Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

ВАСИЛЬЕВ Владимир Андреевич

Существование решений системы

дифференциальных уравнений,

близких к приближенному решению

Специальность 01.01.02 – дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: член-корреспондент Российской академии наук, доктор физико-математических наук, профессор Плисс Виктор Александрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Розов Николай Христович (Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова);

кандидат физико-математических наук, доцент Иванов Борис Филиппович (Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров).

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет " ЛЭТИ ".

Защита состоится " 8 " декабря 2011 г. в 13 час. 00 мин. на заседании совета Д 212.232.49 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28. Математико-механический факультет СПбГУ. Ауд.

405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " " ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.49, доктор физико-математических наук А. А. Архипова

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

C конца 60-х – начала 70-х годов прошлого столетия предпринимаются многочисленные попытки исследования качественного поведения периодических и автономных систем с помощью вычислительной техники. Идея такого рода исследований состоит в следующем: строятся приближенные решения (одно или несколько) на весьма длинном промежутке изменения аргумента. Эти приближенные решения задают некоторое множество точек в фазовом пространстве. Есть весьма веские основания надеяться, что эти построенные множества содержат в себе аттракторы и неблуждающее множество изначальной системы. Часто подобными методами удается установить наличие или отсутствие периодических решений, гомоклинических точек и контуров. Все это позволяет получить важную информацию о качественном характере поведения решений заданной системы дифференциальных уравнений.

Следует отметить, что описанный метод исследования может быть использован только в случае, когда в окрестности приближенного решения системы дифференциальных уравнений существует истинное решение этой системы, в противном случае такой метод исследования не позволяет получить никаких новых данных о качественном поведении решений рассматриваемой системы. В связи с этим встает вопрос о существовании истинного решения в окрестности приближенного.

Диссертация посвящена изучению проблемы существования истинного решения в окрестности приближенного и получению новых условий, при которых данному приближенному решению системы дифференциальных уравнений соответствует истинное решение, располагающееся в малой окрестности приближенного решения.

Цель работы.

Формулировка условий существования истинного решения системы дифференциальных уравнений в окрестности приближенного решения, вычисленного на длинном интервале изменения аргумента.

Методы исследований.

В работе применяются современные методы исследования структурно устойчивых систем дифференциальных уравнений. Однако, эти методы существенным образом видоизменяются в соответствии с поставленной задачей; предлагается метод построения приближенных решений линейных систем дифференциальных уравнений на длинных интервалах времени.

Основные результаты работы.

Сформулированы условия существования истинного решения системы дифференциальных уравнений в окрестности приближенного.

Построены методы эффективной проверки указанных условий.

Научная новизна.

Сформулированы новые условия существования истинного решения системы дифференциальных уравнений в окрестности приближенного, и представлены новые методы эффективной проверки этих условий.

Теоретическая и практическая ценность.

Теоретическая и практическая ценность работы состоит в том, что в ряде случаев (при выполнении условий существования истинного решения системы дифференциальных уравнений в окрестности приближенного) можно делать конкретные выводы о качественном характере поведения решения заданной системы дифференциальных уравнений на основе анализа приближенных решений этой системы, построенных с помощью вычислительной техники.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на заседаниях Городского семинара по дифференциальным уравнениям (г. Санкт-Петербург) и на XII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением проводимой ОАО Концерн ЦНИИ "Электроприбор"(г. Санкт-Петербург).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3Работы [3], [4] опубликованы в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, семи глав, списка литературы, содержащего 25 наименований. Объем диссертации 88 страниц.

В первой главе диссертации рассматривается система где x, X n-мерные векторы; относительно вектор-функции X будем предполагать, что она ограничена, непрерывна при t (, ), при x Rn и имеет непрерывную и ограниченную матрицу Якоби X/x. Далее в этой главе дается точная формулировка проблемы, рассматриваемой в диссертации. Приводится обычное определение -решения системы дифференциальных уравнений, и приводятся некоторые примеры, иллюстрирующие проблему.

Во второй главе рассматриваются линейные системы где x Rn, а P(t) ограниченная кусочно-непрерывная на промежутке J матрица размера n n. Обозначим через (t) фундаментальную матрицу решений системы (2). (J =,, где может быть равным, а может быть равным.) Вводится понятие (1, 2, a1, a2 )-гиперболичности системы (2) Определение 2.1. Будем говорить, что система (2) (1, 2, a1, a2 )гиперболична на промежутке J, если существуют числа 1, 2 > и a1, a2 > 1 и линейные пространства U s (t) и U u (t), определенные на J и такие, что dim U s (t) = k, dim U u (t) = n k, для всех t J, то выполняется неравенство Далее в этой главе исследуются некоторые свойства (1, 2, a1, a2 )гиперболичных систем.

В третьей главе доказывается ключевая теорема диссертации.

