«Любимов Дмитрий Александрович АНАЛИЗ ТУРБУЛЕНТНЫХ СТРУЙНЫХ И ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ ТРД КОМБИНИРОВАННЫМИ RANS/LES-МЕТОДАМИ ВЫСОКОГО РАЗРЕШЕНИЯ 01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы Диссертация на соискание ...»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ

«ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ АВИАЦИОННОГО МОТОРОСТРОЕНИЯ

ИМЕНИ П.И.БАРАНОВА»

На правах рукописи

Любимов Дмитрий Александрович

АНАЛИЗ ТУРБУЛЕНТНЫХ СТРУЙНЫХ И ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ В

ЭЛЕМЕНТАХ ТРД КОМБИНИРОВАННЫМИ RANS/LES-МЕТОДАМИ

ВЫСОКОГО РАЗРЕШЕНИЯ

01.02.05 механика жидкости, газа и плазмы Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Секундов А.Н.

Москва Введение Глава 1. Построение комбинированных RANS/LES-методов высокого разрешения 1.1 Выбор элементов для построения RANS/LES-методов высокого разрешения для расчета течений в элементах ТРД 1.1.1 Элементы численного метода, определяющие его точность. 1.1.2 Влияние способа вычисления давления на точность метода 1.1.3 Разностные схемы для RANS и для LES 1.1.4 Модель турбулентности и SGS-модель 1.1.5 LES с неявной SGS-моделью 1.1.6 Интегрирование уравнений по времени 1.1.7 Выбор схем для построения эффективных комбинированных RANS/LES-методов 1.2 Построение численной реализации комбинированных RANS/LES методов высокого разрешения 1.2.1. Системы уравнений 1.2.2 Метод решения 1.2.3 Модель турбулентности 1.2.4 Построение неявного оператора 1.2.5 Разностная аппроксимация диффузионных членов уравнений НавьеСтокса и переноса 1.2.6 Разностная аппроксимация конвективных членов уравнений НавьеСтокса и переноса 1.2.7 Метод DES для расчета несжимаемых течений 1.2.8 Комбинированный RANS/ILES-метод для расчета сжимаемых течений 1.2.9 WMILES метод для расчета сжимаемых течений 1.2.10 Решение системы разностных уравнений 1.2.11 Повышение точности методов при расчетах на нерегулярных сетках 1.2.12 Граничные условия 1.2.13 Особенности граничных условий для затопленных струй Глава 2. Возможности RANS/LES-методов для расчета струйных течений разных типов 2.1 Расчет низкоскоростных турбулентных струйных течений методом DES 2.1.1 Постановка задачи 2.1.2 Свободная струя из прямоугольного сопла 2.1.3 Пристеночная струя из круглого сопла 2.2 Исследование влияния режима истечения из сопла на течение и характеристики турбулентности в дозвуковых и сверхзвуковых струях с помощью RANS/ILES-метода 2.2.1 Постановка задачи 2.2.2 Влияние скорости и температуры на срезе сопла на характеристики течения и турбулентности в дозвуковой струе 2.2.3 Влияние порядка разностной аппроксимации и числа ячеек сетки на точность расчета струи из конического сопла на различных режимах 2.2.4 Влияние параметров на входе в сопло на истечение сверхзвуковой нерасчетной струи из биконического сопла 2.3 Повышение точности расчета течения в струе около среза сопла с помощью создания нестационарного пограничного слоя на срезе сопла 2.3.1 Постановка задачи 2.3.2 Совместный расчет WMILES/ILES методом течения в коническом сопле и его дозвуковой струе 2.4 Применение RANS/ILES-метода для расчета течения и параметров турбулентности в струе из сопла двухконтурного ТРД 2.4.1 Постановка задачи 2.4.2 Результаты расчетов течения и параметров турбулентности в струе из сопла двухконтурного ТРД Глава 3. Применение RANS/ILES- и WMILES-методов для исследования средств пассивного воздействия на течение в струях из сопел разных типов 3.1 Исследование влияния шевронов на течение в струях из конических 3.1.2 Исследование влияния геометрии шевронов и температуры на входе 3.2.2 Влияние шевронов на сопле газогенератора двухконтурного сопла 3..3 Влияние эксцентриситета сопла газогенератора двухконтурного ТРД на 3.3.2 Результаты расчетов по исследованию влияния эксцентриситета сопла газогенератора на течение и параметры турбулентности в струе из 3.4 Применение RANS/ILES-метода для исследования воздействия «аэродинамических шевронов» на течение в струе из двухконтурного сопла 3.4.2 Исследование влияния аэродинамических шевронов на течение и 3.5 Исследование с помощью WMILES-метода влияния геометрии шевронов на течение и характеристики турбулентности в струях из конических шевронных 3.5.3. Влияние геометрии шевронов на ближнее акустическое поле. Глава 4. Исследования влияния пилона, крыла с закрылками и угла атаки внешнего потока на течение в струе из сопел двухконтурных ТРД 4.2 Исследование влияния компоновки и угла атаки внешнего потока на характеристики турбулентности и течение в струе из сопла ТРД с 4.3 Исследование влияния компоновки и угла атаки внешнего потока на характеристики турбулентности и течение в струе для сопла со степенью 4.3.2 Влияние геометрии закрылков и угла атаки внешнего потока на 4.4 Исследование влияния режима работы двигателя на течение в струе для Глава 5. Применение RANS/ILES-метода для исследования турбулентных отрывных течений в S-образных диффузорах с отрывом потока 5.1 Исследование особенностей отрывных турбулентных течений в диффузорах 5.1.3 Межкомпрессорный и межтурбинный кольцевые S-образные 5.2 Влияние неравномерности полного давления на входе в диффузор на Глава 6. Исследование RANS/ILES-методом эффективности применения синтетических струй для управления отрывными течениями в диффузорах 6.1 Анализ известных способов моделирования синтетических струй.

6.2 Объединенное расчетно-экспериментальное исследование влияния синтетических струй на отрывное турбулентное течение в прямоугольном Sобразном диффузоре с отношением площадей выхода и входа 2.25 6.3 Анализ влияния режимных параметров синтетических струй на эффективность управления течением в прямоугольном S-образном диффузоре с отношением площадей выхода и входа 1.8 при разных скоростях на входе в 6.4 Применение синтетических струй для улучшения характеристик течения на выходе «агрессивного» S-образного кольцевого межтурбинного диффузора Современные авиационные турбореактивные двигатели (ТРД) должны удовлетворять требованиям повышения эффективности их работы, сокращению размеров и, как следствие, веса, постоянно ужесточающимся нормам экологии.

Это может быть достигнуто с помощью совершенствования их элементов. Для достижения этой цели необходимо проводить большой объем поисковых и исследовательских работ. В этих работах широко используется численное моделирование рабочего процесса в элементах ТРД на основе решения уравнений Навье-Стокса. Возможны два подхода при численном исследовании турбулентных течений. В первом случае решаются осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса (RANS). При этом нестационарные процессы, вызванные турбулентными явлениями, осреднены и описываются с помощью полуэмпирических моделей турбулентности, которые используется для замыкания системы уравнений, а течение рассматривается как стационарное.

Такие методы достаточно эффективны и не требуют больших вычислительных затрат, поэтому в настоящее время они наиболее распространены. Однако точность методов RANS для разных течений различна. Например, пограничные слои с приемлемой точностью описывают большинство современных моделей турбулентности. К числу течений, точность расчета которых с помощью RANS и моделей турбулентности невысока, могут быть отнесены струйные течения.

Так интенсивность расширения круглой затопленной струи в расчете с помощью лучших моделей турбулентности и в эксперименте различаются, на прямоугольного сопла, круглую струю, распространяющуюся вдоль стенки, с помощью RANS не удается описать даже качественно. Однако такие струйные течения встречаются в авиационных приложениях. Другим типом течений, точность описания которых с помощью RANS невысока, являются турбулентные течения с отрывом потока. В первую очередь относится к ситуациям, когда поток отрывается от гладкой поверхности без излома контура [1–4]. В ТРД отрывные течения такого типа могут возникать в различных переходных диффузорных каналах. Для практических приложений, связанных с анализом течений в элементах ТРД, нужно знать турбулентные характеристики течения: пульсации скорости, давления и других параметров течения. При использовании RANS для большинства моделей турбулентности это невозможно, или возможно с привлечением некоторых не универсальных эмпирических соотношений.

Точный расчет упомянутых выше течений в приложениях, связанных с авиацией, диктуется требованиями безопасности, экологии, необходимостью создания более эффективных элементов ТРД. Для струйных течений в первую очередь это относится к выхлопным струям ТРД. Так на аэродромах для определения зоны безопасного нахождения людей и техники около самолета с работающим двигателем необходимо правильно описывать распространение выхлопной струи вдоль поверхности аэродрома. Ужесточение экологических норм по уровню шума самолетов также требует точного расчета течения в струях. Это нужно для оценки эффективности различных устройств снижения шума струи, например, шевронов, а также аэродинамического воздействия на струю элементов планера. Подобные устройства воздействуют на поле течения около среза сопла. Это, в свою очередь, делает важным с одной стороны моделирование реалистических, турбулентных и нестационарных, условий на срезе сопла, а с другой – достоверное описание турбулентного течения в слое смешения около среза сопла.

Рабочие режимы двигателей пассажирских самолетов таковы, что возникают сверхзвуковые перепады давления в соплах, результатом которых являются струи со скачками уплотнения [5]. В сверхзвуковых струях из биконических одноконтурных сопел (сопел Лаваля с изломом контура в критическом сечении), которые применяются в военной авиации, как правило, присутствуют скачки уплотнения [6,7]. Активно исследуются устройства для снижения шума сверхзвуковых струй [8,9]. Однако использование RANS с моделями турбулентности не позволяет выполнить расчеты струйных течений со скачками уплотнения с достаточной для практических приложений точностью [5].

Расчетное и экспериментальное исследование струй из сопел ТРД проводится чаще всего для модельных осесимметричных или шевронных изолированных сопел. В реальных условиях на течение в струе влияют элементы компоновки: пилон и крыло с элементами его механизации.

Эксперименты [10–12] и расчеты с помощью RANS [10,13] показывают, что наличие одного только пилона значительно увеличивает максимальный уровень турбулентности и вызывает выраженную асимметрию турбулентности в азимутальном направлении течения и параметров в струе. Следствием этого обычно является увеличение шума струи. Заметное влияние на течение в струе, оказывает ее взаимодействие с крылом и закрылками на режимах взлета и посадки [14,15], оно вызывает увеличение шума струи [16–18].

Для современных ТРД характерна тенденция к компактности отдельных их элементов. Это относится и к переходным диффузорным каналам в элементах ТРД. Повышение «агрессивности» таких диффузоров [19], т.е.

сокращение длины при сохранении степени расширения приводит к возникновению отрывных зон и обусловленному их наличием ухудшению характеристик диффузоров. Детальное экспериментальное исследование таких каналов затруднительно, сложно получить данные обо всем поле течения.

Кроме того, при оптимизации геометрических параметров диффузоров требуется перебор большого количества вариантов, что невозможно при экспериментальном исследовании: резко увеличиваются затраты и время на продувки.

Для переходных каналов в элементах ТРД типично наличие внутри них или перед ними различных стоек и пилонов. Это приводит к неравномерному распределению параметров потока во входном сечении диффузора.

Неоднородности течения на входе могут оказывать влияние на характеристики диффузора. Известны публикации, посвященные экспериментальному исследованию этих явлений, например, [20].

Нужно отметить, что исторически наибольшее внимание расчетному исследованию отрывных и вихревых течений уделяется в задачах внешней аэродинамики. Так в работах коллектива, возглавляемого А.М. Гайфуллиным, был достигнут заметный прогресс в исследованиях, посвященных исследованию отрывных течений на крыле и взаимодействию выхлопной струи ТРД с вихревыми следами от самолета. Численное исследование внутренних отрывных течений в силу своей специфики начало развиваться позже. В настоящее время для таких задач чаще всего используются методы RANS [3,21–23]. Эти же методы используются и для оптимизации формы переходных каналов [19,24] и исследования влияния неоднородности параметров течения на входе в них [21,22]. Однако в работах [2–4,25–28] отмечается, что точность описания пространственных отрывных течений на гладких поверхностях с помощью RANS невысока и зависит от модели турбулентности.

Повысить точность расчетов турбулентных течений, которые не удается моделировать с помощью RANS, и получить характеристики турбулентности в полном объеме можно, если использовать те или иные варианты методов прямого численного моделирования (ПЧМ). В этом случае решаются неосредненные нестационарные уравнения Навье-Стокса, а турбулентные вихри разрешаются явным образом. В том случае, если разрешаются даже мелкие вихри, говорят, что используется прямое численное моделирование. В англоязычной литературе: Direct Numerical Simulation – DNS. Подход, при котором разрешаются только крупные вихри, определяющие особенности течения, а мелкие, которые более универсальны, описываются с помощью подсеточной (subgrid scale – SGS) модели турбулентности, называется методом моделирования крупных вихрей (Large Eddy Simulation – LES). Если LES используется только в части расчетной области, а в остальной ее части течение описывается с помощью RANS, говорят, что используется RANS/LES-метод.

Следует отметить, что для расчетов указанными методами требуются очень большие вычислительные ресурсы.

В нашей стране работы, посвященные применению методов ПЧМ, появились более 30 лет тому назад. Так в публикациях В.Л. Грязнова и В.И.

Полежаева в 1975-1977 годах приведены результаты моделирования турбулентной конвекции с помощью ПЧМ. Первые результаты по описанию с помощью DNS перехода от ламинарного течения к турбулентному в трубах были получены Н.В. Никитиным в 1984 году. Заметный вклад в развитие ПЧМ внес коллектив под руководством академика О.Н. Белоцерковского в МФТИ. В последние 10-15 лет важные результаты были получены в группах М.Х.

Стрельца, Е.М. Смирнова (Политех, Санкт-Петербург), К.Н. Волкова и В.Н.

Емельянова (Военмех, Санкт-Петербург), Н.В. Никитина (Институт механики МГУ), А.Н. Секундова (ЦИАМ, Москва). Активно используются методы ПЧМ в коллективе Т.К. Козубской (ИПМ, Москва).

Анализ литературы показывает, что прогресс в использовании методов ПЧМ для разных типов течений неодинаков. Наибольшее их число посвящено расчетам течений в пограничном слое и в каналах. Так, расчет пограничного слоя методом DNS был выполнен Ф. Спэлартом еще в 1988 году. Позже предложенная им модификация метода LES метод отсоединенных вихрей (DES) – позволила существенно улучшить описание отрывных течений вблизи крылового профиля. Исследование течения в канале с помощью DNS было выполнено Н.В. Никитиным [29].

Одни из первых попыток расчета затопленных турбулентных струй были описаны в работах [30,31]. В последние годы большое внимание развитию различных вариантов ПЧМ для исследования в струйных течениях уделяется в Стенфордском центре (Lele, Bodony и др.), в университете Чалмерса (Davidson, Andersson и др.), в Политехе СПБ (Стрелец, Шур и др.). Активно исследуются струйные течения авторами работ [6,7,32– 38].

Однако, в целом в расчетах струйных течений точность расчетов с помощью методов ПЧМ невысока. Это в значительной степени связано с тем, что размеры турбулентных вихрей в слое смешения очень сильно меняются по длине струи. Сложнее всего разрешить течение около среза сопла, поскольку размеры турбулентных вихрей в слое смешения около среза сопла малы, и это требует использования сеток с большим количеством ячеек.

Следует отметить, что элементы струйных течений – слои смешения – присутствуют и в отрывных течениях. Сложности, которые возникают при описании слоев смешения такие же, как и при расчете струй. Точность их описания определяет длину отрывной зоны [39], развитие всего течения.

Трудности для расчетов с помощью LES представляют также и сверхзвуковые течения с разрывами, для расчета которых требуются монотонные разностные схемы. Такие схемы, как правило, обладают высоким уровнем схемной вязкости. Использование их для методов LES может к искажению реальной картины течения, если схемная вязкость окажется порядка или больше, чем SGS-вязкость. Вследствие этого методы LES для расчета сверхзвуковых струйных течений менее развиты, чем для дозвуковых течений.

На точность расчета с помощью ПЧМ струйных и отрывных течений влияет и постановка задачи, которая используется. Так для моделирования струйных течений с помощью LES применяются два подхода. В первом случае выполняется расчет только струи, а параметры на срезе сопла задаются приближенно, либо для их определения используется вспомогательный расчет с помощью RANS и модели турбулентности [40–43]. Выходное сечение сопла является искусственной границей, через которую возмущения не могут передаваться вверх по потоку. Измельчение сетки не обеспечивает предельного перехода. При использовании описанного подхода, струя становится нестационарной и турбулентной, как правило, на расстоянии одного-двух калибров от среза сопла, и течение в слое смешения на меньших расстояниях не удается достоверно моделировать [44,45]. Рассмотренный подход удобен в случае, когда важно описать основной участок струи, а точность описания течения около среза сопла не играет большой роли. При расчете струй из реальных сопел ТРД (двухконтурных, с пилоном и т.п.) с помощью такого подхода могут возникнуть сложности при определении положения входной границы расчетной области для расчета с помощью LES.

При втором подходе с помощью LES выполняется совместный расчет течения в струе и в сопле. В работах [33,35,45–49] приведены результаты совместного расчета истечения изотермических и нагретых струй из осесимметричных и шевронных сопел. В перечисленных публикациях самая грубая сетка содержала 1.6106 ячеек, а самая мелкая – 370106 ячеек. Однако и при использовании совместного расчета течения в сопле и в струе авторам не удалось заметно повысить точность предсказания течения около среза сопла по сравнению с расчетами струй с помощью LES без расчета течения в сопле.

Причина этого будет объяснена ниже. Результаты расчетов с помощью LES в соплах и их сверхзвуковых струй, как на расчетных, так и на нерасчетных режимах можно найти в работах [6,50–54]. Расчеты выполнялись на сетках с числом ячеек (2–137)106. Анализ представленных результатов показал, что лишь в отдельных работах наблюдается удовлетворительное совпадение с экспериментом по осредненным параметрам течения, а по параметрам турбулентности отличие от эксперимента составляет 30-35% и более.

Двухконтурные сопла ТРД и их струи были исследованы авторами [55–58].

Расчеты выполнялись с помощью различных вариантов LES на сетках с числом ячеек (4.5–51)106. Сравнение с экспериментом либо отсутствует, либо размер рисунков, где сравниваются расчетные и экспериментальные данные, мал, поэтому явно судить о точности полученных результатов затруднительно, но представленный иллюстративный материал косвенно свидетельствует о том, что точность расчета струи около среза сопла невысока.

Анализ результатов совместных расчетов течений в соплах и их выхлопных струях с помощью LES, показывает, что в настоящее время эта задача не решена с достаточной для практических приложений точностью.

Главная причина состоит в том, что даже на самых мелких из использованных сеток не удается описать вихревые структуры в пограничном слое на стенках сопла и в слое смешения около среза сопла. Оценка, сделанная в работе [59] показывают, что расчетов течения в сопле и струе с помощью хорошо разрешенного LES потребуется сетка с 40109 ячеек. В случае реалистических двухконтурных сопел ТРД потребуются еще более мелкие расчетные сетки.

Альтернативой, позволяющей существенно снизить вычислительные затраты и при этом повысить точность расчетов по сравнению с RANS, могут быть комбинированные RANS/LES-методы. Один из первых удачных вариантов таких методов метод отсоединенных вихрей (DES) был предложен в работе [60]. При использовании RANS/LES-методов течение в пограничном слое описывается с помощью нестационарного метода RANS с полуэмпирической моделью турбулентности. Вдали от стенок, в частности в струе – с помощью LES. При этом расчет в областях течения, описываемых с помощью RANS и с помощью LES, происходит совместно на каждом шаге по времени. При достаточном измельчении сетки метод переходит в LES во всей области течения. Этот подход позволяет выполнять расчеты при больших числах Рейнольдса.

Однако в силу особенностей своего построения комбинированные RANS/LES-методы описывают течение сразу за кромкой сопла с погрешностями. Это связано с тем, что течение в пограничном слое на стенке сопла рассчитывается с помощью RANS c моделью турбулентности и близко к стационарному, а в струе с помощью LES и имеет выраженный нестационарный характер. Происходит «численный» переход от течения в пограничном слое к течению в струе, сопровождающийся образованием в слое смешения вихрей большой интенсивности, что приводит к завышению пульсаций параметров течения на этом участке струи [61]. Размеры этой зоны «перехода», степень неточности описания параметров турбулентности в ней зависят от того, насколько удачно выбраны численный метод, SGS-модель турбулентности, граничные условия. Но, несмотря на этот недостаток, возможность расчетов турбулентных струй из сопел реалистической формы при высоких числах Рейнольдса обусловила широкое распространение комбинированных RANS/LES-методов для расчета струйных течений. Так в работах [36,58,61–67] были выполнены совместные расчеты течения в с соплах разных типов (прямоугольных, конических, шевронных, двухконтурных с центральным телом, биконических) и в их струях. Расчетные сетки содержали (4–50)106 ячеек. В большинстве случаев было получено приемлемое совпадение с экспериментом по осредненным параметрам течения.

Наибольшие отличия от эксперимента наблюдались по уровню пульсаций скорости. В слое смешения наблюдался «численный» переход, уровень пульсаций скорости становился близким к экспериментальным значениям на расстоянии 2–3 калибров от среза сопла.

В упомянутых работах с помощью LES и RANS/LES-методов были исследованы струи из модельных осесимметричных и шевронных сопел.

Однако, как отмечалось выше, наличие пилона и элементов планера сильно влияет на течение в струе. Известны примеры использования LES и RANS/LES для расчетов струи из сопла ТРД при наличии элементов планера. Так в [68] приведены результаты совместных расчетов с помощью LES течения в сопле двухконтурного ТРД с пилоном и в его струе. Использование в сопле грубой неструктурированной сетки привело к тому, что турбулентным течение становится в слоях смешения только на значительном удалении от среза сопла.

