«Галеев Э. М. Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть 5 Геометрия • Планиметрия • Стереометрия Москва 2012 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ...»

23.23. (МГУ, 2011, 7(8)) Дана коробка в форме куба со стороной 8. Шар радиусом 2 касается его основания и двух соседних граней. Второй шар радиусом 3 касается двух других граней и первого шара. Найти высоту, на которой находится центр второго шара над плоскостью основания.

23.2 Объемы 23.24. (ЕГЭ, 2010, B9 – демоверсия) Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания – в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

23.25. (ЕГЭ, 2002, B9) Основание пирамиды — квадрат, сторона которого равна 3. Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом, тангенс которого равен. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

23.26. (ЕГЭ, 2003, B9 – демоверсия) Дана призма ABCDA1 B1 C1 D1, в основании которой лежит квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60. Отрезок D1 A перпендикулярен плоскости основания.

Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна 6( 3 + 2).

Двугранные углы при основании правильной четырехугольной пирамиды равны 45, а площадь боковой поверхности равна 36 2.

Найдите объем пирамиды.

23.28. (ЕГЭ, 2003, C3 – демоверсия) Основание пирамиды M ABCD — ромб ABCD, в котором A = 60. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны.

Плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту M O пирамиды в точке P так, что M P : P O = 2 : 3.

В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды плоскостью. Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра равен 9 3.

23.29. (ЕГЭ, 2003, C3) Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16 3. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 2 3. Найдите объем призмы.

23.30. (МГУ, Олимпиада “Ломоносов-2007”, 8(10)) Грани двугранного угла пересекают боковую поверхность цилиндра радиусом 5 образуя с его осью углы в 70 и 80, а ребро двугранного угла перпендикулярно этой оси и удалено от нее на расстояние 11. Найти объем части цилиндра расположенной внутри двугранного угла.

23.31. В единичном кубе ABCDA B C D проведены главная диагональ AC и диагональ грани B D. Найти угол и расстояние между этими диагоналями.

23.32. (МГУ, ВМиК, 2002, устный) В единичном кубе ABCDA B C D проведены диагонали граней B D и DC. Найти угол и расстояние между этими диагоналями.

23.33. Доказать, что объем произвольного тетраэдра DABC равен V = 6 AB · CD · d · sin, где d — расстояние между прямыми AB и CD, а — угол между ними.

23.34. (МГУ, геологический, 2005, 8(8)) В треугольной пирамиде SABC плоские углы ABC и SAB прямые, двугранный угол между плоскостями ABS и ABC равен arcctg 2 310. Найдите длину высоты пирамиды, опущенной из вершины B на плоскость ASC, если BC = 7, AB = 4.

Домашнее задание 23.35. (ЕГЭ, 2002, B9) В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной, равной 2. Одна из боковых граней также равносторонний треугольник и перпендикулярна основанию. Найдите объем пирамиды.

23.36. (ЕГЭ, 2002, B9) В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 10, 8 и 6.

Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45.

Найдите объем пирамиды.

23.37. (ЕГЭ, 2002, B9) Основание пирамиды — квадрат со стороной, равной 6 2. Косинус угла наклона каждого бокового ребра к плоскости основания равен 3. Найдите объем пирамиды.

23.38. Бильярдный шар весит 200 г. Сколько граммов будет весить шарик вдвое меньшего радиуса, сделанный из того же материала?

23.39. Объем данного правильного тетраэдра равен 2 см3.

Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра данного тетраэдра. Ответ дайте в см3.

23.40. Радиус основания первого конуса в 2 раза меньше, чем радиус основания второго конуса, а образующая первого конуса в 3 раза больше, чем образующая второго. Чему равна площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 22 см2 ? Ответ дайте в см2.

23.41. (ЕГЭ, 2010, B9) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объем параллелепипеда равен 72. Найдите высоту цилиндра.

23.42. (ЕГЭ, 2010, B9) Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2.

Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

23.43. (ЕГЭ, 2007, C4) Стороны AB и BC основания прямоугольного параллелепипеда ABCDA1 B1 C1 D1 равны 7 и 5 соответственно, боковое ребро AA равно 3. Точки L, K, M лежат на ребрах AD, A1 B1, B1 C1 так, что объем пирамиды с вершиной K и основанием AM C1 L.

23.44. (МГУ, ф-т Государственного управления, 2008, 4(7)) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA B C D (ABCD и A B C D — основания, AA 23.45. (МГУ, ИСАА, 1999, 4(7)) Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом. Каждое боковое ребро равно 6 и наклонено к плоскости основания под углом 5. Определить объем пирамиды.

23.46. Вычислить объем треугольной пирамиды, у которой два противоположных ребра 4 и 12, а каждое из остальных ребер равно 7.

23.47. (МГУ, физический, 1997, 6(8)) В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 8, 9.

Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60. Найдите высоту пирамиды.

23.48. (МГУ, мех-мат, тест, 2002, 8(10)) Найти максимально возможный объём треугольной пирамиды при условии, что две её грани — равные треугольники со сторонами 5, 6 и 7.

23.49. (МГУ, мех-мат, тест, 2003, 9(10)) В тетраэдре ABCD с ребрами AB = 5, BC = 11 и CD = 8 ближайшая к вершине A точка ребра BC есть точка B, а ближайшая к вершине D точка грани ABC есть точка E, лежащая на ребре BC и делящая его в отношении BE : EC = 6 : 5. Какова при этих условиях наименьшая длина ребра AD?

23.50. (МГУ, Олимпиада “Ломоносов-2005”, 7(10)) Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а ее высота образует с высотами боковых граней (опущенными из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие 30. Какой наибольший объем может иметь такая пирамида?

23.51. (МГУ, Олимпиада “Ломоносов-2005”, 10(10)) При каждом натуральном n тело n в координатном пространстве задано неравенством 3|x|n + |8y|n + |z|n < 1, а тело — объединение тел n. Найти объем.

23.3 Углы между плоскостями и прямыми 23.52. (ЕГЭ, 2005, B10 – демоверсия) Концы отрезка BC лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 25, длина отрезка BC равна 14 2, а угол между прямой BC и плоскостью основания цилиндра равен 45. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки B и C.

23.53. (ЕГЭ, 2006, B10 – демоверсия) Основанием прямой призмы ABCDA1 B1 C1 D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6 5 и 12 5. Высота призмы равна 8. Секущая плоскость проходит через вершину D и середины ребер AD и CD. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения.

Основание прямой призмы ABCA1 B1 C1 — треугольник ABC, площадь которого равна 15, AB = 7. Боковое ребро призмы равно 18. Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ABC1.

23.55. (ЕГЭ, 2006, B10) Основание прямого параллелепипеда между плоскостью основания и плоскостью A1 BC равен 6. Найдите высоту параллелепипеда.

23.56. (ЕГЭ, 2007, B10 – демоверсия) Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA1 B1 C1 D равна 8, а сторона основания равна 6 2. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1 BD.

Угол между образующими CA и CB конуса равен конуса равна 4, а радиус основания равен. Найдите градусную меру угла между плоскостью ABC и плоскостью основания конуса.

23.58. (ЕГЭ, 2008, B10 – демоверсия) Основание прямой треугольной призмы ABCA1 B1 C1 — правильный треугольник ABC, сторона которого равна 8 3. На ребре отмечена точка P так, что BP : P B1 = 3 : 5. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и ACP, если расстояние между прямыми BC и A1 C1 равно 16.

23.59. (ЕГЭ, 2009, B10 – демоверсия МИОО) В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат.

Объем параллелепипеда равен 4. Чему станет равен объем параллелепипеда, если его высоту увеличить в 3 раза, а стороны квадрата, лежащего в основании, уменьшить в два раза?

