УДК 518.12: 543.42

На правах рукописи

Горошко Марина Александровна

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ

ОПТИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА

Специальность

05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Калуга – 2013

Работа выполнена в Калужском филиале федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана» (КФ ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Н.Э. Баумана»)

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики КФ ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Н.Э. Баумана»

Степанов Сергей Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент, начальник отдела ФГУП ГНЦ РФ-ФЭИ Суворов Алексей Анатольевич кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры и информатики ФГБОУ ВПО «Калужский государственный университет имени К.Э. Циолковского»

Булычев Владимир Александрович

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Защита состоится «_»_ 2013 г. в _ часов на заседании диссертационного совета Д 201.003.01 при Государственном научном центре Российской Федерации – Физико-энергетическом институте имени А.И. Лейпунского (ФГУП ГНЦ РФ-ФЭИ) по адресу: 249033, г. Обнинск, Калужской обл., пл. Бондаренко, д.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ-ФЭИ.

Автореферат разослан «_»_ 2013 г.

Ученый секретарь ГНЦ РФ-ФЭИ доктор технических наук Т.Н. Верещагина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Для современного этапа развития высоких технологий и наукоемкого производства характерно использование микроструктур, что требует наличия точной информации о свойствах применяемых материалов. Одним из методов диагностики, позволяющих получить данные об элементном и химическом составе, параметрах кристаллической и электронной структуры, типе, концентрации и локализации дефектов и других параметрах и характеристиках полупроводниковых материалов, является спектроскопия.

К основным задачам спектроскопического исследования относится определение характеристик вещества, не являющихся непосредственно наблюдаемыми величинами, по свойствам спектров излучения. Спектры, в свою очередь, напрямую зависят как от определяемых характеристик, так и от внешних факторов, поэтому применение современных методов анализа данных в спектроскопии становится всё более актуальным.

В отличие от классических задач фильтрации, когда получение незашумленного сглаженного сигнала является конечной целью, при обработке спектров это можно считать начальной процедурой, предваряющей основные этапы обработки. Например, предварительная фильтрация сигнала необходима в методах идентификации и разделения наложенных пиков, использующих численное дифференцирование измерений. Но особенности спектральных данных таковы, что многие существующие методы фильтрации не позволяют одновременно эффективно подавить шумовые составляющие и сохранить структуру спектра. Как правило, задача решается при обработке конкретных спектров с учетом условий проведения эксперимента, известных источников зашумления и другой информации. Другим подходом является привлечение сложных математических аппаратов и статистических методов.

Вейвлет-анализ находит широкое применение во многих приложениях цифровой обработки сигналов, поскольку использование вейвлетов позволяет проводить обработку одномерных и многомерных сигналов различного вида без повышения уровня сложности алгоритмов. Существуют эффективные методы, использующие классическое вейвлет-преобразование при обработке спектральных данных в некоторых частных случаях. Поэтому исследование возможности обработки оптических спектров с помощью вейвлетпреобразований является актуальным.

Целью диссертационной работы является разработка методов предварительной обработки оптических спектров, в частности, спектров электромагнитного излучения, индуцируемого электронной бомбардировкой поверхности.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Изучение основных особенностей различных видов вейвлетпреобразований и выбор наиболее эффективных систем вейвлетов. Выявление зависимости вейвлет-коэффициентов от свойств полезного сигнала и зашумлений для выбранных видов вейвлет-преобразований.

2. Разработка способов решения следующих задач обработки спектров:

удаления аддитивных шумов, сужения области локализации спектра, сжатия сигнала для последующего хранения в базах данных.

3. Использование разработанных алгоритмов для обработки спектров катодолюминесценции полупроводников, оценка их эффективности в сравнении с существующими методами.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые исследована возможность использования избыточного вейвлет-преобразования и лифтинг-схемы с линейной аппроксимацией сигнала для обработки спектральных данных. Разработаны алгоритмы, позволяющие сочетать фильтрацию измеренного спектра с предварительным выделением областей локализации пиков и при необходимости проводить сжатие и восстановление сигнала. Выявлена область применения разработанных алгоритмов, сформулированы теоремы, характеризующие информацию, хранимую в коэффициентах разложения, и погрешность восстановления сигнала. Проведено обобщение алгоритма обработки спектров на многомерный случай, что позволяет применять его для обработки не только поверхностных спектров излучения, но и результатов измерений кинетики люминесценции.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные алгоритмы могут быть быстрыми и по вычислительным затратам соизмеримы с простейшими методами фильтрации, но при этом позволяют проводить эффективную обработку спектральных данных без существенного искажения структуры полезного сигнала. Резкое увеличение интенсивности зашумления при измерении спектральных данных можно выявлять автоматически, используя соответствующий алгоритм. Фильтрация аддитивного зашумления может быть проведена в режиме реального времени и реализована на аппаратном уровне, что позволяет использовать ее как предварительный этап в методах обработки спектров, основанных на численном дифференцировании. Алгоритм обработки спектров обеспечивает высокий коэффициент сжатия информации и может быть использован при разработке алгоритмов поиска в соответствующих базах данных. Сформулированные теоремы позволяют выбирать параметры в указанных алгоритмах на основании априорной информации и желаемой точности обработки, а не эмпирическим путем.

Достоверность результатов исследования обеспечена теоретической обоснованностью используемых видов преобразований сигнала, строгостью применяемого математического аппарата, соответствием результатов математического моделирования расчетным данным.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы на основе избыточного вейвлет-преобразования – a trous вейвлет-преобразования Хаара, которые позволяют организовать подавление высокочастотного аддитивного зашумления спектральных данных в режиме реального времени, а также осуществлять контроль интенсивности зашумлений за счет статистического анализа вейвлет-коэффициентов.

2. Метод обработки оптических спектров, включающей в себя фильтрацию, выявление предположительной области локализации пиков, сжатие и восстановление информации, основанный на лифтинг-схеме с линейной аппроксимацией сигнала.

3. Теоремы, отражающие зависимость вейвлет-коэффициентов от свойств полезного сигнала и погрешности восстановления от параметров фильтрации, которые дают возможность определения параметров обработки спектров с учетом априорной информации.

4. Результаты математического моделирования и обработки спектров катодолюминесценции полупроводников, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались на региональных, всероссийских и международных конференциях, в том числе:

1. Всероссийские НТК «Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе» (Калуга, 2008, 2009, 2011 гг.).

2. Четырнадцатая Международная НТК студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2008 г.).

3. XXXVIII международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, 2008 г.).

4. V Международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания». Научная школаконференция молодых исследователей (Обнинск, 2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 статьи в журналах из перечня ВАК и 6 тезисов конференций различного уровня.

Личный вклад автора. Автору принадлежит конкретизация решаемых задач, выбор видов вейвлет-преобразований, подходящих для их решения, разработка и реализация соответствующих алгоритмов.

Автор благодарит Степовича М.А. за предоставленные экспериментальные данные для тестирования разработанных алгоритмов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Она содержит 122 страницы машинописного текста, включая 27 рисунков, 5 таблиц, список литературы из 79 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируются цель и задачи диссертационного исследования, раскрывается научная новизна и практическая ценность результатов, приводятся основные положения диссертации, выносимые на защиту.

В первой главе проводится краткий обзор методов диагностики материалов и рассмотрены существующие методы обработки спектральных данных. В частности, даются общие сведения о просвечивающей электронной микроскопии, растровой электронной микроскопии и дополнительных возможностях, предоставляемых соответствующим оборудованием. Особое внимание уделено использованию катодолюминесценции (КЛ) для диагностики параметров и характеристик полупроводников.

Одним из методов контроля локальных характеристик полупроводников является анализ спектров электромагнитного излучения, индуцируемого электронной бомбардировкой поверхности, которые содержат информацию о механизме излучательной рекомбинации, имеющей место в изучаемой области образца. Как в случае одномерных, так и в случае многомерных сигналов, получаемая информация является приближенной в связи с погрешностью измерений, ошибками при передаче данных и другими факторами. Соответственно, перед проведением анализа требуется предварительная обработка экспериментальных данных. Задача обработки многомерных сигналов может ставиться не только при построении карты распределения по поверхности образца интенсивности фотонной эмиссии и в других подобных экспериментах, но и при регистрации кинетики люминесценции или кинетики атомно-эмиссионных спектров.

Рассматриваются основные методы поиска и идентификации пиков, коррекции на фоновую составляющую, разделения наложенных линий. Также приводятся алгоритмы, ориентированные на обработку спектров, полученных каким-либо определенным методом диагностики, так как многие результаты могут быть обобщены на спектральные данные иного происхождения. Отмечается, что многие из представленных методов опираются на операции численного дифференцирования, поэтому удаление высокочастотного шума и импульсных составляющих необходимо для возможности их применения. Также рассмотрены методы фильтрации, широко применяющиеся на практике и имеющие относительно малую вычислительную сложность, и обоснована целесообразность использования вейвлет-преобразований в различных областях обработки спектров.

Вторая глава посвящена рассмотрению вейвлет-преобразований различного вида. В ней изложены основные определения и соотношения классической теории вейвлетов, кратко указаны достоинства и недостатки традиционного вейвлет-преобразования.

Особое внимание уделено нетрадиционным видам вейвлетов: a trous вейвлет-преобразованию Хаара, которое относится к избыточным преобразованиям, и лифтинг-схеме с линейной аппроксимацией сигнала, являющейся одним из примеров вейвлетов второго поколения. Указанные виды преобразований выбраны в связи с тем, что они позволяют обойти ограничения классических вейвлетов, не повышая сложности алгоритмов обработки сигналов.

При формировании коэффициентов разложения a trous вейвлетпреобразования Хаара используются только предшествующие измерения, хранимая информация независима от сдвига в исходном сигнале, а значение сигнала можно восстановить в отдельно взятой точке или в конкретный момент времени. Указанные факторы позволяют применять преобразование при создании алгоритмов обработки сигналов, ориентированных на исполнение в режиме реального времени.

Лифтинг-схема представляет особый интерес с точки зрения сжатия спектральных данных после предварительной обработки. Это связано с тем, что в вейвлет-коэффициентах разложения фиксируется отличие одного определенного множества измерений от прогнозируемых значений, опирающихся на второе множество измерений. В частности, при линейной аппроксимации сигнала происходит замена нечетных измерений на среднее значение соседних четных измерений. Кроме того, лифтинг-схема реализуется без привлечения дополнительной памяти для размещения исходного сигнала, а способ организации вычислений сохраняет оперативную память в крупных приложениях по обработке данных.

В третьей главе рассмотрены особенности практической реализации фильтрации с использованием вейвлетов. Излагается принцип «твердой» пороговой обработки вейвлет-коэффициентов, которая подразумевает обнуление всех вейвлет-коэффициентов, имеющих абсолютное значение ниже порогового, продемонстрировано влияние коэффициентов каждого уровня на результат фильтрации. На рис. 1а показан результат фильтрации тестового сигнала с твердой пороговой обработкой вейвлет-коэффициентов, на рис. 1б – результат обработки с дополнительным обнулением первого и второго уровней вейвлеткоэффициентов. Результат фильтрации показан сплошной линией, исходный сигнал – точками. Как видно из приведенных результатов, обнуление вейвлеткоэффициентов не только по порогу, но и по принадлежности к определенным уровням разложения делает фильтрацию реальных сигналов более гибкой и является эффективным способом борьбы с импульсными зашумлениями.

Указаны также особенности отдельных видов преобразований. Например, а trous вейвлет-преобразование Хаара может использоваться при фильтрации сигналов двумя способами. Первый способ подразумевает стандартную пороговую обработку полученных вейвлет-коэффициентов, а второй базируется на непосредственном использовании уровня аппроксимации сигнала, когда результатом фильтрации является низкочастотная составляющая сигнала. При этом в силу особенностей преобразования, с увеличением глубины разложения происходит смещение коэффициентов уровня аппроксимации сигнала относительно исходного тренда на 2 j1 отсчетов. Это можно трактовать как временную задержку фильтрации, равную h2 j 1, где h – шаг дискретизации.

а) «твердая» пороговая обработка вейвлет-коэффициентов б) «твердая» пороговая обработка и обнуление первого и второго уровней Рис. 1. Результат обработки тестового спектра с использованием вейвлетпреобразования Добеши Особенности компьютерной реализации алгоритмов обработки сигналов на основе вейвлетов рассмотрены в сравнении с экспоненциальным сглаживанием, скользящим усреднением, медианным сглаживанием и фильтрацией на основе БПФ. При проведении сравнительного анализа рассмотрены такие показатели, как требуемый объем памяти и количество арифметических операций.

Полученные результаты показывают, что алгоритмы фильтрации на основе вейвлетов имеют линейную сложность, как и простейшие стандартные методы, а требования к объемам памяти сопоставимы с требованиями фильтрации на основе БПФ.

Выведены необходимые для аналитического обоснования выбора параметров разработанных алгоритмов соотношения: зависимость вейвлеткоэффициентов от значений полезного сигнала и шума измерений, а также зависимость погрешности восстановления сигнала от порога обнуления коэффициентов. При этом полагалось, что f xi – измеренные значения сигнала, которые можно представить в виде:

где f xi – значения незашумленного сигнала, xi – шум измерений, а сигнал измеряется через равные промежутки времени с шагом h.

Зависимость вейвлет-коэффициентов от значений полезного сигнала и шума измерений выражена в следующих сформулированных теоремах:

Теорема 1. Пусть xk, f xk M 2 для любого xk из рассматриваемой области сигнала, тогда для вейвлет-коэффициентов первого и второго уровней разложения лифтинг-схемы с линейной аппроксимацией сигнала справедливы оценки:

Теорема 2. Пусть xk, f xk M1 для любого xk из рассматриваемой области сигнала, тогда для вейвлет-коэффициентов первого и второго уровней разложения a-trous преобразование Хаара справедливы оценки:

При твердой пороговой обработке вейвлет-коэффициенты k ( k ) заменяются значениями k, которые определяются следующим образом:

Погрешность восстановления определена в следующих теоремах, где f xk обозначает восстановленное значение сигнала в точке xk после разложения сигнала до 2-го уровня и последующей пороговой обработки вейвлеткоэффициентов:

Теорема 3. При использовании порогов обнуления 1 и 2 на первом и втором уровне разложения a-trous вейвлет-преобразования Хаара соответственно для погрешности восстановления сигнала справедлива следующая оценка:

либо, при использовании одинакового порога обнуления на обоих уровнях разложения, Теорема 4. При использовании различных порогов обнуления 1 и 2 на первом и втором уровне разложения лифтинг-схемы с линейной аппроксимацией сигнала соответственно, в зависимости от расположения исходного значения сигнала в схеме коэффициентов, для погрешности восстановления справедливы следующие оценки:

Полученные зависимости могут различным образом применяться на практике. Например, исходя из допустимой погрешности восстановления сигнала, задается порог обнуления вейвлет-коэффициентов каждого уровня. Затем, в зависимости от оценок значений M1 или M 2 и выбранного порога обнуления, определяется шаг дискретизации. Результаты обработки сигналов различного вида с параметрами, выбранными на основании полученных оценок, подтверждают справедливость приведенных аналитических зависимостей. В случае если требуемое качество фильтрации спектра не достигается, целесообразно проводить обработку сигнала в несколько итераций с поэтапным увеличением шага дискретизации.

Четвертая глава посвящена решению задач обработки спектральных данных: использованию избыточного вейвлет-преобразования для подавления аддитивного зашумления и контроля интенсивности шума, разработке алгоритма сжатия и восстановления спектров, обработке тестовых сигналов и реальных спектров электромагнитного излучения.

Избыточное вейвлет-преобразование может быть полезным при обработке спектральных данных, особенно при фильтрации результатов измерений кинетики люминесценции. Одним из таких применений является удаление аддитивного зашумления. Разработанный алгоритм может быть реализован на аппаратном уровне из-за его адаптированности к режиму реального времени. Для демонстрации работы алгоритма рассмотрена обработка сигнала, в формировании которого задействованы различные типы зашумления, а именно – математическая модель, используемая при калмановской фильтрации. С каждым новым поступлением измеренного значения сигнала проводилось а trous вейвлет– преобразование Хаара и пороговая обработка вейвлет-коэффициентов, в результате которой в отбрасываемых коэффициентах фиксировалась аддитивная составляющая зашумления. Разность наблюдаемого и отфильтрованного значений сигнала принималась как аддитивный шум измерений.

Наиболее наглядно возможности данного алгоритма фильтрации могут быть продемонстрированы, если оценить дисперсию аддитивного шума, найденного как разность наблюдаемых значений сигнала и значений после фильтрации, и сравнить ее с дисперсией шума измерений, известного точно при моделировании. На рис. 2 сплошная линия, соответствующая дисперсии выделенного шума, довольно точно повторяет пунктирную линию, соответствующую дисперсии известного шума, что подтверждает эффективность разработанного алгоритма. В момент времени t 5 c произошло увеличение интенсивности как шума объекта, так и шума измерений. На всем рассматриваемом интервале проведено эффективное подавление шума измерений, являющегося аддитивным.

В процессе накопления спектральных данных в ряде случаев может потребоваться отслеживание момента времени, когда произошло повышение уровня шума. Алгоритм контроля интенсивности зашумления основан на анализе коэффициентов избыточного вейвлет-преобразования. Наиболее эффективным является использование несмещенных оценок математического ожидания и дисперсии коэффициентов каждого уровня и так называемое «правило трех сигм»:

Так как в оценке дисперсии коэффициентов должна сохраняться информация обо всех значимых изменениях, имевших место ранее, оценка дисперсии и соответствующие допустимые границы отклонения коэффициентов разложения должны пересчитываться для всех значений сигнала, наблюдаемых с начала работы системы, включая новое измерение. Этого удалось достигнуть с помощью выведенных формул обновления несмещенных оценок математического ожидания и дисперсии:

Проведенные эксперименты показали, что для уменьшения количества ложных срабатываний системы контроля целесообразно принимать во внимание лишь одновременный выход вейвлет-коэффициентов за установленные границы допустимых значений на обоих уровнях.

Применение вейвлет-преобразования предоставляет возможности для эффективного сжатия данных, что немаловажно при последующем хранении спектров в соответствующих базах данных. На первом этапе подготовки спектра к сжатию также осуществляется вейвлет-преобразование сигнала и пороговая обработка коэффициентов. При указанном подходе сжатие спектра производится за счет разреженности полученной последовательности коэффициентов. Предложен алгоритм сжатия информации, заключающийся в замене указанной последовательности двумя другими: кодирующей, в которой фиксируется расположение значимых коэффициентов, и последовательностью, которая содержит численные значения этих коэффициентов и сохраняет порядок их следования. Для образования кодирующей последовательности отбрасываемые вейвлет-коэффициенты обнуляются, а сохраняемые коэффициенты заменяются единицами. Полученная последовательность 0 и 1 рассматривается как некоторая последовательность чисел, представленных в двоичной системе счисления.

При предложенном подходе степень сжатия данных зависит как от количества значимых коэффициентов, так и от среды разработки, используемой при решении конкретной задачи. Для восстановления информации после передачи достаточно вернуться к исходной последовательности коэффициентов, а затем выполнить обратное вейвлет-преобразование.

При подготовке сигнала к последующему сжатию рассматривались различные виды вейвлет-преобразований. Как показали результаты математического моделирования, в данном случае наиболее эффективно использование лифтинг-схемы с линейной аппроксимацией сигнала.

Одной из главных целей фильтрации спектральных данных является обеспечение возможности численного дифференцирования для выделения пиков, в том числе при разделении наложенных линий, и при анализе полезного сигнала. Поэтому на следующем этапе проводится сглаживание спектра с помощью локальных сплайнов третьего порядка. Поскольку используемые кусочно-кубические функции имеют одинаковый вид и отличаются лишь расположением на временной оси, значения данных функций на требуемом интервале времени находятся заранее и заносятся в матрицу соответствующей размерности, что позволяет оптимизировать вычислительный процесс.

В табл. 1 приводятся результаты обработки как тестового сигнала без шума, так и зашумленного сигнала, а на рис. 3 – график, соответствующий второму случаю (точки – исходные значения спектра, сплошная линия – результат обработки). Как видно из представленных данных, разработанный алгоритм позволил эффективно провести фильтрацию зашумленного сигнала и достичь высокого коэффициента сжатия, сохранив форму спектральной кривой.

Результаты фильтрации, сжатия и восстановления со сглаживанием Погрешность в С после сгла- 0,0780 (2,81%) 0,0814 (2,73%) живания Рис. 3. Результат обработки зашумленного спектра с использованием лифтинг-схемы, полного обнуления вейвлет-коэффициентов и сглаживания после восстановления сигнала Предварительная фильтрация спектра катодолюминесценции по одному из срезов образца с помощью экспоненциального фильтра, скользящего среднего, медианного фильтра и БПФ не позволяет получить приемлемый результат:

либо сглаживание не является достаточным, либо происходит значительное искажение спектральной кривой.

Первый этап обработки спектра КЛ с помощью вейвлетов предназначен для подготовки исходного сигнала к последующей фильтрации. Если в начале и в конце измеренного сигнала присутствует только фоновая составляющая, то значения, соответствующие вейвлет-коэффициентам первого уровня разложения 1,k, близки к нулю. Выбрав уровень погрешности, можно обнулить соответствующие величины. Затем находятся первый слева и первый справа элементы набора {1,k}, отличные от нуля, например, 1,s и 1,f. Тогда область локализации сигнала лежит между 2s-1 и 2f+1. Второй этап обработки спектра заключается в фильтрации сигнала и сглаживании информации за счет уменьшения влияния случайных погрешностей.

Результат обработки спектра КЛ галлий–гадолиниевого граната с помощью лифтинг-схемы с использованием линейной аппроксимации сигнала, последующего обнуления соответствующих вейвлет–коэффициентов, а затем восстановления данных представлен на рис. 4. Точки соответствуют экспериментальным данным, сплошная линия – результату обработки, пунктирные линии ограничивают предположительную область локализации сигнала.

Рис. 4. Результаты обработки спектра КЛ-излучения галлий-гадолиниевого граната Указанный подход использован также для обработки поверхностного слоя сульфида кадмия, причем измерение спектра проводилось на одних и тех же длинах волн по 17 срезам исходного образца. На первом шаге осуществляется обработка спектра КЛ вдоль каждого среза, далее аналогичным способом обрабатываются данные по всем срезам на одной и той же длине волны. Результаты обработки спектра поверхностного излучения представлены на рис. и рис. 6, при этом объем данных, необходимых для восстановления сигнала, уменьшен в 12 раз.

Рис. 5. Результаты обработки поверхностного спектра КЛ-излучения сульфида кадмия. По оси x – длина волны (нм), по оси y – срезы (отн. единиц), по оси z Рис. 6. Линии уровней интенсивности поверхностного спектра КЛ-излучения сульфида кадмия: слева – до обработки; справа – после обработки. По оси x – срезы (отн. единиц), по оси y – длина волны (нм).

Таким образом, разработанный алгоритм дает возможность не только локализовать сигнал и устранить случайные погрешности, но и сжать хранимую информацию. Поэтому он может использоваться для составления баз данных различных образцов полупроводников.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В ходе диссертационного исследования были получены следующие результаты:

1. Разработан алгоритм обработки оптических спектров, обеспечивающий высокое качество фильтрации спектральных данных и удаление импульсных составляющих. Это было достигнуто при совмещении пороговой обработки с обнулением вейвлет-коэффициентов по принадлежности уровню разложения сигнала, а также благодаря учету величины смещения уровня аппроксимации сигнала относительно исходного тренда при использовании a trous преобразования Хаара.

2. Параметры алгоритмов фильтрации спектров электромагнитного излучения могут выбираться на основе известной информации о спектре и зашумлении, исходя из полученных аналитических зависимостей.

Сформулированные теоремы отражают зависимость погрешности восстановления спектра от порога обнуления коэффициентов, а также вейвлеткоэффициентов используемых нетрадиционных преобразований от шума измерений и от величины первой производной (для a trous преобразования Хаара) и второй производной (для лифтинг-схемы) полезного сигнала.

3. Высокочастотное аддитивное зашумление, имеющее место при сборе информации во время спектроскопической диагностики может быть подавлено в режиме реального времени с помощью алгоритма на основе a trous вейвлет-преобразования Хаара. Статистический анализ коэффициентов верхних уровней указанного разложения с использованием формул обновления числовых характеристик позволил осуществить контроль интенсивности зашумления тестового сигнала.

4. Разработанный алгоритм фильтрации, сжатия, восстановления и последующего сглаживания спектральных данных позволил достичь высокого коэффициента сжатия при незначительном искажении формы спектральной кривой, поэтому он может быть рекомендован при составлении соответствующих баз данных. Указанный алгоритм был обобщен на многомерный случай, что позволяет применять его для обработки не только поверхностных спектров излучения, но и результатов измерений кинетики люминесценции.

Эффективность разработанных алгоритмов и справедливость представленных теорем показаны как с помощью математического моделирования обработки тестовых спектров, так и при обработке спектров катодолюминесценции, индуцируемой электронной бомбардировкой поверхности полупроводников. Сравнение полученных результатов с результатами фильтрации спектров с помощью экспоненциального сглаживания, скользящего усреднения, медианного сглаживания и фильтрации на основе быстрого преобразования Фурье показало, что представленные алгоритмы позволяют повысить точность обработки оптических спектров, но при этом по уровню сложности не превышают упомянутые фильтры.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Степанов С.Е., Сергеева М.А. Обработка спектров электромагнитного излучения, индуцируемого электронной бомбардировкой поверхности, с использованием вейвлетов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2009. № 4. С. 29-32.

2. Горошко М.А. Определение параметров фильтрации при использовании некоторых нетрадиционных видов вейвлет-преобразования // В мире научных открытий. Математика. Механика. Информатика. 2012. № 1(25). С. 101-110.

3. Сергеева М.А. Применение вейвлетов и сплайнов при передаче непрерывных данных // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тезисы докладов Четырнадцатой Международной НТК студентов и аспирантов. М., 2008. Т.1. С.

376-377.

4. Степанов С.Е., Сергеева М.А. Обработка спектров электромагнитного излучения, индуцируемого электронной бомбардировкой поверхности, с использованием вейвлетов // XXXVIII Международная конференция по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами: Тезисы докладов. М., 2008. С. 78.

5. Горошко М.А. Особенности реализации на ЭВМ алгоритма обработки сигналов на основе вейвлетов // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Всероссийской НТК. М., 2008. C. 58-61.

6. Горошко М.А. Обработка пространственных сигналов с использованием вейвлетов второго поколения // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Всероссийской НТК. М., 2009. C. 8-9.

7. Горошко М.А. Использование избыточного вейвлет-преобразования при обработке временных сигналов // Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Научная школаконференция молодых исследователей: Тезисы докладов. Обнинск, 2011. С. 19Горошко М.А. Выбор параметров фильтрации для некоторых нетрадиционных видов вейвлет-преобразования // Наукоемкие технологии в приборо- и машиностроении и развитие инновационной деятельности в вузе: Материалы Всероссийской НТК. М., 2011. C. 4-5.