Рассматривается линейная система (2), заданная на промежутке J.

Предполагается, что она удовлетворяет следующим четырем условиям.

Условие I. Существуют числа t0 < t1 <... < tm < tm+1 = t такие, что система (2) (1,i, 2,i, a1,i, a2,i )-гиперболична на промежутке [ti, ti+1 ] (i = 0, 1,..., m).

Пусть Uis (t) и Uiu (t) линейные пространства, фигурирующие в определении 2.1 гиперболичности системы (2) на промежутке [ti, ti+1 ].

Условие II. Выполняются неравенства dim Uiu (t) > dim Ui+1 (t),u i = 0, 1,..., m 1, m n. Предполагается, что подпространства Uiu (ti+1 ) и Ui+1 (ti+1 ) пространства Rn (i = 0, 1,..., m 1) пересекаs ются трансверсально, причем углы между ними задаются числами i (i+1 = (Uiu (ti+1 ), Ui+1 (ti+1 )), i = 0, 1,..., m 1).

величин произвольны и определяются рекуррентно из приведенных ниже соотношений и неравенств.

где 1 = 1.

где ui наименьший положительный корень уравнения где u0 наименьший положительный корень уравнения при этом (1 /2) u0 1.

Условие III. Выполняются неравенства:

где значения ai,j константы гиперболичности.

Условие IV. Разности ti+1 ti удовлетворяют неравенствам при i = 1,..., m 1.

По условию I система (2) (1,i, 2,i, a1,i, a2,i )-гиперболична на промежутках [ti, ti+1 ], поэтому существуют числа i > 0 такие, что (Uis (t), Uiu (t)) i, при t [ti, ti+1 ], i = 0, 1,..., m. Положим Теорема 3.1. Если выполнены условия I-IV, то при любой кусочно-непрерывной при t0 t t вектор-функции f (t), удовлетворяющей неравенствам при t [ti, ti+1 ], i = 0, 1,..., m, система имеет решение (t), удовлетворяющее неравенству при t [t0, t ].

В главе 4 проводится сравнение результатов работ [1, 2], а именно приведенных в них условий существования ограниченного решения у линейной неоднородной системы, с теоремой 3.1. Показывается, что условия теоремы 3.1 являются существенно менее стеснительными, чем условия, приведенные в [1, 2].

В пятой главе снова рассматривается исходная система (1). Она приводится к виду Вектор X(t, (t) + y) представим в виде где вектор-функция F(t, y) равномерно непрерывно дифференцируема по вектору y и F(t, 0) = 0, F(t, 0)/y = 0, и положим P(t) = X(t, (t))/x и X(t, (t)) (t) = f (t). Тогда система (4) принимает вид где вектор-функция f (t) непрерывна при t0 t t и удовлетворяет неравенствам |f (t)| < i при t [ti, ti+1 ], i = 0, 1,..., m.

Рассмотрим линейную систему Предположим, что система (6) удовлетворяет условиям теоремы 3.1 на промежутках [ti, ti+1 ] с константами i и i, i = 0, 1,..., m, введенными при формулировке этой теоремы. Зададим произвольные положительные числа i, i = 0, 1,..., m, при этом будем считать i столь малыми, чтобы в шарах y : |y| i вектор-функция F(t, y) удовлетворяла условию Липшица:

при t [ti, ti+1 ], y, y Bi, i = 0, 1,..., m.

Теорема 5.1. Если i < (i i li )i, i = 0, 1,..., m, то система (5) имеет решение y = u(t), удовлетворяющее неравенству |u(t)| < i при t [ti, ti+1 ], i = 0, 1,..., m.

В главах 6 и 7 даются эффективные методы проверки условий теоремы 3.1 с использованием методов приближенных вычислений.

Список литературы [1] Плисс В. А. Существование решения дифференциального уравнения, близкого к приближенному решению // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 7. С. 897 – 906.

[2] V. A. Pliss. The existence of a true solution of a dierential equation in the neighbourhood of an approximate solution // Journal of Dierential Equations. 2005, № 208. P. 64–85.

Публикации автора по теме диссертации Статьи в рецензируемых журналах и изданиях:

[3] Васильев В. А. Условия существования решения системы дифференциальных уравнений, близкого к приближенному решению // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 3. С. 310Васильев В. А. Об одном способе построения приближенных решений линейных систем на длинных интервалах времени // Вестник Санкт-Петербург. ун-та. Сер. Математика, механика, астрономия. 2011. № 3. С. 3 – 6.

[5] Васильев В. А. Анализ линейной системы с помощью приближенных вычислений // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2011. № 3. С. 138 – 157.

[6] V. A. Vasiliev On One Method of Constructing Approximate Solutions to Linear Systems on Long Time Intervals // Vestnik St.

Petersburg University. Mathematics. 2011. Vol. 44, № 3. P. 167 –