23.60. (ЕГЭ, 2009, B10 – 1-я демоверсия) “Тест” Через образующую цилиндра AB проведены два сечения, пересекающие основание цилиндра: одно — по диаметру AM, другое — по хорде AD. Угол между плоскостями этих сечений равен 60.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 60. Найдите площадь того из данных сечений цилиндра, которое проходит через хорду AD.

23.61. (ЕГЭ, 2009, B10 – 2-я демоверсия) Концы отрезка M K лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Угол между прямой M K и плоскостью основания равен 30, M K = 8, площадь боковой поверхности цилиндра равна 40. Найдите периметр осевого сечения цилиндра.

23.62. (ЕГЭ, 2009, C2 – демоверсия МИОО) К диагонали куба провели перпендикуляры из остальных вершин куба. На сколько частей и в каком отношении основания этих перпендикуляров разделили диагональ?

23.63. (ЕГЭ, 2010, C2 – демоверсия) Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C равна 2, а диагональ боковой грани равна 5. Найдите угол между плоскостью A1 BC и плоскостью основания призмы.

23.64. (ЕГЭ, 2010, C2) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 известны длины ребер: AB = 8, AD = 6, CC1 = 4. Найдите угол между плоскостями BDD1 и AD1 B1.

23.65. (ЕГЭ, 2010, C2) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра: AB = 12 3, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где M — точка пересечения медиан грани SBC.

23.66. (ЕГЭ, 2003, C3) В прямую призму, в основании которой лежит ромб с углом 45, вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 5 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если объем призмы равен 120.

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной 2 7. Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого вписана в боковую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса.

23.68. (ЕГЭ, 2009, C4) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1, AB = 2, AD = 6, AA1 = 6 5. Точка M лежит на диагонали BC1. Точка N лежит на диагонали BD. Прямые AM и A1 N пересекаются.

Определить тангенс угла между прямой M N и плоскостью ABC, если BN : N D = 2 : 3.

Домашнее задание Боковое ребро M C пирамиды M ABC перпендикулярно плоскости основания ABC и равно 4. Плоскость, параллельная основанию, проходит через середину высоты пирамиды и пересекает боковые ребра в точках A1, B1 и C1. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды M A1 B1 C1, если AC = BC = 5, а высота CK треугольника ABC равна 3.

23.70. (ЕГЭ, 2002, B9) В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равной 5. Точка M делит ребро SB в отношении 2 : 3, считая от точки S. Через точку M проходит сечение, параллельное основанию пирамиды. Найдите его площадь.

23.71. (ЕГЭ, 2006, B10) Высота прямой призмы ABCA1 B1 C1 равна 18. Основание призмы — треугольник ABC, площадь которого равна 12, AB = 5.

Найдите тангенс угла между плоскостью ABC1 и плоскостью основания призмы.

Угол между образующими CA и CB конуса равен высота конуса равна 4, а радиус основания равен 4 315. Найдите градусную меру угла между плоскостью ABC и плоскостью основания конуса.

23.73. (ЕГЭ, 2008, B10) Боковое ребро правильной призмы ABCA1 B1 C1 равно 44, точка O — середина стороны BC основания призмы, BC = 4. Найдите синус угла между прямой B1 O и плоскостью боковой грани ABB1 A1.

23.74. (ЕГЭ, 2008, B10) Радиус основания цилиндра равен 7, высота цилиндра равна 25.

В окружность основания вписан остроугольный треугольник ABC такой, что AC = 4 10 и BA = BC. Отрезки AA1 и BB1 — образующие цилиндра. Найдите тангенс угла между плоскостью ACA и плоскостью AB1 C.

23.75. В основании конуса проведена хорда. Через данную хорду и вершину конуса C проведена плоскость так, что угол при вершине C, образовавшегося в сечении треугольника, равен 60. Найдите расстояние от центра основания конуса O до данной плоскости, если высота конуса равна 2, а образующая равна 8.

23.76. (ЕГЭ, 2009, B10) Диаметр и хорда AB основания конуса равны 34 и 30, а тангенс угла наклона образующей к плоскости основания равен 2. Найдите тангенс угла наклона между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения, проходящего через вершину конуса и хорду AB.

Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна 2 6. Отрезки AB и CD — диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок AA1 — его образующая. Известно, что AD = 3. Найдите косинус угла между прямыми A1 C и BD.

23.78. (ЕГЭ, 2009, B10) Радиус основания цилиндра равен 5, а высота равна 6. Отрезки AB и CD — диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок AA1 — его образующая. Известно, что BC = 6 2. Найдите синус угла между прямыми A1 C и BD.

23.79. Точки K и M лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла наклона прямой KM к плоскости основания цилиндра равен 3, KM = 10, объем цилиндра равен 150.

Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

23.80. Точки B и D лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла между прямой BD и плоскостью основания цилиндра равен, BD = 15, объем цилиндра равен 450.

Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

23.81. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 3 2, а объем — 24. Найдите расстояние от вершины основания C до прямой AS.

23.82. В конусе с радиусом основания 1 + 3 и высотой 3 + 3 проведено осевое сечение плоскостью SF K, где S — вершина конуса, SK и SF — образующие, SO — высота. Точка M лежит на образующей SF. Найдите расстояние от точки M до SK, если M OK = 135.

23.83. В кубе ABCDA1 B1 C1 D1 найдите тангенс угла между прямой AA1 и плоскостью BC1 D.

23.84. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA B1 C1 D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD = 31.

Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1 D равно 5.

23.85. В правильной треугольной призме ABCA1 B1 C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и A1 C.

23.86. В правильной треугольной призме ABCA1 B1 C1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

23.87. Диаметр окружности цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

23.88. В треугольной пирамиде DABC известно, что BC = 10, AD = 24, расстояние между серединами ребер AC и BD равно 13. Найти угол между прямыми AD и BC.

23.89. (ЕГЭ, 2003, C3) Около правильной треугольной призмы, объем которой равен 288, описан цилиндр. Расстояние от оси цилиндра до диагонали боковой грани призмы равно 4 3. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

23.90. (ЕГЭ, 2004, C3) Все грани призмы ABCDA1 B1 C1 D1 — равные ромбы. Углы BAD, BAA1 и DAA1 равны 60 каждый. Найдите угол между прямой BA1 и плоскостью BDB1.

Все ребра призмы ABCA1 B1 C1 равны между собой. Углы BAA и CAA1 равны 60 каждый. Найдите расстояние от точки C1 до плоскости CA1 B1, если площадь грани ABB1 A1 равна 8 3.

23.92. (ЕГЭ, 2009, C4) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B1 C1 D1, AB = 2, AD = 3 2, AA1 = 7. Точка M лежит на отрезке BC1. Точка N лежит на отрезке BD. Прямые AM и A1 N пересекаются. Определить тангенс угла между прямой D1 M и плоскостью BCC1, если 23.4 Сечения 23.93. В кубе построить сечения по трем точкам, лежащим на ребрах куба.

23.94. (ЕГЭ, 2002, B9 – демоверсия) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1 B1 C1 D1 AB = 6 м, BC = 8 м, BB1 = 1,6 91 м. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой AC и содержащей прямую BA1.

23.95. (ЕГЭ, 2002, B9) Основание и боковая грань пирамиды DABC — правильные треугольники ABC и DAC, плоскости которых взаимно перпендикулярны. Найдите AC, если объем пирамиды равен 1.

23.96. (МГУ, “Ломоносов-2009”, 4(9)) Можно ли данный двуграный угол величиной 90 пересечь плоскостью так, чтобы в полученном сечении образовался угол величиной 110 ?

23.97. (МГУ, ВМиК, 2006, устный) В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник ABC со стороной a. На боковых ребрах взяты точки A, B и C, расстояния от которых до плоскости основания равны a, a и 3a.

Найдите угол между плоскостями ABC и A B C.

23.98. (МГУ, мех-мат, 2001, устный) В единичном кубе с горизонтальным нижним основанием проводятся два плоских сечения. Наивысшая и наинизшая точки первого сечения находятся на расстоянии 0,8 и 0,4 от нижнего основания, а наивысшая и наинизшая точки второго сечения — на расстоянии 0,6 и 0,3. Найти наименьший объем, который при этих условиях может иметь часть куба, расположенная ниже первого сечения, но выше второго.

AA ABCDA B C D

так, что AM = 1/7, а на ребре CC взята точка K. Указать кратчайший маршрут из точки M в точку K по поверхности куба в зависимости от параметра = CK.

23.100. (МГУ, Олимпиада “Ломоносов-2008”, 8(10)) Основанием прямой призмы ABCA B C служит прямоугольный треугольник с катетами AB = 3 и AC = 4. Через середину бокового ребра BB = 10 параллельно AC проведена прямая l. Какие значения может принимать площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки A и B, а остальные две вершины лежат на прямых A C и l соответственно?

Домашнее задание 23.101. В кубе построить сечения по трем точкам, лежащим на гранях куба.

23.102. (МГУ, ВМиК, 2006, устный) В пространстве задано некоторое множество точек M. Проекции этого множества на каждую из двух пересекающихся плоскостей являются прямыми линиями. Может ли множество точек M не быть прямой линией?

23.103. (МГУ, ВМиК, 2006, устный) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA B C D, AD = a, AB = b. На ребре DD выбрана точка M так, что получившийся в сечении прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, C и M, четырёхугольник имеет наименьший возможный периметр. Найдите DM : M D.

23.104. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость, которая отсекает от противоположной грани треугольник площадью 4. Найти боковую поверхность пирамиды, которая отсечена проведенной плоскостью от данной пирамиды, если боковая поверхность данной пирамиды равна 25.

23.105. (МГУ, химический, 1983, 3(5)) Треугольная призма ABCA B C с нижним основанием ABC и боковыми ребрами AA, BB, CC рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F, C, где точка E является серединой ребра AA, точка F лежит на ребре BB, причем BF : F B = 1 : 2. Найти объем части призмы ABCA B C, заключенный между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы, если известно, что объем призмы равен V.

23.106. (МГУ, факультет Глобальных процессов, 2005, 7(8)) Верхняя грань ABCD куба ABCDA B C D (AA BB CC DD — боковые ребра) является одновременно основанием правильной четырехугольной пирамиды SABCD, у которой высота вдвое меньше длины ребра куба. Найдите угол между прямыми 23.107. (МГУ, физический, 1986, 5(6)) В треугольной пирамиде SABC на ребре SB взята точка M, делящая отрезок SB в отношении 3 : 5, считая от точки S. Через точки A и M параллельно медиане BD треугольника ABC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

23.108. (МГУ, ФНМ, май 2000, 5(6)) Дан куб ABCDA1 B1 C1 D1 с основаниями ABCD и A1 B1 C1 D1, боковыми ребрами AA1, BB1, CC1, DD1. Длина ребра куба равна 6.

Через вершину A, середину M ребра B1 C1 и некоторую точку K на ребре DD1 проведена плоскость. Линия пересечения этой плоскости с гранью A1 B1 C1 D1 делит грань A1 B1 C1 D1 на две части, площади которых относятся как 1 : 19. Найти длину отрезка AK.

23.109. (МГУ, почвоведения, 1998, 5(6)) На ребрах AA и CC куба ABCDA B C D отмечены соответственно точки E и F такие, что AE = 2A E, CF = 2C F. Через точки B, E и F проведена плоскость, делящая куб на две части.

Найдите отношение объема части, содержащей точку B, к объему всего куба.

23.110. (МГУ, почвоведения, май 2003, 6(6)) Ребро куба ABCDA B C D равно a. Найти периметр и площадь сечения, проведенного через диагональ DC параллельно D B.

23.111. (МГУ, биологический, май 2002, 5(5)) На ребрах AD и BC куба ABCDA B C D соответственно взяты точки P и Q так, что AP : P D = 2 : 1, BQ : QC = 1 : 3. В каком отношении делит объём куба плоскость, проходящая через точки P, Q и центр грани CC D D?

23.112. (МГУ, географический, 1984, 4(5)) Через середину высоты правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Найти площадь этого сечения, если длина бокового ребра равна 4, а угол между боковыми ребрами, лежащими в одной грани, равен. 23.113. (МГУ, мех-мат, март 2003, 5(6)) Точка O расположена в сечении AA C C прямоугольного параллелепипеда ABCDA B C D размером 2 6 9 так, что OAB + OAD + OAA = 180. Сфера с центром в точке O касается плоскостей A B C, AA B и не имеет общих точек с плоскостью AA D. Найти расстояние от точки O до этой плоскости.

23.114. (МГУ, геологический, 1985, 6(6)) Дан куб ABCDA B C D с ребром длины 4. На середине ребра CC взята точка K, а на ребре AA на расстоянии 1 от вершины A взята точка M. Найти длину кратчайшего пути между точками K и M по поверхности куба.

23.115. (МГУ, мех-мат, 1969, 4(4)) Прямоугольные проекции плоского четырехугольника на две взаимно перпендикулярные плоскости являются квадратами со сторонами 1. Найти периметр четырехугольника, зная, что одна из его сторон имеет длину 2.

Ответы, указания, решения. 22.53. 90, 25, 65. 22.54. 6. 22.55. 30. 22.56. 24.

22.6.

22.57. SABD = 1, R = 22.60. 1 и 4. 22.61. 5. 22.62. 40. 22.63. 16. 22.64. 1,5. 22.65. 70.

22.69. 15 + 6 3. 22.70. h 5. 22.71. 30 и 60. 22.72. 3, 4, 5.

22.77.

22.80. 2. 22.81.

22.101. A = C = arctg 3, B = 2 arctg 3; SN BM D =.

22.107. 10. 22.108. 14. 22.109.

22.113.

22.127. 25 3, 75 3. 22.128. 84. 22.129. 2 2. 22.130..

22.154. 45, 75, 60 или 135, 15, 30 или 120, 15, 45 или 22.159..22.160. а) 4 26; б) такого треугольника нет; в).

22.179. 3,, или 7, arcsin, arcsin.

22.182. 3(2 6 + 1). 22.183. 10. 22.184., arcsin, arcsin.

22.188.

22.194. 3( 21). 22.195. AB = AC = 2 10. 22.196. 9(3+ 3).

22.197..22.198. 90, 20.22.199. 5.22.200. 1; 7.22.201. ab.

22.202. 2 3. 22.203. ab. 22.204. 6. 22.205. R1 = 1; R2 = 7.

22.206. 10. 22.207. 2. 22.208. 36; 8. 22.209.. 22.210. 2 3.

22.211. 24. 22.212. CE = 6; ) = 2. 22.213. 25 : 81; равны.

22.216.

22.227. 5+3 2. 22.228.. 22.229. 2+ 2, 2+ 2, 2 2+2.

22.230.. 22.231. 6. 22.232. 5. 22.233. 2. 22.234. 6.

22.235. 30. 22.236. 90. 22.237. 9 : 8. 22.238. 1,1. 22.239. 11.

22.240. а) 6 : 5; б) 13. 22.241. 3. 22.242. 112,5, равны.

22.243.. 22.244. 2dr. 22.245. 3. 22.246. 4 : 3. 22.247. 5.

22.248..22.249. S = 90 3.22.250. 18.22.251. 4 или 6.

22.264. arcsin.22.265..22.266. 672.22.267. 77.22.268. 224.

22.269. 30. 22.270. 2. 22.272. 25,4. 22.273. 88 или 33.

22.289. 39 или 9. 22.290. m2. 22.291. 16 5. 22.292. 25.

22.314. SABCD = 4 3. 22.315.

22.320. 72. 22.321.

22.328. 3 и 4; 4 и 3.22.329. 3.22.330. 6 и 8.22.331..22.332. 22.

22.337. 7,2.22.338. 8.22.339. 2S.22.340. S = 2( 6+ 2) < 2 15.

22.345. arccos +,. 22.346. 90. 22.347. 4 102 15.

22.352. 3.22.353. P = 25; S = 22.360. 3. 22.361. Точка M должна быть серединой BC.

22.362. Отрезок BC в точке M должен делиться пополам.

22.364. В искомом параллелограмме сторона является средней линией, параллельной основанию.

22.365. Искомый отрезок касается в точке M окружности, проходящей через точку M и касающейся сторон данного угла.

22.375. 10. 22.378. 1 : 3, считая от точки A. 22.380. 4.

23.23. 2 + 7. 23.24. 9. 23.25. 15. 23.26. 3. 23.28. 250.

23.29. 144.

23.38. 25. 23.39. 54. 23.40. 33. 23.41. 2. 23.42. 20. 23.43. 9.

23.48. Vmax =.23.49. 10.23.50. 150 3.23.51. 1.23.52. 24.

23.53. 0,6. 23.55. 18. 23.56. 4,8. 23.58. 0,5. 23.59. 3. 23.61. 28.

23.65. arctg. 23.66. 106. 23.68. 5. 23.70. 4. 23.71. 3,75.

23.73. 0,25. 23.74. 0,4. 23.75. 1. 23.76. 4,25. 23.78. 0,75. Литература [1] Вступительные экзамены по математике 2000 — 2002.

М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2003.

[2] ЕГЭ 2011. Математика. Под редакцией Семенова А.Л., Ященко И.В. М.: Изд-во АСТ. Астрель, 2010.

[3] Математика. Задачи вступительных экзаменов с ответами и решениями. (1993 — 1997 гг.) М.: Издат. отдел УНЦ ДО МГУ, [4] Моденов В. П. Пособие по математике. Часть I. М.: Изд-во МГУ, 1977.

[5] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Часть 1. М.: Изд-во “Наука”, 1991.

[6] Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. Учебное пособие. /Под редакцией Сканави М. И., М.: Изд-во “Высшая школа”, 1980.

[7] Ципкин А. Г., Пинский А. И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. М.: Изд-во “Наука”, [8] Якушева Е. В., Попов А. В., Якушев А. Г. Математика. Все для экзамена. М.: Изд-во “Экономика”, 2000.

Галеев Эльфат Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Специалист в области теории аппроксимации, функционального анализа, теории экстремальных задач и методики преподавания элементарной математики. Автор более 150 научных работ, в том числе ряда монографий по теории экстремальных задач и учебно-методических пособий по подготовке к вступительным экзаменам по математике в МГУ. Неоднократно участвовал в составлении вариантов и приеме вступительных экзаменов на различные факультеты МГУ.

Замечания и предложения по улучшению содержания книги можно направлять по адресу:

119992, Москва, МГУ, механико-математический факультет, кафедра общих проблем управления, профессору Галееву Эльфату Михайловичу.

моб. тел. 8-926-266-02-87.

e-mail: [email protected] Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений).

• Планиметрия • Стереометрия М.: Издательство “Попечительский совет мех-мат. ф-та МГУ”, 2012.—88 с.

Подписано в печать 15.06.2012 г.

Формат 6090 1/16. Объем 5,5 п.л.

Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”.

119992, г. Москва, Ленинские Горы, д.1.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета.