На правах рукописи

ТРИКАШНАЯ Наталия Вячеславовна

ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

ГРУППОИДОВ С УСЛОВИЯМИ АБЕЛЕВОСТИ И

НОРМАЛЬНОСТИ

01.01.06. математическая логика

алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учной степени е кандидата физико-математических наук

Владивосток 2011

Работа выполнена в Дальневосточном федеральном университете.

Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент Степанова Ална Андреевна е

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Пинус Александр Георгиевич кандидат физико-математических наук, доцент Больбот Александр Дмитриевич

Ведущая организация Восточно-Сибирская государственная академия образования

Защита состоится 26 января 2012 г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д003.015.02 при Институте математики им.

С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, пр. акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук А.Н. Ряскин

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются группоиды, а именно, полугруппы, группоиды с единицей и квазигруппы. С помощью современного арсенала теории моделей и методов универсальной алгебры изучаются такие свойства этих группоидов, как абелевость, гамильтоновость, примитивная нормальность и аддитивность.

Понятие абелевости для алгебр было введено R. McKenzie [11] как обобщение понятия абелевой группы. Легко понять, что группа является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна. Также нетрудно показать, что унарные алгебры и модули являются абелевыми алгебрами. Абелевы алгебры изучались в работах H. Werner, W. Lampe, D. Hobby, R. McKenzie, M. Valeriot, R. Freese и др. (см.[21, 10, 4, 18, 6]).

Абелевы алгебры сыграли важную роль в развитии теории коммутаторов [6], в исследованиях, связанных с функционально полными алгебрами [21]. Абелевы группоиды исследовались в работах W. Taylor, R. McKenzie, R. Warne, Е.В. Овчинниковой (см.[17, 12, 19, 20, 2]). В [2] Е.В. Овчинниковой приводится описание абелевых группоидов A, ·, для которых |A · A| 3. В [12] R. McKenzie дается характеризация конечных абелевых полугрупп. R. Warne в [19, 20] приводит полное описание структуры абелевых полугрупп, в частности, описывает полупростые, квазирегулярные, периодические абелевы полугруппы.

Понятие сильной абелевости появилось в работе R. McKenzie [13] при описании конечных алгебр с определенным типом решеток конгруэнций. Примером сильно абелевых алгебр являются унарные алгебры.

Результаты R. McKenzie, связанные с понятиями абелевой и сильно абелевой алгебры, явились толчком для развития теории ручных конгруэнций, являющейся основным инструментом исследования конечных алгебр.

Понятие гамильтоновости для алгебр было введено B. Csakany [5] и K. Shoda [16]. Оно является обобщением понятия гамильтоновой группы. Гамильтоновы алгебры изучались в работах R. McKenzie, E. Kiss, M.

Valeriote (см.[7, 8, 14]). В работе [7] E. Kiss и M. Valeriote показали, что если декартов квадрат алгебры гамильтонов, то сама алгебра абелева.

В данной работе описаны абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы конечные квазигруппы и группоиды с единицей. Охарактеризованы абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов, сильно абелевы полугруппы и гамильтоновы полугруппы с условием абелевости.

Абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия алгебр изучались в работах таких математиков, как D. Hobby, R. McKenzie, E. Kiss, M. Valeriot, L. Klukovits (см.[4, 7, 8, 14, 9]). В [8] E. Kiss и M. Valeriot показали, что если конечная алгебра порождает сильно абелевое многообразие, то она гамильтонова. В [7] эти же авторы доказали, что если многообразие гамильтоново, то оно абелево. В [18] M. Valeriot показал, что если конечная простая алгебра абелева, то она гамильтонова. В [7] E.

Kiss и M. Valeriot показали, что для локально конечного многообразия свойства абелевости и гамильтоновости эквивалентны.

Нами дана характеризация конечных квазигрупп, группоидов с единицей и полугрупп, порождающих абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия.

Примитивно нормальные и аддитивные теории изучались Е.А. Палютиным в [3, 15]. Эти теории являются обобщением теории модулей. Как и теория модулей, данные теории допускают элиминацию кванторов до примитивных формул. Легко понять, что алгебры, теория которых примитивно нормальна, являются абелевыми. В аддитивных теориях, являющихся по определению примитивно нормальными, на факторах любых примитивных копий моделей этих теорий по некоторой примитивной эквивалентности можно определить с помощью примитивной формулы изоморфные абелевы группы. Это свойство аддитивных теорий обобщает известное свойство модулей: в любом модуле примитивные копии являются классами смежности некоторой абелевой группы.

В данной работе описаны квазигруппы, группоиды с единицей и полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

Основное содержание диссертации.

В работе получены следующие основные результаты:

– описаны абелевы группоиды с единицей, абелевы конечные квазигруппы и абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов (теоремы 2.1, 2.8, 2.18);

– дана характеризация гамильтоновых группоидов с единицей и полугрупп при условии абелевости этих алгебр; доказано, что конечная абелева квазигруппа является гамильтоновой алгеброй. (теоремы 2.5, 2.23, 2.11);

– описаны полугруппы, группоиды с единицей и квазигруппы, порождающие абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия (теоремы 3.1, 3.2, 3.3, 3.6, следствия 3.4, 3.7);

– дана характеризация полугрупп, группоидов с единицей и квазигрупп с примитивно нормальными и аддитивными теориями (теоремы 4.2, 4.5, 4.6, 4.7) Новизна и научная значимость работы. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теоретико–модельной алгебре, в универсальной алгебре, при чтении спецкурсов по теории моделей и универсальной алгебре, написании учебных пособий и монографий.

Апробация работы. Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток), Дальневосточного федерального университета, а также на следующих международных конференциях и школах–семинарах: Российская школа-семинар “Синтаксис и семантика логических систем” (Владивосток, 2008), Международная конференция “Мальцевские чтения” (Новосибирск, 2009), Международная конференция “Мальцевские чтения” (Новосибирск, 2010), Российская школа-семинар “Синтаксис и семантика логических систем” (Иркутск, 2010), Международный алгебраический симпозиум (Москва, 2010), Международная конференция “Мальцевские чтения” (Новосибирск, 2011), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2011).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы 1) в работах [27, 28] из журналов, входящих в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, 2) в работах [23, 30]. Три работы [23, 27, 30] выполнены в соавторстве, где А.А. Степановой принадлежит постановка задач и общее руководство.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета L TEX. Общий объем диссертации 69 страниц. БибA лиография включает 47 наименований.

В первой главе приводятся необходимые для дальнейшего сведения из универсальной алгебры и теории моделей.

В первом параграфе второй главы дается описание абелевых, сильно абелевых и гамильтоновых квазигрупп и группоидов с единицей.

Алгебра называется абелевой, если для любой полиномиальной операции t(x, y1,..., yn ) и любых элементов u, v, c1,..., cn, d1,..., dn алгебры из равенства t(u, c1,..., cn ) = t(u, d1,..., dn ) следует t(v, c1,..., cn ) = t(b, d1,..., dn ) следует t(e, c1,..., cn ) = t(e, d1,..., dn ). Алгебра называется гамильтоновой, если любая ее подалгебра является классом некоторой конгруэнции алгебры.

Теорема 2.1. Пусть A; · – группоид с единицей. Группоид A; · является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда A; · – коммутативная полугруппа, такая что для любых a, b A уравнение a·x = b имеет не более одного решения в A; ·.

Утверждение 2.3. Группоид с единицей A, · сильно абелев тогда и только тогда, когда |A| = 1.

Теорема 2.5. Пусть A; · – абелев группоид с единицей. Группоид является гамильтоновой алгеброй тогда и только тогда, когда A; · – периодическая абелева группа.

Пусть A; · – квазигруппа, a A. Введем обозначения (см. [1]):

Ясно, что Ra (x) и La (x) – перестановки множества A, A; + – квазигруппа с нейтральным элементом a · a и равенства ra (x) + a = Ra (x), la (x) + a = L1 (x) определяют перестановки ra (x) и la (x) множества Теорема 2.8. Пусть A; · – конечная квазигруппа, a A. Квазигруппа A; · является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда (1) A; + – абелева группа, A; +.

только тогда, когда |A| = 1.

Теорема 2.11. Любая конечная абелева квазигруппа является гамильтоновой алгеброй.

Во втором параграфе второй главы изучаются абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов. В работах Warne R.J. [19, 20] описаны абелевы полугруппы. Для доказательства теорем 2.21 и 2.23, дающих характеризацию сильно абелевых и гамильтоновых полугрупп, достаточно описать абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов.

Полугруппа называется прямоугольной связкой полугрупп, если существует семейство {Ai | i I, }, являющееся разбиением множества A, причем Ai ; · – подполугруппы полугруппы A; · и для любых i I,, µ выполняется включение Ai · Ajµ Aiµ.

Полугруппа A; · называется раздуванием полугруппы B; ·, если существует разбиение {Xa | a B} множества A такое, что a Xa и xy = ab для любых a, b B, x Xa, y Xb. Полугруппа A; · называется периодической, если для любого a A существуют n, m, n > m, такие что an = am.

моугольной связки абелевых групп и произведение идемпотентов из A является идемпотентом из A.

Теорема 2.21. Полугруппа A, · является сильно абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда A, · – раздувание прямоугольной связки идемпотентов.

Теорема 2.23. Абелева полугруппа A, · является гамильтоновой алгеброй тогда и только тогда, когда A, · – раздувание прямоугольной связки периодических абелевых групп и произведение идемпотентов из A является идемпотентом из A.

В первом параграфе третьей главы описываются полугруппы, порождающие абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия.

Многообразие называется абелевым (сильно абелевым, гамильтоновым), если все алгебры этого класса абелевы (сильно абелевы, гамильтоновы).

Пусть A, · – группоид. Обозначим через V (A) многообразие, порожденное группоидом A, ·.

Теорема 3.1. Пусть A, · – полугруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) многообразие V (A) абелево;

(2) многообразие V (A) гамильтоново;

(3) полугруппа A, · – раздувание прямоугольной связки абелевых групп конечного периода и произведение идемпотентов из A является идемпотентом из A.

Теорема 3.2. Пусть A, · – полугруппа. Многообразие V (A) сильно абелево тогда и только тогда, когда A, · – раздувание прямоугольной связки идемпотентов.

Во втором параграфе третьей главы дается характеризация группоидов с единицей и квазигрупп, порождающих абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия.

Теорема 3.3. Пусть A, · – группоид с единицей. Следующие условия эквивалентны:

(1) многообразие V (A) абелево;

(2) многообразие V (A) гамильтоново;

(3) группоид A, · является абелевой группой конечного периода.

Следствие 3.4. Пусть A, · – группоид с единицей. Многообразие V (A) сильно абелево тогда и только тогда, когда |A| = 1.

условия эквивалентны:

(1) многообразие V (A) абелево;

(2) многообразие V (A) гамильтоново;

(3) квазигруппа A, · является абелевой алгеброй;

(4) A; + – абелева группа и перестановки ra (x) и la (x) являются автоморфизмами A; +.

сильно абелево тогда и только тогда, когда |A| = 1.

В четвертой главе дается описание полугрупп, группоидов с единицей и квазигрупп с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

В первом параграфе четвертой главы описываютс полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

Пусть T – полная теория языка L. Зафиксируем некоторую достаточно большую и достаточно насыщенную модель C теории T, которая называется монстр–моделью, так как предполагается, что все рассматриваемые модели теории T являются ее элементарными подмоделями.

Все элементы, кортежи элементов и множества будут браться из монстрмодели C. Пусть s = s1,..., sn – кортеж элементов или переменных, A – некоторое множество. Через l() обозначим длину кортежа s, т.е.

l() = n. Если (, y ) – формула языка L, A – модель теории T, a – кортеж элементов из A и l() = l(), то через (A, a) будем обозначать множество { | A |= ( a)}.

Формула вида где i (i k) атомарные формулы, называется примитивной.

ментов и l() = l(). Множество вида (C, a) называется примитивным множеством. Если – кортеж элементов и l( = l(), то множества (C, a) и (C, называются примитивными копиями.

Эквивалентность на некотором множестве X n -ок элементов из C, определенная в C c помощью некоторой примитивной формулы (1, x2 ), называется примитивной эквивалентностью. Область опреx деления X такой эквивалентности определяется в C примитивной формулой (, x) и обозначается через dom(). Если a X, то через a/ будем обозначать класс эквивалентности с представителем a.

Теория T называется примитивно нормальной, если для любых примитивных копий X, Y выполнено X = Y или X Y =.

Алгебру A назовем примитивно нормальной, если теория T h(A) примитивно нормальна.

Теорема 4.2. Пусть A, · – полугруппа. Следующие условия эквивалентны:

(1) полугруппа A, · примитивно нормальна;

(2) полугруппа A, · является абелевой алгеброй и все односторонние главные идеалы полугруппы минимальны;

(3) полугруппа A, · является раздуванием прямоугольной связки абелевых групп и произведение идемпотентов из A является идемпотентом из A.

Множество X называется -примитивным, если существует такое семейство S примитивных множеств, что Эквивалентность называется -примитивной, если существует такое множество E примитивных эквивалентностей, что Классы X и Y одной -примитивной эквивалентности называются -примитивными копиями. Множество вида X = X / = {a/ | a X }, где X – -примитивное множество, – примитивная эквивалентность и X dom(), называется обобщенно примитивным множеством. При этом X называется основой, а – образующей эквивалентностью обобщенно примитивного множества X. Обобщенно примитивные множества X0 и X1 называются обобщенно примитивными копиями, если у них есть общая образующая эквивалентность, а их основы X0 и X1 являются -примитивными копиями.

Пусть обобщенно примитивные множества X0 и X1 являются обобщенно примитивными копиями и – их образующая эквивалентность.

ные формулы (, y, z, u), (, y, d) (с параметрами d ), примитивная эквивалентность и кортежи элементов 0, 1 такие, что абелеву группу, причем эта группа нетривиальна, если множество X или X1 более, чем одноэлементно;

(c) формула (, y, d) задает изоморфизм групп, определенных в (b).

Теория T называется аддитивной, если она примитивно нормальна и любые обобщенно примитивные копии аддитивно связаны. Алгебру A назовем аддитивной, если теория T h(A) аддитивна.

Теорема 4.5. Полугруппа A; · аддитивна тогда и только тогда, когда A; · является абелевой группой.

Во втором параграфе четвертой главы дается харатеризация группоидов с единицей и квазигрупп с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

Теорема 4.6. Пусть A; · – группоид с единицей. Следующие условия эквивалентны:

(1) группоид A, · примитивно нормален;

(2) группоид A, · аддитивен;

(3) группоид A, · является абелевой алгеброй и для любых a, b A уравнение a · x = b имеет решение в A; · ;

(4) группоид A, · является абелевой группой.

Теорема 4.7. Пусть A, · – квазигруппа, a A. Следующие условия эквивалентны:

(1) квазигруппа A, · примитивно нормальна;

(2) квазигруппа A, · аддитивна;

(3) A, + – абелева группа и перестановки ra (x) и la (x) являются автоморфизмами A, +.

Теорема 4.8. Пусть A, · – конечная квазигруппа, a A. Следующие условия эквивалентны:

(1) квазигруппа A, · примитивно нормальна;

(2) квазигруппа A, · аддитивна;

(3) квазигруппа A, · является абелевой алгеброй;

(4) A, + – абелева группа и перестановки ra (x) и la (x) являются автоморфизмами A, +.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. А.А. Степановой за внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Список литературы [1] Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп // М.: Наука. 1967.

[2] Овчинникова Е.В. Об абелевых группоидах с образами малой мощности // Алгебра и теория моделей. Сборник статей. НГТУ. 2005.

С.125-131.

[3] Палютин Е.А. Примитивно связные теории // Алгебра и логика.

2000. Т.39. No.2, С.145-169.

[4] Хобби Д., Макензи Р. Строение конечных алгебр // М.: Мир. 1993.

[5] Csakany B. Abelian properties of primitive classes of universal algebras // Acta. Sci. Math. Szeged. 1964. No25. P.202-208.

[6] Freese R., McKenzie R. Commutator theory for congruence modular varieties // Volume 125 of London Mathematical Society Note Series.

Cambridge University Press. 1987.

[7] Kiss E., Valeriote M. Abelian algebras and the Hamiltonian property // J. Pure Appl. Algebra. 1993. V.87. No.1. P.37–49.

[8] Kiss E., Valeriote M. Strongly abelian varieties and the Hamiltonian property // Canad. J. Math. 1991. V.43. No.2. P.1-16.

[9] Klukovits L. Hamiltonian varieties of universal algebras // Acta. Sci.

Math. 1975. No37. P.11-15.

[10] Lampe D., Freese R. and Taylor W. Congruence lattices of algebras of xed similarity type // I. Pacic Journal of Math. 1979. No.82. P.59-68.

[11] McKenzie R. On minimal, locally nite varieties with permuting congruence relaion // Berkeley Manuscript. 1976.

[12] McKenzie R. The Number of Non-isomorphic Models in Quasi-varieties of Semigroups // Algebra Universalis. 1983. No.16. P.195-203.

[13] McKenzie R. Finite forbidden latties // In Universal Algebra and Lattice Theory. Volume 1004 of Springer Lectures Notes. SpringerVerlag. 1983.

[14] McKenzie R. Congruence extencion, Hamiltonian and Abelian properties in locally nite varieties // Algebra Universalis. 1991. No28.

P.589-603.

[15] Palyutin E.A. Additive theory // Proceedings of Logic Colloquium’ (Lecture Notes in Logic, 13). ASL. Massachusetts. 2000. P.352-356.

[16] Shoda K. Zur theorie der algebraischen erweiterungen // Osaka Math.

Journal. 1952. No4. P.133-143.

[17] Taylor W. Some Application of the Term Condition // Algebra Universalis. 1994. No.31. P.113-123.

[18] Valeriot M. Finite simple Abelian algebras are strictly simple // Proc.

of the Amer. Math. Soc. 1990. No.108. P.49-57.

[19] Warne R.J. Semigroups obeying the term conditions // Algebra Universalis. 1994. No.31. P.113-123.

[20] Warne R.J. Semigroups and Inations // Semigroup Forum. 1997. V.54.

P.271-277.

[21] Werner H. Congruences on products of algebras and functionally complete algebras // Algebra Universalis. 1974. No.4. P.99-105.

Список работ автора по теме исследования [22] Степанова А.А., Трикашная Н.В. Абелевы полугруппы // Российская школа-семинар “Синтаксис и семантика логических систем”.

Тезисы докладов. Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2008. C.22.

[23] Степанова А.А., Трикашная Н.В. Абелевы и гамильтоновы группоиды // М.: Фундаментальная и прикладная математика, 2009, Т.

15. №7. C. 165-177.

[24] Степанова А.А., Трикашная Н.В. Сильно абелевы группоиды // Материалы международной конференции “Мальцевские чтения” / Институт математики СО РАН, Новосибирск. 2009.

[25] Трикашная Н.В. Абелевы и гамильтоновы многообразия некоторых группоидов // Материалы международной конференции “Мальцевские чтения” / Институт математики СО РАН, Новосибирск. 2010.

[26] Трикашная Н.В. Полугруппы с примитивно нормальными теориями // Российская школа-семинар “Синтаксис и семантика логических систем”. Тезисы докладов. Иркутск. 2010. C. 126.

[27] Степанова А.А., Трикашная Н.В. Абелевы и гамильтоновы многообразия группоидов // Новосибирск: Алгебра и логика. 2011. Т.50.