Совпадение с экспериментом по радиальному распределению полного давления на расстоянии четырех калибров от среза сопла – удовлетворительное. Тем не менее, получено, что наличие пилона приводит к значительной асимметрии течения в продольной плоскости. Авторами [69] с помощью RANS/LES-метода на сетках, содержащих 12106 и 50106 ячеек, было исследовано влияние пилона на характеристики течения и турбулентности в струе двухконтурного ТРД. Получено, что пилон оказывает заметное влияние на развитие течения в струе, приводит к его асимметрии и увеличению энергии турбулентности со стороны пилона. Сравнение с экспериментом отсутствует.

В литературе последних лет появились первые примеры использования комбинированных RANS/LES-методов для расчета выхлопных струй при наличии компоновки, включающей в себя сопло, пилон и крыло. Исследование такой конфигурации с помощью зонального RANS/DES-метода на сетках, содержащих 20106 и 40106 ячеек, было выполнено в работе [70,71] для экспериментальными данными для этой конфигурации. В расчете, как и в эксперименте, получено значительное влияние пилона и крыла на течение и распределение параметров турбулентности в струе. Уровень пульсаций скорости в слоях смешения со стороны пилона и крыла был заметно выше, чем с противоположной стороны. Полученные в расчетах распределения осредненных параметров течения хорошо совпадают с экспериментом. По характеристикам турбулентности наблюдаются заметные различия между расчетом и экспериментом. Авторами [38] с помощью RANS/LES-метода на сетке, содержащей 53106 ячеек, был проведен расчет двухконтурного сопла ТРД с пилоном и крылом с отклоненным закрылком (без промежутка для выхода выхлопной струи). Совпадение с экспериментом по радиальному распределению осредненной продольной скорости удовлетворительное.

Наблюдается влияние компоновки на течение в струе. По параметрам турбулентности количественные результаты отсутствуют.

Для моделирования отрывных течений в дозвуковых диффузорах также используются два подхода: течение во всей расчетной области рассчитывается с помощью LES, или используется тот или иной вариант RANS/LES-метода.

Примеры использования LES для расчетов течения в диффузорах с отрывом потока можно найти в работах [39,72–75]. В перечисленных работах расчеты проводились на сетках, содержащих (0.65-4.67)106 ячеек. Следует отметить, что в большинстве из этих работ рассматривается квазидвумерные задачи:

осредненное течение является двумерным, рассматривается только часть полной геометрии, а на боковых границах ставятся условия периодичности. Это позволило использовать достаточно мелкие сетки в продольном сечении, в результате было достигнуто хорошее совпадение не только по осредненным параметрам течения, но и по характеристикам турбулентности [75]. При расчетах реальных полных конфигураций прямоугольных диффузоров потребуются расчетные сетки с числом ячеек, по меньшей мере, на порядок больше.

В работе [60] было наглядно продемонстрировано повышение точности предсказания отрывных течений по сравнению с RANS с помощью метода DES – варианта RANS/LES-метода. Это определило широкое использование RANS/LES-методов для расчета внутренних турбулентных течений с отрывом потока [76–79]. Указанные расчеты выполнялись на сетках, содержащих (1ячеек. В большинстве случаев они дублировали квазидвумерные конфигурации, расчеты течения в которых выполнялись с помощью LES. При этом удалось получить примерно такую же точность результатов на более грубых сетках. [79]. Однако при расчетах течения в пространственных диффузорах точность расчетов невысока как при использовании LES [74], так и RANS/LES-методов [78], и по параметрам турбулентности недостаточна для практических приложений.

Важной для практики задачей является анализ эффективности средств управлением отрывными течениями в диффузорах. Для борьбы с отрывом в диффузорах могут быть использованы пассивные методы, такие, как генераторы вихрей, которые устанавливаются на стенках канала перед отрывной зоной [80]. Однако они всегда оказывают воздействие на поток вне зависимости от того, есть ли в этом необходимость, их эффективность сложно регулировать. Перспективным является газодинамическое управление потоком.

К таким средствам управления отрывом относятся вдув в пограничный слой газа с высокой энергией или отсос пограничного слоя, возможна также комбинация этих мероприятий [81–84]. При этом возможно создание систем с обратной связью: т.е. уровень вдува или отсоса будет меняться в зависимости от интенсивности отрыва. Однако для них требуется рабочее тело, устройство для подвода энергии к нему, магистрали для подачи рабочего тела в зону отрыва для систем с выдувом в пограничный слой. Для систем с отсосом устройство для создания пониженного давления, магистраль для отвода воздуха и система его выброса.

Этих недостатков лишены системы с нулевым суммарным массовым расходом рабочего тела [85,86]. В этом случае работа устройства газодинамического управления течением сводится к чередующимся фазам выдува газа в поток из замкнутой полости за счет изменения ее объема с последующим затем всасыванием в нее низкоэнергетического потока из диффузора. Полость сообщается только с проточной частью диффузора, поэтому суммарный по времени расход газа равен нулю. Струи, образующиеся при работе таких устройств, в англоязычной литературе обычно называются «синтетическими» (synthetic jet), а устройства для их создания называется генераторами синтетических струй (ГСС). ГСС могут быть достаточно компактны, их можно установить непосредственно около места выхода синтетических струй. Экспериментальному изучению синтетических струй уделяется заметное внимание, но рассматриваются в основном модельные задачи. [81,87–89] Однако, в условиях лабораторного эксперимента затруднительно, а порой и невозможно создать и исследовать прототип диффузора реалистической конфигурации с ГСС [90], детальное исследование воздействия синтетических струй на течение в диффузоре также технически сложно или невозможно провести в условиях эксперимента. Выходом из этой ситуации может быть применение численного моделирование воздействия синтетических струй на отрывные течения. Наиболее перспективно для этой цели использование методов ПЧМ, поскольку применение URANS для исследования влияния синтетических струй на отрывное течение в диффузоре не может обеспечить приемлемой точности результатов [28].

В настоящее время методами ПЧМ синтетические струи и их воздействие на отрывные течения исследуется в модельной постановке. Так в [91] с помощью LES и DNS было исследовано влияние синтетической струи на отрыв на гладкой поверхности. Расчетные сетки содержали 7106 и 28106 ячеек. В статье [92] исследовано влияние синтетической струи на отрыв на гладкой поверхности. Расчеты выполнялись с помощью LES на сетке с 8.2106. В приведенных примерах рассматривались квазидвумерные задачи. Авторами [93] RANS/LES-методом исследовано воздействие синтетической струи на отрывное течение на гладкой поверхности. Детальное исследование течения в синтетической струе с помощью метода DES приведено в работе [86]. Общее состояние моделирования синтетических струй с помощью RANS, а также LES и RANS/LES-методов представлено в обзоре [4]. В работе подчеркивается, что при использовании LES или RANS/LES методов важно разрешение в трансверсальном направлении даже при решении квазидвумерных задач, высказываются сомнения в эффективности и точности коммерческих кодов при расчетах с помощью LES или RANS/LES методов.

На основе анализа литературы можно сделать заключение, что при существующем уровне развития LES и RANS/LES-методов точность расчетов струйных и внутренних отрывных течений, как правило, недостаточна для практического использования при разработке и исследовании турбулентных течений в элементах ТРД. Наибольшие расхождения с экспериментом обнаруживаются при расчете струйных течений по параметрам турбулентности.

В большинстве случаев методы ПЧМ используются для расчета упрощенных модельных конфигураций и тестовых задач. Решение практически значимых задач для расчета течений в элементах ТРД при реальных числах Рейнольдса при современном уровне развития компьютеров возможно только с использованием RANS/LES-методов.

Анализ известных методов ПЧМ, в том числе и RANS/LES-методов, свидетельствует о том, что в большинстве из них используются разностные схемы не выше третьего порядка. Невысокое разрешение разностных схем заставляет использовать экспансивные расчетные сетки, что также является сдерживающим фактором для практического применения методов ПЧМ для прикладных задач. Выходом может быть использование методов ПЧМ высокого разрешения, построенных на основе разностных схем высокого порядка аппроксимации. Наглядный пример влияния порядка аппроксимации разностной схемы на точность расчетов можно найти, например в [94]. Это дает возможность проводить RANS/LES-методами расчеты сложных течений и исследовать тонкие физические эффекты на экономичных сетках, число ячеек которых меньше в несколько раз, чем используется при расчетах с помощью большинства современных RANS/LES-методов. Применение RANS/LESметодов высокого разрешения позволит проводить единичные расчеты на настольных многоядерных компьютерах, а на многопроцессорных кластерах выполнять массовые расчеты течений в элементах ТРД, необходимые при практических приложениях, либо проводить численное исследование течений в сложных многоэлементных узлах ТРД.

Таким образом, актуальной задачей является создание эффективных и надежных RANS/LES-методов высокого разрешения для расчета течений в элементах ТРД, применение этих методов для исследования важных для практики течений с доминирующим влиянием турбулентных эффектов, которые не удается с приемлемой точностью рассчитать с помощью RANS с моделями турбулентности: дозвуковых и сверхзвуковых струй из изолированных сопел ТРД, струй из сопел ТРД при наличии пилона и крыла с закрылками; отрывных течений в диффузорах в элементах ТРД и средств управления ими. С учетом массового характера расчетов при инженерных приложениях эти методы должны позволять выполнять расчеты на экономичных сетках, быть нетребовательны к качеству расчетных сеток при сохранении достаточной для практических приложений точности результатов.

Целью работы является разработка эффективных RANS/LES-методов высокого разрешения, позволяющих обеспечить приемлемую точность расчета сложных турбулентных течений в элементах ТРД при малых вычислительных затратах; исследование с их помощью турбулентных течений в элементах ТРД, которые не удается описать с достаточной точностью с помощью RANS и исследовать экспериментально: дозвуковых и сверхзвуковых струй из изолированных сопел ТРД, струй из сопел ТРД при наличии пилона и крыла с закрылками; отрывных течений в диффузорах в элементах ТРД и средств управления ими.

Основные задачи

работы:

1. Выбор наиболее эффективных элементов для создания комбинированных RANS/LES-методов высокого разрешения для расчета течений в элементах ТРД сложной геометрии в широком диапазоне скоростей потока, включая сверхзвуковые течения со скачками уплотнения, на основе критического анализа известных LES и RANS/LES-методов для расчета несжимаемых и сжимаемых течений.

2. Численная реализация метода DES высокого порядка разностной аппроксимации применительно к расчету низкоскоростных струйных течений.

3. Исследование с помощью разработанного варианта метода DES течения и характеристик турбулентности в свободной прямоугольной струе и пристеночной струе, вытекающей из круглого сопла.

4. Разработка и численная реализация эффективных комбинированных RANS/ILES- и WMILES-методов высокого разрешения для расчета сжимаемых турбулентных течений, включая сверхзвуковые течения со скачками уплотнения.

5. Оценка точности определения характеристик турбулентных струй при совместном расчете течений в соплах разных типов, включая сопла ТРД, и в их струях с помощью разработанных методов, исследование влияния геометрии сопла, а также параметров потока на его срезе на течение и характеристики турбулентности в струе.

6. Анализ влияния малых изменений геометрии сопла двухконтурного ТРД на течение и характеристики турбулентности в его выхлопной струе.

7. Исследование механизма воздействия «аэродинамических шевронов» на течение в струе из сопла двухконтурного ТРД.

8. Анализ влияния пилона и крыла с закрылками на течение и характеристики турбулентности в струях из сопел двухконтурных ТРД при различных углах атаки внешнего потока и режимах работы двигателя.

9. Оценка точности определения характеристик течения при исследовании с помощью разработанного RANS/ILES-метода отрывных течений в S-образных диффузорах различной геометрии в элементах ТРД.

10. Исследование особенностей отрывных турбулентных течений в диффузорах различной геометрии в элементах ТРД.

11. Исследование RANS/ILES-методом возможностей управления с помощью синтетических струй отрывными течениями в переходных диффузорах в элементах ТРД.

Диссертация состоит из введения, шести глав, выводов и списка литературы.

Во введении описана специфика задач, которые рассмотрены в диссертации, приведен обзор литературы, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, дано краткое содержание глав диссертации.

В первой главе в параграфе 1.1 выполнен критический анализ известных LES и RANS/LES-методов для расчета течений в элементах ТРД.

Сформулированы основные требования, предъявляемые к эффективному комбинированному RANS/LES-методу для инженерных приложений.

Рассмотрены основные составляющие, определяющие точность и эффективность метода: разностная аппроксимация уравнений, SGS-модель турбулентности, способы численного интегрирования по пространству и по времени. Показано, что для расчета низкоскоростных течений можно использовать комбинированный RANS/LES-метод с явной SGS-моделью. А для расчета сжимаемых дозвуковых и сверхзвуковых течений целесообразно использовать комбинированные RANS/ILES-методы с неявной SGS-моделью.

На основе анализа известных подходов и методов выбраны конкретные элементы, позволяющие построить эффективные RANS/LES-методы. Во втором параграфе описаны детали численной реализации комбинированных RANS/LES-методов расчета несжимаемых и сжимаемых течений. Приведены системы уравнений для расчета несжимаемых и сжимаемых течений, описан метод решения, модель турбулентности, которая была использована. Описано построение неявного оператора, представлены основные элементы конечноразностной аппроксимации для диффузионных и конвективных членов уравнений Навье-Стокса и уравнения переноса для модели турбулентности.

Кратко описан принцип построения метода DES. Рассмотрены основные элементы комбинированного RANS/ILES- и WMILES-методов высокого разрешения для расчета сжимаемых течений. Далее представлены элементы численных методов, позволяющие повысить точность расчетов и надежность работы кодов на нерегулярных сетках. Сформулированы граничные условия для рассмотренных в диссертации задач. Отдельно обсуждаются граничные условия для затопленных струй.

Во второй главе диссертации обсуждаются результаты расчетов струй из сопел разных типов, полученные с помощью DES, RANS/ILES- и WMILESметодов, описанных в главе 1. Эти результаты позволяют оценить точность, которая может быть достигнута при использовании этих методов при расчете различных струйных течений. В параграфе 2.1 приведены результаты, полученные при расчете методом DES несжимаемых турбулентных струй с сильной деформацией поперечного сечения: свободной прямоугольной и пристеночной, вытекающей из круглого сопла. В начале параграфа сформулирована постановка задачи. Затем анализируются результаты расчетов течения в свободной прямоугольной струе при разных числах Рейнольдса.

Обсуждаются полученный «переворот осей» струи, характеристики осредненного течения и турбулентности. Далее представлены результаты расчетов течения в трехмерной пристеночной струе, истекающей из круглого сопла. Основное внимание уделено полученному трансверсальному растеканию струи и анализу характеристик турбулентности. В последнем разделе параграфа на основе анализа результатов расчетов делается вывод о возможности применения "закона стенки" при расчете турбулентных пограничных слоев RANS/LES-методами.

В параграфе 2.2 представлены результаты исследования RANS/ILESметодом влияния режима истечения из сопла на течение и характеристики турбулентности в дозвуковых и сверхзвуковых струях. Во всех случаях выполнялся совместный расчет течений в сопле и в струе. Получено влияние числа Маха и температуры на срезе конического сопла на характеристики течения в дозвуковых струях. Приведены результаты расчетов истечения сверхзвуковой струи в затопленное пространство на нерасчетном режиме.

Показано влияние порядка разностной аппроксимации предраспадных параметров в методе Роу на точность результатов расчетов дозвуковой и нерасчетной сверхзвуковой струй. Получено влияние числа ячеек расчетной сетки на точность расчета течения в дозвуковой струе. Исследовано влияние температуры на входе в сопло на течение и на характеристики турбулентности в сверхзвуковой нерасчетной струе из биконического сопла. Для описанных выше расчетов проведено сравнение по осредненным параметрам, уровню турбулентных пульсаций скорости и статического давления на оси струи и в слое смешения с данными имеющихся экспериментов и результатами расчетов других авторов.

В третьем параграфе главы 2 представлены результаты исследования влияния турбулизации пограничного слоя в сопле на течение в струе. Для того чтобы разрешить турбулентное течение в пограничном слое, расчеты проводились WMILES-методом. Сформулирована постановка задачи, описан способ турбулизации пограничного слоя на входе в сопло, приведены результаты совместного расчета течения в коническом сопле и дозвуковой струе из него. Особое внимание уделено анализу параметров турбулентности в пограничном слое им слое смешения струи около среза сопла.

Результаты совместного расчета течения в сопле ТРД со степенью двухконтурности 5 (BPR=5) и в его струе представлены в параграфе 2.4.

Сформулирована постановка задачи, исследовано влияние порядка аппроксимации разностной схемы на точность результатов расчетов параметров течения и турбулентности. Проведено сравнение с известными экспериментальными данными для этого сопла.

В главе 3 анализируются результаты расчетов средств пассивного воздействия на течение в струях из сопел разных типов. В параграфе 3. исследовано влияние параметров на срезе сопла и угла наклона шевронов на течение в дозвуковых струях из конических шевронных сопел. Определена постановка задачи. Затем с помощью RANS/ILES-метода исследовано влияние температуры и скорости на срезе шевронных сопел на течение в струях из них.

Далее (п. 3.2) представлены результаты расчетов RANS/LES-методом струи из сопла двухконтурного ТРД с шевронами на сопле газогенератора. Точность расчетов оценивается сравнением с экспериментальными данными для этого сопла. Третий параграф главы посвящен анализу влияния смещения (эксцентриситета) сопла газогенератора и центрального тела относительно сопла вентилятора сопла двухконтурного ТРД на уровень энергии турбулентности в струе. Получена зависимость параметров течения и турбулентности в струе от величины эксцентриситета.

«аэродинамических шевронов» на течение в струе из сопла двухконтурного ТРД с BPR=10. На основании результатов расчетов объяснен механизм воздействия «аэродинамических шевронов» на течение в струе. Получено распределение энергии турбулентности и осредненных параметров течения по длине струи из сопла с «аэродинамическими шевронами».

В последнем параграфе главы 3 детально исследовано влияние геометрии шевронов при нестационарном пограничном слое на срезе сопла на параметры течения и турбулентности в струе на малых расстояниях от среза сопла.

Расчеты выполнялись с помощью WMILES-методом. Точность расчетов оценивалась с помощью сравнения параметров течения и турбулентности с данными экспериментов и расчетами других авторов. Представлены результаты исследования влияния геометрии шевронов на ближнее акустическое поле струи. Анализ полученных результатов позволил объяснить влияние шевронов на акустическое поле струи.

В главе 4 представлены результаты исследования RANS/ILES-методом высокого разрешения влияния пилона и крыла с закрылками, а также угла атаки внешнего потока на течение в струе из сопла двухконтурного ТРД. В первом параграфе главы приведены результаты расчетов влияния компоновки с соплом с BPR=5 на течение и параметры турбулентности струи на режиме взлета при нулевом угле атаки. Расчеты проводились для разных углов отклонения закрылков и ширины промежутка между ними для выхода струи. В параграфе 4.2 анализируется влияние угла атаки внешнего потока =10о на течение в струе для компоновки, описанной в предыдущем параграфе. Получено и объяснено влияние угла атаки на распределение осевой скорости струи и параметров турбулентности при разных углах отклонения закрылков.

Параграф 4.3 посвящен исследованию влияния компоновки с соплом с BPR=10 на характеристики турбулентности и течения в струе. Расчеты проводились для углов атаки =0 и =9о, режимные параметры течения соответствовали взлету. Влияние компоновки на течение в струе оценивалось сравнением с данными, полученными при расчете струи из осесимметричного сопла той же геометрии на том же режиме. Представлены зависимости влияния угла отклонения закрылков, ширины промежутка между ними для выхода струи и угла атаки на течение и параметры турбулентности в струе.

В четвертом параграфе главы обсуждаются результаты исследования влияния компоновки с соплом с BPR=10 на течение и характеристики турбулентности в струе на режиме посадки (подлета). Внешний поток был направлен под углом =0о к оси сопла. Представлено распределение осредненной осевой скорости и пиковых значений энергии турбулентности по длине струи. По ряду параметров течения проведено сравнение с результатами, полученными для этого варианта компоновки на режиме взлета.

Глава 5 посвящена обсуждению результатов изучения особенностей турбулентных отрывных течений в S-образных диффузорах с отрывом потока с помощью RANS/ILES-метода. В параграфе 5.1 анализируются результаты расчетов отрывных турбулентных течений в диффузорах различной формы.

Исследовано влияние перепада давления на течение в S-образных диффузорности, геометрия которых типична для элементов ТРД. Приведены распределения параметров течения и турбулентности в сечениях диффузоров для различных перепадов давления, определены потери полного давления на выходе из диффузоров и выполнено их сравнение с экспериментальными данными для этих каналов.

Во втором параграфе главы 5 представлены результаты исследования влияния неравномерности полного давления на входе в диффузор на течение в нем. Расчеты проводились для S-образных прямоугольного и кольцевых диффузоров при разных уровнях неравномерности полного давления на входе в расчетную область. Обнаружено, что характер влияния неравномерности полного давления на течение и параметры турбулентности качественно различен у диффузоров с различной геометрией. Получено влияние неравномерности полного давления на уровень турбулентных пульсаций параметров течения и величину потерь полного давления в исследованных диффузорах.

В шестой главе диссертации с помощью RANS/ILES-метода исследована эффективность применения синтетических струй для управления отрывными течениями в диффузорах различной геометрии и улучшения их характеристик.

В первом параграфе главы выполнен анализ известных подходов к моделированию ГСС. Выбран упрощенный способ моделирования ГСС, обеспечивающий удовлетворительную точность задания синтетических струй с минимальными дополнительными вычислительными затратами.

В параграфе 6.2 представлены результаты расчетов по влиянию синтетических струй на течение с отрывом потока в прямоугольном S-образном диффузоре с диффузорностью 2.25. В ходе расчетов варьировались частота и амплитуда синтетических струй: они соответствовали экспериментальным режимам для этого диффузора. Приведено сравнение расчетов и эксперимента по уровню потерь полного давления и распределению полного давления по высоте на выходе из диффузора как для режима без струй, так с синтетическими струями. Представлены результаты влияния режимных параметров синтетических струй и геометрических параметров щелей для их выхода на параметры течения и турбулентности на выходе из диффузора.

В третьем параграфе для прямоугольного S-образного диффузора с отношением площадей выхода и входа 1.8 представлен анализ влияния газодинамических параметров синтетических струй на течение и параметры турбулентности, как внутри диффузора, так и на выходе из него. Получено влияние перепада давления в диффузоре, или, что эквивалентно, скорости на входе на эффективность синтетических струй. В ходе расчетов менялись частота и амплитуда синтетических струй. Приведены зависимости от режимных параметров синтетических струй распределений осредненных параметров течения, уровня турбулентных пульсаций скорости и давления, а также величины снижения потерь полного давления в этом диффузоре.

В последнем параграфе главы 6 представлены результаты расчетов течения в базовом и «агрессивном» кольцевых S-образных межтурбинных диффузорах. Для обоих вариантов геометрии получено влияние частоты и амплитуды синтетических струй на уровень потерь, а также параметры течения и турбулентности на выходе из диффузоров. Установлено, что при определенных режимных параметрах синтетических струй характеристики «агрессивного» диффузора могут быть приближены к их значениям у базового диффузора.

результатам диссертационной работы.

Работы, результаты которых вошли в диссертацию, выполнены при поддержке грантов РФФИ (№№93-02-17687, 95-01-00251, 98-01-00153, 01-01а).

Основные результаты диссертации опубликованы в 47 печатных работах.

Эти результаты докладывались на российских и международных конференциях и семинарах: 40th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, USA, 2002; 8th, 9th, 10th, 11th, 12th, 13th, 15th, 19th AIAA/CEAS Aeroacoustics Conferences & Exibit: Breckenridge, USA, 2002, South Carolina, USA, 2003, Manchester U.K, 2004, Monterey USA, 2005, Cambridge U.K, 2006, Rome, Italy, 2007; Miami, USA, 2009, Berlin, Germany, 2013, Секции НТС ЦИАМ Москва, 2001, 2006; Юбилейной конференции «ЦИАМ-75 лет», Москва 2005;

Совместном заседании РАН и НТС ЦИАМ, Тураево, 2006; Расширенном заседании отделения РАН, Москва 2006; IX, X Всероссийском Съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006, 2011, Всероссийской Конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», Москва, МИАН, 2007, VIII, XII, XIII Международных школахсеминарах 2008, 2012, 2013, Евпатория, Украина, III Международной НаучноТехническая Конференции «Авиадвигатели XXI века». Сборник тезисов, Москва, 2010, 6th International Conference on Computational Fluid Dynamics, (ICCFD6), Санкт-Петербург, 2010, 4th, 5th European Conference for Aerospace Science (EUCASS), Санкт-Петербург, 2011, Munich, 2013, XXIII, XXIV Научнотехнических конференциях по аэродинамике. 2012, 2013, пос. Володарского, XVI Международной конференции по методам аэрофизических исследований (ICMAR 2012), 2012, Казань, 28th International congress of the aeronautical science (ICAS), 2012, Brisbane, Australia, Четвертой Всероссийской конференции «Вычислительный эксперимент в аэроакустике», Светлогорск, 2012г., Международной научной конференции «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ`2013)», 2013, Челябинск.

Глава 1. Построение комбинированных RANS/LES-методов высокого 1.1 Выбор элементов для построения RANS/LES-методов высокого разрешения 1.1.1 Элементы численного метода, определяющие его точность Рассмотрим, какие элементы определяют точность и эффективность комбинированных RANS/LES-методов. Ключевое значение имеет способ расчета давления. Способ и порядок разностной аппроксимации уравнений Навье-Стокса также в большой степени влияют на точность метода. Следует отметить, что в разных областях течения доминирующее значение имеет точность аппроксимации различных членов уравнений Навье-Стокса. Так, вязкие эффекты проявляются у стенок, где сетки наиболее неоднородны, могут быть сильно искривлены и неортогональны. Здесь требуется аккуратное вычисление диффузионных членов, а также надежная работа уравнения для модели турбулентности, поскольку течение описывается с помощью RANS.

Вдали от твердых стенок для расчета течения используется LES. В этой части течения доминируют конвективные члены, и определяющую роль играет их аппроксимация, а также способность SGS-модели адекватно описывать подсеточные характеристики турбулентности для исследуемого течения.

Надежная работа расчетного кода на нерегулярных расчетных сетках обеспечивается наряду с выбором способа аппроксимации конвективных и диффузионных членов уравнений, методом численного интегрирования по пространству. На общую эффективность алгоритма влияют способ организации вычислений и метод интегрирования по времени.

1.1.2 Влияние способа вычисления давления на точность метода Давление входит в уравнения движения неэволюционным образом, и это создает сложности при его вычислении. Одним из возможных способов является использование методов с коррекцией давления: SIMPLE и ему подобных: SIMPLER, SIMPLEC, PISO. Метод SIMPLE, разработанный Сполдингом [95], требует решения уравнения Пуассона для давления. Известны примеры использования таких методов второго и третьего порядка разностной аппроксимации [74,75,78,79,96] для расчетов с помощью LES. Однако этот метод не обеспечивает высокой точности вычисления давления. Методы с коррекцией давления весьма критичны к качеству сетки – ортогональности и равномерности. Также они не дают высокой точности расчета сверхзвуковых течений со скачками уплотнения.

Повысить точность расчета давления можно, если применять численные методы, основанные на решении задачи о распаде разрыва в той или иной форме. Используются как методы [97–99], базирующиеся на точном решении задачи о распаде разрыва [100], так и методы, где эта задача решена приближенно. Среди приближенных методов наибольшее распространение получили метод расщепления разности потоков (flux difference splitting), разработанный Роу [101], и различные варианты метода расщепления потов (flux splitting) [102,103]. Параметры на гранях ячеек, необходимые для работы процедуры распада разрыва (т.н. предраспадные параметры), вычисляются по известным значениям переменных в центрах расчетных ячеек. Повышение разрешения схемы может быть достигнуто использованием аппроксимации высокого порядка для предраспадных параметров.

Из методов расщепления потоков для расчета сжимаемых течений с помощью LES и RANS/LES-методов чаще всего применяется метод, предложенный в работе [103], имеющий низкую схемную вязкость, и его более поздние модификации. Примеры использования этого метода можно найти в работах [42,91,104–106].

Метод Роу удобно использовать для расчета дозвуковых и сверхзвуковых течений при отсутствии сложной структуры разрывов. Он прост в реализации, легко позволяет конструировать схемы высоких порядков и неявные схемы [107–108], при этом точность его не хуже, чем у других методов. Все его элементы отработаны в методах RANS, где он широко используется.

Методы, основанные на решении задачи о распаде разрыва, пригодны только для расчета сжимаемых течений. При малых числах Маха жесткость матрицы Якоби системы уравнений возрастает, что делает использование этих методов неэффективным. Для несжимаемых течений уравнение неразрывности становится неэволюционным, применение схем, основанных на решении задачи о распаде разрыва, формально невозможно. Вследствие этого для расчета несжимаемых течений долгое время использовались методы с коррекцией давления, несмотря на их низкую точность.

Повысить точность расчета несжимаемых течений позволил метод искусственной сжимаемости, предложенный Чориным [109]. В рамках этого метода производится модификация уравнения неразрывности. В результате модифицированная система уравнений становится эволюционной по параметру, заменяющему время, и удаляется жесткость матрицы Якоби системы уравнений. Метод искусственной сжимаемости позволяет использовать для расчетов стационарных и нестационарных несжимаемых течений некоторые схемы высокого порядка с разностями против потока, основанные на решении задачи о распаде разрыва, первоначально разработанные для сжимаемых течений. Для интегрирования по параметру, заменяющему время, можно применять метод установления, который используется при расчете сжимаемых течений. Распространение получил вариант метода Роу, адаптированный для метода искусственной сжимаемости, который был предложен авторами работ [110,111].

Автором диссертации были разработаны и успешно применялись компьютерные коды для методов RANS, использующих метод Роу как несжимаемых [108,112–116], так и сжимаемых течений [10, 117–124]. В перечисленных работах использовались разностные схемы 3-го и 5-го порядков для несжимаемых течений и 5-го для сжимаемых. Это позволило получить высокую точность расчетов даже на грубых сетках для задач, описанных в упомянутых работах.

Примеры использования метод Роу для расчета несжимаемых и сжимаемых течений с помощью LES и комбинированных RANS/LES-методов можно найти, например, в работах [36,46,50,57,61,125–128].

Точность численного метода при расчете течений с большими числами Рейнольдса в значительной степени определяет способ вычисления и порядок аппроксимации конвективных членов уравнений Навье-Стокса. Для LES и RANS/LES-методов это особенно важно: использование схем с высоким разрешением позволяет выполнять расчеты на относительно грубых сетках и существенно уменьшить необходимые вычислительные ресурсы, сократить время расчетов, снизить их стоимость.

В методах RANS наибольшее распространение получили схемы с разностями против потока с относительно высоким уровнем схемной вязкости, которые основаны на решении задачи о распаде разрыва. Для таких схем удобно ставить граничные условия, строить неявные операторы, выполнять расчет сверхзвуковых течений со скачками уплотнения. Для методов LES с явной SGS-моделью, напротив, требуются схемы, не имеющие схемной вязкости, и лучшими кандидатами для аппроксимации конвективных членов в уравнениях являются схемы с центральными разностями. Это обусловлено тем, что подсеточная вязкость на несколько порядков меньше вязкости турбулентной в методах RANS. При использовании разностных схем с большой схемной вязкостью последняя будет суммироваться с подсеточной вязкостью, что может привести к некорректному описанию течения. Известны примеры применения центрально-разностных схем для расчета дозвуковых течений в элементах ТРД. Используются схемы второго порядка аппроксимации [70,71,76,129], а также различные варианты схем четвертого порядка [51,65,126,130,131].

Некоторое распространение получили методы с использованием компактных разностных схем высоких порядков: 4-го [132] и 6-го [2,35,58,133].

При использовании схемы с разностями против потока для LES и RANS/LES-методов выбираются варианты схем с низким уровнем схемной вязкости. Это может быть достигнуто применением разностных схем высоких порядков для предраспадных параметров. Однако, чаще всего встречаются схемы не выше третьего порядка. Так при использовании метода расщепления потоков AUSM [103] применяются разностные аппроксимации 2-го порядка разностной аппроксимации [91,42,104,105]. Схема третьего порядка с расщеплением потоков применена в работе [106]. Для метода Роу известны примеры использования разностных схем 2-го [36,57,61] и 3-его порядков [46,50,127,128] для предраспадных параметров. В работе [134] хорошо себя зарекомендовала оригинальная малодиффузионная схема с разностями против потока 3-го порядка.

Применение для расчетов с помощью LES упомянутых выше разностных схем с разностями против потока с фиксированным разностным шаблоном дает удовлетворительные результаты только для течений без больших градиентов:

дозвуковых и сверхзвуковых, в которых нет разрывов. При использовании немонотонных схем повышенного порядка аппроксимации в окрестности разрывов возникнут нефизичные осцилляции параметров течения. У монотонных разностных схем в окрестности разрывов порядок схемы будет снижаться до первого, что приведет к чрезмерному увеличению схемной вязкости. Это ограничивает использование монотонных разностных схем с фиксированным шаблоном для течений с разрывами.

Повысить порядок разностной схемы в окрестности разрывов и уменьшить схемную диффузию можно при использовании разностных схем с переменным шаблоном, например ENO [67,135], WENO [54,136,137]. Обычно используются схемы WENO третьего и выше порядков разностной аппроксимации, что позволяет существенно улучшить разрешение метода без увеличения числа узлов расчетной сетки. Это продемонстрировано авторами [94,136], где была использована схема WENO5 пятого порядка, в работах [3,39,138] – WENO9 девятого порядка, а в статье [139] WENO11 – одиннадцатого порядка. Вместе с тем, недостатком схем WENO является относительно высокий уровень схемной вязкости, приводящий к заметному «размазыванию» скачков уплотнения [140].

Известны примеры применения метода Роу с различными схемами высокого порядка для вычисления предраспадных параметров при расчетах с помощью LES. Так в работе [141] была использована схема MUSCL 5-го порядка аппроксимации. Схемы WENO 5-го и 9го порядков были применены авторами [142] и [143]. При этом в [142,144] было получено, что схема WENO менее эффективна для рассмотренной в статье задачи, чем схема MUSCL5.

С учетом сказанного выше представляет интерес предложенная в работе [140] схема 5-го порядка аппроксимации MP5 (Monotonicity Preserving). Схема MP5 имеет меньший уровень схемной вязкости и обеспечивает разрешение скачков с более высокой точностью по сравнению со схемой WENO5. Кроме того, вычислительные затраты для схемы MP меньше, чем для схемы WENO того же порядка. Авторами [140] также отмечается, что возможно построение схем MP еще более высоких порядков. Это было реализовано в работе [94], где используется схема MP7 7-го порядка аппроксимации. В указанной статье получено, что схемы MP имеют лучшие спектральные свойства по сравнению со схемами WENO. Известны примеры использования схем МР в сочетании с методом HLLC для комбинированного RANS/VLES-метода [145] и DNS [139].

Результаты расчетов, приведенные в упомянутых работах, продемонстрировали более высокое разрешение и точность схем MP при меньших вычислительных затратах по сравнению со схемами WENO тех же порядков аппроксимации. В [146] схема МР успешно используется для расчета слоя смешения со скачками уплотнения.

Дополнительный путь уменьшения схемной вязкости для методов с разностями против потока – использование их в сочетании с центральноразностными методами. Возможны два подхода. В первом случае потоки на грани расчетной ячейки вычисляются двумя способами: с помощью противопоточного и центрально-разностного методов. Затем вычисленные таким образом потоки складываются с весовыми коэффициентами, сумма которых равна единице. Изменяя значения этих коэффициентов, можно менять вклад противопоточной и центрально-разностной частей в результирующий поток [147,148]. Однако это требует дополнительных вычислительных затрат для вычисления потоков на гранях ячеек двумя способами. Более экономичный способ снижения схемной вязкости в методе Роу был предложен в работе [149].

Он сводится к уменьшению вклада диффузионной части потока на грани расчетной ячейки с помощью умножения ее на коэффициент, меньший единицы. При расчетах с помощью LES и RANS/LES-методов этот подход использовался, например, в работах [86,150,151].

Обзор литературы, сделанный в этом разделе, показывает, что для LES и RANS/LES-методов возможно применение различных вариантов методов и разностных схем. Основным требованием является малая схемная вязкость.

Однако конкретный выбор разностной схемы зависит от типа SGS-модели турбулентности. Этот вопрос будет обсуждаться в следующих разделах главы.

Вопрос, возникающий при выборе или разработке комбинированного RANS/LES-метода это выбор модели турбулентности для RANS и SGSмодели для LES. В настоящее время у большинства наиболее распространенных моделей турбулентности существуют модификации для комбинированных RANS/LES-методов. Кроме того, различных сочетаний модели для RANS и SGS-модели для области течения, где используется LES, пожалуй, больше, чем работоспособных моделей турбулентности для RANS.

Можно привести некоторые примеры из большого количества вариантов, описанных в литературе.

Например, в работе [152] в области, где решаются уравнения RANS, использовалась алгебраическая модель Болдуина-Ломакса. Среди однопараметрических моделей турбулентности наибольшее распространение получила модификация модели Спэларта-Аллмараса (SA) [153] для метода DES [60]: [62,154–157]. Известен вариант комбинированного метода на основе K1E модели турбулентности [158]. Для двухпараметрических моделей турбулентности чаще других встречаются комбинированные RANS/LESметоды, в которых модифицируются различные варианты k- модели турбулентности: [155,159,160]. Используются также модификации SST модели турбулентности [154,161], k-l модели турбулентности [32,162], k- модели турбулентности [163,164]. Известны и более сложные комбинированные методы, использующие модель тензора напряжений Рейнольдса: [144,165].

Однако анализ результатов расчетов разных авторов показал, что ни один из описанных вариантов модели турбулентности и SGS-модели для комбинированного RANS/LES-метода не продемонстрировал значительных преимуществ перед другими в плане повышения точности расчетов. С учетом этого при выборе конкретного варианта можно руководствоваться утилитарными критериями. Модель турбулентности для области RANS должна с достаточной точностью описывать те типы течений, которые встречаются при решении поставленных задач. Так, при расчете выхлопных струй или течений в диффузорах – это пограничный слой на стенках сопла или диффузора. Его удовлетворительно описывают все упомянутые модели турбулентности.

Важными с практической точки зрения являются простота и надежность модели турбулентности, удобство программирования, нетребовательность к качеству расчетных сеток. Всем этим требованиям удовлетворяет, например, однопараметрическая модель турбулентности SA.

В области течения, где используется метод LES, модель турбулентности заменяется SGS-моделью. В этом случае критерии выбора такие же: адекватное описание течения, простота и надежность. С точки зрения удобства численной реализации, предпочтительно, чтобы SGS-модель и модель турбулентности для RANS были по возможности близки. Перечисленным требованиям удовлетворяет, в частности, метод DES [60].

Альтернативой явным SGS-моделям, когда для вычисления подсеточных параметров турбулентности используются те или иные соотношения, являются так называемые неявные SGS-модели. В этом случае функцию SGS-модели выполняет схемная вязкость разностной схемы. Такие варианты метода LES именуются MILES – Monotone Integrated LES или, в последние годы, ILES – Implicit LES. Идея ILES состоит в том, что выражение для SGS-модели Смагоринского близко к выражению для схемной вязкости, использованной Нейманом при разработке монотонных разностных схем для расчета течений со скачками уплотнения. В статье [166] отмечается, что этот факт был установлен еще в 1955 году. Однако на многие годы он был забыт, и одной из первых работ, где был использован метод ILES, может считаться публикация [167], появившаяся почти через 40 лет. В работах [166,168–170] было показано, что для многих монотонных нелинейных разностных схем высокого порядка схемная вязкость может выполнять функции SGS-модели. При этом интегрирование конечно-разностных уравнений по пространству должно выполняться с помощью метода конечных объемов. В упомянутых работах сделана попытка теоретического анализа некоторых из вариантов разностных схем, использующихся при численном моделировании с помощью ILES.

Установлено, что свойства неявной SGS-модели зависят от вида оператора, который применяется для монотонизации схемы [166,169]. При этом в некоторых вариантах ILES у неявной SGS-модели нет аналогов в классе явных SGS моделей турбулентности [166].

Преимуществом ILES является использование монотонных разностных схем с относительно высоким уровнем схемной вязкости, поскольку она выполняет функцию подсеточной. Это расширяет круг разностных схем, которые могут быть использованы при разработке методов ILES. Кроме того применение монотонных разностных схем позволяет выполнять расчеты сверхзвуковых течений со скачками без модификации метода. И наконец, он прост в реализации и экономичен с вычислительной точки зрения, поскольку не требуется тратить время на вычисления, связанные с SGS-моделью. Это [31,35,36,42,48,128,135,147,171–173]. В указанных работах были использованы различные монотонные схемы с расщеплением потоков 2-го порядка, с разностями потоков 2-го и более высоких порядков, схема с компактными разностями, комбинация центрально-разностной и противопоточной схем. Во всех случаях были получены достоверные результаты, точность которых не уступала методам LES с явной SGS-моделью. Статья [164] является, видимо, одной из первых, где приведены примеры использования RANS/ILES-метода.

При этом в области RANS была использована двухпараметрическая модель турбулентности Ментера. Конвективные члены в уравнениях Навье-Стокса вычислялись с помощью схемы 3-го порядка с разностями против потока.

При расчетах RANS/LES-методами необходимо решать нестационарные уравнения Навье-Стокса. Способ интегрирования по времени определяет эффективность и точность метода. При использовании явных схем интегрирования шаг по времени будет определяться минимальным размером ячейки. Чаще всего ячейки с минимальным размером по нормали к стенке находятся в пограничном слое, который описывается с помощью RANS, где шаг интегрирования по времени может быть существенно больше без потери точности решения. Это делает для RANS/LES-методов оправданным использование неявных схем, которые широко используются в методах RANS для расчета стационарных течений методом установления по времени. Для расчета нестационарных течений используется технология интегрирования по двойному времени (dual time stepping), например [110]. При таком подходе на каждом шаге по времени решение находится с помощью неявного метода установления по параметру, «искусственному времени». Примеры использования такого подхода для LES и RANS/LES-методов можно найти в [139,161,174]. Использование неявных схем позволяет выбирать шаг интегрирования по времени на основании физических особенностей течения, а не устойчивости разностной схемы. Итогом является уменьшения общего времени расчетов без потери точности.

1.1.7 Выбор схем для построения эффективных комбинированных RANS/LESметодов На основе критического анализа литературы в предыдущих разделах этой главы были определены принципы построения эффективных RANS/LESметодов и выбраны их основные элементы.

Высокая точность расчета давления может быть достигнута при использовании для вычисления параметров на гранях расчетных ячеек методов, основанных на решении задачи о распаде разрыва [100] в той или иной форме.

Это позволяет применять для аппроксимации конвективных членов в уравнениях Навье-Стокса схемы с разностями против потока высокого разрешения, которые обеспечиваюе высокое разрешение в областях, где нет больших градиентов течения, монотонные варианты таких схем дают возможность выполнять расчеты течений со скачками уплотнения. Такой подход позволяет использовать с минимальными модификациями алгоритмы и коды, разработанные для RANS. Большим достоинством и преимуществом разработки LES или RANS/LES-методов на основе методов RANS является то, что последние уже доведены до высокого уровня точности и надежности.

Можно либо брать отработанные элементы, либо проводить их отладку на грубых сетках, может быть даже двумерных, в стационарной постановке с помощью RANS.

Создание независимых кодов для расчета несжимаемых и сжимаемых течений позволяет наиболее рационально использовать вычислительные ресурсы и применять для расчетов варианты RANS/LES-методов, которые наиболее эффективны для решения конкретных задач.

Анализ литературы также показал, что в рамках метода искусственной сжимаемости возможно создание эффективного и точного RANS/LES-метода для расчета несжимаемых течений. Высокое разрешение метода обеспечивается использованием схем 3-го и 5-го порядков [110] с низкой схемной диффузией для аппроксимации конвективных членов в уравнениях Навье-Стокса. Это позволяет использовать явную SGS-модель. Упомянутая схема [110] успешно применялась в методе DES [125]. На основании этого, а также с учетом того, что автором диссертации были созданы эффективные компьютерные коды, использующие метод искусственной сжимаемости высокого разрешения [110,111], для расчета низкоскоростных течений, которые будут рассмотрены в диссертации, был выбран метод DES [60].

Расчеты сверхзвуковых течений со скачками уплотнения требуют применения монотонных разностных схем, уровень схемной вязкости которых значительно выше, чем у схем для несжимаемых течений. Вследствие этого создание эффективного RANS/LES-метода с явной SGS-моделью для расчета сжимаемых течений затруднительно. Для расчета течений со скачками уплотнения хорошим кандидатом может быть вариант метода LES с неявной SGS-моделью – ILES. Он позволяет использовать монотонные схемы с разностями против потока высокого порядка и при этом избежать избыточной суммарной подсеточной вязкости. Задача в этом случае сводится к выбору монотонной разностной схемы высокого порядка: схемная вязкость должна быть малой, и в то же время она должна выполнять функцию SGS-модели.

Результаты расчетов в работах [40,144,156,161] наглядно показали, что предпочтительнее использовать разностные схемы, которые имеют порядок аппроксимации выше третьего (наиболее сейчас распространенного для ILES).

В этом случае некоторое усложнение кода с избытком компенсируется повышением точности расчетов, снижением уровня схемной вязкости, возможностью использования более грубых сеток, либо расчета более сложных конфигураций без увеличения потребных вычислительных ресурсов.

С учетом сказанного для RANS/LES-методов для расчета сжимаемых течений был выбран вариант LES с неявной SGS-моделью – ILES. Для вычисления конвективных членов в разностных аналогах уравнений НавьеСтокса был использован метод Роу. Предраспадные параметры на гранях расчетных ячеек определялись с помощью монотонных схем семейства МР. В зависимости от задачи были использованы разностные аппроксимации 5-го или 9-го порядков. Как отмечалось выше, они проще и экономичнее, чем схема WENO, соответствующего порядка, однако точность схем МР заметно выше, чем у WENO. Интегрирование по пространству производилось с помощью метода конечных объемов. В области RANS метод Роу обеспечивает высокую точность и надежность.

Для интегрирования по времени как для DES, так и RANS/ILES-метода была использована технология интегрирования по двойному времени – dual time stepping.

1.2 Построение численной реализации комбинированных RANS/LESметодов высокого разрешения Описанные в этом параграфе численные методы включают в себя элементы, которые были взяты из более простых численных подходов: методов RANS с различными моделями турбулентности и задач, использующих решение уравнения для потенциала скорости. Все они были разработаны автором диссертации. Ссылки на работы, где описанные в настоящем разделе элементы численных методов были использованы в упомянутых методах, приведены в соответствующих разделах этого параграфа. Разностные схемы, представленные ниже, записаны для структурированных расчетных сеток.

Уравнения, которые решаются в области, где течение описываются с помощью LES, формально совпадают с нестационарными уравнениями RANS.

Система уравнений Навье-Стокса, описывающая нестационарные течения сжимаемого газа, в декартовой системе координат может быть записана в консервативной форме следующим образом:

Компоненты тензора вязких напряжений ij в (1.2.2) имеют вид Другие величины, входящие в (1.2.1)-(1.2.3) определяются следующим образом:

Отличие от уравнений RANS заключается в определении величины t. В области течения, где решаются уравнения RANS t – турбулентная вязкость, получаемая из решения уравнения для модели турбулентности. В области течения, где используется LES, под t понимается подсеточная вязкость, способ вычисления которой будет описан ниже.

Система уравнений, описывающая нестационарные течения несжимаемой жидкости, в векторном виде может быть представлена аналогично системе (1.2.1):

В этом случае нет необходимости решать уравнение энергии, и число уравнений в системе всего четыре. Кроме того, в уравнении неразрывности отсутствует нестационарный член, поскольку =const. Векторы, входящие в систему (1.2.4), определяются следующим образом:

Упрощаются выражения для компонент тензора ij:

Под t понимается турбулентная вязкость в области RANS и SGS вязкость при описании течения с помощью LES.

Системы уравнений Навье-Стокса (1.2.1) или (1.2.4) дополняются уравнениями переноса, например, для описания модели турбулентности, которые могут быть записаны в обобщенной форме:

В уравнении (1.2.6) Sf – источниковый член, вид которого зависит от конкретного уравнения, величина t определяется так же, как и для уравнений Навье-Стокса.

Для решения нестационарных уравнений (1.2.1), (1.2.4) и (1.2.6) был использован метод интегрирования по двойному времени (dual time stepping), который подробно описан авторами [110]. В этом случае на каждом шаге по времени происходит установление по параметру (см. ниже) с использованием неявной схемы для решения системы разностных уравнений. Использование неявной схемы позволяет выбирать шаг по времени, руководствуясь физическими ограничениями. Такой способ расчета удобен для расчета течений с помощью RANS/LES-методов, поскольку заметно повышает эффективность вычислений. Уравнения Навье-Стокса и переноса, описанные в п.1.2.1, были преобразованы к виду, который позволяет применять технологию dual time stepping. При этом численная реализация почти одинакова, как для метода искусственной сжимаемости, так для уравнений, описывающих сжимаемые течения.

В систему уравнений (1.2.1), описывающих течения сжимаемого газа, был добавлен еще один нестационарный член: производная по параметру от вектора зависимых переменных Q:

Введение этого нестационарного члена не влияет на решение системы (1.2.8), поскольку он в процессе установления стремится к нулю.

Уравнения (1.2.5) для несжимаемой жидкости были переписаны в виде, который использовался в методе искусственной сжимаемости для расчета нестационарных течений в работе [110]:

Система (1.2.9) гиперболическая по параметру для набора переменных, описанных вектором Q. В (1.2.10) коэффициент искусственной сжимаемости. Отметим, что формальное сохранение плотности в (1.2.9)-(1.2.10) позволяет использовать эти уравнения для расчета течений с переменной плотностью [108].

Уравнение переноса (1.2.6) также дополняется производной по параметру :

В области течения, где течение рассчитывалось с помощью RANS – пограничные слои около стенок – для замыкания системы уравнений НавьеСтокса при расчете, как несжимаемых течений, так и сжимаемых течений, была уравнением переноса (1.2.11). Источниковый член S(f) для этой модели турбулентности имеет вид:

В (1.2.12) использованы следующие соотношения:

В соотношении (1.2.7), необходимом для замыкания уравнения (1.2.11) полагалось Sht=Sh=.

Интегрирование по физическому времени t выполнялось со 2-м порядком с использованием трехслойной односторонней разностной аппроксимации, описанной в работе [110]. На каждом слое по времени уравнения интегрируются численно с помощью неявного метода установления. Эта процедура близка к той, что описана в [110,111]. Для того чтобы найти значения параметров течения на итерации с номером (m+1) по известным значениям на итерации с номером m на слое по времени с номером (n+1), искомые параметры в уравнениях Навье-Стокса и уравнении переноса представляются в виде:

Конечно-разностные аналоги исходных уравнений (1.2.8), (1.2.9) и (1.2.11) записываются следующим образом:

В (1.2.14) Im - диагональная матрица, первый элемент которой равен нулю, остальные - единице, R и r- конечно-разностные аналоги дифференциальных операторов систем (1.2.8) или (1.2.9) а также уравнения переноса (1.2.11) соответственно, R и ~- упрощенные разностные операторы, вид которых влияет только на скорость сходимости итераций. В (1.2.14) для краткости записи опущены верхние индексы, а операторы R и r также включены члены разностной аппроксимации производной по времени со слоев n и n-1.

аналогов R и r, а также R и ~ вычислительная область разбивается на ячейки, которые образуются пересечением координатных поверхностей криволинейной неортогональной системы координат (). Эта система координат выбирается таким образом, чтобы границы расчетной области совпадали с координатными поверхностями, что упрощает постановку граничных условий. Преобразование координат (xyz) () выбирается так, чтобы в преобразованном пространстве расчетная область являлась параллелепипедом, а расчетная сетка была равномерной с шагом равным единице по всем направлениям. Параметры течения считаются известными в центрах ячеек, грани ячеек совпадают с границами расчетной области. Центрам ячеек приписывается целочисленный индекс. Тогда граням ячейки будет соответствовать полуцелый индекс по одной из переменных. Так ячейка с индексом в центре (i.j,k) имеет шесть граней с индексами (i±1/2,j,k), (i,j±1/2,k), (i,j,k±1/2). Для удобства постановки граничных условий снаружи расчетная область была окружена слоем фиктивных ячеек, в центрах которых значения параметров задавались в соответствии с конкретными граничными условиями [175,176].

С учетом введенных обозначений оператор R для системы уравнений Навье-Стокса (1.2.8) или (1.2.9) может быть записан в следующем виде (для краткости оставлены пространственные члены только по одному направлению и опущены индексы по другим пространственным координатам):

(qi)m+1(1/+1.5Im/t) –(Ai-1/2+ +Bi-1/2)(qi-1)m+1 +(Ai-1/2+ +Bi-1/2)(qi)m+1 – (Ai+1/2- – Bi+1/2)(qi)m+1 + (Ai+1/2- – Bi+1/2)(qi+1)m+1 =R(qim) (1.2.15) Здесь A+, A- - расщепленные по знакам собственных чисел составляющие матрицы Якоби конвективных членов, которые будут описаны ниже, B – матрица Якоби диффузионных членов, матрица Im определена выше. Неявный оператор для уравнений переноса строится аналогичным образом, только в нем вместо матриц используются скалярные коэффициенты, постольку он применяется к скалярному уравнению (1.2.11).Такой подход раньше был применен автором диссертации для методов RANS в работах [11,108,112– 120,122–124,177–182] и во всех случаях хорошо себя зарекомендовал.

1.2.5 Разностная аппроксимация диффузионных членов уравнений НавьеСтокса и переноса Для вычисления невязки R(qim), входящей в правую часть (1.2.15) Интегрирование по объему на основании теоремы Остроградского-Гаусса было заменено интегрированием потоков через грани расчетной ячейки. Например, поток через грань ячейки с индексом (i+1/2,j,k) для системы (1.2.8) или (1.2.9) вычислялся следующим образом:

fi+1/2=S(nxi+1/2Avi+1/2+nyi+1/2Bvi+1/2+nzi+1/2Cvi+1/2) (1.2.16) рассматриваемой грани ячейки, nx, ny, nz -проекции единичного вектора внешней нормали к грани ячейки на оси декартовой системы координат, векторы Av, Bv, Cv определяются соотношениями (1.2.5) или (1.2.10).

Диффузионный поток на грани ячейки для уравнения переноса (1.2.11) вычисляется с использованием скалярного аналога соотношения (1.2.16).

Необходимые для вычисления диффузионных потоков производные по декартовым координатам вычислялись по правилу дифференцирования сложной функции через производные по направлениям, и. от значений параметров в узлах криволинейной расчетной сетки. Для аппроксимации производных на гранях расчетных ячеек по направлениям, и как в уравнениях Навье-Стока, так и в уравнениях переноса были использована единообразная центрально-разностная аппроксимация 2-го порядка, описанная в работах [108,175,176]. Центрально-разностная аппроксимация не имеет схемной вязкости, а использование аппроксимации 2-го порядка не приводит к заметному снижению точности в области LES, поскольку при этих членах стоит малый коэффициент сумма ламинарной и подсеточной вязкостей.

1.2.6 Разностная аппроксимация конвективных членов уравнений Навье-Стокса Аппроксимация конвективных членов на гранях расчетной ячейки в уравнениях Навье-Стокса была различной в случаях метода DES для расчета течений несжимаемой жидкости и комбинированного RANS/ILES-метода для сжимаемых течений. Различалась для этих случаев и аппроксимация конвективных членов в уравнениях переноса, которые решались вместе с уравнениями Навье-Стокса.

В методе DES для аппроксимации конвективных членов системы уравнений (1.2.9)(1.2.10), модифицированной с помощью метода искусственной сжимаемости, была использована схема с разностями против потока высокого порядка из работы [110]. Она построена на основе схемы Роу [101]с расщеплением разности потоков. Построение схемы можно пояснить на примере одномерного уравнения Эйлера, записанного в векторной форме [110]:

В (1.2.17) q - вектор зависимых переменных, f - вектор потоков. С учетом введенной ранее системы индексов в полудискретной форме эта система может быть записана следующим образом:

С первым порядком точности выражение для разностного аналога потока на грани ячейки может быть представлено в следующем виде [101]:

Разность расщепленных потоков в фигурных скобках в (1.2.19) определяется следующим образом:

fi+1/2+ = A+( qi+1/2)qi+1/2, fi+1/2- = A-( qi+1/2)qi+1/2 (1.2.20) Матрицы А+ и А-, которые в сумме дают матрицу Якоби А=f/q системы уравнений (1.2.17), определяются следующим образом:

А = RL = R(+ + -)L = R+L + R-L = A+ + AЗдесь R и L – матрицы правых и левых собственных векторов матрицы Якоби А. Диагональные матрицы + и - содержат неотрицательные и отрицательные собственные числа матрицы А соответственно.

Входящие в (1.2.20) величины в соответствии с методом Роу определяются следующим образом:

Отметим, что выражение для qi+1/2 справедливо только для постоянной плотности. В случае переменной плотности для qi+1/2 используются обычные для метода Роу соотношения для параметров на грани расчетной ячейки [101].

использоваться для аппроксимации конвективных членов невязки уравнений.

Ее элементы были использованы при построении конвективной части неявного оператора R, определенного системой (1.2.15). Необходимые для вычисления невязки R(qim) в правой части (1.2.15) конвективные потоки на грани расчетной ячейки могут быть вычислены с 5-м порядком аппроксимации с помощью соотношений [110]:

В пространственном случае указанный способ вычисления конвективных потоков на грани расчетной ячейки (1.2.21) применяется по каждому координатному направлению независимо. В варианте метода DES, описанном в работе [183], в уравнениях Навье-Стокса конвективные потоки на гранях расчетных ячеек вычислялись с помощью (1.2.21).

Соотношение (1.2.21) может применяться только для расчета потоков внутри расчетной области на удалении от границ, достаточном для построения разностного шаблона. Вблизи от границы в случае, если граничное условие не позволяет поддерживать высокий порядок аппроксимации, использовались разностные аппроксимации с понижающимся порядком, для построения разностного шаблона которого со стороны границы имеется достаточное количество ячеек сетки.

Описанный выше способ разностной аппроксимации нельзя применять при расчете течений с большими градиентами течения, в частности со скачками уплотнения, поскольку схема (1.2.21) не обладает свойством монотонности.

При расчете сжимаемых течений для аппроксимации конвективных членов в системе уравнений Навье-Стокса (1.2.8) был использован другой способ вычисления предраспадных параметров для метода Роу. Основные элементы этого метода описаны в статьях [184,185]. Выражение (1.2.19) было записано в следующем модифицированном виде [149]:

|A|=A+-AЗдесь fi+1/2, f(qL), f(qR) - векторы конвективных членов уравнений НавьеСтокса на грани расчетной ячейки, с левой и правой стороны грани расчетной ячейки соответственно, |A| – «модуль» матрицы Якоби, – коэффициент, регулирующий уровень схемной вязкости. Параметры qL и qR вычислялись на гранях ячеек в зависимости от реализации метода с помощью монотонной противопоточной схемы 5-го порядка МР5 либо 9-го порядка МР9 [140].

Дополнительное снижение схемной вязкости достигается уменьшением вклада диффузионной части в выражении (1.2.22) с помощью параметра. При =max=1 (1.2.22) соответствует оригинальной схеме Роу. При CDESmax В соотношениях (1.3.29) d – истинное расстояние от стенки до центра рассматриваемой ячейки, CDES=0.65, max – максимальный размер этой ячейки сетки, D – характерный размер задачи, на который обезразмеривались линейные размеры. В описанных в диссертации примерах разрывный характер не повлиял на решение. Был также использован вариант гладкого распределения d с использованием гиперболических функций при d>CDESmax.

d = max(10 D, d[(1-th[((d/(CDES max)) ], при d > CDESmax В задачах, для которых он применялся, это не привело к заметным изменениям решения. Пример использования разрывного d для RANS/ILES-метода можно найти в работе [152], где в области RANS была использована модель турбулентности Болдуина-Ломакса.

1.2.9 WMILES-метод для расчета сжимаемых течений Во введении отмечалось, что при использовании RANS/LES-методов для расчета струйных течений на малых расстояниях от среза сопла течение в слое смешения описывается с большими погрешностями по сравнению с экспериментом. Это вызвано с тем, что пограничный слой на срезе сопла стационарный. Слой смешения около среза сопла также вначале стационарный или почти стационарный, «ламинарный». Далее происходит «численный»

переход к турбулентному слою смешения, сопровождающийся, как и в случае перехода от реального ламинарного к турбулентному слою смешения, образованием вихрей большой интенсивности. Избавиться от этого недостатка можно, если разрешать крупные вихри в пограничном слое в сопле явным образом. Однако применение метода LES для расчета пограничного слоя при больших числах Рейнольдса требует очень мелких расчетных сеток [187]. В работе [185] был предложен компромиссный вариант: Wall Modeled ILES – WMILES. Этот подход позволил улучшить точность расчета слоя смешения около среза сопла на относительно грубых расчетных сетках по сравнению с RANS/ILES-методом. При использовании WMILES-метода для расчета течения в пограничном слое решение определялось с помощью ILES во всей области течения за исключением ячейки, ближайшей к стенке. Способ вычисления параметров в центре этой ячейки описан в разделе граничных условий. Для аппроксимации предраспадных параметров в выражении (1.2.22) была использована разностная схема МР9. По мере приближения к стенке использовались аппроксимации более низких порядков, согласно тому, как это описано в разделе 1.2.6 для RANS/ILES-метода.

1.2.10 Решение системы разностных уравнений На каждом шаге по времени решение системы разностных аналогов уравнений Навье-Стокса и уравнений переноса находилось с помощью неявного метода установления по параметру. При этом на каждой итерации система уравнений Навье-Стокса решалась блочным методом Гаусса-Зейделя, а затем последовательно одно за другим скалярные уравнения с помощью скалярного варианта метода Гаусса-Зейделя. Расчеты, описанные ниже, выполнялись с числами Куранта 10-1000. Указанные способ решения разностных уравнений и организация вычислений были одинаковы для DES, RANS/ILES- и WMILES-методов. При расчетах с помощью WMILES решения уравнения для турбулентной вязкости не требовалось, поскольку она полагалась равной нулю.

1.2.11. Повышение точности методов при расчетах на нерегулярных сетках Применение нерегулярных структурированных сеток при расчете сложных реалистических конфигураций практически неизбежно. С другой стороны надежная работа кода на "плохих" сетках позволяет упростить их построение и сократить необходимое для этого время. Для повышения работоспособности метода и уменьшения погрешностей при расчетах на нерегулярных, сильно деформированных сетках был использован ряд специальных приемов. Так, для интегрирования по пространству был использован конечно-объемный метод:

разностные уравнения были записаны в форме баланса потоков через грани расчетной ячейки. Это обеспечивает хорошую консервативность схемы. При расчете конвективных потоков на грани ячейки параметры слева и справа от грани qLI+1/2 и qRI+1/2, входящие в центрально-разностную и диффузионную части схемы Роу (1.2.22), вычислялись по одним и тем же разностным шаблонам. Производные, входящие в диффузионные потоки уравнений НавьеСтокса и уравнений переноса, рассчитывались непосредственно на гранях расчетных ячеек. Необходимые для их вычисления метрические производные преобразования координат определялись на гранях ячеек по тем же разностным шаблонам, что и производные от параметров течения. Применение такого согласованного способа вычисления производных описано в работах [175,176].

Использование этого приема и вычисление потоков на грани ячейки с помощью соотношения (1.2.16) обеспечивают воспроизведение однородного потока на нерегулярных, произвольным образом деформированных сетках, и дают значительное снижение погрешностей, обусловленных нерегулярностью расчетной сетки.

Отличительной особенностью метода является использование скалярного аналога метода Роу высокого порядка для уравнений переноса. Это позволяет построить схему решения скалярных уравнений, согласованную с основной системой уравнений Навье-Стокса. С этой же целью при вычислении потоков через грани расчетной ячейки в качестве коэффициентов в конвективных членах (1.2.24) использованы величины из уравнения неразрывности системы уравнений Навье-Стокса – первые элементы векторов (1.2.21) или (1.2.22) [178,179,180]. Такой подход особенно важен при использовании разностных аппроксимаций высокого порядка и расчетах на нерегулярных сетках. Он позволяет повысить точность расчета скалярных параметров и избежать дополнительных погрешностей, которые неизбежно возникнут при ином способе вычисления коэффициентов конвективных потоков.

Точная постановка граничных условий для LES невозможна, поскольку течение хотя бы на части границы расчетной области является турбулентным: