«ЗАД АЧИ П О АЛГЕ БР Е, АР И Ф МЕ Т И КЕ И АН АЛИ ЗУ Учебное пособие Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 512.1+517.1+511.1 ББК 22.141+22.161 П70 Прасолов В. В. П70 Задачи по алгебре, арифметике и анализу: Учебное пособие. ...»

Докажем теперь, что если n достаточно велико, то абсолютная величина правой части равенства (3) меньше 1.

Следовательно, Ясно, что 0. Будем предполагать, что среди всех многочленов с целыми коэффициенi, тами, имеющих корень мы выбрали уравнение наименьшей степени.

Пусть 1,..., m — корни уравнения (4); одним из этих корней является Раскрывая скобки, получаем равенство вида...+ m, которые отличны от нуля, n+1,..., N — остальные показатели (все они равны нулю). Отметим, что N > n, поскольку уравнение (4) имеет корень i (задача 23.18).

Равенство (5) можно переписать в виде где K 2 — некоторое натуральное число.

Числа p0 1,..., p0 m являются целыми алгебраическими числами (задача 32.36), поэтому числа p0 1,..., p0 n тоже являются целыми алгебраическими числами (задача 32.39).

Если F(z1,..., zn ) — симметрический многочлен с целыми коэффициентами, то F(p0 1,..., p0 n ) — целое число. Действительно, F(z1,..., zn ) является многочленом с целыми коэффициентами от элементарных симметрических функций k (z1,..., zn ). Но k (p0 1,..., p0 n ) = = k (p0 1,..., p0 N ), поскольку эти выражения различаются лишь слагаемыми, равными нулю. Остаётся заметить, что k (p0 1,..., p0 N ) можно представить в виде многочлена с целыми коэффициентами от элементарных симметрических функций от p0 1,..., p0 m.

= f(x) + f (x) + f (x) +... + f(n) (x). Тогда Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно задаче 29. где |qk (x)| < 1.

Полагая k = 0, 1, 2,..., n и складывая соответствующие равенства, домноженные на ck, получаем требуемое.

Положим в равенстве из леммы последовательно x = = 0, 1, 2,..., n, умножим первое из этих равенств на K и сложим все эти равенства. Воспользовавшись равенством (6), получим Докажем, что существует многочлен f(x), для которого это равенство не может выполняться в том случае, когда 1,..., m — алгебраические числа.

где t — простое число, которое мы выберем чуть позже.

Многочлен f(x) можно представить в следующих видах:

..............................................

Первое из этих равенств получается, если в левой части равенства (8) раскрыть скобки. Ясно, что — целое число. Аналогично доказывается, что At, At+1,... — целые числа.

Второе равенство получается, если записать (8) в виде f(x) = При этом выражения Bt, Bt+1,... являются многочленами с целыми коэффициентами от p0 1, p0 2,..., p0 n. Остальные представления многочлена f(x) получаются аналогично. Каждая из сумм Bt +Ct +..., Bt+1 +Ct+1 +...,... является целым числом, поскольку она является симметрическим многочленом с целыми коэффициентами от p0 1,..., p0 n.

Несложные вычисления показывают, что.......................................

делящимся на t.

Выберем простое число t так, чтобы оно было больше каждого из чисел K, p0 и |(p0 1 )... (p0 n )|. Тогда является целым числом, не делящимся на t. Действительно, выражение (9) показывает, что At1 не делится на t.

Обратимся теперь к равенству (7). Мы уже выяснили, что KF(0) + F( 1 ) +... + F( n ) — целое число, не делящееся на t. Чтобы прийти к противоречию, достаточно показать, что число по модулю меньше 1 при достаточно большом t.

Для рассматриваемого многочлена f(x) имеем:

8. Разрешимость уравнений в радикалах Разрешимость уравнений в радикалах можно понимать в разных смыслах. Норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802– 1829) занимался вопросом о существовании общей формулы для всех уравнений данной степени, которая выражает их корни как функции от коэффициентов.

Именно такой вид имеет, например, формула Кардано для уравнений третьей степени. Абель доказал, что если степень уравнения не меньше 5, то такой общей формулы (содержащей только радикалы и арифметические операции) нет. Но при этом некоторые конкретные уравнения (с рациональными коэффициентами) могут иметь корни, выражающиеся в радикалах. Например, таковыми являются уравнения xn = 0 и xn = 1. Критерий разрешимости в радикалах конкретных уравнений получил французский математик Эварист Галуа (1811– 1832).

Мы сначала приведём доказательство теоремы Абеля о неразрешимости общего уравнения степени 5 и выше, а затем приведём восходящие к Кронекеру рассуждения, позволяющие про некоторые конкретные уравнения доказать, что они неразрешимы в радикалах. С одной стороны, эти рассуждения не такие общие, как теория Галуа. С другой стороны, они дают дают весьма простой с точки зрения вычислений признак неразрешимости в радикалах, в отличие от общего критерия Галуа. (Вычисление группы Галуа данного уравнение — дело нелёгкое.) Теорема Абеля В 1798– 1813 гг. появилось несколько работ итальянского математика Паоло Руффини (1765– 1822), в которых он доказывал теорему о неразрешимости в радикалах уравнений пятой и более высоких степеней. К сожалению, в этом доказательстве был существенный пробел. Руффини без основания предполагал, что радикалы рационально выражаются через корни исходного уравнения (см. теорему 4 на с. 574).

Первое полное доказательство теоремы о неразрешимости общего уравнения пятой степени получил Абель. Это доказательство он изложил в мемуаре «Доказательство невозможности алгебраического решения общих уравнений пятой степени», опубликованном в 1825 г.

Будем говорить, что уравнение является общим уравнением n-й степени, если его коэффициенты c1,..., cn рассматриваются как независимые переменные над некоторым полем L. В дальнейшем будем считать, что L = Q — поле рациональных чисел.

Присоединив коэффициенты c1,..., cn к полю Q, получим поле = Q(c1,..., cn ).

Присоединив к полю корни 1,..., n уравнения (1), получим поле, которое обозначим (F).

Будем говорить, что уравнение (1) разрешимо в радикалах, если поле (F) содержится в расширении R поля, полученном путём присоединения к некоторых радикалов 1 = s1 a1, 2 = s2 a2,..., m = sm am, где a1, a2 (1 ), Пусть, например, F(x) = x2 + c1 x + c2. Тогда = Q(c1, c2 ) Отметим, что показатели s1,..., sm радикалов 1,..., m можно считать простыми числами. В самом деле, если sk = uv, то присоединение радикала k = sk ak можно заменить последовательным присоединением радикалов ua и 1= Поэтому в дальнейшем будем рассматривать лишь присоединение радикалов с простыми показателями.

Предположим, что уравнение (1) разрешимо в радикалах. Присоединим к полю первообразные корни из единицы 1,..., m, степени которых равны степеням радикалов 1,..., m соответственно. Полученное поле обозначим K.

Для доказательства теоремы Абеля нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.

Т е о р е м а 1. Пусть p — простое число, k — некоторое подполе поля комплексных чисел. Многочлен xp a приводим над полем k тогда и только тогда, когда a = bp для некоторого b k.

g(x), где f(x) и g(x) — многочлены над полем k. Пусть — примитивный корень степени p из единицы и = a.

Тогда ( l )p = 1, то (± r )p = (cr )p, т. е. ar = (±cr )p. Число p простое и 1 r = deg f < p, поэтому rs + pt = 1 для некоторых чисел s и t. Следовательно, a=ars apt =(±cs at )p =bp, где b=±cs at k.

Ясно так же, что если a = bp, то многочлен xp a приводим, так как он делится на x b.

= K(1,..., i1 ). Если i = s ai k, то l k тогда и только тогда, когда l делится на s.

ai k.

Предположим теперь, что l = a k, причём l = sq + r, где 0 < r < s. Тогда a = l = (ai )q r, а значит, r = b, где b = a(ai )q. Над полем k многочлены xs ai и xr b имеют общий корень i, поэтому они имеют общий делитель, степень которого не превосходит r < s. В частности, многочлен xs ai приводим над полем k. Из теоремы 1 следует, что ai = bs, где b k. Ясно, что b = i, где — корень степени s из единицы.

А так как K k, то i k. Получено противоречие.

Можно считать, что 1,..., m — минимальная последовательность радикалов с простыми степенями, требуемая для вычисления корня уравнения (1), т. е. любая такая последовательность содержит по крайней мере m таких радикалов. При этом условии справедливо следующее утверждение.

Т е о р е м а 3. Корень уравнения (1) можно представить в виде где s — степень радикала m, = s a, a и все ul — какие-то элементы поля k = K(1,..., m1 ).

где bi k. Трудность заключается лишь в том, чтобы добиться равенства b1 = 1. По условию k, поэтому хотя бы одно из чисел b1,..., bs1 отлично от нуля. Пусть bl = 0, где 1 l < s. Положим = bl l. Так как число s простое, то ul + vs = 1 для некоторых целых чисел u и v. При этом Так как m k, то k. Ясно также, что s = bs ls = bs al k.

Заменим в выражении (2) m на cu, вспомнив при этом, что bl l = В результате получим Из теоремы 2 следует, что t k тогда и только тогда, когда t делится на s. А так как числа u и s взаимно простые, то набор элементов 1, u, 2u,..., (s1)u совпадает с набором 1,, 2,..., s1 (в другом порядке). Таким образом, (3) дат требуемое выражение для :

Т е о р е м а 4. Минимальную последовательность радикалов 1,..., m для вычисления корня многочлена (1) можно выбрать так, что 1,..., m представляют собой многочлены над K от корней 1,..., m многочлена (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем исходить из произвольной минимальной последовательности 1,..., m. Напомним, что через K мы обозначили поле, полученное в результате присоединения к полю первообразных корней 1,..., m, степени которых равны степеням радикалов 1,..., m. Согласно теореме 3 радикал m можно заменить радикалом той же самой степени s так, что где ul k = K(1,..., m1 ) и s = a k. Покажем, что для любого корня многочлена xs a величина является корнем многочлена (1). Подставим в многочлен F(x) = xn + c1 xn1 +... + cn вместо x величину (). Учитывая, что s = a k, в результате получим выражение вида где bl k. Многочлены xs a и b0 + b1 x +... + bs1 xs1 имеют общий корень поэтому они имеют общий делитель над k.

Но согласно теореме 1 многочлен xs a неприводим над k, рень многочлена xs a, то () — корень многочлена (1).

Пусть — примитивный корень степени s из единицы. Тоr гда поэтому величины при r = 0, 1,..., s 1 будут корнями многочлена (1). Например, для s = 3 получим получаются более громоздкие, но рассуждения те же самые.

Доказательство теоремы для последнего радикала m завершено. Перейдём к радикалу m1.

Выше было показано (для s = 3), что величины u0, u2 2,..., us1 s1 полиномиально выражаются через корни 1,..., m многочлена (1). Кроме того, они лежат в поле K(1,..., m1 ), поэтому каждую из указанных величин можно представить в виде где l K(1,..., m2 ). Последовательность радикалов 1,..., m минимальна, поэтому равенства 1 = 2 =...

... = l1 = 0 не могут выполняться сразу для всех величин, так как иначе радикал m1 можно было бы исключить.

Поэтому существует соотношение вида где l K(1,..., m2 ), причём не все элементы 1,..., l равны нулю, а r( 1,..., n ) — некоторый многочлен над полем K. Рассмотрим многочлен Коэффициенты многочлена G являются симметрическими многочленами от корней многочлена (1), поэтому они полиномиально выражаются через коэффициенты многочлена (1). Таким образом, G — многочлен над K, причём он имеет корень Ясно так же, что корень выражается в радикалах (с помощью последовательности радикалов 1,..., m1 ). Согласно теореме 3, заменив радикал m1 радикалом той же самой степени, можно добиться равенства 1 = 1. К радикалу теперь можно применить те же самые рассуждения, которые мы применили к радикалу Затем переходим к радикалу m2 и т. д. до радикала 1.

Теперь можно приступить непосредственно к доказательству теоремы Абеля.

Т е о р е м а 5 (Абель). При n 5 корень общего многочлена степени n нельзя выразить в радикалах.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что некоторый корень 1 общего многочлена степени n можно выразить в радикалах. Тогда согласно теоремам 1– 4 – для 1 существует выражение в радикалах следующего специального вида. Корень 1 получается последовательным присоединением радикалов 1,..., m простых степеней, а эти радикалы, в свою очередь, являются многочленами от корней 1,..., n исходного многочлена. Точнее говоря, пусть 1,..., m — примитивные корни из единицы, степени которых равны степеням радикалов 1,..., m соответственно, = Q(c1,..., cn ) и Тогда 1 полиномиально выражается через 1,..., m над полем K, т. е.

где r — многочлен над Q( 1,..., m ). В свою очередь, радикалы 1,..., m полиномиально выражаются над полем K через 1,..., n, т. е.

где r1 — многочлен над Q( 1,..., m ). Так как мы имеем дело с общим многочленом степени n, то можно считать, что 1,..., n — независимые переменные, а c1,..., cn представляют собой (с точностью до знака) элементарные симметрические многочлены от 1,..., n.

Покажем, что при n 5 предположение о разрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения степени n приводит к противоречию. Рассмотрим для этого перестановку которая циклически переставляет первые 5 элементов, а остальные элементы оставляет неподвижными. Докажем, что при действии T на корни 1,..., n первый радикал 1 не изменяется. Так как где a1 — многочлен от c1,..., cn над полем Q( 1,..., m ), то равенство p = a1 можно рассматривать как соотношение вида где — многочлен над полем Q( 1,..., m ). Покажем, что соотношение такого вида сохраняется при любой перестановке корней 1,..., n. Пусть 1 = i1,..., n = in, где i1,..., in — некоторая перестановка чисел 1, 2,..., n. Тогда где di = ci ( 1,..., n ). А так как функции ci симметрические, то di = ci ( 1,..., n ) = ci. Поэтому Итак, соотношение p = a1 сохраняется при действии перестановки T на корни 1,..., n, т. е. T(p ) = T(a1 ). Ясно, что T(p ) = T(1 )p. А так как a1 зависит лишь от симметрических функций корней, то T(a1 ) = a1. Следовательно, T(1 ) = 1 1 и Tm (1 ) = m 1. (Здесь Tm обозначает перестановку T, применённую m раз, т. е. если T(i1 ) = i2, T(i2 ) = i3,..., T(im ) = im+1, то Tm (i1 ) = im+1.) Но T5 = I — тождественная перестановка, поэтому 5 1 = T5 (1 ) = 1, т. е. 5 = 1.

Обратимся теперь к перестановкам Легко проверить, что U3 = V 3 = I, поэтому U(1 ) = и V(1 ) = 1 1, причём 1 = 3 = 1. Кроме того, VU = T, поэтому Следовательно, = 1, а значит, = 6 5 = так как 1 = 1 = 1 = 1. В итоге получаем T(1 ) = 1.

Переходя последовательно к радикалам 2,..., m, аналогично получим T(i ) = i при i = 2,..., m.

можно рассматривать как соотношение между 1,..., n, c1,..., cn над полем Q( 1,..., m ). Это соотношение сохраняется под действием перестановки T, т. е.

так как T(ci ) = ci и T(i ) = i. Таким образом, T( 1 ) = = 1. С другой стороны, согласно определению T получаем независимости корней общего уравнения.

Теорема Кронекера Пусть f(x) — многочлен с рациональными коэффициентами. Будем говорить, что уравнение f(x) = 0 разрешимо в радикалах, если каждый его корень содержится в поле, полученном путём присоединения к полю рациональных чисел некоторых радикалов 1 = s1 a1, 2 = s2 a2,...

Т е о р е м а 6 (Кронекер). Если уравнение f(x) = 0, где f(x) — неприводимый многочлен нечётной простой степени p, разрешимо в радикалах, то либо это уравнение имеет ровно один вещественный корень, либо все его корни вещественны.

Чтобы доказать эту теорему, выясним сначала, когда неприводимый над полем k (содержащимся в поле комплексных чисел) многочлен f(x) нечётной простой степени p становится приводимым после присоединения к полю k корня неприводимого многочлена g(x) некоторой степени q. Приводимость в данном случае означает, что циентами из основного поля k. Мы будем предполагать, что старшие коэффициенты многочленов f, и равны 1.

Для каждого рационального числа r многочлен u(y) = ме того, u( ) = 0. Таким образом, многочлен u имеет общий корень с неприводимым многочленом g, поэтому u( i ) = = 0 для любого корня i многочлена g. Многочлен f(x) (x, i ) (x, i ) нулевой для любого рационального числа x, поэтому он нулевой для любого x. Таким образом, f(x) = Мы получили q равенств. Перемножив их, приходим к равенству (f(x))q =(x)(x), где (x)=(x, 1 )... q) и (x) = (x, 1 )... (x, q ). Коэффициенты многочленов и являются симметрическими функциями с коэффициентами из поля k от корней 1,..., q многочлена g, поэтому они лежат в k. Возьмём любой корень x1 многочлена. Он является корнем многочлена f, поскольку (f(x1 ))q = (x1 )(x1 ). Поэтому многочлен и неприводимый многочлен f имеют общий корень, а значит, делится на f. Поделим на f и повторим те же самые рассуждения.

В результате получим = f. Аналогично = f ; при этом + = q. Пусть степени многочленов и равны m и n.

меньше p, поэтому q делится на p.

В частности, если f(x) — неприводимый многочлен нечётной простой степени p, то после присоединения примитивного корня степени p из единицы он остаётся неприводимым. Действительно, примитивный корень степени p из единицы является корнем многочлена степени q = p 1, причём q не делится на p. Мы будем предполагать, что основное поле k содержит примитивный корень степени p из единицы. Кроме того, присоединяя корень, мы всегда будем присоединять и комплексно сопряжённый с ним корень, т. е. будем предполагать, что основное поле k вместе с каждым числом содержит и комплексно сопряжённое число. Это можно сделать, поскольку комплексно сопряжённый корень является корнем того же самого многочлена, а рассматриваемый многочлен f(x) становится приводимым после присоединения некоторого корня неприводимого многочлена g(x) тогда и только тогда, когда он становится приводимым после присоединения любого корня многочлена g(x).

Предположим, что неприводимый многочлен f(x) простой степени p становится приводимым после присоединеq ния радикала a. Напомним, что число q можно считать простым (см. с. 572). Напомним также теорему 1 на с. 572, согласно которой многочлен xq a неприводим над k. Поэтому число q должно делиться на p, а значит, q = p.

гочлены положительной степени с коэффициентами из i = 0, 1,..., p 1. Можно считать, что многочлен член h(y) над полем k степени меньше p. Число корень неприводимого над k многочлена xp a, не может быть корнем неприводимого над k (ненулевого) многочлена степени меньше p. Поэтому из равенства h( ) = 0 следуx, ) Коэффициенты этого многочлена являются симметрическими функциями от 0,..., p1, корней многочлена xp a, поэтому они принадлежат k. Полученное противоречие поx, казывает, что все p многочленов i ) различны, а значит, c0,..., cp1 лежат в поле k. Тогда j =c0 +c1 j +...+cp1 j.

Уравнение f(x) = 0 имеет по крайней мере один вещественный корень j, поскольку его степень нечётна. Возможны два случая.

С л у ч а й 1. Число a вещественное.

В качестве можно выбрать любой корень многочлена xp a, поэтому можно считать, что вещественно. Запишем вещественный корень j в виде j = = ds s ; числа ds = cs js лежат в основном поле k, поскольку k по предположению содержит. Далее, j = j, поэтому (d0 d0 ) + (d1 d1 ) +... + (dp1 dp1 )p1 = 0. Вместе с каждым корнем мы присоединяли комплексно сопряжённый ему корень, поэтому все числа ds ds лежат в поле k.

Но число не является корнем многочлена над k степени меньше p, поэтому числа ds вещественные. Следовательно, числа r = cs s rs = ds s (rj)s и t = ds s (tj)s будут комплексно сопряжёнными, если r j + t j 0 (mod p), т. е. t 2j r (mod p). В результате мы получаем один вещеp ственный корень и комплексно сопряжённых корней многочлена f(x).

С л у ч а й 2. Число не вещественное.

Вместе с числом = a присоединим к полю k число В результате будет также присоединено вещественное число =. Если бы присоединение к полю k числа делало многочлен f(x) приводимым, то мы оказались бы в ситуации случая 1. Поэтому будем предполагать, что многочлен f(x) остаётся неприводимым после присоединения к полю k.

В качестве мы можем взять любой корень многочлена xp a, поэтому можно считать, что вещественный корень — это 0 = c0 + c1 +... + cp1 p1. Тогда Таким образом, Здесь числа c0,..., cp1, c0,..., cp1 и лежат в поле K().

По предположению многочлен xp a неприводим над этим полем, поэтому в соотношении (4) можно заменить на любой другой корень j многочлена x a. Действительно, это соотношение легко приводится к полиномиальному виду, а если некоторый многочлен G(x) имеет общий корень с неприводимым многочленом xp a, то G(x) делится на xp a, а потому G(i ) = 0. Ясно, что Поэтому соотношение (4) для Это означает, что j = j, т. е. все корни многочлена f(x) вещественные. Доказательство теоремы Кронекера завершено.

Имея в распоряжении теорему Кронекера, несложно доказать, что уравнение x5 4x + 2 = 0 неразрешимо в радикалах. Действительно, неприводимость многочлена f(x) = x 4x + 2 следует из признака Эйзенштейна (задача 32.13).

Количество вещественных корней этого многочлена не меньше трёх, поскольку С другой стороны, количество вещественных корней не может быть больше трёх, потому что иначе у производной f (x) = 5x4 4 было бы больше двух вещественных корней.

Таким образом, неприводимый многочлен x5 4x + 2 имеет ровно два не вещественных корня. Поэтому его разрешимость в радикалах противоречила бы теореме Кронекера.

З а м е ч а н и е. Из доказательства теоремы Кронекера видно, что неприводимое уравнение нечётной простой степени разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда хотя бы один его корень выражается в радикалах. Действительно, на с. 580 делается предположение, что многочлен f(x) становится приводимым после присоединения радикаДополнение ла, и из этого уже выводится, что тогда он разлагается на линейные множители.

9. Диофантовы уравнения для многочленов Многочлены обладают многими из свойств, которыми обладают натуральные числа. Например, для многочлена определено разложение на множители, для пары многочленов определён наибольший общий делитель и т. д. В связи с этим для многочленов можно поставить задачи, аналогичные известным задачам и проблемам теории чисел. Как правило, для многочленов задача решается существенно проще. Например, знаменитая гипотеза Ферма о том, что при n 3 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в натуральных числах, была доказана лишь совсем недавно. А её аналог (неразрешимость уравнения fn + gn = hn для многочленов), как мы сейчас увидим, доказывается сравнительно просто.

Описание всех троек натуральных чисел,,, для которых уравнение f + g = h для многочленов f, g, h имеет нетривиальное решение, было получено в конце XIX в. Мы приведём более современную версию этой классификации.

При доказательстве неразрешимости многих диофантовых уравнений для многочленов весьма эффективным оказывается следующее утверждение.

Т е о р е м а 1 (Мейсон). Пусть a(x), b(x) и c(x) — попарно взаимно простые многочлены, связанные соотношением a + b + c = 0. Тогда степень каждого из этих многочленов не превосходит n0 (abc) 1, где n0 (abc) — количество различных корней многочлена abc.

f и g — рациональные функции, связанные соотношением f + g + 1 = 0. Продифференцировав это равенство, получим f = g. Поэтому Рациональные функции f и g имеют специальный вид (x i )ri, где ri — целые числа. Для функции R(x) = = (x i )ri выполняется равенство Пусть Тогда Поэтому после умножения на многочлен степени n0 (abc) рациональные функции f /f и g /g становятся многочленами степени не выше n0 (abc) 1. Таким образом, из взаимной простоты многочленов a(x) и b(x) и из равенства следует, что степень каждого из многочленов a(x) и b(x) не превосходит n0 (abc) 1. Для многочлена c(x) доказательство аналогично.

Из теоремы 1 можно извлечь интересные следствия, которые мы сформулируем как теоремы 2– 4. Степень многочлена f будем обозначать deg f.

Т е о р е м а 2 (Дэвенпорт). Пусть f и g — взаимно простые многочлены ненулевой степени. Тогда Поэтому можно считать, что deg f3 = deg g2 = 6k.

Рассмотрим многочлены F= f3, G = g2 и H = F G = f3 g2.

Ясно, что deg H 6k. Согласно теореме max(deg F, deg G, deg H) n0 (FGH) = deg f + 1.

Т е о р е м а 3. Пусть f, g и h — взаимно простые многочлены, причём хотя бы один из них — не константа. Тогда равенство не может выполняться при n 3.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 1 степень каждого из многочленов fn, gn и hn не превосходит deg f +deg g+ + deg h 1, т. е.

Сложив эти три неравенства, получим n(deg f + deg g + deg) 3(deg f + deg g + deg h 1) < Следовательно, n < 3.

Диофантово уравнение f + g = h для многочленов f, g, h имеет очевидное решение, если одно из чисел,, равно 1. Поэтому будем считать, что,, 2.

Т е о р е м а 4. Пусть,, — натуральные числа, имеет взаимно простые решения лишь для следующих наборов (,, ): (2, 2, ), (2, 3, 3), (2, 3, 4) и (2, 3, 5).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a, b и c — степени многочленов f, g и h. Тогда согласно теореме Следовательно, неравенство (1) принимает вид Сложив неравенства (4), (2) и (3), получим Учитывая, что, и ещё раз применяя неравенство (4), получаем а значит, < 4, т. е. = 2 или 3.

неравенство (2) принимает вид Сложив неравенства (4) и (5), получим В таком случае из неравенства (4) следует, что Из двух последних неравенств и неравенства (3) следует, что поэтому 5.

Многочлены, удовлетворяющие соотношению f +g =h, тесно связаны с правильными многогранниками. Подробно эта связь описана в книге Ф. К л е й н. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.: Наука, 1989; там же указан способ построения этих многочленов. Мы приведём лишь конечный результат.

Случай = = 2, = n связан с вырожденным правильным многогранником — плоским n-угольником. Требуемое соотношение имеет вид Случай = 2, = 3, = 3 связан с правильным тетраэдром. Соотношение имеет вид 12i 3(x5 x)2 + (x4 2i 3x2 + 1)3 = (x4 + 2i 3x2 + 1)3.

Случай = 2, = 3, = 4 связан с кубом и правильным октаэдром. Соотношение имеет вид (x12 33x8 33x4 + 1)2 + 108(x5 x)4 = (x8 + 14x4 + 1)3.

Случай = 2, = 3, = 5 связан с додекаэдром и икосаэдром. Соотношение имеет вид T2 + h3 = 1728f5, где Теорема 3 показывает, что уравнение xn + yn = zn, где x, y, z — натуральные числа, имеет решение тогда и только тогда, когда имеет решение точно такое же уравнение для многочленов. Естественно возникает вопрос, не будет ли уравнение x + y = z иметь полиномиальные решения в том и только том случае, когда оно имеет натуральные решения.

Первый пример обнадёживает — уравнение x2 + y3 = z имеет как полиномиальные, так и натуральные решения.

А именно, бесконечную серию решений этого уравнения в натуральных числах можно построить следующим образом. Положим x = n(n 1)/2, y = n и z2 = n(n + 1)/2. Требуется подобрать число n так, чтобы число z было целым.

Равенство 2z2 = n(n + 1) можно записать в виде Это — знаменитое уравнение Ферма– Пелля, которое имеет бесконечно много решений. Например, при n = 8 получаем x = 28, y = 8, z = 6. Помимо этой бесконечной серии решений есть и другие решения.

Но уравнение x2 + y4 = z6 опровергает наши надежды.

У этого уравнения нет полиномиальных решений, но есть натуральные решения. Одно из его решений имеет вид Теорема Ван дер Вардена об арифметической прогрессии имеет интересную историю. Боде высказал следующую гипотезу.

(А) Если натуральные числа разбиты каким-то образом на два класса, то для любого натурального числа l в одном из этих классов найдётся арифметическая прогрессия длины l (т. е. данному классу принадлежат числа a, a + d, a + 2d,..., a + (l 1)d при некоторых a и d).

Эта гипотеза быстро стала известной. Её пытались доказать многие математики. Но доказать эту гипотезу оказалось нелегко. Первые существенные результаты получили известные математики Э. Артин и О. Шрайер.

Сначала Шрайер показал, что гипотеза Боде эквивалентна следующему утверждению.

(Б) Для любого натурального числа l существует такое натуральное число N(l), что если числа 1, 2,..., N(l) разбиты на два класса, то один из этих классов содержит арифметическую прогрессию длины l.

Затем Артин показал, что утверждение (Б) эквивалентно следующему утверждению.

(В) Для любых натуральных l и k существует такое натуральное число N(l, k), что если числа 1, 2,..., N(l, k) разбиты на k классов, то один из этих классов содержит арифметическую прогрессию длины l.

Утверждение (А) очевидным образом следует из (В). Но, как оказалось, доказывать удобнее всего именно утверждение (В), используя двойную индукцию по k и по l. Такое довольно сложное доказательство как раз и придумал Ван дер Варден в 1927 г.

Разбиение множества на k классов можно наглядно представить как раскраску в k цветов. В таком случае утверждение (В) формулируется следующим образом.

(В ) Для любых натуральных l и k существует такое натуральное число N(l, k), что если числа 1, 2,..., N(l, k) раскрашены в k цветов, то найдётся одноцветная арифметическая прогрессия длины l.

Впоследствии появились как новые доказательства теоремы Ван дер Вардена, так и её обобщения. Мы обсудим одно существенное обобщение этой теоремы, доказательство которого сравнительно несложно. Это доказательство принадлежит П. Андерсону.* Рассмотрим в n-мерном пространстве** множество точек, координаты которых — целые неотрицательные числа.

Будем называть это множество решёткой, а точки этого множества будем называть точками решётки.

Т е о р е м а 1. Пусть S — конечное множество точек решётки. Тогда для любой раскраски точек решётки в k цветов существует такое натуральное число a и такой вектор v с целыми неотрицательными координатами, что * P. G. A n d e r s o n. A generalization of Baudet’s conjecture (Van der Waerden’s theorem) // Amer. Math. Monthly. 1976. V. 83. P. 359– 361.

** Если читатель плохо знаком с понятием многомерного пространства или же совсем не знаком с этим понятием, то он может считать, что n = 2 или 3; теорема Ван дер Вардена имеет дело с n = 1.

множество aS + v (т. е. образ S при гомотетии с коэффициентом a и сдвиге на вектор v) одноцветное. При этом для числа a и для координат вектора v можно указать оценки, зависящие только от множества S и числа k.

З а м е ч а н и е. Теорема Ван дер Вардена получается При доказательстве теоремы удобно рассматривать куб со стороной N, состоящий из всех точек решётки с координатами от 0 до N 1. Этот куб мы обозначим KN ; он состоит из Nn точек решётки, где n — размерность пространства.

Утверждение теоремы для множества S можно сформулировать следующим образом.

(A S ) Существует такое натуральное число N, зависящее от количества цветов k, что при любой раскраске точек куба KN в k цветов этот куб содержит одноцветное множество вида aS + v.

План доказательства теоремы следующий. Если S состоит из одной точки, то утверждение (A S ) очевидно. Поэтому достаточно доказать, что если w — точка решётки, не входящая в S, то из утверждения (A S ) следует утверждение (A Sw ), где S w — множество, полученное из S добавлением точки w. Для доказательства этого нам потребуется следующее вспомогательное утверждение для каждого натурального числа p.

(CS,w,p ) Существует такое натуральное число Np, что для любой раскраски куба KNp в k цветов найдутся натуральные числа a1,..., ap и вектор v с неотрицательными целыми координатами, для которых каждое из множеств

одноцветное.

Дальнейшее доказательство состоит из двух шагов.

Ш а г 1. Если утверждение (A S ) верно, то при всех натуральных p верно утверждение (CS,w,p ).

Докажем сначала утверждение (CS,w,p ) при p = 1. В этом случае нужно доказать, что в некотором кубе KN1 существуют одноцветные множества a1 w + v и a1 S + v. Из свойства (A S ) следует, что в кубе KN существует одноцветное множество aS + v. Поэтому можно положить a1 = a и расширить куб KN до куба KN1 так, чтобы для любой точки v куба KN точка aw + v лежала в кубе KN1.

Теперь нужно доказать, что если верны утверждения (A S ) и (CS,w,p ), то верно и утверждение (CS,w,p+1 ). Это доказательство использует одну важную идею, на которую опиралось и первоначальное доказательство Ван дер Вардена. Пусть задана раскраска решётки в k цветов. Сопоставим точке v куб v + KN. Этот куб состоит из Nn точек, поэтому всего возможно kN различных раскрасок точек такого куба в k цветов. Сопоставим этим kN раскраскам новые цвета в количестве kN и окрасим такими цветами каждую точку v в соответствии с раскраской куба v + KN. Теперь цветов будет гораздо больше, но новая раскраска обладает следующим свойством: новый цвет точек u и v одинаков тогда и только тогда, когда старый цвет точек u + x и v + x одинаков для всех точек x куба KN, т. е. кубы u + KN и v + KN одинаково раскрашены в старой раскраске. Будем называть новую раскраску индуцированной; она зависит от исходной раскраски и от размера куба KN.

Пусть верны утверждения (A S ) и (CS,w,p ). Тогда существует такое натуральное число Np, что для любой раскраски куба KNp в k цветов найдутся натуральные числа a1,..., ap и вектор v, для которых каждое из множеств T0, T1,..., Tp одноцветное. Рассмотрим индуцированную раскраску в k = kNp цветов, соответствующую кубу KNp.

Доказанное выше утверждение (CS,w,1 ) можно применить к этой раскраске. В результате получим, что существует куб KN, содержащий одноцветные (в индуцированной раскраске) множества a w + v и a S + v. Одноцветность в индуцированной раскраске множества a S + v означает, что в исходной раскраске кубы KNp + a s + v одинаково раскрашены для всех точек s множества S. Каждый из этих одинаково раскрашенных кубов содержит одноцветные множества причём цвет этих множеств не зависит от s. Таким образом, получаем одноцветные множества Добавив к ним одноцветное множество T = a w + T0 + v, получим требуемый набор одноцветных множеств....................................

Ш а г 2. Если утверждение (CS,w,p ) верно при всех натуральных p, то верно утверждение (A Sw ).

Мы воспользуемся лишь тем, что утверждение (CS,w,p ) верно при p = k, где k — количество цветов. В таком случае получаем одноцветные множества T0, T1,..., Tk. Этих множеств больше, чем цветов, поэтому у двух из них цвета одинаковые. Пусть, например, цвета множеств Tr и Tq, где r < q, одинаковые. Напомним, что Положим a = ar +... + aq1 и где s — некоторая точка множества S. Тогда a (S w) + v — одноцветное множество требуемого вида.

11. Происхождение математических терминов Алгебра — в русском языке с 1717 г. Происходит от немецкого Algebra, которое, в свою очередь, имеет арабское происхождение. Арабский математик Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (787– ок. 850), уроженец Хивы, написал книгу под названием «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» («Исчисление восполнения и противопоставления»). Значительная часть этой книги была посвящена решению уравнений. Для решения уравнений ал-Хорезми применял две основные операции: ал-джабр (восполнение) и ал-мукабала (противопоставление). Операция ал-джабр заключалась в избавлении от членов со знаком минус в одной части уравнения посредством добавления к обеим частям уравнения одного и того же члена. Операция ал-мукабала заключалась в сокращении равных членов в обеих частях уравнения. Словом ал-джабр вскоре стали называть все арабские трактаты на эту тему. Затем это слово распространилось на всю теорию уравнений. В таком виде оно пришло в Европу в XIV в.

В течение долгого времени алгебра как раз и была теорией уравнений.

Алгоритм — латинизированный вариант имени арабского математика ал-Хорезми (787– ок. 850). В средневековой Европе алгоритмом назывались десятичная система счисления и способы вычисления в ней, поскольку именно благодаря латинскому переводу трактата ал-Хорезми «Книга о сложении и вычитании на основе индийского исчисления» в Европе познакомились с десятичной системой счисления. Десятичную систему счисления ал-Хорезми заимствовал у индийских математиков, что и видно из названия его трактата.

Анализ — от латинского analysis, которое происходит от греческого слова, означающего «разложение, растворение».

Арифметика — от греческого arithmos (число). В греческом языке так называли только натуральные числа и положительные рациональные числа. Важнейший древнегреПроисхождение математических терминов ческий трактат о свойствах натуральных и рациональных чисел назывался «Арифметика и книга о многоугольных числах». Его автором был Диофант.

Иррациональные числа — от латинского irrationalis (неразумный). Первоначально в греческом языке использовался термин arretos, который одновременно означал «иррациональный, не выразимый в числах» и «священный, тайный». Вероятно, это сыграло роль в возникновении легенды, согласно которой математик Гиппас из пифагорейской школы погиб в море из-за того, что нечестиво разгласил непосвящённым учение об иррациональных величинах, которое зародилось в пифагорейской школе и хранилось в строгой тайне. Затем появился термин asymmetros, а после него — alogos, калькой которого и является латинское irrationalis.

Катет — от греческого kathetos (перпендикуляр).

Квадрат — от латинского quadratum (четырёхугольник).

Куб — от латинского cubus, которое происходит из греческого языка. Первоначально означало «игральная кость».

Линия — от латинского слова linea, которое означает «льняная» (имеется в виду льняная нить).

Математика — от греческого mathematike, которое, в свою очередь, происходит от слова mathema (наука). На происхождение этого термина большое влияние оказала философская школа пифагорейцев. Пифагорейцы делились на «математиков» и «акусматиков». Акусматики не обучались наукам; им давали лишь устные наставления — «акусмы»

(от akustikos — слуховой). Математики же обучались наукам и занимались доказательствами.

Пирамида — от греческого слова pyramis, которым греки называли египетские пирамиды. В свою очередь, греческое слово происходит от древнеегипетского слова «пурама», которым называли пирамиды сами египтяне.

Призма — от греческого слова prisma, которое означает «опиленная» (имелось в виду опиленное бревно).

Пропорция — от латинского proportio; так Цицерон перевёл греческий термин Платона analogia (аналогия).

Радиус — от латинского radius (радиус, луч).

Расстояние — калька французского distance.

Ромб — от латинского rombus, которое происходит из греческого языка и означает «бубен». Раньше бубны имели не круглую форму, а форму квадрата или ромба.

Сфера — от греческого слова sphaira, которое означает «мяч».

Точка — от «тыкать», «ткнуть». Аналогично латинское punctum (точка) происходит от pungo (колю). От этих латинских слов происходят русские слова «пункт», «пункция», «пунктуация». В греческом языке первоначально использовался термин semeion (знак, признак), которому соответствует латинское signum. (Именно такой термин употреблял Евклид.) Позднее, со времён Аристотеля, получил распространение термин stigma (укол), которому как раз и соответствует латинское punctum.

Трапеция — от латинского слова trapezium, которое происходит из греческого языка и означает «столик». От этого же корня происходит слово «трапеза», которое по-гречески означает «стол».

Фигура — в русском языке с 1701 г. Происходит из латинского figura от fingo (образовывать, давать форму).

В греческом языке использовался термин schema (наружный вид, образ, форма). От этого греческого слова происходит русское «схема».

Цилиндр — от латинского слова cylindrus, которое происходит из греческого языка и означает «валик», «каток».

УКАЗАТЕЛЬ ИМЁН

Абель Н. Х. 285, 571, Евклид 43, 49, 203, Пелль Дж. 161, 200, Берж К. Бернулли И. Бине Ж. дель Ферро С. 285 Ньютон И. 130, 334,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

d-ичная запись числа 259 бесконечное произведение абсолютно сходящееся абсолютно сходящееся бесконеч- биномиальный коэффициент ное произведение 389 Больцано– Вейерштрасса теореаксиома фундирования 535 ма алгебраическая функция алгебраическое число — — вполне вещественное — — целое алгоритм Евклида 43, 203, 437, — Кронекера амплитуда гиперболическая ареакосинус гиперболический ареакотангенс гиперболический ареасинус гиперболический ареатангенс гиперболический арифметики основная теорема ассоциативность безопасности парабола 518 вторые разности Бернулли многочлены 497 выражение числа в квадратных вырожденная критическая точ- дробь непрерывная вычет квадратичный гармонический ряд Гаусса лемма Гаусса– Люка теорема Гёльдера неравенство 102 законы де Моргана гиперболическая амплитуда 325 золотое сечение 17, гиперболические функции — — обратные гиперболический ареакосинус — ареакотангенс — ареасинус — ареатангенс — косинус — котангенс — синус — тангенс гипоциклоида граф 269, — ориентированный — планарный — связный графа вершина — обход — ребро Декарта правило дерево плоское бинарное десятичная дробь периодическая К диаграмма Венна 532 Карлсона неравенство дискриминант 286, 334, 441 Каталана числа 182, дистрибутивность 436 квадратичная иррациональность дифференцируемая функция 331 приведённая китайская теорема об остатках Лежандра символ — ассоциативное 436 Лиувилля теорема — коммутативное 436 Лобачевского уравнение коммутативное кольцо 436 логарифм композиция функций 332 Лопиталя правило конечных приращений формула континуума мощность конъюнкция координаты полярные корень из единицы — — — примитивный — многочлена кратный — первообразный косинус гиперболический кососимметрический многочлен котангенс гиперболический Коши критерий — неравенство 17, — теорема коэффициент биномиальный крайнего правило кратность корня многочлена кратный корень многочлена крестики-нолики кривизна кривизны центр кривые соприкасающиеся криптография с открытым клюмногочлены Бернулли чом критерий Коши критическая точка Кронекера алгоритм — теорема Лагранжа интерполяционный наибольший общий делитель общее уравнение наилучшее приближение 486 объединение натуральный параметр 519 объём невычет квадратичный 403 огибающая неопределённый интеграл 361 ограниченная последовательнеотрицательный многочлен 544 ность непрерывная дробь 484 — сверху последовательность неприводимый многочлен 438 ограниченное сверху множество неравенство Гёльдера — между средним арифметическим и средним геометриче- односторонний предел ским 98, 172, — Мюрхеда — треугольника 96 ориентированный граф несобственный интеграл 369 основная теорема алгебры нечётная перестановка 230 отображение взаимно однозначное нижняя интегральная сумма нормаль 335, нормированные элементарные симметрические функции нулевой элемент Ньютона интерполяционный многочлен — формулы Ньютона– Лейбница формула обобщённая степень 511 — максимальное — функция Эйлера 400 Пелля уравнение 161, 200, обратная функция 332 — уравнения фундаментальное обратные гиперболические обратный элемент 437 первообразный корень 408, первые разности 510 предельная точка перемен знака число перестановка нечётная — чётная периодическая десятичная дробь пифагорова тройка планарный граф плоское бинарное дерево площадь — поверхности вращения подмножество подполе подпоследовательность подходящая дробь показатель показательная функция поле — разложения полный однородный симметрипуть Дика ческий многочлен полярные координаты 516 равномерно непрерывная функпоследовательность возрастаю- ция построение циркулем и линей- Рамануджана тождества 75, правильная скобочная структура результант — последовательности 293 репьюнит ряд — гармонический — расходящийся — сходящийся — формальный ряда сумма свёртка Вандермонда связный граф символ Лежандра симметрические многочлены элементарные симметрический многочлен — — мономиальный — — полный однородный — — элементарный синус гиперболический совершенное число соприкасающаяся окружность соприкасающиеся кривые соприкосновение сопряжённые числа 76, среднее арифметико-геометриче- тождества Рамануджана 75, степень обобщённая 511 точка критическая Стирлинга формула 387 — — вырожденная сумма интегральная 362 — предельная сходящееся бесконечное произ- транспозиция сходящийся ряд 384 трансцендентное число счётное множество 533 треугольника неравенство тригонометрический многочлен фундаментальное решение трисекция угла 553 функции гиперболические тройка пифагорова унитарный многочлен 444 — выпуклая уравнение Лобачевского 472 — дифференцируемая —, разрешимое в радикалах 572, — обратная уравнения Пелля фундаменталь- — показательная Фарея последовательность Ферма теорема 335, — — малая Фибоначчи числа 201, формальная производная 494 целое алгебраическое число формальный логарифм 495 центр кривизны формальных рядов произведение цикл — — сумма — включений и исключений 181 — теорема — интегрирования по частям чётная перестановка — конечных приращений 336 — взаимно простые — Ньютона– Лейбница 364 — сопряжённые 76, — обращения Мёбиуса 403 — Фибоначчи 201, — суммирования Эйлера 511 — — вполне вещественное —, свободное от квадратов 161 — теорема 400, — трансцендентное 444 — — суммирования — целое алгебраическое 444 — функция 181, 400, чисто периодическая дробь 116 эквивалентность Шевалле теорема Штурма последовательность — теорема Эйзенштейна признак 439 эпициклоида Учебное издание Виктор Васильевич Прасолов

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ, АРИФМЕТИКЕ И АНАЛИЗУ

Подписано к печати 05.06.2007 г. Формат 60 84/16. Печать офсетная.

Объём 38 печ. л. Тираж 2000 экз. Заказ №.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Тел.: (495) 241–74–83.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ОАО «Дом печати — ВЯТКА». 610033, г. Киров, ул. Московская, 122.

Издательство МЦНМО представляет книги по математике • Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. • Аносов Д. В. От Ньютона к Кеплеру. 2006.

• Арнольд В. И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. • Бобров С. П. Волшебный двурог. • Варламов С. Д. и др. Задачи Московских городских олимпиад по физике. • Васильев Н. Б, Гутенмахер В. Л. Прямые и кривые. • Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. • Виленкин Н. Я., Виленкин А. Н., Виленкин П. А. Комбинаторика. • Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и упражнениях. • Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. • Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шноль Э. Э. Функции и графики. • Геометрические олимпиады им. И. Ф. Шарыгина. • Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. • Гордин Р. К. Геометрия. Планиметрия. 7– 9 классы. • Гордин Р. К. Это должен знать каждый матшкольник. • Готман Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения. • Григорьев Ю. М., Муравьёв В. М., Потапов В. Ф. Олимпиадные задачи по физике. Международная олимпиада «Туймаада». • Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание. • Еремин В. В. Теоретическая и математическая химия для школьников.

Подготовка к химическим олимпиадам. • Задачи лингвистических олимпиад. • Звонкин А. К. Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников. • Зубов А. Ю. и др. Олимпиады по криптографии и математике для школьников. • Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? • Московские математические олимпиады. • Московские математические регаты. • Московские олимпиады по информатике. • Московские учебно-тренировочные сборы по информатике. Весна– 2006.

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Т. 1, 2. 2004, • Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. • Прасолов В. В. Наглядная топология. • Прасолов В. В., Тихомиров В. М. Геометрия. • Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. • Ткачук В. В. Математика — абитуриенту. • Тюрин А. Н. и др. Теория вероятностей и статистика. • Шаповалов А. В. Принцип узких мест. • Шень А. Вероятность: примеры и задачи. • Шень А. Игры и стратегии с точки зрения математики. • Шень А. Программирование: теоремы и задачи. • XI Турнир математических боёв им. А. П. Савина. • XII Турнир математических боев им. А. П. Савина. Учебники и методические пособия для начальной школы • Гейдман Б. П., Мишарина И. Э., Зверева Е. А. Математика. Учебники для 1– 4 классов начальной школы. Серия «Математическая мозаика» (издательство «Мир») • Белов В. Н. Фантасмагория с головоломками.

• Гарднер М. Математические досуги.

• Гарднер М. Математические новеллы.

• Дьюдени Г. Э. 520 головоломок.

• Кэрролл Л. История с узелками.

• Тригг Ч. Задачи с изюминкой.

• Шарыгин И. Ф. Математический винегрет.

Получить более подробную информацию об этих и других книгах издательства, а также заказать их можно через Интернет на сайте http://www.mccme.ru/publications/.

Книги можно купить в магазине «Математическая книга» в здании Московского центра непрерывного математического образования.

Адрес магазина: 119002, Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Проезд до станции метро «Смоленская» или «Кропоткинская», далее пешком. Телефон для справок:

(495) 241–72–85. E-mail: [email protected].

Магазин работает ежедневно кроме воскресенья с до 20 00.