугольного треугольника LKM лежит точка N. На прямой LM взята точка P так, что точка M находится между точками N и P, а угол N KP прямой. Найти площадь треугольника N KM, если известно, что площади треугольников LKM и N KP равны a и b соответственно, а величина угла LKP равна.

22.164. (МГУ, экономический (отд. менеджмента), 2008, 5(6)) На биссектрисе CL треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром в точке O, пересекающая сторону BC в площадь той части треугольника ABC, которая лежит вне данной окружности, если известно, что CBL = QLA+ACL, CP = 3.

22.165. (МГУ, ВМиК, 2008, 4(6)) На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки E и D соответственно так, что BAD = 4 · DAC, BCE = 4 · ECA.

Известно, что AB · CE = BC · AD, AB = 2, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 4 + 2 2. Найти площадь треугольника ABC.

Домашнее задание 22.166. (МГУ, геологический, 2007, устный) В треугольнике длина каждой из сторон не превосходит 2. Докажите, что площадь треугольника не превосходит 3.

22.167. (МГУ, социологический, филологический, 2007, 6(8)) Периметр треугольника ABC равен 36, а площадь равна 60. Найти стороны AB и AC, если BC = 10.

22.168. В треугольнике ABC длина стороны AC равна 5, сумма длин двух других сторон равна 7, косинус угла BAC равен 4/5.

Найти площадь треугольника ABC.

22.169. В треугольнике ABC угол C равен 30, BH — высота, BM — медиана. Найти площадь треугольника ABC, если AH = 1, AM = 2.

22.170. (МГУ, биологический, 2000, 3(5)) Дан треугольник ABC со сторонами AB = 6, AC = 4, BC = 8.

Точка D лежит на стороне AB, а точка E — на стороне AC, причём AD = 2, AE = 3. Найти площадь треугольника ADE.

22.171. (МГУ, физический, 1997, 4(8)) Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке M, а сторону AC — в точке N. Площадь треугольника M CN в два раза больше площади трапеции ABM N. Найдите CM : M B.

22.172. (МГУ, почвоведения, 2001, 4(6)) В треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны, основание AC равно 2, а угол при основании равен 30. Из вершины A проведены биссектриса AE и медиана AD. Найти площадь треугольника ADE.

22.173. (МГУ, геологический, 1978, 4(5)) В треугольнике ABC длина стороны AC равна 3, угол BAC = и радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 2.

Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3.

22.174. (МГУ, геологический, 1978, 4(5)) В треугольнике ABC на стороне AB взята точка K так, что AK : BK = 1 : 2, а на стороне BC взята точка L так, что CL : BL = 2 : 1. Пусть Q — точка пересечения прямых AL и CK. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1.

22.175. (МГУ, географический, май 2002, 3(6)) В треугольнике ABC точки E и F являются серединами сторон AB и BC соответственно. Точка G лежит на отрезке EF так, что EG : AE = 1 : 2 и F G = BE. Найти:

а) отношение площадей треугольников ABG и AGC;

б) GCA, если AGC = 90.

22.176. (МГУ, экономический, 2008, 4(7)) На биссектрисе BL треугольника ABC как на диаметре построена окружность с центром в точке O, пересекающая сторону AB в точке D, а сторону BC — в точке E, причем AD · LC = EC · AL.

Найти площадь той части треугольника ABC, которая лежит вне данной окружности, если известно, что BAL = 2BEO, DE = 22.177. (МГУ, ВМиК, отделения бакалавров, 2008, 4(6)) На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты соответственно точки E и D так, что BAD = 2 · DAC, BCE = 2 · ECA.

Известно, что AB · CE = BC · AD, AB = 2, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 31. Найти площадь треугольника ABC.

Углы 22.178. В треугольнике известны длины двух сторон a и b и угол между ними C. Найти тангенс угла A.

22.179. Длины двух сторон треугольника равны 1 и 2, а синус угла между ними равен. Найти длину третьей стороны и величины двух других углов.

22.180. В треугольнике ABC заданы стороны BC = a, AC = b (a > b). Радиус описанной вокруг треугольника окружности равен R. Найти длину стороны AB.

22.181. Продолжение биссектрисы угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке E. Вписанная окружность касается стороны AC в точке F. Найти площадь треугольника, если CE = 4 13, AF = 6, а радиус описанной окружности равен 13.

22.182. (МГУ, географический, 1996, 4(5)) Углы треугольника ABC удовлетворяют равенству cos2 A+cos2 B + cos2 C = 1. Найти площадь этого треугольника, если известны радиусы вписанной r = 3 и описанной R = 3 2 окружностей.

22.183. (МГУ, экономический, 1984, 4(6)) В треугольнике ABC заданы длины двух сторон: BC = 4, AB = 2 19. Кроме того, известно, что центр окружности, проведенной через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла C. Найти AC.

Домашнее задание 22.184. Длины сторон треугольника равны 5, 12 и 13. Найти углы треугольника.

22.185. Существует ли треугольник с углами,, arcsin ?

22.186. Длины двух сторон треугольника равны 1 и 2, а угол между ними равен. Найти длину третьей стороны и величины двух других углов.

22.187. (МГУ, мех-мат, тест, 2003, 2(10)) Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает биссектрису внешнего угла C этого треугольника в точке D. Найти угол ABC, если ADC = 15.

22.188. (МГУ, физический, 1989, 2(6)) В треугольнике известна длина c одной из сторон и величины и прилегающих к ней углов. Найти площадь треугольника.

22.189. (МГУ, ИСАА, 2000, 2(7)) Тупой угол со сторонами 3 и 6 вписан в окружность радиуса 21.

Определить величину дуги, на которую он опирается.

22.190. Синусы двух острых углов треугольника равны и 13.

Радиус описанной окружности равен 32,5. Найти стороны и площадь треугольника.

22.191. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, углом B равным 30 и катетом CA = 1 проведена медиана CD. Кроме того из точки D под углом 15 к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F. Найти площадь треугольника CDF.

22.192. В треугольнике ABC AB = 4, AC 5, радиус окружности, описанной около треугольника, равен 7. Найти площадь треугольника ABC.

22.193. В остроугольном треугольнике ABC (AB = BC) AM — медиана, AK — высота, CM = 5, M K = 2,2. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

22.194. (МГУ, географический, май 2003, 2(6)) В треугольнике ABC проведены медиана BM и биссектриса BK.

Известно, что ABM =, CBM =, AK = 6. Найти KM.

22.195. (МГУ, филологический, 1998, 2(6)) Длина стороны BC треугольника ABC равна 12. Около треугольника описана окружность радиуса 10. Найти длины сторон AB и AC треугольника, если известно, что радиус OA окружности делит сторону BC на два равных отрезка.

22.196. (МГУ, филологический, 2002, 2(6)) Окружность радиуса 3 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором величины углов A и B равны 60 и 45 соответственно. Найти площадь треугольника.

22.197. (МГУ, биологический, 1998, 5(6)) В треугольнике ABC проведена средняя линия M N, соединяющая стороны AB и BC. Окружность, проведенная через точки M и N и C, касается стороны AB, а ее радиус равен 2. Длина стороны AC равна 2. Найти синус угла ACB.

22.198. (МГУ, мех-мат, май 2003, 3(6)) В треугольнике ABC с углом B = 50 и стороной BC = 3на высоте BH взята такая точка D, что ADC = 130 и AD = 3.

Найти угол между прямыми AD и BC, а также CBH.

22.199. (МГУ, географический, май 2000, 4(6)) В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно, причем BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N — прямая, перпендикулярная AB. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка BO пересекает сторону AC в точке P и делит её на отрезки AP = 5 и P C = 4. Найдите длину отрезка BP, если известно, что длина отрезка BC равна 6.

22.2.4 Окружности 22.200. (ЕГЭ, 2010–2012, C4 – демоверсия) На стороне BA угла ABC, равного 30, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

22.201. (МГУ, физический, 1993, 6(8)) Окружность касается сторон угла с вершиной O в точках A и B.

На этой окружности внутри треугольника AOB взята точка C.

Расстояния от точки C до прямых OA и OB равны соответственно a и b. Найти расстояние от точки C до хорды AB.

22.202. (МГУ, филологический, 1991, 5(6)) В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найти расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 4, а BC = 3.

22.203. (МГУ, физический, 1978, 6(6)) Дана окружность с диаметром AB. Вторая окружность с центром в точке A пересекает первую в точках C и D, а диаметр AB в точке E. На дуге CE, не содержащей точки D, взята точка M, отличная от точек C и E. Луч BM пересекает первую окружность в точке N. Известно, что CN = a, DN = b. Найти M N.

22.204. (МГУ, химический, май 2002, 4(6)) В треугольнике ABC биссектрисы углов при вершинах A и C пересекаются в точке D. Найти радиус описанной около треугольника ABC окружности, если радиус окружности с центром в точке O, описанной около треугольника ADC, равен R = 6 и ACO = 30.

22.205. (Олимпиада “Покори Воробьевы горы”, 2006, 3(10)) На стороне AB угла ABC = 30 взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найти радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.

22.206. (МГУ, Олимпиада “Ломоносов-2007”, 5(10)) На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D, что окружность проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найти AD, если AC = 9, BC = 12 и CD = 6.

22.207. (МГУ, психологический, 2006, 4(6)) Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках B и C (точка B лежит между точками A и C). Другая прямая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках D и E (точка D лежит между точками A и E). Продолжения отрезка BD за точку D и отрезка CE за точку E пересекаются в точке F, EF = 1, AC = 2AE. Найти F D.

22.208. (МГУ, Олимпиада “Ломоносов-2006”, 4(10)) Точки A, B и C лежат на одной прямой. Отрезок AB является диаметром первой окружности, а отрезок BC — диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке E. Известно, что BD = 9, BE = 12. Найти радиусы окружностей.

22.209. (Олимпиада “Покори Воробьевы горы”, 2008, 5(10)) Окружность касается сторон угла ABC в точках A и C. Прямая, проходящая через точку B, пересекает окружность в точках D и E, причем AEBC. Прямые AD и BC пересекаются в точке F.

Найти BF, если AB = 1.

22.210. (Олимпиада “Покори Воробьевы горы”, 2007, 6(10)) Окружность касается другой окружности в точке A, а её хорды BC — в точке D. Найти радиус второй окружности, если BC = и угол BAD = 30.

22.211. (МГУ, мех-мат, май 1999, 4(6)) Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E. Найти AE, если AB = 10, AC = 16, AD = 15.

22.212. (МГУ, мех-мат, 2000, 4(6)) Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5 и AC = 4. Найти длину отрезка CE и расстояние от точки A до центра окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

22.213. (МГУ, мех-мат, 2003, 4(6)) Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F. Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и B = 9.

Сравнить площади треугольников ABC и ABF.

22.214. (МГУ, мех-мат, 2005, 4(6)) На основании BC трапеции ABCD взята точка E, лежащая на одной окружности с точками A, C и D. Другая окружность, проходящая через точки A, B и C, касается прямой CD. Найти BC, если AB = 12 и BE : EC = 4 : 5. Найти все возможные значения отношения радиуса первой окружности к радиусу второй при данных условиях.

22.215. (МГУ, ВМиК, май 1994, 4(6)) В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP — точка N так, что углы BM C и AN C — прямые. Найти биссектрису CL треугольника CM N, если M CN = 30, а расстояние между точками M и N равно 4 + 2 3.

Домашнее задание 22.216. (ЕГЭ, 2010, C4) В треугольнике ABC AB = 13, BC = 9, CA = 11. Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 1 : 9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.

22.217. Прямая касается окружностей радиусов R и r в точках A и B. Известно, что расстояние между центрами равно a, причем r < R и r + R < a. Найдите AB.

22.218. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 6.

Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC.

22.219. Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B. Известно, что AO1 B = 90, AO2 B = 60, O1 O2 = 1.

Найдите радиусы окружностей.

22.220. Около треугольника ABC описана окружность с центром O, угол AOC равен 60. В треугольник ABC вписана окружность с центром M. Найдите угол AM C.

22.221. (МГУ, геологический, 2007, устный) Из точки A, расположенной вне окружности, проведены к данной окружности касательная AK = 4 и секущая AC, внешняя часть которой равна AB = 3. Найдите длину отрезка BC.

22.222. (МГУ, ВМиК, 2007, устный) В трапеции ABCD (BCAD) боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Окружность, построенная на AB как на диаметре, пересекает CD в двух точках, делящих ее в отношении 2 : 1 : 3, считая от вершины C. Найдите острый угол трапеции.

22.223. (Черноморский ф-л МГУ (г. Севастополь), 2007, 4(10)) В окружности единичного радиуса с центром в точке O диаметры AB и CD перпендикулярны. Найдите радиус окружности, касающейся отрезков OA, OC и исходной окружности.

22.224. (МГУ, экономический, 1980, 2(5)) В прямоугольный треугольник вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания на отрезки длиной 5 и 12. Найти площадь треугольника.

22.225. (МГУ, геологический, 1986, 2(6)) Длины сторон AB, BC и AC треугольника ABC в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найти отношение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A на сторону BC, к радиусу вписанной окружности.

22.226. (МГУ, биологический, 1981, 3(5)) Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка OC равна 5.

22.227. (МГУ, ф-т Государственного управления, 2008, 3(7)) В треугольнике ABC точка O — центр вписанной окружности.

Величина угла ACB равна 120. Найти радиус описанной около треугольника ABC окружности, если AO = 6, BO = 3.

22.228. (МГУ, ВМиК, 2007, 3(6)) В треугольнике ABC точка D является основанием высоты, опущенной из точки A на сторону BC. Окружность диаметра проходит через точки B и D и касается внешним образом окружности, описанной около треугольника ACD. Известно, что AC = 4 3, а величина угла ABC равна 30. Найдите длину BC.

22.229. (МГУ, экономический, отд. менеджмента, 2005, 5(6)) Вписанная в треугольник ABC окружность радиуса 1 касается сторон AB, BC и AC в точках K, M и N. Известно, что углы M KN и ABC оба равны 45. Найдите длины сторон треугольника ABC.

22.230. Две окружности касаются внешним образом в точке A. Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку A с точками касания одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8.

22.231. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной 12 и касательная, длина которой составляет 2 внутреннего отрезка секущей. Найти длину касательной.

22.232. (МГУ, экономический (менеджмент), 1996, 5(6)) Через точку A, находящуюся вне окружности на расстоянии 7 от ее центра, проведена прямая, пересекающая окружность в точках B и C. Найти радиус окружности, если известно, что AB = 3, BC = 5.

22.233. Каждая из боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC разделена на три равные части, и через четыре точки деления на этих сторонах проведена окружность, высекающая на основании AC хорду DE. Найти отношение площадей треугольников ABC и BDE, если AB = BC = 3 и AC = 4.

22.234. (МГУ, почвоведения, 2006, 6(7)) В треугольнике ABC известны стороны AB = 9, BC = 8, AC = 7, a AD — биссектриса угла BAC. Окружность проходит через точку A, касается стороны BC в точке D и пересекает стороны AB и AC в точках E и F соответственно. Найти EF.

22.235. (МГУ, Московская школа экономики, 2006, 6(7)) Треугольник ABC, длины сторон которого образуют арифметическую прогрессию, вписан в окружность радиуса 3. Найдите периметр треугольника, если он меньше 40 и AC = 14.

22.236. Две окружности, отношение радиусов которых равно 2 : 3, касаются друг друга внутренним образом. Через центр меньшей окружности проведена прямая, перпендикулярная линии центров, и из точек пересечения этой прямой с большей окружностью проведены касательные к меньшей окружности.

Найти углы между этими касательными.

22.237. (МГУ, геологический, май 2001, 5(8)) Окружность, проходящая через вершину A треугольника ABC, касается стороны BC в точке M и пересекает стороны AC и AB соответственно в точках L и K, отличных от вершины A.

Найдите отношение AC : AB, если известно, что длина отрезка LC в два раза больше длины отрезка KB, а отношение CM : BM = 3 : 2.

22.238. (МГУ, биолого-почвенный, 1971, 4(5)) В прямоугольном треугольнике ABC даны AB = 3, BC = 4 — катеты, через середины AB и AC проведена окружность, касающаяся BC. Найти длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

22.239. (МГУ, Олимпиада “Ломоносов-2005”, 5(10)) На окружности взята точка A, а на ее диаметре BC — точки D и E, а на его продолжении за точку B — точка F. Найти BC, если BAD = ACD, BAF = CAE, BD = 2, BE = 5 и BF = 4.

22.240. (МГУ, мех-мат, 2008, 4(6)) Окружность радиуса 6 проходит через вершину B треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках E и F соответственно. Центр O окружности лежит на стороне AC, AO = 12, CO = 10, OBC = BCO + EOA. В каком отношении прямая BO делит отрезок EF ? Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

22.241. (МГУ, ИСАА, 1995, 4(6)) Сторона AB треугольника ABC равна 3, BC = 2AC, E — точка пересечения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, DE = 1. Найти сторону AC.

22.242. (МГУ, ИСАА, 2001, 5(7)) В треугольнике ABC даны длины сторон AB = 2, BC = 5 и AC = 3. Сравните величину угла BOC и 112,5, если O — центр вписанной в треугольник ABC окружности.

22.243. В треугольнике ABC со сторонами BC = 7, AC = 5, AB = 3 проведена биссектриса AD. Вокруг треугольника ABD описана окружность, а в треугольник ACD вписана окружность.

Найти произведение радиусов.

22.244. Опеределить длину хорды, если известны радиус r и расстояние d от одного конца хорды до касательной, проведенной через другой ее конец.

22.245. (МГУ, геологический, 1991, 5(6)) Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает сторону AB в точке E и сторону BC в точке F. Угол AEC в 5 раз больше угла BAF, а угол ABC равен 72. Найти радиус окружности, если AC = 6.

22.246. В треугольнике ABC AB = 14, BC = 2. Окружность проходит через точку B, через середину D отрезка BC, через точку E на отрезке AB и касается стороны AC. Найти отношение, в котором эта окружность делит отрезок AB, если DE — диаметр этой окружности.

22.247. Сторона AB треугольника ABC является хордой некоторой окружности. Стороны AB и BC лежат внутри окружности, продолжение стороны AC пересекает окружность в точке D, а продолжение стороны BC — в точке E, причем AB = AC = CD = 2, EC = 2. Чему равен радиус окружности?

22.248. (МГУ, биологический, 2002, 3(5)) Длины сторон треугольника ABC равны 4, 6 и 8. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках D, E и F. Найти площадь треугольника DEF.

22.249. (МГУ, Московская школа экономики, 2005, 7(8)) Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 21, BM = 9, а угол ABC равен 60.

22.250. В равнобедренный треугольник с основанием 12 вписана окружность, и к ней проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметров малых треугольников равна 48. Найти боковую сторону данного треугольника.

22.251. В треугольник с периметром, равным 20, вписана окружность. Отрезок касательной, проведенной к окружности параллельно основанию, заключенный между сторонами треугольника, равен 2,4. Найти основание треугольника.

22.252. (МГУ, биологический, май 2002, 3(5)) Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и касается прямой AC в точке A. Найти радиус окружности, если BAC =, ABC = и площадь треугольника ABC равна S.

22.253. (МГУ, физический, 1990, 4(6)) На стороне BC треугольника CD взята точка A так, что BA = AC, CDB =, BCD =, BD = b. Пусть CE — высота треугольника BCD. Окружность проходит через точку A и касается стороны BD в точке E. Найти радиус этой окружности.

22.254. (МГУ, геологический, 1971, 4(5)) Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках A и B соответственно. Определить радиус r, если AB = 12, R = 8.

22.255. (МГУ, биологический, 1978, 3(5)) Дана окружность с центром в точке O и радиусом 2. Из конца отрезка OA, пересекающегося с окружностью в точке M, проведена касательная AK к окружности. Величина угла OAK равна 3. Найти радиус окружности, касающейся отрезков AK, AM и дуги M K.

22.256. На отрезке AC дана точка B, причем AB = 14, BC = 28. На отрезках AB, BC и AC как на диаметрах построены полуокружности в одной полуплоскости относительно границы AC. Найти радиус окружности, касающейся всех трех полуокружностей.

22.257. (МГУ, экономический, отд. экономики, 2005, 5(7)) Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках K, N и M. Известно, что в треугольнике M угол M равен 75, произведение всех сторон равно 9 + 6 3, а вершина K делит отрезок AC пополам. Найдите длины сторон ABC.

22.258. (МГУ, экономический (отд. экономики), 2006, 5(7)) В прямоугольном треугольнике ADC гипотенуза DC является хордой окружности радиуса 1, которая пересекает катеты AD и AC в точках и B соответственно. Найдите DB, если DBE = 22.259. (МГУ, химический, 1998, 5(6)) Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причем CE = DE. Касательные к окружности в точках B и C пересекаются в точке K. Отрезки AK и CE пересекаются в точке M.

Найти площадь треугольника CKM, если AB = 10, AE = 1.

22.260. (МГУ, психологический, 1992, 3(5)) Точки K, L, M,, P расположены последовательно на окружN ности радиуса 2 2. Найти площадь треугольника KLM, если LM KN, KM N P, M N LP, угол LOM равен 45, где O — точка пересечения хорд LN и M P.

22.2.5 Параллелограммы 22.261. (ЕГЭ, 2006, B11) В параллелограмме ABCD биссектриса угла B пересекает сторону CD в точке T и прямую AD в точке M. Найдите периметр треугольника ABM, если BC = 15, BT = 18, T M = 12.

Дан ромб ABCD с острым углом B. Площадь ромба равна 320, а синус угла B равен 0,8. Высота CH пересекает диагональ BD в точке K. Найдите длину отрезка CK.

22.263. (ЕГЭ, 2009, B11) Площадь параллелограмма ABCD равна 21, диагональ BD равна 3 2, ABD = 45. Найдите сторону BC.

22.264. (МГУ, факультет Гос. управления, 2009, 3(7)) Площадь круга, вписанного в ромб, в два раза меньше площади ромба. Найти величину острого угла ромба.

22.265. (МГУ, филологический, 1982, 3(5)) В параллелограмме ABCD сторона AB равна 6, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3. Биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке M так, что M C = 4. Пусть N — точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Найти площадь треугольника BN M.

22.266. (МГУ, ВМиК (отд. специалистов), 2006, 4(6)) В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 10, 8 и 6. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Домашнее задание 22.267. (ЕГЭ, 2006, B11) В параллелограмме ABCD биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке K и прямую BC в точке P. Найдите периметр треугольника CDP, если AK = 12, BK = 9, P K = 15.

22.268. (ЕГЭ, 2008, B11) Точка L лежит на стороне AB параллелограмма ABCD так, что AL : LB = 3 : 4. Прямая CL пересекает луч DA в точке K, а площадь треугольника AKL равна 36. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

22.269. Дан параллелограмм ABCD. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, а биссектриса угла B пересекает сторону AD в точке K, причем AM = 10, BK = 6. Найдите площадь четырехугольника ABM K.

22.270. (ЕГЭ, 2009, B11) Площадь параллелограмма ABCD равна 4 3, диагональ BD равна 2 3, ADB = 30. Найдите сторону CD.

22.271. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AD = 10, BD = 8, а отрезок, соединяющий вершину B с серединой стороны AD, равен 15.

22.272. Внутри параллелограмма ABCD с острым углом A и стороной AD = 7,7 расположена окружность, радиус которой равен 2,4, так, что она касается сторон AD, AB и BC. Точка касания делит AB в отношении 16 : 9, считая от вершины A.

Найдите периметр параллелограмма.

22.273. (ЕГЭ, 2010, C4) В параллелограмме ABCD AB = 24, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : M N = 3 : 5. Найдите BC.

22.274. (МГУ, биологический, 1973, 4(5)) Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найти площадь четырехугольника OM CD.

22.275. (МГУ, химический, ФНМ, 2006, 4(6)) Биссектрисы внутренних углов параллелограмма ABCD образуют четырёхугольник EF GH, каждая вершина которого получена как пересечение двух биссектрис. Найти сумму квадратов всех сторон в четырёхугольнике EF GH, если AB = BC + 3.

22.276. (МГУ, физический, 2000, 4(8)) В параллелограмме KLM N биссектриса M N K пересекает сторону KL в точке Q такой, что LQ/QK = 1/3, LN Q =. Найти LKN.

22.277. (МГУ, биологический, 1980, 4(5)) Периметр параллелограмма ABCD равен 26. Величина угла ABC равна. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, равен 3. Найти длины сторон параллелограмма, если известно, что AD > AB.

22.278. (МГУ, мех-мат, 2001, 3(6)) Через вершины A, B, C параллелограмма ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке E, причем BE = 9. Найти диагональ BD.

22.2.6 Трапеции При решении задач с трапециями часто используются дополнительные построения: проведение из вершины трапеции прямой параллельной диагонали или боковой стороне до пересечения с основанием, достроение трапеции до треугольника путем продолжения боковых сторон.

22.279. (ЕГЭ, 2009, B11 – 1-я демоверсия) В трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой угла A.

Биссектриса угла B пересекает большее Найдите высоту трапеции, если AC = 8 5, BE = 4 5.

22.280. (ЕГЭ, 2009, B11 – 2-я демоверсия) Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9, а радиус вписанной в нее окружности равен 4. Найдите большее основание трапеции.

22.281. (МГУ, почвоведения, 1977, 4(5)) Основание AB трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали AC равна a, а длина боковой стороны BC равна b. Найти площадь трапеции.

22.282. Найти площадь трапеции, у которой большее основание равно a, а меньшее основание равно b и острые углы между боковыми сторонами и большим основанием равны и.

22.283. (МГУ, Московская школа экономики, 2005, 6(7)) В равнобочной трапеции основания относятся как 3 : 2, диагональ делит острый угол пополам. Найдите площадь трапеции, если длина диагонали равна 4.

22.284. (МГУ, мех-мат, 1973, 2(5)) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции.

22.285. (МГУ, социологический, апрель 2005, 4(6)) В равнобочной трапеции ABCD ADBC, биссектриса угла BAD проходит через точку M, которая является серединой стороны CD. Известно, что AB = 5, AM = 4. Найти основания трапеции.

22.286. (Олимпиада “Покори Воробьевы горы”, 2011, 6(10)) В прямоугольной трапеции бльшая диагональ длины 11 делит острый угол трапеции в отношении 2 : 1, а расстояние от вершины тупого угла до этой диагонали равно 4. Какие значения может принимать площадь трапеции?

Домашнее задание 22.287. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен.

22.288. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна 2 13, а средняя линия равна 4.

22.289. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

22.290. (МГУ, почвоведения, май 2001, 6(6)) В равнобедренной трапеции средняя линия равна m, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

22.291. (МГУ, биологический, 2005, 3(6)) Диагонали трапеции равны 12 и 6, а сумма длин оснований равна 14. Найти площадь трапеции.

22.292. В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна 15 и перпендикулярна большей боковой стороне. Меньшая боковая сторона 12. Найти большее основание трапеции.

22.293. (МГУ, Олимпиада “Ломоносов-2005”, 3(10)) Найти площадь трапеции ABCD с боковой стороной BC = 5, если расстояние от вершин A и D до прямой BC равны 3 и соответственно.

22.294. (МГУ, филологический, 2001, 3(5)) В трапеции ABCD стороны AB и CD параллельны и CD = 2AB.

На сторонах AD и BC выбраны соответственно точки P и Q так, что DP : P A = 2, BQ : QC = 3 : 4. Найти отношение площадей четырехугольников ABQP и CDP Q.

22.295. (МГУ, географический, 2005, 2(6)) Произведение средней линии трапеции и отрезка, соединяющего середины ее диагоналей, равно 25. Найти площадь трапеции, если ее высота втрое больше разности оснований.

22.296. (МГУ, географический, 1998, 3(6)) Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC (AD > BC) равна 48, а площадь треугольника AOB, где O — точка пересечения диагоналей трапеции, равна 9. Найти отношение оснований трапеции AD : BC.

22.297. (МГУ, экономический, 1995, 3(6)) В трапеции KLM N боковые стороны KL = 36, M N = 34, верхнее основание LM = 10 и KLM = arccos( 3 ). Найти диагональ LN.

22.298. (МГУ, филологический, 1986, 4(5)) В трапеции ABCD сторона AB параллельна CD. Диагонали BD и AC трапеции пересекаются в точке O, причем треугольник BOC является равносторонним. Найти длину стороны BC, если AB = 5, CD = 3.

22.299. Найти площадь трапеции, если её основания равны и 2, а боковые стороны равны 3 и 1.

22.300. (МГУ, почвоведения, 1979, 4(5)) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке E. Найти площадь треугольника BCE, если длины оснований трапеции AB = 30, DC = 24, боковой стороны AD = 3 и угол DAB = 60.

22.301. В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей AC и BD равна 36, угол CAD равен 60. Отношение площадей треугольников AOD и BOC, где O — точка пересечения диагоналей, равно 4. Найти площадь трапеции.

22.302. (МГУ, мех-мат, 1980, 3(5)) В трапеции длина средней линии равна 4, а углы при одном из оснований имеют величины 40 и 50. Найти длины оснований трапеции, если длина отрезка, соединяющего середины этих оснований равна 1.

22.303. (МГУ, экономический, 1999, 4(7)) В трапеции ABCD (ABCD) диагонали AC = a, BD = 7 a. Найдите площадь трапеции, если CAB = 2DBA.

22.304. (МГУ, геологический, 1996, 7(8)) В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям и имеет длину 6. Длина основания AD равна 8, а длина отрезка DO, где O — точка пересечения диагоналей трапеции, равна 6. Найти площадь треугольника COD.

22.305. (МГУ, почвоведения, 1993, 4(5)) Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию и пересекающая боковые стороны в точках E и F. Длина отрезка EF равна 2. Найдите длины оснований, если их отношение равно 4.

22.306. (МГУ, биолого-почвенный, отд. биологии, 1970, 4(5)) Дана трапеция ABCD, причем BC = a и AD = b. Параллельно ее основаниям BC и AD проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке P, диагональ AC в точке L, диагональ BD в точке R и сторону CD в точке Q. Известно, что P L = LR. Найти P Q.

22.307. AD и BC — основания трапеции ABCD, P — точка пересечения биссектрис углов DAB и ABC, Q — точка пересечения биссектрис углов BCD и CDA. Найти длину средней линии трапеции, если AB = 4, CD = 10, P Q = 1.

22.308. (МГУ, почвоведения, май 2000, 5(5)) Высота трапеции ABCD равна 5, а основания BC и AD соответственно равны 3 и 5. Точка E находится на стороне BC, причем BE = 2, F — середина стороны CD, а M — точка пересечения отрезков AE и BF. Найти площадь четырёхугольника AM F D.

22.309. (МГУ, мех-мат, 2007, устный) В трапецию ABCD вписан параллелограмм KLM N так, что вершины L и N лежат на основаниях BC и AD, а вершины K и M — на сторонах AB и CD соответственно, причём AK : BK = 2 : 3 и BL : CL = 7 : 5. Найти отношение площадей треугольников BKL и CLM.

22.310. (МГУ, мех-мат, 2007, устный) В трапецию ABCD вписан параллелограмм KLM N так, что вершины L и N лежат на основаниях BC и AD, а вершины K и M — на сторонах AB и CD соответственно, причём AK : BK = 1 : и AN : BL : CL = 4 : 2 : 3. Какую часть площади трапеции занимает параллелограмм?

Трапеции описанные и вписанные в окружности В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60, а площадь равна 24 3, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

22.312. (ЕГЭ, 2006, B11 – демоверсия) Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание AD равно 15, синус угла BAC равен, синус угла ABD равен.

22.313. В равнобедренную трапецию с верхним основанием равным единице вписана окружность радиуса единица. Найти площадь трапеции.

22.314. (МГУ, факультет Глобальных процессов, 2005, 4(8)) Найдите площадь трапеции ABCD (BCAD), вписанной в окружность с центром в точке O, если ее высота равна 2, а угол COD равен 60.

22.315. (МГУ, геологический, 1970, 5(5)) В трапеции ABCD известны основания AD = 39, BC = 26 и боковые стороны AB = 5 и CD = 12. Найти радиус окружности, которая проходит через точки A и B и касается стороны CD или ее продолжения.

Домашнее задание 22.316. (ЕГЭ, 2006, B11) Найдите радиус окружности, вписанной вравнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а косинус угла при основании трапеции равен.

22.317. (ЕГЭ, 2006, B11) Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса 7.

Найдите косинус угла при большем основании трапеции, если ее средняя линия равна 8.

22.318. (ЕГЭ, 2008, B11) Равнобедренная трапеция описана около окружности. Точка касания с окружностью делит боковую сторону трапеции в отношении 2 : 3, а радиус окружности равен 12 6. Найдите меньшее основание трапеции.

22.319. В круг радиуса 1 вписана трапеция, основания которой видны из центра круга под углами 60 и 90. Найти площадь трапеции.

22.320. (МГУ, ИСАА, 1991, 2(6)) В равнобочную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найти площадь трапеции.

22.321. Прямоугольная трапеция описана около окружности.

Найти радиус окружности, если длины оснований трапеции равны a и b.

22.322. (МГУ, геологический, 1972, 4(5)) Около трапеции ABCD с основаниями AD и BC описана окружность радиуса 6. Центр описанной окружности лежит на основании AD. Основание BC равно 4. Найти площадь трапеции.

22.323. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 128. Острый угол трапеции равен 30. Найти стороны трапеции.

22.324. (МГУ, биолого-почв., отд. почвоведения, 1970, 3(5)) Около круга описана трапеция с углами при основании и.

Найти отношение площади трапеции к площади круга.

22.325. (МГУ, психологический, 2003, 4(5)) В окружность радиуса 7 вписана трапеция с меньшим основанием 4. Через точку на этой окружности, касательная в которой параллельна одной из боковых сторон трапеции, проведена параллельная основаниям трапеции хорда окружности длины 5. Найти длину диагонали трапеции и площадь трапеции.

22.2.7 Многоугольники 22.326. (ЕГЭ, 2008, B11 – демоверсия) “Тест” Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 32 3.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник M P K, если M, P и K — середины сторон AB, CD, EF соответственно.

22.327. (МГУ, факультет Гос. управления, 2007, 3(7)) Диагональ разбивает выпуклый четырехугольник на два равных треугольника со сторонами длин 5, 12 и 13. Найдите радиус наименьшего круга, в который можно поместить такой четырехугольник.

22.328. (МГУ, Черноморский филиал, 2005, 7(10)) Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите площади треугольников ADO и BCO, если площадь четырехугольника ABCD равна 15, а площади треугольников ABO и CDO равны 2 и 6 соответственно.

22.329. (МГУ, экономический, 1985, 6(6)) В выпуклом четырехугольнике ABCD точка E — пересечение диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников ABE и DCE равна 1, площадь всего четырехугольника не превосходит 4, AD = 3. Найти сторону BC.

22.330. (МГУ, химический, май 2001, 5(6)) В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и EF = 1. Найти длины сторон DE и AF.

22.331. (МГУ, химический, май 2003, 6(6)) В пятиугольник ABCDE вписана окружность. P — точка касания этой окружности со стороной BC. Найти длину отрезка BP, если известно, что длины всех сторон пятиугольника являются целыми числами, AB = 1 и CD = 3.

22.332. (МГУ, мех-мат, май 1998, 3(6)) В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно, A = 35, D = 145, а площадь треугольника BCE равна 11.

Найти площадь пятиугольника ABCDE.

22.333. (МГУ, экономический, 1984, 5(6)) В трапеции ABCD угол BAD равен, а верхнее основание BC равно 5. Найти длину боковой стороны CD, если площадь трапеции равна 2 (AD · BC + AB · CD).

Домашнее задание 22.334. (ЕГЭ, 2007, B11) Найдите периметр правильного шестиугольника ABCDEF, если AE = 10 3.

В правильном шестиугольнике A1 A2 A3 A4 A5 A6 сторона равна 8 3. Отрезок BC соединяет середины сторон A3 A4 и A5 A6. Найдите длину отрезка, соединяющего середину стороны A1 A2 с серединой отрезка BC.

22.336. (МГУ, геологический, 2007, 4(8)) Площадь четырехугольника ABCD равна 9, радиус вписанной в него окружности равен 1, а длины сторон AB и BC равны 3 и соответственно. Чему равны длины сторон AD и CD?

22.337. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны соответственно 2, 3 и 4, вписана окружность радиусом 1,2. Найти площадь четырехугольника.

22.338. (МГУ, химический, 1994, 4(5)) В квадрат площадью 18 вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Стороны прямоугольника относятся как 1 : 2. Найти площадь прямоугольника.

22.339. Площадь четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна S. Найти площадь четырехугольника ABCD.

22.340. (МГУ, географический, 2003, 4(5)) Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, перпендикулярны. Известно, что AC = 4, CAB + DBA = 75. Найти площадь четырёхугольника ABCD и сравнить её с числом 2 15.

22.341. (МГУ, почвоведения, май 1995, 6(6)) В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60, а их длины относятся как 1 : 3. Чему равна меньшая диагональ четырехугольника ABCD, если большая равна 39.

22.342. На стороне CD выпуклого четырехугольника ABCD взята точка E так, что отрезок AE делит четырехугольник ABCD на ромб и равнобедренный треугольник, отношение площадей которых 13. Найти величину BAD.

22.343. (Олимпиада “Покори Воробьевы горы”, 2005, 4(10)) В четырехугольнике ABCD точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно, причем AB = a, BC = b, CD = c и AN = CM. Найти AD.

22.344. (МГУ, ИСАА, 2005, 6(7)) В выпуклом четырехугольнике с вершинами в точках A, B, C, D заданы длины отрезков AD = 2, AB = 2 3, BC = 2( 3 1).

Величины углов DAB и ABC равны и соответственно. Вычислите все углы четырёхугольника.

22.345. (МГУ, психологический, 2005, 4(6)) В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали BD и AC равны стороне AB. Найти угол BCD и сторону AB, если угол CDA прямой, BC = 4, AD = 5.

22.346. (МГУ, ВМиК, 2007, устный) В квадрате ABCD точка K — середина стороны AB, а точка L лежит на диагонали AC, причем AL = 3LC. Найдите KLD.

22.347. (МГУ, ВМиК, 2005, 4(6)) На стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка M так, что AM D = ADB и ACM = ABC. Утроенный квадрат отношения расстояния от точки A до прямой CD к расстоянию от точки C до прямой AD равен 2, CD = 20. Найдите радиус вписанной в треугольник ACD окружности.

22.348. (МГУ, ИСАА, 2008, 6(8)) Выпуклый пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что длины сторон AB, BC, CD, DE равны 2, 2, 2, соответственно. Диагональ CA параллельна стороне DE, величина угла между диагоналями CA и CE равна. Найти площадь пятиугольника ABCDE.

22.349. (МГУ, экономический, 1984, 5(6)) В выпуклом четырехугольнике ABCD вершины A и C противоположны, длина стороны AB равна 3. Угол ABC равен, угол BCD равен 2. Найти длину стороны AD, если известно, что площадь четырехугольника равна 1 (AB · CD + BC · AD).

Многоугольники вписанные в окружность 22.350. (МГУ, социологический, 2003, 3(6)) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Радиус окружности равен 2, сторона AB равна 3. Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Найти CD.

22.351. (МГУ, мех-мат, март 1999, 4(6)) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке E, AB = AD, CA — биссектриса угла C, BAD = 140, BEA = 110. Найти угол CDB.

22.352. (МГУ, мех-мат, 2002, 4(6)) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка X лежит на его стороне AD, причем BXCD и CXBA. Найти BC, если AX = 3 и DX = 6.

Домашнее задание 22.353. (МГУ, Московская школа экономики, 2007, 7(8)) Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке E. Найдите периметр и площадь треугольника ABC, если BC = CD = 6, AB = 7 и CE = 3.

22.354. (МГУ, биологический, ФББ, ФФМ, 2006, 3(6)) Выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 4, BC = 3, CD = 2, AD = 1 вписан в круг. Найти радиус этого круга.

22.355. (МГУ, социологический, 2001, 4(6)) Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD является диаметром описанной около него окружности. Найти отношение SABC и SACD, если известно, что диагональ BD делит AC в отношении 2 : 1 (считая от точки A), a BAC = 30.

22.356. (МГУ, геологический, 1998, 6(8)) Четырехугольник P QRS вписан в окружность. Диагонали P R и QS перпендикулярны и пересекаются в точке M. Известно, что P S = 13, QM = 10, QR = 26. Найти площадь четырехугольника P QRS.

22.357. (МГУ, психологический, 1999, 5(6)) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Длины противоположных сторон AB и CD равны соответственно 9 и 4, AC = 7, BD = 8. Найти площадь четырехугольника ABCD.

22.358. (МГУ, социологический, 2000, 5(6)) В четырёхугольник ABCD вписана окружность радиуса 2. Угол DAB — прямой. Сторона AB равна 5, сторона BC равна 6. Найти площадь четырёхугольника ABCD.

22.359. (МГУ, химический, май 2000, 4(6)) Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Найти её длину, если BC = CE, площадь треугольника ADE равна площади треугольника CDE, площадь треугольника ABC равна площади треугольника BCD, a 3AC + 2BD = 5 5.

22.360. (МГУ, географический, 1989, 5(5)) В выпуклом четырехугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Известно, что AD = 2, ABD = ACD = 90 и расстояние между точкой пересечения биссектрис треугольника ABD и точкой пересечения биссектрис треугольника AD равно 2. Найти длину стороны BC.

22.3 Задачи на максимум и минимум 22.361. (задача Евклида) В треугольнике ABC на стороне BC берется M. Через точку M проводятся прямые M K и M N параллельно сторонам AC и AB соответственно до пересечения со сторонами треугольника в точках K и N. Выбрать точку M так, чтобы площадь параллелограмма AKM N была максимальной.

22.362. Дан угол A и точка M, лежащая внутри угла. Провести через точку M отрезок BC (точки B и C лежат на сторонах угла), так чтобы площадь треугольника ABC была минимальной.

22.363. Пусть,, — углы треугольника. Доказать, что Домашнее задание 22.364. В данный треугольник вписать параллелограмм наибольшей площади с данным острым углом так, чтобы две вершины параллелограмма лежали на основании, а две другие — на боковых сторонах.

22.365. Дан угол A и точка M, лежащая внутри угла. Провести через точку M отрезок BC (точки B и C лежат на сторонах угла), так чтобы периметр треугольника ABC был минимальным.

22.366. Пусть a, b, c — стороны треугольника, причем a + b + c = 1. Доказать, что a2 + b2 + c2 < 1.

22.367. На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения (прямые находятся в общем положении, если среди них нет параллельных и никакие три из этих прямых не пересекаются в одной точке)?

22.368. (МГУ, мех-мат, 2001, устный) Какую максимальную площадь может иметь четырехугольник, стороны которого последовательно равны 1 7a, 7 6a, 5 3a, 14a + 5? Найти все значения a, при которых она достигается.

22.369. (МГУ, ВМиК, 2007, устный) Докажите, что в ABC со сторонами a, b, c и углом A, противоA a лежащим стороне a, справедливо неравенство sin.

22.370. Доказать, что из всех четырехугольников с одними и теми же сторонами четырехугольник, около которого можно описать окружность, имеет наибольшую площадь.

22.4 Использование метода координат и векторов 22.371. (МГУ, Высшая школа бизнеса, 2004, 4(8)) Найдите периметр треугольника ABC, если известны координаты его вершин A(3, 5), B(3, 3) и точки M (6, 1), являющейся серединой стороны BC.

22.372. (МГУ, Высшая школа бизнеса, 2005, 4(8)) В основании четырехугольной пирамиды с вершиной S находится прямоугольник ABCD. Известно, что SA = 7, SB = 2, SC = 6.

Найти SD.

22.373. (Олимпиада “Покори Воробьевы горы”, 2011, 9(10)) В тетраэдре все плоские углы при одной вершине — прямые. Некоторая точка пространства удалена от указанной вершины тетраэдра на расстояние 3, а от остальных его вершин — на расстояния 5, 6 и 7. Найдите расстояния от центра описанной около тетраэдра сферы до каждой из его граней.

22.374. (МГУ, химический, физико-химический, ФНМ, биолог., ФФМ, ФБиБ, географический, психологический, 2007, 5(8)) Прямая l1 проходит через точки (3, 2) и (1, 1) координатной плоскости. Прямая l2 проходит через точку (5, 4) и перпендикулярна прямой l1. Найти координаты точки пересечения l1 и l2.

22.375. (МГУ, мех-мат, устный) Найти наименьшее значение выражения 22.376. Пусть,, — углы треугольника ABC. Доказать, что cos + cos + cos 2, а равенство достигается только для равностороннего треугольника.

Домашнее задание 22.377. Пусть OA, OB, OC — вектора единичной длины, исходящие из одной точки O. Доказать, что OA + OB + OC = тогда и только тогда, когда углы между всеми векторами равны по 120.

22.378. (МГУ, почвоведения, 2005, 6(6)) На плоскости даны точки с координатами A = (1, 2), B = (2, 1), C = (3, 3), D = (0, 0). Они являются вершинами выпуклого четырехугольника ABCD. В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC?

22.379. Пусть,, — углы треугольника ABC. Доказать, что cos 2 + cos 2 + cos 2 2, а равенство достигается только для равностороннего треугольника.

22.380. (МГУ, мех-мат, устный) Найти наибольшее значение выражения 22.381. (МГУ, факультет Гос. управления, 2005, 3(7)) В четырехугольнике ABCD найдите точку E так, чтобы отношение площадей треугольников EAB и ECD было равно 1 : 2, а треугольников EAD и EBC — 3 : 4, если известны координаты всех его вершин: A(2, 4), B(2, 3), C(4, 6), D(4, 1).

22.382. (МГУ, геологический, МШЭ, 2008, 8(8)) В кубе ABCDA1 B1 C1 D1 (AA1 ||BB1 ||CC1 ||DD1 ) точка R лежит на диагонали AC, а точка Q — на диагонали DC1, при этом RQ — общий перпендикуляр к прямым AC и DC1. Чему равна величина угла RDQ?

22.383. (МГУ, ИСАА, 2006, 7(7)) Точки K, L, M, N с координатами (2; 3), (1; 4), (3; 2), (1; 1) лежат на сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD соответственно. Найдите его площадь.

23 Стереометрия 23.1 Вписанные и описанные шары 23.1. Дана пирамида, в которой все боковые ребра равны. Доказать, что вершина проектируется в центр описанного около основания круга.

23.2. Дана треугольная пирамида, в которой все боковые грани наклонены под одинаковым углом к плоскости основания. Доказать, что вершина проектируется в центр вписанного около основания или вневписанного круга.

23.3. Найти радиус шара, описанного около тетраэдра со стороной равной единице.

23.4. Найти радиус шара, вписанного в тетраэдр со стороной равной единице.

23.5. Дана треугольная пирамида. Доказать, что пирамиду, h1, h2, h3, h4 — длины перпендикуляров, опущенных из вершины пирамиды на противоположные грани.

23.6. (ЕГЭ, 2005, C4 – демоверсия) Дана правильная призма ABCA1 B1 C1, где AA1, BB1 и CC1 — боковые ребра. Сфера, центр которой лежит на ребре AA1, пересекает ребро A1 C1 в точке M и касается плоскости основания ABC и плоскости CBB1. Известно, что AB = 12, A1 M : M C1 = 3 : 1.

Найдите площадь боковой поверхности призмы.

23.7. Усеченный конус вписан в шар. Радиус меньшего основания конуса равен 6, большего — 10, а объём —. Найдите объём шарового слоя, в который вписан данный усеченный конус.

23.8. (ЕГЭ, 2008, C4 – демоверсия; 2005, C4) Отрезок P N — диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды P N M L наибольший. Найдите синус угла между прямой N T и плоскостью P M N, если T — середина ребра 23.9. (МГУ, “Ломоносов-2011”, заочный тур, 10(10)) Сфера касается всех ребер пирамиды SABC, причем боковых ребер SA, SB и SC — в точках A, B и C. Найти объем пирамиды Домашнее задание 23.10. Дана пирамида, в которой все боковые ребра наклонены под одинаковым углом к плоскости основания. Доказать, что вершина проектируется в центр описанного около основания круга.

23.11. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с центральным углом 288 и площадью 320. Через вершину конуса перпендикулярно к одной из образующих проведена плоскость, делящая конус на две части. Найдите объем шара, вписанного в ту из образовавшихся частей, которая не содержит высоты конуса, так, что центр шара равноудален от точек пересечения секущей плоскости и окружности основания конуса.

23.12. (МГУ, геологический, 1977, 5(5)) Найти радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна b, а угол между боковыми ребрами равен.

23.13. Ребро куба равно a. Найти радиус сферы, проходящей через вершины нижнего основания куба и касающейся ребер верхнего его основания.

23.14. (МГУ, факультет Глобальных процессов, 2006, 6(8)) Найдите минимально возможный объём прямого кругового конуса, описанного вокруг шара единичного радиуса.

23.15. (МГУ, мех-мат, 2002, 2(6)) Три сферы, радиусы которых соответственно равны 6, 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры A и B второй и третьей сфер, проведена плоскость так, что центр O первой сферы удален от этой плоскости на расстояние 1.

Найти угол между проекциями прямых OA и OB на плоскость и сравнить его с arccos 5.

23.16. (МГУ, физический, 1989, 4(6)) В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найти отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.

23.17. (МГУ, социологический, 2002, 5(6)) В шар радиуса R вписана четырехугольная пирамида с квадратным основанием. Одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а наибольшее боковое ребро образует с ней угол. Найти боковую поверхность пирамиды и вычислить её значение при = arcsin 17, R = 17.

23.18. (МГУ, ВМиК, Олимпиада “Абитуриент-2005”, 5(6)) Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Известно, что длина перпендикуляра, опущенного из основания H высоты пирамиды SH на грань SDC, равна 6, а угол наклона бокового ребра SB к плоскости основания равен.

Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD.

23.19. (МГУ, психологический, 2000, 5(5)) В основании пирамиды SABC лежит треугольник со сторонами AB = AC = 5 и BC = 6. Ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды, если известно, что отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к ребру SA равно.

23.20. (МГУ, географический, май 1999, 6(6)) Дана треугольная пирамида, длины ребер которой равны 2, 6, 6, 8, 8, 10. Найти радиус описанной вокруг пирамиды сферы и объем пирамиды.

23.21. (МГУ, биологический, 1981, 5(5)) В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся ребер равны 12 и 4, а остальные ребра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра длины 12.

23.22. Доказать, что наименьший объем имеет описанный около шара конус, высота которого вдвое больше диаметра шара.